第1章数制与码制讲义

按权展开法：
例如：(11010.101)2=1×24+1×23+0×22+1×21+0×20 +1×2-1+0×2-2+1×2-3
=16+8+2+0.5+0.125 =(26.625)10 十进制数转换成二进制数时，将待转换的数分成整数部
分和小数部分，并分别加以转换。一个十进制数可写成： (N)10=(整数部分)10 . (小数部分)10 转换时，首先将(整数部分)10转换成(整数部分)2； 然
具体转化法：
2 58
2 29
2 14
27
23
21
0
k0=0 k1=1 k2=0 k3=1 k4=1 k5=1
632.45 = 6x102+3x101+2x100+4x10-1+5x10-2 一般说来，对于任意一个十进制数N，可用位置
计数表示如下： （N）10=( kn-1kn-2 … k1k0 .k-1k-2 … k-m ）10
按权展开
的表示法：
(N)10=kn-1×10n-1+kn-2×10n-2+ … k1×101+k0 ×100 + K1 ×10-1 … K-m ×10-m
十进制数的表示
原则上说，一个数可以用任何一种进位计数制来 表示和运算，但不同数制其运算方法及难易程度 互不相同。选择什么样的进位计数制来表示数， 对数字系统的性能影响很大。例如：
632.45 = 6x102+3x101+2x100+4x10-1+5x10-2 一般说来，对于任意一个十进制数N，可用位置
=∑ki×10i (i=-m ∼ n-1） 1.1.2 二进制数的表示

其结果为4D5E.6FH＝100110101011110.01101111B。
1.2
二进制数的运算
1.2.1二进制数的算术运算
二进制数不仅物理上容易实现，而且算术运算
也比较简单，其加、减法遵循“逢2进1”、“借1当2” 的原则。 以下通过4个例子说明二进制数的加、减、乘、 除运算过程。
1. 二进制加法
续2
2. 二进制减法
1位二进制数减法规则为: 1－0＝1 1－1＝0 0－0＝0 0－1＝1 例2: 求10101010B－10101B。 解: 被减数 10101010 (有借位)
减数
借位 －) 差
10101
00101010 10010101
则10101010B－10101B＝10010101B。
它代表计数制中所用到的数码个数。
如：二进制计数中用到0和1两个数码； 八进制计数中用到0～7共八个数码。 一般地说，基数为R的计数制(简称R进制)中，包 含0、1、…、R-1个数码，进位规律为“逢R进1”。
续1
(2)位权W(Weight):
进位计数制中,某个数位的值是由这一位的数码值 乘以处在这一位的固定常数决定的,通常把这一固定常数 称之为位权值,简称位权。各位的位权是以R为底的幂。 如：十进制数基数R=10，则个位、十位、百位上的位
2D07.AH＝2×163＋13×162＋0×161＋7×160
＋10×16-1
＝8192＋3328＋7＋0.625＝11527.625
续2
2.十进制数转换为二、八、十六进制数
任一十进制数N转换成q进制数，先将整数部分与 小数部分分为两部分，并分别进行转换，然后再用小数 点将这两部分连接起来。
1)整数部分转换

*微机组成：CPU、MEM、I/O微机的基本结构微机原理(一)：第一章数制和码制§1.1 数制(解决如何表示数值的问题)一、数制表示1、十进制数表达式为：A ＝∑-=•110 nmi iAi如：（34.6）10＝ 3×101 + 4×100 + 6×10-1 2、X进制数表达式为：B ＝∑-=•1 NM iiX Bi如：（11.01）2＝ 1×21 + 1×20 + 0×2-1+ 1×2-2（34.65）16＝ 3×161 + 4×160 + 6×16-1+ 5×16-2X进制要点：X为基数，逢X进1，X i为权重。

（X个数字符号：0，1，…，X-1）区分符号：D-decimal (0-9)，通常D可略去，B-binary (0-1)，Q-octal (0-7)，H-hexadecimal (0-9, A-F)常用数字对应关系：D: 0， 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9， 10， 11，12， 13，14，15B：0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111H: 0， 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9， A， B， C， D， E， F二、数制转换1、X →十方法：按权展开，逐项累加。

如： 34.6 Q＝ 3×81 + 4×80 + 6×8-1 = 24 + 4 + 0.75 = 28.75 D2、十→X即：A十进制＝B X进制令整数相等，即得：A整数＝（B N-1·X N-1 + … + B1·X1）+ B0·X0此式一次除以X可得余数B0，再次除以X可得B1，…，如此直至得到B N-1令小数相等，即得：A小数＝B-1·X-1 +（B-2·X-2 + … + B-M·X-M）此式一次乘X可得整数B-1，再次乘X可得B-2，…，如此直至得到B-M.归纳即得转换方法：除X取余，乘X取整。

0 1 0 ∴ (35.85)10≈(100011.110)2 K3 K5 K4
1
0 K2
0 K1
1 K0
得：（81）10 =（1010001）2（第一章-19） ：（81） 1010001） 81
各数位的权是16的幂
（第一章-13）
7. 结论
① 一般地，N进制需要用到N个数码，基数是N；运算规律 N N N 为逢N进一。 N ② 如果一个N进制数M包含ｎ位整数和ｍ位小数，即 N M (M)N=(an-1 an-2 … a1 a0 a－1 a－2 … a－m)N 则该数的权展开式为： (M)N＝an-1×Nn-1＋an-2×Nn-2＋…＋a1×N1＋a0 ×N0＋ ＋ a－1×N-1＋a－2×N-2＋…＋a－m×N-m ＋ ③ 由权展开式很容易将一个N进制数转换为十进制数。 N
（第一章-10）
4.二进制 4.二进制【Binary Numbers】 二进制
数码为： 、 ；基数是2 数码为：0、1；基数是 【Base-2】 。 】 运算规律：逢二进一， 运算规律：逢二进一，即：1＋1＝10。 ＋ ＝ 。 二进制数的权展开式： 二进制数的权展开式： 如：(101.01)2＝ 1×22 ＋0×21＋1×20＋0×2－1＋1 ×2－2 ＝ × × × × (5.25)10
（第一章-18）
保留三位小数。 例：(35.85)10=(?)2 ，保留三位小数。 解：整数部分： 整数部分： 小数部分： 小数部分：
2 35 0.85×2＝1.7 ……… 1 高位 2 17 ………1 低位 0.7 ×2＝1.4 ……… 1 2 8 ………1 ：（81） ………0 例：（ ）10=（？）2 2 4 （？） 0.4 ×2＝0.8 ……… 0 低位 2 2 ………0 ÷2 ÷2 ÷2 ÷2∵题目要求只保留三位小数 ÷2 ÷2 ÷2 ………0 2 0 1 5 10 20 40 81 2 1 0 ………1 高位 ∴不再继续连乘取整了。 不再继续连乘取整了。