2019级《高等数学》(Ⅰ)期中试题参考答案word资料6页

亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……2019学年度第一学期期中考试高三数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则( )A. B. C. D.【答案】A【解析】求解不等式可得：，则集合.本题选择A选项.2. 已知函数，则( )A. B. C. D.【答案】D【解析】 ,选D.3. 已知，则( )A. B. C. D.【答案】B【解析】由条件得所以 ,选B.4. 等差数列的前项和为，且，则( )A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意得所以 ,选A.5. 已知锐角的内角的对边分别为中，，且满足，则( )A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意可得：，则：，△ABC为锐角三角形，则，由余弦定理有：，整理可得：，边长为正数，则.本题选择C选项.6. 函数的零点的个数是( )A. 个B. 个C. 个D. 个【答案】B【解析】当时,由函数图像可知有两个交点;当时,有一个零点,所以共有3个零点,选B.7. 若变量，且满足线性约束条件，则目标函数的最大值等于( )A. B. C. D.【答案】C【解析】绘制不等式组表示的可行域如图所示，观察可得，目标函数在点处取得最大值.本题选择C选项.8. 已知函数的周期为若将其图像沿轴向右平移个单位（），所得图象关于原点对称，则实数的最小值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】函数的解析式即：，结合最小正周期公式有：将其图像沿轴向右平移个单位所得函数解析式为，该函数图像关于坐标原点对称，则当时：，故，取可得：.本题选择D选项.9. 用数学归纳法证明：“”时，从到，等式的左边需要增乘的代数式是A. B. C. D.【答案】D【解析】等式的左边为等式的左边为所以需要增乘的代数式是,选D.10. 定义运算，若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】所以,选A.点睛：研究二次函数单调性的思路(1)二次函数的单调性在其图象对称轴的两侧不同，因此研究二次函数的单调性时要依据其图象的对称轴进行分类讨论．(2)若已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)在区间A上单调递减(单调递增)，则A⊆（A⊆）即区间A一定在函数对称轴的左侧(右侧)．11. 已知命题：“若，则”的命题是“若，则”；函数，则“是偶函数”是“的充分不必要条件”则下述命题①；② ；③ ；④ ，其中的真命题是（）A. ①③B. ②③C. ①④D. ②④【答案】C【解析】为真命题；因为函数时“是偶函数”是“的必要不充分条件，所以为假命题，因此为真命题，选C.点睛：若要判断一个含有逻辑联结词的命题的真假，需先判断构成这个命题的每个简单命题的真假，再依据“或”：一真即真，“且”：一假即假，“非”：真假相反，做出判断即可.12. 在所在平面上有三点，满足,则的面积与的面积之比是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：由，为线段的一个三等分点，同理可得的位置，的面积为的面积减去三个小三角形面积，，∴面积比为,故选B．考点：1、向量的运算法则；2、向量共线的充要条件；3、相似三角形的面积关系．【方法点晴】本题主要考查向量的运算法则、向量共线的充要条件和相似三角形的面积关系，涉及数形结合思想和一般与特殊思想，考查逻辑推理能力和计算能力，属于较难题型．首先将已知向量等式变形，利用向量的运算法则化简得到，利用向量共线的充要条件得到为线段的一个三等分点，同理可得的位置；利用三角形的面积公式求出三角形的面积比．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 平面向量与的夹角为，则等于__________.【答案】【解析】由题意可得：，则：，据此有：.14. 若，则的由小到大的顺序关系是__________.【答案】【解析】 , ,所以15. 将正整数排成如图所示，其中第行，第列的那个数记为，则数表中的应记为__________.【答案】【解析】因为前n行共有所以数表中的应记为16. 设函数，若存在唯一的整数，使得，则实数的取值范围是__________.【答案】【解析】作函数图可知，，所以实数的取值范围是点睛：对于方程整数解的问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 函数,部分图像如图所示，（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若为第三象限的角，，试求的值.【答案】(Ⅰ),，；(Ⅱ).【解析】试题分析：(Ⅰ)由题意结合三角函数的性质可得,，；(Ⅱ)由（Ⅰ）知，，据此可得，结合同角三角函数基本关系有试题解析：（Ⅰ）由题中图可知,周期，，由图知，,，（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，即，又为第三象限的角，18. 已知数列的前项和为，（Ⅰ）求证：数列是等比数列；（Ⅱ）设数列的首项，其前项和为，且点在直线上，求数列的前项和【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)【解析】试题分析：（1）先根据和项与通项关系转化为项之间递推关系，再整理成等比数列形式，最后根据等比数列定义给予证明（2）先根据等差数列定义求通项公式，得，再根据和项与通项关系求数列通项公式，最后利用错位相减法求试题解析：（Ⅰ）由，①得，②①-②，得，，由①得是以为首项，公比为的等比数列，（Ⅱ）由（Ⅰ）得，点在直线上，，是以为首项，公差为的等差数列，当时，，又满足上式，，，③，④③-④，得，点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.19. 已知分别是内角的对边，且依次成等差数列.（Ⅰ）若,试判断的形状；（Ⅱ）若为钝角三角形，且，试求的取值范围.【答案】(Ⅰ)正三角形；(Ⅱ)【解析】试题分析：（1）先由正弦定理将角的关系得边的关系，再根据，利用余弦定理得，解得，从而确定三角形形状（2）先根据二倍角公式以及配角公式将代数式转化为基本三角函数，再根据钝角条件确定自变量范围，最后根据正弦函数形状确定取值范围试题解析：（Ⅰ）由正弦定理及，得三内角成等差数列，，由余弦定理，得，，又为正三角形，（Ⅱ）由（Ⅰ）知，中由题意，知，所求代数式的取值范围是20. 我市某矿山企业生产某产品的年固定成本为万元，每生产千件该产品需另投入万元，设该企业年内共生产此种产品千件，并且全部销售完，每千件的销售收入为万元，且（Ⅰ）写出年利润（万元）关于产品年产量（千件）的函数关系式；（Ⅱ）问：年产量为多少千件时，该企业生产此产品所获年利润最大？注：年利润=年销售收入-年总成本.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)当年产量为千件时，该企业生产的此产品所获年利润最大.（2）对x进行分类讨论，分当和当两种情况进行讨论，根据导数在求函数最值中的应用，即可求出结果．试题解析：解：（1）当时，。

学习攻略—收藏助考锦囊系统复习资料汇编考试复习重点推荐资料百炼成金模拟考试汇编阶段复习重点难点梳理适应性全真模拟考试卷考前高效率过关手册集高效率刷题好资料分享学霸上岸重点笔记总结注：下载前请仔细阅读资料，以实际预览内容为准助：逢考必胜高分稳过2019年成人高等学校招生全国统一考试专升本高等数学（一）第Ⅰ卷（选择题）一、选择题（1-10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.当x→O时，x+x2+x3+x4为x的（）。

A.等价无穷小B.2阶无穷小C.3阶无穷小D.4阶无穷小2.limx→∞�1+2x�x=（）。

A.-e2B.-eC.eD.e23.设函数y=cos2x，则y′=（）。

A.2sin2xB.-2sin2xC.sin2xD.-sin2x4.设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a.b)可导，f′(x)>0,f(a)f(b)<0，则在(a.b)内零点的个数为（）。

A.3B.2C.1D.05.设2x为f(x)的一个原函数，则f(x)=（）。

A.0B.2C.x2D.x2+C6.设函数f(x)=arctan x，则∫f′(x)dx=（）。

A.−arctan x+CB.−11+x2+CC.arctan x+CD.11+x2+C7.设I1=∫x2dx10,I2=∫x3dx110,I3=∫x4dx10，则（）。

A.I1＞I2＞I3B.I2＞I3＞I1C.I3＞I2＞I1D. I1＞I3＞I28.设函数z=x2e y，则∂z∂x�(1,0)=（）。

A.0B.12第 1 页，共 6 页2/25C.1D.29.平面x +2y −3z +4=0的一个法向量为（ ）。

A.{1,−3,4}B.{1,2,4}C.{1,2,−3}D.{2,−3,4}10.微分方程y ′′+(y ′)3+y 4=x 的阶数为（ ）。

A.1 B.2C.3D.4第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题（11-22小题，每小题4分，共40分）11.lim x→0tan 2x x = 。

2019年高一数学上期中试卷附答案(1)一、选择题1．若集合{}|1,A x x x R =≤∈，{}2|,B y y x x R ==∈，则A B =IA ．{}|11x x -≤≤B ．{}|0x x ≥C ．{}|01x x ≤≤D ．∅2．已知函数f (x )＝23,0{log ,0x x x x ≤>那么f 1(())8f 的值为( )A ．27B ．127C ．－27D ．－1273．关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：①f (x )是偶函数 ②f (x )在区间（2π,π）单调递增 ③f (x )在[,]-ππ有4个零点 ④f (x )的最大值为2其中所有正确结论的编号是 A ．①②④B ．②④C ．①④D ．①③4．已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数,满足(1)(1)f x f x -=+.若(1)2f =，则(1)(2)(3)(50)f f f f ++++=L （ ）A ．50-B ．0C ．2D ．505．若函数()(1)(0xxf x k a a a -=-->且1a ≠）在R 上既是奇函数,又是减函数,则()log ()a g x x k =+的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知函数)245fx x x =+，则()f x 的解析式为( )A ．()21f x x =+ B ．()()212f x x x =+≥C ．()2f x x =D ．()()22f x xx =≥7．已知定义在R 上的函数()21()x m f x m -=-为实数为偶函数,记0.5(log 3),a f =2b (log 5),c (2)f f m ==,则,,a b c ,的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．c b a <<8．设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在()0,∞+单调递减，则（ ）A ．233231log 224f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B ．233231log 224f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C ．23332122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D ．23323122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭9．已知0.80.820.7,log 0.8, 1.1a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．a c b <<D ．b c a <<10．设集合2{|430}A x x x =-+<，{|230}B x x =->，则A B =I （ ）A ．3(3,)2-- B ．3(3,)2-C ．3(1,)2D ．3(,3)211．函数()2log ,0,2,0,xx x f x x ⎧>=⎨≤⎩则函数()()()2384g x fx f x =-+的零点个数是（ ）A ．5B ．4C ．3D ．612．方程 4log 7x x += 的解所在区间是（ ） A ．(1,2)B ．(3,4)C ．(5,6)D ．(6,7)二、填空题13．已知函数()(0,1)x f x a b a a =+>≠的定义域和值域都是[]1,0-，则a b += . 14．设函数21()ln(1||)1f x x x=+-+，则使得()(21)f x f x >-成立的x 的取值范围是_____.15．已知定义在实数集R 上的偶函数()f x 在区间(],0-∞上是减函数,则不等式()()1ln f f x <的解集是________.16．已知f (x )是定义在[－2,2]上的奇函数，当x ∈(0,2]时，f (x )＝2x －1，函数g (x )＝x 2－2x ＋m .如果∀x 1∈[－2,2]，∃x 2∈[－2,2]，使得g (x 2)＝f (x 1)，则实数m 的取值范围是______________.17．函数的定义域为___．18．已知函数(1)4f x x +=-，则()f x 的解析式为_________. 19．已知a ＞b ＞1.若log a b+log b a=52，a b =b a ，则a= ，b= . 20．已知函数在区间，上恒有则实数的取值范围是_____.三、解答题21．已知满足(1)求的取值范围； (2)求函数的值域．22．近年来，“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便，某共享单车公司“Mobike ”计划在甲、乙两座城市共投资160万元，根据行业规定，每个城市至少要投资30万元，由前期市场调研可知：甲城市收益P 与投入(a 单位：万元)满足426P a =，乙城市收益Q 与投入(b 单位：万元)满足124Q b =+，设甲城市的投入为(x 单位：万元)，两个城市的总收益为()(f x 单位：万元)．（1）写出两个城市的总收益()(f x 万元)关于甲城市的投入(x 万元)的函数解析式，并求出当甲城市投资72万元时公司的总收益；（2）试问如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使总收益最大？ 23．计算下列各式的值：（Ⅰ)22log 3lg25lg4log (log 16)+- （Ⅱ）2102329273()( 6.9)()()482-----+24．设2{|670},{|24},{|}A x x x B x x C x x a =--≤=-≤=≥ （1）求A B I（2）若A C C =U ，求实数a 的取值范围.25．设a 为实数，函数()()21f x x x a x R =+-+∈．（1）若函数()f x 是偶函数，求实数a 的值； （2）若2a =，求函数()f x 的最小值；（3）对于函数()y m x =，在定义域内给定区间[],a b ，如果存在()00x a x b <<，满足()0()()m b m a m x b a-=-，则称函数()m x 是区间[],a b 上的“平均值函数”，0x 是它的一个“均值点”．如函数2y x =是[]1,1-上的平均值函数，0就是它的均值点．现有函数()21g x x mx =-++是区间[]1,1-上的平均值函数，求实数m 的取值范围．26．已知函数2()log (0,1)2axf x a a x-=>≠+. （Ⅰ）当a=3时，求函数()f x 在[1,1]x ∈-上的最大值和最小值；（Ⅱ）求函数()f x 的定义域，并求函数2()()(24)4f x g x ax x a=--++的值域．（用a 表示）【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】 【分析】求出集合B 后可得A B I . 【详解】因为集合{}|1,{|11}A x x x R x x =≤∈=-≤≤，{}2|,{|0}B y y x x R y y ==∈=≥则A B =I {}|01x x ≤≤，选C【点睛】本题考查集合的交，注意集合意义的理解，如(){}|,x y f x x D =∈表示函数的定义域，而(){}|,y y f x x D =∈表示函数的值域，()(){},|,x y y f x x D =∈表示函数的图像.2．B解析：B 【解析】 【分析】利用分段函数先求f （1)8）的值，然后在求出f 1(())8f 的值． 【详解】 f＝log 2＝log 22－3＝－3，f＝f (－3)＝3－3＝.【点睛】本题主要考查分段函数求值以及指数函数、对数函数的基本运算，属基础题．3．C解析：C 【解析】化简函数()sin sin f x x x =+，研究它的性质从而得出正确答案． 【详解】()()()()sin sin sin sin ,f x x x x x f x f x -=-+-=+=∴Q 为偶函数，故①正确．当2x ππ<<时，()2sin f x x =，它在区间,2π⎛⎫π ⎪⎝⎭单调递减，故②错误．当0x π≤≤时，()2sin f x x =，它有两个零点：0,π；当0x π-≤<时，()()sin sin 2sin f x x x x =--=-，它有一个零点：π-，故()f x 在[],-ππ有3个零点：0-π,,π，故③错误．当[]()2,2x k k k *∈ππ+π∈N时，()2sin f x x =；当[]()2,22x k k k *∈π+ππ+π∈N 时，()sin sin 0f x x x =-=，又()f x 为偶函数，()f x ∴的最大值为2，故④正确．综上所述，①④ 正确，故选C ．【点睛】画出函数()sin sin f x x x =+的图象，由图象可得①④正确，故选C ．4．C解析：C 【解析】分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果. 详解：因为()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，且(1)(1)f x f x -=+， 所以(1)(1)(3)(1)(1)4f x f x f x f x f x T +=--∴+=-+=-∴=,因此(1)(2)(3)(50)12[(1)(2)(3)(4)](1)(2)f f f f f f f f f f ++++=+++++L ， 因为(3)(1)(4)(2)f f f f =-=-，，所以(1)(2)(3)(4)0f f f f +++=，(2)(2)(2)(2)0f f f f =-=-∴=Q ，从而(1)(2)(3)(50)(1)2f f f f f ++++==L ，选C.点睛：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．5．A解析：A 【解析】 【分析】由题意首先确定函数g (x )的解析式，然后结合函数的解析式即可确定函数的图像.∵函数()(1)xxf x k a a -=--(a >0,a ≠1)在R 上是奇函数，∴f (0)=0，∴k =2， 经检验k =2满足题意， 又函数为减函数， 所以01a <<， 所以g (x )=log a (x +2)定义域为x >−2，且单调递减， 故选A . 【点睛】本题主要考查对数函数的图像，指数函数的性质，函数的单调性和奇偶性的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6．B解析：B 【解析】 【分析】利用换元法求函数解析式，注意换元后自变量范围变化. 【详解】2t =,则2t ≥，所以()()()()2224t 251,2,f t t t t =-+-+=+≥即()21f x x =+ ()2x ≥.【点睛】本题考查函数解析式，考查基本求解能力.注意换元后自变量范围变化.7．B解析：B 【解析】由()f x 为偶函数得0m =,所以0,52log 3log 32121312,a =-=-=-=2log 521514b =-=-=,0210c =-=,所以c a b <<,故选B.考点：本题主要考查函数奇偶性及对数运算.8．C解析：C 【解析】 【分析】由已知函数为偶函数，把233231log ,2,24f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，转化为同一个单调区间上，再比较大小． 【详解】()f x Q 是R 的偶函数，()331log log 44f f ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭．223303322333log 4log 31,1222,log 422---->==>>∴>>Q ，又()f x 在(0，+∞)单调递减，∴()23323log 422f f f --⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，23323122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选C ．【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性，解题关键在于利用中间量大小比较同一区间的取值．9．B解析：B 【解析】 【分析】根据指数函数的单调性以及对数函数的单调性分别判断出a b c 、、的取值范围，从而可得结果. 【详解】0.8000.70.71a <=<=Q ，22log 0.8log 10b =<=， 0.801.1 1.11c =>=，b ac ∴<<，故选B. 【点睛】本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间 ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.10．D解析：D 【解析】试题分析：集合()(){}{}|130|13A x x x x x =--<=<<，集合，所以3|32A B x x ⎧⎫⋂=<<⎨⎬⎩⎭,故选D.考点：1、一元二次不等式；2、集合的运算.11．A解析：A【解析】 【分析】通过对()g x 式子的分析，把求零点个数转化成求方程的根，结合图象，数形结合得到根的个数，即可得到零点个数． 【详解】 函数()()()2384g x f x f x =-+=()()322f x f x --⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦的零点即方程()23f x =和()2f x =的根， 函数()2log ,0,2,0xx x f x x ⎧>=⎨≤⎩的图象如图所示：由图可得方程()23f x =和()2f x =共有5个根， 即函数()()()2384g x f x f x =-+有5个零点,故选：A . 【点睛】本题考查函数的零点与方程的根的个数的关系，注意结合图象，利用数形结合求得结果时作图很关键，要标准．12．C解析：C 【解析】 【分析】令函数4()log 7xf x x =+-，则函数()f x 是()0,∞+上的单调增函数，且是连续函数，根据(5)(6)0f f ⋅<，可得函数4()log 7xf x x =+-的零点所在的区间为()5,6，由此可得方程4log 7x x +=的解所在区间． 【详解】令函数4()log 7xf x x =+-，则函数()f x 是()0,∞+上的单调增函数，且是连续函数.∵(5)0f <，(6)0>f ∴(5)(6)0f f ⋅<∴故函数4()log 7xf x x =+-的零点所在的区间为()5,6∴方程4log 7x x +=的解所在区间是()5,6 故选C. 【点睛】零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[,]a b 上是连续不断的曲线，且()()0f a f b ⋅<，还必须结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性）才能确定函数有多少个零点.二、填空题13．【解析】若则在上为增函数所以此方程组无解；若则在上为减函数所以解得所以考点：指数函数的性质解析：32-【解析】若1a >，则()f x 在[]1,0-上为增函数,所以11{10a b b -+=-+=，此方程组无解；若01a <<，则()f x 在[]1,0-上为减函数,所以10{11a b b -+=+=-，解得1{22a b ==-，所以32a b +=-.考点：指数函数的性质.14．【解析】试题分析：由题意得函数的定义域为因为所以函数为偶函数当时为单调递增函数所以根据偶函数的性质可知：使得成立则解得考点：函数的图象与性质【方法点晴】本题主要考查了函数的图象与性质解答中涉及到函数解析：1(1)3， 【解析】试题分析：由题意得，函数21()ln(1)1f x x x=+-+的定义域为R ，因为()()f x f x -=，所以函数()f x 为偶函数，当0x >时，21()ln(1)1f x x x=+-+为单调递增函数，所以根据偶函数的性质可知：使得()(21)f x f x >-成立，则21x x >-，解得113x <<. 考点：函数的图象与性质.【方法点晴】本题主要考查了函数的图象与性质，解答中涉及到函数的单调性和函数的奇偶性及其简单的应用，解答中根据函数的单调性与奇偶性，结合函数的图象，把不等式()(21)f x f x >-成立，转化为21x x >-，即可求解，其中得出函数的单调性是解答问题的关键，着重考查了学生转化与化归思想和推理与运算能力，属于中档试题.15．【解析】由定义在实数集上的偶函数在区间上是减函数可得函数在区间上是增函数所以由不等式得即或解得或即不等式的解集是;故答案为解析：()10,e,e ∞⎛⎫⋃+ ⎪⎝⎭【解析】由定义在实数集R 上的偶函数()f x 在区间(],0-∞上是减函数,可得函数()f x 在区间()0+∞，上是增函数,所以由不等式()()1ln f f x <得ln 1x >,即ln 1x >或ln 1x <-,解得x e >或10e x <<,即不等式()()1ln f f x <的解集是()10,e,e ∞⎛⎫⋃+ ⎪⎝⎭;故答案为()10,e,e ∞⎛⎫⋃+ ⎪⎝⎭. 16．－5－2【解析】分析：求出函数的值域根据条件确定两个函数的最值之间的关系即可得到结论详解：由题意得：在－22上f(x)的值域A 为g(x)的值域B 的子集易得A ＝－33B ＝m －18＋m 从而解得－5≤m≤解析：[－5,－2]. 【解析】分析：求出函数()f x 的值域，根据条件，确定两个函数的最值之间的关系即可得到结论. 详解：由题意得：在[－2,2]上f (x )的值域A 为g (x )的值域B 的子集. 易得A ＝[－3,3]，B ＝[m －1,8＋m ]，从而解得－5≤m ≤－2.点睛：本题主要考查函数奇偶性的应用，以及函数最值之间的关系，综合性较强.17．(-12)∪(2+∞)【解析】【分析】根据式子成立的条件对数式要求真数大于零分式要求分母不等于零即可求得函数的定义域【详解】要使函数有意义则x+1>012-x≠0解得x>-1且x≠2所以函数的定义域 解析：【解析】 【分析】根据式子成立的条件，对数式要求真数大于零，分式要求分母不等于零，即可求得函数的定义域. 【详解】要使函数有意义，则，解得且，所以函数的定义域为：， 故答案是：. 【点睛】 该题考查的是有关函数的定义域的求解问题，在求解的过程中，注意对数式和分式成立的条件即可，属于简单题目.18．【解析】【分析】利用换元法求解析式即可【详解】令则故故答案为【点睛】本题考查函数解析式的求法换元法是常见方法注意新元的范围是易错点 解析：2()23(1)f x x x x =--≥【解析】【分析】利用换元法求解析式即可【详解】 令11t x =+≥，则()21x t =-故()()214f t t =--=223(1)t t t --≥故答案为2()23(1)f x x x x =--≥【点睛】本题考查函数解析式的求法，换元法是常见方法，注意新元的范围是易错点 19．【解析】试题分析：设因为因此【考点】指数运算对数运算【易错点睛】在解方程时要注意若没注意到方程的根有两个由于增根导致错误解析：42【解析】试题分析：设log ,1b a t t =>则，因为21522t t a b t +=⇒=⇒=， 因此22222, 4.b a b b a b b b b b b a =⇒=⇒=⇒==【考点】指数运算，对数运算．【易错点睛】在解方程5log log 2a b b a +=时，要注意log 1b a >，若没注意到log 1b a >，方程5log log 2a b b a +=的根有两个，由于增根导致错误 20．(131)【解析】【分析】根据对数函数的图象和性质可得函数f （x ）＝loga （2x ﹣a ）在区间1223上恒有f （x ）＞0即0<a<10<2x-a<1或a>12x-a>1分别解不等式组可得答案【详解】解析：【解析】【分析】根据对数函数的图象和性质可得，函数f（x）＝log a（2x﹣a）在区间[]上恒有f（x）＞0，即，或，分别解不等式组，可得答案．【详解】若函数f（x）＝log a（2x﹣a）在区间[]上恒有f（x）＞0，则，或当时，解得＜a＜1，当时，不等式无解.综上实数的取值范围是（，1）故答案为（，1）．【点睛】本题考查的知识点是复合函数的单调性，及不等式的解法，其中根据对数函数的图象和性质构造不等式组是解答的关键，属于中档题．三、解答题21．(1) (2)【解析】试题分析（1）先将不等式化成底相同的指数，再根据指数函数单调性解不等式（2）令，则函数转化为关于的二次函数，再根据对称轴与定义区间位置关系确定最值，得到值域.试题解析：解：(1) 因为由于指数函数在上单调递增(2) 由（1）得令，则，其中因为函数开口向上，且对称轴为函数在上单调递增的最大值为，最小值为函数的值域为. 22．（1）()142364f x x x =-+，30130x ≤≤，66万元（2）甲城市投资128万元，乙城市投资32万元【解析】【分析】() 1由题知，甲城市投资x 万元，乙城市投资160x -万元，求出函数的解析式，利用当甲城市投资72万元时公司的总收益；()()1242364f x x x =-+，30130x ≤≤，令t x =，则30,130t ⎡∈⎣，转化为求函数2,30,611424033y t t t ⎡∈⎣=-++最值，即可得出结论． 【详解】()1由题知，甲城市投资x 万元，乙城市投资160x -万元，所以()()114261602423644f x x x x x =+-+=-+， 依题意得3016030x x ≥⎧⎨-≥⎩，解得30130x ≤≤， 故()142364f x x x =-+，30130x ≤≤， 当72x =时，此时甲城市投资72万元，乙城市投资88万元， 所以总收益()14236664f x x x =-+=． ()()1242364f x x x =-+，30130x ≤≤ 令t x =30,130t ⎡∈⎣．2,30,611424033y t t t ⎡∈⎣=-++ 当82t =，即128x =万元时，y 的最大值为68万元，故当甲城市投资128万元，乙城市投资32万元时，总收益最大，且最大收益为68万元．【点睛】本题考查实际问题的应用，二次函数的性质以及换元法的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．23．(Ⅰ)12；(Ⅱ)12. 【解析】试题分析：（1）根据对数运算法则log ,lg lg lg ,m a a m m n mn =+= 化简求值（2）根据指数运算法则01(),1,m n mn m m a a a a a -===，化简求值 试题解析：（Ⅰ）原式()3111log 3lg 254222222=+⨯-=+-=. （Ⅱ）原式1223233343441112292992⎛⎫⨯⨯- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫=--+=--+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 24．（1）[1,6]-（2）1a ≤-【解析】【分析】（1）化简集合，根据集合的交集运算即可求解（2）由A C C =U 可知A C ⊆，结合数轴求解即可.【详解】（1）由2670x x --≤解得17x -≤≤，故[1,7]A =-，因为24x -≤，所以26x -≤≤，即[2,6]B =-,所以[1,7][2,6][1,6]A B =--=-I I .（2） 因为A C C =U ，所以A C ⊆，故1a ≤-.【点睛】本题主要考查了集合的交集，并集，子集，涉及一元二次不等式及绝对值不等式，属于中档题.25．（1）；（2）；（3）()0,2 【解析】试题分析：（1）考察偶函数的定义，利用通过整理即可得到；（2）此函数是一个含有绝对值的函数，解决此类问题的基本方法是写成分段函数的形式，()2221,221{3,2x x x f x x x x x x +-≥=+-+=-+<，要求函数的最小值，要分别在每一段上求出最小值，取这两段中的最小值；（3）此问题是一个新概念问题，这种类型都可转化为我们学过的问题，此题定义了一个均值点的概念，我们通过概念可把题目转化为“存在()01,1x ∈-，使得()0g x m =”从而转化为一元二次方程有解问题．试题解析：解：（1）()f x Q 是偶函数，()()f x f x ∴-=在R 上恒成立，即()2211x x a x x a -+--+=+-+，所以x a x a +=-得0ax = x R ∈Q 0a ∴=（2）当2a =时，()2221,221{3,2x x x f x x x x x x +-≥=+-+=-+< 所以()f x 在[)2,+∞上的最小值为()25f =， ()f x 在(),2-∞上的的最小值为f （）＝， 因为＜5，所以函数()f x 的最小值为． （3）因为函数()21g x x mx =-++是区间[]1,1-上的平均值函数，所以存在()01,1x ∈-，使()0(1)(1)1(1g g g x --=--） 而(1)(1)1(1g g m --=--），存在()01,1x ∈-，使得()0g x m = 即关于x 的方程21x mx m -++=在()1,1-内有解；由21x mx m -++=得210x mx m -+-=解得121,1x x m ==-所以111m -<-<即02m <<故m 的取值范围是()0,2考点：函数奇偶性定义；分段函数求最值；含参一元二次方程有解问题．26．（Ⅰ）max ()1f x =，min ()1f x =-；（Ⅱ）()f x 的定义域为(2,2)-，()g x 的值域为(4(1),4(1))a a -+-．【解析】【分析】【详解】试题分析：（Ⅰ）当3a =时，求函数()f x 在[1,1]x ∈-上的最大值和最小值，令()22x u x x-=+，变形得到该函数的单调性，求出其值域，再由()()log a f x u x =为增函数，从而求得函数()f x 在[1,1]x ∈-上的最大值和最小值；（Ⅱ）求函数()f x 的定义域，由对数函数的真数大于0求出函数()f x 的定义域，求函数()g x 的值域，函数()f x 的定义域，即()g x 的定义域，把()f x 的解析式代入()g x 后整理，化为关于x 的二次函数，对a 分类讨论，由二次函数的单调性求最值，从而得函数()g x 的值域．试题解析：（Ⅰ）令24122x u x x -==-++，显然u 在[1,1]x ∈-上单调递减，故u ∈1[,3]3，故3log [1,1]y u =∈-，即当[1,1]x ∈-时，max ()1f x =，（在3u =即1x =-时取得）min ()1f x =-，（在13u =即1x =时取得） (II)由20()2x f x x->⇒+的定义域为(2,2)-，由题易得：2()2,(2,2)g x ax x x =-+∈-， 因为0,1a a >≠，故()g x 的开口向下，且对称轴10x a=>，于是： 1o 当1(0,2)a ∈即1(,1)(1,)2a ∈+∞U 时，()g x 的值域为（11((2),()](4(1),]g g a a a -=-+；2o 当12a ≥即1(0,]2a ∈时，()g x 的值域为((2),(2))(4(1),4(1))g g a a -=-+- 考点：复合函数的单调性；函数的值域．。

2019-2020年高一上学期第一学段（期中）考试数学试题word 版含答案一．选择题（本大题共有10小题，每小题4分，共40分。

）1．设集合A={x|1＜x ＜4}，集合B ={x|-1≤x ≤3}, 则A∩（C R B ）=（ ）A .(1,4)B .(3,4) C.(1,3) D .(1,2)∪（3,4）2.下列函数中，随着x 的增大，增大速度最快的是（）A. B. C. D.3．已知函数的定义域为，则的定义域为（ ）A ．B ．C ．D ．4．下列函数是奇函数的是（ ）A ．B ．C ．()lg(1)lg(1)f x x x =+--D ．5．三个数20.310.3120.31,log ,2a b c ===之间的大小关系是（ ）A ．B ．C ．D ．6．函数在[0，2]上单调递增，且函数是偶函数，则下列结论成立的是（ ）A ．f （1）＜f （）＜f （）B ．f （）＜f （1）＜f （）C ．f （）＜f （）＜f （1）D ．f （）＜f （1）＜f （）7．函数的图象大致是（ ）8．函数的零点所在的大致区间是（ ）A ．（0，1）B ．（1，2）C ．（2，3）D ．（3，4）9．已知方程有两个不等实根，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．10．⎩⎨⎧≥-<+-=)1( , )1( ,4)13()(x ax x a x a x f 是定义在上是减函数，则的取值范围是（ ） A. [ B. [] C. ( D. (]二．填空题（本大题共有4小题，每小题5分，共20分。

）11．函数f(x)＝12log 121x x x x ≥⎧⎪⎨⎪<⎩，，，的值域为________．12．已知∈R ，若，则 ．13．已知f （＋1）＝x ＋2，则f （x ）的解析式为14．设若函数f(x)在区间(1，3)内有零点，则实数a 的取值范围为 ．三．解答题（本大题共有4小题，每小题10分，共40分。

2019级高一上学期期中教学质量检测数学一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 函数的定义域是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】函数有意义，则：，整理可得：，则不等式即：，求解不等式可得：，则函数的定义域为：.本题选择B选项.2. 若函数（）的值域为，则集合为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】求解可得：，求解可得：，据此可得：.本题选择C选项.3. 已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意可得：集合P表示直线上的点组成的集合，集合表示直线上的点组成的集合，求解方程组：可得：，据此可得： .本题选择C选项.4. 函数的所有零点之和为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分类讨论：当时，由可得：，则：；当时，由可得：，满足题意，据此可得，所有零点之和为.本题选择A选项.5. 如图，设全集，，，则图中阴影部分表示的集合为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意可得：，结合文氏图可得图中阴影部分表示的集合为：.本题选择D选项.6. 下列函数是偶函数且在区间上单调递减的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】逐一考查所给函数的性质：A.，函数是偶函数，在区间上单调递增；B.，函数是非奇非偶函数，在区间上单调递增；C.,函数是偶函数，在区间上单调递增；D.，函数是非奇非偶函数，在区间上不具有单调性；本题选择A选项.7. 已知是奇函数，则的值为（）A. B. C. D. 不能确定【答案】A【解析】法一：由可知，，又因为是奇函数，所以，即.法二：当时，，，所以，又因为是奇函数，所以，则，所以，，即.选A.8. 已知，，，则，，的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由指数函数的性质可得：，即：.本题选择D选项.点睛：实数比较大小：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．当底数与指数都不相同时，选取适当的“媒介”数（通常以“0”或“1”为媒介），分别与要比较的数比较，从而可间接地比较出要比较的数的大小．9. 若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，例如函数，与函数，即为“同族函数”.下面函数解析式中能够被用来构造“同族函数”的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】结合“同族函数”的定义可得：当函数为“同族函数”时，函数肯定不是单调函数，选项中所给的函数都是单调函数，不合题意，本题选择B选项.10. 已知函数满足当时，；当时，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】∵3＜2＋log23＜4,所以f(2＋log23)＝f(3＋log23)且3＋log23＞4∴＝f(3＋log23)＝11. 如图，为等腰直角三角形，直线与相交且，若直线截这个三角形所得的位于直线右侧的图形面积为，点到直线的距离为，在的图像大致为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】设AB=a，则y=a2−x2=−x2+a2，其图象为抛物线的一段，开口向下，顶点在y轴上方，本题选择C选项.12. 要使函数在上恒成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】令，原问题等价于在区间上恒成立，分离参数有：，则，，结合二次函数的性质可知当时，，即实数的取值范围是.本题选择C选项......................二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知幂函数的图像经过点，那么这幂函数的解析式为__________.【答案】【解析】设指数函数的解析式为：，据此可得：，即幂函数的解析式为：.14. 已知函数则__________.【答案】【解析】由题意可得：.15. 对任意两实数，，定义运算“*”如下：则函数的值域为__________.【答案】【解析】由题意可得：运算“∗”定义的实质就是取两者之间的最小值，若，解得，此时f(x)=log2x，可得，此时函数的值域为，若，解得x≥1，此时，且，可得，，综上可得：f(x)⩽0；即函数的值域为：(−∞,0].点睛：(1)问题中参数值影响变形时，往往要分类讨论，需有明确的标准、全面的考虑；(2)求解过程中，求出的参数的值或范围并不一定符合题意，因此要检验结果是否符合要求．16. 已知定义在上的函数满足，且对于任意，，，均有.若，，则的取值范围为__________.【答案】【解析】定义在上的函数满足，且对于任意，，，均有，在上递减，在上递增，，因为是偶函数，所以或，可得或，故答案为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 计算下列各式：（1）；（2）.【答案】(1)1；(2)3.【解析】试题分析：(1)由题意结合分数指数幂的运算法则可得：原式.(2)利用对数的运算法则结合题意可得：原式.试题解析：（1）原式.（2）原式.18. 已知函（）.（1）用分段函数的形式表示该函数；（2）画出该函数的图像；（3）根据函数的图像写出函数的单调区间和函数的值域.【答案】(1)；(2)答案见解析；(3)函数的单调递增区间为和，函数的单调递减区间为；值域.【解析】试题分析：(1)分类讨论和两种情况可得函数的解析式为：(2)结合函数的解析式绘制函数的图象即可；(3)结合(2)中函数的图象可得：函数的单调递增区间为和，函数的单调递减区间为；值域.试题解析：（1）分类讨论：当时，则：，当时，则：，综上可得，函数的解析式为：（2）绘制函数图象如图所示：（3）函数的单调递增区间为和，函数的单调递减区间为；值域.19. 已知全集为，函数的定义域为集合，集合.（1）求；（2）若，，求实数的取值范围.【答案】(1)；(2).【解析】试题分析：(1)由题意可得，，则∴.(2)结合(1)的结论可得，分类讨论和两种情况可得实数的取值范围是. 试题解析：（1）由得，函数的定义域，又，得，∴.（2）∵，①当时，满足要求，此时，得；②当时，要，则解得，由①②得，，∴实数的取值范围.20. 某电动小汽车生产企业，年利润（出厂价投入成本）年销售量.已知上年度生产电动小汽车的投入成本为万元/辆，出厂价为万/辆，年销售量为辆，本年度为打造绿色环保电动小汽车，提高产品档次，计划增加投入成本，若每辆电动小汽车投入成本增加的比例为（），则出厂价相应提高的比例为.同时年销售量增加的比例为.（1）写出本年度预计的年利润（万元）与投入成本增加的比例的函数关系式；（2）为了使本年度的年利润最大，每辆车投入成本增加的比例应为多少？最大年利润是多少？【答案】(1)（）；(2)每辆车投入成本增加的比例为时，本年度的年利润最大，且最大年利润是（万元）.【解析】试题分析：(1)由题意可得函数的解析式为（）.(2)函数的解析式即.结合二次函数的性质可得每辆车投入成本增加的比例为时，本年度的年利润最大，且最大年利润是（万元）.试题解析：（1）由题意，得（）.即（）.（2）.∴当时，有最大值为（万元），∴每辆车投入成本增加的比例为时，本年度的年利润最大，且最大年利润是（万元）.点睛：二次函数模型的应用比较广泛，解题时，根据实际问题建立二次函数解析式后，可以利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等问题．21. 已知函数（）是奇函数，（）是偶函数.（1）求的值；（2）设，若对任意恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)；(2).【解析】试题分析：（1）由于函数为奇函数，故有，由此求得.由于函数为偶函数，利用代入可求得，由此求得；（2）化简，又在区间上是增函数，所以当时，，由此列不等式组解得.试题解析：（1）因为为奇函数，且定义域为，所以，即，所以.……………2分因为，所以.……………4分又因为为偶函数，所以恒成立，得到.…………6分所以.（2）因为，所以.……………8分又在区间上是增函数，所以当时，.………9分由题意即.……………11分所以实数的取值范围是.………………12分考点：函数的奇偶性与单调性.【方法点晴】本题主要考查函数的奇偶性与单调性.如果一个函数是奇函数，且在处有定义则有，利用这个知识点，代入可求解的.如果一个函数是偶函数，则需满足，利用这个知识点，可求解得得值.首先利用函数的单调性求出其最小值，右边含有参数的表达式小于这个最小值，由此解得的取值范围.22. 已知函数.（1）若，求的值域；（2）若存在实数，当，恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)；(2).【解析】试题分析：(1)结合二次函数的性质分类讨论可得：当时，的值域为.当时，的值域为；当时，的值域为.(2)原问题即恒成立.构造二次函数，，则，再次构造函数，结合二次函数的性质可得的取值范围为.试题解析：（1）由题意得，当时，，，∴此时的值域为.当时，，，∴此时的值域为；当时，，，∴此时的值域为.（2）由恒成立得恒成立.令，，因为抛物线的开口向上，精品所以由恒成立知化简得令，则原题可转化为：存在，使得.即当时，.∵，∴的对称轴为，当，即时，，解得；当，即时，.∴解得.综上，的取值范围为.点睛：“三个二次”间关系，其实质是抓住二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与横轴的交点、二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)的解集的端点值、二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根是同一个问题．解决与之相关的问题时，可利用函数与方程思想、化归思想将问题转化，结合二次函数的图象来解决．- 11 -。

《高等数学（Ⅰ）》试卷学院：______ 班级：_____学号：________姓名：________任课教师：_____题类一二三四五总分阅卷人得分一、选择题（每题2分，共16分）1、 下列极限存在的是…………………………………………………………( )（A ）（B ） （C ） （D ） xx 21lim ∞→1310lim -→x x x e x 1lim ∞→xx 3lim ∞→2、，，则下列不正确的是…………………………()0)(lim =→x f ax ∞=→)(lim x g ax （A ）（B ） ∞=+→)]()([lim x g x f ax ∞=→)]()([lim x g x f ax （C ）（D ） 0][lim )()(1=+→x g x f ax 0)](/)(lim[=→x g x f ax 3、则下列正确的是…………………………(),0)(lim >=→A x f ax ,0)(lim <=→B x g ax （A ） f (x )>0, （B ） g(x )<0, （C ） f (x )>g (x ) （D ）存在a 的一个空心邻域，使f (x )g (x )<0。

4、已知， 则………………………………………………( ),2lim)(0=→xx f x =→)2x (sin3x 0limf x （A ） 2/3, （B ） 3/2 （C ） 3/4 （D ） 不能确定。

5、若函数在[1，2]上连续，则下列关于函数在此区间上的叙述，不正确的是……（ ）（A ） 有最大值 （B ） 有界 （C ） 有零点 （D ）有最小值6、下列对于函数y =x cos x 的叙述，正确的一个是………………………………………( )（A ）有界，且是当x 趋于无穷时的无穷大，（B ）有界，但不是当x 趋于无穷时的无穷大，（C ） 无界，且是当x 趋于无穷时的无穷大，（D ）无界，但不是当x 趋于无穷时的无穷大。

2019年高中必修一数学上期中试卷含答案一、选择题1．已知集合{}220A x x x =-->，则A =R ðA ．{}12x x -<<B ．{}12x x -≤≤ C ．}{}{|12x x x x <-⋃D ．}{}{|1|2x x x x ≤-⋃≥2．若集合{}|1,A x x x R =≤∈，{}2|,B y y x x R ==∈，则A B =I A ．{}|11x x -≤≤ B ．{}|0x x ≥C ．{}|01x x ≤≤D ．∅3．函数()log a x x f x x=（01a <<）的图象大致形状是（ ）A ．B ．C ．D ．4．已知(31)4,1()log ,1a a x a x f x x x -+<⎧=⎨≥⎩是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围是（ ）A ．(0,1)B ．1(0,)3C ．11[,)73D ．1[,1)75．在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，则“cos cos a A b B =”是“ABC ∆是以A 、B 为底角的等腰三角形”的（ ）. A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件6．1()xf x e x=-的零点所在的区间是（ ） A ．1(0,)2B ．1(,1)2C ．3(1,)2D ．3(,2)27．如图，U 为全集，M 、P 、S 是U 的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）A ．()M P S ⋂⋂B ．()M P S ⋂⋃C ．()()U M P S ⋂⋂ðD ．()()U M P S ⋂⋃ð8．函数()111f x x =--的图象是（ ） A ． B ．C ．D ．9．设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在()0,∞+单调递减，则（ ）A ．233231log 224f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B ．233231log 224f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C ．23332122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D ．23323122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭10．函数()245f x x x =-+在区间[]0,m 上的最大值为5，最小值为1，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[)2,+∞B ．[]2,4C ．[]0,4D ．(]2,411．已知()()2,11,1xx f x f x x ⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，则()2log 7f =（ ）A ．7B ．72C ．74D ．7812．已知函数()()()ln 1ln 1f x x x =+--，若实数a 满足()()120f a f a +->，则a 的取值范围是（ ） A ．()1,1-B ．()0,1C ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭二、填空题13．若函数()y f x =的定义域是[0,2]，则函数0.5()log (43)g x x =-的定义域是__________．14．已知函数()32f x x x =+，若()()2330f a a f a -+-<，则实数a 的取值范围是__________．15．已知()32,,x x af x x x a⎧≤=⎨>⎩，若存在实数b ，使函数()()g x f x b =-有两个零点，则a的取值范围是________．16．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≥时，2()2f x x x =-． 若关于x 的方程()0f x m -=有四个不同的实数解，则实数m 的取值范围是_____．17．有15人进家电超市，其中有9人买了电视，有7人买了电脑，两种均买了的有3人，则这两种都没买的有 人.18．某班有36名同学参加数学、物理、化学竞赛小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有__________人． 19．甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一个方向运动，其路程()(1,2,3,4)i f x i =关于时间(0)x x ≥的函数关系式分别为1()21x f x =-，22()f x x =，3()f x x =，42()log (1)f x x =+，有以下结论：①当1x >时，甲走在最前面； ②当1x >时，乙走在最前面；③当01x <<时,丁走在最前面，当1x >时，丁走在最后面； ④丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面； ⑤如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲．其中，正确结论的序号为 （把正确结论的序号都填上,多填或少填均不得分）． 20．己知函数()f x =x a b +的图象经过点(1,3),其反函数()1fx -的图象经过点(2.0),则()1f x -=___________. 三、解答题21．已知满足(1)求的取值范围； (2)求函数的值域．22．已知幂函数2242()(1)m m f x m x -+=-在(0,)+∞上单调递增，函数()2xg x k =-；（1）求m 的值；（2）当[1,2]x ∈时，记()f x 、()g x 的值域分别是A 、B ，若A B A ⋃=，求实数k 的取值范围；23．已知定义域为R 的函数12()22x x bf x +-+=+是奇函数． （1）求b 的值；（2）判断函数()f x 的单调性，并用定义证明；（3）当1,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()2(21)0f kx f x +->恒成立，求实数k 的取值范围．24．2019年某开发区一家汽车生产企业计划引进一批新能源汽车制造设备，通过市场分析，全年需投入固定成本3000万元，每生产x （百辆），需另投入成本()f x 万元，且210200,050()100006019000,50x x x f x x x x ⎧+<<⎪=⎨+-≥⎪⎩，由市场调研知，每辆车售价6万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完.（1）求出2019年的利润()L x （万元）关于年产量x （百辆）的函数关系式；（利润=销售额-成本）（2）2019年产量为多少（百辆）时，企业所获利润最大？并求出最大利润.25．已知函数()f x 是定义R 的奇函数，当0x >时，2()2f x x x =-.（1）求函数()f x 的解析式；（2）画出函数()f x 的简图(不需要作图步骤)，并求其单调递增区间（3）当[]1,1x ∈-时，求关于m 的不等式2(1)(1)0f m f m -+-< 的解集．26．一种放射性元素，最初的质量为500g ，按每年10﹪衰减. （Ⅰ）求t 年后，这种放射性元素质量ω的表达式；（Ⅱ）由求出的函数表达式，求这种放射性元素的半衰期（剩留量为原来的一半所需要的时间）．（精确到0.1；参考数据：）【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】分析：首先利用一元二次不等式的解法，求出220x x -->的解集，从而求得集合A ，之后根据集合补集中元素的特征，求得结果. 详解：解不等式220x x -->得12x x -或， 所以{}|12A x x x =<->或，所以可以求得{}|12R C A x x =-≤≤，故选B.点睛：该题考查的是有关一元二次不等式的解法以及集合的补集的求解问题，在解题的过程中，需要明确一元二次不等式的解集的形式以及补集中元素的特征，从而求得结果.2．C解析：C 【解析】 【分析】求出集合B 后可得A B I . 【详解】因为集合{}|1,{|11}A x x x R x x =≤∈=-≤≤，{}2|,{|0}B y y x x R y y ==∈=≥则A B =I {}|01x x ≤≤，选C【点睛】本题考查集合的交，注意集合意义的理解，如(){}|,x y f x x D =∈表示函数的定义域，而(){}|,y y f x x D =∈表示函数的值域，()(){},|,x y y f x x D =∈表示函数的图像.3．C解析：C 【解析】 【分析】确定函数是奇函数，图象关于原点对称，x ＞0时，f （x ）＝log a x （0＜a ＜1）是单调减函数，即可得出结论． 【详解】由题意，f （﹣x ）＝﹣f （x ），所以函数是奇函数，图象关于原点对称，排除B 、D ； x ＞0时，f （x ）＝log a x （0＜a ＜1）是单调减函数，排除A ． 故选C ． 【点睛】本题考查函数的图象，考查函数的奇偶性、单调性，正确分析函数的性质是关键．4．C解析：C 【解析】 【分析】要使函数()f x 在(,)-∞+∞上为减函数，则要求①当1x <，()(31)4f x a x a =-+在区间(,1)-∞为减函数，②当1x ≥时，()log a f x x =在区间[1,)+∞为减函数，③当1x =时，(31)14log 1a a a -⨯+≥，综上①②③解方程即可.【详解】令()(31)4g x a x =-+，()log a h x x =.要使函数()f x 在(,)-∞+∞上为减函数，则有()(31)4g x a x =-+在区间(,1)-∞上为减函数，()log a h x x =在区间[1,)+∞上为减函数且(1)(1)g h ≥,∴31001(1)(31)14log 1(1)a a a g a a h -<⎧⎪<<⎨⎪=-⨯+≥=⎩,解得1173a ≤<. 故选：C. 【点睛】考查分段函数求参数的问题.其中一次函数y ax b =+，当0a <时，函数y ax b =+在R 上为减函数，对数函数log ,(0)a y x x =>，当01a <<时，对数函数log ay x =在区间(0,)+∞上为减函数.5．B解析：B 【解析】 【分析】化简cos cos a A b B =得到A B =或2A B π+=，再判断充分必要性.【详解】cos cos a A b B =，根据正弦定理得到：sin cos sin cos sin 2sin 2A A B B A B =∴=故22A B A B =∴=或222A B A B ππ=-∴+=，ABC ∆为等腰或者直角三角形.所以“cos cos a A b B =”是“ABC ∆是以A 、B 为底角的等腰三角形”的必要非充分条件 故选B 【点睛】本题考查了必要非充分条件，化简得到A B =或2A B π+=是解题的关键，漏解是容易发生的错误.6．B解析：B 【解析】函数f （x ）=e x ﹣1x 是（0，+∞）上的增函数，再根据f （12）2＜0，f （1）=e ﹣1＞0，可得f （12）f （1）＜0，∴函数f （x ）=e x ﹣1x 的零点所在的区间是（12，1），故选B ．点睛：判定函数的零点所在区间，只需计算区间端点处的函数值，并判断是否异号，只要异号，则区间内至少有一个零点存在.7．C解析：C 【解析】 【分析】先根据图中的阴影部分是M∩P 的子集，但不属于集合S ，属于集合S 的补集，然后用关系式表示出来即可． 【详解】图中的阴影部分是： M∩P 的子集，不属于集合S ，属于集合S 的补集,即是C U S 的子集则阴影部分所表示的集合是（M∩P ）∩(∁U S). 故选C ． 【点睛】本题主要考查了Venn 图表达集合的关系及运算，同时考查了识图能力，属于基础题．8．B解析：B 【解析】 【分析】 把函数1y x=先向右平移一个单位，再关于x 轴对称，再向上平移一个单位即可. 【详解】 把1y x = 的图象向右平移一个单位得到11y x =-的图象， 把11y x =-的图象关于x 轴对称得到11y x =--的图象， 把11y x =--的图象向上平移一个单位得到()111f x x =--的图象， 故选：B . 【点睛】本题主要考查函数图象的平移，对称，以及学生的作图能力，属于中档题.9．C解析：C 【解析】 【分析】由已知函数为偶函数，把233231log ,2,24f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，转化为同一个单调区间上，再比较大小． 【详解】()f x Q 是R 的偶函数，()331log log 44f f ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭．223303322333log 4log 31,1222,log 422---->==>>∴>>Q ，又()f x 在(0，+∞)单调递减，∴()23323log 422f f f --⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，23323122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选C ．【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性，解题关键在于利用中间量大小比较同一区间的取值．10．B解析：B 【解析】 【分析】由函数的解析式可得函数f （x ）＝x 2﹣4x +5＝（x ﹣2）2+1的对称轴为x ＝2，此时，函数取得最小值为1，当x ＝0或x ＝4时，函数值等于5，结合题意求得m 的范围． 【详解】∵函数f （x ）＝x 2﹣4x +5＝（x ﹣2）2+1的对称轴为x ＝2，此时，函数取得最小值为1， 当x ＝0或x ＝4时，函数值等于5．且f （x ）＝x 2﹣4x +5在区间[0，m ]上的最大值为5，最小值为1， ∴实数m 的取值范围是[2，4]， 故选：B ． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质应用，利用函数图像解题是关键，属于中档题．11．C解析：C 【解析】 【分析】根据函数的周期性以及分段函数的表达式，结合对数的运算法则，代入即可得到结论． 【详解】2222log 4log 7log 83=<<=Q ，20log 721∴<-<，()()2log 72227log 7log 7224f f -∴=-==. 故选：C . 【点睛】本题主要考查函数值的计算，根据分段函数的表达式以及函数的周期性进行转化是解决本题的关键．12．B解析：B 【解析】 【分析】求出函数()y f x =的定义域，分析函数()y f x =的单调性与奇偶性，将所求不等式变形为()()21f a f a >-，然后利用函数()y f x =的单调性与定义域可得出关于实数a 的不等式组，即可解得实数a 的取值范围. 【详解】对于函数()()()ln 1ln 1f x x x =+--，有1010x x +>⎧⎨->⎩，解得11x -<<， 则函数()y f x =的定义域为()1,1-，定义域关于原点对称，()()()()ln 1ln 1f x x x f x -=--+=-，所以，函数()y f x =为奇函数，由于函数()1ln 1y x =+在区间()1,1-上为增函数，函数()2ln 1y x =-在区间()1,1-上为减函数，所以，函数()()()ln 1ln 1f x x x =+--在()1,1-上为增函数， 由()()120f a f a +->得()()()1221f a f a f a >--=-，所以，11112121a a a a -<<⎧⎪-<-<⎨⎪>-⎩，解得01a <<.因此，实数a 的取值范围是()0,1. 故选：B. 【点睛】本题考查函数不等式的求解，解答的关键就是分析函数的单调性和奇偶性，考查计算能力，属于中等题.二、填空题13．【解析】首先要使有意义则其次∴解得综上点睛：对于抽象函数定义域的求解(1)若已知函数f(x)的定义域为ab 则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出；(2)若已知函数f(g(x))解析：3,14⎛⎫⎪⎝⎭【解析】首先要使(2)f x 有意义，则2[0,2]x ∈， 其次0.5log 430x ->，∴0220431x x ≤≤⎧⎨<-<⎩，解得01314x x ≤≤⎧⎪⎨<<⎪⎩，综上3,14x ⎛⎫∈⎪⎝⎭． 点睛：对于抽象函数定义域的求解(1)若已知函数f(x)的定义域为[a ，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b 求出；(2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a ，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域．14．(13)【解析】由题意得为单调递增函数且为奇函数所以点睛：解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为的形式然后根据函数的单调性去掉转化为具体的不等式(组)此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内解析：(1,3) 【解析】由题意得()f x 为单调递增函数,且为奇函数,所以()()2330f a a f a -+-<22(3)(3)3313f a a f a a a a a ⇒-<-⇒-<-⇒<<点睛：解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为(())(())f g x f h x >的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意()g x 与()h x 的取值应在外层函数的定义域内15．【解析】【分析】由有两个零点可得有两个零点即与的图象有两个交点则函数在定义域内不能是单调函数结合函数图象可求的范围【详解】有两个零点有两个零点即与的图象有两个交点由可得或①当时函数的图象如图所示此时 解析：()(),01,-∞⋃+∞【解析】 【分析】由()()g x f x b =-有两个零点可得()f x b =有两个零点，即()y f x =与y b =的图象有两个交点，则函数在定义域内不能是单调函数，结合函数图象可求a 的范围【详解】()()g x f x b =-Q 有两个零点，()f x b ∴=有两个零点，即()y f x =与y b =的图象有两个交点，由32x x =可得，0x =或1x =①当1a >时，函数()f x 的图象如图所示，此时存在b ，满足题意，故1a >满足题意②当1a =时，由于函数()f x 在定义域R 上单调递增，故不符合题意③当01a <<时，函数()f x 单调递增，故不符合题意④0a =时，()f x 单调递增，故不符合题意⑤当0a <时，函数()y f x =的图象如图所示，此时存在b 使得，()y f x =与y b =有两个交点综上可得，0a <或1a >故答案为：()(),01,-∞⋃+∞【点睛】本题考察了函数的零点问题，渗透了转化思想，数形结合、分类讨论的数学思想．16．【解析】【分析】若方程有四个不同的实数解则函数与直线有4个交点作出函数的图象由数形结合法分析即可得答案【详解】因为函数是定义在R 上的偶函数且当时所以函数图象关于轴对称作出函数的图象：若方程有四个不同 解析：(1,0)-【解析】【分析】若方程()0f x m -=有四个不同的实数解，则函数()y f x =与直线y m =有4个交点，作出函数()f x 的图象，由数形结合法分析即可得答案．【详解】因为函数()f x 是定义在R 上的偶函数且当0x ≥时，2()2f x x x =-，所以函数()f x 图象关于y 轴对称，作出函数()f x 的图象：若方程()0f x m -=有四个不同的实数解，则函数()y f x =与直线y m =有4个交点， 由图象可知：10m -<<时，即有4个交点.故m 的取值范围是(1,0)-，故答案为：(1,0)-【点睛】本题主要考查了偶函数的性质以及函数的图象，涉及方程的根与函数图象的关系，数形结合，属于中档题.17．【解析】【分析】【详解】试题分析：两种都买的有人所以两种家电至少买一种有人所以两种都没买的有人或根据条件画出韦恩图：(人)考点：元素与集合的关系 解析：【解析】【分析】【详解】 试题分析：两种都买的有人，所以两种家电至少买一种有人.所以两种都没买的有人.或根据条件画出韦恩图：(人).考点：元素与集合的关系.18．8【解析】【分析】画出表示参加数学物理化学竞赛小组集合的图结合图形进行分析求解即可【详解】由条件知每名同学至多参加两个小组故不可能出现一名同学同时参加数学物理化学竞赛小组设参加数学物理化学竞赛小组的 解析：8【解析】【分析】画出表示参加数学、物理、化学竞赛小组集合的Venn 图，结合图形进行分析求解即可．【详解】由条件知，每名同学至多参加两个小组，故不可能出现一名同学同时参加数学、物理、化学竞赛小组，设参加数学、物理、化学竞赛小组的人数构成的集合分别为A ，B ，C ，则()0card A B C ⋂⋂=，()6card A B ⋂=，()4card B C ⋂=，由公式()card A B C ⋃⋃()()()()()()card A card B card C card A B card A C card B C =++-⋂-⋂-⋂ 知()3626151364card A C =++---⋂，故()8card A C ⋂=即同时参加数学和化学小组的有8人，故答案为8．【点睛】本小题主要考查Venn 图表达集合的关系及运算、Venn 图的应用、集合中元素的个数等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于基础题．19．③④⑤【解析】试题分析：分别取特值验证命题①②；对数型函数的变化是先快后慢当x=1时甲乙丙丁四个物体又重合从而判断命题③正确；指数函数变化是先慢后快当运动的时间足够长最前面的动物一定是按照指数型函数 解析：③④⑤【解析】试题分析：分别取特值验证命题①②；对数型函数的变化是先快后慢，当x=1时甲、乙、丙、丁四个物体又重合，从而判断命题③正确；指数函数变化是先慢后快，当运动的时间足够长，最前面的动物一定是按照指数型函数运动的物体，即一定是甲物体；结合对数型和指数型函数的图象变化情况，可知命题④正确．解：路程f i （x ）（i=1，2，3，4）关于时间x （x≥0）的函数关系是： ，，f 3（x ）=x ，f 4（x ）=log 2（x+1），它们相应的函数模型分别是指数型函数，二次函数，一次函数，和对数型函数模型． 当x=2时，f 1（2）=3，f 2（2）=4，∴命题①不正确；当x=4时，f 1（5）=31，f 2（5）=25，∴命题②不正确；根据四种函数的变化特点，对数型函数的变化是先快后慢，当x=1时甲、乙、丙、丁四个物体又重合，从而可知当0＜x ＜1时，丁走在最前面，当x ＞1时，丁走在最后面， 命题③正确；指数函数变化是先慢后快，当运动的时间足够长，最前面的动物一定是按照指数型函数运动的物体，即一定是甲物体，∴命题⑤正确．结合对数型和指数型函数的图象变化情况，可知丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面，命题④正确．故答案为③④⑤．考点：对数函数、指数函数与幂函数的增长差异．20．【解析】∵函数=的图象经过点(13)∴∵反函数的图象经过点(20)∴函数=的图象经过点(02)∴∴∴==∴=解析：()2log 1,1x x ->【解析】∵函数()f x =x a b +的图象经过点(1,3),∴3a b +=,∵反函数()1f x -的图象经过点(2,0),∴函数()f x =x a b +的图象经过点(0,2),∴12b +=.∴2, 1.a b ==∴()f x =x a b +=2 1.x +∴()1f x -=()2log 1, 1.x x ->三、解答题21．(1) (2) 【解析】试题分析（1）先将不等式化成底相同的指数，再根据指数函数单调性解不等式（2）令，则函数转化为关于 的二次函数，再根据对称轴与定义区间位置关系确定最值，得到值域.试题解析：解：(1) 因为由于指数函数在上单调递增(2) 由（1）得令，则，其中 因为函数开口向上，且对称轴为 函数在上单调递增 的最大值为，最小值为 函数的值域为. 22．(1) 0 ; (2) [0,1]【解析】【分析】(1)根据幂函数的定义有2(=11)m -，求出m 的值，然后再根据单调性确定出m 的值.(2)根据函数()f x 、()g x 的单调性分别求出其值域，再由A B A ⋃=得B A ⊆，再求k 的取值范围.【详解】(1) 函数2242()(1)mm f x m x -+=-为幂函数， 则2(=11)m -，解得：0m =或2m =.当0m =时，2()f x x =在(0,)+∞上单调递增，满足条件.当2m =时，2()f x x -=在(0,)+∞上单调递减，不满足条件.综上所述0m =.(2)由(1)可知, 2()f x x =,则()f x 、()g x 在[1,2]单调递增, 所以()f x 在[1,2]上的值域[1,4]A =,()g x 在[1,2]的值域[2,4]B k k =--.因为A B A ⋃=,即B A ⊆,所以2144k k -≥⎧⎨-≤⎩，即10k k ≥⎧⎨≤⎩，所以01k ≤≤. 所以实数k 的取值范围是[0,1].【点睛】本题考查幂函数的概念，函数值域和根据集合的包含关系求参数的范围,属于基础题.23．(1) 1b = (2) 减函数，证明见解析；(3) (,1)-∞-．【解析】【分析】（1）利用奇函数的性质令(0)0f =，求解b 即可．（2）利用函数的单调性的定义证明即可．（3）利用函数是奇函数以及函数的单调性转化不等式为代数形式的不等式，求解即可．【详解】（1）∵()f x 在定义域R 上是奇函数，所以(0)0f =，即102b a-+=+，∴1b =， 经检验，当1b =时，原函数是奇函数．（2）()f x 在R 上是减函数，证明如下：由（1）知11211()22221x x x f x +-==-+++， 任取12,x x R ∈，设12x x <，则()()()()12211221112221212121x x x x x x f x f x --=-=++++，∵函数2xy =在R 上是增函数，且12x x <，∴12220x x -<，又()()1221210x x ++>，∴()()210f x f x -<，即()()21f x f x <，∴函数()f x 在R 上是减函数．（3）因()f x 是奇函数，从而不等式()2(21)0f kx f x +->等价于()2(21)f kx f x >--，由（2）知()f x 在R 上是减函数，由上式推得212kx x <-， 即对任意1,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，有212x k x-<恒成立， 由2212112x x x x -⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭， 令1t x =，1,23t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则可设2()2g t t t =-，1,23t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， ∴min ()(1)1g t g ==-，∴1k <-，即k 的取值范围为(,1)-∞-．【点睛】本题考查函数的单调性以及函数的奇偶性的应用，考查函数与方程的思想，是中档题．24．（1）()2104003000,050100006000,50x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨--+≥⎪⎩；（2）2019年年产量为100百辆时，企业所获利润最大，最大利润为5800万元.【解析】【分析】（1）先阅读题意，再分当050x <<时，当50x ≥时，求函数解析式即可；（2）当050x <<时，利用配方法求二次函数的最大值，当50x ≥时，利用均值不等式求函数的最大值，一定要注意取等的条件，再综合求分段函数的最大值即可.【详解】解：（1）由已知有当050x <<时，()22600(10200)3000104003000L x x x x x x =-+-=-+-当50x ≥时，()1000010000600(6019000)30006000L x x x x x x=-+--=--+， 即()2104003000,050100006000,50x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨--+≥⎪⎩， （2）当050x <<时，()2210400300010(20)1000L x x x x =-+-=--+， 当20x =时，()L x 取最大值1000，当50x ≥时，()10000600060005800L x x x =--+≤-+=， 当且仅当10000x x=，即100x =时取等号， 又58001000>故2019年年产量为100百辆时，企业所获利润最大，最大利润为5800万元.【点睛】本题考查了函数的综合应用，重点考查了分段函数最值的求法，属中档题.25．（1）222,0()2,0x x x f x x x x ⎧-≥=⎨--<⎩；（2）图象见解析，(],1-∞-和 [)1,+∞；（3）[)0,1.【解析】【分析】（1）由函数的奇偶性可求得函数()f x 的解析式；（2）利用二次函数图像可作法可得函数()f x 的图像及单调增区间；（3）利用函数在[]1,1-为减函数且为奇函数，可得22111111(1)(1)0m m m m -≤-≤⎧⎪-≤-≤⎨⎪-+->⎩，再求解即可.【详解】解：（1）由函数()f x 是定义R 的奇函数，则(0)0f =，设0x >，则0x ->，因为函数()f x 是定义R 的奇函数，所以22()()()2)2(f x f x x x x x ⎡⎤=--=---=-⎦--⎣， 综上可得：222,0()2,0x x x f x x x x ⎧-≥=⎨--<⎩； （2）函数()f x 的图像如图所示，由图可得函数()f x 单调递增区间为(],1-∞-和[)1,+∞；（3）由（2）可知，函数()f x 在[]1,1-为减函数且为奇函数，当[]1,1x ∈-时，关于m 的不等式2(1)(1)0f m f m -+-<，即2(1)(1)f m f m -<-， 则22111111(1)(1)0m m m m -≤-≤⎧⎪-≤-≤⎨⎪-+->⎩，即20202(2)(1)0m m m m ≤≤⎧⎪≤≤⎨⎪+-<⎩，解得01m ≤<，故关于m 的不等式的解集为[)0,1.【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性求函数解析式及利用函数的性质求解不等式，重点考查了数形结合的数学思想方法，属中档题.26．（Ⅰ）ω=500×0.9t . （Ⅱ）6.6年【解析】【分析】【详解】试题分析：（Ⅰ）最初的质量为500g ，经过1年，ω=500（1-10﹪）=500×10.9，经过2年，ω=500×20.9，……，由此推出，t 年后，ω=500×0.9t ．（Ⅱ）解方程500×0.9t =250．0.9t =0.5，lg 0.9lg 0.5t =，lg 0.5 6.6lg 0.9t =≈， 所以，这种放射性元素的半衰期约为6.6年．考点：指数函数应用题及只属于对数的互化点评：本题第一问由经过一年，二年……的剩余质量归纳出t 年后的剩余含量，第二问涉及到指数式与对数式的转化x a b =转化为log a x b =。

2019学年第一学期杭州八校联盟期中联考高一年级 数学 参考答案9.解析：由4])([=-x x f f ，且f (x )是单调函数可知f (x )-x 必是常数，设),()(为常数k k x x f =-得.24)()(==+=+=k k k k f k x x f ，解得，且所以.5)3(,2)(=+=f x x f 选B10.解析：由()()2112120x f x x f x x x ->-，设21x x >，可得0)()(2112>-x f x x f x22112112)()(),()(x x f x x f x f x x f x >∴>∴，从而函数),0()(+∞=在xx f y 上单调递增.易知②④符合条件，选C.二、填空题：本大题共6小题，多空题每空3分，单空题每题4分，共30分。

11.-1 12. 3, 9 13.-814. 0, 22x x + 15. (0, 2]或者（0, 2）也对 (,2]-∞ 16. 1(,0]2-16. 解析:结合函数21,0()|lg |,0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩ 图像可得∈a 1(,0]2-，b<1<c ，由()()()f a f b f c ==可得-lgb =lgc ，从而bc =1. abc =∈a 1(,0]2-.三、解答题：本大题共5小题，共50分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.（本题满分8分）解：（Ⅰ）原式=3341+110420+= ------------------------4分（Ⅱ）原式=112222--=- -----------------------8分18. （本题满分10分）解（Ⅰ）∵A ＝{-2,2},1a =时，B ＝{1，2} {}2A B ∴⋂=. ---------3分（Ⅱ）由A B A ⋃=得B A ⊆. -------------5分当0a =时，B ＝{2}符合题意， -------------7分当0a ≠时，由(2)(1)0x ax --= 得()120a x x a ⎛⎫--= ⎪⎝⎭ ， 而B A ⊆∴ 1122a a ==-或 ，解得1122a 或=-。

高一数学试卷答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的。

将答案写在答题卡上）上）13、 2 （用数字作答）14 a(1＋n%)1215 －1 16、(,0]-∞三、解答题17答案}{}{()}{()}{A B=|110A B=|27A B|110A B|27RRx xx xC x x xC x x x<<≤<=≤≥=<≥或或18.答案101421216814(lg lg25)100812743lg2lg54422100312lg102103372022ππππ---⎛⎫⎛⎫-+-÷⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=-+--⨯=-+-⨯÷=--+=--19答案解：函数f(x)＝1－2x＋1是区间[1,3]上的增函数证明：设x1，x2是区间[1,3]上的任意两个实数，且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝1－2x1＋1－1＋2x2＋1＝2x2＋1－2x1＋1＝2(x1＋1)－2(x2＋1)(x1＋1)(x2＋1)＝2(x1－x2)(x1＋1)(x2＋1).由1≤x1<x2≤3，得x1－x2<0，(x1＋1)(x2＋1)>0，于是f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)．所以，函数f(x)是区间[1,3]上的增函数．所以，函数f(x)在区间[1,3]的两个端点上分别取得最小值与最大值，即在x＝1时取得最小值，最小值是0，在x＝3时取得最大值，最大值是12.20. 解： （1）设y ＝x α.α∈R ，∵图象过点(-2，14)，∴ 2α＝22，α＝－12，∴f (x )＝x -2.∵函数y ＝x -2，定义域为（-∞，0）U(0，＋∞)， （2 ）函数为偶函数（3）函数的单调递增区间（-∞，0）为函数的单调递减区间为(0，＋∞)21解：当a ＞1时，f (x )在[a,2a ]上递增， ∴log a 2a －log a a ＝12，即log a 2＋1－1＝12，∴a ＝4.当0＜a ＜1时，f (x )在[a,2a ]上递减， ∴log a a －log a 2a ＝12，即1－1－log a 2＝12.∴log a 2＝－12，∴a ＝14.答案：4或1420．解：（１）因为)(x f 是定义在R 上的奇函数，所以0)0(=f ．―――――――２分 当0<x 时，0>-x ，)(log )()(2x x f x f --=--=．所以，函数)(x f 的解析式为⎪⎩⎪⎨⎧>=<--=.0,log ,0,0,0),(log )(22x x x x x x f ――６分（２）函数)(x f 的图象如图所示．―――――――――10分（３）由函数)(x f 的图象可知，)(x f 的单调增区间是),0(,)0,(∞+∞-．----12分。

2019级⾼等数学（上）期中考试试题及答案1⾼等数学（上）期中考试试题及答案班级学号姓名得分⼀、选择题(每⼩题3分,共30分)1．设当0x →时，2(1cos )sin x x -是ln(1)nx +的⾼阶⽆穷⼩，⽽ln(1)nx +⼜是(1)xx e -的⾼阶⽆穷⼩，则正整数n =( )(A) 4 (B) 3 (C) 2 (D) 12．若21lim()01x x ax b x →∞+--=+，则,a b 分别为( ). (A) 1,1 (B) 1,1- (C) 1,1- (D) 1,0 3．考虑下列5个函数：①x e ；②2x e ；③2x e-；④arctan x ；⑤2arctan x ．上述函数中，当x →∞时，极限存在的是 ( )(A) ②③⑤ (B) ①④ (C) ③⑤ (D) ①②③⑤4．设)(u f ⼆阶可导，)1(xf y =，则22d d y x =( ) （A ）)1(xf '' (B)231121()()f f x x x x'''+ (C) 431121()()f f x x x x '''+ (D)431121()()f f x x x x'''-5．设2211()f x x x x+=+，则1()f x x '+=( )(A) 22x x + (B) 322x x13x x - (D) 2222x x -6．设()f x 在点0x =处可导，且(0)0f =，则0x =点是函数()()f x x x=的( ).(A) 可去间断点 (B) 跳跃间断点 (C) ⽆穷间断点 (D) 振荡间断点 7．设2()()lim1()x af x f a x a →-=--，则()f x 在点x a =处( ) (A)取得极⼤值 (B)取得极⼩值 (C)⼀定不取得极值 (D)不⼀定取得极值8．设32()1f x x x x =--+，则在区间11[,]33-上(A) 函数()f x 单调减少且其图形是凹的 (B) 函数()f x 单调减少且其图形是凸的 (C) 函数()f x 单调增加且其图形是凹的 (D) 函数()f x 单调增加且其图形是凸的 9．设函数()f x 与()g x 均在[,]a b 上可导，且()0g x >，()()()()0f x g x f x g x ''-<，则当(,)x a b ∈时有不等式 ( )(A) ()()()()f x g b f b g x < (B) ()()()()f x g x f a g a < (C) ()()()()f x g a f a g x < (D) ()()()()f x g x f b g b < 10．设函数()f x 在点0x 处可导，则000()()limh f x h f x h h→--+=( )(A) 0()f x ' (B) 02()f x ' (C) 0()f x '- (D) 02()f x '-⼆、填空题(每⼩题3分,共21分)11．设3sin 0()0x x x f x x ax -?≠?=??=? 在0x =处连续，则a = .12．设()(1)(2)()f x x x x x n =---，n 为正整数，则(0)f '= . 13．函数43()38f x x x =-在闭区间[1,1]-上的最⼩值为．14．若曲线1xk y x ??=+具有⽔平渐近线3y =，则常数k = ．242-=x x y ，则1n >时()n y = .16．抛物线24y x x =-在其顶点处的曲率为 .17．设k 是正整数，且极限 2007lim (1)k kn n n n →∞-- 的值是⾮零常数，则 k ＝．三、计算题(每⼩题5分,共40分)18．求 011lim ln(1)x x x →?-+.19. 设0lim xx x x c x c →∞→+??= ?-??，求常数c 的值． 20．设22ln 2xxy x x =+++，求y '. 21．设0xyxy e e -+=，求0x y =''．22．设33cos sin x a t y a t==, 求22d d y x . 23．设2sin 0()00xx f x xx ?≠?=??=?, 求()f x '.24．求曲线4)y x =-的凹凸区间与拐点．25．求内接于半径为R 的球的正圆锥体的最⼤体积．四、证明题(共9分)26．设函数(),f x ()g x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内⼆阶可导且存在相等的最⼤值，⼜()()f a g a =，()()f b g b =．证明：（1）存在(,)a b η∈，使得()()f g ηη=；（2）存在(,)a b ξ∈，使得()()f g ξξ''''=．参考答案⼀．选择题（每⼩题3分，共30分）1．B 2．B 3．C 4．C 5．A 6．A 7．A 8．B 9．C 10．D⼆．填空题（每⼩题3分，共21分）11．1612．(1)!nn - 13． 2 14． ln3 15．1(1)2!(21)n n n n x ---- 16． 2 17．2008三、计算题（每⼩题5分，共40分） 18．1219． ln 2c =- 20． (ln 1)22ln 2xxx x x +++ 21． 2-22． 23sin b a t -， 23． 22sin 2sin 0()10x x xx f x x x ?-≠?'=??=?24．在(,0]-∞及[1,)+∞上是凹的，在[0,1]上是凸的；点(0,0)及(1,3)-是拐点． 25．3max3281V R =π四、证明题（共9分）26．（1）设(),f x ()g x 在[,]a b 上的最⼤值为M ，则存在12,(,)x x a b ∈（不妨设12x x ≤），使得12()()f x g x M ==．当12x x =时，取12x x η==，则有(,)a b η∈，且()()f g ηη=．当12x x ≠时，令()()()h x f x g x =-，则()h x 在12[,]x x 上连续，且1111()()()()0h x f x g x M g x =-=-≥； 2222()()()()0h x f x g x f x M =-=-≤．由零点定理知，存在12[,](,),x x a b η∈?，使得()0h η=，即()()f g ηη=．（2）因为()h x 在[,],[,]a b ηη上连续，在(,),(,)a b ηη内可导，且()()()0h a f a g a =-=，()0h η=，()()()0h b f b g b =-=，故由Rolle 定理知，存在1(,)a ξη∈，2(,)b ξη∈，使得12()()0h h ξξ''==．⼜()h x '在12[,]ξξ上可导，再由Rolle 定理知，存在12(,)(,)a b ξξξ∈?，使得()0h ξ''=，即： ()()f g ξξ''''=．。

高等数学期中试题一、填空题（每题3分，共15分）1、262sin0lim(1)x x x →+= ;2、设21y x ，则dy ；3、0000(2)()()2,lim h f x h f x f x h→+-'== ;4、曲线⎩⎨⎧=+=321t y t x 在2=t 处的切线方程为 ; 5、当0x →时，21cos 2x kx -，k = 。

二、选择题（每题3分，共15分）1、21()1x f x x 在1x 处为 （ ） A 无穷间断点； B 第一类可去间断点 ；C 第一类跳跃间断点 ；D 震荡间断点。

2、()1xf x x ，则(4)(0)f =（ ）A 4!-；B 4!；C 5!- ；D 5! 。

3、若()()f x f x =--，在()0,+∞内()()'0,''0f x f x >>，则在(),0-∞内（ ）.A ()()'0,''0f x f x <<；B ()()'0,''0f x f x <>；C ()()'0,''0f x f x ><；D ()()'0,''0f x f x >>.4.设3()(1)f x x x x =--，()f x 不可导点的个数为（ ）A 0；B 1；C 2 ；D 3 。

5.设()()()F x g x x ϕ=，()x ϕ在x a =处连续，但又不可导，又()'g a 存在，则()0g a =是()F x 在x a =处可导的（ ）条件.A 充要；B 充分非必要；C 必要非充分；D 非充分非必要三、求下列极限（20分）1．)tan 11(lim 20x x x x -→ ； 2. 2tan )1(lim 21x x x π-→；3.x x x x 10)cos sin 2(lim +→； 4．)2112111(lim n n +++++++∞→四、求下列导数或微分（20分）1．,2222x x x x y +++=求：y '2．)(,)(ln )(x f e x f y x f ⋅=二阶可导，求：dy dx3．33cos sin x t y t⎧=⎨=⎩求：224d ydx x π= 4．设)(x y y =是由方程arctan y x =所确定的函数，求：dy dx 。

2019年高一数学上期中试题带答案一、选择题1．设常数a ∈R ，集合A={x|（x ﹣1）（x ﹣a ）≥0}，B={x|x≥a ﹣1}，若A ∪B=R ，则a 的取值范围为（ ） A ．（﹣∞，2）B ．（﹣∞，2]C ．（2，+∞）D ．[2，+∞）2．若集合{}|1,A x x x R =≤∈，{}2|,B y y x x R ==∈，则A B =I A ．{}|11x x -≤≤B ．{}|0x x ≥C ．{}|01x x ≤≤D ．∅3．函数y =2x 2–e |x |在[–2,2]的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．4．f (x)＝－x 2＋4x ＋a ，x∈[0,1]，若f (x)有最小值－2，则f (x)的最大值( ) A ．－1B ．0C ．1D ．25．已知函数()f x 的定义域为R .当0x <时，3()1f x x =-；当11x -≤≤时，()()f x f x -=-；当12x >时，11()()22f x f x +=-.则(6)f =（ ） A ．2-B ．1-C ．0D ．26．设集合{|32}M m m =∈-<<Z ，{|13}N n n M N =∈-≤≤⋂=Z ，则A ．{}01，B ．{}101-，，C ．{}012，，D ．{}1012-，，， 7．已知函数2()2f x ax bx a b =++-是定义在[3,2]a a -的偶函数,则()()f a f b +=（ ） A ．5B ．5-C ．0D ．20198．定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x +=-，且当[]0,1x ∈时，()2cos x f x x =-，则下列结论正确的是（ ）A ．()20202019201832f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．()20202019201832f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭9．若0.23log 2,lg0.2,2a b c ===,则,,a b c 的大小关系为A ．c b a <<B ． b a c <<C ． a b c <<D ．b c a <<10．已知集合{|20}A x x =-<，{|}B x x a =<，若A B A =I ，则实数a 的取值范围是( )A ．(,2]-∞-B ．[2,)+∞C ．(,2]-∞D ．[2,)-+∞11．方程 4log 7x x += 的解所在区间是（ ） A ．(1,2)B ．(3,4)C ．(5,6)D ．(6,7)12．已知()()2,11,1x x f x f x x ⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，则()2log 7f =（ ）A ．7B ．72C ．74D ．78二、填空题13．给出下列四个命题：（1）函数()f x x x bx c =++为奇函数的充要条件是0c =； （2）函数()20xy x -=>的反函数是()2log 01y x x =-<<；（3）若函数()()2lg f x x ax a =+-的值域是R ，则4a ≤-或0a ≥；（4）若函数()1y f x =-是偶函数，则函数()y f x =的图像关于直线0x =对称. 其中所有正确命题的序号是______.14．已知定义在实数集R 上的偶函数()f x 在区间(],0-∞上是减函数,则不等式()()1ln f f x <的解集是________.15．若42x ππ<<，则函数3tan 2tan y x x =的最大值为 ．16．若函数()22xf x b =--有两个零点，则实数b 的取值范围是_____. 17．已知函数在区间，上恒有则实数的取值范围是_____.18．给出下列结论： ①已知函数是定义在上的奇函数，若，则；②函数的单调递减区间是； ③已知函数是奇函数，当时，，则当时，；④若函数的图象与函数的图象关于直线对称，则对任意实数都有.则正确结论的序号是_______________________（请将所有正确结论的序号填在横线上）． 19．2017年国庆期间，一个小朋友买了一个体积为a 的彩色大气球，放在自己房间内，由于气球密封不好，经过t 天后气球体积变为kt V a e -=⋅.若经过25天后，气球体积变为原来的23,则至少经过__________天后，气球体积小于原来的13. (lg30.477,lg 20.301≈≈，结果保留整数）20．若集合(){}22210A x k x kx =+++=有且仅有2个子集，则满足条件的实数k 的最小值是____.三、解答题21．已知函数f (x )是定义域为R 的奇函数，当x <0时，()111f x x =+-. (1)求f (2)的值；(2)用定义法判断y ＝f (x )在区间(－∞，0）上的单调性． (3)求0()x f x >时，的解析式22．已知二次函数()f x 满足(1)()2f x f x x +-=（x ∈R ），且(0)1f =． （1）求()f x 的解析式；（2）若函数()()2g x f x tx =-在区间[1,5]-上是单调函数，求实数t 的取值范围； （3）若关于x 的方程()f x x m =+有区间(1,2)-上有一个零点，求实数m 的取值范围． 23．已知函数()()()sin 0,0,f x A x A ωϕωϕπ=+>><，在同一周期内，当12x π=时，()f x 取得最大值4：当712x π=时，()f x 取得最小值4-. （1）求函数()f x 的解析式； （2）若,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()()21h x f x t =+-有两个零点，求实数t 的取值范围. 24．某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某珍稀水果树的单株产量W （单位：千克）与施用肥料x （单位：千克）满足如下关系：()253,02()50,251x x W x x x x ⎧+≤≤⎪=⎨<≤⎪+⎩，肥料成本投入为10x 元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）20x 元．已知这种水果的市场售价大约为15元／千克，且销路畅通供不应求．记该水果树的单株利润为()f x （单位：元）． （Ⅰ）求()f x 的函数关系式；（Ⅱ）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大?最大利润是多少? 25．已知函数())2log f x x =是R 上的奇函数，()2g x t x a =--.（1）求a 的值；（2）记()f x 在3,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为M ，若对任意的3,24x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，()M g x ≤恒成立，求t 的取值范围.26．设集合2{|40,}A x x x x R =+=∈，22{|2(1)10,}B x x a x a x R =+++-=∈. (1)若A B B ⋃=，求实数a 的值; (2)若A B B =I ，求实数a 的范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 试题分析：当时，，此时成立，当时，，当时，，即，当时，，当时，恒成立，所以a 的取值范围为，故选B.考点：集合的关系2．C解析：C 【解析】 【分析】求出集合B 后可得A B I . 【详解】因为集合{}|1,{|11}A x x x R x x =≤∈=-≤≤，{}2|,{|0}B y y x x R y y ==∈=≥则A B =I {}|01x x ≤≤，选C【点睛】本题考查集合的交，注意集合意义的理解，如(){}|,x y f x x D =∈表示函数的定义域，而(){}|,y y f x x D =∈表示函数的值域，()(){},|,x y y f x x D =∈表示函数的图像.3．D解析：D 【解析】试题分析：函数f （x ）=2x 2–e |x|在[–2,2]上是偶函数，其图象关于轴对称，因为，所以排除选项；当时，有一零点，设为，当时，为减函数，当时，为增函数．故选D4．C解析：C 【解析】因为对称轴2[0,1]x =∉，所以min max ()(0)2()(1)31f x f a f x f a ===-∴==+= 选C.5．D解析：D 【解析】 试题分析：当时,11()()22f x f x +=-,所以当时,函数是周期为的周期函数,所以,又函数是奇函数,所以,故选D ．考点：函数的周期性和奇偶性．6．B解析：B 【解析】试题分析：依题意{}{}2,1,0,1,1,0,1,2,3,M N =--=-∴{}1,0,1M N ⋂=-. 考点：集合的运算7．A解析：A 【解析】 【分析】根据函数f （x ）＝ax 2+bx +a ﹣2b 是定义在[a ﹣3，2a ]上的偶函数，即可求出a ，b ，从而得出f （x ）的解析式，进而求出f （a ）+f （b ）的值． 【详解】∵f （x ）＝ax 2+bx +a ﹣2b 是定义在[a ﹣3，2a ]上的偶函数；∴0320b a a =⎧⎨-+=⎩；∴a ＝1，b ＝0； ∴f （x ）＝x 2+2；∴f （a ）+f （b ）＝f （1）+f （0）＝3+2＝5． 故选：A ． 【点睛】本题考查偶函数的定义，偶函数定义域的对称性，已知函数求值的方法．8．C解析：C 【解析】 【分析】根据f （x ）是奇函数，以及f （x+2）=f （-x ）即可得出f （x+4）=f （x ），即得出f （x ）的周期为4，从而可得出f （2018）=f （0），2019122f f ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，20207312f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭然后可根据f （x ）在[0，1]上的解析式可判断f （x ）在[0，1]上单调递增，从而可得出结果.【详解】∵f（x ）是奇函数；∴f（x+2）=f （-x ）=-f （x ）；∴f（x+4）=-f （x+2）=f （x ）； ∴f（x ）的周期为4；∴f（2018）=f （2+4×504）=f （2）=f （0），2019122f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,20207 312f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∵x∈[0，1]时，f （x ）=2x -cosx 单调递增；∴f(0)＜12f ⎛⎫⎪⎝⎭ ＜712f ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ∴()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故选C. 【点睛】本题考查奇函数，周期函数的定义，指数函数和余弦函数的单调性，以及增函数的定义，属于中档题.9．B解析：B 【解析】 【分析】由对数函数的单调性以及指数函数的单调性，将数据与0或1作比较，即可容易判断. 【详解】由指数函数与对数函数的性质可知，a =()3log 20,1,b ∈=lg0.20,c <=0.221>，所以b a c <<，故选：B. 【点睛】本题考查利用指数函数和对数函数的单调性比较大小，属基础题.10．B解析：B 【解析】由题意可得{}|2A x x =<，结合交集的定义可得实数a 的取值范围是[)2,+∞ 本题选择B 选项.11．C解析：C 【解析】 【分析】令函数4()log 7xf x x =+-，则函数()f x 是()0,∞+上的单调增函数，且是连续函数，根据(5)(6)0f f ⋅<，可得函数4()log 7xf x x =+-的零点所在的区间为()5,6，由此可得方程4log 7x x +=的解所在区间． 【详解】令函数4()log 7xf x x =+-，则函数()f x 是()0,∞+上的单调增函数，且是连续函数.∵(5)0f <，(6)0>f∴(5)(6)0f f ⋅<∴故函数4()log 7xf x x =+-的零点所在的区间为()5,6∴方程4log 7x x +=的解所在区间是()5,6 故选C. 【点睛】零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[,]a b 上是连续不断的曲线，且()()0f a f b ⋅<，还必须结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性）才能确定函数有多少个零点.12．C解析：C 【解析】 【分析】根据函数的周期性以及分段函数的表达式，结合对数的运算法则，代入即可得到结论． 【详解】2222log 4log 7log 83=<<=Q ，20log 721∴<-<，()()2log 72227log 7log 7224f f -∴=-==. 故选：C . 【点睛】本题主要考查函数值的计算，根据分段函数的表达式以及函数的周期性进行转化是解决本题的关键．二、填空题13．（1）（2）（3）【解析】【分析】根据奇函数的定义得到（1）正确根据反函数的求法以及定义域值域得到（2）正确由函数的值域是得出其真数可以取到所有的正数由二次函数判别式大于等于0求解可判断出（3）正确解析：（1）（2）（3） 【解析】 【分析】根据奇函数的定义得到（1）正确，根据反函数的求法以及定义域值域得到（2）正确， 由函数()()2lg f x x ax a =+-的值域是R ，得出其真数可以取到所有的正数，由二次函数判别式大于等于0求解，可判断出（3）正确，根据函数图像平移可判断（4）不正确. 【详解】解：（1）当0c =时，()=+f x x x bx ，()()()-=---=-+=-f x x x bx x x bx f x ，当函数为奇函数时()()f x f x -=-，即()++=----+=+-x x bx c x x bx c x x bx c ，解得0c =，所以0c =是函数()f x x x bx c =++为奇函数的充要条件，所以（1）正确；（2）由反函数的定义可知函数()20xy x -=>的反函数是()2log 01y x x =-<<，所以（2）正确；（3）因为函数()()2lg f x x ax a =+-的值域是R ，所以2y x ax a =+-能取遍(0,)+∞的所有实数，所以240a a =+≥△，解得0a ≥或4a ≤-，所以（3）正确； （4）函数()1y f x =-是偶函数，所以()1y f x =-图像关于y 轴对称，函数()y f x =的图像是由()1y f x =-向左平移一个单位得到的，所以函数()y f x =的图像关于直线1x =-对称，故（4）不正确. 故答案为：（1）（2）（3） 【点睛】本题主要考查对函数的理解，涉及到函数的奇偶性、值域、反函数等问题.14．【解析】由定义在实数集上的偶函数在区间上是减函数可得函数在区间上是增函数所以由不等式得即或解得或即不等式的解集是;故答案为解析：()10,e,e ∞⎛⎫⋃+ ⎪⎝⎭【解析】由定义在实数集R 上的偶函数()f x 在区间(],0-∞上是减函数,可得函数()f x 在区间()0+∞，上是增函数,所以由不等式()()1ln f f x <得ln 1x >,即ln 1x >或ln 1x <-,解得x e >或10e x <<,即不等式()()1ln f f x <的解集是()10,e,e ∞⎛⎫⋃+ ⎪⎝⎭;故答案为()10,e,e ∞⎛⎫⋃+ ⎪⎝⎭. 15．-8【解析】试题分析：设当且仅当时成立考点：函数单调性与最值解析：-8 【解析】 试题分析：2tan 1tan 1,42xx x ππ∴∴Q设2tan t x =()()()2221412222142248111t t t y t t t t -+-+∴==-=----≤-⨯-=----当且仅当2t =时成立考点：函数单调性与最值16．【解析】【分析】【详解】函数有两个零点和的图象有两个交点画出和的图象如图要有两个交点那么 解析：02b <<【解析】 【分析】 【详解】函数()22xf x b =--有两个零点，和的图象有两个交点，画出和的图象，如图，要有两个交点，那么17．(131)【解析】【分析】根据对数函数的图象和性质可得函数f （x ）＝loga （2x ﹣a ）在区间1223上恒有f （x ）＞0即0<a<10<2x-a<1或a>12x-a>1分别解不等式组可得答案【详解】 解析：【解析】 【分析】根据对数函数的图象和性质可得，函数f （x ）＝log a （2x ﹣a ）在区间[]上恒有f （x ）＞0，即，或，分别解不等式组，可得答案．【详解】若函数f （x ）＝log a （2x ﹣a ）在区间[]上恒有f （x ）＞0，则，或当时，解得＜a ＜1，当时，不等式无解.综上实数的取值范围是（，1）故答案为（，1）． 【点睛】本题考查的知识点是复合函数的单调性，及不等式的解法，其中根据对数函数的图象和性质构造不等式组是解答的关键，属于中档题．18．①③【解析】①正确根据函数是奇函数可得f(3)=-f(-3)=1而f(-1)=2所以f(3)<f(-1)；②错根据复合函数的单调性可知函数的单调递减区间为(2+∞)；③正确奇函数关于原点对称所以可根解析：①③ 【解析】①正确，根据函数是奇函数，可得，而，所以；②错，根据复合函数的单调性可知函数的单调递减区间为；③正确，奇函数关于原点对称，所以可根据的解析式，求得的解析式；④，根据对数函数的定义域，不能是任意实数，而需，由，所以正确的序号是①③.【点睛】本题以多项选择题的形式考查函数的某些性质，综合性比较高，选项②错的比较多，涉及复合函数单调区间的问题，谨记“同增异减”，同时函数的定义域，定义域是比较容易忽视的问题，做题时要重视.19．68【解析】由题意得经过天后气球体积变为经过25天后气球体积变为原来的即则设天后体积变为原来的即即则两式相除可得即所以天点睛：本题主要考查了指数函数的综合问题考查了指数运算的综合应用求解本题的关键是解析：68 【解析】由题意得，经过t 天后气球体积变为kt V a e -=⋅，经过25天后，气球体积变为原来的23， 即25252233kk a ea e --⋅=⇒=，则225ln 3k -=， 设t 天后体积变为原来的13，即13kt V a e a -=⋅=，即13kte -=，则1ln 3kt -=两式相除可得2ln2531ln3k kt -=-，即2lg25lg 2lg30.3010.477130.3681lg30.4771lg 3t --===≈--， 所以68t ≈天点睛：本题主要考查了指数函数的综合问题，考查了指数运算的综合应用，求解本题的关键是先待定t 的值，建立方程，在比较已知条件，得出关于t 的方程，求解t 的值，本题解法比较巧妙，充分考虑了题设条件的特征，对观察判断能力要求较高，解题时根据题设条件选择恰当的方法可以降低运算量，试题有一定的难度，属于中档试题.20．-2【解析】【分析】根据题意可知集合只有一个元素从而时满足条件而时可得到求出找到最小的即可【详解】只有2个子集；只有一个元素；时满足条件；②时；解得或2；综上满足条件的实数的最小值为﹣2故答案为﹣2解析：-2 【解析】 【分析】根据题意可知，集合A 只有一个元素，从而2k =-时，满足条件，而2k ≠-时，可得到()24420k k ∆=-+=，求出k ，找到最小的k 即可.【详解】A Q 只有2个子集； A ∴只有一个元素；2k ①∴=-时，14A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，满足条件；②2k ≠-时，()24420k k ∆=-+=；解得1k =-或2；综上，满足条件的实数k 的最小值为﹣2. 故答案为﹣2. 【点睛】考查子集的概念，描述法和列举法表示集合的定义，以及一元二次方程实根个数和判别式∆的关系.三、解答题21．（1）23-；（2）见解析；（3）()1x f x x -=+ 【解析】 【分析】(1)利用函数的奇偶性求解.(2)函数单调性定义，通过化解判断函数值差的正负；（3）函数为R 奇函数，x 〈0的解析式已知，利用奇函数图像关于原点对称，即可求出x 〉0的解析式. 【详解】（1）由函数f (x )为奇函数，知f (2)＝-f (－2)＝23-· (2)在(－∞，0）上任取x 1，x 2，且x 1<x 2，则()()1212121111111111f x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=+-+=- ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭ ()()211211x x x x -=-- 由x 1－1<0，x 2－1<0，x 2－x 1>0，知f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)．由定义可知，函数y ＝f (x )在区间(－∞，0]上单调递减．·（3）当x >0时，－x <0，()111f x x -=-+ 由函数f (x )为奇函数知f (x )＝-f (－x )，()1111xf x x x -∴=-+=++【点睛】本题考查了函数奇偶性的应用和单调性的定义，利用奇偶性求函数值和解析式主要应用奇偶性定义和图像的对称性；利用定义法证明函数单调性关键是作差后式子的化解，因为需要判断结果的正负，所以通常需要将式子化成乘积的形式.22．（1）2()1f x x x =-+；（2）39,,22⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭；（3）{}0[1,4)⋃．【解析】试题分析：（1）设2()f x ax bx c =++（0a ≠）代入(1)()2f x f x x +-=得22ax a b x ++=对于x ∈R 恒成立，列出方程，求得,,a b c 的值，即可求解函数的解析式；（2）由()g x ，根据函数()g x 在[1,5]-上是单调函数，列出不等式组，即可求解实数t 的取值范围；（3）由方程()f x x m =+得2210x x m -+-=，令2()21h x x x m =-+-，即要求函数()h x 在(1,2)-上有唯一的零点，分类讨论即可求解实数m 的取值范围．试题解析：（1）设2()f x ax bx c =++（0a ≠）代入(1)()2f x f x x +-=得22ax a b x ++=对于x ∈R 恒成立，故220a a b =⎧⎨+=⎩， 又由(0)1f =得1c =，解得1a =，1b =-，1c =，所以2()1f x x x =-+；（2）因为22221(21)()()2(21)1124t t g x f x tx x t x ++⎛⎫=-=-++=-+- ⎪⎝⎭， 又函数()g x 在[1,5]-上是单调函数，故2111t +≤-或2151t +≥， 解得32t ≤-或92t ≥，故实数t 的取值范围是39,,22⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭；（3）由方程()f x x m =+得2210x x m -+-=，令2()21h x x x m =-+-，(1,2)x ∈-，即要求函数()h x 在(1,2)-上有唯一的零点， ①(1)0h -=，则4m =，代入原方程得1x =-或3，不合题意；②若(2)0h =，则1m =，代入原方程得0x =或2，满足题意，故1m =成立； ③若0∆=，则0m =，代入原方程得1x =，满足题意，故0m =成立；④若4m ≠且1m ≠且0m ≠时，由(1)40{(2)10h m h m -=->=-<得14m <<，综上，实数m 的取值范围是{}0[1,4)⋃．考点：函数的解析式；函数的单调性及其应用． 23．（1）()4sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）19t +< 【解析】 【分析】（1）根据三角函数性质确定振幅、周期以及初相，即得解析式； （2）先确定23x π+范围，再结合正弦函数图象确定实数t 满足的条件，解得结果.【详解】（1）解：由题意知74,212122T A πππ==-=，得周期T π= 即2ππω=得，则2ω=，则()()4sin 2f x x ϕ=+当12x π=时，()f x 取得最大值4，即4sin 2412πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，得πsin φ16骣琪+=琪桫得2()62k k Z ππϕπ+=+∈，，得23()k k Z πϕπ=+∈，,ϕπ<∴Q 当0k =时，=3πϕ，因此()4sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭（2）()()210h x f x t =+-=，即()12t f x -= 当,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，则220,33x ππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦当232x ππ+=时，4sin42π=要使()12t f x -=有两个根，则142t -≤<，得19t +≤< 即实数t的取值范围是19t +< 【点睛】本题考查三角函数解析式以及利用正弦函数图象研究函数零点，考查综合分析求解能力，属中档题.24．（Ⅰ）()27530225,02,75030,2 5.1x x x f x x x x x⎧-+≤≤⎪=⎨-<≤⎪+⎩（Ⅱ）当施用肥料为4千克时，种植该果树获得的最大利润是480元． 【解析】 【分析】（1）根据题意可得f （x ）＝15w （x ）﹣30x ，则化为分段函数即可，（2）根据分段函数的解析式即可求出最大利润． 【详解】（Ⅰ）由已知()()()1520101530f x W x x x W x x =--=-()2155330,02,501530,251x x x x x x x ⎧⨯+-≤≤⎪=⎨⨯-<≤⎪+⎩27530225,02,75030,2 5.1x x x x x x x ⎧-+≤≤⎪=⎨-<≤⎪+⎩ (Ⅱ)由(Ⅰ)得()()22175222,02,7530225,02,5=75030,2 5.25780301,2 5.11x x x x x f x x x x x x x x ⎧⎛⎫-+≤≤⎧-+≤≤⎪⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎨-<≤⎡⎤⎪⎪-++<≤+⎩⎢⎥⎪+⎣⎦⎩当02x ≤≤时，()()max 2465f x f ==；当25x <≤时，()()257803011f x x x ⎡⎤=-++⎢⎥+⎣⎦78030480≤-⨯= 当且仅当2511x x=++时，即4x =时等号成立． 因为465480<，所以当4x =时，()max 480f x =．∴当施用肥料为4千克时，种植该果树获得的最大利润是480元． 【点睛】本题考查了函数的应用、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 25．(1) 1a = (2) [)4,+∞ 【解析】 【分析】（1）根据函数()f x 是R 上的奇函数，得到()00f = ，即可求得a 的值；（2）由（1）可得函数()g x 的解析式，分别求得函数()f x 和()g x 的单调性与最值，进而得出关于t 的不等式，即可求解. 【详解】（1）因为())2log f x x =是R 上的奇函数，所以()00f =，即log 0=，解得1a =. （2）由（1）可得())2log f x x =，()212121x t g x t x x t -++⎧=--=⎨+-⎩ 1,21,2x x ≥< .因为奇函数())22log log f x x ==，所以()f x 在3,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是减函数，则()f x 在3,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为233log 144M f ⎫⎛⎫⎛⎫⎪=-=-= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎭，因为()2121x t g x x t -++⎧=⎨+-⎩ 1,21,2x x ≥<，所以()g x 在31,42⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上是增函数，在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数，则()g x 的最小值为34g ⎛⎫- ⎪⎝⎭和()2g 中的较小的一个. 因为33521442g t t ⎛⎫⎛⎫-=⨯-+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()22213g t t =-⨯++=-， 所以()()min 23g x g t ==-，因为对任意的3,24x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，()M g x ≤恒成立，所以13t ≤-， 解得4t ≥.故t 的取值范围为[)4,+∞. 【点睛】本题主要考查了函数的基本性质的综合应用，以及恒成立问题的求解，其中解答中熟记函数的基本性质，合理应用奇偶性、单调性和最值列出相应的方程或不等式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题. 26．（1）1a =；(2)1a ≤-或1a = 【解析】 【分析】（1）∵A B B ⋃=，∴A ⊆B ，又B 中最多有两个元素，∴A=B ，从而得到实数a 的值；（2）求出集合A 、B 的元素，利用B 是A 的子集，即可求出实数a 的范围. 【详解】（1）∵A B B ⋃=，∴A ⊆B ，又B 中最多有两个元素， ∴A=B ，∴x=0，﹣4是方程x 2+2（a+1）x+a 2﹣1=0的两个根， 故a=1；（2）∵A={x|x 2+4x=0，x ∈R} ∴A={0，﹣4}，∵B={x|x 2+2（a+1）x+a 2﹣1=0}，且B ⊆A ．故①B=∅时，△=4（a+1）2﹣4（a2﹣1）＜0，即a＜﹣1，满足B⊆A；②B≠∅时，当a=﹣1，此时B={0}，满足B⊆A；当a＞﹣1时，x=0，﹣4是方程x2+2（a+1）x+a2﹣1=0的两个根，故a=1；综上所述a=1或a≤﹣1；【点睛】本题主要考查集合的基本运算，属于基础题．要正确判断两个集合间的关系，必须对集合的相关概念有深刻的理解，善于抓住代表元素，认清集合的特征．。

高等数学（上）期中试题一、单项选择和填空（共10小题，每题3分）1.f x ()在x 0的左、右极限存在且相等是f x ()在该点连续的( ) A.充分且必要的条件 B.充分非必要的条件C.必要非充分的条件D.既非充分也非必要的条件2.设y x x dx dyy =+=32,则＝( )A.2B.4C.12D.143.函数f x x x ()=-+268单调减少的区间是( )A.(,)-∞+∞B.(,]-∞3C.[,)-+∞3D.[,)3+∞4.设y x x x y =---'=()()(),()1231则( )A.0B.2C.3D.65.过原点作曲线y=e x 的切线，则：切线的方程为( )A.y=e xB.y=e xC.y=xD.y=2e x 6.设f(x)=x(x-1)(x-2)(x-3),则：方程f ′(x)=0,在〔0,3〕内的根的个数为( )A.1B.2C.3D.47.∞→n lim （n n 2n 2-+）=______.8.设f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧-+2x1ax 1 0)(x 0)(x =≠ ,在点x=0处连续，则：a=_____. 9.设y=xcos2x,则:f ′(x)=______. 10.曲线sin 2(0,1)cos 2ttx e ty e t⎧=⎪⎨=⎪⎩在处切线为二. （10分） 求0x lim →(1e 1sinx 1x--).三（10分）.设x arctgt y t ==+⎧⎨⎩ln()12,求dy dx d ydx ,22四（10分）求函数()(2f x x =-[1,2]-上的最大值和最小值。

五（10分）322()2221设由确定y y x y y xy x =-+-=，()求的驻点，y y x =并判断它是否为极值点。

六（10分）设常数0k >，判断方程ln 0xx k e-+=在(0,)+∞内实根的个数，并说明理由。

七（10分）已知曲线L 的方程为221(0)4x t t y t t⎧=+≥⎨=-⎩，（1）讨论L 的凹凸性；（2）过点(1,0)-引L 的切线，求切线的方程。

2019年高一下学期期中数学试卷含解析一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．如果角θ的终边经过点，那么tanθ的值是（）A．B．C．D．2．要得到的图象，只需将y=3sin2x的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位3．若A（x，﹣1），B（1，3），C（2，5）三点共线，则x的值为（）A．﹣3B．﹣1C．1D．34．下面给出的关系式中正确的个数是（）①•=②•=•③2=||2④（•）=（•）⑤|•|≤•．A．0B．1C．2D．35．cos555°的值是（）A．+B．﹣（+）C．﹣D．﹣6．已知||=1，||=，且（﹣）和垂直，则与的夹角为（）A．60°B．30°C．45°D．135°7．函数y=tan（）在一个周期内的图象是（）A．B．C．D．8．在（0，2π）内，使sinx﹣cosx＜0成立的x取值范围是（）A．（，）B．（0，）C．（，π）∪（，2π）D．（0，）∪（，2π）9．已知α，β都是锐角，cosα=，cos（α+β）=﹣，则oosβ值为（）A．B．C．D．10．定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的，令，下面说法错误的是（）A．若与共线，则⊙=0B．⊙=⊙C．对任意的λ∈R，有⊙=⊙）D．（⊙）2+（）2=||2||2二、填空题：本大题6小题，每小题5分，共30分.把正确答案填在题中横线上.11．在△ABC中，B=45°，C=60°，c=，则b=．12．已知||=1，||=，与的夹角为150°，则|2﹣|=．13．函数y=3﹣sinx﹣cos2x的最小值是，最大值是．14．向量=（1，2），=（x，1），当（+2）⊥（2﹣）时，则x的值为．15．函数y=cos（x﹣）（x∈[，π]）的最大值是，最小值是．16．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π，x∈R）在一个周期内的图象如图所示，则函数的解析式为．直线y=与函数y=f（x）（x∈R）图象的所有交点的坐标为．．三、解答题：本大题共4小题，共40分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．已知cosx=﹣，x∈（0，π）（Ⅰ）求cos（x﹣）的值；（Ⅱ）求sin（2x+）的值．18．已知函数f（x）=2sinx（sinx+cosx）﹣1（其中x∈R），求：（1）函数f（x）的最小正周期；（2）函数f（x）的单调减区间；（3）函数f（x）图象的对称轴和对称中心．19．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．（Ⅰ）求△ABC的面积；（Ⅱ）求sin（C﹣A）的值．20．在△ABC中，已知AB=AC=5，BC=6，M点是AC边上靠近A点的一个三等分点，试问：在线段BM（端点除外）上是否存在点P使得PC⊥BM？xx学年北京九十四中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．如果角θ的终边经过点，那么tanθ的值是（）A．B．C．D．【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】直接根据三角函数的定义，求出tanθ的值．【解答】解：由正切的定义易得．故选A．2．要得到的图象，只需将y=3sin2x的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】根据左加右减的原则进行左右平移即可．【解答】解：∵，∴只需将y=3sin2x的图象向左平移个单位故选C．3．若A（x，﹣1），B（1，3），C（2，5）三点共线，则x的值为（）A．﹣3B．﹣1C．1D．3【考点】三点共线．【分析】三点共线等价于以三点为起点终点的两个向量共线，利用向量坐标公式求出两个向量的坐标，利用向量共线的充要条件列出方程求出x．【解答】解：三点A（x，﹣1），B（1，3），C（2，5）共线⇒∥，由题意可得：=（2﹣x，6），=（1，2），所以2（2﹣x）=1×6，解得x=﹣1．故答案为：﹣1．4．下面给出的关系式中正确的个数是（）①•=②•=•③2=||2④（•）=（•）⑤|•|≤•．A．0B．1C．2D．3【考点】平面向量数量积的运算．【分析】①•=0，即可判断出；②向量的数量积运算满足交换律；③2=||2，不同的记法；④由于与不一定共线，可知（•）=（•）不正确；⑤由向量的数量积的运算性质即可得出．【解答】解：①•=0，因此不正确；②•=•，满足交换律，正确；③2=||2，正确；④由于与不一定共线，因此（•）=（•）不正确；⑤由向量的数量积的运算性质即可得出：|•|≤•．综上可得：只有②③⑤正确．故选：D．5．cos555°的值是（）A．+B．﹣（+）C．﹣D．﹣【考点】诱导公式的作用；两角和与差的余弦函数．【分析】由于555°=360°+195°，195°=180°+15°，利用诱导公式与两角差的余弦公式即可求得cos555°的值．【解答】解：∵cos555°=cos=cos195°=﹣cos15°=﹣cos（45°﹣30°）=﹣•﹣•=﹣．故选B．6．已知||=1，||=，且（﹣）和垂直，则与的夹角为（）A．60°B．30°C．45°D．135°【考点】数量积表示两个向量的夹角．【分析】设向量与的夹角为α，0°≤α≤180°，由垂直关系可得•（﹣）=0，代入数据可解cosα，可得结论．【解答】解：设向量与的夹角为α，0°≤α≤180°，∵（﹣）和垂直，∴•（﹣）=0，∴﹣=1﹣1××cosα=0，解得cosα=，α=45°故选：C7．函数y=tan（）在一个周期内的图象是（）A．B．C．D．【考点】正切函数的图象．【分析】先令tan（）=0求得函数的图象的中心，排除C，D；再根据函数y=tan（）的最小正周期为2π，排除B．【解答】解：令tan（）=0，解得x=kπ+，可知函数y=tan（）与x轴的一个交点不是，排除C，D∵y=tan（）的周期T==2π，故排除B故选A8．在（0，2π）内，使sinx﹣cosx＜0成立的x取值范围是（）A．（，）B．（0，）C．（，π）∪（，2π）D．（0，）∪（，2π）【考点】三角函数线．【分析】化简得sin（x﹣）＜0，结合正弦函数的图象解关于x的不等式得到﹣+2kπ＜x＜+2kπ，分别取k=0和k=1，并将得到的范围与（0，2π）取交集，可得答案．【解答】解：sinx﹣cosx＜0化简得sin（x﹣）＜0令﹣π+2kπ＜x﹣＜2kπ（k∈Z），得﹣+2kπ＜x＜+2kπ取k=0，得﹣＜x＜；取k=1，得＜x＜再将以上范围与（0，2π）取交集，可得x∈（0，）∪（，2π）故选：D．9．已知α，β都是锐角，cosα=，cos（α+β）=﹣，则oosβ值为（）A．B．C．D．【考点】两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数．【分析】根据同角三角函数基本关系的应用分别求得sinα和sin（α+β）的值，进而根据余弦的两角和公式求得答案．【解答】解：∵α，β都是锐角，cosα=，cos（α+β）=﹣，∴sinα==，sin（α+β）==，∴cosβ=cos（α+β﹣α）=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=﹣×+×=．故选：C．10．定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的，令，下面说法错误的是（）A．若与共线，则⊙=0B．⊙=⊙C．对任意的λ∈R，有⊙=⊙）D．（⊙）2+（）2=||2||2【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据题意对选项逐一分析．若与共线，则有，故A正确；因为，而，所以有，故选项B错误，对于C，⊙=λqm﹣λpn，而⊙）=λ（qm﹣pn）=λqm﹣λpn，故C正确，对于D，（⊙）2+（）2=（qm﹣pn）2+（mp+nq）2=（m2+n2）（p2+q2）=||2||2，D正确；得到答案．【解答】解：对于A，若与共线，则有，故A正确；对于B，因为，而，所以有，故选项B错误，对于C，⊙=λqm﹣λpn，而⊙）=λ（qm﹣pn）=λqm﹣λpn，故C正确，对于D，（⊙）2+（）2=（qm﹣pn）2+（mp+nq）2=（m2+n2）（p2+q2）=||2||2，D正确；故选B．二、填空题：本大题6小题，每小题5分，共30分.把正确答案填在题中横线上.11．在△ABC中，B=45°，C=60°，c=，则b=2．【考点】正弦定理．【分析】由条件利用正弦定理求得b的值．【解答】解：△ABC中，∵B=45°，C=60°，c=，则由正弦定理可得=，即=，求得b=2，故答案为：2．12．已知||=1，||=，与的夹角为150°，则|2﹣|=2．【考点】向量的模．【分析】直接根据向量的数量积公式计算即可．【解答】解：|2﹣|2=4||2+||2﹣4||•|•cos150°=4+12﹣4×1×2•（﹣）=28，∴|2﹣|=2，故答案为：2．13．函数y=3﹣sinx﹣cos2x的最小值是，最大值是4．【考点】三角函数的最值．【分析】由条件利用正弦函数的值域，二次函数的性质，求得函数的最值．【解答】解：∵函数y=3﹣sinx﹣cos2x=3﹣sinx﹣（1﹣sins2x）=sin2x﹣sinx+2=+，sinx∈[﹣1，1]，故当sinx=﹣1时，函数y取得最大值为4，当sinx=时，函数y取得最小值为，故答案为：；4．14．向量=（1，2），=（x，1），当（+2）⊥（2﹣）时，则x的值为﹣2或．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】利用已知条件求出向量+2，2﹣，利用（+2）⊥（2﹣）列出方程，求解即可．【解答】解：向量=（1，2），=（x，1），+2=（1+2x，4）．2﹣=（2﹣x，3），∵（+2）⊥（2﹣）∴（1+2x）（2﹣x）+12=0，即：2﹣x+4x﹣2x2+12=0，2x2﹣3x﹣14=0，解得x=﹣2，x=．故答案为：﹣2或．15．函数y=cos（x﹣）（x∈[，π]）的最大值是1，最小值是．【考点】三角函数的最值．【分析】根据x∈[，π]，算出x﹣∈[﹣，]，结合余弦函数的图象求出函数的最大值和最小值即可．【解答】解：∵x∈[，π]，可得x﹣∈[﹣，]，∴当x﹣=0时，即x=时，函数y=cos（x﹣）的最大值是1，当x﹣=，即x=时，函数y=cos（x﹣）的最小值是，故答案为：1，．16．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π，x∈R）在一个周期内的图象如图所示，则函数的解析式为f（x）=2sin（x+）．．直线y=与函数y=f（x）（x∈R）图象的所有交点的坐标为（+4kπ，）或（+4kπ，）（k∈Z）．．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】由函数f（x）=Asin（ωx+φ）的图象可知A=2，T=4π，从而可求ω，再由ω×+φ=+2kπ可求得φ，从而可得答案．然后解方程2sin（x+）=，结合正弦函数的图象可得x=x=+4kπ或+4kπ（k∈Z），由此即可得到直线y=与函数f（x）图象的所有交点的坐标．【解答】解：∵f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，x∈R），∴A=2，周期T==﹣（﹣）=4π，∴ω=．∴f（x）=2sin（x+φ），又f（﹣）=2sin（×（﹣）+φ）=0，∴φ﹣=kπ，k∈Z，|φ|＜π，∴φ=．∴f（x）=2sin（x+）．当f（x）=时，即2sin（x+）=，可得sin（x+）=，∴x+=+2kπ或x+=+2kπ（k∈Z），可得x=+4kπ或+4kπ（k∈Z）由此可得，直线y=与函数f（x）图象的所有交点的坐标为：（+4kπ，）或（+4kπ，）（k∈Z）．故答案为：f（x）=2sin（x+），（+4kπ，）或（+4kπ，）（k∈Z）．三、解答题：本大题共4小题，共40分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．已知cosx=﹣，x∈（0，π）（Ⅰ）求cos（x﹣）的值；（Ⅱ）求sin（2x+）的值．【考点】两角和与差的正弦函数；两角和与差的余弦函数．【分析】（Ⅰ）由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinx的值，利用两角差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值即可计算得解cos（x﹣）的值．（Ⅱ）由（Ⅰ）利用二倍角公式可得sin2x，cos2x的值，利用两角和的正弦函数公式，特殊角的三角函数值即可计算得解sin（2x+）的值．【解答】解：（Ⅰ）∵cosx=﹣，x∈（0，π）∴sinx==，∴cos（x﹣）=×（﹣）+×=．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：sin2x=2sinxcosx=2×=﹣，cos2x=2cos2x﹣1=2×﹣1=﹣，∴sin（2x+）=sin2x+cos2x=（﹣）+×（﹣）=﹣．18．已知函数f（x）=2sinx（sinx+cosx）﹣1（其中x∈R），求：（1）函数f（x）的最小正周期；（2）函数f（x）的单调减区间；（3）函数f（x）图象的对称轴和对称中心．【考点】三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性．【分析】利用三角函数的恒等变换化简函数的解析式，再利用三角函数的周期性和求法，正弦函数的单调性以及它的图象的对称轴和对称中心，得出结论．【解答】解：由于函数f（x）=2sinx（sinx+cosx）﹣1=2sin2x+2sinxcosx﹣1=1﹣cos2x+sin2x﹣1=2sin（2x﹣），故（1）函数f（x）的最小正周期为=π．（2）令2kπ+≤2x﹣≤2kπ+，求得kπ+≤x≤kπ+，可得函数f（x）的单调减区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z．（3）令2x﹣=kπ+，求得x=+，可得函数f（x）图象的对称轴为x=+，k∈Z；2x﹣=kπ，求得x=+，可得函数f（x）图象的对称中心为（+，0），k∈Z．19．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．（Ⅰ）求△ABC的面积；（Ⅱ）求sin（C﹣A）的值．【考点】解三角形；余弦定理的应用．【分析】（Ⅰ）利用同角三角函数的基本关系式求出sinC，然后求△ABC的面积；（Ⅱ）通过余弦定理求出c，利用正弦定理求出sinA，同角三角函数的基本关系式求出cosA，利用两角和的正弦函数求sin（C﹣A）的值．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）在△ABC中，因为，所以．…所以，．…（Ⅱ）由余弦定理可得，c2=a2+b2﹣2ab•cosC==9所以，c=3．…又由正弦定理得，，所以，．…因为a＜b，所以A为锐角，所以，．…所以，sin（C﹣A）=sinC•cosA﹣cosC•sinA=．…20．在△ABC中，已知AB=AC=5，BC=6，M点是AC边上靠近A点的一个三等分点，试问：在线段BM（端点除外）上是否存在点P使得PC⊥BM？【考点】线段的定比分点．【分析】以B为原点，建立平面直角坐标系，求出各点的坐标，得到的坐标表示，假设存在点P（x，y）在线段BM上使得PC⊥BM，列方程组解出即可．【解答】解：如图所示，以B为原点，建立平面直角坐标系，作AD⊥BC，垂足为D：∴易得A（3，4），M（4，），C（6，0），∴=（4，），假设存在P（x，y）在线段BM上使得PC⊥BM，∴=（x﹣6，y），∴，解得：x=，y=；∴存在P（，）在BM上，使得CP⊥BM．xx年7月20日 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