高中数学课下能力提升二蝗制北师大版必修4

课下能力提升(二十) 从力做的功到向量的数量积一、选择题．已知＝，在方向上的射影是，则·＝( )．．．设向量，满足＝＝，·＝－，则＋＝( )．已知＝，＝，·(－)＝，则向量与向量的夹角是( )．若向量，，满足∥且⊥，则·(＋)＝( )．．．．二、填空题．已知＝，＝，－＝，则＋＝．．已知平面向量，，＝，＝，且＋＝，则向量与－的夹角为．．已知，是夹角为的单位向量，＝－，＝＋，若·＝，则的值为．．设，，是三个任意的非零向量，且互不平行，以下四个命题：①＋>＋；②若≠，·＝，则＝；③向量，满足：·>，则与的夹角为锐角；④若，的夹角为θ，则θ表示向量在向量方向上的射影长．其中正确的命题是(填序号)三、解答题．已知＝，＝，且(＋)·(－)≥，求与的夹角θ的范围．．已知⊥，且＝，＝，若有两个不同时为零的实数，，使得＋(－)与－＋垂直，试求的最小值．答案．解析：选设，的夹角为θ(≤θ≤π)依题意，θ＝，而＝.∴·＝θ＝×＝.．解析：选∵＋＝(＋)＝＋·＋＝＋·＋＝－×＋＝，∴＋＝.．解析：选设向量与向量的夹角为θ(≤θ≤π)，由条件得·－＝，所以·＝＋＝＝θ＝××θ，所以θ＝，又因为≤θ≤π，所以θ＝.．解析：选∵⊥，∴·＝.∵∥，∴⊥.∴·＝，∴·(＋)＝·＋·＝.．解析：由－＝－·＋得＝－·＋，·＝－∴＋＝＋·＋＝－＋＝＋＝.答案：．解析：由＋＝得，＋·＋＝，∴·＋·＋＝，∴·＝，∴·(－)＝－·＝－×＝.。

课下能力提升(二十四) 化简、证明问题一、选择题1．已知tan α＝2.则cos 2α1－cos α＋cos 2α1＋cos α＝( ) A ．1 B ．2C.12D ．±2 2．若π2<x <π，则cos x |cos x |＋1－cos 2x sin x的值是( ) A ．0 B ．－1C ．2D ．－23．若sin 2θ＋cos 4θ＝1，则sin θ－cos θ＝( )A ．1B ．±1C. 2 D ．± 2 4．已知tan α－1cos α＝－3，则cos αsin α＋1＝( ) A. 3 B ．－ 3C. 2 D ．－ 2二、填空题5．(1＋tan 2θ)cos 2θ＝________．6．若角α的终边落在直线x ＋y ＝0上，则化简sin α1－sin 2α＋1－cos 2αcos α的结果是________． 7．若cos α＋2sin α＝－5，则tan α＝________．8．化简1－sin 6θ－cos 6θ1－sin θ－cos θ＝________． 三、解答题9．若sin αtan α<0，化简1－sin α1＋sin α＋ 1＋sin α1－sin α.10．证明：cos α1＋sin α－sin α1＋cos α＝2（cos α－sin α）1＋sin α＋cos α.答案1．解析：选C cos 2α1－cos α＋cos 2α1＋cos α＝cos 2α（1＋cos α＋1－cos α）（1－cos α）（1＋cos α）＝2cos 2αsin 2α＝2tan 2α＝12. 2．解析：选A ∵π2<x <π， ∴原式＝cos x －cos x ＋|sin x |sin x＝－1＋sin x sin x＝0. 3．解析：选B 由sin 2θ＋cos 4θ＝1，得cos 4θ＝1－sin 2θ＝cos 2θ. ∴cos 4θ－cos 2θ＝0，cos 2θ(cos 2θ－1)＝0.∴cos 2θsin 2θ＝0，sin θcos θ＝0，∴(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝1.故sin θ－cos θ＝±1.4．解析：选A ∵tan α－1cos α＝sin αcos α－1cos α ＝sin α－1cos α＝－3， ∴1－sin αcos α＝3， ∴cos αsin α＋1＝cos α（1－sin α）1－sin 2α ＝1－sin αcos α＝ 3. 5．解析：原式＝cos 2θ＋tan 2θcos 2θ＝cos 2θ＋sin 2θ＝1.答案：16．解析：由题意知，角α是第二或第四象限的角．则原式＝sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝0. 答案：07．解析：由已知可得(cos α＋2sin α)2＝5，即4sin 2α＋4sin αcos α＋cos 2α＝5(sin 2α＋cos 2α)， ∴tan 2α－4tan α＋4＝0，∴tan α＝2.答案：28．解析：原式＝1－[（sin 2θ）3＋（cos 2θ）3]1－[（sin 2θ）2＋（cos 2θ）2]＝1－（sin 2θ＋cos 2θ）（sin 4θ－sin 2θcos 2θ＋cos 4θ）1－[（sin 2θ＋cos 2θ）2－2sin 2θcos 2θ] ＝1－[（sin 2θ＋cos 2θ）2－3sin 2θcos 2θ]2sin 2θcos 2θ＝3sin 2θcos 2θ2sin 2θcos 2θ＝32. 答案：329．解：1－sin α1＋sin α＋1＋sin α1－sin α ＝（1－sin α）2（1＋sin α）（1－sin α）＋ （1＋sin α）2（1－sin α）（1＋sin α） ＝（1－sin α）21－sin 2α＋ （1＋sin α）21－sin 2α ＝（1－sin α）2cos 2α＋ （1＋sin α）2cos 2α ＝|1－sin α||cos α|＋|1＋sin α||cos α|. ∵|sin α|≤1，∴1－sin α≥0，1＋sin α≥0.又∵sin αtan α<0，∴α是第二、三象限角，从而cos α<0.∴原式＝1－sin α－cos α＋1＋sin α－cos α＝－2cos α. 10．证明：左边＝cos α＋cos 2α－sin α－sin 2α（1＋sin α）（1＋cos α）＝（cos α－sin α）（1＋sin α＋cos α）1＋sin α＋cos α＋sin αcos α＝2（cos α－sin α）（1＋sin α＋cos α）1＋sin2α＋cos2α＋2sin α＋2cos α＋2sin αcos α＝2（cos α－sin α）（1＋sin α＋cos α）（1＋sin α＋cos α）2＝2（cos α－sin α）1＋sin α＋cos α＝右边．。

课下能力提升(四) 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质单位圆的对称性与诱导公式一、选择题1．cos 150°的值是( )A ．－32B ．－12C.12D.322．已知600°角的终边上有一点P (a ，－3)，则a 的值为( )A. 3 B ．－ 3 C.33 D ．－333．在△ABC 中，下列4个等式恒成立的是( )①sin(A ＋B )＋sin C ＝0，②cos(A ＋B )＋cos C ＝0，③sin(2A ＋2B )＋sin 2C ＝0，④cos(2A ＋2B )＋cos 2C ＝0A ．①②B ．②③C ．③④D ．①②4．下列三角函数中，与sin π3数值相同的是( ) ①sin ⎝⎛⎭⎫n π＋4π3 ②cos ⎝⎛⎭⎫2n π＋π6 ③sin ⎝⎛⎭⎫2n π＋π3 ④cos ⎣⎡⎦⎤（2n ＋1）π－π6 ⑤sin ⎣⎡⎦⎤（2n ＋1）π－π3，()n ∈Z A ．①② B ．①②③C ．②③⑤D ．①③④二、填空题5．sin ⎝⎛⎭⎫－31π4＝________． 6．化简sin （90°－α）cos （－α）cos （180°－α）＝________． 7．已知sin ⎝⎛⎭⎫α－π3＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α的值等于________． 8．若函数f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，其中a ，b ，α，β都是非零实数，且满足f (2 011)＝2，则f (2 012)＝________．三、解答题9．求值：sin （－150°）cos （－210°）cos （－420°）cos （－600°）sin （－1 050°）.10．已知f (α)＝sin （α－3π）cos （2π－α）sin ⎝⎛⎭⎫－α＋3π2cos （－π－α）sin （－π－α）， (1)化简f (α)；(2)若α＝－31π3，求f (α)的值．答案1．解析：选A cos 150°＝cos(180°－30°)＝－cos 30°＝－32. 2．解析：选B ∵sin 600°＝sin(360°＋240°)＝sin 240°＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－32， ∴－3a 2＋32＝－32，∴a ＝±3. 又∵600°角的终边在第三象限∴a ＝－ 3.3．解析：选B 对于②，cos(A ＋B )＋cos C ＝cos(180°－C )＋cos C ＝－cos C ＋cos C ＝0，成立．对于③，sin(2A ＋2B )＋sin 2C ＝sin[2(180°－C )]＋sin 2C ＝sin(360°－2C )＋sin 2C ＝－sin 2C ＋sin 2C ＝0，成立．4．解析：选C ①中n 为偶数时，sin ⎝⎛⎭⎪⎫n π＋4π3＝－sin π3； ②中cos(2n π＋π6)＝cos π6＝sin π3； ③中sin ⎝⎛⎭⎪⎫2n π＋π3＝sin π3；④中cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤（2n ＋1）π－π6＝－cos π6＝－sin π3； ⑤中sin[(2n ＋1)π－π3]＝sin(π－π3)＝sin π3. 故②③⑤正确．5．解析：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π4＝－sin 31π4＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫8π－π4 ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝sin π4＝22. 答案：226．解析：原式＝cos αcos α－cos α＝－cos α. 答案：－cos α7．解析：∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝13，∴sin(π3－α)＝－13， 又∵⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝π2，∴cos(π6＋α)＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝－13. 答案：－13. 8．解析：∵f (2 011)＝a sin(2 011π＋α)＋b cos(2 011π＋β)＝a sin(π＋α)＋b cos(π＋β)＝－(a sin α＋b cos β)＝2，∴f (2 012)＝a sin(2 012π＋α)＋b cos(2 012π＋β)＝a sin α＋b cos β＝－2.答案：－29．解：原式＝（－sin 150°）cos 210°cos 420°cos 600°（－sin 1 050°）＝sin （180°－30°）cos （180°＋30°）cos （360°＋60°）cos （720°－120°）sin （1 080°－30°）＝sin 30°（－cos 30°）cos 60°cos 120°（－sin 30°）＝－sin 30°cos 30°cos 60°sin 30°sin 30°＝－12×32×1212×12＝－32. 10．解：(1)f (α)＝－sin α×cos α×（－cos α）（－cos α）sin α＝－cos α； (2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π3＝－cos ⎝⎛⎭⎫－31π3 ＝－cos ⎝⎛⎭⎪⎫－6×2π＋5π3 ＝－cos 5π3＝－cos π3＝－12.。

课下能力提升(七) 余弦函数的图像与性质
一、选择题
．下列对＝的图像描述错误的是( )．在[，π]和[π，π]上的图像形状相同，只是位置不同
．介于直线＝与直线＝－之间
．关于轴对称
．与轴仅有一个交点
．函数＝的一个单调减区间是( )
．函数＝，∈的值域是( )．设方程＝的解集为，方程＝的解集为，则与的关系为( )
．．
．＝．∩＝∅
二、填空题
．函数＝的奇偶性是．
．比较大小： .
．方程＝的解的个数是．
．函数＝)的值域是．
三、解答题
．求函数＝的单调减区间．．求函数＝＋＋的最大、最小值及使取最值的的集合．
答案
．答案：
．解析：选作出函数＝的图像如图所示，由图像
可知，、都不是单调区间，是单调增区间，是单调减区间．
．解析：选∵≤≤，
∴≤＋≤，
∵＝在[，π]上为减函数．
∴－≤(＋)≤.．解析：选由＝得＝π(∈)，即＝π(∈)；由＝得＝π(∈)，即＝(∈)．
∴.
．解析：∵(－)＝－×(－)＝－＝－()，
∴此函数是奇函数．
答案：奇函数
．解析：∵＝(π－)＝＝(－)＝，
<<<.
∴ >，
即 > .
答案：>．解析：在同一坐标系中画出函数＝与＝的图像(如图)，可知有两个交点．
答案：
．解析：∵<－≤.
∴)≥.
∴函数的值域为.
答案：
．解：由π≤－≤π＋π，∈，
得π＋≤≤π＋，∈，
∴＋≤≤＋，∈.
∴单调递减区间是(∈)．。

——教学资料参考参考范本——2019-2020学年度北师大版数学必修四习题：课下能力提升（二十五）______年______月______日____________________部门一、选择题1．(重庆高考)＝( )A ．－B ．－12C. D.322．在△ABC 中，若sin(B ＋C)＝2sin Bcos C ，那么这个三角形一定是( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形3．(湖南高考)函数f(x)＝sin x －cos 的值域为 ( )A ．[－2，2]B ．[－，]C ．[－1，1] D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，324．已知sin αcos α＝，0<α<，则cos 的值为( )A. B ．－15C. D ．±15二、填空题5．函数y ＝sin xcos ＋cos xsin 的最小正周期T ＝________．6．在△ABC 中，A ，B 为锐角，且sin A ＝，sin B ＝，则A ＋B ＝________．7．(大纲全国卷)当函数y＝sin x－cos x(0≤x<2π)取最大值时，x＝________．8．设α，β，γ∈，且sin α＋sin γ＝sin β，cos β＋cosγ＝cos α，则β－α等于________．三、解答题9．已知函数f(x)＝4cos xsin－1.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值．10．已知0<β<，<α<，cos＝，sin＝，求sin(α＋β)的值．答案1．解析：选C 原式＝sin（30°＋17°）－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin 30°cos 17°＋cos 30°sin 17°－sin 17°cos 30°cos 17°＝＝.2．解析：选D ∵sin(B＋C)＝2sin Bcos C，∴sin Bcos C＋cos Bsin C＝2sin Bcos C即cos Bsin C＝sin Bcos C，sin(B－C)＝0又－π<B－C<π，∴B－C＝0，B＝C.3．解析：选 B f(x)＝sin x－cos(x＋)＝sin x－cos x＋sin x ＝sin(x－)，∵sin(x－)∈[－1，1]，∴f(x)值域为[－，]．4．解析：选 C ∵cos(－α)＝(cos cos α＋sin ·sin α)＝cos α＋sin α，∴[cos(－α)]2＝(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝1＋2×＝.∵0<α<，∴－<－α<0，－<－α<，∴cos(－α)>0.∴cos(－α)＝.5．解析：y＝sin(x＋x＋)＝sin(2x＋)，∴T＝＝π.答案：π6．解析：∵A，B为锐角，∴cos A＝＝，cos B＝＝.∴cos(A＋B)＝cos Acos B－sin Asin B＝×－×＝.又0<A＋B<π，∴A＋B＝.答案：π47．解析：y＝sin x－cos x＝2sin(x－)，由0≤x<2π⇔－≤x－<可知－2≤2sin(x－)≤2，当且仅当x－＝时即x＝取得最大值．答案：5π68．解析：由条件知sin β－sin α＝sin γ，①cos β－cos α＝－cos γ，②由①2＋②2得2－2(sin βsin α＋cos αcos β)＝1.∴cos(β－α)＝，又由①知sin β>sin α，∴β>α，β－α∈(0，)．∴β－α＝.答案：π39．解：(1)∵f(x)＝4cos xsin(x ＋)－1 ＝4cos x(sin x ＋cos x)－1 ＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin(2x ＋)， ∴f(x)的最小正周期为π. (2)∵－≤x≤，∴－≤2x＋≤.∴当2x ＋＝，即x ＝时，f(x)取得最大值2； 当2x ＋＝－，即x ＝－时，f(x)取得最小值－1. 10．解：∵<α<， ∴－<－α<0.∴sin(－α)＝－ ＝－. 又∵0<β<， ∴<＋β<π，∴cos(＋β)＝－ ＝－.∴sin(α＋β)＝－cos(＋α＋β) ＝－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋β－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－coscos －sinsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－×－×＝.。

课下能力提升(十) 函数＝(ω＋φ)的图像的画法一、选择题．函数＝的相位和初相分别是( )．－＋，．－，－．＋，．＋，．(山东高考)将函数＝(＋φ)的图像沿轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图像，则φ的一个可能取值为( )．．－．要想得到函数＝的图像，只需将函数＝的图像( )．向右平移个单位长度．向右平移个单位长度．向左平移个单位长度．向左平移个单位长度．已知函数＝(ω＋φ)＋的一部分图像如图所示，如果>，ω>，φ<，则( )．＝．ω＝．φ＝．＝二、填空题．将函数＝的图像上所有点的横坐标伸长到原来的倍(纵坐标不变)，再将所得的图像向左平移个单位长度，得到的图像对应的函数解析式是．．将函数＝的图像向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度所得图像对应的函数解析式是．．(天津高考)将函数()＝ω(其中ω>)的图像向右平移个单位长度，所得图像经过点，则ω的最小值是．．为得到函数＝的图像，只需将函数＝的图像向平移个单位长度．三、解答题.图中曲线是函数()＝(ω＋φ)(>，ω>，φ<)的一段图像．()确定该图像对应的()的表达式；()若()＝，在[，]上有解，求的取值范围．．把函数＝()的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，再向左平移个单位长度，得到函数＝的图像，试求函数＝()的解析式．答案．解析：选∵＝(－＋)＝＝(＋)，∴相位和初相分别为＋，.．解析：选把函数＝(＋φ)的图像向左平移个单位后，得到的图像的解析式是＝，该函数是偶函数的充要条件是＋φ＝π＋，∈，根据选项检验可知φ的一个可能取值为.．解析：选函数＝可化为＝[＋]＝.要想得到函数＝的图像，只需将函数＝(＋)的图像向右平移个单位长度．．解析：选由图像易求得＝，＝，周期＝＝π，即得＝(＋φ)＋，又＝时，＝，即得＝，对比各选项知正确．．解析：先伸缩后平移，＝的图像→＝的图像→＝的图像，即＝的图像．答案：＝.．解析：将函数＝(＋)的图像向右平移个单位长度后变为函数＝(－＋)＝(＋)，再向上平移个单位长度，即函数解析式为＝(＋)＋.答案：＝(＋)＋．解析：将函数()＝ω的图像向右平移个单位长度，得到的图像对应的函数解析式为()＝ω(－)＝(ω－)．又因为函数图像过点(，)，所以(－)＝＝，所以＝π，即ω＝(∈)，因为ω>，所以ω的最小值为.答案：．解析：＝＝＝(＋)，故将＝的图像向左平移π个单位长度．答案：左π．解：()＝，＝π－＝π，∴ω＝＝.。

课下能力提升(二十八) 半角公式及其应用一、选择题1．已知tan α2＝3，则cos α为( )A.45 B ．－45 C.415 D ．－352．已知α为第三象限角，且sin α＝－2425，则tan α2等于( )A.43B.34 C ．－43 D ．－343．设a ＝12cos 6°－32sin 6°，b ＝2tan 13°1＋tan 213°，c ＝1－cos 50°2，则有( ) A ．a >b >c B ．a <b <c C ．a <c <b D ．b <c <a4．化简4cos 2α÷⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1tan α2－tan α2的结果为( ) A ．－12cos αsin α B ．sin 2αC ．－sin 2αD ．2sin 2α 二、填空题5．计算：sin π8＝________．6．在△ABC 中，若cos A ＝13，则sin 2B ＋C 2＋cos 2A 的值为________． 7．化简：2sin 2α1＋cos 2α·cos 2αcos 2α＝________．8．已知sin α2－cos α2＝－55，若450°<α<540°，则tan α2＝________．三、解答题9．求值：1＋cos 20°2sin 20°－sin 10°⎝ ⎛⎭⎪⎫1tan 5°－tan 5°.10．已知函数y ＝12cos 2x ＋32sin x cos x ＋1(x ∈R )，求函数的最大值及对应自变量x 的集合．★答案★1．解析：选B 法一：cos α＝cos 2α2－sin 2α2＝cos2α2－sin2α2cos 2α2＋sin 2α2＝1－tan2α21＋tan2α2＝1－91＋9＝－45.法二：∵tan α2＝3，∴1－cos α1＋cos α＝9，即1－cos α＝9＋9cos α，解得cos α＝－45.2．解析：选C ∵α为第三象限角， ∴cos α＝－1－sin 2α＝－1－（－2425）2＝－725，tan α2＝1－cos αsin α＝1－（－725）－2425＝－43.3．解析：选C a ＝sin 30°cos 6°－cos 30°sin 6°＝sin 24°， b ＝2tan 13°cos 213°cos 213°＋tan 213°cos 213°＝2sin 13°cos 13°cos 213°＋sin 213° ＝sin 26°，c ＝sin 25°. 由24°<25°<26°可得a <c <b .4．解析：选B 原式＝4cos 2αtanα21－tan2α2＝2cos 2αtan α＝2cos 2αsin αcos α＝2sin αcos α＝sin 2α. 5．解析：sin π8＝1－cosπ42＝ 1－222＝2－22. ★答案★：2－226．解析：∵cos A ＝13，∴原式＝cos 2A2＋cos 2A＝1＋cos A 2＋2cos 2A －1 ＝1＋132＋2×(13)2－1＝－19.★答案★：－197．解析：原式＝cos 2α1＋cos 2α·2sin 2αcos 2α＝1＋cos 2α21＋cos 2α·2tan 2α ＝12×2tan 2α ＝tan 2α. ★答案★：tan 2α8．解析：由条件知1－2sin α2cos α2＝15，∴2sin α2cos α2＝45，即sin α＝45又450°<α<540°，cos α<0， ∴cos α＝－35.tan α2＝1－cos αsin α＝1＋3545＝2.★答案★：29．解：原式＝2cos 210°4sin 10°cos 10°－sin 10°(cos 5°sin 5°－sin 5°cos 5°)＝cos 10°2sin 10°－sin 10°cos 25°－sin 25°sin 5°cos 5° ＝cos 10°2sin 10°－2cos 10°＝cos 10°－2sin 20°2sin 10°＝cos 10°－2sin （30°－10°）2sin 10°＝cos 10°－2sin 30°cos 10°＋2cos 30°sin 10°2sin 10°＝cos 30°＝32. 10．解：y ＝12cos 2x ＋32sin x cos x ＋1＝14cos 2x ＋34sin 2x ＋54 ＝12sin(2x ＋π6)＋54， y 取最大值，只需2x ＋π6＝π2＋2k π(k ∈Z )， 即x ＝k π＋π6(k ∈Z )．∴y max ＝74.∴当函数y 取最大值74时，自变量x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝k π＋π6，k ∈Z .。

课下能力提升(二十一) 平面向量数量积的坐标表示一、选择题1．若向量a ＝(1，2)，b ＝(1，－1)，则2a ＋b 与a －b 的夹角等于( ) A ．－π4 B.π6C.π4 D.3π42．已知向量a ＝(3，4)，b ＝(2，－1)，如果向量a ＋x b 与－b 垂直，则x 的值为( ) A ．－25 B.233C.323D ．2 3．已知向量a ＝(2，1)，a ·b ＝10，|a ＋b |＝52，则|b |＝( ) A. 5 B.10 C ．5 D ．254．已知AB ＝(4,2)，＝(k ，－2)，若△ABC 为直角三角形，则k 等于( ) A ．1 B ．6C ．1或6D ．1或2或6 二、填空题5．(安徽高考)设向量a ＝(1，2m )，b ＝(m ＋1，1)，c ＝(2，m )．若(a ＋c )⊥b ，则|a |＝________． 6．(新课标全国卷Ⅰ)已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝t a ＋(1－t )b .若b ·c ＝0，则t ＝________．7．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c ＝________． 8．已知a ＝(1，3)，b ＝(1，1)，c ＝a ＋λb ，若a 和c 的夹角是锐角，则λ的取值范围是________．三、解答题9．已知向量a 是以点A (3，－1)为始点，且与向量b ＝(－3，4)垂直的单位向量，求a 的终点坐标．10．已知△ABC 中，A (2,4)，B (－1，－2)，C (4,3)，BC 边上的高为AD . (1)求证：AB ⊥AC ；(2)求点D 和向量AD 的坐标； (3)设∠ABC ＝θ，求cos θ.答案1．解析：选C 因为2a ＋b ＝(2，4)＋(1，－1)＝(3，3)，a －b ＝(0，3)，所以|2a ＋b |＝32，|a －b |＝3. 设2a ＋b 与a －b 的夹角为θ，则cos θ＝（2a ＋b ）·（a －b ）|2a ＋b ||a －b |＝（3，3）·（0，3）32×3＝22，又θ∈[0，π]， 所以θ＝π4.2．解析：选A ∵a ＋x b ＝(3，4)＋x (2，－1)＝(3＋2x ，4－x )， －b ＝(－2，1)，且(a ＋x b )⊥(－b )， ∴－2(3＋2x )＋(4－x )＝0，得x ＝－25.3．解析：选C 法一：设b ＝(x ，y )， 则a ·b ＝2x ＋y ＝10 ①，又a ＋b ＝(x ＋2，y ＋1)，|a ＋b |＝52， ∴(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝50 ② ①与②联立得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝4，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝0.∴|b |＝x 2＋y 2＝5.法二：由|a ＋b |＝52得a 2＋2a ·b ＋b 2＝50， 即5＋20＋b 2＝50 ∴b 2＝25|b |＝5.4．解析：选C 当A ＝90°时，⊥AB ，则4k －4＝0，k ＝1； 当B ＝90°时，AB ⊥，又BC ＝AC －AB ＝(k －4，－4) ∴4(k －4)＋2×(－4)＝0解得k ＝6；当C ＝90°时，AC ⊥，则k (k －4)＋(－2)×(－4)＝0 即k 2－4k ＋8＝0，无解． 故k ＝1或6.5．解析：由题意知，a ＋c ＝(3，3m )， (a ＋c )·b ＝3(m ＋1)＋3m ＝0，解得m ＝－12，即a ＝(1，－1)，|a |＝12＋（－1）2＝ 2. 答案： 26．解析：本题考查平面向量的数量积运算，意在考查考生的运算求解能力．根据数量积b·c ＝0，把已知两向量的夹角转化到两向量数量积的运算中．因为向量a ，b 为单位向量，所以b 2＝1，又向量a ，b 的夹角为60°，所以a·b ＝12，由b·c ＝0得b ·[t a ＋(1－t )b ]＝0，即t a·b＋(1－t )b 2＝0，所以12t ＋(1－t )＝0，所以t ＝2.答案：27．解析：本题主要考查向量的基本知识及运算．由题意，将b ·c ＝[t a ＋(1－t )b ]·b 整理，得t a ·b ＋(1－t )＝0，又a ·b ＝12，所以t ＝2.答案：27．解析：设c ＝(x ，y )，则c ＋a ＝(x ＋1，y ＋2)． 又(c ＋a )∥b ，∴2(y ＋2)＋3(x ＋1)＝0.① 又c ⊥(a ＋b )，∴(x ，y )·(3，－1)＝3x －y ＝0.② 解①②得x ＝－79，y ＝－73.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－79，－738．解析：由条件得，c ＝(1＋λ，3＋λ)，从而⎩⎪⎨⎪⎧a ×c ＝1＋λ＋3（3＋λ）>0，1＋λ1≠3＋λ3， ⇒λ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，0∪(0，＋∞)． 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，0∪(0，＋∞) 9．解：∵b 是直线y ＝－43x 的方向向量，且a ⊥b .∴a 是直线y ＝34x 的方向向量．∴可设a ＝λ(1，34)＝(λ，3λ4)．由|a |＝1， 得λ2＋916λ2＝1.解得λ＝±45，∴a ＝(45，35)或a ＝(－45，－35)．设a 的终点坐标为(x ，y ) 则⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝45，y ＋1＝35，或⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝－45，y ＋1＝－35.即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝195，y ＝－25，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝115，y ＝－85.∴a 的终点坐标是(195，－25)或(115，－85)．10．∴5(x ＋1)＝5(y ＋2)，② 由①②解得x ＝72，y ＝52，故D 点坐标为(72，52)，。

课下能力提升(二十) 从力做的功到向量的数量积一、选择题1．已知|b |＝3，a 在b 方向上的射影是32，则a ·b ＝( ) A ．3 B.92C ．2 D.122．设向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，a ·b ＝－12，则|a ＋2b |＝( ) A. 2 B. 3 C. 5 D.73．已知|a |＝1，|b |＝6，a ·(b －a )＝2，则向量a 与向量b 的夹角是( )A.π6 B.π4 C.π3 D.π24．若向量a ，b ，c 满足a ∥b 且a ⊥c ，则c ·(a ＋2b )＝( )A ．4B ．3C ．2D ．0二、填空题5．已知|a |＝1，|b |＝3，|a －b |＝4，则|a ＋b |＝________．6．已知平面向量a ，b ，|a |＝1，|b |＝2，且|2a ＋b |＝10，则向量a 与a －2b 的夹角为________．7．已知e 1，e 2是夹角为2π3的单位向量，a ＝e 1－2e 2，b ＝k e 1＋e 2，若a ·b ＝0，则k 的值为________．8．设a ，b ，c 是三个任意的非零向量，且互不平行，以下四个命题：①|a |＋|b |>|a ＋b |；②若a ≠0，a ·b ＝0，则b ＝0；③向量a ，b 满足：a ·b >0，则a 与b 的夹角为锐角；④若a ，b 的夹角为θ，则|b |cos θ表示向量b 在向量a 方向上的射影长．其中正确的命题是________(填序号)三、解答题9．已知|a |＝3，|b |＝4，且(a ＋2b )·(2a －b )≥4，求a 与b 的夹角θ的范围．10．已知a ⊥b ，且|a |＝2，|b |＝1，若有两个不同时为零的实数k ，t ，使得a ＋(t －3)b 与－k a ＋t b 垂直，试求k 的最小值．答案1．解析：选B 设a ，b 的夹角为θ(0≤θ≤π)依题意，|a |cos θ＝32，而|b |＝3. ∴a ·b ＝|a ||b |cos θ＝3×32＝92. 2．解析：选B ∵|a ＋2b |2＝(a ＋2b )2＝a 2＋4a ·b ＋4b 2＝|a |2＋4a ·b ＋4|b |2＝1－4×12＋4＝3， ∴|a ＋2b |＝ 3.3．解析：选C 设向量a 与向量b 的夹角为θ(0≤θ≤π)，由条件得a ·b －a 2＝2，所以a ·b ＝2＋a 2＝3＝|a ||b |cos θ＝1×6×cos θ，所以cos θ＝12， 又因为0≤θ≤π，所以θ＝π3. 4．解析：选D ∵a ⊥c ，∴a ·c ＝0.∵a ∥b ，∴b ⊥c .∴b ·c ＝0，∴c ·(a ＋2b )＝c ·a ＋2b ·c ＝0.5．解析：由|a －b |2＝a 2－2a ·b ＋b 2得16＝1－2a ·b ＋9，2a ·b ＝－6∴|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝1－6＋9＝4|a ＋b |＝2.答案：26．解析：由|2a ＋b |＝10得，4|a 2|＋4a ·b ＋|b |2＝10，∴4·12＋4a ·b ＋22＝10，∴a ·b ＝12， ∴a ·(a －2b )＝|a |2－2a ·b ＝1－2×12＝0. 故a ⊥(a －2b )，即a 与a －2b 的夹角为90°.答案：90°7．解析：∵a ·b ＝(e 1－2e 2)·(k e 1＋e 2)＝k e 21＋(1－2k )e 1·e 2－2e 22＝k ＋(1－2k )×1×1×cos 2π3－2 ＝2k －52＝0， ∴k ＝54. 答案：548．解析：①正确，根据三角形两边之和大于第三边；②错误，由a ≠0，a ·b ＝0可得b ＝0或a ⊥b ；③错误，a ·b >0时a 与b 可以同向；④错误，|b |cos θ表示b 在a 方向上的射影，不是长度，故正确的个数只有1个．答案：①9．解：由(a ＋2b )·(2a －b )＝2a 2－2b 2＋3a ·b ＝2×32－2×42＋3a ·b ≥4得a ·b ≥6， ∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝a ·b 3×4≥63×4＝12. 又θ∈[0，π]，∴θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3. 10．解：∵a ⊥b ，∴a·b ＝0，又由已知得[a ＋(t －3)b ]·[－k a ＋t b ]＝0，∴－k a 2＋t (t －3)b 2＝0. ∵|a |＝2，|b |＝1，∴－4k ＋t (t －3)＝0.∴k ＝14(t 2－3t ) ＝14(t －32)2－916(t ≠0)． 故当t ＝32时，k 取最小值－916.。

课时分层作业(二) 弧度制(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．在半径为10的圆中，240°的圆心角所对弧长为( ) A.403π B.203π C.2003π D.4003π A [240°＝240×π180 rad ＝43π rad，∴弧长l ＝|α|·r ＝43π×10＝403π，故选A.]2．自行车的大链轮有88齿，小链轮有20齿，当大链轮转过一周时，小链轮转过( ) A.5π11 rad B.44π5 rad C.5π22rad D.22π5rad B [由题意，当大链轮转过一周时，小链轮转过8820周，8820×2π＝44π5.]3．与30°角终边相同的角的集合是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪α＝k ·360°＋π6，k ∈ZB ．{α|α＝2k π＋30°，k ∈Z }C ．{α|α＝2k ·360°＋30°，k ∈Z }D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪α＝2k π＋π6，k ∈ZD [∵30°＝π6，∴α＝2k π＋π6，k ∈Z .]4．终边落在直线y ＝x 上的角α的集合是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫π4 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫π4，5π4C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪α＝π4＋2k π，k ∈ZD.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪α＝π4＋k π，k ∈ZD [角的终边落在直线y ＝x 上，即此角的终边为第一、三象限的平分线，故角α的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪α＝π4＋k π，k ∈Z .]5．若2弧度的圆心角所对的弧长为4 cm ，则这个圆心角所对的扇形面积是( )A ．4 cm 2B ．2 cm 2C ．4π cm 2D ．2π cm 2A [设扇形的半径为r ，则由l ＝|α|r ，得r ＝42＝2(cm)，∴S ＝12|α|r 2＝12×2×22＝4(cm 2)，故选A.]二、填空题6．若扇形圆心角为216°，弧长为30π，则扇形半径为________． 25 [216°＝216×π180＝6π5，l ＝α·r ＝6π5·r ＝30π，所以r ＝25.]7．若三角形三内角之比为4∶5∶6，则最大内角的弧度数是________． [答案] 25π8．如果一扇形的弧长变为原来的32倍，半径变为原来的一半，则该扇形的面积为原扇形面积的________．34 [由于S ＝12lR ，若l ′＝32l ，R ′＝12R ，则S ′＝12l ′R ′＝12×32l ×12R ＝34S .] 三、解答题9．把下列各角化为2k π＋α(0≤α<2π，k ∈Z )形式并指出它是第几象限角，并写出与它终边相同的角的集合．(1)－46π3；(2)－1 485°；(3)－20.[解] (1)－46π3＝－8×2π＋2π3，它是第二象限角，终边相同的角的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫β⎪⎪⎪β＝2k π＋2π3，k ∈Z. (2)－1 485°＝－5×360°＋315°＝－5×2π＋7π4，它是第四象限角．终边相同的角的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫β⎪⎪⎪β＝2k π＋7π4，k ∈Z. (3)－20＝－4×2π＋(8π－20)，而3π2<8π－20<2π.∴－20是第四象限角，终边相同的角的集合为{α|α＝2k π＋(8π－20)，k ∈Z }． 10．直径为20 cm 的圆中，求下列两个圆心角所对的弧长及扇形面积． (1)4π3；(2)165°.[解] (1)l ＝|α|·r ＝43π×10＝403π(cm)，S ＝12|α|·r 2＝12×43π×102＝2003π(cm 2)． (2)165°＝π180×165 rad＝1112π rad.∴l ＝|α|·r ＝1112π×10＝556π(cm)．S ＝12l ·r ＝12×556π×10＝2756π(cm 2)． [等级过关练]1．集合⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z中角的终边所在的范围(阴影部分)是 ( )A B C DC [当k ＝2m ，m ∈Z 时，2m π＋π4≤α≤2m π＋π2，m ∈Z ；当k ＝2m ＋1，m ∈Z 时，2m π＋5π4≤α≤2m π＋3π2，m ∈Z ，所以选C.] 2.如图是一个半径为R 的扇形，它的周长为4R ，则这个扇形所含弓形(阴影区域)的面积是( )A.12(2－sin 1cos 1)R 2B.12R 2sin 1cos 1 C.12R 2 D ．(1－sin 1cos 1)R 2D [∵l ＝4R －2R ＝2R ，∴α＝l R＝2.∵S 弓形＝S 扇形－S △＝12|α|R 2－12⎝⎛⎭⎪⎫2R sin α2·⎝ ⎛⎭⎪⎫R cos α2＝12×2×R 2－R 2sin 1·cos 1＝R 2(1－sin 1cos 1)．] 3．扇形圆心角为π3，半径为a ，则扇形内切圆的圆面积与扇形面积之比为________．2∶3 [如图，设内切圆半径为r ，则r ＝a3，所以S 圆＝π·⎝ ⎛⎭⎪⎫a 32＝πa 29，S 扇＝12a 2·π3＝πa26， 所以S 圆S 扇＝23.] 4．已知α是第二象限角，且|α＋2|≤4，则α的集合是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫－32π，－π∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，2 [∵α是第二象限角， ∴π2＋2k π<α<π＋2k π，k ∈Z ， ∵|α＋2|≤4，∴－6≤α≤2， 当k ＝－1时，－32π<α<－π，当k ＝0时，π2<α≤2，当k 为其他整数时，满足条件的角α不存在．]5．已知一个扇形的周长为a ，求当扇形的圆心角多大时，扇形的面积最大，并求这个最大值．[解] 设扇形的弧长为l ，半径为r ，圆心角为α，面积为S . 由已知，2r ＋l ＝a ，即l ＝a －2r . ∴S ＝12l ·r ＝12(a －2r )·r ＝－r 2＋a 2r＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫r －a 42＋a 216.∵r >0，l ＝a －2r >0，∴0<r <a2，∴当r ＝a 4时，S max ＝a 216.此时，l ＝a －2·a 4＝a2，∴α＝l r ＝2.故当扇形的圆心角为2 rad 时，扇形的面积最大，最大值为a 216.。

课下能力提升4一、选择题1．下面哪种统计图没有数据信息的损失，所有的原始数据都可以从该图中得到( ) A．条形统计图 B．茎叶图C．扇形统计图 D．折线统计图2．某班学生在课外活动中参加文娱、美术、体育小组的人数之比为3∶1∶6，则在扇形统计图中表示参加体育小组人数的扇形圆心角是( )A．108° B．216° C．60° D．36°3.如图是某公司10个销售店某月销售某产品数量(单位：台)的茎叶图，则数据落在区间[22,30)内的频率为( )A．0.2 B．0.4 C．0.5 D．0.64．某同学对高一(1)班和高一(2)班两个班级今年的获奖情况进行了统计，制成两个统计图(如图所示)，你认为哪个图比较恰当( )A．①恰当 B．②恰当 C．①②都恰当 D．①②都不恰当5．2013年某学科能力测试共有12万考生参加，成绩采用15级分，测试成绩分布图如下：试估计成绩高于11级分的人数为( )A．8 000 B．10 000 C．20 000 D．60 000二、填空题6．某校高一(1)班有50名学生，综合素质评价“运动与健康”方面的等级统计如图所示，则该班“运动与健康”评价等级为A的人数是________．7.在如图所示的茎叶图中，甲、乙两组数据的中位数分别是________，________.8．某校为了了解学生的睡眠情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自的睡眠时间的数据，结果用如图所示的条形图表示．根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的睡眠时间为________ h.三、解答题9．某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分原始记录如下：甲运动员的得分：13,23,8,26,38,16,33,14,28,39；乙运动员的得分：49,24,12,31,50,44,15,25,36,31.用茎叶图将甲、乙运动员的成绩表示出来．10．某地农村某户农民年收入如下(单位：元)：土地收入打工收入养殖收入其他收入4 320 3 600 2 357 843请用不同的统计图来表示上面的数据．答案1. 解析：选B 所有的统计图中，仅有茎叶图完好无损地保存着所有的数据信息．2. 解析：选B 参加体育小组人数占总人数的63＋1＋6＝60%，则扇形圆心角是360°×60%＝216°.3. 解析：选B 由茎叶图可知数据落在区间[22,30)内的频数为4，所以数据落在区间[22,30)内的频率为410＝0.4.4. 解析：选 B 图②较恰当．由图②我们可以很清楚地看出运动类的获奖次数(1)班比(2)班多一些，而学习类的获奖次数(1)班比(2)班少一些．5. 解析：选B 由题意结合条形图分析得成绩高于11级分的考生数的百分比大约为(2.3＋3＋0.9＋1.7)%＝7.9%，所以考生大约为：7.9%×120 000＝9480(人)．故最接近的人数为10 000.6. 解析：由扇形图可知：评价等级为A的人数占总人数的38%，由此可知高一(1)班的50名学生中有50×38%＝19人在该等级中.答案：197. 解析：甲组数据为：28,31,39,42,45,55,57,58,66，中位数为45；乙组数据为：29,34,35,42,46,48，53,55,67，中位数为46.答案：45 468. 解析：法一：要确定这50名学生的平均睡眠时间，就必须计算其总睡眠时间．总睡眠时间为5.5×0.1×50＋6×0.3×50＋6.5×0.4×50＋7×0.1×50＋7.5×0.1×50＝27.5＋90＋130＋35＋37.5＝320.故平均睡眠时间为320÷50＝6.4 (h)．法二：根据图形得平均每人的睡眠时间为t＝5.5×0.1＋6×0.3＋6.5×0.4＋7×0.1＋7.5×0.1＝6.4(h)．答案：6.49. 解：制作茎叶图的方法是：将所有的两位数的十位数字作为“茎”，个位数字作为“叶”，茎相同者共用一个茎，茎按从小到大的顺序从上向下列出，共茎的叶一般按从大到小(或从小到大)的顺序同行列出．甲、乙运动员的得分茎叶图如图.10. 解：用条形统计图表示，如图所示．用折线统计图表示，如图所示．用扇形统计图表示，如图所示．。

北师大版2017-2018学年高中数学必修四全册课下能力提升试题目录课下能力提升(一) 周期现象角的概念的推广 (1)课下能力提升(二) 弧度制 (5)课下能力提升(三) 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义9 课下能力提升(四) 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质 .. 12 课下能力提升(五) 正弦函数的图像 (16)课下能力提升(六) 正弦函数的性质 (20)课下能力提升(七) 余弦函数的图像与性质 (24)课下能力提升(八) 正切函数的定义正切函数的图像与性质 .. 27 课下能力提升(九) 正切函数的诱导公式 (31)课下能力提升(十) 函数y＝A sin(ωx＋φ)的图像的画法 (34)课下能力提升(十一) 函数y＝A sin(ωx＋φ)的性质 (38)课下能力提升(十二) 三角函数的简单应用 (43)课下能力提升(十三) 从位移、速度、力到向量 (48)课下能力提升(十四) 向量的加法 (53)课下能力提升(十五) 向量的减法 (58)课下能力提升(十六) 数乘向量 (63)课下能力提升(十七) 平面向量基本定理 (68)课下能力提升(十八) 平面向量的坐标表示平面向量线性运算的坐标表示 (73)课下能力提升(十九) 向量平行的坐标表示 (77)课下能力提升(二十) 从力做的功到向量的数量积 (81)课下能力提升(二十一) 平面向量数量积的坐标表示 (85)课下能力提升(二十二) 向量应用举例 (90)课下能力提升(二十三) 求值问题 (95)课下能力提升(二十四) 化简、证明问题 (100)课下能力提升(二十五) 两角差的余弦函数两角和与差的正弦、余弦函数 (104)课下能力提升(二十六) 两角和与差的正切函数 (108)课下能力提升(二十七) 倍角公式及其应用 (113)课下能力提升(二十八) 半角公式及其应用 (117)阶段质量检测(一) 三角函数 (121)阶段质量检测(二) 平面向量 (130)阶段质量检测(三) 三角恒等变形 (138)课下能力提升(一)周期现象角的概念的推广一、选择题1．－435°角的终边所在象限是()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．若α是第二象限的角，则180°－α是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角3．与－457°角终边相同的角的集合是()A．{α|α＝457°＋k³360°，k∈Z}B．{α|α＝97°＋k³360°，k∈Z}C．{α|α＝263°＋k³360°，k∈Z}D．{α|α＝－263°＋k³360°，k∈Z}4．已知α是第四象限角，则α2是()A．第一或第三象限角B．第二或第三象限角C．第一或第四象限角D．第二或第四象限角二、填空题5．与2 011°终边相同的最小正角是________，绝对值最小的角是________．6．设集合M＝{α|α＝－36°＋k³90°，k∈Z}，N＝{α|－180°<α<180°}，则M∩N ＝________．7．若角α与β的终边互相垂直，则α－β＝________．8．终边落在阴影部分的角的集合是________．三、解答题9．已知角α的终边与60°角的终边相同，写出满足条件的角α的集合S，并求出这个集合中在－360°～360°范围内的角．10.如图，点A在半径为1且圆心在原点的圆上，∠AOx＝45°.点P从点A出发，按逆时针方向匀速地沿此圆周旋转．已知P在1 s内转过的角度为θ(0°<θ<180°)，经过2 s 到达第三象限，经过14 s后又回到出发点A，求角θ，并判定其所在的象限．答案1．解析：选D设与－435°角终边相同的角为α，则α＝－435°＋k³60°，k∈Z，当k＝1时，α＝－75°，∵－75°角为第四象限角，∴－435°角的终边在第四象限．2．解析：选A法一：取特值α＝120°，则180°－120°＝60°，是第一象限角．法二：180°－α＝－α＋180°，α是第二象限角，而－α与α关于x轴对称，故－α是第三象限角，再逆时针旋转180°，得－α＋180°，位于第一象限，如下图．3．解析：选C 由于－457°＝－1³360°－97°＝－2³360°＋263°， 故与－457°角终边相同的角的集合是{}α|α＝－457°＋k ³360°，k ∈Z＝{}α|α＝263°＋k ³360°，k ∈Z .4．解析：选D 如下图，带4的标号在第二、四象限，故α2是第二或第四象限角．5．解析：与2 011°终边相同的角为2 011°＋k ³360°，k ∈Z . 当k ＝－5时，211°为最小正角；当k ＝－6时，－149°为绝对值最小的角． 答案：211° －149°6．解析：对于M ，当k ＝－1时，α＝－126°； 当k ＝0时，α＝－36°； 当k ＝1时，α＝54°； 当k ＝2时，α＝144°.故M ∩N ＝{}－126°，－36°，54°，144°. 答案：{}－126°，－36°，54°，144° 7．解析：∵角α与β的终边互相垂直， ∴角α与β＋90°或β－90°的终边相同．即α＝β＋90°＋k ³360°或α＝β－90°＋k ³360°，k ∈Z . ∴α－β＝±90°＋k ³360°，k ∈Z . 答案：±90°＋k ³360°，k ∈Z8．解析：在－180°～180°范围内，阴影部分表示－45°≤α≤120°，故所示的角的集合为{α|－45°＋k ³360°≤α≤120°＋k ³360°，k ∈Z }．答案：{}α|－45°＋k ³360°≤α≤120°＋k ³360°，k ∈Z9．解：与60°角的终边相同的角的集合为S ＝{α|α＝60°＋k ³360°，k ∈Z }， 当k ＝0时，α＝60°；当k ＝－1时，α＝60°－360°＝－300°.所以，集合S 在－360°～360°范围内的角为60°，－300°.10.解：由题意，得14θ＋45°＝45°＋k ³360°，k ∈Z ， 则θ＝k ·180°7，k ∈Z .∵180°<2θ＋45°<270°，∴67.5°<θ<112.5°， 即67.5°<k ³180°7<112.5°，k ∈Z .∴k ＝3，或k ＝4.∴θ＝540°7，或θ＝720°7.易知0°<540°7<90°，90°<720°7<180°，故角θ的终边在第一或第二象限．课下能力提升(二) 弧 度 制一、选择题1．下列命题中，真命题是( ) A ．1弧度是1度的圆心角所对的弧 B ．1弧度是长度为半径的弧 C ．1弧度是1度的弧与1度的角之和D ．1弧度的角是长度等于半径长的弧所对的圆心角 2．α＝－2 rad ，则α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限3．时钟的分针在1时到3时20分这段时间里转过的弧度数为( ) A.14π3 B ．－14π3 C.7π18 D ．－7π184．设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝k π＋（－1）k³π2，k ∈Z ，B ＝{x |x ＝2k π＋π2，k ∈Z }，则集合A 与B 之间的关系为( )A ．AB B ．A BC ．A ＝BD ．A ∩B ＝∅ 二、填空题5．在半径为2的圆内，弧长为2π3的圆心角的度数为________．6．终边落在直线y ＝x 上的角的集合用弧度表示为S ＝________．7．已知θ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝k π＋（－1）k ³π4，k ∈Z ，则角θ的终边所在的象限是________．8．已知扇形的面积为25，圆心角为2 rad ，则它的周长为________． 三、解答题9．用弧度表示顶点在原点，始边重合于x 轴的非负半轴，终边落在图中的阴影部分内的角的集合(不包括边界)．10.如图，动点P ，Q 从点A (4，0)出发，沿圆周运动，点P 按逆时针方向每秒钟转π3弧度，点Q 按顺时针方向每秒钟转π6弧度，求P ，Q 第一次相遇时所用的时间、相遇点的坐标及P ，Q 点各自走过的弧长．答案1．解析：选D 由弧度制定义知D 正确．2．解析：选C ∵－π<－2<－π2，∴α的终边落在第三象限，故选C.3．解析：选B 显然分针在1时到3时20分这段时间里，顺时针转过了213周，其弧度数为－(2π³73)＝－14π3rad.4．解析：选C 对于集合A ，当k ＝2n (n ∈Z )时，x ＝2n π＋π2，当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，x ＝2n π＋π－π2＝2n π＋π2∴A ＝B ，故选C.5．解析：设所求的角为α，角α＝2π32＝π3＝60°.答案：60°6．解析：S ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝π4＋2k π，k ∈Z ∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝5π4＋2k π，k ∈Z＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝π4＋2k π，k ∈Z ∪{α|α＝π4＋(2k ＋1)π，k ∈Z }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝π4＋n π，n ∈Z . 答案：{α|α＝π4＋n π，n ∈Z }7．解析：当k 为偶数时，α＝2n π＋π4，终边在第一象限；当k 为奇数时，α＝(2n＋1)π－π4＝2n π＋34π，终边在第二象限．答案：第一、二象限8．解析：设扇形的弧长为l ，半径为r ， 则由S ＝12αr 2＝25，得r ＝5，l ＝αr ＝10，故扇形的周长为20. 答案：209．解：(1)图①中，以OA 为终边的角为π6＋2k π(k ∈Z )；以OB 为终边的角为－2π3＋2k π(k ∈Z )．∴阴影部分内的角的集合为{α|－2π3＋2k π<α<π6＋2k π，k ∈Z }．(2)图②中，以OA 为终边的角为π3＋2k π，k ∈Z ；以OB 为终边的角为2π3＋2k π，k ∈Z .不妨设右边阴影部分所表示集合为M 1，左边阴影部分所表示集合为M 2， 则M 1＝{α|2k π<α<π3＋2k π，k ∈Z }，M 2＝{α|2π3＋2k π<α<π＋2k π，k ∈Z }． ∴阴影部分所表示的集合为：M 1∪M 2＝{α|2k π<α<π3＋2k π，k ∈Z }∪{α|2π3＋2k π<α<π＋2k π，k ∈Z }＝{α|2k π<α<π3＋2k π或2π3＋2k π<α<π＋2k π，k ∈Z }．10．解：设P ，Q 第一次相遇时所用的时间是t s ， 则t ³π3＋t ³|－π6|＝2π，所以t ＝4(s)，即P ，Q 第一次相遇时所用的时间为4 s .如图，设第一次相遇点为C ，第一次相遇时已运动到终边在π3³4＝4π3的位置，则x c ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫4³12＝－2，y c ＝－42－22＝－23，所以C 点的坐标为(－2，－23)．P 点走过的弧长为4π3³4＝16π3， Q 点走过的弧长为2π3³4＝8π3.课下能力提升(三) 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义单位圆与周期性一、选择题1．如果－315°角的终边过点(2，a )，则a 等于( ) A ．－2 B ．2 C ．－55D ．±2 2．cos 9π4等于( ) A ．－22B.22C ．－1D ．13．已知角α的终边过点(x ，－6)，若sin α＝－1213，则x 等于( )A.52B ．－52 C ．±25D ．±524．设A 是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪sin A 2＝－sin A 2，则A2是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角 二、填空题5．sin (－330°)＝________．6．如果cos x ＝|cos x |，那么角x 的取值范围是________． 7．若点P (2m ，－3m )(m <0)在角α的终边上，则 sin α＝________，cos α＝________．8．sin 420°cos 750°＋sin(－690°)cos(－660°)＝________． 三、解答题9．已知f (x ＋3)＝－1f （x ），求证：f (x )是周期函数，并求出它的一个周期．10．已知cos α<0，sin α<0. (1)求角α的集合； (2)判断sin α2，cos α2的符号．答案1．解析：选B ∵cos(－315°)＝cos 45°＝22， ∴22＝24＋a 2，解得a ＝±2， 又－315°是第一象限角， ∴a ＝22．解析：选B cos9π4＝cos ⎝⎛⎭⎫2π＋π4＝cos π4＝22. 3．解析：选D sin α＝－6x 2＋62＝－1213，解得x ＝±52.4．解析：选D ∵A 是第三象限角，∴A 2是第二、四象限角．又|sin A 2|＝－sin A2≥0，∴sin A 2≤0，易知A2为第四象限角．5．解析：sin(－330°)＝sin(－360°＋30°)＝sin 30°＝12.答案：126．解析：∵cos x ＝|cos x |，∴cos x ≥0， ∴－π2＋2k π≤x ≤π2＋2k π，k ∈Z .答案：{x |2k π－π2≤x ≤2k π＋π2，k ∈Z }7．解析：如右图，点P (2m ，－3m )(m <0)在第二象限，且r ＝－13m ，故有sin α＝－3m r ＝－3m－13m ＝31313.cos α＝2m r ＝2m－13m ＝－21313.答案：31313 －213138．解析：原式＝sin(360°＋60°)cos(720°＋30°)＋sin(－720°＋30°)cos(－720°＋60°)＝sin 60° cos 30°＋sin 30°cos 60°＝32³32＋12³12＝1. 答案：19．解：∵f (x ＋6)＝f [(x ＋3)＋3]＝－1f （x ＋3）＝－1－1f （x ）＝f (x )，∴f (x )是周期函数，且6是它的一个周期．10．解：(1)由cos α<0，sin α<0可知，α的终边落在第三象限． ∴角α的集合为{α|2k π＋π<α<2k π＋3π2，k ∈Z }．(2)∵2k π＋π<α<2k π＋3π2，k ∈Z ，∴k π＋π2<α2<k π＋3π4，k ∈Z ，即α2落在第二或第四象限．①当α2为第二象限角时，sin α2>0，cos α2<0；②当α2为第四象限角时，sin α2<0，cos α2>0.课下能力提升(四) 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质单位圆的对称性与诱导公式一、选择题1．cos 150°的值是( ) A ．－32 B ．－12C.12D.322．已知600°角的终边上有一点P (a ，－3)，则a 的值为( ) A.3B ．－ 3 C.33D ．－333．在△ABC 中，下列4个等式恒成立的是( ) ①sin(A ＋B )＋sin C ＝0，②cos(A ＋B )＋cos C ＝0， ③sin(2A ＋2B )＋sin 2C ＝0，④cos(2A ＋2B )＋cos 2C ＝0 A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①②4．下列三角函数中，与sin π3数值相同的是( )①sin ⎝⎛⎭⎫n π＋4π3 ②cos ⎝⎛⎭⎫2n π＋π6③sin ⎝⎛⎭⎫2n π＋π3 ④cos ⎣⎡⎦⎤（2n ＋1）π－π6⑤sin ⎣⎡⎦⎤（2n ＋1）π－π3，()n ∈ZA ．①②B ．①②③C ．②③⑤D ．①③④ 二、填空题5．sin ⎝⎛⎭⎫－31π4＝________．6．化简sin （90°－α）cos （－α）cos （180°－α）＝________．7．已知sin ⎝⎛⎭⎫α－π3＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α的值等于________．8．若函数f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，其中a ，b ，α，β都是非零实数，且满足f (2 011)＝2，则f (2 012)＝________．三、解答题9．求值：sin （－150°）cos （－210°）cos （－420°）cos （－600°）sin （－1 050°）.10．已知f (α)＝sin （α－3π）cos （2π－α）sin ⎝⎛⎭⎫－α＋3π2cos （－π－α）sin （－π－α），(1)化简f (α)；(2)若α＝－31π3，求f (α)的值．答案1．解析：选A cos 150°＝cos(180°－30°)＝－cos 30°＝－32. 2．解析：选B ∵sin 600°＝sin(360°＋240°)＝sin 240° ＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－32， ∴－3a 2＋32＝－32，∴a ＝±3. 又∵600°角的终边在第三象限∴a ＝－ 3.3．解析：选B 对于②，cos(A ＋B )＋cos C ＝cos(180°－C )＋cos C ＝－cos C ＋cos C ＝0，成立．对于③，sin(2A ＋2B )＋sin 2C ＝sin[2(180°－C )]＋sin 2C ＝sin(360°－2C )＋sin 2C ＝－sin 2C ＋sin 2C ＝0，成立．4．解析：选C ①中n 为偶数时，sin ⎝⎛⎭⎫n π＋4π3＝－sin π3；②中cos(2n π＋π6)＝cos π6＝sin π3；③中sin ⎝⎛⎭⎫2n π＋π3＝sin π3；④中cos ⎣⎡⎦⎤（2n ＋1）π－π6＝－cos π6＝－sin π3；⑤中sin[(2n ＋1)π－π3]＝sin(π－π3)＝sin π3.故②③⑤正确．5．解析：sin ⎝⎛⎭⎫－31π4＝－sin 31π4＝－sin ⎝⎛⎭⎫8π－π4＝－sin ⎝⎛⎭⎫－π4＝sin π4＝22.答案：226．解析：原式＝cos αcos α－cos α＝－cos α.答案：－cos α7．解析：∵sin ⎝⎛⎭⎫α－π3＝13，∴sin(π3－α)＝－13，又∵⎝⎛⎭⎫π3－α＋⎝⎛⎭⎫π6＋α＝π2，∴cos(π6＋α)＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π3－α＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－α＝－13.答案：－13.8．解析：∵f (2 011)＝a sin(2 011π＋α)＋b cos(2 011π＋β)＝a sin(π＋α)＋b cos(π＋β)＝－(a sin α＋b cos β)＝2，∴f (2 012)＝a sin(2 012π＋α)＋b cos(2 012π＋β) ＝a sin α＋b cos β＝－2. 答案：－29．解：原式＝（－sin 150°）cos 210°cos 420°cos 600°（－sin 1 050°）＝sin （180°－30°）cos （180°＋30°）cos （360°＋60°）cos （720°－120°）sin （1 080°－30°）＝sin 30°（－cos 30°）cos 60°cos 120°（－sin 30°）＝－sin 30°cos 30°cos 60°sin 30°sin 30°＝－12³32³1212³12＝－32.10．解：(1)f (α)＝－sin α³cos α³（－cos α）（－cos α）sin α＝－cos α；(2)f ⎝⎛⎭⎫－31π3＝－cos ⎝⎛⎭⎫－31π3＝－cos ⎝⎛⎭⎫－6³2π＋5π3＝－cos 5π3＝－cos π3＝－12.课下能力提升(五) 正弦函数的图像一、选择题1．函数y ＝1－sin x ，x ∈[0，2π]的大致图像是( )2．下列各组函数图像相同的是( ) A ．y ＝sin x 与y ＝sin(x ＋π) B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π2与y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－xC ．y ＝sin x 与y ＝－sin xD ．y ＝sin(x ＋2π)与y ＝sin x 3．方程x 2＝sin x 的根的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．34．函数y ＝－3sin x ＋2的最小值为( ) A ．2 B ．－1 C ．－2 D ．5 二、填空题5．点⎝⎛⎭⎫π3，3在函数f (x )＝a sin x 的图像上，则f ⎝⎛⎭⎫π2＝________．6．函数y ＝sin |x |，x ∈[－π，π]的图像与直线y ＝12有________个不同的交点．7．若函数y ＝12sin x ⎝⎛⎭⎫－π2≤x ≤3π2的图像与直线y ＝－12围成一个封闭的平面图形，则这个图形的面积是________．8．在[0，2π]上，满足sin x ≥12的x 的取值范围是________．三、解答题9．画函数y ＝2sin x －1，x ∈[0，2π]的简图．10．求方程lg x ＝sin x 实根的个数．答案1．解析：选B y ＝sin x ――→关于y 轴对称y ＝－sin x ――→向上平移一个单位y ＝1－sin x . 2．解析：选D ∵sin(x ＋2π)＝sin x ， ∴y ＝sin(x ＋2π)与y ＝sin x 的图像相同． 3．解析：选C在同一平面直角坐标中画出y ＝x 2与y ＝sin x 的图像，由图可知有两个交点． 4．解析：选B 因为sin x 的最大值为1，所以y ＝－3sin x ＋2的最小值为－3＋2＝－1.5．解析：∵3＝a sinπ3＝32a ∴a ＝2，f (x )＝2sin x ， ∴f (π2)＝2sin π2＝2.答案：26．解析：数形结合知有4个交点．答案：47．解析：作出图形(如图)由图形可知，所求面积为2π³12＝π.答案：π8．解析：如下图，在同一坐标系内作出[0，2π]上y ＝sin x 和y ＝12的图像，知满足sinx ≥12的x 的取值范围是⎣⎡⎦⎤π6，5π6.答案：⎣⎡⎦⎤π6，5π69．解：步骤：①列表：②描点：在平面直角坐标系中描出(0，－1)，⎝⎛⎭⎫2，1，(π，－1)，⎝⎛⎭⎫3π2，－3，(2π，－1)五个点．③连线：用光滑曲线将描出的五个点连接起来，得函数y ＝2sin x －1，x ∈[0，2π]的简图，如图所示．10．解：在同一坐标系内画出y ＝lg x ，y ＝sin x 的图像，则方程根的个数即为两函数图像交点的个数．由图像知方程有三个实根．课下能力提升(六) 正弦函数的性质一、选择题1．函数y ＝4sin x ，x ∈[－π，π]的单调性是( ) A ．在[－π，0]上是增加的，在[0，π]上是减少的B ．在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上是增加的，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π2和⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上是减少的C ．在[0，π]上是增加的，在[－π，0]上是减少的D ．在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π2∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上是增加的，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上是减少的2．函数y ＝|sin x |的最小正周期是( ) A ．2π B ．π C.π2 D.π43．下列关系式中正确的是( ) A ．sin 11°＜cos 10°＜sin 168° B ．sin 168°＜sin 11°＜cos 10° C ．sin 11°＜sin 168°＜cos 10° D ．sin 168°＜cos 10°＜sin 11°4．定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数．若f (x )的最小正周期是π，且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝sin x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3的值为( ) A ．－12 B.12C ．－32D.32二、填空题5．y ＝a ＋b sin x 的最大值是32，最小值是－12，则a ＝________，b ＝________．6．函数y ＝11＋sin x的定义域是________．7．函数f (x )＝x 3＋sin x ＋1，(x ∈R )．若f (a )＝2，则f (－a )的值为________． 8．函数f (x )＝3sin x －x 的零点个数为________． 三、解答题9．求函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的值域．10．已知函数y ＝12sin x ＋12|sin x |.(1)画出这个函数的图像；(2)这个函数是周期函数吗？如果是，求出它的最小正周期； (3)指出这个函数的单调增区间．答案1．解析：选B 由正弦函数y ＝4sin x ，x ∈[－π，π]的图像，可知它在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上是增加的，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π2和⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上是减少的． 2．解析：选B 画出函数y ＝|sin x |的图像，易知函数y ＝|sin x |的最小正周期是π. 3．解析：选C ∵sin 168°＝sin(180°－12°)＝sin 12°， cos 10°＝sin(90°－10°)＝sin 80°，又∵y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增加的， ∴sin 11°＜sin 12°＜sin 80°，即sin 11°＜sin 168°＜cos 10°. 4．解析：选D ∵f (x )的最小正周期为π， ∴f (5π3)＝f (－π3)＝f (π3)＝sin π3＝32.5．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋|b |＝32，a －|b |＝－12，得a ＝12，b ＝±1.答案：12±16．解析：要使11＋sin x有意义，则有1＋sin x ≠0.∴x ≠－π2＋2k π，k ∈Z答案：{x |x ≠－π2＋2k π，k ∈Z }．7．解析：∵f (a )＝2，∴a 3＋sin a ＋1＝2.∴a 3＋sin a ＝1. ∴f (－a )＝(－a )3＋sin (－a )＋1＝－(a 3＋sin a )＋1＝－1＋1＝0. 答案：08．解析：由f (x )＝0得sin x ＝x 3画出y ＝sin x 和y ＝x3的图像如右图，可知有3个交点，则f (x )＝3sin x －x 有3个零点．答案：39．解：∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6.则当x ＋π3＝π2，即x ＝π6时，y 最大为2，当x ＋π3＝5π6即x ＝π2时，y 最小为1.∴函数y ＝2sin(x ＋π3)，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的值域是[1，2]．10．解：(1)y ＝12sin x ＋12|sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，x ∈[2k π，2k π＋π]（k ∈Z ）0，x ∈[2k π－π，2k π）（k ∈Z ）. 其图像如图所示．(2)由图像知函数是周期函数，且函数的最小正周期是2π. (3)由图像知函数的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π，2k π＋π2(k ∈Z )．课下能力提升(七) 余弦函数的图像与性质一、选择题1．下列对y ＝cos x 的图像描述错误的是( )A ．在[0，2π]和[4π，6π]上的图像形状相同，只是位置不同B ．介于直线y ＝1与直线y ＝－1之间C ．关于x 轴对称D ．与y 轴仅有一个交点2．函数y ＝|cos x |的一个单调减区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π2，2π3．函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的值域是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，12 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，1 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，14．设方程cos 2x ＝1的解集为M ，方程sin 4x ＝0的解集为P ，则M 与P 的关系为( ) A ．M P B ．M P C ．M ＝P D ．M ∩P ＝∅ 二、填空题5．函数y ＝x cos x 的奇偶性是________． 6．比较大小：sin 3π5________cos π5.7．方程x 2＝cos x 的解的个数是________． 8．函数y ＝11－cos x 的值域是________．三、解答题9．求函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4的单调减区间．10．求函数y ＝cos 2x ＋cos x ＋1的最大、最小值及使y 取最值的x 的集合．答案1．答案：C2．解析：选C 作出函数y ＝|cos x |的图像如图所示，由图像可知，A 、B 都不是单调区间，D 是单调增区间，C 是单调减区间． 3．解析：选B ∵0≤x ≤π2，∴π6≤x ＋π6≤2π3， ∵y ＝cos x 在[0，π]上为减函数． ∴－12≤cos(x ＋π6)≤32.4．解析：选A 由cos 2x ＝1得2x ＝2k π(k ∈Z )，即x ＝k π(k ∈Z )；由sin 4x ＝0得4x ＝k π(k ∈Z )，即x ＝k π4(k ∈Z )．∴M P .5．解析：∵f (－x )＝－x ³cos(－x )＝－x cos x ＝－f (x )， ∴此函数是奇函数． 答案：奇函数6．解析：∵sin 3π5＝sin(π－2π5)＝sin 2π5＝sin(π2－π10)＝cos π10，0<π10<π5<π2. ∴cos π10>cos π5，即sin 3π5>cos π5.答案：>7．解析：在同一坐标系中画出函数y ＝cos x 与y ＝x 2的图像(如图)，可知有两个交点．答案：28．解析：∵0<1－cos x ≤2. ∴11－cos x ≥12.∴函数的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞9．解：由2k π≤3x －π4≤2k π＋π，k ∈Z ，得2k π＋π4≤3x ≤2k π＋5π4，k ∈Z ，∴2k π3＋π12≤x ≤2k π3＋5π12，k ∈Z . ∴单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π3＋π12，2k π3＋5π12(k ∈Z )．10．解：令t ＝cos x ，则t ∈[－1，1]． ∴y ＝t 2＋t ＋1，对称轴t ＝－12.①当t ＝－12，即x ∈{x |x ＝±23π＋2k π，k ∈Z }时，y min ＝34.②当t ＝1，即x ∈{x |x ＝2k π，k ∈Z }时，y max ＝3.课下能力提升(八) 正切函数的定义 正切函数的图像与性质一、选择题1．已知θ是第二象限角，则( ) A ．tan θ2＞0 B ．tan θ2＜0C ．tan θ2≤0D ．tan θ2的符号不确定2．函数y ＝2tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4的定义域是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ∈R 且x ≠k π－π4，k ∈ZB.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ∈R 且x ≠k π2＋3π8，k ∈Z C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ∈R 且x ≠k π＋3π4，k ∈ZD.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ∈R 且x ≠k π2＋π8，k ∈Z 3．函数y ＝tan(sin x )的值域是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，22C ．[－tan 1，tan 1]D ．[－1，1] 4．函数f (x )＝sin x|cos x |在区间[－π，π]内的大致图像是下列图中的( )二、填空题5．若tan x ≥－3，则x 的取值范围是________． 6．函数y ＝lg(tan x )的单调增区间是________．7．函数y ＝sin x 与y ＝tan x 的图像在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上交点个数是________． 8．已知函数y ＝2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－12x ，则函数的对称中心是________． 三、解答题9．已知f (x )＝a sin x ＋b tan x ＋1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π5＝7， 求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 012π5.10．已知函数f (x )＝x 2＋2x tan θ－1，x ∈[－1， 3 ]，其中θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2.(1)当θ＝－π6时，求函数f (x )的最大值与最小值；(2)求θ的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－1， 3 ]上是单调函数．答案1．解析：选A ∵θ是第二象限角， ∴θ2是第一或第三象限角， ∴tan θ2＞0.2．解析：选B 由2x －π4≠k π＋π2，k ∈Z ，解得x ≠k π2＋3π8，k ∈Z . 3．解析：选C ∵－1≤sin x ≤1， ∴－π2<－1≤sin x ≤1<π2.∵y ＝tan x 在(－π2，π2)上是增加的．∴y ∈[－tan 1，tan 1]． 4．解析：选C f (x )＝sin x|cos x |＝⎩⎪⎨⎪⎧tan x ，cos x >0－tan x ，cos x <0＝⎩⎪⎨⎪⎧tan x ，－π2<x <π2，－tan x ，－π≤x <－π2或π2<x ≤π.5．解析：作出y ＝tan x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2的图像，如图所示．令y ＝－3，得x ＝－π3，∴在(－π2，π2)中满足不等式tan x ≥－3的x 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－π3，π2. 由正切函数周期性，可知：原不等式的解集为⎣⎢⎡⎭⎪⎫k π－π3，k π＋π2(k ∈Z )．答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫k π－π3，k π＋π2(k ∈Z )6．解析：函数y ＝lg(tan x )有意义，则tan x >0， ∴函数的增区间为(k π，k π＋π2)(k ∈Z )．答案：⎝⎛⎭⎪⎫k π，k π＋π2(k ∈Z ) 7．解析：在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，tan x >sin x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0时，tan x <sin x ，所以y ＝sin x 与y ＝tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上只有一个交点(0，0)． 答案：18．解析：y ＝2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－12x ＝－2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6.∵y ＝tan x 的对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫k π2，0，∴令12x －π6＝k π2，得x ＝k π＋π3，k ∈Z .∴y ＝2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－12x 的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π3，0，k ∈Z .答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π3，0(k ∈Z ) 9．解：设g (x )＝a sin x ＋b tan x ，因为sin x 与tan x 都是奇函数，所以g (－x )＝－g (x )，即g (－x )＋g (x )＝0，故f (－x )＋f (x )＝g (－x )＋1＋g (x )＋1＝2，又易得f ⎝⎛⎭⎪⎫2 012π5＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫402π＋2π5＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π5，∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π5＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π5＝2，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π5＝7， ∴f ⎝⎛⎭⎪⎫2 012π5＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π5＝－5.10．解：(1)当θ＝－π6时，f (x )＝x 2－233x －1＝⎝⎛⎭⎪⎫x －332－43，x ∈[－1， 3 ]．∴当x ＝33时，f (x )的最小值为－43； 当x ＝－1时，f (x )的最大值为233.(2)函数f (x )＝(x ＋tan θ)2－1－tan 2θ的图像的对称轴为x ＝－tan θ. ∵y ＝f (x )在区间[－1，3]上是单调函数， ∴－tan θ≤－1或－tan θ≥3， 即tan θ≥1或tan θ≤－ 3.又θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2， ∴θ的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－π2，－π3∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2 .课下能力提升(九) 正切函数的诱导公式一、选择题1．tan(π－2x )等于( )A ．－sin 2xB ．－cos 2xC ．tan 2xD ．－tan 2x 2．若cot α＝m ，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＝( )A ．mB ．－m C.1m D ．－1m3．已知f (tan x )＝cos 3x ，且x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则f (tan 375°)的值为( )A.12B ．－22 C.22D ．－124．已知角α终边上有一点P (5n ，4n )(n ≠0)，则tan(180°－α)的值是( ) A.54B.45 C ．－45D ．±45二、填空题5．化简tan （α＋π）tan （α＋3π）tan （α－π）tan （－α－π）＝________．6．已知角α的终边上一点P (3a ，4a )(a <0)，则tan(90°－α)的值是________． 7．sin 25π，cos 5π6，tan 75π从小到大的顺序是________．8．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α－4π3＝－5，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝________．三、解答题9．求值：cos 210°cos （－420°）tan 330°tan 390°sin 750 °cos 900°.10．已知角α终边上一点A 的坐标为(3，－1)， 求sin 2（2π－α）tan （π＋α）cos （π－α）tan （3π－α）tan （－α－π）.答案1．答案：D2．解析：选A tan(3π2－α)＝tan(π2－α)＝cot α＝m .3．解析：选C tan 375°＝tan(360°＋15°)＝tan 15°. 由条件可知f (tan 375°)＝f (tan 15°)＝cos (3³15°)＝cos 45°＝22. 4．解析：选C 由三角函数定义知tan α＝y x ＝4n 5n ＝45.∴tan(180°－α)＝－tan α＝－45.5．解析：原式＝tan αtan αtan α（－tan α）＝－1.答案：－16．解析：∵P (3a ，4a )(a <0)，∴tan α＝43，sin α＝－45，cos α＝－35，∴tan(90°－α)＝sin （90°－α）cos （90°－α）＝cos αsin α＝34.答案：347解析：cos 56π＝－cos π6＜0，tan 75π＝tan 25π＞tan π4＝1， 而0＜sin 25π＜1，∴从小到大为cos 56π<sin 25π<tan 75π.答案：cos 56π<sin 25π<tan 75π8．解析：由tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α－4π3＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋4π3＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝－5，得tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝5.答案：59．解：原式＝cos （180°＋30°）cos （－360°－60°）tan （360°－30°）tan （360°＋30°）sin （720°＋30°）cos （720°＋180°）＝（－cos 30°）cos 60°（－tan 30°）tan 30°sin 30°cos 180°＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32³12³⎝ ⎛⎭⎪⎫－3333³12³（－1）＝－3210．解：∵x ＝3，y ＝－1，∴r ＝（3）2＋（－1）2＝2.∴sin α＝y r ＝－12.原式＝sin 2（－α）tan α（－cos α）tan （－α）tan （－α）＝－sin 2αtan αcos αtan α tan α＝－sin 2αsin α＝－sin α＝12.课下能力提升(十) 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像的画法一、选择题1．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3的相位和初相分别是( )A ．－2x ＋π3，π3B ．2x －π3，－π3C ．2x ＋2π3，2π3D ．2x ＋2π3，π32．(山东高考)将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图像沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图像，则φ的一个可能取值为( )A.3π4B.π4 C ．0 D ．－π43．要想得到函数y ＝sin x 的图像，只需将函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π3的图像( )A ．向右平移π6个单位长度B ．向右平移π3个单位长度C ．向左平移π3个单位长度D ．向左平移π6个单位长度4．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的一部分图像如图所示，如果A >0，ω>0，|φ|<π2，则( )A ．A ＝4B ．ω＝1C ．φ＝π6 D ．B ＝4二、填空题5．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得的图像向左平移π3个单位长度，得到的图像对应的函数解析式是________．6．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图像向右平移π6个单位长度，再向上平移2个单位长度所得图像对应的函数解析式是________．7．(天津高考)将函数f (x )＝sin ωx (其中ω>0)的图像向右平移π4个单位长度，所得图像经过点⎝⎛⎭⎫3π4，0，则ω的最小值是________． 8．为得到函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像，只需将函数y ＝sin 2x 的图像向________平移________个单位长度．三、解答题 9.图中曲线是函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的一段图像． (1)确定该图像对应的f (x )的表达式；(2)若f (x )＝a ，在[0，7π12]上有解，求a 的取值范围．10．把函数y ＝f (x )的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再向左平移π2个单位长度，得到函数y ＝12sin x 的图像，试求函数y ＝f (x )的解析式．答案1．解析：选C ∵y ＝2sin(－2x ＋π3)＝2sin ⎣⎡⎦⎤π－⎣⎡⎭⎫－2x ＋π3＝2sin(2x ＋2π3)，∴相位和初相分别为2x ＋2π3，2π3.2．解析：选B 把函数y ＝sin(2x ＋φ)的图像向左平移π8个单位后，得到的图像的解析式是y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋φ，该函数是偶函数的充要条件是π4＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，根据选项检验可知φ的一个可能取值为π4.3．解析：选A 函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π3可化为y ＝sin[π2＋⎝⎛⎭⎫x －π3]＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6.要想得到函数y ＝sin x 的图像，只需将函数y ＝sin (x ＋π6)的图像向右平移π6个单位长度．4．解析：选C 由图像易求得A ＝2，B ＝2，周期T ＝4⎝⎛⎭⎫5π12－π6＝π，即得y ＝2sin(2x＋φ)＋2，又x ＝π6时，y ＝4，即得sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝1，对比各选项知C 正确．5．解析：先伸缩后平移，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3的图像→y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π3的图像→y ＝sin ⎣⎡⎦⎤12⎝⎛⎭⎫x ＋π3－π3的图像，即y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π6的图像．答案：y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π6.6．解析：将函数y ＝sin(x ＋π3)的图像向右平移π6个单位长度后变为函数y ＝sin(x －π6＋π3)＝sin(x ＋π6)，再向上平移2个单位长度，即函数解析式为y ＝sin(x ＋π6)＋2. 答案：y ＝sin(x ＋π6)＋27．解析：将函数f (x )＝sin ωx 的图像向右平移π4个单位长度，得到的图像对应的函数解析式为f (x )＝sin ω(x －π4)＝sin(ωx －ωπ4)．又因为函数图像过点(3π4，0)，所以sin(3ωπ4－ωπ4)＝sin ωπ2＝0，所以ωπ2＝k π，即ω＝2k (k ∈Z )，因为ω>0，所以ω的最小值为2.答案：28．解析：y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋π2＝sin 2(x ＋5π12)，故将y ＝sin 2x 的图像向左。