信号与线性系统 管致中 第四版 第5章5

目　录第1章　信号与系统1.1　复习笔记1.2　课后习题详解1.3　名校考研真题详解第2章　连续系统的时域分析2.1　复习笔记2.2　课后习题详解2.3　名校考研真题详解第3章　离散系统的时域分析3.1　复习笔记3.2　课后习题详解3.3　名校考研真题详解第4章　傅里叶变换和系统的频域分析4.1　复习笔记4.2　课后习题详解4.3　名校考研真题详解第5章　连续系统的s域分析5.1　复习笔记5.2　课后习题详解5.3　名校考研真题详解第6章　离散系统的z域分析6.1　复习笔记6.2　课后习题详解6.3　名校考研真题详解第7章　系统函数7.1　复习笔记7.2　课后习题详解7.3　名校考研真题详解第8章　系统的状态变量分析8.1　复习笔记8.2　课后习题详解8.3　名校考研真题详解第1章　信号与系统1.1　复习笔记一、信号的基本概念与分类信号是载有信息的随时间变化的物理量或物理现象，其图像为信号的波形。

根据信号的不同特性，可对信号进行不同的分类：确定信号与随机信号；周期信号与非周期信号；连续时间信号与离散时间信号；实信号与复信号；能量信号与功率信号等。

二、信号的基本运算1加法和乘法f1（t）±f2（t）或f1（t）×f2（t）两信号f1（·）和f2（·）的相加、减、乘指同一时刻两信号之值对应相加、减、乘。

2．反转和平移（1）反转f（－t）f（－t）波形为f（t）波形以t＝0为轴反转。

图1-1（2）平移f（t＋t0）t0＞0，f（t＋t0）为f（t）波形在t轴上左移t0；t0＜0，f（t＋t0）为f（t）波形在t轴上右移t0。

图1-2平移的应用：在雷达系统中，雷达接收到的目标回波信号比发射信号延迟了时间t0，利用该延迟时间t0可以计算出目标与雷达之间的距离。

这里雷达接收到的目标回波信号就是延时信号。

3．尺度变换f（at）若a＞1，则f（at）波形为f（t）的波形在时间轴上压缩为原来的；若0＜a＜1，则f（at）波形为f（t）的波形在时间轴上扩展为原来的；若a＜0，则f（at）波形为f（t）的波形反转并压缩或展宽至。

第5章连续时间信号的抽样与量化5.1试证明时域抽样定理。

证明：设抽样脉冲序列是一个周期性冲激序列，它可以表示为T(t)(tnT)sn由频域卷积定理得到抽样信号的频谱为：1F s ()F()T 2()1 T snFns式中F()为原信号f(t)的频谱，T ()为单位冲激序列T (t)的频谱。

可知抽样后信 号的频谱()F 由F()以s 为周期进行周期延拓后再与1T s 相乘而得到，这意味着如果 s s2，抽样后的信号f s (t)就包含了信号f(t)的全部信息。

如果s2m ，即抽样m 间隔 1 Tsf2m，则抽样后信号的频谱在相邻的周期内发生混叠，此时不可能无失真地重建 原信号。

因此必须要求满足1 Tsf2 m，f(t)才能由f s (t)完全恢复，这就证明了抽样定理。

5.2确定下列信号的最低抽样频率和奈奎斯特间隔：2t （1）Sa(50t)（2）Sa(100)2t （3）Sa(50t)Sa(100t)（4）(100)(60)SatSa解：抽样的最大间隔 T s 12f 称为奈奎斯特间隔，最低抽样速率f s 2f m 称为奈奎m斯特速率，最低采样频率s 2称为奈奎斯特频率。

m（1）Sa(t[u(50)u(50)]，由此知m50rad/s ，则50)5025 f ， m由抽样定理得：最低抽样频率50 f s 2f m ，奈奎斯特间隔1 T 。

sf50s2t（2）)Sa(100)(1100200脉宽为400，由此可得radsm200/，则100f，由抽样定理得最低抽样频率m200f s2f m，奈奎斯特间隔1T。

sf200s（3）Sa[(50)(50)]，该信号频谱的m50rad/s(50t)uu50Sa(100t)[u(100)u(100)],该信号频谱的m100rad/s10050Sa(50t)Sa(100t)信号频谱的m100rad/s,则f，由抽样定理得最低m抽样频率100f s2f m，奈奎斯特间隔1T。

四、拉普拉斯反变换由，常为s 的有理函数)()(t f s F 求)(s F 一般形式：1110111)(a s a s a s b s b s b s b s F n n n m m m m ++++++++=---- （为实数，m 、n 为整数）k k b a 、如nm ≥)()()()(s D s N s R s F +=R(s)的拉氏变换为冲激函数及其各阶导数——理想情况一般情况下：nm <求拉氏反变换有三种方法：查表、部分分式展开法和围线积分法（留数法）(一）部分分式展开法1110111)()()(a s a s a s b s b s b s b s D s N s F n n nm m mm ++++++++=---- ＝（）n m <要点：将分解，逐个求反变换，再叠加)(s F 基本形式：0,1≥↔-t e s s ts kk 1．的根无重根[的极点为单阶] 0)(=s D )(s F )1()())(()()()()(21 n s s s s s s s N s D s N s F ---=＝极零点)(s F 极点：使＝∞的s 根值，)(s F 如为的极点),,1(n k s k =)(s F 零点：使的s 根值，0)(=s F 如，)()()()(1m k z s z s z s s N ---= 为的零点),,1(m k z k =)(s F )2()(2211 nn k k s s k s s k s s k s s k s F -++-++-+-=ts n t s k t s t s n k ek e k e k e k t f +++++= 2121)(求系数的两种方法k k [方法一] （2）式两边乘以（）：k s s -nnk k k k k s s k s s k s s k s s s s k s s s F s s --++++--+--=-)()()()()(2211 令ks s =则ks s k k s F s s k =-=)]()[([方法二]用微分求])()()([lim s D s N s s k k s s k k -=→（形式）0)()]()[(lim s D ds ds N s s ds dk s s k -=→——罗彼塔法则k s s s D s N ='=])()([（))()()(])()[(s N s N s s s N s s k k +'-='-例1 求的反变换)2)(1(4)(+++=s s s s s F )(t f [为真分式，极点为实数])(s F 解：21)(321++++=s k s k s k s F 1）求：k s 2,1,0321-=-==s s s 2）求：k k 【方法一】,2])2)(1(4[01=+++==s s s s k ,3])2(4[12-=++=-=s s s s k 1])1(4[32=++=-=s s s s k 【方法二】用微分求,23)2)(1()(23s s s s s s s D ++=+=＋263)(2++='s s s D 2634)()(2+++='s s s s D s N ,2]2634[021=+++==s s s s k ,3]2634[122-=+++=-=s s s s k 1]2634[223=+++=-=s s s s k3）求：)(t f 21132)(++++=s s s s F －)()32()(2t eet f ttε--+-=例2)2)(1(795)(23+++++=s s s s s s F [为假分式，极点为实数] )(s F 解：)2)(1(32)(+++++=s s s s s F )(21s F s ++=令求的反变换：)(1s F 2112)2)(1(3)(1+-+++++=s s s s s s F ＝)()2()(21t ee tf tt ε---=求的反变换：)(s F )()2()(2)()()(2)()(21t e e t t t f t t t f t t εδδδδ---++'=++'=例3 求的反变换52)(2++=s s s s F [为真分式，极点为共轭复数] )(s F 解：【方法一】2211)(ss k s s k s F -+-=2令21j s --=*=s2）求：k k 1)]()[(11s s s F s s k =-=)2(41j +=2)]()[(22s s s F s s k =-=)2(41j -=*=1k 3）求：)(t f t s t s e k e k t f 2121)(+=tj t j e j ej )21()21()2(41)2(41--+--++=)](2)[(212222t j t j tj t j t e e j e e e ----++=)222(21t Sin t Cos e t -=-,2212t Sin e t Cos e t t---=0≥t ),,,()(2121k k s s f t f =tj tj ejc c ejc c t f )(21)(21)()()(βαβα-+-++=)(221t Sin c t Cos c e tββα-=)(,,,21t f c c 求→βα【方法二】为二次多项式)(s D 52)(2++=s s s D 4)1(2++=s ])[(22βα+-=s 4)1()(2++=s s s F ]2)1(2[212)1(12222++-+++=s s s tCos e s s t022)(ωωααα↔+--t Sin e s t02020)(ωωαωα↔+-1--t t2．当＝0有重根的情况[有多重极点])(s D )(s F 设＝0共有n 个根，其中一个根s 1为p 重根，其余为单根（异根）)(s D 即)())(()()(211n p p ps s s s s s s s s D ----=++ )1(][])()()([)()()(11111211211)1(111 n n p p p p p p s s k s s k s s k s s k s s k s s k s D s N s F -++-+-+-++-+-==++--令异根项][11nn p p s s k s s k -++-++ )()(00s D s N =其系数的求法如上所述重根项的求取111,,k k p （1）求：p k 1)2()()(])()()([)(00111211211)1(111 s D s N s s k s s k s s k s s k s F p p p p+-+-++-+-=--式（2）乘以，ps s )(1-)()()()()()()()(00111111221)1(1111s D s N s s k s s k s s k s s k s F s s pp p p p p-+-+-++-+=---- 再令s s =p（2）求（系数）11)1(1,k k p -引入)()()(11s F s s s F p-=）（4)()()()()()(100111121)2(11)1(11 p p p p p s s s D s N s s k s s k s s k k -+-++-+-+=---将式（4）对s 取导一次：）（5])()()([)()1()(2)(10021111)2(1)1(11 pp p p s s s D s N ds d s s k p s s k k ds s dF -+--++-+=---1])([1)1(1s s p dss dF k =-=将式（5）对s 取导一次，再令得1s s =1])([21212)2(1s s p dss F d k =-=一般情况：1,,1,,])([)!(1111 -=-==--p p k dss F d k p k s s kp kp k 总结：)()(])()()([)(001111)1(12112111s D s N s s k s s k s s k s s k s F pp p p +-+-++-+-=-- ∑-+++++=n t s t s p p ts t s t s q ek e t k e t k te k e k t f 112131111)(例求的反变换22)5)(3(52)(++++=s s s s s F 解：0)5)(3()(2=++=s s s D ⎩⎨⎧-=-=523121s s 重根个单根)1()5(53)(222211 +++++=s k s k s k s F 1）求系数22211,,k k k 单根项2)]()3[(31=+=-=s s F s k 重根项5221)]()5([-=+=s s F s dsd k 52]}352[{-=+++=s s s s ds d 1-=求式代入的另法：把)1(,22121k k k 5)5(1032)(212+++-+=s k s s s F 551032535)0(2122k F +-=⨯=121-=k 2) 求：)(t f )()102()(553t teeet f tttε-----=10)]()5[(5222-=+=-=s s F s k（二）围线积分法（留数法）拉氏反变换：⎰∞+∞-=j j stdse s F j tf σσπ)(21)(留数定理：∑⎰==ni icstsds e s F j 1Re )(21π上式左边的积分是在s 平面内沿一不通过被积函数极点的封闭曲线C 进行的，右边则是在此围线C 中被积函数各极点上留数之和。

1-1画出下列各信号的波形【式中)()(t t t r ε=】为斜升函数。

（2）∞<<-∞=-t e t f t,)( （3）)()sin()(t t t f επ=（4）)(sin )(t t f ε= （5）)(sin )(t r t f =（7）)(2)(k t f kε= （10）)(])1(1[)(k k f kε-+=解：各信号波形为（2）∞<<-∞=-t et f t,)(（3）)()sin()(t t t f επ=（4）)fεt=(sin)(t（5）)trf=(sin)(t（7）)(f kε=t(k)2（10）)(])1-+=f kεk1[)(k(1-2 画出下列各信号的波形[式中)()(t t t r ε=为斜升函数]。

（1）)2()1(3)1(2)(-+--+=t t t t f εεε （2）)2()1(2)()(-+--=t r t r t r t f（5）)2()2()(t t r t f -=ε （8）)]5()([)(--=k k k k f εε （11）)]7()()[6sin()(--=k k k k f εεπ（12）)]()3([2)(k k k f k---=εε解：各信号波形为（1）)2()1(3)1(2)(-+--+=t t t t f εεε（2）)2()1(2)()(-+--=t r t r t r t f（5）)2()2()(t t r t f -=ε（8）)]5()([)(--=k k k k f εε（11）)]7()()[6sin()(--=k k k k f εεπ（12）)]()3([2)(k k k f k---=εε1-3 写出图1-3所示各波形的表达式。

1-4 写出图1-4所示各序列的闭合形式表达式。

1-5 判别下列各序列是否为周期性的。

如果是，确定其周期。

（2）)63cos()443cos()(2ππππ+++=k k k f（5）)sin(2cos 3)(5t t t f π+=解：1-6 已知信号)(t f 的波形如图1-5所示，画出下列各函数的波形。

引言1．问题的提出付氏变换法存在缺点：1）局限性：要收敛，满足绝对可积条件，否则)(t f （ⅰ）的付氏变换不存在，如)0(>ααte （ⅱ）存在，但不能用定义式求得，如，)(t ε)(t t Sin εω可能出现冲激函数，带来分析和运算困难2）求反变换比较麻烦2．问题的解决频域分析→复频域分析付氏变换基本单元信号：↓)(t Cos e tj ωω或↓))((ωαωαj s t Cos e etst +=或拉普拉斯变换↑↑→推广→推广←0=α⎩⎨⎧信号分析观点—由付氏变换推广数学观点—直接定义3．拉氏变换分析法的基础一、拉普拉斯变换及其收敛域二、常用(简单)函数的拉普拉斯变换三、拉普拉斯变换的基本性质四、拉普拉斯反变换五、线性系统的拉普拉斯变换分析法六、线性系统的模拟七、信号流图分析法一、拉普拉斯变换及其收敛域(一) 双边拉普拉斯变换付氏变换：⎪⎭⎪⎬⎫==⎰⎰∞∞-∞∞--反正)2()(21)()1()()( ωωπωωωd e j F t f dt e t f j F tj t j 局限性：)(t f 不收敛，即时，不为零∞→t )(t f 乘以衰减因子tt e t f e σσ--)(:适当选取值，σ使收敛，t e t f σ-)(从而可求得[ ]的付氏变换tet f σ-)(1、求的付氏变换)()(1t f e t f t=-σ)(1ωj F ⎰∞∞---=dt eet f j F tj tωσω])([)(1⎰∞∞-+-=dtet f tj )()(ωσ令（复数）s j =+ωσ用表示)(1ωj F )(s F )3()()()(1 ⎰∞∞--==dt e t f j F s F stω2、求的付氏反变换，再由求)(1ωj F te tf σ-)()(s F )(t f ⎰∞∞--=ωωπωσd e j F e t f tj t )(21)(1ωωπωσd e j F t f tj ⎰∞∞-+=)(1)(21)(ωσj s +=∞+→∞-=⇒∞→-∞j j s σσω:ωjd ds =dsjd 1=ω)4()(21)( ⎰∞+∞-=j j st ds e s F j t f σσπ——的双边拉氏反变换)(s F 记为：)()(s F t f ↔讨论：1）付氏变换与拉氏变换的形式相似，基本差别：s j →ω拉氏变换时域变量为实数，变换域变量为复数（）ωσj s +=2）物理意义傅氏：将分解成许多形式为的指数项之和，每一对正、负组成一个余弦振荡，振幅为)(t f t j e ωωπωωd j F )(拉氏：将分解成许多形式为的指数项之和，每一对正、负组成一个变幅的余弦振荡,振幅为)(t f ste ωted s F σπω)()(ωσj s +——复频率)(s F ——复频谱复频率可以表示在复平面上，且复平面上的点与指数函数相对应ssteωj s =3）傅立叶变换是双边拉普拉斯变换中的一种特殊情况，因此，求两者反变换的积分路径不同。

2021信号与系统考研管致中《信号与线性系统》考研真题一、第1章绪论一、判断题1．两个线性时不变系统相级联的先后顺序不影响总的输入输出关系。

（）[中山大学2010研]【答案】√@@@【解析】线性时不变系统级联，总的系统函数相当于各个系统函数相卷积，根据卷积的性质，卷积的次序是可以交换的。

2．两个周期信号之和一定为周期信号。

（）[北京邮电大学2012研] 【答案】×@@@【解析】两个周期信号之和不一定是周期信号，例如，周期，周期，为无理数，所以不是周期函数。

3．若h（t）是一个线性时不变系统的单位冲激响应，并且h（t）是周期的且非零，则系统是不稳定的。

（）[北京邮电大学2012研]【答案】×@@@【解析】系统也可以是稳定的。

稳定系统即有界输入，有界输出。

例如，当输入信号为，输出为，可见有界输入有界输出。

二、选择题1．方程描述的系统是（）。

[北京航空航天大学2007研]A．线性时不变B．非线性时不变C．线性时变D．非线性时变E．都不对【答案】B @@@【解析】设，，则。

因为，所以系统不满足线性。

又，所以系统满足时不变性。

2．计算＝（）。

[电子科技大学2012研]A．B．C．0D．1【答案】C @@@【解析】三、计算题1．粗略画出函数式的波形图。

[中山大学2011研]解：函数式的波形图如图1-1所示。

图1-12．信号x（t）如图1-2所示，画出信号的图形。

[北京邮电大学2012研]图1-2解：如图1-3（d）所示。

图1-3（a）图1-3（b）图1-3（c）图1-3（d）3．求的值。

[北京航空航天大学2006研]解：设有个互不相等的实根，根据的复合函数的性质有其中，表示在处的导数，且。

故在区间内，sin（x）＝0的两个根为π和2π即。

《信号与线性系统》南京航空航天大学_管致中_夏恭恪_孟桥著_高等连续时间系统的复频域分析七、信号流图分析法(一)信号流图的表示法1。

由方程作流图作图规则：例1x2 ax1 0 (1)首先把方程式写成因果关系式：果=f(因); (2)方程式中的各个变量用“○”表示，称作结点；如选x 2 为果：是用有向的线图来描述线性方程组变量间因果关系的一种图。

信号流图：本质：求解线性方程组的图解法。

x 2 ax1(3)变量之间的因果关系用线段来表示，称作支路。

○x1a○其特点：)有向，因果(支路的方向表示信号流动的方向) )支路旁边标上因变量的系数(传输值) )每一个结点的变量等于流入它的变量与相应支路传输值的乘积的代数和。

如X(s) x21 sY(s) 1/s Y(s)sY (s) X (s) aY (s)1《信号与线性系统》南京航空航天大学_管致中_夏恭恪_孟桥著_高等教育出版社第五章连续时间系统的复频域分析例2 ax0 bx1 cx2 0 (1) 的流图dx0 ex1 fx 2 0 (2) x1 为果：1 a x0 c x2 x 解：(1)选1) b b求各方程的x 2 为果：2 d x0 e x1 x 果变量不能相同(2)选f f 2)用结点表示变量(结点还兼有加法器的作用) 3)用支路表示因果关系并标注传输值x1 ax0 (b 1) x1 cx2 x 2 dx0 ex1 ( f 1) x 2x0 若x0b+1-a/b -c/bx1由此可画流图：ac ex1-d/f-e/fd f+1x2一个方程组的流图不是唯一的,但其解答是唯一的!《信号与线性系统》南京航空航天大学_管致中_夏恭恪_孟桥著_高等教育出版社第五章连续时间系统的复频域分析例3 求一阶系统的流图解：y a0 y x y a0 y xsY ( s) a0Y ( s) X ( s) (1) X (s)、(s) 、(s ) ――复量Y sY――时域模型――复域模型Y 、sY (s) 、(s)1作流图：结点3个――X (s)1X (s)Y (s )sY (s)1/sY (s )-a0 1 Y ( s) sY ( s) (2) sY Y 若只有X (s)、(s) 两个复量：(s)( s a0 ) X (s)Y ( s) 1 X ( s) H ( s ) X ( s) (3) s a0H(s)则流图为：2022年-4-26X (s)Y (s )其中H ( s)1 s a03流图和框图都用于描述系统方程，但流图更简洁，使用更方便。