北师大版初三数学上册边角边,角角,备课材料

5.1 线与角复习教案教学目标:1.会从实际问题中构建点、线、面模型，运用概念及相应公理解决问题。

2.理解和掌握各种角的概念及性质，会比较角的大小，熟练进行角的和、差、倍、分等运算，提高运算能力。

3.知道相交线与平行线的定义，熟练运用垂线的性质，平行线的性质与判定，解答相应证明题及探索类题目。

4.会用尺规完成既定要求的线段、角和角的平行线。

教学重点和难点：重点：复习线与角的知识点，并进行分类整理，学会一些简单的复习方法。

难点：能对线与角的知识进行分类，熟练角的运算。

教法与学法指导：本节主要复习线和角的概念，对三线八角，要搞清三线的位置，从位置上理解八角的关系。

并非只有两条平行线被第三条直线所截时，才有同位角、内错角、和同旁内角。

只有两条平行线被第三条直线所截时，才有同位角相等、内错角相等同旁内角互补。

判别同位角、内错角和同旁内角的关键是找到构成这两个角的“三线”，有时需要将有关的部分“抽出”或把无关的线略去不看，有时又需要把图形补全。

线与角这一节内容在学生看来是较简单的一节课，学生在具体应用中出现的失分点较少，导学的同时再边讲边练的复习流程，充分发挥学生的主体性，让学生在自主与合作学习中提升解题能力．教学准备：教师准备：多媒体课件学生准备：把中考丛书第76页知识回顾完成并把例题看完。

教学过程：第一环节：课前自我诊断师:本节课我们将走进图形的认识的世界，熟悉线与角的概念、平行线的性质和判定下面先请同学们做一个自我诊断.（多媒体出示自我诊断题组）1. 两点确定一条直线，两点之间_______ 最短，即过两点有且只有一条直线。

2. 1周角＝_______，1平角＝_______,1直角＝_______．3. 如果两个角的和等于90度，就说这两个角互余，同角或等角的余角相等；如果____________________互为补角__________________的补角相等.4. ___________________________________叫对顶角，对顶角___________.5. 过直线外一点心___________条直线与已知直线平行.6. 平行线的性质：两直线平行，_________相等，________相等，________互补评论|师：下面请六位同学快速分别说明每题考答案。

第一章 直角三角形的边角关系第1节 锐角三角函数导入：如图是甲，乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡?【知识梳理】1、正切的定义在确定，那么A 的对边与邻边的比便随之确定，这个比叫做∠A 的正切，记作tanA 。

即tanA=baA =∠∠的邻边的对边A■例1已知在Rt △ABC 中，∠C=90°，CD ⊥AB ，AD=8，BD=4，求tanA 的值。

跟踪练习：1、在Rt △ABC 中,锐角A 的对边和邻边同时扩大100 倍,tanA 的值（ ）A.扩大100倍B.缩小100倍C.不变D.不能确定 2、已知∠A,∠B 为锐角(1)若∠A=∠B,则tanA tanB; (2)若tanA=tanB,则∠A ∠B.3、在△ABC 中，∠C=90°，BC=12cm ，AB=20cm ，求tanA 和tanB 的值.4、在等腰△ABC 中,AB=AC=13,BC=10,求tanB.5、菱形的两条对角线分别是16和12.较长的一条对角线与菱形的一边的夹角为θ，则tan θ＝______.2、坡度的定义及表示（难点）我们通常把坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度（或坡比）。

坡度常用字母i 表示。

斜坡的坡度和坡角的正切值关系是：lha =tan 注意：（1）坡度一般写成1：m 的形式（比例的前项为1，后项可以是小数）； （2）若坡角为a ，坡度为a lhi tan ==，坡度越大，则a 角越大，坡面越陡。

■例2拦水坝的横断面为梯形ABCD ，坝顶宽BC 为6m ，坝高为3.2m ，为了提高拦水坝的拦水能力，需要将水坝加高2m ，并且保持坝顶宽度不变，迎水坡CD 的坡度不变，但是背水坡的坡度由原来的i=1：2变成i’=1：2.5（有关数据在图上已标明）。

求加高后的坝底HD 的宽为多少？跟踪练习：1、如图，Rt △ABC 是一防洪堤背水坡的横截面图，斜坡AB 的长为12 m ，它的坡角为45°，为了提高该堤的防洪能力，现将背水坡改造成坡比为1：1.5的斜坡AD ，求DB 的长.(结果保留根号)2、若某人沿坡度i ＝3：4的斜坡前进10米，则他所在的位置比原来的位置升高_______米3、正弦、余弦的定义在Rt 中，锐角∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA 。

利用边角的关系判定三角形相似-北师大版九年级数学上册教案一、教学目标1.了解三角形相似的判定方法；2.掌握利用边角关系判定三角形相似的方法；3.能够在实际问题中应用该方法判断三角形是否相似。

二、教学重难点1.教学重点：边角关系判定三角形相似的方法；2.教学难点：应用所学知识解决实际问题。

三、教学内容1.三角形相似的定义；2.相似三角形的性质；3.利用边角关系判定三角形相似。

四、教学步骤步骤一：概念讲解1.介绍三角形相似的定义，并引入判断相似的条件；2.介绍相似三角形的性质，包括对应角相等、对应边成比例等。

步骤二：利用边角关系判定三角形相似1.介绍边角关系判定三角形相似的方法，即当两角对应相等且一对对应边成比例时，可判定两三角形相似；2.通过例题演示该方法的应用；3.学生试着用边角关系法判定几个给定三角形的相似情况。

步骤三：练习题安排1.给予一些练习题，包括一些实际问题；2.供学生独立完成。

五、教学方法1.讲解示范法；2.练习训练法；3.合作探究法。

六、教学资源1.教材：北师大版九年级数学上册；2.图纸、板书等。

七、教学评估1.教师在课堂上提问学生，测试其对三角形相似的掌握情况；2.练习题成果的检查；3.听取学生对课堂教学的反馈，以更新教学方法。

八、教学后记三角形相似的判定方法，包括利用边角关系的方法，在初中数学教育中占有重要地位。

教师在教学过程中应该注意与学生互动，并引导学生体验数学的奥妙之处，让学生具有应用所学知识解决实际问题的能力。

角学习目标： 1 通过实际情境，进一步理解角的有关概念，认识角的表示方法；2会进行角的度量；3 培养学生“知识来源于实践，又服务于实践”的观念。

学习重点：角的表示方法，角的度量。

学习难点 : 钟表中的角度计算。

学习方法：自主探索，合作交流。

教学过程：（一）引入1．情景 1 ，带手表的同学看一看自己的手表， 能处出现在的时针与分针的夹角是多少度吗？提出问题①：说一说现实生活中有哪些角？让学生在现实情景中感受角的存在（指出下列三幅图中的角） （二）新授2．引出角的概念： 角是由两条具有公共端点的射线组成，公共端点是角的顶点，两条射线是角的两边， （学生阅读讨论，交流127P 页的角的定义及“想一想” ），图 2提出问题②：怎样用适当的方式来表示一个角呢？学生总结，归纳：⑴可以用三个大写字母表示，顶点字母一定要写在中间；⑵在 不引起混淆的情况下， 可以用角的顶点字母来表示这个角， （当用这个字母为顶点 的角有且只有一个角的时候） ；⑶可以用一个数字来表示； ⑷也可以用一个希腊字母来表示。

Aα OB图 43. 思考与练习 1：(1) ．判断题：①两条射线组成的图形叫做角。

（ ）②∠ AO B 和∠ ABO 是同一个角 。

（ ）BC（ 2）图 6 中有 ____个角，可以表示为 ________________A图6D（ 3）如右图所示： ①以 C 为顶点的角共有 ______个（平角除外）， AD 可以表示为 ______②以 AC 为一边的角是 ___; ③以 CA 为一边的 214角有 ______个，它们是 _________5B3（三）讨论、交流图 8CE4．情景 2，（ P127 页做一做）给出一幅中国地图的简图， （ 1）用字母表示图中的每 个城市。

（ 2）用字母分别表示以北京为中心的每两个城市之间的夹角。

（ 3）用量角器测量出上角的度数，与同伴交流量法与读法。

（提示量角器的使用方法）5． 由上述某一个角引出角度中的度，分，秒。

北师大版《数学》(九年级上册)知识点总结第一章 证明（二）一、公理（1）三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边"或“SSS ”）.(2）两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS ”）。

（3)两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA ”）.(4)全等三角形的对应边相等、对应角相等.推论：两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角角边"或“AAS ”）.二、等腰三角形1、等腰三角形的性质（1)等腰三角形的两个底角相等(简称：等边对等角）（2)等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一）。

等腰三角形的其他性质：①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角(或直角)，但顶角可为钝角（或直角）.③等腰三角形的三边关系:设腰长为a ，底边长为b ，则2b 〈a ④等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠A ，底角为∠B 、∠C ，则∠A=180°—2∠B,∠B=∠C=2180A ∠-︒ 2、等腰三角形的判定(1）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称:等角对等边）。

(2）有两条边相等的三角形是等腰三角形。

三、等边三角形性质：（1）等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°。

（2)三线合一判定：（1）三条边都相等的三角形是等边三角形(2）三个角都相等的三角形是等边三角形（3）：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

四、直角三角形（一）、直角三角形的性质1、直角三角形的两个锐角互余2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半.3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半4、勾股定理：直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即222c b a =+ 其它性质:1、直角三角形斜边上的高线将直角三角形分成的两个三角形和原三角形相似.2、常用关系式:由三角形面积公式可得：两直角边的积=斜边与斜边上的高的积（二)、直角三角形的判定1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。

第1章直角三角形的边角关系一、复习目标1.掌握锐角三角函数的概念和特殊角的三角函数值,并熟练运用于解直角三角形及与直角三角形有关的实际问题.2.将实际问题转化为数学问题,建立数学模型 二、课时安排 1课时三、复习重难点将实际问题转化为数学问题,建立数学模型 四、教学过程 （一）知识梳理（二）题型、方法归纳 类型一 求三角函数值例1 在△ABC 中，∠C＝90°，sin A ＝45，则tan B ＝( )A .43B .34C .35D .45[解析] B 根据sin A ＝45，可设三角形的两边长分别为4k,5k ，则第三边长为3k ，所以tan B ＝3k 4k ＝34.归纳：求三角函数值方法较多，解法灵活，在具体的解题中要根据已知条件采取灵活的计算方法，常用的方法主要有：(1)根据特殊角的三角函数值求值；(2)直接运用三角函数的定义求值；(3)借助边的数量关系求值；(4)借助等角求值；(5)根据三角函数关系求值；(6)构造直角三角形求值．类型二 特殊角的三角函数值 例2 计算：33＋tan 60°＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－230.[解析] 本题考查数的0次幂、分母有理化和特殊角的三角函数值． 解：原式＝3＋3＋1＝23＋1.类型三 利用直角三角形解决和高度有关的问题例3 如图X 1－1，在一次数学课外实践活动中，要求测教学楼AB 的高度．小刚在D 处用高1.5 m 的测角仪CD ，测得教学楼顶端A 的仰角为30°，然后向教学楼前进40 m 到达EF ，又测得教学楼顶端A 的仰角为60°.求这幢教学楼AB 的高度．[解析] 设CF 与AB 交于点G ，在Rt △AFG 中，用AG 表示出FG ，在Rt △ACG 中，用AG 表示出CG ，然后根据CG －FG ＝40，可求AG.解：设CF 与AB 交于点G ，在Rt △AFG 中，tan ∠AFG＝AG FG ，∴FG＝AG tan ∠AFG ＝AG3.在Rt △ACG 中，tan ∠ACG＝AG CG ，∴CG＝AGtan ∠ACG ＝3AG.又CG －FG ＝40，即3AG －AG 3＝40， ∴AG＝203，∴AB＝(203＋1.5)m . 答：这幢教学楼AB 的高度为(203＋1.5)m .归纳; 在生活实际中，特别在勘探、测量工作中，常需了解或确定某种大型建筑物的高度或不能用尺直接量出的两地之间的距离等，而这些问题一般都要通过严密的计算才可能得到答案，并且需要先想方设法利用一些简单的测量工具，如：皮尺，测角仪，木尺等测量出一些重要的数据，方可计算得到．有关设计的原理就是来源于太阳光或灯光与影子的关系和解直角三角形的有关知识．类型四 利用直角三角形解决平面图形中的距离问题例4 为建设“宜居宜业宜游”山水园林式城市，内江市正在对城区沱江河段进行区域性景观打造，某施工单位为测得某河段的宽度，测量员先在河对岸岸边取一点A ，再在河这边沿河边取两点B ，C ，在B 处测得点A 在北偏东30°方向上，在点C 处测得点A 在西北方向上，量得BC 长为200米．求小河的宽度(结果保留根号)．[解析] 过点A 作AD⊥BC 于点D ，根据∠CAD＝45°，可得BD ＝BC －CD ＝200－AD.在Rt △ABD 中，根据tan ∠ABD＝ADBD ，可得AD ＝BD·tan ∠ABD＝(200－A D)·tan 60°＝3(200－AD)，列方程AD ＋3AD ＝2003，解出AD 即可．（三）典例精讲如图X1-J-5，一条输电线路从A 地到B 地需要经过C 地，图中AC =20 km ，∠CAB =30°，∠CBA =45°，因线路整改需要，将从A 地到B 地之间铺设一条笔直的输电线路.（1）求新铺设的输电线路AB 的长度；（结果保留根号）（2）问整改后从A 地到B 地的输电线路比原来缩短了多少千米.（结果保留根号）解：（1）如答图X1-J-2，过点C 作CD ⊥AB ，交AB 于点D .在Rt △ACD 中，答：新铺设的输电线路AB 的长度为 km.（四）归纳小结1、本节例题学习以后，我们可以得到解直角三角形的两种基本图形：2.(1)把实际问题转化成数学问题，这个转化为两个方面：一是将实际问题的图形转化为几何图形，画出正确的平面或截面示意图，二是将已知条件转化为示意图中的边、角或它们之间的关系.(2)把数学问题转化成解直角三角形问题，如果示意图不是直角三角形，可添加适当的辅助线，画出直角三角形.（五）随堂检测1.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2,BC= 3,则 tan = 。

1.3正方形的性质与判定第1课时正方形的性质教学目标1、熟练掌握正方形的定义及边、角、对角线的性质。

2、知道正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别。

3、应用正方形的性质进行相关计算、证明。

一、课前准备：温故：1、矩形的性质是什么？2、菱形的性质是什么？二、初步探究1、同学们观察下列一组图片、你发现了那些几何图形：2、动手操作：制作一张正方形纸片，通过折叠并观察，回答下列问题.问：它是轴对称图形吗？有几条对称轴？对称轴之间有什么位置关系？有什么数量关系？3、图中有哪些相等的线段？③图中有哪些相等的角？（组内交流、互相指出来）4、正方形性质：正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形．正方形具的性质，同时又具有的性质．总结：正方形的性质：正方形边的性质：正方形角的性质：正方形对角线的性质：结论：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.正方形的性质：正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形、菱形.所以它具有这些图形的所有性质.正方形是轴对称图形，有四条对称轴.四条边相等、四个角是直角、对角线相等并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角.三、对应练习1）正方形的边长为4cm，则周长为（），面积为（），对角线长为（）；2））正方形ABCD中，对角线AC、BD交于O点，AC=4 cm,则正方形的边长为（），周长为（），面积为（）3）在正方形ABCD中，AB=12 cm，对角线AC、BD相交于O，OA= ,AC= 。

4）1、正方形具有而矩形不一定具有的性质是( )A、四个角相等B、对角线互相垂直平分C、对角互补D、对角线相等.5）、正方形具有而菱形不一定具有的性质（）A、四条边相等B对角线互相垂直平分C对角线平分一组对角D对角线相等.6）、正方形对角线长6，则它的面积为_________ ,周长为________．7）、顺次连接正方形各边中点的小正方形的面积是原正方形面积的（）A．1/2 B．1/3 C．1/4 D．1/ 5四：范例讲解：1、（课本P21例1）学生自己阅读课本内容、注意证明过程的书写2、如图，分别以△ABC的边AB,AC为一边向外画正方形AEDB和正方形ACFG，连接CE,BG.求证：BG=CE。

20.1 锐角三角函数-北京版九年级数学上册教案一、教学目标1.掌握正弦、余弦和正切的定义。

2.掌握锐角三角函数的基本性质。

3.能够应用锐角三角函数求角度或边长。

二、教学重点1.正弦、余弦和正切的定义。

2.锐角三角函数的基本性质。

三、教学难点1.应用锐角三角函数求解问题。

2.应用锐角三角函数的应用场景。

四、课前准备1.教师准备：教案、教学PPT。

2.学生准备：笔记本、笔、习题册。

五、教学过程1. 自然界和日常生活中的三角函数在自然界和日常生活中，三角函数在很多场景中都有应用。

比如，在海浪中，我们常常能够看到波浪呈现正弦曲线的形状；太阳的高度和阴影的长度，也涉及到了正切函数的应用。

2. 正弦、余弦和正切的定义正弦、余弦和正切是三角函数的三种基本函数，其中正弦和余弦都是取值在-1到1之间的周期函数，而正切的定义是tanA = sinA / cosA。

在教学中，我们重点教授正弦、余弦和正切函数的定义和函数图像。

3. 锐角三角函数的基本性质锐角三角函数有很多基本性质，其中最重要的是正弦、余弦和正切函数的正负关系，以及它们在不同象限的取值情况。

在教学中，我们会详细讲解这些性质，并且引导学生进行相关练习。

4. 应用锐角三角函数求解问题在教学过程中，我们会带领学生应用锐角三角函数来求解一些具体问题，比如在不知道角度的情况下，如何确定三角函数的具体值，以及如何应用三角函数来计算三角形的各个边角。

5. 应用锐角三角函数的应用场景在教学过程中，我们还会介绍锐角三角函数在日常应用中的一些场景，比如在地理学中应用到的地球经纬度和方位角的计算等。

六、课堂练习为了帮助学生更好地理解锐角三角函数的概念，教师会在课堂上安排一些练习，让学生通过计算具体问题来锻炼运用锐角三角函数的能力。

1.若sinA = 3 / 5，且A为锐角，则cosA = 。

2.若cosA = -4 / 5，且A为锐角，则tanA = 。

3.若tanA = -1 / 3，且A为锐角，则cosA = 。

探索三角形相似的条件（二）教学目标：理解并掌握三角形相似的判定定理：“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”。

教学重点：掌握相似三角形的判定定理：“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”。

教学难点：相似三角形判定定理在实际问题中的灵活运用 教学过程活动（一）：课前准备知识储备： 1.相似三角形的相关概念(1)三个角对应_______ 、三条边对应_______的两个三角形叫做相似三角形(2)相似三角形的对应角 _____，各对应边________ . (3)相似比等于______的两个三角形全等. 2.我们已经有哪些判别两三角形相似的方法？_______________________________________________________________________________________3.想一想（1）两个三角形有两边成比例，它们一定相似吗？（2）如果再增加一个条件，你能说出有哪几种可能的情况吗？（3）如果增加一角相等，你能说出有哪几种可能的情况吗？（4）全等三角形有哪些判定方法? 类比三角形全等的判定,你认为可能还有 哪些方法能判定两个三角形相似?活动（二）：思考，尝试说理：如图，A ，B 两点被池塘隔开，为测量A ，B 两点间的距离，在池塘边任选一点C ，连接AC ，BC ，并延长AC 到D ，使活动（三）：动手操作，合作探究、交流展示，归纳总结。

以四人为一组， 1.画△ABC 与△A ’B ’C ’，使∠A=∠A ’，CA ACB A AB ''=''都等于给定的值k 。

设法比较∠B 与∠B ’的大小（或∠C 与∠C ’）。

△ABC 和△A ’B ’C ’相似吗？ 2.改变k 值的大小，再试一试。

由学生归纳总结：_______________________________________________活动（四）：自主思考，尝试完成书写过程。

第一章 直角三角形的边角关系1.1锐角三角函数（1）学习目标1.知道正切的意义和与现实生活的联系.2.能够用tanA 表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等并能够用正切进行简单的计算.教学重、难点1.从现实情境中探索直角三角形的边角关系.2.理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，数学与生活的密切联系.教学过程一、预习自学 1.知识回顾你能比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些办法？ 2.自学新知⑴如图：梯子AB 和EF 哪个更陡？你是怎样判断的？ ⑵以下三组中，梯子AB 和EF 哪个更陡？你是怎样判断的？二、合作探究 问题一直角三角形的边与角的关系（如图，回答下列问题）⑴Rt △AB 1C 1和Rt△AB 2C 2有什么关系？ ⑵222111B AC C B AC C 和有什么关系？ ⑶如果改变B 2在梯子上的位置(如B 3C 3)呢？ ⑷由此你得出什么结论？ 问题二如图，在Rt△ABC 中，如果锐角A 确定，那么∠A 的对边与邻边之比便随之确定，这个比叫做∠A 的 ，记作 即： tanA=的邻边的对边A A ∠∠ .思考：1.∠B 的正切如何表示?它的数学意义是什么？ 2.我们讨论的梯子的倾斜程度与tanA 有关系吗？梯子越陡，tanA 的值 ；反过来，tanA 的值越大，梯子 . 三、精讲延伸例1如图，表示甲、乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡？ABC5mβ13m8mα 4m四、达标检测1.基础题：（如图，在△ACB 中，∠C = 90°， (1)tanA = ；tanB = ；(2)若AC = 4，BC = 3，则tanA = ；tanB = ； (3)若AC = 8，AB = 10，则tanA = ；tanB = .布置作业 板书设计教后反思ABC第一章 直角三角形的边角关系1.1锐角三角函数（2）学习目标1.掌握正弦和余弦的意义.2.能够运用sinA 、cosA 表示直角三角形两边的比.3.能根据直角三角形中的边角关系，进行简单的计算.教学重、难点1.理解锐角三角函数正弦、余弦的意义，并能举例说明.2.能用sinA 、cosA 表示直角三角形两边的比.3.能根据直角三角形的边角关系，进行简单的计算.教学过程一、预习自学 1.正切的定义： tanA=2.菱形的两条对角线分别是16和12.较长的一条对角线与菱形的一边的夹角为θ，则tanθ＝______.二、合作探究 问题一探索正弦、余弦及三角函数的定义如图直角三角形AB 1C 1和直角三角形AB 2C 2有什么关系？ （1）Rt △AB 1C 1和Rt △AB 2C 2有什么关系？ （2）和有什么关系？和11AB AC 有什么关系？ （3）如果改变梯子AB 的倾斜角的大小呢？你由此又可得出什么结论?请讨论后回答. 归纳总结：在Rt △ABC 中，如果锐角A 确定，那么∠A 的对边与斜边的比，叫做∠A 的 。