浙教版-数学-九年级上册-1.4.1 利用二次函数解决面积最大问题 练习

1.4 二次函数的应用一、填空题1．如图，在平面直角坐标系xOy中，若动点P在抛物线y=ax2上，⊙P恒过点F（0，n），且与直线y=﹣n始终保持相切，则n= （用含a的代数式表示）．二、解答题2．已知△ABC中，边BC的长与BC边上的高的和为20．（1）写出△ABC的面积y与BC的长x之间的函数关系式，并求出面积为48时BC的长；（2）当BC多长时，△ABC的面积最大？最大面积是多少？（3）当△ABC面积最大时，是否存在其周长最小的情形？如果存在，请说出理由，并求出其最小周长；如果不存在，请给予说明．3．如图，在平面直角坐标系中，直线AB交x轴于点A（5，0），交y轴于点B，AO是⊙M的直径，其半圆交AB于点C，且AC=3．取BO的中点D，连接CD、MD和OC．（1）求证：CD是⊙M的切线；（2）二次函数的图象经过点D、M、A，其对称轴上有一动点P，连接PD、PM，求△PDM的周长最小时点P的坐标；（3）在（2）的条件下，当△PDM的周长最小时，抛物线上是否存在点Q，使S△QAM=S△PDM？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．4．如图①，在平面直角坐标系中，点P（0，m2）（m＞0）在y轴正半轴上，过点P作平行于x 轴的直线，分别交抛物线C1：y=x2于点A、B，交抛物线C2：y=x2于点C、D．原点O关于直线AB的对称点为点Q，分别连接OA，OB，QC和QD．【猜想与证明】填表：m 1 2 3由上表猜想：对任意m（m＞0）均有= ．请证明你的猜想．【探究与应用】（1）利用上面的结论，可得△AOB与△CQD面积比为；（2）当△AOB和△CQD中有一个是等腰直角三角形时，求△CQD与△AOB面积之差；【联想与拓展】如图②过点A作y轴的平行线交抛物线C2于点E，过点D作y轴的平行线交抛物线C1于点F．在y轴上任取一点M，连接MA、ME、MD和MF，则△MAE与△MDF面积的比值为．5．如图，抛物线y=ax2+bx+c的开口向下，与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（1，0）．与y轴交于点C，顶点为D．（1）求顶点D的坐标．（用含a的代数式表示）；（2）若△ACD的面积为3．①求抛物线的解析式；②将抛物线向右平移，使得平移后的抛物线与原抛物线交于点P，且∠PAB=∠DAC，求平移后抛物线的解析式．6．如图，四边形ABCD是等腰梯形，下底AB在x轴上，点D在y轴上，直线AC与y轴交于点E （0，1），点C的坐标为（2，3）．（1）求A、D两点的坐标；（2）求经过A、D、C三点的抛物线的函数关系式；（3）在y轴上是否在点P，使△ACP是等腰三角形？若存在，请求出满足条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．7．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（1，0），（5，0），（3，﹣4）．（1）求该二次函数的解析式；（2）当y＞﹣3，写出x的取值范围；（3）A、B为直线y=﹣2x﹣6上两动点，且距离为2，点C为二次函数图象上的动点，当点C运动到何处时△ABC的面积最小？求出此时点C的坐标及△ABC面积的最小值．8．如图．在平面直角坐标系中，边长为的正方形ABCD的顶点A、B在x轴上，连接OD、BD、△BOD的外心I在中线BF上，BF与AD交于点E．（1）求证：△OAD≌△EAB；（2）求过点O、E、B的抛物线所表示的二次函数解析式；（3）在（2）中的抛物线上是否存在点P，其关于直线BF的对称点在x轴上？若有，求出点P的坐标；（4）连接OE，若点M是直线BF上的一动点，且△BMD与△OED相似，求点M的坐标．9．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO是梯形，其中A（6，0），B（3，），C（1，），动点P从点O以每秒2个单位的速度向点A运动，动点Q也同时从点B沿B→C→O的线路以每秒1个单位的速度向点O运动，当点P到达A点时，点Q也随之停止，设点P，Q运动的时间为t（秒）．（1）求经过A，B，C三点的抛物线的解析式；（2）当点Q在CO边上运动时，求△OPQ的面积S与时间t的函数关系式；（3）以O，P，Q顶点的三角形能构成直角三角形吗？若能，请求出t的值；若不能，请说明理由；（4）经过A，B，C三点的抛物线的对称轴、直线OB和PQ能够交于一点吗？若能，请求出此时t的值（或范围），若不能，请说明理由）．10．已知关于x的二次函数y=x2﹣2mx+m2+m的图象与关于x的函数y=kx+1的图象交于两点A（x1，y1）、B（x2，y2）；（x1＜x2）（1）当k=1，m=0，1时，求AB的长；（2）当k=1，m为任何值时，猜想AB的长是否不变？并证明你的猜想．（3）当m=0，无论k为何值时，猜想△AOB的形状．证明你的猜想．（平面内两点间的距离公式）．11．直线y=x﹣2与x、y轴分别交于点A、C．抛物线的图象经过A、C和点B（1，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）在直线AC上方的抛物线上有一动点D，当D与直线AC的距离DE最大时，求出点D的坐标，并求出最大距离是多少？12．如图1所示，已知直线y=kx+m与x轴、y轴分别交于点A、C两点，抛物线y=﹣x2+bx+c 经过A、C两点，点B是抛物线与x轴的另一个交点，当x=﹣时，y取最大值．（1）求抛物线和直线的解析式；（2）设点P是直线AC上一点，且S△ABP：S△BPC=1：3，求点P的坐标；（3）直线y=x+a与（1）中所求的抛物线交于点M、N，两点，问：①是否存在a的值，使得∠MON=90°？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．②猜想当∠MON＞90°时，a的取值范围．（不写过程，直接写结论）（参考公式：在平面直角坐标系中，若M（x1，y1），N（x2，y2），则M、N两点之间的距离为|MN|=）13．如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+与直线y=x交于点A，点B在直线y=x+上，∠BOA=90°．抛物线y=ax2+bx+c过点A，O，B，顶点为点E．（1）求点A，B的坐标；（2）求抛物线的函数表达式及顶点E的坐标；（3）设直线y=x与抛物线的对称轴交于点C，直线BC交抛物线于点D，过点E作FE∥x轴，交直线AB于点F，连接OD，CF，CF交x轴于点M．试判断OD与CF是否平行，并说明理由．14．如图1，已知直线l：y=﹣x+2与y轴交于点A，抛物线y=（x﹣1）2+k经过点A，其顶点为B，另一抛物线y=（x﹣h）2+2﹣h（h＞1）的顶点为D，两抛物线相交于点C．（1）求点B的坐标，并说明点D在直线l上的理由；（2）设交点C的横坐标为m．①交点C的纵坐标可以表示为：或，由此进一步探究m关于h的函数关系式；②如图2，若∠ACD=90°，求m的值．15．如图1，过点A（0，4）的圆的圆心坐标为C（2，0），B是第一象限圆弧上的一点，且BC ⊥AC，抛物线y=x2+bx+c经过C、B两点，与x轴的另一交点为D．（1）点B的坐标为（，），抛物线的表达式为；（2）如图2，求证：BD∥AC；（3）如图3，点Q为线段BC上一点，且AQ=5，直线AQ交⊙C于点P，求AP的长．16．如图①，若二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣2，0），B（3，0）两点，点A 关于正比例函数y=x的图象的对称点为C．（1）求b、c的值；（2）证明：点C在所求的二次函数的图象上；（3）如图②，过点B作DB⊥x轴交正比例函数y=x的图象于点D，连结AC，交正比例函数y=x的图象于点E，连结AD、CD．如果动点P从点A沿线段AD方向以每秒2个单位的速度向点D运动，同时动点Q从点D沿线段DC方向以每秒1个单位的速度向点C运动．当其中一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，连结PQ、QE、PE．设运动时间为t秒，是否存在某一时刻，使PE平分∠APQ，同时QE平分∠PQC？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．17．如图，抛物线y=﹣x2+4与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点P是抛物线上的一个动点且在第一象限，过点P作x轴的垂线，垂足为D，交直线BC于点E．（1）求点A、B、C的坐标和直线BC的解析式；（2）求△ODE面积的最大值及相应的点E的坐标；（3）是否存在以点P、O、D为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．18．如图，在直角坐标系xOy中，二次函数y=x2+（2k﹣1）x+k+1的图象与x轴相交于O、A 两点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B，使△AOB的面积等于6，求点B的坐标；（3）对于（2）中的点B，在此抛物线上是否存在点P，使∠POB=90°？若存在，求出点P的坐标，并求出△POB的面积；若不存在，请说明理由．19．已知二次函数y=a（x﹣m）2﹣a（x﹣m）（a，m为常数，且a≠0）．（1）求证：不论a与m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点．（2）设该函数的图象的顶点为C，与x轴交于A，B两点，与y轴交于D点．①当△ABC的面积为1时，求a的值．②当△ABC的面积与△ABD的面积相等时，求m的值．20．如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），B（1，0），C（0，﹣3）．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P为第三象限内抛物线上的一点，设△PAC的面积为S，求S的最大值并求出此时点P的坐标；（3）设抛物线的顶点为D，DE⊥x轴于点E，在y轴上是否存在点M，使得△ADM是直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．21．已知二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）（x1＜x2）两点，与y轴交于点C，x1，x2是方程x2+4x﹣5=0的两根．（1）若抛物线的顶点为D，求S△ABC：S△ACD的值；（2）若∠ADC=90°，求二次函数的解析式．22．已知抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0，a≠c）过点A（1，0），顶点为B，且抛物线不经过第三象限．（1）使用a、c表示b；（2）判断点B所在象限，并说明理由；（3）若直线y2=2x+m经过点B，且与该抛物线交于另一点C（），求当x≥1时y1的取值范围．23．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c经过点A（，0）和点B（1，），与x轴的另一个交点为C．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点D在对称轴的右侧，x轴上方的抛物线上，且∠BDA=∠DAC，求点D的坐标；（3）在（2）的条件下，连接BD，交抛物线对称轴于点E，连接AE．①判断四边形OAEB的形状，并说明理由；②点F是OB的中点，点M是直线BD的一个动点，且点M与点B不重合，当∠BMF=∠MFO时，请直接写出线段BM的长．24．已知抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（1，4），它与直线y2=x+1的一个交点的横坐标为2．（1）求抛物线的解析式；（2）在给出的坐标系中画出抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）及直线y2=x+1的图象，并根据图象，直接写出使得y1≥y2的x的取值范围；（3）设抛物线与x轴的右边交点为A，过点A作x轴的垂线，交直线y2=x+1于点B，点P在抛物线上，当S△PAB≤6时，求点P的横坐标x的取值范围．初中数学试卷。

2，1＋ 2)，
整合方法
(3)点 M 为直线 AB 下方抛物线上一点，点 N 为 y 轴上一点，当 △MAB 的面积最大时，求 MN＋12ON 的最小值．
解：设 M 坐标为m，12m2－32m－2，当 x＝m 时，直线 y＝12x－2
对应点的坐标为(m，12m－2)．
S△MAB＝12·12m－2－12m2－ 32m－2×4＝－m2＋4m ＝－(m－2)2＋4，∴当 m＝2 时，△MAB 的面积最大．
整合方法
∴M 的坐标为(2，－3)． 在第三象限作直线 OP，使∠BOP＝30°，在 OP 上取点 D，过点 D 作 DN⊥OP，交 y 轴于点 N，如图，则 DN＝12ON.当点 M，N， D 在一条直线上时，MN＋12ON 的值最小．
整合方法
作 ME⊥y 轴，交 y 轴于点 E，则 ME＝2. ∵∠MNE＝∠OND＝60°，∴sin60°＝M2N，MN＝43 3. ∴ME＝23 3，ON＝3－23 3.∴DN＝32－13 3， ∴MN＋12ON 的最小值为32＋ 3.
最低费用为31元．
探究培优
14．【中考·巴彦淖尔】工人师傅用一块长为12分米，宽 为8分米的矩形铁皮制作一个无盖长方体容器，需要 将四角各裁掉一个正方形．(厚度不计) (1)请在图中画出裁剪示意图，用实线表示裁剪线， 虚线表示折痕；并求当长方体底面面 积为32平方分米时，裁掉的正方形边 长是多少？
探究培优
解：如图所示．
解：设AB＝m米，则AD＝BC＝(100－2m)米， 根据题意得m(100－2m)＝450，解得m1＝5， m2＝45，当m＝5时，100－2m＝90＞20，不 合题意舍去；当m＝45时，100－2m＝10， 答：所利用旧墙AD的长为10米．

解决面积最大问题
1、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)何时有最大值或 最小值？
b 4ac b2 a>0 当x 时, 最小值为 2a 4a b 4ac b2 a<0 当x 时, 最大值为 2a 4a
2、如何求二次函数的最值？ 配方法 公式法 3、求下列函数的最大值或最小值： ①y=x2-4x+7 配方法 ②y=-5x2+8x-1最大
面积为多少？
A
D
E
B
K
F
C
练习：求y=－x2+4x+1的最值. （1）－3≤x≤0 （2）－1≤x≤3
1.用8m长的铝合金条制成一矩形窗框， 怎样设计，窗框的透光面积最大？
4-x
x
变式一：用长为8m的铝合金条制成如图形 状的矩形窗框，问窗框的宽和高各是多少 米时，窗户的透光面积最大？最大面积是 多少？
8 3x 2
变式二：用长为8米的铝合金制成如图窗框，一 边靠1.5cm的墙问窗框的宽和高各为多少米时， 窗户的透光面积最大？最大面积是多少？
8 x 2
x
例1、如图窗户边框的上部分是由4个全等扇形组成的 半圆，下部分是矩形。如果制作一个窗户边框的材料 的总长度为6米，那么如何设计这个窗户边框的尺寸， 才能使窗户的透光面积最大（ π 取3）？
如图，隧道横截面的下部是矩形，上部是半圆，周长为 16米。⑴求截面积S（米2）关于底部宽x（米）的函数解 析式，及自变量x的取值范围？⑵试问：当底部宽x为几米 时，隧道的截面积S最大（ π取3 ）？ 解：（1）∵隧道的底部宽为x米，
y
1、图中所示的二次函数解 析式为：y=2x2+8x+13
(-4,13)

【答案】123；5
9．【中考·云南】某驻村扶贫小组实施产业扶贫，帮 助贫困农户进行西瓜种植和销售．已知西瓜的成 本为6元/千克，规定销售单价不低于成本，又不 高于成本的两倍．经过市场调查发现，某天西瓜 的销售量y(千克)与销售单价 x(元/千克)的函数关系如图所示．
(1)求y与x的函数表达式；
解：当 6≤x≤10 时，设 y 与 x 的函数表达式为 y＝kx＋b(k≠0)．根 据题意，得120000＝0＝106kk＋＋bb，，解得kb＝ ＝－ 2 220000.， ∴y＝－200x＋2 200. 当 10＜x≤12 时，y＝200.故 y 与 x 的函 数表达式为 y＝－ 2002（00x1＋ 0＜2x2≤0102（）6.≤x≤10），
12x＋8≤－x＋14，解得 x≤4.又 2≤x≤10，∴2≤x≤4.
②求厂家每天获得的利润y(百元)与销售价格x的函数关系式．
解：由①可知，当 2≤x≤4 时，y＝(x－2)p＝(x－2)·12x＋8＝12x2＋ 7x－16；当 4＜x≤10 时，y＝(x－2)q－2(p－q) ＝(x－2)(－x＋14)－2[12x＋8－(－x＋14)]
8．【中考·随州】某食品厂生产一种半成品食材，成 本为 2 元/千克，每天的产量 p(百千克)与销售价
格 x(元/千克)满足函数关系式 p＝12x＋8.从市场反 馈的信息发现，该半成品食材每天的市场需求量 q(百千克)与销售价格 x(元/千克)满足一次函数关 系，部分数据如下表：
已知按物价部门规定，销售价格x不低于2元/千克且不 高于10元/千克． (1)直接写出q与x的函数关系式，并注明自变量x的取值
当 4＜x≤10 时，y＝－x2＋13x－16＝－x－1232＋1045，∵－1＜0，123 ＞4，∴x＝123时 y 有最大值1405.∵20＜1405，∴当 x 为123元/千克时， 利润 y 有最大值．要使每天的利润不低于 24 百元，则当 2≤x≤4 时， 显然不符合．故 y＝－x－1232＋1045≥24，解得 5≤x≤8.∵尽可能减少 半成品食材的浪费，∴x 应定为 5 元/千克．