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第八章线性相关前面第三、四章中我们讨论了对单一连续型变量的部分统计分析方法，着重于比较该单个变量的组间差别。
在医学研究中常常还需要分析两个随机变量之间的关系，例如：体重与肺活量的关系年龄与血压的关系病因研究中某个疾病危险因素与某疾病发生的关系当这些指标是离散型变量或有序变量时，我们已学习过用2 检验来检验两指标间的关联程度。
对于两个连续型变量间关系的分析，我们用线性相关与线性回归来分析。
一．相关的概念：统计学中用一个统计量描述相关的密切程度，这个统计量称相关系数，记为r。
相关系数的绝对值必然在0到1之间，即1-r。
≤1≤相关系数的大小表示相关的密切程度，例：体重与肺活量，胸围与肺活量相关系数的符号表示相关的方向，例：胆固醇与冠心病，水中氟含量与龋齿二. 相关分析的资料来源：1.资料类型:从研究总体随机抽取n个对象，每个对象观察X和Y两项指标，或者从已经配成对子的研究总体中随机抽取n对对象，每对对象观察同一指标。
要求：独立随机的成对样本，并且X和Y来自正态总体，这样的研究所获得的资料就可以做相关分析。
例如书中的例8.1：2．散点图：考察相关性最简单而直观的办法是散点图。
以两条互相垂直的座标轴分别表示两个变量，n对观察值对应于座标平面的n个点，便构成一幅散点图。
这资料绘制成散点图（Scatter plot）如下：155160165170175180185145155165175185三. 相关系数的计算：的方差）的方差（的协方差和相关系数)(Y Y X X]/)(][/)([/)()())((222212121n y y n x x ny x xy y y x x y y x x r ni i ni i ni i i∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑---=----====例8.2 试计算例8.1中父高X 和子高Y 的样本相关系数(假定系独立随机双正态样本)。
解 ∑=n i i x 1＝3376， ∑=ni i y 1＝3407， n=20∑=ni ix 12＝571728， ∑=ni iy 12＝581081， ∑=ni i i y x 1=5761619296.0]20/)3407(581081][20/)3376(571728[20/)3407)(3376(57616122=---=r四．相关系数的假设检验： 1. 检验假设：H 0：ρ=0 H 1：ρ≠0 α=0.052. 计算检验统计量：rr s r t 0-=υ=n -2 212--=n r s r 其中，S r 称为样本相关系数r 的标准差(也称标准误)。
线性相关判断方法总结线性相关判断方法线性相关分析(Linear Correlation Analysis，简称LMA)是以判断两个变量之间是否具有相关性为目标的一种相关分析技术。
其基本思想是用一个已知的、连续的随机变量去估计另一个离散的、不相关的随机变量，因此，线性相关分析是一种统计技术。
线性相关分析的主要内容包括：单相关和回归、多相关和回归、一元线性回归、多元线性回归和非线性回归、回归预测、聚类分析等。
线性相关分析的基本步骤是：确定需要解决的问题，建立假设，构造模型，实证检验，做出决策。
为了解决实际问题，就必须从数据中提取信息，而获得信息的基础是了解各项指标的含义及其相互之间的关系。
对于离散型数据来说，可通过测定值与真实值的差异程度，找到它们之间的相关系数，进而判断两者之间的相关性质。
通常将数据用直线连接起来。
1、衡量相关系数值的高低。
一般情况下，若相关系数接近于1，表明这两个变量之间存在显著相关关系；如果相关系数小于1，则表明两个变量之间没有明显的相关关系。
如果在原始数据中发现变量X 和Y的关系，通常用“|”符号来表示两个变量之间的线性相关性质。
这样看来，变量X和Y之间有没有线性相关关系，只需判断它们是否相等或比较其相等的程度即可。
如果它们是相等的，则说明它们之间有线性相关关系。
2、观察两个变量在纵轴和横轴上是否成线性相关。
如果在纵轴上两个变量y与x的线性相关系数大于0.6，那么，我们称y与x线性相关；反之，如果在横轴上两个变量y与x的线性相关系数小于0.6，则我们称y与x线性相关性不好。
3、若要比较两个变量的相关性，还可以使用相关系数检验。
例如，将某厂的全部产品的销售收入按其产品的消耗定额比例折算为直线折算成百分数，然后与同类产品的销售收入作比较。
该厂的所有产品的累计销售收入与各种产品的累计销售收入的总和之间呈正比关系，即如果有n个产品，则累计销售收入是n×100，这就是说， n种产品的销售收入占全部产品的销售收入总和的份额为100%，即n种产品的销售收入的总和等于全部产品的销售收入。
向量组的线性相关与线性无关1.线性组合设12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈，12,,,t k k k R ⋅⋅⋅∈，称1122t t k a k a k a ++⋅⋅⋅+为12,,,t a a a ⋅⋅⋅的一个线性组合。
【备注1】按分块矩阵的运算规则，12112212(,,,)t t t t k k k a k a k a a a a k ⎛⎫⎪ ⎪++⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭。
这样的表示是有好处的。
2.线性表示设12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈，n b R ∈，如果存在12,,,t k k k R ⋅⋅⋅∈，使得1122t t b k a k a k a =++⋅⋅⋅+则称b 可由12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性表示。
1122t t b k a k a k a =++⋅⋅⋅+，写成矩阵形式，即1212(,,,)t t k k b a a a k ⎛⎫ ⎪ ⎪=⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭。
因此，b 可由12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性表示即线性方程组1212(,,,)t t k k a a a b k ⎛⎫ ⎪ ⎪⋅⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭有解，而该方程组有解当且仅当1212(,,,)(,,,,)t t r a a a r a a a b ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅。
3.向量组等价设1212,,,,,,,n t s a a a b b b R ⋅⋅⋅⋅⋅⋅∈，如果12,,,t a a a ⋅⋅⋅中每一个向量都可以由12,,,s b b b ⋅⋅⋅线性表示，则称向量组12,,,t a a a ⋅⋅⋅可以由向量组12,,,s b b b ⋅⋅⋅线性表示。
如果向量组12,,,t a a a ⋅⋅⋅和向量组12,,,s b b b ⋅⋅⋅可以相互线性表示，则称这两个向量组是等价的。
向量组等价的性质：(1) 自反性 任何一个向量组都与自身等价。
(2) 对称性 若向量组I 与II 等价，则向量组II 也与I 等价。
第八章SPSS的相关分析和线性相关分析在统计学中，相关分析是用来研究两个或多个变量之间关系的一种方法。
SPSS（Statistical Package for the Social Sciences）是一款常用的统计软件，可用于进行相关分析和线性相关分析。
本章将介绍如何使用SPSS进行相关分析和线性相关分析，以及如何解释分析结果。
一、相关分析相关分析是一种用于研究变量之间关系的统计方法。
通过相关分析可以确定两个或多个变量之间的关联程度，以及这种关联程度的方向（正相关或负相关）。
在SPSS中进行相关分析的步骤如下：1.打开SPSS软件，选择“文件”>“打开”>“数据”，选择要进行分析的数据文件，点击“打开”。
2.在菜单栏中选择“分析”>“相关”>“双变量”或“多变量”。
3. 在弹出的对话框中，将变量移动到“变量”框中。
可以选择自定义相关性系数的类型，如Pearson相关系数、Spearman相关系数等。
4.点击“OK”进行相关分析。
5.SPSS将生成一个相关矩阵和一个相关系数表格，展示了变量之间的关联程度。
在进行相关分析时，需要注意以下几点：1.相关系数的取值范围为-1到1，-1表示完全负相关，1表示完全正相关，0表示没有相关性。
2.根据相关系数的取值大小可以判断变量之间的关联程度，一般认为相关系数大于0.7为强相关，0.3到0.7为中等相关，小于0.3为弱相关。
3.相关分析只能判断变量之间是否存在关系，不能确定因果关系。
线性相关分析是一种用于研究两个变量之间线性关系的统计方法。
通过线性相关分析可以确定两个连续变量之间的关联程度，以及这种关联程度的方向（正相关或负相关）。
在SPSS中进行线性相关分析的步骤如下：1.打开SPSS软件，选择“文件”>“打开”>“数据”，选择要进行分析的数据文件，点击“打开”。
2.在菜单栏中选择“分析”>“相关”>“双变量”。
相关性分析相关性分析是一种统计方法，可以评估两个变量之间的关系强度和方向。
在土地资源调查中，相关性分析可以帮助识别和解释不同因素之间的联系，更好地理解土地资源变化和变化原因。
以下是土地资源调查中常见的几种相关性分析方法：1. 线性相关分析线性相关分析用于评估两个数值型变量之间的线性关系。
该方法通常基于斯皮尔曼等级相关系数或皮尔逊积矩相关系数进行计算。
这些指标量度输入变量与输出变量之间的相关性程度，值介于0和+1之间，具有直观含义。
当其等于+1时，表示两个变量完全正相关；当其等于-1时，表示两个变量完全负相关；当其等于0时，表示两个变量之间没有线性关系。
线性相关分析可用于判断土地利用情况、城市扩张等因素之间的关系。
2. 时间序列分析时间序列分析用于评估时间序列数据中变量之间的关系。
在土地资源调查中，时间序列分析可以用于识别和解释土地利用变化的趋势和季节性变化。
该方法常用ARIMA模型或线性回归模型进行建模和预测。
3. 地图相关性分析地图相关性分析可以帮助研究人员识别不同因素之间的关系，并将其表示在地图上。
该方法通常基于空间自相关性或空间结构相关性等指标来计算。
地图相关性分析可以用于研究土地利用类型之间的空间关系、地形和气候条件对土壤类型的影响等问题。
4.多元回归分析多元回归分析是一种多变量分析方法，可用于评估多个自变量（如土地利用类型、地形、气候条件等）与一个因变量（如林分等级）之间的关系。
该方法基于模型代表自变量和因变量之间的函数关系，然后通过拟合数据集的方式来确定函数中的参数。
多元回归分析可用于探索有助于理解土地资源变化的多个因素之间的复杂关系。
总之，相关性分析是在土地资源调查中非常重要的分析工具。
它可以帮助识别和解释不同因素之间的联系，更好地理解土地资源变化和变化原因，以及为制定合适的土地利用规划提供科学依据。
简述使用线性相关分析的注意事项一、概念线性相关是指组间线性相关系数r的绝对值，等于两个连续变量x与y之间相关程度的相对指标。
两个变量X与Y之间相关系数r的计算公式为： r=1/(x1-x2)r≥1是指若r>1，表明X与Y之间正相关，若r=1，则表明两者无关;(1)相关系数R值的取法一般来说，用R＝的方法比较合适，但是当实际研究中得到的数据很难用R＝来处理时，可以采用以下方法：①代入法：根据已知数据，选择与已知数据最接近的实验组的数据作为计算依据，然后计算出相应的R值;②连乘法：从实验组开始，逐个地求出各组的R值，并将它们连乘起来，然后除以总数n; ③最小二乘法：这是解决线性相关问题最常用的方法。
在R＝的基础上，再取误差项相关系数r最小值，此值应不小于1。
(2)实际工作中，多采用相关系数R＝的方法。
二、样本容量大于50的线性回归分析(1)如果是计量资料或平均数资料，建议取变异系数d＝1/2，且分子分母均应符合正态分布，即样本容量至少为50，并且应该有足够的统计显著性检验结论。
(2)如果是计数资料或众数资料，建议取变异系数d＝1/3，即样本容量至少为150。
( 3)如果是调查资料，还应该估计调查误差，使其达到统计学显著水平。
三、相关性系数和偏回归系数(一)相关系数定义：两个变量X与Y之间的相关程度系数叫做X与Y之间的相关系数。
两个变量X与Y之间的线性相关系数，又称为线性相关系数，也叫R＝。
如果组间相关系数r的绝对值r>1，则称组间相关程度高，反之则称组间相关程度低。
(1)相关系数的意义如果R＝，则表明组内各变量之间相互关联，具有相关性，在许多情况下，可用R＝来检验和预测。
若实验组X与参照组Y之间呈高度相关，则说明所选的自变量之间存在着线性关系。
(2)两组数据进行比较，若发现两组数据的相关系数r＞0，则称两组间线性相关。
(3)两组数据的相关系数是一个数值，而两组数据的回归系数可能是一个数值也可能不是一个数值，这就需要利用回归系数的检验来判断组间是否存在着线性相关。
