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运筹学》第六章排队论习题1. 思考题( 1)排队论主要研究的问题是什么；(2)试述排队模型的种类及各部分的特征；(3) Kendall符号X /Y/Z/A/B/C中各字母的分别代表什么意义；( 4)理解平均到达率、平均服务率、平均服务时间和顾客到达间隔时间等概念；( 5)分别写出普阿松分布、负指数分布、爱尔朗分布的密度函数，说明这些分布的主要性质；( 6)试述队长和排队长；等待时间和逗留时间；忙期和闲期等概念及他们之间的联系与区别。
2．判断下列说法是否正确( 1)若到达排队系统的顾客为普阿松流，则依次到达的两名顾客之间的间隔时间服从负指数分布；( 2)假如到达排队系统的顾客来自两个方面，分别服从普阿松分布，则这两部分顾客合起来的顾客流仍为普阿松分布；( 3)若两两顾客依次到达的间隔时间服从负指数分布，又将顾客按到达先后排序，则第1、3、5、7,—名顾客到达的间隔时间也服从负指数分布；(4)对M/M/1或M / M /C的排队系统，服务完毕离开系统的顾客流也为普阿松流； ( 5)在排队系统中,一般假定对顾客服务时间的分布为负指数分布,这是因为通过对大量实际系统的统计研究,这样的假定比较合理；( 6)一个排队系统中, 不管顾客到达和服务时间的情况如何, 只要运行足够长的时间后, 系统将进入稳定状态；( 7)排队系统中,顾客等待时间的分布不受排队服务规则的影响；( 8)在顾客到达及机构服务时间的分布相同的情况下,对容量有限的排队系统,顾客的平均等待时间少于允许队长无限的系统；( 9)在顾客到达分布相同的情况下,顾客的平均等待时间同服务时间分布的方差大小有关,当服务时间分布的方差越大时,顾客的平均等待时间就越长；( 1 0 )在机器发生故障的概率及工人修复一台机器的时间分布不变的条件下, 由 1 名工人看管 5台机器,或由 3名工人联合看管 15台机器时,机器因故障等待工人维修的平均时间不变。
3．某店有一个修理工人,顾客到达过程为Poisson 流,平均每小时 3 人,修理时间服从负指数分布,平均需 19 分钟,求：( 1 )店内空闲的时间；( 2)有 4 个顾客的概率；( 3)至少有一个顾客的概率；( 4)店内顾客的平均数；( 5)等待服务的顾客数；( 6)平均等待修理的时间； (7)一个顾客在店内逗留时间超过 15分钟的概率。
以下只是简要结果，答题时应写明具体步骤和必要的说明10.1M/M/1(1)P 0=50%(2)P 4=3.125%(3)1−P 0=50%(4)L=1(5)L q =0.5(6)W q =1/6h(或10min)(7)P(T>0.25)=e -3/4=47.2%10.2M/M/1(1) P 0=25%(2) L=3(3) W=1h(或60min)(4) W=1/(4−λ)>1.25λ>3.210.3M/M/1λ=90, μ=1800/19, μ'=129L q =)(2λμμλ-=18.01>5P 0’=1−ρ’=25%>10%采用新装置不合算 10.4 M/M/1/3(1) P 0=111+--k ρρ=0.616(2) L=011)1(1P k k ρρρρ-+--+=0.562(3) L q =L －(1−P 0)=0.178(4) e λ=μ(1−P 0)=3.84人/小时W=L/e λ=0.146小时=8.78分(5) W q =W −1/μ=2.78分10.5λ=1/120；μ=1/12；ρ=0.1101!!!0!!!(0.1)(0.1)(0.1)(1)0m m m m P m m -⎡⎤=+++⎢⎥-⎣⎦又W =0(1)mP μ-－1λ W 总=0(1)m P μ-根据题意: 0001(1)87.5%(1)10(1)87.5%P m m P P m μλλμ-=≥--⇒≥由于比较难解,可以试算法.得到m 至多为4。
即一个工人最多看管4台机器。
10.6M/M/2(1) ρ=1，服务强度为100%，系统没有空闲期，……系统不能达到平衡。
(2) 增加一个工人后，该模型为M/M/2P 0=1221)1(!2-⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-ρρρ=33.3%P(N ≥2)=1− P 0− P 1=33.4%(3) L q =22220)1(!2ρρρ-P =0.333L=L q +ρ=1.333W q =L q /λ=0.056h(3.33min)W=L/λ=0.222h(13.33min)10.7M/M/1/51）λ=6时，λe=λ（1－P 5）=5.76，ρ=0.6λ=15时，λe=λ（1－P 5）=9.45，ρ=1.52）λ=6时，66611L ρρρρ=---=1.2 λ=15时，66611L ρρρρ=---=3.58。
运筹学排队论1. 简介排队论是运筹学中重要的一个分支，它研究了在人员、物品或信息流动过程中产生的排队现象，并通过建立数学模型和分析这些模型来探讨和优化系统中的排队行为。
排队论在各个领域都有广泛的应用，如交通运输、电信网络、生产制造等。
2. 排队模型排队论中常用的模型包括M/M/1模型、M/M/s模型、M/G/1模型等。
其中，M表示到达过程的分布，而G表示服务时间的分布。
而数字1或s则表示系统中的服务通道数。
2.1 M/M/1模型M/M/1模型是排队论中最简单的一个模型，它假设到达过程和服务时间都服从指数分布。
该模型中只有一个服务通道。
2.2 M/M/s模型M/M/s模型是M/M/1模型的扩展，它假设到达过程和服务时间仍然服从指数分布，但有s个服务通道。
M/M/s模型适用于有多个并行服务通道的排队系统。
2.3 M/G/1模型M/G/1模型假设到达过程服从泊松分布，而服务时间服从一般分布。
该模型在实际应用中更为常见，因为服务时间往往不服从指数分布。
3. 排队论的性能度量排队论的性能度量是对排队模型进行定量分析和评估的重要手段，常见的性能度量指标包括平均等待时间、平均逗留时间、系统繁忙率等。
3.1 平均等待时间平均等待时间是指在排队系统中，每个顾客平均等待的时间长度。
通过对排队模型的分析和计算，可以得到平均等待时间的具体数值。
3.2 平均逗留时间平均逗留时间是指每个顾客在排队系统中逗留的平均时间长度。
它等于平均等待时间加上服务时间。
3.3 系统繁忙率系统繁忙率是指服务通道在单位时间内处于工作状态的比例。
它可以用来评估系统是否能够满足顾客的需求。
4. 排队论的应用4.1 交通运输排队论在交通运输领域的应用非常广泛。
例如，交通信号灯的控制就可以通过排队论进行优化，以减少车辆的等待时间和交通拥堵。
4.2 电信网络在电信网络中，排队论被用于研究数据包的传输和路由机制。
通过对排队论模型的分析，可以提高网络的传输效率和质量。
一、汽车维修站问题
某汽车维修站只有一名修理工，一天8h 平均修理10辆汽车。
已知维修时间服从负指数分布，汽车的到来服从泊松流，平均每小时有1辆汽车到达维修站。
假如一位司机愿意在维修站等候，一旦汽车修复就立即开走，问司机平均需要等待多长时间。
如果假设每小时有1.2辆汽车去修理，试问该维修工每天的空闲时间有多少？这对维修站里的汽车数及修理后向顾客交货时间又有怎样的影响？结合以上所求得的数据，分析汽车维修站的服务质量水平。
解：该问题是一个标准的M/M/1/2模型，即汽车司机相继到达间隔时间的分布满足负指数分布，维修工服务时间分布满足负指数分布，服务台数为c=1，系统容量限制为N=2。
(1)已知汽车的到来服从泊松流，平均到达率为=1/h λ，维修时间服从负指数分布，平均每辆汽车接受服务的时间为T=0.8h,单位时间服务车辆的数量为
1.25μ=。
则根据该模型运行指标的计算公式可得出：
①系统的平均服务强度为/0.8ρλμ==；
②顾客到达后理科就能得到服务的概率，即维修站空闲，没有顾客的概率为
0+1
11N P ρ
ρ
-=
-； ③系统的队长为1
1
(1)11N s N N L ρ
ρρρ
+++=---; ④系统的排队长0(1)q S L L P =--; ⑤系统的有效到达率为0(1)e P λμ=-； ⑥顾客逗留时间为0(1)
s
s
s e
L L W P λμ=
=
-；
⑦系统满员的概率，即顾客被拒绝的概率为1
1·1N N N P ρ
ρρ
+-=-； 利用LINGO 软件来求解，记有关参数1c =，系统最大容量为N=2，顾客平均到达率为1L λ==，平均每个顾客的服务时间为1
0.8T μ
==。
则相应程序如
下：
MODEL: sets:
num_i/1..2/:P;
endsets
c=1;N=2;L=1;T=0.8;
P0*L=(1/T)*p(1);
(L+1/T)*p(1)=L*p0+c/T*p(2);
@for(num_i(i)|i#gt#1#and#i#lt#N:(L+c/T)*p(i)=L*p(i-1)+c/T*p(i+1));
L*p(N-1)=c/T*P(N);
P0+@sum(num_i(i)|i#le#N:P(i))=1;
Plost=p(N);
Q=1-p(N);
L_e=Q*L;
L_s=@sum(num_i(i)|i#le#N:i*P(i));
L_q=L_s-L_e*T;
W_s=L_s/L_e;
W_q=W_s-T;
end
运行结果如下表：
运行结果为：P0=0.409836，Plost=0.2622951，L_e= 0.7377049，L_s= 0.85 24590，L_q= 0.2622951，W_s= 1.155556，W_q= 0.3555556。
该结果表明顾客到维修站可立即得到服务的概率为0.41，即该维修工空闲的概率为0.41；系统的队长为0.852，系统的排队长为0.262，则说明排队加服务的总队长不超过1个人，而且等待的队长是很短的；系统有效到达率为0.738，系统圆满被拒绝的概率为0.262，说明顾客被拒绝的概率是很低的；逗留时间为1.156 h，服务时间为0.356h，说明每个顾客平均排队加服务完的时间大约为1.156h，而等待服务的时间大概为21min。
综合以上数据，该维修站的服务质量还是比较高的，维修工的空闲时间很充足，顾客等待的队长也不长，其逗留时间也基本在容许范围内。
二、售票窗口管理问题
某公园售票处有两个售票窗口。
根据历史数据可以知道，节假日期间，顾客的到达服从泊松流，平均到达率为l=8人/min ，每个售票窗口的售票时间均服从参数为m=5人/min 的负指数分布。
试比较以下两种排队方案的运行效率：
（1）顾客到达后，以0.5的概率排成两列；
（2）顾客到达后排成一列，发现哪个窗口空闲时，就到该窗口去购票。
试分析讨论，该公园在节假日期间采用哪种排队方案服务效率高。
解：
(1)若顾客到达后，以0.5的概率排成两列，则该问题是一个标准的2个M/M/1模型。
已知顾客的到达服从泊松流，平均到达率为l=8人/min,由于顾客到达后，以
0.5的概率排成两列，排成两队后不再进行换队，这就形成了两个队，
8/24λ==,每个售票窗口的售票时间均服从参数为m=5人/min 的负指数分布，平均每个人接受服务的时间为T=0.2min,则有5μ=。
则根据该模型运行指标的计算公式可得出：
①系统的平均服务强度为/0.8ρλμ==；
②顾客平均等待时间为·
wait q wait P T
W P c c ρμλ==--; ③顾客的平均逗留时间为1
s q q W W W T μ
=+
=+;
④系统的队长s L 和排队长q L 分布为s q L W λ=，q q L W T λ=+; 利用LINGO 软件来求解，记有关参数1c =，并记4L λ==，1
0.2
T μ
=
=0.8R λ
μ
=
=。
则相应程序如下： MODEL:
c=1;L=4;T=0.2;R=L*T; P_wait=@peb(R,c); W_Q=P_wait/(c/T-L); L_Q=L*W_Q; W_S=W_Q+T; L_S=L*W_S; End
运行结果如下表所示：
运行结果为：P_wait=0.8,W_Q=0.8，L_Q= 3.2，W_S=1，L_S=4。
即顾客平均等待概率为0.8,顾客平均等待时间为0.8min ，顾客平均逗留时间为1min ，系统的排队长为3.2，系统的队长为4。
（2）顾客到达后排成一列，发现哪个窗口空闲时，就到该窗口去购票,在这种情况下，则该问题是一个标准的多服务台M/M/2模型。
该排队模型的服务台个数c=2,顾客平均到达率为l=8人/min ，8λ=。
每个售票窗口的售票时间均服从参数为m=5人/min 的负指数分布，平均每个人接受服务的时间为T=0.2min,则有5μ=，系统平均服务强度为0.8c λ
ρρ
==。
则根据该模型运行指标的计算公式可得出：
① 系统空闲概率为
()-1
-1
1
10001111··0.8 1.61/3.4!!1-!k c
k
k k P k c k λλμρμ==⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎡⎤=+=+=⎢⎥ ⎪ ⎪
⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣
⎦
∑∑；
② 系统的队长为0.8s q q L L L λ
μ
=+
=+; ③ 系统的排队长为002
()25.6!(1)c q c L P P c ρρ
ρ==-； ④ 顾客的平均等待时间为03.2q
q L W P λ
=
=；
⑤ 顾客的平均逗留时间为1
s
s q L W W λ
μ
=
=+
;
利用LINGO 软件来求解，记有关参数2c =，并记8L λ==，1
0.2
T μ
=
=1.6R λ
ρ
=
=。
则相应程序如下： MODEL:
c=2;L=8;T=0.2;R=L*T; Pwork=@peb(R,c); W_q=Pwork*T/(c-R); L_q=L*W_q; W_s=W_q+T; L_s=L*W_s; End
运行结果如下表所示：
运行结果为：PWORK=0.7111111,W_Q=0.3555556，L_Q= 2.844444，W_S=0.555556，L_S=4.44444。
即售票窗口不空闲的概率为0.711，顾客平均等待时间为0.356min ，顾客平均逗留时间为0.556min,顾客的排队长为2.844，顾客的队长为4.444。
由以上数据进行对比分析可得，我们把两种方案的对比在下表中显示。
第一种方案 第二种方案
顾客平均等待概率 0.8 0.711 顾客平均等待时间/min 0.8 0.356 顾客平均逗留时间/min 1 0.556
顾客排队长/人 3.2 2.844 顾客队长/人 4 4.444
由该表可以看出，采用第二种方案在顾客平均等待概率，顾客平均等待时间，顾客平均逗留时间和顾客的排队长等方面均优于第一种方案；只是在顾客队长方面，第二种方案劣于第一种方案，这是由于第二种方案采取了只排一支队的缘故，但是在售票窗口服务时，两个窗口是同时进行的，所以在其他方面第二种方案都会比第一种方案好，因此在排队方案的选取中，我们选择第二种排队方案。
