2011年全国高考试卷I理科数学试卷分析

、选择题（共12小题，每小题5分, （5分）复数冬-的共轭复数是（1-21『丫[] / /*疋=1：戸=1/ 输了箱束（5分）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学 参加各个小组的可能性相同，贝U 这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为c l（5分）已知角0的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线（5分）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，贝U 相应的侧视2011年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）2. 3. A 3. A . 丁 （5分）下列函数中，既是偶函数又在 A . y=2x 3B . y=| x|+ 1C.- i D . i（0，+X ）上单调递增的函数是（y=- x 2+4D . y=2-lxl（5分）执行如图的程序框图，如果输入的 N 是6，那么输出的卩是（满分60分）1. k-k-[A . 120B . 720 C. 1440 D . 50404. 5. y=2x 上，贝U cos2 0 =A .-1B .6.图可以为（ ）10. （5分）已知庁与b 均为单位向量，其夹角为 0,有下列四个命题P i : ||a +b |[0, ¥）； P 4： |；-b | > 1? 0€ （罟，n ；其中的真命题是（的横坐标之和等于（ ）B .8. I 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，I 与C交于A , B 两点，|AB 为C 的实轴长的2倍，贝U C 的离心率为（ ）A .西B.巫C. 2〔蕊丄卢的展开式中各项系数的和为 D . 39. （5分）（冲 为（ ） A .— 40B .- 20C. 202,则该展开式中常数项 D . 40（5分）由曲线 A .乎y M ，直线y=x - 2及y 轴所围成的图形的面积为（ C 16B . 4D . 6>1? 0€[0,Qjr f才)；P 2： |b +b | > 1? 0€(,n ; P 3： | a -b | > 1? 0€D . P 2, P 4TT11. (5 分)设函数 f (x ) =sin ( wx©) +cos ( wx©) W >0■冲 |<-—^ 的最 A . P 1, P 4B . P l , P 3 C. P 2, P 3小正周期为n 且f （- X ）=f （x ）, TTA . f （X ）在-^）单调递减TTC. f （刈在（0,可）单调递增则（ ）C £ /、* / 兀 3 兀B. f （X ）在（一，三D . f （X ）在（¥，乎）单调递增4 4 ）单调递减12 （ 5分）函数y 占的图象与函数y=2sin ,（- 2<x < 4）的图象所有交点A . 8B . 6C. 4 D . 2【正视E ） tW?视图）十 一，则z=x+2y 的最小值为 .14. （5分）在平面直角坐标系xOy,椭圆C 的中心为原点，焦点F 1F 2在x 轴上， 离心率为』2.过F l 的直线交于A , B 两点，且△ AB 冋的周长为16,那么C2 的方程为.15. （5分）已知矩形ABCD 的顶点都在半径为4的球0的球面上，且AB=6, BC=V3，则棱锥0- ABCD 的体积为 ________ .16. _________________________________________________________ （5分）在^ ABC 中，B=60°, AC ，则AB+2BC 的最大值为 ________________ .三、解答题（共8小题，满分70 分）17. （12分）等比数列｛a n ｝的各项均为正数，且 2a 1+3a 2=1，a 32=9a 2a 6, （I ）求数列｛a n ｝的通项公式；（n ）设b n =log 3a 1+log 3a 2+・・+log 3a n ，求数列｛丄｝的前n 项和.18. （12分）如图，四棱锥P- ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，/ DAB=60 , AB=2AD, PD 丄底面 ABCD(I )证明：PA! BD;二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分） 13（5分）若变量x,y 满足约束条件戸虽+応9（n ）若PD=AD,求二面角A- PB- C的余弦值.C19. （12分）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品，现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果:A配方的频数分布表指标值分组[90，94）[94, 98)[98, 102)[102，106)[106，110]频数20 42 22B配方的频数分布表指标值分组[90，94）[94，98)[98，102)[102，106)[106，110]频数12 42 32 10 （I）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率;（n）已知用B配方生成的一件产品的利润y （单位：元）与其质量指标值t的卜2, t<94 ■关系式为y= 2, 9Kt<lC2£ 1>102从用B配方生产的产品中任取一件，其利润记为X （单位：元），求X的分布列及数学期望.（以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率）20. (12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (0,- 1), B 点在直线y=-3 上，M 点满足両// 61,冠云丽冠,M 点的轨迹为曲线 C.(I )求C 的方程；(n) P 为C 上的动点，I 为C 在P 点处的切线，求O 点到I 距离的最小值.型蔓■+&，曲线y=f (X )在点(1, f (1))处的切 线方程为x+2y - 3=0.(I )求a 、b 的值；(n )如果当 x >0,且 x M 1 时，f (x )>22. (10分)如图，D , E 分别为△ ABC 的边AB , AC 上的点，且不与^ ABC 的顶 点重合.已知AE 的长为m , AC 的长为n , AD , AB 的长是关于x 的方程x 221. (12分)已知函数f (x ) 霁青，求 k 的取值范围.-14x+mn=0的两个根.(I )证明：C, B, D, E四点共圆;求C, B, D, E所在圆的半径.是Ci 上的动点，P 点满足0P =OT , P 点的轨迹为曲线 Q(I)求C 2的方程;(n)在以o 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中， 射线于极点的交点为A ,与C 2的异于极点的交点为B,求| AB| .24.设函数 f (x ) =|x -a|+3x ,其中 a >0.(I)当a=1时，求不等式f (x )> 3x+2的解集(n )若不等式f (x )< 0的解集为｛x| x <- 1｝，求a 的值.23.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为 y=2+2sinCt (a 为参数)M0 = 与 C i 的异【点评】本题是基础题, 考查复数代数形式的混合运算，共轭复数的概念，常 考题型.2. （5分）下列函数中,既是偶函数又在（0, +^）上单调递增的函数是（）B . y=|x|+1 【考点】3K:函数奇偶性的性质与判断. 【专题】11:计算题；51:函数的性质及应用.【分析】由函数的奇偶性和单调性的定义和性质，对选项一一加以判断，即可 得到既是偶函数又在（0, +X ）上单调递增的函数.【解答】解：对于A . y=2x 3，由f （- x ） =-2x 3=- f （x ）,为奇函数，故排除A ; 对于 B . y=| x|+ 1，由 f （- x ） =| - x|+1=f (x ),为偶函数，当 x > 0 时，y=x+1, 是增函数，故B 正确； 对于 C . y=- X 2+4,有 f （- =f （x ）,是偶函数，但x >0时为减函数，故排除参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分） 1. （5分）复数勢的共轭复数是（1-21C.- i的形式，然后求出共轭复数，即可.2+i =少+¥（l+2i 〔型_=i ，它的共轭复数为：-i .故选：c.2011年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）D . i【考点】 A5:复数的运算. 【专题】 11:计算题.【分析】复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，复数化简为 a+bi (a , b € R )【解答】解：复数*…1-21 C1-2OC1+2D 5C；对于D. y=2^lxl，有f （- X）=f （x），是偶函数，当x> 0时，y=2「x，为减函数, 故排除D.故选：B.【点评】本题考查函数的性质和运用，考查函数的奇偶性和单调性及运用，注意定义的运用，以及函数的定义域，属于基础题和易错题.3. （5分）执行如图的程序框图，如果输入的N是6，那么输出的卩是（）『丫[]/输沁・/*疋=1：戸=1k-k-[/ 输了箱束A. 120B. 720C. 1440D. 5040【考点】EF:程序框图.【专题】5K:算法和程序框图.【分析】执行程序框图，写出每次循环P, k的值，当k v N不成立时输出P的值即可.【解答】解：执行程序框图，有N=6, k=1，p=1P=1,k v N成立，有k=2P=2, k v N成立，有k=3第11页（共30P=6, k v N 成立，有 k=4 P=24, k v N 成立，有 k=5 P=120, k v N 成立，有 k=6P=720, k v N 不成立，输出P 的值为720. 故选：B.【点评】本题主要考察了程序框图和算法，属于基础题.4. （5分）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学 参加各个小组的可能性相同，贝U 这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为c l本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数是 件的事件是这两位同学参加同一个兴趣小组有 3种结果，根据古典概型概率公式得到结果.【解答】解：由题意知本题是一个古典概型, 试验发生包含的事件数是3 X 3=9种结果，满足条件的事件是这两位同学参加同一个兴趣小组, 由于共有三个小组，则有3种结果， 根据古典概型概率公式得到P 弓#, 故选：A .【点评】本题考查古典概型概率公式，是一个基础题，题目使用列举法来得到 试验发生包含的事件数和满足条件的事件数，出现这种问题一定是一个必得 分题目.5. （5分）已知角0的顶点与原点重合，始边与X 轴的正半轴重合，终边在直线 y=2x 上，则 cos2 0 =）B .【考点】 CB:古典概型及其概率计算公式.【专题】 51:概率与统计.3 X 3种结果，满足条 【分析】A.-4B .- 3C•耳亏5GS:二倍角的三角函数；15:直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系.根据直线的斜率等于倾斜角的正切值，由已知直线的斜率得到tan 0的值，然后根据同角三角函数间的基本关系求出cos B的平方，然后根据二倍角的余弦函数公式把所求的式子化简后，把cos0的平方代入即可求出值. 【解答】解：根据题意可知：tan 0 =2所以coS20 —=_——¥，sec^ 6 tan，9 +1 5则cos2 0 =2c（2s0- 1=2xi - 1 = -3.- N故选：B.【点评】此题考查学生掌握直线的斜率与倾斜角之间的关系，灵活运用同角三角函数间的基本关系化简求值，是一道中档题.6. （5分）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，贝U相应的侧视图可以为（）（正视S）（俯视图）【考点】L7:简单空间图形的三视图.【专题】13:作图题.【分析】由俯视图和正视图可以得到几何体是一个简单的组合体，是由一个三棱锥和被轴截面截开的半个圆锥组成，根据组合体的结构特征，得到组合体【考点】【专题】11:计算题.【分析】A. B.第13页（共30的侧视图.【解答】解：由俯视图和正视图可以得到几何体是一个简单的组合体, 是由一个三棱锥和被轴截面截开的半个圆锥组成, •••侧视图是一个中间有分界线的三角形, 故选：D .【点评】本题考查简单空间图形的三视图，考查由三视图看出原几何图形，再 得到余下的三视图，本题是一个基础题.7. （5分）设直线I 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直, 交于A , B 两点，|AB 为C 的实轴长的2倍，贝U C 的离心率为（A.西B. V32 _ 一 —不妨设双曲线C:务壬匸1，焦点F （-c , 0）,由题设知务玉二1, a 『 a t/ 由此能够推导出C 的离心率.2 ca y= 士 - ，a •并2 , • ------- =4 a ,a b 2=2a 2,c 2- a 2=2a 2, c 2=3a 2,•••珥吨.D . 3C. 2 【考点】 KC 双曲线的性质. 【专题】 11:计算题.【分析】【解答】解: 2 2不妨设双曲线C :务七二1 焦点F (- c , 0）,对称轴y=0, 由题设知故选：B.【点评】本题考查双曲线的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用.&（5分）（耳亡）〔羽三广的展开式中各项系数的和为2,则该展开式中常数项为（）A.—40B.- 20C. 20D. 40【考点】DA:二项式定理.【专题】11:计算题.【分析】给x赋值1求出各项系数和，列出方程求出a；将问题转化为二项式的系数和；利用二项展开式的通项公式求出通项，求出特定项的系数.【解答】解：令二项式中的x为1得到展开式的各项系数和为1+a1+a=2--a=1••• 6』）（2藍-丄）5=G£』）（2葢-丄）II 一一=K（2X-丄）P^CSx-—}1 5 1•••展开式中常数项为（2二）的丄与）C的系数和•••丄）展开式的通项为T r+1= （- 1）r25-r C5r x5-2r• “ 1 ” ................................. -— K展开式中常数项为8C52- 4C53=40故选：D.【点评】本题考查求系数和问题常用赋值法、考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题.9. （5分）由曲线y M，直线y=x- 2及y轴所围成的图形的面积为（A.#B. 4 C•寻B. 4 D. 6第15页（共30【考点】69:定积分的应用.【专题】11:计算题.【分析】利用定积分知识求解该区域面积是解决本题的关键，要确定出曲线y=^，直线y=x- 2的交点，确定出积分区间和被积函数，利用导数和积分的关系完成本题的求解.【解答】解：联立方程f皿得到两曲线的交点（4, 2），.尸旷2因此曲线y M，直线y=x- 2及y轴所围成的图形的面积为:【点评】本题考查曲边图形面积的计算问题，考查学生分析问题解决问题的能力和意识，考查学生的转化与化归能力和运算能力，考查学生对定积分与导数的联系的认识，求定积分关键要找准被积函数的原函数，属于定积分的简单应用问题.10. （5分）已知庁与b均为单位向量，其夹角为0,有下列四个命题P i: ||a+b|>1? 0€[0，警）；P2：苗恳| > 1? 0€（，n ；P3：| a-b| > 1? 0€TT [0,丐-）；P：if TT13- b| > 1? 0€ （丐-，n ；其中的真命题是（A. P1, F4B. P1，P3C. P2，P3D. P2，P4.故选C.第17页（共30【考点】91 :向量的概念与向量的模；9B :向量加减混合运算；9E :向量数乘 和线性运算.【分析】利用向量长度与向量数量积之间的关系进行转化求解是解决本题的关 键，要列出关于夹角的不等式，通过求解不等式得出向量夹角的范围. 【解答】解：由 |a-b |>1，得出 2-2COS 41，即 cos 0<X ，又 0€ [0，n ， 2 牛，n ，故P 3错误，P 4正确.由|；+7| > 1，得出2+2cos 0> 1，即卩cos O-i ，又0€ [ 0， n ，故可以得出 0【点评】本题考查三角不等式的求解，考查向量长度不等式的等价转化，考查 向量数量积与向量长度之间的联系问题，弄清向量夹角与向量数量积的依赖 关系，考查学生分析问题解决问题的思路与方法，考查学生解题的转化与化 归能力.11. (5 分)设函数 f (X )=sin (wx©) +COSH5:正弦函数的单调性；HK :由y=Asin （ wx®的部分图象确定其解析式.利用辅助角公式将函数表达式进行化简，根据周期与 w 的关系确定出 w 的值，根据函数的偶函数性质确定出 ©的值，再对各个选项进行考查筛选.TT【解答】 解：由于 f （X ）=sin （wx ?） +COS （wX ?） 軒~孑），故可以得出0€（警），故P 2错误，P 1正确. 故选：A .€ [0, 小正周期为n ，且f （- X ） =f （X ），牛）单调递减A . f （X ）在（0,（刈在（0, 今）单调递增则（B.D . f3兀 （4，4 '3兀・ （4'4 ' (wX©) 冲 I )的最【考点】 【专题】 57:三角函数的图像与性质.【分析】（X ）在）单调递减 （X ）在）单调递增由于该函数的最小正周期为T 型、，得出CD =2又根据 f （- X ） =f （X ）,得 ©+芈 €-+k n （k € Z ），以及 I 咁 <£-,得出 © =4 2 2 4 因此，f （x ） =^^“口〔2尤十€^）刊/^°°5“'若x €〔0,=），贝U 2x €（ 0， n ），从而f （x ）在© 2L ）单调递减, 若x € （芋，普44该区间不为余弦函数的单调区间，故 B , C, D 都错，A 正确. 故选：A .【点评】本题考查三角函数解析式的确定问题，考查辅助角公式的运用，考查 三角恒等变换公式的逆用等问题，考查学生分析问题解决问题的能力和意识, 考查学生的整体思想和余弦曲线的认识和把握.属于三角中的基本题型.的横坐标之和等于（ ）当 1<x < 4 时，y i < 0而函数y 2在（1，4） 上出现1.5个周期的图象, 在（1，［嘗）和（£，魯）上是减函数；），则2x € （冷-，甞 ),12 （5分）函数y 占的图象与函数y=2sin ,（- 2<x < 4）的图象所有交点A . 8B . 6 C. 4 D . 2【考点】 57: 函数与方程的综合运用. 51:函数的性质及应用；54:函数y1^^与y 2=2sin n 的图象有公共的对称中心（1，0），作出两个 L-X函数的图象，利用数形结合思想能求出结果. 【解答】解：函数y 1』一，1-Xy 2=2sin n 的图象有公共的对称中心（1，0）， 作出两个函数的图象，如图，【专题】 【分析】 等差数列与等比数列.2' 2 2，2 ，在（寻，寻）和（I ，4） 上是增函数.第19页（共30•••函数y 1在（1, 4）上函数值为负数， 且与y 2的图象有四个交点E 、F 、G 、H 相应地，y i 在（-2, 1） 上函数值为正数, 且与y 2的图象有四个交点A 、B 、C 、D且：X A +X H =X B +X G =X C +X F =X D +X E =2， 【点评】本题考查两个函数的图象的交点的横坐标之和的求法，是基础题，解 题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用.二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13. （5分）若变量X , y 满足约束条件£严+二?16 抵 x-yS ： 9随着增大，当直线过 A 点时，z 取到最小值，求出两条直线的交点坐标，代 入目标函数得到最小值.【解答】解：在坐标系中画出约束条件的可行域, 得到的图形是一个平行四边形，,则z=x+2y 的最小值为【考点】 7C:简单线性规划. 【专题】 11:计算题.【分析】 在坐标系中画出约束条件的可行域，得到的图形是一个平行四边形, ，当直线沿着y 轴向上移动时， 把目标函数z=X+2y 变化为y= - 2z 的值故所求的横坐标之和为8.目标函数z=x+2y , 变化为y=-丄X 止,2 2当直线沿着y 轴向上移动时，z 的值随着增大, 当直线过A 点时，z 取到最小值， 由y=x - 9与2x+y=3的交点得到A (4,- 5) 【点评】本题考查线性规划问题，考查根据不等式组画出可行域，在可行域中, 找出满足条件的点，把点的坐标代入，求出最值.14. （5分）在平面直角坐标系xOy,椭圆C 的中心为原点，焦点F 1F 2在X 轴上， 离心率为返.过F 的直线交于A , B 两点，且△ ABE 的周长为16,那么C22 2的方程为鼻+匚=1.—16_ 8根据题意，△ ABF 2的周长为16，即BF 2+AF 2+BF 1+AF 1=16,结合椭圆的 有4a=16,即可得a 的值；又由椭圆的离心率，可得 c 的值，进而可【考点】 K4:椭圆的性质. 【专题】 11:计算题；16:压轴题.【分析】 定义,••• z=%2 (- 5) =-6第21页（共30页）得b 的值；由椭圆的焦点在x 轴上，可得椭圆的方程.【解答】解：根据题意，△ ABE 的周长为16,即B 冃+A 冃+BF 1+AF 1=16; 根据椭圆的性质，有4a=16,即a=4； 椭圆的离心率为*2,2 将a ^2c ,代入可得，2 2则椭圆的方程为牯^ = 1； 2 2故答案为：亲即1.【点评】本题考查椭圆的性质，此类题型一般与焦点三角形联系，难度一般不 大；注意结合椭圆的基本几何性质解题即可.15. （5分）已知矩形ABCD 的顶点都在半径为4的球0的球面上，且AB=6, BC=^，则棱锥0-ABCD 的体积为 &胚 .11:计算题；16:压轴题.由题意求出矩形的对角线的长，结合球的半径，球心到矩形的距离,满足勾股定理，求出棱锥的高，即可求出棱锥的体积.离为：d 护）2=2, 所以棱锥0- ABCD 的体积为：寺X 時X 2=^3.故答案为：8/3【点评】本题是基础题，考查球内几何体的体积的计算，考查计算能力，空间 想象能力，常考题型.16. （5 分）在^ ABC 中，B=60°, Ac Vs ，则 AB+2BC 的最大值为 一^一.，贝y a ^2c ， 即£a c=^2，贝Ub 2=a 2 -c 2=8;【考点】 LF:棱柱、棱锥、棱台的体积.【专题】 【分析】 【解答】解：矩形的对角线的长为: 閉:亦F 二晒，所以球心到矩形的距第22页（共30页）设AB=c AC=b BC=a 利用余弦定理和已知条件求得 a 和c 的关系，设 c+2a=m 代入，利用判别大于等于0求得m 的范围，贝U m 的最大值可得. 【解答】解：设AB=c AC=b BC=a 由余弦定理2 , 2 ,2 cosB 昌 +C f 2ac 所以 a 2+c 2 - ac=b 2=3 设 c+2a=m 代入上式得 7a 2- 5am+m 2 - 3=0△ =84 - 3m 2 >0 故 m < 2听a 马2，普符合题意因此最大值为2衍sinC slnA sinB sinSO" 所以 AB=2sinC BC=2sinA所以 AB+2BC=2sin(+4sinA=2sin (120° - A ) +4sinA =2 (sin 120 cosA- cos120 si nA ) +4si nA W3cosA+5si nA =^sin （A+®,（其中 sin cos所以AB+2BC 的最大值为2听. 故答案为：2^7【点评】本题主要考查了余弦定理的应用.涉及了解三角形和函数思想的运用.三、解答题（共8小题，满分70 分）【考点】 HR 余弦定理.【专题】 11:计算题；16:压轴题.【分析】 当m=2jV 时，此时 另解：因为B=60°, A+B+C=180,所以 A+C=120,由正弦定理，有 AB 二 BC 二 AC17. (12分)等比数列｛a n ｝的各项均为正数，且 2a i +3a 2=1，a 32=9a2a 6, (I )求数列｛an ｝的通项公式；(n)设 b n =log 3a 1+Iog 3a 2+…+log 3a n ，q ,由a 32=9a 2a 6，禾U 用等比数列的通项公式化简后得到关于q 的方程，由已知等比数列的各项都为正数，得到满足题意 q 的值，然后再根据等比数列的通项公式化简 2a i +3a 2=1，把求出的q 的值代 入即可求出等比数列的首项，根据首项和求出的公比 q 写出数列的通项公式 即可;(n)把(I)求出数列｛a n ｝的通项公式代入设 bn=log 3a i +log 3a 2+-+log 3a n ，利 用对数的运算性质及等差数列的前n 项和的公式化简后，即可得到b n 的通项由条件可知各项均为正数，故 q 丄.J由 2a 1+3a 2=1 得 2a 1+3a 1q=1，所以 a 1吉.(n) bn="g ；i + "g 牛+・・+1 口g ；n = -( 1+2+・・+ n)=-门8+ L )=-2(丄-音)n n+1 =-2[ (1卡+(寺肖所以数列｛占｝的前n 项和为-单-.% 卅1【点评】此题考查学生灵活运用等比数列的通项公式化简求值，掌握对数的运 算性质及等差数列的前n 项和的公式，会进行数列的求和运算，是一道中档第20页(共30页)求数列｛丄｝的前n 项和.【考点】 88:等比数列的通项公式; 8E :数列的求和.【专题】 54:等差数列与等比数列.(I )设出等比数列的公比【分析】 公式,各项,【解答】求出倒数即为丄的通项公式，然后根据数列的通项公式列举出数列的 抵消后即可得到数列｛山｝的前n 项和. 解：(I )设数列｛a n ｝的公比为q ，由a 32=9a2a 6得a 32=9a 2，所以q 2* .3故数列｛an ｝的通项式为 an —故丄-2 故》nS+1〕则？+? +bi E %全国统一高考试卷试题第25页(共30页)(I )因为/ DAB=60 , AB=2AD,由余弦定理得BD 需AD ，利用勾股定 理证明BD 丄AD ，根据PD 丄底面ABCD 易证BD 丄PD,根据线面垂直的判定 定理和性质定理，可证 PA ! BD ;(n)建立空间直角坐标系，写出点A, B, C, P 的坐标，求出向量疋，豆，祝,和平面PAB 的法向量，平面PBC 的法向量，求出这两个向量的夹角的余弦值 即可.【解答】(I)证明：因为/ DAB=60, AB=2AD,由余弦定理得BD ^AD , 从而 BD 2+AD 2=A B^，故 BD !AD 又PD 丄底面ABCD ,可得BD 丄PD 所以BD 丄平面PAD.故PA1 BD(n)如图，以D 为坐标原点，AD 的长为单位长,射线DA 为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系 D -xyz ，则题.18. (12 分) 如图，四棱锥P- ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，/ DAB=60 , AB=2AD, PD 丄底面ABCD【考点】 LW 直线与平面垂直；MJ :二面角的平面角及求法.【专题】 11:计算题；14:证明题；15:综合题；31 :数形结合；35:转化思 想.【分析】 (I )证明:PA! BD;PB- C 的余弦值.全国统一高考试卷试题A (1, 0, 0),B (0,頂，0),C (- 1,7^, 0), P (0, 0, 1). 忑=(-1, 7^, 0),耳=(0,7^,- 1),蔗=(-1, 0,0),第26页（共30页）全国统一高考试卷试题第27页(共30页)即：可取鼻(0, 1^3), COSV 恳【点评】此题是个中档题.考查线面垂直的性质定理和判定定理，以及应用空 间向量求空间角问题，查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决 问题能力.19. （12分）某种产品的质量以其质量指标值衡量， 质量指标值越大表明质量越 好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品，现用两种新配方（分别 称为A 配方和B 配方）做试验，各生产了 100件这种产品，并测量了每件产 品的质量指标值，得到下面试验结果: A 配方的频数分布表[94, 98) [98, 102) [102, 106) [106, 110]设平面PAB 的法向量为n= （X , y , z ),则,n*PB=O因此可取：二（｛5, 1,血）设平面PBC 的法向量为Tr =（X ， y ，z ），则 _m^PB=O指标值分组[90, 94）全国统一高考试卷试题频数20 42 22B配方的频数分布表第28页（共30页）全国统一高考试卷试题指标值分组[90, 94) [94, 98) [98, 102) [102, 106) [106, 110] 频数12 42 32 10 (I)分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率;(n)已知用B配方生成的一件产品的利润y (单位：元)与其质量指标值t的C-2, t<94 ■关系式为y= 2, 9Kt<lC2£ 1>102从用B配方生产的产品中任取一件，其利润记为X (单位：元)，求X的分布列及数学期望.(以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率)【考点】B2:简单随机抽样；BB:众数、中位数、平均数；CH:离散型随机变量的期望与方差.【专题】11:计算题；15:综合题.【分析】(I)根据所给的样本容量和两种配方的优质的频数，两个求比值，得到用两种配方的产品的优质品率的估计值.(II )根据题意得到变量对应的数字，结合变量对应的事件和第一问的结果写出变量对应的概率，写出分布列和这组数据的期望值.【解答】解(I )由试验结果知，用A配方生产的产品中优质的频率为瓷-Q.3•••用A配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3.由试验结果知，用B配方生产的产品中优质品的频率为塔•••用B配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42;(n)用B配方生产的100件产品中，其质量指标值落入区间[90, 94)，[94, 102)，[102, 110]的频率分别为0.04, 0.54, 0.42,••• P (X=— 2) =0.04, P (X=2) =0.54, P (X=4) =0.42,即X的分布列为第29页(共30页)全国统一高考试卷试题第30页（共30页）••• X 的数学期望值 EX=- 2 X 0.04+2 X 0.54+4 X 0.42=2.68【点评】本题考查随机抽样和样本估计总体的实际应用，考查频数，频率和样 本容量之间的关系，考查离散型随机变量的分布列和期望，本题是一个综合 问题20. （12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （0，- 1），B 点在直线y=-3 上, M 点满足丽//武冠 爸砸顽，M 点的轨迹为曲线C. （I ）求C 的方程；（n ） P 为C 上的动点，l 为C 在P 点处的切线，求O 点到l 距离的最小值.【考点】9S:数量积表示两个向量的夹角；KH :直线与圆锥曲线的综合. 【专题】11:计算题；15:综合题；33:函数思想；36:整体思想.【分析】（I ）设M （x ，y ），由已知得B （x ，-3），A （0，- 1）并代入丽//玉,二阳?弘，即可求得M 点的轨迹C 的方程;（n ）设P （X 0, y 0）为C 上的点，求导，写出C 在P 点处的切线方程，利用点到直线的距离公式即可求得 O 点到I 距离，然后利用基本不等式求出其最小 值.【解答】解：(I )设M (X , y ),由已知得B (X ,- 3), A (0,- 1). 所血二(-X ,- 1 - y ),血=(0,__ -------- --- ----- ► 一再由题意可知（?AE =0，即（-X ，- 4-2y ） ? （x ，- 2） =0. 所以曲线C 的方程式为炖/- 2.为女X0, 因此直线 l 的方程为 y - y 0令X 0 (x - x 0)，即卩 X 0X - 2y+2y 0 - X 02=0.0.040.54 0.42-3 - y )，AB = (x ，- 2).（n ）设 P （X 0, y 0）为曲线 C :-2上一点，因为y 专X ,所以l 的斜率全国统一高考试卷试题第31页（共30页）则0点到I 的距离dJ 争F 丨.又yo d 2 -2,片 4 0P 仃 ^+4, --------- N所以d w^^w 严2, 所以x o 2=O 时取等号，所以0点到I 距离的最小值为2. 【点评】此题是个中档题.考查向量与解析几何的交汇点命题及代入法求轨迹 方程，以及导数的几何意义和点到直线的距离公式，综合性强，考查了同学 们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力.线方程为x+2y - 3=0. （I ）求a 、b 的值；程.15:综合题；16:压轴题；32:分类讨论；35:转化思想.（I ）求出函数的导数；利用切线方程求出切线的斜率及切点；利用函数在切点处的导数值为曲线切线的斜率及切点也在曲线上，列出方程组，求出 a ，b 值.（II ）将不等式变形，构造新函数，求出新函数的导数，对参数 k 分类讨论，判 断出导函数的符号，得到函数的单调性，求出函数的最值，求出参数 k 的范围.【解答】解：由题意f （1） =1，即切点坐标是（1,1）（1）F ◎弋亍事由于直线x+2y -3=0的斜率为I 寺且过点（1, 1），故21. （12分）已知函数f （x ） 型斗，工+1曲线y=f （X ）在点（1, f （ 1））处的切（n ）如果当x >0,且x M 1时，f （X ） —，求k 的取值范围.> S-1 X【考点】 6E:利用导数研究函数的最值;6H :利用导数研究曲线上某点切线方【专题】 【分析】全国统一高考试卷试题b 二 1过1解得a=1, b=1.—— 2 2（n ）由（I ）知f G ）二上寻』，所以x+1 XK 一1 K 1-K考虑函数h&)二旦空Jk-na T) (x >0),则（i ）设 k < 0,由 h ，知，当 x M 1 时, (1) =0,故(ii )设 0v k v 1.由于当 x €( 1,占)时，(k - 1) (x 2+1) +2x >0,故 h' (x )1-k> 0,而 h( 1) =0,故当 “(1^)时，h( x)>0,可h (x)v 0,与题设矛盾.(iii )设 k > 1.此时 h (x )>0,而 h (1) =0,故当 x €( 1, +^)时，h (x ) >0,可得一q h （x ）v 0,与题设矛盾.1-/ 综合得，k 的取值范围为（--,0].【点评】本题考查导数的几何意义：函数在切点处的导数值是切线的斜率、考 查构造函数，通过导数研究函数的单调性，求出函数的最值、考查了分类讨 论的数学思想方法.22. （10分）如图，D , E 分别为△ ABC 的边AB , AC 上的点，且不与^ ABC 的顶点重合.已知AE 的长为m ，AC 的长为n ，AD ，AB 的长是关于x 的方程x 2 第26页（共30页）IX （』T ）（S 也h (x )v 0 .而 h当 x €( 0, 1)时，h (x)v 0,可得-A_^hCx>>Ci ;1- /当 x €( 1, +x)时，h (x)v 0,可得—^h (x )> 01-s^ 从而当 x >0,且 xM 1 时，f (x )-( InxX-1 XA ）> 0，即 f （ x ）>如As-L y第33页(共30页)-14x+mn=0的两个根.(I)证明：C, B , D , E 四点共圆;(n)若/ A=90°,且m=4, n=6，求C, B ，D ，E 所在圆的半径.(I )做出辅助线，根据所给的 AE 的长为m , AC 的长为n , AD , AB 的 长是关于x 的方程x 2 - 14x+mn=0的两个根，得到比例式，根据比例式得到三 角形相似，根据相似三角形的对应角相等，得到结论.(II )根据所给的条件做出方程的两个根，即得到两条线段的长度，取CE 的中点G , DB 的中点F ,分别过G , F 作AC, AB 的垂线，两垂线相交于H 点，连 接DH ,根据四点共圆得到半径的大小.【解答】解：(I )连接DE,根据题意在△ ADE 和^ACB 中, AD X AB=mn=AE< AC,又/ DAE=/ CAB 从而△ ADE^A ACB 因此/ ADE=Z ACB ••• C, B , D , E 四点共圆.(n ) m=4, n=6 时，方程 x 2 - 14x+mn=0 的两根为 x i =2, x 2=12. 故 AD=2, AB=12.【考点】 N7:圆周角定理; NC : 与圆有关的比例线段. 【专题】 11:计算题；14: 证明题.【分析】 B。

2011年高考题全国卷II 数学试题·理科全解全析（1）复数1z i =+，z 为z 的共轭复数，则1zz z --= （A ）2i - （B ）i - （C ）i（D ）2i【思路点拨】先求出的z 共轭复数,然后利用复数的运算法则计算即可。

【精讲精析】选B.1,1(1)(1)(1)1z i zz z i i i i =---=+----=-.（2）函数0)y x =≥的反函数为（A ）2()4x y x R =∈ （B ）2(0)4x y x =≥ （C ）24y x =()x R ∈（D ）24(0)y x x =≥【思路点拨】先反解用y 表示x,注意要求出y 的取值范围，它是反函数的定义域。

【精讲精析】选 B.在函数0)y x =≥中，0y ≥且反解x 得24y x =，所以0)y x =≥的反函数为2(0)4x y x =≥.（3）下面四个条件中，使a b ＞成立的充分而不必要的条件是（A ）1a b +＞ （B ）1a b -＞ （C ）22a b ＞ （D ）33a b ＞【思路点拨】本题要把充要条件的概念搞清，注意寻找的是通过选项能推出a>b ，而由a>b 推不出选项的选项.【精讲精析】选A.即寻找命题P 使P ,a b a b ⇒>>推不出P ，逐项验证可选A 。

（4）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差2d =，224k k S S +-=，则k = （A ）8 （B ）7 （C ）6 （D ）5【思路点拨】思路一：直接利用前n 项和公式建立关于k 的方程解之即可。

思路二： 利用221k k k k S S a a +++-=+直接利用通项公式即可求解，运算稍简。

【精讲精析】选D.22112(21)2(21)224 5.k k k k S S a a a k d k k +++-=+=++=++⨯=⇒=（5）设函数()cos (0)f x x ωω=＞，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于 （A ）13（B ）3 （C ）6 （D ）9 【思路点拨】此题理解好三角函数周期的概念至关重要，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，说明了3π是此函数周期的整数倍。

1. 复数1z i =+，z 为z 的共轭复数，则1z z z --=【精讲精析】选B .1,1(1)(1)(1)1z i z z z i i i i =---=+----=- 2. 函数2(0)y x x =≥的反函数为【思路点拨】先反解用y 表示x,注意要求出y 的取值范围，它是反函数的定义域。

【精讲精析】选B .在函数2(0)y x x =≥中，0y ≥且反解x 得24yx =，所以2(0)y x x =≥的反函数为2(0)4xy x =≥.3. 下面四个条件中，使a b ＞成立的充分而不必要的条件是 （A ）1a b +＞ （B ）1a b -＞ （C ）22a b ＞ （D ）33a b >【思路点拨】本题要把充要条件的概念搞清，注意寻找的是通过选项能推出a b ＞，而由a>b 推不出选项的选项.【精讲精析】选A .即寻找命题P 使P ,a b a b ⇒>>推不出P ，逐项验证可选A 。

4. 解：设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差2d =，224k k S S +-=，则k = 【思路点拨】思路一：直接利用前n 项和公式建立关于k 的方程解之即可。

思路二： 利用221k k k k S S a a +++-=+直接利用通项公式即可求解，运算稍简。

【精讲精析】2k k S S +-= 21k k a a +++= 11(21)(11)a k d a k d ++-+++-=12(21)a k d ++21(21)244245k k k =⨯++⨯=+=⇒=故选D 。

5. 设函数()cos (0)f x x ωω=＞，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于【思路点拨】此题理解好三角函数周期的概念至关重要，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，说明了3π是此函数周期的整数倍。

2011年普通高等学校招生全国统一考试理科数学答案解析1.解析：212i i+-=(2)(12),5i i i ++=共轭复数为C 2.解析:由图像知选B3.解析：框图表示1n n a n a -=⋅,且11a =所求6a =720选B4.解析;每个同学参加的情形都有3种,故两个同学参加一组的情形有9种,而参加同一组的情形只有3种,所求的概率为p=3193=选A 5.解析：由题知tan 2θ=,222222cos sin 1tan 3cos2cos sin 1tan 5θθθθθθθ--===-++选B6.解析：条件对应的几何体是由底面棱长为r 的正四棱锥沿底面对角线截出的部分与底面为半径为r 的圆锥沿对称轴截出的部分构成的.故选D7.解析：通径|AB|=224b a a=得2222222b a a c a =⇒-=,选B 8.解析:1.令x=1得a=1.故原式=511()(2)x x x x+-. 512x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的通项51552155(2)()(1)2r r r r r r rr T C x x C x ----+=-=-,由5-2r=1得r=2,对应的常数项=80,由5-2r=-1得r=3,对应的常数项=-40,故所求的常数项为40 ,选D解析2.用组合提取法,把原式看做6个因式相乘,若第1个括号提出x,从余下的5个括号中选2个提出x,选3个提出1x ；若第1个括号提出1x ,从余下的括号中选2个提出1x,选3个提出x.故常数项=223322335353111(2)()()(2)X C X C C C X X X X⋅⋅-+⋅-⋅=-40+80=40 9.解析;用定积分求解43242002116(2)(2)|323s x x dx x x x =-+=-+=⎰,选C10.解析：222cos 22cos 1a b a b a b θθ+=++=+>得, 1cos 2θ>-,20,3πθ⎡⎫⇒∈⎪⎢⎣⎭.由222cos 22cos 1a b a b a b θθ-=++=->得1cos 2θ< ,3πθπ⎛⎤⇒∈ ⎥⎝⎦. 选A11.解析：()2sin()4f x x πωϕ=++,所以2ω=,又f （x ）为偶函数,,424k k k z πππϕπϕπ∴+=+⇒=+∈,()2sin(2)2cos22f x x x π∴=+=,选A12.解析：图像法求解.11y x =-的对称中心是（1,0）也是2sin (24)y x x π=-≤≤的中心,24x -≤≤他们的图像在x=1的左侧有4个交点,则x=1右侧必有4个交点.不妨把他们的横坐标由小到大设为1,2345678,,,,,,x x x x x x x x , 则182736452x x x x x x x x +=+=+=+=,所以选D 13.解析：画出区域图知, 当直线2z x y =+过239x y x y +=⎧⎨-=⎩的交点（4,-5）时,min 6z =-（14.解析：由22416c a a ⎧=⎪⎨⎪=⎩得a=4.c=22,从而b=8,221168x y ∴+=为所求. （15.解析：设ABCD 所在的截面圆的圆心为M,则AM=221(23)6232+=, OM=224(23)2-=,16232833O ABCD V -=⨯⨯⨯=. 16.解析：00120120A C C A +=⇒=-,0(0,120)A ∈,22sin sin sin BC AC BC A A B==⇒= 022sin 2sin(120)3cos sin sin sin AB ACAB C A A A C B==⇒==-=+； 2AB BC ∴+=3cos 5sin 28sin()27sin()A A A A ϕϕ+=+=+,故最大值是2717.解析：（Ⅰ）设数列{a n }的公比为q,由23269a a a =得32349a a =所以219q =. 由条件可知a>0,故13q =. 由12231a a +=得12231a a q +=,所以113a =. 故数列{a n }的通项式为a n =13n . （Ⅱ ）31323n log log ...log n b a a a =+++(12...)(1)2n n n =-++++=-故12112()(1)1n b n n n n =-=--++ 12111111112...2((1)()...())22311n n b b b n n n +++=--+-++-=-++ 所以数列1{}n b 的前n 项和为21nn -+ 18.解析1：（Ⅰ）因为60,2DAB AB AD ∠=︒=, 由余弦定理得3BD AD =从而BD 2+AD 2= AB 2,故BD ⊥AD;又PD ⊥底面ABCD ,可得BD ⊥PD所以BD ⊥平面P AD. 故 P A ⊥BD（Ⅱ）如图,以D 为坐标原点,AD 的长为单位长,射线DA 为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系D-xyz ,则()1,0,0A ,()03,0B ，,()1,3,0C -,()0,0,1P .(1,3,0),(0,3,1),(1,0,0)AB PB BC =-=-=-uu u v uu v uu u v设平面PAB 的法向量为n =（x,y,z ）,则0n AB n PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即 3030x y y z -+=-=因此可取n =(3,1,3)设平面PBC 的法向量为m ,则 0m PB m BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩可取m=（0,-1,3-） 427cos ,727m n -==- 故二面角A-PB-C 的余弦值为 277-（19.解析：（Ⅰ）由试验结果知,用A 配方生产的产品中优质的平率为228=0.3100+,所以用A 配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3.由试验结果知,用B 配方生产的产品中优质品的频率为32100.42100+=,所以用B 配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42（Ⅱ）用B 配方生产的100件产品中,其质量指标值落入区间[)[)[]90,94,94,102,102,110的z xPCBA Dy频率分别为0.04,,054,0.42,因此X 的可能值为-2,2,4P （X=-2）=0.04, P （X=2）=0.54, P （X=4）=0.42, 即X 的分布列为X 的数学期望值EX=-2×0.04+2×0.54+4×0.42=2.6820.解析; （Ⅰ）设M （x,y ）,由已知得B （x,-3）,A （0,-1）.所以MA uuu r=（-x,-1-y ）, MB uuu r =（0,-3-y ）, AB uu u r =（x,-2）.再由题意可知（MA uuu r +MB uuur ）• AB uu u r =0, 即（-x,-4-2y ）• （x,-2）=0.所以曲线C 的方程式为y=14x 2-2. （Ⅱ）设P （x 0,y 0）为曲线C ：y=14x 2-2上一点,因为y '=12x,所以l 的斜率为12x 0 因此直线l 的方程为0001()2y y x x x -=-,即2000220x x y y x -+-=. 则o 点到l 的距离20020|2|4y x d x -=+.又200124y x =-,所以 2020220014142(4)2,244x d x x x +==++≥++当20x =0时取等号,所以o 点到l 距离的最小值为2.21.解析：（Ⅰ）221(ln )'()(1)x x b x f x x xα+-=-+由于直线230x y +-=的斜率为12-,且过点(1,1),故(1)1,1'(1),2f f =⎧⎪⎨=-⎪⎩即1,1,22b a b =⎧⎪⎨-=-⎪⎩解得1a =,1b =.（Ⅱ）由（Ⅰ）知ln 1f ()1x x x x=++,所以22ln 1(1)(1)()()(2ln )11x k k x f x x x x x x---+=+--.X -2 2 4P 0.04 0.54 0.42考虑函数()2ln h x x =+2(1)(1)k x x--(0)x >,则22(1)(1)2'()k x x h x x -++=.（i ）设0k ≤,由222(1)(1)'()k x x h x x+--=知,当1x ≠时,'()0h x <,h （x ）递减.而(1)0h =故当(0,1)x ∈时, ()0h x >,可得21()01h x x>-； 当x ∈（1,+∞）时,h （x ）<0,可得211x - h （x ）>0 从而当x>0,且x ≠1时,f （x ）-（1ln -x x +x k ）>0,即f （x ）>1ln -x x +xk.（ii ）设0<k<1.由于2(1)(1)2k x x -++=2(1)21k x x k -++-的图像开口向下,且244(1)0k ∆=-->,对称轴x=111k >-.当x ∈（1,k -11）时,（k-1）（x 2 +1）+2x>0,故'h（x ）>0,而h （1）=0,故当x ∈（1,k -11）时,h （x ）>0,可得211x -h （x ）<0,与题设矛盾.（iii ）设k ≥1.此时212x x +≥,2(1)(1)20k x x -++>⇒'h （x ）>0,而h （1）=0,故当x ∈（1,+∞）时,h （x ）>0,可得211x- h （x ）<0,与题设矛盾. 综合得,k 的取值范围为（-∞,0]点评;求参数的范围一般用离参法,然后用导数求出最值进行求解.若求导后不易得到极值点,可二次求导,还不行时,就要使用参数讨论法了.即以参数为分类标准,看是否符合题意.求的答案.此题用的便是后者. 22.解析：（I ）连接DE,根据题意在△ADE 和△ACB 中,AD AB mn AE AC ⨯==⨯ 即ABAEAC AD =.又∠DAE=∠CAB,从而△ADE ∽△ACB 因此∠ADE=∠ACB 所以C,B,D,E 四点共圆.（Ⅱ）m=4, n=6时,方程x 2-14x+mn=0的两根为x 1=2,x 2=12.故 AD=2,AB=12.取CE 的中点G,DB 的中点F,分别过G,F 作AC,AB 的垂线,两垂线相交于H 点,连接DH.因为C,B,D,E 四点共圆,所以C,B,D,E 四点所在圆的圆心为H,半径为DH. 由于∠A=900,故GH ∥AB, HF ∥AC. HF=AG=5,DF= 21（12-2）=5. 故C,B,D,E 四点所在圆的半径为52 23.解析：（I ）设P （x,y ）,则由条件知M （,22x y）.由于M 点在C 1上,所以2cos ,222sin 2x y αα⎧⎫=⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪=+⎪⎪⎩⎭即 4c o s 44s i n x y αα=⎧⎫⎨⎬=+⎩⎭从而2C 的参数方程为4cos 44sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数） （Ⅱ）曲线1C 的极坐标方程为4sin ρθ=,曲线2C 的极坐标方程为8sin ρθ=. 射线3πθ=与1C 的交点A 的极径为14sin 3πρ=, 射线3πθ=与2C 的交点B 的极径为28sin3πρ=.所以21||||23AB ρρ-==.24.解析：（Ⅰ）当1a =时,()32f x x ≥+可化为|1|2x -≥. 由此可得 3x ≥或1x ≤-.故不等式()32f x x ≥+的解集为{|3x x ≥或1}x ≤-. （ Ⅱ） 由()0f x ≤ 得 30x a x -+≤此不等式化为不等式组30x a x a x ≥⎧⎨-+≤⎩ 或30x aa x x ≤⎧⎨-+≤⎩即 4x a a x ≥⎧⎪⎨≤⎪⎩ 或2x aa x ≤⎧⎪⎨≤-⎪⎩ 因为0a >,所以不等式组的解集为{}|2ax x ≤-由题设可得2a-= 1-,故2a =2019高中教师读书心得体会作为教师，在教授知识的提示，也应该利用空暇时刻渐渐品读一些好书，吸收书中的精华。

2011年普通高等学校招生全国统一考试（全国新） 数学（理）试题解析第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）(2011全国新课标卷理)复数212i i+-的共轭复数是 ( ) （A ）35i - （B ）35i （C ）i - （D ）i 解析：212i i +-=(2)(12),5i i i ++=共轭复数为C（2）(2011全国新课标卷理)下列函数中，既是偶函数又在+∞（0，）单调递增的函数是( )（A ）3y x = （B ） 1y x =+ （C ）21y x =-+ （D ） 2x y -=解析:由图像知选B（3）(2011全国新课标卷理)执行右面的程序框图，如果输入的N 是6，那么输出的p 是( )（A ）120 （B ）720（C ）1440 （D ）5040解析：框图表示1n n a n a -=⋅，且11a =所求6a =720选B（4）(2011全国新课标卷理)有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( )（A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）34解析;每个同学参加的情形都有3种，故两个同学参加一组的情形有9种，而参加同一组的情形只有3种，所求的概率为p=3193=选A（5）(2011全国新课标卷理)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos2θ= ( )（A ）45-（B ）35- （C ）35 （D ）45解析：由题知tan 2θ=,222222cos sin 1tan 3cos2cos sin 1tan 5θθθθθθθ--===-++选B（6）(2011全国新课标卷理)在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示，则相应的侧视图可以为( )解析：条件对应的几何体是由底面棱长为r 的正四棱锥沿底面对角线截出的部分与底面为半径为r的圆锥沿对称轴截出的部分构成的。

2011年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）复数的共轭复数是（）A．B．C．﹣i D．i2．（5分）下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的函数是（）A．y=2x3B．y=|x|+1 C．y=﹣x2+4 D．y=2﹣|x|3．（5分）执行如图的程序框图，如果输入的N是6，那么输出的p是（）A．120 B．720 C．1440 D．50404．（5分）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（）A．B．C．D．5．（5分）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y=2x上，则cos2θ=（）A．﹣ B．﹣ C．D．6．（5分）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为（）A．B．C．D．7．（5分）设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C 交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为（）A．B．C．2 D．38．（5分）的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（）A．﹣40 B．﹣20 C．20 D．409．（5分）由曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为（）A．B．4 C．D．610．（5分）已知与均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题P1：|+|＞1⇔θ∈[0，）；P2：|+|＞1⇔θ∈（，π]；P3：|﹣|＞1⇔θ∈[0，）；P4：|﹣|＞1⇔θ∈（，π]；其中的真命题是（）A．P1，P4B．P1，P3C．P2，P3D．P2，P411．（5分）设函数f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）的最小正周期为π，且f（﹣x）=f（x），则（）A．f（x）在单调递减B．f（x）在（，）单调递减C．f（x）在（0，）单调递增D．f（x）在（，）单调递增12．（5分）函数y=的图象与函数y=2sinπx（﹣2≤x≤4）的图象所有交点的横坐标之和等于（）A．2 B．4 C．6 D．8二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）若变量x，y满足约束条件则z=x+2y的最小值为．14．（5分）在平面直角坐标系xOy，椭圆C的中心为原点，焦点F1F2在x轴上，离心率为．过F l的直线交于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为．15．（5分）已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且AB=6，BC=2，则棱锥O﹣ABCD的体积为．16．（5分）在△ABC中，B=60°，AC=，则AB+2BC的最大值为．三、解答题（共8小题，满分70分）17．（12分）等比数列{a n}的各项均为正数，且2a1+3a2=1，a32=9a2a6，（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=log3a1+log3a2+…+log3a n，求数列{}的前n项和．18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°，AB=2AD，PD⊥底面ABCD．（Ⅰ）证明：PA⊥BD；（Ⅱ）若PD=AD，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．19．（12分）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品，现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：A配方的频数分布表B配方的频数分布表（Ⅰ）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；（Ⅱ）已知用B配方生成的一件产品的利润y（单位：元）与其质量指标值t的关系式为y=从用B配方生产的产品中任取一件，其利润记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望．（以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率）20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，﹣1），B点在直线y=﹣3上，M点满足∥，=•，M点的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）P为C上的动点，l为C在P点处的切线，求O点到l距离的最小值．21．（12分）已知函数f（x）=+，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+2y﹣3=0．（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）如果当x＞0，且x≠1时，f（x）＞+，求k的取值范围．22．（10分）如图，D，E分别为△ABC的边AB，AC上的点，且不与△ABC的顶点重合．已知AE的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程x2﹣14x+mn=0的两个根．（Ⅰ）证明：C，B，D，E四点共圆；（Ⅱ）若∠A=90°，且m=4，n=6，求C，B，D，E所在圆的半径．23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数）M是C1上的动点，P点满足=2，P点的轨迹为曲线C2（Ⅰ）求C2的方程；（Ⅱ）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ=与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|．24．设函数f（x）=|x﹣a|+3x，其中a＞0．（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）≥3x+2的解集（Ⅱ）若不等式f（x）≤0的解集为{x|x≤﹣1}，求a的值．2011年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2011•新课标）复数的共轭复数是（）A．B．C．﹣i D．i【分析】复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，复数化简为a+bi（a，b∈R）的形式，然后求出共轭复数，即可．【解答】解：复数===i，它的共轭复数为：﹣i．故选C2．（5分）（2011•新课标）下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的函数是（）A．y=2x3B．y=|x|+1 C．y=﹣x2+4 D．y=2﹣|x|【分析】由函数的奇偶性和单调性的定义和性质，对选项一一加以判断，即可得到既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的函数．【解答】解：对于A．y=2x3，由f（﹣x）=﹣2x3=﹣f（x），为奇函数，故排除A；对于B．y=|x|+1，由f（﹣x）=|﹣x|+1=f（x），为偶函数，当x＞0时，y=x+1，是增函数，故B正确；对于C．y=﹣x2+4，有f（﹣x）=f（x），是偶函数，但x＞0时为减函数，故排除C；对于D．y=2﹣|x|，有f（﹣x）=f（x），是偶函数，当x＞0时，y=2﹣x，为减函数，故排除D．故选B．3．（5分）（2011•新课标）执行如图的程序框图，如果输入的N是6，那么输出的p是（）A．120 B．720 C．1440 D．5040【分析】执行程序框图，写出每次循环p，k的值，当k＜N不成立时输出p的值即可．【解答】解：执行程序框图，有N=6，k=1，p=1P=1，k＜N成立，有k=2P=2，k＜N成立，有k=3P=6，k＜N成立，有k=4P=24，k＜N成立，有k=5P=120，k＜N成立，有k=6P=720，k＜N不成立，输出p的值为720．故选：B．4．（5分）（2011•新课标）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（）A．B．C．D．【分析】本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数是3×3种结果，满足条件的事件是这两位同学参加同一个兴趣小组有3种结果，根据古典概型概率公式得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数是3×3=9种结果，满足条件的事件是这两位同学参加同一个兴趣小组，由于共有三个小组，则有3种结果，根据古典概型概率公式得到P=，故选A．5．（5分）（2011•新课标）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y=2x上，则cos2θ=（）A．﹣ B．﹣ C．D．【分析】根据直线的斜率等于倾斜角的正切值，由已知直线的斜率得到tanθ的值，然后根据同角三角函数间的基本关系求出cosθ的平方，然后根据二倍角的余弦函数公式把所求的式子化简后，把cosθ的平方代入即可求出值．【解答】解：根据题意可知：tanθ=2，所以cos2θ===，则cos2θ=2cos2θ﹣1=2×﹣1=﹣．故选：B．6．（5分）（2011•新课标）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为（）A．B．C．D．【分析】由俯视图和正视图可以得到几何体是一个简单的组合体，是由一个三棱锥和被轴截面截开的半个圆锥组成，根据组合体的结构特征，得到组合体的侧视图．【解答】解：由俯视图和正视图可以得到几何体是一个简单的组合体，是由一个三棱锥和被轴截面截开的半个圆锥组成，∴侧视图是一个中间有分界线的三角形，故选D．7．（5分）（2011•新课标）设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为（）A．B．C．2 D．3【分析】不妨设双曲线C：，焦点F（﹣c，0），由题设知，，由此能够推导出C的离心率．【解答】解：不妨设双曲线C：，焦点F（﹣c，0），对称轴y=0，由题设知，，∴，b2=2a2，c2﹣a2=2a2，c2=3a2，∴e=．故选B．8．（5分）（2011•新课标）的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（）A．﹣40 B．﹣20 C．20 D．40【分析】给x赋值1求出各项系数和，列出方程求出a；将问题转化为二项式的系数和；利用二项展开式的通项公式求出通项，求出特定项的系数．【解答】解：令二项式中的x为1得到展开式的各项系数和为1+a∴1+a=2∴a=1∴==∴展开式中常数项为的的系数和=（﹣1）r25﹣r C5r x5﹣2r∵展开式的通项为T r+1令5﹣2r=1得r=2；令5﹣2r=﹣1得r=3展开式中常数项为8C52﹣4C53=40故选D9．（5分）（2011•新课标）由曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为（）A．B．4 C．D．6【分析】利用定积分知识求解该区域面积是解决本题的关键，要确定出曲线y=，直线y=x﹣2的交点，确定出积分区间和被积函数，利用导数和积分的关系完成本题的求解．【解答】解：联立方程得到两曲线的交点（4，2），因此曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为：S=．故选C．10．（5分）（2011•新课标）已知与均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题P1：|+|＞1⇔θ∈[0，）；P2：|+|＞1⇔θ∈（，π]；P3：|﹣|＞1⇔θ∈[0，）；P4：|﹣|＞1⇔θ∈（，π]；其中的真命题是（）A．P1，P4B．P1，P3C．P2，P3D．P2，P4【分析】利用向量长度与向量数量积之间的关系进行转化求解是解决本题的关键，要列出关于夹角的不等式，通过求解不等式得出向量夹角的范围．【解答】解：由，得出2﹣2cosθ＞1，即cosθ＜，又θ∈[0，π]，故可以得出θ∈（，π]，故P3错误，P4正确．由|+|＞1，得出2+2cosθ＞1，即co sθ＞﹣，又θ∈[0，π]，故可以得出θ∈[0，），故P2错误，P1正确．故选A．11．（5分）（2011•新课标）设函数f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）的最小正周期为π，且f（﹣x）=f（x），则（）A．f（x）在单调递减B．f（x）在（，）单调递减C．f（x）在（0，）单调递增D．f（x）在（，）单调递增【分析】利用辅助角公式将函数表达式进行化简，根据周期与ω的关系确定出ω的值，根据函数的偶函数性质确定出φ的值，再对各个选项进行考查筛选．【解答】解：由于f（x）=sin（ωx+ϕ）+cos（ωx+ϕ）=，由于该函数的最小正周期为T=，得出ω=2，又根据f（﹣x）=f（x），得φ+=+kπ（k∈Z），以及|φ|＜，得出φ=．因此，f（x）=cos2x，若x∈，则2x∈（0，π），从而f（x）在单调递减，若x∈（，），则2x∈（，），该区间不为余弦函数的单调区间，故B，C，D都错，A正确．故选A．12．（5分）（2011•新课标）函数y=的图象与函数y=2sinπx（﹣2≤x≤4）的图象所有交点的横坐标之和等于（）A．2 B．4 C．6 D．8【分析】的图象由奇函数的图象向右平移1个单位而得，所以它的图象关于点（1，0）中心对称，再由正弦函数的对称中心公式，可得函数y2=2sinπx 的图象的一个对称中心也是点（1，0），故交点个数为偶数，且每一对对称点的横坐标之和为2．由此不难得到正确答案．【解答】解：函数，y2=2sinπx的图象有公共的对称中心（1，0），作出两个函数的图象如图当1＜x≤4时，y1＜0而函数y2在（1，4）上出现1.5个周期的图象，在和上是减函数；在和上是增函数．∴函数y1在（1，4）上函数值为负数，且与y2的图象有四个交点E、F、G、H相应地，y1在（﹣2，1）上函数值为正数，且与y2的图象有四个交点A、B、C、D且：x A+x H=x B+x G═x C+x F=x D+x E=2，故所求的横坐标之和为8故选D二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（2011•新课标）若变量x，y满足约束条件则z=x+2y的最小值为﹣6．【分析】在坐标系中画出约束条件的可行域，得到的图形是一个平行四边形，把目标函数z=x+2y变化为y=﹣x+，当直线沿着y轴向上移动时，z的值随着增大，当直线过A点时，z取到最小值，求出两条直线的交点坐标，代入目标函数得到最小值．【解答】解：在坐标系中画出约束条件的可行域，得到的图形是一个平行四边形，目标函数z=x+2y，变化为y=﹣x+，当直线沿着y轴向上移动时，z的值随着增大，当直线过A点时，z取到最小值，由y=x﹣9与2x+y=3的交点得到A（4，﹣5）∴z=4+2（﹣5）=﹣6故答案为：﹣6．14．（5分）（2011•新课标）在平面直角坐标系xOy，椭圆C的中心为原点，焦点F1F2在x轴上，离心率为．过F l的直线交于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为+=1．【分析】根据题意，△ABF2的周长为16，即BF2+AF2+BF1+AF1=16，结合椭圆的定义，有4a=16，即可得a的值；又由椭圆的离心率，可得c的值，进而可得b的值；由椭圆的焦点在x轴上，可得椭圆的方程．【解答】解：根据题意，△ABF2的周长为16，即BF2+AF2+BF1+AF1=16；根据椭圆的性质，有4a=16，即a=4；椭圆的离心率为，即=，则a=c，将a=c，代入可得，c=2，则b2=a2﹣c2=8；则椭圆的方程为+=1；故答案为：+=1．15．（5分）（2011•新课标）已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且AB=6，BC=2，则棱锥O﹣ABCD的体积为8．【分析】由题意求出矩形的对角线的长，结合球的半径，球心到矩形的距离，满足勾股定理，求出棱锥的高，即可求出棱锥的体积．【解答】解：矩形的对角线的长为：，所以球心到矩形的距离为：=2，所以棱锥O﹣ABCD的体积为：=8．故答案为：816．（5分）（2011•新课标）在△ABC中，B=60°，AC=，则AB+2BC的最大值为2．【分析】设AB=c AC=b BC=a利用余弦定理和已知条件求得a和c的关系，设c+2a=m代入，利用判别大于等于0求得m的范围，则m的最大值可得．【解答】解：设AB=c AC=b BC=a由余弦定理cosB=所以a2+c2﹣ac=b2=3设c+2a=m代入上式得7a2﹣5am+m2﹣3=0△=84﹣3m2≥0 故m≤2当m=2时，此时a=，c=符合题意因此最大值为2另解：因为B=60°，A+B+C=180°，所以A+C=120°，由正弦定理，有====2，所以AB=2sinC，BC=2sinA．所以AB+2BC=2sinC+4sinA=2sin（120°﹣A）+4sinA=2（sin120°cosA﹣cos120°sinA）+4sinA=cosA+5sinA=2sin（A+φ），（其中sinφ=，cosφ=）所以AB+2BC的最大值为2．故答案为：2三、解答题（共8小题，满分70分）17．（12分）（2011•新课标）等比数列{a n}的各项均为正数，且2a1+3a2=1，a32=9a2a6，（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=log3a1+log3a2+…+log3a n，求数列{}的前n项和．【分析】（Ⅰ）设出等比数列的公比q，由a32=9a2a6，利用等比数列的通项公式化简后得到关于q的方程，由已知等比数列的各项都为正数，得到满足题意q 的值，然后再根据等比数列的通项公式化简2a1+3a2=1，把求出的q的值代入即可求出等比数列的首项，根据首项和求出的公比q写出数列的通项公式即可；（Ⅱ）把（Ⅰ）求出数列{a n}的通项公式代入设bn=log3a1+log3a2+…+log3a n，利用对数的运算性质及等差数列的前n项和的公式化简后，即可得到b n的通项公式，求出倒数即为的通项公式，然后根据数列的通项公式列举出数列的各项，抵消后即可得到数列{}的前n项和．【解答】解：（Ⅰ）设数列{a n}的公比为q，由a32=9a2a6得a32=9a42，所以q2=．由条件可知各项均为正数，故q=．由2a1+3a2=1得2a1+3a1q=1，所以a1=．故数列{a n}的通项式为a n=．（Ⅱ）b n=++…+=﹣（1+2+…+n）=﹣，故=﹣=﹣2（﹣）则++…+=﹣2[（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）]=﹣，所以数列{}的前n项和为﹣．18．（12分）（2011•新课标）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°，AB=2AD，PD⊥底面ABCD．（Ⅰ）证明：PA⊥BD；（Ⅱ）若PD=AD，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．【分析】（Ⅰ）因为∠DAB=60°，AB=2AD，由余弦定理得BD=，利用勾股定理证明BD⊥AD，根据PD⊥底面ABCD，易证BD⊥PD，根据线面垂直的判定定理和性质定理，可证PA⊥BD；（Ⅱ）建立空间直角坐标系，写出点A，B，C，P的坐标，求出向量，和平面PAB的法向量，平面PBC的法向量，求出这两个向量的夹角的余弦值即可．【解答】（Ⅰ）证明：因为∠DAB=60°，AB=2AD，由余弦定理得BD=，从而BD2+AD2=AB2，故BD⊥AD又PD⊥底面ABCD，可得BD⊥PD所以BD⊥平面PAD．故PA⊥BD（Ⅱ）如图，以D为坐标原点，AD的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D﹣xyz，则A（1，0，0），B（0，，0），C（﹣1，，0），P（0，0，1）．=（﹣1，，0），=（0，，﹣1），=（﹣1，0，0），设平面PAB的法向量为=（x，y，z），则即，因此可取=（，1，）设平面PBC的法向量为=（x，y，z），则，即：可取=（0，1，），cos＜＞==故二面角A﹣PB﹣C的余弦值为：﹣．19．（12分）（2011•新课标）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品，现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：A配方的频数分布表B配方的频数分布表（Ⅰ）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；（Ⅱ）已知用B配方生成的一件产品的利润y（单位：元）与其质量指标值t的关系式为y=从用B配方生产的产品中任取一件，其利润记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望．（以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率）【分析】（I）根据所给的样本容量和两种配方的优质的频数，两个求比值，得到用两种配方的产品的优质品率的估计值．（II）根据题意得到变量对应的数字，结合变量对应的事件和第一问的结果写出变量对应的概率，写出分布列和这组数据的期望值．【解答】解：（Ⅰ）由试验结果知，用A配方生产的产品中优质的频率为∴用A配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3．由试验结果知，用B配方生产的产品中优质品的频率为∴用B配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42；（Ⅱ）用B配方生产的100件产品中，其质量指标值落入区间[90，94），[94，102），[102，110]的频率分别为0.04，0.54，0.42，∴P（X=﹣2）=0.04，P（X=2）=0.54，P（X=4）=0.42，即X的分布列为∴X的数学期望值EX=﹣2×0.04+2×0.54+4×0.42=2.6820．（12分）（2011•新课标）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，﹣1），B点在直线y=﹣3上，M点满足∥，=•，M点的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）P为C上的动点，l为C在P点处的切线，求O点到l距离的最小值．【分析】（Ⅰ）设M（x，y），由已知得B（x，﹣3），A（0，﹣1）并代入∥，=•，即可求得M点的轨迹C的方程；（Ⅱ）设P（x0，y0）为C上的点，求导，写出C在P点处的切线方程，利用点到直线的距离公式即可求得O点到l距离，然后利用基本不等式求出其最小值．【解答】解：（Ⅰ）设M（x，y），由已知得B（x，﹣3），A（0，﹣1）．所=（﹣x，﹣1﹣y），=（0，﹣3﹣y），=（x，﹣2）．再由题意可知（）•=0，即（﹣x，﹣4﹣2y）•（x，﹣2）=0．所以曲线C的方程式为y=﹣2．（Ⅱ）设P（x0，y0）为曲线C：y=﹣2上一点，因为y′=x，所以l的斜率为x0，因此直线l的方程为y﹣y0=x0（x﹣x0），即x0x﹣2y+2y0﹣x02=0．则o点到l的距离d=．又y0=﹣2，所以d==≥2，所以x02=0时取等号，所以O点到l距离的最小值为2．21．（12分）（2011•新课标）已知函数f（x）=+，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+2y﹣3=0．（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）如果当x＞0，且x≠1时，f（x）＞+，求k的取值范围．【分析】（I）求出函数的导数；利用切线方程求出切线的斜率及切点；利用函数在切点处的导数值为曲线切线的斜率及切点也在曲线上，列出方程组，求出a，b值．（II）将不等式变形，构造新函数，求出新函数的导数，对参数k分类讨论，判断出导函数的符号，得到函数的单调性，求出函数的最值，求出参数k的范围．【解答】解：由题意f（1）=1，即切点坐标是（1，1）（Ⅰ）由于直线x+2y﹣3=0的斜率为，且过点（1，1），故即解得a=1，b=1．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以）．考虑函数（x＞0），则．（i）设k≤0，由知，当x≠1时，h′（x）＜0．而h（1）=0，故当x∈（0，1）时，h′（x）＜0，可得；当x∈（1，+∞）时，h′（x）＜0，可得h（x）＞0从而当x＞0，且x≠1时，f（x）﹣（+）＞0，即f（x）＞+．（ii）设0＜k＜1．由于当x∈（1，）时，（k﹣1）（x2+1）+2x＞0，故h′（x）＞0，而h（1）=0，故当x∈（1，）时，h（x）＞0，可得h（x）＜0，与题设矛盾．（iii）设k≥1．此时h′（x）＞0，而h（1）=0，故当x∈（1，+∞）时，h（x）＞0，可得h（x）＜0，与题设矛盾．综合得，k的取值范围为（﹣∞，0]．22．（10分）（2011•新课标）如图，D，E分别为△ABC的边AB，AC上的点，且不与△ABC的顶点重合．已知AE的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x 的方程x2﹣14x+mn=0的两个根．（Ⅰ）证明：C，B，D，E四点共圆；（Ⅱ）若∠A=90°，且m=4，n=6，求C，B，D，E所在圆的半径．【分析】（I）做出辅助线，根据所给的AE的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程x2﹣14x+mn=0的两个根，得到比例式，根据比例式得到三角形相似，根据相似三角形的对应角相等，得到结论．（II）根据所给的条件做出方程的两个根，即得到两条线段的长度，取CE的中点G，DB的中点F，分别过G，F作AC，AB的垂线，两垂线相交于H点，连接DH，根据四点共圆得到半径的大小．【解答】解：（I）连接DE，根据题意在△ADE和△ACB中，AD×AB=mn=AE×AC，即又∠DAE=∠CAB，从而△ADE∽△ACB因此∠ADE=∠ACB∴C，B，D，E四点共圆．（Ⅱ）m=4，n=6时，方程x2﹣14x+mn=0的两根为x1=2，x2=12．故AD=2，AB=12．取CE的中点G，DB的中点F，分别过G，F作AC，AB的垂线，两垂线相交于H 点，连接DH．∵C，B，D，E四点共圆，∴C，B，D，E四点所在圆的圆心为H，半径为DH．由于∠A=90°，故GH∥AB，HF∥AC．HF=AG=5，DF=（12﹣2）=5．故C，B，D，E四点所在圆的半径为523．（2011•新课标）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数）M是C1上的动点，P点满足=2，P点的轨迹为曲线C2（Ⅰ）求C2的方程；（Ⅱ）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ=与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|．【分析】（I）先设出点P的坐标，然后根据点P满足的条件代入曲线C1的方程即可求出曲线C2的方程；（II）根据（I）将求出曲线C1的极坐标方程，分别求出射线θ=与C1的交点A 的极径为ρ1，以及射线θ=与C2的交点B的极径为ρ2，最后根据|AB|=|ρ2﹣ρ1|求出所求．【解答】解：（I）设P（x，y），则由条件知M（，）．由于M点在C1上，所以即从而C2的参数方程为（α为参数）（Ⅱ）曲线C1的极坐标方程为ρ=4sinθ，曲线C2的极坐标方程为ρ=8sinθ．射线θ=与C1的交点A的极径为ρ1=4sin，射线θ=与C2的交点B的极径为ρ2=8sin．所以|AB|=|ρ2﹣ρ1|=．24．（2011•新课标）设函数f（x）=|x﹣a|+3x，其中a＞0．（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）≥3x+2的解集（Ⅱ）若不等式f（x）≤0的解集为{x|x≤﹣1}，求a的值．【分析】（Ⅰ）当a=1时，f（x）≥3x+2可化为|x﹣1|≥2．直接求出不等式f（x）≥3x+2的解集即可．（Ⅱ）由f（x）≤0得|x﹣a|+3x≤0分x≥a和x≤a推出等价不等式组，分别求解，然后求出a的值．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）≥3x+2可化为|x﹣1|≥2．由此可得x≥3或x≤﹣1．故不等式f（x）≥3x+2的解集为{x|x≥3或x≤﹣1}．（Ⅱ）由f（x）≤0得|x﹣a|+3x≤0此不等式化为不等式组或即或因为a＞0，所以不等式组的解集为{x|x}由题设可得﹣=﹣1，故a=2参与本试卷答题和审题的老师有：qiss；双曲线；w3239003；涨停；sllwyn；zlzhan；wdnah；301137；ywg2058；danbo7801；zhwsd；394782；minqi5（排名不分先后）菁优网2017年2月3日。

2011年全国高考试卷Ⅰ理科数学试卷分析
黄海燕; 刘巧玲
【期刊名称】《《广西教育B（中教版）》》
【年(卷),期】2011(000)012
【摘要】2011年全国高考试卷I理科数学卷继承了往年试卷的优点，同时又有其不同的特点。

本卷知识覆盖面较广，题型与考试内容稳定，试题难度、梯度合理，重点考察主干知识和重要数学思想方法，在知识交汇处命题，体现知识的综合运用。

【总页数】3页(P45-46,53)
【作者】黄海燕; 刘巧玲
【作者单位】广西师范大学数学科学学院
【正文语种】中文
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广西师范大学数学科学学院黄海燕刘巧玲指导老师龙开奋教授【关键词】2011年高考理科数学试卷分析【文献编码】doi:10.3969/j．issn．0450-9889(B)．2011.12.023 2011年全国高考试卷I理科数学卷继承了往年试卷的优点，同时又有其不同的特点。

本卷知识覆盖面较广，题型与考试内容稳定，试题难度、梯度合理，重点考察主干知识和重要数学思想方法，在知识交汇处命题，体现知识的综合运用。

2008至2010年三年的数学试题难度较大，而201 1年全国高考试卷I 理科数学试题难度回落，主要是考查基本知识和技能，大多为常规题型，难题的比例有所降低，但本卷加大了概率统计和立体几何的考查力度，继承了近几年压轴题的特点，体现了试卷的区分度与选拔功能。

全卷内涵丰富、立意新颖、特点分明、亮点纷呈，是一套凝聚着命题者智慧的优秀试题。

2011年全国高考数学（山东卷）试卷分析一、试卷综述山东省2011年的高考继续推行自主命题形式。

高考试题是对新课程改革的一次真正的检验，是新课程改革的主要指向标，对今后新课程改革和中学数学教学具有较强的指导作用。

命题严格遵守《2011年普通高等学校招生全国统一考试大纲（课程标准实验版）》（以下简称《考试大纲》）和《2011年普通高等学校招生全国统一考试（课程标准实验版）山东卷考试说明》（以下简称《考试说明》），遵循“有利于高等学校选拔新生、有利于中学推进素质教育和课程改革、有利于扩大高校办学自主权、有利于考试科学、公正、安全、规范”的命题原则。

命题根据山东省高中教学的实际情况，不拘泥于某一版本，重点考查高中数学的主体内容，兼顾考查新课标的新增内容，加强了对数学的应用的考查，体现了新课程改革的理念。

试卷在考查基础知识、基本能力的基础上，突出考查了考生数学思维能力、重要的数学方法和数学应用意识。

试卷的知识覆盖面广，题目数量、难度安排适当，题设立意新颖，文、理科试卷区别恰当，两份试卷难、中、易的比例分配恰当。

试卷具有很高的信度、效度和区分度。

达到了考基础、考能力、考素质、考潜能的考试目标。

命题稳中有变，稳中有新，继续保持了我省高考自主命题的风格，具有浓郁的山东特色。

二试卷特点1 试卷的整体结构和知识框架试卷的长度、题目类型比例配置与《考试说明》一致，全卷共22题，其中选择题12个，每题5分，共60分，占总分的40%；填空题4个，每题4分，共16分，约占总分的10.7%；解答题6个，前5个题目每题12分，最后一题14分，共74分，约占总分的49.3%，全卷合计150分。

试题在每个题型中均基本按照由简单到复杂的顺序排列，难度呈梯度增加。

全卷重点考查中学数学主干知识和方法；侧重于对中学数学学科的基础知识和基本能力的考查；侧重于知识交汇点的考查，加强对考生的数学应用意识和创新能力的考查。

2011年山东高考数学试卷全面考查了《考试说明》中要求的内容，在全面考查的前提下，突出考查了高中数学的主干知识如函数、三角函数、不等式、空间几何体、圆锥曲线、概率统计、导数及应用等主要内容，试卷兼顾了新课改新增加的内容如正态分布，回归方程，定积分等，尤其是两份试卷的解答题，涉及内容均是高中数学的主干知识，试卷加强了对数学应用意识的考查，结合中学的主干知识，考查了和函数以及概率统计相关的应用题，突出体现了新课程改革的理念，明确了中学数学的教学方向和考生的学习方向。

2011 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(全国卷Ⅰ)2011 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(全国卷Ⅰ)、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60 分.1. 复数 2 i的共轭复数是( )1 2i33D.iA. iB. iC. i552. 下列函数中，既是偶函数又0，+ )单调递增的函数是(在A. y x3B. y x 1C. y x2 1D. y 2N 是6，3. 执行右面的程序框图，如果输入的那么输出的p 是( )A.120B.720C.1440D.50404.有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( )1 12 3A. B. C. D.3 2 3 45. 已知角的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y 2x 上，则cos2 =( )4 3 3 4A. B. C. D.5 5 5 56. 在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示，则相应的俯视图可以为7. 设直线L 过双曲线 C的一个焦点，且与 C 的一条对称轴垂直，L 与C 交于 A ,B 两点，AB 为C 的实轴长的 2倍，则 C 的离心率为 (A. 2B. 3C.2D.38. x ax2x5的展开式中各项系数的和为x2，则该展开式中常数项为 ( )A.-40B.-20C.20D.409. 由曲线 y x ，直线 y x 2 及 y 轴所围成的图形的面积为10 A. 3 10. 已知 a 与 b 均为单位向量，其夹角为 B.4 16 C. 3 ，有下列四个命题D.6 P 1 : a b0,23P 2 : aP 3 : a b0,3P 4 : a其中的真命题是A. P 1,P 4B. P 1, P 3C. P 2,P 3D. P 2,P 411. 设函数 f (x) sin( x) cos()( 0,) 的最小正周期为 ，且 f ( x) f (x) ，则 ( ) 2A. f (x) 在 0, 单调递减 2B. f (x) 在3 3单调递减 4C. f(x) 在 0, 单调递增 2D. f (x) 在3 3单调递增 412. 函数 y 1 1 的图像与函数x1 2sin x(4) 的图像所有交点的横坐标之和等于 ( )A.2B. 4C.6D.8、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分. 13.若变量 x, y 满足约束条件 3 2x y 9,则 z x 2 y 的最小值为 6 x y 9,14. 在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C 的中心为原点，焦点 F 1,F 2在 x 轴上，离心率为 2.过F 1的直线L 交C 于2A, B 两点，且 V ABF 2的周长为 16，那么 C 的方程为.15.已知矩形ABCD的顶点都在半径为 4 的球O的球面上，且AB 6,BC 2 3 ,则棱锥O ABCD的体积为.16. 在V ABC中，B 60o,AC 3，则AB 2BC的最大值为.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. （本小题满分12 分）2 等比数列a n的各项均为正数，且2a1 3a2 1,a32 9a2a6.Ⅰ ）求数列a n 的通项公式；Ⅱ）设b n log3 a1 log3a2 log3 a n,求数列bn 的前n 项和.2011 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（全国卷Ⅰ）18. （本小题满分12 分）如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，∠ DAB=60° ,AB=2 AD ,PD⊥底面ABCD.（Ⅰ）证明：PA⊥BD ；（Ⅱ）若PD=AD ，求二面角A-PB-C 的余弦值.2011 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（全国卷Ⅰ）19. （本小题满分12 分）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102 的产品为优质品，现用两种新配方（分别称为 A 配方和 B 配方）做试验，各生产了100 件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：A B2, t 94 （Ⅱ）已知用 B 配方生成的一件产品的利润y（单位：元）与其质量指标值t的关系式为y 2, 94 t 102 4, t 102从用 B 配方生产的产品中任取一件，其利润记为X（单位：元），求X 的分布列及数学期望.（以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率）2011 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学（全国卷Ⅰ）20. （本小题满分 12 分）uuru uur 在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A （0,-1） ，B 点在直线 y = -3 上，M 点满足 MB / /OA ， M 点的轨迹为曲线 C.（Ⅰ）求 C 的方程；（Ⅱ） P 为 C 上的动点， l 为 C 在 P 点处得切线，求 O 点到 l 距离的最小值21. （本小题满分 12 分）已知函数 f （x ） aln x b ，曲线 y f （x ） 在点 （1,f （1））处的切线方程为 x 2y 3 0. x 1 x （Ⅰ）求 a 、 b 的值；（Ⅱ）如果当 x 0，且 x 1时， f （x ） ln x k ，求 k 的取值范围 .x 1 xuuruMAuuur uur MB BA ，2011 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（全国卷Ⅰ）请考生在第22、23、24 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时请写清题号22. （本小题满分10 分）选修4-1 ：几何证明选讲如图，D，E分别为ABC的边AB，AC上的点，且的顶点重合.已知AE的长为n，AD，AB的长是关于x的方2x2 14x mn 0 的两个根.（Ⅰ）证明：C ，B，D ，E四点共圆；（Ⅱ）若A 90 ，且m 4,n 6，求C ，B，D ，E 所在圆的半径不与程ABC2011 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（全国卷Ⅰ）23. （本小题满分10分）选修4-4 ：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C1 的参数方程为x 2cos y 22sin为参数）uuuv uuuvM 是C1 上的动点，P 点满足OP 2OM ,P 点的轨迹为曲线C2（Ⅰ）求C2 的方程（Ⅱ）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求AB24. （本小题满分10分）选修4-5 ：不等式选讲设函数f （x） x a 3x, 其中a 0.（Ⅰ）当a 1时，求不等式f （x） 3x 2 的解集；（Ⅱ）若不等式f（x） 0的解集为x|x 1 ，求a的值.2011 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学（全国卷Ⅰ）(18) 解：Ⅰ)因为 DAB 60 ,AB 2AD , 由余弦定理得 BD 3AD 从而 BD 2+AD 2= AB 2，故 BD AD又 PD 底面 ABCD ，可得 BD PD 所以 BD 平面 PAD. 故 PA BD2011 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试卷参考答案、选择题 （1）C （2）B （3） B （4）A （5）B （6）D （7）B （8）D（9）C( 10) A( 11) A（12）D、填空题22（13）-6（ 14）x y1 ( 15) 8 3 (16)2 7168三、解答题 （17）解：2 3 2 21（Ⅰ）设数列 {a n }的公比为 q ，由 a 32 9a 2a 6得 a 33 9a 42 所以 q 2 。

2011年全国统一高考数学试卷（新课标卷）（理科）答案与评分标准一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1、复数的共轭复数是（）A、B、C、﹣iD、i考点：复数代数形式的混合运算。

专题：计算题。

分析：复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，复数化简为a+bi（a，b∈R）的形式，然后求出共轭复数，即可．解答：解：复数===i，它的共轭复数为：﹣i．故选C点评：本题是基础题，考查复数代数形式的混合运算，共轭复数的概念，常考题型．2、下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）单调递增的函数是（）A、y=x3B、y=|x|+1C、y=﹣x2+1D、y=2﹣|x|考点：函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断。

专题：常规题型。

分析：首先由函数的奇偶性排除选项A，然后根据区间（0，+∞）上y=|x|+1=x+1、y=﹣x2+1、y=2﹣|x|=的单调性易于选出正确答案．解答：解：因为y=x3是奇函数，y=|x|+1、y=﹣x2+1、y=2﹣|x|均为偶函数，所以选项A错误；又因为y=﹣x2+1、y=2﹣|x|=在（0，+∞）上均为减函数，只有y=|x|+1在（0，+∞）上为增函数，所以选项C、D错误，只有选项B正确．故选B．点评：本题考查基本函数的奇偶性及单调性．3、执行右面的程序框图，如果输入的N是6，那么输出的p是（）A、120B、720C、1440D、5040考点：程序框图。

专题：图表型。

分析：通过程序框图，按照框图中的要求将几次的循环结果写出，得到输出的结果．解答：解：经过第一次循环得到经过第二次循环得到经过第三次循环得到；经过第四次循环得经过第五次循环得；经过第六次循环得此时执行输出720，故选B点评：本题考查解决程序框图中的循环结构的输出结果问题时，常采用写出几次的结果找规律．4、有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（）A、B、C、D、考点：古典概型及其概率计算公式。

全面考查_突出重点_保持稳定2011年高考全国新课标版数学理科试题评析2011年高考数学命题，无论是题量还是难易程度上，都体现出新课改的要求，为今后的课改指明了方向.试题的突出特点是紧扣教材，立足基础知识，突出对能力的考查;淡化运算技巧，注重通性、通法;数学思想方法贯穿于整套试卷；设置了较新的问题情境，考查应用能力；注重在知识的交汇处命题.1. 题型保持稳定.第1题到第12题是选择题，每题5分，第13题到第16题是填空题，每题5分，第17题到第21题是解答题，每题12分，第22题到第24题以三选一的模式出现，每题10分.2. 强调对基本概念和基础知识的考查.注重对概念的考查，特别是选择题和填空题，无论从题目形式、结构上看，还是从解答方法上看，对基本概念和基础知识的考查都占有举足轻重的地位。

3. 突出通性、通法.注重通性、通法，淡化特殊技巧，关注一题多变和一题多解等.解答题大多都设置了多个小问题，呈现人口容易、层次分明的特点，很多试题都体现了常规方法的应用.4. 注重对主干知识的考查.解答题注重对主干知识的考查，层次要求恰当，在平淡中见数学本质.考生要完整、准确地解答题目，需要有扎实的基本知识和良好的数学素养.另外，解答题对数学思想的考查贯穿始终.5. 注重对新增内容的考査.与大纲版教材相比，新课程教材增加了幂函数、函数与方程、三视图、算法初步、几何概型、全称量词与存在量词、定积分、合情推理与演绎推理、统计初步与统计案例等内容.今年的高考试题中涉及了三视图、程序框图、定积分和统计初步的知识，约为27 分，约占总分的20%.6. 注重对数据处理能力的考查.数据处理能力是实施新课标后新增加的一种数学能力，如第3题和第19题，就是典型的考查数据处理能力的题目.以后髙考中可能会以频率分布直方图、茎叶图等形式考査数据处理能力.保持稳定，全面考查，突出重点2012年高考全国新课标版数学理科试题评析2012年高考全国新课标卷在去年平稳过渡的基础上，又有所创新，试题的难度有所增加.试卷的突出特点就是突出对能力的考查，注重通性、通法，对数学思想方法的考查贯穿整套试卷，注重在知识的交汇处设计命题.试题图文并茂，文字阐述清晰，无论是在试卷的结构安排方面，还是在试题背景方面，都进行了大胆改革和有益的探索.命题逐步体现出新课改的要求，也为今后的课改指明了方向.1. 题型稳定，全面考査.保持12道选择题(每题5分）、4道填空题（每题5分）、6道解答题（共70分）的形式.解答题方面有-个变化，去年第17题考查的是数列，今年第17题考查的是三角函数与解三角形.整套试卷几乎涵盖了高中各个章节的内容.2. 注重在知识的交汇处命题.今年的高考试题注重知识之间的交汇.并不只是单一地考查某个知识点，而是将各个部分的知识融合在一起进行考查.如第3题，有机地将复数与判断命题的真假结合在一起，既考查复数的有关概念与运算，又考查判断命题真假的方法.3. 突出对通性、通法的考查.尽管试题难度较去年有所增加，但大部分还是注重对通性、通法的考査，淡化特殊的解题技巧.解答题大多设置了多问，形成人口容易、层次分明的特点，很多试题都体现了常规方法在解题中的应用.4. 注重对主干知识的考查.解答题注重对高中课程主干知识的考查，层次要求恰当.考生要完整准确地解答，需要有扎实的基础知识和良好的数学素养.5. 突出对数学思想的考查.今年的试题中，有一部分可以利用数形结合思想求解，还有一些题需要通过分类讨论求解.如第4 题，在求解时要画出草图，从而找到解题的突破口，体现了数形结合思想的应用.6. 突出对计算能力和数据处理能力的考查.数据处理能力是实施新课标后新增加的一种数学能力.如第6题，给出了程序框图，考查数据处理能力.又如第18题，以频率分布表的形式给出数据，利用这些数据计算频率，然后计算期望和方差，并根据期望与方差的数值来选择方案.重视基础_突出重点_有所创新2013年高考全国新课标版（Ⅰ）数学理科试题评析2013年髙考全国新课标版（I )数学理科试题严格遵循了考试说明。

2011年全国新课标理科数学试题分析青冈一中 杜春桃统观2011年我省高考数学试卷，整体感觉是难度稳中有降，试题严谨、规范，表述简洁，梯度合理，有利于考生正常发挥，整个试卷中无偏题、无超纲题，试题注重考查通性通法。

试卷的不足是对学生的创新能力考查不够，使得在高分段区分度不够好。

与2010年高考数学试卷相比，2011年高考数学试卷的结构和题型均保持稳定，变化不大。

试卷题量均和去年相同，题型设置和分值一致，仍为选择题12道共60分，填空题4道共20分，解答题6道共70 分。

下面就对2011年高考数学卷进行分析。

一 试卷考查的知识点的分值复数：5分 线性规划：5分 二项式定理： 5分 算法： 5分 平面向量：5分 三角函数：15分 概率统计 ：17分 解析几何：22分 立体几何：22分 数列：12分 函数导数积分：27分 选作：10分 二 全卷试题内容分析 (1)（基础题）复数212i i+-的共轭复数是（A ）35i - （B ）35i （C ）i - （D ）i分析：本题考察复数的运算和共轭复数的概念。

（2）（基础题）下列函数中，既是偶函数又在+∞（0，）单调递增的函数是（A ）3y x = (B) 1y x =+ （C ）21y x =-+ (D) 2xy -=分析：此题考察复合函数的单调性和奇偶性，也可用数形结合的方法解答，考察考生综合运用知识的能力。

（3）（课改新增内容）执行右面的程序框图，如果输入的N 是6，那么输出的p 是（A ）120 （B ）720 （C ）1440 （D ）5040分析：此题考察算法的知识，算法的选择题也是历年常考的问题，主要是对程序框图的理解，以及计算能力。

（4）（基础题）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（A ）13（B ）12（C ）23（D ）34分析：此题考察计数原理，概率的概念。

2011年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修II ）河北望都中学 一．选择题:（1）复数1z i =+，z 为z 的共轭复数，则1zz z --= (A)-2i (B)-i (C)i (D)2i 【答案】：B 【命题意图】：本小题主要考查复数的运算及共轭复数的概念。

【解析】：1z i =+，则12(1)1zz z i i --=-+-=-（2）函数y ＝x ≥0）的反函数为(A)y ＝24x （x ∈R ） (B)y ＝24x （x ≥0） (C)y ＝24x （x ∈R ） (D)y ＝24x （x ≥0）【答案】：B【命题意图】：本小题主要考查函数与反函数概念及求法特别要注意反函数的定义域即原函数的值域。

【解析】：由y ＝x ＝24y .∴函数y ＝x ≥0）的反函数为y ＝24x .（x ≥0）（3）下面四个条件中，使a >b 成立的充分而不必要的条件是(A)a >b +1 (B)a >b -1 (C)2a >2b (D)3a >3b 【答案】：A【命题意图】：本小题主要考查充分必要条件及不等式等有关知识。

【解析】：由a >b +1，得a >b ；反之不成立。

（4）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差2d =，224k k S S +-=，则k = (A) 8 (B) 7 (C) 6 (D) 5【答案】：D 【命题意图】：本小题主要考查等差数列的通项公式及前n 项和公式等有关知识。

【解析】：2211122()2(12)224k k k k k S S a a a d a kd d k ++++-=+=+=++=++=，解得5k =。

另外：本题也可用等差数列的前n 项和公式进行计算。

（5）设函数()()cos 0f x x ωω=>，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重 合，则ω的最小值等于 (A)13(B)3 (C)6 (D)9 【答案】：C 【命题意图】：本小题主要考查三角函数及三角函数图像的平移变换、周期等有关知识。