高中数学 1.3 正弦定理、余弦定理的应用课堂精练 苏教版必修5

江苏省盱眙县都梁中学高中数学 1.1 正弦定理课堂精练 苏教版必修 5．下列关于正弦定理的叙述或变形中错误的是__________．①在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ；②在△ABC 中，a ＝b ⇔sin 2A ＝sin 2B ；③在△ABC 中，asin A ＝b ＋c sin B ＋sin C ； ④在△ABC 中，正弦值较大的角所对的边较大．2．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则B ＝__________.3．在△ABC 中，A ∶B ∶C ＝1∶1∶4，且a ＝6，则边c 的值为__________．4．在△ABC 中，若a b ＝cos B cos A，则△ABC 是__________三角形． 5．下列四个命题中，正确命题的序号是__________．①a ＝7，b ＝14，A ＝30°，有两解；②a ＝30，b ＝25，A ＝130°，有一解；③a ＝6，b ＝9，A ＝45°，有两解；④b ＝9，c ＝10，B ＝60°，无解．6．已知△ABC 中，a ＝x ，b ＝2，B ＝45°，若三角形有两解，则x 的取值范围是__________．7．在△ABC 中，A 满足3sin A ＋cos A ＝1，AB ＝2 cm ，BC ＝2 3 cm ，则△ABC 的面积为__________．8．在△ABC 中，若a cos A 2＝b cos B 2＝ccos C 2，则△ABC 一定是__________三角形． 9．在△ABC 中，lg b －lg a ＝lg sin B ＝－lg 2，B 为锐角，则A 的值等于__________．10．在△ABC 中，A ＝π3，BC ＝3，则△ABC 的周长为__________． 11．在△ABC 中，已知tan A ＝12，tan B ＝13，且最长边为1，求： (1)角C 的大小；(2)△ABC 最短边的长．12．已知△ABC 的面积为3－3，B ＝60°，又最大角与最小角的正切值恰为方程x 2－3x ＋2＝3(x －1)的根，求△ABC 的另外两个角和三条边．参考答案1．② 点拨：由正弦定理知a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，故a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ，故①正确；由正弦定理知a sin A ＝b sin B ＝c sin C ，由合比定理知asin A ＝b ＋c sin B ＋sin C，故③正确；由正弦定理知a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，假设sin A ＞sin B ，则有2R sin A ＞2R sin B ，∴a ＞b ，故④正确．∴②错误．2．45° 点拨：由正弦定理a sin A ＝b sin B 得4332＝42sin B，即sin B ＝22. 又∵a ＞b ，∴A ＞B .∴B ＝45°.3．3 2 点拨：由条件及三角形内角和定理，知A ＝B ＝30°，C ＝120°，所以a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝1∶1∶ 3.又a ＝6，所以c ＝3 2.4．等腰或直角 点拨：由a cos A ＝b cos B ，得sin A cos A ＝sin B cos B ，即sin 2A ＝sin 2B ，∴2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，即A ＝B 或A ＋B ＝π2. 5．② 点拨：对于①，由于b sin A ＝a ，故有一解，①不正确；同理，②有一解，②正确；由于③无解，④有两解，故③④均不正确．6．2＜x ＜2 2 点拨：要使三角形有两解，则⎩⎪⎨⎪⎧ a >b ，b >a sin B ，即⎩⎪⎨⎪⎧ x <2，2>x sin 45°，解得2＜x ＜2 2. 7． 3 cm 2 点拨：由3sin A ＋cos A ＝1，得32sin A ＋12cos A ＝12，即sin(A ＋30°)＝12. 又30°＜A ＋30°＜210°，∴A ＋30°＝150° .∴A ＝120°.由正弦定理，得sin C ＝2sin 120°23＝12， ∴C ＝30°.∴B ＝30°.∴S △ABC ＝12·AB ·BC ·sin B ＝12×2×23×12＝ 3 cm 2. 8．等边 点拨：由正弦定理及a cos A 2＝b cos B 2＝ccos C 2，得sin A cos A 2＝sin B cos B 2＝sin C cos C 2， 即sin A 2＝sin B 2＝sin C 2， ∴A ＝B ＝C .9．90° 点拨：由已知可得sin B ＝22， 又B 为锐角，∴B ＝45°.由lg b －lg a ＝－lg 2，得b a ＝22，从而sin B sin A ＝22， ∴sin A ＝1，即A ＝90°.10．3＋6sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π3 点拨：设△ABC 的周长为x ，又A ＝π3，BC ＝3， 由正弦定理，知BC sin A ＝AC sin B ＝ABsin C ， 由合比定理，得BC sin A ＝BC ＋AC ＋AB sin A ＋sin B ＋sin C＝x sin π3＋sin B ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋B ∴x ＝23×⎣⎢⎡⎦⎥⎤32＋sin B ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π3 ＝3＋6sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π6. 11．解：(1)∵tan C ＝tan(π－A －B )＝－tan(A ＋B )＝－tan A ＋tan B 1－tan A ·tan B＝－1， 又0＜C ＜π，∴C ＝34π. (2)∵tan A ＝12＞13＝tan B ，C ＝34π， ∴C 为最大角，B 为最小角．又tan B ＝13，∴sin B ＝1010. 由正弦定理，得b ＝c ·sin B sin C ＝55. 12．分析：首先利用根与最大、最小角的关系解出A ，C ，再用正弦定理a sin A ＝c sin C及面积公式S ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B 建立关于a ，c 的方程使问题迎刃而解． 解：假设A 最小，C 最大，由方程x 2－3x ＋2＝3(x －1)解得两根x 1＝1，x 2＝3＋2， 则tan A ＝1，tan C ＝3＋2.∴A ＝45°，C ＝75°.又∵S ＝3－3＝12ac sin B ＝34ac ， ∴ac ＝4(3－1)．将A ＝45°，C ＝75°代入a sin A ＝csin C， 得2a ＝(6－2)c ， 由⎩⎨⎧ ac ＝4(3－1)，2a ＝(6－2)c ，得⎩⎨⎧ a ＝2(3－1)，c ＝2. 又由正弦定理得b ＝a sin B sin A＝32－6， ∴△ABC 另外两角为45°和75°，三边分别为2(3－1)，32－6和2.。

明目标、知重点 1.能够运用正、余弦定理等知识和方法解决一些力的合成与分解问题.2.能够运用正、余弦定理等知识和方法解决一些几何中的角度、距离及面积问题．[情境导学]有人说物理学科中的题实质上是数学的应用题，事实上学习物理离不开数学，数学在物理学中的应用非常广泛，本节课我们来研究正、余弦定理在力学和平面几何中的应用． 探究点一 正、余弦定理在物理学中的应用例1 作用于同一点的三个力F 1，F 2，F 3平衡．已知F 1＝30 N ，F 2＝50 N ，F 1与F 2之间的夹角是60°，求F 3的大小与方向．(精确到0.1°)解 F 3应和F 1，F 2的合力F 平衡，所以F 3和F 在同一直线上，并且大小相等，方向相反． 如图，△OF 1F 中，由余弦定理，得F ＝302＋502－2×30×50cos 120°＝70(N)． 再由正弦定理，得sin ∠F 1OF ＝50sin 120°70＝5314，所以∠F 1OF ≈38.2°，从而∠F 1OF 3≈141.8°. 答 F 3为70 N ，F 3和F 1间的夹角为141.8°.反思与感悟 在运用正弦定理、余弦定理解决力、速度等的合成问题时，通常都根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出实际问题的解． 跟踪训练1 如图，有两条相交成60°角的直路XX ′，YY ′，交点是O ，甲、乙分别在OX ，OY 上，起初甲离O 点3 km ，乙离O 点1 km ，后来甲沿XX ′的方向，乙沿Y ′Y 的方向，同时用4 km/h 的速度步行．(1)起始两人的距离是多少？ (2)t h 后两人的距离是什么？ (3)什么时候两人的距离最短？解 (1)设甲、乙两人起初的位置是A 、B ，则AB 2＝OA 2＋OB 2－2OA ·OB cos 60°＝32＋12－2×3×1×12＝7，∴起初，两人的距离是7.(2)设甲、乙两人t 小时后的位置分别是P 、Q ，则AP ＝4t ，BQ ＝4t ，当0≤t ≤34时，PQ 2＝(3－4t )2＋(1＋4t )2－2(3－4t )(1＋4t )cos 60°＝48t 2－24t ＋7；当t >34时，PQ 2＝(4t －3)2＋(1＋4t )2－2(4t －3)(1＋4t )cos 120°＝48t 2－24t ＋7，所以PQ ＝48t 2－24t ＋7.(3)PQ 2＝48t 2－24t ＋7＝48⎝⎛⎭⎫t －142＋4， ∴当t ＝14时，即在第15分钟末，PQ 最短．答 在第15分钟末，两人的距离最短． 探究点二 正、余弦定理在几何中的应用例2 如图所示，已知半圆O 的直径为2，点A 为直径延长线上的一点，OA ＝2，点B 为半圆上任意一点，以AB 为一边作等边三角形ABC ，求B 在什么位置时，四边形OACB 面积最大．解 设∠AOB ＝α，在△ABO 中，由余弦定理得 AB 2＝12＋22－2×1×2cos α＝5－4cos α，α∈(0，π)，∴S ＝S △AOB ＋S △ABC ＝12OA ·OB ·sin α＋34AB 2＝12×2×1×sin α＋34(5－4cos α) ＝2sin ⎝⎛⎭⎫α－π3＋54 3. 当α－π3＝π2，α＝56π，即∠AOB ＝56π时，四边形OACB 面积最大．反思与感悟 利用正弦定理和余弦定理来解题时，要学会审题及根据题意画示意图，要懂得从所给的背景资料中进行加工、抽取主要因素，进行适当的简化．跟踪训练2 如图，在△ABC 中，BC ＝5，AC ＝4，cos ∠CAD ＝3132且AD ＝BD ，求△ABC 的面积．解 设CD ＝x ，则AD ＝BD ＝5－x ， 在△CAD 中，由余弦定理可知 cos ∠CAD ＝(5－x )2＋42－x 22×(5－x )×4＝3132.解得x ＝1.在△CAD 中，由正弦定理可知AD sin C ＝CDsin ∠CAD ，∴sin C ＝ADCD ·1－cos 2∠CAD ＝41－(3132)2＝378，∴S △ABC ＝12AC ·BC ·sin C＝12×4×5×387＝1574. 所以三角形ABC 的面积为1574.探究点三 测量方位角求高度问题例3 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧远处一山底C 在西偏北15°的方向上，行驶5 km 后到达B 处，测得C 在西偏北25°的方向上，仰角为8°，求此山的高度CD .(精确到1 m)解 在△ABC 中，A ＝15°，C ＝25°－15°＝10°，根据正弦定理，BC sin A ＝ABsin C，BC ＝AB sin A sin C ＝5sin 15°sin 10°≈7.452 4 (km)．CD ＝BC ×tan ∠DBC ≈BC ×tan 8°≈1 047(m)． 答 山的高度约为1 047米．反思与感悟 利用正弦定理和余弦定理来解题时，要学会审题及根据题意画方位图，要懂得从所给的背景资料中进行加工、抽取主要因素，进行适当的简化．跟踪训练3 如图，为测得河对岸塔AB 的高，先在河岸上选一点C ，使C 在塔底B 的正东方向上，测得点A 的仰角为60°，再由点C 沿北偏东15°方向走10 m 到位置D ，测得∠BDC＝45°，则塔AB的高是________ m.答案106解析在△BCD中，CD＝10 m，∠BDC＝45°，∠BCD＝15°＋90°＝105°，∠DBC＝30°，由正弦定理，得BCsin 45°＝CDsin 30°，BC＝CD sin 45°sin 30°＝102(m)．在Rt△ABC中，tan 60°＝ABBC，AB＝BC tan 60°＝106(m)．1．一艘海轮从A处出发，以40 n mile/h的速度沿南偏东40°方向直线航行，30 min后到达B 处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是________ n mile.答案102解析如图所示，由已知条件可得，∠CAB＝30°，∠ABC＝105°，AB＝40×12＝20 (n mile)．∴∠BCA＝45°.∴由正弦定理可得ABsin 45°＝BCsin 30°.∴BC＝20×1222＝10 2 (n mile)．2．如图所示，D、C、B三点在地面同一直线上，DC＝a，从C、D两点测得A点的仰角分别是β、α(β<α)．则A点离地面的高AB＝______.答案a sin αsin βsin(α－β)解析 设AB ＝h ，则AD ＝hsin α，在△ACD 中，∵∠CAD ＝α－β，∴CD sin (α－β)＝ADsin β.∴a sin (α－β)＝h sin αsin β，∴h ＝a sin αsin βsin (α－β). 3．△ABC 的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为13，则其外接圆的直径为________．答案 924解析 设另一条边为x ，则x 2＝22＋32－2×2×3×13，∴x 2＝9，∴x ＝3.设cos θ＝13，则sin θ＝223.∴2R ＝3sin θ＝3223＝924.4．如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠DAB ，∠ABC ＝60°，AC ＝6，AD ＝5，S △ADC ＝152，则AB ＝________.答案 43解析 在△ADC 中，已知AC ＝6，AD ＝5，S △ADC ＝152，则由S △ADC ＝12·AC ·AD ·sin ∠DAC ，求得sin ∠DAC ＝12，即∠DAC ＝30°，∴∠BAC ＝30°.而∠ABC ＝60°，故△ABC 为直角三角形；∵AC ＝6，∴AB ＝AC cos 30°＝632＝4 3.[呈重点、现规律]1．在研究三角形时，灵活根据两个定理可以寻找到多种解决问题的方案，但有些过程较繁琐，如何找到最优的方法，最主要的还是分析两个定理的特点，结合题目条件来选择最佳的计算方式．2．测量底部不可到达的建筑物的高度问题．由于底部不可到达，这类问题不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理和余弦定理，计算出建筑物顶部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．一、基础过关1．已知三角形面积为14，外接圆面积为π，则这个三角形的三边之积为________．答案 1解析 设三角形外接圆半径为R ，则由πR 2＝π，得R ＝1，由S △＝12ab sin C ＝abc 4R ＝abc 4＝14，∴abc ＝1.2．在某个位置测得某山峰仰角为θ，对着山峰在地面上前进600 m 后测得仰角为2θ，继续在地面上前进200 3 m 以后测得山峰的仰角为4θ，则该山峰的高度为________ m. 答案 300解析 方法一 如图，△BED ，△BDC 为等腰三角形，BD ＝ED ＝600 m ，BC ＝DC ＝200 3 m. 在△BCD 中，由余弦定理可得cos 2θ＝6002＋(2003)2－(2003)22×600×2003＝32，∴2θ＝30°，4θ＝60°.在Rt △ABC 中，AB ＝BC ·sin 4θ＝2003×32＝300(m)， 故选B.方法二 由于△BCD 是等腰三角形，12BD ＝DC cos 2θ，即300＝2003cos 2θ. cos 2θ＝32，2θ＝30°，4θ＝60°. 在Rt △ABC 中，AB ＝BC ·sin 4θ＝2003×32＝300(m)， 故选B.3．如图，在山腰测得山顶仰角∠CAB ＝45°，沿倾斜角为30°的斜坡走1 000米至S 点，又测得山顶仰角∠DSB ＝75°，则山高BC 为________米．答案 1 000解析 如图，∠SAB ＝45°－30°＝15°.又∠SBD ＝15°，∴∠ABS ＝30°，AS ＝1 000(米)．由正弦定理可知BS sin 15°＝1 000sin 30°.∴BS ＝2 000sin 15°.∴BD ＝BS ·sin 75°＝2 000sin 15°cos 15°＝1 000sin 30°＝500(米)， 且DC ＝1 000sin 30°＝500(米)．从而BC ＝DC ＋DB ＝1 000(米)．4．在△ABC 中，已知面积S ＝14(a 2＋b 2－c 2)，则角C 的度数为________．答案 45°解析 ∵S ＝14(a 2＋b 2－c 2)＝12ab sin C ，∴a 2＋b 2－c 2＝2ab sin C ，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab sin C . 由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， ∴sin C ＝cos C ，∴C ＝45° .5．平行四边形中，AC ＝65，BD ＝17，周长为18，则平行四边形的面积是________． 答案 16解析 设两邻边AD ＝b ，AB ＝a ，∠BAD ＝α， 则a ＋b ＝9，a 2＋b 2－2ab cos α＝17，a 2＋b 2－2ab cos(180°－α)＝65.解得a ＝5，b ＝4， cos α＝35，sin α＝45，∴S ▱ABCD ＝ab sin α＝16.6．在△ABC 中，已知b 2－bc －2c 2＝0，a ＝6，cos A ＝78，则△ABC 的面积S 为________．答案 152解析 由b 2－bc －2c 2＝0可得(b ＋c )(b －2c )＝0. ∴b ＝2c ，在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即6＝4c 2＋c 2－4c 2·78.∴c ＝2，从而b ＝4.∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×4×2× 1－⎝⎛⎭⎫782＝152. 7．如图，某货轮在A 处看灯塔B 在货轮的北偏东75°，距离为12 6 n mile ，在A 处看灯塔C 在货轮的北偏西30°，距离为8 3 n mile ，货轮由A 处向正北航行到D 处时，再看灯塔B在货轮的南偏东60°.求：(1)A处与D处的距离；(2)灯塔C与D处的距离．解(1)在△ABD中，∠ADB＝60°，B＝45°，由正弦定理得AD＝AB sin Bsin∠ADB＝126×2232＝24 (n mile)．所以A处与D处的距离为24 n mile.(2)在△ADC中，由余弦定理得CD2＝AD2＋AC2－2AD·AC cos 30°，解得CD＝8 3 n mile.即灯塔C与D处的距离为8 3 n mile.二、能力提升8．在四边形ABCD中，BC＝2，DC＝4，且∠A∶∠ABC∶∠C∶∠ADC＝3∶7∶4∶10；则AB＝________.答案32解析连结BD，由题意得∠A＝45°，∠ABC＝105°，∠C＝60°，∠ADC＝150°；∴在△BCD中，BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD cos C＝22＋42－2×2×4×12＝12，∴BD＝23，∵BC＝2，DC＝4，∴BD2＋BC2＝CD2，∴∠CBD＝90°；∵∠ABC＝105°，∴∠ABD＝15°，∴∠BDA＝120°；∵在△ABD中，有ABsin∠ADB＝BDsin A，∴AB＝BD sin∠ADBsin A＝23sin 120°sin 45°＝3 2.9．要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度，在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点，在甲、乙两点分别测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120°，甲、乙两地相距500 m，则电视塔在这次测量中的高度是________ m.答案500解析由题意画出示意图，设高AB＝h，在Rt△ABC中，由已知BC＝h，在Rt△ABD中，由已知BD＝3h，在△BCD中，由余弦定理BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos∠BCD得，3h2＝h2＋5002＋h·500，解之得h＝500(m)．10．为保障高考的公平性，高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪，要求在考点周围1千米处不能收到手机信号，检查员抽查某市一考点，在考点正西约1.732千米有一条北偏东60°方向的公路，在此处检查员用手机接通电话，以每小时12千米的速度沿公路行驶，问最长需要多少分钟检查员开始收不到信号，并至少持续多长时间该考点才算合格？解如图所示，考点为A，检查开始处为B，设公路上C，D两点到考点的距离为1千米．在△ABC中，AB＝3≈1.732(千米)，AC＝1(千米)，∠ABC＝30°，由正弦定理sin∠ACB＝sin 30°AC·AB＝3 2，∴∠ACB＝120°(∠ACB＝60°不合题意)，∴∠BAC＝30°，∴BC＝AC＝1(千米)，在△ACD中，AC＝AD，∠ACD＝60°，∴△ACD为等边三角形，∴CD＝1(千米)．∵BC12×60＝5，∴在BC上需5分钟，CD上需5分钟．所以最长需要5分钟检查员开始收不到信号，并持续至少5分钟才算合格．11．△ABC中，A、B、C对边分别为a、b、c，已知b＝27，B＝60°，a＋c＝10；(1)求sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6； (2)若D 为△ABC 外接圆中弦AC 所对劣弧上的一点且2AD ＝DC ，求四边形ABCD 的面积．解 (1)由正弦定理得：a sin A ＝c sin C ＝b sin B ＝473，∵a ＋c ＝10，∴sin A ＋sin C ＝5327.∵B ＝60°，∴∠ACB ＝120°－∠BAC ， ∴sin A ＋sin(120°－A )＝sin A ＋sin 120°cos A －cos 120°sin A ＝5327，于是得sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6＝5714. (2)∵A ，B ，C ，D 共圆，B ＝60°，∴D ＝120°. 在△ADC 中，由余弦定理可得 cos D ＝AD 2＋DC 2－b 22AD ·DC ＝－12，解之得AD ＝2， ∴S △ACD ＝12AD ·CD ·sin 120°＝23，在△ABC 中，由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝(a ＋c )2－2ac －b 22ac ＝12.解之得：ac ＝24. ∴S △ABC ＝12ac sin 60°＝63，∴S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S ΔACD ＝8 3. 三、探究与拓展12．某工厂生产产品后，留下大量中心角为60°，半径为R 的扇形边角料，现要利用边角料，从中剪裁出矩形毛坯，要求矩形面积尽可能大，请问如何裁剪？ 解 如图所示，矩形有两个顶点在半径OA 上，设∠AOP ＝θ，打印版高中数学 则PM ＝R sin θ，∵扇形中心角为60°，∴∠PQO ＝120°. 在△OPQ 中，由正弦定理，得OP sin 120°＝PQ sin (60°－θ)， 即PQ ＝23R sin(60°－θ)． ∴矩形MPQR 的面积为S 1＝PM ·PQ ＝23R 2sin θsin(60°－θ) sin θsin(60°－θ)＝sin θ(32cos θ－12sin θ) ＝32sin θcos θ－12sin 2θ ＝34sin 2θ－1－cos 2θ4＝34sin θ＋14cos 2θ－14＝12sin(2θ＋30°)－14. 当sin(2θ＋30°)＝1时，取得最大值，即θ＝30°时，sin θsin(60°－θ)≤14， 此时S 1＝23R 2sin θsin(60°－θ)≤36R 2. 故θ＝30°时，S 1取最大值36R 2，由θ＝30°确实P 点，通过做平等线不难确定出另三点．。

1．3 正弦定理、余弦定理的应用（2）教学目标 （1）能熟练应用正弦定理、余弦定理解决三角形等一些几何中的问题和物理问题；（2）能把一些简单的实际问题转化为数学问题，并能应用正弦、余弦定理及相关的三角公式解决这些问题；（3）通过复习、小结，使学生牢固掌握两个定理，应用自如.重点难点能熟练应用正弦定理、余弦定理及相关公式解决三角形的有关问题。

能熟练应用正弦定理、余弦定理及相关公式解决三角形的有关问题。

教学过程 一．问题情境1．复习引入总结解斜三角形的要求和常用方法.（1）．利用正弦定理和三角形内角和定理，可以解决以下两类解斜三角形问题：①已知两角和任一边，求其它两边和一角；②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而进一步求其它的边和角.（2） 应用余弦定理解以下两类三角形问题：①已知三边求三内角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其它两个内角.二．学生活动引导学生回忆上节课内容，总结利用两个定理解决实际问题的一般步骤.想一想可以用这两个定理来解决有关物理问题和几何问题吗？三．数学运用例1．作用在同一点的三个力123,,F F F 平衡.已知130F N =，250F N =，1F 与2F 之间的夹角是60，求3F 的大小与方向（精确到0.1）.解：3F 应和12,F F 合力F 平衡，所以3F 和F 在同一直线上，并且大小相等，方向相反.如图1-3-3，在1OF F ∆中，由余弦定理，得()22305023050cos12070F N =+-⨯⨯=再由正弦定理，得150sin12053sin 7014F OF ∠==， 所以138.2F OF ∠≈，从而13141.8F OF ∠≈.答 3F 为70N ，3F 与1F 之间的夹角是141.8.（余弦定理和正弦定理的综合运用）例2．如图1-3-4，半圆O 的直径为2，A 为直径延长线上的一点，2OA =，B 为半圆上任意一点，以AB 为一边作等边三角形ABC .问：点B 在什么位置时，四边形OACB 面积最大？分析：四边形的面积由点B 的位置唯一确定，而点B 由AOB ∠唯一确定，因此可设AOB α∠=，再用α的三角函数来表示四边形OACB 的面积.解：设AOB α∠=.在AOB ∆中，由余弦定理，得22212212cos 54cos AB αα=+-⨯⨯=-.于是，四边形OACB 的面积为AOB ABC S S S ∆∆=+213sin 24OA OB AB α=⋅+ ()1321sin 54cos 24αα=⨯⨯⨯+- 5sin 3cos 34αα=-+ 52sin 334πα⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭. 因为0απ<<，所以当32ππα-=时，56απ=，即56AOB π∠=时，四边形OACB 的面积最大. （涉及到三角函数的最值问题）图1-3-4四、矫正反馈如图，AB BC⊥，33CD=，30ACB∠=，75BCD∠=45BDC∠=，求AB的长. （答案：112）五．回顾小结1．正弦、余弦定理是解三角形的有力工具，要区别两个定理的不同作用，在解题时正确选用；2．由于有三角形面积公式，解题时要时刻与三角形面积与三角形外接圆直径联系在一起；3．应用正弦、余弦定理可以实现将“边、角相混合”的等式转化为“边和角的单一”形式；4．在较为复杂的图形中求边或角，首先要找出有关的三角形，再合理使用正弦定理或余弦定理解决. 课外作业课本21页3、4教学反思。

§1.3正弦定理和余弦定理的应用 （1）一、学习目标：1．掌握用正弦定理，余弦定理解任意三角形的方法；2．会利用数学建模的思想，结合三角形的知识，解决生产实践中的相关问题。

二、学法指导1．了解常用的测量相关术语；2.体会数学建模的基本思想，应用解三角形知识解决实际问题的解题一般步骤：①根据题意作出示意图；②确定所涉及的三角形，搞清已知和未知；③选用合适的定理进行求解；④给出答案。

三、课前预习1．仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫_____,在水平线下方的角叫_______.2．方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的角方位角的其他表示：（1）正南方向（2）东南方向（3）北偏东α（4）南偏西β3．坡角：坡面与水平面的二面角的度数。

四、课堂探究题型1距离问题【例1】如图1-3-1，为了测量河对岸两点,A B 之间的距离，在河岸这边取点,C D ，测得85ADC ∠=o ，60BDC ∠=o ，47ACD ∠=o ，72BCD ∠=o ，100CD m =.设,,,A B C D 在同一平面内，试求,A B 之间的距离（精确到1m ）.规律归纳(1)测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知两个角和一条边解三角形的问题，从而运用正弦定理去解决．(2)测量两个不可到达的点之间的距离问题，一般是把求距离问题转化为应用余弦定理求三角形的边长的问题．然后把求未知的另外边长问题转化为只有一点不能到达的两点距离测量问题，然后运用正弦定理解决．题型2高度问题【例2】如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C和D.现测得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝s，并在点C测得塔顶A的仰角为θ，求塔高AB.规律归纳解决测量高度问题的一般步骤是：(1)根据已知条件画出示意图；(2)分析与问题有关的三角形；(3)运用正、余弦定理解相关的三角形．在解题过程中，要综合运用立体几何与平面几何的知识，注意方程思想的运用．题型3角度问题【例3】如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘鱼船遇险等待营救，甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里C处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援(角度精确到1°)?五、巩固训练1．某人在山外一点测得山顶的仰角为42°，然后退后30米，测得山顶的仰角为39°，则山高为(sin42°＝0.669 1，sin39°＝0.629 3，sin 3°＝0.052 3)( )A．180米B．214米 C．242米 D．266米2.已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为( )A．a km B.3a km C.2a km D．2a km3.某舰艇在A处测得遇险渔船在北偏东45°距离为10 n mile的C处，此时得知，该渔船沿北偏东105°方向，以每小时9 n mile的速度向一小岛靠近，舰艇时速21 n mile，则舰艇到达渔船的最短时间是________．在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30度和60度，则塔高为 _ ___.六、反思总结1.距离问题(1)测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题这实际上是已知三角形两个角和一条边解三角形的问题，用正弦定理可解决问题．(2)测量两个不可到达的点之间的距离问题首先把求不可到达的两点A，B之间的距离转化为应用余弦定理求三角形的边长问题，然后把未知的BC和AC的问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．2.高度问题测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，这类问题不能直接用解三角形的方法解决，但常用正弦定理和余弦定理，计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为直角三角形的问题．3.角度问题测量角度就是在三角形内利用正弦定理和余弦定理求角的正弦值或余弦值，再根据需要求出所求的角．。

1.3 正弦定理、余弦定理的应用1、在锐角ABC ∆中,,,a b c 分别为角,,A B C 所对的边2 ,csin A c ==且5a b +=,则ABC ∆的面积为( )A. 2B. 92C.D. 722、ABC ∆的三内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c ,若2224ABCb c a S ∆+-=,则角A 的大小为( ) A.6π B. 4π C. 34π D. 56π3、ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 若120?c b B ===,则ABC ∆的面积等于( )A. 2B. 1C.D.4、在ABC ∆中, 60,1A b ==,则sin a A等于( )A.B.3C.3D.5、当甲船位于A处时获悉,在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救,甲船立即前往营救,同时把消息告知在甲船的南偏西30相距10海里C处的乙船,乙船立即朝θ+︒角的方向沿直线前往B处营救,则sinθ的值为( )北偏东30A.7B.2C.D.6、若水平面上,点B在点A南偏东30方向上,则在点A处测得点B的方位角是( )A.60B.120C.150D.210︒7、如图所示,已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等,灯塔A在观察站C的北偏东40,灯塔B在观察站C的南偏东60,则灯塔A在灯塔B的( )A.北偏东10B.北偏西10C.南偏东10D.南偏西108、有一长为10m的斜坡,倾斜角为75,在不改变坡高和坡顶的前提下,通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30,则坡底要延长的长度(单位:m)是( )A.5B.10C.2D.1039、江边有一炮台高30m,江中有两条船,由炮台顶部测得俯角分别为45和30,而且两条船与炮台底部连线成30度角,则这两条船相距( )A.103mB.1003mC.30mD.30m10、某人朝正北方向走x千米后,向北偏东转150并走3千米,3千米,那么x的值为( )A.B.C.D.311、某船开始看见灯塔在南偏东30方向,后来船沿南偏东60方向航行30 n mile后,看见灯塔在正西方向,则这时船与灯塔的距离为__________nmile.12、甲船在岛B的正南A处,10AB=千米,甲船以每小时4千米的速度向正北航行,同时,乙船自B出发以每小时6千米的速度向北偏东60的方向驶去.当甲、乙两船相距最近时,它们所航行的时间是__________.13、一艘船以每小时15?km的速度向东行驶,船在A处看到一灯塔B在北偏东60,行驶4h 后,船到达C处,看到这个灯塔在北偏东15,这时船与灯塔的距离为__________km.14、某人从A处出发,沿北偏东60方向行走到B处,再沿正东方向行走2km到C处,则,A C两地之间的距离为km15、为保障高考的公平性,高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪,要求在考点周围1千米处不能收到手机信号,检查员抽查青岛市一考点,在考点正西约1.732千米有一条北偏东60方向的公路,在此处检查员用手机接通电话,以每小时12千米的速度沿公路行驶,问最长需要多少分钟,检查员开始收不到信号,并至少持续多长时间该考点才算合格?答案以及解析1答案及解析：答案：A解析：2?csinA=及正弦定理得sinsina Ac C ==,∵ 0, sin A sin C ≠∴=故在锐角ABC ∆中, 3C π= 再由5a b +=及余弦定理可得()222227232533a b abcos a b ab a b ab ab π=+-=+-=+-=-,解得6ab =,故ABC ∆的面积为1·22ab sinC =2答案及解析：答案：B 解析：2221sin 42ABC b c a S bc A ∆+-==2222sin b c a bc A ⇒+-=, 又根据余弦定理2222cos b c a bc A +-=,∴2sin 2cos sin cos bc A bc A A A =⇒=,∴4A π=.3答案及解析：答案：C解析：=, ∴1,2sinC = ∴30C =︒或150 (舍去).∵120,30,B A =︒∴=︒∴1130222ABC S bcsinA sin ∆==︒= 4答案及解析：答案：A解析：由1sin 32ABC S bc A ∆==可知4c =.由余弦定理得2222 1168 6013,a b c bccos A cos =+-=+-︒= 所以13a =所以13239sin a A ==5答案及解析：答案：A解析：连接BC .在ABC ∆中, 10,20,AC AB ==120BAC ∠=︒,由余弦定理,得2222120700,BC AC AB AB AC cos =+-⋅⋅︒= 所以107BC =,再由正弦定理,得,θ∠=BC AB sin BAC sin 所以 sin θ=2176答案及解析：答案：C解析：根据方位角的意义,可得点B 的方位角是18030150.︒-︒=︒7答案及解析：答案：B解析：如题图所示,结合题意得180604080.ACB ∠=︒-︒-︒=︒因为AC BC =,所以50,605010.ABC α∠=︒=︒-︒=︒8答案及解析：答案：C解析：如图所示,设将坡底加长到'B 时,倾斜角为30,在'ABB ∆中,利用正弦定理可求得BB '的长度.在'ABB ∆中,30B '∠=︒,753045,10,BAB AB m '∠=︒-︒=︒=由正弦定理,得)102.BB m ︒'==︒=2ABsin4521sin302所以斜坡的倾斜角变为30时,坡底延伸102m .9答案及解析：答案：D解析：设炮台顶部为A ，两条船分别为,B C 炮台底部为,D 可知45,60,30,30.BAD CAD BDC AD ∠=︒∠=︒∠=︒=分别在R ADB ∆和R ADC ∆中，求得30, 3.DB DC ==在DBC ∆中，由余弦定理，得2222?cos30BC DB DC DB DC =+-︒，解得30.BC =故选D10答案及解析：答案：C解析：11答案及解析： 答案：103解析：如图所示, B 是灯塔, A 是船的初始位置, C 是船航行后的位置,则,30,60BC AD DAB DAC ⊥∠=︒∠=︒,则在Rt ACD ∆中,sin 30sin 6015 3 DC AC DAC n mile =∠=︒=,cos 30cos6015 AD AC DAC n mile =∠=︒=,则在Rt ADB ∆中,tan 15tan 305 3 DB AD DAB n mile =∠=︒=,则1535310 3 BC DC DB n mile =-==.12答案及解析：答案：1507分钟 解析：设行驶x 小时后甲到点C ,乙到点D ,两船相距ykm ,则18060120DBC ∠=︒-︒=︒.∴()()()2222104621046cos1202820100y x x x x x x =-+--︒=-+⋅ 22552528100281007147x x x ⎛⎫=-+=⎛⎫ ⎪⎝⎭--+ ⎪⎝⎭∴当514x = (小时) 1507= (分钟)时, 2y 有最小值.∴y 最小. 13答案及解析：答案：302解析：如图所示,15460,30,45AC BAC B =⨯=∠=︒∠=︒,在ABC ∆中由正弦定理得60sin 45sin 30BC =,∴302BC =.14答案及解析：答案：7解析： 如图所示,由题意可得33,2,150.AB BC ABC ==∠=︒由余弦定理,得22742332?cos15049,AC =+-⨯⨯︒=解得7.AC =故A 、C 两地间的距离为7.km15答案及解析：答案：如图所示,考点为A ,检查开始处为B ,设公路上,C D 两点到考点的距离为1千米.在ABC ∆中, 1.732,1,30AB AC ABC =≈=∠=︒,由正弦定理sin 30sin ACB AB AC ∠=⋅=,∴120ACB ∠=︒ (60ACB ∠=︒不合题意), ∴30BAC ∠=︒,∴1BC AC ==,在ACD ∆中, ,60AC AD ACD =∠=︒,∴ACD ∆A 为等边三角形,∴1CD =,∴60512BC ⨯=,∴在BC 上需5分钟, CD 上需5分钟.答:最长需要5分钟检查员开始收不到信号,并持续至少5分钟才算合格.解析：由Ruize收集整理。

明目标、知重点 1.利用正、余弦定理解决生产实践中的有关距离的测量问题.2.利用正、余弦定理解决生产实践中的有关高度的测量问题.3.培养提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力，并激发探索精神．1．仰角和俯角与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平线上方时叫仰角，目标视线在水平线下方时叫俯角．(如下图所示)2．方位角指从正北方向线按顺时针方向旋转到目标方向线的角．[情境导学]现实生活中，人们经常遇到测量不可到达点之间的距离、底部不可到达建筑物的高度，以及在航海中航向的确定．这些问题究竟怎样解决？恰当利用我们所学过的正弦定理、余弦定理就可以解决上述问题，这节课我们就来探究上述问题．探究点一测量两个不可到达点间的距离问题例1如图所示，为了测量河对岸两点A，B之间的距离，在河岸这边取点C，D，测得∠ADC ＝85°，∠BDC＝60°，∠ACD＝47°，∠BCD＝72°，CD＝100 m．设A，B，C，D在同一平面内，试求A，B之间的距离．(精确到1 m)解在△ADC中，∠ADC＝85°，∠ACD＝47°，则∠DAC ＝48°.又DC ＝100，由正弦定理，得AC ＝DC sin ∠ADC sin ∠DAC＝100sin 85°sin 48°≈134.05(m)．在△BDC 中，∠BDC ＝60°，∠BCD ＝72°，则∠DBC ＝48°. 又DC ＝100，由正弦定理，得BC ＝DC sin ∠BDC sin ∠DBC ＝100sin 60°sin 48°≈116.54(m)．在△ABC 中，由余弦定理，得 AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos ∠ACB＝134.052＋116.542－2×134.05×116.54cos 25° ≈3 233.95， 所以AB ≈57(m)．答 A ，B 两点之间的距离约为57 m.反思与感悟 测量两个不可到达的点之间的距离问题．首先把求不可到达的两点A ，B 之间的距离转化为应用余弦定理求三角形的边长问题，然后在相关三角形中利用正弦定理计算其他边．跟踪训练1 如下图，A 、B 两点都在河的对岸(不可到达)，若在河岸选取相距40米的C 、D 两点，测得∠BCA ＝60°，∠ACD ＝30°，∠CDB ＝45°，∠BDA ＝60°，那么此时A 、B 两点间的距离是多少？解 在△ACD 中，应用正弦定理得AC ＝CD ·sin ∠ADCsin ∠DAC ＝40sin (45°＋60°)sin[180°－(30°＋45°＋60°)]＝40sin 105°sin 45°＝40sin 75°sin 45°＝20(1＋3)(米)，同理在△BCD 中，BC ＝40sin 45°sin[180°－(60°＋30°＋45°)]＝40sin 45°sin 45°＝40(米)．在△ABC 中，由余弦定理得 AB ＝AC 2＋BC 2－2AC ×BC cos ∠BCA ＝206(米)．探究点二 测量角度问题例2 如图所示，某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号．我海军舰艇在A 处获悉后，测出该渔轮在方位角为45°，距离为10 n mile 的C 处，并测得渔轮正沿方位角为105°的方向，以9 n mile/h 的速度向小岛靠拢．我海军舰艇立即以21 n mile/h 的速度前去营救．求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间．(角度精确到0.1°，时间精确到1 min)解 设舰艇收到信号后x h 在B 处靠拢渔轮， 则AB ＝21x ，BC ＝9x ，又AC ＝10，∠ACB ＝45°＋(180°－105°)＝120°. 由余弦定理，得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos ∠ACB ， 即(21x )2＝102＋(9x )2－2×10×9x cos 120°. 化简，得36x 2－9x －10＝0，解得x ＝23(h)＝40(min)(负值舍去)．由正弦定理，得sin ∠BAC ＝BC sin ∠ACB AB ＝9x sin 120°21x ＝3314，所以∠BAC ≈21.8°，方位角为45°＋21.8°＝66.8°.答 舰艇应沿着方位角66.8°的方向航行，经过40 min 就可靠近渔轮．反思与感悟 航海问题是解三角形应用问题中的一类很重要的问题，解决这类问题一定要搞清方位角，再就是选择好不动点，然后根据条件，画出示意图，转化为三角形问题． 跟踪训练2 甲船在A 点发现乙船在北偏东60°的B 处，乙船以每小时a 海里的速度向北行驶，已知甲船的速度是每小时3a 海里，问甲船应沿着什么方向前进，才能最快与乙船相遇？ 解 如图所示．设经过t 小时两船在C 点相遇，则在△ABC 中，BC ＝at (海里)，AC ＝3at (海里)， B ＝90°＋30°＝120°，由BC sin ∠CAB ＝AC sin B得： sin ∠CAB ＝BC sin B AC ＝at ·sin 120°3at ＝323＝12.∵0°<∠CAB <90°，∴∠CAB ＝30°.∴∠DAC ＝60°－30°＝30°.所以甲船应沿着北偏东30°的方向前进，才能最快与乙船相遇． 探究点三 求高度问题例3 如下图，AB 是底部B 不可到达的一个建筑物，A 为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB 的方法．解 选择一条水平基线HG ，使H 、G 、B 三点在同一条直线上．由在H 、G 两点用测角仪器测得A 的仰角分别是α、β，CD ＝a ，测角仪器的高是h .那么，在△ACD 中，根据正弦定理可得AC ＝a sin βsin (α－β)，AB ＝AE ＋h ＝AC sin α＋h ＝a sin αsin βsin (α－β)＋h .反思与感悟 在运用正弦定理、余弦定理解决实际问题时，通常都根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出实际问题的解．和高度有关的问题往往涉及直角三角形的求解．跟踪训练3 江岸边有一炮台，江中有两条船相距30 m ，船与炮台底部在同一水面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则炮台高________ m. 答案 30解析 设两条船所在位置分别为A 、B 两点，炮台底部所在位置为C 点，在△ABC 中，由题意可知AC ＝30tan 30°＝303(m)，BC ＝30tan 45°(m)＝30，∠C ＝30°，AB 2＝(303)2＋302－2×303×30×cos 30°＝900， 所以AB ＝30(m)．1．如图，在河岸AC 上测量河的宽度BC ，测量下列四组数据，较适宜的是________组．①a ，c ，α ②b ，c ，α ③c ，a ，β ④b ，α，γ 答案 ④解析 由α、γ、b ，可利用正弦定理求出BC ，其余不符合题干要求．2．已知两灯塔A 和B 与海洋观测站C 的距离都等于a km ，灯塔A 在观测站C 的北偏东20°方向上，灯塔B 在观测站C 的南偏东40°方向上，则灯塔A 与灯塔B 的距离为________ km 答案3a解析 ∠ACB ＝120°，AC ＝BC ＝a (km)， ∴由余弦定理得AB ＝3a (km)．3．我炮兵阵地位于地面A 处，两观察所分别位于地面点C 和D 处，已知CD ＝6 km ，∠ACD ＝45°，∠ADC ＝75°，目标出现于地面点B 处时，测得∠BCD ＝30°，∠BDC ＝15°(如图)，求我炮兵阵地到目标的距离．解 在△ACD 中，∠CAD ＝180°－∠ACD －∠ADC ＝60°，∠ACD ＝45°， 根据正弦定理，有AD ＝CD sin 45°sin 60°＝23CD ， 同理：在△BCD 中，∠CBD ＝180°－∠BCD －∠BDC ＝135°，∠BCD ＝30°，根据正弦定理，有BD ＝CD sin 30°sin 135°＝22CD ，在△ABD 中，∠ADB ＝∠ADC ＋∠BDC ＝90°，根据勾股定理，有AB ＝AD 2＋BD 2＝23＋12CD ＝426CD ＝42(km)，所以我炮兵阵地到目标的距离为42 km.4．如图所示，有两条直线AB 和CD 相交成80°角，交点是O ，甲、乙两人同时从点O 分别沿OA ，OC 方向出发，速度分别是4 km/h,4.5 km/h.3时后两人相距多远？(精确到0.1 km)解 经过3时后，甲到达点P ，OP ＝4×3＝12(km)， 乙到达点Q ，OQ ＝4.5×3＝13.5(km)． 依余弦定理，知 PQ ＝122＋13.52－2×12×13.5cos 80°≈16.4(km)．[呈重点、现规律]1．运用正弦定理就能测量“一个可到达点与一个不可到达点间的距离”，而测量“两个不可到达点间的距离”要综合运用正弦定理和余弦定理．测量“一个可到达点与一个不可到达点间的距离”是测量“两个不可到达点间的距离”的基础，这两类测量距离的题型间既有联系又有区别．2．正、余弦定理在实际测量中的应用的一般步骤： (1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图；(2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；(3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解；(4)检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解．一、基础过关1．如图，A、N两点之间的距离为________．答案4032．如图，海岸线上有相距5海里的两座灯塔A，B，灯塔B位于灯塔A的正南方向．海上停泊着两艘轮船，甲船位于灯塔A的北偏西75°方向，与A相距32海里的D处；乙船位于灯塔B的北偏西60°方向，与B相距5海里的C处，则两艘轮船之间的距离为____海里．答案13解析如图，连结AC，∠ABC＝60°，BC＝AB＝5，则AC＝5.在△ACD中，AD＝32，AC＝5，∠DAC＝45°，由余弦定理得CD＝13(海里)．3．如图所示，为了测定河的宽度，在一岸边选定两点A、B，望对岸标记物C，测得∠CAB ＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120 m，则河的宽度为______．答案 60 m解析 在△ABC 中，∠CAB ＝30°，∠CBA ＝75°，∴∠ACB ＝75°.∠ACB ＝∠ABC . ∴AC ＝AB ＝120 (m)．如图，作CD ⊥AB ，垂足为D ，则CD 即为河的宽度．∴CD ＝AC sin ∠CAD ＝120×12＝60(m)．∴河的宽度为60 m.4．台风中心从A 地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B 在A 的正东40千米处，B 城市处于危险区内的持续时间为________小时． 答案 1解析 设t 小时后，B 市处于危险区内，则由余弦定理得 (20t )2＋402－2×20t ×40cos 45°≤302.化简得4t 2－82t ＋7≤0，∴t 1＋t 2＝22，t 1·t 2＝74.从而|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝1.5．甲船在岛B 的正南A 处，AB ＝10千米，甲船以每小时4千米的速度向正北航行，同时，乙船自B 出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去．当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间是________小时．答案 514解析 设行驶x 小时后甲到点C ，乙到点D ，两船相距y km ，则∠DBC ＝180°－60°＝120°. ∴y 2＝(10－4x )2＋(6x )2－2(10－4x )·6x cos 120°＝28x 2－20x ＋100＝28⎝⎛⎭⎫x －5142－257＋100 ∴当x ＝514小时时，甲、乙两船相距最近．6．一次机器人足球比赛中，甲队1号机器人由点A 开始作匀速直线运动，到达点B 时，发现足球在点D 处正以2倍于自己的速度向点A 作匀速直线滚动．如图所示，已知AB ＝4 2 dm ，AD ＝17 dm ，∠BAC ＝45°.若忽略机器人原地旋转所需的时间，则该机器人最快可在何处截住足球？解 设该机器人最快可在点C 处截住足球，点C 在线段AD 上．设BC ＝xdm ，由题意知，CD ＝2x dm.AC ＝AD －CD ＝(17－2x )(dm)． 在△ABC 中，由余弦定理，得 BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos A ，即x 2＝(42)2＋(17－2x )2－2×42×(17－2x )cos 45°.解得x 1＝5 dm ，x 2＝373dm.所以AC ＝17－2x ＝7 dm ，或AC ＝－233dm(舍去)．∴该机器人最快可在线段AD 上离A 点7 dm 的点C 处截住足球．7.如图所示，在斜度一定的山坡上一点A 测得山顶上一建筑物顶端C 对于山坡的斜度为α，向山顶前进a m 到达B 点，从B 点测得斜度为β，设建筑物的高为h m ，山坡对于地平面的倾斜角为θ，求证：cos θ＝a sin αsin βh sin (β－α).证明 在△ABC 中，由正弦定理，可知AC sin ∠CBA ＝a sin ∠ACB ，即AC sin (π－β)＝asin (β－α).∴AC ＝a sin βsin (β－α).在△ADC 中，由正弦定理，知h sin α＝ACsin ∠CDA .又∠CDA ＝90°＋θ，∴hsin α＝a sin βsin (β－α)cos θ.整理，得cos θ＝a sin αsin βh sin (β－α).二、能力提升8．如图，一货轮航行到M 处，测得灯塔S 在货轮的北偏东15°的方向上，与灯塔S 相距20海里，随后货轮按北偏西30°的方向航行30分钟后到达N 处，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为________海里/小时．答案 20(6－2) 解析 由题意，得∠SMN ＝45°，∠SNM ＝105°，∠NSM ＝30°.由正弦定理得MN sin 30°＝MSsin 105°.∴MN ＝MS sin 30°sin 105°＝106＋24＝10(6－2)．则v 货＝20(6－2) (海里/小时)．9.如图所示，位于A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB 前往B 处救援，则cos θ＝________.答案2114解析 在△ABC 中，AB ＝40，AC ＝20，∠BAC ＝120°，由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos 120°＝2 800，所以BC ＝207.由正弦定理AB sin ∠ACB ＝BCsin ∠BAC ，得sin ∠ACB ＝AB BC ·sin ∠BAC ＝217.由∠BAC ＝120°，知∠ACB 为锐角， 故cos ∠ACB ＝277.故cos θ＝cos(∠ACB ＋30°)＝cos ∠ACB cos 30°－sin ∠ACB sin 30° ＝277×32－217×12＝2114. 10．某人在M 汽车站的北偏西20°的方向上的A 处，观察到点C 处有一辆汽车沿公路向M 站行驶．公路的走向是M 站的北偏东40°.开始时，汽车到A 的距离为31千米，汽车前进20千米后，到A 的距离缩短了10千米．问汽车还需行驶多远，才能到达M 汽车站？ 解 由题设，画出示意图，设汽车前进20千米后到达B 处．在ABC 中，AC ＝31，BC ＝20，AB ＝21， 由余弦定理得cos C ＝AC 2＋BC 2－AB 22AC ·BC ＝2331，则sin 2C ＝1－cos 2C ＝432312，sin C ＝12331，所以sin ∠MAC ＝sin(120°－C ) ＝sin 120°cos C －cos 120°sin C ＝35362.在△MAC 中，由正弦定理，得MC ＝AC sin ∠MAC sin ∠AMC ＝3132×35362＝35.从而有MB ＝MC －BC ＝15.答 汽车还需要行驶15千米才能到达M 汽车站． 三、探究与拓展11．在海岸A 处，发现北偏东45°的方向，距离A (3－1) n mile 的B 处有一艘走私船，在A 处北偏西75°的方向，距离A 2 n mile 的C 处的缉私船奉命以10 3 n mile/h 的速度追截走私船．此时，走私船正以10 n mile/h 的速度从B 处向北偏东30°的方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？解 如图所示，设缉私船用t h 在D 处追上走私船，则有CD ＝103t ，BD ＝10t ，在△ABC 中，∵AB ＝3－1，AC ＝2，∠BAC ＝120°， ∴由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos ∠BAC＝(3－1)2＋22－2×(3－1)×2×cos 120°＝6， ∴BC ＝ 6 (n mile)，打印版高中数学 且sin ∠ABC ＝AC BC ·sin ∠BAC ＝26×32＝22. ∴∠ABC ＝45°，∴BC 与正北方向垂直． ∵∠CBD ＝90°＋30°＝120°，在△BCD 中，由正弦定理得sin ∠BCD ＝BD ·sin ∠CBD CD ＝10t sin 120°103t＝12， ∴∠BCD ＝30°.即缉私船沿北偏东60°方向能最快追上走私船．。

第1章解三角形1.3 正弦定理、余弦定理的应用A级基础巩固一、选择题1．在某测量中，设点A在点B的南偏东34°27′，则点B在点A的()A．北偏西34°27′B．北偏东55°33′C．北偏西55°33′D．南偏西55°33′答案：A2.如图所示，为了测量某湖泊两侧A，B的距离，绘出下列数据，其中不能唯一确定A，B两点间的距离的是()A．角A，B和边bB．角A，B和边aC．边a，b和角CD．边a，b和角A解析：根据正弦定理和余弦定理可知，当知道两边和其中一边的对角解三角形时，得出的结果不一定唯一，故选D.答案：D3．一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75°距塔68 n mile 的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这只船的航行速度为( )A.1762 n mileB ．34 6 n mile C.1722n mileD ．34 2 n mile解析：如图所示，在△PMN 中，PM sin 45°＝MNsin 120°，所以MN ＝68×32＝34 6.所以v ＝MN 4＝1726( n mile/h)．答案：A4．某人向正东方向走x km 后，他向右转150°，然后朝新方向走3 km ，结果他离出发点恰好 3 km ，那么x 的值为( )A. 3 B ．2 3 C ．23或 3 D ．3解析：依题意可得，32＋x 2－2×3·x cos 30°＝(3)2. 解得x ＝23或x ＝ 3. 答案：C5．江岸边有一炮台高30 m ，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距( )A ．10 3 mB ．100 3 mC．2030 m D．30 m解析：设炮台顶部为A，两条船分别为B、C，炮台底部为D，可知∠BAD＝45°，∠CAD＝60°，∠BDC＝30°，AD＝30.分别在Rt△ADB，Rt△ADC中，求得DB＝30，DC＝30 3.在△DBC中，由余弦定理得BC2＝DB2＋DC2－2DB·DC cos 30°，解得BC＝30.答案：D6．有一长为10 m的斜坡，倾斜角为75°，在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30°，则坡底要延长的长度(单位：m)是()A．5 B．10 C．10 2 D．10 3解析：如图所示，设将坡底加长到B′时，倾斜角为30°，在△ABB′中，利用正弦定理可求得BB′的长度．在△ABB′中，∠B′＝30°，∠BAB′＝75°－30°＝45°，AB＝10 m，由正弦定理，得BB ′＝AB sin 45°sin 30°＝10×2212＝10 2 (m)．所以斜坡的倾斜角变为30°时，坡底延伸10 2 m. 答案：C 二、填空题7．某人在塔的正东沿着南偏西60°的方向前进40 m 后，望见塔在正北，若路途测得塔的最大仰角为30°，则塔高为________m.解析：设塔高为AB ，某人由C 前进到D ，依题意可得CD ＝40 m ，∠ACD ＝90°－60°＝30°，作AE ⊥CD 于点E ，则∠AEB ＝30°，则AD ＝CD sin 30°＝20，AE ＝AD sin 60°＝103，所以AB ＝AE tan 30°＝103×33＝10 m.答案：108．一树干被台风吹断，折断部分与残存树干成30°角，树干底部与树尖着地处相距5 m ，则树干原来的高度为________．解析：如图所示，AB ＝AC ·tan 60°＝53，BC ＝ACsin 30°＝10， 所以AB ＋BC ＝(53＋10)m. 答案：(10＋53)m 三、解答题9.如图所示，一船以每小时15 km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔B 在北偏东60°，行驶4 h 后，船到达C 处，看到这个灯塔在北偏东15°，求此时船与灯塔的距离．解：如题图所示，由正弦定理得， BCsin （90°－60°）＝15×4sin 45°，所以BC ＝30 2 km.所以此时船与灯塔的距离为30 2 km.10．如下图所示，在塔底D 的正西方A 处测得塔顶的仰角为 45°，在它的南偏东60°的B 处测得塔顶的仰角为30°，AB 的距离是84 m ，求塔高．解：设塔高CD ＝x m ，则AD ＝x m ，DB ＝3x m.在△ABD 中，利用余弦定理得842＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x tan 45°2＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x tan 30°2－23·x 2cos(90°＋60°)，解得x ＝±127(负值舍去)，故塔高为127 m.B 级 能力提升一、选择题11．如图所示，已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站C 的北偏东40°，灯塔B 在观察站C 的南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B 的( )A ．北偏东10°B ．北偏西10°C ．南偏东10°D ．南偏西10°解析：如题图所示，结合题意得∠ACB ＝180°－60°－40°＝80°. 因为AC ＝BC ，所以∠ABC ＝50°，α＝60°－50°＝10°. 答案：B12．若水平面上，点B 在点A 南偏东30°方向上，则在点A 处测得点B 的方位角是( )A ．60°B ．120°C ．150°D ．210°解析：根据方位角的意义，可得点B 的方位角是180°－30°＝ 150°.答案：C13．当甲船位于A 处时获悉，在其正东方向相距20海里的B 处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往营救，同时把消息告知在甲船的南偏西30°相距10海里C 处的乙船，乙船立即朝北偏东θ＋ 30°角的方向沿直线前往B 处营救，则sin θ的值为( )A.217B.22C.32D.5714解析：连接BC .在△ABC 中，AC ＝10，AB ＝20，∠BAC ＝120°，由余弦定理，得BC 2＝AC 2＋AB 2－2AB ·AC · cos120°＝700，所以BC ＝107，再由正弦定理， 得BC sin ∠BAC＝ABsin θ， 所以sin θ＝217.答案：A 二、填空题14．(2014·课标全国Ⅰ卷)如图所示，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点．从A 点测得M 点的仰角∠MAN＝60°，C 点的仰角∠CAB ＝45°以及∠MAC ＝75°；从C 点测得∠MCA ＝60°.已知山高BC ＝100 m ，测山高MN ＝________m.解析：根据图示，AC ＝100 2 m.在△MAC 中，∠CMA ＝180°－75°－60°＝45°. 由正弦定理得AC sin 45°＝AMsin 60°⇒AM ＝100 3 m.在△AMN 中，MNAM ＝sin 60°，所以MN ＝1003×32＝150(m)．答案：15015．甲船在岛B 的正南A 处，AB ＝10千米，甲船以每小时4千米的速度向正北航行，同时，乙船自B 出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去．当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间是________小时．解析：设行驶x h 后甲到点C ，乙到点D ，两船相距y km ，则∠DBC ＝180°－60°＝120°.所以y 2＝(10－4x )2＋(6x )2－2(10－4x )·6x cos 120°＝28x 2－20x ＋100＝28⎝⎛⎭⎪⎫x －5142－257＋100. 所以当x ＝514时，y 2有最小值，即两船相距最近．答案：514三、解答题16．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b ＝27，B ＝60°，a ＋c ＝10.(1)求sin ()A ＋30°；(2)若D 为△ABC 外接圆中弦AC 所对劣弧上的一点且2AD ＝DC ，求四边形ABCD 的面积．解：(1)由正弦定理得a sin A ＝c sin C ＝bsin B ＝473，因为a ＋c ＝10，所以sin A ＋sin C ＝5327 .因为B ＝60°，所以C ＝120°－A ，所以sin A ＋sin(120°－A )＝sin A ＋sin 120°cos A －cos 120°sin A ＝5327， 于是得sin ⎝⎛⎭⎫A ＋30°＝5714.(2)因为A ，B ，C ，D 共圆，B ＝60°， 所以D ＝120°.在△ADC 中，由余弦定理可得cos D ＝AD 2＋DC 2－b 22AD ·DC ＝－12，解之得AD ＝2，所以S △ACD ＝12AD ·CD ·sin 120°＝23，在△ABC 中，由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝（a ＋c ）2－2ac －b 22ac ＝12.解之得ac ＝24.所以S △ADC ＝12ac sin 60°＝63，所以S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △ACD ＝8 3.。

§1.3正弦定理、余弦定理的应用情景引入正弦定理、余弦定理体现了三角形中边角之间的相互关系，在测量学、运动学、力学、电学等许多领域有着广泛的应用．解三角形的知识本身是从人类长期的生产和生活实践中产生和发展起来的，在数学发展历史上，受到天文测量，航海测量和地理测量等方面实践活动的推动，解三角形的理论得到不断发展，并被应用于解决许多测量问题.知识技能详解知识点1 有关名词、术语1. 仰角和俯角与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角，如图 2．方位角一般指北方向线顺时针到目标方向线的水平角，如方位角是45︒，指北偏东45︒，即东北方向．3．方向角指从指定方向线到目标方向线的水平角，如北偏西30︒（或北30︒西）是指测量的正北方向向西旋转30︒所成的角．4．坡度是指坡面与水平面所成的角的度数．知识点2 解三角形应用题的一般思路(1)读懂题意，理解问题的实际背景，明确已知和所求，理清量与量之间的关系． (2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形模型．(3)选择正弦定理和余弦定理求解，把已知和要求的量尽量集中在有关三角形中，利用正、余弦定理有顺序地解这些三角形；实际问题→数学问题（三角形）→数学问题的解（解三角形）→实际问题的解(4)将三角形的解还原为实际问题，注意实际问题中单位、近似计算要求并作答．这一思路描述如下：视线 仰角俯角视线 铅垂线水平线知识点3 三角形的面积公式结合正弦定理，三角形面积公式为111sin sin sin 222S ab C bc A ac B ===，三角形的面积公式有许多：例如已知三角形的三边a 、b 、c 及外接圆、内切圆的半径为R ，r ，则有2a b c S r ++= 与abcS =4R； 在△ABC 中，若11(,)AB x y = ，22(,)AC x y = ，则△ABC 的面积为211212S x y x y =- ；还有三角形的面积公式（海伦公式）：()()()S p p a p b p c =---，其中S 表示三角形的面积，a 、b 、c 表示三角形的三边长，p 表示三角形的半周长，即1()2p a b c =++． 技能应用导引题型一 距离问题例1一次机器人足球比赛中，甲队1号机器人由A 点开始做匀速直线运动，到达点B 时，发现足球在点D 处正以2倍于自己的速度向点A 作匀速直线滚动，如图1-3-1所示，已知42AB dm =，17AD dm =，45BAC ∠=︒，若忽略机器人原地旋转所需的时间，则该机器人最快可在何处截住足球？【分析】机器人最快截住足球的地方正是机器人与足球同时到达的地方，设为C 点，利用速度建立AC 与BC 之间的关系，再利用余弦定理便可建立方程解决问题． 【解】设机器人最快可在点C 处截住足球，点C 在线段AD 上，设BC x = dm ，由题意，得2CD x = dm ，(172)AC AD CD x =-=- dm在△ABC 中，由余弦定理，得2222cos BC AB AC AB AC A =+-⋅ 即222(42)(17)x x =+-82(17)cos45x --︒解得15x = (dm ), 2373x =(dm )∴1727AC x =-=(dm )或233AC =-(dm )（舍去） 答：该机器人最快可在线段AD 上离A 点7dm 的点C 处截住足球．【评注】本题是利用余弦定理解决实际问题，关键是转化为数学模型．在转化为数学模型的过程中，最好是先画好简单的图示，然后根据题目中条件分清那些是已知量，那些是未知量，灵活地选用正、余弦定理． 变式练习1如图1-3-2，有两条直线AB 和CD 相交成80︒角，交点是O ，甲、乙两人同时从O 点分别沿OA 、OC 方向出发，速度分别4/km h ，4.5/km h ，3h 后两人相距多远（精确到0.1km ）？变式练习2某炮兵阵地于A 点，两观察所分别位于C 、D 两点，已知△ACD 为正三角形，且3DC km =，当目标出现在B 时，测得45CDB ∠=︒，75BCD ∠=︒，求炮兵阵地与目标的距离是多少？（精确到0.01km ）例2 如图1-3-3，某货轮在A 处看灯塔B 在货轮的北偏东75︒，距离为126n mile ，在A 处看灯塔CACBD45︒1-3-1A P DB 80︒QCO在货轮的北偏西30︒，距离为，货轮由A 处向正北航行到D 处时，再看灯塔B 在北偏东120︒，求：(1)A 处与D 处的距离；(2)灯塔C 与D 处的距离．【分析】(1)要求AD 的长，在△ABD中，AB =45B ∠=︒，可由正弦定理求解．(2)要求CD 的长，在△ACD 中，可由余弦定理解决． (楷体)【解】(1)在△ABD 中，60ADB ∠=︒，45B ∠=︒，由正弦定理得sin sin AB BAD ADB=∠24==(n mile )(2) 在△ADC 中，由余弦定理得2222cos30CD AD AC AD AC =+-⋅︒解得14CD =≈(n mile)即A 处到D 处距离为24n mile ，灯塔C 与D 处的距离约为14n mile ． 【小结】利用正弦定理、余弦定理可以求得两个不可到达点之间的距离． 1、水平距离的测量 ①两点间不能到达，又不能相互看到． 需要测量CB 、CA 的长和角C 的大小， 由余弦定理，2222cos AB CA CB CA CB C =+-可求得AB 的长．A B C 30︒30︒60︒1-3-31-3-41-3-51-3-61-3-7 A CB126︒78︒1-3-8变式练习3如图1-3-7所示，为测量河对岸A 、B 两点的距离，在河的这边测出CD 的长为32km ，30ADB CDB ∠=∠=︒，60ACD ∠=︒，45ACB ∠=︒，求A 、B 两点间的距离．变式练习4如图1-3-8，货轮在海上以35/n mile h 的速度沿着方位角为148︒的方向航行，为了确定船位，在B 点观察灯塔A 的方位角是126︒，航行半小时后到达C 点，观察灯塔A 的方位角是78︒，求货轮到达C 点时与灯塔A 的距离（精确到1n mile ）题型二 角度问题例3 沿一条小路前进，从A 到B ，方位角（从正北方向顺时针转到AB 方向所成的角）是50︒，距离是470m ，从B 到C ，方位角是80︒，距离是860m ，从C 到D ，方位角是150︒，距离是640m ．试画出示意图，并计算出从A 到D 的方位角和距离．【分析】如图1-3-9，作图要理解题意，并按适当的比例．要求A 到D 的方位角，需构造三角形，连结AC ，在△ABC 中，用余弦定理求出AC ，进而求出BAC ∠，再在△ACD 中，求出AD 和CAD ∠． 【解】连结AC ，在△ABC 中，50(18080)150ABC ∠=︒+︒-︒=︒，由余弦定理，得 222cos150AC AB BC AB BC =+-⋅︒1289()m ≈由正弦定理，得sin sin BC ABC BAC AC ∠∠=860sin1500.33361289︒=≈，19.5BAC ∠≈︒，10.5ACB ∠=︒连结AD ，在△ACD 中，8010.53099.5ACD ∠=︒-︒+︒=︒ 由余弦定理，得222cos AD AC CD AC CD ACD =+-⋅∠1531)m ≈（ 由正弦定理，得sin sin CD ACDCAD AD⋅∠∠=0.4123≈，24.3CAD ∠≈︒于是AD 的方位角为5019.524.393.8︒+︒+︒=︒ 即从A 到D 的方位角约为93.8︒，距离约为1531m ．【评注】解决本题的关键在于根据题意作出示意图，然后再根据图形选择解法．所以在本节中，画示意图是很关键的一步，它是关系到能否准确地判断题意．变式练习5 如图1-3-10，某市三个新兴工业小区A 、B 、C 决定平均投资共建一个中心医院O ，使得医ADC B80︒50︒150︒北北北1-3-9B C A O 1-3-101-3-11院到三个小区的距离相等，已知这三个小区之间的距离分别为 4.3AB km =， 3.7BC km =，4.7CA km =，问该医院应建在和处？（精确到0.1km 或1︒）变式练习6如图1-3-11，某海岛上一观察哨A 在上午11时测得一轮船在海岛北偏东3π的C 处，12时20分测得轮船在海岛北偏西3π的B 处，12时40分轮船到达海岛正西方5km 的E 港口.如果轮船始终匀速前进，求船速．例4 如图1-3-12，海中小岛A 周围38海里内有暗礁，一船正在向南航行，在B 处测得小岛A 在船的南偏东30︒方向上，航行30海里后，在C 处测得小岛在船的偏南偏东45︒方向上，如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁的危险？【分析】船继续南航行，有无触礁的危险，取决于A 到直线BC 的距离与38海里的大小，于是我们只要先算出AC （或AB ）的大小，再算出A 到BC 所在直线的距离，将它与38海里比较即可得问题的解．【解】在△ABC 中，30BC =，30B =︒，135ACB ∠=︒∴15A ∠=由正弦定理知：sin sin BC ACA B= 即30sin15sin 30AC=︒︒∴30sin 30sin15AC ︒=︒60cos15=︒60cos(4530)=︒-︒ 60(cos 45cos30sin 45sin30)=︒︒+︒︒15(62)=+于是，A 到BC 所在直线的距离为2sin 4515(62)2AC ︒=+⨯15(31)40.98=+≈海里它大于38海里，所以船继续向南航行，没有触礁的危险．【点拨】把实际问题抽象成数学问题，要能把所学的数学知识应用到实际问题中去，对所学数学知识的实际背景多了解，但也不能机械地模仿一些常见数学问题的解法，当面临一种新的问题时要认真分析、归纳、类比、抽象、概括、猜想等去发现问题、解决问题．变式练习7如图1-3-13，甲船自A 港口出发时，乙船在离A 港口7 n mile 的海面上由D 处驶向A 港，已ABC1-3-12A BC60︒30︒北 东1-3-14A DC E 1-3-13知两船的航速之比为2：1，甲船航行方向与AD 成60︒角，求两船相距最近时，各离A 港口多远？ 变式练习8如图1-3-14，已知A 、B 两点距离为100 n mile ，B 在A 的北偏东30︒，甲船从A 点以50 n mile/h 的速率向B 航行，同时乙船从B 以30 n mile/h 的速率沿南偏东30︒方向航行，问航行几小，两船之间的距离最小？题型三 高度问题例5某登山队在山脚A 处测得山顶B 的仰角为35︒，沿倾斜角为20︒的斜坡前进1000米后到达D 处，又测得山顶的仰角为65︒，求山的高度(精确到1米)．【分析】如图1-3-15，要求BC ，只要求AB ，为此考虑解ABD ∆． 【解】过点D 作//DEAC 交BC 于E ，∵20DAC ∠=︒， ∴160ADE ∠=︒，于是36016065135ADB ∠=︒-︒-︒=︒． 又352015BAD ∠=︒-︒=︒，∴30ABD ∠=︒． 在ABD ∆中，由正弦定理，得sin 1000sin13510002()sin sin 30AD ADB AB m ABD ∠︒===∠︒．在Rt ABC ∆中，sin3510002sin35811()BC AB m =︒=︒≈． 答：山的高度约为811m ．【小结】测量垂直高度一般有以下两点：1、底部可以到达的；测量出角C 和BC 的长度，解直角三角形即可求出AB 的长．2、底部不能到达的；测量边CD ，测量∠C 和∠ADB ，cot cot CDAB C ADB=-∠．变式练习9如图1-3-17，一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶，到A 处时测得公路南测远处一山顶D 在东偏南15︒的方向上，行驶5 km 后到达B 处， 测得此山顶在东偏南的25︒方向上，仰角为8︒，求此山的高度CD ． 变式练习10飞机的航线和山顶在同一个铅垂平面内，已知飞机的高度为海拔20250m ，速率为189 km/h ，飞行员先看到山顶的俯角为15.8︒，经过960 s 后， 又看到山顶的俯角为81︒，求山顶的海拔高度（结果精确到1m ）．例6 如图1-3-18，在山顶铁塔上B 处测得地面上一点A 的俯角5440'α=︒，在塔底C 处测得A 处的俯角501'β=︒．已知铁塔BC 部分的高为27.3m ，求出山高CD （精确到1m ）． 【分析】根据已知条件，应设法求出AB 或AC 的长．【解】在△ABC 中，90BCA β∠=︒+，90ABC α∠=︒-，BAC αβ∠=-，BAD α∠=，根据正弦定理，得sin()sin(90)BC ABαββ=-︒+∴sin(90)cos sin()sin()BC BC AB ββαβαβ︒+==--在Rt △ABD 中， sin BD AB BAD =∠cos sin sin()BC βααβ=-1-3-1515︒25︒ D C BA1-3-171-3-18把测量数据代入上式，得27.3cos501'sin 5440'sin 439'BD ︒︒=︒176.5()m ≈176.327.3149()CD BD BC m =-≈-≈答：山高约为149m ．【评注】我们可以看出，解三角形知识在实践测量方面有着广泛的应用．有时我们还需要加强动手实践，提高利用数学知识解决问题的能力，深刻认识数学在生产、生活实际中所发挥的作用． 变式练习11 ：如图1-3-19，A 、B 是水平面上的两个点，相距800m ，在A 点测得山顶C 的仰角为25︒，110BAD ∠=︒，又在B 点测得40ABD ∠=︒，其中D 是点C 在水平面上的垂足，求山高CD （精确到1m ）． 变式练习12如图1-3-20，在山脚A 处测得山顶P 的仰角为α，沿倾角为β的斜坡向上走a m 到B ，又测得山顶P 的仰角为γ，求山高．技能拓展探究◆基础综合题例7．据气象台预报，距S 岛300 ｋｍ的正东方向的A 处有一台风中心形成，并以每小时30ｋｍ的速度向北偏西30°的方向移动，在距台风中心270 ｋｍ以内的地区将受到台风的影响 问： （1）S 岛是否受其影响?（2）若受到影响，从现在起经过多少小时S 岛开始受到台风的影响?持续时间多久?说明理由 【分析】：设B 为台风中心，则B 为AB 边上动点，SB 也随之变化S 岛是否受台风影响可转化为SB ≤270这一不等式是否有解的判断，则需表示SB ，可设台风中心经过ｔ小时到达B 点，则在△ABS 中，由余弦定理可求SB【解】如图1-3-21，设台风中心经过ｔ小时到达B 点，由题意，∠SAB ＝90°－30°＝60°在△SAB 中，SA ＝300，AB ＝30ｔ，∠SAB ＝60°， 由余弦定理得：SB 2＝SA 2＋AB 2－2SA ·AB ·cos SAB ＝3002＋（30ｔ）2－2·300·30t cos60°若S 岛受到台风影响，则应满足条件 ｜SB ｜≤270 即SB 2≤2702化简整理得 ｔ2－10ｔ＋19≤0 解之得 56ｔ≤56所以从现在起，经过5－6小时S 岛开始受到影响，(5＋6)小时后影响结束 持续时间：(5＋6)－（5－6）＝26小时答：S 岛受到台风影响，从现在起，经过（5－6）小时，台风开始影响S 岛，且持续时间为26小时【评注】对于这种实际应用问题，往往要设未知量，然后利用解斜三角形的知识把已知信息按方程的思想ABDC25︒110︒40︒AB PD Qγβα1-3-201-3-191-3-21进行处理，从而使问题解决． 例8 某船在距救生艇A 处10 n mile 的C 处遇险，现在A 处测得该船的方位角为45︒，还测得该船正沿着方位角为105︒的方向以每小时9 n mile 的速度向一小岛靠近，若救生艇以21 n mile/h 的速度前往营救，试求出救生艇的航向及它们相遇所需的时间．【分析】画出图形，假设救生艇沿着AB 方向前往营救，经t 小时与遇险船只在B 处相遇，则A 、B 、C 构成一个三角形，只要将AB 、BC 的长用t 表示，再根据方位角的概念，表示出△ABC 中的有关角，就可以运用正弦定理或余弦定理实现求解了．【解】设相遇所需的时间为t h ，在点B 处相遇（如图1-3-22），在△ABC 中，120ACB ∠=︒，10AC =，21AB t =，9BC t =，由余弦定理，得222(21)10(9)2109cos120t t t =+-⨯⨯⨯︒整理，得2369100t t --= 解之，得123t =，2512t =-（舍去） 由正弦定理，得sin120sin AB BC CAB =︒∠，即293sin 214213CAB ⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭∠==⨯∴arcsin2214CAB ∠=≈︒．即救生艇的航向的方位角约为(4522)67︒+︒=︒，需要40 min 才能相遇．【评注】解决本题的关键在于理解方位角的概念，从而能够建立起解三角形的数学模型．一般地，方位角是指从正北方向顺时针旋转到目标方向的夹角．由于两船相遇时所用的时间相同，解题时要注意设时间为t ，将所求的路程转化为时间t 的关系式，为运用正弦定理和余弦定理创造条件． ◆拓展探究题。

正弦定理、余弦定理的应用（一）教学目标：1会在各种应用问题中，抽象或构造出三角形，标出已知量、未知量，确定解三角形的方法；2搞清利用解斜三角形可解决的各类应用问题的基本图形和基本等量关系；3理解各种应用问题中的有关名词、术语，如：坡度、俯角、仰角、方向角、方位角等； 4通过解三角形的应用的学习，提高解决实际问题的能力教学重点：实际问题向数学问题的转化及解斜三角形的方法教学难点：实际问题向数学问题转化思路的确定教学过程：一．复习回顾：1．正弦定理：R C c B b A a 2sin sin sin === 2．余弦定理：,cos 2222A bc c b a -+=⇔bca cb A 2cos 222-+= C ab b a c cos 2222-+=，⇔ab c b a C 2cos 222-+= 3．解三角形的知识在测量、航海、几何、物理学等方面都有非常广泛的应用，如果我们抽去每个应用题中与生产生活实际所联系的外壳，就暴露出解三角形问题的本质，这就要提高分析问题和解决问题的能力及化实际问题为抽象的数学问题的能力下面，我们将举例来说明解斜三角形在实际中的一些应用二、讲解范例：例1：如图，为了测量河对岸,A B 两点间的距离，在河岸这边取点,C D ，测得0085604747100ADC BDC ACD BCD CD m A B C D ∠=∠=∠=︒∠=︒=，，，，，设，，，在同一平面内，求AB 之间的距离（精确到1m ）例2:某渔船在航行中不幸遇险，发出求救信号，我海军舰艇在A 处获悉后，立即测出该渔船在方位角为45°、距离A 为10海里的C 处，并测得渔船正沿方位角为105°的方向，以9海里／ｈ的速度向某小岛B 靠拢，我海军舰艇立即以21海里／ｈ的速度前去营救，试问舰艇应按照怎样的航向前进?并求出靠近渔船所用的时间例3:如图所示，已知半圆的直径AB ＝2，点C 在AB 的延长线上，BC ＝1，点P 为半圆上的一个动点，以DC 为边作等边△PCD ，且点D 与圆心O 分别在PC 的两侧，求四边形OPDC 面积的最大值三．随堂练习1．已知,A B 两地的距离为10,,km B C 两地的距离为20km ，现测得120ABC ∠=，则,A C 两地的距离为 （ ）A. 10kmB.C.D.四．小结通过本节学习，要求大家在了解解斜三角形知识在实际中的应用的同时，掌握由实际问题向数学问题的转化，并提高解三角形问题及实际应用题的能力。

§ 1.3正弦定理、余弦定理的应用(一)课时目标 1.认识数学建模的思想； 2.利用正、余弦定理解决生产实践中的相关距离的问题．1．方向角：指从正北方向线按________方向旋转到目标方向线所成的水平角．如图中的 A 点的方向角为α.2．计算不行直接丈量的两点间的距离是正弦定理和余弦定理的重要应用之一．一、填空题1．如图， A 、 B 两点间的距离为________．2．如图， A 、 N 两点之间的距离为________．3．已知两灯塔 A 和 B 与大海观察站 C 的距离都等于 a km，灯塔 A 在观察站 C 的北偏东 20°方向上，灯塔 B 在观察站 C 的南偏东 40°方向上，则灯塔 A 与灯塔 B 的距离为_____km.4．海上有 A 、 B 两个小岛相距10 海里，从 A 岛望 C 岛和 B 岛成60°的视角，从 B 岛望 C岛和 A 岛成75°的视角，则 B 、C间的距离是________海里．5．如下图，设定一点 C，测出A 、B 两点在河的两岸，一丈量者在 A 的同侧，在 A 所在的河岸边选AC 的距离为50 米，∠ ACB ＝ 45°，∠ CAB ＝ 105°后，就能够计算 A 、B 两点的距离为________米．6．如图，一货轮航行到M 处，测得灯塔S 在货轮的北偏东15°，与灯塔S 相距20 海里，随后货轮按北偏西方向，则货轮的速度为30°的方向航行 30 分钟后抵达________海里 /小时．N 处，又测得灯塔在货轮的东北7．如下图，为了测定河的宽度，在一岸边选定两点 CAB ＝ 30°，∠ CBA ＝ 75°， AB ＝120 m，则河的宽度为A、B ，望对岸标志物______．C，测得∠8．甲船在岛 B 的正南 A 处， AB ＝ 10 千米，甲船以每小时 4 千米的速度向正北航行，同时，乙船自 B 出发以每小时 6 千米的速度向北偏东60°的方向驶去．当甲、乙两船相距近来时，它们所航行的时间是________小时．9．太湖中有一小岛，沿太湖有一条正南方向的公路，一辆汽车测得小岛在公路的南偏西 15°的方向上，汽车行驶 1 km 后，又测得小岛在南偏西75°的方向上，则小岛到公路的距离是 ________ km.10.如下图，为了丈量正在海面匀速行驶的某轮船的速度，在海岸上选用距离 1 千米的两个察看点 C、 D，在某天 10∶00 察看到该轮船在 A 处，此时测得∠ ADC ＝ 30°，2 分钟后该轮船行驶至 B 处，此时测得∠ ACB ＝ 60°，∠ BCD ＝45°，∠ ADB ＝ 60°，则该轮船的速度为 ________千米 / 分钟．二、解答题11．如图，某货轮在 A 处看灯塔 B 在货轮的北偏东75°，距离为 12 6 n mile ，在 A 处看灯塔 C 在货轮的北偏西30°，距离为 8 3 n mile ，货轮由 A 处向正北航行到 D 处时，再看灯塔 B 在北偏东120°方向上，求：(1)A 处与 D 处的距离；(2)灯塔 C 与 D 处的距离．3 12．如图，为丈量河对岸 A 、B 两点的距离，在河的这边测出CD 的长为 2 km，∠ADB ＝∠ CDB ＝ 30°，∠ ACD ＝ 60°，∠ ACB ＝ 45°，求 A 、 B 两点间的距离．能力提高13．台风中心从 A 地以每小时20 千米的速度向东北方向挪动，离台风中心30 千米内的地域为危险区，城市 B 在A的正东40 千米处， B 城市处于危险区内的连续时间为______小时．14．如下图，甲船以每小时302海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于 A 1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，此时两船相距 20 海里．当甲船航行20 分钟抵达 A 2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距10 2海里．问乙船每小时航行多少海里？1．解三角形应用问题的基本思路是：绘图实质问题――→ 数学识题解三角形查验――→ 数学识题的解――→ 实质问题的解．2．丈量距离问题：这种问题的情境一般属于“丈量有阻碍物相隔的两点间的距离”．在丈量过程中，要依据实质需要选用适合的基线长度，丈量工具要有较高的精准度．§ 1.3 正弦定理、余弦定理的应用 (一)答案知识梳理1．顺时针作业设计1．3 2－ 22．40 33. 3a 分析∠ ACB ＝ 120°， AC ＝BC ＝a ，∴由余弦定理得 AB ＝ 3a.4．5 6分析 在 △ ABC 中，∠ C ＝ 180°－ 60°－ 75°＝ 45°.由正弦定理得：BC＝AB，∴BC ＝ 10，sin A sin Bsin 60 °sin 45 °解得 BC ＝5 6.5．50 2分析由题意知∠ ABC ＝ 30°，ACAB 由正弦定理sin ∠ ABC＝sin ∠ACB，2∴AB ＝AC ·sin ∠ ACB ＝50×2 ＝50 2 (m) ．sin ∠ ABC 126． 20( 6－ 2)分析 由题意，∠ SMN ＝ 45°，∠ SNM ＝105°，∠ NSM ＝ 30°.MNMS由正弦定理得＝.∴MN ＝ MSsin 30sin 105°10＝ ＝ 10( 6－ 2)．°6＋24则 v 货 ＝ 20( 6－ 2) 海里 / 小时．7． 60 m分析在 △ ABC 中，∠ CAB ＝30°，∠ CBA ＝ 75°，∴∠ ACB ＝ 75°.∠ACB ＝∠ ABC.∴ AC ＝AB ＝ 120 m.作 CD ⊥ AB ，垂足为 D ，则 CD 即为河的宽度．由正弦定理得AC ＝ CD，sin ∠ ADC sin ∠ CAD∴120＝CD ， sin 90 °sin 30 °∴ CD ＝60(m)∴河的宽度为 60 m.58.14分析设行驶 x 小时后甲到点 C ，乙到点 D ，两船相距 y km ，则∠ DBC ＝ 180°－ 60°＝ 120°.∴ y 2＝ (10－ 4x) 2＋ (6x) 2－ 2(10－4x) ·6xcos 120 ° ＝ 28x 2－ 20x ＋ 10025＝ 28(x － 7x) ＋100＝ 28 x － 145 2－ 257＋ 100，5∴当 x ＝ 14(小时 )，y 2 有最小值．∴ y 最小．9.36分析如图，∠ CAB ＝ 15°，∠ CBA ＝ 180°－ 75°＝ 105°，∠ ACB ＝ 180°－ 105°－ 15°＝ 60°， AB ＝1 km.由正弦定理得BC ＝ ABsin ∠ CAB sin ∠ACB∴ BC ＝ 1·sin 15 ＝°6－ 2(km) ．sin 60 ° 2 3 设 C 到直线 AB 的距离为d ，则 d ＝BC ·sin 75 °＝ 6－ 26＋ 2＝ 32 3· 46 (km) ．610. 4分析 在 △ BCD 中，∠ BCD ＝45°，∠ ADC ＝ 30°，∠ ADB ＝ 60°.∴∠ BDC ＝ 90°.∴△ CDB 为等腰直角三角形，∴ BD ＝CD ＝ 1，在 △ ACD 中，由正弦定理得：AD＝1sin(60＋°45°) sin 45 .°∴AD ＝3＋ 1.2在 △ABD 中，由余弦定理得，AB 2＝ 12＋3＋ 1 2－2×3＋ 1×cos 60 ＝°3，222∴AB ＝6，则船速为6千米 /分钟．24ABsin B＝11．解(1) 在 △ABD 中，∠ ADB ＝ 60°，∠ B ＝ 45°，由正弦定理得 AD＝sin ∠ADB212 6×2 ＝ 24(n mile) ．3 2(2)在 △ ADC 中，由余弦定理得CD 2＝ AD 2＋AC 2－2AD ·AC ·cos 30 °， 解得 CD ＝ 8 3≈14(n mile) ．即 A 处与 D 处的距离为 24 n mile ，灯塔 C 与 D 处的距离约为14 n mile.12．解在 △BDC 中，∠ CBD ＝ 180 °－ 30°－ 105 °＝ 45°，BCCD由正弦定理得＝ ，则 BC ＝CDsin 30 ° 6sin 45 ＝° 4 (km) ．在 △ACD 中，∠ CAD ＝ 180°－60°－ 60°＝ 60°，∴△ ACD 为正三角形．∴ AC ＝CD ＝32 (km) ．在 △ABC 中，由余弦定理得AB 2＝ AC 2＋ BC 2－ 2AC ·BC ·cos 45 °＝ 3＋ 6 － 2×3×6 × 2＝ 3，4 16 24 2 86∴ AB ＝(km) ．6答河对岸 A、 B 两点间距离为 4 km.13． 1分析设 t 小不时， B 市恰巧处于危险区，则由余弦定理得：(20t)2＋ 402－2×20t ×40·cos 45 °＝ 302.化简得： 4t2－ 8 2t＋ 7＝ 0，∴ t1＋ t2＝ 22， t1·t2＝7 . 4进而 |t1－ t2 |＝ (t 1＋ t2)2－4t1t2＝1.14.解如下图，连接 A 1B2，由已知 A 2B2＝102，20A1A2＝302×＝102，∴ A1A2＝A 2B2，60又∠ A 1A 2B2＝ 180°－ 120°＝ 60°，∴△ A 1A 2B2是等边三角形，∴A1B2＝A1A 2＝10 2.由已知， A 1B1＝ 20，∠ B 1A 1B2＝ 105°－ 60°＝ 45°，在△A 1B 2B1中，由余弦定理，B1 B22＝ A 1B12＋ A 1B22－2A 1B1·A 1 B2·cos 45 ＝°202＋ (10 2)2－ 2×20×10 2×22＝ 200.∴ B1B 2＝ 10 2.所以，乙船速度的大小为10220×60＝ 30 2(海里 /小时 )．答乙船每小时航行 302海里．。