2019年高考数学(文科)二轮专题突破训练：四数列专题能力训练11(含答案)

专题对点练14数列与数列不等式的证明及数列中的存在性问题1.已知等比数列{a n},a1=,公比q=.(1)S n为{a n}的前n项和,证明:S n=;(2)设b n=log3a1+log3a2+…+log3a n,求数列{b n}的通项公式.2.已知数列{a n}满足a1=3,a n+1=.(1)证明:数列是等差数列,并求{a n}的通项公式;(2)令b n=a1a2…a n,求数列的前n项和S n.3.已知数列{a n}的前n项和S n=1+λa n,其中λ≠0.(1)证明{a n}是等比数列,并求其通项公式;(2)若S5=,求λ的值.4.在数列{a n}中,设f(n)=a n,且f(n)满足f(n+1)-2f(n)=2n(n∈N*),且a1=1.(1)设b n=,证明数列{b n}为等差数列;(2)求数列{a n}的前n项和S n.5.设数列{a n}的前n项和为S n,且(3-m)S n+2ma n=m+3(n∈N*),其中m为常数,且m≠-3.(1)求证:{a n}是等比数列;(2)若数列{a n}的公比q=f(m),数列{b n}满足b1=a1,b n=f(b n-1)(n∈N*,n≥2),求证:为等差数列,并求b n.6.已知数列{a n}的前n项和为S n,a1=-2,且满足S n=a n+1+n+1(n∈N*).(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若b n=log3(-a n+1),求数列的前n项和T n,并求证T n<.7.(2018天津模拟)已知正项数列{a n},a1=1,a2=2,前n项和为S n,且满足-2(n≥2,n∈N*).(1)求数列{a n}的通项公式;(2)记c n=,数列{c n}的前n项和为T n,求证:≤T n<.8.已知数列{a n}的前n项和为S n,a1=2,2S n=(n+1)2a n-n2a n+1,数列{b n}满足b1=1,b n b n+1=λ·.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)是否存在正实数λ,使得{b n}为等比数列?并说明理由.专题对点练14答案1.(1)证明因为a n=,S n=,所以S n=.(2)解b n=log3a1+log3a2+…+log3a n=-(1+2+…+n)=-.所以{b n}的通项公式为b n=-.2.解(1)∵a n+1=,∴a n+1-1=-1=,∴,∴.∵a1=3,∴,∴数列是以为首项,为公差的等差数列,∴(n-1)= n,∴a n=.(2)∵b n=a1a2…a n,∴b n=×…×,∴=2,∴S n=2+…+=2.3.解(1)由题意得a1=S1=1+λa1,故λ≠1,a1=,a1≠0.由S n=1+λa n,S n+1=1+λa n+1得a n+1=λa n+1-λa n,即a n+1(λ-1)=λa n.由a1≠0,λ≠0得a n≠0,所以.因此{a n}是首项为,公比为的等比数列,于是a n=.(2)由(1)得S n=1-.由S5=得1-,即.解得λ=-1.4.(1)证明由已知得a n+1=2a n+2n,∴b n+1=+1=b n+1,∴b n+1-b n=1.又a1=1,∴b1=1,∴{b n}是首项为1,公差为1的等差数列.(2)解由(1)知,b n==n,∴a n=n·2n-1.∴S n=1+2×21+3×22+…+n·2n-1,2S n=1×21+2×22+…+(n-1)·2n-1+n·2n,两式相减得-S n=1+21+22+…+2n-1-n·2n=2n-1-n·2n=(1-n)2n-1,∴S n=(n-1)·2n+1.5.证明(1)由(3-m)S n+2ma n=m+3,得(3-m)S n+1+2ma n+1=m+3,两式相减,得(3+m)a n+1=2ma n.∵m≠-3,∴,∴{a n}是等比数列.(2)由(3-m)S n+2ma n=m+3,得(3-m)S1+2ma1=m+3,即a1=1,∴b1=1.∵数列{a n}的公比q=f(m)=,∴当n≥2时,b n=f(b n-1)=,∴b n b n-1+3b n=3b n-1,∴.∴是以1为首项,为公差的等差数列,∴=1+.又=1也符合,∴b n=.6.(1)解∵S n=a n+1+n+1(n∈N*),∴当n=1时,-2=a2+2,解得a2=-8.当n≥2时,a n=S n-S n-1=a n+1+n+1-,即a n+1=3a n-2,可得a n+1-1=3(a n-1).当n=1时,a2-1=3(a1-1)=-9,∴数列{a n-1}是等比数列,首项为-3,公比为3.∴a n-1=-3n,即a n=1-3n.(2)证明b n=log3(-a n+1)=n,∴.∴T n=+…+.∴T n<.7.(1)解由-2(n≥2,n∈N*),得+2S n+1S n-1+=4,即(S n+1+S n-1)2=(2S n)2.由数列{a n}的各项均为正数,得S n+1+S n-1=2S n,所以数列{S n}为等差数列.由a1=1,a2=2,得S1=a1=1,S2=a1+a2=3,则数列{S n}的公差为d=S2-S1=2,所以S n=1+(n-1)×2=2n-1.当n≥2时,a n=S n-S n-1=(2n-1)-(2n-3)=2,而a1=1不适合上式,所以数列{a n}的通项公式为a n=(2)证明由(1)得c n=,则T n=c1+c2+c3+…+c n=+…+1-.又T n=是关于n的增函数,则T n≥T1=,因此,≤T n<.8.解(1)由2S n=(n+1)2a n-n2a n+1,得2S n-1=n2a n-1-(n-1)2a n,∴2a n=(n+1)2a n-n2a n+1-n2a n-1+(n-1)2a n,∴2a n=a n+1+a n-1,∴数列{a n}为等差数列.∵2S1=(1+1)2a1-a2,∴4=8-a2.∴a2=4.∴d=a2-a1=4-2=2.∴a n=2+2(n-1)=2n.(2)∵b n b n+1=λ·=λ·4n,b1=1,∴b2b1=4λ,∴b2=4λ,∴b n+1b n+2=λ·4n+1,∴=4,∴b n+2=4b n,∴b3=4b1=4.若{b n}为等比数列,则=b3·b1,∴16λ2=4×1,∴λ=.故存在正实数λ=,使得{b n}为等比数列.。

高考文科数学数列专题复习数列常用公式数列的通项公式与前n 项的和的关系a n s , n 11s s ,n 2n n 1( 数列{a n} 的前n 项的和为s n a1 a2 a n ).等差数列的通项公式*a a1 (n 1)d dn a1 d(n N ) ；n等差数列其前n 项和公式为n(a a ) n(n 1)1 ns na1 d n2 2 d 12n (a d)n .12 2等比数列的通项公式an 1 1 n *a a1q q (n N )nq；等比数列前n 项的和公式为na (1 q )1s 1 qn , q 1或sna a q1 n1 q,q 1na ,q 1 1 na ,q 1 1一、选择题1.( 广东卷) 已知等比数列{a n} 的公比为正数，且a3 ·a9 =2 2a ，a2 =1，则a1 =5A. 12B.22C. 2D.22.（安徽卷）已知为等差数列，，则等于A. -1B. 1C. 3D.7 3（. 江西卷）公差不为零的等差数列{a n} 的前n项和为S n .若a4 是a3与a7 的等比中项, S8 32, 则S等于10A. 18B. 24C. 60D. 904（湖南卷）设S n 是等差数列a n 的前n 项和，已知a2 3，a6 11，则S7 等于【】第1页/ 共8页A ．13 B．35 C．49 D．633.（辽宁卷）已知a为等差数列，且a7 －2 a4 ＝－1, a3 ＝0, 则公差d＝n（A）－2 （B）－12 （C）12（D）24.（四川卷）等差数列｛a n ｝的公差不为零，首项a1 ＝1，a2 是a1 和a5 的等比中项，则数列的前10 项之和是A. 90B. 100C. 145D. 1905.（湖北卷）设x R, 记不超过x 的最大整数为[ x ], 令{x }= x -[ x ]，则{ 52 1} ，[ 521],521A.是等差数列但不是等比数列B.是等比数列但不是等差数列C.既是等差数列又是等比数列D.既不是等差数列也不是等比数列6.（湖北卷）古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种性状来研究数，例如：他们研究过图1 中的1，3，6，10，⋯，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数;类似地，称图2中的1，4，9，16⋯这样的数成为正方形数。

专题能力训练21不等式选讲(选修4—5)一、能力突破训练1.若a>0,b>0,且.(1)求a3+b3的最小值;(2)是否存在a,b,使得2a+3b=6?并说明理由.2.设函数f(x)=+|x-a|(a>0).(1)证明:f(x)≥2;(2)若f(3)<5,求a的取值范围.3.已知关于x的不等式m-|x-2|≥1,其解集为[0,4].(1)求m的值;(2)若a,b均为正实数,且满足a+b=m,求a2+b2的最小值.4.已知函数f(x)=,M为不等式f(x)<2的解集.(1)求M;(2)证明:当a,b∈M时,|a+b|<|1+ab|.5.(2018全国Ⅰ,文23)已知f(x)=|x+1|-|ax-1|.(1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;(2)若x∈(0,1)时不等式f(x)>x成立,求a的取值范围.二、思维提升训练6.已知函数f(x)=g(x)=af(x)-|x-2|,a∈R.(1)当a=0时,若g(x)≤|x-1|+b对任意x∈(0,+∞)恒成立,求实数b的取值范围;(2)当a=1时,求函数y=g(x)的最小值.7.已知函数f(x)=|x-3|-|x-a|.(1)当a=2时,解不等式f(x)≤-;(2)若存在实数a,使得不等式f(x)≥a成立,求实数a的取值范围.8.已知函数f(x)=-x2+ax+4,g(x) =|x+1|+|x-1|.(1)当a=1时,求不等式f(x)≥g(x)的解集;(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1],求a的取值范围.专题能力训练21不等式选讲(选修4—5)一、能力突破训练1.解(1)由,得ab≥2,且当a=b=时等号成立.故a3+b3≥2≥4,且当a=b=时等号成立.所以a3+b3的最小值为4.(2)由(1)知,2a+3b≥2≥4.由于4>6,从而不存在a,b,使得2a+3b=6.2.(1)证明由a>0,有f(x)=+|x-a|≥+a≥2.故f(x)≥2.(2)解f(3)=+|3-a|.当a>3时,f(3)=a+,由f(3)<5,得3<a<.当0<a≤3时,f(3)=6-a+,由f(3)<5,得<a≤3.综上,a的取值范围是.3.解(1)不等式m-|x-2|≥1可化为|x-2|≤m-1,∴1-m≤x-2≤m-1,即3-m≤x≤m+1.∵其解集为[0,4],∴m=3.(2)由(1)知a+b=3.(方法一:利用基本不等式)∵(a+b)2=a2+b2+2ab≤(a2+b2)+(a2+b2)=2(a2+b2),∴a2+b2≥,当且仅当a=b=时取等号,∴a2+b2的最小值为.(方法二:消元法求二次函数的最值)∵a+b=3,∴b=3-a,∴a2+b2=a2+(3-a)2=2a2-6a+9=2,∴a2+b2的最小值为.4.(1)解f(x)=当x≤-时,由f(x)<2得-2x<2,解得x>-1;当-<x<时,f(x)<2;当x≥时,由f(x)<2得2x<2,解得x<1.所以f(x)<2的解集M={x|-1<x<1}.(2)证明由(1)知,当a,b∈M时,-1<a<1,-1<b<1,从而(a+b)2-(1+ab)2=a2+b2-a2b2-1=(a2-1)(1-b2)<0.因此|a+b|<|1+ab|.5.解(1)当a=1时,f(x)=|x+1|-|x-1|,即f(x)=故不等式f(x)>1的解集为.(2)当x∈(0,1)时|x+1|-|ax-1|>x成立等价于当x∈(0,1)时|ax-1|<1成立.若a≤0,则当x∈(0,1)时|ax-1|≥1;若a>0,|ax-1|<1的解集为0<x<,所以≥1,故0<a≤2.综上,a的取值范围为(0,2].二、思维提升训练6.解(1)当a=0时,g(x)=-|x-2|(x>0),g(x)≤|x-1|+b⇔-b≤|x-1|+|x-2|.|x-1|+|x-2|≥|(x-1)-(x-2)|=1,当且仅当1≤x≤2时等号成立.故实数b的取值范围是[-1,+∞).(2)当a=1时,g(x)=当0<x<1时,g(x)=+x-2>2-2=0;当x≥1时,g(x)≥0,当且仅当x=1时等号成立;故当x=1时,函数y=g(x)取得最小值0.7.解(1)∵a=2,∴f(x)=|x-3|-|x-2|=∴f(x)≤-等价于解得≤x<3或x≥3,∴不等式的解集为.(2)由不等式性质可知f(x)=|x-3|-|x-a|≤|(x-3)-(x-a)|=|a-3|,∴若存在实数x,使得不等式f(x)≥a成立,则|a-3|≥a,解得a≤.∴实数a的取值范围是.8.解(1)当a=1时,不等式f(x)≥g(x)等价于x2-x+|x+1|+|x-1|-4≤0.①当x<-1时,①式化为x2-3x-4≤0,无解;当-1≤x≤1时,①式化为x2-x-2≤0,从而-1≤x≤1;当x>1时,①式化为x2+x-4≤0,从而1<x≤.所以f(x)≥g(x)的解集为.(2)当x∈[-1,1]时,g(x)=2.所以f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1],等价于当x∈[-1,1]时f(x)≥2.又f(x)在[-1,1]的最小值必为f(-1)与f(1)之一,所以f(-1)≥2且f(1)≥2,得-1≤a≤1.所以a的取值范围为[-1,1].。

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专题能力训练11 等差数列与等比数列 一、能力突破训练 1.已知等比数列{a n }满足a 1=,a 3a 5=4(a 4-1),则a 2= ( )A.2B.1C.D.2.在等差数列{a n }中,a 1+a 2+a 3=3,a 18+a 19+a 20=87,则此数列前20项的和等于( )A.290B.300C.580D.6003.设{a n }是等比数列,S n 是{a n }的前n 项和.对任意正整数n ,有a n +2a n+1+a n+2=0,又a 1=2,则S 101的值为( )A.2B.200C.-2D.04.已知{a n }是等差数列,公差d 不为零,前n 项和是S n ,若a 3,a 4,a 8成等比数列,则( )A .a 1d>0,dS 4>0B .a 1d<0,dS 4<0C .a 1d>0,dS 4<0D .a 1d<0,dS 4>0 5.在等比数列{a n }中,满足a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=3,a 12+a 22+a 32+a 42+a 52=15,则a 1-a 2+a 3-a 4+a 5的值是( )A.3B.√5C.-√5D.56.在数列{a n }中,a 1=2,a n+1=2a n ,S n 为{a n }的前n 项和.若S n =126,则n= .7.已知等比数列{a n }为递增数列,且a 52=a 10,2(a n +a n+2)=5a n+1,则数列的通项公式a n = .8.设x ,y ,z 是实数,若9x ,12y ,15z 成等比数列,且1x ,1y ,1z 成等差数列,则x z +z x = .9.(2018全国Ⅲ,文17)在等比数列{a n }中,a 1=1,a 5=4a 3.(1)求{a n }的通项公式;(2)记S n 为{a n }的前n 项和,若S m =63,求m.10.已知等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1=b 1=1,a 2+a 4=10,b 2b 4=a 5.(1)求{a n }的通项公式;(2)求和:b 1+b 3+b 5+…+b 2n-1.11.设数列{a n }满足a 1+3a 2+…+(2n-1)a n =2n.(1)求{a n }的通项公式;(2)求数列{a n 2n+1}的前n 项和.二、思维提升训练12.已知数列{a n },{b n }满足a 1=b 1=1,a n+1-a n =b n+1b n =2,n ∈N *,则数列{b a n }的前10项的和为( ) A. (49-1) B. (410-1)C. (49-1)D. (410-1) 13.若数列{a n }为等比数列,且a 1=1,q=2,则T n =1a 1a 2+1a 2a 3+…+1a n a n+1等于( )A.1-14nB.23(1-14n )C.1-12nD.23(1-12n ) 14.如图,点列{A n },{B n }分别在某锐角的两边上,且|A n A n+1|=|A n+1A n+2|,A n ≠A n+2,n ∈N *,|B n B n+1|=|B n+1B n+2|,B n ≠B n+2,n ∈N *.(P ≠Q 表示点P 与Q 不重合)若d n =|A n B n |,S n 为△A n B n B n+1的面积,则( )A .{S n }是等差数列B .{S n 2}是等差数列C .{d n }是等差数列D .{d n 2}是等差数列15.已知等比数列{a n }的首项为,公比为-,其前n 项和为S n ,若A ≤S n -1S n≤B 对n ∈N *恒成立,则B-A 的最小值为 .16.已知数列{a n }的首项为1,S n 为数列{a n }的前n 项和,S n+1=qS n +1,其中q>0,n ∈N *.(1)若a 2,a 3,a 2+a 3成等差数列,求数列{a n }的通项公式;(2)设双曲线x 2-y 2a n 2=1的离心率为e n ,且e 2=2,求e 12+e 22+…+e n 2. 17.若数列{a n }是公差为正数的等差数列,且对任意n ∈N *有a n ·S n =2n 3-n 2.(1)求数列{a n }的通项公式.(2)是否存在数列{b n },使得数列{a n b n }的前n 项和为A n =5+(2n-3)2n-1(n ∈N *)?若存在,求出数列{b n }的通项公式及其前n 项和T n ;若不存在,请说明理由.专题能力训练11 等差数列与等比数列一、能力突破训练1.C 解析 ∵a 3a 5=4(a 4-1),∴a 42=4(a 4-1),解得a 4=2.又a 4=a 1q 3,且a 1=14,∴q=2,∴a 2=a 1q=12.2.B 解析 由a 1+a 2+a 3=3,a 18+a 19+a 20=87,得a 1+a 20=30,故S 20=20×(a 1+a 20)2=300. 3.A 解析 设公比为q ,∵a n +2a n+1+a n+2=0,∴a 1+2a 2+a 3=0,∴a 1+2a 1q+a 1q 2=0,∴q 2+2q+1=0,∴q=-1.又a 1=2,∴S 101=a 1(1-q 101)1-q =2[1-(-1)101]1+1=2. 4.B 解析 设{a n }的首项为a 1,公差为d ,则a 3=a 1+2d ,a 4=a 1+3d ,a 8=a 1+7d.∵a 3,a 4,a 8成等比数列,∴(a 1+3d )2=(a 1+2d )(a 1+7d ),即3a 1d+5d 2=0.∵d ≠0,∴a 1d=-53d 2<0,且a 1=-53d.∵dS 4=4d (a 1+a 4)2=2d (2a 1+3d )=-23d 2<0,故选B . 5.D 解析 由条件知{a 1(1-q 5)1-q =3,a 12(1-q 10)1-q 2=15,则a 1(1+q 5)1+q =5, 故a 1-a 2+a 3-a 4+a 5=a 1[1-(-q )5]1-(-q )=a 1(1+q 5)1+q =5. 6.6 解析 ∵a n+1=2a n ,即a n+1a n =2, ∴{a n }是以2为公比的等比数列.又a 1=2,∴S n =2(1-2n )1-2=126.∴2n =64,∴n=6.7.2n 解析 ∵a 52=a 10,∴(a 1q 4)2=a 1q 9,∴a 1=q ,∴a n =q n .∵2(a n +a n+2)=5a n+1,∴2a n (1+q 2)=5a n q ,∴2(1+q 2)=5q ,解得q=2或q=12(舍去),∴a n =2n .8.3415 解析 由题意知{(12y )2=9x ×15z ,2y =1x +1z, 解得xz=1229×15y 2=1615y 2,x+z=3215y , 从而x z +z x =x 2+z 2xz =(x+z )2-2xzxz =(x+z )2xz -2=(3215)2y 21615y 2-2=3415. 9.解 (1)设{a n }的公比为q ,由题设得a n =q n-1.由已知得q 4=4q 2,解得q=0(舍去),q=-2或q=2.故a n =(-2)n-1或a n =2n-1.(2)若a n =(-2)n-1,则S n =1-(-2)n 3.由S m =63得(-2)m =-188,此方程没有正整数解.若a n =2n-1,则S n =2n -1.由S m =63得2m =64,解得m=6.综上,m=6.10.解 (1)设等差数列{a n }的公差为d.因为a 2+a 4=10,所以2a 1+4d=10.解得d=2.所以a n =2n-1.(2)设等比数列{b n }的公比为q.因为b 2b 4=a 5,所以b 1qb 1q 3=9.解得q 2=3.所以b 2n-1=b 1q 2n-2=3n-1.从而b 1+b 3+b 5+…+b 2n-1=1+3+32+…+3n-1=3n -12. 11.解 (1)因为a 1+3a 2+…+(2n-1)a n =2n ,故当n ≥2时,a 1+3a 2+…+(2n-3)a n-1=2(n-1).两式相减得(2n-1)a n =2.所以a n =22n -1(n ≥2). 又由题设可得a 1=2,从而{a n }的通项公式为a n =22n -1.(2)记{a n 2n+1}的前n 项和为S n .由(1)知a n 2n+1=2(2n+1)(2n -1)=12n -1−12n+1,则S n =11−13+13−15+…+12n -1−12n+1=2n2n+1. 二、思维提升训练12.D 解析 由a 1=1,a n+1-a n =2,得a n =2n-1.由bn+1b n =2,b 1=1得b n =2n-1. 则b a n =2a n -1=22(n-1)=4n-1, 故数列{b a n }前10项和为1-4101-4=13(410-1). 13.B 解析 因为a n=1×2n-1=2n-1,所以a n a n+1=2n-1·2n =22n-1=2×4n-1,所以1a n a n+1=12×(14)n -1. 所以{1a n a n+1}是等比数列. 故T n =1a 1a 2+1a 2a 3+…+1a n a n+1=12×1×(1-14n )1-14=23(1-14n ). 14.A 解析 如图,延长A n A 1,B n B 1交于P ,过A n 作对边B n B n+1的垂线,其长度记为h 1,过A n+1作对边B n+1B n+2的垂线,其长度记为h 2, 则S n =12|B n B n+1|×h 1,S n+1=12|B n+1B n+2|×h 2. ∴S n+1-S n =12|B n+1B n+2|h 2-12|B n B n+1|h 1. ∵|B n B n+1|=|B n+1B n+2|, ∴S n+1-S n =12|B n B n+1|(h 2-h 1).设此锐角为θ,则h 2=|PA n+1|sin θ,h 1=|PA n |sin θ,∴h 2-h 1=sin θ(|PA n+1|-|PA n |)=|A n A n+1|sin θ.∴S n+1-S n =12|B n B n+1||A n A n+1|sin θ.∵|B n B n+1|,|A n A n+1|,sin θ均为定值,∴S n+1-S n 为定值.∴{S n }是等差数列.故选A .15.5972 解析 易得S n =1-(-13)n ∈[89,1)∪(1,43],因为y=S n -1S n 在区间[89,43]上单调递增(y ≠0),所以y ∈[-1772,712]⊆[A ,B ],因此B-A 的最小值为712−(-1772)=5972. 16.解 (1)由已知,S n+1=qS n +1,S n+2=qS n+1+1,两式相减得到a n+2=qa n+1,n ≥1.又由S 2=qS 1+1得到a 2=qa 1,故a n+1=qa n 对所有n ≥1都成立.所以,数列{a n }是首项为1,公比为q 的等比数列.从而a n =q n-1.由a 2,a 3,a 2+a 3成等差数列,可得2a 3=a 2+a 2+a 3.所以a 3=2a 2,故q=2.所以a n =2n-1(n ∈N *).(2)由(1)可知,a n =q n-1.所以双曲线x 2-y 2a n2=1的离心率e n =√1+a n 2=√1+q 2(n -1). 由e 2=√1+q 2=2,解得q=√3.所以e 12+e 22+…+e n 2=(1+1)+(1+q 2)+…+[1+q 2(n-1)]=n+[1+q 2+…+q 2(n-1)]=n+q 2n -1q 2-1=n+12(3n -1).17.解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ,则d>0,a n =dn+(a 1-d ),S n =12dn 2+(a 1-12d)n.对任意n ∈N *,恒有 a n ·S n =2n 3-n 2,则[dn+(a 1-d )]·[12dn 2+(a 1-12d)n]=2n 3-n 2,即[dn+(a 1-d )]·[12dn +(a 1-12d)]=2n 2-n. ∴{ 12d 2=2,12d (a 1-d )+d (a 1-12d)=-1,(a 1-d )(a 1-12d)=0. ∵d>0,∴{a 1=1,d =2,∴a n =2n-1. (2)∵数列{a n b n }的前n 项和为A n =5+(2n-3)·2n-1(n ∈N *), ∴当n=1时,a 1b 1=A 1=4,∴b 1=4,当n ≥2时,a n b n =A n -A n-1=5+(2n-3)2n-1-[5+(2n-5)2n-2]=(2n-1)2n-2. ∴b n =2n-2.假设存在数列{b n }满足题设,且数列{b n }的通项公式b n ={4,n =1,2n -2,n ≥2, ∴T 1=4,当n ≥2时,T n =4+1-2n -11-2=2n-1+3,当n=1时也适合, ∴数列{b n }的前n 项和为T n =2n-1+3.。

专题能力训练等差数列与等比数列
一、能力突破训练
.在等差数列{}中,则的值为()
.在各项均为正数的等比数列{}中,若(····),则·()
.设{}是等比数列是{}的前项和.对任意正整数,有,又,则的值为()
.已知{}是等差数列,公差不为零,前项和是,若成等比数列,则()
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.已知数列{}满足,且,则等于()
.已知各项均为正数的等差数列{}的前项和为,则·的最大值为.
.设等比数列{}满足,则…的最大值为.
.设是实数,若成等比数列,且成等差数列,则.
.已知为数列{}的前项和,且(∈*).
()求证:{}为等比数列;
()求数列{}的前项和.
.(全国Ⅱ,理)记为等差数列{}的前项和,已知.
()求{}的通项公式;
()求,并求的最小值.
.已知数列{}是等比数列.设.
()若…(…)∈*,求实数的值;
()若在之间插入个数,…,使得,…,成等差数列,求的值.
二、思维提升训练
.几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案:已知数列,…,其中第一项是,接下来的两项是,再接下来的三项是,依此类推.求满足如下条件的最小整数>且该数列的前项和为的整数幂.那么该款软件的激活码是()
.若数列{}为等比数列,且,则…等于()。

1．在数列{a n }中，已知a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n －1，则a ＋a ＋…＋a 等于( )2122n A ．(2n －1)2 B. 2n －1 23C ．4n －1 D.4n －13【解析】设S n 为{a n }的前n 项和，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n －1，当n ≥2时，S n －1＝2n －1－1，a n ＝2n －1－(2n －1－1)＝2n －1，a ＝4n －1，当n ＝1时，a 1＝1也符合上式，所以2n a ＋a ＋…＋a ＝＝.2122n 1－4n1－44n －13【答案】D2．已知等比数列{a n }中，各项都是正数，且a 1，a 3,2a 2成等差数列，则＝( )12a 9＋a 10a 7＋a 8A ．1＋B ．1－22C ．3＋2D ．3－222【答案】C3．设等比数列{a n }的前6项和S 6＝6，且1－为a 1，a 3的等差中项，则a 7＋a 8＋a 9＝( )a 22A ．－2B ．8C ．10D ．14【解析】依题意得a 1＋a 3＝2－a 2，即S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝2，数列S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等比数列，即数列2,4，S 9－6成等比数列，于是有S 9－S 6＝8，即a 7＋a 8＋a 9＝8，选B.【答案】B4．已知数列{a n }的首项a 1＝2，数列{b n }为等比数列，且b n ＝，若b 10b 11＝2，则a 21＝( )an ＋1an A ．29B ．210C ．211D ．212【解析】由b n ＝，且a 1＝2，得an ＋1an b 1＝＝，a 2＝2b 1；b 2＝，a 3＝a 2b 2＝2b 1b 2；b 3＝，a 4＝a 3b 3＝2b 1b 2b 3；…；a n ＝2b 1b 2b 3…b n －1，∴a 21a 2a 1a 22a 3a 2a 4a 3＝2b 1b 2b 3…b 20，又{b n }为等比数列，∴a 21＝2(b 1b 20)(b 2b 19)…(b 10b 11)＝2(b 10b 11)10＝211.【答案】C5．已知S n 是公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和，且S 1，S 2，S 4成等比数列，则等于( )a 2＋a 3a 1A ．4 B ．6C ．8D ．10【解析】设数列{a n }的公差为d ，则S 1＝a 1，S 2＝2a 1＋d ，S 4＝4a 1＋6d ，故(2a 1＋d )2＝a 1(4a 1＋6d )，整理得d ＝2a 1，所以＝＝＝8，选C.a 2＋a 3a 12a 1＋3d a 18a 1a 1＝＝12 2n －1 a1＋a2n －112 2n －1 b1＋b2n －1 A2n －1B2n －1＝＝7 2n －1 ＋45 2n －1 ＋314n ＋382n ＋2＝＝7＋ (n ∈N *)，7n ＋19n ＋112n ＋1故n ＝1,2,3,5,11时，为整数.an bn 即正整数n 的个数是5.【答案】D12.已知S n 是各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和，a 7＝64，a 1a 5＋a 3＝20，则S 5等于( )A.31B.63C.16D.127【答案】A13.在数列{a n }中，若a 1＝2，且对任意正整数m ，k ，总有a m ＋k ＝a m ＋a k ，则{a n }的前n 项和S n 等于( )A.n (3n －1)B.n (n ＋3)2C.n (n ＋1)D.n (3n ＋1)2【答案】C【解析】依题意得a n ＋1＝a n ＋a 1，即有a n ＋1－a n ＝a 1＝2，所以数列{a n }是以2为首项、2为公差的等差数列，a n ＝2＋2(n －1)＝2n ，S n ＝＝n (n ＋1).n (2＋2n )214.数列{a n }满足a 1＝0，－＝1(n ≥2，n ∈N *)，则a 2 019等于( )11－an 11－an －1A. B. C. D.12 01912 018 2 0182 019 2 0172 018【答案】C【解析】∵数列{a n }满足a 1＝0，－＝1(n ≥2，n ∈N *)，11－an 11－an －1∴＝1，11－a 1∴数列是首项为1，公差为1的等差数列，{11－an }∴＝1＋(n －1)＝n ，11－an ∴＝2 019，解得a 2 019＝.11－a 2 019 2 0182 01915.已知数列{a n }满足a 1a 2a 3…a n ＝2n 2(n ∈N *)，且对任意n ∈N *都有＋＋…＋<t ，则t 的取值范围1a 11a 21an 为( )A. B.(13，＋∞)[13，＋∞)C. D.(23，＋∞)[23，＋∞)【答案】D16.在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，当整数n ＞1时，S n ＋1＋S n －1＝2(S n ＋S 1)都成立，则S 15等于( )A.210B.211C.224D.225【答案】B【解析】当n ＞1时，S n ＋1－S n ＝S n －S n －1＋2，∴a n ＋1＝a n ＋2，n ≥2，∴a n ＋1－a n ＝2，n ≥2.∴数列{a n }从第二项开始组成公差为2的等差数列，∴S 15＝a 1＋(a 2＋…＋a 15)＝1＋×14＝211.2＋28217.设{a n }是任意等差数列，它的前n 项和、前2n 项和与前4n 项和分别为X ，Y ，Z ，则下列等式中恒成立的是( )A.2X ＋Z ＝3YB.4X ＋Z ＝4YC.2X ＋3Z ＝7YD.8X ＋Z ＝6Y【答案】D【解析】根据等差数列的性质X ，Y －X ，S 3n －Y ，Z －S 3n 成等差数列，∴S 3n ＝3Y －3X ，又2(S 3n －Y )＝(Y －X )＋(Z －S 3n )，∴4Y －6X ＝Y －X ＋Z －3Y ＋3X ，∴8X ＋Z ＝6Y .【答案】324.设{a n }是公比为q 的等比数列，|q|>1，令b n ＝a n ＋1(n ＝1,2，…)，若数列{b n }有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则6q ＝________.【答案】.－925.公差不为0的等差数列{a n }的部分项ak 1，ak 2，ak 3，…构成等比数列，且k 1＝1，k 2＝2，k 3＝6，则k 4＝________.答案 22【解析】根据题意可知等差数列的a 1，a 2，a 6项成等比数列，设等差数列的公差为d ，则有(a 1＋d)2＝a 1(a 1＋5d)，解得d ＝3a 1，故a 2＝4a 1，a 6＝16a 1⇒ak 4＝a 1＋(n －1)·(3a 1)＝64a 1，解得n ＝22，即k 4＝22.26.设函数f(x)＝a 1＋a 2x ＋a 3x 2＋…＋a n x n －1，f(0)＝，数列{a n }满足f(1)＝n 2a n (n ∈N *)，则数列{a n }的通12项公式为________.答案 a n ＝1n n ＋1【解析】由f(0)＝，得a 1＝，1212由f(1)＝n 2a n (n ∈N *)，得S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝n 2a n .当n≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2a n －(n －1)2a n －1，整理得＝，an an －1n －1n ＋1所以a n ＝a 1×××…×a2a1a3a2an an －1＝××××…×＝，12132435n －1n ＋11n n ＋1 显然a 1＝也符合.12即{a n }的通项公式为a n ＝.1n n ＋1 27.若f(n)为n 2＋1(n ∈N *)的各位数字之和，如62＋1＝37，f(6)＝3＋7＝10，f 1(n)＝f(n)，f 2(n)＝f(f 1(n))，…，f k ＋1(n)＝f(f k (n))，k ∈N *，则f 2016(4)＝________.【答案】528.数列{a n }满足a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝2n ＋5，则a n ＝__________.1212212312n 【答案】a n ＝Error!【解析】∵a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n ＋5.①1212212n ∴a 1＋a 2＋…＋a n －1＝2(n －1)＋5.②1212212n －1由①－②得a n ＝2，∴a n ＝2n ＋1 (n≥2).12n 又∵a 1＝2＋5，∴a 1＝14.12解得a ＝5.所以{b n }中的b 3，b 4，b 5依次为7－d ，10，18＋d.依题意，有(7－d)(18＋d)＝100，解得d ＝2或d ＝－13(舍去).故{b n }的第3项为5，公比为2.由b 3＝b 1·22，即5＝b 1·22，解得b 1＝.54所以b n ＝b 1·q n －1＝·2n －1＝5·2n －3，54即数列{b n }的通项公式b n ＝5·2n －3.33．在公差不为零的等差数列{a n }中，已知a 1＝1，且a 1，a 2，a 5依次成等比数列．数列{b n }满足b n ＋1＝2b n －1，且b 1＝3.(1)求{a n }，{b n }的通项公式；(2)设数列的前n 项和为S n ，试比较S n 与1－的大小．{2an ·an ＋1}1bn 【解析】(1)设数列{a n }的公差为d .因为a 1＝1，且a 1，a 2，a 5依次成等比数列，所以a ＝a 1·a 5，即(1＋d )2＝1·(1＋4d )，2所以d 2－2d ＝0，解得d ＝2(d ＝0不合要求，舍去)．所以a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1.因为b n ＋1＝2b n －1，所以b n ＋1－1＝2(b n －1)．所以{b n －1}是首项为b 1－1＝2，公比为2的等比数列．所以b n －1＝2×2n －1＝2n .所以b n ＝2n ＋1.(2)因为＝＝－，2an ·an ＋12 2n －1 2n ＋1 12n －112n ＋1所以S n ＝＋＋…＋＝1－，(11－13)(13－15)(12n －1－12n ＋1)12n ＋1于是S n －＝1－－1＋＝－＝.(1－1bn )12n ＋112n ＋112n ＋112n ＋12n －2n 2n ＋1 2n ＋1 所以当n ＝1,2时，2n ＝2n ，S n ＝1－；1bn 当n ≥3时，2n <2n ，S n <1－.1bn 34．已知函数f(x)＝(a ＋2cos2x)cos(2x ＋θ)为奇函数，且f π4＝0，其中a ∈R ，θ∈(0，π)．(1)求a ，θ的值；(2)若fα4＝－25，α∈π2，π，求sinα＋π3的值．35．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a－c＝66b，sin B＝6sin C.(1)求cos A的值；(2)求cos2A－π6的值．解：(1)在△ABC中，由bsin B＝csin C，及sin B＝6sin C，可得b＝6c.由a－c＝66b，得a＝2c.所以cos A＝b2＋c2－a22bc＝6c2＋c2－4c226c2＝64.(2)在△ABC中，由cos A＝64，可得sin A＝104.于是cos 2A＝2cos2A－1＝－14，sin 2A＝2sin A•cos A＝154.所以cos2A－π6＝cos 2A•cosπ6＋sin 2A•sinπ6＝15－38.36．如图所示，在四边形ABCD中，∠D＝2∠B，且AD＝1, CD＝3，cos B＝33.(1)求△ACD的面积；(2)若BC＝23，求AB的长．解：(1)因为∠D＝2∠B，cos B＝33，所以cos D＝cos 2B＝2cos2B－1＝－13.因为D∈(0，π)，所以sin D＝1－cos2D＝223.因为AD＝1，CD＝3，所以△ACD的面积S＝12AD•CD•sin D＝12×1×3×223＝2.(2)在△ACD中，AC2＝AD2＋DC2－2AD•DC•cos D＝12，所以AC＝23.因为BC＝23，ACsin B＝ABsin∠ACB，所以23sin B ＝ABsin π－2B ＝ABsin 2B ＝AB2sin Bcos B ＝AB233sin B ，所以AB ＝4.37.对于正项数列{a n }，定义H n ＝为{a n }的“光阴”值，现知某数列的“光阴”值为na 1＋2a 2＋3a 3＋…＋nan H n ＝，则数列{a n }的通项公式为________.2n ＋2【答案】a n ＝(n ∈N *)2n ＋12n。

数列专题达标检测一、选择题1．在等差数列{a n }中，若a 2＋2a 6＋a 10＝120，则a 3＋a 9等于 ( )A ．30B ．40C ．60D ．802．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且4a 1,2a 2，a 3成等差数列，若a 1＝1，则S 4等于 ( )A ．7B ．8C ．15D ．163．等比数列{a n }中，a 1＝512，公比q ＝－12，用Πn 表示它的前n 项之积：Πn ＝a 1·a 2·…·a n ，则Πn 中最大的是( )A ．Π11B ．Π10C ．Π9D ．Π84．设函数f (x )＝x m ＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋1，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1f (n )(n ∈N *)的前n 项和是( ) A.n n ＋1 B.n ＋2n ＋1 C.n n －1D.n ＋1n5．如果数列{a n }满足a 1＝2，a 2＝1，且a n －1－a n a n －1＝a n －a n ＋1a n ＋1(n ≥2，n ∈N *)，则这个数列的第10项等于( ) A.1210 B.129 C.110 D.156．数列{a n }中，a 1＝1，a n 、a n ＋1是方程x 2－(2n ＋1)x ＋1b n＝0的两个根，则数列{b n }的前n 项和S n ＝( ) A.12n ＋1 B.1n ＋1 C.n 2n ＋1 D.n n ＋1二、填空题7．数列{a n }的构成法则如下：a 1＝1，如果a n －2为自然数且该自然数之前未出现过，则用递推公式a n ＋1＝a n －2，否则用递推公式a n ＋1＝3a n ，则a 6＝________.8．已知数列{a n }满足a n ＋1a n ＝n ＋2n(n ∈N *)，且a 1＝1，则a n ＝________.9．如图，它满足：(1)第n 行首尾两数均为n ；(2)图中的递推关系类似杨辉三角，则第n (n ≥2)行的第2 个数是________．10．对正整数n ，设曲线y ＝x n (1－x )在x ＝2处的切线与y 轴交点的纵坐标为a n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n ＋1的前n 项和的公式是________．三、解答题11．等差数列{a n }的各项均为正数，a 1＝3，前n 项和为S n ，{b n }为等比数列， b 1＝1，且b 2S 2＝64，b 3S 3＝960.(1)求a n 与b n ；(2)求1S 1＋1S 2＋…＋1S n的值．12．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝2⎝⎛⎭⎫1＋1n 2a n . (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝(An 2＋Bn ＋C )·2n ，试推断是否存在常数A 、B 、C ，使得对一切n ∈N *，a n ＝b n ＋1－b n 恒成 立？若存在，求出A 、B 、C 的值；若不存在，说明理由；(3)求证： i ＝1n a i <(n 2－2n ＋2)·2n ＋2.13．已知数列{a n }满足a 1＝0，a 2＝2，且对任意m ，n ∈N *都有a 2m －1＋a 2n －1＝2a m ＋n －1＋2(m －n )2.(1)求a 3，a 5；(2)设b n ＝a 2n ＋1－a 2n －1(n ∈N *)，证明：{b n }是等差数列；(3)设c n ＝(a n ＋1－a n )q n －1(q ≠0，n ∈N *)，求数列{c n }的前n 项和S n .数列专题达标检测一、选择题1．在等差数列{a n }中，若a 2＋2a 6＋a 10＝120，则a 3＋a 9等于( )A ．30B ．40C ．60D ．80解析：由等差数列性质：若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ，故a 2＋2a 6＋a 10＝4a 6＝120，故a 6＝30，a 3＋a 9＝2a 6＝2×30＝60.答案：C2．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且4a 1,2a 2，a 3成等差数列，若a 1＝1，则S 4等于( )A ．7B ．8C ．15D ．16解析：设等比数列的公比为q ，则由4a 1,2a 2，a 3成等差数列．得4a 2＝4a 1＋a 3.∴4a 1q ＝4a 1＋a 1q 2.∴q 2－4q ＋4＝0∴q ＝2，∴S 4＝a 1(1－q 4)1－q＝15. 答案：C3．等比数列{a n }中，a 1＝512，公比q ＝－12，用Πn 表示它的前n 项之积：Πn ＝a 1·a 2·…·a n ，则Πn 中最大 的是 ( )A ．Π11B ．Π10C ．Π9D ．Π8解析：Πn ＝a 1a 2…a n ＝a n 1·q 1＋2＋…＋n －1＝29n ⎝⎛⎭⎫－12(n －1)n 2＝(－1)n (n －1)22－n 2＋19n 2，∴当 n ＝9时，Πn 最大．故选C答案：C4．设函数f (x )＝x m ＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋1，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1f (n )(n ∈N *)的前n 项和是( ) A.n n ＋1 B.n ＋2n ＋1 C.n n －1D.n ＋1n 解析：∵f ′(x )＝mx m －1＋a ＝2x ＋1， ∴m ＝2，a ＝1，∴f (x )＝x 2＋x ＝x (x ＋1)，∴1f (x )＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1， ∴S n ＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1. 答案：A5．如果数列{a n }满足a 1＝2，a 2＝1，且a n －1－a n a n －1＝a n －a n ＋1a n ＋1(n ≥2，n ∈N *)，则这个数列的第10项等于( ) A.1210 B.129 C.110 D.15解析：∵1－a n a n －1＝a n a n ＋1－1，∴a n a n －1＋a n a n ＋1＝2，2a n ＝1a n －1＋1a n ＋1，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为12，公 差为12的等差数列， ∴1a n ＝12n ，∴a 10＝15，故选D. 答案：D6．数列{a n }中，a 1＝1，a n 、a n ＋1是方程x 2－(2n ＋1)x ＋1b n＝0的两个根，则数列{b n }的前n 项和S n ＝( ) A.12n ＋1 B.1n ＋1 C.n 2n ＋1 D.n n ＋1解析：由题意得a n ＋a n ＋1＝2n ＋1，又∵a n －n ＝－[a n ＋1－(n ＋1)]，a 1＝1∴a n ＝n ，又a n ·a n ＋1＝1b n ，∴b n ＝1n (n ＋1). ∴S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝1－1n ＋1＝n n ＋1. 答案：D二、填空题7．数列{a n }的构成法则如下：a 1＝1，如果a n －2为自然数且该自然数之前未出现过，则用递推公式a n ＋1＝a n －2，否则用递推公式a n ＋1＝3a n ，则a 6＝________.解析：∵a 1－2＝－1∉N ，∴a 2＝3a 1＝3.∵a 2－2＝1＝a 1，∴a 3＝3a 2＝9，∵a 3－2＝7，∴a 4＝7，∵a 4－2＝5，∴a 5＝5，∵a 5－2＝3＝a 2，∴a 6＝3a 5＝15. 答案：158．已知数列{a n }满足a n ＋1a n ＝n ＋2n(n ∈N *)，且a 1＝1，则a n ＝________. 解析：由已知得a n a n －1＝n ＋1n －1， a n －1a n －2＝n n －2， …a 2a 1＝31，a 1＝1，左右两边分别相乘得a n ＝1·31·42·53·64·…·n －1n －3·n n －2·n ＋1n －1＝n (n ＋1)2. 答案：n (n ＋1)29．如图，它满足：(1)第n 行首尾两数均为n ；(2)图中的递推关系类似杨辉三角，则第n (n ≥2)行的第2个数是________．解析：设第n (n ≥2)行的第2个数构成数列{a n }，则有a 3－a 2＝2，a 4－a 3＝3，a 5－a 4＝4，…，a n －a n －1＝n －1，相加得a n －a 2＝2＋3＋…＋(n －1)＝2＋n －12×(n －2)＝(n ＋1)(n －2)2， a n ＝2＋(n ＋1)(n －2)2＝n 2－n ＋22. 答案：n 2－n ＋2210．对正整数n ，设曲线y ＝x n (1－x )在x ＝2处的切线与y 轴交点的纵坐标为a n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n ＋1的前n 项和的公式是________．解析：∵y ＝x n (1－x )，∴y ′＝(x n )′(1－x )＋(1－x )′·x n＝n ·x n －1(1－x )＋(－x n )． f ′(2)＝－n ·2n －1－2n ＝(－n －2)·2n －1. ∵函数在点x ＝2处点的纵坐标为y ＝－2n .∴切线方程为y ＋2n ＝(－n －2)·2n －1(x －2)，与y 轴交点纵坐标为y ＝(n ＋1)·2n ＝a n ∴a n n ＋1＝2n ，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n ＋1成等比数列，首项为2，公比为2， ∴前n 项和为2(1－2n )1－2＝2(2n －1)＝2n ＋1－2. 答案：2n ＋1－2 三、解答题11．等差数列{a n }的各项均为正数，a 1＝3，前n 项和为S n ，{b n }为等比数列， b 1＝1，且b 2S 2＝64，b 3S 3＝960. (1)求a n 与b n ；(2)求1S 1＋1S 2＋…＋1S n的值． 解：(1)设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，则d 为正数，a n ＝3＋(n －1)d ，b n ＝q n －1， 依题意有⎩⎪⎨⎪⎧S 2b 2＝(6＋d )q ＝64S 3b 3＝(9＋3d )q 2＝960， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ d ＝2q ＝8 或⎩⎨⎧ d ＝－65q ＝403(舍去)，故a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1，b n ＝8n －1. (2)由(1)知S n ＝3＋5＋…＋(2n ＋1)＝n (n ＋2)，所以1S 1＋1S 2＋…＋1S n ＝11×3＋12×4＋13×5＋…＋1n (n ＋2)＝12⎝⎛⎭⎫1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1n ＋2 ＝12⎝⎛⎭⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2＝34－2n ＋32(n ＋1)(n ＋2).12．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝2⎝⎛⎭⎫1＋1n 2a n . (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝(An 2＋Bn ＋C )·2n ，试推断是否存在常数A 、B 、C ，使得对一切n ∈N *，a n ＝b n ＋1－b n 恒成 立？若存在，求出A 、B 、C 的值；若不存在，说明理由；(3)求证：∑i ＝1n a i <(n 2－2n ＋2)·2n ＋2.(1)解：由已知得a n ＋1(n ＋1)2＝2·ann 2，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 2是公比为2的等比数列，且首项为2，∴a nn 2＝2·2n －1，a n ＝2n ·n 2(2)解：∵b n ＝(An 2＋Bn ＋C)·2n ，∴b n ＋1－b n ＝[A(n ＋1)2＋B(n ＋1)＋C]·2n ＋1－(An 2＋Bn ＋C)·2n＝[An 2＋(4A ＋B)n ＋2A ＋2B ＋C]·2n .若a n ＝b n ＋1－b n 恒成立，则An 2＋(4A ＋B)n ＋2A ＋2B ＋C ＝n 2恒成立， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ A ＝14A ＋B ＝02A ＋2B ＋C ＝0，解得A ＝1，B ＝－4，C ＝6，故存在常数A ＝1，B ＝－4，C ＝6满足条件．(3)证明：由(2)得，b n ＝(n 2－4n ＋6)·2n ，∴∑i ＝1n a i ＝(b 2－b 1)＋(b 3－b 2)＋(b 4－b 3)＋…＋(b n ＋1－b n )＝b n ＋1－b 1＝[(n ＋1)2－4(n ＋1)＋6]·2n ＋1－6＝(n 2－2n ＋3)·2n ＋1－6<(n 2－2n ＋3)·2n ＋1＝⎝⎛⎭⎫n 22－n ＋32· 2n ＋2＝⎣⎡⎦⎤(n 2－2n ＋2)－⎝⎛⎭⎫n 22－n ＋12·2n ＋2＝⎣⎡⎦⎤(n 2－2n ＋2)－(n －1)22·2n ＋2≤(n 2－2n ＋2)·2n ＋2，∴原不等式成立．13．已知数列{a n }满足a 1＝0，a 2＝2，且对任意m ，n ∈N *都有a 2m －1＋a 2n －1＝2a m ＋n －1＋2(m －n )2.(1)求a 3，a 5；(2)设b n ＝a 2n ＋1－a 2n －1(n ∈N *)，证明：{b n }是等差数列；(3)设c n ＝(a n ＋1－a n )q n －1(q ≠0，n ∈N *)，求数列{c n }的前n 项和S n .(1)解：由题意，令m ＝2，n ＝1可得a 3＝2a 2－a 1＋2＝6. 再令m ＝3，n ＝1可得a 5＝2a 3－a 1＋8＝20.(2)证明：当n ∈N *时，由已知(以n ＋2代替m )可得a 2n ＋3＋a 2n －1＝2a 2n ＋1＋8.于是[a 2(n ＋1)＋1－a 2(n ＋1)－1]－(a 2n ＋1－a 2n －1)＝8，即b n ＋1－b n ＝8.所以，数列{b n }是公差为8的等差数列．(3)由(1)、(2)的解答可知{b n }是首项b 1＝a 3－a 1＝6，公差为8的等差数列． 则b n ＝8n －2，即a 2n ＋1－a 2n －1＝8n －2.另由已知(令m ＝1)可得，a n ＝a 2n －1＋a 12－(n －1)2.那么，a n ＋1－a n ＝a 2n ＋1－a 2n －12－2n ＋1＝8n －22－2n ＋1＝2n . 于是，c n ＝2nq n －1.当q ＝1时，S n ＝2＋4＋6＋…＋2n ＝n (n ＋1)． 当q ≠1时，S n ＝2·q 0＋4·q 1＋6·q 2＋…＋2n ·q n －1. 两边同乘q 可得qS n ＝2·q 1＋4·q 2＋6·q 3＋…＋2(n －1)·q n －1＋2n ·q n . 上述两式相减即得(1－q )S n ＝2(1＋q 1＋q 2＋…＋q n －1)－2nq n ＝2·1－q n1－q －2nq n＝2·1－(n ＋1)q n ＋nq n ＋11－q ，所以S n ＝2·nq n ＋1－(n ＋1)q n ＋1(q －1)2.综上所述，S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ n (n ＋1) (q ＝1)，2·nq n ＋1－(n ＋1)q n＋1(q －1)2 (q ≠1).。

专题能力训练11等差数列与等比数列一、能力突破训练1.已知等比数列{a n}满足a1=,a3a5=4(a4-1),则a2=()A.2B.1C.D.2.在等差数列{a n}中,a1+a2+a3=3,a18+a19+a20=87,则此数列前20项的和等于()A.290B.300C.580D.6003.设{a n}是等比数列,S n是{a n}的前n项和.对任意正整数n,有a n+2a n+1+a n+2=0,又a1=2,则S101的值为()A.2B.200C.-2D.04.已知{a n}是等差数列,公差d不为零,前n项和是S n,若a3,a4,a8成等比数列,则()A.a1d>0,dS4>0B.a1d<0,dS4<0C.a1d>0,dS4<0D.a1d<0,dS4>05.在等比数列{a n}中,满足a1+a2+a3+a4+a5=3,=15,则a1-a2+a3-a4+a5的值是()A.3B.C.-D.56.在数列{a n}中,a1=2,a n+1=2a n,S n为{a n}的前n项和.若S n=126,则n=.7.已知等比数列{a n}为递增数列,且=a10,2(a n+a n+2)=5a n+1,则数列的通项公式a n=.8.设x,y,z是实数,若9x,12y,15z成等比数列,且成等差数列,则=.9.(2018全国Ⅲ,文17)在等比数列{a n}中,a1=1,a5=4a3.(1)求{a n}的通项公式;(2)记S n为{a n}的前n项和,若S m=63,求m.10.已知等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5.(1)求{a n}的通项公式;(2)求和:b1+b3+b5+…+b2n-1.11.设数列{a n}满足a1+3a2+…+(2n-1)a n=2n.(1)求{a n}的通项公式;(2)求数列的前n项和.二、思维提升训练12.已知数列{a n},{b n}满足a1=b1=1,a n+1-a n==2,n∈N*,则数列{}的前10项的和为()A. (49-1)B. (410-1)C. (49-1)D. (410-1)13.若数列{a n}为等比数列,且a1=1,q=2,则T n=+…+等于()A.1-B.C.1-D.14.如图,点列{A n},{B n}分别在某锐角的两边上,且|A n A n+1|=|A n+1A n+2|,A n≠A n+2,n∈N*,|B n B n+1|=|B n+1B n+2|,B n≠B n+2,n∈N*.(P≠Q表示点P与Q不重合)若d n=|A n B n|,S n为△A n B n B n+1的面积,则()A.{S n}是等差数列B.{}是等差数列C.{d n}是等差数列D.{}是等差数列15.已知等比数列{a n}的首项为,公比为-,其前n项和为S n,若A≤S n-≤B对n∈N*恒成立,则B-A的最小值为.16.已知数列{a n}的首项为1,S n为数列{a n}的前n项和,S n+1=qS n+1,其中q>0,n∈N*.(1)若a2,a3,a2+a3成等差数列,求数列{a n}的通项公式;(2)设双曲线x2-=1的离心率为e n,且e2=2,求+…+.17.若数列{a n}是公差为正数的等差数列,且对任意n∈N*有a n·S n=2n3-n2.(1)求数列{a n}的通项公式.(2)是否存在数列{b n},使得数列{a n b n}的前n项和为A n=5+(2n-3)2n-1(n∈N*)?若存在,求出数列{b n}的通项公式及其前n项和T n;若不存在,请说明理由.专题能力训练11等差数列与等比数列一、能力突破训练1.C解析∵a3a5=4(a4-1),∴=4(a4-1),解得a4=2.又a4=a1q3,且a1=,∴q=2,∴a2=a1q=.2.B解析由a1+a2+a3=3,a18+a19+a20=87,得a1+a20=30,故S20==300.3.A解析设公比为q,∵a n+2a n+1+a n+2=0,∴a1+2a2+a3=0,∴a1+2a1q+a1q2=0,∴q2+2q+1=0,∴q=-1.又a1=2,∴S101==2.4.B解析设{a n}的首项为a1,公差为d,则a3=a1+2d,a4=a1+3d,a8=a1+7d.∵a3,a4,a8成等比数列,∴(a1+3d)2=(a1+2d)(a1+7d),即3a1d+5d2=0.∵d≠0,∴a1d=-d2<0,且a1=- d.∵dS4==2d(2a1+3d)=-d2<0,故选B.5.D解析由条件知=5,故a1-a2+a3-a4+a5==5.6.6解析∵a n+1=2a n,即=2,∴{a n}是以2为公比的等比数列.又a1=2,∴S n==126.∴2n=64,∴n=6.7.2n解析∵=a10,∴(a1q4)2=a1q9,∴a1=q,∴a n=q n.∵2(a n+a n+2)=5a n+1,∴2a n(1+q2)=5a n q,∴2(1+q2)=5q,解得q=2或q=(舍去),∴a n=2n.8.解析由题意知解得xz=y2=y2,x+z=y,从而-2=-2=.9.解(1)设{a n}的公比为q,由题设得a n=q n-1.由已知得q4=4q2,解得q=0(舍去),q=-2或q=2.故a n=(-2)n-1或a n=2n-1.(2)若a n=(-2)n-1,则S n=.由S m=63得(-2)m=-188,此方程没有正整数解.若a n=2n-1,则S n=2n-1.由S m=63得2m=64,解得m=6.综上,m=6.10.解(1)设等差数列{a n}的公差为d.因为a2+a4=10,所以2a1+4d=10.解得d=2.所以a n=2n-1.(2)设等比数列{b n}的公比为q.因为b2b4=a5,所以b1qb1q3=9.解得q2=3.所以b2n-1=b1q2n-2=3n-1.从而b1+b3+b5+…+b2n-1=1+3+32+…+3n-1=.11.解(1)因为a1+3a2+…+(2n-1)a n=2n,故当n≥2时,a1+3a2+…+(2n-3)a n-1=2(n-1).两式相减得(2n-1)a n=2.所以a n=(n≥2).又由题设可得a1=2,从而{a n}的通项公式为a n=.(2)记的前n项和为S n.由(1)知,则S n=+…+.二、思维提升训练12.D解析由a1=1,a n+1-a n=2,得a n=2n-1.由=2,b1=1得b n=2n-1.则=22(n-1)=4n-1,故数列{}前10项和为(410-1).13.B解析因为a n=1×2n-1=2n-1,所以a n a n+1=2n-1·2n=22n-1=2×4n-1,所以.所以是等比数列.故T n=+…+.14.A解析如图,延长A n A1,B n B1交于P,过A n作对边B n B n+1的垂线,其长度记为h1,过A n+1作对边B n+1B n+2的垂线,其长度记为h2,则S n=|B n B n+1|×h1,S n+1=|B n+1B n+2|×h2.∴S n+1-S n=|B n+1B n+2|h2-|B n B n+1|h1.∵|B n B n+1|=|B n+1B n+2|,∴S n+1-S n=|B n B n+1|(h2-h1).设此锐角为θ,则h2=|PA n+1|sin θ,h1=|PA n|sin θ,∴h2-h1=sin θ(|PA n+1|-|PA n|)=|A n A n+1|sin θ.∴S n+1-S n=|B n B n+1||A n A n+1|sin θ.∵|B n B n+1|,|A n A n+1|,sin θ均为定值,∴S n+1-S n为定值.∴{S n}是等差数列.故选A.15.解析易得S n=1-,因为y=S n-在区间上单调递增(y≠0),所以y∈⊆[A,B],因此B-A的最小值为.16.解(1)由已知,S n+1=qS n+1,S n+2=qS n+1+1,两式相减得到a n+2=qa n+1,n≥1.又由S2=qS1+1得到a2=qa1,故a n+1=qa n对所有n≥1都成立.所以,数列{a n}是首项为1,公比为q的等比数列.从而a n=q n-1.由a2,a3,a2+a3成等差数列,可得2a3=a2+a2+a3.所以a3=2a2,故q=2.所以a n=2n-1(n∈N*).(2)由(1)可知,a n=q n-1.所以双曲线x2-=1的离心率e n=.由e2==2,解得q=.所以+…+=(1+1)+(1+q2)+…+[1+q2(n-1)]=n+[1+q2+…+q2(n-1)]=n+=n+(3n-1).17.解(1)设等差数列{a n}的公差为d,则d>0,a n=dn+(a1-d),S n=dn2+n.对任意n∈N*,恒有a n·S n=2n3-n2,则[dn+(a1-d)]·=2n3-n2,即[dn+(a1-d)]·=2n2-n.∴∵d>0,∴∴a n=2n-1.(2)∵数列{a n b n}的前n项和为A n=5+(2n-3)·2n-1(n∈N*),∴当n=1时,a1b1=A1=4,∴b1=4,当n≥2时,a n b n=A n-A n-1=5+(2n-3)2n-1-[5+(2n-5)2n-2]=(2n-1)2n-2.∴b n=2n-2.假设存在数列{b n}满足题设,且数列{b n}的通项公式b n=∴T1=4,当n≥2时,T n=4+=2n-1+3,当n=1时也适合,∴数列{b n}的前n项和为T n=2n-1+3.。

第一部分 专题四 第二讲A 组1．设{a n }的首项为a 1，公差为－1的等差数列，S n 为其前n 项和．若S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 1＝(D )A ．2B ．－2C ．12D ．－12[解析]由题意知S 1＝a 1，S 2＝2a 1－1，S 4＝4a 1－6，因为S 1，S 2，S 4成等比数列，所以S 2＝S 1·S 4，即(2a 1－1)2＝a 1(4a 1－6)，解得a 1＝－12.故选D ．2．若数列{a n }为等比数列，且a 1＝1，q ＝2，则T n ＝1a1a2＋1a2a3＋…＋1anan ＋1等于( B )A ．1－14nB ．23(1－14n )C ．1－12nD ．23(1－12n)[解析]因为a n ＝1×2n －1＝2n －1，所以a n ·a n ＋1＝2n －1·2n ＝2×4n －1，所以1anan ＋1＝12×(14)n －1，所以{1anan ＋1}也是等比数列，所以T n ＝1a1a2＋1a2a3＋…＋1anan ＋1＝12×错误!＝错误!(1－错误!)，故选B ．3．(2018·烟台模拟)已知等差数列{a n }中，a 2＝6，a 5＝15，若b n ＝a 2n ，则数列{b n }的前5项和等于( C)A ．30B ．45C ．90D ．186[解析]设{a n }的公差为d ，首项为a 1，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a1＋d ＝6，a1＋4d ＝15，解得⎩⎪⎨⎪⎧a1＝3，d ＝3，所以a n ＝3n ，所以b n ＝a 2n ＝6n ，且b 1＝6，公差为6，所以S 5＝5×6＋5×42×6＝90.4．等差数列{a n }中，a 1>0，公差d <0，S n 为其前n 项和，对任意自然数n ，若点(n ，S n )在以下4条曲线中的某一条上，则这条曲线应是( C )[解析]∵S n ＝na 1＋错误!d ，∴S n ＝错误!n 2＋(a 1－错误!)n ，又a 1>0，公差d <0，所以点(n ，S n )所在抛物线开口向下，对称轴在y 轴右侧．[点评] 可取特殊数列验证排除，如a n ＝3－n .5．定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数f (x )，如果对于任意给定的等比数列{a n }，{f (a n )}仍是等比数列，则称f (x )为“保等比数列函数”．现有定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的如下函数：①f (x )＝x 2; ②f (x )＝2x ；③f (x )＝|x|； ④f (x )＝ln|x |.则其中是“保等比数列函数”的f (x )的序号为( C )A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④ [分析]保等比数列函数指：①定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数；②若{a n }是等比数列，则{f (a n )}仍是等比数列．[解析]解法一：设{a n }的公比为q .①f (a n )＝a 2n ，∵a2n ＋1a2n ＝(an ＋1an )2＝q 2，∴{f (a n )}是等比数列，排除B 、D ．③f (a n )＝|an|，∵|an ＋1||an|＝|an ＋1an|＝|q|，∴{f (a n )}是等比数列，排除A ．解法二：不妨令a n ＝2n .①因为f (x )＝x 2，所以f (a n )＝a 2n ＝4n .显然{f (a n )}是首项为4，公比为4的等比数列．②因为f (x )＝2x ，所以f (a 1)＝f (2)＝22，f (a 2)＝f (4)＝24，f (a 3)＝f (8)＝28，所以错误!＝错误!＝4≠错误!＝错误!＝16，所以{f (a n )}不是等比数列．③因为f (x )＝|x|，所以f (a n )＝2n ＝(2)n .显然{f (a n )}是首项为2，公比为2的等比数列．④因为f (x )＝ln|x |，所以f (a n )＝ln2n ＝n ln2.显然{f (a n )}是首项为ln2，公差为ln2的等差数列，故选C ．6．(2018·邵阳一模)已知数列{b n }为等比数列，且b 1009＝e(e 为自然对数的底数)，数列{a n }的首项为1.2_017的值为2018a 则ln ，n b ·n a ＝＋1n a 且，[解析]因为数列{b n }为等比数列，且b 1009＝e(e 为自然对数的底数)，数列{a n }的首项为1，且a n ＋1＝a n ·b n ，所以a 2018＝b 1·b 2·b 3·b 4·…·b 2017＝b 20171009＝e 2017，ln a 2018＝lne 2017＝2017.7．已知数列{a n }是等比数列，其公比为2，设b n ＝log 2a n ，且数列{b n }的前10项的和为25，那么1a1＋1a2＋1a3＋…＋1a10的值为1 023128.[解析]数列{a n }是等比数列，其公比为2，设b n ＝log 2a n ，且数列{b n }的前10项的和为25，所以b 1＋b 2＋…＋b 10 ＝log 2(a 1·a 2·…·a 10)＝log 2(a 10121＋2＋…＋9)＝25，所以a 101×245＝225，可得：a 1＝14.那么1a1＋1a2＋1a3＋…＋1a10＝4(1＋12＋122＋…＋129)＝4×1－12101－12＝1023128.8．已知等比数列{a n }的公比q >1,42是a 1和a 4的一个等比中项，a 2和a 3的等差中项为6，若数列{b n }满足b n ＝log 2a n (n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{a n b n }的前n 项和S n .[解析](1)因为42是a 1和a 4的一个等比中项，所以a 1·a 4＝(42)2＝32.由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a2·a3＝32，a2＋a3＝12.因为q >1，所以a 3>a 2.解得⎩⎪⎨⎪⎧a2＝4，a3＝8.所以q ＝a3a2＝2.故数列{a n }的通项公式a n ＝2n .(2)由于b n ＝log 2a n (n ∈N *)，所以a n b n ＝n ·2n ， S n ＝1·2＋2·22＋3·23＋…＋(n －1)·2n －1＋n ·2n ，①2S n ＝1·22＋2·23＋…＋(n －1)·2n ＋n ·2n ＋1.②①－②得，－S n ＝1·2＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1＝错误!－n ·2n ＋1.所以S n ＝2－2n ＋1＋n ·2n ＋1＝2＋(n －1)·2n ＋1.9．(文)(2018·天津卷，18)设{a n }是等差数列，其前n 项和为S n (n ∈N *)；{b n }是等比数列，公比大于0，其前n 项和为T n (n∈N *)．已知b 1＝1，b 3＝b 2＋2，b 4＝a 3＋a 5，b 5＝a 4＋2a 6.(1)求S n 和T n ；(2)若S n ＋(T 1＋T 2＋…＋T n )＝a n ＋4b n ，求正整数n 的值．[解析](1)设等比数列{b n }的公比为q ，由b 1＝1，b 3＝b 2＋2，可得q 2－q －2＝0.因为q >0，可得q ＝2，故b n ＝2n －1.所以T n ＝1－2n1－2＝2n －1.设等差数列{a n }的公差为d .由b 4＝a 3＋a 5，可得a 1＋3d ＝4.由b 5＝a 4＋2a 6，可得3a 1＋13d ＝16，从而a 1＝1，d ＝1，故a n ＝n ，所以S n ＝错误!. (2)由(1)，知T 1＋T 2＋…＋T n ＝(21＋22＋…＋2n )－n ＝2n ＋1－n －2.由S n ＋(T 1＋T 2＋…＋T n )＝a n ＋4b n 可得错误!＋2n ＋1－n －2＝n ＋2n ＋1，整理得n 2－3n －4＝0，解得n ＝－1(舍)，或n ＝4.所以n 的值为4.(理)(2018·天津卷，18)设{a n }是等比数列，公比大于0，其前n 项和为S n (n∈N *)，{b n }是等差数列.已知a 1＝1，a 3＝a 2＋2，a 4＝b 3＋b 5，a 5＝b 4＋2b 6.(1)求{a n }和{b n }的通项公式．(2)设数列{S n }的前n 项和为T n (n ∈N *)，①求T n ；②证明[解析](1)设等比数列{a n }的公比为q .由a 1＝1，a 3＝a 2＋2，可得q 2－q －2＝0.因为q >0，可得q ＝2，故a n ＝2n －1.设等差数列{b n }的公差为d ，由a 4＝b 3＋b 5，可得b 1＋3d ＝4.由a 5＝b 4＋2b 6，可得3b 1＋13d ＝16，从而b 1＝1，d ＝1，故b n ＝n .所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1，数列{b n }的通项公式为b n ＝n .(2)①由(1)，有S n ＝1－2n1－2＝2n －1，故T n ＝k ＝1n(2k －1)＝k ＝1n 2k－n ＝错误!－n ＝2n ＋1－n －2.②因为错误!＝错误!＝ 错误!＝错误!－错误!，B 组1．设S n 是公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和，S 1，S 2，S 4成等比数列，且a 3＝－52，则数列{错误!}的前n 项和T n ＝( C ) A ．－n2n ＋1B ．n2n ＋1C ．－2n2n ＋1D ．2n2n ＋1[解析]本题主要考查等差、等比数列的性质以及裂项法求和．设{a n }的公差为d ，因为S 1＝a 1，S 2＝2a 1＋d ＝2a 1＋a3－a12＝32a 1－54，S 4＝3a 3＋a 1＝a 1－152，因为S 1，S 2，S 4成等比数列，所以(32a 1－54)2＝(a 1－152)a 1，整理得4a 21＋12a 1＋5＝0，所以a 1＝－52或a 1＝－12.当a 1＝－52时，公差d ＝0不符合题意，舍去；当a 1＝－12时，公差d ＝a3－a12＝－1，所以a n ＝－12＋(n －1)×(－1)＝－n ＋12＝－12(2n －1)，所以错误!＝－错误!＝－(错误!－错误!)，所以其前n 项和T n ＝－(1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1)＝－(1－12n ＋1)＝－2n2n ＋1，故选C ．2．(文)以S n 表示等差数列{a n }的前n 项和，若S 5>S 6，则下列不等关系不一定成立的是( D )A ．2a 3>3a 4B ．5a 5>a 1＋6a 6C ．a 5＋a 4－a 3<0D ．a 3＋a 6＋a 12<2a 7[解析]依题意得a 6＝S 6－S 5<0,2a 3－3a 4＝2(a 1＋2d )－3(a 1＋3d )＝－(a 1＋5d )＝－a 6>0,2a 3>3a 4；5a 5－(a 1＋6a 6)＝5(a 1＋4d )－a 1－6(a 1＋5d )＝－2(a 1＋5d )＝－2a 6>0,5a 5>a 1＋6a 6；a 5＋a 4－a 3＝(a 3＋a 6)－a 3＝a 6<0.综上所述，故选D ．(理)已知a n ＝32n －11，数列{a n }的前n 项和为S n ，关于a n 及S n 的叙述正确的是( C )A ．a n 与S n 都有最大值B ．a n 与S n 都没有最大值C ．a n 与S n 都有最小值D ．a n 与S n 都没有最小值[解析]画出a n ＝32n －11的图象，点(n ，a n )为函数y ＝32x －11图象上的一群孤立点，(112，0)为对称中心，S 5最小，a 5最小，a 6最大．3．已知正数组成的等差数列{a n }，前20项和为100，则a 7·a 14的最大值是( A )A ．25B ．50C ．100D ．不存在 [解析]∵S 20＝a1＋a202×20＝100，∴a 1＋a 20＝10.∵a 1＋a 20＝a 7＋a 14，∴a 7＋a 14＝10.∵a n >0，∴a 7·a 14≤(a7＋a142)2＝25.当且仅当a 7＝a 14时取等号．4．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝2a n ＋1，则S n ＝( B )A ．2n －1B ．(32)n －1C ．(23)n －1D ．12n －1[解析]由S n ＝2a n ＋1得S n ＝2(S n ＋1－S n )，即2S n ＋1＝3S n ，∴Sn ＋1Sn ＝32，∵a 1＝1，S 1＝2a 2，∴a 2＝12a 1＝12，∴S 2＝32，∴S2S1＝32，∴S n ＝(32)n －1.5．(2018·山东省实验中学调研)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln(1＋1n)，则a n ＝( A )A ．2＋ln nB ．2＋(n －1)ln nC ．2＋n ln nD ．1＋n ＋ln n[解析]a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝ln n －ln(n －1)＋ln(n －1)－ln(n －2)＋…＋ln2－ln1＋2＝2＋ln n .6．(2018·西安一模)已知数列{a n }的通项公式a n ＝log 2n n ＋1(n∈.16的值为n 4成立的最小自然数－<n S 则使，n S 项和为n 设其前)，*N[解析]因为a n ＝log 2nn ＋1，所以S n ＝log 212＋log 223＋log 234＋…＋log 2n n ＋1＝log 2(12·23·34·…·n n ＋1)＝log 21n ＋1，若S n <－4，则1n ＋1<116，即n >15，则使S n <－4成立的最小自然数n 的值为16.7．如图所示，将正整数排成三角形数阵，每排的数称为一个群，从上到下顺次为第一群，第二群，.－3n －2n 3·2个数的和是n 群中n 则第，个数n 群恰好n 第，…，群n 第，…[解析]由图规律知，第n 行第1个数为2n －1，第2个数为3·2n －2，第3个数为5·2n －3……设这n 个数的和为S则S ＝2n －1＋3·2n －2＋5×2n －3＋…＋(2n －3)·2＋(2n －1)·20①2S n ＝2n ＋3·2n －1＋5·2n －2＋…＋(2n －3)·22＋(2n －1)·21②②－①得S n ＝2n ＋2·2n －1＋2·2n －2＋…＋2·22＋2·2－(2n －1)＝2n ＋2n ＋2n －1＋…＋23＋22－(2n －1)＝2n ＋错误!－(2n －1) ＝2n ＋2n ＋1－4－2n ＋1＝3·2n －2n －3.8．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ≠0，a n a n ＋1＝λS n －1，其中λ为常数．(1)证明：a n ＋2－a n ＝λ；(2)是否存在λ，使得{a n }为等差数列？并说明理由．[分析](1)利用a n ＋1＝S n ＋1－S n 用配凑法可获证；(2)假设存在λ，则a 1，a 2，a 3应成等差数列求出λ的值，然后依据a n ＋2－a n ＝λ推证{a n }为等差数列．[解析](1)由题设：a n a n ＋1＝λS n －1，a n ＋1a n ＋2＝λS n ＋1－1，两式相减得a n ＋1(a n ＋2－a n )＝λa n ＋1. 由于a n ＋1≠0，所以a n ＋2－a n ＝λ.(2)由题设，a 1＝1，a 1a 2＝λS 1－1，可得a 2＝λ－1.由(1)知，a 3＝λ＋1，令2a 2＝a 1＋a 3，解得λ＝4. 故a n ＋2－a n ＝4，由此可得{a 2n －1}是首项为1，公差为4的等差数列，a 2n －1＝4n －3；{a 2n }是首项为3，公差为4的等差数列，a 2n ＝4n －1.所以a n ＝2n －1，a n ＋1－a n ＝2.因此存在λ＝4，使得数列{a n }为等差数列． 9．已知数列{a n }满足a n ＋1＝－1an ＋2，a 1＝－12.(1)求证{1an ＋1}是等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)设T n ＝a n ＋a n ＋1＋…＋a 2n －1.若T n ≥p －n 对任意的n ∈N *恒成立，求p 的最大值．[解析](1)证明：∵a n ＋1＝－1an ＋2，∴a n ＋1＋1＝－1an ＋2＋1＝an ＋2－1an ＋2＝an ＋1an ＋2，由于a n ＋1≠0，∴1an ＋1＋1＝an ＋2an ＋1＝1＋1an ＋1， ∴{1an ＋1}是以2为首项，1为公差的等差数列．(2)由(1)题结论知：1an ＋1＝2＋(n －1)＝n ＋1，∴a n ＝1n ＋1－1＝－nn ＋1(n ∈N *)．(3)∵T n ＝a n ＋a n ＋1＋…＋a 2n －1≥P －n ，∴n ＋a n ＋a n ＋1＋…＋a 2n －1≥P ，即(1＋a n )＋(1＋a n ＋1)＋(1＋a n ＋2)＋…＋(1＋a 2n －1)≥p ，对任意n ∈N *恒成立，而1＋a n ＝1n ＋1，设H (n )＝(1＋a n )＋(1＋a n ＋1)＋…＋(1＋a 2n －1)，∴H (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ，H (n ＋1)＝1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n ＋12n ＋1＋12n ＋2，∴H (n ＋1)－H (n )＝12n ＋1＋12n ＋2－1n ＋1＝12n ＋1－12n ＋2>0，∴数列{H (n )}单调递增，∴n ∈N *时，H (n )≥H (1)＝12，故P ≤12.1 2.∴P的最大值为。

历年高考文科数学真题汇编+答案解析专题4数列（2020年版）考查频率：一般为1个大题（2019年1卷为1个小题1个大题，2019年3卷为2个小题）考试分值：10分~17分知识点分布：必修5一、选择题和填空题（每题5分）1．（2019全国I 卷文14）记S n 为等比数列{a n }的前n 项和.若13314a S ==，，则S 4=___________．【解析】由题意可得，323(1)3114q S q q q -==++=-，∴12q =-.∴343431315(488S S a S a q =+=+=+-=.【答案】58【考点】必修5等比数列2．（2019全国III 卷文6）已知各项均为正数的等比数列{a n }的前4项和为15，且a 5=3a 3+4a 1，则a 3=A ．16B ．8C ．4D ．2【解析】由题意可得，23142111(1)1534a q q q a q a q a ⎧+++=⎨=+⎩，解得2q =，11a =.∴2314a a q ==.【答案】C【考点】必修5等比数列3．（2019全国III 卷文14）记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若375,13a a ==，则10S =___________.【解析】∵7348a a d -==，∴2d =.∵311245a a d a =+=+=，∴11a =.∴10110910910101210022S a d ⨯⨯=+=⨯+=.【答案】100【考点】必修5等差数列二、简单题（每题12分）4．（2019全国I 卷文18）记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知S 9=－a 5．（1）若a 3=4，求{a n }的通项公式；（2）若a 1>0，求使得S n ≥a n 的n 的取值范围．【解析】（1）设{}n a 的公差为d ．由95S a =-得119364a d d a +=--，即140a d +=．由a 3=4得124a d +=．于是18,2a d ==-．因此{}n a 的通项公式为102n a n =-．【另解】由95S a =-结合19959()92a a S a +==，得50a =．又∵34a =，∴5324d a a =-=-，∴2d =-．因此{}n a 的通项公式为5(5)102n a a n d n =+-=-．（2）由50a =得14a d =-，故(5)n a n d =-，(9)2n n n d S -=.由10a >知0d <，故n n S a 等价于211100n n -+ ，解得1≤n≤10．所以n 的取值范围是{|110,}n n n ≤≤∈N ．【考点】必修5等差数列5．（2019全国II 卷文18）已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，1322,216a a a ==+.（1）求{}n a 的通项公式；（2）设2log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和．【解析】（1）设{}n a 的公比为q ，由题设得22416q q =+，即2280q q --=．解得2q =-（舍去）或4q =．因此{}n a 的通项公式为121242n n n a --=⨯=．（2）由（1）得2(21)log 221n b n n =-=-，因此数列{}n b 的前n 项和为21321n n +++-= ．【考点】必修5等比数列6．（2018全国I 卷文17）已知数列{}n a 满足11a =，()121n n na n a +=+，设n n a b n=．（1）求123b b b ，，；（2）判断数列{}n b 是否为等比数列，并说明理由；（3）求{}n a 的通项公式．【解析】（1）由条件可得a n +1=2(1)n n a n +．将n =1代入得，a 2=4a 1，而a 1=1，所以，a 2=4．将n =2代入得，a 3=3a 2，所以，a 3=12．从而b 1=1，b 2=2，b 3=4．（2）{b n }是首项为1，公比为2的等比数列．由条件可得121n n a a n n+=+，即b n +1=2b n ，又b 1=1，所以{b n }是首项为1，公比为2的等比数列．（3）由（2）可得12n n a n -=，所以a n =n ·2n -1．【考点】必修5等比数列7．（2018全国II 卷文17）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17a =-，315S =-．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求n S ，并求n S 的最小值．【解析】（1）设{a n }的公差为d ，由题意得3a 1+3d ＝－15．由a 1＝－7得d ＝2．所以{a n }的通项公式为a n ＝2n －9．（2）由（1）得S n ＝n 2－8n ＝(n －4)2－16．所以当n ＝4时，S n 取得最小值，最小值为－16．【考点】必修5等差数列8．（2018全国III 卷文17）等比数列{}n a 中，15314a a a ==，．（1）求{}n a 的通项公式；（2）记n S 为{}n a 的前n 项和．若63m S =，求m ．【解析】（1）设{}n a 的公比为q ，由题设得1n n a q -=．由已知得424q q =，解得0q =（舍去），2q =-或2q =．故1(2)n n a -=-或12n n a -=．（2）若1(2)n n a -=-，则1(2)3n n S --=．由63m S =得(2)188m -=-，此方程没有正整数解．若12n n a -=，则21n n S =-．由63m S =得264m =，解得6m =．综上，6m =．【考点】必修5等比数列9．（2017全国I 卷文17）记S n 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知S 2=2，S 3=-6.（1）求{}n a 的通项公式；（2）求S n ，并判断S n +1，S n ，S n +2是否成等差数列。

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= -2,k =k +1 =4,此时满足条件,继续循环;第四次循环:S =2 - =3,k =k +1 =5,此时满足条件,继续循环;第五次循环:S =2 -,k =k +1 =6,此时满足条件,继续循环;……可知此循环是以4为周期反复循环,由2 014 =4×503 +2,可知第2 014次循环:S =2 -,k =k +1 =2 015,此时不满足条件,结束循环,所以输出的S为.15.B解析由程序框图可知,f(x) =当a<0时,f(x) =log2(1 -x) +1在区间[ -1,a]上为减函数,f( -1) =2,f(a) =0⇒1 -a =,a =,不符合题意;当a≥0时,f'(x) =3x2 -3>0⇒x>1或x< -1,∴函数在区间[0,1]上单调递减,又f(1) =0,∴a≥1;又函数在区间[1,a]上单调递增,∴f(a) =a3-3a +2≤2⇒a≤.故实数a的取值范围是[1,].16.A解析f'(x) =2ax +b.假设A正确,那么f( -1) =0,即a -b +c =0,①假设B正确,那么f'(1) =0,即2a +b =0,②假设C正确,那么f'(x0) =0,且f(x0) =3,即f =3,即c - =3.③假设D项正确,那么f(2) =8,即4a +2b +c =8.④假设②③④正确,那么由②得b = -2a,代入④得c =8,代入③得8 - =3,解得a =5,b = -10,c =8.此时f(x) =5x2 -10x +8,f( -1) =5×( -1)2 -10×( -1) +8 =5 +10 +8 =23≠0,即A不成立.故B,C,D可同时成立,而A不成立.应选A.17.B解析依题意,用(t,s)表示2t +2s,题中等式的规律为:第|一行为3(0,1);第二行为5(0,2),6(1,2);第三行为9(0,3),10(1,3),12(2,3);第四行为17(0,4),18(1,4),20(2,4),24(3,4);……,又因为99 =(1 +2 +3 +… +13) +8,所以第99个等式应位于第14行的从左到右的第8个位置,即是27 +214 =16 512,应选B.18.4解析当a =1,n =1时,进入循环,a =1 +,n =2;此时|a -1.414|≥0.005,继续循环,a =1+ =1 +,n =3;此时|a -1.414|≥0.005,继续循环,a =1 + =1 +,n =4;此时|a -1.414|≈0.003<0.005,退出循环,因此n的值为4.19.8解析第|一次循环,i =1 +3 =4,S =0 +;第二次循环,i =4 +1 =5,S =;第三次循环,i =5 +3 =8,S =.由于不成立,结束循环,输出的i值为8.20. n(n +1)(n +2)(n +3)解析先改写第k项:k(k +1)(k +2) = [k(k +1)(k +2)(k +3) -(k -1)k(k+1)(k +2)],由此得1×2×3 = (1×2×3×4 -0×1×2×3),2×3×4 =(2×3×4×5 -1×2×3×4),…,n(n +1)(n +2) =[n(n +1)(n +2)(n +3) -(n -1)n(n +1)·(n+2)],相加得1×2×3 +2×3×4 +… +n(n +1)(n +2) =n(n +1)(n +2)(n +3).。

专题对点练13　等差、等比数列与数列的通项及求和1.已知各项都为正数的数列{a n }满足a 1=1,-(2a n+1-1)·a n -2a n+1=0.a 2n (1)求a 2,a 3;(2)求{a n }的通项公式.2.(2018北京,文15)设{a n }是等差数列,且a 1=ln 2,a 2+a 3=5ln 2.(1)求{a n }的通项公式;(2)求+…+.e a 1+e a 2e an 3.(2018全国Ⅲ,文17)等比数列{a n }中,a 1=1,a 5=4a 3.(1)求{a n }的通项公式;(2)记S n 为{a n }的前n 项和,若S m =63,求m.4.在等差数列{a n }中,a 2+a 7=-23,a 3+a 8=-29.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)设数列{a n +b n }是首项为1,公比为2的等比数列,求{b n }的前n 项和S n .5.(2018天津,文18)设{a n }是等差数列,其前n 项和为S n (n ∈N *);{b n }是等比数列,公比大于0,其前n 项和为T n (n ∈N *).已知b 1=1,b 3=b 2+2,b 4=a 3+a 5,b 5=a 4+2a6.(1)求S n 和T n ;(2)若S n +(T 1+T 2+…+T n )=a n +4b n ,求正整数n 的值.6.在等差数列{a n }中,a 7=8,a 19=2a 9.(1)求{a n }的通项公式;(2)设b n =,求数列{b n }的前n 项和S n.1na n 7.已知{a n }是各项均为正数的等比数列,且a 1+a 2=6,a 1a 2=a 3.(1)求数列{a n }的通项公式;(2){b n }为各项非零的等差数列,其前n 项和为S n .已知S 2n+1=b n b n+1,求数列的前n 项和T n.{b n a n }8.已知数列{a n }是等差数列,其前n 项和为S n ,数列{b n }是公比大于0的等比数列,且b 1=-2a 1=2,a 3-b 2=-1,S 3-2b 3=7.(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式;(2)设c n =,求数列{c n }的前n 项和T n .(-1)n -1a nb n专题对点练13答案1.解 (1)由题意得a 2=,a 3=.(2)由-(2a n+1-1)a n -2a n+1=0得2a n+1(a n +1)=a n (a n +1).a 2n 因为{a n }的各项都为正数,所以.a n +1a n=12故{a n }是首项为1,公比为的等比数列,因此a n =.12n -12.解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ,∵a 2+a 3=5ln 2,∴2a 1+3d=5ln 2.又a 1=ln 2,∴d=ln 2.∴a n =a 1+(n-1)d=n ln 2.(2)由(1)知a n =n ln 2.∵=e n ln 2==2n ,e a n eln 2n ∴{}是以2为首项,2为公比的等比数列.e a n ∴+…+e a 1+e a2ea n =2+22+ (2)=2n+1-2.∴+…+=2n+1-2.e a 1+e a 2e an 3.解 (1)设{a n }的公比为q ,由题设得a n =q n-1.由已知得q 4=4q 2,解得q=0(舍去),q=-2或q=2.故a n =(-2)n-1或a n =2n-1.(2)若a n =(-2)n-1,则S n =.由S m =63得(-2)m =-188,此方程没有正整数解.1-(-2)n 3若a n =2n-1,则S n =2n -1.由S m =63得2m =64,解得m=6.综上,m=6.4.解 (1)设等差数列{a n }的公差是d.由已知(a 3+a 8)-(a 2+a 7)=2d=-6,解得d=-3,∴a 2+a 7=2a 1+7d=-23,解得a 1=-1,∴数列{a n }的通项公式为a n =-3n+2.(2)由数列{a n +b n }是首项为1,公比为2的等比数列,∴a n +b n =2n-1,∴b n =2n-1-a n =3n-2+2n-1,∴S n =[1+4+7+…+(3n-2)]+(1+2+22+…+2n-1)=+2n -1.n (3n -1)25.解 (1)设等比数列{b n }的公比为q.由b 1=1,b 3=b 2+2,可得q 2-q-2=0.因为q>0,可得q=2,故b n =2n-1.所以,T n ==2n -1.1-2n 1-2设等差数列{a n }的公差为d.由b 4=a 3+a 5,可得a 1+3d=4.由b 5=a 4+2a 6,可得3a 1+13d=16,从而a 1=1,d=1,故a n =n.所以,S n =.n (n +1)2(2)由(1),有T 1+T 2+…+T n =(21+22+…+2n )-n=-n=2n+1-n-2.2×(1-2n )1-2由S n +(T 1+T 2+…+T n )=a n +4b n 可得,+2n+1-n-2=n+2n+1,n (n +1)2整理得n 2-3n-4=0,解得n=-1(舍),或n=4.所以,n 的值为4.6.解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ,则a n =a 1+(n-1)d.因为a 7=8,所以a 1+6d=8.又a 19=2a 9,所以a 1+18d=2(a 1+8d ),解得a 1=2,d=1,所以{a n }的通项公式为a n =n+1.(2)b n =,1na n =1n (n +1)=1n ‒1n +1所以S n =+…+.(1-12)+(12-13)(1n -1n +1)=n n +17.解 (1)设{a n }的公比为q ,由题意知a 1(1+q )=6,q=a 1q 2,a 21又a n >0,解得a 1=2,q=2,所以a n =2n .(2)由题意知S 2n+1==(2n+1)b n+1,(2n +1)(b 1+b 2n +1)2又S 2n+1=b n b n+1,b n+1≠0,所以b n =2n+1.令c n =,则c n =,b n a n 2n +12n 因此T n =c 1+c 2+…+c n =+…+.32+522+7232n -12n -1+2n +12n 又T n =+…+,两式相减得T n =,322+523+7242n -12n +2n +12n +132+(12+122+…+12n -1)‒2n +12n +1所以T n =5-.2n +52n 8.解 (1)设数列{a n }的公差为d ,数列{b n }的公比为q ,q>0,∵b 1=-2a 1=2,a 3-b 2=-1,S 3-2b 3=7,∴a 1=-1,-1+2d-2q=-1,3×(-1)+3d-2×2q 2=7,解得d=2,q=2.∴a n =-1+2(n-1)=2n-3,b n =2n .(2)c n =,(-1)n -1a n b n =(-1)n -1(2n -3)2n ∴T n =+…+,-12‒122+323‒524(-1)n -2(2n -5)2n -1+(-1)n -1(2n -3)2n T n =-+…+,122‒123+324(-1)n -2(2n -5)2n +(-1)n -1(2n -3)2n +1∴T n=-+…+(-1)n-1×=-12‒12+122‒12312n -1+(-1)n -1(2n -3)2n +1,12+-12[1-(-12)n -1]1-(-12)+(-1)n -1(2n -3)2n +1∴T n =-.59+29(-12)n -1+(-1)n -1(2n -3)3×2n。