九年级数学因式分解法

苏科版数学九年级上册《因式分解法》教学设计3一. 教材分析苏科版数学九年级上册《因式分解法》是学生在初中阶段最后一年的数学学习内容，因式分解法是数学中一种重要的解题方法，能够帮助学生更好地理解和掌握数学知识。

本节课的教学内容主要包括因式分解的概念、方法和应用。

教材通过丰富的例题和练习题，帮助学生逐步掌握因式分解法，提高解题能力。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对数学知识有一定的认识和理解。

但是，因式分解法作为一种解题方法，对学生来说还比较抽象和复杂，需要通过具体例题和练习来逐步理解和掌握。

此外，学生的学习动机和学习习惯也会影响他们对因式分解法的理解和应用。

三. 教学目标1.了解因式分解的概念和意义，能够运用因式分解法解决一些实际问题。

2.掌握因式分解的基本方法和技巧，能够熟练运用因式分解法解题。

3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力，提高学生的学习兴趣和自信心。

四. 教学重难点1.因式分解的概念和意义，因式分解的基本方法和技巧。

2.如何运用因式分解法解决实际问题，如何引导学生理解和掌握因式分解法。

五. 教学方法1.采用问题导入法，通过提出问题引导学生思考和探索，激发学生的学习兴趣和动机。

2.采用案例分析法，通过分析具体例题让学生理解和掌握因式分解法的方法和技巧。

3.采用练习法，通过布置适量的练习题让学生巩固所学知识，提高解题能力。

六. 教学准备1.准备相关的教学材料和教具，如PPT、黑板、粉笔等。

2.准备一些实际问题，用于引导学生运用因式分解法解决实际问题。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提出一个问题，引导学生思考和探索，激发学生的学习兴趣和动机。

问题：小明买了一些苹果和橙子，他一共买了8个水果，其中有5个苹果和3个橙子。

请问小明还买了多少个水果？2.呈现（15分钟）通过分析具体例题让学生理解和掌握因式分解法的方法和技巧。

例题1：分解因式：（x+y）（x-y）分析：可以通过展开式的方法来分解因式，即（x+y）（x-y）=x2-y2。

因式分解法的四种方法初中数学嘿，同学们！今天咱就来好好聊聊初中数学里的因式分解法的那四种方法哟！咱先来说说提公因式法吧。

这就好比是一群小伙伴一起出去玩，总要有个带头的呀！公因式就是那个带头的，把它一提出来，剩下的部分就好处理啦。

比如一个式子像 3x²+6x，那 3x 不就是那个带头的嘛，提出来就变成 3x(x+2)啦，是不是挺神奇的？然后呢，是公式法。

这就像是一把神奇的钥匙，专门开特定的锁。

平方差公式和完全平方公式就是那两把厉害的钥匙哦。

遇到像 a²-b²这样的式子，马上就能想到用平方差公式，变成(a+b)(a-b)。

还有像a²+2ab+b²这样的，那就是完全平方公式啦，能变成(a+b)²呢！再来说说十字相乘法。

嘿，这可有点像搭积木哦！要把那些数字巧妙地组合起来。

比如说x²+5x+6，咱就得找到两个数，它们相乘等于6，相加等于 5，这不就是 2 和 3 嘛，然后就可以写成(x+2)(x+3)啦。

最后还有分组分解法呢。

这就像是给式子分小组一样，把它们分成合适的小组，然后再分别处理。

有时候式子看起来很复杂，但是一用分组分解法，嘿，马上就变得清晰明了啦！你们想想看呀，要是没有这些方法，那面对那些复杂的式子，咱不得抓耳挠腮呀！但有了这四种方法，就像有了四个得力的小助手，什么难题都能轻松搞定啦！学数学呀，就像是一场奇妙的冒险，而因式分解法就是我们在这场冒险中的有力武器。

咱可得把这武器用得溜溜的，在数学的世界里披荆斩棘呀！可别小瞧了这些方法哦，它们能帮我们解决好多难题呢！所以呀，同学们，一定要好好掌握这四种方法，让它们成为我们的好朋友，和我们一起在数学的海洋里畅游吧！怎么样，是不是觉得因式分解法很有趣呀？快去试试吧！。

因式分解是将一个多项式表达为几个多项式的乘积的过程。

对于初中生来说，通常需要掌握以下几种基本的因式分解方法：
1. 提公因式法：如果多项式的各项中都有公共的因子，可以提取出来，使得原多项式变为公因子与剩余部分的乘积。

例如：ax + ay = a(x + y)
2. 分组分解法：将多项式的各项分成几组，每组提出公因子，再将提取公因子后的表达式进行合并。

例如：ax + ay + bx + by = a(x + y) + b(x + y) = (a + b)(x + y)
3. 完全平方公式法：利用完全平方公式(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2和(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2进行因式分解。

例如：x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2
4. 差平方公式法：利用差平方公式a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)进行因式分解。

例如：x^2 - 9 = (x + 3)(x - 3)
5. 十字相乘法：适用于形如ax^2 + bx + c的三项式的因式分解，其中a、b、c是常数。

例如：x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)
6. 配方法：通过添加和减去同一个数，将二次项和一次项的部分转换为完全平方的形式。

例如：x^2 + 4x = x^2 + 4x + 4 - 4 = (x + 2)^2 - 4
7. 其他特殊公式：如立方和公式、立方差公式等，用于特定形式的多项式因式分解。

因式分解是初中数学中的一个重要知识点，它不仅能够帮助简化多项式的表达，还是解决方程、不等式等问题的重要工具。

九年级数学重要温习资料：因式分解法九大方式运用公式法：咱们明白整式乘法与因式分解互为逆变形。

若是把乘法公式反过来确实是把多项式分解因式。

于是有：a2-b2=a2+2ab+b2=2a2-2ab+b2=2若是把乘法公式反过来，就能够够用来把某些多项式分解因式。

这种分解因式的方式叫做运用公式法。

平方差公式1平方差公式式子：a2-b2=语言：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。

那个公式确实是平方差公式。

因式分解1因式分解时，各项若是有公因式应先提公因式，再进一步分解。

2因式分解，必需进行到每一个多项式因式不能再分解为止。

完全平方公式把乘法公式2=a2+2ab+b2和2=a2-2ab+b2反过来，就能够够取得：a2+2ab+b2=2a2-2ab+b2=2这确实是说，两个数的平方和，加上这两个数的积的2倍，等于这两个数的和的平方。

把a2+2ab+b2和a2-2ab+b2如此的式子叫完全平方式。

上面两个公式叫完全平方公式。

完全平方式的形式和特点①项数：三项②有两项是两个数的的平方和，这两项的符号相同。

③有一项为哪一项这两个数的积的两倍。

当多项式中有公因式时，应该先提出公因式，再用公式分解。

完全平方公式中的a、b可表示单项式，也能够表示多项式。

那个地址只要将多项式看成一个整体就能够够了。

分解因式，必需分解到每一个多项式因式都不能再分解为止。

分组分解法咱们看多项式a+an+b+bn，这四项中没有公因式，因此不能用提取公因式法，再看它又不能用公式法分解因式若是咱们把它分成两组和，这两组能别离用提取公因式的方式别离分解因式原式=+=a+b做到这一步不叫把多项式分解因式，因为它不符合因式分解的意义但不难看出这两项还有公因式，因此还能继续分解，因此原式=+=a+b=?这种利用分组来分解因式的方式叫做分组分解法从上面的例子能够看出，若是把一个多项式的项分组并提取公因式后它们的另一个因式正好相同，那么那个多项式就能够够用分组分解法来分解因式提公因式法1在运用提取公因式法把一个多项式因式分解时，第一观看多项式的结构特点，确信多项式的公因式当多项式各项的公因式是一个多项式时，能够用设辅助元的方式把它转化为单项式，也能够把那个多项式因式看做一个整体，直接提取公因式;当多项式各项的公因式是隐含的时候，要把多项式进行适当的变形，或改变符号，直到可确信多项式的公因式2运用公式x2+x+pq=进行因式分解要注意：1必需先将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和等于一次项的系数2将常数项分解成知足要求的两个因数积的多次尝试，一样步骤：①列出常数项分解成两个因数的积各类可能情形;②尝试其中的哪两个因数的和恰好等于一次项系数3将原多项式分解成的形式分式的乘除法1把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分2分式进行约分的目的是要把那个分式化为最简分式3若是分式的分子或分母是多项式，可先考虑把它别离分解因式，取得因式乘积形式，再约去分子与分母的公因式若是分子或分母中的多项式不能分解因式，现在就不能把分子、分母中的某些项单独约分4分式约分中注意正确运用乘方的符号法那么，如x-=-，2=2，3=-3分式的分子或分母带符号的n次方，可按分式符号法那么，变成整个分式的符号，然后再按-1的偶次方为正、奇次方为负来处置固然，简单的分式之分子分母可直接乘方6注意混合运算中应先算括号，再算乘方，然后乘除，最后算加减分数的加减法1通分与约分虽都是针对分式而言，但却是两种相反的变形约分是针对一个分式而言，而通分是针对多个分式而言;约分是把分式化简，而通分是把分式化繁，从而把各分式的分母统一路来2通分和约分都是依据分式的大体性质进行变形，其一起点是维持分式的值不变3一样地，通分结果中，分母不展开而写成连乘积的形式，分子那么乘出来写成多项式，为进一步运算作预备4通分的依据：分式的大体性质通分的关键：确信几个分式的公分母通常取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，如此的公分母叫做最简公分母6类比分数的通分取得分式的通分：把几个异分母的分式别离化成与原先的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分7同分母分式的加减法的法那么是：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。

分解因式法课时安排1课时从容说课分解因式法是解某些一元二次方程较为简便且灵活的一种特殊方法．它是把一个一元二次方程化为两个一元一次方程来解．体现了一种“降次”的思想，这种思想在以后处理高次方程时非常重要．这部分内容的基本要求是让学生学会方法．本节的重、难点是利用分解因式法来解某些一元二次方程．由于《标准》中降低了分解因式的要求，根据学生已有的分解因式知识，学生仅能解决形如“x(x-a)＝0”“x2-a2＝0”的特殊一元二次方程．所以在教学中，可以先出示一个较为简单的方程，让学生先各自求解，然后进行比较与评析，发现因式分解是解某些一元二次方程较为简便的方法，从而引出分解因式法．其基本思想和方法是：一个一元二次方程一边是零，而另一边易于分解成两个一次因式时，可以使每一个因式等于零，分别解两个一元一次方程，得到的两个解就是原一元二次方程的解．这种思想和方法是用分解因式法解一元二次方程的重点．通过方法的比较，力求让学生根据方程的具体特征，灵活选取适当的解法，从而让学生体会解决问题的多样性．课题分解因式法教学目标(一)教学知识点1．应用分解因式法解一些一元二次方程．2．能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法．(二)能力训练要求1．能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性．2．会用分解因式法(提公因式法、公式法)解某些简单的数字系数的一元二次方程．(三)情感与价值观要求通过学生探讨一元二次方程的解法，使他们知道分解因式法是一元二次方程解法中应用较为广泛的简便方法，它避免了复杂的计算，提高了解题速度和准确程度．再之，体会“降次”化归的思想．教学重点应用分解因式法解一元二次方程．教学难点形如“x2＝ax”的解法．教学方法启发引导式归纳教学法．教具准备投影片五张．第一张：复习练习(记作投影片§2．4 A)第二张：引例(记作投影片§2．4 B)第三张；议一议(记作投影片§2．4C)第四张：例题(记作投影片§2．4 D)第五张：想一想(记作投影片§2．4 E)教学过程Ⅰ．巧设现实情景，引入新课[师]到现在为止，我们学习了解一元二次方程的三种方法：直接开平方法、配方法、公式法，下面同学们来做一练习．(出示投影片§2．4 A)解下列方程：(1)x2-4＝0；(2)x2-3x+1＝0；(3)(x+1)2-25＝0；(4)20x2+23x-7＝0．[生]，解以上方程可不可以用不同的方法?[师]可以呀．[生甲]解方程(1)时，既可以用开平方法解，也可以用公式法来求解，就方程的特点，我采用了开平方法，即解：x2-4＝0，移项，得x2＝4．两边同时开平方，得x＝±2．∴x1＝2，x2=-2．[生乙]解方程(2)时，既可以用配方法来解，也可以用公式法来解，我采用了公式法，即解：这里a＝1，b＝-3，c＝1．b2-4ac＝(-3)2-4×1×1＝50，∴x=253± ∴x 1=253+，x 2=253- [师]乙同学，你在解方程(2)时，为什么选用公式法，而不选配方法呢?[生乙]我觉得配方法不如公式法简便．[师]同学们的意见呢?[生齐声]同意乙同学的意见．[师]很好，继续．[生丙]解方程(3)时，可以把(x+1)当作整体，这时用开平方法简便，即 解：移项，得(x+1)2＝25．两边同时开平方，得x+1＝±5，即x+1＝5，x+1＝-5．∴x 1=4，x 2=-6[生丁]解方程(4)时，我用的公式法求解，即解：这里a ＝20，b ＝23，c ＝-7，b 2-4ac ＝232-4×20×(-7)＝1089＞0，∴x ＝403323202108923±-=⨯±-. ∴x 1=41 x 2=-57. [师]很好，由此我们知道：在已经学习的解一元二次方程的三种方法——直接开平方法、配方法、公式法中，直接开平方法只能解某些特殊形式的方程，配方法不如公式法简便．因此，大家选用的方法主要是直接开平方法和公式法．公式法是解一元二次方程的通法，有普遍的适用性，即可以解任何一个一元二次方程．用公式法解一元二次方程，首先要把方程化为一般形式，从而正确地确定a 、b 、c 的值；其次，通常应先计算b 2-4ac 的值，然后求解．一元二次方程是不是只有这三种解法呢?有没有其他的方法?今天我们就来进一步探讨一元二次方程的解法．Ⅱ．讲授新课[师]下面我们来看一个题．(出示投影片§2．4 B)一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗?如果相等，这个数是几?你是怎样求出来的?[师]大家先独自求解，然后分组进行讨论、交流．[生甲]解这个题时，我先设这个数为x，根据题意，可得方程 x2=3x．然后我用公式法来求解的．解：由方程x2＝3x，得x2-3x=0．这里a=1，b=-3，c＝0.b2-4ac＝(-3)2-4×1×0＝90．所以x=293即x1=3，x2＝0．因此这个数是0或3．[生乙]我也设这个数为x，同样列出方程x2＝3x．解：把方程两边同时约去x，得x＝3．所以这个数应该是3．[生丙]乙同学做错了，因为0的平方是0，0的3倍也是0．根据题意可知，这个数也可以是0．[师]对，这说明乙同学在进行同解变形时，进行的是非同解变形，因此丢掉了一个根．大家在解方程的时候，需要注意：利用同解原理变形方程时，在方程两边同时乘以或除以的数，必须保证它不等于0，否则，变形就会错误．这个方程还有没有其他的解法呢?[生丁]我把方程化为一般形式后，发现这个等式的左边有公因式x，这时可把x 提出来，左边即为两项的乘积．前面我们知道：两个因式的乘积等于0，则这两个因式为零，这样，就把一元二次方程降为一元一次方程，此时，方程即可解．解：x2-3x＝0，x(x-3)＝0，于是x＝0，x-3＝0．∴x1=0，x2=3因此这个数是0或3．[师]噢，这样也可以解一元二次方程，同学们想一想，行吗?[生齐声]行．[师]丁同学应用的是：如果a×b＝0，那么a=0，b＝0，大家想一想，议一议．(出示投影片§2．4 C)a×b＝0时，a=0和b=0可同时成立，那么x(x-3)=0时，x＝0和x-3＝0也能同时成立吗?[生齐声]不行．……[师]那该如何表示呢?[师]好，这时我们可这样表示：如果a×b=0，那么a＝0或b＝0这就是说：当一个一元二次方程降为两个一元一次方程时，这两个一元一次方程中间用的是“或”，而不用“且”．所以由x(x-3)＝0得到x＝0和x-3＝0时，中间应写上“或”字.我们再来看丁同学解方程x2＝3x的方法，他是把方程的一边变为0，而另一边可以分解成两个因式的乘积，然后利用a×b＝0，则a=0或b＝0，把一元二次方程变为一元一次方程，从而求出方程的解．我们把这种解一元二次方程的方法称为分解因式法，即当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，我们就采用分解因式法来解一元二次方程．因式分解法的理论根据是：如果两个因式的积等于零，那么这两个因式至少有一个等于零．如：若(x+2)(x-3)＝0，那么x+2＝0或．x-3＝0；反之，若x+2＝0或x-3＝0，则一定有(x+2)(x-3)＝0．这就是说，解方程(x+2)(x-3)=0就相当于解方程x+2＝0或x-3=0．接下来我们看一例题．(出示投影片§2．4 D)[例题]解下列方程：(1)5x2=4x；(2)x-2＝x(x-2)．[师]同学们能独自做出来吗?[生]能．[师]好，开始．[生甲]解方程(1)时，先把它化为一般形式，然后再分解因式求解．解：原方程可变形为5x2-4x＝0，x(5x-4)=0，x＝0或5x-4＝0．∴x1=0，x2=54．[生乙]解方程(2)时，因为方程的左、右两边都有(x-2)，所以可把(x-2)看作整体，然后移项，再分解因式求解．解：原方程可变形为x-2-x(x-2)＝0， (x-2)(1-x)＝0， x-2＝0或1-x=0．∴x1＝2，x2=1．[生丙]，解方程(2)时，能否将原方程展开后，再求解呢?[师]能呀，只不过这样的话会复杂一些，不如把(x-2)当作整体简便．下面同学们来想一想，做一做．(出示投影片§ 2．4 E)你能用分解因式法解方程x2-4＝0，(x+1)2-25=0吗?[生丁]方程x2-4=0的右边是0，左边x2-4可分解因式，即x2-4=(x-2)(x+2)．这样，方程x2-4＝0就可以用分解因式法来解，即解：x2-4=0，(x+2)(x-2)＝0，∴x+2＝0或x-2=0．∴x1=-2，x2=2．[生戊]方程(x+1)2-25＝0的右边是0，左边(x+1)2-25，可以把(x+1)看作整体，这样左边就是一个平方差，利用平方差公式即可分解因式，从而求出方程的解，即解：(x+1)2-25＝0，[(x+1)+5][(x+1)-5]＝0．∴(x+1)+5＝0，或(x+1)-5＝0．∴x1=-6，x2=4．[师]好，这两个题实际上我们在刚上课时解过，当时我们用的是开平方法，现在用的是因式分解法．由此可知：一个一元二次方程的解法可能有多种，我们在选用时，以简便为主．好，下面我们通过练习来巩固一元二次方程的解法．Ⅲ．课堂练习(一)课本随堂练习1．解下列方程：(1)(x+2)(x-4)＝0；(2)4x(2x+1)=3(2x+1)．解：(1)由(x+2)(x-4)=0得x+2＝0或x-4＝0。

因式分解法是一种常用的数学方法，用于将一个多项式分解为几个因式的乘积。

在九年级上册数学中，因式分解法通常用于解决一元二次方程和分式方程等问题。

因式分解法的步骤如下：
1.观察多项式，尝试将其分解为几个因式的乘积。

2.通过提取公因式、利用平方差公式或完全平方公式等方法进行因式分解。

3.反复进行因式分解，直到无法再分解为止。

4.检查因式分解的结果是否正确，可以通过代入法或比较系数法等方法进行
验证。

例如，对于多项式x^2 - 4，我们可以将其分解为(x + 2)(x - 2)。

这是一个典型的平方差公式，其中a = x, b = 2。

在九年级上册数学中，因式分解法通常用于解决以下问题：
1.一元二次方程：通过因式分解法将一元二次方程化为两个一次方程，从而
求解。

例如，对于方程x^2 - 5x + 6 = 0，我们可以将其因式分解为(x - 2)(x - 3) = 0，从而得到x = 2 或x = 3。

2.分式方程：通过因式分解法将分式方程化为整式方程，从而求解。

例如，
对于方程x/(x - 1) = 2x/(3x - 3) + 1，我们可以将其化为整式方程(3x -
3)/(x - 1) = 2x/(x - 1) + 1，从而得到x = 2。

总之，因式分解法是一种非常重要的数学方法，在九年级上册数学中有着广泛的应用。

通过掌握因式分解法，可以更好地解决各种数学问题。

人教版九年级数学上册：21.2.3 因式分解法教学设计4一. 教材分析因式分解法是九年级数学上册的教学内容，属于代数知识范畴。

通过学习因式分解法，学生能更好地理解多项式的运算，提高解决问题的能力。

本节课的内容是在学生已经掌握了多项式、单项式、同类项等基本概念的基础上进行教学的。

教材中通过丰富的例题和练习题，帮助学生掌握因式分解法的方法和应用。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和独立思考的能力，对于新的知识有较强的求知欲。

但是，由于因式分解法较为抽象，部分学生在理解上可能会存在一定的困难。

因此，在教学过程中，需要关注学生的学习情况，针对性地进行指导和帮助。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握因式分解法的基本概念和方法，能够独立进行因式分解。

2.过程与方法：通过教师的引导和学生的实践，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和积极向上的学习态度。

四. 教学重难点1.重点：因式分解法的基本概念和方法。

2.难点：如何运用因式分解法解决实际问题。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入因式分解法，让学生感受数学与生活的联系。

2.启发式教学法：教师引导学生进行思考，激发学生的学习兴趣。

3.小组合作学习法：学生分组讨论，培养团队合作意识。

4.实践教学法：让学生通过动手操作，加深对因式分解法的理解。

六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示因式分解法的例题和练习题。

2.教学素材：准备一些与生活相关的实例，用于导入和巩固环节。

3.教学设备：多媒体设备、黑板、粉笔等。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活实例，如分配律，引入因式分解法。

让学生思考：如何将一个多项式分解成几个单项式的乘积？2.呈现（10分钟）讲解因式分解法的基本概念和方法，通过例题展示因式分解的过程。

让学生跟随教师一起动手操作，加深对因式分解法的理解。