矩形

矩形的性质和判定矩形的性质和判定定义：一个有一个直角的平行四边形被称为矩形。

性质：1.矩形的四个角都是直角。

2.矩形的对角线相互平分且相等。

3.矩形是中心对称图形和轴对称图形，有两条对称轴。

4.矩形的面积为长乘宽。

判定：1.有一个角是直角的平行四边形是矩形。

2.有三个角是直角的四边形是矩形。

3.对角线相等的平行四边形是矩形。

4.对角线相等且互相平分的四边形是矩形。

矩形与平行四边形的区别与联系：相同点：1.两组对边分别平行。

2.两组对边分别相等。

3.两组对角分别相等。

4.对角线相互平分。

区别：1.有一个角是直角的平行四边形是矩形。

2.对角线相互平分且相等。

例题精讲：考点1：矩形的性质例1：在矩形ABCD中，BE=CF，求证：AF=DE。

例2：在矩形ABCD中，BE=DF，求证：△ABE≌△CDF。

例3：在矩形ABCD中，AB=2，且AOB=60°，求对角线AC的长。

考点2：矩形的判定例4：在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，四边形ABDE是平行四边形，求证：四边形ADCE是矩形。

例5：在平行四边形ABCD中，E是CD的中点，△ABE是等边三角形，求证：四边形ABCD是矩形。

例6：在平行四边形ABCD中，AQ、BN、CN、DQ分别是DAB、ABC、BCD、CDA的平分线，AQ与BN交于P，CN与DQ交于M，证明：四边形PQMN是矩形。

变式5】在三角形ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，AF是∠BAC的外角平分线，DE∥AB交AF于点E。

可以证明四边形ADCE是矩形。

变式6】在图11中，已知E是四边形ABCD中BC边的中点，连接AE并延长AE交DC的延长线于点F。

(1) 可以证明△ABE≌△FCE。

(2) 连接AC、BF，如果∠AEC=2∠ABC，可以证明四边形ABFC是矩形。

课堂训练】1、矩形具有对边相等和对角线互相平分的性质。

2、正确的个数是6个。

3、不一定正确的是B、AC=BDC。

矩形（基础）【学习目标】1. 理解矩形的概念.2. 掌握矩形的性质定理与判定定理.【要点梳理】要点一、矩形的定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.要点诠释：矩形定义的两个要素：①是平行四边形；②有一个角是直角.即矩形首先是一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件.要点二、矩形的性质矩形的性质包括四个方面：1.矩形具有平行四边形的所有性质；2.矩形的对角线相等；3.矩形的四个角都是直角；4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴.要点诠释：（1）矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形.过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分.（2）矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）.对称轴的交点就是对角线的交点（即对称中心）.（3）矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，从而矩形的性质可以归结为从三个方面看：从边看，矩形对边平行且相等；从角看，矩形四个角都是直角；从对角线看，矩形的对角线互相平分且相等.要点三、矩形的判定矩形的判定有三种方法：1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.2.对角线相等的平行四边形是矩形.3.有三个角是直角的四边形是矩形.要点诠释：在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形.要点四、直角三角形斜边上的中线的性质直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.要点诠释：（1）直角三角形斜边上的中线的性质是矩形性质的推论.性质的前提是直角三角形，对一般三角形不可使用.（2）学过的直角三角形主要性质有：①直角三角形两锐角互余；②直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；③直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半.（3）性质可以用来解决有关线段倍分的问题.【典型例题】类型一、矩形的性质1、（云南）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，M，N分别是AB，CD的中点，P是AD 上的点，且∠PNB=3∠CBN．（1）求证：∠PNM=2∠CBN；（2）求线段AP的长．【思路点拨】（1）由MN∥BC，易得∠CBN=∠MNB，由已知∠PNB=3∠CBN，根据角的和差不难得出结论；（2）连接AN，根据矩形的轴对称性，可知∠PAN=∠CBN，由（1）知∠PNM=2∠CBN=2∠PAN，由AD∥MN，可知∠PAN=∠ANM，所以∠PAN=∠PNA，根据等角对等边得到AP=PN，再用勾股定理列方程求出AP．【答案与解析】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，M，N分别是AB，CD的中点，∴MN∥BC，∴∠CBN=∠MNB，∵∠PNB=3∠CBN，∴∠PNM=2∠CBN；（2）连接AN，根据矩形的轴对称性，可知∠PAN=∠CBN，∵MN∥AD，∴∠PAN=∠ANM，由（1）知∠PNM=2∠CBN，∴∠PAN=∠PNA，∴AP=PN，∵AB=CD=4，M，N分别为AB，CD的中点，∴DN=2，设AP=x，则PD=6﹣x，在Rt△PDN中PD2+DN2=PN2，∴（6﹣x）2+22=x2，解得：x=所以AP=．【总结升华】本题主要考查了矩形的性质、勾股定理等知识的综合运用，难度不大，根据角的倍差关系得到∠PAN=∠PNA，发现AP=PN是解决问题的关键．举一反三：【变式】如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点P为AB边上任一点，过P分别作PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，则线段EF的最小值是_________ ．【答案】；提示：因为ECFP为矩形，所以有EF＝PC.PC最小时是直角三角形斜边上的高.类型二、矩形的判定2、已知：平行四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，连接AF、CE. （1）求证：△BEC≌△DFA；（2）连接AC，若CA＝CB，判断四边形AECF是什么特殊四边形？并证明你的结论.【答案与解析】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD,∠B＝∠D，BC＝AD.∵E、F分别是AB、CD的中点，∴BE＝12AB，DF＝12CD.∴BE＝DF.∴△BEC≌△DFA.（2）四边形AECF是矩形.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，且AB＝CD.∵E、F分别是AB、CD的中点，∴BE＝12AB，DF＝12CD.∴AE∥CF且AE＝CF.∴四边形AECF是平行四边形.∵CA＝CB，E是AB的中点，∴CE⊥AB，即∠AEC＝90°.∴四边形AECF是矩形.【总结升华】要证明△BEC和△DFA全等，主要运用判定定理（边角边）；四边形AECF是矩形，先证明四边形AECF是平行四边形，再证这个平行四边形对角线相等或者有一个角是直角.举一反三：【变式】（黄冈二模）在△ABC中，D是BC边的中点，E、F分别在AD及其延长线上，CE∥BF，连接BE、CF.（1）求证：△BDF≌△CDE；（2）若DE=12BC，试判断四边形BFCE是怎样的四边形，并证明你的结论.【答案】（1）证明：∵CE∥BF∴∠CED=∠BFD，∵D是BC边的中点∴BD=DC．∴在△BDF与△CDE中，BFD CEDBDF CDEBD DC∠=∠∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩，∴△BDF≌△CDE（AAS）；（2）四边形BFCE为矩形．证明：∵△BDF≌△CDE，∴DE=DF，又∵BD=DC，∴四边形BFCE是平行四边形，∵BD=DC，DE=12BC,∴BD=DC=ED，∴∠BEC=90°，∴平行四边形BFCE为矩形．3、如图所示，ABCD四个内角的角平分线分别交于点E、F、G、H．求证：四边形EFGH是矩形．【思路点拨】AE、BE分别为∠BAD、∠ABC的角平分线，由于在ABCD中，∠BAD+∠ABC＝180°，易得∠BAE+∠ABE＝90°，不难得到∠HEF＝90°，同理可得∠H＝∠F＝90°．【答案与解析】证明：在ABCD中，AD∥BC，∴∠BAD＋∠ABC＝180°，∵ AE、BE分别平分∠BAD、∠ABC，∴∠BAE＋∠ABE＝12∠BAD＋12∠ABC＝90°．∴∠HEF＝∠AEB＝90°．同理：∠H＝∠F＝90°．∴四边形EFGH是矩形．【总结升华】 (1)利用角平分线、垂线得到90°的角，选择“有三个直角的四边形是矩形”来判定．(2)本题没有涉及对角线，所以不会选择利用对角线来判定矩形．类型三、直角三角形斜边上的中线的性质4、如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为（）A．20 B．12 C．14 D．13【答案】C；【解析】解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，BC＝8，∴AD⊥BC，CD＝BD＝12BC＝4，∵点E为AC的中点，∴DE＝CE＝12AC＝5，∴△CDE的周长＝CD＋DE＋CE＝4＋5＋5＝14．【总结升华】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．举一反三：【变式】如图所示，已知平行四边形ABCD，AC、BD相交于点O，P是平行四边形ABCD外一点，且∠APC＝∠BPD＝90°．求证：平行四边形ABCD是矩形．【答案】解：连接OP．∵四边形ABCD是平行四边形．∴ AO＝CO，BO＝DO，∵∠APC＝∠BPD＝90°，∴ OP＝12AC，OP＝12BD，∴ AC＝BD．∴四边形ABCD是矩形．矩形【巩固练习】一.选择题1．（攀枝花）下列关于矩形的说法中正确的是（）.A. 对角线相等的四边形是矩形B. 矩形的对角线相等且互相平分C. 对角线互相平分的四边形是矩形D. 矩形的对角线互相垂直且平分2．若矩形对角线相交所成钝角为120°，短边长3.6cm，则对角线的长为( )．A. 3.6cmB. 7.2cmC. 1.8cmD. 14.4cm3．矩形邻边之比3∶4，对角线长为10cm，则周长为( )．A.14cmB.28cmC.20cmD.22cm4．已知AC为矩形ABCD的对角线，则图中∠1与∠2一定不相等的是( )A. B. C. D.5. 在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的4位同学拟定的方案，其中正确的是（）A．测量对角线是否相互平分 B．测量两组对边是否分别相等C．测量一组对角是否都为直角 D．测量其中三个角是否都为直角6. 如图，△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、AB于点D、F，BE⊥DF交DF的延长线于点E，已知∠A＝30°，BC＝2，AF＝BF，则四边形BCDE的面积是（）A.23B.33C.4D.43二.填空题7．矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，∠AOB＝60°，AC＝10cm，则AB＝______cm，BC＝______cm．8．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝3，则AB边上的中线CD＝______．9. 如图,矩形纸片ABCD中，AD＝4cm，AB＝10cm，按如图方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则DE＝__________cm.10.（湖北校级自主招生）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，M为斜边AB上一动点，过M作MD⊥AC，过M作ME⊥CB于点E，则线段DE的最小值为________.11.（重庆模拟）如图，在矩形ABCD中，E为BC的中点，且∠AED=90°，AD=10，则AB的长为．12. 如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6，E是斜边AB上任意一点，作EF⊥AC于F，EG⊥BC于G，则矩形CFEG的周长是______.三.解答题13.如图,矩形ABCD的对角线相交于点O，OF⊥BC，CE⊥BD，OE∶BE＝1∶3，OF＝4，求∠ADB的度数和BD的长.14.（秋•抚州校级期中）在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F 在边CD上，DF=BE，连接AF，BF．（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）若CF=9，BF=12，DF=15，求证：AF平分∠DAB．15.如图所示，已知AB＝AC，AD＝AE，DE＝BC，且∠BAD＝∠CAE.求证：四边形BCED是矩形．【答案与解析】一.选择题1.【答案】B；【解析】∵对角线相等的平行四边形是矩形，∴A不正确；∵矩形的对角线相等且互相平分∴B正确；∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，∴C不正确；∵矩形的对角线互相平分且相等，不一定垂直∴D不正确；2.【答案】B；【解析】直角三角形中，30°所对的边等于斜边的一半.3.【答案】B；【解析】由勾股定理，可算得邻边长为6cm和8cm，则周长为28cm.4.【答案】D；【解析】∠2＞∠1.5.【答案】D；6.【答案】A；【解析】先证△ADF≌△BEF，则DF为△ABC中位线，再证明四边形BCDE是矩形，BE3，可求面积.二.填空题7．【答案】5，53；【解析】可证△AOB为等边三角形，AB＝AO＝CO＝BO.8．34 2【解析】由勾股定理算得斜边AB34CD＝12AB＝342.9.【答案】5.8；【解析】设DE ＝x ，则AE ＝AB －BE ＝AB －DE ＝10－x .在Rt△ADE 中，由勾股定理可得AD 2＋AE 2＝DE 2，即()222410x x +-=，解得x ＝5.8.10.【答案】125； 【解析】如图，连接CM ，∵MD ⊥AC ，ME ⊥CB ，∴∠MDC=∠MEC=90°，∵∠C=90°，∴四边形CDME 是矩形， ∴DE=CM ，由勾股定理求得AB=5，当CM ⊥AB 时，CM 最短，此时△ABC 的面积=12AB ·CM=12BC ·AC ， ∴CM 最小值=125BC AC AB ⋅=，∴线段DE 的最小值为125.11.【答案】5；【解析】∵矩形ABCD 中，E 是BC 的中点，∴AB=CD，BE=CE ，∠B=∠C=90°， 可证得△ABE≌△DCE（SAS ）， ∴AE=DE，∵∠AED=90°，∴∠DAE=45°， ∴∠BAE=90°﹣∠DAE=45°， ∴∠BEA=∠BAE=45°，∴AB=BE=AD=×10=5．12.【答案】12；【解析】推出四边形FCGE 是矩形，得出FC ＝EG ，FE ＝CG ，EF ∥CG ，EG ∥CA ，求出∠BEG＝∠B ，推出EG ＝BG ，同理AF ＝EF ，求出矩形CFEG 的周长是CF ＋EF ＋EG ＋CG ＝AC ＋BC ，代入求出即可．三.解答题 13.【解析】解：由矩形的性质可知OD ＝OC.又由OE∶BE＝1∶3可知E 是OD 的中点.又因为CE⊥OD，根据三线合一可知OC ＝CD ，即OC ＝CD ＝OD ， 即△OCD 是等边三角形，故∠CDB＝60°. 所以∠ADB ＝30°. 又因为CD ＝2OF ＝8， 即BD ＝2OD ＝2CD ＝16. 14.【解析】 证明：（1）∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴DC ∥AB ，即DF ∥BE ，又∵DF=BE，∴四边形DEBF为平行四边形，又∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∴四边形DEBF为矩形；（2）∵四边形DEBF为矩形，∴∠BFC=90°，∵CF=9，BF=12，∴BC==15，∴AD=BC=15，∴AD=DF=15，∴∠DAF=∠DFA，∵AB∥CD，∴∠FAB=∠DFA，∴∠FAB=∠DFA，∴AF平分∠DAB．15.【解析】证明：在△ADB和△AEC中，∵ AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，AB＝AC．∴△ADB≌△AEC，∴ BD＝CE．又∵ DE＝BC，∴四边形BCED是平行四边形．∵∠BAD＝∠CAE，∴∠BAD＋∠BAC＝∠CAE＋∠BAC即∠DAC＝∠BAE．在△DAC和△EAB中，∵ DA＝EA，∠DAC＝∠EAB，AC＝AB．∴△DAC≌△EAB，∴ DC＝EB．∴四边形BCED是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形)．。

矩形的认识与性质矩形是我们在日常生活中经常遇到的一种形状。

矩形具有一些独特的性质和特点，通过深入了解矩形的认识和性质，我们能够更好地应用它们在实际问题中。

一、矩形的定义和特征矩形是一种具有四条边的平面图形，其内部的四个角是直角。

矩形的特征包括：1. 四个角度都是直角；2. 相对的边是相等的，即对边互相平行且长度相等；3. 对角线相等且互相平分。

二、矩形的性质1. 对角线相等矩形的对角线相等，并且互相平分。

这意味着从一个角到另一个相对角的距离相等，可以通过这个性质来进行测量和计算。

2. 边长关系在矩形中，相对的边是相等的。

这意味着一个矩形的宽度和长度相等，或者说它的边长相等。

3. 周长和面积矩形的周长可以通过两倍的长度加上两倍的宽度来计算，即2 × (长度 + 宽度)。

而面积可以通过长度乘以宽度来计算，即长度 ×宽度。

4. 矩形的对称性矩形具有一个或多个对称轴。

比如，如果将矩形沿着它的中心水平或垂直折叠，两边会完全重合。

这是矩形对称性的体现。

5. 矩形的角度关系矩形的四个角都是直角，这是它的基本特征之一。

直角具有独特的性质，可以通过直角关系来解决实际问题。

三、矩形的应用矩形在现实生活中有广泛的应用，下面列举几个例子：1. 建筑设计矩形是建筑设计中常见的形状，例如房屋的墙壁、窗户和门等。

通过矩形的性质，我们可以计算房间的面积和周长，从而进行设计和施工。

2. 地图和测量在地图上，我们经常使用矩形来表示建筑物、土地和街道等。

通过对矩形形状的测量，我们可以计算出相应地区的面积或距离，为规划和导航提供便利。

3. 制作家具很多家具都是矩形形状的，比如桌子、书柜、床等。

通过了解矩形的特征和性质，我们可以更好地设计和制作家具，使其更稳定、美观。

4. 数学问题矩形在数学问题中也经常出现。

例如，在计算面积、周长和对角线的长度时，矩形的性质可以用来简化计算步骤，提高解题效率。

总结：矩形是我们生活中常见的形状之一，具有直角、边长相等以及对角线相等等特征。

矩形的性质和判定【知识梳理】一、定义：有一个是直角的平行四边形是矩形。

二、性质：①矩形的四个角都是直角②矩形的对角线相互平分且相等③矩形既是中心对称图形又是轴对称图形，有两条对称轴④矩形的面积S=长×宽三、判定：①有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形；④对角线相等且互相平分的四边形是矩形。

四、矩形与平行四边形的区别与联系：①相同点1、两组对边分别平行2、两组对边分别相等3、两组对角分别相等4、对角线相互平分②区别1、有一个角是直角的平行四边形矩形2、对角线相互平分且相等【例题精讲】考点1 矩形的性质【例1】已知：如图，在矩形ABCD中，BE=CF，求证：AF=DE。

【例2】如图，在矩形ABCD 中，,E F 分别是,BC AD 上的点，且BE DF =。

求证：ABE ∆≌CDF ∆。

【例3】如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，60AOB ∠=︒，2AB =，则矩形的对角线AC 的长是（ ） A ．2 B ．4 C ．23 D ．43【变式1】下列性质中，矩形具有而平行四边形不一定具有的是（ ） A 、对边相等 B 、对角相等 C 、对角线相等 D 、对边平行【变式2】矩形ABCD 的对角线AC 、BD 交于O ，如果ABC ∆的周长比AOB ∆的周长大10cm ，则边AD 的长是 。

【变式3】如图，矩形ABCD 沿AE 折叠，使D 点落在BC 边上的F 点处，如果60BAF ∠=︒，则DAE ∠= 。

FED CBA考点2 矩形的判定【例4】如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 为BC 中点，四边形ABDE 是平行四边形。

求证：四边形ADCE 是矩形。

【例5】如图，在平行四边形ABCD 中，E 是CD 的中点，△ABE 是等边三角形，求证：四边形ABCD 是矩形。

ODC BAD EFCAB【变式6】如图11，已知E 是ABCD 中BC 边的中点，连接AE 并延长AE 交DC 的延长线于点F 。

矩形矩形（rectangle）是一种平面图形，矩形的四个角都是直角，同时矩形的两组对边分别相等，而且在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等。

有一个角是直角的平行四边叫做矩形。

矩形包括长方形与正方形。

矩形是一类特殊的平行四边形。

中文名矩形外文名rectangle；orthogon别名长方形本质一种平面四边图形同义词长方形类似图形平行四边形、正方形、菱形定义有一个内角是直角的平行四边形内角和360°目录1判定2相关公式3外接圆4性质5黄金矩形6图形学7判定应用判定1.一个角是直角的平行四边形是矩形。

2.对角线相等的平行四边形是矩形。

3.三个内角都是直角的四边形是矩形。

说明：矩形和正方形都是平行四边形。

平行四边形的定义在矩形上仍然适用。

[1]相关公式面积：S=ab(注:a为长,b为宽)周长：C=2(a+b)=(注:a为长,b为宽)外接圆矩形外接圆半径R=矩形对角线的一半性质（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．（2）矩形的性质①平行四边形的性质矩形都具有；②角：矩形的四个角都是直角；③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对角线相等；⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．黄金矩形宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形。

[2]黄金矩形给我们一协调、匀称的美感。

世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计。

如希腊的巴特农神庙等。

图形学"矩形必须一组对边与x轴平行，另一组对边与y轴平行。

不满足此条件的几何学矩形在计算机图形学上视作一般四边形。

"在高等数学里只提矩形，所以也就没提长方形的长与宽。

判定应用例1：已知ABCD的对角线AC和BD相交于点O，△AOB是等边三角形，AB=4．求这个平行四边形的面积。

要点一、矩形的定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.要点诠释：矩形定义的两个要素：①是平行四边形；②有一个角是直角.即矩形首先是一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件.要点二、矩形的性质矩形的性质包括四个方面：1. 矩形具有平行四边形的所有性质；2. 矩形的对角线相等；3. 矩形的四个角都是直角；4. 矩形是轴对称图形，它有两条对称轴.要点诠释：（1）矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形.过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分.（2）矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）.对称轴的交点就是对角线的交点（即对称中心）.（3）矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，从而矩形的性质可以归结为从三个方面看：从边看，矩形对边平行且相等；从角看，矩形四个角都是直角；从对角线看，矩形的对角线互相平分且相等.要点三、矩形的判定矩形的判定有三种方法：1. 定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.2. 对角线相等的平行四边形是矩形.3. 有三个角是直角的四边形是矩形.要点诠释：在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形.要点四、直角三角形斜边上的中线的性质直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半.要点诠释：（1）直角三角形斜边上的中线的性质是矩形性质的推论.性质的前提是直角三角形，对一般三角形不可使用.（2）学过的直角三角形主要性质有：①直角三角形两锐角互余；②直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；③直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半.（3）性质可以用来解决有关线段倍分的问题.1、如图所示，在矩形ABCD中，E、F分别是BC、AD上的点，且BE＝DF．求证△ABE≌△CDF．答案与解析举一反三【变式】如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点P为AB边上任一点，过P 分别作PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，则线段EF的最小值是_________．2、已知：平行四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，连结AF、CE.（1）求证：△BEC≌△DFA；（2）连接AC，若CA＝CB，判断四边形AECF是什么特殊四边形？并证明你的结论.答案与解析举一反三【变式】如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，四边形ABDE是平行四边形.求证：四边形ADCE是矩形.答案与解析3、如图所示，ABCD四个内角的角平分线分别交于点E、F、G、H．求证：四边形EFGH 是矩形．、（2012•佳木斯）如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E 为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为（）A．20 B．12 C．14 D．13答案与解析举一反三【变式】如图所示,已知平行四边形ABCD,AC、BD相交于点O,P是平行四边形ABCD外一点且∠APC＝∠BPD＝90°求证：平行四边形ABCD是矩形．巩固练习一.选择题1．下列命题中不正确的是( )．A. 直角三角形斜边中线等于斜边的一半B. 矩形的对角线相等C. 矩形的对角线互相垂直D. 矩形是轴对称图形2．若矩形对角线相交所成钝角为120°，短边长3.6，则对角线的长为( )．A. 3.6B. 7.2C. 1.8D. 14.43．矩形邻边之比3∶4，对角线长为10，则周长为( )．A. 14B. 28C. 20D. 224．已知AC为矩形ABCD的对角线，则图中∠1与∠2一定不相等的是( )5. 在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的4位同学拟定的方案，其中正确的是（）A．测量对角线是否相互平分 B．测量两组对边是否分别相等C．测量一组对角是否都为直角 D．测量其中三角形是否都为直角6. 如图，△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、AB于点D、F，BE⊥DF交DF的延长线于点E，已知∠A＝30°，BC＝2，AF＝BF，则四边形BCDE的面积是（）A. B. C. 4 D.二.填空题7．矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，∠AOB＝60°，AC＝10，则AB＝______，BC＝______．8．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝3，则AB边上的中线CD＝______．9. 如图,矩形纸片ABCD中，AD＝4，AB＝10，按如图方式折叠，使点B与点D 重合，折痕为EF，则DE＝__________.10.（2012 宁夏）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，DE⊥AC于E，∠EDC：∠EDA＝1：2，且AC＝10，则DE的长度是________.11.（2012•长春）如图，ABCD的顶点B在矩形AEFC的边EF上，点B与点E、F不重合，若△ACD的面积为3，则图中阴影部分两个三角形的面积和为_______.12. 如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6，E是斜边AB上任意一点，作EF⊥AC 于F，EG⊥BC于G，则矩形CFEG的周长是______.三.解答题13. 如图,矩形ABCD的对角线相交于点O，OF⊥BC，CE⊥BD，OE∶BE＝1∶3，OF＝4，求∠ADB的度数和BD的长.14. 如图,在矩形ABCD中，F是BC边上的一点，AF的延长线交DC的延长线于G，DE⊥AG于E，且DE＝DC，根据上述条件，请你在图中找出一对全等三角形，并证明你的结论.15. 如图所示，已知AB＝AC，AD＝AE，DE＝BC，且∠BAD＝∠CAE.求证：四边形BCED 是矩形．。

矩形的定义和性质
矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。

也就是长方形。

矩形的性质：
由于矩形是特殊的平行四边形，故包含平行四边形的性质；矩形的性质大致总结如下：
1、矩形具有平行四边形的所有性质：对边平行且相等，对角相等，邻角互补，对角线互相平分、矩形的四个角都是直角。

2、矩形的对角线相等、具有不稳定性（易变形）。

矩形的常见判定方法：
1、有一个角是直角的平行四边形是矩形、对角线相等的平行四边形是矩形。

2、有三个角是直角的四边形是矩形、经过证明，在同一平面内，任意两角是直角，任意一组对边相等的四边形是矩形、对角线相等且互相平分的四边形是矩形。

矩形的认识与分类矩形是几何学中常见的形状之一，具有许多重要的性质和用途。

本文将对矩形的基本定义、特点以及不同类型的矩形进行详细介绍。

一、基本定义矩形是一种有四个直角的四边形，其对边长度相等且相对平行。

也就是说，一条边和和其相邻的两条边构成一个直角。

二、性质和特点1. 对角线相等：矩形的对角线相等，而且相互平分。

2. 相对边平行：矩形的相对边是平行的。

3. 内角和为180度：矩形的内角和等于180度，每个角都是直角。

根据以上性质和特点，我们可以通过测量边长和角度来判断是否是矩形。

三、不同类型的矩形1. 正矩形：正矩形是一种特殊的矩形，其四个内角都是直角，并且所有边长相等。

正矩形常见于建筑物中的窗户、门框等。

2. 长方形：长方形也是一种矩形，其相邻两条边长度不同，但仍然保持直角。

长方形在日常生活中非常常见，例如书、手机、电视等。

3. 菱形：菱形是矩形的一种特殊情况，其对边长度相等，但相邻两边不平行。

菱形在宝石、纹身等领域中常见。

四、矩形的应用矩形在日常生活和工作中有着广泛的应用。

以下是一些常见的应用场景：1. 建筑设计：矩形常用于建筑设计中的墙壁、门窗等构造物的规划和设计。

2. 统计学：矩形常用于绘制柱状图，用于表示数据的分布情况和比较。

3. 地理学：地理学中常用矩形来表示地图上的区域。

总结：矩形是一种重要的几何形状，具有许多独特的性质和特点。

我们可以通过测量边长和角度来判断是否是矩形，并进一步分类为正矩形、长方形和菱形。

矩形在我们的日常生活和工作中有着广泛的应用，需要我们对其进行深入的认识和理解。

注：以上内容为文章的主要部分，字数仅为500字，如需增加字数可适当拓展各小节的内容，提供更多实际应用和相关案例。

矩形的性质及断定方法
矩形的性质
1、从边看，标准矩形对边平行且相等。

2、从角看，标准矩形四个角都是直角。

3、从对角线看，标准矩形对角线互相平分且相等。

标准矩形是轴对称图形，它有两条对称轴，它也是中心对称图形，对称中心是对角线的交点。

4、具有不稳定性〔易变形〕。

矩形的常见断定方法如下：
〔1〕有一个角是直角的平行四边形是矩形；
〔2〕对角线相等的平行四边形是矩形。

〔3〕有三个角是直角的四边形是矩形。

〔4〕定理：经过证明，在同一平面内，任意两角是直角，任意一组对边相等的四边形是矩形。

〔5〕对角线相等且互相平分的四边形是矩形。

矩形的面积公式
四个内角都是直角的四边形是矩形，矩形也叫长方形，面积公式为S=a×b，其中S为长方形面积，a为长方形的长，b 为长方形的宽。

矩形与平行四边形的区别
矩形：
一、定义
在几何中，长方形〔又称矩形〕定义为四个内角相等的四边形，即是说所有内角均为直角。

二、性质
是特殊的平行四边形；两组对边平行且相等；四个角都为90度；对角线互相平分。

平行四边形：
一、定义
在同一个二维平面内，由两组平行线段组成的闭合图形，称为平行四边形。

二、性质
两组对边平行且相等；两组对角分别相等；对角线互相平分；内角和为360度；相邻两边的夹角大于0度小于180度。

矩形的性质和判定一、基础知识（一）矩形的定义有一个内角为直角的平行四边形叫做矩形。

（二）矩形的性质：1.矩形具有平行四边形的一切性质；2.矩形的对角线相等；3.矩形的四个角都是900； 4.矩形是轴对称图形；边 角 对角线 对称性 矩形对边平行且相等四个角都是直角互相平分且相等轴对称，中心对称（三）矩形的判定：1.有一个角是直角的平行四边形是矩形；2.对角线相等的平行四边形是矩形；3.有三个角是直角的四边形是矩形；4.对角线相等且互相平分的四边形是矩形。

（四）直角三角形的性质直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

（如图：OB=OC=OA=21AC ）二、例题讲解考点一：矩形的基本性质例1：如图，在矩形ABCD 中，AE•⊥BD ，•垂足为E ，•∠DAE=•2•∠BAE ，•那么，•∠BAE=________， ∠EAO=________，若EO=1，则OD=______，AB=________，AD=________．AEDCBO练习 1：矩形ABCD中, ,对角线AC与BD相交于点O,BC的长为6,△OBC的周长是15,求矩形的对角线的长度.练习2：如图，在矩形ABCD中，CE⊥BD，E为垂足，∠DCE∶∠ECB＝3∶1，求∠ACD.例2：如图，矩形ABCD被两条对角线分成四个小三角形，如果四个小三角形的周长的和是86cm，对角线长是13cm，那么矩形的周长是多少?练习1：矩形ABCD中, ,对角线AC与BD相交于点O,已知矩形ABCD的面积是12cm2，AB=4cm，求矩形的对角线长。

例3：如图，在矩形ABCD 中，相邻两边AB 、BC 分别长15cm 和25cm ，内角∠BAD 的角平分线与边BC 交于点E ．试求BE 与CE 的长度．练习1：如图，在矩形ABCD 中，E 是边AD 上的一点．试说明△BCE 的面积与矩形ABCD 的面积之间的关系．例4：（2009年广西钦州）已知：如图1，在矩形ABCD 中，AF ＝BE ．求证：DE ＝CF ；ADCB 图1F E练习1：如图，矩形ABCD 中，E 为AD 中点，∠BEC 为直角，矩形ABCD 的周长是20，求AD 、AB 的长。

矩形的性质与计算方法矩形是一种具有特殊性质和计算方法的几何图形，拥有广泛的应用领域和实际价值。

本文将详细介绍矩形的性质和计算方法，并探讨其在数学和实际生活中的应用。

一、矩形的性质1. 边长性质：矩形的四条边长度相等，对应边两两平行。

2. 角性质：矩形的四个角都是直角。

3. 对角线性质：矩形的对角线相等，且相互平分。

二、矩形的计算方法1. 周长计算：矩形的周长等于两条相邻边的长度之和的两倍。

即，周长C = 2 × (a + b)，其中a和b分别表示相邻边的长度。

2. 面积计算：矩形的面积等于两条相邻边的长度相乘。

即，面积A = a × b，其中a和b分别表示相邻边的长度。

3. 对角线计算：矩形的对角线长度可以通过勾股定理计算。

即，对角线d = √(a² + b²)，其中a和b分别表示相邻边的长度。

三、矩形的应用1. 数学领域应用：矩形是数学中的基本几何图形，它在数学的各个分支中都有重要的应用，如代数、几何、概率等。

矩形的性质和计算方法是解决各类与矩形相关问题的基础。

2. 建筑领域应用：矩形是建筑设计和施工中常见的形状，比如房屋的平面图通常是矩形。

矩形的性质和计算方法可以帮助建筑师和工程师计算房屋的面积、周长，从而更好地规划和布置建筑空间。

3. 器物设计应用：矩形形状的器物在生活中随处可见，如桌子、书架、电视等。

矩形的性质和计算方法可以帮助设计师确定正确的比例，确保产品的美观和功能性。

4. 地理测量应用：矩形的性质和计算方法在地理测量中也有重要应用，如测算土地面积、建筑用地面积等。

通过测量边长和角度，可以精确计算各类地理空间和物体的尺寸和形状。

结语：矩形作为一种特殊的几何图形，具有独特的性质和重要的计算方法。

理解矩形的性质和熟悉计算方法对于数学学习和实际应用都很重要。

通过学习矩形的相关知识，我们可以更好地理解和应用几何学，同时也有助于我们更好地规划和设计生活、工作和学习中的各类场景。