第27章(2)直角三角形的存在问题(至2011中考)

【经典练习讲解】1. (2011•济南)如图，矩形OABC 中，点O 为原点，点A 的坐标为(0, 8),点C 的坐标为(6, 0).抛物线y=-2?+bx+c 经过A 、C 两点，与AB 边交于点D. 9(1) 求抛物线的函数表达式;(2) 点P 为线段BC ±一个动点(不与点C 重合)，点Q 为线段AC 上一个动点，AQ=CP,连接 PQ,设CP=m, Z\CPQ 的面积为S.① 求S 关于m 的函数表达式，并求出m 为何值时，S 収得最大值；② 当S 最大时，在抛物线尸-上x?+bx+c 的对称轴1上若存在点F,使AFDQ 为直角三角形， 9请直接写出所有符合条件的F 的处标；若不存在，请说明理由.2. 如图，四边形OABC 为直角梯形，A (4, 0), B (3,老师 姓名 学生姓名 学管师 学科 名称名称 年级 直角三角形的存在问题上课时间 月 日 __ :00-_:00 教学过程4), C (0, 4)。

点M 从O 出发以每秒2个单位长度的速度向A运动；点、N从B同时出发，以每秒1个单位长度的速度向C运动。

其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动。

过点N作NP垂直x轴于点P,连结AC交NP 于Q,连结MQo求：（1）点_____ （填M或N）能到达终点；（2）求△AQM的面积S与运动时间t的函数关系式，并写出自变量t和取值范围，当t为何值吋，S的值最大；（1）是否存在点M,使得厶人©"为直角三角形？若存在，求岀点M的处标，若不存在，说明理由。

~M^P A"%(2 ) £ Q ( 3-t, t+1 )・(5分)(3) S^A Q M=| (4-2t) (t+1) =-t2+t+2=-(t)2+| ・(T分)当仁卸S星大值二条（8分）（4 ）存在使△AQM为直角三角形的点M・（9分）VZA0C=90° . OA=OC./.Z0AC=45°即点A不可能为RtAAQM的直角顶点・（9分）①当点Q为直角顶点时.（如图①）•/ZMQA=90° , ZMAQ=45° , AMQ=QA•・・QP 丄Af11/.AP=MP=PQ•••■t二+则M（ 1 » 0）・（10分）②当.点M为直角顶点时.（如图②）VZQMA=90° > ZMAQ=45° >.*.MQ=MA即4-2t=t+l>・・・t=l '贝l」M（ 2 J 0）・（11分）综上所述：点M的坐标为（1,0）或（2 , 0 ）・（12分）3.（2010-铜仁地区）如图所示，矩形OABC位于平面直角坐标系中，AB=2, OA=3,点P是OA 上的任意一点，PB平分ZAPD, PE平分ZOPF,且PD、PF重合.（1）设OP=x, OE=y,求y关于x的函数解析式，并求x为何值时，y的最大值；（2）当PD丄OA时，求经过E、P、B三点的抛物线的解析式；（3）请探究：在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点M,使得AEPM为肓角三角形？若存在, 求出M点的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】解：(1)由己知PB 平分ZAPD, PE 平分ZOPF, Il RD. PF fift,则ZBPE=9(F AZOPE-FZAPB=90\乂ZAPB+ZABP = 9fT, AZOPE=ZPBA ・ ARtAPOE^>RtABPA.PO BA X 2 113 __ = — = -------- __ 一.・.OE AP 3-x ・・.y= 2x(弓一x)=- 2x2+ 2 x(0<x<3).39 且当x=3吋，Y 佃大值？.(2)由已知，APAB. ZiPOE 均为尊腰三角形,可得P ⑴0), E(0, 1), B(3, 2}. d + Z> + C = 0 Ay=3x2-3x+l.<3)由(2)知ZEPB = 90\即点M 与点B 重介吋满足条件.PR v=Y —1.与"鋪心:十占S. —1L将PB 向上平移2个单位则过点E(0> 1), ・•・该直线为y=x+l.y-x + \v 2 5x=4 卜=討-亍Y+]5由 I 3 3 得 5).故该抛物线上存在两点M(3, 2), (4, 5)满足条件.4. (2011•潼南县)如图，在平面直角坐标系中，AABC 是直角三角形，ZACB=90, AC=BC, OA=1, 0C=4,抛物线尸x 2+bx+c 经过A, B 两点，抛物线的顶点为D.(1) 求b, c 的值：设过此三点的抛物线为丫=ax2—bx+C.则29a + 3/)+ C = 2(2)点E是直角三角形ABC斜边AB ±-动点、(点A、B除外)，过点E作x轴的垂线交抛物线于点F,当线段EF的长度最人时，求点E的坐标；(3)在(2)的条件下：①求以点E、B、F、D为顶点的四边形的面积；②在抛物线上是否存在一点P,使AEFP是以EF为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P的处标；若不存在，说明理由.点：二次函数综合题。

【问题描述】如图，在平面直角坐标系中，点A 坐标为（1,1），点B 坐标为（5,3），在x 轴上找一点C 使得△ABC 是直角三角形，求点C 坐标．【几何法】两线一圆得坐标（1）若∠A 为直角，过点A 作AB 的垂线，与x 轴的交点即为所求点C ；（2）若∠B 为直角，过点B 作AB 的垂线，与x 轴的交点即为所求点C ；（3）若∠C 为直角，以AB 为直径作圆，与x 轴的交点即为所求点C ．（直径所对的圆周角为直角）重点还是如何求得点坐标，C1、C2求法相同，以C2为例：【构造三垂直】01问题与方法C3、C4求法相同，以C3为例：构造三垂直步骤：第一步：过直角顶点作一条水平或竖直的直线；第二步：过另外两端点向该直线作垂线，即可得三垂直相似．【代数法】表示线段构勾股还剩下C1待求，不妨来求下C1：【解析法】还有个需要用到一个教材上并没有出现但是大家都知道的算法：互相垂直的两直线斜率之积为-1．考虑到直线AC1与AB互相垂直，k1k2=-1，可得：kAC=-2，又直线AC1过点A（1,1），可得解析式为：y=-2x+3，所以与x轴交点坐标为（1.5,0），即C1坐标为（1.5,0）．确实很简便，但问题是这个公式出现在高中的教材上方法小结几何法：（1）两线一圆作出点；（2）构造三垂直相似，利用对应边成比例求线段，必要时可设未知数．代数法：（1）表示点A、B、C坐标；（2）表示线段AB、AC、BC；（3）分类讨论①AB²+AC²=BC²、②AB²+BC²=AC²、③AC²+BC²=AB²；（4）代入列方程，求解．02从等腰直角说起再特殊一些，如果问题变为等腰直角三角形存在性，则同样可采取上述方法，只不过三垂直得到的不是相似，而是全等．2019兰州中考删减【等腰直角存在性——三垂直构造全等】通过对下面数学模型的研究学习，解决问题．【模型呈现】如图，在Rt△ABC，∠ACB=90°，将斜边AB绕点A顺时针旋转90°得到AD，过点D作DE⊥AC于点E，可以推理得到△ABC≌△DAE，进而得到AC=DE，BC=AE．我们把这个数学模型成为“K型”．推理过程如下：【模型迁移】二次函数y=ax²+bx+2的图像交x轴于点A（-1,0），B（4,0）两点，交y轴于点C．动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动，过点M作MN⊥x轴交直线BC于点N，交抛物线于点D，连接AC，设运动的时间为t秒．（1）求二次函数y=ax²+bx+2的表达式；（2）在直线MN上存在一点P，当△PBC是以∠BPC为直角的等腰直角三角形时，求此时点D的坐标．2017本溪中考【直角顶点已知or未知】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=1/2x²+bx+c与x轴交于A、B两点，点B （3,0），经过点A的直线AC与抛物线的另一交点为C（4，5/2），与y轴交点为D，点P是直线AC下方的抛物线上的一个动点（不与点A、C重合）．（1）求该抛物线的解析式．（2）点Q在抛物线的对称轴上运动，当△OPQ是以OP为直角边的等腰直角三角形时，请直接写出符合条件的点P的坐标．【小结】对于构造三垂直来说，直角顶点已知的和直角顶点的未知的完全就是两个题目！也许能画出大概位置，但如何能画出所有情况，才是问题的关键．其实只要再明确一点，构造出三垂直后，表示出一组对应边，根据相等关系列方程求解即可．2019阜新中考【对未知直角顶点的分析】如图，抛物线y=ax²+bx+2交x轴于点A（-3,0）和点B（1,0），交y轴于点C．（1）求这个抛物线的函数表达式．（2）点D的坐标为（-1,0），点P为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形ADCP面积的最大值．（3）点M为抛物线对称轴上的点，问：在抛物线上是否存在点N，使△MNO为等腰直角三角形，且∠MNO为直角？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【小结】无论直角顶点确定与否，事实上，所有的情况都可以归结为同一个方程：NE=FM．故只需在用点坐标表示线段时加上绝对值，便可计算出可能存在的其他情况．03一般直角三角形的处理一般直角三角形存在性，同样构造三垂直，区别于等腰直角构造的三垂直全等，没了等腰的条件只能得到三垂直相似．而题型的变化在于动点或许在某条直线上，也可能在抛物线上等．2018安顺中考【对称轴上寻动点】如图，已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=-1，且抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其中A（1,0），C（0,3）．（1）若直线y=mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴x=-1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；（3）设点P为抛物线的对称轴x=-1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．2018怀化中考【抛物线上寻动点】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+2x+c与x轴交于A（-1,0），B（3,0）两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；（2）请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标；（3）试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．2019鄂尔多斯中考【动点还可能在……】如图，抛物线y=ax²+bx-2（a≠0）与x轴交于A（-3,0），B（1,0）两点，与y轴交于点C，直线y=-x与该抛物线交于E，F两点．（1）求抛物线的解析式．（2）P是直线EF下方抛物线上的一个动点，作PH⊥EF于点H，求PH的最大值．（3）以点C为圆心，1为半径作圆，圆C上是否存在点M，使得△BCM是以CM为直角边的直角三角形？若存在，直接写出M点坐标；若不存在，说明理由．。

直角三角形的存在性问题解题策略1.（遵义市2011）27．（14分）已知抛物线)0(32≠++=a bx ax y 经过A(3，0), B(4，1)两点，且与y 轴交于点C 。

（1）求抛物线)0(32≠++=a bx ax y 的函数关系式及点C 的坐标；（2）如图（1）,连接AB ，在题（1）中的抛物线上是否存在点P ，使△PAB 是以AB 为直角边的直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图（2）,连接AC ，E 为线段AC 上任意一点（不与A 、C 重合）经过A 、E 、O 三点的圆交直线AB 于点F ，当△OEF 的面积取得最小值时，求点E 的坐标。

考点：二次函数综合题。

分析：（1）根据A （3，0），B （4，1）两点利用待定系数法求二次函数解析式； （2）从当△PAB 是以AB 为直角边的直角三角形，且∠PAB=90°与当△PAB 是以AB 为直角边的直角三角形，且∠PBA=90°，分别求出符合要求的答案； （3）根据当OE ∥AB 时，△FEO 面积最小，得出OM=ME ，求出即可． 解答：解：（1）∵抛物线y=ax 2+bx+3（a≠0）经过A （3，0），B （4，1）两点， ∴错误！未找到引用源。

， 解得：错误！未找到引用源。

，∴y=错误！未找到引用源。

x 2﹣错误！未找到引用源。

x+3； ∴点C 的坐标为：（0，3）；（2）当△PAB 是以AB 为直角边的直角三角形，且∠PAB=90°， ∵A （3，0），B （4，1），∴AM=BM=1，∴∠BAM=45°，∴∠DAO=45°，∴AO=DO，∵A点坐标为（3，0），∴D点的坐标为：（0，3），∴直线AD解析式为：y=kx+b，将A，D分别代入得：∴0=3k+b，b=3，∴k=﹣1，∴y=﹣x+3，∴y=错误！未找到引用源。

x2﹣错误！未找到引用源。

中考专题讲解：直角三角形的存在性问题 一、学习目标1.经历探索直角三角形存在性问题的过程，熟练掌握解题技巧2.体会分类讨论的数学思想，体验解决问题方法的多样性二、课前准备1.已知直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边的长为2.如图，A(0，4),C （4,0），点P 是线段OC 的中点，AP ⊥BP ，BC ⊥PC ，则BC 的长度为三、探究理解如图，A(0，1)，C(4，3)是直线121+=x y 上的两点，点P 是x 轴上的一个动点，问：是否存在这样的点P ，使得△ABP 为直角三角形？如果存在，请求出满足条件的点P 的坐标.问题：（1）这样的问题，你怎么思考的？ 针对直角顶点进行分类（2）一般会有几种情况？ 3种（3）分类时候需要做什么？ 画图（4）解题有那些方法？（5）当直角顶点在点P 的时候，如何精确地找到点P ？ 以AB 为直径的圆与x 轴的交点总结：直角三角形的存在性问题的解题策略：四、反馈练习1.如图，点O （0,0），A(1，2),若存在格点P ，使△APO 为直角三角形， 则点P 的个数有 个2.在△ABC 中，∠C=900，AC=8 cm,BC=6 cm ，动点P 、Q 分别同时从点A 、B 出发，其中点P 在线段AB 上向点B 移动，速度是2 cm/s,点Q 在线段BC上向点C 运动，速度为1cm/s ，设运动时间为t s,当t= 时，△BPQ 是直角三角形.3.如图，已知A 、B 是线段MN 上的两点，MN=4,MA=1，MB>1，以A 为中心顺时针旋转点M ，以B 为中心逆时针旋转点N ，使M 、N 两点重合成一点C ，构成△ABC ，设AB=x.若△ABC 为直角三角形，(1)求x 的值.（2）x 的取值是多少.五、链接中考如图，矩形OABC 中，点O 为原点，点A 的坐标为（0,8），点C 的坐标为（6,0）.抛物线834942++-=x x y 经过A 、C 两点，与AB 边交于点D ，Q 是AC 上一点，且AQ=5.请问在抛物线对称轴l 上是否存在点F ，使得△FDQ 为直角三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点F 的坐标，若不存在，请说明理由六、课堂小结直角三角形的存在性问题解题策略分类画图（1）角：构造相似三角形解题 （2） 边：勾股定理（3）函数：k 1·k 2=-1六、课后练习在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC 放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，点C 为（-1,0），如图所示，B 点在抛物线221212-+=x x y 图像上，过点B 作BD ⊥X 轴，垂足为D ，且B 点的横坐标为-3.(1)求证：△BDC ≌△COA(2)求BC 所在直线的函数关系式（3）抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△ACP 是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由。

直角三角形的存在性问题解题策略专题攻略解直角三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根． 一般情况下，按照直角顶点或者斜边分类，然后按照三角比或勾股定理列方程． 有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简便．解直角三角形的问题，常常和相似三角形、三角比的问题联系在一起．如果直角边与坐标轴不平行，那么过三个顶点作与坐标轴平行的直线，可以构造两个新的相似直角三角形，这样列比例方程比较简便．在平面直角坐标系中，两点间的距离公式常常用到．怎样画直角三角形的示意图呢？如果已知直角边，那么过直角边的两个端点画垂线，第三个顶点在垂线上；如果已知斜边，那么以斜边为直径画圆，直角顶点在圆上（不含直径的两个端点）．例题解析例1、 如图1-1，在△ABC 中，AB ＝AC ＝10，cos ∠B ＝45．D 、E 为线段BC 上的两个动点，且DE ＝3（E 在D 右边），运动初始时D 和B 重合，当E 和C 重合时运动停止．过E 作EF //AC 交AB 于F ，连结DF ．设BD ＝x ，如果△BDF 为直角三角形，求x 的值．图1-1【解析】△BDF 中，∠B 是确定的锐角，那么按照直角顶点分类，直角三角形BDF 存在两种情况．如果把夹∠B 的两条边用含有x 的式子表示出来，分两种情况列方程就可以了． 如图1-2，作AH ⊥BC ，垂足为H ，那么H 是BC 的中点．在Rt △ABH 中，AB ＝10，cos ∠B ＝45，所以BH ＝8．所以BC ＝16． 由EF //AC ，得BF BE BA BC =，即31016BF x +=．所以BF ＝5(3)8x +．图1-2 图1-3 图1-4①如图1-3，当∠BDF ＝90°时，由4cos 5BD B BF ∠==，得45BD BF =． 解方程45(3)58x x =⨯+，得x ＝3．②如图1-4，当∠BFD ＝90°时，由4cos 5BF B BD ∠==，得45BF BD =． 解方程5154885x x +=，得757x =． 我们看到，在画示意图时，无须受到△ABC 的“限制”，只需要取其确定的∠B ． 例2、 如图2-1，已知A 、B 是线段MN 上的两点，4=MN ，1=MA ，1>MB ．以A 为中心顺时针旋转点M ，以B 为中心逆时针旋转点N ，使M 、N 两点重合成一点C ，构成 △ABC ，设AB ＝x ，若△ABC 为直角三角形，求x 的值．图2-1【解析】△ABC 的三边长都可以表示出来，AC ＝1，AB ＝x ，BC ＝3－x ． 如果用斜边进行分类，每条边都可能成为斜边，分三种情况：①若AC 为斜边，则22)3(1x x -+=，即0432=+-x x ，此方程无实根．②若AB 为斜边，则1)3(22+-=x x ，解得35=x （如图2-2）． ③若BC 为斜边，则221)3(x x +=-，解得34=x （如图2-3）． 因此当35=x 或34=x 时，△ABC 是直角三角形．图2-2 图2-3例3、 如图3-1，已知在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（-2, 0），点B 是点A 关于原点的对称点，P 是函数)0(2>=x xy 图象上的一点，且△ABP 是直角三角形，求点P 的坐标．图3-1【解析】A 、B 两点是确定的，以线段AB 为分类标准，分三种情况．如果线段AB 为直角边，那么过点A 画AB 的垂线，与第一象限内的一支双曲线没有交点；过点B 画AB 的垂线，有1个交点．以AB 为直径画圆，圆与双曲线有没有交点呢？先假如有交点，再列方程，方程有解那么就有交点．如果是一元二次方程，那么可能是一个交点，也可能是两个交点．由题意，得点B 的坐标为（2，0），且∠BAP 不可能成为直角．①如图3-2，当∠ABP ＝90°时，点P 的坐标为（2，1）．②方法一：如图3-3，当∠APB ＝90°时，OP 是Rt △APB 的斜边上的中线，OP ＝2．设P 2(,)x x ，由OP 2＝4，得2244x x+=．解得x =P (2,2)．图3-2 图3-3 方法二：由勾股定理，得P A 2＋PB 2＝AB 2．解方程2222222(2)()(2)()4x x x x+++++=，得x = 方法三：如图3-4，由△AHP ∽△PHB ，得PH 2＝AH ·BH ．解方程22()(2)(2)x x x=+-，得x =图3-4 图3-5这三种解法的方程貌似差异很大，转化为整式方程之后都是(x 2－2)2＝0．这个四次方程的解是x 1＝x 2＝2，x 3＝x 4＝它的几何意义就是以AB 为直径的圆与双曲线相切于P 、P ′两点（如图3-5）．例4、 如图4-1，已知直线y ＝kx －6经过点A (1,－4)，与x 轴相交于点B ．若点Q 是y 轴上一点，且△ABQ 为直角三角形，求点Q 的坐标．图4-1【解析】和例题3一样，过A 、B 两点分别画AB 的垂线，各有1个点Q ．和例题3不同，以AB 为直径画圆，圆与y 轴有没有交点，一目了然．而圆与双曲线有没有交点，是徒手画双曲线无法肯定的．将A (1,－4)代入y ＝kx －6，可得k ＝2．所以y ＝2x －6，B (3,0)．设OQ 的长为m ．分三种情况讨论直角三角形ABQ ：①如图4-2，当∠AQB ＝90°时，△BOQ ∽△QHA ，BO QH OQ HA =．所以341m m -=． 解得m ＝1或m ＝3．所以Q (0,－1)或(0,－3)．②如图4-3，当∠BAQ ＝90°时，△QHA ∽△AGB ，QH AG HA GB =．所以4214m -=． 解得72m =．此时7(0,)2Q -． ③如图4-4，当∠ABQ ＝90°时，△AGB ∽△BMQ ，AG BM GB MQ =．所以243m =． 解得32m =．此时3(0,)2Q ．图4-2 图4-3 图4-4三种情况的直角三角形ABQ ，直角边都不与坐标轴平行，我们以直角顶点为公共顶点，构造两个相似的直角三角形，这样列比例方程比较简便．已知A (1,－4)、B (3,0)，设Q (0, n )，那么根据两点间的距离公式可以表示出AB 2，AQ 2和BQ 2，再按照斜边为分类标准列方程，就不用画图进行“盲解”了．例5、 如图5-1，抛物线233384y x x =--+与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧）．若直线l 过点E (4, 0)，M 为直线l 上的动点，当以A 、B 、M 为顶点所作的直角三角形有且只．．．有．三个时，求直线l 的解析式．图5-1【解析】有且只有三个直角三角形ABM 是什么意思呢？过A 、B 两点分别画AB 的垂线，与直线l 各有一个交点，那么第三个直角顶点M 在哪里？以AB 为直径的⊙G 与直线l 相切于点M 啊！ 由23333(4)(2)848y x x x x =--+=-+-，得A (－4, 0)、B (2, 0)，直径AB ＝6． 如图5-2，连结GM ，那么GM ⊥l ．在Rt △EGM 中，GM ＝3，GE ＝5，所以EM ＝4．因此3tan 4GEM ∠=． 设直线l 与y 轴交于点C ，那么OC ＝3．所以直线l （直线EC ）为334y x =-+． 根据对称性，直线l 还可以是334y x =-．图5-2例6、 如图6-1，在△ABC 中，CA ＝CB ，AB ＝8，4cos 5A ∠=．点D 是AB 边上的一个动点，点E 与点A 关于直线CD 对称，连结CE 、DE ．（1）求底边AB 上的高；（2）设CE 与AB 交于点F ，当△ACF 为直角三角形时，求AD 的长；（3）连结AE ，当△ADE 是直角三角形时，求AD 的长．图6-1【解析】这道题目画示意图有技巧的，如果将点D 看作主动点，那么CE 就是从动线段．反过来画图，点E 在以CA 为半径的⊙C 上，如果把点E 看作主动点，再画∠ACE 的平分线就产生点D 了．（1）如图6-2，设AB 边上的高为CH ，那么A H ＝BH ＝4．在Rt △ACH 中，AH ＝4，4cos 5A ∠=，所以AC ＝5，CH ＝3． （2）①如图6-3，当∠AFC ＝90°时，F 是AB 的中点，AF ＝4，CF ＝3． 在Rt △DEF 中，EF ＝CE －CF ＝2，4cos 5E ∠=，所以52DE =．此时52AD DE ==． ②如图6-4，当∠ACF ＝90°时，∠ACD ＝45°，那么△ACD 的条件符合“角边角”． 作DG ⊥AC ，垂足为G ．设DG ＝CG ＝3m ，那么AD ＝5m ，AG ＝4m ．由CA ＝5，得7m ＝5．解得57m =．此时2557AD m ==．图6-2 图6-3 图6-4 （3）因为DA＝DE，所以只存在∠ADE＝90°的情况．①如图6-5，当E在AB下方时，根据对称性，知∠CDA＝∠CDE＝135°，此时△CDH 是等腰直角三角形，DH＝CH＝3．所以AD＝AH－DH＝1．②如图6-6，当E在AB上方时，根据对称性，知∠CDA＝∠CDE＝45°，此时△CDH 是等腰直角三角形，DH＝CH＝3．所以AD＝AH＋DH＝7．图6-5 图6-6。

直角三角形存在性问题【问题描述】如图，在平面直角坐标系中，点轴上找一点C 使得△ ABC 是直角三角形，求点A 坐标为（1,1 ），点B 坐标为（5,3），在x C坐标．几何法】两线一圆得坐标1）若∠ A 为直角，过点A 作AB 的垂线，与x 轴的交点即为所求点C ；2）若∠ B 为直角，过点B 作AB 的垂线，与x 轴的交点即为所求点C；3）若∠C 为直角，以AB为直径作圆，与x轴的交点即为所求点C．（直径所对的圆周角为直角）构造三垂直】BN NC2由A、B坐标得AM=2 ，BM=4 ，NC2=33代入得：BN=213故C2坐标为（，0）2重点还是如何求得点坐标，C1、C2 求法相同，以C2为例：易证△AMB ∽△BNC 2AM MBAM MC3易证△AMC3∽△C3NB，C3N= NB由A、B坐标得AM=1，BN=3，设MC3=a，C3N=b1a代入得：= ，即ab=3 ，又a+b=4，故a=1 或3 b3故C3坐标为（2,0），C4坐标为（4,0）构造三垂直步骤：第一步：过直角顶点作一条水平或竖直的直线；第二步：过另外两端点向该直线作垂线，即可得三垂直相似．【代数法】表示线段构勾股还剩下C1待求，不妨来求下C1 ：1）表示点：设C1坐标为（2）表示线段：AB 2 5，AC13）分类讨论：当BAC1 为直角时，24）代入得方程：20 m 1 122222m11，BC1m 532AB2AC12BC12；m5222 32，解得： 3 m．2C3、C4 求法相同，以C3为例：m，0），又A（1，1）、B（5，3）；还有个需要用到一个教材上并没有出现但是大家都知道的算法：互相垂直的两直线斜率之积为-1．考虑到直线AC1与AB 互相垂直，k AC1 k AB 1，可得：k AC1 2，又直线AC1过点A（1,1），可得解析式为：y=-2x+3，33所以与x 轴交点坐标为3,0 ，即C1坐标为3,0 ．22 确实很简便，但问题是这个公式出现在高中的教材上~【小结】几何法：（1）“两线一圆”作出点；（2）构造三垂直相似，利用对应边成比例求线段，必要时可设未知数．代数法：（1）表示点A、B、C 坐标；（2）表示线段AB、AC、BC；（3）分类讨论① AB2+AC2=BC2、② AB2+BC2=AC2、③ AC2+BC2=AB2；（4）代入列方程，求解．如果问题变为等腰直角三角形存在性， 则同样可采取上述方法， 只不过三垂直得到的不是相 似，而是全等．三垂直构造等腰直角三角形】 中考真题（删减）】通过对下面数学模型的研究学习，解决问题． 模型呈现】如图，在 Rt △ABC ，∠ACB=90°，将斜边 AB 绕点 A 顺时针旋转 90 得到 AD ，过点 D 作DE ⊥AC 于点 E ，可以推理得到△ ABC ≌△ DAE ，进而得到 AC=DE ，BC=AE ． 我们把这个数学模型成为 “K 型 ”． 推理过程如下：【模型迁移】二次函数 y ax 2 bx 2的图像交 x 轴于点 A （ -1,0）， B （ 4,0）两点，交 y 轴于点 C ．动点 M 从点 A 出发，以每秒 2 个单位长度的速度沿 AB 方向运动，过点 M 作MN x 轴交直线 BC 于点 N ，交抛物线于点 D ，连接 AC ，设运动的时间为 t 秒． （1）求二次函数 y ax 2 bx 2 的表达式；（2）在直线 MN 上存在一点 P ，当 PBC 是以 BPC 为直角的等腰直角三角形时，求此时 点 D 的坐标．E A C分析】1 2 3 1）yx x 2 ； 222）本题直角顶点 P 并不确定，以 BC 为斜边作等腰直角三角形，直角顶点即为 P 点，再 过点P 作水平线，得三垂直全等．设 HP=a ，PQ=b ，则 BQ=a ， CH=b ，故 D 点坐标为（ 1,3 ）思路 2：等腰直角的一半还是等腰直角．如图，取BC 中点 M 点，以BM 为一直角边作等腰直角三角形， 则第三个顶点即为 P 点．根 据 B 点和 M 点坐标，此处全等的两三角形两直角边分别为 1 和 2 ，故 P 点坐标易求．由图可知：b aa b 42 ，解得：a1 b3同理可求此时解得： m 1 12 ， m 2 1 2 ， m3 1 6 ， m4 1 6 （舍）如下图，对应 P 点坐标分别为 1 2, 11 2, 1 、 1 6,1中考真题】12如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y x 2bx c 与 x 轴交于 A 、B 两点，点 B （3,0），25经过点 A 的直线 AC 与抛物线的另一交点为 C （4, ），与 y 轴交点为 D ，点 P 是直线 AC 下2 方的抛物线上的一个动点（不与点A 、C 重合）．（1）求该抛物线的解析式．（2）点Q 在抛物线的对称轴上运动， 当 OPQ 是以OP 为直角边的等腰直角三角形时， 请直接写出符合条件的点 P 的坐标．分析】2）①当∠ POQ 为直角时，考虑 Q 点在对称轴上，故过点 Q 向 y 轴作垂线，垂线段长为 垂线，长度必为 1，故 P 的纵坐标为 ±1．如下图，不难求出 P 点坐标．13设 P 点坐标为 m,1 m 2 m 3 ，22可得： 1 m 2 m 3 1．2212 3； xx2 21) y1，可知过点 P 向 x 轴作②当∠ OPQ 为直角时，如图构造△ OMP ≌△ PNQ ，可得： PM=QN ． 设 P 点坐标为 m,21m 2 m 32 ，1，若 1m 2 m 3 m 1 ，解得： m 1 5 ， m 25 （舍）．22若 1m 2 m 3 m 1，解得： m 1 2 5， m 2 2 5（舍） 22对于构造三垂直来说，直角顶点已知的和直角顶点的未知的完全就是两个题目！也许能画出大概位置，但如何能画出所有情况，才是问题的关键．其实只要再明确一点， 构造出三垂直后， 表示出一组对应边， 根据相等关系列方程求解即可．则PM 01 2 3 mm2212 m 23， QN= m 21， 如下图，对应 P 点坐标分别为 5,1 5中考真题】如图，抛物线y ax2 bx 2交x轴于点A( 3,0)和点B(1,0)，交 y轴于点C． (1)求这个抛物线的函数表达式．(2)点 D的坐标为( 1,0) ，点 P为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形ADCP 面积的最大值．( 3)点 M 为抛物线对称轴上的点，问：在抛物线上是否存在点N ，使MNO 为等腰直角三角形，且MNO 为直角？若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．x备用图分析】2 2 41) y x x 2 ；332) 连接AC，将四边形面积拆为△ APC 和△ADC 面积，考虑△ ADC 面积为定值，故只需△APC 面积最大即可，铅垂法可解；过点N 作NE⊥x 轴交x 轴于E 点，如图1，过点M 向NE 作垂线交EN 延长线于易证△OEN≌△ NFM ，可得：NE=FM．22 m3当直角顶点不确定时，问题的一大难点是找出所有情况，而事实上，所有的情况都可以归结为同一个方程：NE=FM ．故只需在用点坐标表示线段时加上绝对值，便可计算出可能存在的其他情况．3)F 点，设N 点坐标为m, 24 m3，则NE22m3 ，FM m 1 ，22m34m 2=m31，解得：m17 731) m27 737 73（图4）4对应N 点坐标分别为3 734734m 2=31，解得：m373(图2)、m41 73（图3）4 对应N 点坐标分别为7343 7343 734一般直角三角形存在性，同样构造三垂直，区别于等腰直角构造的三垂直全等，没了等腰的条件只能得到三垂直相似．而题型的变化在于动点或许在某条直线上，也可能在抛物线上等．对称轴上寻找点】（中考真题）如图，已知抛物线y ax2 bx c（a 0）的对称轴为直线x 1 ，且抛物线与x 轴交于 A、B两点，与 y轴交于C点，其中A（1,0），C （0,3）．（1）若直线y mx n 经过 B 、C 两点，求直线BC 和抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴x 1上找一点 M ，使点 M 到点 A的距离与到点C 的距离之和最小，求出点 M 的坐标；（3）设点 P为抛物线的对称轴x 1上的一个动点，求使BPC 为直角三角形的点 P坐标．分析】1）直线BC：y x3抛物线：y x2 2x3；2）将军饮马问题，考虑到M 点在对称轴上，且点 A 关于对称轴的对称点为点B ，故MA+MC=MB+MC，∴当B、M、C 三点共线时，M到A和C的距离之后最小，此时M 点坐标为（-1，2）；3）两圆一线作点P：yx以 P 1 为例，构造△ PNB ∽△ BMC ，考虑到 BM =MC =3，易求 P 2 坐标为（ 1,4）．P 3、 P 4求法类似，下求 P 3：已知 PN=1， PM=2，设 CN=a ，BM=b ， 1a，即 ab=2，由图可知： b-a=3， b2∴BN=PN=2，故 P 1 点坐标为（ -1， -2）． xx舍），对应 x故可解： 类似可求P 3坐标为1,3217．2由相似得：2 抛物线 y ax 2 2x c 与 x 轴交于 A( 1,0) ，B (3,0)两点，与 y 轴交于点 C ，点 D 是该抛物线的顶点．1）求抛物线的解析式和直线 AC 的解析式；2）请在 y 轴上找一点 M ，使 BDM 的周长最小，求出点 M 的坐标；3）试探究：在拋物线上是否存在点 P ，使以点 A ， P ， C 为顶点， AC 为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．抛物线上寻找点】中考真题） 如图，在平面直角坐标系中，分析】1）抛物线：y x2 2x 3 ，直线AC：y=3x+3；2）看图，M 点坐标为（0,3）与C 点重合了．3）考虑到AC 为直角边，有如下两种情况，故分别过A、C 作AC 的垂线，与抛物线交点即为所求P 点，xP：x先求过A 点所作垂线得到的点设P 点坐标为 m, m22m3，则PM=m+1，AM= 0 m22m2m3，易证△ PMA∽△ ANC，且AN =3，m 1 m2 2m 3 ∴ ，解得：31CN=1，m110，3m21（舍），故第1个P点坐标为130, 193再求过点C 所作垂线得到的点PM 3m2m 2m故第2 个P 点坐标为综上所述，P 点坐标为3 2 m2m，CN=m，m17，m2（舍）37,203,910137, 20或3939P：3，解得：1m22m动点还可能在⋯⋯】中考真题)如图，抛物线y ax2 bx 2(a 0)与x轴交于A( 3,0) ，B(1,0)两点，与 y轴交于点C ，直线 y x 与该抛物线交于 E ， F 两点．1)求抛物线的解析式．2) P 是直线 EF 下方抛物线上的一个动点，作 PH EF 于点 H ，求 PH 的最大值．3) 以点C 为圆心，1 为半径作圆，e C 上是否存在点 M ，使得BCM 是以CM 为直角边的直角三角形？若存在，直接写出 M 点坐标；若不存在，说明理由．分析】CM 为直角边，故点C 可能为直角顶点，点M 也可能为直角顶点．①当 BCM 为直角时，如图：1)22x32；2) 过点P 作x 轴的垂线交EF 于点Q，所谓PH 最大，即PQ 最大，易解．3)M 1 ：不难求得 CF=1，BF=2，故 M 1 坐标为同理可求 M 2 坐标为【总结】 对于大部分直角三角形存在性问题， 构造三垂直全等或相似基本上可解决问题， 牢 记构造步骤：（ 1）过直角顶点作水平或竖直线；（ 2）过另外两端点向其作垂线．∴ EM 1 : EC 1: 2，又 CM 1 1， 可得： EM 155，EC525 5BOCM 44M 3 ：不难发现 CM=1，BC= 5 ，∴ BM 2，即△ MEC ∽△ BFM ，且相似比为 1：2， 设 EC=a ， EM=b ，则 FM=2a ， BF=2b ， 2a 由图可知： 2a2b22，解得：13 54 5故点M 3 的坐标为至于 M 4坐标，显然 1, 2．综上所述， M 点坐标为或 255, 2或 1, 2 ．如图： yBO放大C②当∠ BMC 为直角时，y。

一、周长、面积倍分问题1. (08年漳州第26题)如图，二次函数y=ax2－5ax＋4a(a≠0)的图象与x轴交于Ａ、B两点(A在B的左侧)，与y轴交于点C，点C关于抛物线对称轴的对称点为D，连结BD．(1)求A、Ｂ两点的坐标；(2)若AD⊥BC，垂足为P，求二次函数的表达式；(3)在(2)的条件下，若直线x=m把△ABD的面积分为1∶2的两部分，求m的值．2.（2011•青海）已知一元二次方程x2﹣4x+3=0的两根是m，n且m＜n．如图，若抛物线y=﹣x2+bx+c的图象经过点A（m，0）、B（0，n）．（1）求抛物线的解析式．（2）若（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为C．根据图象回答，当x取何值时，抛物线的图象在直线BC的上方？（3）点P在线段OC上，作PE⊥x轴与抛物线交于点E，若直线BC将△CPE的面积分成相等的两部分，求点P的坐标．3.（2009•龙岩）如图，抛物线nmxxy++=221与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，四边形OBHC为矩形，CH的延长线交抛物线于点D（5，2），连结BC、AD.（1）求C点的坐标及抛物线的解析式；（2）将△BCH绕点B按顺时针旋转90°后再沿x轴对折得到△BEF（点C与点E对应），判断点E是否落在抛物线上，并说明理由；（3）设过点E的直线交AB边于点P，交CD边于点Q，问是否存在点P，使直线PQ分梯形ABCD的面积为1∶3两部分？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由.14.在直角坐标系中，抛物线cbxxy++=2经过点（0，10）和点（4，2）.（1）求这条抛物线的解析式.（2）如图，在边长一定的矩形ABCD中，CD=1，点C在y轴右侧沿抛物线cbxxy++=2滑动，在滑动过程中CD∥x轴，AB在CD的下方.当点D在y轴上时，AB落在x轴上.①求边BC的长.②当矩形ABCD在滑动过程中被x轴分成两部分的面积比为1:4时，求点C的坐标. 5.（2008•沈阳）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABOC的边BO在x轴的负半轴上，边OC在y轴的正半轴上，且AB=1，ABOC绕点O按顺时针方向旋转60°后得到矩形EFOD。

2023学年二轮复习解答题专题二十七：二次函数中直角三角形的存在性问题探究方法点睛一、构造直角三角形的一般思路:构造直角三角形，用的是“两线一圆”：分别过已知线段的两个端点作已知线段的垂线，再以已知线段为直径作圆.二、解题思路是否存在一点，使之与另外两个定点构成直角三角形的问题：首先弄清题意，注意区分直角顶点；其次借助于动点所在图形的解析式，表示出动点的坐标；然后按分类的情况，利用几何知识建立方程(组)，求出动点坐标，注意要根据题意舍去不符合题意的点．方法一：利用勾股定理进行边长的计算，从而来解决问题；方法二：往往可以利用到一线等三角之K字（90°）类型和母子相似型类型，尝试建构相应的相似来进行处理；方法三：两条直线互相垂直的条件，即=-1来解决．典例剖析类型一：利用勾股定理来解决直角三角形的存在性问题例1. （2022滨州中考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线223y x x =--与x 轴相交于点A 、B （点A 在点B 的左侧），与y 轴相交于点C ，连接,AC BC ．（1）求线段AC 的长；（2）若点Р为该抛物线对称轴上的一个动点，当PA PC =时，求点P 的坐标；（3）若点M 为该抛物线上的一个动点，当BCM V 为直角三角形时，求点M 的坐标．【答案】（1（2）()11，-（3）()14-，或()25-，或-或-【解析】【分析】（1）根据解析式求出A ，B ，C 的坐标，然后用勾股定理求得AC 的长；（2）求出对称轴为x =1，设P （1，t ），用t 表示出PA 2和PC 2的长度，列出等式求解即可；（3）设点M （m ,m 2-2m -3），分情况讨论，当222CM BC BM +=，222BM BC CM +=，k 1k2222BM CM BC +=分别列出等式求解即可．【小问1详解】223y x x =--与x 轴交点：令y =0，解得121,3x x =-=，即A （-1，0），B （3，0），223y x x =--与y 轴交点：令x =0，解得y =-3，即C （0，-3），∴AO =1,CO =3,∴AC ==;【小问2详解】抛物线223y x x =--的对称轴为：x =1，设P （1，t ），∴()()22221104PA t t =++-=+，()()()222210313PC t t =-++=++，∴24t + ()213t =++∴t =-1，∴P （1，-1）；【小问3详解】设点M （m ,m 2-2m -3），()()()()22222223230323BM m m m m m m =-+---=-+--，()()()222222202332CM m m m m m m =-+--+=+-，()()222300318BC =-++=,①当222CM BC BM +=时，()()()222222218323m m m m m m +-+=-+--，解得，10m =（舍），21m =，∴M （1，-4）；②当222BM BC CM +=时，()()()222222323182m m m m m m -+--+=+-，解得，12m =-，23m =（舍），∴M （-2，5）；③当222BM CM BC +=时，()()()222222323218m m m m m m -+--++-=，解得，m =，∴M -或-；综上所述：满足条件的M 为()14-，或()25-，或-或-．【点睛】本题是二次函数综合题，考查了与坐标轴交点、线段求值、存在直角三角形等知识，解题的关键是学会分类讨论的思想，属于中考压轴题．类型二：构造相似来解决直角三角形存在性问题例2.（2021巴中中考）已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0）、B（6，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．（1）求抛物线的表达式；（2）点P在直线BC下方的抛物线上，连接AP交BC于点M，当最大时，求点P的坐标及的最大值；（3）在（2）的条件下，过点P作x轴的垂线l，在l上是否存在点D，使△BCD是直角三角形，若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；应用意识．【答案】（1）y＝x2﹣x﹣3；（2）P（3，﹣），有最大值；（3）D点坐标为（3，6）或（3，﹣9）或（3，﹣﹣）或（3，﹣）．【分析】（1）将A（﹣2，0）、B（6，0）、C（0，﹣3）代入y＝ax2+bx+c即可求解析式；（2）过点A作AE⊥x轴交直线BC于点E，过P作PF⊥x轴交直线BC于点F，由PF∥AE，可得＝，则求的最大值即可；（3）分三种情况讨论：当∠CBD＝90°时，过点B作GH⊥x轴，过点D作DG⊥y轴，DG与GH交于点G，过点C作CH⊥y轴，CH与GH交于点H，可证明△DBG∽△BCH，求出D（3，6）；当∠BCD＝90°时，过点D作DK⊥y轴交于点K，可证明△OBC∽△KCD，求出D（3，﹣9）；当∠BDC＝90°时，线段BC的中点T（3，﹣），设D（3，m），由DT＝BC，可求D（3，﹣）或D（3，﹣﹣）．【解答】解：（1）将点A（﹣2，0）、B（6，0）、C（0，﹣3）代入y＝ax2+bx+c，得，解得，∴y＝x2﹣x﹣3；（2）如图1，过点A作AE⊥x轴交直线BC于点E，过P作PF⊥x轴交直线BC于点F，∴PF∥AE，∴＝，设直线BC的解析式为y＝kx+d，∴，∴，∴y＝x﹣3，设P（t，t2﹣t﹣3），则F（t，t﹣3），∴PF＝t﹣3﹣t2+t+3＝﹣t2+t，∵A（﹣2，0），∴E（﹣2，﹣4），∴AE＝4，∴＝＝＝﹣t2+t＝﹣（t﹣3）2+，∴当t＝3时，有最大值，∴P（3，﹣）；（3）∵P（3，﹣），D点在l上，如图2，当∠CBD＝90°时，过点B作GH⊥x轴，过点D作DG⊥y轴，DG与GH交于点G，过点C作CH⊥y轴，CH与GH交于点H，∴∠DBG+∠GDB＝90°，∠DBG+∠CBH＝90°，∴∠GDB＝∠CBH，∴△DBG∽△BCH，∴＝，即＝，∴BG＝6，∴D（3，6）；如图3，当∠BCD＝90°时，过点D作DK⊥y轴交于点K，∵∠KCD+∠OCB＝90°，∠KCD+∠CDK＝90°，∴∠CDK＝∠OCB，∴△OBC∽△KCD，∴＝，即＝，∴KC＝6，∴D（3，﹣9）；如图4，当∠BDC＝90°时，线段BC的中点T（3，﹣），BC＝3，设D（3，m），∵DT＝BC，∴|m+|＝，∴m＝﹣或m＝﹣﹣，∴D（3，﹣）或D（3，﹣﹣）；综上所述：△BCD是直角三角形时，D点坐标为（3，6）或（3，﹣9）或（3，﹣﹣）或（3，﹣）．专题过关1. （2022柳州中考）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（m，0）两点，与y轴交于点C（0，5）．（1）求b，c，m的值；（2）如图1，点D是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，且点D在第一象限内，过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作EF⊥x轴，垂足为点F，当四边形DEFG的周长最大时，求点D的坐标；（3）如图2，点M是抛物线的顶点，将△MBC沿BC翻折得到△NBC，NB与y轴交于点Q，在对称轴上找一点P，使得△PQB是以QB为直角边的直角三角形，求出所有符合条件的点P的坐标．【答案】（1）b=4，c=5，m=5（2）当四边形DEFG的周长最大时，点D的坐标为（3，8）（3）所有符合条件的点P的坐标为（2，233），（2，﹣9）【解析】【分析】（1）把A（﹣1，0），C（0，5）代入y＝﹣x2+bx+c，利用待定系数法求解b，c即可，再令y=0，再解方程求解m即可；（2）先求解抛物线的对称轴为x＝2，设D（x，﹣x2+4x+5），则E（4﹣x，﹣x2+4x+5），证明四边形DEFG 是矩形，而224,45,DE x DF x x =-=-++ 可得四边形DEFG 的周长＝2（﹣x 2+4x +5）+2（2x ﹣4）＝﹣2x 2+12x +2＝﹣2（x ﹣3）2+20，再利用二次函数的性质可得答案；（3）过点C 作CH ⊥对称轴于H ，过点N 作NK ⊥y 轴于K ，证明△MCH ≌△NCK （AAS ），再求解N （﹣4，3），求解直线BN 的解析式为：15,33y x =-+ 可得50,,3Q æöç÷ç÷èø设P （2，p ），再利用勾股定理表示2222510612,339PQ p p p æöç÷=+-=-+ç÷èø BP 2＝()222529p p -+=+，222525525,39BQ æöç÷=+=+ç÷èø再分两种情况建立方程求解即可．【小问1详解】把A （﹣1，0），C （0，5）代入y ＝﹣x 2+bx +c ，105b c c ì--+=ï\í=ïî ，解得：4,5b c ì=ïí=ïî∴这个抛物线的解析式为：y ＝﹣x 2+4x +5，令y ＝0，则﹣x 2+4x +5＝0，解得x 1＝5，x 2＝﹣1，∴B （5，0），∴m ＝5；【小问2详解】∵抛物线的解析式为：y ＝﹣x 2+4x +5＝﹣（x ﹣2）2+9，∴对称轴为x ＝2，设D （x ，﹣x 2+4x +5），∵DE x ∥轴，∴E （4﹣x ，﹣x 2+4x +5），∵过点D 作x 轴的平行线交抛物线于点E ，作y 轴的平行线交x 轴于点G ，过点E 作EF ⊥x 轴，∴四边形DEFG 是矩形，∴224,45,DE x DF x x =-=-++∴四边形DEFG 的周长＝2（﹣x 2+4x +5）+2（2x ﹣4）＝﹣2x 2+12x +2＝﹣2（x ﹣3）2+20，∴当x ＝3时，四边形DEFG 的周长最大，∴当四边形DEFG 的周长最大时，点D 的坐标为（3，8）；【小问3详解】过点C 作CH ⊥对称轴于H ，过点N 作NK ⊥y 轴于K ，∴∠NKC ＝∠MHC ＝90°，由翻折得CN ＝CM ，∠BCN ＝∠BCM ，∵B （5，0），C （0，5）．∴OB ＝OC ，∴∠OCB＝∠OBC＝45°，∵CH⊥对称轴于H，∴CH x∥轴，∴∠BCH＝45°，∴∠BCH＝∠OCB，∴∠NCK＝∠MCH，∴△MCH≌△NCK（AAS），∴NK＝MH，CK＝CH，∵抛物线的解析式为：y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9，∴对称轴为x＝2，M（2，9），∴MH＝9﹣5＝4，CH＝2，∴NK＝MH＝4，CK＝CH＝2，∴N（﹣4，3），设直线BN的解析式为y＝mx+n，∴43,50m nm nì-+=ïí+=ïî解得：13,53mnì=-ïïíï=ïî∴直线BN的解析式为：15,33 y x=-+∴50,,3 Qæöç÷ç÷èø设P（2，p），∴2222510612,339PQ p p p æöç÷=+-=-+ç÷èøBP 2＝()222529p p -+=+，222525525,39BQ æöç÷=+=+ç÷èø分两种情况：①当∠BQP ＝90°时，BP 2＝PQ 2+BQ 2，∴22106125925,399p p p +=-+++ 解得：23,3p = ∴232,,3P æöç÷ç÷èø②当∠QBP ＝90°时，P ′Q 2＝BP ′2+BQ 2，∴22106125925,399p p p -+=+++ 解得：9,p =-∴点P ′的坐标为（2，﹣9）．综上，所有符合条件的点P 的坐标为232,3æöç÷ç÷èø或()2,9P -．【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数与坐标轴的交点坐标问题，二次函数的性质，对称轴的性质，二次函数与直角三角形，勾股定理的应用，清晰的分类讨论是解本题的关键．2. （2022雅安中考）已知二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象过点A （﹣1，0），B （3，0），且与y 轴交于点C （0，﹣3）．（1）求此二次函数的表达式及图象顶点D 的坐标；（2）在此抛物线的对称轴上是否存在点E ，使△ACE 为Rt △，若存在，试求点E 的坐标，若不存在，请说明理由；（3）在平面直角坐标系中，存在点P ，满足PA ⊥PD ，求线段PB 的最小值．【答案】（1）()223,1,4y x x D =--- （2）E 的坐标为：21,3æöç÷èø或81,3æö-ç÷èø或()1,1-或()1,2.- （3）BP-【解析】【分析】（1）根据题意可设抛物线为()()13,y a x x =+-再代入C 的坐标可得函数解析式，化为顶点式可得顶点坐标；（2）如图，由()()()22132314,y x x x x x =+-=--=--可得抛物线对称轴为：1,x =设()1,,E n 而A （﹣1，0），C （0，-3），再利用勾股定理分别表示210,AC = 224,AE n =+ 22610,CE n n =++ 再分三种情况讨论即可；（3）如图，连结AD ，记AD 的中点为H ，由,PA PD ⊥ 则P 在以H 为圆心，HA为半径的的圆H 上，不与A ，D 重合，连结BH ，交圆H 于P ，则PB 最短，再求解H 的坐标，结合勾股定理可得答案．【小问1详解】解：Q 二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象过点A （﹣1，0），B （3，0），∴设二次函数为：()()13,y a x x =+-把C （0，﹣3）代入抛物线可得：33,a -=-解得：1,a =∴抛物线为：()()()2213231 4.y x x x x x =+-=--=-- ()1,4.D \-【小问2详解】如图，由()()()22132314,y x x x x x =+-=--=--可得抛物线的对称轴为：1,x =设()1,,E n 而A （﹣1，0），C （0，-3），()()222100310,AC \=--++= ()2222114,AE n n =++=+ ()()2222103610,CE n n n =-++=++ 当90EAC Ð=°时，22610410n n n ++=++，解得2,3n = 即21,,3E æöç÷ç÷èø当90ACE Ð=°时，22410610,n n n +=+++ 解得：8,3n =- 即81,,3E æöç÷-ç÷èø当90AEC Ð=°时，22461010,n n n ++++=整理得：2320,n n ++=解得：121,2,n n =-=-()()1,1,1,2,E E \--综上：E 的坐标为：21,3æöç÷èø或81,3æö-ç÷èø或()1,1-或()1,2.-【小问3详解】如图，连结AD ，记AD 的中点为H ，由,PA PD ⊥则P 在以H 为圆心，HA 为半径的圆H 上，不与A ，D 重合，连结BH ，交圆H 于P ，则PB 最短，()()1,0,1,4,A D --Q()0,2,H AD HP \-= ()3,0,B QBH \==BP \即BP -【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，二次函数的性质，勾股定理的应用，二次函数与圆的综合，判断PB 最小时，P 的位置是解本题的关键．3. （2022广安中考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y ax x m =++（a ≠0）的图象与x 轴交于A 、C 两点，与y 轴交于点B ，其中点B 坐标为（0，－4），点C 坐标为（2，0）．（1）求此抛物线的函数解析式．（2）点D 是直线AB 下方抛物线上一个动点，连接AD 、BD ，探究是否存在点D ，使得△ABD 的面积最大？若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）点P 为该抛物线对称轴上的动点，使得△PAB 为直角三角形，请求出点P 的坐标．【答案】（1）2142y x x =+-（2）（-2，-4） （3）P 点坐标为：（-1，3），（-1，-5），(12--+，，(12---，【解析】【分析】（1）直接将B （0，-4），C （2，0）代入2y ax x m =++，即可求出解析式；（2）先求出直线AB 关系式为：4y x =--，直线AB 平移后的关系式为：4y x n =--+，当其与抛物线只有一个交点时，此时点D 距AB 最大，此时△ABD 的面积最大，由此即可求得D 点坐标；（3）分三种情况讨论，①当∠PAB =90°时，即PA ⊥AB ，则设PA 所在直线解析式为：y =x+z ，将A （-4,0）代入y =x+z 得，解得：4z =，此时P 点坐标为：（-1,3）；②当∠PBA =90°时，即PB ⊥AB ，则设PB 所在直线解析式为：y x t =+，将B （0，-4）代入y x t =+得，4t =-，此时P 点坐标为：（-1,-5）；③当∠APB =90°时，设P 点坐标为：()1p y -，，由于PA 所在直线斜率为：3py ，PB 在直线斜率为：41p y +-，3py g 41p y +-=-1，则此时P点坐标为：(12--+，，(12--，．【小问1详解】解：将B （0，-4），C （2，0）代入2y ax x m =++， 得：4420m a m =-ìí++=î，解得：412m a =-ìïí=ïî，∴抛物线的函数解析式为：2142y x x =+-．【小问2详解】向下平移直线AB ，使平移后的直线与抛物线只有唯一公共点D 时，此时点D 到直线AB 的距离最大，此时△ABD 的面积最大，∵21402x x +-=时，12x =，24x =-，∴A 点坐标为：（-4,0），设直线AB 关系式为：0y kx b k =+¹（），将A （-4,0），B （0，-4），代入0y kx b k =+¹（），得：404k b b -+=ìí=-î，解得：14k b =-ìí=-î，∴直线AB 关系式为：4y x =--，设直线AB 平移后的关系式为：4y x n =--+，则方程21442x n x x --+=+-有两个相等的实数根，即21202x x n +-=有两个相等的实数根，∴2n =-，即212202x x ++=的解为：x =-2，将x =-2代入抛物线解析式得，()2122442y =´---=-，∴点D 的坐标为：（-2，-4）时，△ABD 的面积最大；【小问3详解】①当∠PAB =90°时，即PA ⊥AB ，则设PA 所在直线解析式为：y =x+z ，将A （-4,0）代入y =x+z 得，40z -+=，解得：4z =，∴PA 所在直线解析式为：4y x =+，∵抛物线对称轴为：x =-1，∴当x =-1时，143y =-+=，∴P 点坐标：（-1，3）；为②当∠PBA =90°时，即PB ⊥AB ，则设PB 所在直线解析式为：y x t =+，将B （0，-4）代入y x t =+得，4t =-，∴PA 所在直线解析式为：4y x =-，∴当x =-1时，145y =--=-，∴P 点坐标为：（-1，-5）；③当∠APB =90°时，设P 点坐标为：()1p y -，，∴PA 所在直线斜率为：3py ，PB 在直线斜率为：41p y +-，∵PA ⊥PB ，∴3py 41p y +-=-1，解得：12p y =-22p y =--，∴P 点坐标为：(12--+，，(12--，综上所述，P 点坐标为：（-1，3），（-1，-5），(12--，，(12---，时，△PAB 为直角三角形．【点睛】本题主要考查的是二次函数图象与一次函数、三角形的综合，灵活运用所学知识是解题的关键．4. （2022呼和浩特中考）如图，抛物线212y x bx c =-++经过点(4,0)B 和点(0,2)C ，与x 轴的另一个交点为A ，连接AC 、BC ．（1）求抛物线的解析式及点A 的坐标；（2）如图1，若点D 是线段AC 的中点，连接BD ，在y 轴上是否存在点E ，使得BDE V 是以BD 为斜边的直角三角形？若存在，请求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，点P 是第一象限内抛物线上的动点，过点P 作PQ y ∥轴，分别交BC 、x 轴于点M 、N ，当PMC △中有某个角的度数等于OBC Ð度数的2倍时，请求出满足条件的点P 的横坐标．【答案】（1）213222y x x =-++；A （-1，0）； （2）存在E （0，3）或（0，-1），使得BDE V 是以BD 为斜边的直角三角形； （3）2或32【解析】【分析】（1）利用待定系数法解答，即可求解；（2）先根据中点坐标公式可得点1,12D æö-ç÷èø，设点E （0，m ），再根据两点坐标公式可得()22221501224DE m m m æö=--+-=-+ç÷èø，2222181424BD m m æö=++=+ç÷èø，2216BE m =+，再由勾股定理，即可求解；（3）先求出1tan 2OC OBC OB Ð==，再求出直线BC 的解析式，然后设点213,222P a a a æö-++ç÷èø，则1,22M a a æö-+ç÷èø，CF =a ，可得2122PM a a =-+，再分三种情况讨论：若∠PCM =2∠OBC ，过点C 作CF ∥x 轴交PM 于点F ；若∠PMC =2∠OBC ；若∠CPM =2∠OBC ，过点P 作PG 平分∠CPM ，则∠MPG =∠OBC ，即可求解．【小问1详解】解：把点(4,0)B 和点(0,2)C 代入，得：1164022b c c ì-´++=ïíï=î，解得：322b c ì=ïíï=î，∴抛物线的解析式为213222y x x =-++，令y =0，则213222y x x =-++，解得：121,4x x =-=，∴点A （-1，0）；【小问2详解】解：存在，理由如下：∵点A （-1，0），点(0,2)C ，点D 是线段AC 的中点，∴点1,12D æö-ç÷èø，设点E （0，m ），∴()22221501224DE m m m æö=--+-=-+ç÷èø，2222181424BD m m æö=++=+ç÷èø，2216BE m =+，∵BDE V 是以BD 为斜边的直角三角形，∴22258116244m m m m ++-+=+，整理得：2230m m --=，解得：3m =或-1，∴点E 的坐标为（0，3）或（0，-1）；【小问3详解】解：∵点B （4，0），C （0，2），∴OB =4，OC =2，∴1tan 2OC OBC OB Ð==，设直线BC 的解析式为()10y kx b k =+¹，把点B （4，0），C （0，2）代入得：11402k b b +=ìí=î，解得：1122k b ì=-ïíï=î，∴直线BC 的解析式为122y x =-+，设点213,222P a a a æö-++ç÷èø，则1,22M a a æö-+ç÷èø，CF =a ，∴2213122222122PM a a a a a -æöæö=-++-=-+ç÷ç÷èøèø+，若∠PCM =2∠OBC ，过点C 作CF ∥x 轴交PM 于点F ，如图甲所示，∴∠FCM =∠OBC ，即1tan tan 2FCM OBC Ð=Ð=，∴∠PCF =∠FCM ，∵PQ y ∥轴，∴CF ⊥PQ ，∴PM =2FM ，∴214FM a a =-+，∴21142a a a -+=，解得：解得：a =2或0（舍去），∴点P 的横坐标为2；若∠PMC =2∠OBC ，∵∠PMC =∠BMN ，∴∠BMN =2∠OBC ，∵∠OBC +∠BMN =90°，∴∠OBC =30°，与1tan 2OC OBC OB Ð==相矛盾，不合题意，舍去；若∠CPM =2∠OBC ，如图乙所示，过点P 作PG 平分∠CPM ，则∠MPG =∠OBC ，∵∠PMG =∠BMN ，∴△PMG ∽△BMN ，∴∠PGM =∠BNM =90°，∴∠PGC =90°，∵PG 平分∠CPM ，即∠MPG =∠CPG ，∴∠PCM =∠PMC ，∴PC =PM ，∴2122a a -+=，解得：32a =或0（舍去），∴点P 的横坐标为32；综上所述，点P 的横坐标为2或32．图甲 图乙【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，熟练掌握二次函数的综合题，直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，利用数形结合思想和分类讨论思想解答是解题的关键．5. （2022抚顺中考） 如图，抛物线23y ax x c =-+与x 轴交于(4,0)A -，B 两点，与y 轴交于点(0,4)C ，点D 为x 轴上方抛物线上的动点，射线OD 交直线AC 于点E ，将射线OD 绕点O 逆时针旋转45°得到射线OP ，OP 交直线AC 于点F ，连接DF ．（1）求抛物线的解析式；（2）当点D 在第二象限且34DE EO =时，求点D 的坐标；（3）当ODF △为直角三角形时，请直接写出点D 的坐标．【答案】（1）234y x x =--+（2）(1,6)D -或(3,4)D -（3）()3,4-或(0,4)或2ö÷÷ø或2ö÷÷ø【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）过点D 作DG AB ⊥于点G ，交AC 于点H ，先求出直线AC 的解析式，设()()2,34,,4D n n n H n n --++，则24DH n n =--，证明△EDH ∽△EOC 得到DH DE OC OE=，即可求出DH =3，据此求解即可；（3）分D 和F 为直角顶点进行讨论求解即可．【小问1详解】解：将(4,0),(0,4)A C -代入23y ax x c =-+得：161204a c c ++=ìí=î，解得14a c =-ìí=î，∴抛物线解析式为234y x x =--+；【小问2详解】解：过点D 作DG AB ⊥于点G ，交AC 于点H ，设过点(4,0),(0,4)A C -的直线的解析式为y kx b =+，则404k b b -+=ìí=î，解得14k b =ìí=î，∴直线AC 的解析式为4y x =+，设()()2,34,,4D n n n H n n --++，则24DH n n =--．∵DH OA OC OA ⊥，⊥，∴DG OC ∥，的∴,ECO EHD EOC EDH Ð=ÐÐ=Ð，∴EDH EOC V V ∽，∴DH DE OC OE=，∵3,44DE OC OE ==，∴3DH =，∴243n n --=解得1n =-或3n =-将1,3n n =-=-分别代入234y x x =--+得6,4y y ==∴(1,6)D -或(3,4)D -；【小问3详解】解：如图1所示，当点D 与点C 重合时，∵点A （-4，0），点C （0，4），∴OA =OC =4，∴∠OCA =∠OAC =45°，当点C 与点D 重合时，∵OP 是OD 逆时针旋转45°得到的，∴∠POD =45°，即∠FOC =45°，∴∠AOF =∠FOC =45°，又∵OA =OC ，∴OF ⊥AC ，即∠OFC =90°，∴△OFC 是直角三角形，∴此时点D 的坐标为（0，4）；如图2所示，当∠DFO =90°时，连接CD ，由旋转的性质可得∠DOF =45°，∴△DOF 是等腰直角三角形，∴OF =OD ，∠FDO =∠FCO =45°，∴C 、D 、F 、O 四点共圆，∴∠FCD =∠FOD =45°，∴∠OCD =∠FCD +∠FCO =90°，∴CD ⊥OC ，∴点D 的纵坐标为4，∴当y =4时，2344x x --+=，解得3x =-或0x =（舍去），∴点D 的坐标为（-3，4）；如图3所示，当∠ODF =90°时，过点D 作DH ⊥y 轴于H ，过点F 作FG ⊥DH 交HD 延长线于G ，同理可证△DOF 是等腰直角三角形，∴OD =DF ，∵FG ⊥DH ，DH ⊥y 轴，∴∠FGD =∠DHO =90°，∴∠GDF +∠GFD =90°，又∵∠GDF +∠HDO =90°，∴∠GFD =∠HDO ，∴△GDF ≌△HOD （AAS ），∴GD =OH ，GF =DH ，设点D 的坐标为（m ，234m m --+），∴234DH GF m OH GD m m ==-==--+，，∴244GH m m =--+，∴点F 的坐标为（244m m +-，224m m --+），∵点F 在直线AC ：4y x =+上，∴2244424m m m m +-+=--+，∴2320m m +-=，解得m =∴点D 的坐标为2ö÷÷ø或2ö÷÷ø；综上所述，点D 的坐标为（-3，4）或（0，4）或2ö÷÷ø或2ö÷÷ø【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数综合，二次函数与几何综合，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定等等，熟知相关知识是解题的关键．6. （2022恩施中考） 在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线2y x c =-+与y 轴交于点()0,4P ．（1）直接写出抛物线的解析式．（2）如图，将抛物线2y x c =-+向左平移1个单位长度，记平移后的抛物线顶点为Q ，平移后的抛物线与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的右侧），与y 轴交于点C ．判断以B 、C 、Q 三点为顶点的三角形是否为直角三角形，并说明理由．（3）直线BC 与抛物线2y x c =-+交于M 、N 两点（点N 在点M 的右侧），请探究在x 轴上是否存在点T ，使得以B 、N 、T 三点为顶点的三角形与ABC V 相似，若存在，请求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由．（4）若将抛物线2y x c =-+进行适当的平移，当平移后的抛物线与直线BC 最多只有一个公共点时，请直接写出拋物线2y x c =-+平移的最短距离并求出此时抛物线的顶点坐标．【答案】（1）24y x =-+（2）以B 、C 、Q 三点为顶点的三角形是直角三角形，理由见解析（3）存在，T ö÷÷ø或T ö÷÷ø，（4527,88æöç÷èø【解析】【分析】（1）待定系数法求二次函数解析式；（2）分别求得B 、C 、Q 的坐标，勾股定理的逆定理验证即可求解；（3）由CBA NBT Ð=Ð，故分两种情况讨论，根据相似三角形的性质与判定即可求解；（4）如图，作l BC ∥且与抛物线只有1个交点，交y 轴于点D ，过点C 作CE l ⊥于点E ，则DEC V 是等腰直角三角形，作EF DC ⊥于F ，进而求得直线l 与BC 的距离，即为所求最短距离，进而求得平移方式，将顶点坐标平移即可求解．【小问1详解】解：∵抛物线2y x c =-+与y 轴交于点()0,4P ∴4c =\抛物线解析式为24y x =-+【小问2详解】以B 、C 、Q 三点为顶点的三角形是直角三角形，理由如下：Q 24y x =-+的顶点坐标为()0,4P 依题意得，()1,4Q -\平移后的抛物线解析式为()214y x =-++令0y =，解()2140x -++=得123,1x x =-=()()1,03,0A B \-，令0x =，则3y =，即()0,3C()222222222331811231420BC CQ QB \=+==+==-++=，，222BC CQ QB \+=\以B 、C 、Q 三点为顶点的三角形是直角三角形【小问3详解】存在，T ö÷÷ø或T ö÷÷ø，理由如下，()3,0B -Q ，()03C ，，3OB OC \==\OBC V 是等腰直角三角形设直线BC 的解析式为y kx b =+，则303k b b -+=ìí=î，解得13k b =ìí=î，\直线BC 的解析式为3y x =+，联立234y x y x =+ìí=-+î解得11x y ì=ïïíïïî，22x y ì=ïïíïïîN \Q ()()1,0,3,0A B -，()0,3C ，OBC V 是等腰直角三角形\4AB =，BC ==设直线AC 的解析式为y mx n =+,03m n n +=ì\í=î33m n =-ì\í=î\直线AC 的解析式为33y x =-+当NT AC ∥时，BNT BCA V V ∽设NT 的解析式为3y x t =-+，由NT 过点N3t =-+解得1t =+\NT 的解析式为31y x =-++，令0y =解得x =T ö\÷÷ø3BT \=+=Q BNT BCA V V ∽，BT BN BA BC\==BN \=②当BNT BAC V V ∽时，则BT BN BC BA ==解得154BT =+3OB =QT ö\÷÷ø综上所述，T ö÷÷ø或T ö÷÷ø【小问4详解】如图，作l BC ∥，交y 轴于点D ，过点C 作CE l ⊥于点E ，则DEC V 是等腰直角三角形，作EF DC ⊥于FQ 直线BC 的解析式为3y x =+设与BC 平行的且与24y x =-+只有一个公共点的直线l 解析式为y x b=+则24y x y x bì=-+í=+î整理得：240x x b ++-=则()21440b D =--=解得174b =\直线l 的解析式为174y x =+175344CD \=-=，1528EF FC CD ===54CE\===即拋物线2y x c=-+EC方向()0,4PQ∴把点P先向右平移EF的长度，再向下平移FC的长度即得到平移后的坐标\平移后的顶点坐标为55,488æö-ç÷èø，即52788æöç÷èø，【点睛】本题是二次函数综合，考查了相似三角形的性质，求二次函数与一次函数解析式，二次函数图象的平移，勾股定理的逆定理，正确的添加辅助线以及正确的计算是解题的关键．7. （2022海南中考）如图1，抛物线2y ax2x c=++经过点(1,0)(0,3)A C-、，并交x 轴于另一点B，点(,)P x y在第一象限的抛物线上，AP交直线BC于点D．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）当点P 的坐标为(1,4)时，求四边形BOCP 的面积；（3）点Q 在抛物线上，当PD AD的值最大且APQ V 是直角三角形时，求点Q 的横坐标；【答案】（1）2y x 2x 3=-++（2）152（3）点Q 的横坐标为76，113，52，1．【解析】【分析】（1）将A 、C 两点坐标代入解析式求解即可；（2）如图，连接OP ，令2230y x x =-++=，求得点B 的坐标，再根据各点的坐标确定OC 、OB 的长，然后再根据POC BOP BOCP S S S +=V V 四边形求解即可；（3）如图，作PF x ∥轴，交直线BC 于点F ，可得PFD ABD △∽△，即PD PF AD AB =，进一步说明当PF 最大时，PD PF AD AB=最大．设()2,23P m m m -++，则()222,23F m m m m --++，根据线段的核查运算求得PF 的最大值；设点()2,23Q t t t -++，若APQ V 是直角三角形，则点Q 不能与点P 、A 重合，∴3,12t t ¹¹-，再分90APQ Ð=°、90PAQ Ð=°、90AQP Ð=°三种情况解答即可．【小问1详解】解：∵抛物线2y ax 2x c =++经过点(1,0)(0,3)A C -、,∴203a c c -+=ìí=î解得13a c =-ìí=î∴该抛物线的函数表达式为2y x 2x 3=-++．【小问2详解】解：如图，连接OP ，令2230y x x =-++=，∴121,3x x =-=．∴(3,0)B ∵(0,3),(1,4)C P ，∴3,3,1,4P P OC OB x y ====．∴131,6222POC P BOP P S OC x S OB y =×==×=△△．∴152POC BOP BOCP S S S +==V V 四边形．【小问3详解】解：如图，作PF x ∥轴，交直线BC 于点F ，则PFD ABD △∽△．∴PD PF AD AB=．∵4AB =是定值，∴当PF 最大时，PD PF AD AB=最大．设BC y kx b =+，∵(0,3),(3,0)C B ，∴3BC y x =-+．设()2,23P m m m -++，则()222,23F m m m m --++．∴()222392324PF m m m m m m æö=--=-+=--+ç÷èø．∴当32m =时，PF 取得最大值94，此时315,24P æöç÷èø．设点()2,23Q t t t -++，若APQ V 是直角三角形，则点Q 不能与点P 、A 重合，∴3,12t t ¹¹-，下面分三类情况讨论：①若90APQ Ð=°，如图，过点P 作2PP x ⊥轴于点2P ，作12QP P P ⊥交2PP 的延长线于点1P ，则12PPQ AP P △∽△．∴1212QP PP PP AP =．∴23152415323142t t t -=-++-+．∵32t ¹，∴13122t =-．∴76t =．②若90PAQ Ð=°，如图，过点P 作直线1PA x ⊥轴于点1A ，过点Q 作2QA x ⊥轴于点2A ，12APA QAA ∽△△．∴1212PA AA AA QA =．∴2151432312t t t +=--+．∵1t ¹-，∴3123t =-．∴113t =．③若90AQP Ð=°，如图，过点Q 作1Q Q x ⊥轴于点1Q ，作21PQ Q Q ⊥交1Q Q 的延长线于点2Q ，则21PQQ QAQ ∽△△．∴2121PQ QQ QQ AQ =．∴()223232151234t t t t t t --++=+--++．∵3,12t t ¹¹-，∴2321t t =--．∴1251,2t t ==．综上所述，当PD AD 的值最大且APQ V 是直角三角形时，点Q 的横坐标为76，113，52，1．【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了运用待定系数法求函数解析式、二次函数与几何图形的综合、相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质以及分类讨论思想，灵活应用相关知识以及分类讨论思想成为解答本题的关键．8. （2022山西侯马二模）如图，抛物线23y ax bx =+-经过()1,0A -，()3,0B 两点，与y 轴交于点C ，P 为第四象限内抛物线上一点，过点P 作PM ⊥x 轴于点M ，连接AC ，AP ，AP 与y 轴交于点D ．（1）求抛物线的函数表达式．（2）当∠MPA ＝2∠PAC 时，求直线AP 的函数表达式．（3）在（2）的条件下，在抛物线的对称轴上是否存在点E ，使以E ，M ，C 为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）223y x x =--；（2）4433y x =--； （3）存在，点E 坐标为321,9æö-ç÷èø或101,27æöç÷èø或31,2æ-+çè或31,2æ--çè【解析】【分析】（1）把()1,0A -，()3,0B 分别代入23y ax bx =+-，解方程组即可；（2）先根据平行线的性质得到∠MPA ＝∠ODA ，然后再由三角形外角的性质得到△ADC 为等腰三角形，求出点D 的坐标，由A 、D 两点的坐标即可求得直线AP 的函数解析式；（3）先求出M 点坐标，设点E 的坐标为()1,n ，用含n 的代数式分别表示出2CM ，2CE ，2ME ，然后进行分类谈论依次解出点E 对应的坐标．【小问1详解】的解：把()1,0A -，()3,0B 分别代入23y ax bx =+-，得309330a b a b --=ìí+-=î．解得12a b =ìí=-î．∴抛物线的函数表达式为223y x x =--；【小问2详解】解：根据题意，得MP OD ∥．∴∠MPA ＝∠ODA ．又∵∠MPA ＝2∠PAC ，∴∠ODA ＝2∠PAC ．又∵∠ODA ＝∠DAC ＋∠ACD ，∴∠DAC ＝∠ACD ．∴CD ＝AD ．在223y x x =--中，令0x =，解得3y =-，∴()0,3C-．设OD ＝m ，则AD ＝CD ＝3－m ．∵()1,0A -，∴OA ＝1．在Rt △AOD 中，根据勾股定理，得()22213m m +=-．解得43m =．∴40,3D æö-ç÷èø．设直线AP 的函数表达式为y kx c =+．把()1,0A -，40,3D æö-ç÷èø分别代入，得0,4.3k c c -+=ìïí=-ïî解得4,34.3k c ì=-ïïíï=-ïî∴直线AP 的函数表达式为4433y x =--；【小问3详解】解：存在，点E 的坐标为321,9æö-ç÷èø或101,27æöç÷èø或31,2æ-+çè或31,2æ--çè．令2442333x x x --=--，解得11x =-，253x =．∴点P 的横坐标为53．∵PM ⊥x 轴，∴5,03M æöç÷èø．由223y x x =--，得抛物线的对称轴为直线12b x a=-=，由（2）可得()0,3C -．设点E 的坐标为()1,n ，则2225106339CM æö=+=ç÷èø，()22213CE n =++，22254139ME n n æö=-+=+ç÷èø．若∠MCE ＝90°，则222CM CE ME +=，即()22210641399n n +++=+，解得329n =-．若∠CME ＝90°，则222CM ME CE +=，即()22210641399n n ++=++，解得1027n =．若∠CEM ＝90°，则222CE ME CM +=，即()22241061399n n ++++=，解得132n =-+，232n =--．综上所述，点E 的坐标为321,9æö-ç÷èø或101,27æöç÷èø或31,2æ-+çè或31,2æ--çè．【点睛】本题考查的是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图像与性质，直角三角形的性质是解决问题的关键．9．（2021烟台中考）（14分）如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c 经过点A （﹣2，0），B （4，0），与y 轴正半轴交于点C ，且OC ＝2OA ，抛物线的顶点为D ，对称轴交x 轴于点E ．直线y ＝mx +n 经过B ，C 两点．（1）求抛物线及直线BC 的函数表达式；（2）点F 是抛物线对称轴上一点，当FA +FC 的值最小时，求出点F 的坐标及FA +FC 的最小值；（3）连接AC ，若点P 是抛物线上对称轴右侧一点，点Q 是直线BC 上一点，试探究是否存在以点E 为直角顶点的Rt △PEQ ，且满足tan ∠EQP ＝tan ∠OCA ．若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）点A 、B 关于抛物线的对称轴对称，设抛物线的对称轴交BC 于点F ，则点F 为所求点，此时，当FA +FC 的值最小，进而求解；（3）①当点Q 在点P 的左侧时，证明△QME ∽△ENP ，则＝tan ∠EQP ＝。

专题一直角三角形的存在性问题【考题研究】这类问题主要是已知直角三角形的一边（即直角三角形的两个点确定），求解第三点。

这类问题主要是和动点问题结合在一起，主要在于考查学生的探寻能力和分类研究的推理能力，也是近几年来各市地对学生能力提高方面的一个考查。

【解题攻略】解直角三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根．一般情况下，按照直角顶点或者斜边分类，然后按照三角比或勾股定理列方程．有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简便．解直角三角形的问题，常常和相似三角形、三角比的问题联系在一起．如果直角边与坐标轴不平行，那么过三个顶点作与坐标轴平行的直线，可以构造两个新的相似直角三角形，这样列比例方程比较简便．在平面直角坐标系中，两点间的距离公式常常用到．怎样画直角三角形的示意图呢？如果已知直角边，那么过直角边的两个端点画垂线，第三个顶点在垂线上；如果已知斜边，那么以斜边为直径画圆，直角顶点在圆上（不含直径的两个端点）．【解题类型及其思路】当直角三角形存在时可从三个角度进行分析研究：（1）当动点在直线上运动时，常用的方法是①121k k⋅=-，②三角形相似，③勾股定理；（2）当动点在曲线上运动时，情况分类如下，第一当已知点处作直角的方法①121k k⋅=-，②三角形相似，③勾股定理；第二是当动点处作直角的方法：寻找特殊角【典例指引】类型一【确定三角形的形状】典例指引1．（2019·辽宁中考模拟）已知，m，n是一元二次方程x2+4x+3=0的两个实数根，且|m|＜|n|，抛物线y=x2+bx+c 的图象经过点A（m，0），B（0，n），如图所示．（1）求这个抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为抛物线的顶点为D，求出点C，D的坐标，并判断△BCD 的形状；（3）点P是直线BC上的一个动点（点P不与点B和点C重合），过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，点Q在直线BC上，距离点P为2个单位长度，设点P的横坐标为t，△PMQ的面积为S，求出S与t之间的函数关系式．【举一反三】（2019·淮滨县王店乡教育管理站中考模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A （﹣1，0）B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；（2）请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标；（3）试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．类型二【确定点的坐标】典例指引2．19．（2019·江西中考模拟）已知抛物线l：y=ax2+bx+c（a，b，c均不为0）的顶点为M，与y轴的交点为N，我们称以N为顶点，对称轴是y轴且过点M的抛物线为抛物线l的衍生抛物线，直线MN为抛物线l的衍生直线．（1）如图，抛物线y=x2﹣2x﹣3的衍生抛物线的解析式是，衍生直线的解析式是；（2）若一条抛物线的衍生抛物线和衍生直线分别是y=﹣2x2+1和y=﹣2x+1，求这条抛物线的解析式；（3）如图，设（1）中的抛物线y=x2﹣2x﹣3的顶点为M，与y轴交点为N，将它的衍生直线MN先绕点N 旋转到与x轴平行，再沿y轴向上平移1个单位得直线n，P是直线n上的动点，是否存在点P，使△POM 为直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．【举一反三】如图，抛物线y=﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣5，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点D．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，点E（x，y）为抛物线上一点，且﹣5＜x＜﹣2，过点E作EF∥x轴，交抛物线的对称轴于点F，作EH⊥x轴于点H，得到矩形EHDF，求矩形EHDF周长的最大值；（3）如图2，点P为抛物线对称轴上一点，是否存在点P，使以点P，A，C为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．类型三 【确定动点运动的时间】典例指引3．已知二次函数y ＝ax 2＋bx －2的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，点A 的坐标为(4，0)，且当x ＝－2和x ＝5时二次函数的函数值y 相等．(1)求实数a ，b 的值；(2)如图①，动点E ，F 同时从A 点出发，其中点E 以每秒2个单位长度的速度沿AB 边向终点B 运动，点F 以每秒5个单位长度的速度沿射线AC 方向运动．当点E 停止运动时，点F 随之停止运动．设运动时间为t 秒．连接EF ，将△AEF 沿EF 翻折，使点A 落在点D 处，得到△DEF .①是否存在某一时刻t ，使得△DCF 为直角三角形？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由； ②设△DEF 与△ABC 重叠部分的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式．【举一反三】（2018·河北中考模拟）如图，在平面直角坐标系xOy 中，A 、B 为x 轴上两点，C 、D 为y 轴上的两点，经过点A 、C 、B 的抛物线的一部分C 1与经过点A 、D 、B 的抛物线的一部分C 2组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线称为“蛋线”．已知点C 的坐标为（0，），点M 是抛物线C 2：2y mx 2mx 3m =--（m ＜0）的顶点．（1）求A 、B 两点的坐标；（2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P ，使得△PBC 的面积最大？若存在，求出△PBC 面积的最大值；若不存在，请说明理由；（3）当△BDM 为直角三角形时，求m 的值．【新题训练】1．（2019·重庆实验外国语学校初三）如图1，已知抛物线y ＝﹣23384x x +3与x 轴交于A 和B 两点，（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ． （1）求出直线BC 的解析式．（2）M 为线段BC 上方抛物线上一动点，过M 作x 轴的垂线交BC 于H ，过M 作MQ ⊥BC 于Q ，求出△MHQ 周长最大值并求出此时M 的坐标；当△MHQ 的周长最大时在对称轴上找一点R ，使|AR ﹣MR |最大，求出此时R 的坐标．（3）T 为线段BC 上一动点，将△OCT 沿边OT 翻折得到△OC ′T ，是否存在点T 使△OC ′T 与△OBC 的重叠部分为直角三角形，若存在请求出BT 的长，若不存在，请说明理由．2．（2019·福建师范大学附属中学初中部初三月考）如图，抛物线y ＝mx 2+nx ﹣3（m ≠0）与x 轴交于A (﹣3，0)，B (1，0)两点，与y 轴交于点C ，直线y ＝﹣x 与该抛物线交于E ，F 两点． （1）求点C 坐标及抛物线的解析式．（2）P 是直线EF 下方抛物线上的一个动点，作PH ⊥EF 于点H ，求PH 的最大值．（3）以点C 为圆心，1为半径作圆，⊙C 上是否存在点D ，使得△BCD 是以CD 为直角边的直角三角形？若存在，直接写出D 点坐标；若不存在，请说明理由．3．（2019·四川中考真题）如图，顶点为(3,3)P 的二次函数图象与x 轴交于点(6,0)A ，点B 在该图象上，OB 交其对称轴l 于点M ，点M 、N 关于点P 对称，连接BN 、ON ． （1）求该二次函数的关系式．（2）若点B 在对称轴l 右侧的二次函数图象上运动，请解答下列问题： ①连接OP ，当12OP MN =时，请判断NOB ∆的形状，并求出此时点B 的坐标． ②求证：BNM ONM ∠=∠．4．（2018·贵州中考真题）如图，已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的对称轴为直线1x =-，且抛物线与x轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，其中(1,0)A ，(0,3)C .（1）若直线y mx n =+经过B 、C 两点，求直线BC 和抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴1x =-上找一点M ，使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，求出点M的坐标；（3）设点P 为抛物线的对称轴1x =-上的一个动点，求使BPC ∆为直角三角形的点P 的坐标.5．（2018·四川中考真题）如图①,已知抛物线y =ax 2+bx +c 的图像经过点A （0，3)、B （1，0），其对称轴为直线l ：x =2，过点A 作AC ∥x 轴交抛物线于点C ，∠AOB 的平分线交线段AC 于点E ，点P 是抛物线上的一个动点，设其横坐标为m .（1）求抛物线的解析式；（2）若动点P 在直线OE 下方的抛物线上，连结PE 、PO ，当m 为何值时，四边形AOPE 面积最大，并求出其最大值；（3）如图②，F 是抛物线的对称轴l 上的一点，在抛物线上是否存在点P 使△POF 成为以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由.6．（2019·云南中考模拟）已知，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过点A （﹣1，0）和C （0，3）． （1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上，是否存在点P ，使P A +PC 的值最小？如果存在，请求出点P 的坐标，如果不存在，请说明理由；（3）设点M 在抛物线的对称轴上，当△MAC 是直角三角形时，求点M 的坐标．7．（2019·黑龙江中考模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =ax 2+2x +c 与x 轴交于A （﹣1，0）B （3，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线y=ax2+2x+c的解析式:；（2）点D为抛物线上对称轴右侧、x轴上方一点，DE⊥x轴于点E，DF∥AC交抛物线对称轴于点F，求DE+DF的最大值；（3）①在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；②点Q在抛物线对称轴上，其纵坐标为t，请直接写出△ACQ为锐角三角形时t的取值范围．8．（2019·广西中考模拟）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，抛物线与x轴的另一交点为B．（1）若直线y=mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；（2）设点P为抛物线的对称轴x=﹣1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．9．（2019·山东中考模拟）如图，在平面直角坐标系中，∠ACB=90°，OC=2OB，tan∠ABC=2，点B的坐标为（1，0）．抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是直线AB上方抛物线上的一点，过点P作PD垂直x轴于点D，交线段AB于点E，使PE=12 DE．①求点P的坐标；②在直线PD上是否存在点M，使△ABM为直角三角形？若存在，求出符合条件的所有点M的坐标；若不存在，请说明理由．10．（2019·山东中考模拟）已知：如图，抛物线y =ax 2+bx +c 与坐标轴分别交于点A （0，6），B （6，0），C （﹣2，0），点P 是线段AB 上方抛物线上的一个动点． （1）求抛物线的解析式；（2）当点P 运动到什么位置时，△P AB 的面积有最大值？（3）过点P 作x 轴的垂线，交线段AB 于点D ，再过点P 做PE ∥x 轴交抛物线于点E ，连结DE ，请问是否存在点P 使△PDE 为等腰直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．11．（2019·陕西中考模拟）如图，已知直线y kx 6=-与抛物线2y ax bx c =++相交于A ，B 两点，且点A （1，－4）为抛物线的顶点，点B 在x 轴上．（1）求抛物线的解析式；（2）在（1）中抛物线的第二象限图象上是否存在一点P ，使△POB 与△POC 全等？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点Q是y轴上一点，且△ABQ为直角三角形，求点Q的坐标．12．（2019·山东中考模拟）如图，已知直线AB经过点（0，4），与抛物线y=14x2交于A，B两点，其中点A的横坐标是2．(1）求这条直线的函数关系式及点B的坐标．(2）在x轴上是否存在点C，使得△ABC是直角三角形？若存在，求出点C的坐标，若不存在请说明理由．(3）过线段AB上一点P，作PM∥x轴，交抛物线于点M，点M在第一象限，点N（0，1），当点M的横坐标为何值时，MN+3MP的长度最大？最大值是多少？13．（2019·河北中考模拟）已知如图，抛物线y=x2+bx+c过点A（3，0），B（1，0），交y轴于点C，点P是该抛物线上一动点，点P从C点沿抛物线向A点运动（点P不与点A重合），过点P作PD∥y轴交直线AC于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）求点P在运动的过程中线段PD长度的最大值；（3）△APD能否构成直角三角形？若能请直接写出点P坐标，若不能请说明理由；（4）在抛物线对称轴上是否存在点M使|MA﹣MC|最大？若存在请求出点M的坐标，若不存在请说明理由．14．（2019·河南中考模拟）如图所示，菱形ABCD位于平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c经过菱形的三个顶点A、B、C，已知A（﹣3，0）、B（0，﹣4）．（1）求抛物线解析式；（2）线段BD 上有一动点E ，过点E 作y 轴的平行线，交BC 于点F ，若S △BOD ＝4S △EBF ，求点E 的坐标； （3）抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△BPD 是以BD 为斜边的直角三角形？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，说明理由．15．（2019·临沭县青云镇青云初级中学中考模拟）如图，直线y =x +2与抛物线y =ax 2+bx +6（a ≠0）相交于A （，）和B （4，m ），点P 是线段AB 上异于A 、B 的动点，过点P 作PC ⊥x 轴于点D ，交抛物线于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在这样的P 点，使线段PC 的长有最大值，若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；（3）求∆P AC 为直角三角形时点P 的坐标．16．（2019·江西中考模拟）如图，矩形OABC 中，点O 为原点，点A 的坐标为（0，8），点C 的坐标为（6，0）．抛物线249y x bx c =-++经过A 、C 两点，与AB 边交于点D ． （1）求抛物线的函数表达式；（2）点P 为线段BC 上一个动点（不与点C 重合），点Q 为线段AC 上一个动点，AQ =CP ，连接PQ ，设CP =m ，△CPQ 的面积为S ．①求S 关于m 的函数表达式，并求出m 为何值时，S 取得最大值；②当S 最大时，在抛物线249y x bx c =-++的对称轴l 上若存在点F ，使△FDQ 为直角三角形，请直接写出所有符合条件的F 的坐标；若不存在，请说明理由．。