2018年高考数学(理)总复习高考达标检测(四十五)二项式定理命题3角度——求系数、定特项、会赋值

1.2018年全国卷Ⅲ理】的展开式中的系数为A. 10B. 20C. 40D. 80【答案】C【解析】分析：写出，然后可得结果详解：由题可得，令,则，所以故选C.2.【2018年浙江卷】二项式的展开式的常数项是___________．【答案】7【解析】分析:先根据二项式展开式的通项公式写出第r+1项，再根据项的次数为零解得r，代入即得结果.详解：二项式的展开式的通项公式为,令得，故所求的常数项为3.【2018年理数天津卷】在的展开式中，的系数为____________. 【答案】决问题的关键．4．【山西省两市2018届第二次联考】若二项式中所有项的系数之和为，所有项的系数的绝对值之和为，则的最小值为（）A. 2B.C.D.【答案】B5．【安徽省宿州市2018届三模】的展开式中项的系数为__________．【答案】-132【解析】分析：由题意结合二项式展开式的通项公式首先写出展开式，然后结合展开式整理计算即可求得最终结果.详解：的展开式为：，当，时，，当，时，，据此可得：展开式中项的系数为.6.【2017课标1，理6】621(1)(1)x x++展开式中2x 的系数为 A ．15B ．20C ．30D ．35【答案】C【解析】试题分析：因为6662211(1)(1)1(1)(1)x x x x x ++=⋅++⋅+，则6(1)x +展开式中含2x 的项为2226115C x x ⋅=，621(1)x x ⋅+展开式中含2x 的项为44262115C x x x⋅=，故2x 前系数为151530+=，选C.情况，尤其是两个二项式展开式中的r 不同.7.【2017课标3，理4】()()52x y x y +-的展开式中x 3y 3的系数为 A ．80-B ．40-C ．40D ．80【答案】C 【解析】8.【2017浙江，13】已知多项式()1x +3()2x +2=5432112345x a x a x a x a x a +++++，则4a =________，5a =________．【答案计数.9.【2017山东，理11】已知()13nx +的展开式中含有2x 项的系数是54，则n = . 【答案】4【解析】试题分析：由二项式定理的通项公式()1C 3C 3rr r r r r n n x x +T ==⋅⋅，令2r =得：22C 354n ⋅=，解得4n =．【考点】二项式定理10.【2015高考陕西，理4】二项式(1)()n x n N ++∈的展开式中2x 的系数为15，则n =（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7 【答案】C【解析】二项式()1nx +的展开式的通项是1C r r r n x +T =，令2r =得2x 的系数是2C n ，因为2x 的系数为15，所以2C 15n =，即2300n n --=，解得：6n =或5n =-，因为n +∈N ，所以6n =，故选C ． 【考点定位】二项式定理．【名师点晴】本题主要考查的是二项式定理，属于容易题．解题时一定要抓住重要条件“n +∈N ”，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是二项式定理，即二项式()na b +的展开式的通项是1C k n k k k n ab -+T =． 11.【2015高考新课标1，理10】25()x x y ++的展开式中，52x y 的系数为( )（A ）10 （B ）20 （C ）30 （D ）60 【答案】C12.【2015高考湖北，理3】已知(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（ ）A.122 B ．112 C ．102D ．92【答案】D【解析】因为(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，所以73nn C C =，解得10=n ，所以二项式10(1)x +中奇数项的二项式系数和为9102221=⨯.13.【2015高考重庆，理12】53x ⎛+ ⎝的展开式中8x 的系数是________(用数字作答).【答案】52【解析】二项展开式通项为7153521551()()2k k kkk k k T C x C x --+==，令71582k-=，解得2k =，因此8x 的系数为22515()22C =.14.【2015高考广东，理9】在4)1(-x 的展开式中，x 的系数为 . 【答案】6．【解析】由题可知()()44214411r rrrrr r T CC x--+=-=-，令412r-=解得2r =，所以展开式中x 的系数为()22416C -=，故应填入6．【名师点睛】涉及二项式定理的题，一般利用其通项公式求解.15.【2015高考天津，理12】在614x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 的展开式中，2x 的系数为 .【答案】1516【解析】614x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为6621661144r rr r r r r T C x C x x --+⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由622r -=得2r =，所以222236115416T C x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以该项系数为1516.16.【2015高考新课标2，理15】4()(1)a x x ++的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a =__________． 【答案】3【解析】由已知得4234(1)1464x x x x x +=++++，故4()(1)a x x ++的展开式中x 的奇数次幂项分别为4ax ，34ax ，x ，36x ，5x ，其系数之和为441+6+1=32a a ++，解得3a =．【考点定位】二项式定理．17.【2015高考湖南，理6】已知5-的展开式中含32x 的项的系数为30，则a =（ ）B. C.6 D-6 【答案】D.18.【2015高考上海，理11】在10201511x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中，2x 项的系数为（结果用数值表示）． 【答案】45【解析】因为10101019102015201520151111(1)(1)(1)x x x C x x x x ⎛⎫⎛⎫++=++=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2x 项只能在10(1)x +展开式中，即为8210C x ，系数为81045.C =19.（2016年北京高考）在6(12)x -的展开式中，2x 的系数为__________________.（用数字作答）【答案】60.20.（2016年山东高考）若（a x 25的展开式中x 5的系数是—80，则实数a =_______. 【答案】-221.（2016年上海高考）在nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-23的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于_________ 【答案】11222.（2016年四川高考）设i 为虚数单位，则6(i)x +的展开式中含x 4的项为（A ）－15x 4 （B ）15x 4 （C ）－20i x 4 （D ）20i x 4 【答案】A23.（2016年天津高考）281()x x-的展开式中x 2的系数为__________.(用数字作答) 【答案】56-24.（2016年全国I 高考）5(2x +的展开式中，x 3的系数是 .（用数字填写答案） 【答案】10。

二项式定理【二项式定理】它共有n+1项，其中）叫做二项式系数，叫做二项式的通项，用Tr+1表示，即通项为展开式的第r+1项.【二项式系数的性质】（1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即；（2）增减性与最大值：当r≤时，二项式系数的值逐渐增大；当r≥时，的值逐渐减小，且在中间取得最大值。

当n为偶数时，中间一项的二项式系数取得最大值；当n为奇数时，中间两项的二项式系数相等并同时取最大值。

【二项式定理的特别提醒】①的二项展开式中有(n+1)项，比二项式的次数大1．②二项式系数都是组合数它与二项展开式的系数是两个不同的概念，在实际应用中应注意区别“二项式系数”与“二项展开式的系数”。

③二项式定理形式上的特点：在排列方式上，按照字母a的降幂排列，从第一项起，a的次数由n逐项减小1，直到0，同时字母6按升幂排列，次数由0逐项增加1，直到n，并且形式不能乱．④二项式定理中的字母a，b是不能交换的，即与的展开式是有区别的，二者的展开式中的项的排列次序是不同的，注意不要混淆．⑤二项式定理表示一个恒等式，对于任意的实数a，b，该等式都成立，因而，对a，b取不同的特殊值，可以对某些问题的求解提供方便，二项式定理通常有如下两种情形:⑥对二项式定理还可以逆用，即可用于式子的化简。

【2017新课标1，理6】621(1)(1)x x++展开式中2x 的系数为 A ．15B ．20C ．30D ．35【答案】C【考点】二项式定理【点拨】对于两个二项式乘积的问题，第一个二项式中的每项乘以第二个二项式的每项，分析好2x 的项共有几项，进行加和.这类问题的易错点主要是未能分析清楚构成这一项的具体情况，尤其是两个二项式展开式中的r 不同.答题思路【命题意图】本类题主要考查二项式定理及其应用，意在考查学生的逻辑推理能力和基本计算能力.【命题规律】高考对二项式定理的考查主要考查利用二项展开式的通项求展开式中的特定项、特定项的系数、二项式系数等，同时考查赋值法与整体法的应用，题型多以选择题、填空题的形式考查.【答题模板】解答本类题目，以2017年高考题为例，一般考虑如下三步： 第一步：首先求出二项展开式的通项因为6662211(1)(1)1(1)(1)x x x x x++=⋅++⋅+； 第二步：根据已知求出展开式中指定的项或某一项的系数或二项式系数6(1)x +展开式中含2x 的项为2226115C x x ⋅=，621(1)x x ⋅+展开式中含2x 的项为44262115C x x x ⋅=第三步：得出结论 2x 前系数为151530+=【方法总结】1．熟记二项式定理及通项 (1)定理公式)()(*110N n b C b a C b a C a C b a nn n k k n k n n n n n n ∈+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++=+--叫做二项式定理．(2)通项k k n k n k b a C T -+=1为展开式的第1+k 项．2．活用二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即mn nm n C C -=. (2)增减性与最大值：二项式系数k n C ，当21+<n k 时，二项式系数是递增的；当21+≥n k 时，二项式系数是递减的． 当n 是偶数时，中间一项的二项式系数取得最大值．当n 是奇数时，中间两项的二项式系数相等，且同时取得最大值． (3)各二项式系数的和n b a )(+的展开式的各个二项式系数的和等于n 2，即n nn n n n C C C C 2210=+⋅⋅⋅+++.二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即131202-=⋅⋅⋅++=⋅⋅⋅++n n n n n C C C C .3．求展开式系数最大项：如求),()(R b a bx a n∈+的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为121,,,+⋅⋅⋅n A A A ，且第k 项系数最大，应用⎩⎨⎧≥≥+-11k k k k A A A A 从而解出k 来，即得． 4.“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如()nb ax +、),,()(2R c b a c bx ax n ∈++的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令1=x 即可；对形如()n by ax +的式子求其展开式各项系数之和，只需令1==y x 即可．5．若n n x a x a x a a x f +⋅⋅⋅+++=2210)(，则:)(x f 展开式中各项系数之和为)1(f ，奇数项系数之和为2)1()1(420-+=⋅⋅⋅+++f f a a a ，偶数项系数之和为2)1()1(531--=⋅⋅⋅+++f f a a a .6.某一项的系数是指该项中字母前面的常数值(包括正负符号)，它与b a ,的取值有关，而二项式系数与b a ,的取值无关．1．【2017年高考全国Ⅲ卷，理4】5()(2)x y x y +-的展开式中33x y 的系数为（）A ．-80B ．-40C ．40D ．80 【答案】C【解析】由二项式定理可得，原式展开中含33x y 的项为()()()()2332233355C 2C 240x x y y x y x y ⋅-+⋅-=，则33x y 的系数为40，故选C.2.【2017年高考山东卷，理11】已知的展开式中含有项的系数是，则.【答案】【解析】试题分析：由二项式定理的通项公式，令得：，解得．【考点】二项式定理【点拨】根据二项式展开式的通项，确定二项式系数或确定二项展开式中的指定项，是二项式定理问题中的基本问题，往往要综合运用二项展开式的系数的性质、二项式展开式的通项求解. 本题能较好地考查考生的思维能力、基本计算能力等.3．【2017年高考浙江卷，理13】已知多项式()1x +3()2x +2=5432112345x a x a x a x a x a +++++，则4a =________，5a =________． 【答案】16，4【考点】二项式定理【点拨】本题主要考查二项式定理的通项与系数，属于简单题． 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式1r n r r r n T C a b -+=；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项式定理的应用．4.【2017安徽阜阳二模】()5212x⎫+-⎪⎭的展开式的常数项是（ ）A. 5B. 10-C. 32-D. 42- 【答案】D5. 【2017山西三区八校二模】若12z =+,且()443201234x z a x a x a x a x a -=++++,则2a 等于( )A. 12-B. 3-+C. 12D. 3-- 【答案】B【解析】222241166322a C z ⎛⎫⎛⎫===-+=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故选B.6.【2017陕西咸阳二模】设0sin a xdx π=⎰，则61x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的常数项为（ ）A. -20B. 20C. -160D. 160 【答案】D【解析】()()()0cos |cos cos02,a x ππ=-=---= 所以66(=（展开式的通项为6262162,rrrr T C x --+=⋅⋅令620,3,2rr -==展开式的常数项为33462160.T C =⋅=选D7.【2017河北石家庄二中三模】5112x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭是展开式的常数项为 （ ）A. 120B. 40C. 40-D. 80 【答案】B8.【2017河北衡水中学押题卷】二项式1(0,0)nax a b bx ⎛⎫+>> ⎪⎝⎭的展开式中只有第6项的二项式系数最大，且展开式中的第3项的系数是第4项的系数的3倍，则ab 的值为（ ）A. 4B. 8C. 12D. 16 【答案】B【解析】二项式1(0,0)nax a b bx ⎛⎫+>> ⎪⎝⎭的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则10n = ，二项式101ax bx ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 展开式的通项公式为：()1010102110101rrrr r r rr T Cax C a b x bx ----+⎛⎫==⨯ ⎪⎝⎭， 由题意有： 282102137331103C a b T T C a b-+-+== ，整理可得： 8ab = .本题选择D 选项.9.【2017河北衡水三模】632343ax x x x ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为16，则展开式中3x 项的系数为（ ） A.1172 B. 632C. 57D. 33 【答案】A【解析】由题意得()63211316433a a ⎛⎫-+-=⇒= ⎪⎝⎭ ,所以展开式中3x 项的系数为()()221661311733342C C ---= ,选A. 10．【2017河北保定一模】()()6411x y ++的展开式中，记m n x y 项的系数为(),f m n ，则()()3,00,3f f +=A. 9B. 16C. 18D. 24 【答案】D11．【2017安徽马鞍山二模】())731x -+的展开式中3x 的系数为____．（用数字填写答案） 【答案】14【解析】())731x -+的展开式中3x 的系数为13773213514C C -+=-+= ,故答案为14 .12．【2017重庆二诊】在522a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中4x -的系数为320，则实数a =__________．【答案】2【解析】因为展开式的通项公式()5552155222rrrr r r r rr a T Cx a C x x ----+⎛⎫== ⎪⎝⎭，令5343r r -=-⇒=，则533352320a C -=，即382a a =⇒=，应填答案2。

二项式定理常考点：1、二项式定理：2、几个基本概念（1）二项展开式：右边的多项式叫做的二项展开式（2）项数：二项展开式中共有项（3）二项式系数：叫做二项展开式中第项的二项式系数（4）通项：展开式的第项，即(5)二项式系数的和：(6)各项式系数之和:3.二项式系数的性质:(1）对称性:在二项展开式中，与首末两端等距离的任意两项的二项式系数相等（2）增减性与最值二项式系数先增后减且在中间取得最大值当是偶数时，中间一项取得最大值当是奇数时，中间两项相等且同时取得最大值=(3)奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数和基本题型(一)通项公式的应用的展开式中第三项的二项式系数为________；第三项的系数为_______；常数项为_______；含的项为______。

(二)二项式系数的最值的展开式中二项式系数最大的是第____项；的展开式中二项式系数最大的是第____项（三）展开式中各项系数和问题已知，求一.选择题1.在（x-）的展开公式中，x的系数为( )A.-120B.120C.-15D.152.8x y项的系数是（）x的展开式中62()A．56 B．56-- C．28 D．283.二项式的展开式中系数为有理数的项共有（）A.6项B.7项C.8项D.9项4.已知(x－)8展开式中常数项为1120,其中实数a是常数,则展开式中各项系数的和是( )A.28B.38C.1或38D.1或285.（+）n展开式中存在常数项,则n的值可以是（）A.8B.9C.10D.126.（2x3－）7的展开式中常数项是（）A.14B.－14C.42D.－427.若的展开式中的系数是( )A. B. C. D.8.在()n的二项展开式中，若常数项为60，则n等于( )A.3B.6C.9D.129.的值为（）A．61 B．62 C．63 D．64 10．若(ax-1)5的展开式中x3的系数是80，则实数a的值是( )A．-2 B．2 C． D．211.的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为( )A.－540B.－162C.162D.54012.若对于任意的实数x ，有x 3=a 0+a 1（x -2）+a 2（x -2）2+a 3（x -2）3，则a 2的值为( )A.3B.6C.9D.1 13.在的二项展开式中，若只有的系数最大，则( )A.8B. 9C. 10D.11 14.已知(＋)n 展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n 等于( )A.4B.5C.6D.715.设(x 2＋1)(2x ＋1)9＝a 0＋a 1(x ＋2)＋a 2(x ＋2)2＋…＋a 11(x ＋2)11，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 11的值为( )A.－2B.－1C.1D.2 16.设则中奇数的个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 二.填空题17．已知a 为如图所示的程序框图中输出的结果，求二项式6(的展开式中含x 2项的系数18. 72x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，4x 的系数是19.展开式中的常数项是20.若（1－2x ）2004=a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 2004x 2004（x ∈R ），则（a 0+a 1）+（a 0+a 2）+（a 0+a 3）+…+（a 0+a 2004）=21.已知(1+kx 2)6(k 是正整数)的展开式中,x 8的系数小于120,k=____________参考答案CADCC ABBBD ABCCAA17.-19218.8419.21020.200421.1。

高考达标检测（四十五）二项式定理命题3角度——求系数、定特项、会赋值一、选择题1.⎝⎛⎭⎪⎫x 2－2x 3的展开式中的常数项为( ) A ．12 B ．－12 C ．6D ．－6解析：选A 由题意可得，二项展开式的通项为T r ＋1＝C r3·(x 2)3－r⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x r ＝(－2)r C r 3x 6－3r ，令6－3r ＝0，得r ＝2，∴⎝⎛⎭⎪⎫x 2－2x 3的展开式中的常数项为T 2＋1＝(－2)2C 23＝12，故选A. 2．(2017·商丘月考)在(1－x )5＋(1－x )6＋(1－x )7＋(1－x )8的展开式中，含x 3的项的系数是( )A ．74B ．121C ．－74D ．－121解析：选D 展开式中含x 3项的系数为C 35(－1)3＋C 36(－1)3＋C 37(－1)3＋C 38(－1)3＝ －121.3．(2017·唐山一模)⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x2－23展开式中的常数项为( )A ．－8B ．－12C ．－20D ．20解析：选C ∵⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 2－23＝⎝⎛⎭⎪⎫x －1x 6，∴T r ＋1＝C r 6x 6－r ·⎝⎛⎭⎪⎫－1xr ＝C r 6(－1)r x 6－2r，令6－2r ＝0，得r ＝3，∴常数项为C 36(－1)3＝－20.4．(x ＋2)2(1－x )5中x 7的系数与常数项之差的绝对值为( ) A ．5 B ．3 C ．2D ．0解析：选A 常数项为C 22×22×C 05＝4，x 7系数为C 02×C 55(－1)5＝－1，因此x 7系数与常数项之差的绝对值为5.5．若⎝⎛⎭⎪⎪⎫3x －13x 2m 的展开式中二项式系数之和为128，则展开式中1x 3的系数是( ) A ．21 B ．－21 C ．7D ．－7解析：选A 由题意可知2m ＝128，∴m ＝7，∴展开式的通项T r ＋1＝C r 7(3x )7－r·⎝⎛⎭⎪⎪⎫－13x 2r＝C r 737－r(－1)rx 7－5r 3，令7－53r ＝－3，解得r ＝6， ∴1x3的系数为C 6737－6(－1)6＝21，故选A.6．已知a ＝2⎠⎛0πcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6d x ，则二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋a x 5的展开式中x 的系数为( )A ．10B ．－10C ．80D ．－80解析：选D a ＝2⎠⎛0πcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6d x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6⎪⎪⎪1＝－2，展开式的通项为T r ＋1＝C r5(－2)r x10－3r，令10－3r ＝1，则r ＝3，T 4＝C 35(－2)3x ＝－80x .7．1－90C 110＋902C 210－903C 310＋…＋(－1)k90k C k10＋…＋9010C 1010除以88的余数是( ) A ．－1 B ．1 C ．－87D ．87解析：选B 1－90C 110＋902C 210＋…＋(－1)k90k C k10＋…＋9010C 1010＝(1－90)10＝8910＝(88＋1)10＝8810＋C 110889＋…＋C 91088＋1，∵前10项均能被88整除，∴余数是1.8．设(1＋x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n，若a 1＋a 2＋…＋a n ＝63，则展开式中系数最大的项是( )A ．15x 2B ．20x 3C ．21x 3D ．35x 3解析：选B ∵(1＋x )n＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n， 令x ＝0，得a 0＝1.令x ＝1，则(1＋1)n＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a n ＝64， ∴n ＝6，又(1＋x )6的展开式二项式系数最大的项的系数最大， ∴(1＋x )6的展开式系数最大的项为T 4＝C 36x 3＝20x 3. 二、填空题9．若a 1(x －1)4＋a 2(x －1)3＋a 3(x －1)2＋a 4(x －1)＋a 5＝x 4，则a 2＋a 3＋a 4＝________. 解析：x 4＝[(x －1)＋1]4＝C 04(x －1)4＋C 14(x －1)3＋C 24(x －1)2＋C 34(x －1)＋C 44， 对照a 1(x －1)4＋a 2(x －1)3＋a 3(x －1)2＋a 4(x －1)＋a 5＝x 4， 得a 2＝C 14，a 3＝C 24，a 4＝C 34， 所以a 2＋a 3＋a 4＝C 14＋C 24＋C 34＝14.答案：1410．若(x 2＋ax ＋1)6(a ＞0)的展开式中x 2的系数是66，则⎠⎛0asin x d x 的值为________．解析：由题意可得(x 2＋ax ＋1)6的展开式中x 2的系数为C 16＋C 26a 2，故C 16＋C 26a 2＝66，∴a＝2或a ＝－2(舍去)．故⎠⎛0asin x d x ＝⎠⎛02sin x d x ＝(－cos x ) ⎪⎪⎪2＝1－cos 2.答案：1－cos 211．已知(1＋x ＋x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x3n 的展开式中没有常数项，n ∈N *，且2≤n ≤7，则n ＝________. 解析：由题意得⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x3n 的展开式的通项T r ＋1＝C r n x n －r ·x －3r ＝C r n x n －4r 中不含x 0，x －1， x－2，所以n －4r ＝0，n －4r ＝－1和n －4r ＝－2在条件n ∈N *，且2≤n ≤7下均无解， 则n ＝5.答案：512．(2016·合肥质检)若⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3x n 展开式的各项系数的绝对值之和为1 024，则展开式中x 的一次项的系数为________．解析：T r ＋1＝C rn (x )n －r⎝ ⎛⎭⎪⎫－3x r ＝(－3)r ·C r nx n －3r 2，因为展开式的各项系数绝对值之和为C 0n ＋|(－3)1C 1n |＋(－3)2C 2n ＋|(－3)3C 3n |＋…＋ |(－3)n C nn |＝1 024，所以(1＋3)n＝1 024，解得n ＝5， 令5－3r2＝1，解得r ＝1， 所以展开式中x 的一次项的系数为(－3)1C 15＝－15. 答案：－15 三、解答题13．已知二项式⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋1x n的展开式中各项的系数和为256.(1)求n ；(2)求展开式中的常数项．解：(1)由题意得C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C nn ＝256， ∴2n＝256，解得n ＝8.(2)该二项展开式中的第r ＋1项为 T r ＋1＝C r 8⎝⎛⎭⎫3x 8－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝C r 8·x 8－4r 3，令8－4r3＝0，得r ＝2， 此时，常数项为T 3＝C 28＝28.14．已知在⎝⎛⎭⎪⎪⎫3x －123x n 的展开式中，第6项为常数项． (1)求n ；(2)求含x 2的项的系数； (3)求展开式中所有的有理项． 解：(1)通项公式为T k ＋1＝C k n xn －k 3⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k x －k3. ＝C k n ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k x n －2k 3.因为第6项为常数项， 所以k ＝5时，n －2×53＝0，即n ＝10.(2)令10－2k3＝2，得k ＝2， 故含x 2的项的系数是C 210⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＝454. (3)根据通项公式，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧10－2k 3∈Z ，0≤k ≤10，k ∈N ，令10－2k3＝r (r ∈Z)， 则10－2k ＝3r ，k ＝5－32r ，∵k ∈N ，∴r 应为偶数，∴r 可取2,0，－2，即k 可取2,5,8， ∴第3项，第6项与第9项为有理项， 它们分别为C 210⎝ ⎛⎭⎪⎫－122x 2，C 510⎝ ⎛⎭⎪⎫－125，C 810⎝ ⎛⎭⎪⎫－128x －2.。

第84讲 二项式定理的应用【知识要点】1、二项式定理：nn n r r n r n n n n n n n n b C b a C b a C b a C a C b a ++++++=+--- 222110)(①项数：展开式中总共有(1)n +项，而不是n 项；②顺序：注意正确选择a ,b ,其顺序不能更改.()na b +与()nb a +是不同的；③指数：a 的指数从n 逐项减到0，是降幂排列.b 的指数从0逐项减到n ，是升幂排列.各项的次数和等于n .2、二项式通项公式：r r n r n r b a C T -+=1 （0,1,2,,r n =⋅⋅⋅）（1）它表示的是二项式的展开式的第1r +项，而不是第r 项；（2）其中r n C 叫二项式展开式第1r +项的二项式系数，而二项式展开式第1r +项的系数是字母幂前的常数；（3）注意0,1,2,,r n =⋅⋅⋅.3、二项式展开式的二项式系数的性质（1）对称性：在二项展开式中，与首末两项“等距离”的两项的二项式系数相等.即m n C =m n n C -.（2）增减性和最大值：在二项式的展开式中，二项式系数先增后减，且在中间取得最大值，如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等且最大.（3）所有二项式系数的和等于2n，即n n n n n n n n n n C C C C C C 212210=++++++--奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，即15314202-=+++=+++n n n n n n n C C C C C C4、二项展开式的系数0123,,,,n a a a a a ⋅⋅⋅的性质： 对于2012()n n f x a a x a x a x =++++0123(1)n a a a a a f ++++⋅⋅⋅+=，0123(1)(1)n n a a a a a f -+-+⋅⋅⋅+-=-5、证明组合恒等式常用赋值法.6、二项式系数展开式的系数最大项和二项式系数最大项.（1）二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数n 是偶数时，则中间一项的二项式系数2nnC 取得最大值.如果二项式的幂指数n 是奇数时，则中间两项的二项式系数12n nC-,12n nC+同时取得最大值. （2）系数的最大项：求()na bx +展开式中最大的项，一般采用待定系数法.设展开式中各项系数分别为121,,,n A A A +⋅⋅⋅，设第1r +项系数最大，应有112r rr r A A A A +++≥⎧⎨≥⎩，从而解出r 来. 【方法讲评】【例1】在二项式n的展开式中倒数第3项的系数为45，求含有3x 的项的系数？【点评】（1）要理解二项式的展开式的系数的定义，它指的是除去n x ，剩下的所有部分，而二项式的系数则指的是通项里的组合数.(2)二项式的展开式的通项化简时，要注意指数运算的性质的准确运用.【反馈检测1】已知n x x )(3-的二项展开式中所有奇数项的系数之和为512． （1）求展开式的所有有理项（指数为整数）；（2）求nx x x )1()1()1(43-++-+- 展开式中2x 项的系数．【例2】求二项式9展开式中的有理项.【点评】有理项指的是x的指数为整数，可以是正整数，也可以是负整数和零.【反馈检测2】已知n的展开式中的二项式系数之和为256.（Ⅰ）证明：展开式中没有常数项；（Ⅱ）求展开式中所有有理项.【例3】已知二项式122nx⎛⎫+⎪⎝⎭．（1）若展开式中第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；（2）若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项．（2）01279n n n C C C ++=，解得12n =，设1k T +项系数最大，由于()1212121121422x x ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭41112121112124444k k k k k k k C C C C --++⎧⨯≥⨯⎨⨯≥⨯⎩，9.410,10k k <<=，第11项最大1016896x ． 【点评】（1）二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数n 是偶数时，则中间一项的二项式系数2nnC 取得最大值.如果二项式的幂指数n 是奇数时，则中间两项的二项式系数12n nC-,12n nC+同时取得最大值.（2）系数的最大项：求()na bx +展开式中最大的项，一般采用待定系数法.设展开式中各项系数分别为121,,,n A A A +⋅⋅⋅，设第1r +项系数最大，应有112r rr r A A A A +++≥⎧⎨≥⎩，从而解出r 来. 【反馈检测3】已知在2)nx的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比是14：1． （1）求展开式中6x 的系数；（2）求展开式中系数绝对值最大的项；．（3）求231981...9n nn n nn c c c -++++的值.【例4】 求当25(32)x x ++的展开式中x 的一次项的系数.【点评】（1）对于三项式的展开式教材上没有讲过，教材上只讲了二项式的展开式. 所以我们可以想办法把三项式转化成二项式，再利用二项式的展开式的性质解答. (2)对于三项式的展开式的研究，一般转化成二项式的展开式研究，实际上就是数学的一个转化的思想的运用,把陌生的转化为熟悉的问题解答. 【反馈检测4】5)21(-+xx 展开式中常数项为（ ） A ．252 B ．－252 C ．160 D ．－160【例5】 在103)1()1(x x +-的展开式中，求5x 的系数. 【解析】103)1()1(x x +-1032)1)(331(x x x x +-+-=，要得到5x ，当第一个因式取1时，10)1(x +展开式取5次项，5x 项系数为510C 当第一个因式取x 3-时，10)1(x +展开式取4次项，5x 项系数为4103C - 当第一个因式取23x 时，10)1(x +展开式取3次项，5x 项系数为3103C 当第一个因式取-3x 时，10)1(x +展开式取2次项，5x 项系数为210C - ∴5x 项系数为510C 4103C -+3103C 210C -=-63【点评】两个二项式相乘的系数问题，一般先分别求两个二项式的展开式的通项，再对它们进行组合 研究.【反馈检测5】610(1(1+求展开式中的常数项.【例6】已知()727012712x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+，求： （1）127a a a ++⋅⋅⋅+；（2）()()2202461357a a a a a a a a +++-+++．【点评】二项式展开式的系数和与差的问题，一般利用赋值法解答，主要是给二项式的展开式的变量 赋一些特殊值，如：1，-1，0等.【反馈检测6】（1）设n n n x a x a x a a x ++++=- 2210)12(展开式中只有第5项的二项式系数最大．则||||||||210n a a a a ++++ = ．（2）1＋210101021011024C C C +⋯++＝ ．【例7】证明：22*389()n n n N +--∈能被64整除【点评】整除性的问题，一般把指数的底数拆成与除数有关的数的和，再利用二项式定理展开研究，拆数是关键，本题中指数的底数是“3”，先变成“9”，再把“9”拆成“8+1”，再利用二项式定理研究就方便了.【反馈检测7】求证：15151-能被7整除.【例8】 求证：2<（1+n）n <3（2,n n N *≥∈）. 【证明】（1+n 1）n =C 0n +C 1n ×n 1 +C 2n （n 1）2+…+C n n （n 1）n =1+1+C 2n ×21n +C 3n ×31n+…+C nn ×n n 1=2+!21×2)1(n n n -+!31×3)2)(1(n n n n --+…+!1n ×nnn n 12)1(⨯⨯⨯-⨯ <2+!21+!31 +!41+…+!1n <2+21+221+321+…+121-n =2+211])21(1[211---n =3－（21）1-n <3.显然（1+n 1）n =1+1+C 2n ×21n +C 3n×31n+…+C nn ×n n 1>2.所以2<（1+n 1）n <3.【点评】看到(na b +）一般要联想到是否能利用二项式定理解答，这是一个观察联想的能力.【反馈检测8】 12321666 .nn n n n n C C C C -+⋅+⋅++⋅=【例9】求6998.0的近似值，使误差小于001.0；【点评】由nnn n n n x x x x C C C ++++=+...1)1(221，当x 的绝对值与1相比很小且n 很大时， n x x x ,....,32等项的绝对值都很小，因此在精确度允许的范围内可以忽略不计，因此可以用近似计算公式： nx x n +≈+1)1(，在使用这个公式时，要注意按问题对精确度的要求，来确定对展开式中各项的取舍，若精确度要求较高，则可以使用更精确的公式：22)1(1)1(x n n nx x n -++≈+. 【反馈检测9】某地现有耕地100000亩，规划10年后粮食单产比现在增加22%，人均粮食占有量比现在提高10%.如果人口年增加率为1%，那么耕地平均每年至多只能减少多少亩（精确到1亩）？高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第84讲：二项式定理的应用参考答案【反馈检测1答案】（1）550101x x C T ==，446107210x x C T ==；（2）233+．【反馈检测2答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）所有有理项为：423518256x x x ，，.【反馈检测2详细解析】（Ⅰ）依题意得：2256n =，8n ∴=()384841812rr rrr rr r C T C x --+⎛==-⋅ ⎝令3404r -=得163r =*∉N ∴展开式中没有常数项.（Ⅱ）当048r =，，时，1r T +为有理项.∴展开式中所有有理项为：423518256x x x，，. 【反馈检测3答案】（1）672-；（2）325376x -；（3）91109-．【反馈检测3详细解析】（1）由1:14)2(:)2(2244=--n n C C ，解得9n =．因为通项：2522791)2(r rr r xC T -+-=，令3,625227=∴=-r r， 于是系数为672)2(339-=-C ．（2）设第1r +项系数绝对值最大，则⎪⎩⎪⎨⎧≥≥--++119911992222r r r r r r r r C C C C解得20317≤≤r ，于是r 只能为6 所以系数绝对值最大的项为27303662229(2)5376C xx ---=．（3）原式=()911999991999292191090=-++++C C C C []1)91(9-+=91109-．【反馈检测4答案】B【反馈检测5答案】4246【反馈检测5详细解析】436103412610610(1(1m n m nm n m nC x C x C C x --+⋅=⋅⋅展开式的通项为 0,3,6,0,1,2,,6,0,1,2,,10,43,0,4,8,m m m m n m n n n n ===⎧⎧⎧=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=⎨⎨⎨===⎩⎩⎩其中当且仅当即或或0034686106106104246C C C C C C ⋅+⋅+⋅=时得展开式中的常数项为.【反馈检测6答案】(1)6561；（2）59049.【反馈检测6详细解析】（1）由二项式系数的对称性，8=n （2）0123||,||,||,||,||n a a a a a ⋅⋅⋅即为8)12(+x 展开式中各项的系数 在8)12(+x 中令1=x ，∴65613||||||||89210==++++a a a a （2）在10(1)x +＝r rr x C 1010∑=中，令2x =，得1＋25904932410101010210110==+⋯++C C C【反馈检测7答案】见解析.【反馈检测8答案】1(71)6n - 【反馈检测8详细解析】012233(16)6666n n n n n n n n C C C C C +=+⋅+⋅+⋅++⋅与已知的有一些差距， 123211221666(666)6n n n n n n n n n n n C C C C C C C -∴+⋅+⋅++⋅=⋅+⋅++⋅ 0122111(6661)[(16)1](71)666n n n n n n n n C C C C =+⋅+⋅++⋅-=+-=- 【反馈检测9答案】耕地平均每年至多只能减少4亩．【反馈检测9详细解析】设耕地平均每年减少x 亩，现有人口为p 人，粮食单产为m 吨/亩，依题意 ()()()(),%101p 10m %11p x1010%221m 4104+⨯≥+⨯-⨯+⨯化简：()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⨯-⨯≤22.101.011.1110x 103 ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⋅⋅+⨯+⨯+-=2210110301.0C 01.0C 122.11.1110 3 1.1101 1.1045 4.11.22⎡⎤≈-⨯≈⎢⎥⎣⎦4x ≤∴（亩）答：耕地平均每年至多只能减少4亩．。

高考达标检测（四十五） 二项式定理命题3角度——求系数、定特项、会赋值一、选择题1.⎝⎛⎭⎫1x 2＋4x 2＋43展开式的常数项为( ) A ．120 B ．160 C ．200D ．240解析：选B 因为⎝⎛⎭⎫1x 2＋4x 2＋43＝⎝⎛⎭⎫1x ＋2x 6，其展开式的通项为T r ＋1＝C r 6·⎝⎛⎭⎫1x 6－r ·(2x )r ＝C r 62r x 2r －6，令2r －6＝0，可得r ＝3，故展开式的常数项为C 36·23＝160. 2．在(1－x )5＋(1－x )6＋(1－x )7＋(1－x )8的展开式中，含x 3的项的系数是( ) A ．74 B ．121 C ．－74D ．－121解析：选D 展开式中含x 3项的系数为C 35(－1)3＋C 36(－1)3＋C 37(－1)3＋C 38(－1)3＝－121.3．(x ＋2)2(1－x )5中x 7的系数与常数项之差的绝对值为( ) A ．5 B ．3 C ．2D ．0解析：选A 常数项为C 22×22×C 05＝4，x 7的系数为C 02×C 55(－1)5＝－1，因此x 7的系数与常数项之差的绝对值为5.4．若⎝⎛⎭⎪⎫3x －13x 2m 的展开式中二项式系数之和为128，则展开式中1x 3的系数是( ) A ．21 B ．－21 C ．7D ．－7解析：选A 由题意可知2m ＝128，∴m ＝7， ∴展开式的通项T r ＋1＝C r 7(3x )7－r ·⎝⎛⎭⎪⎫－13x 2r＝C r 737－r(－1)r x 357-r，令7－53r ＝－3，解得r ＝6，∴1x3的系数为C 6737－6(－1)6＝21. 5．在(1＋x )6(1＋y )4的展开式中，记x m y n 项的系数f (m ，n )，则f (3,0)＋f (2,1)＋f (1,2)＋f (0,3)＝( )A ．45B ．60C ．120D ．210解析：选C 在(1＋x )6的展开式中，x m 的系数为C m 6， 在(1＋y )4的展开式中，y n 的系数为C n 4，故f (m ，n )＝C m 6·C n 4. 从而f (3,0)＝C 36＝20，f (2,1)＝C 26·C 14＝60，f (1,2)＝C 16·C 24＝36，f (0,3)＝C 34＝4，所以f (3,0)＋f (2,1)＋f (1,2)＋f (0,3)＝20＋60＋36＋4＝120. 6．若(x －1)8＝1＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 8x 8，则a 5＝( ) A ．56 B ．－56 C ．35D ．－35解析：选B (x －1)8展开式的通项为T r ＋1＝C r 8x 8－r (－1)r ， 令r ＝3，得a 5＝C 38(－1)3＝－56.7．设(1＋x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，若a 1＋a 2＋…＋a n ＝63，则展开式中系数最大的项是( )A ．15x 2B ．20x 3C ．21x 3D ．35x 3解析：选B ∵(1＋x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ， 令x ＝0，得a 0＝1.令x ＝1，得(1＋1)n ＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a n ＝64，∴n ＝6. 又(1＋x )6的展开式二项式系数最大的项的系数最大，∴(1＋x )6的展开式系数最大的项为T 4＝C 36x 3＝20x 3.8．(2018·河北衡水中学调研)若⎝⎛⎭⎫x ＋a x ⎝⎛⎭⎫2x －1x 5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中的常数项为( )A ．10B ．20C ．30D ．40解析：选D 令x ＝1，得(1＋a )(2－1)5＝1＋a ＝2，所以a ＝1.因此⎝⎛⎭⎫x ＋1x ⎝⎛⎭⎫2x －1x 5的展开式中的常数项为⎝⎛⎭⎫2x －1x 5的展开式中x 的系数与1x 的 系数的和.⎝⎛⎭⎫2x －1x 5的展开式的通项T r ＋1＝C r5(2x )5－r ⎝⎛⎭⎫－1x r ＝C r 525－r x 5－2r ·(－1)r . 令5－2r ＝1，得r ＝2，因此⎝⎛⎭⎫2x －1x 5的展开式中x 的系数为C 2525－2×(－1)2＝80； 令5－2r ＝－1，得r ＝3，因此⎝⎛⎭⎫2x －1x 5的展开式中1x 的系数为C 3525－3×(－1)3＝－40， 所以⎝⎛⎭⎫x ＋1x ⎝⎛⎭⎫2x －1x 5的展开式中的常数项为80－40＝40.二、填空题9．若a 1(x －1)4＋a 2(x －1)3＋a 3(x －1)2＋a 4(x －1)＋a 5＝x 4，则a 2＋a 3＋a 4＝________.解析：x 4＝[(x －1)＋1]4＝C 04(x －1)4＋C 14(x －1)3＋C 24(x －1)2＋C 34(x －1)＋C 44，对照a 1(x －1)4＋a 2(x －1)3＋a 3(x －1)2＋a 4(x －1)＋a 5＝x 4，得a 2＝C 14，a 3＝C 24，a 4＝C 34， 所以a 2＋a 3＋a 4＝C 14＋C 24＋C 34＝14.答案：1410．已知a ＝⎰20π(sin x ＋cos x )d x ，则二项式⎝⎛⎭⎫a x －1x 6的展开式中，含x 2项的系数是________．解析：a ＝⎰20π(sin x ＋cos x )d x ＝(－cos x ＋sin x ) ⎪⎪⎪⎪π2＝2，则⎝⎛⎭⎫a x －1x 6＝⎝⎛⎭⎫2x －1x 6，展开式的通项为 T r ＋1＝C r 6(2x )6－r⎝⎛⎭⎫－1x r ＝(－1)r C r 6·26－r ·x 3－r， 令3－r ＝2，得r ＝1.故含x 2项的系数是(－1)1·C 16·26－1＝－192. 答案：－19211．已知(x ＋1)2⎝⎛⎭⎫x ＋1x 3n 的展开式中没有x 2项，n ∈N *，且5≤n ≤8，则n ＝________. 解析：因为(x ＋1)2⎝⎛⎭⎫x ＋1x 3n ＝(x 2＋2x ＋1)⎝⎛⎭⎫x ＋1x 3n ， 则当第1个括号取x 2时，第2个括号不能有常数项， 而当n ＝8时，展开式中含有常数项C 28；当第1个括号取2x 时，第2个括号不能含有x 项， 而当n ＝5时，展开式中含有x 项C 15x ；当第1个括号取1时，第2个括号不能含有x 2项，而当n ＝6时，展开式中含有x 2项C 16x 2.由上可知n ＝7. 答案：712．若(ax －1)⎝⎛⎭⎫1x ＋x 6的展开式中含x 3的项的系数为30，则a 的值为______，展开式中所有项的系数之和为______．解析：因为⎝⎛⎭⎫1x ＋x 6的展开式的通项为T r ＋1＝C r 6x －6＋2r ， 所以(ax －1)⎝⎛⎭⎫1x ＋x 6的展开式中含x 3的项为a ·C r 6x －5＋2r ，令－5＋2r ＝3，解得r ＝4，故a ·C 46＝30，解得a ＝2.令x ＝1，得(2－1)×()1＋16＝64. 答案：2 64 三、解答题13．已知在⎝ ⎛⎭⎪⎫x －124x n 的展开式中，只有第5项二项式系数最大.(1)判断展开式中是否存在常数项，若存在，求出常数项；若不存在，说明理由； (2)求展开式的所有有理项.解：(1)∵二项式系数最大的只有第5项，即C 4n 最大， ∴n ＝8， ∴T r ＋1＝C r 8(x )8－r⎝ ⎛⎭⎪⎫－124x r＝(－1)r 2－r C r 8x16-34r. 若存在常数项，则16－3r 4＝0, 即3r ＝16，r ＝163，又r ∈N ，矛盾， ∴不存在常数项． (2)若T r ＋1为有理项，当且仅当16－3r4为整数， 因为0≤r ≤8，r ∈N ，所以r ＝0,4,8，时，T r ＋1为有理项，即展开式中的有理项有3项，它们是T 1＝x 4，T 5＝358x ，T 9＝1256x －2.14．已知⎝⎛⎭⎫x ＋12n 的展开式中前3项的系数成等差数列，设⎝⎛⎭⎫x ＋12n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n .(1)求a 0的值； (2)求系数最大的项．解：(1)⎝⎛⎭⎫x ＋12n 的展开式中前3项的系数分别为：1，C 1n ×12，C 2n ×⎝⎛⎭⎫122， ∵它们成等差数列，∴2C 1n ×12＝1＋C 2n ×⎝⎛⎭⎫122， 即n 2－9n ＋8＝0，解得n ＝8或n ＝1(舍去)， 由⎝⎛⎭⎫x ＋12n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n,令x ＝0，可得a 0＝⎝⎛⎭⎫128＝1256.(2)⎝⎛⎭⎫x ＋128的展开式的通项为T r ＋1＝C r 8x 8－r ·⎝⎛⎭⎫12r ＝⎝⎛⎭⎫12r C r 8x 8－r ， 由⎩⎨⎧⎝⎛⎭⎫12r C r 8≥⎝⎛⎭⎫12r －1C r －18，⎝⎛⎭⎫12r C r 8≥⎝⎛⎭⎫12r ＋1C r ＋18，解得2≤r ≤3,∴r ＝2或3，∴系数最大的项是7x 5或7x 6.1．(x －2y ＋1)6的展开式中含x 3y 项的系数为( ) A ．15 B ．60 C ．－60D ．－120解析：选D 法一：由于x －2y ＋1中含有三项，可以看成[(x ＋1)－2y ]6，要得到含x 3y 的项，由T 2＝C 16(x ＋1)5·(－2y )＝－12(x ＋1)5y 可得， 要含有x 3，则对于(x ＋1)5，T 3′＝C 25x 3＝10x 3，即含x 3y 的项为－120x 3y .法二：由二项式定理可知，含x 3y 的项即C 36x 3C 13(－2y )·C 2212＝－120x 3y ，故含x 3y 项的系数为－120.2．(1＋x ＋x 2)⎝⎛⎭⎫x －1x 6的展开式中的常数项为________． 解析：⎝⎛⎭⎫x －1x 6的展开式的通项为 T r ＋1＝C r 6x 6－r ·⎝⎛⎭⎫－1x r ＝(－1)r C r 6x 6－2r， 令6－2r ＝0，得r ＝3，则T 4＝C 36·(－1)3＝－C 36； 令6－2r ＝－1，得r ＝72(舍去)；令6－2r ＝－2，得r ＝4，则T 5＝C 46(－1)4x －2，∴(1＋x ＋x 2)⎝⎛⎭⎫x －1x 6的展开式中的常数项为C 46－C 36＝15－20＝－5. 答案：－5。

二项式定理专题[基础达标](35分钟55分)一、选择题(每小题5分，共35分)1.在(x-1)4的展开式中，x的系数为()A.6B.-6C.4D.-4A【解析】T r+1=C4r(x)4-r(-1)r=C4r(-1)r x2-r2，令2-r2=1，得r=2，则C42(-1)2=6.2.设二项式 x-12n(n∈N*)展开式的二项式系数和与各项系数和分别为a n，b n，则a1+a2+…+a nb1+b2+…+b n=() A.2n-1+3 B.2(2n-1+1) C.2n+1D.1C【解析】由于二项式 x-12n(n∈N*)展开式的二项式系数和与各项系数和分别为a n，b n，则a n=2n，b n=2-n，所以a1+a2+…+a nb1+b2+…+b n =2(1-2n)1-22-1(1-2-n)1-2-1=2n+1.3x10=a0+a1(x+1)+…+a8(x+1)8+a9(x+1)9+a10(x+1)10，则a8=()A.45B.9C.-45D.-9A【解析】a8是x10=[-1+(x+1)]10的展开式中第九项(x+1)8的系数，故a8=C108(-1)2=45.4.C101+2C102+4C103+…+29C1010=()A.310-12B.3102C.39-12D.392A【解析】因为C100+2C101+22C102+23C103+…+210C1010=(1+2)10，所以C101+2C102+4C103+…+29C1010=310-12.5.1x2+4x2+43的展开式中的常数项为()A.120B.140C.150D.160D【解析】1x +4x2+43=1x+2x6，展开式中的第r+1项为T r+1=C6r·1 x 6-r·(2x)r=C6r·2r·x2r-6，令2r-6=0，得r=3，故展开式中的常数项为C63·23=160.6 2 015被9除所得的余数是 ( )A .4B .5C .7D .8B 【解析】22 015=4×22 013=4×8671=4×(9-1)671=4(9671-C 6711·9670+…+C 671670·9-1)，故22015被9除所得的余数是5.7(1+x )(1-2x )7=a 0+a 1x+a 2x 2+…+a 8x 8，则a 1+a 2+…+a 7的值是( ) A .-2B .-3C .125D .-131C 【解析】令x=1，则a 0+a 1+a 2+…+a 8=-2.又a 0=C 70·17·20=1，a 8=C 77(-2)7=-128，所以a 1+a 2+…+a 7=-2-1-(-128)=125. 二、填空题(每小题5分，共10分)8.若(1+mx )6=a 0+a 1x+a 2x 2+…+a 6x 6且a 1+a 2+a 3+…+a 6=63，m>-1，则a 0+a 3+a 6= .22 【解析】令x=0，得a 0=1；令x=1，得a 0+a 1+…+a 6=(1+m )6=64，m>-1，则m=1，则a 0+a 3+a 6=1+C 63+C 66=1+20+1=22.9.在(1+x )5(1+y )4的展开式中，记x m y n 项的系数为f (m ，n )，则f (2，3)= .40 【解析】设展开式中通项为C 5m x m C 4n y n =C 5m C 4n x m y n ，则f (m ，n )=C 5m C 4n ，所以f (2，3)=C 52C 43=40.三、解答题(共10分)10.(10分)已知(a 2+1)n展开式中的各项系数之和等于 165x 2+x5的展开式的常数项，而(a 2+1)n 的展开式的系数最大的项等于54，求正数a 的值. 【解析】 165x 2+x5展开式的通项T r+1=C 5r165x 25-r·x r=C 5r 1655-rx20-5r ，令20-5r=0，得r=4，故常数项T 5=C 54·165=16.又(a 2+1)n 展开式的各项系数之和为2n ， 由题意得2n =16，所以n=4.所以(a 2+1)4展开式中系数最大的项是中间项T 3，从而C42(a2)2=54，所以a=3.[高考冲关](15分钟30分)1.(5分)若(1-3x)9=a0+a1x+a2x2+…+a9x9，则|a0|+|a1|+|a2|+…+|a9|=()A.49B.49-1C.29D.29-1A【解析】因为x的奇数次方的系数都是负数，x的偶数次方的系数都是正数，所以|a0|+|a1|+|a2|+…+|a9|=a0-a1+a2-…-a9，在已知条件中只要令x=-1即可，则|a0|+|a1|+|a2|+…+|a9|=a0-a1+a2-…-a9=(1+3)9=49.2.(5分)已知(2x+3)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，则(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2的值为() A.1 B.-1 C.0 D.2A【解析】在等式中令x=1，得(2+3)4=a0+a1+a2+a3+a4；令x=-1，得(-2+)4=a0-a1+a2-a3+a4，所以(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2=(a0+a1+a2+a3+a4)(a0-a1+a2-a3+a4)=(2+3)4(-2+3)4=[(2+ 3)(-2+3)]4=(-1)4=1.3.(5分)(1+x+x2) x-1x 6的展开式中的常数项为()A.5B.-5C.15D.-20B【解析】 x-1x 6的展开式的通项为T r+1=C6r(-1)r x6-2r.当r=3时，T4=-C63=-20；当r=4时，常数项为C64=15，因此常数项为-20+15=-5.4.(5分)设a≠0，n是大于1的自然数，1+xa n的展开式为a0+a1x+a2x2+…+a n x n.若点A i(i，a i)(i=0，1，2)的位置如图所示，则a=.3【解析】由图得a0=1，a1=3，a2=4，由二项式定理得C n11a =3，C n21a2=4，即na=3，n(n-1) 2a =4，解得a=3，n=9.5.(10分)(1)求证：1+2+22+…+25n-1(n∈N*)能被31整除；(2)求S=C271+C272+…+C2727除以9的余数.【解析】(1)1+2+22+…+25n-1=25n-12-1=25n-1=32n-1=(31+1)n-1=C n0×31n+C n1×31n-1+…+C n n-1×3 1+C n n-1=31(C n0×31n-1+C n1×31n-2+…+C n n-1)，显然C n0×31n-1+C n1×31n-2+…+C n n-1为整数，所以原式能被31整除.(2)S=C271+C272+…+C2727=227-1=89-1=(9-1)9-1=C90×99-C91×98+…+C98×9-C99-1=9(C90×98-C91×97+…+C98)-2.显然C90×98-C91×97+…+C98是整数，所以S被9除的余数为7.。

第3讲二项式定理最新考纲 1.能用计数原理证明二项式定理；2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.知识梳理1.二项式定理(1)二项式定理：(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C r n a n－r b r＋…＋C n n b n(n∈N*)；(2)通项公式：T r＋1＝C r n a n－r b r，它表示第r＋1项；(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数C0n，C1n，…，C n n.2.二项式系数的性质性质性质描述对称性与首末等距离的两个二项式系数相等，即C k n＝C n－kn增减性二项式系数C k n 当k＜n＋12(n∈N*)时，是递增的当k＞n＋12(n∈N*)时，是递减的二项式系数最大值当n为偶数时，中间的一项2Cnn取得最大值当n为奇数时，中间的两项12Cnn-与12Cnn+取最大值(1)(a＋b)n展开式的各二项式系数和：C0n＋C1n＋C2n＋…＋C n n＝2n.(2)偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C0n＋C2n＋C4n＋…＝C1n＋C3n＋C5n＋…＝2n－1.诊断自测1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)C k n a n－k b k是二项展开式的第k项.()(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项.()(3)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关.()(4)(a＋b)n某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的二项式系数不同.()解析 二项式展开式中C k n an －k b k是第k ＋1项，二项式系数最大的项为中间一项或中间两项，故(1)(2)均不正确. 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√2.(x －y )n 的二项展开式中，第m 项的系数是( ) A.C m nB.C m ＋1nC.C m －1nD.(－1)m －1C m －1n解析 (x －y )n 展开式中第m 项的系数为C m －1n (－1)m －1.答案 D3.(选修2－3P35练习T1(3)改编)C 02 017＋C 12 017＋C 22 017＋…＋C 2 0172 017C 02 016＋C 22 016＋C 42 016＋…＋C 2 0162 016的值为( ) A.2 B.4C.2 017D.2 016×2 017 解析 原式＝22 01722 016－1＝22＝4.答案 B4.(2017·瑞安市质检)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－12x 9的展开式中，第4项的二项式系数是________，第4项的系数是________. 解析 展开式通项为T r ＋1＝C r 9x2(9－r )⎝⎛⎭⎪⎫－12x r＝(－1)r 12r C r 9x 18－3r(其中r ＝0，1，…，9) ∴T 4＝(－1)3123C 39x 9，故第4项的二项式系数为C 39＝84，第4项的系数为 (－1)3123C 39＝－212. 答案 84 －2125.(2017·石家庄调研)(1＋x )n 的二项式展开式中，仅第6项的系数最大，则n ＝________.解析 (1＋x )n 的二项式展开式中，项的系数就是项的二项式系数，所以n2＋1＝6，n ＝10. 答案 106.⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－2x 35展开式中的常数项为________. 解析T k ＋1＝C k 5(x 2)5－k ⎝⎛⎭⎪⎫－2x 3k ＝C k 5(－2)k x 10－5k.令10－5k ＝0，则k ＝2.∴常数项为T 3＝C 25(－2)2＝40.答案 40考点一 求展开式中的特定项或特定项的系数【例1】 已知在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x －123x n的展开式中，第6项为常数项. (1)求n ；(2)求含x 2的项的系数； (3)求展开式中所有的有理项. 解 (1)通项公式为T k ＋1＝C k n xn －k3⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k x －k 3＝C k n ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k x n －2k 3. 因为第6项为常数项，所以k ＝5时，n －2×53＝0，即n ＝10. (2)令10－2k3＝2，得k ＝2， 故含x 2的项的系数是C 210⎝⎛⎭⎪⎫－122＝454. (3)根据通项公式，由题意⎩⎪⎨⎪⎧10－2k 3∈Z ，0≤k ≤10，k ∈N ，令10－2k 3＝r (r ∈Z )，则10－2k ＝3r ，k ＝5－32r ， ∵k ∈N ，∴r 应为偶数.∴r 可取2，0，－2，即k 可取2，5，8， ∴第3项，第6项与第9项为有理项， 它们分别为454x 2，－638，45256x －2.规律方法 (1)二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件，即n ，r 均为非负整数，且n ≥r ，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求的项. (2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解. 【训练1】 (1)(2015·全国Ⅰ卷)(x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2的系数为( ) A.10B.20C.30D.60(2)(2016·全国Ⅰ卷)(2x ＋x )5的展开式中，x 3的系数是________(用数字作答). (3)(2014·全国Ⅰ卷)(x －y )(x ＋y )8的展开式中x 2y 7的系数为________(用数字作答). 解析 (1)法一 (x 2＋x ＋y )5＝[(x 2＋x )＋y ]5，含y 2的项为T 3＝C 25(x 2＋x )3·y 2.其中(x 2＋x )3中含x 5的项为C 13x 4·x ＝C 13x 5. 所以x 5y 2的系数为C 25C 13＝30.法二 (x 2＋x ＋y )5表示5个x 2＋x ＋y 之积.∴x 5y 2可从其中5个因式中选两个因式取y ，两个取x 2，一个取x .因此x 5y 2的系数为C 25C 23C 11＝30.(2)由(2x ＋x )5得T r ＋1＝C r 5(2x )5－r (x )r ＝ 25－r C r 5x 5－r 2，令5－r2＝3得r ＝4，此时系数为10.(3)(x －y )(x ＋y )8＝x (x ＋y )8－y (x ＋y )8，∵x (x ＋y )8中含x 2y 7的项为x ·C 78xy 7，y (x ＋y )8中含x 2y 7的项为y ·C 68x 2y 6. 故(x －y )(x ＋y )8的展开式中x 2y 7的系数为C 78－C 68＝C 18－C 28＝－20.答案 (1)C (2)10 (3)－20考点二 二项式系数的和与各项的系数和问题 【例2】 在(2x －3y )10的展开式中，求： (1)二项式系数的和； (2)各项系数的和；(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和； (4)奇数项系数和与偶数项系数和； (5)x 的奇次项系数和与x 的偶次项系数和.解 设(2x －3y )10＝a 0x 10＋a 1x 9y ＋a 2x 8y 2＋…＋a 10y 10，(*)各项系数和为a 0＋a 1＋…＋a 10，奇数项系数和为a 0＋a 2＋…＋a 10，偶数项系数和为a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 9，x 的奇次项系数和为a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 9，x 的偶次项系数和为a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 10.由于(*)是恒等式，故可用“赋值法”求出相关的系数和.(1)二项式系数的和为C 010＋C 110＋…＋C 1010＝210.(2)令x ＝y ＝1，各项系数和为(2－3)10＝(－1)10＝1.(3)奇数项的二项式系数和为C 010＋C 210＋…＋C 1010＝29， 偶数项的二项式系数和为C 110＋C 310＋…＋C 910＝29.(4)令x ＝y ＝1，得到a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10＝1，① 令x ＝1，y ＝－1(或x ＝－1，y ＝1)， 得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 10＝510，② ①＋②得2(a 0＋a 2＋…＋a 10)＝1＋510， ∴奇数项系数和为1＋5102；①－②得2(a 1＋a 3＋…＋a 9)＝1－510， ∴偶数项系数和为1－5102.(5)x 的奇次项系数和为a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 9＝1－5102； x 的偶次项系数和为a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 10＝1＋5102.规律方法 (1)“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax ＋b )n 、(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ∈R )的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1即可；对形如(ax ＋by )n (a ，b ∈R )的式子求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可.(2)若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则f (x )展开式中各项系数之和为f (1)，奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f （1）＋f （－1）2，偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f （1）－f （－1）2.【训练2】 (1)(2017·岳阳模拟)若二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2－1x n的展开式中各项系数的和是512，则展开式中的常数项为( ) A.－27C 39B.27C 39C.－9C 49D.9C 49(2)(2017·义乌调研)(1－3x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，求|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|＋|a 5|＝( ) A.1 024B.243C.32D.24解析 (1)令x ＝1得2n＝512，所以n ＝9，故⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2－1x 9的展开式的通项为T r ＋1＝C r 9(3x 2)9－r ⎝⎛⎭⎪⎫－1x r ＝(－1)r C r 9·39－r x 18－3r，令18－3r ＝0得r ＝6，所以常数项为T 7＝(－1)6C 69·33＝27C 39.(2)令x ＝－1得a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＝|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|＋|a 5|＝[1－(－3)]5＝45＝1 024. 答案 (1)B (2)A考点三 二项式定理的应用【例3】 (1)求证：1＋2＋22＋…＋25n －1(n ∈N *)能被31整除； (2)用二项式定理证明2n >2n ＋1(n ≥3，n ∈N *). 证明 (1)∵1＋2＋22＋…＋25n －1＝25n －12－1＝25n －1＝32n －1＝(31＋1)n －1＝C 0n ×31n ＋C 1n ×31n －1＋…＋C n －1n ×31＋C nn －1＝31(C 0n ×31n －1＋C 1n ×31n －2＋…＋C n －1n )，显然C 0n ×31n －1＋C 1n ×31n －2＋…＋C n －1n 为整数，∴原式能被31整除. (2)当n ≥3，n ∈N *.2n ＝(1＋1)n ＝C 0n ＋C 1n ＋…＋C n －1n ＋C n n ≥C 0n ＋C 1n ＋C n －1n ＋C n n ＝2n ＋2>2n ＋1，∴不等式成立.规律方法(1)整除问题和求近似值是二项式定理中两类常见的应用问题，整除问题中要关注展开式的最后几项.而求近似值则应关注展开式的前几项.(2)二项式定理的应用基本思路是正用或逆用二项式定理，注意选择合适的形式.(3)由于(a＋b)n的展开式共有n＋1项，故可通过对某些项的取舍来放缩，从而达到证明不等式的目的.【训练3】求S＝C127＋C227＋…＋C2727除以9的余数.解S＝C127＋C227＋…＋C2727＝227－1＝89－1＝(9－1)9－1＝C09×99－C19×98＋…＋C89×9－C99－1＝9(C09×98－C19×97＋…＋C89)－2.∵C09×98－C19×97＋…＋C89是整数，∴S被9除的余数为7.[思想方法]1.二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念.二项式系数是指C0n，C1n，…，C n n，它只与各项的项数有关，而与a，b的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a，b的值有关.2.因为二项式定理中的字母可取任意数或式，所以在解题时根据题意给字母赋值是求解二项展开式各项系数和的一种重要方法.赋值法求展开式中的系数和或部分系数和，常赋的值为0，±1.[易错防范]1.通项T k＋1＝C k n a n－k b k是(a＋b)n的展开式的第k＋1项，而不是第k项，这里k＝0，1，…，n.2.区别“项的系数”与“二项式系数”，审题时要仔细.项的系数与a，b有关，可正可负，二项式系数只与n有关，恒为正.3.切实理解“常数项”“有理项”(字母指数为整数)“系数最大的项”等概念.基础巩固题组(建议用时：25分钟)一、选择题1.(2016·四川卷)设i 为虚数单位，则(x ＋i)6的展开式中含x 4的项为( ) A.－15x 4 B.15x 4 C.－20i x 4D.20i x 4解析 (x ＋i)6的展开式的通项为T r ＋1＝C r 6x 6－r i r (r ＝0，1，2，…，6)，令r ＝2，得含x 4的项为C 26x 4i 2＝－15x 4，故选A.答案 A2.(2017·台州市调研)二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫ax ＋366的展开式的第二项的系为－3，则a 的值为( ) A.53 B.－1C.3D.113解析∵T r ＋1＝C r 6(ax )6－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫36r ＝C r 6a 6－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫36r x 6－r， ∴第二项的系数为C 16a 5·36＝－3，∴a ＝－1. 答案 B3.(2017·漳州模拟)在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 2－13x n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式的常数项为( ) A.－7B.7C.－28D.28解析 依题意有n2＋1＝5，∴n ＝8.二项式⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 2－13x 8的展开式的通项公式T k ＋1＝(－1)k ⎝ ⎛⎭⎪⎫128－k C k 8x 8－43k ，令8－43k ＝0得k ＝6，故常数项为T 7＝(－1)6⎝ ⎛⎭⎪⎫122C 68＝7.答案 B4.(2015·湖北卷)已知(1＋x )n 的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( ) A.29B.210C.211D.212解析 由题意，C 3n ＝C 7n ，解得n ＝10.则奇数项的二项式系数和为2n －1＝29.故选A. 答案 A5.(2016·海口调研)若(x 2－a )⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 10的展开式中x 6的系数为30，则a 等于( )A.13 B.12C.1D.2解析 依题意，注意到⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 10的展开式的通项公式是T r ＋1＝C r 10·x 10－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝C r 10·x10－2r ，⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x 10的展开式中含x 4(当r ＝3时)、x 6(当r ＝2时)项的系数分别为C 310、C 210，因此由题意得C 310－a C 210＝120－45a ＝30，由此解得a ＝2，选D.答案 D6.已知C 0n ＋2C 1n ＋22C 2n ＋23C 3n ＋…＋2n C n n ＝729，则C 1n ＋C 2n ＋C 3n ＋…＋C n n 等于( ) A.63B.64C.31D.32解析 逆用二项式定理得C 0n ＋2C 1n ＋22C 2n ＋23C 3n ＋…＋2n C n n ＝(1＋2)n ＝3n ＝729，即3n ＝36，所以n ＝6，所以C 1n ＋C 2n ＋C 3n ＋…＋C n n ＝26－C 0n ＝64－1＝63.故选A.答案 A7.(2017·宁波十校联考)设(2－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…a 5x 5，那么(a 1＋a 3＋a 5)2－(a 0＋a 2＋a 4)2的值为( ) A.32B.－32C.243D.－243解析 ∵(2－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，∴令x ＝1，有a 0＋a 1＋…＋a 5＝1，再令x ＝－1，有a 0－a 1＋…－a 5＝35＝243，∴(a 1＋a 3＋a 5)2－(a 0＋a 2＋a 4)2＝－(a 0＋a 2＋a 4＋a 1＋a 3＋a 5)(a 0＋a 2＋a 4－a 1－a 3－a 5)＝－243. 答案 D8.(2017·九江模拟)(x 2－x ＋1)10展开式中x 3项的系数为( ) A.－210B.210C.30D.－30解析 (x 2－x ＋1)10＝[(x 2－x )＋1]10的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 10(x 2－x )10－r ，对于(x 2－x )10－r 的通项公式为T r ′＋1＝(－1)r ′C r ′10－r x20－2r －3r ′.令20－2r －r ′＝3，根据0≤r ′≤10－r ，r ，r ′∈N ，解得⎩⎨⎧r ＝8，r ′＝1或⎩⎨⎧r ＝7，r ′＝3，∴(x 2－x ＋1)10展开式中x 3项的系数为C 810C 12(－1)＋C 710C 33(－1)＝－90－120＝－210.答案 A 二、填空题9.(2016·北京卷)在(1－2x )6的展开式中，x 2的系数为________(用数字作答).解析 (1－2x )6的展开式的通项公式为T k ＋1＝C k 6(－2x )k ＝C k 6(－2)k ·x k ，令k ＝2得x 2的系数为C 26(－2)2＝60.答案 6010.(2016·山东卷)若⎝ ⎛⎭⎪⎫ax 2＋1x 5的展开式中x 5的系数是－80，则实数a ＝________(用数字作答).解析 ⎝⎛⎭⎪⎫ax 2＋1x 5的展开式的通项T r ＋1＝C r 5(ax 2)5－r ·x －r 2＝C r 5a 5－r ·x 10－5r 2，令10－52r ＝5，得r ＝2，所以C 25a 3＝－80，解得a ＝－2. 答案 －211.若将函数f (x )＝x 5表示为f (x )＝a 0＋a 1(1＋x )＋a 2(1＋x )2＋…＋a 5(1＋x )5，其中a 0，a 1，a 2，…，a 5为实数，则a 3＝________(用数字作答).解析 f (x )＝x 5＝(1＋x －1)5，它的通项为T k ＋1＝C k 5(1＋x )5－k ·(－1)k ，T 3＝C 25(1＋x )3(－1)2＝10(1＋x )3，∴a 3＝10. 答案 1012.若(1＋x ＋x 2)6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 12x 12，则a 0＝________；a 2＋a 4＋…＋a 12＝________(用数字作答).解析 令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 12＝36，令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－…＋a 12＝1，∴a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 12＝36＋12.令x ＝0，得a 0＝1，∴a 2＋a 4＋…＋a 12＝36＋12－1＝364. 答案 1 36413.(2017·乐清检测)(2x －1)(3－2x )5的展开式中，含x 次数最高的项的系数是________(用数字作答).解析 (3－2x )5的展开式的通项公式：T r ＋1＝C r 535－r (－2x )r ，令r ＝5，可得(2x －1)(3－2x )5的展开式中，含x 次数最高的项的系数为2×(－2)5＝－64. 答案 －64能力提升题组(建议用时：15分钟)14.设a ∈Z ，且0≤a <13，若512 016＋a 能被13整除，则a ＝( )A.0B.1C.11D.12解析 ∵512 016＋a ＝(52－1)2 016＋a ＝C 02 016·522 016－C 12 016·522 015＋C 22 016·522 014＋…－C 2 0152 016·52＋1＋a 能被13整除，且0≤a <13，∴1＋a 能被13整除，故a ＝12.答案 D15.(2017·青岛模拟)已知(x ＋1)10＝a 1＋a 2x ＋a 3x 2＋…＋a 11x 10.若数列a 1，a 2，a 3，…，a k (1≤k ≤11，k ∈N *)是一个单调递增数列，则k 的最大值是( )A.5B.6C.7D.8 解析 由二项式定理知a n ＝C n －110(n ＝1，2，3，…，n ).又(x ＋1)10展开式中二项式系数最大项是第6项.∴a 6＝C 510，则k 的最大值为6.答案 B16.在(1＋x )6(1＋y )4的展开式中，记x m y n 项的系数为f (m ，n )，则f (3，0)＋f (2，1)＋f (1，2)＋f (0，3)＝( )A.45B.60C.120D.210解析 在(1＋x )6的展开式中，x m 的系数为C m 6，在(1＋y )4的展开式中，y n 的系数为C n 4，故f (m ，n )＝C m 6·C n 4.所以f (3，0)＋f (2，1)＋f (1，2)＋f (0，3)＝C 36C 04＋C 26C 14＋C 16C 24＋C 06C 34＝120.答案 C17.(2017·宁波月考)已知二项式⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3x n 的展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则展开式中x 的系数为________.解析 由已知得4n 2n ＝64，所以n ＝6.展开式的通项为T r ＋1＝3r C r 6x3－r ，令3－r ＝1得r ＝2，所以x 的系数为9C 26＝135.答案 13518.(2017·绍兴调研)已知f (x )＝(2x －3)n 展开式的二项式系数和为512，且(2x －3)n ＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋…＋a n (x －1)n .(1)a 2的值为________；(2)a1＋a2＋a3＋…＋a n的值为________.解析(1)由f(x)＝(2x－3)n展开式的二项式系数和为512，可得2n＝512，∴n＝9.∵(2x－3)9＝[－1＋2(x－1)]9＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a9(x－1)9，∴a2＝C29·(－1)7·22＝－144.(2)在(2x－3)9＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a9(x－1)9中，令x＝1，可得a0＝－1.再令x＝2，可得a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a n＝1，∴a1＋a2＋a3＋…＋a n＝2.答案(1)－144(2)2。

考点五十三 二项式定理(理)知识梳理1．二项式定理(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋C r n a n －r b r ＋…＋C n n b n (n ∈N *) 这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做(a ＋b )n 的二项展开式，其中的系数C r n (r ＝0，1，2，…，n )叫做第r ＋1项的二项式系数．式中的C r n a n －r b r 叫做二项式展开式的第r ＋1项(通项)，用T r ＋1表示，即展开式的第r ＋1项；T r ＋1＝C r n a n －r b r ． 2. 二项展开式形式上的特点(1) 项数为n ＋1．(2) 各项的次数都等于二项式的幂指数n ，即a 与b 的指数的和为n .(3) 字母a 按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零；字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n .(4) 二项式的系数从C 0n ，C 1n ，一直到C n －1n ，C n n ． 3.二项式系数的性质(1)对称性与首末等距离的两个二项式系数相等，0≤k ≤n 时，C k n 与C n －k n 的关系是C k n ＝C n －k n . (2)增减性与最大值先增后减中间最大当r ＜n ＋12时，二项式系数是递增的；当r ＞n ＋12时，二项式系数是递减的； 当n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大，即第n 2＋1项的二项式系数最大； 当n 为奇数时，中间两项的二项式系数相等且最大，即第n ＋12项和n ＋32项的二项式系数最大． (3)二项式系数和：二项式系数的和等于2n ，即C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n ，(4)二项式展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝2n －1. 典例剖析题型一 二项展开式指定项的系数例1 (1)(2015福建理)(x ＋2)5的展开式中，x 2的系数等于________(用数字作答)．(2)(2015重庆理)⎝⎛⎭⎫x 3＋12x 5的展开式中x 8的系数是________(用数字作答)． 答案 (1)80 (2)52解析 (1)(x ＋2)5展开式的通项为T r ＋1＝C r 5x 5－r 2r ， 令5－r ＝2，得r ＝3，∴x 2的系数为C 35×23＝80.(2) 二项展开式通项为T k ＋1＝C k 5(x 3)5－k ⎝⎛⎭⎫12x k ＝⎝⎛⎭⎫12k C k 5x 15－7k 2，令15－7k 2＝8，解得k ＝2，因此x 8的系数为⎝⎛⎭⎫122C 25＝52.变式训练 (1)(2015四川理)在(2x －1)5的展开式中，含x 2的项的系数是________(用数字填写答案)．答案 －40解析 (2x －1)5＝－(1－2x )5，∴x 2的系数为－C 25(－2)2＝－40.(2)(2015广东理)在(x －1)4的展开式中，x 的系数为________．答案 6解析 由题意可知T r ＋1＝C r 4(x )4－r (－1)r ＝C r 4(－1)r x 4－r 2，令4－r 2＝1解得r ＝2，所以展开式中x 的系数为C 24(－1)2＝6.解题要点 解决指定项系数问题，均可以借助通项公式求解：(1)求展开式中的第n 项．可依据二项式的通项公式直接求出第n 项．(2)求展开式中的特定项．可依据条件写出第r ＋1项，再由特定项的特点求出r 值即可．(3)已知展开式的某项，求特定项的系数．可由某项得出参数项，再由通项公式写出第r ＋1项，由特定项得出r 值，最后求出其参数．题型二 三项或乘积形式的展开式问题例2 (2015新课标Ⅰ理)(x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2的系数为________．答案 30解析 方法一 利用二项展开式的通项公式求解．(x 2＋x ＋y )5＝[(x 2＋x )＋y ]5，含y 2的项为T 3＝C 25(x 2＋x )3·y 2. 其中(x 2＋x )3中含x 5的项为C 13x 4·x ＝C 13x 5.所以x 5y 2的系数为C 25C 13＝30.方法二 利用组合知识求解．(x 2＋x ＋y )5为5个x 2＋x ＋y 之积，其中有两个取y ，两个取x 2，一个取x 即可，所以x 5y 2的系数为C 25C 23C 13＝30.故选C.变式训练 (1＋x )8(1＋y )4的展开式中x 2y 2的系数是________．答案 168解析 ∵(1＋x )8的通项为C k 8x k ，(1＋y )4的通项为C t 4y t ，∴(1＋x )8(1＋y )4的通项为C k 8C k 4x k y t ，令k ＝2，t ＝2，得x 2y 2的系数为C 28C 24＝168.解题要点 对于这类乘积形式或三项式的展开式，关键是弄清展开式的特征，将问题转化为二项式进行处理，解题时可以利用乘法原理进行求解．题型三二项式系数的性质例3若(x＋2x2)n展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式的常数项是________．答案180解析展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式总共11项，所以n＝10，通项公式为T r＋1＝C r10(x)10－r(2x2)r＝C r102r x5－52r，所以r＝2时，常数项为180.变式训练(2015湖北理)已知(1＋x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为________．答案29解析由题意，C3n＝C7n，解得n＝10.则奇数项的二项式系数和为2n－1＝29.解题要点抓住二项式系数的性质是解题的关键，解题时需要注意：1.区分二项式系数与展开式中项的系数，在T r＋1＝C r n a n－r b r中，C r n是该项的二项式系数，与该项的(字母)系数是两个不同的概念，前者只指C r n，而后者是字母外的部分，前者只与n和r有关，恒为正，后者还与a，b有关，可正可负．2. 牢记通项公式T r＋1＝C r n a n－r b r是展开式的第r＋1项，不是第r项．题型四赋值法与二项式系数和问题例4如果(2x－1)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，那么a1＋a2＋…＋a6的值等于________．答案0解析令x＝0，有1＝a0；令x＝1，有1＝a0＋a1＋…＋a6，∴a1＋a2＋…＋a6＝0.变式训练(2015新课标II理)(a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a＝____________.答案 3解析设(a＋x)(1＋x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，令x＝1，得16(a＋1)＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5，①令x＝－1，得0＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5.②①－②，得16(a＋1)＝2(a1＋a3＋a5)，即展开式中x的奇数次幂的系数之和为a1＋a3＋a5＝8(a＋1)，所以8(a＋1)＝32，解得a＝3.解题要点 1.二项式定理给出的是一个恒等式，对于a，b的一切值都成立．因此，可将a，b设定为一些特殊的值．在使用赋值法时，令a，b等于多少时，应视具体情况而定，一般取“1、－1或0”，有时也取其他值．2．一般地，若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则f (x )的展开式中各项系数之和为f (1)，奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f （1）＋f （－1）2，偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f （1）－f （－1）2. 当堂练习1．(2015湖南理)已知⎝⎛⎭⎫x －a x 5的展开式中含的项的系数为30，则a ＝________． 答案 －6解析 ⎝⎛⎭⎫x －a x 5的展开式通项T r ＋1＝C r 5 (－1)r a r ·＝(－1)r a r C r 5，令52－r ＝32，则r ＝1， ∴T 2＝－a C 15，∴－a C 15＝30，∴a ＝－6.2．在⎝⎛⎭⎫2x 2－1x 5的二项展开式中，x 的系数为________． 答案 －40解析 因为⎝⎛⎭⎫2x 2－1x 5的展开式的通项为T k ＋1＝C k 5(2x 2)5－k ⎝⎛⎭⎫－1x k ＝C k 525－k (－1)k x 10－3k ， 令10－3k ＝1得k ＝3，所以x 的系数为C 3525－3(－1)3＝－40. 3. 若(x ＋1)5＝a 5(x －1)5＋…＋a 1(x －1)＋a 0，则a 0和a 1的值分别为________．答案 32,80解析 由于x ＋1＝x －1＋2，因此(x ＋1)5＝[(x －1)＋2]5，故展开式中(x －1)的系数为C 4524＝80.令x ＝1，得a 0＝32.4．若二项式(2x ＋a x )7的展开式中1x3的系数是84，则实数a 等于________． 答案 1解析 二项式(2x ＋a x)7的展开式的通项公式为 T r ＋1＝C r 7(2x )7－r ·(a x)r ＝C r 727－r a r x 7－2r ， 令7－2r ＝－3，得r ＝5.故展开式中1x3的系数是C 5722a 5＝84，解得a ＝1. 5．(2015新课标II 理)(a ＋x )(1＋x )4的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a ＝_____. 答案 3解析 设(a ＋x )(1＋x )4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，令x ＝1，得16(a ＋1)＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5，①令x ＝－1，得0＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5.②①－②，得16(a ＋1)＝2(a 1＋a 3＋a 5)，即展开式中x 的奇数次幂的系数之和为a 1＋a 3＋a 5＝8(a ＋1)，所以8(a ＋1)＝32，解得a ＝3.课后作业一、 填空题1．(2015陕西理)二项式(x ＋1)n (n ∈N ＋)的展开式中x 2的系数为15，则n 等于________． 答案 6解析 由题意易得：C n －2n ＝15，C n －2n ＝C 2n ＝15，即n (n －1)2＝15，解得n ＝6. 2．(2014·四川)在x (1＋x )6的展开式中，含x 3项的系数为________．答案 15解析 因为(1＋x )6的展开式的第r ＋1项为T r ＋1＝C r 6x r ，x (1＋x )6的展开式中含x 3的项为C 26x 3＝15x 3，所以系数为15.3．(2014·湖南)(12x －2y )5的展开式中x 2y 3的系数是________． 答案 －20解析 (12x －2y )5展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 5(12x )5－r ·(－2y )r ＝C r 5·(12)5－r ·(－2)r ·x 5－r ·y r . 当r ＝3时，C 35(12)2·(－2)3＝－20. 4．在⎝⎛⎭⎫x －13x 6的展开式中，常数项为________． 答案 53解析 根据二项式定理可得⎝⎛⎭⎫x －13x 6的第n ＋1项展开式为C n 6(x )n ⎝⎛⎭⎫－13x 6－n ＝C n 6⎝⎛⎭⎫－136－n 362n x -，则当3n 2－6＝0，即n ＝4时，则常数项为C 46⎝⎛⎭⎫－136－4＝53. 5．在(x 2－1x)5的二项展开式中，第二项的系数为________． 答案 －5解析 展开式中的第二项为T 2＝C 15(x 2)5－1(－1x)1，所以其系数为－C 15＝－5. 6．已知(x －a x)8展开式中常数项为1 120,其中实数a 是常数,则展开式中各项系数的和是_____． 答案 1或38解析 由题意知C 48·(－a )4＝1 120，解得a ＝±2，令x ＝1，得展开式各项系数和为(1－a )8＝1或38.7．在(x 2－13x)n 的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是________． 答案 7解析 由题意有n ＝8，T r ＋1＝C r 8(12)8－r (－1)r x 8－43r ，r ＝6时为常数项，常数项为7. 8．若⎝⎛⎭⎫x ＋a x ⎝⎛⎭⎫2x －1x 5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中的常数项为________． 答案 40解析 令x ＝1，即可得到⎝⎛⎭⎫x ＋a x ⎝⎛⎭⎫2x －1x 5的展开式中各项系数的和为1＋a ＝2，所以a ＝1，⎝⎛⎭⎫x ＋a x ⎝⎛⎭⎫2x －1x 5＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x ⎝⎛⎭⎫2x －1x 5，要找其展开式中的常数项，需要找⎝⎛⎭⎫2x －1x 5的展开式中的x 和1x，由通项公式得T r ＋1＝C r 5(2x )5－r ·⎝⎛⎭⎫－1x r ＝(－1)r ·25－r C r 5x 5－2r ，令5－2r ＝±1，得到r ＝2或r ＝3，所以有80x 和－40x 项，分别与1x和x 相乘，再相加，即得该展开式中的常数项为80－40＝40. 9．(2015安徽理)⎝⎛⎭⎫x 3＋1x 7的展开式中x 5的系数是________(用数字填写答案)． 答案 35解析 ⎝⎛⎭⎫x 3＋1x 7的展开式的第r ＋1项为T r ＋1＝C r 7(x 3)7－r ·⎝⎛⎭⎫1x r ＝C r 7·x 21－4r ，令21－4r ＝5，得r ＝4，∴T 5＝C 47x 5＝35x 5.10． (2015天津理)在⎝⎛⎭⎫x －14x 6的展开式中，x 2的系数为________． 答案 1516解析 ⎝⎛⎭⎫x －14x 6的展开式的通项 T r ＋1＝C r 6x 6－r ⎝⎛⎭⎫－14x r ＝C r 6⎝⎛⎭⎫－14r x 6－2r ；当6－2r ＝2时，r ＝2，所以x 2的系数为C 26⎝⎛⎭⎫－142＝1516. 11． (2015北京理)在(2＋x )5的展开式中，x 3的系数为________(用数字作答)．答案 40解析 展开式通项为：T r ＋1＝C r 525－r x r ，∴当r ＝3时，系数为C 35·25－3＝40. 二、解答题12．已知(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7.求：(1)a 1＋a 2＋…＋a 7；(2)a 1＋a 3＋a 5＋a 7；(3)a 0＋a 2＋a 4＋a 6；解析 令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝－1.①令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6－a 7＝37.②(1)∵a 0＝C 07＝1，∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 7＝－2.(2)(①－②)÷2，得a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝－1－372＝－1 094. (3)(①＋②)÷2，得a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝－1＋372＝1 093. 13．已知在⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －33x n 的展开式中，第6项为常数项． (1) 求n ；(2) 求含x 2的项的系数；解析 通项公式为T r ＋1＝C r n x n －r 3(－3)r x －r 3＝(－3)r C r n x n －2r 3. (1) ∵ 第6项为常数项，∴ r ＝5时，有n －2r 3＝0，解得n ＝10. (2) 令n －2r 3＝2，得r ＝12(n －6)＝2，∴ x 2的项的系数为C 210(－3)2＝405.。

2018年高考数学讲练测【新课标版理】【讲】第十章 计数原理第03节 二项式定理【考纲解读】考 点 考纲内容 五年统计 分析预测利用二项式定理求指定项1.理解排列、组合的概念，能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式；2.能解决简单的实际问题2017课标I,理62017课标Ⅲ,理42015课标I,理102013课标Ⅱ,理51.高频考向：用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.2.预测：二项式定理与微积分，复数计算等知识相联系.二项式系数与项的系数1.能用计数原理怎么二项式定理；2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题。

2016课标I,理142015课标Ⅱ,理152014课标I,理13 2013课标I,理9【知识清单】一．二项式定理 1. 二项式定理()()011*nn n r n r rn nn nn n a b C a C a b C a b C b n N --+=+++++∈，这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做()na b +的二项展开式，其中的系数rn C (0,1,2,3,,r n =)叫做二项式系数．式中的r n r r n C a b -叫做二项展开式的通项，用1r T +表示，即展开式的第1r +项；1r n r r r n T C a b -+=.2．二项展开式形式上的特点 (1)项数为1n +.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n ，即a 与b 的指数的和为n .(3)字母a 按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零；字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n .(4)二项式的系数从0n C ，1n C ，一直到1n n C -，n n C .3. 二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即0n n n C C =，11n n nC C -=，，m n mn nC C -=.(2)增减性与最大值：二项式系数rn C ，当12n r +≤时，二项式系数是递增的；由对称性知：当12n r +>时，二项式系数是递减的．当n 是偶数时，中间的一项2n nC 取得最大值． 当n 是奇数时，中间两项12n nC + 和12n nC-相等，且同时取得最大值． (3)各二项式系数的和()na b +的展开式的各个二项式系数的和等于2n ，即012rnn n n n n C C C C +++++=，二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即02413512n n n n n n n C C C C C C -+++=+++=，4.注意:（1）．分清r n r r n C a b -是第1r +项，而不是第r 项.(2)．在通项公式1r n r r r n T C a b -+=中，含有1r T +、r nC 、a 、b 、n 、r 这六个参数，只有a 、b 、n 、r 是独立的，在未知n 、r 的情况下，用通项公式解题，一般都需要首先将通式转化为方程（组）求出n 、r ,然后代入通项公式求解.(3)．求二项展开式中的一些特殊项，如系数最大项，常数项等，通常都是先利用通项公式由题意列方程，求出r ，再求所需的某项；有时则需先求n ,计算时要注意n 和r 的取值范围以及 它们之间的大小关系.(4) 在1r n r r r n T C a b -+=中，r nC 就是该项的二项式系数，它与a ，b 的值无关；而1r T +项的系数是指化简后字母外的数． 5．二项式的应用（1）求某些多项式系数的和； （2）证明一些简单的组合恒等式；（3）证明整除性,①求数的末位；②数的整除性及求系数；③简单多项式的整除问题； （4）近似计算.当x 充分小时，我们常用下列公式估计近似值：①()11nx nx +≈+；②()()21112nn n x nx x -+≈++；（5）证明不等式. 对点练习： 二项式31()nx x-的展开式中第4项为常数项，则常数项为( ) （A ）10 （B ）10- （C ）20 （D ）20- 【答案】B【考点深度剖析】本节内容中高考热点是通项公式的应用，利用通项公式求特定项或特定的项的系数，或已知某项，求指数n 等．【重点难点突破】考点1排列与组合【1-1】【2017全国1卷】()62111x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中2x 的系数为 A. 15 B. 20 C. 30 D. 35 【答案】C 【解析】因为()()()666221111111x x x x x⎛⎫++=⋅++⋅+ ⎪⎝⎭，则()61x +展开式中含2x 的项为22261C 15x x ⋅=， ()6211x x ⋅+展开式中含2x 的项为442621C 15x x x⋅=，故2x 的系数为151530+=，选C. 【1-2】【2016四川理2】设i 为虚数单位，则6(i)x +的展开式中含4x 的项为（ ）. A.415x -B.415xC.420i x -D.420i x【答案】A【解析】二项式()6i x +展开的通项616C r r r r T x i -+=，则其展开式中含4x 是当64r -=，即2r =，则展开式中含4x 的项为24246C i 15x x =-，故选A.【1-3】【2017届湖南长沙长郡中学高三摸底测试数学（理）试卷】已知2221(4)a x ex dx π-=--⎰，若2016220160122016(1)()ax b b x b x b x x R -=++++∈，则20161222016222b b b +++的值为（ ） A ．0 B ．-1 C ．1 D ．e 【答案】B【领悟技法】1.在应用通项公式时，要注意以下几点：①它表示二项展开式的任意项，只要n 与r 确定，该项就随之确定； ②1r T +是展开式中的第1r +项，而不是第r 项；③公式中，a ，b 的指数和为n 且a ，b 不能随便颠倒位置； ④对二项式()na b -展开式的通项公式要特别注意符号问题．⑤在二项式定理的应用中，“赋值思想”是一种重要方法，是处理组合数问题、系数问题的经典方法． 2. 二项定理问题的处理方法和技巧:⑴运用二项式定理一定要牢记通项1r n r rr n T C a b -+=，注意()n a b +与()nb a +虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不同的，一定要注意顺序问题，另外二项展开式的二项式系数与该项的(字母)系数是两个不同的概念，前者只指r n C ，而后者是字母外的部分．前者只与n 和r 有关，恒为正，后者还与a ，b 有关，可正可负．⑵ 对于二项式系数问题，应注意以下几点：①求二项式所有项的系数和，可采用“特殊值取代法”，通常令字母变量的值为1； ②关于组合恒等式的证明，常采用“构造法”——构造函数或构造同一问题的两种算法； ③证明不等式时，应注意运用放缩法.⑶ 求二项展开式中指定的项，通常是先根据已知条件求r ，再求1r T +，有时还需先求n ，再求r ，才能求出1r T +.⑷ 有些三项展开式问题可以变形为二项式问题加以解决；有时也可以通过组合解决，但要注意分类清楚，不重不漏.⑸ 对于二项式系数问题，首先要熟记二项式系数的性质，其次要掌握赋值法，赋值法是解决二项式系数问题的一个重要手段.⑹ 近似计算要首先观察精确度，然后选取展开式中若干项.⑺ 用二项式定理证明整除问题，一般将被除式变为有关除式的二项式的形式再展开，常采用“配凑法”“消去法”配合整除的有关知识来解决.多项式乘法的进位规则:在求系数过程中,尽量先化简，降底数的运算级别,尽量化成加减运算，在运算过程可以适当注意令值法的运用，例如求常数项，可令0x =.在二项式的展开式中，要注意项的系数和二项式系数的区别.3. 排列组合在二项展开式中的应用：()na b +展开式可以由次数、项数和系数来确定．(1)次数的确定：从n 个相同的a b +中各取一个(a 或b )乘起来，可以构成展开式中的一项，展开式中项的形式是p q ma b ，其中,,p q N p q n ∈+=.(2)项数的确定：满足条件,,p q N p q n ∈+=的(),p q 共1n +组． 即将()na b +展开共2n 项，合并同类项后共1n +项．(3)系数的确定：展开式中含p q a b (p q n +=)项的系数为p n C (即p 个a ，q 个b 的排列数)因此()na b +展开式中的通项是：1r n r r r n T C a b -+= (0,1,2,3,,r n =)()()011*nn n r n r rn nn n n n a b C a C a b C a b C b n N --+=+++++∈这种方法比数学归纳法推导二项式定理更具一般性和创造性，不仅可二项展开，也可三项展开，四项展开等．4. 求几个二项式积的展开式中某项的系数或特定项时，一般要根据这几个二项式的结构特征进行分类搭配，分类时一般以一个二项式逐项分类，分析其他二项式应满足的条件，然后再求解结果．5. “赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如()nax b +、()2nax bx c++ (,,a b c R ∈)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令1x =即可；对形如()nax by + (,a b R ∈)的式子求其展开式各项系数之和，只需令1x y ==即可．“赋值法”是求二项展开式系数问题常用的方法，注意取值要有利于问题的解决，可以取一个值或几个值，也可以取几组值，解题易出现漏项等情况，应引起注意．例：若()2012n n f x a a x a x a x =++++，则()f x 展开式中各项系数之和为()1f ，奇数项系数之和为()()024112f f a a +-+++=，偶数项系数之和为()()135112f f a a --+++=，令0x =，可得()00a f =．6. 求展开式系数最大项：如求()nax b + (,a b R ∈)的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为1231,,,,n A A A A +，且第k 项系数最大，应用11k k k k A A A A -+≥⎧⎨≥⎩从而解出k 来，即得．7. (1)利用二项式定理解决整除问题时，关键是进行合理地变形构造二项式，应注意：要证明一个式子能被另一个式子整除，只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除即可．(2)求余数问题时，应明确被除式()f x 与除式()g x (()0g x ≠)，商式()q x 与余式的关系及余式的范围． (3)展开式中常数项、有理项的特征是通项中未知数的指数分别为零和整数．解决这类问题时，先要合并通项中同一字母的指数，再根据上述特征进行分析．(4)有关求二项展开式中的项、系数、参数值或取值范围等，一般要利用通项公式，运用方程思想进行求值，通过解不等式(组)求取值范围． 【触类旁通】【变式一】【河北省衡水市2018届高三高考模拟联考】若()62x y -的展开式中的二项式系数和为S ， 24x y的系数为P ，则PS为（ ） A. 152 B. 154C. 120D. 240【答案】B【解析】0166666264S C C C =+++==()44621615240P C =-=⨯=24015644P S == 故选B【变式二】【江西省2017届高三六校联考】若()1216tan m xx dx -=+⎰，且()201223mm m x a a x a x a x +=+++⋯+，则()()220211m m a a a a a -++⋯+-+⋯+的值为__________．【答案】1【解析】函数tan y x =是奇函数，则11tan 0xdx -=⎰，即： ()()1122116tan 64m xx dx x dx --=+==⎰⎰，从而有： ()42340123423x a a x a x a x a x +=++++，令1x =可得： ()40123423a a a a a ++++=+,令1x =-可得： ()40123423a a a a a -+-+=-+,原式： ()()()()220241301234012341a a a a a a a a a a a a a a a ++-+=++++⨯-+-+=.易错试题常警惕易错典例：设15nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，若240M N -=，则n =________.易错分析：混淆二项式系数与项的系数致误温馨提醒：解决二项展开式问题时，还有以下几点容易失误，要特别关注： ①二项展开式的通项1r T +中项数与r 的关系； ②正确写出二项式通项公式； ③对于二项式定理的应用会逆用公式； ④二项式系数与各项的系数混淆不清； ⑤在展开()na b -时不要忽略中间的“－”． 学科素养提升之思想方法篇二项式定理中的创新问题以二项式定理为载体的创新问题是近几年高考命题的一个热点，此类问题常以“问题”(二项式)为核心，以“探究”为途径，以“发现”为目的，这类试题以二项式为依托，考查学生的理解能力、解决创新问题的能力．常见的有新概念、新法则、新运算．【典例】1.在()()6411x y ++的展开式中，记m nx y 项的系数为(),f m n ，则()()()()3,02,11,20,3f f f f +++= （ ）.A.45B.60C.120D. 210 【答案】C【解析】在()61x +的展开式中，m x 的系数为6C m，在()41y +的展开式中，ny 的系数为4C n ，故()64,C C m n f m n =⋅.从而()363,0C 20f ==，()21642,1C C 60f =⋅=， ()12641,2C C 36f =⋅=，()340,3C 4f ==，故选C.【典例】2.设0a ≠，n 是大于1的自然数，1nx a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式为2012n n a a x a x a x ++++….若点()i i A i a ,，()012i =,,的位置如图所示，则a = .【答案】3温馨提醒：对于二项式定理中的创新问题，要注意系数问题及排列组合知识的应用．常与函数、不等式、导数等结合，突出创新．。

(1）能用计数原理证明二项式定理.（2）会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题。

一、二项式定理011()C C C C ()n n n k n k kn n n n n n a b a ab ab b n --*+=+++++∈N ,这个公式叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做()na b +的二项展开式,共有n +1项，其中各项的系数C ({0,1,2,,})knk n ∈叫做二项式系数.二项展开式中的C k n kk nab -叫做二项展开式的通项,用1k T +表示，即通项为展开式的第1k +项：1C k n k k k n Ta b -+=。

注意：二项式系数是指0C n，1C n，…，C n n，它是组合数，只与各项的项数有关，而与a ，b 的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a , b 的值有关．如()na bx +的展开式中,第r ＋1项的二项式系数是C r n，而该项的系数是C r n rr nab -.当然,某些特殊的二项展开式如(1)nx +,各项的系数与二项式系数是相等的． 二、二项式系数的性质（1）对称性。

与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等。

事实上，这一性质可直接由公式CC m n mnn-=得到。

(2）增减性与最大值。

当12n k +<时，二项式系数是逐渐增大的；当12n k +>时，二项式系数是逐渐减小的,因此二项式系数在中间取得最大值.当n 是偶数时，中间的一项的二项式系数2C nn最大；当n 是奇数时，中间的两项的二项式系数1122C ,Cn n nn-+相等且最大.（3)各二项式系数的和。

已知0122(1)C C C C C nk k n nn n n n n x x x x x +=++++++.令1x =,则0122C C C C nnn n n n=++++。

也就是说，()n a b +的展开式的各个二项式系数的和为2n。

1.本部分在高考中经常考查，主要有求二项展开式中的某一特定项、特定项的系数、已知某项的值求参数值、赋值法求值、利用二项展开式作不等放缩或近似计算等2．命题形式多种多样，主要以选择题、填空题的形式出现，有时涉及函数与方程的思想方法热点题型一 求展开式中的指定项或特定项例1、已知在(3x －123x )n 的展开式中，第6项为常数项。

(1)求n ；(2)求含x 2的项的系数； (3)求展开式中所有的有理项。

【解析】(1)通项为T r ＋1＝C r n x n －r 3⎝⎛⎭⎫－12r x －r3＝C r n ⎝⎛⎭⎫－12r x n －2r 3， 因为第6项为常数项，所以r ＝5时，有n －2r3＝0，即n ＝10。

(2)令n －2r 3＝2，得r ＝12(n －6)＝12×(10－6)＝2，∴所求的系数为C 210⎝⎛⎭⎫－122＝454。

(3)根据通项公式，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧10－2r 3∈Z0≤r ≤10r ∈Z 。

令10－2r 3＝k (k ∈Z )，则10－2r ＝3k ，即r ＝5－32k ，∵r ∈Z ，∴k 应为偶数。

∴k 可取2,0，－2，即r 可取2,5,8。

所以第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为C 210⎝⎛⎭⎫－122x 2，C 510⎝⎛⎭⎫－125，C 810⎝⎛⎭⎫－128x －2。

【提分秘籍】解此类问题可以分两步完成：第一步是根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件，即n ，r 均为非负整数，且n ≥r )；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项。

【举一反三】⎝⎛⎭⎫x ＋a x 5(x ∈R )展开式中x 3的系数为10，则实数a 等于( ) A ．－1 B.12 C ．1 D ．2【答案】D【解析】由二项式定理，得T r ＋1＝C r 5x 5－r ·⎝⎛⎭⎫a x r ＝C r 5·x 5－2r ·a r ，令5－2r ＝3，得r ＝1，由C 15·a ＝10，解得a ＝2。

高考达标检测（四十五）二项式定理命题3角度——求系数、定特项、会赋值一、选择题1.⎝⎛⎭⎪⎫x 2－2x 3的展开式中的常数项为( ) A ．12 B ．－12 C ．6D ．－6解析：选A 由题意可得，二项展开式的通项为T r ＋1＝C r3·(x 2)3－r⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x r ＝(－2)r C r 3x 6－3r ，令6－3r ＝0，得r ＝2，∴⎝⎛⎭⎪⎫x 2－2x 3的展开式中的常数项为T 2＋1＝(－2)2C 23＝12，故选A. 2．(2017·商丘月考)在(1－x )5＋(1－x )6＋(1－x )7＋(1－x )8的展开式中，含x 3的项的系数是( )A ．74B ．121C ．－74D ．－121解析：选D 展开式中含x 3项的系数为C 35(－1)3＋C 36(－1)3＋C 37(－1)3＋C 38(－1)3＝ －121.3．(2017·唐山一模)⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x2－23展开式中的常数项为( )A ．－8B ．－12C ．－20D ．20解析：选C ∵⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 2－23＝⎝⎛⎭⎪⎫x －1x 6，∴T r ＋1＝C r 6x 6－r ·⎝⎛⎭⎪⎫－1xr ＝C r 6(－1)r x 6－2r，令6－2r ＝0，得r ＝3，∴常数项为C 36(－1)3＝－20.4．(x ＋2)2(1－x )5中x 7的系数与常数项之差的绝对值为( ) A ．5 B ．3 C ．2D ．0解析：选A 常数项为C 22×22×C 05＝4，x 7系数为C 02×C 55(－1)5＝－1，因此x 7系数与常数项之差的绝对值为5.5．若⎝⎛⎭⎪⎪⎫3x －13x 2m 的展开式中二项式系数之和为128，则展开式中1x 3的系数是( ) A ．21 B ．－21 C ．7D ．－7解析：选A 由题意可知2m ＝128，∴m ＝7，∴展开式的通项T r ＋1＝C r 7(3x )7－r·⎝⎛⎭⎪⎪⎫－13x 2r＝C r 737－r(－1)rx 7－5r 3，令7－53r ＝－3，解得r ＝6， ∴1x3的系数为C 6737－6(－1)6＝21，故选A.6．已知a ＝2⎠⎛0πcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6d x ，则二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋a x 5的展开式中x 的系数为( )A ．10B ．－10C ．80D ．－80解析：选D a ＝2⎠⎛0πcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6d x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6⎪⎪⎪1＝－2，展开式的通项为T r ＋1＝C r5(－2)r x10－3r，令10－3r ＝1，则r ＝3，T 4＝C 35(－2)3x ＝－80x .7．1－90C 110＋902C 210－903C 310＋…＋(－1)k90k C k10＋…＋9010C 1010除以88的余数是( ) A ．－1 B ．1 C ．－87D ．87解析：选B 1－90C 110＋902C 210＋…＋(－1)k90k C k10＋…＋9010C 1010＝(1－90)10＝8910＝(88＋1)10＝8810＋C 110889＋…＋C 91088＋1，∵前10项均能被88整除，∴余数是1.8．设(1＋x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n，若a 1＋a 2＋…＋a n ＝63，则展开式中系数最大的项是( )A ．15x 2B ．20x 3C ．21x 3D ．35x 3解析：选B ∵(1＋x )n＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n， 令x ＝0，得a 0＝1.令x ＝1，则(1＋1)n＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a n ＝64， ∴n ＝6，又(1＋x )6的展开式二项式系数最大的项的系数最大， ∴(1＋x )6的展开式系数最大的项为T 4＝C 36x 3＝20x 3. 二、填空题9．若a 1(x －1)4＋a 2(x －1)3＋a 3(x －1)2＋a 4(x －1)＋a 5＝x 4，则a 2＋a 3＋a 4＝________. 解析：x 4＝[(x －1)＋1]4＝C 04(x －1)4＋C 14(x －1)3＋C 24(x －1)2＋C 34(x －1)＋C 44， 对照a 1(x －1)4＋a 2(x －1)3＋a 3(x －1)2＋a 4(x －1)＋a 5＝x 4， 得a 2＝C 14，a 3＝C 24，a 4＝C 34， 所以a 2＋a 3＋a 4＝C 14＋C 24＋C 34＝14.答案：1410．若(x 2＋ax ＋1)6(a ＞0)的展开式中x 2的系数是66，则⎠⎛0asin x d x 的值为________．解析：由题意可得(x 2＋ax ＋1)6的展开式中x 2的系数为C 16＋C 26a 2，故C 16＋C 26a 2＝66，∴a＝2或a ＝－2(舍去)．故⎠⎛0asin x d x ＝⎠⎛02sin x d x ＝(－cos x ) ⎪⎪⎪2＝1－cos 2.答案：1－cos 211．已知(1＋x ＋x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x3n 的展开式中没有常数项，n ∈N *，且2≤n ≤7，则n ＝________. 解析：由题意得⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x3n 的展开式的通项T r ＋1＝C r n x n －r ·x －3r ＝C r n x n －4r 中不含x 0，x －1， x－2，所以n －4r ＝0，n －4r ＝－1和n －4r ＝－2在条件n ∈N *，且2≤n ≤7下均无解， 则n ＝5.答案：512．(2016·合肥质检)若⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3x n 展开式的各项系数的绝对值之和为1 024，则展开式中x 的一次项的系数为________．解析：T r ＋1＝C rn (x )n －r⎝ ⎛⎭⎪⎫－3x r ＝(－3)r ·C r nx n －3r 2，因为展开式的各项系数绝对值之和为C 0n ＋|(－3)1C 1n |＋(－3)2C 2n ＋|(－3)3C 3n |＋…＋ |(－3)n C nn |＝1 024，所以(1＋3)n＝1 024，解得n ＝5， 令5－3r2＝1，解得r ＝1， 所以展开式中x 的一次项的系数为(－3)1C 15＝－15. 答案：－15 三、解答题13．已知二项式⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋1x n的展开式中各项的系数和为256.(1)求n ；(2)求展开式中的常数项．解：(1)由题意得C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C nn ＝256， ∴2n＝256，解得n ＝8.(2)该二项展开式中的第r ＋1项为 T r ＋1＝C r 8⎝⎛⎭⎫3x 8－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝C r 8·x 8－4r 3，令8－4r3＝0，得r ＝2， 此时，常数项为T 3＝C 28＝28.14．已知在⎝⎛⎭⎪⎪⎫3x －123x n 的展开式中，第6项为常数项． (1)求n ；(2)求含x 2的项的系数； (3)求展开式中所有的有理项． 解：(1)通项公式为T k ＋1＝C k n xn －k 3⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k x －k3. ＝C k n ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k x n －2k 3.因为第6项为常数项， 所以k ＝5时，n －2×53＝0，即n ＝10.(2)令10－2k3＝2，得k ＝2， 故含x 2的项的系数是C 210⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＝454. (3)根据通项公式，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧10－2k 3∈Z ，0≤k ≤10，k ∈N ，令10－2k3＝r (r ∈Z)， 则10－2k ＝3r ，k ＝5－32r ，∵k ∈N ，∴r 应为偶数，∴r 可取2,0，－2，即k 可取2,5,8， ∴第3项，第6项与第9项为有理项， 它们分别为C 210⎝ ⎛⎭⎪⎫－122x 2，C 510⎝ ⎛⎭⎪⎫－125，C 810⎝ ⎛⎭⎪⎫－128x －2.。

第三节二项式定理【最新考纲】会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．1．二项式定理(1)二项式定理：(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C r n a n－r b r＋…＋C n n b n(n∈N*)；(2)通项公式：T r＋1＝C r n a n－r b r，它表示第r＋1项；(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数为C o n，C1n，…，C n n.2．二项式系数的性质3.二项式各项系数和(1)(a＋b)n展开式的各二项式系数和：C0n＋C1n＋C2n＋…＋C n n＝2n．(2)偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C0n＋C2n＋C4n＋…＝C1n＋C3n＋C5n＋…＝2n－1．(1)C r n a n－r b r是(a＋b)n的展开式中的第r项．()(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．()(3)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关．()(4)(a＋b)n某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的二项式系数不同．()答案：(1)×(2)×(3)√(4)√2．(2017·广州一模)(3－x)n的展开式中各项系数和为64，则x3的系数为()A．540B．－540C．600D．200解析：本题主要考查二项式定理．由题意令x＝1，则(3－x)n的展开式中各项系数和为2n＝64，解得n＝6，由二项式定理可得T r＋1＝C r636－r(－x)r＝(－1)r C r636－r x r，取r＝3可得x3的系数为(－1)3C3633＝－540.答案：B3．(2015·陕西卷)二项式(x＋1)n(n∈N*)的展开式中x2的系数为15，则n＝()A．7 B．6C．5 D．4解析：(x＋1)n＝(1＋x)n＝1＋C1n＋C2n x2＋…＋C n n x n依题意，得C2n＝15，解得n＝6(n＝－5舍去)．答案：B4．若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，则a7＋a6＋…＋a1的值为()A．1 B．129C．128 D．127解析：令x ＝1得a 0＋a 1＋…＋a 7＝128.令x ＝0得a 0＝(－1)7＝－1，∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 7＝129.答案：B5．(2016·衡水质检)在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x2－13x n 的展开式中，各项的二项式系数和为256，则展开式中常数项是________．解析：依题意，得2n ＝256，∴n ＝8 则⎝⎛⎭⎪⎪⎫x2－13x 8展开式的通项T k ＋1＝C k 8⎝ ⎛⎭⎪⎫128－k (－1)kx8－43k ，令8－43k ＝0，则k ＝6，因此展开式中的常数项T 7＝C 68⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝7. 答案：7一个定理二项式定理(a ＋b)n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋C r n a n －r b r＋…＋C n nb n (n ∈N *)揭示二项展开式的规律，一定要牢记通项公式T r ＋1＝C r n a n －r b r是展开式的第r ＋1项，不是第r 项．一点注意切记二项展开式的二项式系数与该项的(字母)系数是两个不同的概念，前者只指C r n，而后者是字母外的部分；前者只与n和r 有关，恒为正，后者还与a，b有关，可正可负．两类应用1．通项的应用：利用二项展开式的通项可求指定的项或指定项的系数等(常用待定系数法)．2．展开式的应用：(1)可求解与二项式系数有关的求值问题，常采用赋值法．(2)可证明整除问题(或求余数)．(3)有关组合式的求值证明，常采用构造法．一、选择题1．(2015·广东卷改编)在(x－1)4的展开式中，x的系数为() A．6B．－6C．4 D．－4解析：T r＋1＝C r4·(x)4－r·(－1)r.令r＝2，则C24(－1)2＝6.答案：A2．(2016·江西八校联考)若(1＋x)(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，则a1＋a2＋…＋a7的值是()A．－2 B．－3C．125 D．－131解析：令x＝1，则a0＋a1＋a2＋…＋a8＝－2.又a 0＝C 07(－1)020＝1，a 8＝C 77(－2)7＝－128.所以a 1＋a 2＋…＋a 7＝－2－1－(－128)＝125. 答案：C3．若二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋a x 7的展开式中1x 3的系数是84，则实数a ＝( )A ．2 B.54 C ．1 D.24解析：T r ＋1＝C r 7·(2x)7－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫a x r＝27－rC r 7a r·1x2r －7，令2r －7＝3，则r ＝5.由22·C 57a 5＝84得a ＝1.答案：C4．二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2x 2n的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式中常数项是( )A ．180B ．90C ．45D ．360解析：依题意，n ＝10.则⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2x 210的通项公式T r ＋1＝C r 10(x)10－r⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2r ＝2r C r10x5－52r 令5－52r ＝0，得r ＝2.∴展开式中的常数项T 3＝22C 210＝180.答案：A5．已知C 0n ＋2C 1n ＋22C 2n ＋23C 3n ＋…＋2n C n n ＝729，则C 1n ＋C 2n ＋C 3n ＋…＋C n n 等于( )A ．63B ．64C ．31D ．32解析：逆用二项式定理得C 0n ＋2C 1n ＋22C 2n ＋23C 3n ＋…＋2n C n n ＝(1＋2)n ＝3n ＝729，即3n ＝36，所以n ＝6，所以C 1n ＋C 2n ＋C 3n ＋…＋C n n ＝26－C 0n ＝64－1＝63.答案：A6．在(1＋x)6(1＋y)4的展开式中，记x m y n 项的系数为f(m ，n)，则f(3，0)＋f(2，1)＋f(1，2)＋f(0，3)＝( )A ．45B ．60C ．120D ．210解析：在(1＋x)6的展开式中，x m 的系数为C m 6，在(1＋y)4的展开式中，y n 的系数为C n 4，故f(m ，n)＝C m 6·C n4.所以f(3，0)＋f(2，1)＋f(1，2)＋f(0，3)＝C 36C 04＋C 26C 14＋C 16C 24＋C 06C 34＝120.答案：C二、填空题7．(2015·天津卷)在⎝ ⎛⎭⎪⎫x －14x 6的展开式中，x 2的系数为________．解析：设通项为T r ＋1＝C r 6x 6－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14x r ＝C r 6⎝ ⎛⎭⎪⎫－14rx 6－2r.令6－2r ＝2得r ＝2， ∴x 2的系数为C 26⎝ ⎛⎭⎪⎫－142＝1516. 答案：15168.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12x n的展开式中第五项和第六项的二项式系数最大，则第四项为________．解析：由条件第五项和第六项二项式系数最大，得n ＝9.∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12x 9展开式的第四项为T 4＝C 39·(x)6·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 3＝212.答案：2129．(2015·课标全国Ⅱ卷)(a ＋x)(1＋x)4的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a ＝________．解析：设(a ＋x)(1＋x)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5. 令x ＝1，得(a ＋1)×24＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5.① 令x ＝－1，得0＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5.②①－②，得16(a ＋1)＝2(a 1＋a 3＋a 5)＝2×32，∴a ＝3. 答案：3 三、解答题10．已知二项式(3x ＋1x)n的展开式中各项的系数和为256.(1)求n ；(2)求展开式中的常数项．解：(1)由题意得C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C nn ＝256，∴2n ＝256，解得n ＝8.(2)该二项展开式中的第r ＋1项为 T r ＋1＝C r 8(3x)8－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝C r8·x8－4r 3，令8－4r 3＝0，得r ＝2，此时，常数项为T 3＝C 28＝28. 11．若(2＋x ＋x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 3的展开式中的常数项为a ，求∫a0(3x 2－1)dx.解：∵⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 3＝1－3x ＋3x 2－1x 3，∴(2＋x ＋x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 3的展开式中的常数项为a ＝2×1＋1×(－3)＋1×3＝2.故∫a 0(3x 2－1)dx ＝(x 3－x)|20＝6.12．已知a 为如图所示的程序框图输出的结果，求二项式⎝⎛⎭⎪⎫a x －1x 6的展开式中含x 2项的系数．解：由题意可知i ＝1，a ＝2，i ＝2，a ＝－1；i ＝3，a ＝12；i ＝4，a ＝2.则其周期为3，i ≥2 017，则输出a ，由此可知a ＝2.T r ＋1＝C r 6(ax)6－r ⎝⎛⎭⎪⎫－1x r的展开式为含x 2的项，∴6－r 2－r2＝2，∴r ＝1，则x 2项的系数C 16·26－1(－1)1＝－192.。

第3节二项式定理【选题明细表】基础对点练(时间:30分钟)1.二项式(x-)6的展开式中常数项为( B )(A)-15 (B)15 (C)-20 (D)20解析:展开式的通项公式为Tr+1=x r=(-1)6-r,令r-3=0,得r=2,故展开式中的常数项为T3=(-1)6-2=15,选B.2.(2015·陕西卷)二项式(x+1)n(n∈N+)的展开式中x2的系数为15,则n等于( C )(A)4 (B)5 (C)6 (D)7解析:因为(x+1)n的展开式中x2的系数为,所以=15,即=15,亦即n2-n=30,解得n=6(n=-5舍).故选C.3.若(1-2x)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,则a1+a2+a3+a4等于( A )(A)0 (B)-1 (C)1 (D)81解析:令x=1,可得a0+a1+a2+a3+a4=1,令x=0,可得a=1,所以a1+a2+a3+a4=0.4.(2016·安徽蚌埠二模)二项式(-)n 展开式中含有x 项,则n 可能的取值是( D ) (A)10 (B)9(C)8 (D)7 解析:因为二项式(-)n 展开式的通项公式为T r+1=·()n-r ·(-)r =(-1)r ··,令-2n+=1,得5r=4n+2,即r=,即4n+2是5的倍数,所以满足条件的数在答案中只有7.故选D. 5.在(+)2n (n ∈N *)的展开式中只有第6项系数最大,则其常数项为( B )(A)120 (B)210 (C)252 (D)45解析:由已知得,二项展开式中各项的系数和二项式系数相等.由展开式中只有第6项的系数最大,可得展开式有11项,即2n=10,n=5.(+)10展开式的通项为T r+1==,令5-r=0,可得r=6,此时T 7==210.6.(2015·湖南卷)已知(-)5的展开式中含的项的系数为30,则a 等于( D )(A)(B)-(C)6(D)-6解析:(-)5的展开式的通项为T r+1=()5-r ·(-)r =(-a)r ·.依题意,令5-2r=3, 得r=1,所以(-a)1·=30,a=-6,故选D. 7.(2016·河北保定一模)若二项式的展开式中的常数项为-540,则(3x 2-1)dx 等于( A )(A)24 (B)3 (C)6 (D)2 解析:二项式展开式的通项公式为T r+1=(ax)6-r (-)r ,易知当r=3时为常数项,所以(-1)3a 3=-540,解得a=3. (3x 2-1)dx=(3x 2-1)dx=(x 3-x)=24.8.在(1-x)20的展开式中,系数为有理数的项共有 项.解析:展开式的通项公式为T r+1=(-x)r ,系数为有理数只要r 为偶数即可,即r=0,2,…,20,共11项. 答案:119.(2016·湖南常德市高三3月模拟)已知(1-x)6=a 0+a 1x+a 2x 2+…+a 6x 6,则|a 0|+|a 1|+…+|a 6|= . 解析:令x=-1即得,即26=64. 答案:6410.(2016·湖南衡阳市高三二联)二项式的展开式中,x 4y 4与x 2y 6项的系数之和是 (用数字作答).解析:(-y)8的展开式的通项为T r+1=()8-r (-y)r =x 8-r y r ,当r=4时,可得x 4y 4的系数为=;当r=6时,可得x 2y 6的系数为=14,所以x 4y 4与x 2y 6的系数之和是+14=.答案:能力提升练(时间:15分钟),其中甲、乙不相邻的站法共有n种,则(-)n展开式的常数项为( A )(A)-(B) (C)-55 (D)55解析:先排丙、丁,再在其隔开的三个空位上排甲、乙,所以n==12.已知二项式展开式的通项为Tr+1=()12-r(-)r=(-)r,当r=3时为常数项,故其常数项为(-)3=-.(3x-1)n=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+anx n(n∈N*),设(3x-1)n展开式的二项式系数和为Sn ,Tn=a1+a2+a3+…+an(n∈N*),Sn与Tn的大小关系是( C )(A)Sn >Tn(B)Sn <Tn(C)n为奇数时,Sn <Tn,n为偶数时,Sn>Tn(D)Sn =Tn解析:令x=1,得a0+a1+…+an=2n,令x=0,得a=(-1)n,所以Tn=2n-(-1)n;Sn=2n.当n为奇数时,Sn <Tn;当n为偶数时,Sn>Tn.(x+)n的展开式中前三项的系数成等差数列,则展开式中x4项的系数为( B )(A)6 (B)7 (C)8 (D)9解析:由2×=+,得n=1+,即n2-9n+8=0,解得n=8.展开式的通项公式为T=x8-2r,8-2r=4,则r=2,x4的系数为7.r+114.(2016·福建福州模拟)(a+b)2(b+c)3的展开式中ab2c2的系数是.解析:第一个展开式中ab的系数与第二个展开式中bc2的系数的乘积.答案:6(1+x)3+(1+x)4+(1+x)5+…+(1+x)20展开式中x3的系数.解:法一先求各展开式中x3的系数后求和.所求x3的系数为+++…+=(+)++…+=(+)++…+=(+)+…+=+==5 985.法二先求和再求x3的系数.(1+x)3+(1+x)4+…+(1+x)20可以看作是首项为(1+x)3,公比为1+x(显然x≠-1,0)的等比数列前18项的和,利用等比数列求和公式.所以原式==.显然只有(1+x)21中x4项与分母x相除可得x3项,所以x3的系数为=5 985.好题天天练2-x-2)6的展开式中x2的系数等于( B )(A)-48 (B)48 (C)234 (D)432解题关键:分解x2-x-2,把三项式问题化为二项式问题,使用多项式乘法法则解决.解析:(x2-x-2)6=(2-x)6(1+x)6=(26-25x+24x2-…) (+x+x2+…),所以展开式中x2的系数为26-25+24=48.选B.(1-x)5(3+2x)9=a0(x+1)14+a1(x+1)13+…+a13(x+1)+a14,则a 0+a1+a2+…+a13等于( D )(A)39(B)25-39 (C)25(D)39-25解题关键:特殊赋值得出a14以及a+a1+…+a14.解析:令x=0,得a0+a1+…+a14=39,令x=-1,得a14=25,所以a+a1+a2+…+a13=39-25.。

【走向高考】2018年高考数学总复习 11-3二项式定理(理)课后作业 北师大版一、选择题1．(2018·天津理，5)在(x2－2x )6的二项展开式中，x 2的系数为( ) A ．－154 B.154 C ．－38 D.38[答案] C[解析] 本题主要考查二项式定理，设第r ＋1项为x 2项，则T r ＋1＝C r 6(x 2)6－r (－2x )r ＝C r 6(12)6－r ·x 6－r 2 (－2)r ·x －r2 ，∴x 3－r ＝x 2，∴r ＝1， ∴系数：C 16(12)5(－2)＝6×(－2)×132＝－38，故选C. 2．(2018·信阳调研)在(x －12x)10的展开式中，x 4的系数为( ) A ．－120 B ．120C ．－15D ．15[答案] C[解析] T r ＋1＝C r 10x r ·(－12x)10－r . 令x r ·(－12x)10－r ＝a ·x 4(a 为常数)， ∴r ＝7，∴a ＝(－12)3.∴系数为C 710·(－12)3＝－15. 3．如果⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2－2x 3n 的展开式中含有常数项，则正整数n 的最小值为( ) A ．3 B ．5C ．6D ．10[答案] B[解析] ∵T r ＋1＝C r n (3x 2)n －r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 3r ＝(－2)r 3n －r C r n x 2n －5r ，当2n －5r ＝0时，2n ＝5r ，又∵n ∈N ＋，r ∈N ，∴n 是5的倍数．∴n 的最小值为5.4．(2018·重庆理，4)(1＋3x )n (其中n ∈N 且n ≥6)的展开式中x 5与x 6的系数相等，则n ＝( )A ．6B ．7C ．8D ．9[答案] B[解析] 本题主要考查二项式定理中二项展开式通项公式的应用．二项式(1＋3x )n 展开式的通项公式为T r ＋1＝3r C r n x r ，∴x 5与x 6的系数分别为35C 5n ，36C 6n .由条件知：35C 5n ＝36C 6n ，即C 5n ＝3C 6n ，∴n ！5！n －！＝3·n ！6！n －！∴n ＝7，选B.5．(2018·云南一检)在(1＋x )5＋(1＋x )6＋(1＋x )7的展开式中，x 4的系数是( )A ．25B ．35C ．45D ．55[答案] D[解析] 二项式(1＋x )5中x 4的系数为C 45，二项式(1＋x )6中x 4的系数为C 46，二项式(1＋x )7中x 4的系数为C 47，故(1＋x )5＋(1＋x )6＋(1＋x )7的展开式中x 4的系数为C 45＋C 46＋C 47＝55，故选D.6．(2018·巢湖一模)已知(x 2－1x )n 的展开式中第三项与第五项的系数之比为314，则展开式中常数项是( )A ．－1B ．1C ．－45D ．45[答案] D[解析] 由题知第三项的系数为C 2n (－1)2＝C 2n ，第五项的系数为C 4n (－1)4＝C 4n ，则有C 2n C 4n ＝314，解之得n ＝10， 由T r ＋1＝C r 10x 20－2r ·x －r2 (－1)r ， 当20－2r －r2＝0时，即当r ＝8时． 常数项为C 810(－1)8＝C 210＝45，选D.二、填空题7．(2018·湖北理，11)(x －13x)18的展开式中含x 15的项的系数为________．(结果用数值表示) [答案] 17[解析] 本题考查二项展开式通项公式的应用T r ＋1＝C r 18x 18－r (－13x )r ＝(－13)r C r 18x 18－32r .令18－3r 2＝15，得r ＝2. ∴含x 15的项的系数为(－13)2C 218＝17. 8．若(2x －1)6(x ＋1)2＝a 0x 8＋a 1x 7＋a 2x 6＋a 3x 5＋a 4x 4＋a 5x 3＋a 6x 2＋a 7x ＋a 8，则a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝________.[答案] 4[解析] 令x ＝1得：a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 8＝4.三、解答题 9．在二项式⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x －123x n 的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列． (1)求展开式的第四项；(2)求展开式的常数项；(3)求展开式的各项系数的和．[解析] 第一项系数的绝对值为C 0n ，第二项系数的绝对值为C 1n 2，第三项系数的绝对值为C 2n 4，依题意有C 0n ＋C 2n 4＝C 1n 2×2，解得n ＝8. (1)第四项T 4＝C 38(3x )5⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－123x 3＝－7x 23 . (2)通项公式为T k ＋1＝C k 8(3x )8－k ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－123x ＝C k 8⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k ·(3x )8－2k ，展开式的常数项满足8－2k ＝0，即k ＝4，所以常数项为T 5＝C 48·⎝ ⎛⎭⎪⎫－124＝358. (3)令x ＝1，得展开式的各项系数的和为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－128＝12＝1256.一、选择题1．在⎝⎛⎭⎪⎪⎫x 2－13x n 的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是( ) A ．－7 B ．7C ．－28D ．28[答案] B[解析] 由题意可知n ＝8，T r ＋1＝C r 8⎝ ⎛⎭⎪⎫x 28－r ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－13x r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫128－r (－1)r C r 8·x . 8－43r ∴r ＝6，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫122×(－1)6C 68＝7. 2．(1＋ax ＋by )n展开式中不含x 的项的系数绝对值的和为243，不含y 的项的系数绝对值的和为32，则a ，b ，n 的值可能为( )A ．a ＝2，b ＝－1，n ＝5B ．a ＝－2，b ＝－1，n ＝6C ．a ＝－1，b ＝2，n ＝6D ．a ＝1，b ＝2，n ＝5[答案] D[解析] 考查二项式定理的灵活运用．不含x 项的系数的绝对值的和为(1＋b )n ，故(1＋b )n ＝243，同理，不含x 项的系数的绝对值的和为(1＋a )n ＝32. 即⎩⎪⎨⎪⎧ ＋b n ＝243＝35＋a n ＝32＝25，所以a ，b ，n 的可能取值为a ＝1，b ＝2，n ＝5.二、填空题 3．(2018·安师大附中期中)(13x＋2x x )n 的二项展开式中，若各项的二项式系数的和是128，则x 5的系数是________．(以数字作答)[答案] 560[解析] 因为(13x＋2x x )n 的二项展开式中，各项的二项式系数的和为128，所以2n ＝128，n ＝7.该二项展开式中的第r ＋1项为T r ＋1＝C r 7·2r (x －13)7－r (x 32)r ＝C r 7·2r x 11r －146 ，令11r －146＝5得r ＝4，所以展开式中x 5的系数为C 47×24＝560.4．(2018·安徽理，12)设(x －1)21＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 21x 21，则a 10＋a 11＝________.[答案] 0[解析] 本题主要考查二项展开式．a 10＝C 1021(－1)11＝－C 1021，a 11＝C 1121(－1)10＝C 1021，所以a 10＋a 11＝C 1121－C 1021＝C 1021－C 1021＝0. 三、解答题5．求x (1－x )4＋x 2(1＋2x )5＋x 3(1－3x )7展开式中各项系数的和．[分析] 如果展开各括号，则会使运算量增大，如果设展开后为a 0x 10＋a 1x 9＋…＋a 9x ，则问题转化为求a 0＋a 1＋…＋a 9的值，再令等式中x ＝1，即可求解．[解析] 在原式中，令x ＝1，得1×(1－1)4＋12×(1＋2)5＋13×(1－3)7＝115.∴展开式各项系数和为115.[点评] 在某些二项式定理的有关求“系数和”的问题中，常用对字母取特值的方法解题．6．已知(a 2＋1)n 展开式中的各项系数之和等于(165x 2＋1x)5的展开式的常数项，而(a 2＋1)n 的展开式的系数最大的项等于54，求a 的值(a ∈R)．[解析] (165x 2＋1x)5的通项公式为 T r ＋1＝C r 5(165x 2)5－r ·(1x)r ＝C r 5·(165)5－r ·x 20－5r 2 令20－5r ＝0，则r ＝4，∴常数项为T 5＝C 45×165＝16. 又(a 2＋1)n 展开式的各项系数之和为2n ，依题意得2n ＝16，n ＝4，由二项式系数的性质知(a 2＋1)4展开式中系数最大的项是中间项T 3，所以C 24(a 2)2＝54，即a 4＝9，所以a ＝± 3.7．已知在二项式(ax m ＋bx n )12中，a >0，b >0，mn ≠0且2m ＋n ＝0.(1)如果在它的展开式中，系数最大的项是常数项，则它是第几项？(2)在(1)的条件下，求a b 的取值范围．[解析] (1)设T k ＋1＝C k 12(ax m )12－k ·(bx n )k ＝C k 12a 12－k b k x m (12－k )＋nk 为常数项，则有m (12－k )＋nk ＝0， 即m (12－k )－2mk ＝0.∵m ≠0，∴k ＝4，∴它是第5项．(2)∵第5项是系数最大的项， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ C 412a 8b 4≥C 312a 9b 3C 412a 8b 4≥C 512a 7b 5 ①②由①得a b ≤94，由②得a b ≥85， ∴85≤a b ≤94.。