【数学】2016-2017年天津市六校联考高三(上)期中数学试卷与答案(文科)

天津2015—2016学年度第一学期期中郊县六校联考高三数学试卷（理）一、选择题（每小题5分，共40分．） 1. 设全集U=R,集合A={x|x 2-1<0},B={x|x(x-2)>0},则A∩(U ðB)= A.{x|0<x<2} B.{x|0<x<1} C.{x|0≤x<1} D.{x|-1<x<0} 2．设x ，y ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c ，b ∥c ，则|a ＋b |＝( )A.5B.10 C ．25 D ．10 3．设sin(π4＋θ)＝13，则sin2θ＝( )A ．－79B ．－19 C.19 D.794. 已知集合4{|log -1}A x x =<,{|2x B x =≤，命题p ：,23x x x A ∀∈<；命题q ：x B ∃∈，321x x =-，则下列命题中为真命题的是（ ） A ．p ∧qB ．⌝p ∧qC ．p ∧⌝qD ．⌝p ∧⌝q5. 等比数列{}n a 中，01>a ，则“41a a <”是“53a a <” 的（ ） A.充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件6. 已知f （x ）是定义在R 上的偶函数，且在（0，+∞）上是增函数，设a=f （﹣3），b=f （log 321），c=f （34），则a 、b 、c 的大小关系是（ ）A DEA ．a ＜c ＜bB ．b ＜a ＜cC ．b ＜c ＜aD ．c ＜b ＜a7. 函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，π2≤φ≤π的部分图象如图所示，其中A ，B 两点之间的距离为5，那么下列说法正确的是( ) A ．函数f (x )的最小正周期为8 B ．f (3)＝－12 C ．x ＝32是函数f (x )的一条对称轴D ．函数f (x )向右平移一个单位长度后所得的函数为偶函数8．已知函数22,0,()ln(1),0x x x f x x x ⎧-+≤=⎨+>⎩，若|()|1f x ax ≥-恒成立，则a 的取值范围是（ ）A ． [2,0]-B ．[4,0]-C ．[2,1]-D ． [4,1]- 二、填空题：每小题5分，共30分.9. 设a >0，若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则a ＝________.10．已知各项均为正数的等比数列}{n a 中，2312,21,3a a a 成等差数列，则1081311a a a a ++= . 11. 函数f （x ）=log a （2﹣ax 2）在（0，1）上为减函数，则实数a 的取值范围 .12．如图，在ABC ∆中，若2BE EA = ，2AD DC =，()DE CA BC λ=-，则实数13. 定义在R 上的偶函数f(x)满足f(x+1)=-f(x),且在[-1,0]上是增函数,给出下列关于f(x)的结论:①f(x)的图象关于直线x=1对称;②f(x)是周期函数;③f(x)在[1,2]上是减函数;④f(x)在[0,1]上是增函数;⑤f(2)=f(0).其中正确结论的序号是________.14. 函数y=f （x ）是定义域为R 的偶函数，当x≥0时，f （x ）=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤≤)2()21()20(1612x x x x ，若关于x 的方程[f(x)]2+af （x ）+b=0，a ，b ∈R 有且仅有6个不同实数根，则实数a 的取值范围是 . 三.解答题：本大题共6小题，共80分．15（本小题满分13分）已知函数f (x )＝sin(2ωx －π6)－4sin 2ωx ＋a (ω>0)，其图象的相邻两个最高点之间的距离为π. (1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)设函数f (x )在[0，π2]上的最小值为－32，求函数f (x )(x ∈R )的值域． 16（本小题满分13分）等差数列{}n a 中，11a =，前n 项和n S 满足条件24,1,2,nnS n S == ， （1）求数列{}n a 的通项公式和n S ； （2）记12n n n b a -=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ．17（本小题满分13分）ABC ∆中A,B,C 所对的边分别为a,b,c,)2cos ,2(cos ),2,1(2AA ==且1=⋅．（1）求A 的大小；（2）若322==+a c b 求ABC ∆的面积并判断ABC ∆的形状．18（本小题满分13分）数列{}n a 满足)(66,2211*+∈++==N n a a a a n n n ， 设)3(log 5+=n n a c ．（1）求证：{}n c 是等比数列；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）设nn n n a a a b 61612+--=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：41-<n T ．19（本小题满分14分）已知函数2()ln(1)f x ax x =++ （1）当14a =-时，求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 在区间[1)+∞，上为减函数，求实数a 的取值范围 （3）当[0)x ∈+∞，时，不等式()f x x ≤恒成立，求实数a 的取值范围.20（本小题满分14分）已知函数f (x )＝(2－a )x －2(1＋ln x )＋a ，g (x )＝e x e x .(1)若函数f (x )在区间(0，12)上无零点，求实数a 的最小值；(2)若对任意给定的x 0∈(0，e]，在(0，e]上方程f (x )＝g (x 0)总存在两个不等的实根，求实数a 的取值范围．天津2015—2016学年度第一学期期中郊县六校联考高三数学(理)答题纸二、填空题：（每小题5分，共30分）9、10、11、12、13、14、三、解答题15题（本小题满分13分）16题（本小题满分13分）17题（本小题满分13分）18题（本小题满分13分）19题（本小题满分14分）20题（本小题满分14分）天津2015—2016学年度第一学期期中郊县六校联考高三数学(理)参考答案1-4：CBAC 5-8：ACDB9、4910、27 11、（1，2]12、1313、①②⑤14.)41,21(--15、解：(1)f(x)＝32sin2ωx－12cos2ωx－4×1－cos2ωx2＋a＝32sin2ωx＋32cos2ωx－2＋a＝3sin(2ωx ＋π3)＋a －2. …………3分由已知得函数f (x )的周期T ＝π，即2π2ω＝π，…………4分∴ω＝1，f (x )＝3sin(2x ＋π3)＋a －2. 由－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，得 k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z ，∴f (x )的单调递增区间为[k π－5π12，k π＋π12](k ∈Z )．…………7分 (2)当0≤x ≤π2时，π3≤2x ＋π3≤4π3，…………8分 ∴－32≤sin(2x ＋π3)≤1. …………10分 这时f (x )的最小值为a －72.由已知得，a －72＝－32，∴a ＝2，f (x )＝3sin(2x ＋π3)，……12分 ∴f (x )的值域为[－3，3]．…………13分 16.解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d , 由24n n S S =得：1214a aa +=，…………2分 所以2133a a ==，且212d a a =-=，…………3分 所以1(1)12(1)21n a a n d n n =+-=+-=- …………4分2(121)2n n n S n +-==…………6分（2）由12n n n b a -=⋅，得1(21)2n n b n -=-⋅所以12113252(21)2n n T n -=+⋅+⋅++-⋅ ， ……①…………7分231223252(23)2(21)2n n n T n n -=+⋅+⋅++-⋅+-⋅ ， …… ②………8分① -②得211222222(21)2n n n T n --=+⋅+⋅++⋅--⋅ …………9分212(1222)(21)21n nn -=++++--⋅- 2(12)(21)2112n n n -=--⋅--(23)23n n =--∙-…………12分∴(23)23n n T n =-∙+…………13分 17.（1） 1=⋅n m ，∴1cos cos 2cos 11cos 22cos 22cos 222=+=++-=+=⋅A A A A AA ，2分1cos 21cos -==∴A A 或, …… 4分 ),0(π∈A ,3π=∴A ． …… 6分（2）由题意知3=a ，)cos 1(2)(cos 22222A bc c b A bc c b a +-+=-+=,)3c o s 1(2)32()3(22π+-=∴bc ，3=∴bc ， …… 9分 43323321sin 21=⨯⨯==∴∆A bc S ABC , …… 11分由⎩⎨⎧==+332bc c b ，得3==c b ，3=a ，∴ABC ∆为等边三角形． ……… 13分18、解：（1）由2166,n n n a a a +=++得 515log (3)2log (3)n n a a +∴+=+，即 12n n C C +=，{}n C ∴是以２为公比的等比数列……………分4（2） 又15log 51C == 12n n C -∴=即 15log (3)2n n a -+=， 1235.n n a -∴+= 故125 3.n n a -=-…………… 分8 （3……………分13 19.(1) 函数()f x 的定义域为(1,)-+∞………………1分当14a =-时，21()ln(1)(1)4f x x x x =-++>- 11(2)(1)()212(1)x x f x x x x +-'=-+=-++ 解()0f x '>得11x -<<；解()0f x '<得1x >故()f x 的单调递增区间是(11)-，，单调递减区间是(1)+∞，………………3分（2）因为函数()f x 在区间[1)+∞，上为减函数， 所以1()201f x ax x '=+≤+对[1)x ∀∈+∞，恒成立即12(1)a x x ≤-+对[1)x ∀∈+∞，恒成立………………5分 22111111112(1)42()2(1)2222x x x -=-≥-=-++-+- 14a ∴≤-……………………7分 (3)因为当[0)x ∈+∞，时，不等式()0f x x -≤恒成立， 即2ln(1)0ax x x ++-≤恒成立，设2()ln(1)(0)g x ax x x x =++-≥， 只需max ()0g x ≤即可 由1[2(21)]()2111x ax a g x ax x x +-'=+-=++ ①当0a =时，()1x g x x '=-+，当0x >时，()0g x '<，函数()g x 在(0)+∞，上单调递减，故()(0)0g x g ≤=成立 …………………………………………………9分 ②当0a >时，令[2(21)]()01x ax a g x x +-'==+， 解得0x =或112x a =- 1)当1102a -<，即12a >时，在区间(0)+∞，上()0g x '>，则函数()g x 在(0)+∞，上单调递增，故()g x 在[0)+∞，上无最大值，不合题设。

天津市六校2016-2017学年高一下学期期中联考数学试题第Ⅰ卷（选择题）一、 选择题（每小题5分共40分，每个小题只有一个正确答案） 1.下列结论正确的是A ．若bc ac >，则b a >B ．若22b a >，则b a >C ．若0,<>c b a ，则 c b c a +<+D ．若b a <，则b a <2．在△ABC 中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c, 若ac b c a 3222=-+,则角B 的值为A ．6πB ．3π C ．6π或56π D ．3π或23π3．已知{}n a 为等差数列，135246105,99a a a a a a ++=++=，则20a 等于 A ．1 B ．1- C ．3 D ．74．设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤--≥-+10202y y x y x ， 则目标函数y x z 2+=的最小值为A ．2B ．3C ．4D ．55.若不等式ab b a x x 1622+<+对任意),0(,+∞∈b a 恒成立，则实数x 的取值范围是 A ．(－2，0) B ．(－∞，－2)∪(0，＋∞) C ．(－4，2) D ．(－∞，－4)∪(2，＋∞)6.设n s 为等差数列}{n a 的前n 项和，若||,0454a a a ><，则使0>n s 成立的最小正整数n 为A ．B ．7C ．8D ．97.关于x 的不等式0)1(2<++-a x a x 的解集中，恰有3个整数，则实数a 的取值范围是A ．(4，5)B ．(－3，－2)∪(4，5)C ．(4，5]D ．[－3，－2)∪(4，5]8.在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b a B c +=2cos 2，若ABC ∆的面积c S 123=，则ab 的最小值为（ ） A ．21 B ．31 C ．61D ．3第Ⅱ卷（非选择题）（将答案写在答题纸上）二、填空题、（每小题5分，共30分） 9.不等式3|12|<-x 的解集是________．10.在等比数列}{n a 中，若12,183221=+=+a a a a ，则公比q 为_______． 11.数列{}n a 满足12a =，112n n n a a --=),2(*N n n ∈≥，则n a = ；12．在ABC ∆ 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知ABC ∆的面积为 ，12,cos ,4b c A -==- 则a 的值为 .13.n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11a =-，11n n n a S S ++=，则n S =________． 14.已知0,1>->y x 且满足12=+y x ，则yx 211++的最小值为________．三、解答题（共80分，解答时请写出必要的解题过程、演算步骤）15．(本题满分13分) 某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料．已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为多少？16．(本题满分13分) 在∆ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知cos A-2cos C 2c-a=cos B b．（I ）求sin sin CA的值； （II ）若cosB=14，b=2，求ABC ∆的面积S 。

2016年天津市滨海新区六所重点学校高三联考数学试卷（文科）一。

选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确的。

1．已知全集U={0，1，2,3，4｝，集合A={1，2，3｝，B={2,4}，则(∁U A）∪B为(）A．{1，2，4}B．{2，3，4｝C．{0，2，3,4}D．｛0，2，4｝2．“x＜4”是“|x﹣2｜＜1"成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件3．阅读如图的程序框图,当程序运行后,输出S的值为（）A．57 B．119 C．120 D．2474．设实数p在[0，5]上随机地取值，使方程x2+px+1=0有实根的概率为（）A．0。

6 B．0。

5 C．0。

4 D．0。

35．若，则a，b,c大小关系为(）A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．a＞b＞c6．将y=sin2x+cos2x的图象向右平移个单位后，所得图象的解析式是（）A．y=sin2x﹣cos2x B．y=cos2x﹣sin2xC．y=cos2x+sin2x D．y=cosxsinx7．如图，F1、F2是双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F1的直线l与C的左、右2个分支分别交于点A、B．若△ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为() A．4 B．C．D．8．设函数f(x）=｜2x﹣1|,函数g(x）=f（f（x））﹣log a（x+1),（a＞0，a≠1）在[0，1］上有3个不同的零点，则实数a的取值范围为(）A．（1,) B．(1，2）C．(，2）D．(2，+∞）二。

填空题：本大题共6小题，每小题5分,共30分.把答案填在答题纸的相应横线上. 9．已知i为虚数单位,复数z满足z（2﹣i）=5i，则z等于________．10．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________cm311．如图，PA是圆O的切线，切点为A，PO交圆O于B、C 两点，，则AC=________．12．已知各项不为0的等差数列{a n｝满足，数列｛b n}是等比数列，且b7=a7，则b2b8b11的值等于________．13．已知实数a，b满足a＞b，且ab=2，则的最小值是________．14．已知菱形ABCD的边长为2,∠BAD=120°，点E，F分别在边BC、DC 上，．若，则实数λ的值为________．三.解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．某厂用甲、乙两种原料生产A、B两种产品，已知生产1吨A产品，1吨B产品分别需要的甲、乙原料数，每种产品可获得的利润数及该厂现有原料数如表所示．产品所需原料原料A产品（1吨)B产品(1吨）现有原料（吨）甲原料（吨） 4 5 200 乙原料(吨) 3 10 300 利润（万元）7 12问:在现有原料下，A、B产品应各生产多少吨才能使利润总额最大？利润总额最大是多少万元?16．在△ABC中，设内角A、B、C的对边分别为a、b、c，．(Ⅰ）求角C；(Ⅱ）若且sinA=2sinB，求△ABC的面积．17．如图，在四棱锥E﹣ABCD中，底面ABCD是边长为的正方形，平面AEC⊥平面CDE，∠AEC=90°，F为DE中点，且DE=1．(Ⅰ）求证：BE∥平面ACF；（Ⅱ)求证:CD⊥DE;（Ⅲ）求FC与平面ABCD所成角的正弦值．18．设数列｛a n｝的前n项的和为S n，点（n，S n）在函数f(x)=2x2的图象上,数列{b n｝满足：b1=a1，b n+1（a n+1﹣a n)=b n．其中n∈N*．（Ⅰ）求数列｛a n}和{b n｝的通项公式;（Ⅱ）设，求证：数列{c n}的前n项的和（n∈N＊）．19．椭圆C: +=1（a＞b＞0）的左、右顶点的坐标分别为A（﹣2,0），B（2,0)，离心率（Ⅰ）求椭圆C的方程;(Ⅱ)设椭圆C的两焦点分别为F1、F2，点P是椭圆C的上顶点，求△PF1F2内切圆方程；（Ⅲ）若直线l:y=k(x﹣1）（k≠0）与椭圆交于M、N两点,求证：直线AM与直线BN的交点在直线x=4上．20．已知函数f（x）=kx2，g（x）=lnx（Ⅰ）求函数的单调递增区间；(Ⅱ）若不等式f（x）≥g（x）在区间（0，+∞）上恒成立，求k的取值范围；（Ⅲ）求证：．2016年天津市滨海新区六所重点学校高三联考数学试卷（文科)参考答案与试题解析一。

2016-2017学年天津市宝坻一中、杨村一中、静海一中等六校联考高一（下）期中数学试卷一、选择题（每小题5分共40分，每个小题只有一个正确答案）1．下列结论正确的是（）A．若ac＞bc，则a＞b B．若a2＞b2，则a＞bC．若a＞b，c＜0，则a+c＜b+c D．若＜，则a＜b2．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a2+c2﹣b2=ac，则角B的值为（）A．B．C．或D．或3．已知{a n}为等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，则a20等于（）A．﹣1 B．1 C．3 D．74．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+2y的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．55．不等式x2+2x＜对任意a，b∈（0，+∞）恒成立，则实数x的取值范围是（）A．（﹣2，0）B．（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）C．（﹣4，2）D．（﹣∞，﹣4）∪（2，+∞）6．设S n为等差数列{a n}的前n项和．若a4＜0，a5＞|a4|，则使S n＞0成立的最小正整数n为（）A．6 B．7 C．8 D．97．关于x的不等式x2﹣（a+1）x+a＜0的解集中，恰有3个整数，则a的取值范围是（）A．（4，5）B．（﹣3，﹣2）∪（4，5）C．（4，5]D．[﹣3，﹣2）∪（4，5]8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2ccosB=2a+b，若△ABC的面积为S=c，则ab的最小值为（）A．B．C．D．3二、填空题、（每小题5分，共30分）9．不等式|2x﹣1|＜3的解集为．10．在等比数列{a n}中，若a1+a2=18，a2+a3=12，则公比q为．11．数列{a n}满足a1=2，a n﹣a n﹣1=（n≥2，n∈N*），则a n=．12．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知△ABC的面积为3，b﹣c=2，cosA=﹣，则a的值为．13．设S n是数列{a n}的前n项和，a1=﹣1，a n+1=S n S n+1，则S n=．14．已知x＞﹣1，y＞0且满足x+2y=1，则+的最小值为．三、解答题（共80分，解答时请写出必要的解题过程、演算步骤）15．某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为万元．16．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知=．（1）求的值（2）若cosB=，b=2，求△ABC的面积S．17．已知不等式ax2﹣3x+6＞4的解集为{x|x＜1或x＞b}（b＞1）．（1）求实数a，b的值；（2）解不等式ax2﹣（ac+b）x+bc＜0．18．已知数列{a n}的首项a1=1，前n项和为S n，a n+1=2S n+1，n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=log3a n+1，求数列{}的前n项和T n．19．已知等比数列{a n}满足a n+a n+1=9•2n﹣1，n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记b n=（﹣1）n，求数列{b n}的前n项和T n；（3）设数列{a n}的前n项和为S n，若不等式S n＞ka n﹣2对任意正整数n恒成立，求实数k 的取值范围．20．已知数列{a n}与{b n}满足a n+1﹣a n=2（b n+1﹣b n），n∈N*．（1）若b n=3n+5，且a1=1，求数列{a n}的通项公式；（2）设{a n}的第n0项是最大项，即a≥a n（n∈N*），求证：数列{b n}的第n0项是最大项；（3）设a1=λ＜0，b n=λn（n∈N*），求λ的取值范围，使得{a n}有最大值M与最小值m，且∈（﹣2，2）．2016-2017学年天津市宝坻一中、杨村一中、静海一中等六校联考高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分共40分，每个小题只有一个正确答案）1．下列结论正确的是（）A．若ac＞bc，则a＞b B．若a2＞b2，则a＞bC．若a＞b，c＜0，则a+c＜b+c D．若＜，则a＜b【考点】72：不等式比较大小．【分析】根据不等式的性质分别判断即可【解答】解：当c＜0时，A选项不正确；当a＜0时，B选项不正确；两边同时加上一个数，不等号方向不改变，故C选项错误．所以选D．2．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a2+c2﹣b2=ac，则角B的值为（）A．B．C．或D．或【考点】HS：余弦定理的应用．【分析】通过余弦定理求出cosB的值，进而求出B．【解答】解：∵，∴根据余弦定理得cosB=，即，∴，又在△中所以B为．故选A．3．已知{a n}为等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，则a20等于（）A．﹣1 B．1 C．3 D．7【考点】8F：等差数列的性质．【分析】根据已知条件和等差中项的性质可分别求得a3和a4的值，进而求得数列的公差，最后利用等差数列的通项公式求得答案．【解答】解：由已知得a1+a3+a5=3a3=105，a2+a4+a6=3a4=99，∴a3=35，a4=33，∴d=a4﹣a3=﹣2．∴a20=a3+17d=35+（﹣2）×17=1．故选B4．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+2y的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】7C：简单线性规划．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．【解答】解：作出不等式对应的平面区域，由z=x+2y，得y=﹣，平移直线y=﹣，由图象可知当直线y=﹣经过点B（1，1）时，直线y=﹣的截距最小，此时z最小．此时z的最小值为z=1+2×1=3，故选：B．5．不等式x2+2x＜对任意a，b∈（0，+∞）恒成立，则实数x的取值范围是（）A．（﹣2，0）B．（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）C．（﹣4，2）D．（﹣∞，﹣4）∪（2，+∞）【考点】74：一元二次不等式的解法．【分析】由已知，只需x2+2x小于的最小值即可，可利用基本不等式求出最小值．【解答】解：对任意a，b∈（0，+∞），，所以只需x2+2x＜8 即（x﹣2）（x+4）＜0，解得x∈（﹣4，2）故选C6．设S n为等差数列{a n}的前n项和．若a4＜0，a5＞|a4|，则使S n＞0成立的最小正整数n为（）A．6 B．7 C．8 D．9【考点】84：等差数列的通项公式．【分析】根据给出的已知条件，得到a5+a4＞0，然后由等差数列的前n项和公式，结合等差数列的性质得答案．【解答】解：在等差数列{a n}中，∵a4＜0，a5＞|a4|，得a5＞0，a5+a4＞0，，．∴使S n＞0成立的最小正整数n为8．故选：C．7．关于x的不等式x2﹣（a+1）x+a＜0的解集中，恰有3个整数，则a的取值范围是（）A．（4，5）B．（﹣3，﹣2）∪（4，5）C．（4，5]D．[﹣3，﹣2）∪（4，5]【考点】74：一元二次不等式的解法．【分析】不等式等价转化为（x﹣1）（x﹣a）＜0，当a＞1时，得1＜x＜a，当a＜1时，得a＜x＜1，由此根据解集中恰有3个整数，能求出a的取值范围．【解答】解：∵关于x的不等式x2﹣（a+1）x+a＜0，∴不等式可能为（x﹣1）（x﹣a）＜0，当a＞1时得1＜x＜a，此时解集中的整数为2，3，4，则4＜a≤5，当a＜1时，得a＜x＜1，则﹣3≤a＜﹣2，故a的取值范围是[﹣3，﹣2）∪（4，5]．故选：D．8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2ccosB=2a+b，若△ABC的面积为S=c，则ab的最小值为（）A．B．C．D．3【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．【分析】由正弦定理将2ccosB=2a+b，转化成2sinC•cosB=2sin A+sinB，由三角形内角和定理，将sin A=sin（B+C），利用两角和的正弦公式展开，化简求得，sinC的值，由余弦定理、三角形的面积公式及基本不等式关系，求得ab的最小值．【解答】解：由正弦定理，有===2R，又2c•cosB=2a+b，得2sinC•cosB=2sin A+sinB，由A+B+C=π，得sin A=sin（B+C），则2sinC•cosB=2sin（B+C）+sinB，即2sinB•cos C+sinB=0，又0＜B＜π，sinB＞0，得cosC=﹣，因为0＜C＜π，得C=，则△ABC的面积为S△=ab sinC=ab，即c=3ab，由余弦定理，得c2=a2+b2﹣2ab cosC，化简，得a2+b2+ab=9a2b2，∵a2+b2≥2ab，当仅当a=b时取等号，∴2ab+ab≤9a2b2，即ab≥，故ab的最小值是．故答案选：B．二、填空题、（每小题5分，共30分）9．不等式|2x﹣1|＜3的解集为{x|﹣1＜x＜2}．【考点】R1：不等式；R2：绝对值不等式．【分析】将2x﹣1看成整体，利用绝对值不等式将原不等式转化成整式不等式，最后利用不等式基本性质求解即可．【解答】解：∵|2x﹣1|＜3⇔﹣3＜2x﹣1＜3⇔﹣1＜x＜2，∴不等式|2x﹣1|＜3的解集为{x|﹣1＜x＜2}．故答案为：{x|﹣1＜x＜2}．10．在等比数列{a n}中，若a1+a2=18，a2+a3=12，则公比q为．【考点】88：等比数列的通项公式．【分析】利用等比数列的通项公式及其性质即可得出．【解答】解：∵a1+a2=18，a2+a3=12，则公比q====．故答案为：．11．数列{a n}满足a1=2，a n﹣a n﹣1=（n≥2，n∈N*），则a n=．【考点】8H：数列递推式．【分析】根据累加法和等比数列的前n项和公式求出a n即可．【解答】解：由题意a n﹣a n﹣1=，则当n≥2时，a2﹣a1=，a3﹣a2=，…，a n﹣a n﹣1=，这n﹣1个式子相加，就有a n﹣a1=++…+==，即a n=，当n=1时，a1=1也满足上式，所以a n=，故答案为：．12．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知△ABC的面积为3，b﹣c=2，cosA=﹣，则a的值为8．【考点】HR：余弦定理．【分析】由cosA=﹣，A∈（0，π），可得sinA=．利用S△ABC==，化为bc=24，又b﹣c=2，解得b，c．由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA即可得出．【解答】解：∵A∈（0，π），∴sinA==．∵S△ABC==bc=，化为bc=24，又b﹣c=2，解得b=6，c=4．由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA=36+16﹣48×=64．解得a=8．故答案为：8．13．设S n是数列{a n}的前n项和，a1=﹣1，a n+1=S n S n+1，则S n=﹣．【考点】8E：数列的求和．【分析】a n+1=S n S n+1，可得S n+1﹣S n=S n S n+1，=﹣1，再利用等差数列的通项公式即可得出．【解答】解：∵a n+1=S n S n+1，∴S n+1﹣S n=S n S n+1，∴=﹣1，∴数列是等差数列，首项为﹣1，公差为﹣1．∴=﹣1﹣（n﹣1）=﹣n，解得S n=﹣．故答案为：．14．已知x＞﹣1，y＞0且满足x+2y=1，则+的最小值为．【考点】7F：基本不等式．【分析】由题意可得x+1＞0，且（x+1）+2y=2，可得+=（+）[（x+1）+2y]=+[+]，由基本不等式可得．【解答】解：∵x＞﹣1，y＞0且满足x+2y=1，∴x+1＞0，且（x+1）+2y=2，∴+=（+）[（x+1）+2y]=+[+]≥+×2=当且仅当=时取等号，故+的最小值为：故答案为：三、解答题（共80分，解答时请写出必要的解题过程、演算步骤）15．某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为18万元．【考点】7C：简单线性规划．【分析】设每天生产甲乙两种产品分别为x，y吨，利润为z元，然后根据题目条件建立约束条件，得到目标函数，画出约束条件所表示的区域，然后利用平移法求出z的最大值．【解答】：设每天生产甲乙两种产品分别为x，y吨，利润为z元，则，目标函数为z=3x+4y．作出二元一次不等式组所表示的平面区域（阴影部分）即可行域．由z=3x+4y得y=﹣x+，平移直线y=﹣x+，由图象可知当直线经过点B时，截距最大，此时z最大，解方程组，解得，即B的坐标为x=2，y=3，∴z max=3x+4y=6+12=18．即每天生产甲乙两种产品分别为2，3吨，能够产生最大的利润，最大的利润是18万元，故答案为：18．16．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知=．（1）求的值（2）若cosB=，b=2，求△ABC的面积S．【考点】HR：余弦定理；HP：正弦定理．【分析】（1）由正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式化简已知可得sinC=2sinA，即可得解=2．（2）由正弦定理可求c=2a，由余弦定理解得a=1，从而c=2．利用同角三角函数基本关系式可求sinB的值，进而利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】（本题满分为12分）解：（1）由正弦定理，则=，所以=，即（cosA﹣2cosC）sinB=（2sinC﹣sinA）cosB，化简可得sin（A+B）=2sin（B+C）．因为A+B+C=π，所以sinC=2sinA．因此=2．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）由=2，得c=2a，由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，及cosB=，b=2，得4=a2+4a2﹣4a2×．解得a=1，从而c=2．因为cosB=，且sinB==，因此S=acsinB=×1×2×=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣17．已知不等式ax2﹣3x+6＞4的解集为{x|x＜1或x＞b}（b＞1）．（1）求实数a，b的值；（2）解不等式ax2﹣（ac+b）x+bc＜0．【考点】74：一元二次不等式的解法．【分析】（1）根据不等式ax2﹣3x+6＞4的解集为{x|x＜1或x＞b}，可得x=1与x=b是方程ax2﹣3x+2=0的两个实数根，利用韦达定理即可求出实数a，b的值（2）将（1）中的a，b的值带入，对c讨论求解不等式即可．【解答】解：（1）∵不等式ax2﹣3x+6＞4的解集为{x|x＜1或x＞b}，∴x1=1与x2=b是方程ax2﹣3x+2=0的两个实数根，且b＞1．由根与系数的关系，可得：．解得：a=1，b=2．（2）由（1）可知a=1，b=2，∴原不等式ax2﹣（ac+b）x+bc＜0，可化为x2﹣（2+c）x+2c＜0，即（x﹣2）（x﹣c）＜0．①当c＞2时，不等式（x﹣2）（x﹣c）＜0的解集为{x|2＜x＜c}；②当c＜2时，不等式（x﹣2）（x﹣c）＜0的解集为{x|c＜x＜2}；③当c=2时，不等式（x﹣2）（x﹣c）＜0的解集为∅．18．已知数列{a n}的首项a1=1，前n项和为S n，a n+1=2S n+1，n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=log3a n+1，求数列{}的前n项和T n．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【分析】（1）由a n+1=2S n+1，得a n=2S n﹣1+1（n≥2），两式相减得a n+1=3a n（n≥2），a2=2S1+1=2a1+1=3，满足=3．利用等比数列的通项公式即可得出a n．（2）由（1）知a n=3n﹣1，故b n=log3a n+1=log33n=n，可得=．利用错位相减法即可得出．【解答】解：（1）由a n+1=2S n+1，得a n=2S n﹣1+1（n≥2），两式相减得a n+1﹣a n=2（S n﹣S n﹣1）=2a n，故a n+1=3a n（n≥2），所以当n≥2时，{a n}是以3 为公比的等比数列．因为a2=2S1+1=2a1+1=3，∴=3．所以{a n}是首项为1，公比为3的等比数列，a n=3n﹣1．（2）证明：由（1）知a n=3n﹣1，故b n=log3a n+1=log33n=n，∴=．T n=1+2×+3×+4×+…+n×，①T n=1×+2×+3×+…+（n﹣1）×+n×．②①﹣②，得T n=1++…+﹣n×=﹣n×，∴T n=﹣．19．已知等比数列{a n}满足a n+a n+1=9•2n﹣1，n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记b n=（﹣1）n，求数列{b n}的前n项和T n；（3）设数列{a n}的前n项和为S n，若不等式S n＞ka n﹣2对任意正整数n恒成立，求实数k 的取值范围．【考点】8H：数列递推式；8E：数列的求和．【分析】（1）{a n}是等比数列，利用a n+a n+1=9•2n﹣1求出a1和q，可得数列{a n}的通项公式．（2）根据{a n}是等比数列求出b n的通项公式，利用相消法可得数列{b n}的前n项和T n；（3）根据等比数列的前n项和公式求出S n，由不等式S n＞ka n﹣2对任意正整数n恒成立，分离参数k，转化为函数问题，利用单调性可得实数k的取值范围．【解答】解：（1）由题意，设等比数列{a n}的公比为q，∵a n+a n+1=9•2n﹣1，令n=1，可得a1+a2=9…①令n=2，可得a2+a3=18，即…②由①②解得：q=2，a1=3．∴等比数列{a n}的通项公式为：．（2）∵a n+a n+1=9•2n﹣1，b n=（﹣1）n，∴b n=×（﹣1）n=∴数列{b n}的前n项和T n=…+=∵．∴．∴T n=（3）由（1）知不等式S n＞ka n﹣2，即3（2n﹣1）＞k•3×2n﹣1﹣2对任意正整数n恒成立．可得：对任意正整数n恒成立．令f（n）=，根据反比例的性质可知：f（n）随n的增大而增大．∴当n=1时，f（n）取得最小值为．∴k．故得实数k的取值范围是（﹣∞，）．20．已知数列{a n}与{b n}满足a n+1﹣a n=2（b n+1﹣b n），n∈N*．（1）若b n=3n+5，且a1=1，求数列{a n}的通项公式；（2）设{a n}的第n0项是最大项，即a≥a n（n∈N*），求证：数列{b n}的第n0项是最大项；（3）设a1=λ＜0，b n=λn（n∈N*），求λ的取值范围，使得{a n}有最大值M与最小值m，且∈（﹣2，2）．【考点】8H：数列递推式；82：数列的函数特性．【分析】（1）把b n=3n+5代入已知递推式可得a n+1﹣a n=6，由此得到{a n}是等差数列，则a n 可求；（2）由a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1，结合递推式累加得到a n=2b n+a1﹣2b1，求得，进一步得到得答案；（3）由（2）可得，然后分﹣1＜λ＜0，λ=﹣1，λ＜﹣1三种情况求得a n的最大值M和最小值m，再由∈（﹣2，2）列式求得λ的范围．【解答】（1）解：∵a n+1﹣a n=2（b n+1﹣b n），b n=3n+5，∴a n+1﹣a n=2（b n+1﹣b n）=2（3n+8﹣3n﹣5）=6，∴{a n}是等差数列，首项为a1=1，公差为6，则a n=1+（n﹣1）×6=6n﹣5；（2）∵a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=2（b n﹣b n﹣1）+2（b n﹣1﹣b n﹣2）+…+2（b2﹣b1）+a1=2b n+a1﹣2b1，∴，∴．∴数列{b n}的第n0项是最大项；（3）由（2）可得，①当﹣1＜λ＜0时，单调递减，有最大值；单调递增，有最小值m=a1=λ，∴∈（﹣2，2），∴λ∈，∴．②当λ=﹣1时，a2n=3，a2n﹣1=﹣1，∴M=3，m=﹣1，（﹣2，2），不满足条件．③当λ＜﹣1时，当n→+∞时，a2n→+∞，无最大值；当n→+∞时，a2n﹣1→﹣∞，无最小值．综上所述，λ∈（﹣，0）时满足条件．2017年6月20日。

2015-2016学年天津市郊县六校联考高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（每小题5分，共40分）1．（5分）已知=i（a，b∈R），其中i为虚数单位，则a+b=（）A．﹣1 B．1 C．2 D．32．（5分）命题p：x＞4；命题q：4＜x＜10，则p是q成立的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）函数f（x）=ln，则函数f（x）的零点所在区间为（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）4．（5分）已知0＜a＜b＜1，e是自然对数的底数，则正确的是（）A．B．3b＜3a C．（lga）2＜（lgb）2D．log a3＞log b3 5．（5分）公差不为零的等差数列{a n}中，2a3﹣a72+2a11=0，数列{b n}是等比数列，且b7=a7则b6b8=（）A．2 B．4 C．8 D．166．（5分）设定义在R上的奇函数f（x）的导函数是f′（x），当x≠0，f′（x）+＞0，若a=2f（2），b=，比较a，b，c的大小（）A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．a＜b＜c7．（5分）对函数f（x）=的表述错误的是（）A．最小正周期为πB．函数y=sin2x向左平移个单位可得到f（x）C．f（x）在区间上递增D．点是f（x）的一个对称中心8．（5分）已知α，β是三次函数f（x）=+2bx的两个极值点，且α∈（0，1），β∈（1，2），则的范围（）A ． B．（0，1） C ．D．（﹣1，0）二、填空题：（每小题5分，共30分）9．（5分）设集合A={x|（x+1）（x﹣2）＜0}，集合B={x|1＜x≤3}则A∪B=．10．（5分）已知函数f（x）=那么不等式f（x）≥1的解集为．11．（5分）已知a＞0，b＞0，b=，若y=3a+27b，则y的最小值．12．（5分）如图一个几何体的正视图和俯视图如图所示，其中俯视图为边长为2的正三角形，且圆与三角形内切，则该几何体的体积为．13．（5分）在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD=，，则的值为．14．（5分）已知f（x）=，若|f（x）|＞ax，在x∈[﹣1，1]上恒成立，则实数a的取值范围．三、解答题：（本大题6小题，共80分）15．（13分）两种大小不同的钢板可按下表截成A，B，C三种规格成品：某建筑工地至少需A，B，C三种规格的成品分别为6，6，8块，问怎样截这两种钢板，可得所需三种规格成品，且所用总钢板张数最小，最小值是多少？16．（13分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．a=8，b﹣c=2，cosA=﹣和sinB（Ⅰ）求△ABC的面积S△ABC（Ⅱ）的值．17．（13分）如图所示，在正方体ABCD﹣A 1B1C1D1中，E、G、H分别是BC、C1D1、AA1、的中点．（Ⅰ）求异面直线D1H与A1B所成角的余弦值（Ⅱ）求证：EG∥平面BB1D1D．18．（13分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a3=5，S15=225．数列{b n}是等比数列，b3=a2+a3，b2b5=128（其中n=1，2，3，…）．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）记c n=a n b n，求数列c n前n项和T n．19．（14分）已知函数f（x）=lnx﹣a（x﹣1），其中a＞0．（Ⅰ）若函数f（x）在（0，+∞）上有极大值0，求a的值；（提示：当且仅当x=1时，lnx=x﹣1）；（Ⅱ）令F（x）=f（x）+a（x﹣1）+（0＜x≤3），其图象上任意一点P（x0，y0）处切线的斜率k≤恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）讨论并求出函数f（x）在区间上的最大值．20．（14分）已知数列{a n}中，a1=a，a2=2，数列{a n}的前n项和为S n，且2S n=n （3a1+a n），n∈N*．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅲ）若T n是数列{b n}的前n项和，且对一切n∈N*都成立，求实数m取值范围．2015-2016学年天津市郊县六校联考高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共40分）1．（5分）已知=i（a，b∈R），其中i为虚数单位，则a+b=（）A．﹣1 B．1 C．2 D．3【解答】解：∵=i（a，b∈R），其中i为虚数单位，∴a+i=bi﹣2，∴a=﹣2，b=1．则a+b=﹣2+1=﹣1．故选：A．2．（5分）命题p：x＞4；命题q：4＜x＜10，则p是q成立的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵命题p：x＞4；命题q：4＜x＜10，∴q⇒p，反之不成立，∴p是q成立的必要不充分条件．故选：B．3．（5分）函数f（x）=ln，则函数f（x）的零点所在区间为（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）【解答】解：函数f（x）=ln在（0，+∞）上为增函数，又∵f（1）=ln﹣2＜0，f（2）=ln3﹣1＞0，∴函数f（x）在区间（1，2）上有一个零点，故选：B．4．（5分）已知0＜a＜b＜1，e是自然对数的底数，则正确的是（）A．B．3b＜3a C．（lga）2＜（lgb）2D．log a3＞log b3【解答】解：∵0＜a＜b＜1，∴，3a＜3b，（lga）2＞（lgb）2，lga＜lgb＜0，可得即＞．故选：D．5．（5分）公差不为零的等差数列{a n}中，2a3﹣a72+2a11=0，数列{b n}是等比数列，且b7=a7则b6b8=（）A．2 B．4 C．8 D．16【解答】解：由等差数列的性质：2a3﹣a72+2a11=0得∵a72=2（a3+a11）=4a7∴a7=4或a7=0（舍去）∴b7=4∴b6b8=b72=16故选：D．6．（5分）设定义在R上的奇函数f（x）的导函数是f′（x），当x≠0，f′（x）+＞0，若a=2f（2），b=，比较a，b，c的大小（）A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．a＜b＜c【解答】解：设g（x）=xf（x），则g′（x）=f（x）+xf′（x），因为当x≠0，f′（x）+＞0，所以，则当x＞0时，f（x）+xf′（x）＞0，即g′（x）＞0，所以函数g（x）在（0，+∞）上递增，因为，所以，则，即b＜c＜a，故选：C．7．（5分）对函数f（x）=的表述错误的是（）A．最小正周期为πB．函数y=sin2x向左平移个单位可得到f（x）C．f（x）在区间上递增D．点是f（x）的一个对称中心【解答】解：函数f（x）===sin（2x+）．函数的周期为：π，A正确；函数y=sin2x向左平移个单位可得到f（x）=sin2（x+）=sin（2x+），B正确；由，可得，f（x）在区间上递增，C 正确；x=时，函数f（x）=1，点是f（x）的一个对称中心，不正确，D错误；故选：D．8．（5分）已知α，β是三次函数f（x）=+2bx的两个极值点，且α∈（0，1），β∈（1，2），则的范围（）A． B．（0，1） C．D．（﹣1，0）【解答】解：因为函数有两个极值，则f′（x）=0有两个不同的根，即△＞0，又f′（x）=x2+ax+2b，又α∈（0，1），β∈（1，2），所以有，即．的几何意义是指动点P（a，b）到定点A（1，1）两点斜率的取值范围，做出可行域如图，B（﹣1，0），D（﹣3，1）．由图象可知当直线经过AB时，斜率最大，此时斜率为k==，直线经过AD时，斜率最小，此时斜率为k=0，所以0＜＜．故选：A．二、填空题：（每小题5分，共30分）9．（5分）设集合A={x|（x+1）（x﹣2）＜0}，集合B={x|1＜x≤3}则A∪B=（﹣1，3] ．【解答】解：集合A={x|（x+1）（x﹣2）＜0}={x|﹣＜x＜2}=（﹣1，2），集合B={x|1＜x≤3}=（1，3]，∴A∪B=（﹣12，）∪（1，3]=（﹣1，3]．故答案为：（﹣1，3]．10．（5分）已知函数f（x）=那么不等式f（x）≥1的解集为（﹣∞，0]∪[3，+∞）．【解答】解：∵函数在x＞0时为增函数，且故当[3，+∞）时，f（x）≥1∵函数在x≤0时为减函数，又知=1，故当（﹣∞，0]时，f（x）≥1故答案为（﹣∞，0]∪[3，+∞）11．（5分）已知a＞0，b＞0，b=，若y=3a+27b，则y的最小值2．【解答】解：a＞0，b＞0，b=，即为a+3b=1，y=3a+27b≥2=2=2．当且仅当a=，b=时取得最小值2．故答案为：2．12．（5分）如图一个几何体的正视图和俯视图如图所示，其中俯视图为边长为2的正三角形，且圆与三角形内切，则该几何体的体积为．【解答】解：由三视图知：几何体是三棱柱与球的组合体，其中三棱柱的高为2，底面三角形的边长为2，故底面面积S==3，故圆柱的体积V=2×3=6，根据俯视图是一个圆内切于一个正三角形，球的半径R=×2×=1，故球的体积为：故组合体的体积为：，故答案为：13．（5分）在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD=，，则的值为．【解答】解：如图，，，=（）•=（）•=+==．故答案为：．14．（5分）已知f（x）=，若|f（x）|＞ax，在x∈[﹣1，1]上恒成立，则实数a的取值范围（﹣2，0）．【解答】解：作出函数y=|f（x）|及y=ax的图象如图，由图可知，当x∈[﹣1，1]时，要使|f（x）|＞ax恒成立，则﹣2＜a＜0．故答案为：（﹣2，0）．三、解答题：（本大题6小题，共80分）15．（13分）两种大小不同的钢板可按下表截成A，B，C三种规格成品：某建筑工地至少需A，B，C三种规格的成品分别为6，6，8块，问怎样截这两种钢板，可得所需三种规格成品，且所用总钢板张数最小，最小值是多少？【解答】解：设需要第一种钢板x张，第二种钢板y张，钢板总数为z张，z=x+y．约束条件为：，作出可行域如图所示：令z=0，作出直线l：y=﹣x，平行移动直线l，发现在可行域内，经过直线2x+y=6和直线x+2=6的交点A（2，2）可使z取最小z min=2+2=4．答：要截得所需三种规格的钢板，截第一种钢板和第二种钢板各自两张，使得所用张数最小，最小值是4张．16．（13分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．a=8，b﹣c=2，cosA=﹣和sinB（Ⅰ）求△ABC的面积S△ABC（Ⅱ）的值．【解答】解：（Ⅰ）∵由，可得，…（1分）∴由，可得：，…（3分）∴…（5分）∴由得…（7分）（Ⅱ）∵，…（11分）∴==．…（13分）17．（13分）如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、G、H分别是BC、C1D1、AA1、的中点．（Ⅰ）求异面直线D1H与A1B所成角的余弦值（Ⅱ）求证：EG∥平面BB1D1D．【解答】解：（Ⅰ）连接D1C和CH，∵A1D1B1C1BC，∴四边形A1BCD1为平行四边形，∴A1B∥D1C，∴∠HD1C或其补角为异面直线D1H与A1B所成的角，…（3分）∴设正方形边长为2，则在△D 1HC中，，根据余弦定理，则异面直线D1H与A1B所成的角的余弦值为…（7分）（Ⅱ）证明连接BD与AC交于点O，连接D1O，OE，GE，∵，∴，∴四边形OEGD1是平行四边形，…（9分）∴，GE⊄面BB 1D1D，D1O⊂面BB1D1D∴EG∥面BB1D1D…（13分）18．（13分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a3=5，S15=225．数列{b n}是等比数列，b3=a2+a3，b2b5=128（其中n=1，2，3，…）．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）记c n=a n b n，求数列c n前n项和T n．【解答】解：（I）公差为d，则，∴故a n=2n﹣1（n=1，2，3，…）．设等比数列b n的公比为q，则，∴b3=8，q=2∴b n=b3•q n﹣3=2n（n=1，2，3，…）．（II）∵c n=（2n﹣1）•2n∵T n=2+3•22+5•23+…+（2n﹣1）•2n2T n=22+3•23+5•24+…+（2n﹣3）•2n+（2n﹣1）•2n+1作差：﹣T n=2+23+24+25+…+2n+1﹣（2n﹣1）•2n+1==2+23（2n﹣1﹣1）﹣（2n﹣1）•2n+1=2+2n+2﹣8﹣2n+2n+2n+1=﹣6﹣2n+1（2n﹣3）∴T N=（2n﹣3）•2n+1+6（n=1，2，3，…）．19．（14分）已知函数f（x）=lnx﹣a（x﹣1），其中a＞0．（Ⅰ）若函数f（x）在（0，+∞）上有极大值0，求a的值；（提示：当且仅当x=1时，lnx=x﹣1）；（Ⅱ）令F（x）=f（x）+a（x﹣1）+（0＜x≤3），其图象上任意一点P（x0，y0）处切线的斜率k≤恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）讨论并求出函数f（x）在区间上的最大值．【解答】解：（Ⅰ）当x∈时，f'（x）＞0，当x∈时，f'（x）＜0故函数f（x）在上单调递增，在上单调递减，因此函数f（x）在（0，+∞）上有极大值∴lna=a﹣1，解得a=1…（5分）（Ⅱ），于是有在（0，3]上恒成立，所以，当x0=1时，取最大值，所以；（Ⅲ）∵…（9分）①若，即，则当时，有f'（x）≥0，∴函数f（x）在上单调递增，则f（x）max=f（e）=1﹣ea+a．②若，即，则函数f （x）在上单调递增，在上单调递减，∴．③若，即a≥e，则当时，有f'（x）≤0，函数f （x）在上单调递减，则．综上得，当时，f（x）max=1﹣ea+a；当时，f（x）max=﹣lna﹣1+a；当a≥e时，．…（14分）20．（14分）已知数列{a n}中，a1=a，a2=2，数列{a n}的前n项和为S n，且2S n=n （3a1+a n），n∈N*．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅲ）若T n是数列{b n}的前n项和，且对一切n∈N*都成立，求实数m取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵2S n=n（3a1+a n），S1=a1=a，∴2a=4a，所以a=0．…..（3分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，∴．∴．=na n．∴（n﹣1）a n+1∴当n≥2时，．∴，…，，∴．∴a n=2（n﹣1），n≥2．∵a1=a=0满足上式，∴a n=2（n﹣1），n∈N*．…..（6分）（Ⅲ）当n≥2时，．…..（7分）又b1=2，∴T n=b1+b2+…+b n=…..（9分）==所以．…..（10分）因为对一切n∈N*都成立，即对一切n∈N*都成立．∴．…..（12分）∵，当且仅当，即n=1时等号成立．∴．∴∴．…..（14分）赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念①如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n a n 是偶数时，正数a 的正的n n a 表示，负的n 次方根用符号n a -0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n a n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，nn a a =；当n 为偶数时，(0)|| (0)nn a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩． （2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,m n m na a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 11()()(0,,,m m m nn n aa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)r r rab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质 值域 (0,)+∞过定点 图象过定点(0,1)，即当0x =时，1y =．奇偶性 非奇非偶单调性在R 上是增函数在R 上是减函数函数值的 变化情况1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x >>==<< 1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x <>==>< 变化对图象的影响 在第一象限内，a 越大图象越高；在第二象限内，a 越大图象越低．〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）．（4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a M M N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a Na N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质图象1a > 01a <<定义域 (0,)+∞值域 R过定点 图象过定点(1,0)，即当1x =时，0y =．奇偶性 非奇非偶单调性在(0,)+∞上是增函数在(0,)+∞上是减函数函数值的 变化情况log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a x x x x x x >>==<<<log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a x x x x x x <>==><<x yO(1,0)1x =log a y x=xyO (1,0)1x =log a y x=。

数学(文）试题第Ⅰ卷一、选择题：本大题共10个小题,，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1。

已知集合{0,1,2,3,4,5}A =，{1,3,6,9}B =,{3,7,8}C =,则()AB C =（）A ．{3}B ．{3,7,8}C ．{1,3,7,8}D ．{1,3,6,7,8} 2。

命题:4p x >;命题:410q x <<，则p 是q 成立的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3.命题“x R ∀∈，20x x +≥”的否定是( )A ．x R ∀∈，20x x +< B ．x R ∀∈，20x x +≤C ．0xR ∃∈，2000x x +≥ D ．0xR ∃∈，2000x x +<4. 把函数sin y x =()x R ∈的图象上所有的点向左平行移动6π个单位长度,再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是( ）A ．sin(2)6y x π=-,x R ∈ B ．sin()212x y π=+,x R ∈C ．sin(2)6y x π=+,x R ∈ D ．sin(2)3y x π=+，x R ∈5。

函数()2sin()f x x ωϕ=+(0,22ππωϕ>-<<）的部分图象如图所示，则,ωϕ的值分别是（ ）A ．2,3π- B ．2,6π- C ．4,6π- D ．4,3π6. 设0.3222,0.3,log 0.3a b c ===,则,,a b c 的大小关系是（ )A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．b c a << 7.下列函数中,在其定义域内是减函数的是（ )A ．()2xf x = B ．()ln f x x = C ．1()f x x= D ．13()logf x x =8。

2015-2016学年天津市六校联考高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（每小题5分，共40分）1．设集合A={x|y=lg（x﹣3）}，B={x|x2﹣5x+4＜0}，则A∩B=（）A．∅B．（3，4）C．（﹣2，1）D．（4．+∞）2．给出如下四个命题，其中正确的命题的个数是①若“p或q”为假命题，则p、q均为假命题；②命题“若x≥4且y≥2，则x+y≥6”的否命题为“若x＜4且y＜2，则x+y＜6”；③在△ABC中，“A＞30°”是“”的充要条件；④命题“∃x0∈R，e≤0”是真命题．（）A．0 B．1 C．2 D．33．若某程序框图如图所示，则输出的p的值是（）A．21 B．26 C．30 D．554．已知等差数列{a n}满足2a2﹣a72+2a12=0，且数列{b n}是等比数列，若b7=a7，则b5b9=（）A．2 B．4 C．8 D．165．已知双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，若抛物线C2：x2=2py（p＞0）的焦点到双曲线C1的涟近线的距离是2，则抛物线C2的方程是（）A．B．x2=y C．x2=8y D．x2=16y6．设f（x）=a x，g（x）=x，h（x）=log a x，且a满足log a（1﹣a2）＞0，那么当x＞1时必有（）A．h（x）＜g（x）＜f（x）B．h（x）＜f（x）＜g（x）C．f（x）＜g（x）＜h（x）D．f（x）＜h（x）＜g（x）7．函数f（x）=2sin（ωx+φ）的部分图象如图所示，其中A，B两点之间的距离为5，那么下列说法正确的是（）A．函数f（x）的最小正周期为8B．f（3）=﹣C．x=﹣1是函数f（x）的一条对称轴D．函数f（x）向左平移一个单位长度后所得的函数为偶函数8．已知函数f（x）满足f（x）=f（4x），当x∈[1，4），f（x）=lnx，若在区间[1，16）内，函数g（x）=f（x）﹣ax有三个不同零点，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题：（每小题5分，共30分）9．设i为虚数单位，则=．10．在如图所示的正方形中随机掷一粒豆子，豆子落在该正方形内切圆的四分之一圆（如图阴影部分）中的概率是．11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，体积为12．直线l：8x﹣6y﹣3=0被圆O：x2+y2﹣2x+a=0所截得弦的长度为，则实数a的值是．13．如图，AB是⊙O的直径，C，F是⊙O上的两点，OC⊥AB，过点F作⊙O 的切线FD交AB的延长线于点D．连结CF交AB于点E，OA=3，DB=3，则DE=．14．如图在长方形ABCD中，，AD=2，O为AB的中点，若P是线段DO上动点，则（+）•的最小值是．三、解答题：（本大题6小题，共80分）15．在△ABC中，A，B，C的对边分别是a，b，c已知3acosA=ccosB+bcosC．（Ⅰ）求cosA 的值；（Ⅱ）求的值．16．某家具公司生产甲、乙两种型号的组合柜，每种柜的制造白坯时间、油漆时间及有关数据如下：问该公司如何安排甲、乙二种柜的日产量可获最大1111均相等，D，E，F分别为棱AB，BC，A1C1的中点．（Ⅰ）证明EF∥平面A1CD；（Ⅱ）证明平面A1CD⊥平面A1ABB1；（Ⅲ）求直线BC与平面A1CD所成角的正切值．18．已知各项均为正数的数列{a n}满足a1=1，且．（Ⅰ）求a2，a3的值；（Ⅱ）求证：是等差数列；（Ⅲ）若，求数列{b n}的前n项和．19．已知椭圆（a＞b＞0）的离心率e=，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线l与椭圆相交于不同的两点A、B，已知点A的坐标为（﹣a，0）．（i）若，求直线l的倾斜角；（ii）若点Q（0，y0）在线段AB的垂直平分线上，且．求y0的值．20．已知函数f（x）=（x2﹣2x）•lnx+ax2+2．（Ⅰ）当a=﹣1时，求f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）设函数g（x）=f（x）﹣x﹣2，①当a=1时，若1＜x≤e，g（x）≤m恒成立，求m的取值范围②若g（x）有且仅有一个零点，求a的值．2015-2016学年天津市六校联考高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共40分）1．设集合A={x|y=lg（x﹣3）}，B={x|x2﹣5x+4＜0}，则A∩B=（）A．∅B．（3，4）C．（﹣2，1）D．（4．+∞）【考点】交集及其运算．【分析】据对数的真数大于0化简集合A，通过解二次不等式化简B，利用交集的定义求出A∩B．【解答】解：集合A={x|x﹣3＞0}={x|x＞3}，B={x|（x﹣1）（x﹣4）＜0}={x|1＜x＜4}．∴A∩B=（3，4）．故选B．2．给出如下四个命题，其中正确的命题的个数是①若“p或q”为假命题，则p、q均为假命题；②命题“若x≥4且y≥2，则x+y≥6”的否命题为“若x＜4且y＜2，则x+y＜6”；③在△ABC中，“A＞30°”是“”的充要条件；④命题“∃x0∈R，e≤0”是真命题．（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①根据复合命题真假关系进行判断，②根据否命题的定义进行判断，③根据充分条件和必要条件的定义进行判断，④根据含有量词的命题的否定进行判断．【解答】解：①若“p或q”为假命题，则p、q均为假命题；正确，故①正确，②命题“若x≥4且y≥2，则x+y≥6”的否命题为“若x＜4或y＜2，则x+y＜6”；故②错误③在△ABC中，由得30°＜A＜150°，则“A＞30°”是“”的必要不充分条件；故③错误，④∵∀x∈R，e x＞0，∴命题“∃x0∈R，e≤0”是真命题错，故④错误，故正确个数只有1个，故选：B．3．若某程序框图如图所示，则输出的p的值是（）A．21 B．26 C．30 D．55【考点】循环结构．【分析】先根据已知循环条件和循环体判定循环的次数，然后根据运行的后P的值找出规律，从而得出所求．【解答】解：根据题意可知该循环体运行3次第1次：n=2，p=1+22=5第2次：n=3，p=5+32=14，第3次：n=4，p=14+42=30因为P=30＞20，结束循环，输出结果p=30．故选C．4．已知等差数列{a n}满足2a2﹣a72+2a12=0，且数列{b n}是等比数列，若b7=a7，则b5b9=（）A．2 B．4 C．8 D．16【考点】等差数列与等比数列的综合．【分析】利用等差数列的性质可把原式化简可得4a7﹣a72=0，从而可求a7，再由等比数列的性质可得b5•b9=b72，从而可求【解答】解：由等差数列的性质可得，a2+a12=2a7由2a2﹣a72+2a12=0可得4a7﹣a72=0a7=0或a7=4当a7=0时，b7=a7=0不符，舍去当a7=4时，b7=4b5•b9=b72=16故选D．5．已知双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，若抛物线C2：x2=2py（p＞0）的焦点到双曲线C1的涟近线的距离是2，则抛物线C2的方程是（）A．B．x2=y C．x2=8y D．x2=16y【考点】抛物线的简单性质；点到直线的距离公式；双曲线的简单性质．【分析】利用双曲线的离心率推出a，b的关系，求出抛物线的焦点坐标，通过点到直线的距离求出p，即可得到抛物线的方程．【解答】解：双曲线C1：的离心率为2．所以，即：=4，所以；双曲线的渐近线方程为：抛物线的焦点（0，）到双曲线C1的渐近线的距离为2，所以2=，因为，所以p=8．抛物线C2的方程为x2=16y．故选D．6．设f（x）=a x，g（x）=x，h（x）=log a x，且a满足log a（1﹣a2）＞0，那么当x＞1时必有（）A．h（x）＜g（x）＜f（x）B．h（x）＜f（x）＜g（x）C．f（x）＜g（x）＜h（x）D．f（x）＜h（x）＜g（x）【考点】分段函数的应用．【分析】由于a满足log a（1﹣a2）＞0，可得0＜a＜1．再利用指数函数、幂函数、对数函数的单调性即可得出．【解答】解：∵a满足log a（1﹣a2）＞0=log a1，0＜1﹣a2＜1，∴0＜a＜1，∴当x＞1时，log a x＜0，0＜a x＜1，x＞1．∴h（x）＜f（x）＜g（x）．故选B．7．函数f（x）=2sin（ωx+φ）的部分图象如图所示，其中A，B两点之间的距离为5，那么下列说法正确的是（）A．函数f（x）的最小正周期为8B．f（3）=﹣C．x=﹣1是函数f（x）的一条对称轴D．函数f（x）向左平移一个单位长度后所得的函数为偶函数【考点】正弦函数的图象．【分析】根据勾股定理求出f（x）的半周期，得出ω，根据f（0）=1解出φ，得到f（x）的解析式，再进行判断．【解答】解；A，B两点的横坐标之差为=3，∴f（x）的最小正周期为6．∴，解得ω=．故A错误．∵f（0）=1，∴2sinφ=1，sinφ=，∵0≤φ＜，∴φ=．∴f（x）=2sin（+）．∴f（3）=2sin=﹣1，B错误；f（﹣1）=2sin（﹣）=﹣1≠±2，C错误；将f（x）向左平移一个单位长度后所得的函数为f（x+1）=2sin（+）=2cos．故D正确．故选：D．8．已知函数f（x）满足f（x）=f（4x），当x∈[1，4），f（x）=lnx，若在区间[1，16）内，函数g（x）=f（x）﹣ax有三个不同零点，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】函数零点的判定定理．【分析】化简可得f（x）=，从而作函数f（x）与y=ax的图象，从而利用数形结合求解即可．【解答】解：∵f（x）=f（4x），∴f（x）=f（），当x∈[4，16）时，∈[1，4）；f（x）=f（）=ln=lnx﹣ln4，故函数f（x）=，作函数f（x）与y=ax的图象如下，，过点（16，ln4）时，a==，y=lnx﹣ln4，y′=；故=，故x=4e，故a=，故实数a的取值范围是，故选：C．二、填空题：（每小题5分，共30分）9．设i为虚数单位，则=2﹣3i．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，再利用虚数单位i的幂运算性质进行运算．【解答】解：===2﹣3i．故答案为：2﹣3i．10．在如图所示的正方形中随机掷一粒豆子，豆子落在该正方形内切圆的四分之一圆（如图阴影部分）中的概率是．【考点】几何概型．【分析】根据几何概型的概率公式求出对应区域的面积进行计算即可．【解答】解：设圆的比较为R，则正方形的边长为2R，则阴影部分的面积S==，则对应概率P==，故答案为：．11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，体积为【考点】由三视图求面积、体积．【分析】几何体为四棱锥，底面为正方形，高为1．【解答】解：由三视图可知几何体为斜四棱锥，棱锥的底面为边长为1的正方形，棱锥的高为1．所以棱锥的体积V==．故答案为．12．直线l：8x﹣6y﹣3=0被圆O：x2+y2﹣2x+a=0所截得弦的长度为，则实数a的值是0．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】把圆的方程化为标准形式，求出圆心和半径，利用点到直线的距离公式求出弦心距，再利用弦长公式求得a的值．【解答】解：圆O：x2+y2﹣2x+a=0，即（x﹣1）2+y2+a=1﹣a，∴a＜1，圆心（1，0）、半径为．又弦心距d==，∴+=r2=1﹣a，求得a=0，故答案为：0．13．如图，AB是⊙O的直径，C，F是⊙O上的两点，OC⊥AB，过点F作⊙O 的切线FD交AB的延长线于点D．连结CF交AB于点E，OA=3，DB=3，则DE=3．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】连接OF，利用切线的性质及角之间的互余关系得到DF=DE，再结合切割线定理证明DE2=DB•DA，即可求出DE．【解答】解：连结OF．∵DF切⊙O于F，∴∠OFD=90°，∴∠OFC+∠CFD=90°．∵OC=OF，∴∠OCF=∠OFC．∵CO⊥AB于O，∴∠OCF+∠CEO=90°．∴∠CFD=∠CEO=∠DEF，∴DF=DE．∵DF是⊙O的切线，∴DF2=DB•DA．∴DE2=DB•DA，∵OA=3，DB=3，∴DE2=DB•DA=3×9=27，∴DE=3．故答案为：3．14．如图在长方形ABCD中，，AD=2，O为AB的中点，若P是线段DO上动点，则（+）•的最小值是﹣3．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】（+）•=2•=﹣2|PO|×|PD|，利用基本不等式求出|PD|×|PO|的最大值即可得出答案．【解答】解：∵O为AB的中点，∴，∴（+）•=﹣2|PO|×|PD|，∵|PO|+|PD|=|OD|==．∴|PD|×|PO|≤（）2=．∴﹣2|PO|×|PD|≥﹣3．故答案为﹣3．三、解答题：（本大题6小题，共80分）15．在△ABC中，A，B，C的对边分别是a，b，c已知3acosA=ccosB+bcosC．（Ⅰ）求cosA 的值；（Ⅱ）求的值．【考点】三角函数的化简求值；正弦定理．【分析】（Ⅰ）在△ABC中，利用正弦定理与逆用两角和的正弦可将3acosA=ccosB+bcosC化为3sinAcosA=sinA，从而可求cosA的值；（Ⅱ）利用二倍角的余弦公式及三角函数间的平方关系可求得cos2A与sin2A的值，再利用两角和的余弦即可求的值．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，由3acosA=ccosB+bcosC，结合正弦定理得：3sinAcosA=sinCcosB+sinBcosC=sin（B+C）=sinA，因为在△ABC中，sinA≠0，解得cosA=，故cosA的值为；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣6；（Ⅱ）因为cos2A=2cos2A﹣1=﹣，A为锐角，所以，sin2A==﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣10；所以，=cos2Acos﹣sin2Asin=cos2A﹣sin2A=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣13．16．某家具公司生产甲、乙两种型号的组合柜，每种柜的制造白坯时间、油漆时间及有关数据如下：问该公司如何安排甲、乙二种柜的日产量可获最大【分析】设生产甲、乙两种型号的组合柜分别为x个、y个，利润为Z元，然后根据题目条件建立约束条件，得到目标函数，画出约束条件所表示的区域，然后利用平移法求出z的最大值，从而求出所求．【解答】解：设生产甲、乙两种型号的组合柜分别为x个、y个，利润为Z 元，那么①…目标函数为z=20x+24y…作出二元一次不等式①所表示的平面区域（阴影部分）即可行域．把z=20x+24y变形为y=﹣x+z，得到斜率为﹣，在轴上的截距为z，随z变化的一族平行直线．如图可以看出，当直线y=﹣x+z经过可行域上M时，截距z最大，即z最大．…解方程组得A的坐标为x=4，y=8 …所以z ma x=20x+24y=272．答：该公司每天生产生产甲、乙两种型号的组合柜分别为4个、8个，能够产生最大的利润，最大的利润是272元．17．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱A1A⊥底面ABC，且各棱长均相等，D，E，F分别为棱AB，BC，A1C1的中点．（Ⅰ）证明EF∥平面A1CD；（Ⅱ）证明平面A1CD⊥平面A1ABB1；（Ⅲ）求直线BC与平面A1CD所成角的正切值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【分析】（I）连结DE，可利用中位线定理和平行公理得出四边形A1DEF为平形四边形，于是EF∥A1D，得出结论；（II）连结CD，由侧棱A1A⊥底面ABC可得CD⊥A1A，由等边三角形可得CD⊥AB，故CD⊥平面平面A1ABB1，于是平面A1CD⊥平面A1ABB1；（III）过点B作BG⊥A1D交A1D延长线于点G，连接CG，则由面面垂直的性质得出BG⊥平面A1CD，故而∠BCG为直线BC与平面A1CD所成的角，设棱柱棱长为2，利用相似三角形和勾股定理求出BG，CG即可得出答案．【解答】证明：（I）连结DE，∵D，E，F分别是AB，BC，A1C1的中点，且三棱柱各棱长相等，∴DE，A1F AC，∴DE A1F，∴四边形A1DEF为平形四边形，∴EF∥A1D，又EF⊄平面A1CD，A1D⊂平面A1CD，∴EF∥平面A1CD．（II）连结CD．∵△ABC是正三角形，D为AB的中点，∴CD⊥AB．又∵侧棱A1A⊥底面ABC，CD⊂平面ABC，∴CD⊥A1A．又A1A⊂平面A1ABB1，AB⊂平面A1ABB1，A1A∩AB=A，∴CD⊥平面A1ABB1．∵CD⊂平面A1CD，∴平面A1CD⊥平面A1ABB1．（III）在平面A1ABB1内，过点B作BG⊥A1D交A1D延长线于点G，连接CG，∵平面A1CD⊥平面A1ABB1，平面A1CD∩平面A1ABB1=A1D，BG⊥A1D，BG⊂平面A1ABB1，∴BG⊥平面A1CD．∴∠BCG为直线BC与平面A1CD所成的角．设三棱柱棱长为2，则CD=．由Rt△A1AD∽RtBGD可得=．∴BG=，DG=，∴CG==．∴tan∠BCG==．18．已知各项均为正数的数列{a n}满足a1=1，且．（Ⅰ）求a2，a3的值；（Ⅱ）求证：是等差数列；（Ⅲ）若，求数列{b n}的前n项和．【考点】数列递推式；等差关系的确定；数列的求和．【分析】（Ⅰ）先根据已知条件推得数列的递推关系式，再把2，3代入即可；（Ⅱ）直接根据条件推得结论；（Ⅲ）先求出数列的通项，再利用错位相减法以及裂项法求和即可．【解答】解：∵各项均为正数的数列{a n}满足a1=1，且．∴a n+1•a n（a n+1+a n）+（a n+1+a n）（a n+1﹣a n）=0（a n+1+a n）（a n+1•a n+a n+1﹣a n）=0∴a n+1•a n+a n+1﹣a n=0∴+1=0；∴=1．①（Ⅰ）∴=1+=2∴a2=；同理：a3=．（Ⅱ）由①得是首项为1，公差为1的等差数列；∴=1+（n﹣1）×1=n；∴a n=．（Ⅲ）∴=•2n+；{n•2n}的和S n=1•21+2•22+…+n•2n…①，2S n=2•21+3•22+…+n•2n+1…②，∴①﹣②得﹣S n=21+22+23+…+2n﹣n•2n+1∴﹣S n=﹣n×2n+1∴S n=（n﹣1）2n+1+2；{}的和为：T n=（1﹣）+（）+…+（）=1﹣=．∴数列{b n}的前n项和为：S n+T n=（n﹣1）2n+1+2+．．19．已知椭圆（a＞b＞0）的离心率e=，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线l与椭圆相交于不同的两点A、B，已知点A的坐标为（﹣a，0）．（i）若，求直线l的倾斜角；（ii）若点Q（0，y0）在线段AB的垂直平分线上，且．求y0的值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）由离心率求得a和c的关系，进而根据c2=a2﹣b2求得a和b的关系，进而根据求得a和b，则椭圆的方程可得．（2）（i）由（1）可求得A点的坐标，设出点B的坐标和直线l的斜率，表示出直线l的方程与椭圆方程联立，消去y，由韦达定理求得点B的横坐标的表达式，进而利用直线方程求得其纵坐标表达式，表示出|AB|进而求得k，则直线的斜率可得．（ii）设线段AB的中点为M，由（i）可表示M的坐标，看当k=0时点B的坐标是（2，0），线段AB的垂直平分线为y轴，进而根据求得y0；当k≠0时，可表示出线段AB的垂直平分线方程，令x=0得到y0的表达式根据求得y0；综合答案可得．【解答】解：（Ⅰ）由e=，得3a2=4c2．再由c2=a2﹣b2，解得a=2b．由题意可知，即ab=2．解方程组得a=2，b=1．所以椭圆的方程为．（Ⅱ）（i）解：由（Ⅰ）可知点A的坐标是（﹣2，0）．设点B的坐标为（x1，y1），直线l的斜率为k．则直线l的方程为y=k（x+2）．于是A、B两点的坐标满足方程组消去y并整理，得（1+4k2）x2+16k2x+（16k2﹣4）=0．由，得．从而．所以．由，得．整理得32k4﹣9k2﹣23=0，即（k2﹣1）（32k2+23）=0，解得k=±1．所以直线l的倾斜角为或．（ii）设线段AB的中点为M，由（i）得到M的坐标为．以下分两种情况：（1）当k=0时，点B的坐标是（2，0），线段AB的垂直平分线为y轴，于是．由，得．（2）当k≠0时，线段AB的垂直平分线方程为．令x=0，解得．由，，==，整理得7k2=2．故．所以．综上，或．20．已知函数f（x）=（x2﹣2x）•lnx+ax2+2．（Ⅰ）当a=﹣1时，求f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）设函数g（x）=f（x）﹣x﹣2，①当a=1时，若1＜x≤e，g（x）≤m恒成立，求m的取值范围②若g（x）有且仅有一个零点，求a的值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）当a=﹣1时，函数f（x）=（x2﹣2x）lnx+ax2+2=（x2﹣2x）lnx ﹣x2+2，求出f′（x），则k=f′（1），代入直线方程的点斜式可得切线的方程；（Ⅱ）①问题转化为求出g（x）ma x≤m，通过判断g′（x）的符号，得到g（x）在（1，e]上单调递增，求出g（x）的最大值，从而求出m的范围；②构造函数，求函数的导数，判断函数的极值即可得到结论．【解答】解：（Ⅰ）当a=﹣1时，函数f（x）=（x2﹣2x）lnx+ax2+2=（x2﹣2x）lnx﹣x2+2，∴f′（x）=（2x﹣2）lnx+（x2﹣2x）﹣2x，k=f′（1）=0+（1﹣2）﹣2=﹣3，f（1）=1，切线的方程为y﹣1=﹣3（x﹣1），∴切线的方程为3x+y﹣4=0．（II）①当a=1时，g（x）=（x2﹣2x）lnx+x2﹣x，若1＜x≤e，g（x）≤m，只需：g（x）ma x≤m，g′（x）=（x﹣1）（3+2lnx），∵1＜x≤e，∴g′（x）＞0成立，∴g（x）在（1，e]上单调递增，则g（x）ma x=g（e）=2e2﹣3e，∴m≥2e2﹣3e；②由g（x）=f（x）﹣x﹣2=0，得（x2﹣2x）•lnx+ax2+2=x+2，即a=，设h（x）=，则h′（x）=，令t（x）=1﹣x﹣2lnx，则t′（x）=，∵t′（x）＜0，t（x）在（0，+∞）上是减函数，t（1）=h'（1）=0，∴当0＜x＜1时，h′（x）＞0，当x＞1时，h′（x）＜0，即h（x）的最大值为h（1）=1，∴若函数g（x）有且仅有一个零点时，a=1．2016年7月6日。

天津市六校2017届高三上学期期中联考理数试题一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在等差数列{}n a 中，533a =，公差3d =，则201是该数列的第（ ）项． A ．60 B ．61 C ．62 D ．63 【答案】B考点：等差数列通项公式2.设x R ∈，向量(,1)a x =，(1,2)b =-，且a b ⊥，则a b +＝（ ） A ．5 B ．10 C ．25 D ．10 【答案】B 【解析】试题分析：因为0202a b a b x x ⊥⇒⋅=⇒-=⇒=，所以|(3,1)|10a b +=-=，选B. 考点：向量数量积【方法点睛】平面向量数量积的类型及求法(1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式a ·b ＝|a ||b |cos θ；二是坐标公式a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2；三是利用数量积的几何意义.(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.3.在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若6)(22+-=b a c ，3π=C ，则ABC∆的面积为（ ）A. 3B. 93C. 233 D. 33【答案】C 【解析】试题分析：22222()626c a b c a b ab =-+⇒=+-+，由3π=C 得222222cos3c a b ab a b ab π=+-=+-，因此2222266a b ab a b ab ab +-=+-+⇒=，ABC ∆的面积为133sin 23ab π=，选C.考点：余弦定理【名师点睛】1．选用正弦定理或余弦定理的原则在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．2．(1)运用余弦定理时，要注意整体思想的运用．(2)在已知三角形两边及其中一边的对角，求该三角形的其它边角的问题时，首先必须判断是否有解，如果有解，是一解还是两解，注意“大边对大角”在判定中的应用． 4.已知函数()()21log 4,412,4x x x f x x -⎧-<=⎨+≥⎩则()()20log 32f f +=（ ）A ．19B ．17C ．15D ．13 【答案】A考点：分段函数求值【名师点睛】(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值.(2)求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.5.将函数()3sin(4)6f x x π=+图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移6π个单位长度，得到函数()y g x =的图象．则()y g x =图象一条对称轴是（ ）A ．12x π=B ．6x π=C ．3x π=D ．23x π=【答案】C 【解析】试题分析：函数()3sin(4)6f x x π=+图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得3sin(2)6y x π=+，再向右平移6π个单位长度，得3sin(2())3sin(2)666y x x πππ=-+=-，对称轴为2(),(),6232k x k k Z x k Z πππππ-=+∈=+∈，所以选C. 考点：三角函数图像变换与性质【思路点睛】三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言. 函数y ＝Asin(ωx＋φ)，x∈R 是奇函数⇔φ＝kπ(k∈Z)；函数y ＝As in(ωx＋φ)，x∈R 是偶函数⇔φ＝kπ＋π2(k∈Z)；函数y ＝Acos(ωx＋φ)，x∈R 是奇函数⇔φ＝k π＋π2(k∈Z)；函数y ＝Acos(ωx＋φ)，x∈R 是偶函数⇔φ＝kπ(k∈Z).6.定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()f x f x +=，且在上是减函数，若,αβ是锐角三角形的两个内角，则( )A ．()()sin sin f f αβ>B ．()()sin cos f f αβ<C ．()()cos cos f f αβ<D ．()()sin cos f f αβ> 【答案】D考点：函数综合性质【思路点睛】(1)运用函数性质解决问题时，先要正确理解和把握函数相关性质本身的含义及其应用方向.(2)在研究函数性质特别是奇偶性、周期、对称性、单调性、最值、零点时，要注意用好其与条件的相互关系，结合特征进行等价转化研究.如奇偶性可实现自变量正负转化，周期可实现自变量大小转化，单调性可实现去f “”，即将函数值的大小转化自变量大小关系7.已知数列{}n a 满足：11a =，12n n n a aa +=+()n N *∈．若11(2)(1)n nb n a λ+=-⋅+()n N *∈，1b λ=-，且数列{}n b 是单调递增数列，则实数λ的取值范围是（ ）A ．23λ>B ．32λ>C ．32λ<D ．23λ< 【答案】D考点：等比数列定义，数列单调性【方法点睛】解决数列的单调性问题可用以下三种方法①用作差比较法，根据+1n n a a -的符号判断数列{}n a 是递增数列、递减数列或是常数列. ②用作商比较法，根据+1n na a 与1的大小关系及n a 符号进行判断. ③结合相应函数的图像直观判断，注意自变量取值为正整数这一特殊条件 8.设函数ln ()xf x x=，关于x 的方程()()210f x mf x +-=⎡⎤⎣⎦有三个不同的实数解，则实数m 的取值范围是（ ）A ．1,e e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ B ．1,e e⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C ． ()0,eD ．()1,e 【答案】B 【解析】试题分析：2ln 1ln ()()0x xf x f x x e x x-'=⇒==⇒=，因此当0x e <≤时，1()f x e ≤；当x e >时10()f x e<<，因此2()10g t t mt =+-=有两个根，其中1211(0,),(,0]{}t t e e ∈∈-∞，因为(0)1g =-，所以11()0g m e e e>⇒>-，选B.考点：利用导数研究方程的根 【思路点睛】对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等． 二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上） 9.设复数z 满足()34z i i i +=-+（i 为虚数单位），则z 的模为 ． 【答案】考点：复数的模【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)+∈a bi a b R 的实部为a 、虚部为b 、模为22+a b 、对应点为(,)a b 、共轭为.-a bi 10.计算11(2)ex dx x+=⎰．【答案】【解析】 试题分析：2211(2)(ln )1ee x dx x x e x+=+=⎰考点：定积分【方法点睛】1.求曲边图形面积的方法与步骤 (1)画图，并将图形分割为若干个曲边梯形；(2)对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分的上、下限； (3)确定被积函数；(4)求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值的和．2．利用定积分求曲边图形面积时，一定要找准积分上限、下限及被积函数．当图形的边界不同时，要分不同情况讨论．11.已知定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()1f x f x +⋅=对于x R ∈恒成立，且()0f x >，则()2015f =________． 【答案】1 【解析】试题分析：因为1(2)()1(4)()T 4(2)f x f x f x f x f x +⋅=⇒+==⇒=+，因此()2015(3)(1)(1)f f f f ==-=；而2(2)()1(12)(1)1(1)1,()0(1)1f x f x f f f f x f +⋅=⇒-+⋅-=⇒=>⇒= 所以()20151f =考点：函数奇偶性与周期性质 12.若sin cos 3sin cos αααα+=-，tan()2αβ-=，则tan(2)βα-= ．【答案】考点：两角和正切公式【方法点睛】三角函数求值的三种类型(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数。