乘公交，看奥运叶树军，蒙宇明，郭米指导教师吴寿章摘要：本案例按照给出的北京公交线路，建立公交线路的最佳选择模型与算法。
线路选择对不同的人又不同的选择方法.问题一仅考虑公汽线路，建立一般的数学模型和算法来给出任意两公汽站点间的最佳线路。
通过心理学和调查表明，乘公交时换乘次数是人们的第一选择，其次是出行距离、出行费用、出行时间等因素。
本模型基于最小换乘的原则，用广度优先的搜索算法实现公交选择策略，采用集合的逐步向外扩展和两个集合之间逐渐逼近的搜索方法，从而来寻找一条合理的路径，使得公交乘客的换乘次数最少。
编写STL算法，运行程序得到问题要求的6种最佳选择路线。
问题二在问题一的基础上加进了地铁线路，算法和问题一的基本一致，只是选择的路径多了一些。
结果只有5、6组线路和第一问不同。
问题三中给出了所有站点之间的步行时间，这就不得不考虑步行方式对线路选择的影响。
具体地说，人们在转车时，并不是只在下车的站点处转车，有时需要步行一小段距离到附近的站点转车。
在基于问题一、二的基础上，人们换乘往往会出现几种情况，怎样在这些因素中寻找最佳的换乘方式，又知道各相邻站点的平均耗时，故我们可以用层次分析法找出比较优化的公交类型，然后利用规划理论找到较佳的换乘方式，并用罚函数进行验证，这样就完成了问题三的模型的建立。
关键词: 最优路径；公交系统；最少换乘算法；层次分析法；罚函数；规划理论1 基本假设1．在问题一和问题二中，假设乘客在下车站点后直接在下车的站点处转车，而不考虑乘客步行到领近的站点去转车；2．所有公汽的行驶速度一样，所有地铁的行驶速度也一样；3．所有公交路段的交通都是通畅的，不存在交通拥挤问题；4．假设所有的乘客都能乘上第一辆达到的公交车；5. 假设本文中的乘客不考虑乘坐公交路途中的风景状况的因素；2 问题分析问题一的分析：假设乘客在下车站点后直接在下车的站点出转车，而不考虑乘客步行到领近的站点去转车。
根据人们的出行习惯，在选择从A站点到B站的行车路线的时候，首先会先看经过A站的车是否有直接到B站的，如果有，则会优先选择直达车，如果存在不止一条的直达线路的时候，在考虑距离、时间、费用等综合因素的乘车方案；如果没有直达车，就会考虑第一次换车的乘车方案：即通过A站点的车与经过B站点的车有公共车点C没有？如果有，则可以在公共站点C处转车；如果没有则又要考虑二次换乘的乘车方案，即乘坐经过A站点的车到某一站点C下车，在经过C站点的车与经过B站点的车是否有公共站点D，如果有就在D转车，两次转车可到达B；如果还没有，则需要三次换乘或三次以上才可以到达目的地。
上述情况中存在不止一种的选择方案，则再考虑选择综合因素最高的作为优先的乘车方案。
问题二的分析：问题二比问题一多考虑了地铁，这使求解的情况变得更为复杂，也将产生更多的乘车方案供我们选择。
一个地铁站同时与N 个公交车车站相交。
这样，当我们搜索交点时，在地铁上面要复杂些。
不但要区别T1、T2的行进方式（一个往返，一个环行），还要遍历每个汽车站才行。
特别是搜索地铁和公交、地铁和地铁的交点时，要有清晰的区分。
问题三的分析：在没有考虑各站点的步行时间时，我们往往得到的结果不是最佳的，因为有可能乘客通过步行换乘到另一个站点乘车，这是及其可能的事情。
既然给了步行时间就要和没给步行时间对比，因为一个乘客可能步行到另一个站点并且另一个站点怎样选择，另外也有可能呆在原站点等待下一车次的到来。
总的来说应该分成下面四种情况A 、无需步行，呆在原地等下一车次的到来B 、下车之后马上步行乘上另一车次前行C 、在两线路交叉点有公共站点，可以下车后马上换乘D 、需要步行并在另一站点等车换乘根据以上分析，加上题目中给出的各个站点间的等车耗时，我们可以利用层次分析法和规划论建立模型。
然后再根据费用最低，时间最少模型，综合分析模型进行分别考虑。
3 模型的建立与求解3.1 问题一和问题二的算法与模型建立：该问题用线路模型描述为用一个网络无向图G ，),(E V G =，来表示公交路线及站点分布情况，其中V 表示可能的换车点的集合，E 是边集合，即能通车的路段。
现有P 路车在正常运行，设路别单元i R 表示第i 路车行经的所有站点，}|,,,{21V V V V V R k m e ∈= m k ,2,1 =。
令B 是所有公交路线的集合},2,1|{p i R B i ==，那么，我们的问题是寻找一条最少换乘次数的路径),,,(21n V V V ，即搜索最少的路别单元个数来包括这k 个站点。
对于上述问题的求解，本文把集合的思想和广度优先搜索方法结合，采用集合的逐步向外扩展和两集合之间逐渐逼近的搜索方法，在一个庞大的有向交通网络中，寻找一个最少换乘序列的路径。
以下是基于该思想的最小换乘算法。
（1）公交最小换乘搜索算法思想：步骤一： 输入乘车的起始站点A 和目的站点B ；步骤二： 初始化数据，从给定的文本文件中读取公交车的车次、路线等相关数据，存入自定义的公交车结构体内；步骤三： 搜索公交线路的数据(520条公交车线路)，将经过起始站点A 的公交线路存为()X i (1,2,3,i = n ；n 为正整数);将经过目的地站点B 的公交线路存为()Y j (1,2,3,j = n ；n 为正整数)；步骤四： 判断是否有()X i =()Y j ，如果有，将满足条件的线路存入集合Z 中；若Z 个数≥1,则公交线路()X i ，即()Y j 为从站点A 到站点B 的直达最优线路，输出结果并结束运算；如果没有，则继续往下运行；步骤五： 搜索公交线路的数据，将公交路线()X i 所包含的公交站点（如S3915、S3934等S 开头的站点）存为公交换乘矩阵(,)O i u (1,2,3,u = g ；g 为正整数)，公交线路()Y j 所包含的站点存为公交换乘矩阵；(,)P j v (1,2,3,v = h ；h 为正整数)步骤六： 判断是否有(,)O i u =(,)P j v ，实际上就是判断两条公交线路()X i 、()Y j 有没有共同的站点，有共同的站点就说明乘客可以在该站点换乘其他车次的公交车。
将满足条件的存入W ，若W 的个数≥1，则站点(,)O i u 即(,)P j v 为从站点A 到站点B 的一次换乘站点，公交线路()X i 、()Y j 为换乘一次的可选路线，输出结果并结束运算；步骤七： 搜索公交线路的数据，将经过站点(,)O i u 的公交线路存为()R k (1,2,3,k = g ；g 为正整数)，公交线路()R k 所包含的站点(,)G k t (1,2,3,t = g；g 为正整数)扩充到公交换乘矩阵(,)O i u 中； 步骤八： 判断是否有(,)G k t =(,)P j v ，将满足条件的存入W ，如1W ≥，则站点(,)G k t 即(,)P j v 为从站点A 到站点B 的二次换乘站点，公交线路()X i 、()R k 、()Y j 为换乘二次的可选路线；步骤九： 根据需要，计算出各条可选路线经过的站点数、时间以及总共的乘车费用，以便选择最合适的线路。
根据各方案的要求，从待选方案中选出最优路线，输出结果。
（2）问题一和问题二的模型建立：由以上算法可以得到基于换乘次数最少的公交换乘优先策略。
但是基于这种优先策略所得出的乘车路线不是唯一的，按照不同查询者的不同需求所得到的乘车路线不同。
由此建立以下模型：需求一、仅考虑出行耗时因素由试题附录1中给出的数据，我们可以建立时间需求模型：11m in nij i L j T t <<==∑ …………………………………………①式中，ij t 表示路线i 的第j 项事件所消耗的时间。
这里的事件包括乘车的时间，换车的时间等。
把L 种路线按照出行耗时函数表达式T 分别进行计算，然后按照T 的大小来安排选择。
为了节省时间，乘客首选T 值较小的路线。
当然最终的选择路线并不一定是唯一的，可能为多种平行选择。
需求二：仅考虑出行费用因素；同理，由试题附录1中给出的数据，我们可以得到出行费用模型：{}{}⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥≥++≤≤≥++≥===≤<===≤<=======∑∑==N i i i i i N i i i ii i i i i i i i i D N D N D N D N D N N M 00)41,1(33)401,1(32)41,0,1,0(3)4021,0,1,0(2)200,0,1,0(1)0,0,0(1βααββααββαβαβαβα………② 其中：i α为公汽票价种类，分为单一票价和分段计价，表达式为：⎪⎩⎪⎨⎧==（分段计价））；（单一票价1,.......,3,2,1,0)(0N i i α；i β表示是乘坐公汽还是乘坐地铁，表达式为：⎪⎩⎪⎨⎧==（乘坐地铁））；（乘坐公汽1,.......,3,2,1,0)(0N i i β；把L 种路线按照出行费用函数表达式M 分别进行计算，然后在按照M 的大小来安排选择。
为了节省费用，乘客首选M 值较小的路线。
同理也存在最后的多种平行选择。
需求三：综合考虑出行费用和出行耗时考虑到中国国民的经济情况，我们认为出行费用重要性比出行耗时的重要性的贡献略大。
利用层次分析法建立此需求的模型；此需求受出行费用和出行耗时两个变量决定，由此建立层次结构模型如下所示：图1 层次结构模型成对比较逆称方阵如下所示：表1通过计算得出权数： 则431=ϖ 412=ϖ 即:出行费用重要性：3/4，出行耗时重要性：1/4。
由MATLAB 求出 A 的最大特征值max λ=2在利用判断一致阵定理CI=1max --n nλ ，其中n=2，代入数据的CI=0。
由一致阵定理得上面的判断矩阵是一致阵，即假设构造的矩阵合理。
综合评价函数为：f （X ）=出行耗时出行费用⨯+⨯21w w =3/4×出行费用+1/4×出行耗时 ……………………③依次把初步得到的L 种乘车路线的出行费用和出行耗时代入综合评价函数f （X ）的表达式中，得到f （X ）值最小的为乘客的最佳选择。
3.2 问题一和问题二的求解：（1）问题一的求解按照以上模型及算法，把问题中的6组数据：S3359→S1828 S1557→S0481 S0971→S0485S0008→S0073 S0148→S0485 S0087→S 3676分别代入算法程序当中即可得到基于最少换乘次数N 的选择方式的乘车路线，由于可行方案较多，为了得到最优的可行方案，先对以上可行方案进行初步的筛选，我们提出以下的筛选原则：原则一：出行费用和出行耗时两者都比较大的首先剔除掉。
原则二：如图2所示：图中若公交C 、D 、E 、F 中的任意一个才可以到达B,只保留其中任意一个即可。
