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课时跟踪检测(二十) 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像及三角函数模型的简单应用(分Ⅰ、Ⅱ卷，共2页)第Ⅰ卷：夯基保分卷1．(2014·滨州一模)把函数y ＝sin x 的图像上所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，再把所得函数图像向左平移π4个单位，得到的函数图像的解析式是( )A ．y ＝cos 2xB ．y ＝－sin 2xC ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4 2．(2013·全国大纲卷)若函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的部分图像如图，则ω＝( )A ．5B ．4C ．3D ．23．(2014·威海高三期末)函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|<π2的图像向左平移π6个单位后所得函数图像的解析式是奇函数，则函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为( ) A ．－32B ．－12C.12D.324．(2013·福建高考)将函数f (x )＝sin (2x ＋θ)⎝⎛⎭⎫－π2<θ<π2的图像向右平移φ(φ>0)个单位长度后得到函数g (x )的图像，若f (x )，g (x )的图像都经过点P ⎝⎛⎭⎫0，32，则φ的值可以是( ) A.5π3 B.5π6 C.π2D.π65.函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ＞0，ω＞0)的部分图像如图所示，则f (0)的值是________．6．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y ＝a ＋A cos ⎣⎡⎦⎤π6(x －6)(x ＝1,2,3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28℃，12月份的月平均气温最低，为18℃，则10月份的平均气温值为________℃.7．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋1. (1)求它的振幅、最小正周期、初相；(2)画出函数y ＝f (x )在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上的图像．8．已知函数f (x )＝23sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π4cos ⎝⎛⎭⎫x 2＋π4－sin(x ＋π)． (1)求f (x )的最小正周期；(2)若将f (x )的图像向右平移π6个单位，得到函数g (x )的图像，求函数g (x )在区间[0，π]上的最大值和最小值．第Ⅱ卷：提能增分卷1．(2014·长春调研)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，－π2<φ<π2，x ∈R 的部分图像如图所示．(1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤－π，－π6时，求f (x )的取值范围．2．已知f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的最小正周期为2，且当x ＝13时，f (x )的最大值为2.(1)求f (x )的解析式．(2)在闭区间⎣⎡⎦⎤214，234上是否存在f (x )的对称轴？如果存在求出其对称轴．若不正在，请说明理由．3．为迎接夏季旅游旺季的到来，少林寺单独设置了一个专门安排游客住宿的客栈，寺庙的工作人员发现为游客准备的一些食物有些月份剩余不少，浪费很严重，为了控制经营成本，减少浪费，就想适时调整投入．为此他们统计每个月入住的游客人数，发现每年各个月份来客栈入住的游客人数会发生周期性的变化，并且有以下规律：①每年相同的月份，入住客栈的游客人数基本相同；②入住客栈的游客人数在2月份最少，在8月份最多，相差约400人； ③2月份入住客栈的游客约为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多． (1)试用一个正弦型三角函数描述一年中入住客栈的游客人数与月份之间的关系； (2)请问哪几个月份要准备400份以上的食物？答 案第Ⅰ卷：夯基保分卷1．选A 由y ＝sin x 图像上所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，所得图像的解析式为y ＝sin 2x ，再向左平移π4个单位得y ＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4，即y ＝cos 2x . 2．选B 由函数的图像可得T 2＝12·2πω＝⎝⎛⎭⎫x 0＋π4－x 0＝π4，解得ω＝4. 3．选A 由函数f (x )的图像向左平移π6个单位得f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋φ＋π3的图像，因为是奇函数，所以φ＋π3＝k π，k ∈Z ，又因为|φ|<π2，所以φ＝－π3，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 又x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2， 所以2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－π3，23π， 所以当x ＝0时，f (x )取得最小值为－32. 4．选B 因为函数f (x )的图像过点P ，所以θ＝π3，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3；又函数f (x )的图像向右平移φ个单位长度后，得到函数g (x )＝sin ⎣⎡⎦⎤2(x －φ)＋π3， 所以sin ⎝⎛⎭⎫π3－2φ＝32，所以φ可以为5π6. 5．解析：由图可知：A ＝2，T 4＝7π12－π3＝π4，所以T ＝π，ω＝2πT ＝2，又函数图像经过点⎝⎛⎭⎫π3，0，所以2×π3＋φ＝π，则φ＝π3，故函数的解析式为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， 所以f (0)＝2sin π3＝62.答案：626．解析：依题意知，a ＝28＋182＝23，A ＝28－182＝5，∴y ＝23＋5cos ⎣⎡⎦⎤π6(x －6)，当x ＝10时，y ＝23＋5cos ⎝⎛⎭⎫π6×4＝20.5. 答案：20.57．解：(1)振幅为2，最小正周期T ＝π，初相为－π4.(2)图像如图所示．8．解：(1)因为f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＋sin x ＝3cos x ＋sin x ＝2⎝⎛⎭⎫32cos x ＋12sin x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3， 所以f (x )的最小正周期为2π.(2)∵将f (x )的图像向右平移π6个单位，得到函数g (x )的图像，∴g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x －π6＝2sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x －π6＋π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6. ∵x ∈[0，π]，∴x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6， ∴当x ＋π6＝π2，即x ＝π3时，sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝1，g (x )取得最大值2. 当x ＋π6＝7π6，即x ＝π时，sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝－12，g (x )取得最小值－1. 第Ⅱ卷：提能增分卷1．解：(1)由题中图像得A ＝1，T 4＝2π3－π6＝π2，所以T ＝2π，则ω＝1.将点⎝⎛⎭⎫π6，1代入得sin ⎝⎛⎭⎫π6＋φ＝1，而－π2<φ<π2，所以φ＝π3，因此函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3. (2)由于－π≤x ≤－π6，－2π3≤x ＋π3≤π6，所以－1≤sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3≤12，所以f (x )的取值范围是⎣⎡⎦⎤－1，12. 2．解：(1)由T ＝2知2πω＝2得ω＝π.又因为当x ＝13时f (x )max ＝2，知A ＝2.且13π＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )， 故φ＝2k π＋π6(k ∈Z )．∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx ＋2k π＋π6 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx ＋π6， 故f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx ＋π6. (2)存在．令πx ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k ＋13(k ∈Z )．由214≤k ＋13≤234. 得5912≤k ≤6512，又k ∈Z ，知k ＝5. 故在⎣⎡⎦⎤214，234上存在f (x )的对称轴， 其方程为x ＝163.3．解：(1)设该函数为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0，0<|φ|<π)，根据条件①，可知这个函数的周期是12；由②可知，f (2)最小，f (8)最大，且f (8)－f (2)＝400，故该函数的振幅为200；由③可知，f (x )在[2,8]上单调递增，且f (2)＝100，所以f (8)＝500.根据上述分析可得，2πω＝12，故ω＝π6，且⎩⎪⎨⎪⎧ －A ＋B ＝100，A ＋B ＝500，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝200，B ＝300.根据分析可知，当x ＝2时f (x )最小， 当x ＝8时f (x )最大， 故sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋φ＝－1， 且sin ⎝⎛⎭⎫8×π6＋φ＝1. 又因为0<|φ|<π，故φ＝－5π6.所以入住客栈的游客人数与月份之间的关系式为f (x )＝200sin ⎝⎛⎭⎫π6x －5π6＋300. (2)由条件可知，200sin ⎝⎛⎭⎫π6x －5π6＋300≥400，化简，得 sin ⎝⎛⎭⎫π6x －5π6≥12⇒2k π＋π6≤π6x －5π6≤2k π＋5π6，k ∈Z ，解得12k＋6≤x≤12k＋10，k∈Z.因为x∈N*，且1≤x≤12，故x＝6,7,8,9,10.即只有6,7,8,9,10五个月份要准备400份以上的食物．。
［课时跟踪检测］［基础达标］n 1.函数f(x)= tan3«3>0)的图象的相邻两支截直线y= 2所得线段长为㊁，则ff的值是()D. 3厅，3= 2, f(x) = tan2x,所以一=3答案：D2. (2017届洛阳统考)已知函数f(x) = Asin(3X©”>0, 20,忧<2丿的部分图象如图所示，贝U f(x)的解析式是()答案：DC. 1解析：由题意可知该函数的周期为n2,冗n2,所以f6n3=B.C.D.f(x) = sin ?x+ n)f(x) = sin x+扌f(x) = sin解析: 由图象可知A= 1,除A、C,n把x= 6代入检验知,T=—n=n所以T= n所以3=年=2,故排选项D符合题意.f(x) = sin3. (2017届太原模拟)已知函数f(x)= sin(3汁妨”＞0,呻＜为的最小正周期是n 若将f(x)的图象向右平移n个单位后得到的图象关于原点对称，则函数f(x)的图象()A. 关于直线x= 12对称B.关于直线x= 对称C.关于点菇，0对称 D .关于点晨0对称2冗解析：因为f(x)的最小正周期为n所以匚=n 3=2,所以f(x)的图象向右平移3个单位后得到g(x) = sin |2 x-訂+ 走sin?x —寺+对的图象，由g(x)的图2 2 冗冗象关于原点对称知，©—3 n= k n,即片3n+ k n k€乙因为呻＜2，所以片—3, 即f(x) = sin?x—3由2x—3=扌+ k n 得x=^2+ 才，k€ Z，故选B.答案：B4. (2018届贵州省适应性考试)将函数f(x) = sin?x+点的图象向左平移©0＜样2个单位长度，所得的图象关于y轴对称，则©=()冗n nc・3 D.2解析：将函数f(x) = sin ?x+ n i的图象向左平移©0V径n个单位长度，得到的图象所对应的函数解析式为y= sin h(x+ ©)+才=sin?x+ 2©+总，由题知，该函数是偶函数，贝U 2 ©+ 6= k n+ 2，k€ Z，即©=牙+总，k€ Z，又0＜皆才，所以片；6'答案：A5. 函数f(x) = sin(3汁©(x€ R) 3＞0, |©寸的部分图象如图所示，如果x〔.二f(x)的图象过点诒，1，n n n而x1+x2=-6+3=6,f(x 1 + x 2) = f 6 = sin 2 X 6+ 答案：B6. 为了得到函数y = sin(2x + 1)的图象，只需把函数y = sin2x 的图象上所有 的点()1A .向左平移2个单位长度 1B. 向右平移1个单位长度 C .向左平移1个单位长度 D .向右平移1个单位长度1平移2个单位长度即可得到y = sin(2x +1)的图象，故选A.答案：An7. (2018届杭州学军中学)已知函数y = sin@x+妨心＞0,0＜皆？，且此函数的X 2 € n 6,3，且 f (X 1)= f(X 2), 则 f(X 1+ X 2)=( )A.1解析: 由图可知,扌，贝U T = n, 3= 2,即 sin 2X 12n©= 3，二 f (x)= sin 2x +解析：y = sin(2x + 1)= sin 』2所以需要把y = sin2x 图象上所有点向左图象如图所示，则点P( 3,妨的坐标是( )解析：T =21~8—~8 尸 n - 3= 2. v 2 x 8+ X n 二 片4，二选 B. 答案：B8. ___________________________________________________________ 若函数f(x) = >^3sin ；3x — 3 ( 3>0)的最小正周期为2，则fg 卜 _________________ .解析：由f(x)= 3sin 3x — 3(3>0)的最小正周期为2,得3= 4.所以f 扌=.3L n nsin 4x3—3 = °. 答案：03X —n (3>0)和 g(x)= 3cos(2x + ©的图象完全相同,则 f(x) = 3sin 2x — n ,n n _ n 5 ni.°. ——W 2x ——W — 2 , 6 6 6 ,答案:]-3, 310. 已知角©的终边经过点P(— 4,3),函数f(x) = sin (3x+©)(3>0)的图象的 相邻两条对称轴之间的距离等于 才，则ff,的值为 ___________ .4解析：由角©的终边经过点P(— 4,3)，可得cos#— 4,A. 2, C. 4,9.已知函数f(x)= 3sin若 x € 0, n则f(x)的值域是解析：f(x) = 3sin3X-自 =3cos n3cos 3X — |n ，易知 3= 2,V x € Io , 3 ■- — Q W 3 X —n 根据函数f(x)= sin(3汁©)(3>0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于㊁，2 n n可得周期为丄2xn,解得①二2,3 2--f 4 —sin 2+—cos©= — 5.4答案：-411. (2017届福州模拟)已知函数f(x) = Asin @x+© , x € R (其中A>0 ,n n3>o,o<庆2)的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为2,且图象上一个最低点为皿嘗—2 !'⑴求f(x)的解析式；(2)当x€ |話,扌时，求f(x)的值域.解：(1)由最低点为M# — 2 ［，得A= 2.n T n 2 n 2 n由x轴上相邻两个交点之间的距离为乙，得T=3，即T= n所以3=〒=—2 2 2 I n =2.由点M刍5，—2在图象上，得2sin 2X2^+ ©= —2, 即si门甘+^二―1,故4n+ 2k n— n；k€ Z).11 n所以匸2kn--^(k€ Z).又(€ o n，所以匸n 故f(x)=2si n?x+n)(2)因为x€席，n，所以2x+詐£当2x+6= n，即x= 6时，f(x)取得最大值2;f(x) = sin( 2x+(D,当2x+6=壬即x= n时，f(x)取得最小值—1.故f(x)的值域为［—1,2］.12. 函数f(x)= cos( x +妨0<庆扌的部分图象如图所示:(1)求©及图中xo 的值；⑵设g(x)= f(x) + f x+ 3 j,求函数g(x)在区间| — 2，1上的最大值和最小值. 解: (1)由题图得 f(0) = f ，所以 cos ©=f,由于f(x)的最小正周期等于2,7 n n 13 n所以由题图可知1<x o <2，故~6"< n x o + 6<_6_，⑵因为f x +1 = cos jt .cos n x + 2 = — Sin x ,cos ；nx +n J — sin n= cos n cos ^— sin xsin g — sin x 3 3= ~2cos x — 2sin x = . 3sin § — n x .出匚[—1丄】叶 nn =2_n 当 x € [— 2, 3时—6= 6— * 3.所以一f w sin 7— n x < 1,2 ©丿故6— n x = J 即x = — 3时，g(x)取得最大值3； 当6— n x = — 6，即x = 3时，g(x)取得最小值—三3由 f(x o )= 于得cos <o +n 所以n x o + 6 = 116 n5一3所以 g(x) = f(x) + f x +1 =［能力提升］1. (2018届湖北百所重点学校联考)若函数f(x)=J2sin(2/+©)側圈的图象 关于直线 x =话对称，且当 X 1 , X 2 € —12：— ^3，X 1H X 2 时,f(x i ) = f(X 2),则 f(x i + X 2)等于( )A. .2 B ・¥C 逅D 壘C. 2D- 4解析：由题设可得 煜"2, 即 sin£+©j=±，故6+©= k n+ 扌，k € Z , 又呻<扌,所以 X 扌，因此f(x) = V 2sin?x +外由题设可知，函数f(x) = ^/2sin &+寸 的对称轴为x = k n+12 k € Z ,当k = — 1时，x = — ¥2兀€ —伐，—~3，所以 (11 n 11n 十「、「~ ( 11 n \/6 “、,［ X 1 + X 2 = 2X — 了=—百，所以 f(x 1 + X 2) = f — ~6 ，故选 C-答案：C2•已知函数f(x)= cosj3x + n 其中x€ £ m ，若f(x)的值域是 卜1, 则m 的取值范围是 ________由 x € In m ，，可知57<3x + 詐3m +扌， 因为 f £卜 cos 5^ —申且 f 晋）=cosT ^— 1， 只要29^ m < 18，即m 的取值范围是■|29t , 558. 答案：~2nX答案.9，18要使f(x)的值域是3.设函数f(x) = sin23X+ 2,3sin^xc os^x—cos2^x+ ；(x€ R)的图象关于直线x= n对称.其中3,入为常数，且co € 2，1 .(1) 求函数f(x)的最小正周期；(2) 若y=f(x)的图象经过点n 0 j,求函数f(x)的值域.解：(1)因为f(x) = sin2ox—cos23X+ 2 3sin 3xc os3x+ X——cos2o x+ 3nsin2oX X—2sin2ox—石+ 入由直线x—n是y—f(x)图象的一条对称轴，可得sin 2 3 冗一 6 —± ,n , n k 1所以2on—6—k n+ 2(k€ Z),即卩o—2+ 3(k€ Z),1 y5又2, 1，所以k—1,故o—6・i5 n••• f(x) —2sin §x—6 + X所以f(x)的最小正周期是覧⑵由y—f(x)的图象过点牙，0［得f〒)=0,即X——2sin 5^2 —6 ——2sin4= —\j'2,即卩X——2.故f(x) —2singx — f 一迈,函数f(x)的值域为［—2—2, 2— 2 ］.。
课时跟踪检测（十二） 函数y=Asin(ωx+φ）的图象及变换层级一 学业水平达标1．为了得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3的图象，只需把函数y ＝sin x 的图象( ) A ．向左平移π3个单位长度B ．向右平移π3个单位长度C ．向上平移π3个单位长度D ．向下平移π3个单位长度解析：选B 将函数y ＝sin x 的图象向右平移π3个单位长度，所得图象对应的函数解析式为y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3. 2．将函数y ＝sin 2x 的图象向右平移π2个单位长度，所得图象对应的函数是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数 解析：选A y ＝sin 2x y y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π2＝sin ()2x －π＝－sin(π－2x )＝－sin 2x .由于－sin(－2x )＝sin 2x ，所以是奇函数．3．把函数y ＝cos x 的图象上的每一点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的12，然后将图象沿x 轴负方向平移π4个单位长度，得到的图象对应的解析式为( )A ．y ＝sin 2xB ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 C ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4 D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫12x ＋π4解析：选B y ＝cos x 的图象上每一点的横坐标变为原来的12(纵坐标不变)得到y ＝cos2x 的图象；再把y ＝cos 2x 的图象沿x 轴负方向平移π4个单位长度，就得到y ＝cos 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2的图象．4．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3在区间⎣⎡⎦⎤－π2，π上的简图是( )解析：选A 当x ＝0时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π3＝－32<0， 故可排除B 、D ；当x ＝π6时，sin ⎝⎛⎭⎫2×π6－π3＝sin 0＝0，排除C. 5．把函数y ＝sin x 的图象上所有点向左平移π3个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到的图象所对应的函数是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3 解析：选C 把函数y ＝sin x 的图象上所有点向左平行移动π3个单位长度后得到函数y＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象． 6．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的5倍，可得到函数__________________的图象．解析：y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3的图象―――――――――――→图象上各点的纵坐标不变横坐标伸长为原来的5倍y ＝sin ⎝⎛⎭⎫15x －π3的图象． 答案：y ＝sin ⎝⎛⎭⎫15x －π37．函数y ＝12 s in ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象可以看作把函数y ＝12 s in 2x 的图象向________平移________个单位长度得到的．解析：∵y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＝12sin 2⎝⎛⎭⎫x －π8， ∴由y ＝12sin 2x 的图象向右平移π8个单位长度便得到y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象． 答案：右π88．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4图象上所有点的横坐标保持不变，纵坐标________(填“伸长”或“缩短”)为原来的________倍，将会得到函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象． 解析：A ＝3＞0，故将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4图象上所有点的横坐标保持不变，纵坐标伸长为原来的3倍即可得到函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象． 答案：伸长 39．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象如何变换得到y ＝sin x 的图象？ 解：cos ⎝⎛⎭⎫x －5π6＋π3＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π2＝sin x ， 所以将y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象向右平移5π6个单位长度便可得到y ＝sin x 的图象． 10．已知函数f (x )的图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标扩大到原来的2倍，然后把所得的图象沿x 轴向左平移π2个单位长度，这样得到的图象与y ＝12sin x 的图象相同，求f (x )的解析式．解：反过来想，y ＝12sin x y y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫x －π2y ＝12sin2x －π2，即f (x )＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2. 层级二 应试能力达标1．设g (x )的图象是由函数f (x )＝cos 2x 的图象向左平移π3个单位得到的，则g ⎝⎛⎭⎫π6等于( )A ．1B ．－12C ．0D ．－1解析： 选D 由f (x )＝cos 2x 的图象向左平移π3个单位得到的是g (x )＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象，则g ⎝⎛⎭⎫π6＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π6＋π3＝cosπ＝－1.故选D. 2．把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫5x －π2的图象向右平移π4个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，所得函数图象的解析式为( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫10x －3π4B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫10x －7π2 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫10x －3π2 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫10x －7π4 解析：选D 将原函数图象向右平移π4个单位长度，得y ＝sin ⎣⎡⎦⎤5⎝⎛⎭⎫x －π4－π2＝sin ⎝⎛⎭⎫5x －7π4的图象，再把y ＝sin ⎝⎛⎭⎫5x －7π4的图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫10x －7π4的图象．3．下列命题正确的是( )A ．y ＝cos x 的图象向右平移π2个单位长度得到y ＝sin x 的图象B ．y ＝sin x 的图象向右平移π2个单位长度得到y ＝cos x 的图象C ．当φ＜0时，y ＝sin x 的图象向左平移|φ|个单位长度得到y ＝sin(x ＋φ)的图象D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象可以由y ＝sin 2x 的图象向左平移π3个单位长度得到 解析：选A A 中，y ＝cos x 的图象y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π2＝sin x 的图象； B 中，y ＝sin x 的图象y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π2＝－cos x 的图象； C 中，y ＝sin x 的图象y ＝sin(x ＋|φ|)＝sin(x －φ)的图象； D 中，y ＝sin 2x 的图象y ＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3的图象. 4．为了得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图象，可以将函数y ＝cos 2x 的图象( ) A ．向右平移π6个单位长度B ．向左平移π6个单位长度C ．向右平移π3个单位长度D ．向左平移π3个单位长度解析：选C 由于y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫2x －π6＝cos ⎝⎛⎭⎫2π3－2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －2π3＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π3，为得到该函数的图象，只需将y ＝cos 2x 的图象向右平移π3个单位长度．5．将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，－π2≤φ≤π2图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度得到y ＝sin x 的图象，则fy ⎝⎛⎭⎫π6＝________. 解析：将y ＝sin x 的图象向左平移π6个单位长度可得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的图象，保持纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍可得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π6的图象，故f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π6，所以fy ⎝⎛⎭⎫π6＝sin ⎝⎛⎭⎫12×π6＋π6＝sin π4＝22. 答案：226．要得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3的图象，需将函数y ＝cos x2的图象上所有的点至少向左平移________个单位长度．解析：cos x 2＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π2，将y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π2的图象上所有的点向左平移φ(φ＞0)个单位长度得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋φ2＋π2的图象．令φ2＋π2＝2k π＋π3， ∴φ＝4k π－π3，k ∈Z.∴当k ＝1时，φ＝11π3是φ的最小正值． 答案：11π37．函数f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3－3的图象是由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换得到的？ 解：先把函数y ＝sin x 的图象向右平移π3个单位，得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3的图象；再把所得函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍(纵坐标不变)，得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象；然后把所得函数图象上所有点的纵坐标伸长到原来的5倍(横坐标不变)得函数y ＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象，最后将所得函数图象向下平移3个单位长度，得函数y ＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3－3的图象．8．已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4，x ∈R. (1)利用“五点法”画出函数f (x )在一个周期⎣⎡⎦⎤π2，9π2上的简图．(2)先把f (x )的图象上所有点向左平移π2个单位长度，得到f 1(x )的图象；然后把f 1(x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到f 2(x )的图象；再把f 2(x )的图象上所有点的纵坐标缩短到原来的13倍(横坐标不变)，得到g (x )的图象，求g (x )的解析式．解：(1)列表取值：描出五个关键点并用光滑连线连接，得到一个周期的简图.x π2 3π2 5π2 7π2 9π2 12x －π4 0 π2 π 3π2 2π f (x )3－3(2)将f (x )＝3 sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4图象上所有点向左平移π2个单位长度得到f 1(x )＝3sin ⎣⎡⎦⎤12⎝⎛⎭⎫x ＋π2－π4＝3sin 12x 的图象． 把f 1(x )＝3sin 12x 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到f 2(x )＝3sin 14x 的图象，把f 2(x )＝3sin 14x 的图象上所有点的纵坐标缩短到原来的13倍(横坐标不变)得到g (x )＝sin 14x 的图象．所以g (x )的解析式g (x )＝sin 14x .。
《函数y=A sin（ωX+φ）的图像》教学设计作者：任志宏来源：《黑河教育》2014年第02期一、教材分析本节课是在正、余弦函数图像和性质的基础上，对正弦函数图像的深化和拓展，也是接下来学习《三角函数模型的简单应用》的重要依据。
本节课内容的学习，对学生知识结构的完善、数学能力的提高、数形结合思想的体会等方面都有很重要的作用。
二、目标分析（一）知识与技能结合具体实例，了解y=Asin（ωx+？渍）的实际意义；能借助计算机画出y=Asin（ωx+？渍）的图像；理解参数A、ω、？渍对函数y=Asin（ωx+？渍））图像变化的影响。
（二）过程与方法培养学生独立思考问题的能力、探究能力和从特殊到一般的归纳概括能力。
（三）情感、态度与价值观感受知识的发生过程，体会数形结合思想、化归思想，激发学生的学习兴趣，培养学生的合作意识和创新意识。
三、重难点分析用参数思想讨论函数y=A sin（ωx+？渍）的图像变换过程；图像变换与函数解析式变换内在联系点的认识。
四、学法、教法分析针对本节课涉及函数图像多、很难精准画出的问题，引入多媒体辅助教学。
采用观察、探究、分析、概括及合作交流的学法和发现、探究、启发式等方法有机结合的教法。
五、教学过程设计（一）教学流程结合课标和教材，本节的教学流程从创设情境、探究新知、巩固拓展、学科联系、反思小结、作业布置几个方面进行阐述。
1.创设情境，揭示课题师生互动：学生阅读教材，观察交流电图像。
2.探究新知，突破难点师生互动：学生阅读教材二、三段，建立y=sinx与y=Asin（ωx+？渍）之间的联系，教师引导学生总结出先分别讨论参数对图像的影响，然后再整合。
（1）探穷？渍对函数y=sin（x+？渍），x？缀R，x∈R图像的影响师生互动：通过设置y=sin x与y=sin（x+？渍）图像关系的问题，学生独立思考，猜想结论，教师演示图像，通过变换多个？渍值对图像影响，引导学生概括的作用。
（2）探究ω（ω>0）对函数y=sin（ωx+ ？渍）图像的影响师生互动：通过设置问题，探究y=sin（x+？渍）与y=sin（ωx+ ？渍）的图像关系，教师演示图像，当？渍 =π/3，变换ω值。
课时跟踪检测 (二十) 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的振幅、频率和初相分别为( ) A ．2，1π，－π4B ．2，12π，－π4 C ．2，1π，－π8D ．2，12π，－π8答案：A2．函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π4，x ∈R 的最小正周期为( ) A ．π2B ．πC ．2πD ．4π 解析：选D 最小正周期为T ＝2π12＝4π．3．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3在区间⎣⎡⎦⎤－π2，π上的简图是( )解析：选A 令x ＝0，得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π3＝－32，排除B 、D ．由f ⎝⎛⎭⎫－π3＝0，f ⎝⎛⎭⎫π6＝0，排除C ，故选A ．4．(2016·四川高考)为了得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象，只需把函数y ＝sin 2x 的图象上所有的点( )A ．向左平行移动π3个单位长度B ．向右平行移动π3个单位长度C ．向左平行移动π6个单位长度D ．向右平行移动π6个单位长度解析：选D ∵y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π6， ∴将函数y ＝sin 2x 的图象向右平行移动π6个单位长度，可得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象． 5．函数f (x )＝tan ωx (ω>0)的图象的相邻两支截直线y ＝2所得线段长为π2，则f ⎝⎛⎭⎫π6的值是( )A ．－3B ．33C ．1D ． 3解析：选D 由题意可知该函数的周期为π2，∴πω＝π2，ω＝2，f (x )＝tan 2x ．∴f ⎝⎛⎭⎫π6＝tan π3＝3．二保高考，全练题型做到高考达标1．为了得到y ＝3sin 2x ＋1的图象，只需将y ＝3sin x 的图象上的所有点( ) A ．横坐标伸长2倍，再向上平移1个单位长度 B ．横坐标缩短12倍，再向上平移1个单位长度C ．横坐标伸长2倍，再向下平移1个单位长度D ．横坐标缩短12倍，再向下平移1个单位长度解析：选B 将y ＝3sin x 的图象上的所有点的横坐标缩短12倍，将y ＝3sin 2x 的图象，再向上平移1个单位长度即得y ＝3sin 2x ＋1的图象，故选B ．2．(2017·贵州省适应性考试)将函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象向左平移φ⎝⎛⎭⎫0＜φ≤π2个单位长度，所得的图象关于y 轴对称，则φ＝( )A ．π6B ．π4C ．π3D ．π2解析：选A 将函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象向左平移φ⎝⎛⎭⎫0＜φ≤π2个单位长度，得到的图象所对应的函数解析式为y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2(x ＋φ)＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2φ＋π6，由题知，该函数是偶函数，则2φ＋π6＝k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝k π2＋π6，k ∈Z ，又0＜φ≤π2，所以φ＝π6．3．(2015·湖南高考)将函数f (x )＝sin 2x 的图象向右平移φ⎝⎛⎭⎫0<φ<π2个单位后得到函数g (x )的图象．若对满足|f (x 1)－g (x 2)|＝2的x 1，x 2，有|x 1－x 2|min ＝π3，则φ＝( )A ．5π12B ．π3C ．π4D ．π6解析：选D 由已知得g (x )＝sin (2x －2φ)，满足|f (x 1)－g (x 2)|＝2，不妨设此时y ＝f (x )和y ＝g (x )分别取得最大值与最小值，又|x 1－x 2|min ＝π3，令2x 1＝π2，2x 2－2φ＝－π2，此时|x 1－x 2|＝⎪⎪⎪⎪π2－φ＝π3，又0<φ<π2，故φ＝π6，选D ． 4．函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(x ∈R)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，如果x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)＝( )A ．12B ．32C ．22D ．1解析：选B 由图可知，T 2＝π3－⎝⎛⎭⎫－π6＝π2， 则T ＝π，ω＝2，又∵－π6＋π32＝π12，∴f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫π12，1， 即sin ⎝⎛⎭⎫2×π12＋φ＝1，得φ＝π3， ∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3． 而x 1＋x 2＝－π6＋π3＝π6，∴f (x 1＋x 2)＝f ⎝⎛⎭⎫π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋π3＝sin 2π3＝32．5．如图是函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，x ∈R)在区间⎣⎡⎦⎤－π6，5π6上的图象，为了得到y ＝sin x (x ∈R)的图象，只要将函数f (x )的图象上所有的点( )A ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变B ．向右平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变D ．向右平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变解析：选D 由题图可知A ＝1，T ＝5π6－⎝⎛⎭⎫－π6＝π，∴ω＝2πT ＝2． ∵题图过点⎝⎛⎭⎫π3，0，且⎝⎛⎭⎫π3，0在函数的单调递减区间上， ∴sin ⎝⎛⎭⎫2π3＋φ＝0，∴23π＋φ＝π＋2k π，k ∈Z ， ∴φ＝π3＋2k π，k ∈Z ，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋2k π＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3． 故将函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6的图象向右平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，可得y ＝sin x 的图象，故选D ．6．若函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π3(ω＞0)的最小正周期为π2，则f ⎝⎛⎭⎫π3＝________． 解析：由f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π3(ω＞0)的最小正周期为π2，得ω＝4．所以f ⎝⎛⎭⎫π3＝3sin ⎝⎛⎭⎫4×π3－π3＝0． 答案：07．已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6(ω＞0)和g (x )＝3cos(2x ＋φ)的图象完全相同，若x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，则f (x )的值域是________．解析：f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6＝3cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫ωx －π6＝3cos ⎝⎛⎭⎫ωx －2π3，易知ω＝2，则f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6， ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴－π6≤2x －π6≤5π6， ∴－32≤f (x )≤3．答案：⎣⎡⎦⎤－32，3 8．已知角φ的终边经过点P (－4,3)，函数f (x )＝sin (ωx ＋φ)(ω＞0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于π2，则f ⎝⎛⎭⎫π4的值为________． 解析：由角φ的终边经过点P (－4,3)，可得cos φ＝－45，sin φ＝35．根据函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于π2，可得周期为2πω＝2×π2，解得ω＝2，∴f (x )＝sin(2x ＋φ)，∴f ⎝⎛⎭⎫π4＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋φ＝cos φ＝－45． 答案：－459．(2017·郴州模拟)已知函数f (x )＝sin ωx ＋π3(ω>0)的最小正周期为π．(1)求ω的值，并在下面提供的坐标系中画出函数y ＝f (x )在区间[0，π]上的图象； (2)函数y ＝f (x )的图象可由函数y ＝sin x 的图象经过怎样的变换得到？解：(1)f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3， 因为T ＝π，所以2πω＝π，即ω＝2， 故f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3． 列表如下：y ＝f (x )在[0，π]上的图象如图所示．(2)将y ＝sin x 的图象上的所有点向左平移π3个单位长度，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象． 再将y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3(x ∈R)的图象． 10．函数f (x )＝cos(πx ＋φ)0<φ<π2的部分图象如图所示．(1)求φ及图中x 0的值；(2)设g (x )＝f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x ＋13，求函数g (x )在区间⎣⎡⎦⎤－12，13上的最大值和最小值．解：(1)由题图得f (0)＝32，所以cos φ＝32， 因为0<φ<π2，故φ＝π6．由于f (x )的最小正周期等于2， 所以由题图可知1<x 0<2， 故7π6<πx 0＋π6<13π6， 由f (x 0)＝32得cos ⎝⎛⎭⎫πx 0＋π6＝32， 所以πx 0＋π6＝11π6，x 0＝53．(2)因为f ⎝⎛⎭⎫x ＋13＝cos ⎣⎡⎦⎤π⎝⎛⎭⎫x ＋13＋π6＝cos ⎝⎛⎭⎫πx ＋π2 ＝－sin πx ，所以g (x )＝f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x ＋13＝cos ⎝⎛⎭⎫πx ＋π6－sin πx＝cos πx cos π6－sin πx sin π6 －sin πx＝32cos πx －32sin πx ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π6－πx ．当x ∈⎣⎡⎦⎤－12，13时，－π6≤π6－πx ≤2π3． 所以－12≤sin ⎝⎛⎭⎫π6－πx ≤1， 故π6－πx ＝π2，即x ＝－13时，g (x )取得最大值3； 当π6－πx ＝－π6，即x ＝13时，g (x )取得最小值－32．三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2016·北京高考)将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3图象上的点P ⎝⎛⎭⎫π4，t 向左平移s (s >0)个单位长度得到点P ′．若P ′位于函数y ＝sin 2x 的图象上，则( )A ．t ＝12，s 的最小值为π6B ．t ＝32，s 的最小值为π6C ．t ＝12，s 的最小值为π3D ．t ＝32，s 的最小值为π3解析：选A 因为点P ⎝⎛⎭⎫π4，t 在函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象上， 所以t ＝sin ⎝⎛⎭⎫2×π4－π3＝sin π6＝12． 所以P ⎝⎛⎭⎫π4，12．将点P 向左平移s (s >0)个单位长度得P ′⎝⎛⎭⎫π4－s ，12． 因为P ′在函数y ＝sin 2x 的图象上，所以sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π4－s ＝12，即cos 2s ＝12， 所以2s ＝2k π＋π3或2s ＝2k π＋5π3(k ∈Z)，即s ＝k π＋π6或s ＝k π＋5π6(k ∈Z)，所以s 的最小值为π6．2．为迎接夏季旅游旺季的到来，少林寺单独设置了一个专门安排游客住宿的客栈，寺庙的工作人员发现为游客准备的一些食物有些月份剩余不少，浪费很严重，为了控制经营成本，减少浪费，就想适时调整投入．为此他们统计每个月入住的游客人数，发现每年各个月份来客栈入住的游客人数会发生周期性的变化，并且有以下规律：①每年相同的月份，入住客栈的游客人数基本相同；②入住客栈的游客人数在2月份最少，在8月份最多，相差约400人； ③2月份入住客栈的游客约为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多． (1)试用一个正弦型三角函数描述一年中入住客栈的游客人数与月份之间的关系； (2)请问哪几个月份要准备400份以上的食物？解：(1)设该函数为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0，0<|φ|<π)，根据条件①，可知这个函数的周期是12；由②可知，f (2)最小，f (8)最大，且f (8)－f (2)＝400，故该函数的振幅为200； 由③可知，f (x )在[2,8]上单调递增，且f (2)＝100， 所以f (8)＝500．根据上述分析可得，2πω＝12，故ω＝π6，且⎩⎪⎨⎪⎧ －A ＋B ＝100，A ＋B ＝500，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝200，B ＝300.根据分析可知，当x ＝2时f (x )最小， 当x ＝8时f (x )最大，故sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋φ＝－1，且sin ⎝⎛⎭⎫8×π6＋φ＝1． 又因为0<|φ|<π，故φ＝－5π6．所以入住客栈的游客人数与月份之间的关系式为 f (x )＝200sin ⎝⎛⎭⎫π6x －5π6＋300．(2)由条件可知，200sin ⎝⎛⎭⎫π6x －5π6＋300≥400， 化简得sin ⎝⎛⎭⎫π6x －5π6≥12，即2k π＋π6≤π6x －5π6≤2k π＋5π6，k ∈Z ，解得12k ＋6≤x ≤12k ＋10，k ∈Z ．因为x ∈N *，且1≤x ≤12，故x ＝6,7,8,9,10．即只有6,7,8,9,10五个月份要准备400份以上的食物．。
课时规范练20 函数y=A sin(ωx+φ)的图象及应用一、基础巩固组1.将函数y=sin x的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再把所得各点向右平行移动个单位长度,所得图象的函数解析式是()A.y=sinB.y=sinC.y=sinD.y=sin2.已知函数f(x)=cos(ω>0)的最小正周期为π,则该函数的图象()A.关于点对称B.关于直线x=对称C.关于点对称D.关于直线x=对称3.若将函数f(x)=sin 2x+cos 2x的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度,所得的图象关于y轴对称,则φ的最小值是()A. B. C. D.4.如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin+k.据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为()A.5B.6C.8D.105.(2017天津,理7)设函数f(x)=2sin(ωx+φ),x∈R,其中ω>0,|φ|<π,若f=2,f=0,且f(x)的最小正周期大于2π,则()A.ω=,φ=B.ω=,φ=-C.ω=,φ=-D.ω=,φ=6.若函数f(x)=2sin 2x的图象向右平移φ个单位长度后得到函数g(x)的图象,若对满足|f(x1)-g(x2)|=4的x1,x2,有|x1-x2|的最小值为,则φ=()A. B. C. D.7.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则y=f取得最小值时x的集合为()A.B.C.D.〚导学号21500720〛8.函数y=sin x-cos x的图象可由函数y=sin x+cos x的图象至少向右平移个单位长度得到.9.已知函数y=g(x)的图象由f(x)=sin 2x的图象向右平移φ(0<φ<π)个单位长度得到,这两个函数的部分图象如图所示,则φ=.10.已知函数f(x)=cos-2sin x cos x.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求证:当x∈时,f(x)≥-.〚导学号21500721〛二、综合提升组11.若关于x的方程2sin=m在上有两个不等实根,则m的取值范围是()A.(1,)B.[0,2]C.[1,2)D.[1,]12.(2016山东烟台二模,理12)已知函数f(x)=cos(2x+φ)的图象关于点对称,若将函数f(x)的图象向右平移m(m>0)个单位长度后得到一个偶函数的图象,则实数m的最小值为.13.已知函数y=3sin.(1)用五点法作出函数的图象;(2)说明此图象是由y=sin x的图象经过怎么样的变化得到的.三、创新应用组14.(2017全国Ⅰ,理9)已知曲线C1:y=cos x,C2:y=sin,则下面结论正确的是()A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2〚导学号21500722〛15.如图所示,某地夏天8—14时用电量变化曲线近似满足函数式y=A sin(ωx+φ)+b,ω>0,φ∈(0,π).(1)求这期间的最大用电量及最小用电量;(2)写出这段曲线的函数解析式.课时规范练20函数y=A sin(ωx+φ)的图象及应用1.B由题意,y=sin x的图象进行伸缩变换后得到y=sin x的图象,再进行平移后所得图象的函数为y=sin=sin故选B.2.D由题意知ω=2,函数f(x)的对称轴满足2x+=kπ(k∈Z),解得x=(k∈Z),当k=1时,x=,故选D.3.C函数f(x)=sin 2x+cos 2x=sin的图象向左平移φ个单位长度,所得函数y=sin的图象关于y轴对称,则有2φ+=kπ+,k∈Z.解得φ=kπ+,k∈Z.由φ>0,则当k=0时,φ的最小值为故选C.4.C因为sin[-1,1],所以函数y=3sin+k的最小值为k-3,最大值为k+3.由题图可知函数最小值为k-3=2,解得k=5.所以y的最大值为k+3=5+3=8,故选C.5.A由题意可知,>2π,,所以<1.所以排除C,D.当ω=时,f=2sin=2sin=2,所以sin=1.所以+φ=+2kπ,即φ=+2kπ(k∈Z).因为|φ|<π,所以φ=故选A.6.C由函数f(x)=2sin 2x的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)=2sin[2(x-φ)]的图象,可知对满足|f(x1)-g(x2)|=4的x1,x2,有|x1-x2|的最小值为-φ.故-φ=,即φ=7.B根据所给图象,周期T=4=π,故π=,即ω=2,因此f(x)=sin(2x+φ).又图象经过,代入有2+φ=kπ(k∈Z),再由|φ|<,得φ=-,故f=sin,当2x+=-+2kπ(k∈Z),即x=-+kπ(k∈Z)时,y=f取得最小值.8因为y=sin x+cos x=2sin,y=sin x-cos x=2sin=2sin,所以函数y=sin x-cos x的图象可由函数y=sin x+cos x的图象至少向右平移个单位长度得到.9函数f(x)=sin 2x的图象在y轴右侧的第一个对称轴为2x=,则x=x=关于x=对称的直线为x=,由图象可知,通过向右平移之后,横坐标为x=的点平移到x=,则φ=10.(1)解f(x)=cos 2x+sin 2x-sin 2x=sin 2x+cos 2x=sin所以f(x)的最小正周期T==π.(2)证明因为-x,所以-2x+所以sin≥sin=-所以当x时,f(x)≥-11.C方程2sin=m可化为sin,当x时,2x+,画出函数y=f(x)=sin在x上的图象如图所示.由题意,得<1,即1≤m<2,∴m的取值范围是[1,2),故选C.12∵函数的图象关于点对称,∴2+φ=kπ+,k∈Z,解得φ=kπ-,k∈Z,∴f(x)=cos,k∈Z.∵f(x)的图象平移后得函数y=cos(k∈Z)为偶函数,∴-2m+kπ-=k1π(k∈Z,k1∈Z),m=∵m>0,∴m的最小正值为,此时k-k1=1(k∈Z,k1∈Z).13.解 (1)列表:x-3sin描点、连线,如图所示.(2)(方法一)“先平移,后伸缩”.先把y=sin x的图象上所有点向右平移个单位长度,得到y=sin的图象,再把y=sin的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到y=sin的图象,最后将y=sin的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变),就得到y=3sin的图象.(方法二)“先伸缩,后平移”先把y=sin x的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到y=sin x的图象,再把y=sin x图象上所有的点向右平移个单位长度,得到y=sin=sin的图象,最后将y=sin的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变),就得到y=3sin的图象.14.D曲线C1的方程可化为y=cos x=sin,把曲线C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,得曲线y=sin=sin 2,为得到曲线C2:y=sin 2,需再把得到的曲线向左平移个单位长度.15.解 (1)由图象,知这期间的最大用电量为50万千瓦时,最小用电量为30万千瓦时.(2)A=(50-30)=10,b=(50+30)=40,T==2×(14-8)=12,所以ω=,所以y=10sin+40.把x=8,y=30代入上式,得φ=所以所求解析式为y=10sin+40,x∈[8,14].。
开卷速查(二十) 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像及三角函数模型的简单应用A 级 基础巩固练1．把函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6图像上各点的横坐标缩短到原来的12(纵从标不变)，再将图像向右平移π3个单位，那么所得图像的一条对称轴方程为( )A ．x ＝－π2B ．x ＝－π4C ．x ＝π8D.x ＝π4解析：将y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6图像上各点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到函数y＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6；再将图像向右平移π3个单位，得到函数y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π3＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2，x ＝－π2是其图像的一条对称轴方程．答案：A2．如果函数f (x )＝sin(πx ＋θ)(0＜θ＜2π)的最小正周期为 T ，且当x ＝2时，f (x )取得最大值，那么( )A ．T ＝2，θ＝π2 B.T ＝1，θ＝πC ．T ＝2，θ＝π D.T ＝1，θ＝π2解析：T ＝2ππ＝2，当x ＝2时，由π×2＋θ＝π2＋2k π(k ∈Z )，得θ＝－3π2＋2k π(k∈Z )，又0＜θ＜2π，∴θ＝π2.答案：A3．如图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)在一个周期内的图像，此函数的解析式可为( )A ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3 C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3 D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3 解析：由题图可知A ＝2，T 2＝5π12－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＝π2，∴T ＝π，ω＝2，∴f (x )＝2sin(2x ＋φ)，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋φ＝2， 即－π6＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，∴φ＝2π3＋2k π(k ∈Z )，综合选项知选B.答案：B4．设函数f (x )＝cos ωx (ω＞0)，将y ＝f (x )的图像向右平移π3个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于( )A.13B.3 C ．6D.9解析：将f (x )的图像向右平移π3个单位长度得g (x )＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝⎛⎭⎪⎫x －π3＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π3ω，则－π3ω＝2k π(k ∈Z )，即ω＝－6k (k ∈Z )．∵ω＞0，∴k ＜0. ∴当k ＝－1时，ω有最小值6. 答案：C5．[2015·辽宁抚顺六校联考]设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，－π2＜φ＜π2的图像关于直线x ＝2π3对称，且周期为π，则f (x )( )A ．图像过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B ．最大值为－AC ．图像关于(π，0)对称D ．在⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12，2π3上是减函数解析：函数的周期为π，所以2πω＝π，解得ω＝2.所以f (x )＝A sin(2x ＋φ)，则当x ＝2π3时，2x ＋φ＝4π3＋φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6，11π6，因为x ＝2π3是函数的对称轴，所以4π3＋φ＝3π2，解得φ＝π6，所以f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.图像过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，A 2，关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0对称，最大值是A .由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12，2π3，得2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2，函数f (x )＝sin x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上是减函数，所以函数f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12，2π3上是减函数．答案：D6．如图是函数y ＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，0＜φ＜π2在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6上的图像，将该图像向右平移m (m ＞0)个单位后，所得图像关于直线x ＝π4对称，则m 的最小值为( )A.π12B.π6C.π4D.π3解析：令f (x )＝y ＝sin(ωx ＋φ)，由三角函数图像知，T ＝56π＋π6＝π，所以2πω＝π，所以ω＝2.因为函数f (x )过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0，且0＜φ＜π2，所以－π6×2＋φ＝0，所以φ＝π3，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，将该函数图像向右平移m 个单位后，所得图像的解析式是g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－2m ，因为函数g (x )的图像关于直线x ＝π4对称，所以2×π4＋π3－2m ＝π2＋k π(k∈Z )，解得m ＝π6－k π2(k ∈Z )，又m ＞0，所以m 的最小值为π6.答案：B7．函数f (x )＝tan ωx (ω＞0)的图像的相邻两支截直线y ＝π4所得线段长为π4，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝__________.解析：依题意πω＝π4，∴ω＝4.∴f (x )＝tan4x .∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝tanπ＝0. 答案：08．已知函数y ＝g (x )的图像由f (x )＝sin2x 的图像向右平移φ(0＜φ＜π)个单位得到，这两个函数的部分图像如图所示，则φ＝__________.解析：函数f (x )＝sin2x 的图像在y 轴右侧的第一个对称轴为2x ＝π2，所以x ＝π4，π8关于x ＝π4对称的直线为x ＝3π8，由图像可知，通过向右平移之后，横坐标为x ＝3π8的点平移到x ＝17π24，所以φ＝17π24－3π8＝π3.答案：π39．已知函数f (x )＝M cos(ωx ＋φ)(M ＞0，ω＞0,0＜φ＜π)为奇函数，该函数的部分图像如图所示，AC ＝BC ＝22，C ＝90°，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12的值为__________． 解析：依题意知，△ABC 是直角边长为22的等腰直角三角形，因此其边AB 上的高是12，函数f (x )的最小正周期是2，故M ＝12，2πω＝2，ω＝π，f (x )＝12cos(πx ＋φ)．又函数f (x )是奇函数，于是有φ＝k π＋π2，其中k ∈Z .由0＜φ＜π，得φ＝π2，故f (x )＝－12sinπx ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－12sin π2＝－12.答案：－1210．[2014·湖北]某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0,24)．(1)求实验室这一天的最大温差；(2)若要求实验室温度不高于11 ℃，则在哪段时间实验室需要降温？ 解析：(1)因为f (t )＝10－2⎝⎛⎭⎪⎫32cos π12t ＋12sin π12t ＝10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3，又0≤t ＜24，所以π3≤π12t ＋π3＜7π3，－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3≤1.当t ＝2时，sin ⎝⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＝1；当t ＝14时，sin ⎝⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＝－1. 于是f (t )在[0,24)上取得最大值12，取得最小值8.故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃. (2)依题意，当f (t )＞11时实验室需要降温． 由(1)得f (t )＝10－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3，故有10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＞11，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＜－12. 又0≤t ＜24，因此7π6＜π12t ＋π3＜11π6，即10＜t ＜18.在10时至18时实验室需要降温．B 级 能力提升练11．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A ＞0，ω＞0)的部分图像如图所示，下列结论：①最小正周期为π；②将f (x )的图像向左平移π6个单位，所得到的函数是偶函数；③f (0)＝1； ④f ⎝⎛⎭⎪⎫12π11＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14π13；⑤f (x )＝－f ⎝⎛⎭⎪⎫5π3－x .其中正确的是( )A ．①②③ B.②③④ C ．①④⑤ D.②③⑤解析：由题图可知，A ＝2，T 4＝712π－π3＝π4⇒T ＝π⇒ω＝2,2×712π＋φ＝2k π＋3π2，φ＝2k π＋π3(k ∈Z )．所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3⇒f (0)＝3，f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3，所以②，③不正确；f (x )的对称轴为直线x ＝k π2＋π12(k ∈Z )，一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6，0，所以f (x )的图像关于直线x ＝13π12对称，且f (x )的最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13π12，12π11－13π12＝π11×12＞13π12－14π13＝π13×12，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12π11＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14π13，即④正确；设(x ，f (x ))为函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图像上任意一点，其关于对称中心⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6，0的对称点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3－x ，－f x 也在函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图像上，即f ⎝⎛⎭⎪⎫5π3－x ＝－f (x )⇒f (x )＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3－x ，故⑤正确．综上所述，①④⑤正确．选C.12．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的图像在y 轴上的截距为1，在相邻两最值点(x 0,2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋32，－2(x 0＞0)上f (x )分别取得最大值和最小值．若函数g (x )＝af (x )＋b 的最大值和最小值分别为6和2，则|a |＋b 的值为( )A ．5 B.6 C ．7 D.8解析：由题意知A ＝2，T 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋32－x 0＝32，∴T ＝3，即2π|ω|＝3，又ω＞0，∴ω＝2π3.∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3x ＋φ，又函数f (x )过点(0,1)，代入得2sin φ＝1，而|φ|＜π2，∴φ＝π6.∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3x ＋π6，g (x )＝af (x )＋b ＝2a sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3x ＋π6＋b . 由⎩⎪⎨⎪⎧2|a |＋b ＝6，－2|a |＋b ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧|a |＝1，b ＝4，∴|a |＋b ＝5.答案：A13．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π4＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π4.(1)求函数f (x )的最大值；(2)若直线x ＝m 是函数f (x )的对称轴，求实数m 的值． 解析：(1)∵f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π4＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π4 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π4＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－4x＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π4＋sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－4x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π4. ∴f (x )的最大值为2.(2)令4x ＋π4＝k π＋π2(k ∈Z )，则x ＝k π4＋π16(k ∈Z )．∵x ＝m 是函数f (x )的对称轴， ∴m ＝k π4＋π16(k ∈Z )．14．[2014·山东]已知向量a ＝(m ，cos2x )，b ＝(sin2x ，n )，函数f (x )＝a ·b ，且y＝f (x )的图像过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，3和点⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2.(1)求m ，n 的值；(2)将y ＝f (x )的图像向左平移φ(0<φ<π)个单位后得到函数y ＝g (x )的图像，若y ＝g (x )图像上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1，求y ＝g (x )的单调递增区间．解析：(1)由题意知f (x )＝a ·b ＝m sin2x ＋n cos2x . 因为y ＝f (x )的图像过点⎝⎛⎭⎪⎫π12，3和⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2，所以⎩⎪⎨⎪⎧3＝m sin π6＋n cos π6，－2＝m sin 4π3＋n cos 4π3，即⎩⎪⎨⎪⎧3＝12m ＋32n ，－2＝－32m －12n ，解得m ＝3，n ＝1.(2)由(1)知f (x )＝3sin2x ＋cos2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.由题意知g (x )＝f (x ＋φ)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2φ＋π6. 设y ＝g (x )的图像上符合题意的最高点为(x 0,2)， 由题意知x 20＋1＝1，所以x 0＝0，即到点(0,3)的距离为1的最高点为(0,2)． 将其代入y ＝g (x )得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2φ＋π6＝1，因为0<φ<π，所以φ＝π6.因此g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝2cos2x . 由2k π－π≤2x ≤2k π，k ∈Z 得k π－π2≤x ≤k π，k ∈Z .所以函数y ＝g (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π2，k π，k ∈Z .。
[课 时 跟 踪 检 测][基 础 达 标]1．函数f (x )＝tan ωx (ω>0)的图象的相邻两支截直线y ＝2所得线段长为π2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6的值是( ) A ．－ 3 B.33C ．1 D. 3 解析：由题意可知该函数的周期为π2， 所以πω＝π2，ω＝2，f (x )＝tan2x ， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝tan π3＝ 3.答案：D2．(2017届洛阳统考)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则f (x )的解析式是( )A ．f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π3B ．f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3C ．f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3D ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6解析：由图象可知A ＝1，T 4＝5π12－π6＝π4，所以T ＝π，所以ω＝2πT ＝2，故排除A 、C ，把x ＝π6代入检验知，选项D 符合题意．答案：D3．(2017届太原模拟)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期是π，若将f (x )的图象向右平移π3个单位后得到的图象关于原点对称，则函数f (x )的图象( )A ．关于直线x ＝π12对称B ．关于直线x ＝5π12对称C ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0对称D ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0对称 解析：因为f (x )的最小正周期为π，所以2πω＝π，ω＝2，所以f (x )的图象向右平移π3个单位后得到g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3＋φ的图象，由g (x )的图象关于原点对称知，φ－23π＝k π，即φ＝23π＋k π，k ∈Z ，因为|φ|<π2，所以φ＝－π3，即f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，由2x －π3＝π2＋k π，得x ＝5π12＋k π2，k ∈Z ，故选B. 答案：B4．(2018届贵州省适应性考试)将函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向左平移φ⎝⎛⎭⎪⎫0<φ≤π2个单位长度，所得的图象关于y 轴对称，则φ＝( )A.π6B.π4C.π3D.π2解析：将函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向左平移φ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<φ≤π2个单位长度，得到的图象所对应的函数解析式为y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 x ＋φ ＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2φ＋π6，由题知，该函数是偶函数，则2φ＋π6＝k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝k π2＋π6，k ∈Z ，又0<φ≤π2，所以φ＝π6. 答案：A5．函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(x ∈R )⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，如果x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)＝( )A.12 B.32C.22D ．1解析：由图可知，T 2＝π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π2，则T ＝π，ω＝2，又∵－π6＋π32＝π12，∴f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，1， 即sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π12＋φ＝1，得φ＝π3，∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. 而x 1＋x 2＝－π6＋π3＝π6，∴f (x 1＋x 2)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋π3＝sin 2π3＝32.答案：B6．为了得到函数y ＝sin(2x ＋1)的图象，只需把函数y ＝sin2x 的图象上所有的点( )A ．向左平移12个单位长度B ．向右平移12个单位长度C ．向左平移1个单位长度D ．向右平移1个单位长度解析：y ＝sin(2x ＋1)＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12，所以需要把y ＝sin2x 图象上所有点向左平移12个单位长度即可得到y ＝sin(2x ＋1)的图象，故选A.答案：A7．(2018届杭州学军中学)已知函数y ＝sin(ωx ＋φ)ω>0,0<φ≤π2，且此函数的图象如图所示，则点P (ω，φ)的坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4C.⎝⎛⎭⎪⎫4，π2D.⎝⎛⎭⎪⎫4，π4解析：∵T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫7π8－3π8＝π，∴ω＝2.∵2×3π8＋φ＝π，∴φ＝π4，∴选B.答案：B8．若函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3(ω>0)的最小正周期为π2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝________.解析：由f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π3(ω>0)的最小正周期为π2，得ω＝4.所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫4×π3－π3＝0.答案：09．已知函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0)和g (x )＝3cos(2x ＋φ)的图象完全相同，若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则f (x )的值域是________．解析：f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＝3cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －2π3，易知ω＝2，则f (x )＝3sin⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6， ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴－π6≤2x －π6≤5π6，∴－32≤f (x )≤3.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，310．已知角φ的终边经过点P (－4,3)，函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于π2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4的值为________． 解析：由角φ的终边经过点P (－4,3)，可得cos φ＝－45，根据函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于π2，可得周期为2πω＝2×π2，解得ω＝2，∴f (x )＝sin(2x ＋φ)，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ＝cos φ＝－45.答案：－4511．(2017届福州模拟)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R (其中A >0，ω>0,0<φ<π2)的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为π2，且图象上一个最低点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2. (1)求f (x )的解析式；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π2时，求f (x )的值域．解：(1)由最低点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2，得A ＝2.由x 轴上相邻两个交点之间的距离为π2，得T 2＝π2，即T ＝π，所以ω＝2πT＝2ππ＝2. 由点M ⎝⎛⎭⎪⎫2π3，－2在图象上，得2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×2π3＋φ＝－2， 即sin ⎝⎛⎭⎪⎫4π3＋φ＝－1，故4π3＋φ＝2k π－π2(k ∈Z )． 所以φ＝2k π－11π6(k ∈Z )． 又φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以φ＝π6.故f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.(2)因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π2，所以2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，7π6. 当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取得最大值2；当2x ＋π6＝7π6，即x ＝π2时，f (x )取得最小值－1.故f (x )的值域为[－1,2]．12．函数f (x )＝cos(πx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫0<φ<π2的部分图象如图所示：(1)求φ及图中x 0的值；(2)设g (x )＝f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13，求函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，13上的最大值和最小值．解：(1)由题图得f (0)＝32，所以cos φ＝32， 因为0<φ<π2，故φ＝π6.由于f (x )的最小正周期等于2， 所以由题图可知1<x 0<2，故7π6<πx 0＋π6<13π6， 由f (x 0)＝32得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 0＋π6＝32，所以πx 0＋π6＝116π，x 0＝53.(2)因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13＋π6＝cos πx ＋π2＝－sin πx ， 所以g (x )＝f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π6－sin πx ＝cos πx cos π6－sin πx sin π6－sin πx ＝32cos πx －32sin πx ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－πx .当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，13时，－π6≤π6－πx ≤2π3.所以－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－πx ≤1，故π6－πx ＝π2，即x ＝－13时，g (x )取得最大值3； 当π6－πx ＝－π6，即x ＝13时，g (x )取得最小值－32. [能 力 提 升]1．(2018届湖北百所重点学校联考)若函数f (x )＝2sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|<π2的图象关于直线x ＝π12对称，且当x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎪⎫－17π12，－2π3，x 1≠x 2时，f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)等于( )A. 2B.22C.62D.24解析：由题设可得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝±2，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋φ＝±1，故π6＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，又|φ|<π2，所以φ＝π3，因此f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.由题设可知，函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的对称轴为x ＝k π＋π12，k ∈Z ，当k ＝－1时，x ＝－11π12∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π12，－2π3，所以x 1＋x 2＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－11π12＝－11π6，所以f (x 1＋x 2)＝f ⎝⎛⎭⎪⎫－11π6＝62，故选C. 答案：C2．已知函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π3，其中x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，m ，若f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－32，则m 的取值范围是________．解析：画出函数图象，由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，m ，可知5π6≤3x ＋π3≤3m ＋π3，因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝cos 5π6＝－32且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π9＝cos π＝－1，要使f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－32，只要2π9≤m ≤5π18，即m 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π9，5π18. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π9，5π18 3．设函数f (x )＝sin 2ωx ＋23sin ωx ·cos ωx －cos 2ωx ＋λ(x ∈R )的图象关于直线x ＝π对称．其中ω，λ为常数，且ω∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若y ＝f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0，求函数f (x )的值域．解：(1)因为f (x )＝sin 2ωx －cos 2ωx ＋23sin ωx ·cos ωx ＋λ＝－cos2ωx ＋3sin2ωx ＋λ＝2sin2ωx －π6＋λ，由直线x ＝π是y ＝f (x )图象的一条对称轴， 可得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωπ－π6＝±1，所以2ωπ－π6＝k π＋π2(k ∈Z )，即ω＝k 2＋13(k ∈Z )， 又ω∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，所以k ＝1，故ω＝56.∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫53x －π6＋λ.所以f (x )的最小正周期是6π5. (2)由y ＝f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝0，即λ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫56×π2－π6＝－2sin π4＝－2，即λ＝－ 2.故f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫53x －π6－2，函数f (x )的值域为[－2－2，2－ 2 ]．。
第三章 第四节 函数 y=Asin( ωx+φ) 的图象一、选择题1．将函数 y ＝ sin x 的图象上全部的点向右平行挪动π10个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到本来的 2 倍 ( 纵坐标不变 ) ，所得图象的函数分析式是 ()ππA ．y ＝ sin(2 x － 10)B ．y ＝ sin(2 x － 5 )1 π1 π C ．y ＝ sin( 2x － 10)D ．y ＝ sin( 2x － 20)π2．已知 f ( x ) ＝ sin( ωx ＋ 3 )( ω>0) 的图象与 y ＝－ 1 的图象的相邻两交点间的距离为π，要获得 y ＝ f ( x ) 的图象，只要把y ＝ cos 2 x 的图象 ()π5πA ．向右平移 12个单位B ．向右平移 12 个单位C ．向左平移 π个单位D ．向左平移 5π个单位1212π3．设函数 f ( x ) ＝ cos ω x ( ω >0) ，将 y ＝ f ( x ) 的图像向右平移3 个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω 的最小值等于 ()1A. 3B ．3C ．6D ．94. 已知函数f ( x ) ＝ A sin( ω x ＋ φ )( ω >0,0< φ <π ) 的一段图 像如下图，则过点P ( ω ，φ ) ，且斜率为 A 的直线方程是 ()πA ．y － 3 ＝ 3( x － 2)B ．y －2π＝ 3( x －4)32πC ．y － 3 ＝2( x － 4)D ．y － 2π＝2( x － 2)35．已知函数 f ( x ) ＝ 2sin( ω x ＋φ ) ， x ∈R ，此中 ω ＞ 0，－ π ＜ φ ≤π . 若 f ( x ) 的最小正π周期为 6π ，且当 x ＝ 2 时， f ( x ) 获得最大值，则 ()A ．f ( x ) 在区间 [ － 2π， 0] 上是增函数B．f ( x) 在区间 [ － 3π，－π ] 上是增函数C．f ( x) 在区间 [3 π，5π ] 上是减函数D．f ( x) 在区间 [4 π，6π ] 上是减函数π6. 已知函数 f ( x)＝ A sin(ωx＋φ)＋h(ω>0,0<φ<2)的图象如图所示，则 f ( x)＝()xπA．4sin(＋) ＋ 2xπB．－ 4sin( 2－4 ) ＋ 2C．2sin(x＋π) ＋ 424D．－ 2sin(x＋π) ＋ 424二、填空题7.函数 f ( x)＝ A sin(ωx＋φ)( A，ω，φ 为常数， A>0，ω>0)的部分图象如下图，则 f (0)的值是________．π8．若f ( x) ＝2sin ωx(0< ω <1) 在区间 [0 ，3 ] 上的最大值为2，则ω＝________.9．已知函数y ＝sin( ω＋φ )( ω>0，－π ≤ φ＜π ) 的图象如下图，则φ＝________.x三、解答题π10．已知函数 f ( x)＝A sin(3 x＋φ)( A>0， x∈(－∞，＋∞)，(0<φ<π)在 x＝12时获得最大值 4.(1)求 f ( x)的分析式．2π12(2) 若f ( 3α＋12) ＝5，求 sin a.π11. 函数f ( x) ＝A sin( ωx＋φ )( A>0，ω >0， | φ |< 2 ) 的部分图像如下图．(1)求 f ( x)的分析式；π(2) 设g( x) ＝f ( x) － cos2x，求函数g( x)在区间[0，2]上的最大值和最小值．233π1 12．已知函数f ( x) ＝2a cos x＋b sin x cos x－2，且 f (0)＝2，f (4)＝2.(1)求 f ( x)的最小正周期；(2)求 f ( x)的单一递减区间；(3)函数 f ( x)的图象经过如何的平移才能使所得图象对应的函数成为奇函数？详解答案：ππ1．分析：将y＝sin x 的图象向右平移10个单位获得y＝sin(x－10)的图象，再将图象上1π各点的横坐标伸长到本来的2 倍获得y＝ sin( 2x－10) 的图像．答案： C2．分析：由已知条件知y＝ f ( x)的最小正周期为π，故ω＝ 2，ππππ∴f ( x)＝sin(2x＋3)＝cos[2－(2 x＋3)]＝cos(2 x－6)，∴把 y＝cos 2x 的图象向右平移π个单位可获得y＝ f ( x)的图像．12答案： A3．分析：将y＝f ( x) 的图像向右平移ππ2π3个单位长度后获得的图像与原图像重合，则3＝ωk， k∈Z，得ω＝6k， k∈Z，又ω >0，则ω的最小值等于 6.答案： CT 5π π π，得 T ＝ π2πππ4．分析：由 2＝ 24 －( －24) ＝ 4 2，则 ω ＝ T＝ 4，由 4×( －24)＋φ ＝ 2 ＋2π2π2k π ，k ∈ Z ，得 φ ＝ 3 ＋ 2k π ，k ∈ Z ，又 0<φ <π，因此 φ ＝ 3 ，把 (0 ， 3) 代入 y ＝ A sin(4 x＋ 2π 2π ) 中，得 A ＝2，故所求直线方程为 y － ＝ 2( x －4) ．3 3答案： C2π1 1 π π ＋ π∈ Z 且－ π <φ ≤ π，5．分析：∵＝ 6π，∴ ω ＝ . 又∵ ×＋ φ ＝ 2，ω 33 22π1ππ 1 π∴当 k ＝ 0 时， φ ＝ 3 ， f ( x ) ＝2sin( 3x ＋ 3)，要使 f ( x ) 递加，须有 2k π － 2 ≤ 3x ＋ 3≤2k π＋ π ， k ∈ Z ，解之得 5ππ ， k ∈ Z ，当 k ＝ 0 时，－ 5 π ≤x ≤ π ，2 6k π － 2 ≤ x ≤6k π ＋ 2 2 2∴ f ( x ) 在 [ －52π ， π2 ] 上递加．答案： A6．分析：由题中的图象可知，＝ 6－ 2 h＝ 4，函数f ( x ) 的周期为 4[π π )] ＝＝ 2，－ ( －A2224π ，因此 ω ＝ 1，点 (π，6) 相当于五点作图法的第二个点，因此1×π＋ φ＝π，因此 φ ＝2222 2πf ( x ) 的分析式为 f ( x ) ＝ 2sin(x π4 ，依据以上剖析联合函数的图象特点可知函数 2＋ 4 )＋4.答案： C7．分析：由图象可得 A ＝7π π7π2，周期为 4×(12 － 3 ) ＝π ，因此 ω ＝ 2，将 ( 12，－2)7π ＋φ ＝ 2 3 k π＋ π ，代入得 2× k π＋ π ，即 φ ＝ 2 312 2π6因此 f (0) ＝ 2sinφ＝ 2sin 3 ＝ 2 .6答案： 2πωπ π8．分析：∵ 0<ω <1，x ∈ [0 ， 3 ] ，∴ ωx ∈ [0 ， 3 ][0， 2]， ∴f ( x ) max ＝ 2sin ωπωπ 2 ω ππ3 ＝ 2，∴ sin3 ＝2，∴3 ＝4 ，3 ∴ω ＝ 4.答案： 34T352π 5 4，∴ y ＝sin( 424T2ω255＋ φ ) ．又∵ sin( 4×35 4π ＋ φ ) ＝－ 1，333即 sin( 5π ＋φ ) ＝－ 1，∴ 5π＋ φ ＝ 2π＋ 2k π ，k ∈ Z.9又∵－ π ≤φ <π ，∴ φ ＝ 10π .9答案： 10ππ10．解： (1) 由题设可知 A ＝ 4 且 sin(3 × 12＋ φ ) ＝ 1，则 φ ＋π4 ＝π2 ＋ 2k π ，得 φ ＝ π4 ＋ 2k π ( k ∈ Z)ππ∵ 0<φ <π ，∴ φ ＝ 4 ，∴ f ( x ) ＝ 4sin(3 x ＋ 4 ) ．(2) ∵ f ( 2π ) ＝ 4sin(2 α ＋ π) 3α＋12 212＝ 4cos 2 α＝ 5 ，3∴ c os 2 α ＝ .521 1∴ s in α ＝ 2(1 － cos 2 α) ＝ 5.5∴sin α ＝± 5 .T 2π π π11．分析： (1) 由题图知 A ＝ 1，2＝ 3 －6 ＝ 2 ，∴ω ＝ 2π ＝2. 又 x ＝π时， f ( x ) ＝ 1T 6π π∴sin(2 × 6 ＋ φ ) ＝ 1 又 | φ |< 2 ，π ∴φ ＝ 6 .∴ f ( x ) 的分析式为 f ( x ) ＝ sin(2 x ＋ π) ． 6π(2) g ( x ) ＝ f ( x ) － cos 2 x ＝ sin(2 x ＋ 6 ) －cos 2 x31π＝2 sin 2x－2cos 2 x＝sin(2x－6 )πππ5π由 0≤x≤2得－6≤2x－6≤6 .πππ∴2x－6＝2即x＝3时 g( x)有最大值 1.ππ1当 2x－6＝－6即 x＝0时 g( x)有最小值－2.333 12．解： (1) 由f (0) ＝2，得 2a－2＝2，3f π13b31b＝ 1.∴2＝ 3，则＝，由()＝，得＋－＝，∴422222223∴f ( x)＝3cos x＋sin x cos x－231π＝2 cos 2 x＋2sin 2 x＝ sin(2 x＋3 ) ，2π∴函数 f ( x)的最小正周期T＝2＝π .(2) 由π＋ 2π ≤2 ＋π≤3π＋2kπ，得2k x32π＋ kπ ≤ x≤7π＋ kπ，1212∴f ( x)的单一递减区间是[π＋ kπ，7π＋π∈Z)．1212k]( k(3) ∵f ( x) ＝sin2(x＋π6 ) ，∴奇函数 y＝sin2x 的图象左移πf( x) 的图象．故函数 f ( x)的图象右移π6，即获得6个单位后对应的函数成为奇函数．。
课时跟踪练(二十三)A 组 基础巩固1．函数f (x )＝tan ωx (ω＞0)的图象的相邻两支截直线y ＝2所得线段长为π2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6的值是( )A ．－ 3B.33C ．1 D. 3解析：由题意可知该函数的周期为π2，所以πω＝π2，ω＝2，f (x )＝tan 2x .所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝tan π3＝ 3.答案：D2．(2019·洛阳模拟)将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋φ2·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋φ2的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的取值可能是( )A.3π4B ．－π4C.π4D.7π4解析：将y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋φ2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋φ2＝12sin(2x ＋φ)的图象向左平移π8个单位后得到的图象对应的函数为y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋φ，由题意得π4＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，所以φ＝k π＋π4.取k ＝0，可得φ＝π4.答案：C3.(2016·全国卷Ⅱ)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则( )A ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3 解析：由图象知T 2＝π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π2，故T ＝π，因此ω＝2ππ＝2.又图象的一个最高点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，2，所以A ＝2，且2×π3＋φ＝2k π＋π2(k∈Z)，故φ＝2k π－π6(k ∈Z)，结合选项可知y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.故选A.答案：A4．(2018·天津卷)将函数y ＝sin(2x ＋π5)的图象向右平移π10个单位长度，所得图象对应的函数( )A ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上单调递增B ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，0上单调递减C ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上单调递增D ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上单调递减解析：将函数y ＝sin (2x ＋π5)的图象向右平移π10个单位长度，得到y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2（x －π10）＋π5＝sin 2x 的图象． 由2k π－π2≤2x ≤2k π＋π2，得k π－π4≤x ≤k π＋π4，所以函数y ＝sin 2x 的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π4，k π＋π4， k ∈Z.取k ＝0，得y ＝sin 2x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上单调递增．故选A.答案：A5．(2019·张家界模拟)将函数f (x )＝3sin 2x －cos 2x 的图象向左平移t (t >0)个单位后，得到函数g (x )的图象，若g (x )＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－x ，则实数t 的最小值为( )A.5π24B.7π24C.5π12D.7π12解析：由题意得，f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6， 则g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2t －π6， 又g (x )＝g ⎝⎛⎭⎪⎫π12－x ，即2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2t －π6＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫π12－x ＋2t －π6＝－2sin(2x －2t )，又t >0，所以当2t －π6＝－2t ＋π时，t min ＝7π24.答案：B6．已知简谐运动f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3x ＋φ⎝⎛⎭⎪⎫|φ|＜π2的图象经过点(0，1)，则该简谐运动的最小正周期T 和初相φ分别为________．解析：由题意知T ＝6，且f (0)＝2sin φ＝1，所以sin φ＝12，又|φ|＜π2，所以φ＝π6.答案：6π67．(2019·惠州模拟)将函数f (x )＝2sin(2x ＋φ)(φ<0)的图象向左平移π3个单位长度，得到偶函数g (x )的图象，则φ的最大值是________． 解析：依题设，g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋φ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3＋φ， 由g (x )为偶函数，得2π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z. 所以φ＝k π－π6(k ∈Z)，则φ的最大值为－π6(φ<0)．答案：－π68．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2≤φ≤π2的图象上的一个最高点和它相邻的一个最低点的距离为22，且过点⎝⎛⎭⎪⎫2，－12，则函数f (x )＝________．解析：依题意得22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫πω2＝22，则πω＝2，即ω＝π2，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2x ＋φ，由于该函数图象过点⎝⎛⎭⎪⎫2，－12，因此sin(π＋φ)＝－12，即sin φ＝12，又－π2≤φ≤π2，故φ＝π6，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋π6. 答案：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋π69．(2019·昆明诊断)已知函数f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6＋a (ω>0)图象上最高点的的纵坐标为2，且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求a 和ω的值；(2)求函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间．解：(1)f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6＋a ＝4cos ωx ·⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin ωx ＋12cos ωx ＋a＝23sin ωx cos x ＋2cos 2 ωx －1＋1＋a ＝3sin 2ωx ＋cos 2ωx ＋1＋a＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6＋1＋a .当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6＝1时，f (x )取得最大值2＋1＋a ＝3＋a . 又f (x )最高点的纵坐标为2，所以3＋a ＝2，即a ＝－1. 又f (x )图象上相邻两个最高点的距离为π， 所以f (x )的最小正周期为T ＝π， 所以2ω＝2πT＝2，ω＝1. (2)由(1)得f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，令π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ， 得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π，k ∈Z. 令k ＝0，得π6≤x ≤2π3.所以函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3.10．某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0，24)．(1)求实验室这一天上午8时的温度； (2)求实验室这一天的最大温差．解：(1)f (8)＝10－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12×8－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12×8＝10－3cos 2π3－sin 2π3＝10－3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－32＝10.故实验室上午8时的温度为10℃.(2)因为f (t )＝10－2⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos π12t ＋12sin π12t＝10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3， 又0≤t ＜24，所以π3≤π12t ＋π3＜7π3，所以－1≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3≤1.当t ＝2时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＝1；当t ＝14时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＝－1.于是f (t )在[0，24)上取得最大值为12，取得最小值为8. 故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃.B 组 素养提升11.(2019·湖南长郡中学、衡阳八中联考)函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，已知A ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，1，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12，－1，则f (x )的图象的对称中心为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2＋5π6，0，k ∈ZB.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋5π6，0，k ∈ZC.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2＋π6，0，k ∈Z D.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π6，0，k ∈Z 解析：T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12－5π12＝π＝2πω，所以ω＝2，因此f (x )＝sin(2x ＋φ)．由五点作图法知A ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，1是第二点，得2×5π12＋φ＝π2.所以φ＝－π3，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.令2x －π3＝k π(k ∈Z)，得x ＝k π2＋π6(k ∈Z)．所以f (x )的图象的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2＋π6，0，k ∈Z. 答案：C12．已知x ＝π12是函数f (x )＝3sin(2x ＋φ)＋cos(2x ＋φ)(0<φ<π)图象的一条对称轴，将函数f (x )的图象向右平移3π4个单位长度后得到函数g (x )的图象，则函数g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π6上的最小值为( )A ．－2B ．－1C ．－ 2D ．－ 3解析：f (x )＝3sin(2x ＋φ)＋cos(2x ＋φ)＝2sin(2x ＋π6＋φ)．因为x＝π12是f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋φ图象的一条对称轴，所以π3＋φ＝k π＋π2(k∈Z)，即φ＝k π＋π6(k ∈Z)．因为0<φ<π，所以φ＝π6，则f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， 所以g (x )＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π6上的最小值为g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝－1. 答案：B13．(2019·广东省际名校联考)将函数f (x )＝1－23·cos 2 x －(sin x －cos x )2的图象向左平移π3个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，则函数g (x )的单调递增区间是________． 解析：因为f (x )＝1－23cos 2 x －(sin x －cos x )2＝sin 2x －3cos2x －3＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3－3， 所以g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3－π3－3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－3， 令－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－5π12＋k π≤x ≤π12＋k π，k ∈Z ， 因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，所以函数g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12，π12.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12，π1214．已知函数f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋23sin 2 ωx －3(ω>0)的最小正周期为π.(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)将函数f (x )的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，若y ＝g (x )在[0，b ](b >0)上至少含有10个零点，求b 的最小值．解：(1)f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋3(2sin 2 ωx －1)＝sin 2ωx －3cos 2ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π3. 由最小正周期为π，得ω＝1，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3. 令2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，整理得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z ， 所以函数f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z.(2)将函数f (x )的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到y ＝2sin 2x ＋1的图象，所以g (x )＝2sin 2x ＋1. 令g (x )＝0，得x ＝k π＋7π12或x ＝k π＋11π12(k ∈Z)， 所以在[0，π]上恰好有两个零点，若y ＝g (x )在[0，b ]上有10个零点，则b 不小于第10个零点的横坐标即可．所以b 的最小值为4π＋11π12＝59π12.。
【精品】高中数学课时跟踪检测十二函数y=Asin(ωx+φ的图象及变换新人教A版必修4层级一学业水平达标1．为了得到函数y＝sin的图象，只需把函数y＝sin x的图象( )A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向上平移个单位长度D．向下平移个单位长度解析：选B 将函数y＝sin x的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数解析式为y＝sin.2．将函数y＝sin 2x的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数是( )A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数解析：选 A y＝sin 2xy＝sin＝sin＝－sin(π－2x)＝－sin2x.由于－sin(－2x)＝sin 2x，所以是奇函数．3．把函数y＝cos x的图象上的每一点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的，然后将图象沿x轴负方向平移个单位长度，得到的图象对应的解析式为( )A ．y ＝sin 2xB ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2C ．y ＝cosD ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π4 解析：选B y ＝cos x 的图象上每一点的横坐标变为原来的(纵坐标不变)得到y ＝cos 2x 的图象；再把y ＝cos 2x 的图象沿x 轴负方向平移个单位长度，就得到y＝cos 2＝cos 的图象．4．函数y ＝sin 在区间上的简图是( )解析：选A 当x ＝0时，y ＝sin ＝－<0，故可排除B 、D ；当x ＝时，sin ＝sin 0＝0，排除C.5．把函数y ＝sin x 的图象上所有点向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到的图象所对应的函数是( )A ．y ＝sinB ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6C ．y ＝sinD ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3 解析：选C 把函数y ＝sin x 的图象上所有点向左平行移动个单位长度后得到函数y ＝sin 的图象，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的，得到函数y ＝sin 的图象．6．将函数y ＝sin 图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的5倍，可得到函数__________________的图象．解析：y ＝sin 的图象y ＝sin 的图象．答案：y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫15x －π3 7．函数y ＝sin 的图象可以看作把函数y ＝sin 2x 的图象向________平移________个单位长度得到的．解析：∵y＝sin ＝sin 2，∴由y ＝sin 2x 的图象向右平移个单位长度便得到y ＝sin 的图象．答案：右π88．将函数y＝sin图象上所有点的横坐标保持不变，纵坐标________(填“伸长”或“缩短”)为原来的________倍，将会得到函数y＝3sin的图象．解析：A＝3＞0，故将函数y＝sin图象上所有点的横坐标保持不变，纵坐标伸长为原来的3倍即可得到函数y＝3sin的图象．答案：伸长39．y＝cos的图象如何变换得到y＝sin x的图象？解：cos＝cos＝sin x，所以将y＝cos的图象向右平移个单位长度便可得到y＝sin x的图象．10．已知函数f(x)的图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标扩大到原来的2倍，然后把所得的图象沿x轴向左平移个单位长度，这样得到的图象与y＝sin x的图象相同，求f(x)的解析式．解：反过来想，y＝sin xy＝siny＝sin2x－，即f(x)＝sin.层级二应试能力达标1．设g(x)的图象是由函数f(x)＝cos 2x的图象向左平移个单位得到的，则g等于( )A．1 B．－12C．0 D．－1解析：选D 由f(x)＝cos 2x的图象向左平移个单位得到的是g(x)＝cos的图象，则g＝cos＝cosπ＝－1.故选D.2．把函数y＝sin的图象向右平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，所得函数图象的解析式为( )A ．y ＝sinB ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫10x －7π2C ．y ＝sinD ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫10x －7π4 解析：选D 将原函数图象向右平移个单位长度，得y ＝sin ＝sin的图象，再把y ＝sin 的图象上各点的横坐标缩短为原来的倍得y ＝sin 的图象．3．下列命题正确的是( )A ．y ＝cos x 的图象向右平移个单位长度得到y ＝sin x 的图象B ．y ＝sin x 的图象向右平移个单位长度得到y ＝cos x 的图象C ．当φ＜0时，y ＝sin x 的图象向左平移|φ|个单位长度得到y ＝sin(x ＋φ)的图象D ．y ＝sin 的图象可以由y ＝sin 2x 的图象向左平移个单位长度得到解析：选A A 中，y ＝cos x 的图象y ＝cos ＝sin x 的图象；B 中，y ＝sin x 的图象y ＝sin ＝－cos x 的图象；C 中，y ＝sin x 的图象y ＝sin(x ＋|φ|)＝sin(x －φ)的图象；D 中，y ＝sin 2x 的图象y ＝sin 2＝sin 的图象.4．为了得到函数y ＝sin 的图象，可以将函数y ＝cos 2x 的图象( )A ．向右平移个单位长度B ．向左平移个单位长度C ．向右平移个单位长度D．向左平移个单位长度解析：选C 由于y＝sin＝cos ＝cos ＝cos＝cos ，为得到该函数的图象，只需将y＝cos 2x的图象向右平移个单位长度．5．将函数f(x)＝sin(ωx＋φ)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到y＝sin x的图象，则f ＝________.解析：将y＝sin x的图象向左平移个单位长度可得y＝sin的图象，保持纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍可得y＝sin的图象，故f(x)＝sin，所以f ＝sin＝sin＝.答案：226．要得到y＝sin的图象，需将函数y＝cos 的图象上所有的点至少向左平移________个单位长度．解析：cos ＝sin，将y＝sin的图象上所有的点向左平移φ(φ＞0)个单位长度得y＝sin的图象．令＋＝2kπ＋，∴φ＝4kπ－，k∈Z.∴当k＝1时，φ＝是φ的最小正值．答案：11π37．函数f(x)＝5sin－3的图象是由y＝sin x的图象经过怎样的变换得到的？解：先把函数y＝sin x的图象向右平移个单位，得y＝sin的图象；再把所得函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍(纵坐标不变)，得y＝sin的图象；然后把所得函数图象上所有点的纵坐标伸长到原来的5倍(横坐标不变)得函数y＝5sin的图象，最后将所得函数图象向下平移3个单位长度，得函数y＝5sin－3的图象．8．已知函数f(x)＝3sin，x∈R.。
课时跟踪检测（二十三） 函数y=A sin （ωx +φ）的图象及三角函数模型的简单应用[达标综合练]1．要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫5x －π4的图象，只需将函数y ＝cos 5x 的图象( ) A ．向左平移3π20个单位B ．向右平移3π20个单位 C ．向左平移3π4个单位D ．向右平移3π4个单位解析：选B 函数y ＝cos 5x ＝sin ⎝⎛⎭⎫5x ＋π2＝sin 5⎝⎛⎭⎫x ＋π10， y ＝sin ⎝⎛⎭⎫5x －π4＝sin 5⎝⎛⎭⎫x －π20， 设平移φ个单位，则π10＋φ＝－π20，解得φ＝－3π20，故把函数y ＝cos 5x 的图象向右平移3π20个单位，可得函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫5x －π4的图象． 2．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π5的图象向右平移π10个单位长度，所得图象对应的函数( ) A ．在区间⎣⎡⎦⎤3π4，5π4上单调递增 B ．在区间⎣⎡⎦⎤3π4，π上单调递减 C ．在区间⎣⎡⎦⎤5π4，3π2上单调递增 D ．在区间⎣⎡⎦⎤3π2，2π上单调递减解析：选A 把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π5的图象向右平移π10个单位长度得函数g (x )＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π10＋π5＝sin 2x 的图象，由－π2＋2k π≤2x ≤π2＋2k π(k ∈Z )，得－π4＋k π≤x ≤π4＋k π(k ∈Z )，令k ＝1，得3π4≤x ≤5π4，即函数g (x )＝sin 2x 的一个单调递增区间为⎣⎡⎦⎤3π4，5π4. 3.若将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为( )A ．x ＝k π2－π6(k ∈Z )B ．x ＝k π2＋π6(k ∈Z )C ．x ＝k π2－π12(k ∈Z )D ．x ＝k π2＋π12(k ∈Z ) 解析：选B 将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，得到函数y ＝2sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π12＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象．由2x ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π2＋π6(k ∈Z )，即平移后图象的对称轴为x ＝k π2＋π6(k ∈Z )．4．如图，质点P 在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P 0(2，－2)，角速度为1，那么点P 到x 轴距离d 关于时间t 的函数图象大致为( )解析：选C 通过分析可知当t ＝0时，点P 到x 轴距离d 为2，于是可以排除答案A 、D ，再根据当t ＝π4时，可知点P 在x 轴上，此时点P 到x 轴距离d 为0，排除答案B ，故选C.5.函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，－π2≤φ≤π2的图象如图所示，则f (1)＝( )A. 2 B ．1＋ 2 C ．2＋ 2D ．2 2解析：选A 由函数f (x )的图象可知函数最大值为2，最小值为－2，所以A ＝2，由T2＝6－2＝4⇒T ＝8＝2πω从而得ω＝π4，又图象过原点，所以φ＝0，f (x )＝2sin π4x ，得f (1)＝2sinπ4＝ 2.6．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω>0)，f ⎝⎛⎭⎫π6＝f ⎝⎛⎭⎫π3，且f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π6，π3上有最小值，无最大值，则ω的值为( )A.23 B.113 C.73D. 143解析：选D 据题设分析知，直线x ＝π4为函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω>0)图象的一条经过一最低点对称轴，∴ω·π4＋π3＝2k π－π2(k ∈Z )，∴ω＝4⎝⎛⎭⎫2k －56(k ∈Z )， 又ω>0，π3－π6<2πω，∴当k ＝1时，m ＝143.7．将函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋5π6图象上各点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再把得到的图象向右平移π3个单位，得到的新图象的函数解析式为g (x )＝________________，g (x )的单调递减区间是 ________________.解析：将函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋5π6图象上各点横坐标缩短到原来的12倍，得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π6，再把图象向右平移π3个单位，得g (x )＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π3＋5π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6； 由2k π＋π2≤2x ＋π6≤2k π＋3π2(k ∈Z )，得k π＋π6≤x ≤k π＋2π3(k ∈Z )，所以g (x )的单调递减区间是⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )． 答案： sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 ⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z ) 8.如图是函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|≤π2的部分图象，已知函数图象经过P ⎝⎛⎭⎫5π12，2，Q ⎝⎛⎭⎫7π6，0两点，则φ＝________. 解析：由图象可得3T 4＝7π6－5π12＝3π4，∴T ＝π，∴ω＝2，∴f (x )＝2sin(2x ＋φ)．根据题意得2×5π12＋φ＝5π6＋φ＝π2，解得φ＝－π3.答案：－π39.已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象为C ，关于函数f (x )及其图象的判断如下： ①图象C 关于直线x ＝11π2对称；②图象C 关于点⎝⎛⎭⎫π3，0对称；③由y ＝3sin 2x 的图象向左平移π3个单位长度可以得到图象C ；④函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫－π12，5π12内是增函数； ⑤函数|f (x )＋1|的最小正周期为π. 其中正确的结论序号是________． 解析：函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， 对于①，f ⎝⎛⎭⎫11π2＝3sin ⎝⎛⎭⎫2×11π2＋π3＝－332不是最值， ∴f (x )的图象C 不关于直线x ＝11π2对称，①错误；对于②，f ⎝⎛⎭⎫π3＝3sin ⎝⎛⎭⎫2×π3＋π3＝0， ∴f (x )的图象C 关于点⎝⎛⎭⎫π3，0对称，②正确；对于③，由y ＝3sin 2x 的图象向左平移π3个单位长度，得到y ＝3sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3的图象，不是图象C ，③错误； 对于④，由x ∈⎝⎛⎭⎫－π12，5π12，得2x ＋π3∈⎝⎛⎭⎫π6，7π6， ∴函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3在区间⎝⎛⎭⎫－π12，5π12内不是增函数，④错误； 对于⑤，∵|f (x ＋π)＋1|＝⎪⎪⎪⎪3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π＋π3＋1＝ ⎪⎪⎪⎪3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋1＝|f (x )＋1|， ∴|f (x )＋1|的最小正周期为π，⑤正确． 综上，正确的结论序号是②⑤. 答案：②⑤10．已知函数f (x )＝2sin(2x ＋φ)(0<φ<π)．(1)若φ＝π6，用“五点法”在给定的坐标系中，画出函数f (x )在[0，π]上的图象；(2)若f (x )为偶函数，求φ；(3)在(2)的前提下，将函数y ＝f (x )的图象向右平移π6个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在[0，π]的单调递减区间．解：(1)当φ＝π6时，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， 列表如下：x 0 π6 5π12 2π3 11π12 π F (x )12－21函数y ＝f (x )在区间[0，π]上的图象如图所示．(2)∵f (x )＝2sin(2x ＋φ)为偶函数， ∴|sin φ|＝1，∴φ＝k π＋π2(k ∈Z )，又∵0<φ<π，∴φ＝π2.(3)由(2)知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝2cos 2x ，将f (x )的图象向右平移π6个单位后，得到f ⎝⎛⎭⎫x －π6的图象，再将横坐标变为原来的4倍，得到g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x 4－π6，∴g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x 4－π6＝2cos ⎝⎛⎭⎫x 2－π3. 当2k π≤x 2－π3≤2k π＋π(k ∈Z )，即4k π＋2π3≤x ≤4k π＋8π3(k ∈Z )时，g (x )单调递减，因此g (x )在[0，π]的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤2π3，π. 11.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R ⎝⎛⎭⎫其中A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π2的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为π2，且图象上一个最低点为M ⎝⎛⎭⎫2π3，－2. (1)求f (x )的解析式；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤π12，π2时，求f (x )的值域． 解：(1)由最低点为M ⎝⎛⎭⎫2π3，－2，得A ＝2. 由x 轴相邻两个交点之间的距离为π2，得T 2＝π2，即T ＝π，所以ω＝2πT ＝2ππ＝2. 由点M ⎝⎛⎭⎫2π3，－2在图象上，得2sin ⎝⎛⎭⎫2×2π3＋φ＝－2， 即sin ⎝⎛⎭⎫4π3＋φ＝－1， 所以4π3＋φ＝2k π－π2(k ∈Z )，即φ＝2k π－11π6(k ∈Z )．因为φ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以φ＝π6. 故f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. (2)因为x ∈⎣⎡⎦⎤π12，π2， 所以2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π3，7π6. 当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取得最大值2；当2x ＋π6＝7π6，即x ＝π2时，f (x )取得最小值－1.故f (x )的值域为[－1,2]．[素养强化练]1.[数学建模]一个大风车的半径为8 m ，12 min 旋转一周，它的最低点P 0离地面2 m ，风车翼片的一个端点P 从P 0开始按逆时针方向旋转，则点P 离地面距离h (m)与时间t (min)之间的函数关系式是( )A ．h (t )＝－8sin π6t ＋10B ．h (t )＝－cos π6t ＋10C ．h (t )＝－8sin π6t ＋8D ．h (t )＝－8cos π6t ＋10解析：选D 设h (t )＝A cos ωt ＋B ，因为12 min 旋转一周，所以2πω＝12，所以ω＝π6，由于最大值与最小值分别为18,2.所以⎩⎪⎨⎪⎧－A ＋B ＝18，A ＋B ＝2，解得A ＝－8，B ＝10.所以h (t )＝－8cos π6t ＋10.2．[直观想象、逻辑推理]如图是函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2图象的一部分，对任意的x 1，x 2∈[a ，b ]，且x 1≠x 2，若f (x 1)＝f (x 2)，有f (x 1＋x 2)＝1，则φ的值为( )A.π12B.π6C.π4D.π3解析：选B 从题图可得A ＝2，x 1，x 2关于函数f (x )图象的对称轴是对称的，即直线x ＝x 1＋x 22是f (x )图象的一条对称轴，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＝2，可得2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＋φ＝2，可得ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，① ∵f (x 1＋x 2)＝1，∴2sin [ω(x 1＋x 2)＋φ]＝1， 可得ω(x 1＋x 2)＋φ＝π6＋2k π或5π6＋2k π，k ∈Z ，②令k ＝0，由①②得φ＝π6或5π6，∵|φ|<π2，∴φ＝π6.3．[数学运算]函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示．(1)求函数f (x )的解析式，并写出其图象的对称中心； (2)若方程f (x )＋2cos ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3＝a 有实数解，求a 的取值范围． 解：(1)由图可得A ＝2，T 2＝2π3－π6＝π2，所以T ＝π，所以ω＝2.当x ＝π6时，f (x )＝2，可得2sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋φ＝2， 因为|φ|＜π2，所以φ＝π6.所以函数f (x )的解析式为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 令2x ＋π6＝k π(k ∈Z )，得x ＝k π2－π12(k ∈Z )，所以函数f (x )图象的对称中心为⎝⎛⎭⎫k π2－π12，0(k ∈Z )． (2)设g (x )＝f (x )＋2cos ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3， 则g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋2cos ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋2⎣⎡⎦⎤1－2sin 2⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， 令t ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，t ∈[－1,1]， 记h (t )＝－4t 2＋2t ＋2＝－4⎝⎛⎭⎫t －142＋94， 因为t ∈[－1,1]，所以h (t )∈⎣⎡⎦⎤－4，94， 即g (x )∈⎣⎡⎦⎤－4，94，所以a ∈⎣⎡⎦⎤－4，94. 故a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤－4，94.。
课时规范练20 函数y=A sin(ωx+φ)的图像及应用基础巩固组1.将函数y=sin x的图像上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变),再把所得各点向右平行移动π10个单位长度,所得图像的函数解析式是()A.y=sin2x-π10B.y=sin12x-π20C.y=sin2x-π5D.y=sin12x-π102.(2020安徽安庆二模,理8)已知函数f(x)=2sin2ωx(ω>0)的最小正周期为π,若将其图像沿x轴向右平移m(m>0)个单位长度,所得图像关于x=π3对称,则实数m的最小值为()A.π4B.π3C.3π4D.π3.已知函数f(x)=A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的部分图像如图所示,则f(x)的解析式为()A.f(x)=2√3sinπx8+π4B.f(x)=2√3sinπx8+3π4C.f(x)=2√3sinπx8−π4D.f(x)=2√3sinπx8−3π44.如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sinπ6x+φ+k,据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为()5.右图是函数y=sin(ωx+φ)的部分图像,则sin(ωx+φ)=( )(x +π3)(π3-2x) (2x +π3)(5π6-2x) 6.(2019全国3,理12)设函数f (x )=sin (ωx +π5)(ω>0),已知f (x )在[0,2π]有且仅有5个零点,下述四个结论:①f (x )在(0,2π)有且仅有3个极大值点 ②f (x )在(0,2π)有且仅有2个极小值点 ③f (x )在(0,π10)递增 ④ω的取值范围是[125,2910)其中所有正确结论的编号是( ) A.①④B.②③C.①②③D.①③④7.已知简谐运动f (x )=2sin π3x+φ|φ|<π2的图像经过点(0,1),则该简谐运动的最小正周期T 和初相φ分别为 , . 8.如图所示,某地夏天8~14时用电量变化曲线近似满足函数式y=A sin(ωx+φ)+b ,A>0,ω>0,φ∈(0,π),则这期间的最大用电量为 万千瓦时;这段曲线的函数解析式为 . 9.已知函数y=3sin12x-π4. (1)用五点法作出函数的图像;(2)说明此图像是由y=sin x 的图像经过怎么样的变化得到的.综合提升组10.已知函数f (x )=a sin x+b cos x (x ∈R ),若x=x 0是函数f (x )图像的一条对称轴,且tan x 0=3,则a ,b 应满足的表达式是( ) A.a=-3b B.b=-3a C.a=3bD.b=3a11.(2019天津,理7)已知函数f (x )=A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)是奇函数,将y=f (x )的图像上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变),所得图像对应的函数为g (x ).若g (x )的最小正周期为2π,且g π4=√2,则f 3π8=( )A.-2B.-√2C.√212.(2020山东潍坊一模,15)已知函数f (x )=A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)是偶函数,将y=f (x )的图像沿x 轴向左平移π6个单位长度,再将图像上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变),所得图像对应的函数为y=g (x ).已知y=g (x )的图像的相邻对称中心之间的距离为2π.则ω= .若y=g (x )的图像在其某对称轴处对应的函数值为-2,则g (x )在[0,π]上的最大值为 .创新应用组13.(2020安徽合肥一中模拟,理6)如图所示,秒针尖的位置为M (x ,y ),若初始位置为M 0-12,-√32,当秒针从M 0(此时t=0)正常开始走时,那么点M 的横坐标与时间t 的函数关系为( ) A.x=sin π30t-π6 B.x=sin π30t-π3 C.x=cosπ30t+2π3 D.x=cosπ30t-2π3参考答案课时规范练20 函数y= A sin (ωx+φ)的图像及应用1.B 由题意,将y=sin x 的图像上所有点的横坐标变为原来的2倍后得到y=sin 12x 的图像,再把所有点向右平行移动π10个单位长度后所得图像的函数为y=sin12x-π10=sin12x-π20.故选B . 2.B f (x )=-cos2ωx+1,T=2π2ω=π,则ω=1,所以f (x )=-cos2x+1,将其图像沿x 轴向右平移m (m>0)个单位长度,所得图像对应函数为y=-cos(2x-2m )+1.所得图像关于x=π3对称,则有cos2π3-2m =±1,所以2π3-2m=k π,k ∈Z ,解得m=π3−kπ2,k ∈Z ,由m>0,得实数m 的最小值为π3.故选B . 3.D 由图得,A=2√3,T=2×[6-(-2)]=16,所以ω=2πT=2π16=π8.所以f (x )=2√3sinπ8x+φ.由函数的对称性得f (2)=-2√3,即f (2)=2√3sin π8×2+φ=-2√3,即sinπ4+φ=-1,所以π4+φ=2k π-π2(k∈Z ),解得φ=2k π-3π4(k ∈Z ).因为|φ|<π,所以k=0,φ=-3π4.故函数的解析式为f (x )=2√3sinπx 8−3π4.4.C 设水深的最大值为M ,由题意并结合函数图像可得{3+k =M ,k -3=2,解得M=8.5.B 由题图可知,T2=2π3−π6=π2,∴T=π.∴2πω=π,∴ω=2,故A 错误;∴y=sin(2x+φ).∵过点(2π3,0),∴sin (2×2π3+φ)=0,即4π3+φ=2π,∴φ=2π3.∴y=sin (2x +2π3)=sin π-2x+2π3=sin (π3-2x),故B 正确;∵y=sinπ3-2x =sin π2−(π6+2x)=cos 2x+π6,故C 错误;∵cos (5π6-2x)=cos π-2x+π6=-cos2x+π6,故D 错误,故选B .6.D ∵f (x )=sin (ωx +π5)(ω>0)在区间[0,2π]上有且仅有5个零点,∴5π≤2πω+π5<6π,解得125≤ω<2910,故④正确.画出f (x )的图像(图略),由图易知①正确,②不正确. 当0<x<π10时,π5<ωx+π5<ωπ10+π5,又125≤ω<2910,∴ωπ10+π5<29π100+20π100=49π100<π2,∴③正确.综上可知①③④正确.故选D .7.6 π6 由题意知1=2sin φ,得sin φ=12,又|φ|<π2,得φ=π6,函数的最小正周期为T=2πω=6. 8.50 y=10sin π6x+π6+40,x ∈[8,14] 由图像知这期间的最大用电量为50万千瓦时,最小用电量为30万千瓦时.A=12(50-30)=10, b=12(50+30)=40, T=2πω=2×(14-8)=12,所以ω=π6,所以y=10sinπ6x+φ+40.因为函数图像过点(8,30),且φ∈(0,π),解得φ=π6. 故所求解析式为y=10sin π6x+π6+40,x ∈[8,14].9.解(1)列表,243sin12x-π4描点画图如图所示,(2)(方法1)“先平移,后伸缩”先把y=sin x 的图像上所有点向右平移π4个单位长度,得到y=sin x-π4的图像;再把y=sin x-π4的图像上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变),得到y=sin12x-π4的图像,最后将y=sin 12x-π4的图像上所有点的纵坐标变为原来的3倍(横坐标不变),就得到y=3sin12x-π4的图像. (方法2)“先伸缩,后平移”先把y=sin x 的图像上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变),得到y=sin 12x 的图像;再把y=sin 12x 图像上所有的点向右平移π2个单位长度,得到y=sin 12x-π2=sinx2−π4的图像,最后将y=sin x2−π4的图像上所有点的纵坐标变为原来的3倍(横坐标不变),就得到y=3sin 12x-π4的图像. 10.C f (x )=a sin x+b cos x=√a 2+b 2a √a 2+b 2sin x+b√a 2+b 2cos x .令cos α=√a 2+b2,sin α=√a 2+b2,则tan α=ba , 则f (x )=√a 2+b 2sin(x+α).因为x=x 0是函数f (x )图像的一条对称轴,则x 0+α=π2+k π,k ∈Z ,x 0=π2-α+k π,k ∈Z . tan x 0=tanπ2-α+k π=tan π2-α=1tanα=ab =3,k ∈Z ,则a=3b.故选C . 11.C 已知函数为奇函数,且|φ|<π,故φ=0.则f (x )=A sin ωx.∴g (x )=A sinω2x .∵g (x )的最小正周期为2π,而2πω2=2π,∴ω=2.则g (x )=A sin x. 由gπ4=√2,得A sin π4=√2,解得A=2.则f (x )=2sin2x. ∴f3π8=2sin3π4=√2.故选C .12.1 √3 ∵f (x )是偶函数,且0<φ<π,∴φ=π2.∴f (x )=A sin (ωx +π2)=A cos ωx.由已知将y=f (x )的图像沿x 轴向左平移π6个单位长度,可得y=A cos ωx+π6的图像.再将图像上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变),可得y=A cos ω2x+π6ω的图像.∴g (x )=A cosω2x+π6ω.∵y=g (x )的图像的相邻对称中心之间的距离为2π, ∴T 2=2π,∴T=4π,2πω2=4π,∴ω=1.∵y=g (x )的图像在其某对称轴处对应的函数值为-2,∴A=2. ∴g (x )=2cos (12x +π6).∵0≤x ≤π,∴π6≤12x+π6≤2π3,∴当12x+π6=π6,即x=0时,g (x )在[0,π]上的最大值为g (x )max =2×√32=√3.13.C 当t=0时,点M 0-12,-√32,则初始角为-2π3,由于秒针每60秒顺时针转一周,故转速ω=-2π60=-π30,当秒针运动t 秒到M 点时,秒针与x 正半轴的夹角为-π30t-2π3,所以x 与时间t 的函数关系式x=cos -π30t-2π3=cos π30t+2π3.故选C .。
课时跟踪检测（二十三）函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．已知f (x )＝sin 2x ＋3cos 2x ，在直角坐标系下利用“五点法”作f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3上的图象，应描出的关键点的横坐标依次是( ) A ．0，π2，π，3π2，2πB ．－π3，0，π2，2π3，πC ．－π3，－π6，π12，π3，7π12，2π3D ．－π3，0，π2，π，3π2，5π3解析：选 C 由题意知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3时，2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，5π3，当2x ＋π3＝－π3，0，π2，π，3π2，5π3时，x 的值分别为－π3，－π6，π12，π3，7π12，2π3. 2．函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π4，x ∈R 的最小正周期为( )A.π2B ．πC ．2πD ．4π解析：选D 最小正周期为T ＝2π12＝4π.3．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π上的简图是()解析：选A 令x ＝0，得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－32，排除B 、D.由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0，排除C ，故选A.4．(2019·东阳模拟)为了得到函数y ＝cos 2x 的图象，可以将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象( )A ．向右平移π6个单位长度B ．向右平移π3个单位长度C ．向左平移π6个单位长度D ．向左平移π3个单位长度解析：选D 因为y ＝cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，所以为了得到函数y ＝cos 2x 的图象，只需将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12的图象向左平移π3个单位长度即可．5．(2016·浙江高考)函数y ＝sin x 2的图象是( )解析：选D ∵y ＝sin(－x )2＝sin x 2，∴函数为偶函数，可排除A 项和C 项；当x ＝± π2时，y ＝sin x 2＝1，而 π2＜π2，且y ＝sin π24＜1，故D 项正确． 二保高考，全练题型做到高考达标1．(2018·金华十校联考)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(x ∈R ，ω＞0)与g (x )＝cos(2x＋φ)的对称轴完全相同．为了得到函数h (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3的图象，只需将函数y ＝f (x )的图象( )A ．向左平移π4个单位长度B ．向右平移π4个单位长度C ．向左平移π2个单位长度D ．向右平移π2个单位长度解析：选A 因为两函数的对称轴完全相同，所以两函数的周期一致，由此可得ω＝2，则f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，h (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋π3，所以为了得到h (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象，只需将y ＝f (x )的图象向左平移π4个单位长度即可．2．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期是π，若将f (x )的图象向右平移π3个单位后得到的图象关于原点对称，则函数f (x )的图象( )A ．关于直线x ＝π12对称B ．关于直线x ＝5π12对称C ．关于点⎝⎛⎭⎪⎫π12，0对称D ．关于点⎝⎛⎭⎪⎫5π12，0对称解析：选B ∵f (x )的最小正周期为π， ∴2πω＝π，ω＝2， ∴f (x )的图象向右平移π3个单位后得到g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3＋φ的图象，又g (x )的图象关于原点对称， ∴－2π3＋φ＝k π，k ∈Z ，∴φ＝2π3＋k π，k ∈Z ，又|φ|＜π2，∴φ＝－π3，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3.当x ＝π12时，2x －π3＝－π6，∴A ，C 错误；当x ＝5π12时，2x －π3＝π2，∴B 正确，D 错误．3．(2019·潍坊统一考试)函数y ＝3sin 2x －cos 2x 的图象向右平移φ⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜φ＜π2个单位长度后，得到函数g (x )的图象，若函数g (x )为偶函数，则φ的值为( )A.π12B.π6C.π4D.π3解析：选B 由题意知y ＝3sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，其图象向右平移φ个单位长度后，得到函数g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2φ－π6的图象，因为g (x )为偶函数，所以2φ＋π6＝π2＋k π，k ∈Z ，所以φ＝π6＋k π2，k ∈Z ，又因为φ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以φ＝π6.4．函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(x ∈R)⎝⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示，如果x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎪⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)＝( )A ．12 B ．32C ．22D ．1解析：选B 由图可知，T 2＝π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π2，则T ＝π，ω＝2，又∵－π6＋π32＝π12，∴f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，1， 即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12＋φ＝1，得φ＝π3， ∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. 而x 1＋x 2＝－π6＋π3＝π6，∴f (x 1＋x 2)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π6＋π3＝sin 2π3＝32.5．若函数f (x )＝2sin ωx (ω＞0)在(0,2π)上恰有两个极大值和一个极小值，则ω的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤54，74B.⎝ ⎛⎦⎥⎤34，45C.⎝ ⎛⎦⎥⎤1，54 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤34，54 解析：选A 因为函数f (x )在(0,2π)上恰有两个极大值和一个极小值，所以由正弦函数的图象可得54T ＜2π≤74T ，即54·2πω＜2π≤74·2πω，解得54＜ω≤74.6．(2019·丽水模拟)已知函数f (x )＝3cos 2x －sin 2x ，则下列结论中正确的序号是________．①函数f (x )的图象关于直线x ＝11π12对称；②函数f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，0对称；③函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，5π12上是增函数； ④将y ＝2sin 2x 的图象向右平移π6个单位长度可以得到函数f (x )的图象．解析：f (x )＝3cos 2x －sin 2x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3. 令2x －π3＝k π＋π2，k ∈Z ，得x ＝k π2＋5π12，k ∈Z ，当k ＝1时，函数f (x )的图象的对称轴方程为x ＝11π12，所以①正确；令2x －π3＝k π，k ∈Z ，得x ＝k π2＋π6，k ∈Z ，所以当k ＝1时，函数f (x )的图象的对称中心是⎝⎛⎭⎪⎫2π3，0，所以②正确；由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z ，所以当k＝0时，函数f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，5π12，所以③错误；将函数y ＝2sin 2x 的图象向右平移π6个单位长度可以得到函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象，所以④错误．所以正确的序号是①②.答案：①②7．已知函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω＞0)和g (x )＝3cos(2x ＋φ)的图象完全相同，若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则f (x )的值域是________．解析：f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＝3cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －2π3，易知ω＝2，则f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴－π6≤2x －π6≤5π6， ∴－32≤f (x )≤3.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3 8．已知角φ的终边经过点P (－4,3)，函数f (x )＝sin (ωx ＋φ)(ω＞0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于π2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4的值为________． 解析：由角φ的终边经过点P (－4,3)，可得cos φ＝－45，sin φ＝35.根据函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于π2，可得周期为2πω＝2×π2，解得ω＝2，∴f (x )＝sin(2x ＋φ)，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ＝cos φ＝－45.答案：－459．设函数f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx (ω＞0)，且y ＝f (x )图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4.(1)求ω的值；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值． 解：(1)f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx ＝32－3·1－cos 2ωx 2－12sin 2ωx ＝32cos 2ωx －12sin 2ωx＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx －π3. 因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4，即T ＝4×π4＝π，又ω＞0，所以ω＝1.(2)由(1)知f (x )＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3. 当π≤x ≤3π2 时，5π3≤2x －π3≤8π3， 所以－32≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1.因此－1≤f (x )≤32， 故f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值分别为32，－1. 10．(2019·杭州二中模拟)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示．(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π12上的最值，并求出相应的x 值．解：(1)由图象可知，A ＝2，T ＝π＝2πω，所以ω＝2.所以f (x )＝2sin(2x ＋φ)，因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝2，|φ|＜π2， 所以φ＝－π6.所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6. (2)因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π12，所以2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，2π3，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6∈[－1,2]． 所以当2x －π6＝π2，即x ＝π3时，f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2；当2x －π6＝－π6，即x ＝0时，f (x )min ＝f (0)＝－1.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2016·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|≤π2，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，且f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调，则ω的最大值为( )A ．11B ．9C ．7D ．5解析：选B 由题意得 ⎩⎪⎨⎪⎧－π4ω＋φ＝k 1π，k 1∈Z ，π4ω＋φ＝k 2π＋π2，k 2∈Z ，则ω＝2k ＋1，k ∈Z ，φ＝π4或φ＝－π4. 若ω＝11，则φ＝－π4，此时f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫11x －π4，f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，3π44上单调递增，在区间⎝⎛⎭⎪⎫3π44，5π36上单调递减，不满足f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调；若ω＝9，则φ＝π4，此时f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫9x ＋π4，满足f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调递减，故选B.2．已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，g (x )＝m cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6－2m ＋3(m ＞0)，若对∀x 1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，∃x 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，使得g (x 1)＝f (x 2)成立，则实数m 的取值范围是________．解析：当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4时，2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，∴当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4时，函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的值域为[1,2]．当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4时，2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，∴当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4时，函数g (x )＝m cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－2m ＋3(m ＞0)的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3m 2＋3，－m ＋3.∵对∀x 1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，∃x 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，使得g (x 1)＝f (x 2)成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧－3m 2＋3≥1，－m ＋3≤2，解得1≤m ≤43，即m ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，43. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，43 3．(2018·浙江名校协作体考试)已知函数f (x )＝sin ωx ·cos ωx ＋cos 2ωx (ω＞0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数y ＝g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，0上的最值．解：(1)f (x )＝12sin 2ωx ＋1＋cos 2ωx 2＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π4＋12，因为T ＝2π2ω＝π，所以ω＝1.(2)因为f (x )＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋12，所以g (x )＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π4＋12， 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，0时，4x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4，π4，所以g (x )min ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π16＝1－22，g (x )max＝g (0)＝1.。
§4.4 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用一、选择题(每小题7分，共42分)1．(2009·山东文，3)将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是 ( )A ．y ＝2cos 2xB ．y ＝2sin 2xC ．y ＝1＋sin(2x ＋π4) D ．y ＝cos 2x 解析 将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝sin2(x ＋π4)，即y ＝sin(2x ＋π2)＝cos 2x 的图象，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式为y ＝1＋cos 2x ＝2cos 2x .答案 A2．(2010·泉州模拟)将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移π4个单位，所得到的图象解析式是 ( )A ．f (x )＝sin xB ．f (x )＝cos xC ．f (x )＝sin 4xD ．f (x )＝cos 4x解析 y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4→y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4 →y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＋π4＝sin x . 答案 A3．(2010·莱芜一模)若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋m 的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π2， 直线x ＝π3是其图象的一条对称轴，则它的解析式是 ( ) A ．y ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6 B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋2 C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3＋2 D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π6＋2 解析 ∵⎩⎪⎨⎪⎧ A ＋m ＝4，－A ＋m ＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ A ＝2，m ＝2.∵T ＝π2，∴ω＝2πT＝4.∴y ＝2sin(4x ＋φ)＋2. ∵x ＝π3是其对称轴，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4×π3＋φ＝±1. ∴4π3＋φ＝π2＋k π (k ∈Z )．∴φ＝k π－5π6 (k ∈Z )．当k ＝1时，φ＝π6. 答案 D4．(2009·全国Ⅱ文，9)若将函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)的图象向右平移π6个单位长度后，与函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6的图象重合，则ω的最小值为 ( )A.16B.14C.13D.12解析 函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4向右平移π6后得到 解析y ＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＋π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －ωπ6＋π4.又因为y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6，∴令π4－ωπ6＝π6＋k π，∴π12＝ωπ6＋k π(k ∈Z )，由ω>0得ω的最小值为12. 答案 D5．(2009·杭州一模)电流强度I(安)随时间t(秒)变化的函数I=Asin(ωt+φ)(A>0，ω>0,0<φ<2π)的图象如右图所示， 则当t=1001秒时，电流强度是 ( )A ．－5安B ．5安C ．53安D ．10安 解析 由图象知A ＝10，T 2＝4300－1300＝1100， ∴ω＝2πT＝100π.∴I ＝10sin(100πt ＋φ)． ⎝ ⎛⎭⎪⎫1300，10为五点中的第二个点，∴100π×1300＋φ＝π2. ∴φ＝π6.∴I ＝10sin ⎝⎛⎭⎪⎫100πt ＋π6， 当t ＝1100秒时，I ＝－5安． 答案 A6．(2009·天津理，7)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋π4)(x ∈R ，ω>0)的最小正周期为π，为了得到函数g (x )＝cos ωx 的图象，只要将y ＝f (x )的图象( )A ．向左平移π8个单位长度 B ．向右平移π8个单位长度 C ．向左平移π4个单位长度 D ．向右平移π4个单位长度 解析 因为T ＝π，则ω＝2πT ＝2，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，g (x )＝cos 2x ，将y ＝f (x )的图象向左平移π8个单位长度时，y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8＋π4＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝ cos 2x .答案 A二、填空题(每小题6分，共18分)7．(2009·江苏，4)函数y=Asin(ωx+φ)(A 、ω、φ为常数，A>0，ω>0)在闭区间[-π，0]上的图象如图所示，则ω=.解析 由函数y=Asin(ωx+φ)的图象可知： .π32,3ππ)32()3π(2=∴=---=T T .3π,32π2=∴==ωωT 答案 38．(2008·全国Ⅱ改编)若动直线x ＝a 与函数f (x )＝sin x 和g (x )＝cos x 的图象分别交于M 、N两点，则|MN |的最大值为________．解析 设x ＝a 与f (x )＝sin x 的交点为M (a ，y 1)，x ＝a 与g (x )＝cos x 的交点为N (a ，y 2)，则|MN |＝|y 1－y 2|＝|sin a －cos a | ＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎪⎫a －π4≤ 2. 答案 29．(2009·云浮期末)若函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π3，2π3上单调递增，则ω的最大值为 ________． 解析 ∵f(x)在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-4,4T T 上递增， 故,4,43π2,3π2⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⊆⎥⎦⎤⎢⎣⎡-T T 即4T ≥3π2.∴ω≤43.∴ωmax =43. 答案 4T 三、解答题(共40分)10．(13分)(2009·周口调研)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)+b (ω>0，|φ|<2π)的图象的一部分如图所示： (1)求f(x)的表达式；(2)试写出f(x)的对称轴方程．解 (1)由图象可知，函数的最大值M=3，最小值m=-1，则A=,1213,22)1(3=-==--b ，又π)6π32(2=-=πT ， ∴2ππ2π2===T ω，∴f(x)=2sin(2x+φ)+1， 将x=6π，y=3代入上式，得1)3π(=+ϕ， ∴π22π3πk +=+ϕ，k ∈Z ， 即φ=6π+2k π，k ∈Z ，∴φ=6π， ∴f(x)=2sin )6π2(+x +1. (2)由2x+6π=2π+k π，得x=6π+21k π，k ∈Z ， ∴f(x)=2sin )6π2(+x +1的对称轴方程为 216π+=x k π，k ∈Z. 11．(13分)(2009·合肥联考)函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0，|φ|<π2)的一段图象如图所示．(1)求函数y ＝f (x )的解析式； (2)将函数y ＝f (x )的图象向右平移π4个单位，得到y ＝g (x )的图象，求直线y ＝6与函数y ＝f (x )＋g (x )的图象在(0，π)内所有交点的坐标．解 (1)由题图知A ＝2，T ＝π，于是ω＝2πT＝2， 将y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度， 得y ＝2sin(2x ＋φ)的图象．于是φ＝2×π12＝π6，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. (2)依题意得g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＋π6 ＝－2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. 故y ＝f (x )＋g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6 ＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π12. 由22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π12＝6，得sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π12＝32. ∵0<x <π，∴－π12<2x －π12<2π－π12.∴2x －π12＝π3或2x －π12＝2π3， ∴x ＝524π或x ＝38π， ∴所求交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫5π24，6或⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8，6. 12．(14分)(2009·金华模拟)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0，|φ|<π2，x ∈R )的图象的一部分如图所示．(1)求函数f (x )的解析式；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－6，－23时，求函数y ＝f (x )＋f (x ＋2)的最大值与最小值及相应的x 的值． 解 (1)由图象知A ＝2，T ＝8，∵T ＝2πω＝8，∴ω＝π4. 又图象过点(－1,0)，∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＋φ＝0. ∵|φ|<π2，∴φ＝π4. ∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π4. (2)y ＝f (x )＋f (x ＋2)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π4＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π2＋π4 ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π2＝22cos π4x . ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－6，－23，∴－3π2≤π4x ≤－π6. ∴当π4x ＝－π6，即x ＝－23时，y ＝f (x )＋f (x ＋2)取得最大值6； 当π4x ＝－π，即x ＝－4时，y ＝f (x )＋f (x ＋2)取得最小值－2 2.。
