广东省揭阳一中2014-2015学年高一下学期第一次阶段考试数学(文)试题

揭阳一中-第二期第一次阶段考试试题高一级数学科试题一、选择题：（本大题共有10小题，每小题5分，共50分） 1．若A(1，2)，B(－2，3)，C(4，y )在同一条直线上，则y 的值是 （ ）A ．21 B ．23 C ．1 D ．－12．直线l 与两直线y ＝1和x －y －7＝0分别交于A ，B 两点，若线段AB 的中点为 M （1，－1），则直线l 的斜率为 （ ） A ．23B ．32 C ．－23D ． －32 3．两直线330x y +-=与610x my ++=平行，则它们之间的距离为（ ）A ．4B C D 4．已知点(2,3),(3,2)A B --，若直线l 过点(1,1)P 与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是（ ）A ．34k ≥B ．324k ≤≤C ．324k k ≥≤或 D ．2k ≤ 5．点(1,2-a a )在圆x 2+y 2－2y －4=0的内部，则a 的取值范围是 （ ）A ．－1<a <1B ． 0<a <1C ．–1<a <51 D ．－51<a <1 6．过点A (1,－1)与B (－1，1)且圆心在直线x+y －2=0上的圆的方程为（ ）A ．(x －3)2+(y +1)2=4B ．(x －1)2+(y －1)2=4C ．(x +3)2+(y －1)2=4D ．(x +1)2+(y +1)2=4 7．圆2223x y x +-=与直线1y ax =+的交点的个数是 （ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．随a 值变化而变化8、设集合)}0()1()1(|),{(},4|),{(22222>≤-+-=≤+=r r y x y x N y x y x M 当N N M =⋂时，r 的取值范围是 （ ）A 、]12,0[-B 、]1,0[C 、]22,0(-D 、)2,0(9．已知半径为1的动圆与定圆22(5)(7)16x y -++=相切，则动圆圆心的轨迹方程是（ ） A ．22(5)(7)25x y -++=B ．22(5)(7)3x y -++= 或22(5)(7)15x y -++=图7C ．22(5)(7)9x y -++=D ．22(5)(7)25x y -++= 或22(5)(7)9x y -++=10．已知定义在实数集上的偶函数()x f y =在区间（0，+∞）上是增函数，那么⎪⎭⎫⎝⎛=31πf y ，()1223+=x f y 和⎪⎭⎫⎝⎛=41log 23f y 之间的大小关系为 ( ) A. y 1 < y 3 < y 2 B. y 1 <y 2< y 3 C. y 3 <y 1 <y 2 D. y 3 <y 2 <y 1 二、填空题：（本大题共有4个小题，每小题5分，共11、与直线5247=+y x 平行，并且距离等于3的直线方程是 12、圆：012222=+--+y x y x 上的点到直线2=-y x 的距离最大值是 13、若直线y x b =+与曲线x =b 的值为 14、在正三棱锥P —ABC 中，D 为PA 的中点，O 为△ABC 的中心，给出下列四个结论： ①OD∥平面PBC ； ②OD⊥PA；③OD⊥BC； ④PA=2OD. 其中正确结论的序号是 ．k k s s 55u u三、解答题：（本大题共6小题，共80分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（12分）求经过点A （-5，2）且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的2倍的直线方程； 16. （12分）已知函数xx a b y 22++=(a 、b 是常数且a >0，a ≠1)在区间[－23，0]上有y max =3，y min =25，试求a 和b 的值. 17. （14分）如图,四棱锥P —ABCD 的底面ABCD 为正方形， PD ⊥底面ABCD ，PD =AD . 求证：（1）平面PAC ⊥平面PBD ；（2）求PC 与平面PBD 所成的角； 18．（14分）一束光线l 自A （－3，3）发出，射到x 轴上，被x 轴反射到⊙C ：x 2＋y 2－4x －4y ＋7＝0上． （1）求反射线通过圆心C 时，光线l 的方程； （2）求在x 轴上，反射点M 的范围．19（14分）已知圆C ：x 2+y 2-2x+4y-4=0,问是否存在斜率是1的直线l ，使l 被圆C 截得的弦AB ，以AB 为直径的圆经过原点，若存在，写出直线l 的方程；若不存在，说明理由. 4分）如图7,.已知圆O ：221x y +=和定点A (2,1)，由圆O 外一点(,)P a b 向圆O 引切线PQ ，切点为Q ，且满足PQ PA =．(1) 求实数a 、b 间满足的等量关系；(2) 求线段PQ 长的最小值；(3) 若以P 为圆心所作的圆P 与圆O 有公共点，试求半径取最小值时圆P 的方程．）．已知圆22:-4-14450,C x y x y ++=及点(-2,3 )Q ．（1）(,1) P a a +在圆上，求线段PQ 的长及直线PQ 的斜率；k k s s 55u u （2）若M 为圆C 上任一点，求||MQ 的最大值和最小值； （3）若实数,m n 满足22-4-14450m n m n ++=,求-3=+2n K m 的最大值和最小值．揭阳一中-第二期第一次阶段考试试题高一级数学科试题答案一、选择题：1-5． CDDCD 6-10. BCCDA 二、填空题：11．080247=-+y x 或070247=++y x ；12．113．1-﹤1b ≤或b =；14．③④； 三、解答题：15. 解 ①当直线l 在x 、y 轴上的截距都为零时， 设所求的直线方程为y=kx, 将（-5，2）代入y=kx 中，得k=-52，此时，直线方程为y=-52x, 即2x+5y=0.②当横截距、纵截距都不是零时， 设所求直线方程为ay a x+2=1， 将（-5，2）代入所设方程， 解得a=-21，此时，直线方程为x+2y+1=0.综上所述，所求直线方程为x+2y+1=0或2x+5y=0. 16. 解：令u =x 2+2x =(x +1)2－1 x ∈[－23，0] ∴当x =－1时，u min =－1 当x =0时，u max =0 .233222223225310)2222531)10110⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⎩⎨⎧==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧=+=+<<⎩⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧=+=+>--b a b a b a a b a b a b a a b a b a 或综上得解得时当解得时当 k k s s 55u u 17. 解.(1)∵PD ⊥底面ABCD ，∴AC ⊥PD ，又∵底面ABCD 为正方形，∴AC ⊥BD ，而PD 与BD 交于点D ， ∴AC ⊥平面PBD ， 又AC ⊂平面PAC ，∴平面PAC ⊥平面PBD .（2）记AC 与BD 相交于O ，连结PO ，由（1）知，AC ⊥平面PBD ，∴PC 在平面PBD 内的射影是PO ，∴∠CPO 就是PC 与平面PBD 所成的角， k k s s 55u u∵PD =AD ,∴在Rt △PDC 中，PC =2CD ，而在正方形ABCD 中，OC =21AC =22 CD ，∴在Rt △POC 中，有∠CPO =30°.即PC 与平面PBD 所成的角为30°.18. 解： ⊙C ：(x －2)2＋(y －2)2＝1（Ⅰ）C 关于x 轴的对称点C ′(2，－2)，过A ，C ′的方程：x ＋y ＝0为光线l 的方程． （Ⅱ）A 关于x 轴的对称点A ′(－3，－3)，设过A ′的直线为y ＋3＝k (x ＋3)，当该直线与⊙C 相切时，有341133222=⇒=+-+-k k k k 或43=k k k s s 55u u∴过A ′，⊙C 的两条切线为)3(433),3(343+=++=+x y x y 令y ＝0，得1,4321=-=x xk k s s 55u u∴反射点M 在x 轴上的活动范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,4319. 解 假设存在直线l 满足题设条件，设l 的方程为y=x+m,圆C 化为（x-1）2+(y+2)2=9,圆心C （1，-2）， 则AB 中点N 是两直线x-y+m=0与y+2=-(x-1)的交点即N ⎪⎭⎫⎝⎛-+-21,21m m , 以AB 为直径的圆经过原点， ∴|AN|=|ON|，又CN ⊥AB ，|CN|=221m++，∴|AN|=2)3(92m +-.又|ON|=22)21()21(-++-m m ， 由|AN|=|ON|，解得m=-4或m=1.∴存在直线l ，其方程为y=x-4或y=x+1.解：（1）连,OP Q 为切点，PQ OQ ⊥，由勾股定理有222PQ OP OQ =-.又由已知PQ PA =，故22PQ PA =.即：22222()1(2)(1)a b a b +-=-+-.化简得实数a 、b 间满足的等量关系为：230a b +-=. （2）由230a b +-=，得23b a =-+.PQ ==故当65a =时，minPQ =即线段PQ解法2：由(1)知，点P 在直线l ：2x + y －3 = 0 上. ∴ | PQ |min = | PA |min ，即求点A 到直线 l 的距离.∴ | PQ |min = | 2×2 + 1－3 |2 2 + 1 2= 255 . （3）设圆P 的半径为R ，圆P 与圆O 有公共点，圆O 的半径为1，1 1.R OP R ∴-≤≤+即1R OP ≥-且1R OP ≤+.而OP ===故当65a =时，minOP =此时, 3235b a =-+=，min 1R.得半径取最小值时圆P 的方程为22263()()1)55x y -+-=．解法2： 圆P 与圆O 有公共点，圆P 半径最小时为与圆O 外切（取小者）的情形，而这时半径的最小值为圆心O 到直线l 的距离减去1，圆心P 为过原点与l 垂直的直线l ’ 与l 的交点P 0.r = 32 2 + 12－1 = 355 －1. 又 l ’：x －2y = 0,解方程组20,230x y x y -=⎧⎨+-=⎩，得6,535x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.即P 0( 65 ,35).∴ 所求圆方程为22263()()1)55x y -+-=.：（1）∵ 点P （a ，a +1）在圆上，∴ 045)1(144)1(22=++--++a a a a ， ∴ 4=a , P （4,5），∴ 102)35()24(||22=-++=PQ , K PQ ＝314253=---，（2）∵ 圆心坐标C 为（2,7）， ∴ 24)37()22(||22=-++=QC ，∴ 262224||max =+=MQ ，222224min ||=-=MQ 。

2015年广东省揭阳市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合A＝{4，5，6，8}，B＝{3，5，7，8}，则A∪B中元素的个数为（）A．5B．6C．7D．82．（5分）已知复数z＝（﹣8﹣7i）（﹣3i），则z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）“a＞b”是“a2＞b2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）双曲线﹣＝1（a＞0）的离心率为（）A．B．C．2D．5．（5分）已知＝（sinα，cosα），＝（﹣2，1），若⊥，则tanα的值为（）A．﹣2B．2C．D．6．（5分）已知函数y＝log a x（a＞0，a≠1）的图象经过点（2，），则其反函数的解析式为（）A．y＝4x B．y＝log4x C．y＝2x D．y＝（）x 7．（5分）某单位200名职工的年龄分布情况如图示，该单位为了解职工每天的睡眠情况，按年龄用分层抽样方法从中抽取40名职工进行调查．则应从40﹣50岁的职工中抽取的人数为（）A．8B．12C．20D．308．（5分）不等式组表示的平面区域的面积为（）A．14B．5C．3D．79．（5分）设l、m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题为真命题的是（）A．若m∥l，m∥α，则l∥αB．若m⊥α，l⊥m，则l∥αC．若α∥β，l⊥α，m∥β，则l⊥mD．若m⊂α，m∥β，l⊂β，l∥α，则α∥β10．（5分）对任意的a、b∈R，定义：min{a，b}＝；max{a，b}＝．则下列各式中恒成立的个数为（）①min{a，b}+max{a，b}＝a+b②min{a，b}﹣max{a，b}＝a﹣b③（min{a，b}）•（max{a，b}）＝a•b④（min{a，b}）÷（max{a，b}）＝a÷b．A．1B．2C．3D．4二、填空题：本大题共3小题，考生作答4小题，每小题5分，满分15分．（一）必做题（11-13题）11．（5分）不等式x2﹣3x﹣10＜0的解集为．12．（5分）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，若a＝3，∠B＝2∠A，cos A＝，则b＝．13．（5分）已知函数f（x）＝x3对应的曲线在点（a k，f（a k））（k∈N*）处的切线与x轴的交点为（a k+1，0），若a1＝1，则＝．（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）【坐标系与参数方程选做题】14．（5分）在极坐标系中，直线ρsin（θ+）＝2被圆ρ＝4截得的弦长为．【几何证明选讲选做题】15．如图，BE、CF分别为钝角△ABC的两条高，已知AE＝1，AB＝3，CF＝4，则BC边的长为．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（12分）已知函数f（x）＝2sin（ωx+）（ω＞0，x∈R）的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）若f（α）＝，α∈（0，），求cos2α的值．17．（12分）如图是某市今年1月份前30天空气质量指数（AQI）的趋势图．（1）根据该图数据在答题卷中完成频率分布表，并在图4中补全这些数据的频率分布直方图；（2）当空气质量指数（AQI）小于100时，表示空气质量优良．某人随机选择当月（按30天计）某一天到达该市，根据以上信息，能否认为此人到达当天空气质量优良的可能性超过60%？（图中纵坐标1/300即，以此类推）18．（14分）如图5，已知△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，AB＝，AB⊥平面BCD，E、F分别是AC、AD的中点．（1）求证：平面BEF⊥平面ABC；（2）设平面BEF∩平面BCD＝l，求证CD∥l；（3）求四棱锥B﹣CDFE的体积V．19．（14分）已知S n为数列{a n}的前n项和，S n＝na n﹣3n（n﹣1）（n∈N*），且a2＝12．（1）求a1的值；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）求证：++…+．20．（14分）已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，点P是直线y＝x与抛物线C在第一象限的交点，且|PF|＝5．（1）求抛物线C的方程；（2）设直线l：y＝kx+m与抛物线C有唯一公共点M，且直线l与抛物线的准线交于点Q，试探究，在坐标平面内是否存在点N，使得以MQ为直径的圆恒过点N？若存在，求出点N的坐标，若不存在，说明理由．21．（14分）已知函数f（x）＝ax，g（x）＝lnx，其中a∈R．（1）若函数F（x）＝f（x）﹣g（x），当a＝1时，求函数F（x）的极值；（2）若函数G（x）＝f（sin（x﹣1））﹣g（x）在区间（0，1）上为减函数，求a的取值范围；（3）证明：＜ln（n+1）．2015年广东省揭阳市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合A＝{4，5，6，8}，B＝{3，5，7，8}，则A∪B中元素的个数为（）A．5B．6C．7D．8【解答】解：∵A＝{4，5，6，8}，B＝{3，5，7，8}，∴A∪B＝{3，4，5，6，7，8}，故则A∪B中元素的个数为6个，故选：B．2．（5分）已知复数z＝（﹣8﹣7i）（﹣3i），则z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：复数z＝（﹣8﹣7i）（﹣3i）＝24i﹣21，则z在复平面内对应的点（﹣21，24）位于第二象限．故选：B．3．（5分）“a＞b”是“a2＞b2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若a＝1，b＝﹣1，满足a＞b，但a2＞b2不成立，若a＝﹣1，b＝0，满足a2＞b2，但a＞b不成立，故“a＞b”是“a2＞b2”的既不充分也不必要条件，故选：D．4．（5分）双曲线﹣＝1（a＞0）的离心率为（）A．B．C．2D．【解答】解：双曲线﹣＝1（a＞0）的b＝2a，c＝＝a，即有e＝＝．故选：A．5．（5分）已知＝（sinα，cosα），＝（﹣2，1），若⊥，则tanα的值为（）A．﹣2B．2C．D．【解答】解：∵＝（sinα，cosα），＝（﹣2，1），⊥，∴＝﹣2sinα+cosα＝0，∴cosα＝2sinα，∴tanα＝＝．故选：C．6．（5分）已知函数y＝log a x（a＞0，a≠1）的图象经过点（2，），则其反函数的解析式为（）A．y＝4x B．y＝log4x C．y＝2x D．y＝（）x 【解答】解：∵y＝log a x（a＞0，a≠1）的图象经过点（2，），∴，解得a＝4．∴y＝log4x，则x＝4y，把x，y互换得到函数y＝log4x的反函数为y＝4x．故选：A．7．（5分）某单位200名职工的年龄分布情况如图示，该单位为了解职工每天的睡眠情况，按年龄用分层抽样方法从中抽取40名职工进行调查．则应从40﹣50岁的职工中抽取的人数为（）A．8B．12C．20D．30【解答】解：由图表关系知，若抽取40名职工，则应从40﹣50岁的职工中抽取的人数为40×30%＝12，故选：B．8．（5分）不等式组表示的平面区域的面积为（）A．14B．5C．3D．7【解答】解：画出满足条件表示的平面区域，如图示：∴平面区域的面积是×4×＝7，故选：D．9．（5分）设l、m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题为真命题的是（）A．若m∥l，m∥α，则l∥αB．若m⊥α，l⊥m，则l∥αC．若α∥β，l⊥α，m∥β，则l⊥mD．若m⊂α，m∥β，l⊂β，l∥α，则α∥β【解答】解：对于A，若m∥l，m∥α，则l可能在α内，故A错误；对于B，若m⊥α，l⊥m，则l可能在α内，故B错误；对于C，若α∥β，l⊥α，得到l⊥β，结合m∥β，得到l⊥m；故C正确；对于D，若m⊂α，m∥β，l⊂β，l∥α，则α与β可能相交；故D错误；故选：C．10．（5分）对任意的a、b∈R，定义：min{a，b}＝；max{a，b}＝．则下列各式中恒成立的个数为（）①min{a，b}+max{a，b}＝a+b②min{a，b}﹣max{a，b}＝a﹣b③（min{a，b}）•（max{a，b}）＝a•b④（min{a，b}）÷（max{a，b}）＝a÷b．A．1B．2C．3D．4【解答】解：∵对任意的a、b∈R，定义：min{a，b}＝；max{a，b}＝，∴min{a，b}取a，b中的最小值，max{a，b}取a，b的最大值．∴min{a，b}，max{a，b}分别取出a，b中的一个最大值与一个最小值，∴min{a，b}+max{a，b}＝a+b，（min{a，b}）•（max{a，b}）＝a•b，故①③成立；若a≤b，则有：min{a，b}﹣max{a，b}＝a﹣b，若a＞b，则min{a，b}﹣max{a，b}＝b﹣a≠a﹣b，故③不一定成立；若a≤b，且b≠0，则有：（min{a，b}）÷（max{a，b}）＝a÷b，若a＞b，且a≠0，（min{a，b}）÷（max{a，b}）＝b÷a≠a÷b．故④不一定成立．故选：B．二、填空题：本大题共3小题，考生作答4小题，每小题5分，满分15分．（一）必做题（11-13题）11．（5分）不等式x2﹣3x﹣10＜0的解集为{x|﹣2＜x＜5}．【解答】解：不等式x2﹣3x﹣10＜0可化为（x﹣5）（x+2）＜0，解得﹣2＜x＜5；∴该不等式的解集为{x|﹣2＜x＜5}．故答案为：{x|﹣2＜x＜5}．12．（5分）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，若a＝3，∠B＝2∠A，cos A＝，则b＝2．【解答】解：△ABC中，由cos A＝，∠B＝2∠A，可得sin A＝，sin B＝sin2A ＝2sin A cos A＝2××＝．再由正弦定理可得＝，即＝，求得b＝2，故答案为：．13．（5分）已知函数f（x）＝x3对应的曲线在点（a k，f（a k））（k∈N*）处的切线与x轴的交点为（a k+1，0），若a1＝1，则＝3．【解答】解：由f'（x）＝3x2得曲线的切线的斜率，故切线方程为，令y＝0得，故数列{a n}是首项a1＝1，公比的等比数列，又＝，所以．故答案为：3．（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）【坐标系与参数方程选做题】14．（5分）在极坐标系中，直线ρsin（θ+）＝2被圆ρ＝4截得的弦长为4．【解答】解：∵ρsin（θ+）＝2，∴ρsinθ+ρcosθ＝2，化成直角坐标方程为：x+y﹣2＝0，圆ρ＝4化成直角坐标方程为x2+y2＝16，圆心到直线的距离为：∴截得的弦长为：2×＝．故答案为：．【几何证明选讲选做题】15．如图，BE、CF分别为钝角△ABC的两条高，已知AE＝1，AB＝3，CF＝4，则BC边的长为．【解答】解：依题意，AE＝1，AB＝3，得，因△BEA∽△CF A得，所以AF＝2，AC＝6，所以EC＝7，所以．故答案为：．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（12分）已知函数f（x）＝2sin（ωx+）（ω＞0，x∈R）的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）若f（α）＝，α∈（0，），求cos2α的值．【解答】解：（1）函数f（x）＝2sin（ωx+）（ω＞0，x∈R）的最小正周期为π，由得ω＝2；（2）由：得∵，∴，∴∴＝＝∴．17．（12分）如图是某市今年1月份前30天空气质量指数（AQI）的趋势图．（1）根据该图数据在答题卷中完成频率分布表，并在图4中补全这些数据的频率分布直方图；（2）当空气质量指数（AQI）小于100时，表示空气质量优良．某人随机选择当月（按30天计）某一天到达该市，根据以上信息，能否认为此人到达当天空气质量优良的可能性超过60%？（图中纵坐标1/300即，以此类推）【解答】解：（1）根据图中数据，列出频率分布表如下；根据频率分布表，画出频率分布直方图，如下；（2）由频率分布表知，该市本月前30天中空气质量优良的天数为2+5+7+5＝19，﹣﹣﹣（9分）∴此人到达当天空气质量优良的概率：；﹣﹣﹣（11分）∴可以认为此人到达当天空气质量优良的可能性超过60%．﹣﹣﹣（12分）18．（14分）如图5，已知△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，AB＝，AB⊥平面BCD，E、F分别是AC、AD的中点．（1）求证：平面BEF⊥平面ABC；（2）设平面BEF∩平面BCD＝l，求证CD∥l；（3）求四棱锥B﹣CDFE的体积V．【解答】（1）证明：∵AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD，又BC⊥CD，AB∩BC＝B，∴CD⊥平面ABC，又E、F分别是AC、AD的中点，∴EF∥CD．∴EF⊥平面ABC又EF⊂平面BEF，∴平面BEF⊥平面ABC．（2）证明：∵CD∥EF，CD⊄平面BEF，EF⊂平面BEF，∴CD∥平面BEF，又CD⊂平面BCD，且平面BEF∩平面BCD＝l，∴CD∥l．（2）解法1：由（1）知EF∥CD，∴△AEF～△ACD．∴，∴，∴＝．解法2：取BD中点G，连接FC和FG，则FG∥AB，∵AB⊥平面BCD，∴FG⊥平面BCD，由（1）知EF⊥平面ABC，∴V＝V F+V F﹣BCD＝＝﹣EBC．19．（14分）已知S n为数列{a n}的前n项和，S n＝na n﹣3n（n﹣1）（n∈N*），且a2＝12．（1）求a1的值；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）求证：++…+．【解答】（1）解：由S n＝na n﹣3n（n﹣1），得a1+a2＝2a2﹣3×2×（2﹣1），即a1＝a2﹣6，∵a2＝12，∴a1＝12﹣6＝6；（2）解：由S n＝na n﹣3n（n﹣1），得S n﹣1＝（n﹣1）a n﹣1﹣3（n﹣1）（n﹣2）（n≥2），两式作差得：a n＝na n﹣（n﹣1）a n﹣1﹣6n+6，即a n﹣a n﹣1＝6（n≥2）．∴数列{a n}是以6为首项，以6为公差的等差数列，∴a n＝6+6（n﹣1）＝6n；（3）证明：，则，∴++…+＝＝．20．（14分）已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，点P是直线y＝x与抛物线C在第一象限的交点，且|PF|＝5．（1）求抛物线C的方程；（2）设直线l：y＝kx+m与抛物线C有唯一公共点M，且直线l与抛物线的准线交于点Q，试探究，在坐标平面内是否存在点N，使得以MQ为直径的圆恒过点N？若存在，求出点N的坐标，若不存在，说明理由．【解答】解：（1）解法1：∵点P是直线y＝x与抛物线C在第一象限的交点，∴设点P（m，m）（m＞0），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）∵抛物线C的准线为，由|PF|＝5结合抛物线的定义得﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣①﹣﹣﹣﹣﹣（2分）又点P在抛物线C上，∴m2＝2pm（m＞0）⇒m＝2p．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣②﹣﹣﹣﹣﹣（3分）由①②联立解得p＝2，∴所求抛物线C的方程式为x2＝4y．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）[解法2：∵点P是直线y＝x与抛物线C在第一象限的交点，∴设点P（m，m）（m＞0），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）∵抛物线C的焦点为，由|PF|＝5得，即，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣①﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）又点P在抛物线C上，∴m2＝2pm（m＞0）⇒m＝2p．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣②﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）由①②联立解得p＝2，∴所求抛物线C的方程式为x2＝4y．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）]（2）解法1：由抛物线C关于y轴对称可知，若存在点N，使得以MQ为直径的圆恒过点N，则点N必在y轴上，设N（0，n），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）又设点，由直线l：y＝kx+m与抛物线C有唯一公共点M知，直线l 与抛物线C相切，由得，∴，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）∴直线l的方程为，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）令y＝﹣1得，∴Q点的坐标为，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）∵点N在以MQ为直径的圆上，∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）要使方程（*）对x0恒成立，必须有解得n＝1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）∴在坐标平面内存在点N，使得以MQ为直径的圆恒过点N，其坐标为（0，1）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）[解法2：设点M（x0，y0），由l：y＝kx+m与抛物线C有唯一公共点M知，直线l与抛物线相切，由得，∴，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）∴直线l的方程为，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）令y＝﹣1得，∴Q点的坐标为，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）∴以MQ为直径的圆方程为：﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣③﹣﹣﹣﹣（10分）分别令x0＝2和x0＝﹣2，由点M在抛物线C上得y0＝1，将x0，y0的值分别代入③得：（y﹣1）（y+1）+（x﹣2）x＝0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣④（y﹣1）（y+1）+（x+2）x＝0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣⑤④⑤联立解得或，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）∴在坐标平面内若存在点N，使得以MQ为直径的圆恒过点N，则点N必为（0，1）或（0，﹣1），将（0，1）的坐标代入③式得，左边＝＝2（1﹣y0）+2（y0﹣1）＝0＝右边，将（0，﹣1）的坐标代入③式得，左边＝不恒等于0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）∴在坐标平面内是存在点N，使得以MQ为直径的圆恒过点N，点N坐标为为（0，1）．﹣﹣（14分）21．（14分）已知函数f（x）＝ax，g（x）＝lnx，其中a∈R．（1）若函数F（x）＝f（x）﹣g（x），当a＝1时，求函数F（x）的极值；（2）若函数G（x）＝f（sin（x﹣1））﹣g（x）在区间（0，1）上为减函数，求a的取值范围；（3）证明：＜ln（n+1）．【解答】解：（1）∵当a＝1时，函数F（x）＝x﹣lnx，（x＞0）∴，令F'（x）＝0得x＝1，当x∈（0，1）时F'（x）＜0，当x∈（1，+∞）时，F'（x）＞0，即函数F（x）在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增，∴函数F（x）在x＝1处有极小值，＝1﹣ln1＝1．∴F（x）极小（2）解法1：∵函数G（x）＝f（sin（x﹣1））﹣g（x）＝a sin（x﹣1）﹣lnx在区间（0，1）上为减函数∴在（0，1）上恒成立在（0，1）上恒成立，设，则，当x∈（0，1）时，sin（x﹣1）＜0，cos（x﹣1）＞0∴H'（x）＜0在（0，1）上恒成立，即函数H（x）在（0，1）上单调递减，∴当x∈（0，1）时，H（x）＞H（1）＝1，∴a≤1．解法2：∵函数G（x）＝f（sin（x﹣1））﹣g（x）＝a sin（x﹣1）﹣lnx在区间（0，1）上为减函数∴对∀x∈（0，1），（*）恒成立，∵x∈（0，1），∴cos（x﹣1）＞0，当a≤0时，（*）式显然成立；当a＞0时，（*）式⇔在（0，1）上恒成立，设h（x）＝x cos（x﹣1），易知h（x）在（0，1）上单调递增，∴h（x）＜h（1）＝1，∴⇒0＜a≤1，综上得a∈（﹣∞，1]．（3）由（2）知，当a＝1时，G（x）＝sin（x﹣1）﹣lnx＞G（1）＝0，⇒sin（x ﹣1）＞lnx，（**）∵对∀k∈N*有，在（**）式中令得，∴＝，即．第21页（共21页）。

资料概述与简介 广东省揭阳一中2014-2015学年高一下学期第一次阶段考试语文试卷 说明：1.本试题共8页，150分。

时间为150分钟。

2.所有答案用黑色水笔或钢笔写在答题卷上。

一、本大题4小题，每题3分，共12分。

1．下列词语中加点的字，每对读音都不相同的一组是（） A．喧闹/煊赫业绩/污渍纤维/纤夫 B．效仿/发酵空旷/粗犷殉情徇私 。

当年国语课本定位极为明确： ①吸收现代文明 ②从而博纳多种价值和宽容各种思想 ③继承传统价值 ④不以强横的标准答案来桎梏学生 ⑤以母语教育为本A.⑤③①④②B.⑤①③②④C.④②⑤①③D.④⑤①③② 本大题小题，共分。

缦立远视，而望幸焉。

盘盘焉，囷囷焉 11.下面各项是对这首诗的赏析，理解有误的一项是（）。

（3分） 首句“丹阳郭里送行舟”，交代了送别的地点——丹阳的内外城之间，友人出行的方式 ——由水路乘船。

B.“一别心知两地秋”中，“秋”字表面写时令，实际上表达人的情绪，巧妙运用拆字法， 以“心”上“秋”说明愁绪。

C.“日晚”句写望中所见之景，指诗人独立江边遥望朋友去处不愿离去，直到很晚，暗示 思念时间之久，见出友情之深。

D. 诗人抒写他给韦参军送行以及送走之后的情景，感情真挚深厚，造语清丽流畅，读之余 味无穷。

12.诗中“寒鸦飞尽水悠悠”是怎样将诗人的感情表达得含蓄动人的？（4分） 【乙】阅读下面这首宋词，回答问题。

(10分) 鹧鸪天苏轼 林断山明竹隐墙，乱蝉衰草小池塘。

翻空白鸟时时见，照水红蕖细细香。

村舍外，古城旁，杖藜徐步转斜阳。

殷勤昨夜三更雨，又得浮生一日凉。

注：这首词为苏轼贬谪黄州时所作。

13.词的上片，从哪些角度来描写景物？写出了景物的什么特点？ (6分) 14.下片刻画出词人怎样的形象？蕴含了词人什么样的思想情感？(4分) 15．补写出下列古诗词中的空缺部分。

（12分，每空1分） （1），蓝田日暖玉生烟。

（2），百年多病独登台。

广东省揭阳市第一中学2014-2015学年高二下学期第一次阶段考试文科数学试题一、选择题：(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)．1．设全集U 是实数集R ，集合A ＝{y |y ＝3x ，x >0}，B ＝{x |y ＝2x －x 2}，则图中阴影部分所表示的集合是（ ）A ．{x |0≤x ＜1}B ．{x |0≤x ≤1}C ．{x | 1＜x ＜2}D ．{x | 1＜x ≤2}2．命题：“若x 2<1，则－1<x <1”的逆否命题是（ ）A ．若x 2≥1，则x ≥1或x ≤－1B ．若－1<x <1，则x 2<1C ．若x >1或x <－1，则x 2>1D ．若x ≥1或x ≤－1，则x 2≥1 3．如图所示的框图输出结果为（ ）A ．1023B ．1024C ．511D ．2047 4．函数f (x )=(x 2–2x )e x 的图像大致是（ ）A. B. C. D.5．设222,2,2x yx yM N P ++===0x y <<），则,,M N P 的大小关系为（ ） A ．M N P << B ．N P M << C ．P M N << D ．P N M <<6．观察各式：211=，22343++=，2345675++++=，2456789107++++++=，……，可以得出的一般结论是（ ）A ．2)23()2()1(n n n n n =-+⋅⋅⋅+++++ B ．2)12()23()2()1(-=-+⋅⋅⋅+++++n n n n n C ．2)13()2()1(n n n n n =-+⋅⋅⋅+++++ D ．2)12()13()2()1(-=-+⋅⋅⋅+++++n n n n nA ．B ．C ．D ．9．若关于x 的方程330x x m -+=在[02]，上有实根，则实数m 的取值范围是（ ）Ａ．[22]-， Ｂ．[02]， Ｃ．[20]-， Ｄ．(2)(2)-∞-+∞，，10．对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，()f x ''是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数3231()122f x x x x =-++，则)20142013()20142()20141(f f f +⋅⋅⋅++＝（ ） A ．1 B ．2 C ．2013 D ．2014二、填空题:(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上). 11．已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位．若(a ＋i )·(1＋i )＝bi ，则a ＋bi ＝________. 12．若函数在处取极值，则__________13．已知双曲线2213y x -=与抛物线22(0)y px p =>有一个公共的焦点，且两曲线的一个交点为M ，若||5MF =，则点M 的横坐标为 .14．记等差数列{}n a 的前n 项的和为n S ，利用倒序求和的方法得：1()2n n n a a S +=；类似地，记等比数列{}n b 的前n 项的积为n T ，且*0()n b n N >∈，试类比等差数列求和的方法，将n T 表示成首项1b 、末项n b 与项数n 的一个关系式，即n T = .三、解答题 (本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．（本小题满分12分）已知函数(x)f 22cos 2sin 4cos x x x =+-。

2014年广东省揭阳市高考数学一模试卷（文科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共10小题，共50.0分)1.若复数z满足：iz=3+4i，则z=( )A.-3-4iB.4+3iC.4-3iD.-4+3i【答案】C【解析】试题分析：由iz=2+4i，利用复数代数形式的除法运算可得结果．由iz=3+4i，得z===4-3i，故选：C．2.设函数f(x)=的定义域为M，则∁R M=( )A.(-∞，1)B.(1，+∞)C.(-∞，1]D.[1，+∞)【答案】D【解析】试题分析：根据函数成立的条件，求出函数的定义域，然后根据补集的定义即可得到结论．要使函数f(x)=有意义，则1-x＞0，即x＜1，∴函数的定义域M=(-∞，1)，则∁R M=[1，+∞)，故选：D．3.设平面α、β，直线a、b，a⊂α，b⊂α，则“a∥β，b∥β”是“α∥β”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】试题分析：根据面面平行的判断定理以及充分条件和必要条件的定义进行判断．根据面面平行的判定定理可知，当a，b不相交时，α∥β不成立，∴充分性不成立．若α∥β，则必有a∥β，b∥β，∴必要性成立．∴“a∥β，b∥β”是“α∥β”的必要不充分条件．故选：B．4.下列函数是偶函数，且在[0，1]上单调递增的是( )A.y=sin(x+)B.y=1-2cos22xC.y=-x2D.y=|sin(π+x)|【答案】D【解析】试题分析：利用正弦函数与余弦函数的单调性与奇偶性，对A、B、C、D四个选项逐一分析即可．A：∵y=f(x)=sin(x+)=cosx，满足f(-x)=f(x)，是偶函数，且在区间[0，π]上单调递减，∵[0，1]⊂[0，π]，∴y=sin(x+)在[0，1]上单调递减，故A错误；B：y=1-2cos22x=-cos4x，当x∈[0，1]时，4x∈[0，4]，4＞π，∴y=1-2cos22x在[0，1]上不单调，故B错误；C：y=-x2在[0，1]上单调递减，故C错误；D：y=g(x)=|sin(π+x)|=|-sinx|=|sinx|，g(-x)=|sin(-x)|=|sinx|=g(x)，∴y=|sin(π+x)|为偶函数，且在[0，]上单调递增，∵[0，1]⊂[0，]，∴y=|sin(π+x)|为偶函数，在[0，1]上单调递增，即D正确；故选：D．5.如图所示的程序框图，能使输入的x值与输出的y值相等的所有x值分别为( )A.1、2、3B.0、1C.0、1、3D.0、1、2、3、4【答案】C【解析】试题分析：算法的功能是求分段函数y=的值，分段求得输入的x值与输出的y值相等的x值，可得答案．由程序框图知，算法的功能是求分段函数y=的值，输入的x值与输出的y值相等，则当x≤2时，x=1或0；当2＜x≤5时，2x-3=x⇒x=3；当x＞5时，=x无解．综上x的值可能是0，1，3．故选：C．6.一简单组合体的三视图如图所示，则该组合体的体积为( )A.16-πB.12-4πC.12-2πD.12-π【答案】D【解析】试题分析：根据三视图可判断几何体是长方体中挖去一个半径为1的圆柱，由三视图的数据可得长方体的长、宽、高及圆柱的高，代入公式计算．由三视图知：几何体是长方体中挖去一个半径为1的圆柱，且圆柱与长方体的高都是1，长方体的长为2+1+1=4，宽为0.5+2+0.5=3，∴几何体的体积V=V长方体-V圆柱=4×3×1-π×12×1=12-π．故选：D．7.已知向量、满足||=1，||=，且(3-2)，则与的夹角为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：通过向量的垂直转化为向量的数量积的运算，求出角的大小即可．(3-2)，可得(3-2)，即=0，⇒==，cos==，∴=．故选：A．8.若x、y满足约束条件，则z=x+2y的取值范围是( )A.[0，4]B.[4，6]C.[2，4]D.[2，6]【答案】D【解析】试题分析：作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，利用数形结合即可得到结论．作出不等式组对应的平面区域如图：由z=x+2y得y=，平移直线y=，由图象可知当直线y=，经过点(2，0)时，直线y=的截距最小，此时z最小，最小值为z=2，经过点(2，2)时，直线y=的截距最大，此时z最大，最大值为z=6，即z的取值范围是[2，6]．故选：D9.以双曲线的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为120°，则双曲线的离心率为()A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：先根据双曲线对称性可推断出四边形为菱形利用一个内角为120°推断出=，进而利用a，b和c关系求得a和c的关系式，即双曲线的离心率．根据双曲线对称性可推断出四边形为菱形，∵内角为120°，∴=平方得：=又∵c2=a2+b2，所以1-=求得=，故选D10.从[0，10]中任取一个数x，从[0，6]中任取一个数y，则使|x-5|+|y-3|≤4的概率为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：作出不等式对应的平面区域，利用几何概型的概率公式即可得到结论结论．不等式|x-5|+|y-3|≤4对应的平面区域是图中阴影部分：∵0≤x≤10，0≤y≤6，∴根据几何概型的概率公式可得所求的概率为阴影，故选：A二、填空题(本大题共5小题，共25.0分)11.若点(a，27)在函数y=3x的图象上，则tan的值为．【答案】【解析】试题分析：根据点与曲线的关系求出a的值，然后代入即可得到三角值．∵点(a，27)在函数y=3x的图象上，∴3a=27=33，即a=3．则tan=tan，故答案为：12.根据某固定测速点测得的某时段内过往的100辆机动车的行驶速度(单位：km/h)绘制的频率分布直方图如图所示．该路段限速标志牌提示机动车辆正常行驶速度为60km/h～120km/h，则该时段内过往的这100辆机动车中属非正常行驶的有辆，图中的x值为．【答案】15;0.0175【解析】试题分析：利用频率等于纵坐标乘以组距求出正常行驶的频率；利用所有的频率和为1，求出非正常行驶的频率；利用频数等于频率乘以样本容量求出这100辆汽车中非正常行驶的汽车的辆数．利用频数除组距得到x的值．由直方图可知，x的值=[1-(0.0025+0.0100+0.0050+0.0150)×20]÷20=0.0175，因此正常行驶在60km/h～120km/h的频率为20×(0.0100+0.0150+0.0175)=0.85，非正常行驶的频率有1-0.85=0.15；所以这100辆汽车中非正常行驶的汽车有100×0.15=15(辆)，故答案为：15；0.0175．13.设曲线y=x n+1(n∈N*)在点(1，1)处的切线与x轴的交点的横坐标为x n，令a n=lgx n，则a1+a2+…+a99的值为．【答案】-2【解析】试题分析：由曲线y=x n+1(n∈N*)，知y′=(n+1)x n，故f′(1)=n+1，所以曲线y=x n+1(n∈N*)在(1，1)处的切线方程为y-1=(n+1)(x-1)，该切线与x轴的交点的横坐标为x n=，故a n=lgn-lg(n+1)，由此能求出a1+a2+…+a99．∵曲线y=x n+1(n∈N*)，∴y′=(n+1)x n，∴f′(1)=n+1，∴曲线y=x n+1(n∈N*)在(1，1)处的切线方程为y-1=(n+1)(x-1)，该切线与x轴的交点的横坐标为x n=，∵a n=lgx n，∴a n=lgn-lg(n+1)，∴a1+a2+…+a99=(lg1-lg2)+(lg2-lg3)+(lg3-lg4)+(lg4-lg5)+(lg5-lg6)+…+(lg99-lg100 )=lg1-lg100=-2．故答案为：-2．14.已知直线l：(t为参数且t∈R)与曲线C：(α是参数且α∈[0，2π))，则直线l与曲线C的交点坐标为．【答案】(1，3)【解析】15.如图，AB是半圆的直径，C是AB延长线上一点，CD切半圆于点D，CD=2，DE⊥AB，垂足为E，且E是OB的中点，则BC的长为．【答案】【解析】试题分析：连接OD、BD，由题目中条件：“DE⊥AB，垂足为E，且E是OB的中点”可得三角形BOD是等边三角形，再在直角三角形OCD中，可得OD的长，最后根据题中圆的切线条件再依据切割线定理求得BC的长．连接OD、BD，．三、解答题(本大题共6小题，共75.0分)16.已知函数f(x)=+2sinx．(1)求函数f(x)的定义域和最小正周期；(2)若f(α)=2，α∈[0，π]，求f(α+)的值．【答案】(1)∵sinx≠0解得x≠kπ(k∈Z)，∴函数f(x)的定义域为{x|x≠kπ(k∈Z)}∵f(x)=+2sinx=2cosx+2sinx=2sin(+x)∴f(x)的最小正周期T==2π(2)∵f(α)=2，∴cosα+sinα=1，∴(cosα+sinα)2=1，即2sinαcosα=0，∵α∈[0，π]，且sinα≠0，∴α=∴f(α+)=2sin(+α+)=2sin=【解析】(1)由sinx≠0，即可求得f(x)的定义域，利用三角恒等变换可求得f(x)=2sin(+x)，从而可求其最小正周期；(2)由f(α)=2，α∈[0，π]，可求得α=，于是可求得f(α+)的值．17.如图是某市2月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数(AQI)小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择2月1日至2月12日中的某一天到达该市，并停留3天．(1)求此人到达当日空气质量优良的概率；(2)求此人停留期间至多有1天空气重度污染的概率．【答案】(1)在2月1日至2月12日这12天中，只有5日、8日共2天的空气质量优良，∴此人到达当日空气质量优良的概率．(2)根据题意，事件“此人在该市停留期间至多有1天空气重度污染”，即“此人到达该市停留期间0天空气重度污染或仅有1天空气重度污染”．“此人在该市停留期间0天空气重度污染”等价于“此人到达该市的日期是4日或8日或9日”．其概率为，“此人在该市停留期间仅有1天空气重度污染”等价于“此人到达该市的日期是3日或5日或6日或7日或10日”．其概率为，∴此人停留期间至多有1天空气重度污染的概率为．P=．【解析】(1)由图查出13天内空气质量指数小于100的天数，直接利用古典概型概率计算公式得到答案；(2)用列举法写出此人在该市停留两天的空气质量指数的所有情况，查出仅有一天是重度污染的情况，然后直接利用古典概型概率计算公式得到答案．18.如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，侧棱SA⊥底面ABCD，过A作AE垂直SB 交SB于E点，作AH垂直SD交SD于H点，平面AEH交SC于K点，P是SA上的动点，且AB=1，SA=2．(1)试证明不论点P在何位置，都有DB⊥PC；(2)求PB+PH的最小值；(3)设平面AEKH与平面ABCD的交线为l，求证：BD∥l．【答案】(1)证明：∵底面ABCD是正方形∴DB⊥AC，∵SA⊥底面ABCD，BD⊂面ABCD，∴DB⊥SA，又SA∩AC=A∴BD⊥平面SAC，∵不论点P在何位置都有PC⊂平面SAC，∴DB⊥PC．(2)将侧面SAB绕侧棱SA旋转到与侧面SAD在同一平面内，如图示，则当B、P、H三点共线时，PB+PH取最小值，这时，PB+PH的最小值即线段BH的长，设∠HAD=α，则∠BAH=π-α，在rt△AHD中，∵，∴，在三角形BAH中，有余弦定理得：BH2=AB2+AH2-2AB•AH cos(π-α)=，∴(．(3)连结EH，∵AB=AD，SA=SA，∴R t△SAB≌R t△SAD，∴SB=SD，又∵AE⊥SB，AH⊥SD，∴AE=AH，∴R t△SEA≌R t△SAH，∴SE=SH，∴，∴EH∥BD又∵EH⊂面AEKH，BD⊈面AEKH，∴BD∥面AEKH．∵平面AEKH∩平面ABCD=l，∴BD∥l【解析】对于(1)既然不论点P在SA上何位置，都有DB⊥PC，那应该有BD⊥面SAC；对于(2)需要将PB+PH的表达式用函数表示出来对于(3)利用线面平行的性质定理和判定定理19.已知曲线C的方程为：ax2+ay2-2a2x-4y=0(a≠0，a为常数)．(1)判断曲线C的形状；(2)设曲线C分别与x轴、y轴交于点A、B(A、B不同于原点O)，试判断△AOB的面积S是否为定值？并证明你的判断；(3)设直线l：y=-2x+4与曲线C交于不同的两点M、N，且|OM|=|ON|，求曲线C的方程．【答案】(1)将曲线C的方程化为可知曲线C是以点(a，)为圆心，以为半径的圆．(2)△AOB的面积S为定值．证明如下：在曲线C的方程中令y=0得ax(x-2a)=0，得点A(2a，0)，在曲线C的方程中令x=0得y(ay-4)=0，得点B(0，)，∴S=|OA||OB|=|2a|||=4(为定值)(3)∵圆C过坐标原点，且|OM|=|ON|，∴圆心(a，)在MN的垂直平分线上，∴=，∴a=±2，当a=-2时，圆心坐标为(-2，-1)，圆的半径为，圆心到直线l：y=-2x+4的距离d==＞，直线l与圆C相离，不合题意舍去，∴a=2，这时曲线C的方程为x2+y2-4x-2y=0．【解析】(1)把方程化为圆的标准方程，可得结论；(2)求出A，B的坐标，即可得出△AOB的面积S为定值；(3)由圆C过坐标原点，且|OM|=|ON|，可得圆心(a，)在MN的垂直平分线上，从而求出a，再判断a=-2不合题意即可．20.已知正项数列{a n}满足：a n2-(n2+n-1)a n-(n2+n)=0(n∈N+)，数列{b n}的前n项和为S n，且满足b1=1，2S n=1+b n(n∈N+)．(1)求数列{a n}和{b n}的通项公式；(2)设c n=，数列{c n}的前n项和为T n，求证：T2n＜1．【答案】(1)∵a n2-(n2+n-1)a n-(n2+n)=0，∴[a n-(n2+n)](a n+1)=0．∵{a n}是正项数列，∴．∵2S n=1+b n，∴当n≥2时，2S n-1=1+b n-1，两式相减得b n=-b n-1，∴数列{b n}是首项为1，公比-1的等比数列，∴，(2)证明：∵c n==(-1)n-1•，∴c2n-1+c2n====，∴T2n=(c1+c2)+(c3+c4)+…+(c2n-1+c2n)==1-＜1．【解析】(1)由已知条件推导出[a n-(n2+n)](a n+1)=0，由此能求出；由2S n=1+b n，得b n=-b n-1，由此能求出．(2)由c n=(-1)n-1•，推导出c2n-1+c2n=，由此利用裂项求和法能证明T2n=1-＜1．21.已知函数f(x)=alnx+1，g(x)=x2+-1，(a，b∈R)．(1)若曲线y=g(x)在点(1，g(1))处的切线平行于x轴，求b的值；(2)当a＞0时，若对∀x∈R(1，e)，f(x)＞x恒成立，求实数a的取值范围；(3)设p(x)=f(x)+g(x)，在(1)的条件下，证明当a≤0时，对任意两个不相等的正数x1，x2，有＞p()．【答案】(1)∵g'(x)=2x-，由曲线y=g(x)在点(1，g(1))处的切线平行于x轴，得g'(1)=2-b=0，解得b=2；(2)令h(x)=f(x)-x=alnx+1-x，则h'(x)=，当a≥e时，h'(x)＞0，函数h(x)在(1，e)上是增函数，有h(x)＞h(1)=0，即f(x)＞x；当1＜a＜e时，∵函数h(x)在(1，a)上递增，在(a，e)上递减，对∀x∈(1，e)，f(x)＞x恒成立，只需h(e)≥0，即a≥e-1，∴e-1≤a＜e．当a≤1时，函数h(x)在(1，e)上递减，对∀x∈(1，e)，要使f(x)＞x恒成立，只需h(e)≥0，而h(e)=a+1-e＜0，不合题意；综上得对∀x∈(1，e)，f(x)＞x恒成立，a≥e-1．(3)由p(x)=x2++alnx，得=+()+=++aln，p()=++aln，由得2＞⇒＞①，又+2x1x2＞4x1x2，∴＞，②∵，∴ln＜ln，∵a≤0，∴aln≥aln，③由①、②、③得++aln＞++aln，即＞p()．【解析】(1)由曲线y=g(x)在点(1，g(1))处的切线平行于x轴，得g'(1)=2，可得b的方程，解出即可；(2)令h(x)=f(x)-x=alnx+1-x，则对∀x∈R(1，e)，f(x)＞x恒成立，有h(x)min＞0，求导数h'(x)=，分a≥e，1＜a＜e，a≤1三种情况进行讨论，结合单调性可得最小值，从而得a的不等式，解出可得；(3)易得p(x)=x2++alnx，表示出=++aln，p()=++aln，分别利用不等式可证明＞①，＞，②aln≥aln，③由三式可得结论；。

揭阳一中2014-2015学年度第二学期期中考试高一数学（文）科试题一．选择题（每小题5分，共50分，每小题只有一个选项是正确的）1.错误!未找到引用源。

的值为（）A.错误!未找到引用源。

B. 错误!未找到引用源。

C.错误!未找到引用源。

D. 错误!未找到引用源。

2.半径为1cm，圆心角为错误!未找到引用源。

的角所对的弧长为（）cmA．错误!未找到引用源。

B．错误!未找到引用源。

C．错误!未找到引用源。

D．错误!未找到引用源。

3．若向量错误!未找到引用源。

，错误!未找到引用源。

，错误!未找到引用源。

错误!未找到引用源。

，则实数错误!未找到引用源。

( )A．错误!未找到引用源。

B. 错误!未找到引用源。

C. 错误!未找到引用源。

D. 错误!未找到引用源。

u u u r 4.在错误!未找到引用源。

中，错误!未找到引用源。

若点D满足错误!未找到引用源。

，则AD （）A．错误!未找到引用源。

B．错误!未找到引用源。

C．错误!未找到引用源。

D．错误!未找到引用源。

5．已知函数错误!未找到引用源。

的图象与函数错误!未找到引用源。

的图象关于直线错误!未找到引用源。

对称，则错误!未找到引用源。

的值为（）A．9 B．错误!未找到引用源。

C．错误!未找到引用源。

D．错误!未找到引用源。

6. 直线错误!未找到引用源。

与圆错误!未找到引用源。

相交于错误!未找到引用源。

、错误!未找到引用源。

两点，且弦错误!未找到引用源。

的长为错误!未找到引用源。

，则错误!未找到引用源。

（）A．错误!未找到引用源。

B．错误!未找到引用源。

C．错误!未找到引用源。

D．错误!未找到引用源。

7．若错误!未找到引用源。

的值为（）A. 错误!未找到引用源。

B.错误!未找到引用源。

C.错误!未找到引用源。

D.错误!未找到引用源。

8.如图，在程序框图中，若输入错误!未找到引用源。

，则输出错误!未找到引用源。

的值是（）A．错误!未找到引用源。

B．错误!未找到引用源。

广东省揭阳一中2014年春学期高一第一次阶段考试数学试卷，有答案一、选择题：（每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）1.若直线的倾斜角为120︒，则直线的斜率为（ ）A ． D ．-2．已知直线a //平面α，直线b ⊂平面α，则（）． A ．a //b B ．a 与b 异面 C ．a 与b 相交 D ．a 与b 无公共点3．已知222125log 5,log 7,log 7a b ===则 （ ） A ．3a b - B ．3a b - C ．3a b D ．3a b4．圆22(2)4x y ++=与圆22(2)(1)9x y -+-=的位置关系为 （ ）A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离5.圆锥的表面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为（ ）A ．120︒B ．150︒C ．180︒D ．240︒6．设n m ,是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，给出下列条件，能得到m β⊥的是（ ）A ．,m αβα⊥⊂B ．,m ααβ⊥⊥C ．,m n n β⊥⊂D ．//,m n n β⊥7．过点(1,1)P 的直线,将圆形区域{}22(,)|4x y x y +≤分两部分,使得这两部分的面积之差最大,则该直线的方程为（ ）A ．20x y +-=B ．10y -=C ．0x y -=D ．340x y +-= 8．已知直线l 过定点(1,2)P -，且与以(2,3)A --，(4,5)B -为端点的线段（包含端点）有交点，则直线l 的斜率k 的取值范围是（ ）A ．[]1,5-B ．()1,5-C ．(][)15,-∞-+∞ ，D ．()1(5,)-∞-+∞ ，9．直线y x b =+与曲线x =1个公共点，则b 的取值范围是（ ）A ．b =．11b -<≤或b =C ．11b -≤≤D ．11b -≤≤ 或b =10 ．若圆2244100x y x y +---=上至少有三个不同点到直线l :0ax by +=的距离为则直线l 的斜率的取值范围是 ( )A.[2]B.22⎡+⎣ D.[0,)+∞ 二、填空题：（本大题4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答卷上）11. 点()1,1,2P -关于xoy 平面的对称点的坐标是 ．12．无论m 为何值，直线l ：（2m+1）x+（m+1）y ﹣7m ﹣4=0恒过一定点P ，则点P 的坐标为 ．13.光线从A (1，0) 出发经y 轴反射后到达圆2266170x y x y +--+=所走过的最短路程为 ．14. 已知圆221:1C x y +=与圆()()222:241C x y -+-=，过动点(),P a b 分别作圆1C 、圆2C 的切线PM 、(PN M 、N 分别为切点），若PM PN =,则22a b +最小值是 ．三、解答题：（本大题共6题，满分80分） 15．(本小题满分12分)已知直线l 经过直线3x ＋4y －2＝0与直线2x ＋y ＋2＝0的交点P ，且垂直于直线x －2y －1＝0 ．（1）求直线l 的方程； （2）求直线l 关于原点O 对称的直线方程。

2014-2015学年广东省揭阳一中、潮州金山中学、广大附中联考高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设全集U={﹣1，﹣2，﹣3，﹣4，0}，集合A={﹣1，﹣2，0}，B={﹣3，﹣4，0}，则（∁U A）∩B=（）A．{0}B．{﹣3，﹣4}C．{﹣1，﹣2}D．∅2．（5分）已知点P（cosα，tanα）在第三象限，则角α的终边在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）下列四个函数中，既是奇函数又在定义域上单调递增的是（）A．y=x﹣1 B．y=tanx C．y=x3 D．y=log2x4．（5分）已知函数f（x）=，若f（1）=f（﹣1），则实数a的值等于（）A．2 B．3 C．4 D．55．（5分）下列函数中，周期为π，且在[，]上为增函数的是（）A．y=sin（x+）B．y=cos（x﹣） C．y=﹣sin（2x﹣π）D．y=cos（2x+π）6．（5分）如图，在△ABC中，=2，记=，=，则=（）A． B． C． D．7．（5分）设l是直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l∥α，l⊥β，则α⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β8．（5分）若实数x，y满足条件，则2x+y的最大值是（）A．8 B．2 C．4 D．79．（5分）若0≤x≤2，则f（x）=的最大值（）A．B．2 C．D．10．（5分）定义在R上的函数f（x），若对任意x1≠x2，都有x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1），则称f（x）为“Z函数”，给出下列函数：①y=x3﹣x2+x﹣2；②y=2x﹣（sinx+cosx）；③y=e x+1；④f（x）=其中是“Z函数”的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4二．填空题：本大题共3小题，考生作答4小题，每小题5分，满分15分．（一）必做题（11～13题）11．（5分）在△ABC中，角A、B、C所对边的长分别是a、b、c，a=2，b=3，C=60°，则△ABC的面积为．12．（5分）若sin（﹣θ）=，则cos（+2θ）的值为．13．（5分）已知函数f（x）=x2﹣2x，g（x）=ax+2（a＞0），若∀x1∈[﹣1，2]，∃x2∈[﹣1，2]，使得f（x1）=g（x2），则实数a的取值范围是．一、选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）几何证明选讲选做题14．（5分）如图，已知点D在圆O直径AB的延长线上，过D作圆O的切线，切点为C．若CD=，BD=1，则圆O的面积为．一、坐标系与参数方程选做题15．在直角坐标系xOy中，曲线l的参数方程为（t为参数）；以原点O 为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系ρOθ，则曲线l的极坐标方程为．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（12分）已知向量=（sinθ，﹣）与=（1，cosθ）（Ⅰ）若与互相垂直，求tanθ的值（Ⅱ）若||=||，求sin（+2θ）的值．17．（12分）在直角坐标系xOy中，已知点A（1，1），B（2，3），C（3，2），点P（x，y）在△ABC三边围成的区域（含边界）上．（Ⅰ）若++=，求||；（Ⅱ）设=m+n（m，n∈R），用x，y表示m﹣n，并求m﹣n的最大值．18．（14分）已知f（x）=sin4x﹣cos4x+2sinxcosx+a（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）把y=f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把所得图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到y=g（x）的图象，求函数y=g（x）的解析式；（Ⅲ）y=g（x）在[0，]上最大值与最小值之和为3，求a的值．19．（14分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，PA=PD，∠BAD=60°，E是AD的中点，点Q在侧棱PC上．（Ⅰ）求证：AD⊥平面PBE；（Ⅱ）若Q是PC的中点，求证：PA∥平面BDQ；（Ⅲ）若V P=2V Q﹣ABCD，试求的值．﹣BCDE20．（14分）已知函数m（x）=x3﹣﹣3ax（1）若函数f（x）=m（x）﹣h（x）在x=1处取得极值，求实数a的值；（2）若函数f（x）=m（x）﹣h（x）在（﹣∞，+∞）不单调，求实数a的取值范围；（3）判断过点可作曲线f（x）=m（x）+﹣3x多少条切线，并说明理由．21．（14分）已知函数f（x）=lnx+﹣kx，其中常数k∈R．（1）求f（x）的单调增区间与单调减区间；（2）若f（x）存在极值且有唯一零点x0，求k的取值范围及不超过的最大整数m．2014-2015学年广东省揭阳一中、潮州金山中学、广大附中联考高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设全集U={﹣1，﹣2，﹣3，﹣4，0}，集合A={﹣1，﹣2，0}，B={﹣3，﹣4，0}，则（∁U A）∩B=（）A．{0}B．{﹣3，﹣4}C．{﹣1，﹣2}D．∅【解答】解：∵A={﹣1，﹣2，0}，B={﹣3，﹣4，0}，∴C U A={﹣3，﹣4}，∴（C U A）∩B={﹣3，﹣4}．故选：B．2．（5分）已知点P（cosα，tanα）在第三象限，则角α的终边在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：点P（cosα，tanα）在第三象限，所以，cosα＜0角α的终边在第二、三象限．ta nα＜0角α的终边在第二、四象限．∴角α的终边在第二象限．故选：B．3．（5分）下列四个函数中，既是奇函数又在定义域上单调递增的是（）A．y=x﹣1 B．y=tanx C．y=x3 D．y=log2x【解答】解：y=x﹣1非奇非偶函数，故排除A；y=tanx为奇函数，但在定义域内不单调，故排除B；y=log2x单调递增，但为非奇非偶函数，故排除D；令f（x）=x3，定义域为R，关于原点对称，且f（﹣x）=（﹣x）3=﹣x3=﹣f（x），所以f（x）为奇函数，又f（x）在定义域R上递增，故选：C．4．（5分）已知函数f（x）=，若f（1）=f（﹣1），则实数a的值等于（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：∵f（x）=，f（1）=f（﹣1），∴a=1﹣（﹣1）=2．故选：A．5．（5分）下列函数中，周期为π，且在[，]上为增函数的是（）A．y=sin（x+）B．y=cos（x﹣） C．y=﹣sin（2x﹣π）D．y=cos（2x+π）【解答】解：∵函数的周期为π，∴排除A，B．∵y=﹣sin（2x﹣π）=sin2x，∴在[，]上不是单调函数．y=cos（2x+π）=﹣cos2x，满足在[，]上为增函数，故选：D．6．（5分）如图，在△ABC中，=2，记=，=，则=（）A． B． C． D．【解答】解：根据题意，得；=﹣=﹣，==（﹣），∴=+=+（﹣）=+．故选：A．7．（5分）设l是直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l∥α，l⊥β，则α⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β【解答】解：对于A．若l∥α，l∥β，则α∥β或α，β相交，故A错；对于B．若l∥α，l⊥β，则由线面平行的性质定理，得过l的平面γ∩α=m，即有m∥l，m⊥β，再由面面垂直的判定定理，得α⊥β，故B对；对于C．若α⊥β，l⊥α，则l∥β或l⊂β，故C错；对于D．若α⊥β，l∥α，若l平行于α，β的交线，则l∥β，故D错．故选：B．8．（5分）若实数x，y满足条件，则2x+y的最大值是（）A．8 B．2 C．4 D．7【解答】解：由题意作出其平面区域，令z=2x+y，化为y=﹣2x+z，z相当于直线y=﹣2x+z的纵截距，则解得，x=3，y=1；则2x+y的最大值是为6+1=7，故选：D．9．（5分）若0≤x≤2，则f（x）=的最大值（）A．B．2 C．D．【解答】解：∵0≤x≤2，∴f（x）===，∴当x=时，函数f（x）取得最大值为=，故选：D．10．（5分）定义在R上的函数f（x），若对任意x1≠x2，都有x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1），则称f（x）为“Z函数”，给出下列函数：①y=x3﹣x2+x﹣2；②y=2x﹣（sinx+cosx）；③y=e x+1；④f（x）=其中是“Z函数”的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：∵对于任意给定的不等实数x1，x2，不等式x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1）恒成立，∴不等式等价为（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0恒成立，即函数f（x）是定义在R上的增函数．①y=﹣x3﹣x2+x﹣2；y'=x2﹣2x+1=（x﹣1）2，则函数在定义域上单调递增．②y=2x﹣（sinx+cosx）；y'=2﹣（cosx﹣sinx）=2+sin（x﹣）＞0，函数单调递增，满足条件．③y=e x+1为增函数，满足条件．④f（x）=，当x＞0时，函数单调递增，当x＜0时，函数单调递减，不满足条件．故选：C．二．填空题：本大题共3小题，考生作答4小题，每小题5分，满分15分．（一）必做题（11～13题）11．（5分）在△ABC中，角A、B、C所对边的长分别是a、b、c，a=2，b=3，C=60°，则△ABC的面积为．【解答】解：△ABC的面积S===．故答案为：．12．（5分）若sin（﹣θ）=，则cos（+2θ）的值为﹣．【解答】解：由于sin（﹣θ）=，则cos（+θ）=sin（﹣θ）=，则有cos（+2θ）=cos2（+θ）=2cos2（+θ）﹣1=2×（）2﹣1=﹣．故答案为：﹣．13．（5分）已知函数f（x）=x2﹣2x，g（x）=ax+2（a＞0），若∀x1∈[﹣1，2]，∃x2∈[﹣1，2]，使得f（x1）=g（x2），则实数a的取值范围是[3，+∞）．【解答】解：当∀x1∈[﹣1，2]时，由f（x）=x2﹣2x得，对称轴是x=1，f（1）=﹣1是函数的最小值，且f（﹣1）=3是函数的最大值，∴f（x1）=[﹣1，3]，又∵任意的x1∈[﹣1，2]，都存在x2∈[﹣1，2]，使得f（x1）=g（x2），∴当x2∈[﹣1，2]时，g（x2）⊇[﹣1，3]．∵a＞0，g（x）=ax+2是增函数，∴，解得a≥3．综上所述实数a的取值范围是[3，+∞）．故答案为：[3，+∞）．一、选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）几何证明选讲选做题14．（5分）如图，已知点D在圆O直径AB的延长线上，过D作圆O的切线，切点为C．若CD=，BD=1，则圆O的面积为π．【解答】解：∵点D在圆O直径AB的延长线上，过D作圆O的切线，切点为C．CD=，BD=1，∴CD2=BD•DA，解得DA===3，∴AB=3﹣1=2，∴圆O的面积S==π．故答案为：π．一、坐标系与参数方程选做题15．在直角坐标系xOy中，曲线l的参数方程为（t为参数）；以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系ρOθ，则曲线l的极坐标方程为ρ（sinθ﹣cosθ）=3．【解答】解：由（t为参数），得y=x+3，令x=ρcosθ，y=ρsinθ，代入并整理得ρ（sinθ﹣cosθ）=3．即曲线l的极坐标方程是ρ（sinθ﹣cosθ）=3．故答案为：ρ（sinθ﹣cosθ）=3．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（12分）已知向量=（sinθ，﹣）与=（1，cosθ）（Ⅰ）若与互相垂直，求tanθ的值（Ⅱ）若||=||，求sin（+2θ）的值．【解答】解：（Ⅰ）∵=（sinθ，﹣）与=（1，cosθ），且与互相垂直，∴=，∴（Ⅱ）∵，∴，∴，∴，，∴17．（12分）在直角坐标系xOy中，已知点A（1，1），B（2，3），C（3，2），点P（x，y）在△ABC三边围成的区域（含边界）上．（Ⅰ）若++=，求||；（Ⅱ）设=m+n（m，n∈R），用x，y表示m﹣n，并求m﹣n的最大值．【解答】解：（Ⅰ）∵A（1，1），B（2，3），C（3，2），++=，∴（1﹣x，1﹣y）+（2﹣x，3﹣y）+（3﹣x，2﹣y）=0∴3x﹣6=0，3y﹣6=0∴x=2，y=2，即=（2，2）∴（Ⅱ）∵A（1，1），B（2，3），C（3，2），∴，∵=m+n，∴（x，y）=（m+2n，2m+n）∴x=m+2n，y=2m+n∴m﹣n=y﹣x，令y﹣x=t，由图知，当直线y=x+t过点B（2，3）时，t取得最大值1，故m﹣n的最大值为1．18．（14分）已知f（x）=sin4x﹣cos4x+2sinxcosx+a（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）把y=f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把所得图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到y=g（x）的图象，求函数y=g（x）的解析式；（Ⅲ）y=g（x）在[0，]上最大值与最小值之和为3，求a的值．【解答】解：（Ⅰ）∵==．∴f（x）的最小正周期．（Ⅱ）．所以函数．（Ⅲ）∵∴，即，∴2a+3=3即a=0．19．（14分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，PA=PD，∠BAD=60°，E是AD的中点，点Q在侧棱PC上．（Ⅰ）求证：AD⊥平面PBE；（Ⅱ）若Q是PC的中点，求证：PA∥平面BDQ；（Ⅲ）若V P=2V Q﹣ABCD，试求的值．﹣BCDE【解答】（Ⅰ）证明：因为E是AD的中点，PA=PD，所以AD⊥PE．…（1分）因为底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，所以AB=BD，又因为E是AD的中点，所以AD⊥BE．…（2分）因为PE∩BE=E，所以AD⊥平面PBE．…（4分）（Ⅱ）证明：连接AC交BD于点O，连接OQ．…（5分）因为O是AC中点，Q是PC的中点，所以OQ为△PAC中位线．所以OQ∥PA．…（7分）因为PA⊄平面BDQ，OQ⊂平面BDQ．…（8分）所以PA∥平面BDQ．…（9分）（Ⅲ）解：设四棱锥P﹣BCDE，Q﹣ABCD的高分别为h1，h2，=S BCDE h1，V Q﹣ABCD=S ABCD h2．…（10分）所以V P﹣BCDE=2V Q﹣ABCD，且底面积S BCDE=S ABCD．…（12分）因为V P﹣BCDE所以，…（13分）因为，所以．…（14分）20．（14分）已知函数m（x）=x3﹣﹣3ax（1）若函数f（x）=m（x）﹣h（x）在x=1处取得极值，求实数a的值；（2）若函数f（x）=m（x）﹣h（x）在（﹣∞，+∞）不单调，求实数a的取值范围；（3）判断过点可作曲线f（x）=m（x）+﹣3x多少条切线，并说明理由．【解答】解：（1）∵函数m（x）=x3﹣﹣3ax，∴f（x）=m（x）﹣h（x）=x3﹣（1+a）x2+3ax，∴f′（x）=3x2﹣2（a+1）x+3a，∵f′（1）=0，∴3+3a﹣2（a+1）=0∴a=﹣1，∴f′（x）=3（x﹣1）（x+1），显然在x=1附近f′（x）符号不同，∴x=1是函数f（x）的一个极值点，∴a=﹣1即为所求；（2）∵m（x）=x3﹣﹣3ax，∴∴f（x）=m（x）﹣h（x）=x3﹣（1+a）x2+3ax，若函数f（x）在R上不单调，则f′（x）=3x2﹣2（a+1）x+3a=0应有二不等根，∴△=12（a+1）2﹣36a＞0∴a2﹣a+1＞0恒成立，∴实数a的取值范围为R；（3）∵m（x）=x3﹣x2，∴f（x）=m（x）+x2﹣3x=x3﹣3x，∴f'（x）=3（x2﹣1），设切点M（x0，y0），则M的纵坐标，又，∴切线的斜率为，得，设g（x0）=，∴g'（x0）=由g'（x0）=0，得x0=0或x0=1，∴g（x0）在（﹣∞，0），（1，+∞）上为增函数，在（0，1）上为减函数，∴函数g（x0）=2x03﹣3x02+m+3的极大值点为x0=0，极小值点为x0=1，∵∴函数g（x0）=2x03﹣3x02+有三个零点，∴方程2x03﹣3x02+=0有三个实根，∴过点可作曲线y=f（x）的三条切线．21．（14分）已知函数f （x ）=lnx +﹣kx ，其中常数k ∈R ．（1）求f （x ）的单调增区间与单调减区间；（2）若f （x ）存在极值且有唯一零点x 0，求k的取值范围及不超过的最大整数m ．【解答】解：（1）①当k ≤2时，，则函数f （x ）为增函数．②当k ＞2时，，其中x ，f′（x ），f （x ）的取值变化情况如下表：综合①②知当k ≤2时，f （x ）的增区间为（0，+∞），无减区间； 当k ＞2时，f （x ）的增区间为与，减区间为．（2）由（1）知当k ≤2时，f （x ）无极值， 当k ＞2时，知f （x ）的极大值，f （x ）的极小值f （x 2）＜f （x 1）＜0，故f （x ）在（0，x 2）上无零点．，又，故函数f（x）有唯一零点x0，且x0∈（x2，2k）．又，记g（k）=（k＞2），，则g（k）=ln2﹣2＜0，从而f（k）＜0，，故k的取值范围是（2，+∞）且不超过的最大整数m=1．。

数学（文）试题一、选择题1、已知全集U ＝R ， A ＝{x |3≤x <7}，B ＝{x |x 2－7x ＋10<0}，则∁U (A ∩B )＝( )A ．(－∞，3)∪(5，＋∞)B ．(－∞，3]∪[5，＋∞)C ．(－∞，3)∪[5，＋∞)D ．(－∞，3]∪(5，＋∞)2、下列图形中可以表示以M ＝{x |0≤x ≤1}为定义域，以N ＝{y |0≤y ≤1}为值域的函数的图象是( )3、若复数(a ＋i)2在复平面内对应的点在y 轴负半轴上，则实数a 的值是( )A ．1B ．－1 C. 2 D ．－ 2 4、在△ABC 中，tan B ＝－2，tan C ＝13，则A 等于( )A.π4B.3π4C.π3D.π65、执行如图所示的程序框图，输出的S 值为( ) A ．－3 B ．－12 C.13D ．26、一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )。

A.2π+B. 4π+C. 2π+D. 4π7、已知圆1C ：2(1)x ++2(1)y -=1，圆2C 与圆1C 关于直线10x y --=对称，则圆2C 的方程为（ ）A ．2(2)x ++2(2)y -=1 B ．2(2)x -+2(2)y +=1 C ．2(2)x ++2(2)y +=1 D ．2(2)x -+2(2)y -=18、已知直线l ，m ，平面α，β且l ⊥α，m ⊂β，给出四个命题，其中真命题的个数是：( ) ①若α∥β，则l ⊥m ；②若l ⊥m ，则α∥β；③若α⊥β，则l ∥m ；④若l ∥m ，则α⊥β.A 、1B 、2C 、3D 、49、已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)上一点M (1，m )(m ＞0)到其焦点的距离为5，双曲线x 2a－y 2＝1的左顶点为A ，若双曲线一条渐近线与直线AM 平行，则实数a ＝( )A.19B.13C ．3D ．9 10、已知函数f M (x )的定义域为实数集R ，满足f M (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ∈M ，0，x ∉M(M 是R 的非空真子集)．在R 上有两个非空真子集A ，B ，且A ∩B ＝∅，则F (x )＝f A ∪B x ＋1f A x ＋f B x ＋1的值域为( )A.⎝⎛⎦⎤0，23 B ．{1} C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，23，1 D.⎣⎡⎦⎤13，1 二、填空题(每小题5分，共20分；第14、15题只选其中一题，两题都做只记 前一题得分)11．设,x y 满足约束条件02323x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩,则z x y =-的最大值是 .12．若双曲线221x y k+=k 的取值范围是 . 13．在等比数列{}n a 中，首项,11=a 公比q ≠1，若7321a a a a a k ⋅⋅⋅⋅=则k = .14. （坐标系与参数方程选做题） 在极坐标系中，点(2,)3M π到直线:sin()42l πρθ+=的距离为 ． 15. （几何证明选做题）AB 是圆O 的直径，EF 切圆O 于C ，AD EF ⊥于D ， 2AD =，6AB =，则AC 的长为 ．16.(本小题满分12分) 已知函数()sin()6f x A x πω=+(0,0,>>∈ωA R x )的最小正周期为6T π=，且(2)2f π=（1）求ω和A 的值；παβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，16(3)5fαπ+=，520(3)213fπβ+=-，求)cos(βα-（2）设,0,217.(本小题满分12分)某学校参加数学竞赛学生成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如下，据此解答如下问题：（1）求参加数学竞赛人数n 及分数在[)80,90，[]90,100之间的人数；（2）若要从分数在[]80,100之间的学生中任选两人进行某项研究，求至多有一人分数在[)80,90之间的概率．18.(本小题满分14分)如图1，在边长为3的正三角形ABC 中，E ，F ，P 分别为AB ，AC ，BC 上的点，且满足1AE FC CP ===.将AEF ∆沿EF 折起到1A EF ∆的位置，使平面1A EF ⊥平面EFB ，连结1A B ，1A P .（如图2）（1）若Q 为1A B 中点，求证：PQ ∥平面1A EF ； （2）求证：1A E ⊥EP .19.(本小题满分14分)已知数列{}n a 中，15a =，1221n n n a a -=+-（n *∈N 且2n ≥）． （1）求2a 、3a 的值；（2）若数列2n n a λ+⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，求实数λ的值；（3）求数列{}n a 的前n 项和n S ．20.(本小题满分14分)已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>，过点1)2C 且离心率为2.（1）求椭圆E 的方程；（2）设,,A B M 是椭圆E 上三点，且满足3455OM OA OB =+，点P 是线段的中点，试问：点P 是否在椭圆22:212x G y +=上？并证明你的结论.21.(本小题满分14分)已知函数()x f x e x =-（其中e 为自然对数的底）． （1）求函数()f x 的最小值；（2）若n *∈N ，证明：1211n nn nn n e n n n n e -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++<⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．2013-2014学年度第二学期开学初高三联考文科数学试题参考答案1—5 CCBAD 6—10CBBAB分）得得由已知）9.( (135)sin 54co 1320sin 4516cos 4,1320)253(516)3(sin 4)sin(463253sin(4)253(⎪⎩⎪⎨⎧==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=+=+-=+=++=+βαβαπβπαβπβππβπβs f f f分），又11........(1312sin 1cos ,53cos 1sin ],2,0[22=-==-=∴∈ββααπβα分）12...(.. (65)6353135131254sin sin cos cos )cos(=⨯+⨯=+=-∴βαβαβα17解.（1）分数在[)50,60之间的频数为2，故分数在[]90,100之间同样有2人． ………2分 且n2=10⨯0.008 得n=25 ………4分 ∴分数在[)80,90之间的人数为25—（2+7+10+2）=4．………5分参加数学竞赛人数n=25，分数在[)80,90，[]90,100之间的人数分别为4人、2人。

揭阳一中 2014-2015 学年度（ 95 届）第二学期高一数学期末试卷 (文科 )同学们，本次考试可能用到的公式：s21(x1x)2(x2 x) 2...(x n x)2 n一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确的答案填在答题卡上. ）1.sin 240 的值为()A．1B.23C.3122D.22．已知两直线错误！未找到引用源。

与错误！未找到引用源。

平行，则错误！未找到引用源。

（）A.3B.-3C.-4D.-523、为了得到函数y sin的图象，只要将y sin x 的图象上所有的点（）（2x3）A．向左平移6个单位长度，再把所得图像各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变B．向左平移6个单位长度，再把所得图像各点的横坐标缩短到原来的1倍，纵坐标不变2C．向左平移3个单位长度，再把所得图像各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变1倍，纵坐标不变D．向左平移3个单位长度，再把所得图像各点的横坐标缩短到原来的24．三个数50.6，0.65， log 0.65的大小顺序是()正视图侧视图A．0.65log 0.6 5 50.6B．0.6550.6log 0.65C．log0 .650.6550.6D．log0.6550.60.655.如图，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为 1 的正方形，俯视图俯视图是一个圆，那么这个几何体的体积为（）A. B.5 C. D.3244r r r r r r r r r6．已知向量a、b满足| a |=1、|b | 3 （3a-2 b) a，则a与b的夹角为（），且A. B.4C. D.2637．执行如下图所示的程序框图, 若输入 n 的值为 7 , 则输出的 s 的值为（ ）A ．22 B ．16C ．15D ．11 ．函数 y ＝ ·x | － π <x <π的大致图象是()8cos x |tan 229. 已知点 A （ 2， -3 ）， B （ -3 ，-2 ） , 直线 l 过 P(1,1), 且与线段 AB 相交，求直线 l 的斜率 k的取值范围为（ ）A. k3或 k -4 B.k3或 k1 C.4 k3 D.3 k 44444410．定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f ( x) f (x2) ，当 x [1,3] 时， f (x)2 | x 2| ，则（）A ． f (sin 2)f (cos 2)B． f (sin 2)f (cos2)33C ． f (tan )f (tan5)D． f (sin1)f (cos1)6 4二．填空题（本大题共４小题，每小题 5分，满分２０分．请将正确的答案填在答题卡上。

揭阳市2014年高中毕业班第一次高考模拟考试数学(文科) 2014.3.22本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须填写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数z 满足：34iz i =+，则z =A ．34i --B ．43i +C ．43i -D ．43i -+ 2．设函数()1f x x=-M ，则R C M = A. (,1)-∞ B.(1,)+∞ C. (,1]-∞ D. [1,)+∞3．设平面α、β，直线a 、b ，,a b αα⊂⊂，则“//,//a b ββ” 是“//αβ”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 4．下列函数是偶函数，且在[0,1]上单调递增的是 A.sin()2y x π=+B. 212cos 2y x =-C.2y x =- D. |sin()|y x π=+5．如图(1)所示的程序框图，能使输入的x 值与输出的y 值 相等的所有x 值分别为A.1、2、3B.0、1C.0、1、3D.0、1、2、3、4. 图（1）6．一简单组合体的三视图如图（2）所示，则该组合体的 体积为A.16π-B.124π-C.122π-D.12π- 7．已知向量a 、b 满足||1,||3a b ==，且(32)a b a -⊥，则a 与b 的夹角为 图（2） A.6π B.4π C.3π D.2π图（3）0.0150频率/组距0.0100（km/h ）0.00508．若x 、y 满足约束条件222x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的取值范围是A.[0，4]B.[4，6]C.[2，4]D. [2，6]9．已知以双曲线C 的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为120，则双曲线C 的离心率为 A.32623310．从[0,10]中任取一个数x ，从[0,6]中任取一个数y ，则使|5||3|4x y -+-≤的概率为 A ．12B ．59C ．23 D ．512二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11－13题）11．若点(,27)a 在函数3xy =的图象上，则tanaπ的值 为 ．12．根据某固定测速点测得的某时段内过往的100辆机 动车的行驶速度(单位：km/h)绘制的频率分布直方图如图(3)所示．该路段限速标志牌提示机动车辆正常行驶速 度为60 km/h~120 km/h ，则该时段内过往的这100辆机 动车中属非正常行驶的有 辆，图中的x 值为 ．13．对于每一个正整数n ，设曲线1n y x +=在点（1,1）处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x ，令lg n n a x =，则1299a a a +++= ．（二）选做题（14－15题，考生只能从中选做一题）14.(坐标系与参数方程选做题)已知直线l :132x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数且t R ∈）与曲线C :22x cos y cos αα=⎧⎨=+⎩(α是参数且[)02,απ∈)，则直线l 与曲线C 的交点坐标为 .15.（几何证明选讲选做）如图(4)，AB 是半圆的直径，C 是AB 延长线上一点，CD 切半圆于点D ，CD =2，DE ⊥AB ，垂足为E ， 且E 是OB 的中点，则BC 的长为 ．三．解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数sin 2()2sin .sin xf x x x=+ （1）求函数()f x 的定义域和最小正周期； （2）若()2,[0,],f ααπ=∈求()12f πα+的值．17. （本小题满分12分）图(5)是某市2月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数(AQI)小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择2月1日至2月12日中的某一天到达该市，并停留3天．（1）求此人到达当日空气质量优良的概率;（2）求此人停留期间至多有1天空气重度污染的概率． 18．（本小题满分14分）如图(6)，四棱锥S —ABCD 的底面是正方形，侧棱SA⊥底面ABCD ， 过A 作AE 垂直SB 交SB 于E 点，作AH 垂直SD 交SD 于H 点，平面 AEH 交SC 于K 点，P 是SA 上的动点，且AB=1，SA=2． （1）试证明不论点P 在何位置，都有DB PC ⊥； （2）求PB PH +的最小值；（3）设平面AEKH 与平面ABCD 的交线为l ，求证：//BD l ． 19．（本小题满分14分）.已知曲线C 的方程为：222240(0,ax ay a x y a a +--=≠为常数）．（1）判断曲线C 的形状；（2）设曲线C 分别与x 轴、y 轴交于点A 、B （A 、B 不同于原点O ），试判断△AOB 的面积S 是否为定值？并证明你的判断；（3）设直线:24l y x =-+与曲线C 交于不同的两点M 、N ，且||||OM ON =，求曲线C 的方程． 20．（本小题满分14分）已知正项数列{}n a 满足:222(1)()0()n n a n n a n n n N +-+--+=∈，数列{}n b 的前n项和为n S ，且满足11b =，21n n S b =+()n N +∈．(1) 求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）设(21)nn nn b c a +=，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求证：21n T <． 21．（本小题满分14分）已知函数2()ln 1,()1bf x a xg x x x=+=+-，(,a b R ∈)． （1）若曲线()y g x =在点(1,(1))g 处的切线平行于x 轴，求b 的值； （2）当0a >时，若对(1,)x e ∀∈，()f x x >恒成立，求实数a 的取值范围； （3）设()()()p x f x g x =+，在（1）的条件下，证明当0a ≤时，对任意两个不相等的正数12,x x ，有()()121222p x p x x x p ++⎛⎫> ⎪⎝⎭．揭阳市2014年高中毕业班高考第一次模拟考 数学(文科)参考答案及评分说明一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数．一、选择题：CDBDC DADBA 解析：6.由三视图知，此组合体为一个长为4，宽为3，高为1的长方体、中心去除一个半径为1的圆柱，故其体积为23411112ππ⨯⨯-⨯⨯=-7.由(32)a b a -⊥得2(32)3||20a b a a a b -⋅=-⋅=233||||||cos ,22a b a a b a b ⇒⋅===⋅<>，3cos ,,2623a b a b π<>==⇒<>=． 8. 如右图知，满足条件222x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩的点为图中阴影部分，当2z x y =+过点（2,0）时，z 取得最小值2，当2z x y =+过点（2,2）时，z 取得最 大值6，故选D.9.不妨设双曲线的焦点在x 轴，因c b >，故30OFB ∠=,3tan 30b c == 22222211()3b c a a c c c -⇒==-=236()22c e a ⇒=⇒=,选B.10.如右图，使|5||3|4x y -+-≤是图中阴影部分，故所求的概率141+412==60602S P ⨯⨯⨯=阴影（）3.二、填空题：1112．15、0.0175； 13．-2； 14．（1，3）; 15. . 解析：12.由直方图可知，这100辆机动车中属非正常行驶的有0.0025+0.00520100=15⨯⨯（）（辆），x 的值=[1(0.00250.00500.01000.0150)20]200.0175-+++⨯÷=. 13．由1n y x +=得'(1)ny n x =+，则曲线在点（1,1）处的切线方程为1(1)(1)y n x -=+-，令y =得1n n x n =+，lg lg1n n n a x n ==+，12991299lg()23100a a a +++=⨯⨯⨯1lg 2100==- 14．把直线l 的参数方程化为普通方程得25x y +=，把曲线C 的参数方程化为普通方程得212(11)y x x =+-≤≤，由方程组212(11)25y x x x y ⎧=+-≤≤⎨+=⎩解得交点坐标为（1，3）15．DE 为OB 的中垂线且OD=OB ，∴OBD ∆为等边三角形，060COD ∠=，,3333OD BC OC OB ==-=-= 16．解：（1）由0sin x ,≠解得x k (k Z )π≠∈，所以函数f (x )的定义域为{x|x k (k Z )}π≠∈------------------------2分sin 2()2sin 2cos 2sin cos cos sin )sin().sin 444x f x x x x x x x x πππ=+=+=+=+---4分f (x )∴的最小正周期221T ππ==-----------------------------------6分 （2）解法1：由()2cos sin 12cos sin 0,f ααααα=⇒+=⇒=---------------------8分[0,]απ∈且sin 0α≠，.2πα∴=------------------------------------10分∴5()sin()124126f ππππαα+=++==------------------------------------12分【解法2：由()2,[0,],f ααπ=∈得sin cos 1αα+=cos 1sin αα⇒=-，代入22sin cos 1αα+=得22sin (1sin )1αα+-=2sin (sin 1)0αα⇒-=，-----8分P DABSHsin 0α≠ ∴sin 1α=，又[0,]απ∈，.2πα∴=---------------------------------10分∴5()sin()124126f ππππαα+=++==------------------------------------12分】 17.解：（1）在2月1日至2月12日这12天中，只有5日、8日共2天的空气质量优良，所以此人到达当日空气质量优良的概率21126P ==.-----------------------5分 （2）根据题意，事件“此人在该市停留期间至多有1天空气重度污染”，即“此人到达该市停留期间0天空气重度污染或仅有1天空气重度污染”.--------------------6分 “此人在该市停留期间0天空气重度污染”等价于“此人到达该市的日期是4日或8日或9日”.其概率为31124=，----------------------------------------------8分 “此人在该市停留期间仅有1天空气重度污染”等价于“此人到达该市的日期是3日或5日或6日或7日或10日”.其概率为512，-----------------------------------10分 所以此人停留期间至多有1天空气重度污染的概率为.P=1524123+=.-----------12分18．（1）证明：∵底面ABCD 是正方形∴DB AC ⊥,------------------------------1分 ∵SA⊥底面ABCD,BD ⊂面ABCD ，∴DB SA ⊥,---------------------2分 又SAAC A =∴BD ⊥平面SAC ,∵不论点P 在何位置都有PC ⊂平面SAC ,∴DB PC ⊥．----------------------------------------------3分 （2）解：将侧面SAB 绕侧棱SA 旋转到与侧面SAD 在同一平面内，如右图示， 则当B 、P 、H 三点共线时，PB PH +取最小值，这时，PB PH +的最小值即线段BH 的长，--------------------------------------------4分 设HAD α∠=,则BAH πα∠=-， 在Rt AHD ∆中，∵SA AD AH SD ⋅==,∴cos AH AD α==分在三角形BAH 中，有余弦定理得：2222cos()BH AB AH AB AH πα=+-⋅-41712(55=+-=∴min 85()5PB PH BH +==．------------------------------------------------------------8分(3) 连结EH ，∵AB AD =,SA SA =,∴Rt SAB Rt SAD ∆≅∆，∴SB SD =，---------------------------------------------------------------9分 又∵,AE SB AH SD ⊥⊥,∴AE AH =，∴Rt SEA Rt SHA ∆≅∆，∴SE SH =，-----------------------------------------------------------10分 ∴SE SHSB SD=, ∴//EH BD ,---------------------------------------12分 又∵EH ⊂面AEKH ，BD ⊄面AEKH , ∴//BD 面AEKH. ----------------------------13分 ∵平面AEKH⋂平面ABCD=l ， ∴//BD l -----------------------------------------------------14分19.解：（1）将曲线C的方程化为22420x y ax y a +--=⇒222224()()x a y a a a-+-=+--2分 可知曲线C是以点2(,)a a为圆心，以224a a +为半径的圆．-----------------------------4分 （2）△AOB 的面积S 为定值．-------------------------------------------------------------------5分 证明如下：在曲线C 的方程中令y=0得(2)0ax x a -=，得点(2,0)A a ，---------------------------6分在曲线C 的方程中令x=0得(4)0y ay -=，得点4(0,)B a，--------------------------7分 ∴114|||||2|||422S OA OB a a=⋅=⋅=（为定值）．----------------------------------------9分 （3）∵圆C 过坐标原点，且||||OM ON = ∴圆心2(,)a a 在MN 的垂直平分线上，∴2212a =，2a =±，--------------------11分 当2a =-时，圆心坐标为(2,1)--5圆心到直线:24l y x =-+的距离d ==> 直线l与圆C 相离，不合题意舍去，------------------------------------------------------------13分 ∴2a =，这时曲线C 的方程为22420x y x y +--=．-----------------------------------14分20．解：（1）由222(1)()0n n a n n a n n -+--+=,得2()(1)0n n a n n a ⎡⎤-++=⎣⎦.---------2分由于{}n a 是正项数列,所以2n a n n =+.---------------------------------3分由21n n S b =+可得当2n ≥时，1121n n S b --=+，两式相减得1n n b b -=-，------------5分 ∴数列{}n b 是首项为1，公比1-的等比数列，1(1).n n b -∴=-----------------------------------7分（2）方法一：∵1(21)21(1)(1)n n n n n b n c a n n -++==-⋅+---------------------------------8分∴2124141(41)(21)(41)(21)2(21)2(21)2(21)(21)n n n n n n n n c c n n n n n n n --+-+-+-+=-=-+-+211(21)(21)2121n n n n ==--+-+--------------------------------------------------------------11分21234212111111()()()13352121n n n T c c c c c c n n -∴=++++++=-+-++--+11 1.21n =-<+---------------------------------------------------------------------------------------14分 【方法二：∵11(21)2111(1)(1)()(1)1n n n n n n b n c a n n n n --++==-⋅=-⋅+++-----------------------11分 2123421211111111()()()()12233445n n n T c c c c c c -∴=++++++=+-+++-++11111()()1 1.21222121n n n n n ++-+=-<-++----------------------------------------------14分】21. 解：（1）∵2'()2bg x x x=-，由曲线()y g x =在点(1,(1))g 处的切线平行于x 轴得'(1)20g b =-=，∴2b =------------------------------------------------2分 （2）解法一：令()ln 1h x a x x =+-，则'()1a a x h x x x-=-=，-------------------------3分当a e >时，'()0h x >，函数()h x 在(1,)e 上是增函数，有()(1)0h x h >=，-----------4分当1a e <≤时，∵函数()h x 在(1,)a 上递增，在(,)a e 上递减， 对(1,)x e ∀∈，()f x x>恒成立，只需()0h e ≥，即1a e ≥-．----------------------------5分当1a ≤时，函数()h x 在(1,)e 上递减，对(1,)x e ∀∈，()f x x >恒成立，只需()0h e ≥， 而()10h e a e =+-<，不合题意，----------------------------------------------------------------6分 综上得对(1,)x e ∀∈，()f x x>恒成立，1a e ≥-．------------------------------------------7分【解法二：由()f x x >且(1,)x e ∈可得1ln ,1xa x <----------------3分由于ln 1x x -表示两点(,ln ),(1,0)A x x B 的连线斜率，由图象可知ln 1xy x =-在(1,)e 单调递减，-----------------5分故当(1,)x e ∈时，ln ln 1,111x e x e e >=-----------------------------------6分1101a e ∴<≤-即1a e ≥--------------------------------------------------7分】 （3）证法一：由()22ln p x x a x x=++得()()()()1222121212111ln ln 222p x p x ax x x x x x +⎛⎫=+++++ ⎪⎝⎭()221212121212x x x x a x x x x +=+++分 2121212124ln 222x x x x x x p a x x +++⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭----------------------------------------------9分由2212122x x x x +>得22212122+x x x x +>（）（）2221212+122x x x x ⇒+>（）（）-------①---10分又()()2221212121224x x x x x x x x +=++>∴1212124x x x x x x +>+ ---------------------------------------------------②---------------11分122x x +<∴12ln 2x x +< ∵0a ≤∴12ln ln 2x x a a +≥ ------------------------------③---------------12分由①、②、③得()22212121212121422x x x x x x a a x x x x ++⎛⎫+++>++ ⎪+⎝⎭即()()121222p x p x x x p ++⎛⎫> ⎪⎝⎭．--------------------------------------------------------------14分【证法二：由()22ln p x x a x x=++ ()()121222p x p x x x p ++⎛⎫- ⎪⎝⎭()()2221212121212121114ln ln ln 2222x x x x a x x x x a x x x x ⎛⎫++⎛⎫=+++++--- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭-----9分221212121212()()ln )4()2x x x x x x a x x x x --+=+++---------------------------------------10分∵12,x x 是两个不相等的正数，∴122x x +<∴12ln 2x x +<-------------------------------------------------11分∴12ln )02x x a +≥，又 2212121212()()0,04()x x x x x x x x -->>+∴()()121222p x p x x x p ++⎛⎫- ⎪⎝⎭0>，即()()121222p x p x x x p ++⎛⎫> ⎪⎝⎭．----------------14分】。

2014-2015学年广东省揭阳一中高一（下）期末数学试卷（文科） 一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={3，4}，B={2，3，5}，那么集合A（?UB）等于（ ） A． {1，2，3，4，5} B． {3，4} C． {1，3，4} D． {2，3，4，5} 2．若向量，向量，则=（ ） A．（﹣2，﹣4）B．（3，4）C．（6，10）D．（﹣6，﹣10） 3．已知α∈（﹣，0），cosα=，则tanα等于（ ） A．﹣B．﹣C． D． 4．已知点A（1，﹣2），B（m，2），若线段AB的垂直平分线的方程是x+2y﹣2=0，则实数m 的值是（ ） A．﹣2 B．﹣7 C． 3 D． 1 5．在△ABC中，已知a2﹣b2+c2=ac则角B为（ ） A．或B．或C． D． 6．如果下述程序运行的结果为S=40，那么判断框中应填入（ ） A． k≤6 B． k≤5 C． k≥6 D． k≥5 7．已知函数，则f（2+log23）的值为（ ） A．B． C． D． 8．长方体一个顶点上的三条棱的长度分别为3、4、5，且它的8个顶点都在同一球面上，这个球的表面积为（ ） A． 50πB． 25πC． 200πD． 20π 9．将函数y=sinx的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是（ ） A． y=sin（2x﹣）B． y=sin（2x﹣）C． y=sin（x﹣）D． y=sin（x﹣） 10．已知x0是函数f（x）=2x+的一个零点．若x1∈（1，x0），x2∈（x0，+∞），则（ ） A． f（x1）＜0，f（x2）＜0 B． f（x1）＜0，f（x2）＞0 C． f（x1）＞0，f （x2）＜0 D． f（x1）＞0，f（x2）＞0 二.填空题：本大题共4个小题，每小题5分，满分20分． 11．函数f（x）=的定义域是 ． 12．一个几何体的三视图如图所示，其侧视图是等腰直角三角形，则该几何体的表面积是 ． 13．经过点P（0，﹣1）作圆C：x2+y2﹣6x+7=0的切线，切点为A，则切线PA的长为 ． 14．给出下列命题： ①若2+2=0，则==； ②已知、、是三个非零向量，若+=，则|?|=|?|， ③在△ABC中，a=5，b=8，c=7，则?=20； ④与是共线向量=||||． 其中真命题的序号是 ．（请把你认为是真命题的序号都填上） 三.解答题：本大题共6小题，共80分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．已知角α是第三象限角，且f（α）=． （1）化简f（α）； （2）若cos（α+）=，求f（α）的值． 16．已知直线l：y=k（x+2）（k≠0）与圆O：x2+y2=4相交于A，B两点，O为坐标原点，△AOB的面积为S． （1）当k=时，求S的值； （2）求S的最大值，并求出此时的k值． 17．已知函数f（x）=2sin?cos+cos． （1）求函数f（x）的最小正周期及最值； （2）令g（x）=f，判断函数g（x）的奇偶性，并说明理由． 18．如图所示是一个几何体的直观图、正视图、俯视图、侧视图（其中正视图为直角梯形，俯视图为正方形，侧视图为直角三角形，尺寸如图所示）． （1）求四棱锥P﹣ABCD的体积； （2）求证：BD平面PEC； （3）求证：AE平面PBC． 19．已知A（2，0），B（0，2），C（cosα，sinα），且0＜α＜π （1）若|+|=，求与的夹角； （2）若，求tanα的值． 20．对于函数f（x）=ax2+（b+1）x+b﹣2（a≠0），若存在实数x0，使f（x0）=x0成立，则称x0为f（x）的不动点． （1）当a=2，b=﹣2时，求f（x）的不动点； （2）若对于任何实数b，函数f（x）恒有两相异的不动点，求实数a的取值范围； （3）在（2）的条件下，若y=f（x）的图象上A、B两点的横坐标是函数f（x）的不动点，且直线是线段AB的垂直平分线，求实数b的取值范围． 201-2015学年广东省揭阳一中高一（下）期末数学试卷（文科） 参考答案与试题解析 一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={3，4}，B={2，3，5}，那么集合A（?UB）等于（ ） A． {1，2，3，4，5} B． {3，4} C． {1，3，4} D． {2，3，4，5} 考点：交、并、补集的混合运算． 分析：由题意全集U={1，2，3，4，5}，集合A={3，4}，B={2，3，5}，根据补集的定义可得CB={1，4}，再根据并集的定义计算A（CB）． 解答：解：U={1，2，3，4，5}，B={2，3，5}， C∪B={1，4}， 集合A={3，4}， A∪（CB）={1，3，4}， 故选C． 点评：此题考查集合间的交、并、补运算是高考中的常考内容，要认真掌握，计算要仔细． 2．若向量，向量，则=（ ） A．（﹣2，﹣4）B．（3，4）C．（6，10）D．（﹣6，﹣10） 考点：平面向量的坐标运算． 专题：平面向量及应用． 分析：由向量，向量，知，再由，能求出结果． 解答：解：向量，向量， ，=（﹣4，﹣7）﹣（﹣2，﹣3）=（﹣2，﹣4）． 故选A． 点评：本题考查平面向量的坐标运算，是基础题．解题时要认真解答，仔细运算． 3．已知α∈（﹣，0），cosα=，则tanα等于（ ） A．﹣B．﹣C． D． 考点：同角三角函数基本关系的运用． 专题：三角函数的求值． 分析：利用同角三角函数间的关系式可求得sinα的值，继而可得tanα的值． 解答：解：α∈（﹣，0），cosα=， sinα=﹣=﹣， tanα==﹣． 故选：A． 点评：本题考查同角三角函数间的关系式，考查运算求解能力，属于基础题． 4．已知点A（1，﹣2），B（m，2），若线段AB的垂直平分线的方程是x+2y﹣2=0，则实数m 的值是（ ） A．﹣2 B．﹣7 C． 3 D． 1 考点：两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系． 专题：计算题；待定系数法． 分析：先利用线段的中点公式求出线段AB的终点坐标，再把中点坐标代入直线x+2y﹣2=0求得实数m的值． 解答：解：A（1，﹣2）和B（m，2）的中点在直线x+2y﹣2=0上， ． m=3， 故选 C． 点评：本题考查求线段的中点坐标的方法，用待定系数法求参数的值． 5．在△ABC中，已知a2﹣b2+c2=ac则角B为（ ） A．或B．或C． D． 考点：余弦定理． 专题：计算题；解三角形． 分析：根据余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB的式子，代入题中数据可得关于B余弦值，结合三角形内角的范围即可得到角B大小． 解答：解：根据余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，得 cosB==B∈（0，π），B=故选：D 点评：题给出三角形的边之间的平方关系，求角B的大小．着重考查了利用余弦定理解三角形、特殊角的三角函数值等知识，属于基础题． 6．如果下述程序运行的结果为S=40，那么判断框中应填入（ ） A． k≤6 B． k≤5 C． k≥6 D． k≥5 考点：程序框图． 专题：图表型． 分析：根据所给的程序运行结果为S=40，执行循环语句，当计算结果S为40时，不满足判断框的条件，从而到结论． 解答：解：由题意可知输出结果为S=40， 第1次循环，S=10，K=9， 第2次循环，S=19，K=8， 第3次循环，S=27，K=7， 第4次循环，S=34，K=6， 第5次循环，S=40，K=5， 此时S满足输出结果，退出循环，所以判断框中的条件为k≤5． 故选B． 点评：本题主要考查了循环结构，是当型循环，当满足条件，执行循环，属于基础题． 7．已知函数，则f（2+log23）的值为（ ） A．B． C． D． 考点：函数的值；分段函数的解析式求法及其图象的作法． 专题：计算题． 分析：先判断出2+log23＜4，代入f（x+1）=f（3+log23），又因3+log23＞4代入f （x）=，利用指数幂的运算性质求解． 解答：解：1＜log23＜2，3＜2+log23＜4， f（2+log23）=f（2+log23+1）=f（3+log23）， 4＜3+log23＜5，f（3+log23）==×=， 故选A． 点评：本题的考点是分段函数求函数值，先判断自变量的范围，再代入对应的关系式，根据指数幂的运算性质进行化简求值． 8．长方体一个顶点上的三条棱的长度分别为3、4、5，且它的8个顶点都在同一球面上，这个球的表面积为（ ） A． 50πB． 25πC． 200πD． 20π 考点：球的体积和表面积． 专题：计算题；空间位置关系与距离． 分析：设出球的半径，由于直径即是长方体的体对角线，由此关系求出球的半径，即可求出球的表面积． 解答：解：设球的半径为R，由题意，球的直径即为长方体的体对角线的长， 则（2R）2=32+42+52=50， R=． S球=4π×R2=50π． 故选：A． 点评：本题考查球的表面积，球的内接体，考查计算能力，是基础题． 9．将函数y=sinx的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是（ ） A． y=sin（2x﹣）B． y=sin（2x﹣）C． y=sin（x﹣）D． y=sin（x﹣） 考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换． 专题：分析法． 分析：先根据左加右减进行左右平移，然后根据横坐标伸长到原来的2倍时w变为原来的倍进行横向变换． 解答：解：将函数y=sinx的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，所得函数图象的解析式为y=sin（x﹣） 再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是y=sin （x﹣）． 故选C． 点评：本题主要考查三角函数的平移变换．平移的原则是左加右减、上加下减． 10．已知x0是函数f（x）=2x+的一个零点．若x1∈（1，x0），x2∈（x0，+∞），则（ ） A． f（x1）＜0，f（x2）＜0 B． f（x1）＜0，f（x2）＞0 C． f（x1）＞0，f （x2）＜0 D． f（x1）＞0，f（x2）＞0 考点：函数零点的判定定理． 专题：函数的性质及应用． 分析：因为x0是函数f（x）=2x+的一个零点可得到f（x0）=0，再由函数f（x）的单调性可得到答案． 解答：解：x0是函数f（x）=2x+的一个零点f（x0）=0 f（x）=2x+是单调递增函数，且x1∈（1，x0），x2∈（x0，+∞）， f（x1）＜f（x0）=0＜f（x2） 故选B． 点评：本题考查了函数零点的概念和函数单调性的问题，属中档题． 二.填空题：本大题共4个小题，每小题5分，满分20分． 11．函数f（x）=的定义域是　（，1]　． 考点：函数的定义域及其求法． 专题：函数的性质及应用． 分析：根据函数成立的条件，即可得到结论． 解答：解：要使函数f（x）有意义，则， 即， 则0＜3x﹣2≤1， 解得＜x≤1， 故函数的定义域的（，1]， 故答案为：（，1] 点评：本题主要考查函数定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件． 12．一个几何体的三视图如图所示，其侧视图是等腰直角三角形，则该几何体的表面积是　6+4　． 考点：由三视图求面积、体积． 专题：计算题． 分析：由三视图及题设条件知，此几何体为一个三棱柱，其高已知，底面是等腰直角三角形，且其高为1，故先求出底面积，求解其表面积即可． 解答：解：此几何体是一个三棱柱， 由于其底面是一个等腰直角三角形， 且其高为1，斜边长为2，直角边长为， 所以其面积为×2×1=1， 又此三棱柱的高为2， 故其侧面积为，（2++）×2=4+4， 表面积为：2×1+4+4=6+4． 故答案为：6+4． 点评：本题考查空间几何体的三视图，表面积的计算，考查空间想象、运算求解能力，中等题． 13．经过点P（0，﹣1）作圆C：x2+y2﹣6x+7=0的切线，切点为A，则切线PA的长为 ． 考点：直线与圆的位置关系． 专题：直线与圆． 分析：把圆C的方程化为标准方程，求出圆心和半径，求出 PC 的值，可得切线PA的长的值． 解答：解：圆C：x2+y2﹣6x+7=0 即（x﹣3）2+y2=2，表示以C（3，0）为圆心，以r=为半径的圆． 由于 PC=，故切线PA的长为=2， 故答案为 2． 点评：本题主要考查直线和圆的位置关系，求圆的切线长度的方法，属于中档题． 14．给出下列命题： ①若2+2=0，则==； ②已知、、是三个非零向量，若+=，则|?|=|?|， ③在△ABC中，a=5，b=8，c=7，则?=20； ④与是共线向量=||||． 其中真命题的序号是　①②　．（请把你认为是真命题的序号都填上） 考点：四种命题的真假关系；平行向量与共线向量；平面向量数量积的运算． 专题：计算题． 分析：①由2+2=0，可得||=||=0，从而可得出答案；②+=0，=﹣，|?|=|||||cos＜，＞|，|?|=|||||cos＜，＞|=|||||cos＜﹣，＞|=|||||cos（π﹣＜，＞）|=|||||cos＜，＞|．即可判断；③由cosC===.?=||||cos（π﹣C）=5×8×（﹣）=﹣20即可判断；④与是共线向量?=λ（≠0）=λ2，而||||=|λ|||=|λ|||2即可判断对错． 解答：解：根据向量的有关性质，依次分析可得： ①由2+2=0，可得||=||=0，==．①正确． ②+=0，=﹣，|?|=|||||cos＜，＞|，|?|=|||||cos＜，＞|=|||||cos＜﹣，＞|=|||||cos（π﹣＜，＞）|=|||||cos＜，＞|．②正确． ③cosC===.?=||||cos（π﹣C）=5×8×（﹣）=﹣20．③不正确． ④与是共线向量?=λ（≠0）=λ2，而||||=|λ|||=|λ|||2． ④不正确． 故答案为：①②． 点评：本题考查了四种命题的真假及平面向量数量积的运算，属于基础题，关键是注意细心运算． 三.解答题：本大题共6小题，共80分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．已知角α是第三象限角，且f（α）=． （1）化简f（α）； （2）若cos（α+）=，求f（α）的值． 考点：三角函数的化简求值． 专题：三角函数的求值． 分析：（1）由条件应用诱导公式化简三角函数式，可得结果． （2）由条件利用同角三角函数的基本关系求得sin（α+）的值，再利用两角差的余弦公式求得f（α）=﹣cosα=﹣cos[（α+）﹣]的值． 解答：解：（1）f（α）===﹣cosα， （2）α是第三象限角，α+∈（2kπ+，2kπ+），k∈Z， 又cos（α+）=，sin（α+）=﹣，f（α）=﹣cosα=﹣cos[（α+）﹣]=﹣[cos（α+）cos+sin （α+）sin]=﹣（﹣）=． 点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系，应用诱导公式化简三角函数式，两角差的余弦公式的应用，属于基础题． 16．已知直线l：y=k（x+2）（k≠0）与圆O：x2+y2=4相交于A，B两点，O为坐标原点，△AOB的面积为S． （1）当k=时，求S的值； （2）求S的最大值，并求出此时的k值． 考点：直线与圆相交的性质． 专题：计算题；直线与圆． 分析：（1）作ODAB于D，当k=时，直线l：y=x+2，求出|AB|，|OD|，即可求出S的值； （2）设AOB=θ（0θ＜180°），则S=|OA||OB|sinθ=2sinθ，即可求S的最大值，从而求出此时的k值． 解答：解：（1）作ODAB于D，当k=时，直线l：y=x+2，则|OD|==，…（2分） |AB|=2=，…（4分） S=|AB||OD|=；…（6分） （2）设AOB=θ（0θ＜180°） 则S=|OA||OB|sinθ=2sinθ，…（8分） 当θ=90°时，S（θ）max=2，此时|OD|=，…（10分） 即=， k=±．…（12分） 点评：本题考查直线与圆的位置关系，点到直线的距离，三角形面积公式的应用，考查计算能力． 17．已知函数f（x）=2sin?cos+cos． （1）求函数f（x）的最小正周期及最值； （2）令g（x）=f，判断函数g（x）的奇偶性，并说明理由． 考点：三角函数的周期性及其求法；正弦函数的奇偶性；三角函数的最值． 专题：计算题． 分析：利用二倍角公式、两角和的正弦函数化简函数f（x）=2sin?cos+cos，为y=2sin， （1）直接利用周期公式求出周期，求出最值． （2）求出g（x）=f的表达式，g（x）=2cos．然后判断出奇偶性即可． 解答：解：（1）f（x）=sin+cos=2sin， f（x）的最小正周期T==4π． 当sin=﹣1时，f（x）取得最小值﹣2； 当sin=1时，f（x）取得最大值2． （2）g（x）是偶函数．理由如下： 由（1）知f（x）=2sin， 又g（x）=f， g（x）=2sin=2sin=2cos． g（﹣x）=2cos=2cos=g（x）， 函数g（x）是偶函数． 点评：本题是基础题，考查三角函数的化简与求值，考查三角函数的基本性质，常考题型． 18．如图所示是一个几何体的直观图、正视图、俯视图、侧视图（其中正视图为直角梯形，俯视图为正方形，侧视图为直角三角形，尺寸如图所示）． （1）求四棱锥P﹣ABCD的体积； （2）求证：BD平面PEC； （3）求证：AE平面PBC． 考点：直线与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定． 专题：空间位置关系与距离． 分析：（1）结合三视图，得到几何体的相关棱长，求四棱锥P﹣ABCD的底面面积和高，然后求出体积； （2）连接AC交BD于O点，取PC中点F，连接OF，要证明BD平面PEC，只需证明BD平行平面PEC内的直线EF即可； （3）要证AE平面PBG，只需证明PBAE，BCAE即可得证． 解答：（本题满分14分） 解：（1）由几何体的三视图可知，底面ABCD是边长为4的正方形，PA平面ABCD，PAEB， 且PA=4，BE=2，AB=AD=CD=CB=4， VP﹣ABCD=PA×SABCD=×4×4×4=．…（4分） （2）证明：连结AC交BD于O点，取PC中点F，连结OF， EB∥PA，且EB=PA，又OFPA，且OF=PA， EB∥OF，且EB=OF， 四边形EBOF为平行四边形， EF∥BD．又EF?平面PEC，BD?平面PEC，所以BD平面PEC．…（9分） （3），EBA=∠BAP=90°， EBA∽△BAP， PBA=∠BEA，PBA+∠BAE=∠BEA+∠BAE=90°， PB⊥AE． 又BC⊥平面APEB， BC⊥AE， AE⊥平面PBG，…（14分） 点评：本题考查三视图，几何体的条件，直线与平面垂直和平行的判定，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题． 19．已知A（2，0），B（0，2），C（cosα，sinα），且0＜α＜π （1）若|+|=，求与的夹角； （2）若，求tanα的值． 考点：数量积表示两个向量的夹角；数量积判断两个平面向量的垂直关系． 专题：计算题． 分析：（1）利用向量的坐标运算求出；利用向量模的坐标公式得到三角函数方程，求出α；求出两个向量的夹角． （2）利用向量的坐标公式求出两个向量的坐标；利用向量垂直的充要条件列出方程求出；利用三角函数的平方关系将此等式平方求出cosα﹣sinα；求出sinα，cosα；利用三角函数的商数关系求出tanα． 解答：解：（1）=（2+cosα，sinα），||=（2+cosα）2+sin2a=7， cosα=又α∈（0，π）， α=，即AOC=又AOB=，OB与OC的夹角为； （2）=（cosα﹣2，sinα），=（cosα，sinα﹣2）， AC⊥BC，=0，cosα+sinα=① （cosα+sinα）2=，2sinαcosα=﹣ α∈（0，π），α∈（，π）， 又由（cosα﹣sinα）2=1﹣2sinαcosα=，cosα﹣sinα＜0， cosα﹣sinα=﹣②由①、②得cosα=，sinα=， 从而tanα=﹣． 点评：本题考查向量模的坐标公式、考查向量垂直的充要条件、考查三角函数的平方关系、商数关系、 考查cosα+sinα、cosα﹣sinα、2sinαcosα三者知二求一． 20．对于函数f（x）=ax2+（b+1）x+b﹣2（a≠0），若存在实数x0，使f（x0）=x0成立，则称x0为f（x）的不动点． （1）当a=2，b=﹣2时，求f（x）的不动点； （2）若对于任何实数b，函数f（x）恒有两相异的不动点，求实数a的取值范围； （3）在（2）的条件下，若y=f（x）的图象上A、B两点的横坐标是函数f（x）的不动点，且直线是线段AB的垂直平分线，求实数b的取值范围． 考点：函数与方程的综合运用． 专题：计算题． 分析：（1）设x为不动点，则有2x2﹣x﹣4=x，变形为2x2﹣2x﹣4=0，解方程即可． （2）将f（x）=x转化为ax2+bx+b﹣2=0．由已知，此方程有相异二实根，则有△x＞0恒成立求解； （3）由垂直平分线的定义解决，由A、B两点的横坐标是函数f（x）的不动点，则有kAB=1，再由直线是线段AB的垂直平分线，得到k=﹣1，再由中点在直线上求解． 解答：解f（x）=ax2+（b+1）x+b﹣2（a≠0）， （1）当a=2，b=﹣2时，f（x）=2x2﹣x﹣4． 设x为其不动点，即2x2﹣x﹣4=x． 则2x2﹣2x﹣4=0．x1=﹣1，x2=2．即f（x）的不动点是﹣1，2． （2）由f（x）=x得：ax2+bx+b﹣2=0．由已知，此方程有相异二实根，△x＞0恒成立，即b2﹣4a（b﹣2）＞0．即b2﹣4ab+8a＞0对任意b∈R恒成立．b＜0．，16a2﹣32a＜0，0＜a＜2． （3）设A（x1，x1），B（x2，x2）， 直线是线段AB的垂直平分线，k=﹣1 记AB的中点M（x0，x0）．由（2）知，，． 化简得：时，等号成立）． 即0＞．即[﹣）． 点评：本题主要考查方程的解法，方程根的情况以及垂直平分线定义的应用．。

揭阳一中2014-2015学年度高二级第二学期期中考试 （文科）数学试卷 命题人：蔡秋明审题人：方少萍 一、选择题：(本大题共小题，每小题5分，共0分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)． ．复数满足，则z＝（） 2．设函数若f（x）为奇函数，则g（－4）的值是（）A．－2 B．－ C．－ D．2 3．下列推理所得结论正确的是（） A．由类比得到 B．由类比得到 C．由类比得到 D．由类比得到 4．若复数，则（）A．1 B．i C．-1 D．-i 5．若函数在（0，2）内单调递减，则实数a的取值范围为（）A． B．{3} C． D．（0，3）．若圆的方程为（为参数），直线的方程为（t为参数），则直线与圆的位置关系是（）A．相交过圆心 B．相交而不过圆心 C．相切 D．相离 7．已知函数，下面结论错误的是（）A．函数的最小正周期为 B．函数是偶函数 C．函数的图象关于直线对称 D．函数在区间上是增函数 ．已知实数满足若目标函数取得最小值时最优解有无数个，则实数的值为（）A．　B． C． D．1 9．已知实数，满足，函数的最大值记为，则的最小值为（） A．1 B．2 C．D．3 10．定义：若函数的图像经过变换后所得图像对应函数的值域与的值域相同，则称变换是的同值变换．下面给出四个函数及其对应的变换，其中不属于的同值变换的是（）A．，将函数的图像关于轴对称 B．，将函数的图像关于轴对称C．，将函数的图像关于点对称 D．，将函数的图像关于点对称 二、填空题(本大题共小题，每小题5分，共0分，把答案填在题中横线上)11．已知程序框图如右，则输出的=． 12．已知x∈(0，＋∞)，观察下列各式：x＋≥2，x＋＝＋＋≥3，x＋＝＋＋＋≥4，…，得x＋≥n＋1(n∈N*)，则a＝________． 13．在极坐标系（）中，直线被圆截得的弦的长是． 1．________． 三、解答题 (本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15.12分）已知， （1）求的值；（2）当时，求的最值． 16. （本小题满分12分）7．某种零件按质量标准分为1,2,3,4,5五个等级．现从一批该零件中随机抽取20个，对其等级进行统计分析，得到频率分布表如下： 等级 1 2 3 4 5 频率 0.05 m 0.15 0.35 n 1）在抽取的20个零件中，等级为5的恰有2个，求m，n ； 在(1)的条件下，从等级为3和5的所有零件中，任意抽取2个，求抽取的2个零件等级恰好相同的概率． 14分）已知函数，数列的前项和为, 且点在函数的图象上. （1）求数列的通项公式； （2）设=,数列｛｝的前前项和为，若对任意的恒成立，求实数的取值范围． 18. （本小题满分14分）如图,四棱锥,侧面是边长为的正三角形,且与底面ABCD垂直, 底面是的菱形, 为的中点. （1）求证:； （2）在棱上是否存在一点,使得四点共面? 若存在,指出点的位置并证明；若不存在,请说明理由； （3）求点到平面的距离. 19. （本小题满分14分）已知椭圆的方程为：，其中， 直线与椭圆的交点在轴上的射影恰为椭圆的焦点. （1）求椭圆的方程； （2）设直线与椭圆在轴上方的一个交点为，是椭圆的右焦点，试探究以为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆的位置关系. 20. （本小题满分14分）已知函数，，，其中，且. （1）当时，求函数的最大值；（2）求函数的单调区间； （3）设函数若对任意给定的非零实数，存在非零实数（），使得成立，求实数的取值范围.揭阳一中2014-2015学年度高二级第二学期期中考试 （文科）数学试卷参考答案 BACCA BCABB 11、9 12、nn 13、 14、 15、解: (1) …………………………………1分 ………………………………………………2分 ……………………………………………………4分 …………………………………………6分 (2) ，………………………………………8分 ………………………………………………10分 ………………………………………………11分 ，……………………………………………12分 16、解：(1)由频率分布表得0.05＋m＋0.15＋0.35＋n＝1，即m＋n＝0.45. 由抽取的20个零件中，等级为5的恰有2个，得n＝＝0.1，所以m＝0.45－0.1＝0.35.由(1)得，等级为3的零件有3个，记作x1，x2，x3；等级为5的零件有2个，记作y1，y2.从x1，x2，x3，y1，y2中任意抽取2个零件，所有可能的结果为(x1，x2)，(x1，x3)，(x1，y1)，(x1，y2)，(x2，x3)，(x2，y1)，(x2，y2)，(x3，y1)，(x3，y2)，(y1，y2)，共10种． 记事件A为“从零件x1，x2，x3，y1，y2中任取2件，其等级相等”． 则A包含的基本事件有(x1，x2)，(x1，x3)，(x2，x3)，(y1，y2)，共4种． 故所求概率为P(A)＝＝0.4. 17、解：（1）由题意有：①………1分=1时， ………2分 当时，② ………3分 ①-②有： …………5分 ∴是首项为2，公比为3的等比数列， . …………6分 (2)．………………………7分 ∴ ………………………8分 ． ………………………9分 ∴ ………10分 ………11分 ∴恒成立，即．………12分 且∴ ……13分 故． ………14分 18、解：(1)方法一: 取中点,连结,依题意可知△,△均为正三角形, 所以,,又,平面,平面, 所以平面,又平面,所以.………………4分 方法二:连结,依题意可知△,△均为正三角形, 又为的中点,所以,, 又,平面,平面, 所以平面, 又平面,所以.………………4分 （2）当点为棱的中点时,四点共面,证明如下:………………6分 取棱的中点,连结,,又为的中点,所以, 在菱形中,所以,所以四点共面.…………8分 （3）点到平面的距离即点到平面的距离, 由(Ⅰ)可知, 又平面平面,平面平面,平面, 所以平面,即为三棱锥的体高.………………9分 在中,,, 在中,,,边上的高, 所以的面积,………………10分 设点到平面的距离为,由得………………11分 , 又,所以,……13分 解得, 所以点到平面的距离为.………………14分 19、解：(1)设椭圆的左右焦点分别为、，直线与椭圆的一个交点坐标是， ………………………… 2分 根据椭圆的定义得：， 即，即，……………… 4分 又，，联立三式解得 ……………… 6分 所以椭圆的方程为： ……………………………… 7分 (2)由（1）可知，直线与椭圆的一个交点为， 则以为直径的圆方程是，圆心为，半径为 …9分 以椭圆长轴为直径的圆的方程是，圆心是，半径是 ………… 11分 两圆心距为，所以两圆内切. …………………… 14分 20、【答案】⑴-1; ⑵详见解析; ⑶ 试题分析：⑴令g′（x）=0求出根，判断g′（x）在左右两边的符号，得到g（x）在上单调递增，在上单调递减，可知g（x）最大值为g（1），并求出最值； ①当时，∵在上是减函数，则在上不存在实数（），使得，则，要在上存在非零实数（），使得成立，必定有，∴； ②当时，在时是单调函数，则，要在上存在非零实数（），使得成立，必定有，∴. 综上得，实数的取值范围为. ……………（14分）. O Q M D C B A P。

揭阳第三中学2014-2015学年第一学期第一次阶段考试高一数学试题 满分：150分命题人：黄洁珊一．选择题（每题5分，共50分，每题只有一个符合题意的选项） 1．设集合{}1->∈=x Q x A ，则（ ）A ． A ∅∉B ．2A ∉C ．2A ∈D ．{}2⊆A2．给出下列四个对应，其中构成映射的是（ ）A ．（1）（2）B ．（1）（4）C ．（1）（3）（4）D ．（3）（4） 3．下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）A ．y ＝112--x x 与y=x+1 B ．y=x 与y=|x|C ．y=|x|与y ＝2x D ．y ＝12-x 与y=x-14．如图设全集U 为整数集，集合A={x ∈N|1≤x≤8}，B={0，1，2}则图中阴影部分表示的集合的真子集的个数为（ ） A ． 3 B ．4 C ．7 D ．8 5．函数xy --=113的定义域是（ ）()()(]()()[)+∞⋃∞-⋃∞-∞-,1.1,00,.1,00,.1,.D C B A6．若{}21,,0,,b a a a b a ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭，则20052005ab +的值为( ) A.0 B.1 C.1- D.1或1- 7．已知()5412-+=-x x x f ，则()x f 的表达式是（ ）A ．x x 62+B ．782++x xC ．322-+x xD ．1062-+x x8．若函数2(21)1=+-+y x a x 在区间（－∞，2]上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[－23，+∞）B ．（－∞，－23] C ．[23，+∞） D ．（－∞，23]9．若奇函数()x f 在[]3,1上为增函数，且有最小值0，则它在[]1,3--上（ ） A .是减函数，有最小值0 B .是增函数，有最小值0 C .是减函数，有最大值0 D .是增函数，有最大值010. 定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意(]()1212,,0x x x x ∈-∞≠，都有()()21210x x f x f x ->-则（ ）()()().546A f f f -<< ()()().456B f f f <-< ()()().654C f f f <-< ()()().645D f f f <<-二． 填空题（每题5分，共20分）11. 已知集合M={(x ，y )|x ＋y =2}，N={(x ，y )|x －y =4}，那么集合M ∩N ＝ ．12. 已知25(1)()21(1)x x f x x x +>⎧=⎨+≤⎩，则[(1)]f f = .13. 若函数1+=ax y 在上的最大值与最小值的差为2，则实数a 的值是 14. 已知函数f(x)满足f(xy)=f(x)+f(y),且f(2)=p,f(3)=q ，那么f(36)= ．16. （12分）已知集合A={}71<≤x x ，B={x|2<x<10}，C={x|x<a }，全集为实数集R ． （Ⅰ）求A ∪B ，(C R A)∩B ；（Ⅱ）如果A ∩C ≠φ，求a 的取值范围．17. （14分）已知方程02=++q px x 的两个不相等实根为βα,．集合},{βα=A ，=B {2，4，5，6}，=C {1，2，3，4}，A ∩C ＝A ，A ∩B ＝φ，求q p ,的值？18.（14分）已知函数2()21f x x =-． （1）用定义证明()f x 是偶函数；（2）用定义证明()f x 在(,0]-∞上是减函数；（3）作出函数()f x 的图像，并写出函数()f x 当[1,2]x ∈-时的最大值与最小值．19. （14分）已知函数()f x 是定义在[1,1]-上的奇函数，且()f x 在定义域上是减函数，（1）求函数(1)y f x =-定义域；（2）若(2)(1)0f x f x -+-<，求x 的取值范围．20. （14分） 已知：函数()f x 对一切实数,x y 都有()()f x y f y +-=(21)x x y ++成立，且(1)0f =.（1）求(0)f 的值。

2014-2015学年广东省揭阳一中高一（下）第一次段考数学试卷（理科）一、选择题：（每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）1．sin（﹣120°）的值为（）A．B．C．D．2．平行线3x+4y﹣9=0和6x+my+2=0的距离是（）A．B． 2 C．D．3．已知lg2=a，lg3=b，则log36=（）A．B．C．D．4．过点P（1，1）的直线被圆x2+y2=4截得的弦取得最小值，则该直线的方程为（）A． x+y﹣2=0 B． y﹣1=0 C． x﹣y=0 D． x+3y﹣4=05．幂函数f（x）的图象过点，那么f（8）的值为（）A．B． 64 C．D．6．若函数f（x）=ax+b有一个零点是2，那么函数g（x）=bx2﹣ax的零点是（）A． 0，2 B． 0，C． 0，﹣D． 2，﹣7．已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为（）A．120°B．150°C．180°D．240°8．不论m取何值，直线mx﹣y+2m+1=0恒过定点（）A．B．（﹣2，1）C．（2，﹣1）D．9．已知直线l过定点P（﹣1，2），且与以A（﹣2，﹣3），B（﹣4，5）为端点的线段有交点，则直线l的斜率k的取值范围是（）A． [﹣1，5] B．（﹣1，5）C．（﹣∞，﹣1]∪[5，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（5，+∞）10．与圆x2+（y﹣2）2=1相切，且在坐标轴上截距相等的直线有（）A． 2条B． 3条C． 4条D． 6条二、填空题：（本大题4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答卷上）11．点P（1，2，3）关于xoy平面的对称点的坐标是．12．已知角β的终边在直线上，且﹣180°≤β≤180°，则β= ．13．已知点O（0，0），A（1，1），直线l：x﹣y+1=0且点P在直线l上，则|PA|+|PO|的最小值为．14．直线：y=x+b与曲线：有二个不同的公共点，则b的取值范围是．三.解答题（本大题共6题，满分80分）15．已知集合A={x|x2﹣x﹣12≤0}，B={x|2m﹣1＜x＜m+1}（1）若m=﹣1，求A∩∁R B；（2）若A∪B=A，求实数m的取值范围．16．已知0＜x＜，求值：（1）sinx﹣cosx；（2）2sin2x+cos2x﹣3sinxcosx．17．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥底面ABCD，M，N分别是PA、BC的中点（1）求证：平面PAC⊥平面PBD（2）求证：MN∥平面PCD．18．设a是实数，f（x）=a﹣（Ⅰ）证明：对于任意实数a，f（x）在R上为增函数；（Ⅱ）如果f（x）为奇函数，试确定a的值．（Ⅲ）当f（x）为奇函数时，求f（x）的值域．19．圆x2+y2=8内有一点P（﹣1，2），AB为过点P的弦，（1）若|AB|=2，求出直线AB的方程；（2）设过P点的弦的中点为M，求点M的坐标所满足的关系式．20．在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2+y2=64，圆O1与圆O相交，圆心为O1（9，0），且圆O1上的点与圆O上的点之间的最大距离为21．（1）求圆O1的标准方程；（2）过定点P（a，b）作动直线l与圆O，圆O1都相交，且直线l被圆O，圆O1截得的弦长分别为d，d1．若d与d1的比值总等于同一常数λ，求点P的坐标及λ的值．2014-2015学年广东省揭阳一中高一（下）第一次段考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）1．sin（﹣120°）的值为（）A．B．C．D．考点：运用诱导公式化简求值．专题：三角函数的求值．分析：原式中的角度变形后，利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可得到结果．解答：解：sin（﹣120°）=﹣sin120°=﹣sin（180°﹣60°）=﹣sin60°=﹣，故选：D．点评：此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．2．平行线3x+4y﹣9=0和6x+my+2=0的距离是（）A．B． 2 C．D．考点：两条平行直线间的距离．专题：直线与圆．分析：利用两直线平行求得m的值，化为同系数后由平行线间的距离公式得答案．解答：解：由直线3x+4y﹣9=0和6x+my+2=0平行，得m=8．∴直线6x+my+2=0化为6x+8y+2=0，即3x+4y+1=0．∴平行线3x+4y﹣9=0和6x+my+2=0的距离是．故选：B．点评：本题考查了两条平行线间的距离公式，利用两平行线间的距离公式求距离时，一定要化为同系数的方程，是基础的计算题．3．已知lg2=a，lg3=b，则log36=（）A．B．C．D．考点：对数值大小的比较．专题：函数的性质及应用．分析：利用对数的换底公式和运算法则即可得出．解答：解：∵a=lg2，b=lg3，∴log36===，故选：D．点评：本题考查了对数的换底公式和运算法则，属于基础题．4．过点P（1，1）的直线被圆x2+y2=4截得的弦取得最小值，则该直线的方程为（）A． x+y﹣2=0 B． y﹣1=0 C． x﹣y=0 D． x+3y﹣4=0考点：直线与圆相交的性质．专题：计算题；直线与圆．分析：过点P的直线中，被圆截得的弦长最短时，弦心距最大，故当且仅当与OP垂直时，弦长最短，求出直线的斜率，即可得到直线的方程．解答：解：过点P的直线中，被圆截得的弦长最短时，弦心距最大，故当且仅当与OP垂直时，弦长最短，∵OP的斜率为1，∴所求直线的斜率为﹣1，∴所求直线的方程为y﹣1=﹣（x﹣1），即x+y﹣2=0，故选：A．点评：本题考查直线和圆的方程的运用，考查弦长问题，解题的关键是得到过点P的直线中，被圆截得的弦长最短时，弦心距最大．5．幂函数f（x）的图象过点，那么f（8）的值为（）A．B． 64 C．D．考点：幂函数的单调性、奇偶性及其应用．专题：计算题．分析：先设出幂函数解析式，再通过经过点（4，），解得参数a的值，从而求得其解析式，再代入 8求值．解答：解：设幂函数为：y=xα∵幂函数的图象经过点（4，），∴=4α∴α=﹣∴∴f（8）==故选A．点评：本题主要考查幂函数求解析式和求函数值问题．幂函数要求较低，但在构造函数和幂的运算中应用较多．不能忽视．6．若函数f（x）=ax+b有一个零点是2，那么函数g（x）=bx2﹣ax的零点是（）A． 0，2 B． 0，C． 0，﹣D． 2，﹣考点：函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数f（x）的零点，求出b=﹣2a，然后利用一元二次函数的性质即可得到结论．解答：解：函数f（x）=ax+b有一个零点是2，∴f（2）=2a+b=0，即b=﹣2a，则g（x）=bx2﹣ax=﹣2ax2﹣ax=﹣ax（2x+1），由g（x）=0得x=0或x=﹣，故函数g（x）=bx2﹣ax的零点是0，﹣，故选：C点评：本题主要考查函数零点的求解，根据函数零点的定义是解决本题的关键．7．已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为（）A．120°B．150°C．180°D．240°考点：扇形面积公式；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：计算题．分析：圆锥的全面积是底面积的3倍，那么母线和底面半径的比为2，求出侧面展开图扇形的弧长，可求其圆心角．解答：解：圆锥的全面积是底面积的3倍，那么母线和底面半径的比为2，设圆锥底面半径为1，则圆锥母线长为2，圆锥的侧面展开图扇形的弧长是圆锥底面周长为2π，该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角：π，即180°故选C．点评：本题考查圆锥的侧面展开图，及其面积等知识，考查空间想象能力，是基础题．8．不论m取何值，直线mx﹣y+2m+1=0恒过定点（）A．B．（﹣2，1）C．（2，﹣1）D．考点：恒过定点的直线．专题：直线与圆．分析：把直线方程中参数m分离出来，再利用m（ax+by+c）+（a′x+b′y+c′）=0 经过直线ax+by+c=0和直线a′x+b′y+c′=0的交点，可得定点的坐标．解答：解：直线mx﹣y+2m+1=0，即 m（x+2）﹣y+1=0，令x+2=0，可得x=﹣2，y=1，故直线mx﹣y+2m+1=0恒过定点（﹣2，1），故选：B．点评：本题主要考查直线过定点问题，利用了m（ax+by+c）+（a′x+b′y+c′）=0 经过直线ax+by+c=0和直线a′x+b′y+c′=0的交点，属于基础题．9．已知直线l过定点P（﹣1，2），且与以A（﹣2，﹣3），B（﹣4，5）为端点的线段有交点，则直线l的斜率k的取值范围是（）A． [﹣1，5] B．（﹣1，5）C．（﹣∞，﹣1]∪[5，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（5，+∞）考点：直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系．专题：直线与圆．分析：先利用斜率公式求得直线PA，PB的斜率结合图象可得则直线l的斜率k的取值范围．解答：解：直线PA的斜率为 k1==5，直线PB的斜率为 k2==﹣1，结合图象可得则直线l的斜率k的取值范围是 k2≤k≤k1，即则直线l的斜率k的取值范围是[﹣1，5]，故选A．点评：本题主要考查直线的斜率和倾斜角的关系，直线的斜率公式，体现了数形结合的数学思想，属于基础题．10．与圆x2+（y﹣2）2=1相切，且在坐标轴上截距相等的直线有（）A． 2条B． 3条C． 4条D． 6条考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题．分析：当所求直线方程与坐标轴的截距等于0，即直线过原点时，显然满足题意的直线有两条；当所求直线与坐标轴的截距相等，不为0时，由题意设出所求直线的方程为x+y=a，根据所求直线与圆相切，利用点到直线的距离公式表示出圆心到所设直线的距离d，让d等于圆的半径r列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值，根据求出a值有两个即可得到满足题意的直线有两条，综上，得到满足题意的直线有4条．解答：解：当所求直线的方程的截距为0时，直线过原点，显然有两条直线满足题意；当截距不为0时，设所求直线的方程为：x+y=a（a≠0）由圆的方程得到：圆心坐标为（0，2），圆的半径为r=1，则圆心到直线的距离d==r=1，即（a﹣2）2=2，解得：a=2±，满足题意a的值有2个，所以满足题意的直线有2条．综上，满足题意的直线有4条．故选C点评：此题考查学生掌握直线与圆相切时满足的条件，灵活运用点到直线的距离公式化简求值，是一道基础题．二、填空题：（本大题4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答卷上）11．点P（1，2，3）关于xoy平面的对称点的坐标是（1，2，﹣3）．考点：空间中的点的坐标．专题：空间位置关系与距离．分析：根据空间点的对称的性质进行求解．解答：解：点P（1，2，3）关于xoy平面的对称，则横坐标，纵坐标不变，竖坐标相反，即（1，2，﹣3），故答案为：（1，2，﹣3）点评：本题主要考查空间坐标对称性的性质，比较基础．12．已知角β的终边在直线上，且﹣180°≤β≤180°，则β= ﹣60°或120°．考点：直线的倾斜角．专题：三角函数的求值；直线与圆．分析：根据直线的方程求出它的倾斜角，再根据终边相同的角求出β的值．解答：解：∵直线的斜率为﹣，∴直线的倾斜角为120°；又角β的终边在直线上，∴{β|β=120°+k•180°，k∈Z}，且﹣180°≤β≤180°，∴β=﹣60°或120°．故答案为：﹣60°或120°．点评：本题考查了直线方程的应用问题，也考查了终边相同的角的应用问题，是基础题目．13．已知点O（0，0），A（1，1），直线l：x﹣y+1=0且点P在直线l上，则|PA|+|PO|的最小值为 2 ．考点：与直线关于点、直线对称的直线方程；两点间的距离公式．专题：直线与圆．分析：求出A关于直线y=x+1的对称点的坐标，利用两点间的距离公式，即可求得最小值．解答：解：设A关于直线y=x+1的对称点的坐标为A′（a，b），则∴a=0，b=2∴|PA|+|PO|最小为OA′=2，故答案为：2．点评：本题考查点关于直线的对称点，考查两点间距离公式的应用，属于基础题．14．直线：y=x+b与曲线：有二个不同的公共点，则b的取值范围是（﹣，﹣1] ．考点：直线与圆相交的性质．专题：直线与圆．分析：曲线表示圆心在原点，半径为1的y轴右侧的半圆，画出两函数图象，根据两函数有两个不同的交点即可确定出b的范围．解答：解：如图所示，曲线x=表示圆心在原点，半径为1的y轴右侧的半圆，当直线y=x+b与半圆相切，且切点在第四象限时，圆心到直线的距离d=r，即=1，解得：b=（舍去）或b=﹣，当直线y=x+b过（1，0）时，将x=1，y=0代入解析式得：0=1+b，即b=﹣1，则直线与曲线有两个不同交点时，b的取值范围为（﹣，﹣1]．故答案为：（﹣，﹣1]点评：此题考查了直线与圆相交的性质，利用了数形结合的思想，抓住两个关键点是解本题的关键．三.解答题（本大题共6题，满分80分）15．已知集合A={x|x2﹣x﹣12≤0}，B={x|2m﹣1＜x＜m+1}（1）若m=﹣1，求A∩∁R B；（2）若A∪B=A，求实数m的取值范围．考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：（1）若m=﹣1，化简集合，即可求A∩∁R B；（2）若A∪B=A，B⊆A，利用集合关系即可求实数m的取值范围．解答：解：（1）若m=﹣1，则B={x|﹣3＜x＜0}，所以C R B={x|x≤﹣3或x≥0}，（2分）又A={x|（x﹣4）（x+3）≤0}={x|﹣3≤x≤4}，（4分）所以A∩C R B={x|0≤x≤4或x=﹣3}；（5分）（2）因为A∪B=A所以B⊆A，（6分）当B=Φ时，显然B⊆A，此时2m﹣1≥m+1解得m≥2；（8分）当B≠Φ时，则由B⊆A得﹣3≤2m﹣1＜m+1≤4，解得﹣1≤m＜2；（11分）综合上述，实数m的取值范围为m≥﹣2分）点评：本题主要考查集合的基本运算，根据集合关系建立不等式关系是解决本题的关键．16．已知0＜x＜，求值：（1）sinx﹣cosx；（2）2sin2x+cos2x﹣3sinxcosx．考点：三角函数的化简求值．专题：三角函数的求值．分析：（1）两边平方，先求出2sinxcosx=，再求出（sinx﹣cosx）2=，根据角的范围，即可求出sinx﹣cosx，（2）根据（1）求出sinx，cosx的值，化简代入即可．解答：解：（1）∵sinx+cosx=，∴（sinx+cosx）2=1+2sinxcosx=，∴2sinxcosx=，∴（sinx﹣cosx）2=1﹣2sinxcosx=，∵0＜x＜∴sinx＜cosx，∴，（2）由得，∴2sin2x+cos2x﹣3sinxcosx=1+sin2x﹣3sinxcosx，=，=．点评：本题考查了三角函数值的化简与计算，属于基础题．17．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥底面ABCD，M，N分别是PA、BC的中点（1）求证：平面PAC⊥平面PBD（2）求证：MN∥平面PCD．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）由已知中底面ABCD是正方形，PD⊥底面ABCD，结合正方形的性质及线面垂直的性质，可得AC⊥BD，PD⊥AC，由线面垂直的判定定理得AC⊥平面PBD，再由面面垂直的判定定理可得平面PAC⊥平面PBD；（2）取AD中点E，连接ME，NE，结合已知条件，由三角形中位线定理可得ME∥PD，NE∥CD，由面面平行的判定定理易判断出平面MNE∥平面PCD，再由面面平行的判定定理得到MN ∥平面PCD；解答：证明：（1）∵面ABCD为正方形∴AC⊥BD （1分）∵PD⊥面ABCD AC⊂面ABCD∴PD⊥AC （3分）又PD∩AD=D （4分）∴AC⊥面PBD （5分）又AC⊂面PAC （6分）∴平面PAC⊥平面PBD （7分）（2）取PD的中点E，连接ME、CE （9分）∵E、M、N分别为PD、PA、BC的中点∴ME∥AD CN∥AD∴ME∥CN，∴四边形MECN为平行四边形（11分）∴MN∥CE （12分）有MN⊄面PCD CE⊂面PCD∴MN∥面PCD （14分）点评：本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，平面与平面垂直的判定，其中（1）的关键是证得AC⊥平面PBD，（2）的关键是得到平面MNE∥平面PCD．18．设a是实数，f（x）=a﹣（Ⅰ）证明：对于任意实数a，f（x）在R上为增函数；（Ⅱ）如果f（x）为奇函数，试确定a的值．（Ⅲ）当f（x）为奇函数时，求f（x）的值域．考点：函数单调性的判断与证明；奇偶性与单调性的综合．专题：函数的性质及应用．分析：（1）定义证明函数的单调性，（2）利用奇函数在0处有定义，则有f（0）=0，（3）根据反比例函数性质和不等式性质求函数的值域．解答：解：（1）设x1，x2是R内任意两实数，且x1＜x2，所以=，因为x1＜x2，所以，所以，，，所以f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），所以f（x）在R上为增函数．（2）因为f（x）为R上的奇函数，所以，所以．（3）由（2）知，f（x）=，因为x∈R，所以2x+1＞1，所以，，所以f（x）的值域为．点评：本题考察函数奇偶性和单调性的综合，此题单调性用定义比用导数容易一些，（3）中的值域主要利用反比例函数模型结合不等式的性质求解．19．圆x2+y2=8内有一点P（﹣1，2），AB为过点P的弦，（1）若|AB|=2，求出直线AB的方程；（2）设过P点的弦的中点为M，求点M的坐标所满足的关系式．考点：直线与圆相交的性质．专题：综合题；直线与圆．分析：（1）分类讨论，利用点线距离公式，即可求出直线AB的方程；（2）设过P点的弦的中点为M，分类讨论，利用k OM•k MP=﹣1，即可求点M的坐标所满足的关系式．解答：解：（1）因为所以圆心到直线的距离为（1分）当直线AB的斜率不存在时，x=﹣1此时d=1符合题意（3分）当直线AB的斜率存在时，可设方程为y﹣2=k（x+1）即kx﹣y+k+2=0所以解得此时直线的方程为即3x+4y﹣5=0（6分）综合上述，直线AB的方程为x=﹣1或3x+4y﹣5=0 （7分）（2）设AB的中点为M（x，y），则OM⊥AB（8分）当OM的斜率和AB斜率都存在时：则k OM•k MP=﹣1即（11分）当OM斜率不存在时点M为（0，2）满足上式，当AB斜率不存在时点M为（﹣1，0）亦满足上式，所以M点的轨迹为x2+y2﹣2y+x=0．（14分）点评：本题考查直线与圆的位置关系，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20．在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2+y2=64，圆O1与圆O相交，圆心为O1（9，0），且圆O1上的点与圆O上的点之间的最大距离为21．（1）求圆O1的标准方程；（2）过定点P（a，b）作动直线l与圆O，圆O1都相交，且直线l被圆O，圆O1截得的弦长分别为d，d1．若d与d1的比值总等于同一常数λ，求点P的坐标及λ的值．考点：直线和圆的方程的应用；圆的标准方程．专题：综合题．分析：（1）圆O1的半径为4，圆心为O1（9，0），从而可得圆O1的标准方程；（2）当直线l的斜率存在时，设方程为y﹣b=k（x﹣a），求出O，O1到直线l的距离，从而可得d与d1的值，利用d与d1的比值总等于同一常数λ，建立方程，从而利用等式对任意实数k恒成立，得到三个方程，由此可得结论．解答：解：（1）∵圆O：x2+y2=64，圆O1与圆O相交，圆O1上的点与圆O上的点之间的最大距离为21，∴圆O1的半径为4，∵圆心为O1（9，0），∴圆O1的标准方程为（x﹣9）2+y2=16；（2）当直线l的斜率存在时，设方程为y﹣b=k（x﹣a），即kx﹣y﹣ka+b=0∴O，O1到直线l的距离分别为，∴，∵d与d1的比值总等于同一常数λ，∴64﹣=λ2[16﹣]∴[64﹣a2﹣16λ2+λ2（a﹣9）2]k2+2b[a﹣λ2（a﹣9）]k+64﹣b2﹣λ2（16﹣b2）=0由题意，上式对任意实数k恒成立，所以64﹣a2﹣16λ2+λ2（a﹣9）2=0，2b[a﹣λ2（a﹣9）]=0，64﹣b2﹣λ2（16﹣b2）=0同时成立，①如果b=0，则64﹣16λ2=0，∴λ=2（舍去负值），从而a=6或18；∴λ=2，P（6，0），P（18，0）②如果a﹣λ2（a﹣9）=0，显然a=9不满足，从而，3a2﹣43a+192=0，△=432﹣4×3×192=﹣455＜0，故方程无解，舍去；当点P的坐标为（6，0）时，直线l的斜率不存在，此时d=，，∴也满足综上，满足题意的λ=2，点P有两个，坐标分别为（6，0），（18，0），斜率不存在时 P（18，0），直线与圆外离，舍去．点评：本题考查圆的标准方程，考查恒成立问题，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力．。

揭阳一中—学年度高三平时测试一数 学〔文科〕第I 卷 〔选择题〕〔50分〕一、选择题：本大题共10小题，每题5分，总分值50分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．1．}2,1{=A ，}21|{<≤∈=x R x B ，那么B A 为( ) A.}2,1{ B.}1{ C.}21|{≤≤x x D.}1|{≥x x2．不等式0322>--x x 的解集是〔 〕 A.1|{<x x 或}3->x B.1|{-<x x 或}3>x C.}11|{<<-x xD.}13|{<<-x x3．以下命题中的真命题是 ( )A.x ∃∈R ,使得 sin cos 1.5x x +=B.(0,),1xx e x ∀∈+∞>+ C.(,0),23x x x ∃∈-∞< D.(0,),sin cos x x x π∀∈>4．函数)10(||<<=a x xa y x的图象的大致形状是( )5．某种商品的零售价年比 年上涨25％，由于采取措施控制物价结果使年的物 价仅比 年上涨10％，那么年比年的物价下降〔 〕 A.15％ B.12％ C.10％ D.5％ 6．函数f 〔x 〕=2-+x e x的零点所在的一个区间是〔 〕A.〔-2,-1〕B.〔-1,0〕C.〔0,1〕D.〔1,2〕 7．记函数()f x 的反函数为1()fx -,假设x x f a log )(=且2)9(=f ，那么)2log (91--f 的值是〔 〕A.2B.2C.22D.2log 3 8．设函数⎩⎨⎧<+≥+-=0,60,64)(2x x x x x x f 那么不等式)1()(f x f >的解集是〔 〕A.),3()1,3(+∞⋃-B.),2()1,3(+∞⋃-C.),3()1,1(+∞⋃-D.)3,1()3,(⋃--∞9．不等式2313x x a a +--≤-对任意实数x 恒成立，那么实数a 的取值范围为〔 〕A.),4[]1,(+∞--∞ B.),4()1,(+∞--∞ C.(,4][1,)-∞-+∞D.),4[)1,(+∞--∞10．假设实数a ，b 满足a ≥0，b ≥0，且ab ＝0，那么称a 与b 互补．记φ(a ，b )＝a 2＋b 2－a －b ，那么φ(a ，b )＝0是a 与b 互补的( ) A.必要而不充分的条件 B.充分而不必要的条件 C.充要条件D.既不充分也不必要的条件第II 卷〔非选择题〕〔100分〕二、填空题：本大题共4小题，每题5分，总分值20分． 11．幂函数3222)1(--•--=m m xm m y ，当),0(+∞∈x 时为减函数，那么实数m 的值为12．假设2,4==b a ，那么4216132332)b (a b b a ab ⋅⋅=13．函数||sin 1()()||1x x f x x R x -+=∈+的最大值为M ，最小值为m ，那么M m +=______14．以下几个命题：①方程2(3)0x a x a +-+=有一个正实根，一个负实根，那么0a <；②函数y =③函数()f x 的值域是[2,2]-，那么函数(1)f x +的值域为[3,1]-；④设函数()y f x =定义域为R ，那么函数(1)y f x =-与(1)y f x =-的图象关于y 轴对称； ⑤一条曲线2|3|y x =-和直线 ()y a a R =∈的公共点个数是m ，那么m 的值不可能是1．其中正确的有_________________三．解答题：本大题共6小题，总分值80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 15．〔此题总分值12分〕p ：∣1－2x ∣≤ 5，q ：x 2－4x +4－9m 2≤ 0 (m ＞0)，假设⌝p 是⌝q 的充分而不必要条件，求实数m 的取值范围．16．〔此题总分值12分〕函数)10,0(132)(22≤≤>-+-=x a a ax x x f ，求)(x f 的最大 值和最小值．17．〔此题总分值14分〕商店出售茶壶和茶杯，茶壶每个定价20元，茶杯每个定价5元，该店推出两种优惠方法：〔1〕买一个茶壶赠送一个茶杯；〔2〕按总价的92%付款．某顾客需购茶壶4个，茶杯假设干个〔不少于4个〕，假设以购置茶杯数为x 个，付款数为y 〔元〕，试分别建立两种优惠方法中y 与x 之间的函数关系式，并讨论该顾客买同样多的茶杯时，两种方法哪一种更省钱．18．〔此题总分值14分〕函数()log (1)log (1)a a f x x x =+-- (a ＞0且a ≠1). (1) 求()f x 的定义域；(2) 判断()f x 的奇偶性并予以证明；(3) 当1a >时，求使()0f x >成立的x 的取值范围．19．〔此题总分值14分〕函数f(x)的定义域为R ，且满足f(x+2)=－f(x)〔1〕求证：f(x)是周期函数；〔2〕假设f(x)为奇函数，且当0≤x≤1时，f(x)=21x, 求f(x)在［－1，3］的解析式; 〔3〕在(2)的条件下．求使f(x)=－21在［0，2 011］上的所有x 的个数．20．〔此题总分值14分〕设函数22()f x a x =〔0a >〕，()ln g x b x =．(1) 将函数()y f x =图象向右平移一个单位即可得到函数()y x ϕ=的图象，试写出()y x ϕ=的解析式及值域；(2) 关于x 的不等式2(1)()x f x ->的解集中的整数恰有3个，求实数a 的取值范围； (3) 对于函数()f x 与()g x 定义域上的任意实数x ，假设存在常数,k m ，使得()f x kx m ≥+和()g x kx m ≤+都成立，那么称直线y kx m =+为函数()f x 与()g x 的“分界线〞．设22a =，b e =，试探究()f x 与()g x 是否存在“分界线〞？假设存在，求出“分界线〞的方程；假设不存在，请说明理由．文科数学答案一. 选择题 BBBDB CCAAC二. 填空题 11. 2 12. 2 13. 2 14. ①⑤三、解答题: 本大题共6小题，共80分．解容许写出必要的文字说明，证明过程及演算步骤． 15、解：解不等式可求得：p ：－2≤x ≤3，…………………2分 q ：2－3m ≤x ≤2+3m (m ＞0)．…………………4分那么 ⌝p ：A ={x ∣x ＜－2或x ＞3}，⌝q ：B ={x ∣x ＜2－3m 或x ＞2+3m ，m ＞0}．……6分由 ⌝p ⇒⌝q ，得A B ． …………………8分 从而 310.0,332,232≤<⇒⎪⎩⎪⎨⎧>≤+-≥-m m m m ．…………………11分(上述不等式组中等号不能同时取)．经验证．．310≤<m 为所求实数m 的取值范围．………12分16．(1)解：12)(132)(2222-+-=-+-=a a x a ax x x f ……………2分 由0>a 知，当1≥a 时，由于)(x f 在[0，1]上是减函数，故)(x f 的最大值为,13)0(2-=a f 最小值为;23)1(2a a f -= ……………6分当210<<a 时， )(x f 的最大值为a a f 23)1(2-=，最小值为;12)(2-=a a f …………9分 当112a <<时， )(x f 的最大值为,13)0(2-=a f ，最小值为.12)(2-=a a f …………12分17．解：由优惠方法〔1〕可得函数关系式为：y 1=20×4+5(x －4)= 5x +60(x ≥4); …………3分由优惠方法〔2〕得：y 2=(5x +20×4)×92%=4．6x +73．6(x ≥4), …………………6分 对以上两种优惠方法比拟得：y 1－y 2=0．4x －13．6(x ≥4),令y 1－y 2=0,得x =34． ……………9分可知当购置34只茶杯时，两法付款相同；…………………10分当4≤x ≤34时，y 1<y 2,优惠方法〔1〕省钱；…………………12分 当x ≥34时，y 1>y 2,优惠方法〔2〕省钱． …………………14分 18、解：〔1〕因为()log (1)log (1)a a f x x x =+-- (a ＞0且a ≠1)∴⎩⎨⎧>->+0101x x ，解得11<<-x ………… 3分故所求函数)(x f 的定义域为}11|{<<-x x ………… 4分〔2〕由〔1〕知)(x f 的定义域为}11|{<<-x x ，关于原点对称………… 5分 又()log (1)log (1)[log (1)log (1)]()a a a a f x x x x x f x -=-+-+=-+--=-………… 7分 故)(x f 为奇函数. ………… 8分〔3〕因为当1a >时，()f x 在定义域}11|{<<-x x 内是增函数，………… 10分 所以1()011x f x x+>⇔>-，解得10<<x ………… 13分 所以，使得()0f x >成立的x 的取值范围是}10|{<<x x . ………… 14分19解：〔1〕证明:∵f〔x+2〕=－f 〔x 〕，∴f〔x+4〕=－f 〔x+2〕=－［－f 〔x 〕］=f 〔x 〕，…… 2分∴f〔x 〕是周期函数，且4为一个周期． …………… 4分〔2〕解 当0≤x≤1时，f(x)=21x,设-1≤x≤0,那么0≤-x≤1,∴f〔-x 〕=21〔-x 〕=-21x ． ∵f(x)是奇函数，∴f〔-x 〕=-f 〔x 〕,∴-f 〔x 〕=-21x ，即f(x)=21x ． ……………6分故f(x)= 21x(-1≤x≤1) …………… 8分又设1＜x ＜3,那么-1＜x-2＜1,∴f(x -2)= 21(x-2), 又∵f〔x-2〕=-f 〔2-x 〕=-f 〔〔-x 〕+2〕=-［-f 〔-x 〕］=-f 〔x 〕，∴-f 〔x 〕=21〔x-2〕，∴f〔x 〕=-21〔x-2〕〔1＜x ＜3〕．∴f〔x 〕=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<--≤≤-)31()2(21)11(21x x x x …………… 10分由f(x)=- 21,解得x=-1．∵f〔x 〕是以4为周期的周期函数． ∴f(x)=- 21的所有解为x=4n-1 (n∈Z )． ……………12分令0≤4n -1≤2 011,那么41≤n≤503,又∵n∈Z ，∴1≤n≤503 〔n∈Z 〕,∴在［0，2 011］上共有503个x 使f(x)=- 21． ……………14分20.解：〔1〕22()(1)x a x ϕ=-，值域为[0,)+∞ …………2分 〔2〕不等式2(1)()x f x ->的解集中的整数恰有3个，等价于22(1)210a x x --+>恰有三个整数解，故210a -<， …………4分 令22()(1)21h x a x x =--+，由(0)10h =>且2(1)0(0)h a a =-<>， 所以函数22()(1)21h x a x x =--+的一个零点在区间(0,1)，那么另一个零点一定在区间[3,2)--， …………6分故(2)0,(3)0,h h ->⎧⎨-≤⎩解之得4332a ≤<． …………8分解法二：22(1)210a x x --+>恰有三个整数解，故210a -<，即1a >，…………4分[][]22(1)21(1)1(1)10a x x a x a x --+=--+->，所以1111x a a <<-+，又因为1011a<<+， …………6分 所以1321a -≤<--，解之得4332a ≤<． ……8分 〔3〕设21()()()ln 2F x f x g x x e x =-=-，那么2'(()e x e x x F x x x x x-=-==．所以当0x <<'()0F x >；当x >'()0F x <．因此x =()F x 取得最小值0，那么()f x 与()g x 的图象在x =)2e． ………10分设()f x 与()g x 存在 “分界线〞，方程为(2ey k x -=，即2ey kx =+-由()2e f x kx ≥+-x ∈R 恒成立，那么2220x kx e --+≥在x ∈R 恒成立 ．所以22244(2)4844(0k e k e k ∆=-=-=≤成立，因此k = ………12分下面证明()(0)2eg x x ≤->恒成立．设()ln 2e G x e x =-，那么()e G x x '==．所以当0x <<'()0G x >；当x >'()0G x <．因此x =()G x 取得最大值0，那么()(0)2ef x x ≤->成立．故所求“分界线〞方程为：2ey =-． …………14分。

揭阳市2015年高中毕业班第一次高考模拟考试数学(文科)试题 第1页（共4页）通知： 各位”羽十俱进”的队员，为了更好地开展协会活动，提高整体羽毛球水平，请各位进行搭档组合展开针对性更强的训练，项目包括男双、女双、混双，每人至少报一项，限报两项（有兴趣的也可另报单打），女队员至少报一项女双。

希望大家尽快找好自己的搭档（名单详见收件人），周三前将组合名单报至卢华处。

报名统计完毕后将分组每周展开定时训练和比赛，每周训练时间为周一和周四，报名的时候顺便报一下你这个组合哪天有空参加训练。

谢谢支持！绝密★启用前揭阳市2015年高中毕业班高考第一次模拟考试数学(文科)本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须填写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 参考公式：棱锥的体积公式：13V Sh =．其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高． 导数公式： 若()sin(1)f x x =-，则'()cos(1)f x x =-； 若()cos(1)f x x =-，则'()sin(1)f x x =--．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{4,5,6,8},{3,5,7,8}A B ==，则A B 中元素的个数为A ．5B ．6C ．7D ．8 2．已知复数(87)(3)z i i =---，则z 在复平面内对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．“a b >”是 “22a b >”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件揭阳市2015年高中毕业班第一次高考模拟考试数学(文科)试题 第2页（共4页）4．双曲线222214x y a a -=(0)a >的离心率为A.C.2D. 5．已知(sin ,cos ),2,1a b αα==（-），若a b ⊥，则tan α的值为 A. 2- B. 2 C.12 D. 12- 6．已知函数log a y x =(0,1)a a >≠的图象经过点1(2,)2，则其反函数的解析式为A. 4x y =B.4log y x =C.2x y =D. 1()2xy =7．某单位200名职工的年龄分布情况如图1示，该单位为了 解职工每天的睡眠情况，按年龄用分层抽样方法从中抽取 40名职工进行调查.则应从40-50岁的职工中抽取的人数为 A.8 B.12 C.20 D.30 8．不等式组5315+15 3.x y y x x y +≤⎧⎪≤⎨⎪-≤⎩，，表示的平面区域的面积为 图1A. 14B.5C. 3D. 79．设,l m 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题为真命题的是 A.若//,//,//m l m l αα则； B.若,,//m l m l αα⊥⊥则；C.若//,,//,l m l m αβαβ⊥⊥则；D.若,//,,//,//m m l l αββααβ⊂⊂则.10. 对任意的a 、b R ∈，定义：min{,}a b =,().()a a b b a b <⎧⎨≥⎩；max{,}a b =,().()a ab b a b ≥⎧⎨<⎩.则下列各式中恒成立的个数为①min{,}max{,}a b a b a b =++ ②min{,}max{,}a b a b a b =--③(min{,})(max{,})a b a b a b =⋅⋅ ④(min{,})(max{,})a b a b a b =÷÷ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11－13题）11．不等式23100x x --<的解集为 ．揭阳市2015年高中毕业班第一次高考模拟考试数学(文科)试题 第3页（共4页）3648788451162139496612413415910288757145699398109977546196183120703612601 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 3080日期（AQI ）指数4012016020012．在△ABC 中，A B C ∠∠∠、、的对边分别为a b c 、、，若3a =，2B A ∠=∠，cos A =， 则b = ．13．已知函数3()f x x =对应的曲线在点(,())()k k a f a k N *∈处的切线与x 轴的交点为1(,0)k a +，若11a =31010(1()3f a ++=- ．（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14. (坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系中，直线sin(ρθ+被圆=4ρ截得的弦长为 . 15．（几何证明选讲选做题）如图2，BE 、CF△ABC 的两条高，已知1,AE =3,AB CF ==则BC 边的长为 ． 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16.(本小题满分12分)已知函数()2sin()(0,)6f x x x R ωωπ=+>∈的最小正周期为π. （1）求ω的值； （2）若2()3f α=，(0,)8πα∈，求cos 2α的值.17.(本小题满分12分)图3是某市今年1月份前30天空气质量指数（AQI ）的趋势图.图3（1）根据该图数据在答题卷中完成频率分布表，并在图4中补全这些数据的频率分布直方图；揭阳市2015年高中毕业班第一次高考模拟考试数学(文科)试题 第4页（共4页）（2）当空气质量指数（AQI ）小于100时，表示空气质量优良．某人随机选择当月（按30天计）某一天到达该市，根据以上信息，能否认为此人到达当天空气质量优良的可能性超过60%？（图中纵坐标1/300即1300，以此类推）图418．（本小题满分14分）如图5，已知BCD ∆中，90,1BCD BC CD ∠===，AB =AB ⊥平面BCD ，E 、F 分别是AC 、AD 的中点．（1）求证：平面BEF ⊥平面ABC ；（2）设平面BEF 平面BCD l =，求证//CD l ； （3）求四棱锥B-CDFE 的体积V ．图519. (本小题满分14分)已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，3(1)n n S na n n =--（*n N ∈），且212a =．（1）求1a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式； （3）求证：1211113n S S S +++<． 20. (本小题满分14分)已知抛物线C ：22(0)x py p =>的焦点为F ，点P 是直线y x =与抛物线C 在第一象限的交点，且||5PF =. （1）求抛物线C 的方程；（2）设直线:l y kx m =+与抛物线C 有唯一公共点M ，且直线l 与抛物线的准线交于点Q ,揭阳市2015年高中毕业班第一次高考模拟考试数学(文科)试题 第5页（共4页）试探究，在坐标平面内是否存在点N ，使得以MQ 为直径的圆恒过点N ？若存在，求出点N 的坐标，若不存在，说明理由. 21. (本小题满分14分)已知函数()f x ax =，()ln g x x =，其中a R ∈．（1）若函数()()()F x f x g x =-，当1a =时，求函数()F x 的极值；（2）若函数()(sin(1))()G x f x g x =--在区间(0,1)上为减函数，求a 的取值范围；（3）证明：11sinln(1)1nk n k =<++∑． 2015揭阳市数学(文科)参考答案一、选择题：BBDAC ABDCB解析：10. 由定义知⑴、⑶恒成立，⑵⑷不恒成立，正确答案B.二、填空题： 11. {|25}x x -<<；12.13. 3；14..解析：13.由2'()3f x x =得曲线的切线的斜率23k k a =，故切线方程为323()k k k y a a x a -=-，令0y =得123k k a a +=123k k a a +⇒=，故数列{}n a 是首项11a =，公比23q =的等比数列，又310(f f f a +++101011210(1)3(1)1a q a a a q q-=+++==--，所以31010(31()3f a ++=-.15．依题意得BE =BEA ∽△CFA得AE BE ABAF FC AC==,所以2,AF =6,AC = BC =三、解答题： 16．解：（1）由2ππω=得=2ω----------------------------------------------------2揭阳市2015年高中毕业班第一次高考模拟考试数学(文科)试题 第6页（共4页）（2）解法1：由π2()2sin(2)63f αα=+= 得π1sin(2)63α+= -----------------------3分∵(0,)8πα∈，∴5π2(,)6612ππα+∈， --------------------------------------------4分∴πcos(2)6α+==-----------------------------------------6分 ∴cos 2cos[(2)]66ππαα=+-----------------------------------------------------8分 cos(2)cos sin(2)sin 6666ππππαα=+++ ----------------------------------------10分11132326=+⋅=----------------------------------------------------12分 [解法2：由π2()2sin(2)63f αα=+= 得π1sin(2)63α+=，--------------------------3分即1sin 2coscos 2sin663ππαα+=-------------------------------------------------5分⇒2cos 2sin 2αα-=①---------------------------------6分 将①代入22sin 2cos 21αα+=并整理得24cos 212cos 2230αα--=，---------------8分解得：121cos 2726α±±==--------------------②---------------------10分 ∵(0,)8πα∈ ∴024πα<<，∴cos 20α>，故②中负值不合舍去，----------------11分∴1cos 26α+=.-----------------------------------------------------------12分] 17．解：（1）揭阳市2015年高中毕业班第一次高考模拟考试数学(文科)试题 第7页（共4页）---4分 ----8分(2) 由频率分布表知，该市本月前30天中空气质量优良的天数为19，------------------9分 故此人到达当天空气质量优良的概率：190.63>0.630P =≈-------------------------------------------------------------11分 故可以认为此人到达当天空气质量优良的可能性超过60% ----------------------------12分 18.解：（1）证明：AB ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD A B C D ∴⊥，----------------1分又BC CD ⊥， ABBC B =， CD ∴⊥平面ABC ，------------------------------2分又E 、F 分别是AC 、AD 的中点，∴//.EF CD ---------------------------------------3分 ∴EF ⊥平面ABC又EF ⊂平面BEF ，∴平面BEF ⊥平面ABC -----------------------------------------4分 （2）CD // EF ，CD ⊄平面BEF ，EF ⊂平面BEF∴//CD 平面BEF ，----------------------------6分 又CD ⊂平面BCD ，且平面BEF平面BCD l =∴//CD l ．------------------------------------8分 （3）解法1：由（1）知EF //CD ∴AEFACD ∆∆------------------------------9分1,4AEF ACD S S ∆∆∴= ∴14B AEF B ACD V V --=------------------11分 331444B ACD A BCD BCD V V V S AB --∆∴===⋅111142=⨯⨯⨯=------------------14分[解法2：取BD 中点G ，连结FC 和FG ，则FG//AB ，-----9分 ∵AB ⊥平面BCD ，∴FG ⊥平面BCD ，-----------------10分揭阳市2015年高中毕业班第一次高考模拟考试数学(文科)试题 第8页（共4页）由（1）知EF ⊥平面ABC ， ∴F EBC F BCD V V V --=+1133EBC BCD S EF S FG ∆∆=⋅+⋅------12分1111113232=+⨯⨯⨯=.----------------14分]19.解：（1）由2122232(21)S a a a =+=-⨯-和212.a =可得16a =，------------------2分（2）解法1：当2n ≥时，由1n n n a S S -=-得13(1)(1)3(1)(2)n n n a na n n n a n n -=-------，---------------------------------4分⇒1(1)(1)6(1)n n n a n a n ----=-16(2,)n n a a n n N *-⇒-=≥∈---------------------6分∴数列{}n a 是首项16a =，公差为6的等差数列，∴16(1)6n a a n n =+-=-------------8分 [解法2：当2n ≥时，由13(1)()3(1)n n n n S na n n n S S n n -=--=---------------------4分 可得1(1)3(1)n n n S nS n n ---=- 131n n S S n n -∴-=-,---------------------------------6分 ∴数列{}n S n 为首项161S=,公差为3的等差数列， 63(1)33nS n n n∴=+-=+，即233n S n n =+. ∴6n a n =---------------------------------------------------------------------8分] （3）证明：由（2）知1()3(1)2n n n a a S n n +==+-----------------------------------10分 11111()3(1)31n S n n n n ==-++--------------------------------------------------12分 12111111111[(1)()()]32231n S S S n n ∴+++<-+-++-+111(1)313n =-<+， 命题得证．---------------------------------------------------------------------14分揭阳市2015年高中毕业班第一次高考模拟考试数学(文科)试题 第9页（共4页）20.解：(1)解法1： ∵点P 是直线y x =与抛物线C 在第一象限的交点，∴设点(,)(0)P m m m >,----------------------------------------------------------1分 ∵抛物线C 的准线为2p y =-，由||5PF =结合抛物线的定义得52pm +=-------①-----2分 又点P 在抛物线C 上，∴22m pm =(0)m >⇒2m p =.----------------------②-----3分 由①②联立解得2p =，∴所求抛物线C 的方程式为24x y =.-------------------------5分 [解法2：∵点P 是直线y x =与抛物线C 在第一象限的交点，∴设点(,)(0)P m m m >,----------------------------------------------------------1分∵抛物线C 的焦点为(0,)2p F ，由||5PF =5=, 即22()252p m m +-=，-------------------------------------------①-------------2分 又点P 在抛物线C 上，∴22m pm =(0)m >⇒2m p =.--------------②-------------3分由①②联立解得2p =，∴所求抛物线C 的方程式为24x y =.-------------------------5分]（2）解法1：由抛物线C 关于y 轴对称可知，若存在点N ，使得以MQ 为直径的圆恒过点N ， 则点N 必在y 轴上，设(0,)N n ，--------------------------------------------------6分又设点20(,)4x M x ，由直线:l y kx m =+与抛物线C 有唯一公共点M 知，直线l 与抛物线C 相切， 由214y x =得1'2y x =，∴001'|2x x k y x ===，---------------------------------------7分 ∴直线l 的方程为2000()42x xy x x -=-，--------------------------------------------8分 令1y =-得2022x x x -=，∴Q 点的坐标为002(,1)2x x --，-----------------------------9分揭阳市2015年高中毕业班第一次高考模拟考试数学(文科)试题 第10页（共4页）200002(,),(,1)42x x NM x n NQ n x ∴=-=-----------------------------------------10分∵点N 在以MQ 为直径的圆上，∴22220002(1)()(1)20(*)244x x x NM NQ n n n n n ⋅=--+-=-++-=--------------12分要使方程(*)对0x 恒成立，必须有21020n n n -=⎧⎨+-=⎩解得1n =，-------------------------13分∴在坐标平面内存在点N ，使得以MQ 为直径的圆恒过点N ，其坐标为(0,1)．--------14分 [解法2：设点00(,)M x y ，由:l y kx m =+与抛物线C 有唯一公共点M 知，直线l 与抛物线相切，由214y x =得1'2y x =，∴001'|2x x k y x ===，-----------------------------------6分 ∴直线l 的方程为000()2xy y x x -=-，---------------------------------------------7分令1y =-得002(1)y x x -=，∴Q 点的坐标为002(1)(,1)y x --，-------------------------8分 ∴以MQ 为直径的圆方程为：00002(1)()(1)()[]0y y y y x x x x --++--=--------③----10分 分别令02x =和02x =-，由点M 在抛物线C 上得01y =，将00,x y 的值分别代入③得：(1)(1)(2)0y y x x -++-=-------------------------------④(1)(1)(2)0y y x x -+++=--------------------------------------------------------⑤④⑤联立解得0,1.x y =⎧⎨=⎩或0,1.x y =⎧⎨=-⎩，-----------------------------------------------12分∴在坐标平面内若存在点N ，使得以MQ 为直径的圆恒过点N ，则点N 必为(0,1)或(0,1)-， 将(0,1)的坐标代入③式得，揭阳市2015年高中毕业班第一次高考模拟考试数学(文科)试题 第11页（共4页）左边=00002(1)2(1)()[]y y x x --+--002(1)2(1)0y y =-+-==右边， 将(0,1)-的坐标代入③式得，左边=00002(1)()[]2(1)y x y x ---=-不恒等于0，------------------------------------13分 ∴在坐标平面内是存在点N ，使得以MQ 为直径的圆恒过点N ，点N 坐标为为(0,1)．--14分]21.解：（1）∵当1a =时， 函数()ln F x x x =-，(0)x > ∴11'()1x F x x x-=-=，---------------------------------------------------------1分 令'()0F x =得1x =，当(0,1)x ∈时'()0F x <，当(1,)x ∈+∞时，'()0F x >，即函数()F x 在(0,1)单调递减，在(1,)+∞单调递增，---------------------------------------------------------------3分 ∴函数()F x 在1x =处有极小值，∴()F x 极小1ln11=-=.----------------------------------------------------------4分（2）解法1：∵函数()(sin(1))()G x f x g x =--=sin(1)ln a x x --在区间(0,1)上为减函数 ∴1'()cos(1)0G x a x x =--≤在(0,1)上恒成立1cos(1)a x x ⇔≤-在(0,1)上恒成立，----5分 设1()cos(1)H x x x =-，则()()()()()2222c o s 1s i n 1s i n 1c o s 1'()c o s (1)c o s (1)x x x x x x H x x x x x -------==-- ---7分当()0,1x ∈时，()sin 10x -<，()cos 10x ->所以'()0H x <在()0,1上恒成立，即函数()H x 在()0,1上单调递减，-------------------8分 ∴当()0,1x ∈时，()(1)1H x H >=，∴1a ≤.-----------------------------------------------------------------------9分[解法2：∵函数()(sin(1))()G x f x g x =--=sin(1)ln a x x --在区间(0,1)上为减函数揭阳市2015年高中毕业班第一次高考模拟考试数学(文科)试题 第12页（共4页） ∴对(0,1)x ∀∈ ，1'()cos(1)0G x a x x=--≤-----------（*）恒成立，--------------5分 ∵(0,1)x ∈，∴cos(1)0x ->， 当0a ≤时，（*）式显然成立；----------------------------------------------------6分当0a >时，（*）式⇔1cos(1)x x a≥-在(0,1)上恒成立， 设()cos(1)h x x x =-，易知()h x 在(0,1)上单调递增，-------------------------------7分 ∴()(1)1h x h <=， ∴11a≥01a ⇒<≤，------------------------------------------------------------8分 综上得(,1]a ∈-∞.-------------------------------------------------------------9分]（3）由（2）知，当1a =时，()sin(1)ln G x x x =--(1)0G >=,sin(1)ln x x ⇒->1sin(1)ln x x⇒-<，------------------------②----------------10分 ∵对k N *∀∈有(0,1)1k k ∈+， 在②式中令1k x k =+得11sin(1)sin ln 11k k k k k+-=<++，--------------------------12分 ∴11131sin sin sin ln 2ln ln 2312n n n++++<++++ 341ln(2)ln(1)23n n n+=⋅⋅⋅=+， 即11sin ln(1)1n k n k =<++∑．-------------------------------------------------------14分。