§3.11 抽样定理

实验一 抽样定理实验一、实验目的1、了解抽样定理在通信系统中的重要性2、掌握自然抽样及平顶抽样的实现方法3、理解低通采样定理的原理4、理解实际的抽样系统5、理解低通滤波器的幅频特性对抽样信号恢复的影响6、理解低通滤波器的相频特性对抽样信号恢复的影响7、理解平顶抽样产生孔径失真的原理8、理解带通采样定理的原理二、实验内容1、验证低通采样定理原理2、验证低通滤波器幅频特性对抽样信号恢复的影响3、验证低通滤波器相频特性对抽样信号恢复的影响4、验证带通抽样定理原理5、验证孔径失真的原理三、实验原理抽样定理原理：一个频带限制在（0，H f ）内的时间连续信号()m t ，如果以T ≤H f 21秒的间隔对它进行等间隔抽样，则()m t 将被所得到的抽样值完全确定。

（具体可参考《信号与系统》）我们这样开展抽样定理实验：信号源产生的被抽样信号和抽样脉冲经抽样/保持电路输出抽样信号，抽样信号经过滤波器之后恢复出被抽样信号。

抽样定理实验的原理框图如下：抽样/保持被抽样信号抽样脉冲低通滤波器抽样恢复信号图1抽样定理实验原理框图抽样/保持被抽样信号抽样脉冲低通滤波器抽样恢复信号低通滤波器图2实际抽样系统为了让学生能全面观察并理解抽样定理的实质，我们应该对被抽样信号进行精心的安排和考虑。

在传统的抽样定理的实验中，我们用正弦波来作为被抽样信号是有局限性的，特别是相频特性对抽样信号恢复的影响的实验现象不能很好的展现出来，因此，这种方案放弃了。

另一种方案是采用较复杂的信号，但这种信号不便于观察，如图所示：被抽样信号抽样恢复后的信号图3复杂信号抽样恢复前后对比你能分辨图中抽样恢复后信号的失真吗？因此，我们选择了一种不是很复杂，但又包含多种频谱分量的信号：“3KHz正弦波”+“1KHz正弦波”，波形及频谱如所示：图1被抽样信号波形及频谱示意图对抽样脉冲信号的考虑大家都知道，理想的抽样脉冲是一个无线窄的冲激信号，这样的信号在现实系统中是不存在的，实际的抽样脉冲信号总是有一定宽度的，很显然，这个脉冲宽度（简称脉宽）对抽样的结果是有影响的，这就是课本上讲的“孔径失真”，用不同的宽度的脉冲信号来抽样所带来的失真程度是不一样的，为了让大家能很好地理解和观察孔径失真现象，我们将抽样脉冲信号设计为脉宽可调的信号，在实验中大家可以一边调节脉冲宽度，一边从频域和时域两个方面来观察孔径失真现象。

抽样定理我们所看所听的世界是连续的，亮暗、高低、大小、快慢......都是连续变化，这些变化如果画到坐标轴里，就会变成连续的信号，课本上称为模拟信号。

而我们的电子设备处理的却是0-1信号。

本文所说的抽样定理便是联系模拟与数字信号之间的桥梁。

图片来源：网络；声音数字化过程与还原过程上图所示，一位同学的歌声，通过麦克风记录下来，此时为连续的模拟信号。

然后通过声卡转换为数字信号，便可以存储，计算。

如果需要收听这段声音，那么再通过声卡与音响还原。

所以我们不禁要问，如何将模拟信号数字化呢，数字化之后还能够无失真的还原它？下图告诉我们，一个模拟信号m(t)需要经过抽样、量化、编码三个步骤才能变成数字信号，然后在信道内传输。

其中的抽样是第一步，也是至关重要的一步。

图片来源：网络；模拟信号数字化如果让小朋友来解决这个问题，他们也会想到，对于一个连续的曲线，我在其中抽出一定的点来，这些点不就变成了离散的信号了吗？然后我们再量化编码变成数字信号。

没错，我们本文要说的就是，怎么抽样，按照什么样的频率进行？图片来源：网络；对模拟信号“筛选”冲激抽样之前我们学习过冲激函数，我们用冲激函数去乘以函数f(t)，会得到冲激处的函数值，我们当时称之为“筛选”特性，没错，这个就是抽样。

假设函数为f(t)，抽样函数为p(t)为周期冲激函数，现在用p(t)对f(t)进行抽样，得出的抽样结果为fs(t)。

这三个函数的频域表达式分别为F(w)，P(w)，Fs(w)。

信号f(t)的傅里叶变换为F(w)，最大频率为Wm。

抽样函数p(t)的傅里叶系数为Pn，傅里叶变换为P(w)，那么fs(t)=f(t)*p(t)，其傅里叶变换为Fs(w)。

在这种情况下抽样信号fs(t)是由一系列冲激函数构成，每个冲激的间隔为Ts而强度等于连续信号的抽样值f(nTs)，如上图所示。

周期信号的傅里叶变换我们用周期冲激信号去抽样原始的信号？那么周期间隔Ts如何确定？如果间隔太大，看起来会丢失太多的信息；如果间隔太小，是不是信息又有点冗余了？抽样频率选择稀疏点？还是密集些呢？时域抽样定理一个频率受限的信号f(t)，如果频谱只占据-W m~Wm的范围，则信号f(t)可以用等间隔的抽样值唯一的的表示。

f s (t )
1
s
n


f (t nTs )
说明：信号在频率域抽样（离散化）等效于在时间域周期化。 频域抽样定理：频域抽样定理表明，一个时间受限的信号 f (t) ，如果时 间只占据 tm , tm ) 的范围，则信号 f (t)可以用等间隔的频率抽样值 F (n s ) ( 唯一地表示，抽样间隔为 s ，它必须满足条件 T
1 Fs ( ) Ts
n
F ( n )
s

C C
s m c m ，则有 F ( ) Fs ( ) H ( ) 理想低通滤波器的冲激响应为 h(t ) Ts C Sa (C t ) s 2 若选 c ，则 Ts s c 2
f s t
第
5 页
Fs
0
Ts
t
s
m
0
m
s

C h (t ) Ts C Sa (C t ) Ts
c
H
Ts
0
t
0
F
f t
c

0
t
0
m

X
二、连续时间信号的重建
因为
第
6 页
Ts 所以，选理想低通滤波器的频率特性为 H ( ) 0
若选定 而冲激抽样信号为
f s (t ) f (t ) p(t )
n


f (t ) (t nTs )
n


f (nTs ) (t nTs )
X
第
二、连续时间信号的重建
则连续低通滤波器的输出信号为

抽样定理定义:在一个频带限制在（0，f h）内的时间连续信号f（t），如果以1/2 f h的时间间隔对它进行抽样，那么根据这些抽样值就能完全恢复原信号。

或者说，如果一个连续信号f（t）的频谱中最高频率不超过f h，当抽样频率f S≥2 f h时，抽样后的信号就包含原连续的全部信息。

抽样定理在实际应用中应注意在抽样前后模拟信号进行滤波，把高于二分之一抽样频率的频率滤掉。

这是抽样中必不可少的步骤。

07年的抽样定理：设时间连续信号f（t），其最高截止频率为f m ，如果用时间间隔为T<=1/2f m的开关信号对f（t）进行抽样时，则f（t）就可被样值信号唯一地表示。

什么是A/D转换和D/A转换？什么是A/D转换和D/A转换？一。

什么是a/d.d/a转换：随着数字技术，特别是信息技术的飞速发展与普及，在现代控制。

通信及检测等领域，为了提高系统的性能指标，对信号的处理广泛采用了数字计算机技术。

由于系统的实际对象往往都是一些模拟量(如温度。

压力。

位移。

图像等),要使计算机或数字仪表能识别。

处理这些信号，必须首先将这些模拟信号转换成数字信号；而经计算机分析。

处理后输出的数字量也往往需要将其转换为相应模拟信号才能为执行机构所接受。

这样，就需要一种能在模拟信号与数字信号之间起桥梁作用的电路-模数和数模转换器。

将模拟信号转换成数字信号的电路，称为模数转换器(简称a/d转换器或adc,analog to digital converter)；将数字信号转换为模拟信号的电路称为数模转换器(简称d/a转换器或dac,digital to analog converter)；a/d转换器和d/a转换器已成为信息系统中不可缺俚慕涌诘缏贰？br>为确保系统处理结果的精确度，a/d转换器和d/a转换器必须具有足够的转换精度；如果要实现快速变化信号的实时控制与检测，a/d与d/a转换器还要求具有较高的转换速度。

转换精度与转换速度是衡量a/d与d/a转换器的重要技术指标。