§2.3.2事件的独立性(针对训练)

事件的独立性教案5篇范文第一篇：事件的独立性教案事件的相互独立性数学与统计学学院芮丽娟2009212085一、教学目标：1、知识与技能：（1）了解独立性的定义（即事件A的发生对事件B的发生没有影响）；（2）掌握相互独立事件的概率乘法公式P(AB)=P(A)P(B)2、过程与方法：通过对现实生活中不同事件问题的探究，感知应用数学解决问题的方法，体会数学知识与现实世界的联系，培养逻辑推理能力3、情感态度与价值观: 通过数学与探究活动，体会理论来源于实践并应用于实践的辩证唯物主义观点.二、重点与难点：正确理解独立性的定义与互斥事件的差别，掌握并运用独立事件概率公式三、教学设想：1、创设情境：通过回顾上节课学习的条件概率，引入本节课独立性的定义例：3张奖券中只有一张能中奖，现分别由3名同学无放回的抽取，事件A为“第一名同学没有抽到中奖奖券”，事件B为“最后一名同学抽到中奖奖券”。

则问事件A的发生会影响事件B发生的概率吗？若条件改为有放回，这时又是什么情况？解：显然无放回时，A的发生影响着B，即是条件概率。

而当有放回地抽取奖券时，最后一名同学也是从原来的三张奖券中任抽一张，因此第一名同学抽的结果对最后一名同学的抽奖结果没有影响，即事件A的发生不会影响事件B发生的概率。

于是P(B|A)=P(B)，代入条件概率公式得P(AB)=P(B|A)P(A)=P(A)P(B)2、基本概念：独立性定义：设A，B为两个事件，如果满足P(AB)=P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立。

例1：分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设A是事件“第1枚为正面”，B是事件“第2枚为正面”，C是事件“2枚结果相同”。

问：A，B，C中哪两个相互独立？分析：理解相互独立的定义，即是一事件的发生对另一事件的发生与否没有影响，由于A事件抛掷第一枚硬币为正面，对B事件第二枚硬币为正面没有影响，故A与B独立，而C事件要求抛掷的两次结果相同，当第一枚为正面时此时第二枚也必须为正，显然有影响，故不独立。

事件的独立性名词解释事件的独立性是指一个事件在其发生的过程中并不受到其他事件的影响，具有自身的特定性和独立性质。

它是一个广泛应用于各领域的概念，包括科学、社会学、法律以及人类行为研究等。

在科学领域，事件的独立性是指一个实验或观察所研究的事件与其他变量或因素之间的关系是相互独立的。

在设计实验时，科学家通常会采取措施来保证实验的独立性，例如随机分组、避免再次测试等。

通过保持事件的独立性，科学家可以更准确地分析事件之间的关系，推断出因果或相关性的结论。

在社会学中，独立性是一个重要的概念，用于研究个体、群体或社会的现象，如社会心理、文化传播和社会动态等。

社会学家通过分析事件的独立性来了解不同因素对个体或群体行为产生的影响。

例如，他们可能通过研究某一社交媒体平台上用户的行为来分析用户间的互动模式和社交网络结构。

通过研究事件的独立性，社会学家可以更好地理解社会现象的本质，形成相关的理论。

在法律领域，事件的独立性是一个基本原则，涉及到证据的可信性和判断的公正性。

法官和陪审团必须评估每一个事件的独立性，以确定是否有足够的证据来支持诉讼的结果。

在庭审中，法律专业人士会根据相关法律和证据，评估事件的独立性，并作出公正的判断。

同时，法律也保护事件的独立性，确保每个事件都能得到适当的审理，而不受其他事件的干扰和影响。

在人类行为研究方面，事件的独立性被广泛应用于心理学和行为经济学等领域。

人类行为通常会受到各种因素的影响，例如情绪状态、社会环境和个人观念等。

通过研究事件的独立性，研究人员可以更好地理解人类行为的内在机制，探讨人们在不同情境下做出的决策和选择。

总之，事件的独立性是一个重要的概念，它在科学、社会学、法律和人类行为研究等领域都有着广泛的应用。

研究事件的独立性有助于我们深入了解各个领域中的现象和关系，为我们的决策和判断提供理论基础和依据。

通过保持事件的独立性，我们能够更加准确地理解和解释世界的运作方式，推动人类社会的进步和发展。

《事件的独立性》讲义在概率与统计的广袤世界中，“事件的独立性”是一个至关重要的概念。

它不仅在理论研究中具有深刻的意义，而且在实际生活中的诸多领域都有着广泛的应用。

要理解事件的独立性，首先得清楚什么是事件。

简单来说，事件就是在一定条件下可能出现也可能不出现的情况。

比如说掷骰子掷出一个“6”，明天会下雨，这些都是事件。

那么，什么又是事件的独立性呢？我们说两个事件 A 和 B 是相互独立的，如果事件 A 的发生与否不影响事件 B 发生的概率，同时事件B 的发生与否也不影响事件 A 发生的概率。

举个例子，假设有一个盒子，里面装有 5 个红球和 5 个白球。

从盒子中先后取出两个球，第一次取出红球记为事件 A，第二次取出红球记为事件 B。

如果我们在取出第一个球后，将其放回盒子中再取第二个球，那么事件 A 和事件 B 就是相互独立的。

因为第一次取出红球后放回，盒子里球的情况没有改变，第二次取出红球的概率依然是5/10。

但如果我们在取出第一个球后，不再放回盒子中就取第二个球，那么事件 A 和事件 B 就不是相互独立的。

因为第一次取出红球后，盒子里球的组成发生了变化，第二次取出红球的概率会受到影响。

独立性的概念在很多实际问题中都有体现。

比如说，一个学生在数学考试中取得好成绩和在语文考试中取得好成绩，在一定程度上可以看作是两个独立事件。

因为学生在数学上的表现不一定能决定其在语文上的表现。

再比如，一个人早上选择吃面包还是吃油条和晚上选择看电影还是看书，这也可以近似地认为是两个独立事件。

因为早上的饮食选择通常不会影响晚上的娱乐活动选择。

那么，如何判断两个事件是否独立呢？这就需要用到数学公式了。

如果事件 A 和事件 B 相互独立，那么它们的概率满足 P(AB) ＝P(A)P(B) 。

其中，P(AB) 表示事件 A 和事件 B 同时发生的概率，P(A)表示事件 A 发生的概率，P(B) 表示事件 B 发生的概率。

我们通过一个具体的例子来看看如何运用这个公式判断事件的独立性。

2.3.2 事件的独立性1．事件的独立性的概念(1)概念：若事件A ，B 满足P (A |B )＝P (A )，则称事件A ，B 独立． (2)含义：P (A |B )＝P (A )说明事件B 的发生不影响事件A 发生的概率． 2．相互独立事件的概率计算如果任何事件与必然事件独立，与不可能事件也独立，那么 (1)两个事件A ，B 相互独立的充要条件是P (AB )＝P (A )P (B )．(2)若事件A 1，A 2，…，A n 相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率P (A 1A 2…A n )＝P (A 1)P (A 2)…P (A n )．3．相互独立事件的性质如果事件A 与B 相互独立，那么A 与B ，A 与B ，A 与B 也相互独立． 思考1：不可能事件与任何一个事件相互独立吗？[提示] 相互独立．不可能事件的发生与任何一个事件没有影响． 思考2：必然事件与任何一个事件相互独立吗？[提示] 相互独立．必然事件的发生与任何一个事件的发生没有影响． 思考3：如果事件A 与事件B 相互独立，则P (B |A )＝P (B )正确吗？ [提示] 正确．如果事件A 与事件B 相互独立，则P (B |A )＝P (B )．1．袋内有3个白球和2个黑球，从中有放回地摸球，用A 表示“第一次摸得白球”，如果“第二次摸得白球”记为B ，那么事件A 与B ，A 与B 间的关系是( )A ．A 与B ，A 与B 均相互独立 B ．A 与B 相互独立，A 与B 互斥C ．A 与B ，A 与B 均互斥D ．A 与B 互斥，A 与B 相互独立A [因为是有放回地摸球，所以事件A 的发生不会影响事件B 的发生，所以A 与B ，A 与B 均相互独立．]2．甲、乙两人投球命中率分别为12，23，则甲、乙两人各投一次，恰好命中一次的概率为________．12[事件“甲投球一次命中”记为A ，“乙投球一次命中”记为B ，“甲、乙两人各投一次恰好命中一次”记为事件C ，则C ＝A B ∪A B 且A B 与A B 互斥，P (C )＝P (A B ∪A B )＝P (A )P (B )＋P (A )P (B )＝12×13＋12×23＝36＝12.]3．甲、乙、丙三人将参加某项测试，他们能达标的概率分别是0.8,0.6,0.5，则三人都达标的概率是________，三人中至少有一人达标的概率是________．0．24 0.96 [三人都达标的概率为0.8×0.6×0.5＝0.24.三人都不达标的概率为(1－0.8)×(1－0.6)×(1－0.5)＝0.2×0.4×0.5＝0.04. 三人中至少有一人达标的概率为1－0.04＝0.96.]【例1】 (1)甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”；(2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”；(3)掷一颗骰子一次，“出现偶数点”与“出现3点或6点”．[思路探究] (1)利用独立性概念的直观解释进行判断．(2)计算“从8个球中任取一球是白球”发生与否，事件“从剩下的7个球中任意取出一球还是白球”的概率是否相同进行判断．(3)利用事件的独立性定义进行判断．[解] (1)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生，对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响，所以它们是相互独立事件．(2)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为58，若这一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为47；若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为57，可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互独立事件．(3)记A ：出现偶数点，B ：出现3点或6点，则A ＝{2,4,6}，B ＝{3,6}，AB ＝{6}， ∴P (A )＝36＝12，P (B )＝26＝13，P (AB )＝16.∴P (AB )＝P (A )·P (B )，∴事件A 与B 相互独立．判断事件是否相互独立的方法(1)定义法：事件A ，B 相互独立⇔P (AB )＝P (A )·P (B )． (2)由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响． (3)条件概率法：当P (A )>0时，可用P (B |A )＝P (B )判断．1．同时掷两颗质地均匀的骰子，令A ＝{第一颗骰子出现奇数点}，令B ＝{第二颗骰子出现偶数点}，判断事件A 与B 是否相互独立．[解] A ＝{第一颗骰子出现1,3,5点}，B ＝{第二颗骰子出现2,4,6点}．∴P (A )＝12，P (B )＝12，P (AB )＝3×336＝14，∴P (AB )＝P (A )P (B )， ∴事件A ，B 相互独立．【例2】三个独立的研究机构在一定的时期内能研制出疫苗的概率分别是15，14，13.求：(1)他们都研制出疫苗的概率； (2)他们都失败的概率； (3)他们能够研制出疫苗的概率．[思路探究] 明确已知事件的概率及其关系→ 把待求事件的概率表示成已知事件的概率→ 选择公式计算求值[解] 令事件A ，B ，C 分别表示A ，B ，C 三个独立的研究机构在一定时期内成功研制出该疫苗，依题意可知，事件A ，B ，C 相互独立，且P (A )＝15，P (B )＝14，P (C )＝13.(1)他们都研制出疫苗，即事件ABC 同时发生，故P (ABC )＝P (A )P (B )P (C )＝15×14×13＝160.(2)他们都失败即事件A B C 同时发生． 故P (A B C )＝P (A )P (B )P (C ) ＝(1－P (A ))(1－P (B ))(1－P (C ))＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－15⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13 ＝45×34×23＝25. (3)“他们能研制出疫苗”的对立事件为“他们都失败”，结合对立事件间的概率关系可得所求事件的概率P ＝1－P (A B C )＝1－25＝35.1．求相互独立事件同时发生的概率的步骤 (1)首先确定各事件之间是相互独立的； (2)确定这些事件可以同时发生； (3)求出每个事件的概率，再求积．2．使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的，而且它们能同时发生．2．一个袋子中有3个白球，2个红球，每次从中任取2个球，取出后再放回，求： (1)第1次取出的2个球都是白球，第2次取出的2个球都是红球的概率；(2)第1次取出的2个球1个是白球、1个是红球，第2次取出的2个球都是白球的概率． [解] 记“第1次取出的2个球都是白球”的事件为A ，“第2次取出的2个球都是红球”的事件为B ，“第1次取出的2个球中1个是白球、1个是红球”的事件为C ，很明显，由于每次取出后再放回，A ，B ，C 都是相互独立事件．(1)P (AB )＝P (A )P (B )＝C 23C 25×C 22C 25＝310×110＝3100.故第1次取出的2个球都是白球，第2次取出的2个球都是红球的概率是3100.(2)P (CA )＝P (C )P (A )＝C 13·C 12C 25·C 23C 25＝610·310＝950.故第1次取出的2个球中1个是白球、1个是红球，第2次取出的2个球都是白球的概率是950.[1．甲、乙二人各进行一次射击比赛，记A ＝“甲击中目标”，B ＝“乙击中目标”，试问事件A 与B 是相互独立事件，还是互斥事件？事件A B 与A B 呢？[提示] 事件A 与B ，A 与B ，A 与B 均是相互独立事件，而A B 与A B 是互斥事件． 2．在探究1中，若甲、乙二人击中目标的概率均是0.6，如何求甲、乙二人恰有一人击中目标的概率？[提示] “甲、乙二人恰有1人击中目标”记为事件C ，则C ＝A B ＋A B . 所以P (C )＝P (A B ＋A B )＝P (A B )＋P (A B ) ＝P (A )·P (B )＋P (A )·P (B )＝(1－0.6)×0.6＋0.6×(1－0.6)＝0.48.3．由探究1、2，你能归纳出相互独立事件与互斥事件的区别吗？ [提示] 相互独立事件与互斥事件的区别对C 各一盘．已知甲胜A 、乙胜B 、丙胜C 的概率分别为0.6,0.5,0.5.假设各盘比赛结果相互独立．求：(1)红队中有且只有一名队员获胜的概率； (2)求红队至少两名队员获胜的概率．[思路探究] 弄清事件“红队有且只有一名队员获胜”与事件“红队至少两名队员获胜”是由哪些基本事件组成的，及这些事件间的关系，然后选择相应概率公式求值．[解] 设甲胜A 的事件为D ，乙胜B 的事件为E ，丙胜C 的事件为F ， 则D ，E ，F 分别表示甲不胜A 、乙不胜B 、丙不胜C 的事件． 因为P (D )＝0.6，P (E )＝0.5，P (F )＝0.5，由对立事件的概率公式知P (D )＝0.4，P (E )＝0.5，P (F )＝0.5.(1)红队有且只有一名队员获胜的事件有D E F ，D E F ，D －E －F ，以上3个事件彼此互斥且独立．所以红队有且只有一名队员获胜的概率为P 1＝P (D E －F －＋D E F ＋D －E －F )＝P (DE －F －)＋P (D E F )＋P (D －E －F )＝0.6×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＝0.35.(2)法一：红队至少两人获胜的事件有：DE F ，D E F ，D EF ，DEF . 由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立， 因此红队至少两人获胜的概率为P ＝P (DE F )＋P (D E F )＋P (D EF )＋P (DEF )＝0.6×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.55.法二：“红队至少两人获胜”与“红队最多一人获胜”为对立事件，而红队都不获胜为事件D E F ，且P (D E F )＝0.4×0.5×0.5＝0.1.∴红队至少两人获胜的概率为P 2＝1－P 1－P (D E F )＝1－0.35－0.1＝0.55.1．本题(2)中用到直接法和间接法．当遇到“至少”“至多”问题可以考虑间接法． 2．求复杂事件的概率一般可分三步进行：(1)列出题中涉及的各个事件，并用适当的符号表示它们；(2)理清各事件之间的关系，恰当地用事件间的“并”“交”表示所求事件； (3)根据事件之间的关系准确地运用概率公式进行计算．3．某田径队有三名短跑运动员，根据平时训练情况统计甲、乙、丙三人100米跑(互不影响)的成绩在13 s 内(称为合格)的概率分别为25，34，13，若对这三名短跑运动员的100米跑的成绩进行一次检测，则求：(1)三人都合格的概率； (2)三人都不合格的概率； (3)出现几人合格的概率最大．[解] 记甲、乙、丙三人100米跑成绩合格分别为事件A ，B ，C ，显然事件A ，B ，C 相互独立，则P (A )＝25，P (B )＝34，P (C )＝13.设恰有k 人合格的概率为P k (k ＝0,1,2,3)． (1)三人都合格的概率：P 3＝(ABC )＝P (A )·P (B )·P (C )＝25×34×13＝110.(2)三人都不合格的概率：P 0＝(A B C )＝P (A )·P (B )·P (C )＝35×14×23＝110.(3)恰有两人合格的概率：P 2＝P (AB C )＋P (A B C )＋P (A BC )＝25×34×23＋25×14×13＋35×34×13＝2360. 恰有一人合格的概率：P 1＝1－P 0－P 2－P 3＝1－110－2360－110＝2560＝512.综合(1)(2)可知P 1最大．所以出现恰有一人合格的概率最大．1．本节课的重点是事件的相互独立性及其概率的求法，难点是事件相互独立性的判断． 2．要掌握事件相互独立性的两个问题． (1)事件相互独立性的判断． (2)事件相互独立性概率的求法． 3．求复杂事件概率的步骤：(1)列出题中涉及的各种事件，并用适当的符号表示；(2)理清事件之间的关系(两事件是互斥、对立，还是相互独立)，列出关系式； (3)根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算；(4)当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地计算对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)对事件A 和B ，若P (B |A )＝P (B )，则事件A 与B 相互独立；( ) (2)若事件A ，B 相互独立，则P (A ∩B )＝P (A )·P (B )；( ) (3)如果事件A 与事件B 相互独立，则P (B |A )＝P (B )；( ) (4)若事件A 与B 相互独立，则B 与B 相互独立．( )[解析] 若P (B |A )＝P (B )，则P (A ∩B )＝P (A )·P (B )，故A ，B 相互独立，所以(1)正确；若事件A ，B 相互独立，则A ，B 也相互独立，故(2)正确；若事件A ，B 相互独立，则A 发生与否不影响B 的发生，故(3)正确；(4)B 与B 相互对立，不是相互独立，故(4)错误．[答案] (1)√ (2)√ (3)√ (4)×2．抛掷3枚质地均匀的硬币，A ＝{既有正面向上又有反面向上}，B ＝{至多有一个反面向上}，则A 与B 的关系是( )A ．互斥事件B ．对立事件C ．相互独立事件D ．不相互独立事件C [由已知，有P (A )＝1－28＝34，P (B )＝1－48＝12，P (A ∩B )＝38，满足P (A ∩B )＝P (A )·P (B )，则事件A 与事件B 相互独立，故选C.]3．加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为170，169，168，且各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为________．370 [加工出来的零件的正品率是⎝ ⎛⎭⎪⎫1－170×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－169×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－168＝6770，因此加工出来的零件的次品率为1－6770＝370.]4．某班甲、乙、丙三名同学竞选班委，甲当选的概率为45，乙当选的概率为35，丙当选的概率为710.(1)求恰有一名同学当选的概率； (2)求至多有两人当选的概率．[解] 设甲、乙、丙当选的事件分别为A ，B ，C ，则有P (A )＝45，P (B )＝35，P (C )＝710.(1)因为事件A ，B ，C 相互独立，所以恰有一名同学当选的概率为P (AB －C －)＋P (A －BC －)＋P (A －B－C )＝P (A )·P (B )·P (C )＋P (A )·P (B )·P (C )＋P (A )·P (B )·P (C ) ＝45×25×310＋15×35×310＋15×25×710＝47250. (2)至多有两人当选的概率为1－P (ABC )＝1－P (A )·P (B )·P (C )＝1－45×35×710＝83125.。