35.2020届高考数学二轮复习(理)讲义及题型归纳：概率与统计(基础与拔高)

概率与统计 一、考纲解读 1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性。

2.理解超几何分布及其推导过程，并能进行简单的应用。 3.了解条件概率和两个事件相互独立的概念，理解n次独立重复实验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题。

4.理解取有限个值的离散型变量均值，方差的概念，能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题。

5.利用实际问题的频率分布直方图，了解正态分布密度曲线的特点及曲线所表示的意义。

二、命题趋势探究 1.高考命题中，该部分命题形式有选择题、填空题，但更多的是解答题。 2.主要以离散型随机变量分布列为主体命题，计算离散型随机变量的期望和方差，其中二项分布与超几何分布为重要考点，难度中等以下。

3.有关正态分布的考题多为一道小题。

三、知识点精讲 （一）.条件概率与独立事件 （1）在事件A发生的条件下，时间B发生的概率叫做A发生时B发生的条件概率，记作PBA ，条件概率公式为=PBAPABPA 。

（2）若=PBAPB（），即=()()PABPAPB,称A与B为相互独立事件。 A与B

相互独立，即A发生与否对B的发生与否无影响，反之亦然。即,AB相互独立，则有公式=()()PABPAPB。 （3）在n次独立重复实验中，事件A发生k0kn次的概率记作nPk，记A

在其中一次实验中发生的概率为PAp ，则1nkkknnPkCpp .

（二）.离散型随机变量分布列、期望、方差及其性质 （1）离散型随机变量的分布列（如表13-1所示）. 表13-1  1 2 3 … n

P 1p 2p 3p np

①11,ipiniN ; ②121nppp . （2）E表示的期望：1122=+nnpppE…，反应随机变量的平均水平，若随机变量，满足=ab，则EaEb.

（3）D表示的方差：2221122=---nnEpEpEpD，反映随机变量取值的波动性。D越小表明随机变量越稳定，反之越不稳定。若随机变量，满足=ab，则2=DaD。

（三）.几种特殊的分布列、期望、方差 （1）两点分布（又称0，1分布）  0 1

P 1-p

p E=p ，D=1pp .

（2）二项分布：若在一次实验中事件发生的概率为p01p，则在n次独立重复实验中恰好发生k次概率=pk 1nkkknCpp0,1,2,,kn，称服从参数为,np的二项分布，记作 ~,Bnp ，E=np，D=1pp.

（3）几何分布：若在一次实验中事件发生的概率为01pp ，则在n次独立重复实验中，在第k次首次发生的概率为11kpkpp ，1,2,k， 1=Ep。 （4）超几何分布：总数为N的两类物品，其中一类为M件，从N中取n件恰含M中的m件，0,1,2,mk ，其中k为M与n的较小者，=PmmnmMNMnNCCC，

称 服从参数为,,NMn的超几何分布，记作 ~,,HNMn ，此时有公式=EnMN。

（四）.正态分布 （1）若X是正态随机变量，其概率密度曲线的函数表达式为222

1e2xfx

 ，xR （其中,是参数，且0，）。

其图像如图13-7所示，有以下性质： ①曲线在x轴上方，并且关于直线x对称；

②曲线在x处处于最高点，并且此处向左右两边延伸时，逐渐降低，呈现“中间高，两边低”的形状； ③曲线的形状由确定，越大，曲线越“矮胖”，越小，曲线越“高瘦”； ④fx图像与x轴之间的面积为1. （2）E= ，D=2 ，记作 ~2,N. 当0,1时， 服从标准正态分布，记作 ~0,1N. （3） ~2,N，则在,， 2,2，3,3

上取值的概率分别为68.3%，95.4%，99.7%，这叫做正态分布的3原则。

四、解答题总结 1．某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立，设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，2.4DX，(4)(6)PXPX，则p=

A．0．7 B．0．6 C．0．4 D．0．3 2．设01p，随机变量的分布列是  0 1 2

P 12p 12 2p 则当p在(0,1)内增大时， A．()D减小 B．()D增大 C．()D先减小后增大 D．()D先增大后减小 3．已知随机变量i满足(1)iiPp，(0)1iiPp，i=1，2． 若12102pp，则 A．1()E<2()E，1()D<2()D B．1()E<2()E，1()D>2()D C．1()E>2()E，1()D<2()D D．1()E>2()E，1()D>2()D 4．已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有个红球和个篮球，从乙盒中随机抽取个球放入甲盒中．

（a）放入个球后，甲盒中含有红球的个数记为； （b）放入个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为．则 A． B． C． D．

答案 1．B【解析】由题意知，该群体的10位成员使用移动支付的概率分布符合二项分布，所以10(1)2.4DXpp，所以0.6p或0.4p．

mn3,3mn

1,2ii

i1,2ii

i1,2ipi

1212,ppEE1212,ppEE

1212,ppEE1212,ppEE由(4)(6)PXPX，得4466641010C(1)C(1)pppp，即22(1)pp，所以0.5p，所以0.6p．故选B．

2．D【解析】由题可得1()2Ep，所以22111()()422Dppp，所以当p在(0,1)内增大时，()D先增大后减小．故选D．

3．A【解析】由题意可得 1 0 1 2 0 1

P 11p 1p P 21p 2

p

由两点分布11()Ep，22()Ep；111()(1)Dpp，222()(1)Dpp， ∵222122112121()()(1)(1)()()DDpppppppp 2121()(1)pppp ∵12102pp，∴210pp，2110pp ∴1()E<2()E，1()D<2()D，选A．

统计与统计案例 一、考纲解读 1. 理解随机抽样的必要性和重要性。 2. 会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；了解分层抽样和系统抽样方法。 3. 了解分布的意义和作用，会列频率分布表，会画出频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，理解它们各自的特点。

4. 理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差。 5. 能从样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字牲估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想。

6. 会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题。 7. 会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系。 8. 了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程。

9. 了解常见的统计方法，并能应用这些方法解决一些实际问题。 (1)独立性检验 了解独立性检验(只要求2×2列联表)的基本思想、方法及其简单应用。 (2)回归分析 了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用。

二、命题趋势探究 1. 本节内容是高考必考内容，以选择题、填空题为主。 2. 命题内容为：(1)三种抽样(以分层抽样为主)；(2)频率分布表和频率分布直方图的制作、识图及运用。(1)(2)有结合趋势，考题难度中下。

3. 统计案例为新课标教材新增内容，考查考生解决实际问题的能力。

三、知识点精讲

（一）.抽样方法 三种抽样方式的对比，如表17所示。 类型 共同点 各自特点 相互关系 使用范围 简单随机抽样 抽样过程都是不放回抽样，每个个体被抽到的机会均等，总体容量N，样本容量n，每个个体被抽到的概率nPN 从总体中随机逐个抽取 总体容量较小

系统抽样 总体均分几段，每段T个， 第一段取a1， 第二段取a1+T， 第三段取a1+2T， …… 第一段简单随机抽样 总体中的个体个数较多

分层抽样 将总体分成n层，每层按比例抽取 每层按简单随机抽样或系统抽样 总体由差异明显的几部分组成

（二）.样本分析 (1)样本平均值：11niixxn。 (2)样本众数：样本数据中出现次数最多的那个数据。 (3)样本中位数：将数据按大小排列，位于最中间的数据或中间两个数据的平均数。

(4)样本方差：()2211niisxxn。 众数、中位数、平均数都是描述一组数据集中趋势的量，方差是用来描述一组数据波动情况的特征数。

（三）.频率分布直方图的解读 (1)频率分布直方图的绘制 ①由频率分布表求出每组频数ni；

②求出每组频率iinPN(n为样本容量)；