27.2.1相似三角形的判定(3)参考教案(新人教版九年级下)

教学过程设计27（三）直角三角形相似的判定1.你可以用什么方法来证明两个直角三角形相似？2.满足一个锐角相等，它们相似吗？两组直角边的比相等的时候呢？3.课本47页思考：“HL”的迁移.“HL”可以证明两个直角三角形全等，那么当斜边的比值和一组直角边的比值相等时，它们相似吗？分析：据已有条件可知只要设法证出另一组直角边的比值等于已知的比值即可.结合勾股定理和等量代换,把分子分母中所含线段转化成同一条线段来表示,从而只剩下比值.三、课堂训练1完成课本48页练习2.补充练习:①如图，DE//BC，D、E分别在BA、CA的延长线上，△ADE与△ABC 相似吗？②Rt△ABC中，CD是斜边上的高，△ACD和△CBD和△ABC相似吗？证明你的结论？③底角相等的两个等腰三角形是否相似？顶角相等的两个等腰三角形呢？证明你的结论？④判断下列命题是否正确.错误的，举出反例；正确的，用定义加以说明.⑴所有的等腰三角形都相似.⑵所有的等边三角形都相似.⑶所有的直角三角形都相似.⑷所有的等腰直角三角形都相似.四、课堂小结1相似三角形判定方法?2直角三角形相似的判定3 用到的数学思想方法，你这节课有什么感悟？五、作业设计教材习题27.2 必做题2(3),4,5选做题： 10补充：如图，D为△ABC的AB边上的一点，过点D作DE//AC，交BC于E， BE：EC=2：1，AC=6CM，求DE的长. 学生思考问题，并回答,认识到判定直角三角形的相似能用已学的几种方法,感知并主动探求“HL”.分析已知条件，回忆、思路迁移,独立尝试进行证明.学生独立分析解决练习, 一生板演，教师巡视指导, 之后学生讨论,师视情况点拨.学生回顾总结，归纳本节课所学知识，这节课感悟，教师系统归纳.生的观察能力,再次体会由一般到特殊的思想方法.体会知识之间的联系让学生充分暴露自己的问题,兵教兵、广参与，同提高帮助学生归纳总结，巩固所学知识，加深对数学思想方法的认识.板书设计。

第二十七章 相似27.2.1 相似三角形的判定第3课时一、 教学目标1.回顾已学的三角形相似的判定方法，继续探索其他判定两个三角形相似的方法，发展探究，交流能力。

2 .掌握“两角分别相等的两个三角形相似”和直角三角形相似的特殊判定方法。

3 .能够运用三角形相似的条件解决简单的问题。

二、教学重难点重点：掌握“两角分别相等的两个三角形相似”和直角三角形相似的特殊方法。

难点：运用三角形相似的判定方法解决简单的问题。

三、教学过程 【新课导入】问题引入，类比猜想：1. 三角形全等的判定方法有哪些?2. 直角三角形全等的判定方法有哪些?3. 学过的三角形相似的判定方法有哪些?4. 类比一般三角形和直角三角形全等的判定方法,猜测一般三角形和直角三角形相似的判定方法还有哪些?【新知探究】（一）探究新知，得出结论探究1：如图①，△ABC 和△A 1B 1C 1中，∠A=∠A 1，∠B=∠B 1，则这两个三角形相似吗？请证明你的猜想。

猜想：△ABC ∽△A 1B 1C 1ABC A 1B 1C 1①AB C A 1B 1C 1②ED证明：111111111111111111111C B A ABC DE A ABC D A AB A A DE A B B B B DE A C B A DE A E C A C B DE D AB D A B A ∽△△≌△△，∵∵，∽△△于点，交∥作过点，取（或它的延长线）上截如图②，在线段∴∴=∠=∠∠=∠∴∠=∠∠=∠∴=结论：两角分别相等的两个三角形全等。

探究2：如图③，RT △ABC 与RT △A 1B 1C 1中，∠C=∠C 1=90°,1111C A ACB A AB =，那么RT △ABC 与RT △A 1B 1C 1相似吗？请证明你的结论。

证明：11111111111111111111111111111111C B A ABC ABC DE A ACE A C A ACC A E A ABD A C A ACB A ABC A EA B A D A C B A DE A E C A C B DE D AB D A B A △∽△△≌△，∵∽△△于点，交∥作过点，取（或它的延长线）上截如图③，在线段RT RT RT RT ∴∴=∴=∴===∴∴=思考：还有没有其他的证明方法？ （方法二）:E DABC B 1C 1③A 1111111111111111211211112211211211112211111111C B A RT ABC RT C A AC B A AB C B BC kC B C kB C B C kA -B kA C B AC -AB C B BC C A -B A C B ,AC -AB BC :C kA AC ,B kA AB k,C A ACB A AB △∽△）（）（由勾股定理可得则设∴==∴====∴====== 结论：两个直角三角形，若它们的直角边与斜边对应成比例，则这两个直角三角形相似。

人教版九年级数学下册： 27.2.1《相似三角形的判定》教学设计3一. 教材分析本节课的主题是《相似三角形的判定》，是人教版九年级数学下册第27.2.1节的内容。

相似三角形是几何中的一个重要概念，它是学习更复杂几何知识的基础。

本节课的内容包括相似三角形的定义、性质和判定方法。

通过本节课的学习，学生将对相似三角形有更深入的理解，并能够运用相似三角形的知识解决实际问题。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了三角形的性质、角的度量等基础知识，对几何图形有一定的认识。

但是，他们对相似三角形的理解和应用还比较模糊，需要通过本节课的学习来进一步明确相似三角形的概念和判定方法。

此外，学生可能对一些抽象的概念和证明过程感到困难，需要教师在教学过程中进行耐心引导和解释。

三. 教学目标1.理解相似三角形的定义和性质。

2.学会使用相似三角形的判定方法判断两个三角形是否相似。

3.能够运用相似三角形的知识解决实际问题。

四. 教学重难点1.相似三角形的定义和性质。

2.相似三角形的判定方法。

3.运用相似三角形的知识解决实际问题。

五. 教学方法本节课采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法。

通过提出问题、展示案例、引导学生进行小组讨论和合作，激发学生的思考和探究欲望，培养学生的动手操作能力和团队合作精神。

六. 教学准备1.准备相关的教学案例和图片。

2.准备教学课件和板书设计。

3.准备练习题和作业题。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提出问题，引导学生回顾三角形的基本性质和角的度量知识。

激发学生对相似三角形的兴趣和好奇心。

2.呈现（10分钟）展示一些相似三角形的案例，让学生观察和分析，引导学生发现相似三角形的特征。

引导学生通过小组讨论，总结出相似三角形的定义和性质。

3.操练（10分钟）让学生通过实际操作，使用尺子和直尺来画出相似三角形。

引导学生通过小组合作，探索并验证相似三角形的判定方法。

4.巩固（10分钟）让学生解答一些相似三角形的练习题，巩固他们对相似三角形的理解和应用。

人教版数学九年级下册27.2.1《相似三角形的判定》教学设计（一）一. 教材分析人教版数学九年级下册27.2.1《相似三角形的判定》是本册教材中的重要内容，主要让学生了解相似三角形的判定方法，为后续相似三角形的应用打下基础。

本节内容通过引入相似三角形的概念，引导学生探究相似三角形的判定方法，培养学生的逻辑思维能力和数学素养。

二. 学情分析九年级的学生已经掌握了三角形的基本知识，如三角形的性质、分类等，具备了一定的数学基础。

但是，对于相似三角形的判定，学生可能还较为陌生，需要通过实例分析和操作来进一步理解和掌握。

三. 教学目标1.理解相似三角形的概念，掌握相似三角形的判定方法。

2.能够运用相似三角形的知识解决实际问题。

3.培养学生的逻辑思维能力和数学素养。

四. 教学重难点1.相似三角形的判定方法。

2.相似三角形的性质及其应用。

五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生探究相似三角形的判定方法。

2.利用多媒体展示实例，直观地呈现相似三角形的判定过程。

3.采用小组合作交流的方式，培养学生的团队协作能力。

4.注重练习，巩固所学知识。

六. 教学准备1.多媒体教学设备。

2.教学课件。

3.练习题。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示一些生活中的相似图形，如眼镜、树叶等，引导学生观察并思考：这些图形有什么共同特点？从而引出相似三角形的概念。

2.呈现（10分钟）呈现相似三角形的判定方法，引导学生了解判定相似三角形的依据。

通过实例分析，让学生掌握判定方法，并能够运用到实际问题中。

3.操练（10分钟）学生分组讨论，每组选择一道练习题，运用相似三角形的判定方法进行解答。

教师巡回指导，解答学生疑问。

4.巩固（5分钟）全班交流，每组选一名代表分享解题过程和心得。

教师点评，总结相似三角形判定方法的关键点。

5.拓展（5分钟）引导学生思考：相似三角形在实际生活中有哪些应用？让学生举例说明，进一步体会相似三角形的重要性。

第二十七章相似
27．2．1相似三角形的判定(三)
〔教学目标〕
1．掌握判定两个三角形相似的方法：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

2．培养学生的观察﹑发现﹑比较﹑归纳能力，感受两个三角形相似的判定方法3与全等三角形判定方法（AAS﹑ASA）的区别与联系，体验事物间特殊与一般的关系。

3．让学生经历从实验探究到归纳证明的过程，发展学生的合情推理能力。

〔教学重点与难点〕
重点：两个三角形相似的判定方法3及其应用
难点：探究两个三角形相似判定方法3的过程
〔教学设计〕
设计思想：
本节课主要是探究相似三角形的判定方法3，由于上两节课已经学习了探究两个三角形相似的判定引例﹑判定方法1﹑判定方法2，因此本课教学力求使探究途径多元化，把学生利用刻度尺、量角器等作图工具作静态探究与应用“几何画板”等计算机软件作动态探究有机结合起来，让学生充分感受探究的全面性，丰富探究的内涵。

协同式小组合作学习的开展不仅提高了数学实验的效率，而且培养了学生的合作能力。

备课教学设计主备教师：执教教师：学科思政应边的长，计算它们的比与前两条对应边的比是否相等．另两个角是否对应相等？你能得出什么结论？导课（导入语新颖、别致等）探究点：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 【类型一】 直接利用判定定理判定两个三角形相似已知：如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，点D 、E 分别是AB 、CB 延长线上的点，CE ＝9，AD ＝15，连接DE.若BC ＝6，AC ＝8，求证：△ABC ∽△DBE.把概率初步知识细分为六个考点，让学生通过猜想试验、分析讨论、合作探究的学习方式十分有益于加深学生对概率意义的理解，使之明确频率与概率的联系，经历实验、列表、统计、运算、设计等活动，学生在具体情境中分析事件，计算互助探究 分层提高 （师生互动，体现教师导学、小组合作、学生主学等） 【类型二】 添加条件使三角形相似 如图，已知△ABC 中，D 为边AC 上一点，P 为边AB 上一点，AB ＝12，AC ＝8，AD ＝6，当AP 的长度为________时，△ADP 和△ABC 相似． 方法总结：添加条件时，先明确已知的条件，再根据判定定理寻找需要的条件，对应本题可先假设两个三角形相似，再利用倒推法以及分类讨论解答． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第5题 【类型三】 利用三角形相似证明等积式 如图，CD 是Rt △ABC 斜边AB 上的高，E 为BC 的中点，ED 的延长线交CA 的延长线于F.求证：AC ·CF ＝BC ·DF. 解析：先证明△ADC ∽△CDB 可得AD CD ＝ACBC ，再结合条件证明△FDC ∽△FAD ，可得AD CD ＝DF CF ，则可证得结论．方法总结：证明等积式或比例式的方法：把等积式或比例式中的四条线段分别看成两个三角形的对应边，然后证明两个三角形相似，得到要证明的等积式或比例式．【类型四】 利用相似三角形的判定进行计算 如图所示，BC ⊥CD 于点C ，BE ⊥DE 于点E ，BE 与CD 相交于点A ，若AC ＝3，BC ＝4，AE ＝2，求CD 的长．解析：因为AC ＝3，所以只需求出AD 即可求出CD.可证明△ABC 与△ADE 相似，再利用相似三角形对应边成比例即可求出AD.方法总结：利用相似三角形的判定进行边角计算时，应先利学生通过观察图片，感受形状相同，大小不同的含义，并得到相似定义．同学们思考、讨论、交换意见给出实例 教师赞扬举例子比较好的同学。

27.2.1相似三角形的判定(第3课时)一、内容和内容解析1．内容判定定理“三边成比例的两个三角形相似”和“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”．2．内容解析全等是相似中放缩比例为1的特殊情形，这为我们提供了一个思路：类比判定两个三角形全等的“SSS”“SAS”方法，发现并提出判定两个三角形相似的简单方法．在探究“三边成比例的两个三角形相似”的过程中，学生通过度量，发现结论成立，再通过作与△A'B'C'相似的三角形，把证明相似的问题转化为证明所作三角形与△ABC全等的问题．“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”的证法与前一个判定方法的证明方法类似，再次体现了定理“平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”的基础性作用．基于以上分析，确定本节课的教学重点是：判定定理“三边成比例的两个三角形相似”和“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”．二、目标和目标解析1．目标(1)理解三角形相似的两个判定定理．(2)会运用三角形相似的两个判定定理解决简单的问题．2．目标解析达成目标(1)的标志是：理解两个判定定理的含义，能分清条件和结论，能用文字语言、图形语言和符号语言表示．达成目标(2)的标志是：会用两个判定定理判定两个三角形相似，从而解决简单的问题．三、教学问题诊断分析在两个判定定理的证明过程中，教科书作了一个中介三角形，使之与要证的三角形相似，再利用相似三角形对应边成比例和已知条件证明“中介三角形”与原三角形全等，这种转化的方法学生往往难以想到．其中通过线段的比相等证明线段相等，不同于以往常用的证明线段相等的方法，也会给定理的证明带来一定难度．基于以上分析，确定本节课的教学难点是：判定定理“三边成比例的两个三角形相似”的证明．四、教学过程设计 1．问题引入，类比猜想问题1 (1)两个三角形全等有哪些简便的判定方法？(2)全等是相似比为1的特殊情形．如图1，类比三角形全等的判定，判定△ABC 与△A'B'C'相似，是否有简便的判定方法？你有什么猜想？师生活动：问题(1)由学生口答．问题(2)组织学生分小组讨论，然后全班交流．如果学生对“两角对应相等的两个三角形相似”是否正确存在疑问，可存疑，留在下一节课解决．对学生提出的判断三角形相似的方法进行归纳整理，指出本节课先研究“三边”和“两边及其夹角”的情形．设计意图：通过全等三角形与相似三角形之间特殊与一般的关系，运用类比的思维方式，让学生猜想出两三角形相似的简单判定方法，从而引出下一步要探究的问题．2．画图探究，初步感知问题2 在△ABC 与△A'B'C'中，如果满足B A AB ''＝C B BC ''＝C A AC''＝k ，那么能否判定这两个三角形相似？师生活动：(1)画图探究．教师引导学生任意画△ABC ，取一个便于操作的k 值(如21，2等)，得到△A'B'C'的三边长，再作出△A'B'C'．指导学生把画好的三角形剪下，比较它们的对应角是否相等，判断这两个三角形是否相似．(2)教师借助《几何画板》对k 取任意值的情况进行演示，让学生归纳发现的结论．并说明k ＝1时两个三角形全等，即全等是相似的特殊情况．设计意图：在教师的指导下，学生通过自己动手，探索新知，并与他人交流探讨，感受探索过程．k 取1时，两个三角形全等，取其他值时，两个三角形相似，进一步感受相似与全等的紧密联系．《几何画板》的动态演示，有利于学生更直观地发现结论．ABCA 'B 'C '图13．构造中介，证明定理问题3 怎样证明“三边成比例的两个三角形相似”呢？ 师生活动：(1)学生结合图形写出已知、求证并交流讨论．(2)当学生感到无处入手时，教师用学生剪出的△ABC 与△A'B'C'的纸片为模型，用较小的△ABC 放置于较大△A'B'C'的上(学生取的k 值不同，可能会出现两种图形，但证明的本质是相同的)，点A 与点A'重合，点B 在边A'B'上，记为点D ，将点C 在A'C'上的位置记为点E ．教师追问1：B'C'与DE 有什么位置关系？为什么？ 师生活动：学生直观发现B'C'∥DE ．教师追问2：由B'C'与DE 的位置关系可得到△A'DE 与△A'B'C'相似吗？为什么？ 师生活动：学生回答由“平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”，得到△A'DE 与△A'B'C'相似．教师追问3：我们先构造了一个与△ABC 全等的中介△A'DE ，得到△A'DE ∽△A'B'C'，然后可得△ABC ∽△A'B'C'．这为我们证明“三边成比例的两个三角形相似”提供了一个思路：能否在△A'B'C'上作一个与△A'B'C'相似的△A'DE ，再证明它与△ABC 全等呢？如何作？师生活动：(1)学生思考交流．教师展示学生的不同作法，并请学生说明△A'DE 与 △ABC 全等的原因．(2)由学生整理出证明思路，教师板书，从而得到三角形相似的判定定理．设计意图：让学生在操作中发现解决问题的方法：作DE ∥B'C'，证明△A'DE ∽△A'B'C'，从而把证明“△ABC 与△A'B'C'相似”的问题转化为证明△ABC ≌△A'DE 的问题．4．类比实验，自主探究问题4 全等三角形有“SAS ”的判定方法，类似地，△ABC 和△A'B'C'中，如果满足B A AB''＝C A AC''＝k ，且∠A ＝∠A'，那么能否判定这两个三角形相似？ 师生活动：(1)教师借助《几何画板》对k 取任意值的情况进行演示，看△ABC 和△A'B'C'的另一组对应边的比是否为k ，另两组对应角是否相等．问：图中的△ABC 与△A'B'C'相似吗？为什么？学生提出猜想的结论．(2)学生模仿上一个定理的证明，讨论问题4的证明思路，在课后完成证明过程． (3)师生小结判定定理二的内容．并追问：对于△ABC 和△A'B'C'，如果B A AB ''＝C B BC''，且∠B ＝∠B'，这两个三角形一定相似吗？如果将∠B ＝∠B'换成∠C ＝∠C'，这两个三角形一定相似吗？为什么？让学生试着画画看，找出反例即可．设计意图：学生有前面探究活动的经验，教师提出问题后，利用《几何画板》辅助，学生容易获取初步结论，而且仿照上一个定理的证明，容易得到这个命题的证明思路．最后，学生通过考虑“两边和其中一边的对角”的情形，加强对三角形相似条件的理解与记忆．5．运用结论，解决问题例 根据下列条件，判断△ABC 和△A'B'C'是否相似，并说明理由： (1)AB ＝4 cm ，BC ＝6 cm ，AC ＝8 cm ， A'B'＝12 cm ，B'C'＝18 cm ，A'C'＝24 cm ． (2)∠B ＝120°，AB ＝7 cm ，AC ＝14 cm ， ∠A'＝120°，A'B'＝3 cm ，A'C'＝6 cm ．师生活动：师生共同分析从题干的条件中是否可能得到两个三角形相似的条件，教师提醒学生注意第(2)题中的角是不是已知两边的夹角．设计意图：使学生学会从现有条件中得到判定三角形相似的条件． 6．变式训练，巩固提高判断图中的两个三角形是否相似，并求出x 和y ．师生活动：学生自主答题，写出相应的解答过程，然后互评． 设计意图：巩固本节课所学的相似三角形的判定定理． 7．回顾小结回顾本节课的学习，回答下列问题： (1)你学到了哪些判定三角形相似的方法？ (2)你认为证明两个三角形相似的思路是什么？设计意图：引导学生归纳本节课的知识点及判定定理的证明思路． 8．布置作业A BDE C y ° x 4530 54 36 46°20 图2152025402745图11．教科书第34页练习第1，3题． 2．教科书第42页习题27.2第2(1)，3题．3．证明判定定理“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”(画图，写出已知、求证，并进行证明)．六、目标检测设计1．下列条件中可以判定△ABC ∽△C B A '''的是( )． A ．AC AB ＝''''C A B A B ．AC AB ＝''''C A B A ，∠B ＝∠B' C ．B A AB ''＝''C A AC ＝C B BC''D ．''B A AB ＝''C A AC设计意图：考查对三角形相似的两个判定定理的条件特征的理解． 2．如图，已知△ABC ，则下列四个三角形中，与△ABC 相似的是( )．设计意图：考查判定定理“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”的应用． 3．在△ABC 和△A'B'C'中，AB ＝6，BC ＝8，AC ＝5，A'B'＝3，B'C'＝4，则当A'Ｃ'＝______时，△ABC ∽△A'B'C'．设计意图：考查用“三边成比例的两个三角形相似”判定两个三角形相似．4．如图，在平面直角坐标系中，A (4，0)，B (0，2)，如果点C 在x 轴的正半轴上(点C 与点A 不重合)，当点C 的坐标为 时，△BOC 与△AOB 相似．设计意图：结合平面直角坐标系的知识，考查用“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”判定两个三角形相似．5．如图，在正方形ABCD 中，点P 是BC 上的一点，BP ＝3PC ，点Q 是CD 中点，求证：△ADQ ∽△QCP ．ABCDQP (第5题)A B C 555 555 55 56675° 75°30° 40° A B CD(第4题)设计意图：结合勾股定理，考查用“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”判定两个三角形相似．。

27.2.1 相似三角形的判定 第三课时一、教学目标 1．核心素养通过相似三角形的判定的学习，初步形成基本的几何直观、运算能力、推理能力． 2．学习目标（1）掌握相似三角形的判定方法3：两角分别相等的两个三角形相似．（2）掌握两个直角三角形相似的判定（HL ）:斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似．（3）会利用相似三角形的基本图形证题，掌握证比例式或等积式技巧． 3．学习重点相似三角形的判定方法3和两个直角三角形相似的判定（HL ）及其应用． 会利用相似三角形的基本图形证题，掌握证比例式或等积式技巧． 4．学习难点探究相似三角形的判定方法3和两个直角三角形相似的判定（HL ）． 会利用相似三角形的基本图形证题，掌握证比例式或等积式技巧． 二、教学设计 （一）课前设计 1．预习任务任务1 阅读教材P35，思考：两角分别相等的两个三角形相似吗？如何证明？任务2 阅读教材P36，思考：斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似吗？如何证明？ 2．预习检测1．两角分别 的两个三角形相似．斜边和一条直角边________的两个直角三角形相似． 2．已知△ABC 的两个角分别是60°和72°，C B A '''∆的两个角分别是60°和48°，则△ABC 和C B A '''∆ ．3.已知在Rt △ABC 和Rt C B A '''∆中，︒='∠=∠90C C ，且B A ABC A AC ''=''，则Rt △ABC 和Rt C B A '''∆ ． （二）课堂设计 1．知识回顾1． 全等三角形的判断方法：AAS,ASA,HL ．2．相似三角形预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似．3．三角形相似的判定方法1:三边成比例的两个三角形相似．4．三角形相似的判定方法2:两边成比例且它们的夹角相等的两个三角形相似． 2．问题探究问题探究一两角分别相等的两个三角形相似吗？ 重点、难点知识★▲ ●活动1 导入新知，类比探究引入：小文同学不小心把学校实验室的玻璃打碎成三块，如图，现在，李文同学要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，为了省事，李文决定只带其中一块去做模型． 小颖说：带第①块去． 小明说：带第②块去． 小华说：带第③块去．思考片刻后，李文同学决定接受小华的建议，带第③块去．这是因为在第③块中保留有原三角形的两角及夹边，果然，去配回的 三角形的玻璃与原三角形的玻璃一模一样． 这件事给我们的启示是：有两角及夹边对应相等的两个三角形全等；那么，有两个角对应相等的三角形是否相似呢？相似三角形的判定是否有类似全等三角形的判定方法呢？ ●活动2 感悟新知：观察两副三角尺（如图），其中有同样两个锐角（30°与60°，或45°与45°）的两个三角尺大小可能不同，但它们看起来是相似的．提出问题： 如果两个三角形有两组角对应相等，它们一定相似吗？延伸问题：作∆ABC 与∆A 1B 1C 1，使得∠A=∠A 1，∠B=∠B 1，这时它们的第三角满足∠C=∠C 1吗？分别度量这两个三角形的边长，计算11AB A B ﹑11BC B C ﹑11ACA C ，你有什么发现？（学生独立操作并判断）分析：学生通过度量，不难发现这两个三角形的第三角满足∠C=∠C 1，11AB A B =11BC B C =11ACA C ． 探究：分别改变这两个三角形边的大小，而不改变它们的角的大小，再试一试，是否有同样的结论？（利用刻度尺和量角器，让学生先进行小组合作再作出具体判断．）教师应用“几何画板”等计算机软件作动态探究进行演示验证，引导学生观察在动态变化中存在的不变因素．由此能得出三角形相似的判定定理：两个角分别相等的两个三角形相似．几何语言：如图，在△ABC 与∆A 1B 1C 1中， ∵∠A ＝∠A 1，∠B ＝∠B 1， ∴△ABC ∽ △A 1B 1C 1．●活动3 例题讲解，相似三角形判定3的应用例： 如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=10，AC=8．E 是AC 上一点，AE=5，ED ⊥AB,垂足为D,求AD 的长．【知识点：相似三角形判定3；数学思想：数形结合】 解：∵ ED ⊥AB ， ∴ ∠EDA=90°． 又∠C=90 °， ∠A=∠A ， ∴△AED ∽△ABC ．.AD AEAC AB ∴=854.10AC AE AD AB •⨯∴===点拨：两个直角三角形，当有一个锐角相等时，它们相似．利用相似求线段长是常用方法． ●活动4 应用练习1．如图，已知点D ，E 分别在AB ，AC 或它们的延长线上，且∠1=∠2，分别指出图中的相似三角形．【知识点：相似三角形判定3】解：△ADE ∽ △ACB ； △ADC ∽ △ACB ； △ADE ∽ △ABC ； △ADE ∽ △ACB 2．如图，过平行四边形ABCD 的一个顶点A 作一直线分别交对角线BD 、边BC 、边DC 的延长线于点E ，F ，G ．图中相似的三角形共有（ ） A ．4对 B ．5对 C ．6对 D ．7对 【知识点：相似三角形判定3】 解：C2．已知：如图，ΔABC 的高AD 、BE 交于点F ．求证：AF EFBF FD=． 【知识点：相似三角形判定3】解：∵AD ⊥BC 、BE ⊥AC ，∴︒=∠=∠90FEA FDB ， ∴AFE BFD ∠=∠，∴BFD ∆∽AFE ∆，∴AF EFBF FD=． 问题探究二 两边成比例且它们的夹角相等的两个三角形相似吗？ 重点、难点知识★▲ ●活动1 类比探究思考：我们知道，两个直角三角形全等可以用“HL”来判定．那么，满足斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似吗？论证：事实上，这两个直角三角形相似．下面让学生讨论，得出证明． 如图，在Rt △ABC 和Rt △A′B′C′中， ∠C ＝90°， ∠C′＝90°，,AB ACA B A C =''''求证： Rt △ABC ∽Rt △A′B′C′． 分析：要证Rt △ABC ∽Rt △A′B′C′ ， 可设法证.BC AB ACB C A B A C ==''''''==.AB AC BCk k A B A C B C =''''''若设，则只需证==,=.AB ACk AB kA B AC kA C A B A C ''''=''''设，则证明：BC B C ''==由勾股定理，得.BC k B C k B C B C ''•∴====''''.BC AB ACB C A B A C ∴==''''''∴Rt △ABC ∽Rt △A′B′C′． 归纳：直角三角形相似的判定定理： (1)有一锐角相等的两个直角三角形相似； (2)有两组直角边对应成比例的两直角三角形相似； (3)斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似． 数学表达式：在Rt △ABC 和Rt △A′B′C′中，(1)∵∠C ＝∠C′＝90°，∠A ＝∠A′，∴Rt △ABC ∽Rt △A′B′C′； (2)∵∠C ＝∠C′＝90°，.AC BC A C B C ∴='''' ∴Rt △ABC ∽Rt △A′B′C′．（3）∵∠C ＝90°，∠C′＝90°，,AB ACA B A C =''''∴ Rt △ABC ∽Rt △A′B′C′． ●活动2 例题讲解，直角三角形相似的判定（HL ）的应用例1、在Rt △ABC 和Rt △DEF 中，∠C ＝∠F ＝90°，下列条件中不能判定这两个三角形相似的是( )A ．∠A ＝55°，∠D ＝35°B ．AC ＝9，BC ＝12，DF ＝6，EF ＝8 C ．AC ＝3，BC ＝4，DF ＝6，DE ＝8D ．AB ＝10，AC ＝8，DE ＝15，EF ＝9 【知识点：直角三角形相似的判定】解析：选项A ：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝55°，∴∠B ＝35°， ∵∠D ＝35°，∴∠B ＝∠D ，∴Rt △ABC ∽Rt △DEF （有一锐角相等的两个直角三角形相似）；选项B ：∵AC ＝9，BC ＝12，DF ＝6，EF ＝8，∴43129==BC AC ，4386==EF DF ，∴EFDFBC AC =，∴Rt △ABC ∽Rt △DEF （两组直角边对应成比例的两直角三角形相似）；选项C ：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，∴AB ＝5，∴AC ：BC ：AB ＝3：4：5，在Rt △DEF 中，∠F ＝90°，DF ＝6，DE ＝8，∴EF ＝726822=-， ∴EE ：DF ：DE ＝72：6：8=7：3：4，故Rt △ABC 与Rt △DEF 不相似； 选项D ：在Rt △DEF 中，∠F ＝90°，DE ＝15，EF ＝9，∴DF=1291522=-，∴541512==DE DF ，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，AC ＝8，∴54108==AB AC ， ∴DEDF AB AC =，∴Rt △ABC ∽Rt △DEF （斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似）． 故选C ．例2、直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似． 【知识点：直角三角形相似的判定】 射影定理：1．直角三角形中,斜边上的高线是两条直角边在斜边上的射影的比例中项; 2．每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项． 已知：如图，在RtΔABC 中，CD 是斜边AB 上的高． （1）求证：ΔACD∽ΔABC∽ΔCBD（2）求证：DB AD CD ⋅=2；AB AD AC ⋅=2； AB BD BC ⋅=2．证明:（1） ∵ ∠A=∠A ，∠ADC=∠ACB=90°， ∴ ΔACD∽ΔABC（两角对应相等，两三角形相似） 同理 ΔCBD ∽ ΔABC． ∴ ΔABC∽ΔCBD∽ΔACD．此结论可以称为“母子相似定理”,今后可以直接使用．（2）由ΔCBD∽ΔACD，得DB CD CD AD =，∴DB AD CD ⋅=2． 由ΔACD∽ΔABC，得AB AC AC AD =，∴AB AD AC ⋅=2． 由ΔCBD∽ΔABC，得DBBC BC AB =，∴AB BD BC ⋅=2．以上三个结论称为“射影定理”，今后可以直接使用．例3、已知：如图，在正方形ABCD 中，P 是BC 上的点，且BP ＝3PC ，Q 是CD 的中点，求证：△ADQ ∽△QCP ．【知识点：直角三角形相似的判定】 解：设PC 的长为a ，则BP ＝3a ，正方形ABCD 的边长为4a ，DQ ＝2a ，AD ＝4a ，QC ＝2a ， ∴DQ AD ＝PC CQ ＝12， 又∵∠D ＝∠C ＝90°，∴△ADQ ∽△QCP ．点拨：当题中条件已知线段之间的关系时，可找出成比例的线段，又其夹角相等时，可得三角形相似． ●活动3 应用练习1．在△ABC 和△A 1B 1C 1中，∠A ＝∠A 1＝90°，添加下列条件不能判定两个三角形相似的是( )A ．∠B ＝∠B 1 B ．AB A 1B 1＝AC A 1C 1 C ．AB A 1B 1＝BC B 1C 1 D ．AB B 1C 1＝AC A 1C 1【知识点：直角三角形相似的判定】 解：D2．在△ABC 和△A′B′C′中，∠C ＝∠C′＝90°，AC ＝12，AB ＝15， A′C′＝8，则当A′B′＝____________时，△ABC ∽△A′B′C′． 【知识点：直角三角形相似的判定】 解：10问题探究三 如何利用相似三角形的基本图形证题？引入：几何图形大多数由基本图形复合而成，因此熟悉三角形相似的基本图形，有助于快速、准确地识别相似三角形，从而顺利找到解题思路和方法． 活动1 合作探究，归纳总结思考：相似三角形的基本图形有哪些？学生讨论后归纳，相似三角形的几种基本图形如下：如图：称为“平行线型”的相似三角形．（有“A 型”与“X 型”图）如图：其中∠1=∠2，则△ADE ∽△ABC 称为“斜交型”的相似三角形．（有“反A 共角型”、 “反A 共角共边型”、“蝶型”）如图：称为“垂直型”．（有“双垂直共角型”、“双垂直共角共边型（也称“射影定理型”、“三垂直型”）④如图：∠1=2，∠B=∠D ，则△ADE ∽△ABC ，称为“旋转型”的相似三角形．活动2 合作探究，归纳总结思考：怎么利用这些基本图形解题呢？在学生讨论的基础上总结，几种基本图形的具体应用： 若DE ∥BC （A 型和X 型），则△ADE ∽△ABC ．射影定理 若CD 为Rt △ABC 斜边上的高（双直角图形），则Rt △ABC ∽Rt △ACD ∽Rt △CBD 且AC 2=AD ·AB，CD 2=AD ·BD，BC 2=BD ·AB．E A D CBEA DCBAD CBEADBEB (D )EC A满足：ⅰ、AC 2=AD·AB，ⅱ、∠ACD=∠B ，ⅲ、∠ACB=∠ADC ，都可判定△ADC ∽△ACB ． ④当ABAEAC AD或AD·AB=AC·AE 时，△ADE ∽△ACB ． 活动3 例题讲解，巧用“基本图形”探索相似条件 （1）平行线型例1．如图，在△ABC 中，BE 平分∠ABC 交AC 于点E ，过点E 作ED ∥BC 交AB 于点D ． (1)求证：AE·BC＝BD·AC；(2)如果S △ADE ＝3，S △BDE ＝2，DE ＝6，求BC 的长．【知识点：相似三角形的判定与性质，三角形面积；数学思想：数形结合】 分析：要证AE·BC＝BD·AC，需证AE AC ＝BDBC ．又由ED ∥BC ，有△ADE ∽△ABC ，可得AE AC ＝DEBC ，因此只需证DE ＝BD 即可．详解：(1)证明：∵ED ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ．∴AE AC ＝DEBC．∵BE 平分∠ABC ，∴∠DBE ＝∠EBC ． ∵ED ∥BC ，∴∠DEB ＝∠EBC ．∴∠DBE ＝∠DEB ．∴DE ＝BD ．∴AE AC ＝BDBC ，即AE·BC＝BD·AC．(2)解：设h △ADE 表示△ADE 中DE 边上的高， h △BDE 表示△BDE 中DE 边上的高， h △ABC 表示△ABC 中BC 边上的高．∵S △ADE ＝3，S △BDE ＝2，∴S △ADE S △BDE ＝h △ADE h △BDE ＝32． ∴h △ADE h △ABC ＝35．∵△ADE ∽△ABC ，∴DE BC ＝h △ADE h △ABC ＝35．∵DE ＝6，∴BC ＝10．点拨：将乘积式转化为比例式，再利用比例式找三角形相似是常用之法． （2）斜交型例2．如图，点D ，E 分别为△ABC 的边AC ，AB 上的点，BD ，CE 交于点O ，且EO BO ＝DOCO，试问△ADE 与△ABC 相似吗？请说明理由． 【知识点：相似三角形的判定与性质】分析：由EO BO ＝DOCO ，及夹角相等，易得△BOE ∽△COD ，△DOE ∽△COB ，再设法证∠ADE ＝∠ABC即可．解：相似．理由如下：因为EO BO ＝DOCO ，∠BOE ＝∠COD ，∠DOE ＝∠COB ，所以△BOE ∽△COD ，△DOE ∽△COB ．所以∠EBO ＝∠DCO ，∠DEO ＝∠CBO ．因为∠ADE ＝∠DCO ＋∠DEO ， ∠ABC ＝∠EBO ＋∠CBO ．所以∠ADE ＝∠ABC ．又因为∠A ＝∠A ，所以△ADE ∽△ABC ． （3）垂直型例3．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，E 为AC 的中点，ED 的延长线交AB 的延长线于点F ．求证：AB AC ＝DFAF ．【知识点：相似三角形的判定与性质；数学思想：转化思想】 分析：由“垂直型”相似，可得△ABC ∽△DBA ，有AB AC ＝DBDA ，需证DB AD ＝DFAF ，应证△DBF ∽△ADF ．证明：∵∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于点D ， ∴∠BAC ＝∠ADB ＝90°．又∵∠CBA ＝∠ABD ，∴△ABC ∽△DBA ．∴AB AC ＝DBDA ，∠BAD ＝∠C ．∵AD ⊥BC 于点D ，E 为AC 的中点，∴DE ＝EC ． ∴∠BDF ＝∠CDE ＝∠C ．∴∠BDF ＝∠BAD ．又∵∠F ＝∠F ，∴△DBF ∽△ADF ．∴DB AD ＝DF AF ．∴AB AC ＝DFAF．点拨：当所证等积式或比例式运用“三点定型法”不能定型或能定型而不相似，条件又不具备成比例线段时，可考虑用中间比“搭桥”，称为“等比替换法”．有时还可用“等积替换法”． （4）旋转型例4．如图，已知∠DAB ＝∠EAC ，∠ADE ＝∠ABC ．求证：(1)△ADE ∽△ABC ；(2)AD AE ＝BDCE ．【知识点：相似三角形的判定与性质】 证明：(1)∵∠DAB ＝∠EAC ，∴∠DAE ＝∠BAC ． 又∵∠ADE ＝∠ABC ，∴△ADE ∽△ABC ．(2)∵△ADE ∽△ABC ，∴AD AE ＝AB AC ． ∵∠DAB ＝∠EAC ，∴△ADB ∽△AEC ．∴AD AE ＝BD CE． 点拨：由“旋转型”，易得对应的角相等．问题探究四 证比例式或等积式有哪些技巧？证比例式或等积式，若所遇问题中无平行线或相似三角形，则需构造平行线或相似三角形，得到成比例线段；若比例式或等积式中的线段分布在两个三角形或不在两个三角形中，可尝试证这两个三角形相似或先将它们转化到两个三角形中再证两三角形相似，若在两个明显不相似的三角形中，可运用中间比代换．活动1 合作探究，证比例式或等积式的技巧技巧1 构造平行线法例1．如图，过△ABC 的顶点C 任作一直线，与边AB 及中线AD 分别交于点F 和点E ． 求证：AE•ED＝2AF•FB．【知识点：相似三角形的判定与性质】分析：图中无三角形相似，应作辅助性构造三角形相似,作平行线是常用之法．证明：如图，过点B 作BN ∥CF 交AD 的延长线于点N ．∴AF FB ＝AE EN，∠ECD ＝∠NBD ． 又∵∠CDE ＝∠BDN ，∴△EDC ∽△NDB ．∴ED DN ＝CD BD． ∵BD ＝CD ，∴ED ＝DN ＝12EN ． ∴AF FB ＝AE 2ED．∴AE•ED＝2AF•FB． 点拨：过某一点作平行线，构造出“A”型或“X”型的基本图形，通过相似三角形转化线段的比，从而解决问题．技巧2 “三点定型”找三角形相似法例2．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，M 为BC 的中点，DM ⊥BC 交CA 的延长线于D ，交AB 于E ．求证：AM 2＝MD·ME．【知识点：相似三角形的判定与性质；数学思想：转化思想】分析：要证AM 2＝MD·ME，即证AM MD ＝ME AM ．横看知，需证△AME 与△DMA 相似．证明：∵DM ⊥BC ，∠BAC ＝90°，∴∠B ＋∠BEM ＝90°，∠D ＋∠DEA ＝90°．∵∠BEM ＝∠DEA ，∴∠B ＝∠D ．又∵M 为BC 的中点，∠BAC ＝90°，∴BM ＝AM ．∴∠B ＝∠BAM ．∴∠BAM ＝∠D ．又∵∠AME ＝∠DMA ．∴△AME ∽△DMA ． ∴AM MD ＝ME AM ．∴AM 2＝MD·ME． 点拨：由比例式找三角形相似，可运用“三点定型法”找相似三角形，口诀是：横看、竖看定相似．技巧3 构造相似三角形法例3．如图，在等边三角形ABC 中，点P 是BC 边上任意一点，AP的垂直平分线分别交AB ，AC 于点M ，N ．求证：BP·CP＝BM·CN．【知识点：相似三角形的判定与性质】分析：要证BP·CP＝BM·CN，即证BP CN ＝BM CP，由横看知， 需证△BPM ∽△CNP ，因此应连接PM 、PN ，构造出△BPM 和△CNP ．证明：如图，连接PM ，PN ． ∵MN 是AP 的垂直平分线，∴MA ＝MP ，NA ＝NP ．∴∠1＝∠2，∠3＝∠4．又∵△ABC 是等边三角形，∴∠B ＝∠C ＝∠1＋∠3＝60°．∴∠2＋∠4＝60°．∴∠5＋∠6＝120°．又∵∠6＋∠7＝180°－∠C ＝120°．∴∠5＝∠7．∴△BPM ∽△CNP ．∴BP CN ＝BM CP，即BP·C P ＝BM·CN． 点拨：通过要证的比例式，用“三点定型法”找到需证明的相似三角形，若这两三角形不存在，就应通过作辅助线构造出来．技巧4 等比过渡法例4．如图，CE 是Rt △ABC 斜边上的高，在EC 的延长线上任取一点P ，连接AP ，作BG ⊥AP 于点G ，交CE 于点D ．求证：CE 2＝DE·PE．【知识点：相似三角形的判定与性质；数学思想：转化思想】分析：由“垂直型”相似，可利用射影定理得CE 2＝AE·BE,要证CE 2＝DE·PE，就需证DE·PE＝AE·BE,就需证△DEB ∽△AEP ．证明：∵BG ⊥AP ，PE ⊥AB ，∴∠AEP ＝∠BED ＝∠AGB ＝90°．∴∠P ＋∠PAB ＝90°，∠PAB ＋∠ABG ＝90°．∴∠P ＝∠ABG ．∴△AEP ∽△DEB ． ∴AE DE ＝PE BE ，即AE·BE＝PE·DE． 又∵CE ⊥AB ，∴∠CEA ＝∠BEC ＝90°，∴∠CAB ＋∠ACE ＝90°．又∵∠ACB ＝90°，∴∠CAB ＋∠CBE ＝90°．∴∠ACE ＝∠CBE ．∴△AEC ∽△CEB ．∴AE CE ＝CE BE，即CE 2＝AE ·BE．∴CE 2＝DE·PE． 点拨：当要证的等积式中的三条线段在同一条线段上时，找不出需证的相似三角形，就可以采用“等比过渡法”证明．技巧5 等积代换法例5．如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ．求证：AE AF ＝AC AB． 【知识点：相似三角形的判定与性质；数学思想：转化思想】分析：要证AE AF ＝AC AB，可证AE·AB＝AF·AC，又由“垂直型”相似，可利用射影定理得AE·A B ＝AD 2，AF·AC= AD 2，故得证．证明：∵AD ⊥BC ，DE ⊥AB ，∴∠ADB ＝∠AED ＝90°．又∵∠BAD ＝∠DAE ，∴△ADE ∽△ABD ，得AD 2＝AE·AB，同理可得AD 2＝AF·AC，∴AE·AB＝AF·AC，∴AE AF ＝AC AB． 点拨：要证的比例式，不能直接通过证三角形相似得到，可将比例式转化为乘积式，利用“等积代换法”来证．技巧6 等线段代换法例6．已知：如图，AD 平分∠BAC ，AD 的垂直平分线EP 交BC 的延长线于点P ．求证：PD 2＝PB·PC．【知识点：相似三角形的判定与性质；数学思想：转化思想】分析：由EP 垂直平分AD ，可连接AP ，有PA=PD ．要证PD 2＝PB·PC，可证PA 2＝PB·PC，需证△PAC ∽△PBA ．证明：如图，连接PA ，则PA ＝PD ，∴∠PDA ＝∠PAD ．∴∠B ＋∠BAD ＝∠DAC ＋∠CAP ．又∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD ＝∠DAC ．∴∠B ＝∠CAP ．又∵∠APC ＝∠BPA ，∴△PAC ∽△PBA ，∴PA PB ＝PC PA ， 即PA 2＝PB·PC，∴PD 2＝PB·PC．点拨：当要证的等积式中的三条线段在同一条线段上时，找不出需证的相似三角形，也可把其中的一条线段替换成与它线段的线段，再找三角形相似来证明．活动2 巩固练习1．如图，在△ABC 中，D 为AB 的中点，DF 交AC 于点E ，交BC的延长线于点F ，求证：AE·CF＝BF·EC．【知识点：相似三角形的判定与性质；数学思想：转化思想】证明：如图，过点C 作CM ∥AB 交DF 于点M ．∵CM ∥AB ，∴△CMF ∽△BDF ．∴BF CF ＝BD CM． 又∵CM ∥AD ，∴△ADE ∽△CME ．∴AE EC ＝AD CM．∵D 为AB 的中点， ∴BD CM ＝AD CM ．∴BF CF ＝AE EC，即AE·CF＝BF·EC． 2．如图，在Rt △ABC 中，AD 是斜边BC 上的高，∠ABC 的平分线BE 交AC 于E ，交AD 于F ．求证：BF BE ＝AB BC ．【知识点：相似三角形的判定与性质；数学思想：转化思想】证明：易得∠BAC ＝∠BDF ＝90°．∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABE ＝∠DBF ，∴△BDF ∽△BAE ，得BD AB ＝BF BE ． ∵∠BAC ＝∠BDA ＝90°，∠ABC ＝∠DBA ．∴△ABC ∽△DBA ，得AB BC ＝BD AB ，∴BF BE ＝AB BC． 3．如图，等腰△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ，点P 是AD 上一点，CF ∥AB ，延长BP 交AC 于点E ，交CF 于点F ，求证：BP 2＝PE·PF．【知识点：相似三角形的判定与性质；数学思想：转化思想】证明：连接PC ，如图．∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∴AD 垂直平分BC ，∠ABC ＝∠ACB ，∴BP ＝CP ，∴∠1＝∠2，∴∠ABC －∠1＝∠ACB －∠2，即∠3＝∠4．∵CF ∥AB ，∴∠3＝∠F ，∴∠4＝∠F ．又∵∠CPF ＝∠CPE ，∴△CPF ∽△EPC ，∴CP PE ＝PF CP，即CP 2＝PF·PE．∵BP ＝CP ，∴BP 2＝PE·PF． 3．课堂总结【知识梳理】（1）相似三角形的判定3：两角分别相等的两个三角形相似．（2）两个直角三角形相似的判定定理（HL ）：斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似．（3）三角形相似的基本图形有：“平行线型”、“斜交型”、“垂直型”、“旋转型”．（4）证明比例式或等积式的常用技巧有：构造平行线法、“三点定型”找三角形相似法、构造相似三角形法、等比过渡法、等积代换法、等线段代换法．【重难点突破】（1）两角分别相等的两个三角形相似，是判断两三角形是否相似的常用方法之一．当两个三角形已具备一角对应相等的条件时，往往先找是否有另一角对应相等，当此思路不通时，再找夹等角的两边对应成比例．找角相等时应注意挖掘公共角、对顶角、同角的余角（或补角）等．（2）找对应角的方法：对顶角一定是对应角；公共角一定是对应角；最大角或最小的角一定是对应角；对应角所对的边一定是对应边；对应边所对的角一定是对应角；对应边所夹的角一定是对应角．（3）判定两直角三角形相似的方法：一个锐角对应相等，两组直角边对应成比例，斜边和一直角边对应成比例．（4）常用的重要结论：①母子相似定理：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似；②射影定理：直角三角形中,斜边上的高线是两条直角边在斜边上的射影的比例中项；每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．(5)熟悉三角形相似的基本图形,掌握证比例式或等积式的技巧，并会熟练应用．4．随堂检测1．下列各组条件中，不能判定△ABC与△A′B′C′相似的是( )A．∠A＝∠A′，∠B＝∠B′B．∠C＝∠C′＝90°，∠A＝35°，∠B′＝55°C．∠A＝∠B，∠A′＝∠B′D．∠A＋∠B＝∠A′＋∠B′，∠A－∠B＝∠A′－∠B′【知识点：相似三角形判定3】2．下列说法：①有一个110°角的两个等腰三角形相似；②所有的等腰直角三角形都相似；③有一个60°角的两个等腰三角形相似；④有一个70°角的两个等腰三角形相似；⑤有一个底角相等的两个等腰三角形相似．其中正确的个数是( )A．5 B．4 C．3 D．2【知识点：相似三角形判定3】3．已知点R在直角三角形的直角边上，过点R作直线使截得的三角形与原三角形相似，则这样的直线最多可作的条数是（）A．4条 B．3条 C． 2条 D． 1条【知识点：相似三角形判定3】4．已知点M、N分别是矩形ABCD的边CD、BC上的点，AM⊥MN，则一定有（）A．ΔADM∽ΔAMN B．ΔMCN∽ΔAMNC．ΔAMN∽ΔABN D．ΔADM∽ΔMCN【知识点：两直角三角形相似的判定】5．如图，在Rt△ABC中，AD为斜边BC上的高，若AB=12，BC=18，则CD的长是（）A．6 B．8 C．10 D．12【知识点：两直角三角形相似判定的应用】（三）课后作业基础型自主突破1．下列说法正确的是（）A.两个相似三角形全等 B．两个顶角为80°的等腰三角形相似C．两个直角三角形相似 D．所有等腰三角形都相似【知识点：相似三角形的判定】2．下列各对三角形中一定不相似的是（）A．△ABC中，∠A=46°，∠B=74°；△A′B′C′中，∠C′=60°，∠B′=74°B．△ABC中，∠B=90°，AB=10，AC=26; △A′B′C′中，∠B′=90°，A′B′=5a，B′C′=12aC．△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm; △A′B′C′中，∠C′=90°，A′C′=24cm，B′C′=30cm D．△ABC中，∠C=90°，∠A=48°; △A′B′C′中，∠C′=90°，∠A′=42°【知识点：相似三角形的判定】中，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，则图中的相似三角形有（）3．如图，在ABCA 4对B 3 对C 2 对D 1对【知识点：相似三角形的判定3】4．如图，MN∥EF，MF、EN交于O，MO=6，FO=8，EN=21，则EO长为（）A．8 B．9 C．10 D．12【知识点：相似三角形的判定3及应用；数学思想：数形结合】5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为斜边AB上的高，AC=30，AD=18，则BC= ．【知识点：直角三角形相似的判定及应用，勾股定理；数学思想：数形结合】6．如图，在△ABC 中，AB=9，AC=6，BC=12，点M 在AB 边上，且AM=3，过点M 作直线MN 与AC 边交于点N ，使截得的三角形与原三角形相似，则MN= ．MCB A【知识点：相似三角形的判定及应用；数学思想：数形结合、分类讨论】能力型 师生共研7．如图，矩形ABCD 中，AB ＝12，BC ＝6，点E 在AB 上，点F 在CD 上，点G ，H 在对角线AC 上，若四边形EGFH 是菱形，则AE 的长是( )A ．35B ．295 C ．7．5 D ．9【知识点：相似三角形的判定及应用，矩形、菱形性质；数学思想：数形结合】8.如图，正方形ABCD 中，AE=BE ，AF ⊥DE 于点G ，则______ DGAG ．【知识点：直角三角形相似的判定及应用，正方形性质】9．如图，在Rt △ACB 中，∠ACB=90°，AC=BC=15．D 为AC 上一点，AD=2CD ，CH ⊥BD 于H ，点G 是AB 中点，连接GH ，则GH= ．【知识点：相似三角形的判定及应用，三角形全等，等腰直角三角形性质；数学思想：数形结合】10．如图，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，点E ，F 分别是BC ，AC 边上的点，且∠AEF ＝∠B ．(1)求证：AC·CF＝CE·BE；(2)若AB ＝10，BC ＝12，当EF ∥AB 时，求BE 的长．【知识点：相似三角形的判定及应用；数学思想：数形结合】探究型 多维突破11．如图，五边形ABCDE 是正五边形，其边长为2，对角线BE ，CE 与对角线AD 分别交于点F ，G ．给出下列结论：①∠AFE=108°；②AD AF AG ⋅=2；③FG=3﹣；④S △EBC =2﹣1．其中正确结论的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【知识点：相似三角形的判定及应用，勾股定理，正五边形的性质；数学思想：数形结合】12．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，点E 在AC 上，AE=EC ，AB 延长线与ED 延长线交于点F ．求证：AB·AF＝AC·DF．【知识点：相似三角形的判定及应用；数学思想：转化思想】自助餐1．下列各组条件中，能推得△ABC 与△GMN 相似的是（ ）A ．∠A=∠M 且∠G=∠NB ．∠A=∠B 且∠G=∠NC ．∠A=∠M 且MG AC AB MN =D ．∠A=∠M 且MGBC AB GN = 【知识点：相似三角形的判定】2．如图，在△ABC 中，∠A=78°，AB=8，AC=12．下列图中阴影三角形与原三角形不相似．．．的是（ ）【知识点：相似三角形的判定；数学思想：数形结合】3．如图，在△ABC 中，AE 交BC 于点D ，∠EBC ＝∠EAC ，AD ∶DE ＝3∶5，AE ＝8，BD ＝4，则DC 的长等于( )A ．154B ．125C ．203D ．174【知识点：相似三角形的判定3及应用；数学思想：数形结合】4．如图，FGA BAC ∆≅∆，∠BAC=∠FGA=90°，AB=AC ，下列不正确的是（ ）A ． △DAE ∽△DCAB ． △EAD ∽△EBAC ． △BAE ∽△CDAD ． △BAD ∽△CAE 【知识点：相似三角形判定3，等腰直角三角形性质】5．如图，点E 、F 分别在矩形ABCD 的边BC 、DC 上，且DE ⊥AF 于M ，∠BAE=∠EAF ，BE=3，AE=2，则MF 的长是（ ）A ．B ．C ．1D ．【知识点：直角三角形相似的判定及应用，正方形性质，勾股定理；数学思想：数形结合】 6．如图，E 为矩形ABCD 的边DC 中点，AD=23AB ，BP=2CP ，连接EP 并延长，交AB 的延长线于点F ，AP 、BE 相交于点O ．下列结论：①EP 平分∠CEB ； ②EF PB BF ⋅=2；③22AD EF PF =⋅；a ④PO AO EP EF ⋅=⋅4．其中正确的是（ ）A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．③④【知识点：直角三角形相似的判定及应用，矩形性质；数学思想：数形结合】 7.如图，AD 是Rt △ABC 斜边BC 上的高，BC=24，CD=18， 则AD= ．DC BA【知识点：直角三角形相似的判定及应用；数学思想：数形结合】8．如图，四边形ABCD 是矩形，点E 在边CD 上，AD=4，AB=10，要使△ADE 与△BCE 相似，则DE 的长为= ．【知识点：直角三角形相似的判定及应用；数学思想：数形结合、分类讨论】9．如图，在△ABC 中，∠BAD=∠CAD ，延长BC 到E ，EF ⊥AD 于点F ，FG=FD ，连接EG 交AC 于点H ．若AB ：AC=5：4，点H 是AC 的中点，则AG:FD 的值为 ．【知识点：三角形全等，等腰三角形，平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定及应用；数学思想：数形结合】10.已知：如图，在△ABC 中，CM ⊥AB 于M ，BN ⊥AC 于N ． 求证：△AMN ∽△ACB ．【知识点：相似三角形的判定及应用】11．如图，在直角△ABC中，斜边AB=100，AC=80，点M从A点出发沿AB边以每秒10个单位的速度向点B运动，同时点N从C点出发沿CA边以每秒8个单位的速度向点A运动，运动时间为t秒（0＜t＜10），连接MN．（1）若△AMN与△ABC相似，求t的值；（2）连接BN，CM，若BN⊥CM，求t的值；（3）试证明：MN的中点在△ABC的一条中位线上．【知识点：相似判定及应用；数学思想：数形结合】12．如图，在△ABC中，AM垂直平分BC，AM=16，BC=20．点G从点B出发沿线段BC以每秒6个单位长度的速度向点C运动，与此同时，平行于BC的直线m从底边BC出发，以每秒4个单位长度的速度沿MA方向平移，分别交AB、AC、AD于E、F、H，当点G到达点C时，点G与直线m同时停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）．（1）当t=2时，连接ME、MF，求证：四边形AEMF为菱形；（2）在整个运动过程中，所形成的△GEF的面积存在最大值，当△GEF的面积最大时，求线段BG的长；（3）是否存在某一时刻t，使△GEF为直角三角形？若存在，请求出此时刻t的值；若不存在，请说明理由．【知识点：菱形的判定与性质，相似三角形判定及应用，勾股定理；数学思想：数形结合、分类讨论】图2图1NACMNMCA五．参考答案 预习自测 1．相等 成比例 2．相似 3．相似 随堂检测 1.C 2.B 3.A 4.D 5.C 课后作业 基础型 1．B 2．C 3．A 4．D5． 40 由射影定理，得AB AD AC ⋅=2，即AB ⨯=18302，AB=50，∴BC=40．6． 4或6 如图1，当MN ∥BC 时，则△AMN ∽△ABC ， 故AM:AB=AN:AC=MN:BC ， 则3：9=MN:12，解得：MN=4，如图2所示：当∠ANM=∠B 时， 又∵∠A=∠A ，∴△ANM ∽△ABC ，∴AM:AC=MN:BC ，即3：6=MN:12，解得：MN=6， 故答案为：4或6． 能力型7．C 由四边形EGFH 是菱形，则EF ⊥GH ， 假设线段EF 、GH 交于点O,则O 为AC 中点， 则5321==AC AO ，又ABC ∆∽AOE ∆， 则5612==AC AB AE AO ，解得AE=7．5．故选C ． 8．21 由EAD ∆∽AGD ∆，得21G ==AD AE DG A ． 9．53 在BD 上截取BE=CH ，连接CG ，GE ， ∵∠ACB=90°，CH ⊥BD ，∵AC=BC=15，CD=5，∴BD=510，∴△CDH ∽△BDC ， ∴，.2102103==∴DH CH ， 易证△CHG ≌△BEG ，∴GE=GH ，∠BGE=∠HGC ，∵GC ⊥BG ，∴∠EGH=90°，即△HGE 是等腰直角三角形， ，1032103210105=--=--=CH DH BD EH Θ.5322=⨯=∴EH GH10．(1)∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ， ∵∠AEF ＝∠B ，∴∠AEF ＝∠B ＝∠C ，∵∠AEC ＝∠BAE ＋∠B ，∠AEC ＝∠AEF ＋∠FEC ， ∴∠BAE ＝∠FEC ，∴△ABE ∽△ECF ， ∴CEABCF BE =，∴AB·CF＝CE·BE， ∵AB ＝AC ，∴AC·CF＝CE·BE (2)∵EF ∥AB ，∴∠AEF ＝∠BAE ，。

人教版九年级下册数学《27.2.1相似三角形的判定》优秀教学设计一. 教材分析人教版九年级下册数学《27.2.1相似三角形的判定》是本节课的主要内容。

本节课主要介绍了相似三角形的判定方法，包括SSS、SAS、ASA、AAS四种判定方法，以及三角形的相似性质。

教材通过丰富的例题和练习题，帮助学生掌握相似三角形的判定方法，并能够运用到实际问题中。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了三角形的性质、角的度量等基础知识，对于图形的变换和判定有一定的了解。

但是，学生对于相似三角形的判定方法可能还比较陌生，需要通过实例和练习来加深理解。

此外，学生可能对于证明过程的书写和逻辑推理能力还需加强。

三. 教学目标1.理解相似三角形的判定方法，包括SSS、SAS、ASA、AAS四种判定方法。

2.能够运用相似三角形的判定方法解决实际问题。

3.培养学生的逻辑推理能力和数学思维能力。

四. 教学重难点1.教学重点：掌握相似三角形的判定方法，能够运用到实际问题中。

2.教学难点：对于相似三角形的判定方法的证明过程的理解和运用。

五. 教学方法1.讲授法：通过讲解相似三角形的判定方法，引导学生理解和掌握。

2.案例分析法：通过分析具体的例题，让学生直观地理解相似三角形的判定方法。

3.练习法：通过布置练习题，让学生巩固所学的知识，并能够灵活运用。

六. 教学准备1.PPT课件：制作相关的PPT课件，展示相似三角形的判定方法和相关例题。

2.练习题：准备一些相关的练习题，用于巩固和拓展学生的知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入本节课的主题，例如：“在建筑设计中，如何通过一个已知的建筑设计图来设计一个与之相似的新建筑？”引发学生的思考，激发学生的学习兴趣。

2.呈现（10分钟）讲解相似三角形的判定方法，包括SSS、SAS、ASA、AAS四种判定方法。

通过PPT课件和例题，让学生直观地理解每种判定方法的含义和运用。

3.操练（10分钟）让学生独立完成一些相似三角形的判定练习题。

人教版九年级下册数学《27.2.1相似三角形的判定》优秀教案一. 教材分析人教版九年级下册数学《27.2.1相似三角形的判定》这一节，主要让学生掌握相似三角形的判定方法。

教材通过具体的例题，让学生理解并掌握SSS、SAS、ASA、AAS四种判定方法，并能够运用这些方法解决实际问题。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了三角形的性质，对于三角形的边长和角度有一定的了解。

但是，对于相似三角形的判定，他们可能还比较陌生。

因此，在教学过程中，需要引导学生从已知的三角形性质出发，推导出相似三角形的判定方法。

三. 教学目标1.了解相似三角形的判定方法，能够运用这些方法判断两个三角形是否相似。

2.能够解决实际问题，运用相似三角形的判定方法。

四. 教学重难点1.教学重点：掌握SSS、SAS、ASA、AAS四种判定方法，并能够运用这些方法判断两个三角形是否相似。

2.教学难点：理解并掌握相似三角形的判定方法，能够解决实际问题。

五. 教学方法采用问题驱动法，通过引导学生思考和探索，让学生自主发现相似三角形的判定方法。

同时，结合例题讲解，让学生在实践中掌握这些方法。

六. 教学准备1.PPT课件：包括相似三角形的判定方法、例题讲解等。

2.练习题：包括基础题和提高题，用于巩固所学知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引发学生对相似三角形的思考。

例如：在建筑设计中，如何根据一个建筑物的缩小模型，计算出实际建筑物的尺寸？2.呈现（10分钟）介绍SSS、SAS、ASA、AAS四种判定方法，并通过PPT课件展示相关的例题。

引导学生思考和探索，让学生自主发现这些判定方法。

3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组选择一道练习题，运用所学的判定方法进行解答。

教师巡回指导，解答学生的问题。

4.巩固（10分钟）请各组代表上台讲解他们的解题过程，其他同学进行评价和提问。

教师总结学生的解题方法，并进行点评。

5.拓展（10分钟）出示一些提高题，让学生独立解答。

人教版数学九年级下册27.2.1《相似三角形的判定（3）》教案一. 教材分析人教版数学九年级下册27.2.1《相似三角形的判定（3）》是相似三角形章节的一部分，主要介绍了相似三角形的判定方法。

本节课的内容是在学生已经掌握了相似三角形的定义和性质的基础上进行的，目的是让学生进一步理解相似三角形的判定方法，提高解决问题的能力。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和空间想象能力，对于相似三角形的概念和性质已经有了一定的了解。

但是，学生在运用判定方法解决问题时，可能会出现理解不深刻、应用不熟练的情况。

因此，在教学过程中，需要注重引导学生深入理解判定方法，提高运用能力。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握相似三角形的判定方法，能够运用判定方法解决问题。

2.过程与方法：通过观察、操作、思考、交流等活动，培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。

3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作精神。

四. 教学重难点1.重点：相似三角形的判定方法。

2.难点：运用判定方法解决问题，理解判定方法的本质。

五. 教学方法1.情境教学法：通过设置问题情境，引导学生主动探究相似三角形的判定方法。

2.合作学习法：学生进行小组讨论，培养学生的团队合作精神。

3.实践操作法：让学生通过实际操作，加深对判定方法的理解。

六. 教学准备1.教具准备：多媒体课件、黑板、粉笔。

2.学具准备：三角板、直尺、圆规。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体课件展示一些生活中的相似图形，如建筑物的立面图、服装设计图等，引导学生观察并思考：这些图形为什么说是相似的？激发学生的学习兴趣，引出相似三角形的概念。

2.呈现（10分钟）介绍相似三角形的判定方法，引导学生通过观察、操作、思考，总结出判定方法。

方法一：三边法如果三角形的三组对应边的比例相等，则这两个三角形相似。

方法二：两边及其夹角法如果两个三角形的两边及其夹角分别相等，则这两个三角形相似。

人教版数学九年级下册27.2.1《相似三角形的判定》教学设计（三）一. 教材分析《相似三角形的判定》是人教版数学九年级下册第27.2.1节的内容。

本节主要介绍了相似三角形的判定方法，是学生进一步理解三角形性质，提高解决实际问题能力的基础。

教材通过丰富的例题和练习，使学生掌握判定两个三角形相似的方法，并能够运用这些方法解决实际问题。

二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了三角形的基本性质，如内角和定理、边角关系等。

但他们对相似三角形的概念及判定方法可能还较为陌生，因此需要在教学过程中给予引导和启发。

此外，学生可能对一些判定方法的应用场景和实际意义难以理解，需要通过实例进行讲解和演练。

三. 教学目标1.理解相似三角形的概念，掌握相似三角形的判定方法。

2.能够运用相似三角形的判定方法解决实际问题。

3.培养学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。

四. 教学重难点1.判定两个三角形相似的方法。

2.相似三角形的性质及应用。

五. 教学方法1.讲授法：讲解相似三角形的概念、判定方法和性质。

2.案例分析法：分析实际问题，引导学生运用相似三角形的判定方法解决实际问题。

3.小组讨论法：分组讨论，培养学生的合作能力和解决问题的能力。

4.练习法：通过课堂练习和课后作业，巩固所学知识。

六. 教学准备1.教案、PPT、教学素材。

2.三角板、直尺、圆规等教具。

3.练习题和课后作业。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT展示一些生活中的相似图形，如人民币、房屋建筑等，引导学生思考：这些图形为什么看起来相似？激发学生的学习兴趣。

2.呈现（10分钟）讲解相似三角形的概念，并通过示例演示相似三角形的判定方法。

引导学生理解相似三角形的性质及其应用。

3.操练（10分钟）分组讨论，让学生运用相似三角形的判定方法解决实际问题。

教师巡回指导，解答学生疑问。

4.巩固（10分钟）课堂练习：给出一些三角形，让学生判断它们是否相似。

教师及时批改，给予反馈。

27.2.1 相似三角形的判定（一）一、教学目标1．经历两个三角形相似的探索过程，体验分析归纳得出数学结论的过程，进一步发展学生的探究、交流能力．2．掌握两个三角形相似的判定条件（三个角对应相等，三条边的比对应相等，则两个三角形相似）——相似三角形的定义，和三角形相似的预备定理（平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似）．3．会运用“两个三角形相似的判定条件”和“三角形相似的预备定理”解决简单的问题．二、重点、难点1．重点：相似三角形的定义与三角形相似的预备定理．2．难点：三角形相似的预备定理的应用．3．难点的突破方法（1）要注意强调相似三角形定义的符号表示方法（判定与性质两方面），应注意两个相似三角形中，三边对应成比例，A C CA C B BC B A AB ''=''=''每个比的前项是同一个三角形的三条边，而比的后项分别是另一个三角形的三条对应边，它们的位置不能写错；（2）要注意相似三角形与全等三角形的区别和联系，弄清两者之间的关系．全等三角形是特殊的相似三角形，其特殊之处在于全等三角形的相似比为1．两者在定义、记法、性质上稍有不同，但两者在知识学习上有很多类似之处，在今后学习中要注意两者之间的对比和类比；（3）要求在用符号表示相似三角形时，对应顶点的字母要写在对应的位置上，这样就会很快地找到相似三角形的对应角和对应边；（4）相似比是带有顺序性和对应性的（这一点也可以在上一节课中提出）：如△ABC ∽△A ′B ′C ′的相似比k A C CA C B BC B A AB =''=''=''，那么△A ′B ′C ′∽△ABC 的相似比就是k 1CA A C BC C B AB B A =''=''=''，它们的关系是互为倒数．这一点在教学中科结合相似比“放大或缩小”的含义来让学生理解；（5）“平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”定理也可以简单称为“三角形相似的预备定理”．这个定理揭示了有三角形一边的平行线，必构成相似三角形，因此在三角形相似的解题中，常作平行线构造三角形与已知三角形相似．三、例题的意图本节课的两个例题均为补充的题目，其中例1是训练学生能正确去寻找相似三角形的对应边和对应角，让学生明确可类比全等三角形对应边、对应角的关系来寻找相似三角形中的对应元素：即（1）对顶角一定是对应角；（2）公共角一定是对应角；最大角或最小的角一定是对应角；（3）对应角所对的边一定是对应边；（4）对应边所对的角一定是对应角；对应边所夹的角一定是对应角．例2是让学生会运用“三角形相似的预备定理”解决简单的问题，这里要注意，此题两次用到相似三角形的对应边成比例（也可以先写出三个比例式，然后拆成两个等式进行计算），学生刚开始可能不熟练，教学中要注意引导．四、课堂引入1．复习引入（1）相似多边形的主要特征是什么？（2）在相似多边形中，最简单的就是相似三角形．在△ABC 与△A ′B ′C ′中，如果∠A=∠A ′, ∠B=∠B ′, ∠C=∠C ′, 且k AC CA C B BC B A AB =''=''=''． 我们就说△ABC 与△A ′B ′C ′相似，记作△ABC ∽△A ′B ′C ′，k 就是它们的相似比．反之如果△ABC ∽△A ′B ′C ′，则有∠A=∠A ′, ∠B=∠B ′, ∠C=∠C ′, 且AC CA C B BC B A AB ''=''=''． （3）问题：如果k=1，这两个三角形有怎样的关系？2．教材P42的思考，并引导学生探索与证明．3．【归纳】三角形相似的预备定理 平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．五、例题讲解例1（补充）如图△ABC ∽△DCA ，AD ∥BC ，∠B=∠DCA ．（1）写出对应边的比例式；（2）写出所有相等的角；（3）若AB=10,BC=12,CA=6．求AD 、DC 的长．分析：可类比全等三角形对应边、对应角的关系来寻找相似三角形中的对应元素．对于（3）可由相似三角形对应边的比相等求出AD 与DC 的长．解：略（AD=3，DC=5）例2（补充）如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD=EC ，DB=1cm ，AE=4cm ，BC=5cm ，求DE 的长．分析：由DE ∥BC ，可得△ADE ∽△ABC ，再由相似三角形的性质，有AC AE AB AD =，又由AD=EC 可求出AD 的长，再根据ABAD BC DE =求出DE 的长． 解：略（310DE =）． 六、课堂练习1．（选择）下列各组三角形一定相似的是（ ）A ．两个直角三角形B ．两个钝角三角形C ．两个等腰三角形D ．两个等边三角形2．（选择）如图，DE ∥BC ，EF ∥AB ，则图中相似三角形一共有（ ）A．1对B．2对C．3对D．4对3．如图，在□ABCD中，EF∥AB，DE:EA=2:3，EF=4，求CD的长．（CD= 10）七、课后练习1．如图，△ABC∽△AED, 其中DE∥BC，写出对应边的比例式．2．如图，△ABC∽△AED，其中∠ADE=∠B，写出对应边的比例式．3．如图，DE∥BC，（1）如果AD=2，DB=3，求DE:BC的值；（2）如果AD=8，DB=12，AC=15，DE=7，求AE和BC的长．教学反思27.2.1 相似三角形的判定（二）一、教学目标1．初步掌握“三组对应边的比相等的两个三角形相似”的判定方法，以及“两组对应边的比相等且它们的夹角相等的两个三角形相似”的判定方法．2．经历两个三角形相似的探索过程，体验用类比、实验操作、分析归纳得出数学结论的过程；通过画图、度量等操作，培养学生获得数学猜想的经验，激发学生探索知识的兴趣，体验数学活动充满着探索性和创造性．3．能够运用三角形相似的条件解决简单的问题．二、重点、难点1．重点：掌握两种判定方法，会运用两种判定方法判定两个三角形相似．2．难点：（1）三角形相似的条件归纳、证明；（2）会准确的运用两个三角形相似的条件来判定三角形是否相似．3．难点的突破方法（1）关于三角形相似的判定方法1“三组对应边的比相等的两个三角形相似”，教科书虽然给出了证明，但不要求学生自己证明，通过教师引导、讲解证明，使学生了解证明的方法，并复习前面所学过的有关知识，加深对判定方法的理解．（2）判定方法1的探究是让学生通过作图展开的，我们在教学过程中，要通过从作图方法的迁移过程，让学生进一步感受，由特殊的全等三角形到一般相似三角形，以及类比认识新事物的方法．（3）讲判定方法1时，要扣住“对应”二字，一般最短边与最短边，最长边与最长边是对应边．（4）判定方法2一定要注意区别“夹角相等” 的条件，如果对应相等的角不是两条边的夹角，这两个三角形不一定相似，课堂练习2就是通过让学生联想、类比全等三角形中SSA 条件下三角形的不确定性，来达到加深理解判定方法2的条件的目的的．（5）要让学生明确，两个判定方法说明：只要分别具备边或角的两个独立条件——“两边对应成比例，夹角相等”或“三边对应成比例”就能证明两个三角形相似．（6）要让学生学会自觉总结如何正确的选择三角形相似的判定方法：这两种方法无论哪一个，首先必需要有两边对应成比例的条件，然后又有目标的去探求另一组条件，若能找到一组角相等，而这组对应角又是两组对应边的“夹角”时，则选用判定方法2，若不是“夹角”，则不能去判定两个三角形相似；若能找到第三边也成比例，则选用判定方法1．（7）两对应边成比例中的比例式既可以写成如C A AC B A AB ''=''的形式，也可以写成C A B A AC AB ''''=的形式． （8）由比例的基本性质，“两边对应成比例”的条件也可以由等积式提供．三、例题的意图本节课安排的两个例题，其中例1是教材P46的例1，此例题是为了巩固刚刚学习过的两种三角形相似的判定方法，（1）是复习巩固“两组对应边的比相等且它们的夹角相等的两个三角形相似”的判定方法；（2）是复习巩固“三组对应边的比相等的两个三角形相似” 的判定方法．通过此例题要让学生掌握如何正确的选择三角形相似的判定方法．例2是补充的题目，它既运用了三角形相似的判定方法2，又运用了相似三角形的性质，有一点综合性，由于学生刚开始接触相似三角形的题目，而本节课的内容有较多，故此例题可以选讲．四、课堂引入1．复习提问：(1) 两个三角形全等有哪些判定方法？(2) 我们学习过哪些判定三角形相似的方法？(3) 全等三角形与相似三角形有怎样的关系？(4) 如图，如果要判定△ABC 与△A’B’C’相似，是不是一定需要一一验证所有的对应角和对应边的关系？ 2．（1）提出问题：首先，由三角形全等的SSS 判定方法，我们会想如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么能否判定这两个三角形相似呢？（2）带领学生画图探究；（3）【归纳】三角形相似的判定方法 1 如果两个三角形的三组对应边的比相等， 那么这两个三角形相似．3．（1）提出问题：怎样证明这个命题是正确的呢？（2）教师带领学生探求证明方法．4．用上面同样的方法进一步探究三角形相似的条件：（1）提出问题：由三角形全等的SAS 判定方法，我们也会想如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，那么能否判定这两个三角形相似呢？（2）让学生画图，自主展开探究活动．（3）【归纳】三角形相似的判定方法2 两个三角形的两组对应边的比相等，且它们的夹角相等，那么这两个三角形相似．五、例题讲解例1（教材P46例1）分析：判定两个三角形是否相似，可以根据已知条件，看是不是符合相似三角形的定义或三角形相似的判定方法，对于（1）由于是已知一对对应角相等及四条边长，因此看是否符合三角形相似的判定方法2“两组对应边的比相等且它们的夹角相等的两个三角形相似”，对于（2）给的几个条件全是边，因此看是否符合三角形相似的判定方法1“三组对应边的比相等的两个三角形相似”即可，其方法是通过计算成比例的线段得到对应边．解：略※例2 （补充）已知：如图，在四边形ABCD 中，∠B=∠ACD ，AB=6，BC=4，AC=5，CD=217，求AD 的长． 分析：由已知一对对应角相等及四条边长，猜想应用“两组对应边的比相等且它们的夹角相等”来证明．计算得出ACCD CD AB =，结合∠B=∠ACD ，证明△ABC ∽△DCA ，再利用相似三角形的定义得出关于AD 的比例式ADAC AC CD =，从而求出AD 的长． 解：略（AD=425）． 六、课堂练习1．教材P47．2．2．如果在△ABC 中∠B=30°，AB=5㎝，AC=4㎝，在△A’B’C’中，∠B’=30°A’B’=10㎝，A’C’=8㎝，这两个三角形一定相似吗？试着画一画、看一看？3．如图，△ABC 中，点D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 的中点，求证：△ABC ∽△DEF ．七、课后练习1．教材P47．1、3．2．如图，AB•AC=AD•AE ，且∠1=∠2，求证：△ABC ∽△AED ．※3．已知：如图，P为△ABC中线AD上的一点，且BD2=PD•AD，求证：△ADC∽△CDP．教学反思27.2.1 相似三角形的判定（三）一、教学目标1．经历两个三角形相似的探索过程，进一步发展学生的探究、交流能力．2．掌握“两角对应相等，两个三角形相似”的判定方法．3．能够运用三角形相似的条件解决简单的问题．二、重点、难点1．重点：三角形相似的判定方法3——“两角对应相等，两个三角形相似”2．难点：三角形相似的判定方法3的运用．3．难点的突破方法（1）在两个三角形中，只要满足两个对应角相等，那么这两个三角形相似，这是三角形相似中最常用的一个判定方法．（2）公共角、对顶角、同角的余角（或补角）、同弧上的圆周角都是相等的，是判别两个三角形相似的重要依据．（3）如果两个三角形是直角三角形，则只要再找到一对锐角相等即可说明这两个三角形相似．三、例题的意图本节课安排了两个例题，例1是教材P48的例2，是一个圆中证相似的题目，这个题目比较简单，可以让学生来分析、让学生说出思维的方法、让学生自己写出证明过程．并让学生掌握遇到等积式，应先将其化为比例式的方法．例2是一个补充的题目，选择这个题目是希望学生通过这个题的学习，掌握利用三角形相似的知识来求线段长的方法，为下节课学习“27.2.2 相似三角形的应用举例”打基础．四、课堂引入1．复习提问：（1）我们已学习过哪些判定三角形相似的方法？（2）如图，△ABC中，点D在AB上，如果AC2=AD•AB，那么△ACD与△ABC相似吗？说说你的理由．（3）如（2）题图，△ABC中，点D在AB上，如果∠ACD=∠B，那么△ACD与△ABC相似吗？——引出课题．（4）教材P48的探究3 ．五、例题讲解例1（教材P48例2）．分析：要证PA •PB=PC •PD ，需要证PBPC PD PA =，则需要证明这四条线段所在的两个三角形相似．由于所给的条件是圆中的两条相交弦，故需要先作辅助线构造三角形，然后利用圆的性质“同弧上的圆周角相等”得到两组角对应相等，再由三角形相似的判定方法3，可得两三角形相似．证明：略（见教材P48例2）．例2 （补充）已知：如图，矩形ABCD 中，E 为BC 上一点，DF ⊥AE 于F ，若AB=4，AD=5，AE=6，求DF 的长．分析：要求的是线段DF 的长，观察图形，我们发现AB 、AD 、AE 和DF 这四条线段分别在△ABE 和△AFD 中，因此只要证明这两个三角形相似，再由相似三角形的性质可以得到这四条线段对应成比例，从而求得DF 的长．由于这两个三角形都是直角三角形，故有一对直角相等，再找出另一对角对应相等，即可用“两角对应相等，两个三角形相似”的判定方法来证明这两个三角形相似．解：略（DF=310）． 六、课堂练习1．教材P49的练习1、2．2．已知：如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC ∽△ADE ．3．下列说法是否正确，并说明理由．（1）有一个锐角相等的两直角三角形是相似三角形；（2）有一个角相等的两等腰三角形是相似三角形．七、课后练习1． 已知：如图，△ABC 的高AD 、BE 交于点F ． 求证：FDEF BF AF =．2．已知：如图，BE 是△ABC 的外接圆O 的直径，CD 是△ABC 的高．（1）求证：AC •BC=BE •CD ；（2）若CD=6，AD=3，BD=8，求⊙O 的直径BE 的长．教学反思。