理论力学4
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Fx x
M1f ,max
δ ⎛ ⎞ F = G ⎜ sin θ + cos θ ⎟ sin cos r ⎝ ⎠
O
F1
FN1
例4-9 系船的绳索紧绕在码头的立柱上，码头工人以200 N的力拉绳索的一 端，绳索的另一端拉船的力为7 kN，如图所示。已知绳索与立柱之间的静滑摩 擦因数为0.3，问钢索应在立柱绕多少圈才能维持平衡，防止打滑？
sin θ − tan ϕ ff cos θ tan ϕ ff = tan ϕ ff sin θ + cos θ tan θ − tan ϕ ff = tan ϕ ff tan θ + 1 = tan(θ − ϕ ff )
即
Ⅰ
将 fs = tanφf 代入上式得
θ
Ⅱ
Ⅲ Ⅳ
θ = 2ϕ ff
O
FN2
所以, 楔块不致滑出的条件为
3. fA=0, x3min=cos αL, 在A点滑动。
例4-3A
活动支架套在固定圆柱上，h = 20 cm。支架和圆柱之间的静摩擦因数
x
fs = 0.25。问x至少多远才能使支架不致下滑（支架自重不计）。
解: [解析法] 取[支架]
∑ Fxx = 0,
F
A
h
− FNA + FNB = 0 NA NB
δ = 3.75N D
Fm Mf FN
Fx′
F Fx′
例4-8 如图所示，总重为G的拖车在牵引力F作用下要爬上倾角为θ的斜坡。 设车轮半径为r，轮胎与路面的滚动摩阻系数为δ，其他尺寸如图所示。求拖 车所需的牵引力。 解： [拖车]
∑ F = 0, ∑ F = 0,
x x
y y
F − F1 − F2 − G sin θ = 0 1 2 FN 11 + FN 22 − G cos θ = 0 N N
F
动摩擦力:Fd=f FN
Ffmax Fd
Fd<Ffman
二、摩擦角
F⇒Ffmax， ϕ⇒ ϕ m F fmax = tan ϕ
m
45°
P W P
FN
摩擦角 F
R
三、自锁现象
α ≤ ϕm
自锁条件
FN
Ffmax
α
FR
ϕm
FR
α
ϕm
ϕm
思考题1
求千斤顶楔螺纹角值（图1 ）。
P
α α<ϕm
图1
T
思考题2
解： 1. 取楔块为研究对象，受力分析如图。
列平衡方程
Ⅰ
θ
Ⅱ
∑F
∑F
y y
x x
= 0, F11 + F22 cos θ − FN 22 sin θ = 0 N
= 0,
Ⅲ Ⅳ
FN 1 − F2 sin θ − FN 2 cos θ = 0 N1 2 N2
F2 = Fm 2 = f ssFN 2 2 m2 N2
O
FN2
θ
FN1
F2 F1
x
例4-6B 在坑道支柱施工中的联结结构装置如图所示。它包括顶梁I，楔块II，用 于调节高度的螺旋III及底座IV。螺旋杆给楔块以向上的推力FN1。已知楔块与上 下支柱间的静摩擦因数均为fs。求楔块不致滑出所需顶角的大小。 所以
sin θ − f ss cos θ = f ss sin θ + cos θ f ss
静力学
第四章 摩擦
第一类：滑动摩擦, 干摩檫，湿摩擦。 第二类：滚动摩阻。
W P
§4-1 滑动摩擦
一、摩擦定律、摩擦系数
F
FN
W
F:静摩擦力，方向与运动趋势相反。 F大小:F=P, 范围:0 ≤F ≤ F fmax
摩擦定律 (库仑定律)
F FN P
极限摩擦力：F fmax = f s FN
静摩擦系数：由实验测定(表4-1)
解：
船 码头工人
F2 由 ln 2 = f ssβ F1 1
得
F2
1 F2 β = ln 2 = 11.85 rad f ss F1 1
n=
F1
所以,所需圈数
β
2π
= 1.886
本章结束
2.假设矩形柜不滑动但将绕 B 翻倒。 列平衡方程
y a
∑M
B B
= 0,
a G × − Fh − FNA a = 0 NA 2
FNA≥0
F
h
C
柜不绕 B 翻倒条件： 解得
G FA
b x
F
≤
Ga 2h
A
B
FB
使柜翻倒的最小推力为
FNA
Ga 2h
FNB
F翻 = Fmin2 = min2 翻
F滑 = Fmin1 = Gf ss 滑 min1
x
A
fs = 0.25。问x至少多远才能使支架不致下滑（支架自重不计）。
解: [几何法] 支架受力分析如图所示。由几何关系得
F
h
h = h1 + h2 1 2
d d = ( x + )tan ϕ ff + ( x − )tan ϕ ff 2 2
h 解得 x = = 40 cm 2tan ϕ ff
d
B
C B
′ F11a + F f′ c − FN b = 0 f N
(3)
A b a
′ Ff′ ≤ f ssFN f N
解得 得
(4)
FOy
FO1y FO1x
′ ′ FN b − F1a = F f′ c ≤ f ssFN c N 1 f N
′ FN ≤ N F1a 1 b − f ssc
1 F f′ ≤ f ssF1a f b − f ssc
δ 〈〈 r f
s
先滚后滑
例4-7 手拉小车，已知：D=80cm,δ=0.15cm,Q=1kN,求 Q 拉动时F值。 解：方法一[整体] ∑MA=0, F D − M f = 0 F 2 ∑Fiy=0, – Q+FN=0 Fm δ A 得: F = 2Q = 3.75 N Mf=δ FN D Mf FN 方法二[车体] Fx′=F, Fy′=Q Q D [轮] ∑MA=0, Fx − M f = 0 [车体] 2 Fy [轮] ∑Fiy=0, Fy–FN=0 Fx 得: F = 2Q
求α与摩擦角关系(图2) 。
α>ϕm α α
图2
思考题3
求黄沙堆的锥角值α （图3）。
α
α α<ϕm
α=ϕm
图3 图4
思考题4
求：黄沙输送带的锥角值α （图4）。
例4-1 重量P放在粗糙的斜面上，用力F向上拉，巳知： α>ϕ，求平衡时力F。 解：1.不下滑 ∑Fix=0, Ff+F1–Psinα=0 ∑Fiy=0, Ff=f FN， FN–Pcosα=0 F1=P(sinα−f cosα)
FOx
G F
O1
rG F1a 1 ≤ , 所以 R b − fSc S
rG (b − f ssc ) F1 ≥ 1 f ssRa
A
C
Ff F1
B
′ FN
F f′
FN
例4-6A 在坑道支柱施工中的联结结构装置如图所示。它包括顶梁I，楔块 II，用于调节高度的螺旋III及底座IV。螺旋杆给楔块以向上的推力FN1。已知 楔块与上下支柱间的静摩擦因数均为fs。求楔块不致滑出所需顶角的大小。
制动器如图所示。制动块与鼓轮表面间的摩擦因数为fs，试求制动 鼓轮转动所必需的力F1。
例4-5
解: [鼓轮]
O
∑ M (F ) = 0,
O1 O1
Fr − F ff R = 0
(1)
(2)
解方程得 [杠杆] ∑ M O (F ) = 0, O
r r F ff = F = G R R
c
r
R O1
F1
θ ≤ 2ϕ ff
θ
FN1
F2 F1
x
§4-2滚动摩阻
∑Fix=0, F–Fm=0 ∑Fiy=0, P–FN=0 ∑MA=0, F r–Mf =0
滚动摩阻力偶: Mf=δ FN Mf
A
P F r Fm F
P r δ FN
Fm
FN
滚动摩阻系数,查表4-2。 滚动条件：F r ≥Mf=δ FN 滑动条件：F ≥ Fm= fs FN
∑ F = 0, ∑M = 0,
y y
O O
FA + FB − F = 0 A B
d hFNA − ( FA − FB ) − xF = 0 NA B 2 A
FB = f ssFNB B NB
FA FNA
h
O A y
d
补充方程
B
FA = f ssFNA , A NA
FNA = FNB = 2 F NA NB
b M1f ,max y
H
a h
θ
F
x
C
M ∑M
A A
( F ) = 0,, (F ) = 0
− G cos θb + G sin θH + FN 1 ( a + b ) N1 − Fh + M 1 ff ,, max + M 2 ff ,,max = 0 1 max 2 max
O
F2
θ
A
G
F1
M2f ,max
x
F
C
联立以上方程求解，得 以上方程得 x = 40 cm = FNA = FNB d 2 F NA NB hFNA − ( FA − FB ) − xF = 0 结论：x与力F无关。 NA A B
