古典概型2

古典概型(2)一、知识点剖析1、古典概型的定义与特点 掌握要点：古典概型的两个特征:(1)一次试验中，可能出现的结果只有有限个，即有限性；(2)试验中每个基本事件发生的可能性是均等的，即等可能性.在古典概型中，P (A )=试验的基本事件数包含的基本事件数事件A易混易错：要套用古典概型的概率计算公式，首先要确定好基本事件总数。

强调在用古典概型计算概率时，必须要验证所构造的基本事件是否满足古典概型的第二个条件（每个结果出现是等可能的），否则计算出的概率将是错误的.另外如果计算中有重复现象，应注意除掉重复部分.在求事件A 包含的基本事件个数时如果情况不同应注意分类讨论. 2、用排列和组合解决古典概型问题 掌握要点：从n 个不同的元素中取出m(m ≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同的元素中取出m 个元素的排列。

一般地，从n 个不同元素中取出m （m ≤n ）个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合。

易混易错：共同点: 都要“从n 个不同元素中任取m 个元素” 不同点: 排列与元素的顺序有关， 而组合则与元素的顺序无关.构造排列分成两步完成，先取后排；而构造组合就是其中一个步骤. 3、有些抽样问题存在放回和不放回的区别 掌握要点： 分类计数原理完成一件事，有n 类办法. 在第1类办法中有m 1种不同的方法，在第2类方法中有m 2种不同的方法，……，在第n 类方法中有m n 种不同的方法，则完成这件事共有n m m m N ++=21分步计数原理完成一件事，需要分成n 个步骤。

做第1步有m 1种不同的方法，做第2步有m 2种不同的方法， ……，做第n 步有m n 种不同的方法，则完成这件事共有n m m m N ∙∙∙= 21 易混易错：有放回抽样与无放回抽样都属等可能事件. 对于具体问题，不知用分步还是分类二、典型题型剖析1、古典概型的定义与特点 方法归纳：在古典概型中，P (A )=试验的基本事件总数包含的基本事件数事件A例题：例1、将骰子先后抛掷2次，计算： （1）一共有多少种不同的结果？（2）其中向上的数之和是5的结果有多少种？ （3）向上的数之和是5的概率是多少？主要过程：有些等可能事件的概率问题中，有时在求m 时，不采取分析的方法，而是结合图形采取枚举的方法，即数出事件A 发生的结果数，当n 较小时，这种求事件概率的方法是常用的.将抛掷2次的所有结果数一一列举出来，如下表所示由上表可知，将骰子先后抛掷2次，一共有36种不同的结果，其中向上的数之和是5的结果有（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）共4种，由于骰子是均匀的，将它抛掷2次的所有36种结果是等可能出现的，故向上的数之和是5的概率是.例2、甲、乙两个均匀的正方体玩具，各个面上分别刻有1，2，3，4，5，6六个数字，将这两个玩具同时掷一次.（1）若甲上的数字为十位数，乙上的数字为个位数，问可以组成多少个不同的数，其中个位数字与十位数字均相同的数字的概率是多少? （2）两个玩具的数字之和共有多少种不同结果?其中数字之和为12的有多少种情况?数字之和为6的共有多少种情况?分别计算这两种情况的概率. 主要过程：（1）甲有6种不同的结果，乙也有6种不同的结果，故基本事件总数为6×6=36其中十位数字共有6种不同的结果，若十位数字与个位数字相同，十位数字确定后，个位数字也即确定.故共有6×1=6种不同的结果，即概率为61366 .10，11，12共11种不同结果.从中可以看出，出现2的只有一种情况，而出现12的也只有一种情况，它们的概率均为361，因为只有甲、乙均为1或均为6时才有此结果. 出现数字之和为6的共有（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1）五种情况，所以其概率为365. 强调内容：（1）判断一个试验是否是古典概型，要把握两个特征:(1)一次试验中，可能出现的结果只有有限个，即有限性；(2)试验中每个基本事件发生的可能性是均等的，即等可能性.“等可能性”指的是结果，而不是事件. （2）“等可能性”指的是结果，而不是事件.（3）使用计算公式时，关键是准确写出试验的基本事件数. 2、利用排列组合解决古典概型问题 方法归纳：判断排列还是组合：有序用排列，无序用组合 例 题：例2、今有强弱不同的十支球队，若把它们分两组进行比赛，分别计算： （1）两个最强的队被分在不同组内的概率. （2）两个最强的队恰在同一组的概率. 解：将十支球队平均分成两组，因每支球队分到哪一组的可能性完全相同，所以是等可能性事件．所有基本事件个数为5510522C C A . （1）两个最强的队被分在不同组记为事件A ，则A 中含有基本事件数为44284222C C A A ，故两支最强的队被分在不同组内的概率为：.C；故两个最强的队（2）两个最强的队恰在同一组记为事件B，则B中含有基本事件数为38恰在同一组内的概率为：强调内容：（1）什么时候用排列什么时候用组合：事件结果有顺序时用排列，无顺序时用组合（2）公式的运用3、放回与不放回求概率问题方法归纳：求概率时放回的用分步计数原理，不放回的采用排列组合来解决。

古典概型（2）一、课前练习：1、从1~20中任取一个数，它恰好是3的倍数的概率是。

2、从长度为1、3、5、7、9的5条线段中，任取三条，能构成三角形的概率是。

3、将一枚均匀的硬币先后抛三次，恰好出现一次正面的概率为。

【问题1】你是用什么方法解决以上3个问题的？【问题2】以上3个问题的共同特征是什么？二、数学应用例1、将一颗骰子先后抛掷两次，观察向上的点数（1）共有多少种不同的结果？（2）两数的和是3的倍数的结果有多少种？（3）两数和是3的倍数的概率是多少？【问题3】你能直观地表示出两次抛掷同骰子向上的点数吗？【问题4】用古典概型解题的一般步骤怎样？例2、用4种不同的颜色给右图中的3个矩形随机的涂色，每个矩形只涂一种颜色，求(1)3个矩形颜色都相同的概率；(2)3个矩形颜色都不同的概率．【问题5】若4种不同的颜色记分别为A、B、C、D，能直观地表示出给图中的3个矩形随机地涂色情况吗？例3、一个各面都涂有色彩的正方体，被锯成1000个同样大小的小正方体，将这些正方体混合后，从中任取一个小正方体，求：⑴有一面涂有色彩的概率；⑵有两面涂有色彩的概率；⑶有三面涂有色彩的概率.【问题6】若被锯成9个同样大小的小正方体，则这9个小正方体中，只有一面涂有色彩的有几个？两面涂有色彩的有几个？三面涂有色彩的有几个？【问题7】1000个同样大小的小正方体中，只有一面涂有色彩的有几个？两面涂有色彩的有几个？三面涂有色彩的有几个？例4、有甲、乙、丙三名同学分别写了一张新年贺卡然后放在一起，现在三人均从中抽取一张，（1）求这三位同学恰好都抽到别人贺卡的概率；（2）求这三位同学恰好都抽到自己写的贺卡的概率；【问题8】若条件改为四个人呢？三、课堂小结1、有哪些方法列举古典概型中的基本事件？2、古典概型解题的一般步骤怎样？【课时作业】1、将一骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为 .（结果用最简分数表示）2、先后抛掷两枚均匀的正方体骰子（它们的六个面分别标有1，2，3，4，5，6）， 骰子朝上的面的点数分别为y x ,，则使1log 2=y x 的概率为3、现有5根竹竿，它们的长度（单位：m ）分别为9.28.27.26.25.2，，，，，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差m 3.0的概率为4、同时抛掷两个骰子，①向上的点数相同的概率为 ；②向上的点数之积为偶数的概率为 。

3.2.2古典概型2一、学习目标1、知识与技能：（1）正确理解古典概型的两大特点：（2）掌握古典概型的概率计算公式：2、过程与方法：通过对现实生活中具体的概率问题的探究，感知应用数学解决问题的方法，体会数学知识与现实世界的联系，培养逻辑推理能力.3、情感态度与价值观：体会理论来源于实践并应用于实践的辩证唯物主义观点.二、学习重难点重点:正确理解掌握古典概型及其概率公式.难点：会解决实际问题三、学法指导1．认真阅读教材128—130页。

会判断是否满足古典概型。

2．小班完成任务100%，重点班完成90%，平行班完成75%。

四、知识链接1、古典概型的两个基本特征是和。

2、古典概型的计算公式：。

3、基本事件的特点：五、学习过程【A】例1假设储蓄卡的密码由4个数字组成，每个数字可以是0，1，2，…，9十个数字中的任意一个，假设一个人完全忘记了自己的储蓄卡密码，问他到自动取款机上随机试一次密码就能取到钱的概率是多少？【A】例2某种饮料每箱装6听，如果其中有2听不合格，质检人员依次不放回从某箱中随机抽出2听，求检测出不合格产品的概率.【A 】例3天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率为40﹪,求这三天中恰有两天下雨的概率大概是多少？解：①你认为这道题能用古典概型的概率计算公式来求么？②用计算机和计算器产生随机数（看书上130～131页）③对于上述实验，如果亲手做大量重复实验的话，花费的时间太多，因此利用计算机或计算器做随机模拟实验可以大大节省时间。

请通过设计随机模拟实验的方法来解决问题。

B 例4 从含有两件正品a 1，a 2和一件次品b 1的三件产品中，每次任取一件，①每次取出后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率。

②每次取出后放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率。

六、达标训练【A 】1、先后抛掷3枚均匀硬币，事件A=“出现两枚正面，一枚反面”，B=“至少出现一枚正面”，则事件A,B 的概率为( )A 83 , 81B 32 87C 83,87D 31,97【A 】2、从分别写有A 、B 、C 、D 、E 的5张卡片中，任取2张，这2张卡片上的字母恰好是按字母顺序相邻的概率为（ ） A.51 B.52 C.103 D.107【A 】3、某国际科研合作项目由两个美国人，一个法国人和一个中国人共同开发完成，现随机选出两个人作为成果发布人，现选出的两人中有中国人的概率为（ ） A 41 B.21 C.31 D.1【A 】4、四位顾客将各自的帽子随意放在衣帽架上，然后，每人随意取走一顶帽子，则四人拿走的都是自己的帽子的概率为【A 】5、从含有两件正品a,b 和一件次品c 的三件产品中任取2件，求取出的两件中恰好有一件次品的概率。

§3.2.1 古典概型（二）通过典型例题，较为深入地理解古典概型及其概率计算公式，会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率.重点: 理解基本事件的概念、理解古典概型及其概率计算公式..学法指导1、对于条件中含有“至少”等字眼的古典概型，它包含的互斥事件或基本事件的个数往往较多，计数比较麻烦，这时，可考虑其对立事件，减少计算量；2、灵活构造等概样本空间，简化运算；随机事件，基本事件，对立事件，互斥事件和概率加法公式【例题讲评】例1一盒中装有质地相同的各色球12只，其中5红、4黑、2白、1绿，从中取1球。

求：（1）取出球的颜色是红或黑的概率；（2）取出球的颜色是红或黑或白的概率.例2某种饮料每箱装6听，如果其中有2听不合格，质检人员依次不放回从某箱中随机抽出2听，求检测出不合格产品的概率.例3 从含有两件正品a1，a2和一件次品b1的三件产品中，每次任取一件，每次取出后不放回，连续取两次，求下列两个事件的概率：（1）事件A：取出的两件产品都是正品；（2）事件B：取出的两件产品中恰有一件次品。

变形：从含有两件正品a1，a2和一件次品b1的三件产品中，一次取两件，求下列两个事件的概率：（1）事件A：取出的两件产品都是正品；（2）事件B：取出的两件产品中恰有一件次品。

例4掷一颗骰子，观察掷出的点数，求掷得奇数点的概率。

解法一分析：掷骰子有6个基本事件，具有有限性和等可能性，因此是古典概型。

解法二分析：也可以把试验的所有可能结果取为{点数是奇数}和{点数为偶数}两个样本事件，它们互为对立事件，并且组成等概样本空间。

变形：一次掷两颗骰子，观察掷出的点数，求掷得点数和是奇数的概率。

例5现有一批产品共有10件，其中8件为正品，2件为次品：（1）如果从中取出一件，然后放回，再取一件，求连续3次取出的都是正品的概率；（2）如果从中一次取3件，求3件都是正品的概率．分析：（1）为返回抽样；（2）为不返回抽样．小结：关于不放回抽样，计算基本事件个数时，既可以看作是有顺序的，也可以看作是无顺序的，其结果是一样的，但不论选择哪一种方式，观察的角度必须一致，否则会导致错误．例6 盒中有6只灯泡，其中2只次品，4只正品，有放回地从中任取两次，每次取一只，试求下列事件的概率：（1）取到的2只都是次品；（2）取到的2只中正品、次品各一个；（3）取到的2只中至少有一只次品。

§3.2.1古典概型(二)撰稿人：高一数学组姓名：班级：【基础回顾】1．基本事件有哪些特征？2．如何判断一个试验是否是古典概型？3．古典概型的概率公式是什么？【典型例题】类型1.有序与无序问题例1从含有两件正品a1，a2和一件次品b的三件产品中，每次任取一件．(1)若每次取后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率．(2)若每次取后放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率．[变式训练]一个袋中装有四个形状、大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.(1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n＜m＋2的概率．类型2.数字型例2．某城市的电话号码是8位数，如果从电话号码本中任取一个电话号码，求：(1)头两位数字都是8的概率；(2)头两位数字都不超过8的概率．[变式训练]储蓄卡的密码是一种六位数字号码，每位上的数字可以从0到9这10个数字中任取．(1)如果某人拾到储蓄卡一张，随意按下六位号码正好按对密码的概率是多少？(2)若某人未记准储蓄卡密码的后两位数字，随机按下两位数字正好按对密码的概率是多少？类型3.概率与统计的综合问题例3.某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查．(1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目；(2)若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析，①列出所有可能的抽取结果；②求抽取的2所学校均为小学的概率．[变式训练]编号分别为A1，A2，…，A16的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下：(1)(2)从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取2人，①用运动员编号列出所有可能的抽取结果；②求这2人得分之和大于50的概率．类型四.古典概型与方程相结合问题例4.设关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0，若a是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．【课后作业】1．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a ，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b ，其中a ，b ∈{}1，2，3，4，5，6，若a ＝b 或a ＝b －1，就称甲、乙“心有灵犀”，现在任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为( )A.736B.14C.1136D.5122.从分别写有A 、B 、C 、D 、E 的5张卡片中任取2张，这2张卡片上的字母恰好是按字母顺序相邻的概率为( )A.15B.25C.310D.7103．从分别写有数字1,2,3，…，9的9张卡片中，任意取出两张，观察上面的数字，则两数之积是完全平方数的概率为( )A.19B.29C.13D.594．袋中有大小相同的黄、红、白球各一个，每次任取一个，有放回地取3次，则89是下列哪个事件的概率( )A ．颜色全B ．颜色不全C ．颜色全不同D ．无红球5．有一个表面都涂有红颜色的正方体，被均匀地锯成了27个小正方体，将这些小正方体混合后，放入一个口袋，现从口袋中任意取出一个正方体，恰有两个面涂有红色的概率是________．6．如图所示，a ，b ，c ，d ，e 是处于断开状态的开关，任意闭合其中的两个，则电路接通的概率是________．7．随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高(单位： cm)，获得身高数据的茎叶图如下所示.(1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；(2)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173 cm 的同学，求身高为176 cm 的同学被抽中的概率．。

第4课时 古典概型(2)|知识技能1. 进一步掌握古典概型的概率计算公式．2. 会求“不放回抽取”“有放回抽取”古典概型的概率． 思想方法通过对古典概型问题的探究，熟练掌握列举法、列表法、树状图法等计算样本点的方法，体会数学知识与现实世界的联系，增强逻辑分析能力．核心素养1. 通过对古典概型问题中样本空间和随机事件包含样本点的分析，发展逻辑推理素养．2. 在用古典概型的概率公式计算概率的过程中，发展数学运算素养．重点：古典概型概率公式的运用． 难点：准确找出所有的样本点．问题导引1. 古典概型的两个特征是什么？古典概型的概率计算公式是什么？2. “从盒子中一次取出两个球，观察这两个球的颜色”与“从盒子中取出一个球放回，再取出一个球，观察这两个球的颜色”是一回事吗？即时体验1. 计算样本点个数的方法有列举法、列表法、树状图法.2. 从1, 2, 3, 4这四个数字中，任取两个数字，取出数字之和为偶数的概率是13.3. 袋中装有红色球、白色球各1个，每次任取1个，有放回地抽取三次，所有的样本点个数是8.提示 从装有红、白两球的袋中有放回地取出1个球，所有取法如下：共有8个样本点．[1] 通过本例较复杂概率的计算，进一步巩固古典概型概率公式的运用.一、数学运用同时抛掷两枚骰子，观察向上的点数，求：(1) 点数之和为7的概率；(2) 出现两个1点的概率；(3) 点数之和能被5整除的概率．[1](见学生用书课堂本P123)[处理建议]先利用“有序实数对”列出所有的样本点，然后从中找到所求各事件包含的样本点，从而根据古典概型算出各事件发生的概率．[规范板书]解第一枚骰子向上的点数有6种可能的结果，对每一种结果，第二枚又都有6种可能的结果，于是一共有6×6＝36种不同的可能结果．样本点(1, 2)表示“第一枚骰子向上的点数为1，第二枚骰子向上的点数为2”(其他类推)，则样本空间Ω＝{(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6)，(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6)，(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6)，(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6)，(5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6)，(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}．如图，从图中容易看出样本点与所描点一一对应，共36个．(例1)(1) 设事件A＝“同时抛掷两枚骰子，点数之和为7”，从图中可以看出，A＝{(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)}，由古典概型可知P(A)＝636＝16.(2) 设事件B＝“同时抛掷两枚骰子，出现两个1点”，从图中可以看出，B＝{(1, 1)}，由古典概型可知P(B)＝1 36.(3) 设事件C＝“同时抛掷两枚骰子，点数之和能被5整除”，从图中可以看出，C＝{(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1), (4, 6), (5, 5), (6, 4)}，由古典概型可知P(C)＝736.[题后反思](1)在抛掷两枚骰子的问题中，样本空间总数为36，可以借助坐标系(或表格)来计算所求事件包含的样本点个数，这样更直观，不易出错；(2)本题是两个点数之和，也可以变成两个点数之积、两个点数之差，使问题的背景类似，但对不同问题要作不同分析．在两个袋内，分别装着写有0, 1, 2, 3, 4, 5六个数字的6张卡片，从每个袋中各任取一张卡片，求：(1)两张卡片上数字之和等于7的概率；(2)两张卡片上数字之积能被3整除的概率．[规范板书]解(1) 试验结果如表所示：等于7”含有4个样本点，所以所求事件的概率为436＝19.(2) 试验结果如表所示：能被3整除”含有20个样本点，所以所求事件的概率为2036＝59.[2] 较复杂概型的计算．[3] 了解不同抽样方法(不放回、放回)对样本空间及随机事件发生的概率的影响.用3种不同的颜色给下图中的3个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，求：(1) 3个矩形颜色都相同的概率；(2) 3个矩形颜色都不相同的概率．[2](见学生用书课堂本P123)[处理建议]考虑画树状图，不重不漏地列出所有可能的情况．[规范板书]解假设三种颜色分别为黑、白、灰，画图列出各种情况如下，则样本空间中共包含27个样本点．(1) 设事件A ＝“3个矩形涂同一种颜色”，由上图可以知道事件A 包含的样本点有1×3＝3个，故P (A )＝327＝19.(2) 设事件B ＝“3个矩形颜色都不同”，由上图可以知道事件B 包含的样本点有2×3＝6个，故P (B )＝627＝29.因此，3个矩形颜色都相同的概率为19， 3个矩形颜色都不同的概率为29. [题后反思] 题目条件中的“随机”的意思是每个小矩形被涂三种颜色中的任意一种颜色的可能性是相同的．本题亦可以用列举法来表示，记三种不同的颜色分别为1, 2, 3，样本点(1, 1, 2)表示“第一个矩形涂1号色，第二个矩形涂1号色，第三个矩形涂2号色”(其他类推)．甲、乙、丙3人站成一排合影留念，求甲、乙两人恰好相邻的概率．[规范板书] 解 甲、乙、丙3人站成一排，样本空间为Ω＝{(甲，乙，丙)，(甲，丙，乙)，(乙，甲，丙)，(乙，丙，甲)，(丙，甲，乙)，(丙，乙，甲)}， 共有6个样本点，这6个样本点都是等可能的．设事件A ＝“甲、乙两人相邻”，则A ＝{(甲，乙，丙)，(乙，甲，丙)，(丙，甲，乙)，(丙，乙，甲)}，根据古典概型可知P (A )＝46＝23，即甲、乙两人恰好相邻的概率为23.[题后反思]列举样本点时，要按照顺序列出，确保不重不漏.小李在做一份调查问卷，共有5道题，其中有两种题型，一种是选择题，共3道，另一种是填空题，共2道．(1) 小李从中任选2道题解答，每一次选1题(不放回)，求所选的题不是同一种题型的概率；(2) 小李从中任选2道题解答，每一次选1题(有放回)，求所选的题不是同一种题型的概率．[3](见学生用书课堂本P124)[处理建议]认真分析题意，弄清是何种抽样方式，再看是否符合等可能性，最后运用古典概型的概率公式计算．[规范板书]解将三道选择题依次编号为1, 2, 3，两道填空题依次编号为4, 5.(1) 从5道题中任选2道题解答，每一次选1题(不放回)，则样本空间Ω1＝{(1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 1), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (3, 1), (3, 2), (3, 4), (3, 5), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 5), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4)}，共20个样本点，而且这些样本点发生的可能性是相等的．设事件A＝“每一次选1题(不放回)，所选的题不是同一种题型”，则A＝{(1, 4), (1, 5), (2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (5, 1), (5, 2), (5, 3)}，包含12个样本点，所以P(A)＝1220＝35.(2) 从5道题中任选2道题解答，每一次选1题(有放回)，则样本空间Ω2＝{(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5)}，共25个样本点，而且这些样本点发生的可能性是相等的．设事件B＝“每一次选1题(有放回)，所选的题不是同一种题型”，则B＝{(1, 4), (1, 5), (2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (5, 1), (5, 2), (5, 3)}，包含12个样本点，所以P(B)＝12 25.[题后反思](1)“不放回抽取”的特点是元素不能重复，“有放回抽取”的特点是元素允许重复．一定要认真审题，弄清题目是有放回抽取还是不放回抽取．抽样方法不同，则样本空间不同，某个事件发生的概率也可能不同．(2)关于不放回抽取，计算样本点个数时，既可以看作是有顺序的，也可以看作是无顺序的，其计算概率的结果是一样的，但无论选择哪一种方式，观察的角度必须一致，否则会导致错误．[4] 对抛掷骰子试验，通过不同的角度巩固对古典概型概率公式的运用.现有一批产品共10件，其中8件为正品，2件为次品．(1) 若有放回地取件，求连续3次取出的都是正品的概率；(2) 若从中一次取3件，求3件都是正品的概率．[处理建议](1)为有放回抽样，(2)为不放回抽样．[规范板书]解(1) 有放回地抽取3次，按抽取顺序(x, y, z)记录结果，则x, y, z都有10种可能，所以试验结果有10×10×10＝103种，即样本空间共有样本点103个．设事件A＝“连续3次取出的都是正品”，易知A包含的样本点共有8×8×8＝83个，因此，P(A)＝83103＝0.512.(2) (方法一)可以看作不放回抽样3次，顺序不同，则基本事件不同．按抽取顺序记录(x, y, z)，则x有10种可能，y有9种可能，z有8种可能，所以试验的样本点共有10×9×8＝720个．设事件B＝“3件都是正品”，则B包含的样本点共有8×7×6＝336个，所以P(B)＝336720≈0.467.(方法二)可以看作不放回地3次无顺序抽样，先按抽取顺序(x, y, z)记录结果，则x有10种可能，y有9种可能，z有8种可能，但(x, y, z), (x, z, y), (y, x, z), (y, z, x), (z, x, y), (z, y, x)是相同的，所以试验的所有结果有10×9×8÷6＝120，按同样的方法，事件B包含的样本点个数为8×7×6÷6＝56，因此P(B)＝56120≈0.467.*抛掷两枚骰子，得两个点数，大数减小数的差为d, 是否有一个差比其他差更可能出现？[4][处理建议]用列表法直观地列出各个差出现的样本点．[规范板书]解抛掷两枚骰子，一共有36种可能的点数，即36个样本点，样本空间可表示为Ω＝{(i, j)|i＝1, …，6; j＝1, …，6}．下表给出大数减小数的差d＝k(k＝0, 1, 2, …，5)时事件所包含的样本点及其个数．P(d＝0)＝636＝16，P(d＝1)＝1036＝518，P(d＝2)＝836＝29，P(d＝3)＝636＝16，P(d＝4)＝436＝19，P(d＝5)＝236＝118.其中d＝1出现的概率最大，d＝5出现的概率最小．[题后反思]运用古典概型解决问题，首先要先判断试验是否为古典概型．对于比较复杂的问题可以考虑用列表法或树状图法直观观察．二、课堂练习1. 根据人口普查统计，育龄妇女生男生女是近似等可能的．如果允许生育二胎，那么某一育龄妇女两胎(不考虑双胞胎或多胞胎的情况)均是女孩的概率是14.提示两胎的情况共有4种，故两胎均是女孩的概率为1 4.2. 从集合A＝{1, 3, 5, 7, 9}和集合B＝{2, 4, 6, 8}中各取一个数，这两个数之和能被3整除的概率为(D)A. 13 B.110C. 320 D.7203. 两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是(D)A. 16 B.14C. 13 D.12提示设两位男同学分别为A, B，两位女同学分别为a, b，用树状图表示四位同学排成一列所有可能的结果如图所示．由图知，共有24个样本点，其中事件“两位女同学相邻”的样本点(画“√”的情况)共有12个，故所求概率为1224＝12.4. 分别在集合A＝{1, 2, 3, 4}和集合B＝{5, 6, 7, 8}中各取一个数．(1) 求其和为偶数的概率；(2) 求其积为偶数的概率．解因为对于A中数的每一种取法，对应对B中的数都有4种取法，故样本空间中的样本点的个数为4×4＝16，并且所有这些取法都是等可能的．(1) 若和为偶数，则所取两数必须都是奇数或都是偶数，故事件“其和为偶数”＝{(1, 5), (1, 7), (3, 5), (3, 7), (2, 6), (2, 8), (4, 6), (4, 8)}，包含8个样本点，所求概率为816＝1 2.(2) 若积为偶数，则只要其中有一个数是偶数即可，故事件“其积为偶数”＝{(1, 6), (1, 8), (2, 5), (2, 6), (2, 7), (2, 8), (3, 6), (3, 8), (4, 5), (4, 6), (4, 7), (4, 8)}，包含12个样本点，故所求概率为1216＝34.三、课堂小结1. 古典概型的特征：一是样本点的有限性；二是样本点的等可能性．2. 解决古典概型问题的操作步骤：(1) 明确样本空间；(2) 明确所有样本点是否是等可能发生的；(3) 确定所有样本点的个数n；(4) 确定事件A包含样本点的个数m；(5) 计算事件A的概率m n.3. 求样本空间中样本点的个数n及事件A包含的样本点的个数m，常用列举法、列表法、树状图法．4. 注意不同抽样方法(不放回、放回)对样本空间及随机事件发生的概率的影响.。