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直线相关分析与直线回归分析

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简要说明相关分析与回归分析的区别

简要说明相关分析与回归分析的区别

相关分析与回归分析的区别和联系
一、回归分析和相关分析主要区别是：
1、在回归分析中,y被称为因变量,处在被解释的特殊地位,而在相关分析中,x与y处于平等的地位,即研究x与y的密切程度和研究y与x的密切程度是一致的；
2、相关分析中,x与y都是随机变量,而在回归分析中,y是随机变量,x 可以是随机变量,也可以是非随机的,通常在回归模型中,总是假定x是非随机的；
3、相关分析的研究主要是两个变量之间的密切程度,而回归分析不仅可以揭示x对y的影响大小,还可以由回归方程进行数量上的预测和控制.
二、回归分析与相关分析的联系：
1、回归分析和相关分析都是研究变量间关系的统计学课题。

2、在专业上研究上：
有一定联系的两个变量之间是否存在直线关系以及如何求得直线回归方程等问题,需进行直线相关分析和回归分析。

3、从研究的目的来说：
若仅仅为了了解两变量之间呈直线关系的密切程度和方向,宜选用线性相关分析；若仅仅为了建立由自变量推算因变量的直线回归方程,宜选用直线回归分析.
三、扩展资料：
1、相关分析是研究两个或两个以上处于同等地位的随机变量间的相关关系的统计分析方法。

例如，人的身高和体重之间；空气中的相对湿度与降雨量之间的相关关系都是相关分析研究的问题。

2、回归分析是确定两种或两种以上变量间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法。

运用十分广泛。

回归分析按照涉及的变量的多少，分为一元回归和多元回归分析；按照因变量的多少，可分为简单回归分析和多重回归分析；按照自变量和因变量之间的关系类型，可分为线性回归分析和非线性回归分析。

直线相关与直线回归

直线相关与直线回归

案例二：医学研究
总结词
医学研究中，利用直线相关和回归分析探究疾病与危险因素之间的关系。
详细描述
在医学研究中，直线相关和回归分析常被用于研究疾病与危险因素之间的关系。 例如，通过分析吸烟、饮酒、饮食等危险因素与肺癌发病率之间的关系，可以 建立线性模型，从而为预防和治疗提供依据。
案例三：农业研究
总结词
通过假设检验的方法，检验两个变量之间是否存在显著的线性关系。常用的假设检验方法 包括t检验、F检验等。
直线相关系数
直线相关系数是用来量化两个变量之间线性关 系的强度和方向的一个数值，其取值范围为-1 到1。
相关系数的值为1表示完全正相关，值为-1表示 完全负相关，值为0表示无直线相关。
相关系数的绝对值越大，说明两个变量之间的 线性关系越强。
直线相关结果通常以相关系数和散点图等 形式呈现，而直线回归结果则以回归方程 、系数表和预测值等形式呈现。
联系
理论基础
直线相关和回归都基于线性关 系假设，即两个变量之间存在
一条直线的趋势。
应用场景
在某些情况下，直线相关和回 归可以相互转换，例如当一个 变量是另一个变量的函数时。
相互支持
在数据分析过程中，可以先进 行直线相关分析，再基于相关 系数进行直线回归分析，或者 反之。
结果解释
在某些情况下，直线相关和回 归的结果可能相似或一致，例 如当两个变量之间的线性关系
很强时。
04
直线相关与回归的应用
经济预测
预测市场趋势
通过分析历史数据，利用直线相关或回归分析来预测市场趋势， 如股票价格、商品需求等。
评估经济政策效果
通过分析政策实施前后的经济数据，利用直线相关或回归分析来评 估政策效果，为政策制定提供依据。

23第七章直线回归与相关分析

23第七章直线回归与相关分析

研究“一因一果”，即一个自变量与一 个依变量的回归分析称为一元回归分析； 研究“多因一果”，即多个自变量与一 个依变量的回归分析称为多元回归分析。 一元回归分析又分为直线回归分析与曲 线回归分析两种； 多元回归分析又分为多元线性回归分析 与多元非线性回归分析两种。
回归分析：揭示出呈因果关系的相关变 量间的联系形式，建立它们之间的回归方程， 利用所建立的回归方程，由自变量(原因)来预 测、控制依变量(结果)。
SS x ( 159.0444) 2
144.6356
249.5556 74.6670
所以
S yx
2 ˆ ( y y )
n2
74.6670 = 3.2660 (天) 92
【题一】下表为每1000 g土壤中所含NaCl 的不同克数(x)，对植物单位叶面积干物质 (Y)的影响，试建立其回归方程。 土壤NaCl含量 x/g· kg-1 干重 y/mg· y bx
（7-3）式中的分子是自变量 x 的离均差与
依变量 y 的离均差的乘积和 ( x x )( y y ) ，
简称乘积和，记作 SP ，分母是自变量 x 的离 xy
均差平方和 ( x x )2，记作 SS x。
a 叫做样本回归截距，是总体回归截距α的 最小二乘估计值也是无偏估计值，是回归直线
资料如下表，建立 y 与 x 的直线回归方程。
表7-1 平均温度累积值(x)与一代三化螟盛发期（y）资料
年份 1956 1957 1958 1959 1960 1961 1962 1963 1964 累积温 x 35.5 34.1 31.7 40.3 36.8 40.2 31.7 39.2 44.2 盛发期 y 12 16 9 2 7 3 13 9 –1

直线相关与回归分析

直线相关与回归分析

三、回归分析之作用： 1、可以找到关键少数“x” 2、可以对“y”进行预测 3、可以对“y”进行优化 4、可确定如何设置“x”以达到优化y的目的
四、直线回归 －－是用直线回归方程表示两个数量变量间依存关 系的统计分析方法，属双变量分析的范畴。
五、回归关系的检验
又称回归方程的检验，其目的是检验求得的回 归方程在总体中是否成立，即是否样本代表的总体 也有直线回归关系。方法有以下两种： 1、方差分析 －－其基本思想是将总变异分解为 SS回归和SS剩余，然后利用F检验来判断回归方程 是ห้องสมุดไป่ตู้成立。 2、t检验－－其基本思想是利用样本回归系数b 与总体均数回归系数进行比较来判断回归方程是否 成立，实际应用中因为回归系数b的检验过程较为复 杂,而相关系数r的检验过程简单并与之等价,故一般用 相关系数r的检验来代替回归系数b的检验。
九、案例分析 某公司测得其产品厚度（X）与抗击力（Y） 的关系有如下数据：
请判定X，Y之间线性关系是否显著？
解：
2、计算－－相关系数是x,Y的离均差积和lxy除 以X的离均差平方和lxx与Y的离均差平方和lyy之积的 算术平方根的商。故此相关系数又被称为积差相关 系数。
3、相关关系的检验标准 因变量y与自变量x之间是否存在相关关系，在 求回归方程的过程中并不能回答，因为对任何无规 律的试验点，均可配出一条线，使该线离各点的误 差最小。为检查所配出的回归方程有无实际意义， 可以用相关关系，或称相关系数检验法。 在实际应用中，判断r值与1接近到何程度时， 才认为x与y是相关的，或者说，所配出的回归方程 才是有意义的，需要对照相关系数临界值表来判断， 当计算的相关系数r的绝对值大于表中显著性水平为 0.05和相应的自由度f=n-2下的临界值r0.05,f时，则表 示y与x是显著相关的。如显著性水平取0.01，r计算＞ r0.01,f时，则表示y与x有非常显著的相关关系。

直线相关和回归分析

直线相关和回归分析

第二节 直线回归
一、线性回归的概念
目的：
在因变量Y和自变量X之间建立一个数 学模型，根据这个模型可以根据自变量的变 动预测因变量的变动。
区别于函数关系和统计关系
❖函数关系： 两变量的数量表现在一定条件下是完全确 定的。
如： 圆的面积和半径的关系S r2
❖统计关系（相关关系）：两变量的数量表 现尽管存在着密切关系，但却不是完全确 定的。 如：成本和利润的关系
简单线性回归模型
样本线性回归方程
Yˆ a bX
Yˆ 为给定X 时Y 的估计值。
a 为回归直线在 Y 轴上的截距
即x 取0时，y 的平均估计值
➢ a >0，表示直线与纵轴的交点在原点的上方 ➢ a < 0，则交点在原点的下方 ➢ a = 0，则回归直线通过原点
b为回归系数，即直线的斜率
➢ b>0，直线从左下方走向右上方，Y 随 X 增大
16
0.206
0.317 0.400 0.468 0.542 0.590 0.631 0.678
17
0.197
0.308 0.389 0.456 0.529 0.575.378 0.444 0.515 0.561 0.602 0.648
…
…
…
…
…
…
而增大
➢ b<0，直线从左上方走向右下方，Y 随 X 增大
而减小
➢ b=0，表示直线与 X 轴平行，X 与Y 无直线关
系
b 的统计学意义是：X 每增加(减)一个单位，Yˆ
平均改变b个单位
建立 线性回归模型的步骤
1、确定研究的问题
2、设样本回归模型(如: Y a )bx
3、搜集样本资料(数据资料) 4、估计未知参数(计算统计量) 5、得到样本回归方程 6、用模型预测因变量

统计学中直线相关与回归的区别与联系

统计学中直线相关与回归的区别与联系

统计学中直线相关与回归的区别与联系在统计学中，直线相关和回归是两个相关的概念，但又有一些区别和联系。

区别：
1. 定义：直线相关是指两个变量之间的线性关系，即随着一个变量的增加，另一个变量也以一定的比例增加或减少。

回归分析是一种统计方法，用于建立一个或多个自变量与因变量之间的关系模型。

2. 目的：直线相关主要关注变量之间的关系和相关程度，通过相关系数来衡量。

而回归分析旨在通过建立数学模型来预测或解释因变量的变化，以及评估自变量对因变量的影响。

3. 变量角色：在直线相关中，两个变量没有明确的自变量和因变量的区分，它们之间的关系是对称的。

而在回归分析中，通常有一个或多个自变量作为预测因变量的因素。

联系：
1. 线性关系：直线相关和回归分析都假设变量之间存在线性关系，即可以用直线或线性模型来描述它们之间的关系。

2. 相关系数：直线相关中使用相关系数来度量变量之间的相关程度。

回归分析中也使用相关系数，但更多地关注回归模型的参数估计和显著性检验。

3. 数据分析：直线相关和回归分析都是常用的数据分析方法，在实际应用中经常同时使用。

直线相关可以帮助我们了解变量之间的关系和趋势，而回归分析可以进一步建立模型和进行预测。

总之，直线相关和回归分析是统计学中两个相关但又有区别的概念。

直线相关关注变量之间的线性关系和相关程度，而回归分析则更关注建立模型和预测变量之间的关系。

在实际应用中，它们常常相互补充使用，以帮助我们理解和解释数据。

直线相关与回归分析的区别和联系

直线相关与回归分析的区别和联系
山东 医药 ２ ０ １ ３年 第 ５ ３卷第 ２ ０期
工
芝麻 、 海产品、 豆制品等， 并 给予适量维生素 Ｄ及维 生素 ｃ丰 富 的樱 桃 、 猕 猴桃 、 橘子 、 青 花 菜 等蔬 菜 水 果， 以帮 助钙 吸收 ， 注 意禁 食 茶 、 咖 啡等 影 响钙 质 吸
收 的食 物 ； 同时也 应 该 进 食 低 磷 的食 物 ， 如冬瓜 、 排
术后常规预防性补钙 ， 以减少术后并发症的发 生。 参 考文 献 ：
［ １ ］王越琦 ， 阊晨 涛， 锁 涛， 等． 原发 性 甲状 旁腺功 能亢进症 １ ９例 分 析［ Ｊ ］ ． 中国临床 医学 ， ２ ０ ０ ９， ５ （ １ ６ ） ： ８ ０ ９ — ８ １ １ ． ［ ２ ］陈国锐 ， 王深明． 甲状腺外科 ［ Ｍ］ ． 北京 ： 人民卫生出版社 ， ２ ０ ０ ５：
原有 骨病 的患 者 ， 随着骨 后低血钙护理 ： 甲状旁腺切除后 ， 正常甲
状 旁腺 功能 尚不 足 ， Ｐ Ｔ Ｈ 分 泌 减 少 或 由于骨 骼 大 量 再 吸收 血钙 ， 引起 “ 骨饥 饿 ” ， 使 血 钙快 速 降 低 ， 导 致 神经 、 肌 肉兴 奋性 增 高 ， 出现 手 足 麻 木 及 抽 搐 ， 严 重
能锻炼 ， 促 进肌 力恢 复 、 骨骼 复原 。但应 注 意逐 渐加
大活动 量 ， 以不 感 到 疲 劳 和疼 痛 为 宜 。 嘱患 者 定 期 复查 ， 如有 其他 不适 及时 就诊 。 综上所述 ， Ｐ Ｈ 围手术期护理重点是血钙离子水
平 的监测及饮食 、 行动 的护 理 ， 及 其引起相应 临床症状 的观察与处理 ， 尤其是术后 低钙血症 的观察与处理 ， 可
［ ３ ］陈培雪 ， 赖淑蓉 ， 李美兰． １ ９例原发性 甲状旁腺 功能亢进病人 的 围术期护理［ Ｊ ］ ． 全科护理 ， ２ ０ １ ０， ８ （ ５ Ａ） ： １ １ ４ ３ — １ １ ４ ４ ． ［ ４ ］时云． 原发性甲状旁腺 功能亢进并发病理 性骨折 １例围手术 期 的护理 ［ Ｊ ］ ． 中国误诊学杂 ， ２ ０ ０ ９ ， ９ （ ２ ６ ）： ６ ５ ０ ６ ￣５ ０ ７ ．

第十五章--直线相关与直线回归分析

第十五章--直线相关与直线回归分析

n
5
Lyy
2
Y Y
Y2
Y 2 ＝27.86－112 ＝3.66
n
5
Lxy
X X
Y Y
XY
25 6
❖ 1.绘制散点图 有相关关系，再作回归分析 ❖ 2.计算回归系数
41
❖ （1）编制回归系数计算表：求基础数据
X 75
Y 11
X 2 1375
Y 2 27.86
XY 194.25
42
（2）计算离均差平方和及离均差积和
Lxx
2
XX
X2
X 2 ＝1375－752 ＝250
tr
r
n2 1－r 2
=n-2=12-2=10 t=7.73，查t值表P436， t0.05(10) 2.228
上述计算t=7.73>2.228，由t所推断的P值小于0.05，按
=0.05水准拒绝H0 ，接受H1, r为正值，说明唾液
药物浓度与血液药物浓度存在正相关关系。
23
相关一定有内在联系吗？
5
第一节 直 线 相 关 分 析
Linear Correlation
6
1.直线相关概念
❖ 概念：描述和推断两个（事件、现象）正态 变量（x、y)总的变化趋势上协同变化规律性 的密切程度和方向（但又非确定的函数关系） 的统计分析方法。
❖ 协同变化：同增同减，此增彼减
7
2.直线相关的特点：
❖ 两变量同时进入数据分析； ❖ 两变量不区别为原因变量和结果变量，
20
（3）直 线 相 关 系 数 的 假 设 检 验
❖ 上例中的相关系数r等于0. 9256，说明了12名癫痫病人的唾 液药物浓度与血液药物浓度之间存在相关关系。但是，这12 名癫痫病人只是总体中的一个样本，由此得到的相关系数会 存在抽样误差。

相关分析和回归分析的区别

相关分析和回归分析的区别

相关分析和回归分析的区别:1, 在相关分析中，解释变量X与被解释变量Y之间处于平等的位置。

而回归分析中，解释变量与被解释变量必须是严格确定的。

2 相关分析中，被解释变量Y与解释变量X全是随机变量。

而回归，被解释变量Y是随机的，解释变量X可能是随机的，可能是非随机的确定变量。

3 相关的研究主要主要是为刻画两变量间线性相关的密切程度。

而回归不仅可以揭示解释变量X和被解释变量Y的具体影响形式，而且还可以由回归方程进行预测和控制。

如果两变量间互为因果关系，解释变量与被解释变量互换位置，相关分析结果一样，回归分析结果不同。

样本回归函数与总体回归函数的区别: 1 总体是未知的，是客观唯一存在的。

样本是根据样本数据拟合的，每抽取一个样本，变可以拟合一条样本回归线。

2 总体中的β0和β1是未知参数，表现为常数。

而样本中的是随机变量，其具体数值随样本观测值的不同而变化。

3 随机误差ui是实际Yi值与总体函数均值E(Yi)的离差，即Yi与总体回归线的纵向距离，是不可直接观测的。

而样本的残差ei是yi与样本回归线的纵向距离，当拟合了样本回归后，可以计算出ei的具体数值。

一元的五个基本假定:1 随机扰动项ui的均值为零，即E(ui)=02 随机扰动项ui的方差为常数Var(ui)=E[ui－E（ui）]^2=E(ui^2)=σ^23 任意两个随机扰动项ui和uj互不(i不等于j)互不相关，其其协方差为0Cov(ui,uj)=04 随机扰动项ui与解释变量Xi线性无关Cov(ui,Xi)=05 随机扰动项服从正态分布，即ui~N(0,σ^2)样本分段比较法适用于检验样本容量较大的线性回归模型可能存在的递增或递减型的异方差性，思路是首先量样本按某个解释变量从大到小或小到大顺序排列，并将样本均匀分成两段，有时为增强显著性，可去掉中间占样本单位1/4或1/3的部分单位；然后就各段分别用普通最小二乘法拟合回归直线，并计算各自的残差平方和，大的用RSS1，小的用RSS2表示，如果数值之比明显大于1，则存在异方差异方差性的后果:1 参数估计值虽然是无偏的，但却不是有效的。

直线相关与回归分析的区别和联系

直线相关与回归分析的区别和联系

直线相关与回归分析的区别和联系
1、区别
(1)资料要求不同相关要求两个变量是双变量正态分布；回归要求因变量Y服从正态分
布，而自变量X是能精确测量和严格控制的变量。

(2)统计意义不同相关反映两量变间的伴随关系，这种关系是相互的、对等的，不一定
有因果关系；回归则反映两变量间的依存关系，有自变量和因变量之分，一般将“因”
或较易测定、变异较小者定为自变量。

这种依存关系可能是因果关系，也可能是从属关系。

(3)分析目的不同相关分析的目的是把两变量间直线关系的密切程度及方向用一统计
指标表示出来；回归分析的目的则是把自变量与因变量的关系用函数公式定量表达出来。

2、联系
（1）变量间关系的方向一致对同一资料，其r与b的正负号一致。

（2）假设检验等价对同一样本，而这的概率值相同
（3）r与b值可相互转换。

（4）用回归解释相关相关系数的平方成为决定系数，是回归平方和与总的离均差平均和之比，故回归平方和是引入相关变量后总平方和减少的部分，其大小取决
于r2。

回归平方和越接近总平方和，则r2越接近1，说明引入相关的效果越好；
反之，则说明引入相关的效果不好或意义不大。

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直线相关和直线回归

直线相关和直线回归
自变量
欲用容易测定的 体重来预测和估 计心脏横径
应变量
(independent variable) x (dependent variable) y
呈非 xx ,, yy 呈
两种关系
函数关系——函数方程:
确定性关系 确定性关系
y a bx
ˆ a bx 回归关系——回归方程: Y
直线相关与回归的区别与联系
直线相关与回归的应用
直线相关 (linear correlation)
一、直线相关的概念
又称简单相关或Pearson相关分析，用于 研究两个数值变量间是否存在线性相关关系 统计分析方法。
二、相关的类型
两种事物或现象之间的相关关系 基本上有下列四种情况：

正相关 负相关
ˆ a bX Y
点估计值）
Yˆ
a、b是 决定直 线的两 个系数
: 为Y 的估计值，读作‘Y hat’
ˆ 值 a : 为截距，即 x 0 时的 Y
b : 为样本回归系数 (直线的斜率)；其
统计学意义是 X 每增加 ( 减 ) 一个
单位Y 平均改变 b 个单位
a 为截距,即 x=0 时的 y 值
9 8.5 8 7.5 7 15 20 体重(Kg) 25 30
13名8岁正常男童体重与心脏横径散点图
二、直线回归的应用条件
要求 Y 变量呈正态分布， X 变量可 以是精确测量和控制的变量。
三、直线回归方程式及回归系数
即X 取某一定数值 时相应Y 的样本均 直线回归方程的一般表达式为： 数（也是相应Y的
体重的增加，胸围也在增加，假如体重增加
2Kg，那么胸围增加多少cm?
直线回归 (linear regression)

简述直线回归与直线相关的区别与联系。

简述直线回归与直线相关的区别与联系。

简述直线回归与直线相关的区别与联系。

直线回归与直线相关，是统计学中常用的两个概念。

直线回归是一种统计分析方法，用于建立一个自变量和一个因变量之间的线性关系模型。

而直线是一种几何图形，由无数个点组成，具有方向和长度。

直线回归是一种预测模型，用于预测因变量的值。

它通过寻找最佳拟合直线来描述自变量和因变量之间的关系。

直线回归的目标是使预测值与实际观测值之间的误差最小化。

在直线回归中，自变量是已知的，而因变量是待预测的。

通过建立一个拟合直线，可以根据自变量的值来预测因变量的值。

直线回归可以分为简单线性回归和多元线性回归。

简单线性回归是指只有一个自变量和一个因变量之间的关系。

多元线性回归是指有多个自变量和一个因变量之间的关系。

无论是简单线性回归还是多元线性回归，都可以使用最小二乘法来估计模型参数。

与直线回归相关的概念还有相关系数。

相关系数是衡量两个变量之间相关程度的统计指标。

它的取值范围在-1到1之间，-1表示完全负相关，1表示完全正相关，0表示无相关。

在直线回归中，相关系数可以用来衡量自变量和因变量之间的线性关系的强度和方向。

直线是一种几何图形，由无数个点组成。

直线具有方向和长度。

在几何学中，直线是由两个点确定的，也可以通过斜率和截距来表示。

直线具有方向，可以用来描述物体的运动方向或者数据的趋势方向。

直线的长度可以用来衡量物体的长度或者数据的大小。

直线与直线回归之间存在联系和区别。

直线回归是一种统计分析方法，用于建立自变量和因变量之间的线性关系模型。

而直线是一种几何图形，用于描述物体的运动方向或者数据的趋势方向。

在直线回归中，可以使用最小二乘法来估计模型参数，从而得到拟合直线。

而在几何学中，直线由两个点确定，也可以通过斜率和截距来表示。

此外，在直线回归中还可以使用相关系数来衡量自变量和因变量之间的线性关系的强度和方向。

相关系数可以用来判断数据是否具有相关性，以及相关性的强弱和方向。

而在几何学中，并没有类似的概念来衡量两条直线之间的相关程度。

生物统计学：第七章 直线回归与相关分析

生物统计学：第七章 直线回归与相关分析

特别要指出的是：利用直线回归方程进行预 测或控制时，一般只适用于原来研究的范围，不 能随意把范围扩大，因为在研究的范围内两变量 是直线关系，这并不能保证在这研究范围之外仍 然是直线关系。若需要扩大预测和控制范围，则 要有充分的理论依据或进一步的实验依据。利用 直线回归方程进行预测或控制，一般只能内插， 不要轻易外延。
（三）、相关系数的显著性检验
统计学家已根据相关系数r显著性t检验法计算出了 临界r值并列出了表格。 所以可以直接采用查表法对相 关系数r进行显著性检验。
先根据自由度 n-2 查临界 r 值 ( 附表8 )， 得 r0.05(n2) ，r0.01(n2)。若|r|＜ r0.05(n2)，P＞0.05，则相 关系数r不显著，在r的右上方标记“ns”；若 r0.05(n2) ≤|r|＜ r0.01(n2) ，0.01＜P≤0.05，则相关系数 r 显 著，在r的右上方标记“*”；若|r|≥ r0.01(n2) ，P ≤ 0.01， 则相关系数 r 极显著，在 r 的右上方标记 “**”。
第七章 直线回归与相关分析
在试验研究中常常要研究两个变量间的关系。 如：人的身高与体重、作物种植密度与产量、食品价格与需
求量的关系等。 两个关系 依存关系：依变量Y随自变量X变化而变化。
—— 回归分析 互依关系：依变量Y与自变量X间的彼此关系.
—— 相关分析
一 直线回归
（一）、直线回归方程的建立 对于两个相关变量x和y，如果通过试验或调查 获得它们的n对观测值： （x1，y1），（x2，y2），……，（xn，yn） 为了直观地看出x和y间的变化趋势，可将每一 对观测值在平面直角坐标系描点，作出散点图。
y)2 y)2
SPxy 2 SSxSS y
SPxy SS x

直线相关与回归分析

直线相关与回归分析

第九章：直线回归依变量y 的实际观测值总是带有随机误差，因而依变量y 的实际观测值yi 可用自变量x 的实际观测值xi 表示为：i i i x y εβα++= (i=1,2, …, n)x 为可以观测的一般变量(也可以是可以观测的随机变量); y 为可以观测的随机变量;i 为相互独立，且都服从N （0，σ2）的随机变量。

在x 、y 直角坐标平面上可以作出无数 条直线，我们把所有直线中最接近散点图中全部散点的直线用来表示x 与y 的直线关系，这条直线称为回归直线。

设回归直线的方程为: bx a y +=ˆ （ 其中，a 是α的估计值，b 是β的估计值。

）xxy SS SPx x y y x x n x x n y x xy b =---=--=∑∑∑∑∑∑∑222)())((/)(/))((x b y a -=式中的分子是自变量x 的离均差与依变量y 的离均差的乘积和))((∑--y y x x ，简称乘积和,记作xySP ，分母是自变量x 的离均差平方和∑-2)(x x ，记作SS X,a 叫做样本回归截距,是回归直线与y 轴交点的纵坐标，当x=0时，y ˆ=a ；b 叫做样本回归系数，表示x 改变一个单位，y 平均改变的数量；b 的符号反映了x 影响y 的性质，b 的绝对值大小反映了x 影响y 的程度; yˆ叫做回归估计值，是当x 在在其研究范围内取某一个值时，y 值平均数x βα+的估计值。

例题：在四川白鹅的生产性能研究中，得到如下一组关于雏鹅重（g ）与70日龄重(g)的数据，试建立70日龄重(y)与雏鹅重(x)的直线回归方程。

表8-1 四川白鹅雏鹅重与70日龄重测定结果 （单位：g ）1、作散点图 以雏鹅重（x ）为横坐标，70日龄重（y ）为纵坐标作散点图，见图8-3。

2、计算回归截距a ，回归系数b ，建立直线回归方程，首先根据实际观测值计算出下列数据：5.9812/1182/===∑n x x 8333.272012/32650/===∑n y y()()00.168512/1182118112/222=-=∑-=∑n x x SS x00.36585123265011823252610))((=⨯-=-=∑∑∑ny x xy SP xy()()67.83149112/3265089666700/222=-=∑-=∑n y y SS y 进而计算出b 、a ： 7122.2100.168536585===xxy SS SP b1816.5825.987122.218333.2720=⨯-=-=x b y a得到四川白鹅的70日龄重y 对雏鹅重x 的直线回归方程为：x y7122.211816.582ˆ+= 二、直线回归的偏离度估计偏差平方和2)ˆ(∑-yy 的大小表示了实测点与回归直线偏离的程度，因而偏差平方和又称为离回归平方和。

第八章直线相关与回归分析

第八章直线相关与回归分析

第十章一元回归与相关分析概述：许多问题需要研究多个变量之间的关系，例如生物的生长发育速度就与温度，营养，湿度等许多因素有关。

相关关系：两变量X，Y均为随机变量，任一变量的每一可能值都有另一变量的一个确定分布与之对应。

回归关系：X是非随机变量（如施肥）或随机变量（如穗长），Y是随机变量，对X的每一确定值x i都有Y的一个确定分布与之对应。

区别：1.相关中的两个变量地位对称，互为因果；回归中X是自变量，Y是因变量。

两种意义不同，分析的数学概念与推导过程不同，但如果使用共同标准即使y的残差平方和最小（最小二乘法），可得到相同的参数估计式。

因此主要讨论X为非随机变量（不包含有随机误差）的情况，所得到的参数估计式也可用于X为随机变量的情况。

2.分析目的不同。

回归分析是建立X与Y之间的数学关系式，用于预测；而相关分析研究X与Y两个随机变量之间的共同变化规律，例如当X增大时Y如何变化，以及这种共变关系的强弱。

分类：从两个变量间相关（或回归）的程度分三种：（1）完全相关。

一个变量的值确定后，另一个变量的值可通过公式求出（函数关系）；生物学研究中不太多见。

（2）不相关。

变量之间完全没有任何关系。

一个变量的值不能提供另一个变量的任何信息。

（3）统计相关（不完全相关）。

介于上述两情况之间。

知道一个变量的值通过某种公式就可以提供另一个变量的均值的信息。

一个变量的取值不完全决定另一个变量的取值，但可或多或少地决定它的分布。

科研中最常遇到。

研究“一因一果”，即一个自变量与一个依变量的回归分析称为一元回归分析；研究“多因一果”，即多个自变量与一个依变量的回归分析称为多元回归分析。

一元回归分析又分为直线回归分析与曲线回归分析两种；多元回归分析又分为多元线性回归分析与多元非线性回归分析两种。

对两个变量间的直线关系进行相关分析称为直线相关分析；研究一个变量与多个变量间的线性相关称为复相关分析；研究其余变量保持不变的情况下两个变量间的线性相关称为偏相关分析。

第七章 直线回归与相关分析

第七章 直线回归与相关分析
最小二乘估计法 设回归直线方程为:
ˆ a bx y
（6-2）
其中， a 是α的估计值，b是β的估计值。
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建立 样本线性回归方程的方法 最小二乘法
实际观察值与样本回归线上
的点的距离的平方和最小
y


n
i1
yi yi
n 2 i i 1
函数关系 有精确的数学表达式 （确定性的关系） 直线回归分析 一元回归分析 变量间的关系 因果关系 曲线回归分析 (回归分析） 多元线性回归分析 多元回归分析 相关关系 多元非线性回归分析 （非确定性的关系） 简单相关分析—— 直线相关分析 平行关系 复相关分析 （相关分析） 多元相关分析 偏相关分析


2
(x,y) y=a+bx y-y y-y y
ˆ y) 2 (y y ˆ ) 2 2 (y ˆ y)(y y ˆ) (y
ˆ y )( y y ˆ ) b( x x )( y y ) b( x x ) (y bSPxy b 2 SS x ( SP SP 2 ) SP ( ) SS x 0 SS x SS x
多因一果，多元回归分析 多个自变量与一个依变量的回归分析，分为 多元线性回归分析与多元非线性回归分析两种。
回归分析的任务： 揭示出呈因果关系的相关变量间的联系形 式，建立它们之间的回归方程，利用所建立的 回归方程，由自变量（原因）来预测、控制依 变量（结果）。 回归分析主要包括： 找出回归方程；检验回归方程是否显著； 通过回归方程来预测或控制另一变量。
2
a、b应使回归估计值与实际观测值的误差平方和最小，即：
ˆ )2 ( y a bx) 2 最小 Q (y y

直线回归与相关

直线回归与相关
l u
e
l
+1
e
u
+1
五、直线相关分析的一般步骤
1. 绘制散点图，观察两变量的变化趋势； 绘制散点图，观察两变量的变化趋势； 2. 若散点图呈直线趋势，计算相关系数； 若散点图呈直线趋势，计算相关系数； 3. 对相关系数进行假设检验； 对相关系数进行假设检验； 4. 必要时对总体相关系数进行区间估计。 必要时对总体相关系数进行区间估计。
2. t 检验法
若H0成立，从ρ =0的总体中抽样，所得到的样本相 关系数 r 呈对称分布（近似正态分布），此时可用 t 检验。
r 0 r t= = , 2 sr 1 r n2
ν = n2
本例， t =
(1 0.8932 )/(13 2)
2
0.8932
= 6.59 ν = n-2 =11
按ν = 11查t界值表，得P<0.01 ，……
六、直线相关分析时的注意事项
1. 直线相关分析要求两个变量均为服从正态分布的随 机变量，用相关系数来反映两变量间的相互关系。 2. 分析前必须先作散点图，变化呈曲线趋势时不宜作 直线相关。 3. 要注意相关的有效范围。相关系数的意义仅限于原 资料中两个变量值的实测范围，超出这一范围就不 一定保持现有的直线关系了。
46
47
三、直线回归方程及其求法
1. 方程
Y = a + bX
X为自变量； Y 为应变量Y的估计值；
b为回归系数(coefficient of regression)，即回归直 线的斜率，其含义为当自变量X每变化1个单位时， 应变量Y平均变化b个单位； a为截距(intercept)，表示回归直线与Y轴交点的纵 坐标。
r=
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（7）应排除样本的间杂性对相关性的误导。
（8）分层资料不宜盲目合并进行相关分析。若将分层资料合并进行分析， 可能会出现各层内均不相关而合并后出现相关的假象，也可能本来各层内两变 量均有相关而合并后掩盖了其真实的相关性。因此，进行相关分析时，如果不 能确定各层研究对象具有同质基础，不宜盲目合并。
27
两变量间的相关分析——等级相关分析
rs
1
6d 2 n(n2 1)
28
两变量间的相关分析——等级相关分析
等级相关分析的基本概念

rs'
(n3 n) / 6 (TX TY ) d 2 (n3 n) / 6 2TX (n3 n) / 6 2TY

u rs n 1
29
两变量间的相关分析——等级相关分析 数值变量资料的等级相关分析
——相关的方向
7
两变量间的相关分析——直线相关分析 两个相关关系的图示（散点图）
y x
8
两变量间的相关分析——直线相关分析 直线相关分析的资料要求
9
两变量间的相关分析——直线相关分析 相关系数（直线相关关系的测度）
用以说明具有直线关系的两个变量间相关关系的密切程度和相关方向的指标 ， 称 为 相 关 系 数 （ correlation coefficient ） ， 又 称 为 积 差 相 关 系 数 （ coefficient of product-moment correlation），Pearson相关系数 。
31
本例：
rs1
10
6 42 (10 2 1)

0.746
两变量间的相关分析——等级相关分析 数值变量资料的等级相关分析
该资料不服从 双变量正态分布 ，用等级相关分 析。
（2）对等级相关系数做假设检验
32
两变量间的相关分析——等级相关分析
双向有序R×C表资料的等级相关分析
10
两变量间的相关分析——直线相关分析 相关系数（直线相关关系的测度）
r X X Y Y lXY
X X 2 Y Y 2
lXX lYY
r

XY

(
X
)(Y
n
)
(
X
2

( X
n
)2
)(Y
2

(Y
n
)2
)
11
两变量间的相关分析——直线相关分析
例题3 观察依沙酰胺治疗皮肤真菌感染效果的临床试验结果见表3，试分析 该病的疗效是否与病程有关？
33
rs'
(n3 n) / 6 (TX TY ) d 2 (n3 n) / 6 2TX (n3 n) / 6 2TY
两变量间的相关分析——等级相关分析
双向有序R×C表资料的等级相关分析
)(Y
2

(Y
n
)2
)
r = 0.872
18
两变量间的相关分析——直线相关分析
相关分析的步骤
（3）相关系数的假设检验 ：
也就是说，根据样本计算出的相关系数r ，是总体相关系数ρ的估计值。从ρ=0（ 无直线相关）的总体中抽取样本，其r不 一定为0。因此，得到r≠0后，由于存在 抽样误差，则有必要检验r是否来自ρ=0 的总体，以判定两变量间是否有直线相 关关系。
19
r0 r0
两变量间的相关分析——直线相关分析 相关分析的步骤
（3）相关系数的假设检验 ：
1) 建立假设，确定检验水准
2) 计算统计量
tr

r0 Sr

r ,v n2
1 r2
本例： tr
n2
0.8715 5.02 1 (0.8715)2
8
20
两变量间的相关分析——直线相关分析 相关分析的步骤
两变量间的相关分析与回归分析
1
两变量间的相关分析与回归分析
2
两变量间的相关分析与回归分析
3
两变量间的相关分析——直线相关分析 变量之间的关系
4
两变量间的相关分析——直线相关分析 相关关系与确定性关系的比较
5
两变量间的相关分析——直线相关分析 相关分析的基本概念
6
两变量间的相关分析——直线相关分析
等级相关分析的基本概念
前述的直线相关分析要求两变量来自双变量正态分布资料，当不能满足
此条件时，需用等级相关又称秩相关（rank correlation）来分析两变量间 的关系。等级相关属于非参数统计方法，常用的方法有Spearman秩相关 。它是用等级相关系数（rank correlation coefficient）来反映两变量间相 关关系的密切程度和方向的。
x x x
2


2
x
x x

y y y



y y y
2


f(x)
f(x,y)
x （单变量X量正态分布） 15
（双变量X,Y正态分布）
两变量间的相关分析——直线相关分析 相关分析的步骤
（6）作相关分析时，必须剔除异常点。异常点就是一些特大或特小的 离群值，相关系数的数值受这些点的影响较大，有此点时两变量相关，无 此点时可能就不相关了。所以，应及时复核检查，对由于测定、记录或计 算机录入的错误数据，应予以修正和剔除。
26
两变量间的相关分析——直线相关分析 直线相关分析中的注意事项
Spearman等级相关: Ho：总体等级相关系数等于0
rs'
(n3 n) / 6 (TX TY ) d 2 (n3 n) / 6 2TX (n3 n) / 6 2TY
H1：总体等级相关系数不等于0
α=0.0500（双侧）
对子数=435
差值平方和=8894802.0000， Tx=972115.0000， Ty=1421112.5000
反变换
r e2z 1 e2z 1
24
两变量间的相关分析——直线相关分析
直线相关分析中的注意事项
（1）在进行相关分析(Pearson相关)前，需作散点图，从散点图的趋 势判断是否可以作线性相关分析；
（2）样本相关系数与总体相关系数间存在抽样误差，所以求得样本 相关系数后应进行假设检验。
（3）相关关系是一种共变关系，不一定是因果关系；因此，有相关 关系不等于因果关系。有无因果关系还需结合专业知识进一步研究。
等级相关系数rs =0.3516, P=0.0000
等级相关系数rs′=0.2148, P=0.0000
结论：经检验，按α=0.0500水准拒绝Ho.
34
两变量间的回归分析——直线回归分析
“回归”一词的由来及其生物学意义
“回归”一词最早由Golton（戈尔顿）在一项有关父亲与儿子身高 的关系的研究中提出。儿子身高（Y）与父亲身高（X）自然是相关 的，他发现身材高大的父亲所生儿子的身高有不少要比父亲矮，而 身材矮小的父亲所生儿子的身高有不少要比父亲高。进一步研究表 明：虽然高个子的父亲常生高个子的儿子，但儿子身高超过父亲的 概率要小于比父亲矮的概率；同样，虽然矮个子的父亲常生矮个子 的儿子，但儿子身高比父亲更矮的概率要小于比父亲高的概率。也 就是说不可能无限制的一代比一代高，或一代比一代矮。后代的高 度有向人群中个体的平均高度“回归”的趋势；离开均值越远，所 受到回归的压力也越大。
35
两变量间的回归分析——直线回归分析 “回归”一词的由来及其生物学意义
无论是身材高还是身材矮的父亲所生儿子的身高都有向人群的平均身高 “回归”的趋势，这就是回归的生物学含义。后来人们借用“回归”这个 词 来 描 述 通 过 自 变 量 （ independent variable ） 的 数 值 预 测 因 变 量 （ dependent variable）的平均水平。即通过可测或易测的变量对未知或难测 或不可测变量的状态进行估计叫做回归分析（regression analysis）。
ρ
22
两变量间的相关分析——直线相关分析 相关分析的步骤
（4）总体相关系数ρ的可信区间估计 ：
z tanh1 r 1 ln 1 r 2 1r
ρ
23
两变量间的相关分析——直线相关分析
相关分析的步骤
（4）总体相关系数ρ的可信区间估计 ：

2 z

1 n3
z tanh1 r 1 ln 1 r 2 1r
直线相关分析的基本概念
当两个数值变量之间出现如下情况：当一个变量增大，另一 个也随之增大(或减少)，我们称这种现象为共变，也就是有 相关关系。 若两个变量同时增加或减少，变化趋势是同向的，则两变量 之间的关系为正相关(positive correlation)；若一个变量 增加时，另一个变量减少，变化趋势是反向的，则称为负相 关(negative correlation)。
例题2：在肝癌病因研究中，调查了某地10个乡的肝癌死亡率（1/10万）与 玉米中黄曲霉毒素相对含量，资料见下表。试作相关分析。

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两变量间的相关分析——等级相关分析
数值变量资料的等级相关分析
该资料不服从 双变量正态分布 ，用等级相关分 析。
（1）求等级相关系数
rs
1
6d 2 n(n2 1)
血硒 y
20 15 10 5 0
0
发硒x 20 40 60 80 100 120
10名健康儿童发硒与血硒散点图
17
散点图呈直线趋势，可计算直线相关系 数，进行直线相关分析。
两变量间的相关分析——直线相关分析
相关分析的步骤