高中数学 第四章 用二分法求方程的近似解教案 北师大版必修1

用二分法求方程的近似解一、教学内容分析本节选自《普通高中课程标准实验教科书·数学1》北师大版第四章第一节第二课，主要是分析函数与方程的关系，即用二分法求方程的近似解。

它以上节课的“连续函数的零点存在定理”为确定方程解所在区间为依据，从求方程近似解这个侧面来体现“方程与函数的关系”；而且在“用二分法求函数零点的步骤”中渗透了算法的思想，为学生后续学习算法的内容埋下伏笔；充分体现新课程“渗透算学方法，关注数学文化以及重视信息技术应用”的理念。

求方程近似解其中隐含“逼近”的数学思想，并且运用“二分法”来逼近目标是一种普通而有效的方法，其关键是逼近的依据。

二、学生学习情况分析同学们有了第一节课的基础，对函数的零点具备基本的认识；而二分法来自生活，是由生活中抽象而来的，只要我们选材得当，能够激发学生的学习兴趣，达到渗透数学思想关注数学文化的目的，学生也能够很容易理解这种方法。

其中运用“二分法”进行区间缩小的依据、总结出“运用二分法求方程的近似解”的步骤、将“二分法”运用到生活实际，是需要学生“跳跳”才能摘到的“桃子”。

三、设计理念采用教师引导——学生探索相结合的教学方法，注重提高学生数学的提出问题、分析问题和解决问题的能力，让学生经历直观感知、观察发现、抽象与概括、符号表示、运算求解、数据处理、反思与建构等思维过程。

四、教学目标知识与技能：理解二分法的概念，掌握运用二分法求简单方程近似解的方法；利用信息技术辅助教学，让学生用计算器自己验证求方程近似值的过程；过程与方法：体会二分法的思想和方法，使学生意识到二分法是求方程近似解的一种方法，让学生能够了解近似逼近思想。

情感态度与价值观：体验并理解函数与方程的相互转化的数学思想方法；培养学生能够探究问题的能力和创新能力，以及严谨的科学态度；感受正面解决问题困难时，通过迂回的方法得到解决的快乐。

五、教学重点与难点教学重点：能够借用计算器，用二分法求相应方程的近似解。

《用二分法求方程的近似解》教学设计一、教学目标1. 知识目标：学生能够掌握二分法求解方程的基本方法和步骤，理解近似解的概念和计算方法。

2. 能力目标：学生能够独立运用二分法解决实际问题，提高数学问题的解决能力。

3. 情感目标：培养学生的数学兴趣，激发学生对数学的热爱和好奇心。

二、教学重点和难点1. 教学重点：二分法求解方程的基本方法和步骤。

2. 教学难点：学生对于二分法的理解和运用能力。

三、教学过程1. 导入与引入为了让学生更好地理解二分法求解方程，可以通过一个简单的例子引入，比如求解方程sin(x) = 0的近似解。

引导学生思考如何用二分法来解决这个问题。

2. 理论学习1）介绍二分法的基本原理和步骤，通过图表和实际问题进行说明。

2）讲解二分法在数学问题中的应用，如求函数的零点、求解方程等。

3）举例说明二分法的具体运用，帮助学生理解二分法的实际操作过程。

3. 案例分析以一些典型的实际问题为例，让学生运用二分法进行求解。

比如通过一个实际应用问题，让学生理解并运用二分法。

如通过实例，“小明在深山中迷路，他在午夜时分按照手表上的时间发出信号弹，他需要知道现在是深夜0时还是清晨0时。

如果他发了三次信号弹，分别被回声弹在0.5分钟、2分钟、3分钟之后听到，那么他能知道现在的时间是多少吗？”4. 练习与训练1）学生按照老师指导的方式进行相应的答疑与讨论，对理论知识进行巩固。

2）组织课外实践活动，让学生通过实际操作来练习和巩固二分法的运用。

5. 总结与拓展1）总结二分法求解方程的基本方法和步骤，复习本节课的知识点。

2）让学生思考二分法在其他数学问题中的应用，指导学生拓展和深入理解。

3）布置相关作业，让学生巩固所学知识。

四、教学手段1. PowerPoint演示：用于讲解二分法的基本原理和步骤，用图表等形式进行说明。

2. 实例分析：通过一些实际问题的案例，让学生理解并运用二分法。

3. 板书：用于记录学生提出的问题和解题的关键步骤，便于学生理解。

《用二分法求方程的近似解》教学设计一、本节课内容分析与学情分析1.本节课内容分析本节课的主要任务是探究二分法基本原理，给出用二分法求方程近似解的基本步骤，使学生学会借助计算器用二分法求给定精确度的方程的近似解。

通过探究让学生体验从特殊到一般的认识过程，渗透逐步逼近和无限逼近思想（极限思想），体会“近似是普遍的、精确则是特殊的”辩证唯物主义观点。

引导学生用联系的观点理解有关内容，通过求方程的近似解感受函数、方程、不等式以及算法等内容的有机结合，使学生体会知识之间的联系。

所以本节课的本质是让学生体会函数与方程的思想、近似的思想、逼近的思想和初步感受程序化地处理问题的算法思想。

2.本节课地位、作用“二分法”的理论依据是“函数零点的存在性（定理）”，本节课是上节学习内容《方程的根与函数的零点》的自然延伸；是数学必修3算法教学的一个前奏和准备；同时渗透数形结合思想、近似思想、逼近思想和算法思想等。

3.学生情况分析学生已初步理解了函数图象与方程的根之间的关系，具备一定的用数形结合思想解决问题的能力，这为理解函数零点附近的函数值符号提供了知识准备。

但学生仅是比较熟悉一元二次方程解与函数零点的关系，对于高次方程、超越方程与对应函数零点之间的联系的认识比较模糊，计算器的使用不够熟练，这些都给学生学习本节内容造成一定困难。

二、教学目标根据教材内容和学生的实际情况，本节课的教学目标设定如下：1.通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，了解二分法是求方程近似解的一种方法，会用二分法求某些具体方程的近似解，从中体会函数与方程之间的联系，体会程序化解决问题的思想。

2.借助计算器用二分法求方程的近似解，让学生充分体验近似的思想、逼近的思想和程序化地处理问题的思想及其重要作用，并为下一步学习算法做知识准备．3.通过探究、展示、交流，养成良好的学习品质，增强合作意识。

通过具体问题体会逼近过程，感受精确与近似的相对统一。

三、教学重点、难点重点：二分法原理及其探究过程，用二分法求方程的近似解难点：对二分法原理的探究，对精确度、近似值的理解四、教学方法与教学手段教学方法：“问题驱动”和启发探究式教学方法学法指导：分组合作、互动探究、搭建平台、分散难点教学手段：计算机、投影仪、计算器五、教学过程（一）引出课题问题1：你会求下列方程的解吗？2、，--=1210x x+-=、x x2ln260（二）创设情景，得出二分法的定义模拟实验辨金币真假(幻灯片)16枚金币中有一枚假币，假币比真币略轻.现有一座无砝码的天平，如何用最少的次数称出这只假币？以求方程x3+3x-1=0的近似解（精确度0.1）为例进行探究。

2.25用二分法求方程的近似解1. 掌握二分法的概念;2. 会用二分法求方程的近似解.※自主学习※ 仔细研读课本第77页至第81页的内容，完成三维设计的“学之窗”部分。

1、如果二次函数c bx ax x f ++=2)(在闭区间[m,n]上满足 ，那么方程0)(=x f 在开区间（m ，n ）上有唯一解，即存在R x ∈1，使0)(=x f 的另一个解),(),(2+∞-∞∈n m x .2、方程)()(x g x f =的根与函数)(x f y =及)(x g y =的图像特征关系：（2）函数)(x f y =与)(x g y =的图像有 ，则方程)()(x g x f =就有 ，反之亦然.（3）函数)(x f y =与)(x g y =的图像没有交点，则方程)()(x g x f = ，反之亦然.3、用二分法求方程0)(=x f 的近似解的一般步骤：（1）取区间[]b a ,，使 <0，令b b a a ==00,.（2）取区间[]00,b a 的中点=0x .（3）计算)(0x f .①若)(0x f 0,则0x 就是0)(=x f 的解，计算终止;②若)()(00x f a f ⋅ 0，则解位于区间（00,x a ）中，令 0101,x b a a ==； ③若)()(00b f x f ⋅ 0，则解位于区间（00,b x ）中，令0101,b b x a ==.（4）取区间[]11,b a 的中点=1x ，重复第（2）（3）两步，直到第n 步，方程的解 总位于区间[]n n b a ,内.4、设833)(-+=x x f x，用二分法求方程833-+x x =0在)2,1(∈x 内近似解的过程中得0)25.1(,0)5.1(,0)1(<><f f f 则方程的根落在区间 .5、不解方程，如何求方程0122=--x x 的一个正的近似解？（精确到0.1）※ 合作探究※探究一: 判断函数的零点所在区间问题【例1】 函数2()ln f x x x=-的零点所在的大致区间是( )A.(1,2)B.(2,3)C.(1,e)和（3,4）D.(e,+∞)变式：求证:方程3310x x -+=的根一个在区间（-2，-1）内，一个在区间（0，1）内， 另一个在区间（1,2）内.探究二: 用二分法求方程的近似解【例2】 求方程0133=-+x x 的一个近似解(精确到 0.1)变式1： 求解方程ln 260x x +-=.（精确到0.001）变式2：求方程ln 30x x +-=在（2,3）内的根.（精确到 0.01）2.25用二分法求方程的近似解※巩固提高※C1、方程3250x x --=在区间[2,3]内的实根，取区间中点0 2.5x =，则下一个有根区间是__________.C 2、已知函数310x x --=仅有一个正零点，则此零点所在的区间是（ ）A ．（0,1） B.（1,2） C.(2,3) D.(3,4)C3① ② ③ ④ C4、二次函数c bx ax x f ++=2)()(R x ∈的部分对应值如下表：不求c b a ,,的值，可以判断方程02=++c bx ax 的两个根所在的区间是 .B5、方程023=-+x x 零点的个数是 .B6、方程2lg =+x x 有 个实数根.C7、若函数b ax x x f --=2)(的两个零点是2和3，求函数1)(2--=ax bx x g 的零点.A8、（1）若方程0122=--x ax 在（0，1）内恰有一解，求a 的取值范围.（2）关于x 的二次方程2(1)10x m x +-+=在区间[0,2]上有解，求实数m 的范围。

高中数学 4.1.2《利用二分法求方程的近似解》学案北师大版必修1随着新一轮数学课程改革不断深入，“学案”学习已成为新课程理念下一种新型学习模式，通过创建“学案”，改变学生的学习方式，使学生更加主动地学，是培养学生自学能力，提高教学效益一个新的举措．笔者为结合学案的特点，设计了“北师大版必修1第三章1．2利用二分法求方程的近似解”这一课时的学案，以飨读者，求同行的批评指正．1 教材分析函数的应用是学习函数的一个重要方面，本章通过学习用二分法求方程近似解的方法，使学生体会函数与方程之间的关系，通过一些函数模型的实例，感受建立函数模型的过程和方法，体会函数在数学和其他学科中的广泛应用，进一步认识到函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型．而本节课是从学生已有的基础(一元二次方程及其根的求法，一元二次函数及其图象与性质)出发，从具体(一元二次方程的根与对应的一元二次函数的图象与x轴的交点的横坐标之间的关系)到一般，揭示方程的根与对应函数零点之间的关系．在此基础上，再介绍求函数零点的近似值的“二分法”，并在总结“用二分法求函数零点的步骤”中渗透算法的思想，为学生后续学习算法内容埋下伏笔．2 学情分析通过本节课的学习，使学生在知识上学会用“二分法”求方程的近似解，从中体会函数与方程之间的联系；在求解的过程中，由于数值计算较为复杂，因此对获得给定精确度的近似解增加了困难，所以希望学生具备恰当地使用信息技术工具解决这一问题的能力．这就要求学生除了能熟练地运用计算器演算以外，还要能借助几何画板4．06中文版中的“绘制新函数”功能画出基本初等函数的图象，掌握Microsoft Excel软件一些基本的操作．3 学习目标3.1知识与技能通过学习，能说出二分法的概念，会运用二分法求简单方程近似解的方法，会判断连续函数在某个闭区间上是否存在零点．3.2过程与方法通过具体实例的讨论与探究，在对函数与方程的关系的认识中能遵循由浅入深、循序渐进的原则，归纳概括出所发现的结论或规律，初步接触算法思想，体会从具体到一般的认知过程．3.3情感态度与价值观体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一，在自我解决问题的过程中，体验成功的喜悦．4 学习重点与难点学习重点：用二分法求相应方程的近似解的方法与具体步骤．学习难点：恰当地使用信息技术工具，利用二分法求给定精确度的方程的近似解． 5 学习方法为更好地把握学习内容，在学习中应以动手操作、分组讨论、合作交流、总结反思、课后实践相结合．6 学习过程6．1 学习活动活动1 幸运52曾经现场直播，进行一个猜数字游戏：给定1～100这100个自然数，计算机随机出一个1～100之间的整数，通过操作键盘让同学们去猜这个数，对于大家每次猜测的结果，计算机的提示是“对了”或“大了”或“小了”．讨论：（1）任给一个1～100的整数，我都可以在7次以内猜出，你们能做到吗？（2）为什么采用正确的方法，7次以内一定可以猜中？（第一次猜50，若“大了”，则猜1与50中间的整数25，依次类推，由于每猜一次，就排除一半，范围不断缩小，7次以内一定可以猜中）（3）这种猜测的思想是什么？设计意图：上述游戏，每次都将所给区间一分为二，进行比较后得到新的区间，再一分为二，如此下去，使得所猜数字逐步逼近计算机所给的数字，这种思想就是二分法．通过做游戏，来提高学生的学习热情，让他们在玩的过程中初步体会二分法的思想和作用，并进行有意义学习．活动2 根据课本P117例4求方程04323=-+x x 的一个实数解，精确到0.01． 探究：（1）求函数)(x f 的零点近似值第一步应做什么？（2）为了缩小零点所在区间的范围，接下来应做什么？（3）精确到0．01，算几次就可以了？若精确到0．001呢？设计意图：此活动在于通过讨论，让学生知道用二分法求方程近似解的具体过程和解题步骤，以及用二分法求近似值的过程到何时结束．活动3 课本P119页练习：用二分法求方程02129.0=-x x 的近似解，精确到0.1． 探究：（1）与活动2进行比较，过程有什么不同？（2）根据这些活动，二分法求方程近似解的具体步骤是什么？设计意图：活动1中的方程04323=-+x x 虽然没有给出初始区间，但是根据方程的形式容易知道为),(+∞-∞，而活动3中的方程02129.0=-x x 的初始区间未给定，却需要自己找，这是一个质的变化．通过自主探究，讨论，来体会、归纳确定出初始区间的一般方法：估算或利用图象（估算：由方程有意义及移项左右两边相等，可知00>x ；或作图：考察函数x y 9.0=与xy 212=图象交点的横坐标，可知00>x ），以及得出利用二分法求方程近似解的具体步骤． 活动4 利用计算器，求方程3lg =+x x 的近似解（精确到0．1）．（注：可以2人为一组，互相配合，一人按计算器，一人记录过程）不同组之间探讨交流，从中能得出什么样的结论？设计意图：（1）通过学生合作探究，进一步来体会、归纳确定出初始区间的一般方法． （估算：由方程有意义及左右两边相等，可知)3,0(0∈x ；作图：考察函数x y lg =与x y -=3图象交点的横坐标，可知)3,2(0∈x ）（2）由于计算量较大，而且是重复相同的步骤，因此，我们可以借助计算器来完成计算，计算器来完成．同进，通过共同学习交流探讨，感知初始区间选择的不同对结果无影响，只是计算次数多少而已．活动5 如图，一条电缆上有15个接点 ，现某一接点发生故障 ，如何尽快找到故障接点？ 设计意图：让学生在活动中体会二分法在实际生活中的用处．6．2自我诊断例1 下列函数均有零点，其中不能用二分法求近似解的是（）A. B. C. D.设计意图：使学生明确初始区间),(b a 并非任意选取，必须满足0)()(<b f a f ，加深学生对利用二分法求方程近似解原理的理解．答案：C ．例2 用二分法求方程()33801,3x x x +-=∈在内近似解的过程中取区间中点02x =，那么下一个有根区间为 ( )A ．（1，2）B ．（2，3）C ．（1，2）或（2，3）都可以D ．不能确定设计意图：使学生明确利用二分法求方程近似解取新区间方法，一个端点是原区间的中点，另一个是原区间两端点中的一个，新区间两端点的函数值反号．答案：A ．例3 方程0ln )21(=-x x的根的个数为（ ）A ． 0B ． 1C ． 2D ． 3设计意图：使学生进一步明确通过函数图象与性质来分析零点的方法．答案：B ．例4 下表是用计算器或计算机作出函数62ln -+=x x f(x)的图象和对应值，则从下表可以看出方程062ln =-+x x 的一个正的近似解是 （精确到0．01）次数左端点 左端点函数值 右端点 右端点函数值 第1次2．00000 -1．30685 3．00000 1．09861 第2次2．50000 -0．08371 3．00000 1．09861 第3次2．50000 -0．08371 2．75000 0．51160 第4次2．50000 -0．08371 2．62500 0．21508 第5次2．50000 -0．08371 2．56250 0．06598 第6次2．53125 -0．00879 2．56250 0．06598 第7次2．53125 -0．00879 2．54688 0．02862 第8次2．53125 -0．00879 2．53906 0．00992 设计意图：使学生进一步巩固利用二分法求方程近似解的具体步骤，提高学生阅读理解能力．答案：2．53.例5 在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障．这是一条10 km 长的线路，大约有200多根电线杆子．如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多，每查一个点要爬一次电线杆子.请你帮工作人员设计一个维修方案来迅速查出故障所在.设计意图：让学生感悟二分法在实际中的应用，同时体会到学习数学成功的喜悦． 答案：如图，设闸门和指挥部的所在处为点A ，B ，（1）首先从中点C 查；（2）用随身带的话机向两端测试时，发现AC 段正常，断定故障在BC 段；（3）再到BC 段中点D ；（4）这次发现BD 段正常，可见故障在CD 段；（5）再到CD 中点E 来看；（6）这样每查一次，就可以把待查的线路长度缩减一半.6、请感兴趣的同学思考:当10<<a 时，方程x a a x log =的解只有一个吗? 设计意图：让学有余力的学生更能发挥其个性品质，提高学科素养．6．3 总结提炼（1）二分法的基本思想是 ；（2）初始区间的选定的方法有 ；（3）利用二分法求方程的近似解的具本步骤是： ．（4）把学案中有疑惑的知识点作上记号，并在空白处写出疑惑原因．设计意图：引导学生回顾学习过程，进行总结和反思，并提出自己还存在的疑问，以便在教师或同学的帮助下得到解决．6．4阅读拓展在人类用智慧架设的无数座从未知通向已知的金桥中，方程的求解是其中璀璨的一座．虽然今天我们可以从教科书中了解各式各样方程的解法，但这一切却经历了相当漫长的岁月．由于实际问题的需要，我们经常需要寻求函数)(x f y =的零点（即0)(=x f 的根），对于)(x f 为一次或二次函数，我们有熟知的公式解法（二次时，称为求根公式）．我国古代数学家已比较系统地解决了部分方程求解的问题，在《九章算术》、北宋数学家贾宪的《黄帝九章算法细草》、南宋数学家秦九韶的《数书九章》中均有记载．在十六世纪，已找到了三次和四次函数的求根公式，人们曾经希望得到一般的五次以上代数方程的根式解，但经过长期的努力仍无结果．1824年，挪威年轻数学家阿贝尔（N ． H ． Abel ，1802-1829）成功地证明了五次以上一般方程没有根式解．1828年，法国天才数学家伽罗瓦（E ．Galois ，1811-1832）巧妙而简洁地证明了存在不能用开方运算求解的具体方程．人们认识到高于四次的代数方程不存在求根公式，因此对于高次多项式函数及其他的一些函数，有必要寻求其零点的近似解的方法，这是一个在计算数学中十分重要的课题．设计意图：介绍中外历史上的方程求解问题，让学生感受到数学文化方面的熏陶，最大限度地调动学生的学习兴趣，激发学生的求知欲，提高学习的积极性和主动性．同时，从高次代数方程解的探索历程使学生认识引入二分法的意义．7 案例反思7．１倡导新课程理念，进行有效设计《数学课程标准（试验稿）》明确指出：由于不同的学生所处的社会环境不尽相同，所具备的数学知识背景与数学活动经验也各异，所以，教科书的定位应当是“学生数学学习的重要线索”，它并不能满足所有学生数学学习活动的需要．本学案设计，以倡导新课程理念：自主探索、动手实践、合作交流的学习方式为出发点，根据自己学生的社会环境特征、思维活动水平和数学学习条件去创造最适合自己学生的数学学习活动，在知识的形成过程中突出数学思维活动的学习，引导学生充分经历知识的建构过程．在设计实践中，更多地关注学生的学，坚持实现数学学习的“有效”和“高效”，并使数学学习实现从“有效学习”、“高效学习”到“魅力学习”的飞越.（1）为充分调动学生的积极性与主动性，提高学习兴趣，以猜数字游戏为情景，在玩的过程中来体验二分法的这一算法思想，突出了学习的主题，进行了有效情景的设计．（2）为让学生顺利地进行有效学习，以问拓思，因问造势，学案设计了4个活动，一环扣一环，让学生身临其境，合作交流，共同探究，帮助学生发现规律，解决问题，同时让学生学会独立地将课本上的知识进行分析综合，整理归纳，自我诊断，通过解题巩固知识，最终形成了一个完整的科学体系，达到学习目的，突出理性思维，优化学生的认知结构，培养创新能力．（3）为符合社会的需要，让学生认识到数学与我有关，我要学数学、用数学，密切联系实际生活，在生活情景学习数学，充分挖掘课本知识的生活背景，设计实际应用问题．（4）为开阔学生视野，感悟文化，激发兴趣，使个性品质得到培养，有意义地进行学习，注重选取可读性强的阅读材料——介绍中外历史上的方程求解问题．7．2 对学案的挖掘“学案”是建立在教案基础上针对学生学习而开发的一种学习方案，其实质上是教师用以帮助学生掌握教材内容，沟通教与学的桥梁，也是培养学生自主学习和建构知识能力的一种重要媒介，具有“导读，导听，导思，导做”的作用，但它没有固定的模式，具有较大的弹性和适应性．因此，教师在思想上要从“教案”转变到“学案”，根据实际情况，把教师的教学目标转化为学生学习的目标，把学习目标设计成学习方案交给学生．根据学生现有知识，自学能力水平和教学要求，参照各方面信息，制定出一整套学生自学的“学案”，来实现个性发展与全面发展的统一．参考文献：1 严士健，王尚志主编．普通高中课程标准实验教科·数学1（必修）[M]．北京：北京师范大学出版社，2008普通高中数学课程标准（实验）2 章建跃．有效改进课堂教学——暨第四届全国高中青年数学教师优秀课观摩与评比活动综述[J]．数学通报，2008，123 张劲松，郭豫．高中数学课程中的二分法——对“用二分法求方程的近似解”一堂课的思考[J]．中学数学教学参考，2008，44 王培．教学反思——新型教师成长的必由之路[J]．中学数学教学，2008，3。

第五单元近现代中国的先进思想第20课西学东渐【课程标准】了解鸦片战争后中国人学习西方、寻求变革的思想历程，理解维新变法思想在近代中国社会发展进程中所起的作用。

一、开眼看世界1．背景(2)2．目的3．人物(1)志》，成为近代中国“开眼看世界的第一人”。

(2)魏源：编写，提出了“师夷长技以制夷”的思想。

4．影响(1)(2)逐渐成为中国近代的思想主流。

【误区警示】在民族危机之下，林则徐、魏源主张学习西方，但是林则徐、魏源是封建地主阶级的代表人物，因此其主要目的是维护清政府的封建统治，并不是要改变社会制度。

二、体用之争1．时间：19世纪60～90年代。

2．焦点：是否兼采西方文化变革救世。

3．表现(1)(2)顽固派：反对“西学为用”，维持既有的政治文化格局。

(3)4．评价(1)(2)为西学在中国的传播创造了良好的舆论环境。

【误区警示】 地主阶级抵抗派和洋务派虽都属于地主阶级派别，但两者的侧重点不同，前者主张“师夷长技以制夷”，侧重于抵抗外来侵略；而洋务派主张“师夷长技以自强”，既维护清朝统治，镇压人民的反抗斗争，也含有抵御外侮的意图。

三、维新思潮1．早期维新派的转变(1)(2)(3)17政治制度方面起到了启蒙作用。

2．维新思潮的形成(1)背景：19世纪90(2)代表(1)内容(2)影响②为中国文化的发展开辟了一条新的道路。

【误区警示】 维新派与洋务派思想的分歧根本上是由不同的阶级立场决定的。

但无论是洋务派的“中体西用”思想，还是维新派的维新变法思想都在一定时期推动了中国社会的发展和进步，都应该给予积极的评价。

[讨论交流1] 下图是我国南方某城市的一个雕塑，你能判断这个城市的名称以及涉及的历史大事吗？试答：城市：广州。

事件：虎门销烟。

[讨论交流2] 林则徐为什么被称为近代中国“开眼看世界的第一人”？试答：鸦片战争后，为了解西方，抵御外来侵略，一批满怀爱国热忱和经世之志的先进中国人开始冲破传统的“贵中华”“贱夷狄”的思想藩篱，以新的眼光审视世界。

《利用二分法求方程的近似解》教学设计1.了解求方程近似解的方法，会用二分法求具体方程的近似解．2.体会函数在解方程中的作用．重点：利用二分法求方程的近似解． 难点：求方程近似解的精确度的把握．一、情境导入情境：怎样工作最合理？在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障，这是一条长10 km 的线路，如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多，每查一个点要爬一次电线杆，10 km 大约有200多根电线杆呢．如何迅速查出故障所在？想一想，维修线路的工人师傅怎样工作最合理？首先从整条线路AB 的中点C 查起，用随身带的话机向两端测试时，发现AC 段正常，断定故障在BC 段；再到BC 段中点D ，这次发现BD 段正常，可见故障在CD 段；再查CD 中点E …每查一次，可以把待查的线路长度缩减一半，算一算，要把故障可能发生的范围缩小到50 m 左右，即两根电线杆附近，要查多少次？答案：只要8次就够了．设计意图：通过实际情境，让学生在轻松愉快的环境下开始本节课的学习，在问题情境中感悟数学有用，增加学习兴趣，为引入二分法的原理做准备．二、新知探究问题1：我们已经学过一元一次方程、一元二次方程的解法，但是，绝大部分方程没有求解公式，如ln x +2x −6=0，那么如何确定方程ln x +2x −6=0的解呢？设计意图：教师提出问题，引发学生的思维，造成悬念；再通过以下问题的探究，引导学生展开思考．方程ln x +2x −6=0一定有解吗？为此，需先确定实数解的存在性． 追问1：怎样确定方程有实数解？答案：方程f (x )=0有实数解⇔函数y =f (x )有零点⇔函数y =f (x )的图象与x 轴有公共点．所以，函数y =f (x )的零点就是y =f (x )的图象与x 轴交点的横坐标，即方程f (x )=0的◆教学目标◆教学重难点 ◆◆教学过程实数解．若函数y=f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条连续的曲线，并且在区间端点的函数值一正一负，即f(a)•f(b)<0，则在开区间(a，b)内，函数y=f(x)至少有一个零点，即在区间(a，b)内相应的方程f(x)=0至少有一个解．追问2：能否找出方程ln x+2x−6=0的一个实数解的存在区间呢？答案：设f(x)=ln x+2x−6，容易得出f(2)=ln2+4−6=ln2−2<0，f(3)=ln3>0，结合零点存在定理，可知f(x)=ln x+2x−6在区间(2，3)内存在零点，即方程ln x+2x−6=0的一个实数解的存在区间为(2，3)．追问3：我们已经知道， ln x+2x−6=0在区间(2，3)内存在实数解，其准确值无法求出，能否求这个实数解的近似值呢？答案：一个直观的想法是：如果能将实数解所在的范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下就可以得到符合要求的实数解的近似值．（精确度是指近似值与其准确值的接近程度）设x̂是方程f(x)=0的一个解，给定正数ε，若x0满足|x0−x̂|<ε，就称x0是满足精确度ε的近似解．追问4：如果要获得精确度为0.5的近似解，你能找到一个符合要求的区间吗？答案：已知ln x+2x−6=0在区间(2，3)内存在实数解，即函数f(x)=ln x+2x−6在区间(2，3)内存在零点，这个区间长度为1．要获得精确度为0.5的实数解的近似值，至少需将包含零点的区间长度缩小为原来的一半．考虑区间(2，3)的中点2.5，又f(2.5)= ln2.5−1<0，f(3)=ln3>0，则f(2.5)f(3)<0．根据函数零点存在定理可知，函数f(x)= ln x+2x−6在区间(2.5，3)内存在零点，即ln x+2x−6=0在区间(2.5，3)内存在实数解，区间长度为0.5，因此，区间[2.5，3]内任意一个数都是满足精确度的近似解．追问5：如果要获得精确度为0.01的近似解，你将采取什么办法来逐步缩小区间？答案：当精确度为0.01时，借助函数的零点存在定理，至少需要将零点存在的区间长度缩小到0.01．在一定精确度的要求下，通过取区间的中点，将零点所在区间逐次减半．有限次重复相同步骤，借助函数零点的存在定理，将零点所在区间尽量缩小，达到精确度要求后，此区间内的任意一个数都可以作为函数零点的近似值．追问6：给定精确度ε，为什么当|a－b|<ε时，区间[a，b]中任意一个值x0都是满足精确度ε的近似值？答案：根据精确度的定义，精确度是指近似值x0与其准确值x̂的接近程度．近似值x0的误差不超过某个数ε，即|x0−x̂|<ε，就说它的精确度是ε．所以当|a－b|<ε时，x̂所在的区间[a，b]中任意一个值x0与x̂的误差都不超过|a－b|，当然也就不超过ε．区间[a，b]中任意一个值x0都是满足精确度ε的近似值．追问8：你给出ln x+2x−6=0的精确度为0.01的近似解吗？答案：由|2.53125－2.5390625|=0.0078125<0.01知，区间(2.53125，2.5390625)内任意一点都可以作为解的近似值．如：取x=2.532作为函数f(x)=ln x+2x−6零点的近似值，也即方程ln x+2x−6=0的近似解．问题2 上面这种求方程ln x+2x−6=0的近似解的方法，它的总体思路是什么？这种方法适用于哪些方程？答案：这种方法的总体思路是，通过不断把函数f(x)=ln x+2x−6的零点所在区间一分为二，使得区间的两个端点逐步逼近零点，从而得到零点近似值．取区间(a，b)的中点a+b2，若f(a+b2)·f(b)<0，则区间(a+b2，b)内有方程的解．再取区间(a+b2，b)的中点……这样操作下去（如果取到某个区间的中点x0，恰使f(x0)=0，那么x0就是所求的解；如果区间中点x0的函数值不等于0，且区间某个端点的函数值与f(x0)异号，那么x0与这个端点组成新的区间的端点），经过有限次操作，就得到一串区间，其端点的函数值符号相反，且每次操作都使区间长度减小二分之一，随着操作次数的增加，区间长度越来越小，端点逐步逼近方程f(x)=0的解，从而得到近似解．像这样，对于一般的函数y=f(x)，x∈[a，b]，若函数y=f(x)的图象是一条连续的曲线，f(a)·f(b)<0，则每次取区间的中点，将区间一分为二，再经比较，按需要留下其中个小区间的求方程近似解的方法称为二分法．总结：只要方程所对应的函数图象是连续的曲线，而且有实根，就可用二分法借助于计算器或计算机求出方程根的近似值．二分的次数越多，近似值就越精确．二分法体现了无限逼近（极限）的数学思想．追问：你能提炼出给定精确度ε，用二分法求方程f(x)=0的近似解x0的一般步骤吗？答案：二分法求方程近似解的思想来源于零点存在定理．利用二分法求方程近似解的过程可以用下图所示：其中：初始区间是一个两端点函数值异号的区间；新区间的一个端点是原区间的中点，另一端点是原区间两端点中的一个，并且新区间两端点的函数值异号．在用二分法求方程近似解的步骤中，初始区间的选定，往往需要通过分析函数的性质和试算．初始区间选的不同，虽然不影响最终计算结果，但可能影响计算量的大小．若方程f(x)=0有多个解，则需要选取不同的初始区间来求得不同解的近似值．三、应用举例例1:求方程2x3+3x−3=0的一个近似解．（精确度为0.01）解：考察函数f(x)=2x3+3x−3，基于零点存在定理，从一个两端点函数值异号的区间开始，应用二分法逐步缩小方程解所在区间．经试算，f(0)=−3<0，f(1)=2>0．所以方程f(x)=0在区间(0，1)内有解．取区间(0，1)的中点0.5，f(0.5)=−1.25<0，所以方程f(x)=0在区间(0.5，1)内有解．如此下去，得到方程f(x)=0的解所在的区间，如下表：至此，可以看出，区间[0.734375，0.7421875]的区间长度为0.0078125，它小于0.01．而方程的解就在这个区间内，因此区间内的任意一个数都是满足精确度的近似解，例如，0.74 就是方程2x3+3x−3=0精确度为0.01的一个近似解．四、课堂练习1．思考辨析(1)任何函数的零点都可以用二分法求得．()(2)用二分法求出的方程的根都是近似解．()(3)当方程的有解区间[a，b]的区间长度b−a≤ε(精度)时，区间(a，b)内任意一个数都是满足精度ε的近似解．()2．用二分法求函数f(x)=3x−7的零点时，初始区间可选为()A．(－1，0)B．(0，1) C．(1，2) D．(2，3)3．若函数f(x)=x3+x2−2x−2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：A．1.25B．1.375C．1.40625D．1.5参考答案：1.(1)只有当函数图象在区间[a，b]是连续的曲线，且与x轴有交点时（即f(a)·f(b)<0），才可用二分法求函数的零点．故错误；(2)使用二分法时，如果取到某个区间的中点x0，恰使f(x0)=0，那么x0就是所求的解，不是近似解．故错误；(3)正确．2.解：f(−1)=3−1−7=13−7=−203<0，f(0)=30−7=1−7=−6<0，f(1)=31−7=−4<0，f(2)=32−7=9−7=2>0，故函数f(x)的零点在区间(1，2)上，故初始区间可选为(1，2)．选C．3.解：根据题意知函数的零点在1.40625至1.4375之间，又|1.437 5－1.406 25|=0.031 25<0.1，故方程的一个近似解为1.40625，故选C．五、课堂小结1.二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近方程的解，直至找到解附近足够小的区间，根据所要求的精度，区间的任意数值即为近似解．2.并非所有函数都可以用二分法求出其零点，只有满足：(1)函数图像在区间[a，b]上连续不断；(2)f(a)·f(b)<0．上述两条的函数，方可采用二分法求得零点的近似值．六、布置作业教材第132页练习第1题．。

E D C A4.1.2利用二分法求方程的近似解教学目标第一、知识与能力目标：理解用二分法求方程近似解的原理； 能够借助计算器用二分法求方程的近似解；了解用框图表示二分法求方程近似解的过程； 第二、过程与方法目标：通过利用二分法求方程近似解的思路和过程的探究，让学生充分体验近似的思想、逼近的思想和程序化地处理问题的思想及其重要作用；第三、情感、态度、价值观目标：培养学生探究问题的能力、严谨的科学态度和创新能力：让学生在自我解决问题的过程中，体验成功的喜悦。

教学重点：能够借助计算器用二分法求方程的近似解。

教学难点：方程近似解所在初始区间的确定和准确把握终止条件。

教学方法：教师诱导，自主探索，动手实践，合作交流，归纳总结。

教学过程：（一）创设情境，提出问题问题1:如果现在靖边中学到自来水公司的管道某处发生故障,那么怎么找到这个故障点,要不要把水泥板全部掀起?（以实际问题为背景，以学生感觉较简单的问题入手，激活学生的思维，形成学生再创造的欲望．注意学生解题过程中出现的问题，及时引导学生思考，从二分查找的角度解决问题．）[学情预设] 学生独立思考，可能出现的以下解决方法：思路1：直接一个个找．思路2：通过先找中点，缩小范围，再找剩下来一半的中点．老师从思路2入手，引导学生解决问题：首先从中点C 查,发现有水,说明BC 段正常,断定故障在AC 段,再到AC 段中点D 查这次发现没水,可见故障在DC 段再到DC 中点E 点来看有水，可见故障在DE 段这样每查一次,就可以把待查的管道长度缩减一半师：我们可以用一个动态过程来展示一下（展示多媒体课件）．师：在一条线段上找某个特定点，可以通过取中点的方法逐步缩小特定点所在的范围（即二分法思想）在实际生活中二分法常用于查找管道线路故障．我们体会到了二分法在实际生活中的用处，其实它在数学中也有很大的用处。

这节课我们就来学习用二分法求方程的近似解。

（引出课题）[设计意图] 从实际问题入手，利用计算机演示用二分法思想查找故障发生点，通过演示让学生初步体会二分法的算法思想与方法, 说明二分法原理源于现实生活，并在现实生活中广泛应用，激发学习的热情和学习的兴趣．（二）师生探究,构建新知问题2：假设自来水故障点大概在如图函数的零点位置，请同学们想一个找出零点的方法。

主备人： 审核： 年级主任： 使用时间：4．1．2利用二分法求方程的近似解【学习目标】1．通过价格竞猜感受二分法的思想．2．会叙述二分法求方程的近似解的步骤，能用二分法求方程的近似解．3．在运用二分法求方程的近似解，不断缩小区间长度逼近方程的准确解的过程中，体会逼近思想． 【重点难点】重点：用二分法求解函数f(x)的零点近似值的步骤． 难点：零点近似值的选取． 【学法指导】1．二分法求方程的近似解是一个程序化的过程，需要在解题中多体会． 2．可以借助计算器．3．关键词：有解区间，精度，近似解． 【问题导学】一、感受二分法思想1．精度是指估计值与真实值的接近程度．在142.314.31.3≈≈≈πππ，，中，精度最高是 ． 2．中央电视台有一款节目《幸运52》中有一个活动竞猜物品的价格，主持人展示一件物品（吉他），接着随机挑选一名幸运观众进行价格竞猜。

活动的规则是幸运观众可以报价7次，每次报价后主持人会告知所报价格是高了还是低了，若所报价格与物品价格相差5元就算报价成功。

三位观众用了不同的方法进行猜测：观众一：先估计大概价格，若低了再每次加价10元……观众二：先初步估算一个价格，如果高了每隔100元降低报价。

如果低了，每50元上涨；如果再高了，每隔20元降低报价；如果低了，每隔10元上升报价……观众三：先初步估算一个价格，如果高了，再报一个低一点的价格；如果低了，就报两个价格和的一半；如果高了，再把报的低价与一半价相加再求其半，报出价格；如果低了，就把刚刚报出的价格与前面的价格结合起来取其和的半价……你比较认可哪位观众的方法？你若是幸运观众，你有没有不同的竞猜方法？若有，请写出你的方法来。

说明：逐渐逼近真实价格的方法很多，其中这种取中逐步逼近准确值的方法叫做二分法。

二、运用二分法求方程ln x + 2x – 6=0的近似解（认真阅读课本第117页内容）1．观察函数f (x ) = ln x + 2x – 6的图像，并根据f(2)<0,f(3)>0,可得出该函数的零点在区间(2，3)内．此时区间长度为1．2．取区间(2，3)的中点2.5，用计算器算得f (2.5)≈ ．因为f (2.5)·f ( )＜0，所以零点在区间( ， )内．此时区间长度为 ．3．再取这个区间的中点 ，用计算器算得f ( )≈ ．此时f ( )·f ( )＜0，所以零点在区间( ， )内．此时区间长度为 ．归纳：如果重复上述步骤，那么零点所在的区间长度会越来越 ． 4．（填一填）完成下表（可以借助计算器）：5．近似解的确定因为方程的准确解在区间[2,3]上，此时区间[2,3]的任意一个实数与真实解的误差都不超过1，若近似解要求精度为1，那么这个区间的任何一个实数都可以作为该方程的近似解．若精度为0.1时，该函数的近似解可以是闭区间 上的任意实数，写出该方程的一个近似解≈x ．方法归纳：对于在区间a [，]b 上连续不断，且满足)(a f ·)(b f 0<的函数)(x f y =，通过不断地把函数)(x f 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．三、（想一想）结合上题求方程近似解的过程，完成下面问题： 1．求函数f(x)的零点近似值第一步应做什么？2．为了缩小零点所在区间的范围，接下来应做什么？3．若f(c )=0说明了什么？ 若f(a )·f(c )<0或f(c )·f(b )<0 ，则分别说明了什么？ 【合作探究】21．用二分法求函数y = f (x )在(1,2)内零点近似值的过程中得到f (1) <0，f (1.5)>0，f (1.25) <0，则函数的零点落在区间（ ）．A ． (1, 1.25)B ． (1.25, 1.5)C ． (1.5, 2)D ．不能确定 2．下列函数图像中，不适宜用二分法求函数零点的有 ．3．借助计算器用二分法求方程123=+x x 在[0,1]上的近似解(精度为0.1)．解：考虑函数1)(23-+=x x x f ，计算得.01)1(,01)0(>=<-=f f 初始区间为 ，完成下表：当|b-a |≤0.1时,终止计算，此时a = ，b = ． 此时近似解为 ．4．利用计算器，用二分法求方程732=+x x的近似解（精度0.1）．5．试写出运用二分法求方程近似解的步骤：【堂清训练】1．用二分法求函数y =f (x )在区间（2.4）上的唯一零点的近似值时，验证f (2)·f (4)<0,取区间(2.4)的中点1x =242+=3计算f (2)·f (x 1)<0,则此时零点0x 所在区间是（ ）. A (2,4)B (2,3)C (3,4)D 无法确定2. 函数f (x )=lg x -x9的零点所在大致区是（ ）. A (6,7)B (7,8)C (8,9)D (9,10)。

3.1.2 用二分法求方程的近似解教学设计[学习目标] 1.能用二分法求出方程的近似解.2.知道二分法是求方程近似解的一种常用方法，体会“逐步逼近”的思想．[知识链接]现有一款手机，目前知道它的价格在500～1 000元之间，你能在最短的时间内猜出与它最近的价格吗？(误差不超过20元)，猜价格方案：(1)随机；(2)每次增加20元；(3)每次取价格范围内的中间价，采取哪一种方案好呢？[预习导引]1．二分法的定义对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．2．二分法的步骤给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：(1)确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)＜0，给定精确度ε；(2)求区间(a，b)的中点c；(3)计算f(c)；①若f(c)＝0，则c就是函数的零点；②若f(a)·f(c)＜0，则令b＝c(此时零点x0∈(a，c))．③若f(c)·f(b)＜0，则令a＝c(此时零点x0∈(c，b))．(4)判断是否达到精确度ε：即若|a－b|＜ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复(2)～(4)．要点一二分法概念的理解例1 下列图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是( )答案 A解析按定义，f(x)在[a，b]上是连续的，且f(a)·f(b)＜0，才能不断地把函数零点所在的区间一分为二，进而利用二分法求出函数的零点．故结合各图象可得选项B、C、D满足条件，而选项A不满足，在A中，图象经过零点x0时，函数值不变号，因此不能用二分法求解．故选A.规律方法 1.准确理解“二分法”的含义．二分就是平均分成两部分．二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，逐步逼近零点的方法，找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点．2．“二分法”与判定函数零点的定义密切相关，只有满足函数图象在零点附近连续且在该零点左右函数值异号才能应用“二分法”求函数零点．跟踪演练1 (1)下列函数中，能用二分法求零点的为( )(2)用二分法求函数f(x)在区间[a，b]内的零点时，需要的条件是( )①f(x)在区间[a，b]是连续不断；②f(a)·f(b)＜0；③f(a)·f(b)＞0；④f(a)·f(b)≥0. A．①② B．①③ C．①④ D．①②③答案(1)B (2)A解析(1)函数图象连续不断，函数零点附近的函数值异号，这样的函数零点才能使用二分法求解，观察四个函数图象，只有B选项符合．(2)由二分法的意义，知选A.要点二用二分法求方程的近似解例2 用二分法求方程2x3＋3x－3＝0的一个正实数近似解(精确度0.1)．解令f(x)＝2x3＋3x－3，经计算，f(0)＝－3＜0，f(1)＝2＞0，f(0)·f(1)＜0，所以函数f(x)在(0,1)内存在零点，即方程2x3＋3x＝3在(0,1)内有解．取(0,1)的中点0.5，经计算f(0.5)＜0，又f(1)＞0，所以方程2x3＋3x－3＝0在(0.5,1)内有解．如此继续下去，得到方程的正实数根所在的区间，如表：由于所以方程2x3＋3x－3＝0的一个精确度为0.1的正实数近似解可取为0.687 5.规律方法 1.二分法求方程的近似解的过程可用下面的流程图表示：2．求形如f(x)＝g(x)的方程的近似解，可以通过移项转化成求F(x)＝f(x)－g(x)的近似解问题．跟踪演练2 用二分法求2x＋x＝4在[1,2]内的近似解(精确度为0.2)．参考数据：解令f(f(2)＝22＋2－4＞0.∵|1.375－∴2x＋x＝4在(1,2)内的近似解可取为1.375.1．用二分法求函数f (x )＝x 3＋5的零点可以取的初始区间是( ) A ．[－2,1] B ．[－1,0] C ．[0,1] D ．[1,2] 答案 A解析 ∵f (－2)＝－3＜0，f (1)＝6＞0，f (－2)·f (1)＜0，故可取[－2,1]作为初始区间，用二分法逐次计算．2．定义在R 上的函数f (x )的图象是连续不断的曲线，已知函数f (x )在区间(a ，b )上有一个零点x 0，且f (a )·f (b )＜0，用二分法求x 0时，当f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2＝0时，则函数f (x )的零点是( ) A ．(a ，b )外的点 B ．x ＝a ＋b2C ．区间⎝⎛⎭⎪⎫a ，a ＋b 2或⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，b内的任意一个实数D ．x ＝a 或x ＝b 答案 B解析 由二分法的思想，采用二分法得到的零点可能是准确值，也可能是近似值．由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2＝0，知选B.3．函数f (x )的图象是连续不断的曲线，在用二分法求方程f (x )＝0在(1,2)内近似解的过程中得f (1)＜0，f (1.5)＞0，f (1.25)＜0，则方程的解所在区间为( ) A ．(1.25,1.5) B ．(1,1.25) C ．(1.5,2) D ．不能确定 答案 A解析 由于f (1.25)·f (1.5)＜0，则方程的解所在区间为(1.25,1.5)． 4．函数f (x )＝log 2x ＋2x －1的零点必落在区间( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫18，14B.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 D ．(1,2) 答案 C解析 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18＝－154＜0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝－52＜0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－1＜0，f (1)＝1＞0，f (2)＝4＞0，∴函数零点落在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上．5．用二分法求方程x 3－2x －5＝0在区间(2,3)内的实根，取区间中点为x 0＝2.5，那么下一个有根的区间是________． 答案 (2,2.5)解析 f (2)＝23－2×2－5＝－1＜0，f (2.5)＝2.53－2×2.5－5＝5.625＞0，∴下一个有根的区间是(2,2.5)．1．二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，直至找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点．2．并非所有函数都可以用二分法求其零点，只有满足：(1)在区间[a，b]上连续不断；(2)f(a)·f(b)＜0.上述两条的函数，方可采用二分法求得零点的近似值.一、基础达标1．已知函数f(x)的图象如图，其中零点的个数及可以用二分法求解的个数分别为( )A．4,4 B．3,4C．5,4 D．4,3答案 D解析由图象知函数f(x)与x轴有4个交点，因此零点个数为4，从左往右数第4个交点两侧不满足f(a)·f(b)＜0，因此不能用二分法求零点，而其余3个均可使用二分法求零点．2．为了求函数f(x)＝2x－x2的一个零点，某同学利用计算器，得到自变量x和函数值f(x)的部分对应值[f(x)的值精确到0.01]如下表如示：A．(0.6,1.0) B．(1.4,1.8)C．(1.8,2.2) D．(2.6,3.0)答案 C解析∵f(1.8)·f(2.2)＝0.24×(－0.25)＜0，∴零点在区间(1.8,2.2)上．故选C.3．用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经计算f(0)＜0，f(0.5)＞0，可得其中一个零点x 0∈________，第二次应计算________，以上横线上应填的内容为( ) A ．(0,0.5)，f (0.25) B ．(0,1)，f (0.25) C ．(0.5,1)，f (0.75) D ．(0,0.5)，f (0.125) 答案 A解析 二分法要不断地取区间的中点值进行计算．由f (0)＜0，f (0.5)＞0知x 0∈(0,0.5)．再计算0与0.5的中点0.25的函数值，以判断x 0的更准确位置． 4．设方程2x ＋2x＝10的根为β则β属于( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4) 答案 C解析 设f (x )＝2x ＋2x－10，则f (x )在R 上为单调增函数，故只有一个零点．f (0)＝－9，f (1)＝－6，f (2)＝－2，f (3)＝4，∴f (2)·f (3)＜0.∴β∈(2,3)．5．函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x与函数y ＝lg x 的图象的交点的横坐标(精确度0.1)约是( )A ．1.5B ．1.6C ．1.7D ．1.8 答案 D解析 设f (x )＝lg x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，经计算f (1)＝－12＜0，f (2)＝lg 2－14＞0，所以方程lg x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＝0在[1,2]内有解．应用二分法逐步缩小方程实数解所在的区间，可知选项D 符合要求．6．用二分法求方程ln x －2＋x ＝0在区间[1,2]上零点的近似值，先取区间中点c ＝32，则下一个含根的区间是__________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2 解析 令f (x )＝ln x －2＋x ，∵f (1)＝－1＜0，f (2)＝ln 2＞0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝ln 32－12<0，∴下一个含根的区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2.7．用二分法求函数f (x )＝3x－x －4的一个零点，其参考数据如下：据此数据，求f (x )＝3x－x －4的一个零点的近似值(精确度0.01)． 解 由表中f (1.562 5)＝0.003，f (1.556 2)＝－0.029. ∴f (1.562 5)·f (1.556 2)＜0.又|1.562 5－1.556 2|＝0.006 3＜0.01， ∴一个零点近似值为1.562 5(不唯一)． 二、能力提升8．在用“二分法”求函数f (x )零点近似值时，第一次所取的区间是[－2,4]，则第三次所取的区间可能是( ) A ．[1,4] B ．[－2,1] C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，52 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1 答案 D解析 由于第一次所取的区间为[－2,4]， ∴第二次所取区间为[－2,1]或[1,4]， 第三次所取区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，－12，⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，52或⎣⎢⎡⎦⎥⎤52，4.9．用二分法求方程x 3－8＝0在区间(2,3)内的近似解经过________次“二分”后精确度能达到0.01? 答案 7解析 设n 次“二分”后精确度达到0.01， ∵区间(2,3)的长度为1，∴12n <0.01，即2n>100.注意到26＝64<100,27＝128>100. 故要经过7次二分后精确度达到0.01.10．已知图象连续不断的函数y ＝f (x )在区间(0,0.1)上有唯一零点，如果用二分法求这个零点(精确度为0.01)的近似值，则应将区间(0,0.1)等分的次数至少为________． 答案 4解析 设等分的最少次数为n ，则由0.12n ＜0.01，得2n＞10，∴n 的最小值为4.11．画出函数f (x )＝x 2－x －1的图象，并利用二分法说明方程x 2－x －1＝0在[0,2]内的根的情况．解图象如图所示，因为f(0)＝－1＜0，f(2)＝1＞0，所以方程x2－x－1＝0在(0,2)内有根x0；取(0,2)的中点1，因为f(1)＝－1＜0，所以f(1)·f(2)＜0，根x0在区间(1,2)内；再取(1,2)的中点1.5，f(1.5)＝－0.25＜0，所以f(1.5)·f(2)＜0，根x0在区间(1.5,2)内；取(1.5,2)的中点1.75，f(1.75)＝0.312 5＞0，所以f(1.5)·f(1.75)＜0，根x0在区间(1.5,1.75)内．这样继续下去，可以得到满足一定精确度的方程的近似根．三、探究与创新12．求方程ln x＋x－3＝0在(2,3)内的近似解(精确度为0.1)．解令f(x)＝ln x＋x－3，求函数f(x)＝0在(2,3)内的零点．∵f(2)＝ln 2－1＜0，f(3)＝ln 3＞0，取(2,3)作为初始区间，用二分法列表如下：∵2.25－2.187 5∴在区间(2.187 5,2.25)内任意实数都是函数的零点的近似值，即方程的近似解可取为2.25.13．用二分法求5的近似值(精确度0.1)．解设x＝5，则x2＝5，即x2－5＝0，令f(x)＝x2－5.因为f(2.2)＝－0.16＜0.f(2.4)＝0.76＞0，所以f(2.2)·f(2.4)＜0，说明这个函数在区间(2.2,2.4)内有零点x0，取区间(2.2,2.4)的中点x1＝2.3，则f(2.3)＝0.29.因为f(2.2)·f(2.3)＜0，∴x0∈(2.2,2.3)，再取区间(2.2,2.3)的中点x2＝2.25，f(2.25)＝0.062 5.因为f(2.2)·f(2.25)＜0，所以x0∈(2.2,2.25)．由于|2.25－2.2|＝0.05＜0.1，所以5的近似值可取为2.25.。

4.1.2 利用二分法求方程的近似解1. 根据具体函数的图像，借助计算器用二分法求相应方程的近似解．(重点)2. 学习利用二分法求方程近似解的过程和方法．(难点)[基础·初探]教材整理利用二分法求方程的近似解阅读教材P117～P119整节课的内容，完成下列问题．1. 二分法的概念对于图像在区间[a，b]上连续不断且满足f(a)·f(b)＜0的函数y＝f(x)，每次取区间的中点，将区间一分为二，再经比较，按需要留下其中一个小区间的方法称为二分法．2. 用二分法求方程的近似解的过程图4­1­1在图4­1­1中：“初始区间”是一个两端函数值反号的区间；“M”的含义是：取新区间，一个端点是原区间的中点，另一端是原区间两端点中的一个，新区间两端点的函数值反号；“N”的含义是：方程解满足要求的精度；“P”的含义是：选取区间内的任意一个数作为方程的近似解．1. 判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)任何函数的零点都可以用二分法求得．( )(2)用二分法求出的方程的根都是近似解．( )(3)当方程的有解区间[a，b]的区间长度b－a≤ε(精确度)时，区间(a，b)内任意一个数都是满足精确度ε的近似解．( )【答案】(1)×(2)×(3)√2. 在用二分法求函数f(x)的一个零点时，经计算，f(0.64)＜0，f(0.72)＞0，0.64＋0.72＝0.68，f(0.68)＜0，若精确度为0.1，则函数f(x)的零点近似值可为( ) 2A．0.64 B．0.65C．0.70 D．0.73【解析】因为0.72－0.68＝0.04＜0.1，故函数f(x)的零点在区间(0.68,0.72)，故函数的零点可以是0.70.【答案】 C[小组合作型]( )A B C D【精彩点拨】零点附近连续→零点左右函数值异号【尝试解答】按定义，f(x)在[a，b]上是连续的，且f(a)·f(b)＜0，才能不断地把函数零点所在的区间一分为二，进而利用二分法求出函数的零点．故结合各图像可得选项B、C、D满足条件，而选项A不满足，在A中，图像经过零点x0时，函数值不变号，因此不能用二分法求解．故选A.【答案】 A1. 准确理解“二分法”的含义．二分就是平均分成两部分．二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，逐步逼近零点的方法，找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点．2. “二分法”与判定函数零点的定义密切相关，只有满足函数图像在零点附近连续且在该零点左右函数值异号才能应用“二分法”求函数零点．[再练一题]1. (1)下列函数中，能用二分法求零点的为( )A B C D(2)用二分法求函数f (x )在区间[a ，b ]内的零点时，需要的条件是( )①f (x )在区间[a ，b ]是连续不断的；②f (a )·f (b )＜0；③f (a )·f (b )＞0；④f (a )·f (b )≥0.A ．①②B ．①③C ．①④D ．①②③【解析】 (1)函数图像连续不断，函数零点附近的函数值异号，这样的函数零点才能使用二分法求解，观察四个函数图像，只有B 选项符合．(2)由二分法的意义，知选A.【答案】 (1)B (2)A借助计算器或计算机，用二分法求方程3x＋xx ＋1＝0的近似解(精确度为0.1)．【精彩点拨】 借助函数图像的交点确定初始区间后用二分法求根的近似解．【尝试解答】 原方程可化为3x－1x ＋1＋1＝0，即3x＝1x ＋1－1， 在同一坐标系中，分别画出函数g (x )＝3x与h (x )＝1x ＋1－1的简图，如图所示： 因为g (x )与h (x )的图像交点的横坐标位于区间(－1,0)且只有一个交点， 所以原方程只有一解，设为x ＝x 0. 令f (x )＝3x＋xx ＋1＝3x－1x ＋1＋1， 因为f (0)＝1－1＋1＝1＞0，f (－0.5)＝13－2＋1＝1－33＜0， 所以x 0∈(－0.5,0)． 用二分法求解，列表如下：＝0.062 5＜0.1，所以原方程的近似解可取为－0.375.用二分法求方程的近似解，首先要选好计算的初始区间，这个区间既要包含所求的根，又要使其长度尽量小，其次要依据给定的精确度，及时检验所得区间端点的近似值是否达到要求达到给定的精确度，以决定是停止计算还是继续计算.[再练一题]2. 利用计算器，求方程lg x ＝2－x 的近似解．(精确到0.1)【解】作出y＝lg x，y＝2－x的图像，可以发现，方程lg x＝2－x有唯一解，记为x0，并且解在区间[1,2]内．设f(x)＝lg x＋x－2，用计算器计算得f(1)＜0，f(2)＞2⇒x∈[1,2]；f(1.5)＜0，f(2)＞0⇒x∈[1.5,2]；f(1.75)＜0，f(2)＞0⇒x∈[1.75,2]；f(1.75)＜0，f(1.875)＞0⇒x∈[1.75,1.875]；f(1.75)＜0，f(1.812 5)＞0⇒x∈[1.75,1.812 5]．在区间[1.75,1.812 5]中的值精确到0.1均为1.8.∴近似解为1.8.[探究共研型]图4­1­2假设在区间[－1,5]上，f(x)的图像是一条连续的曲线，且f(－1)·f(5)＜0，如何按照二分法的思想求方程f(x)＝0的一个解？【提示】取[－1,5]的中点2，因为f(5)＜0，f(2)＞0，即f(2)·f(5)＜0.所以在区间[2,5]内有方程的解．于是再取[2,5]的中点3.5…这样继续下去，如果取到某个区间的中点x0，恰使f(x0)＝0，则x0就是所求的一个解；如果区间中的点的函数值总不等于零，那么，不断地重复上述操作，就得到一系列闭区间，方程的一个解在这些区间中，区间长度越来越小，端点逐步逼近方程的解，可以得到一个近似解．探究 2 在上述问题中，如果不给精确，用二分法能一定求出零点吗？【提示】不能．探究 3 假设方程有一个近似解在区间[a，b]内，那么当区间的长度b－a的值满足什么条件时，区间(a，b)内任意一个数都是满足精度ε的近似解？为什么？【提示】当b－a≤ε，区间(a，b)内任意一个数都是满足精度ε的近似解．因为任意选取两数x 1，x 2∈(a ，b )，都有|x 1－x 2|＜ε.由于x ^∈(a ，b )，所以任意选取x ′∈(a ，b )都有|x ′－x ^|＜ε.用二分法求函数y ＝x 3－3的一个正零点(精确到0.01).【导学号：04100075】【精彩点拨】选定区间[1，2]→用二分法逐次计算→【尝试解答】 由于f (1)＝－2＜0，f (2)＝5＞0，因此可取区间[1,2]作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，见表如下：，所以1.44就是所求函数一个精确到0.01的正零点的近似值．二分法求解步骤：(1)确定区间[a ，b ]：验证f (a )·f (b )＜0，初始区间的选择不宜过大，否则易增加运算的次数．(2)求区间[a ，b ]的中点c . (3)计算f (c )：①若f (c )＝0，则c 就是函数的零点．②若f (a )·f (c )＜0，则令b ＝c (此时零点x 0∈[a ，c ])； ③若f (c )·f (b )＜0，则令a ＝c (此时零点x 0∈[c ，b ])．(4)判断a ，b 的两端的近似值是否相等，若相等得零点的近似解；否则重复(2)～(4)步．特别注意要运算彻底．[再练一题]3. 用二分法研究函数f (x )＝x 3＋3x －1的零点时，第一次经计算f (0)＜0，f (0.5)＞0，可得其中一个零点x 0∈________，第二次应计算________，以上横线上应填的内容为( )A ．(0,0.5)，f (0.25)B ．(0,1)，f (0.25)C ．(0.5,1)，f (0.75)D ．(0,0.5)，f (0.125)【解析】 由f (0)·f (0.5)＜0，故其中一个零点x 0∈(0,0.5)，第二次计算时取区间(0,0.5)的中点0.25，故第二次计算f (0.25)．【答案】 A1. 用二分法求函数f (x )＝3x－7的零点时，初始区间可选为( ) A ．(－1,0) B ．(0,1) C ．(1,2)D ．(2,3)【解析】 f (－1)＝3－1－7＝13－7＝－203＜0，f (0)＝30－7＝1－7＝1－7＝－6＜0， f (1)＝31－7＝－4<0， f (2)＝32－7＝9－7＝2＞0，故函数f (x )的零点在区间(1,2)上，故初始区间可选为(1,2)． 【答案】 C2. 若函数f (x )＝x 3＋x 2－2x －2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：A ．1.2B ．1.3C ．1.4D ．1.5【解析】 由参考数据可知，函数f (x )的零点在区间(1.25,1.375)，(1.375,1.406 25)，(1.406 25,1.437 5)内，由于 1.375－1.25＝0.15＞0.1，1.406 25－1.375＝0.031 25＜0.1,1.437 5－1.406 25＝0.031 25＜0.1.故函数的零点可以在区间(1.406 25,1.437 5)中取．故选项C 符合． 【答案】 C3. 已知图像连续不断的函数y ＝f (x )在区间(0,0.1)上有唯一零点，如果用二分法求这个零点(精确度为0.01)的近似值，则应将区间(0,0.1)等分的次数至少为________. 【导学号：04100076】【解析】 设等分的最少次数为n ，则由0.12n <0.01，得2n>10，所以n 的最小值为4.【答案】 44. 确定函数f (x )＝21log x ＋x －4的零点所在的区间．【解】 (答案不唯一)设y 1＝21log x ，y 2＝4－x ，则f (x )的零点个数即y 1与y 2的交点个数，作出两函数图像，如图．由图知，y 1与y 2在区间(0,1)内有一个交点， 当x ＝4时，y 1＝－2，y 2＝0，f (4)＜0， 当x ＝8时，y 1＝－3，y 2＝－4，f (8)＝1＞0， ∴在(4,8)内两曲线又有一个交点．故函数f (x )的两零点所在的区间为(0,1)，(4,8)．。

用二分法求方程的近似解一、教学内容分析本节课选自普通高中课程标准实验教科书数学北师大版必修1的第四章第二节《用二分法求方程的近似解》．本节课要求学生结合具体的函数图象能用二分法求相应方程的近似解，从中体会函数与方程之间的联系，它既体现了函数在解方程中的重要应用，同时又为高中数学中函数与方程思想、数形结合思想、二分法的算法思想打下了基础，在教学过程要让学生体会到人类在方程求解中的不断进步。

二、学生学习情况分析学生已经学习了函数，理解函数零点和方程根的关系, 初步掌握函数与方程的转化思想．但是对于求函数零点所在区间，只是比较熟悉求二次函数的零点，对于高次方程和超越方程对应函数零点的寻求会有困难．另外算法程序的模式化和求近似解对他们是一个全新的问题．三、教学目标知识与技能目标：（1）了解二分法是求方程近似解的一种方法。

（2）体会函数的零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识。

（3）根据具体函数的图像，能够借助计算器或计算机用二分法求相应方程的近似解。

过程与方法目标：（1）通过经历“用二分法求方程近似解”的探索过程，初步体会数形结合思想、逼近思想等。

（2）通过设置数学学习环境，让学生了解更多的获取知识的手段和途径。

情感态度与价值观目标：（1）在具体的问题情境中感受无限逼近的过程，感受精确与近似的相对统一。

（2）在探究解决问题的过程中，培养学生合作的态度、表达与交流的意识和勇于探索的精神。

四、教学重、难点：重点：二分法基本思想的理解，用二分法求方程近似解的步骤。

难点：求方程近似解一般步骤的理解和概括。

五、教学过程设计（一）设置情景，导入新课问题1：在cctv 经济频道播放的《购物街》节目中，主持人给出一个商品，让选手在一定时间内猜出其实际价格。

思考：如何猜价格能更快的猜对？（二）引导探究，获得新知问题2：假设电话线故障点大概在函数()ln 26f x x x =+-的零点位置，请同学们先猜想它的零点大概是什么？我们如何找出这个零点？我们已经知道，函数()ln 26f x x x =+-在区间（2，3）内有零点，且(2)f ＜0，(3)f ＞0.进一步的问题是，如何找出这个零点？合作探究：学生先按四人小组探究.（倡导学生积极交流、勇于探索的学习方式，有助于发挥学生学习的主动性）生：如果能够将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，我们可以得到零点的近似值. 师：如何有效缩小根所在的区间？生1：通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的范围．生2：是否也可以通过“取三等分点或四等分点”的方法逐步缩小零点所在的范围？师：很好，一个直观的想法是:如果能够将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，可以得到零点的近似值.其实“取中点”和“取三等分点或四等分点”都能实现缩小零点所在的范围.但是在同样可以实现缩小零点所在范围的前提下，“取中点”的方法比取“三等分点或四等分点”的方法更简便.因此，为了方便，下面通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的范围.引导学生分析理解求区间(,)a b 的中点的方法2a b x +=． 合作探究：（学生2人一组互相配合，一人按计算器，一人记录过程．四人小组中的两组比较缩小零点所在范围的结果．）步骤一：取区间(2，3)的中点2.5，用计算器算得(2.5)0.0840f ≈-<.由(3)f ＞0，得知(2.5)(3)0f f ⋅<，所以零点在区间(2.5，3)内。

《用二分法求方程的近似解》教学设计
课时安排：
本教学设计为一节课的教学内容，预计总时长为45分钟。

一、教学目标：
1.理解二分法的基本原理和运算过程；
2.掌握使用二分法求解方程的方法；
3.能够利用二分法求解简单方程的近似解。

二、教学准备：
1.教师准备：教师准备教学课件，包括相关的二分法求解方程的示例和练习题；
2.学生准备：学生准备好纸笔，随时记录学习笔记。

三、教学步骤：
1.导入（5分钟）：教师向学生介绍二分法的概念和原理，通过简单的例子说明二分法如何应用于求解方程的近似解。

2.理论讲解（10分钟）：教师详细讲解二分法的运算过程和步骤，包括确定解的区间、中点取值、替换求解等具体操作方法。

3.示例分析（10分钟）：教师通过一个具体的示例，演示如何使用二分法求解方程的近似解，引导学生掌握方法和技巧。

4.练习与讨论（15分钟）：学生在教师的引导下，进行一些简单的练习题，巩固所学知识。

学生可以在小组或全班讨论中，交流解题思路和方法。

5.总结（5分钟）：教师对本节课的内容进行总结和回顾，强调二分法在求解方程中的应用重要性，鼓励学生多加练习，提高解题能力。

四、课后作业：
1.完成课堂练习题，巩固所学知识；
2.独立解答几道关于二分法求解方程的习题，检验自己的掌握程度；。

利用二分法求方程的近似解【教学目标】1．通过具体函数图像，借助计算器用二分法求相应方程的近似解，培养数学运算素养。

2．通过学习利用二分法求方程近似解的过程和方法，提升直观想像、逻辑推理素养。

【教学重难点】1．根据具体函数的图像，借助计算器用二分法求相应方程的近似解。

(重点)2．学习利用二分法求方程近似解的过程和方法。

(难点)【教学过程】一、基础铺垫1．二分法的概念对于图像在区间[a，b]上连续不断且满足f(a)·f(b)＜0的函数y＝f(x)，每次取区间的中点，将区间一分为二，再经比较，按需要留下其中一个小区间的方法称为二分法。

2．用二分法求方程的近似解的过程在图中：“初始区间”是一个两端函数值反号的区间；“M”的含义是：取新区间，一个端点是原区间的中点，另一端是原区间两端点中的一个，新区间两端点的函数值反号；“N”的含义是：方程解满足要求的精度；“P ”的含义是：选取区间内的任意一个数作为方程的近似解。

思考：用二分法求函数近似零点时，函数应满足哪些条件？ [提示] (1)f (x )在区间[a ，b ]上的图像连续； (2)在区间[a ，b ]端点的函数值f (a )·f (b )<0. 二、新知探究 1．二分法概念的理解【例1】 下列图像与x 轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是( )A B C D[思路探究] 零点附近连续→零点左右函数值异号A [按定义，f (x )在[a ，b ]上是连续的，且f (a )·f (b )＜0，才能不断地把函数零点所在的区间一分为二，进而利用二分法求出函数的零点。

故结合各图像可得选项B 、C 、D 满足条件，而选项A 不满足，在A 中，图像经过零点x 0时，函数值不变号，因此不能用二分法求解。

故选A ．]【教师小结】（1）准确理解“二分法”的含义。

二分就是平均分成两部分。

二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，逐步逼近零点的方法，找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点。

《用二分法求方程的近似解》求方程的解是常见的数学问题，这之前我们都是在等式状态下研究方程的变化关系，从而得到诸如求根公式等方程的解。

但有些方程求精确解较难，本课试图从另一个角度来求方程的近似解。

说求方程的近似解倒不如说是逼近解。

本课重点是学习一种思维。

1、教学目标⑴知识目标：理解二分法的概念，掌握运用二分法求简单方程近似解的方法。

⑵能力目标：体验并理解函数与方程的相互转化的数学思想方法；让学生能够初步了解近似逼近思想，培养学生能够探究问题的能力、严谨的科学态度和创新能力。

⑶情感、态度与价值观正面解决问题困难时，可以通过迂回的方法去解决。

2、教学重点能够借用计算器，用二分法求相应方程的近似解。

3、教学难点对二分法的理论支撑的理解。

4、教学方法实例导入→推出课题→实践探究→总结提炼→学生感悟（总结、反思）5、教具多媒体课件6、教学过程…………………………………………………………………………………………………一. 创设情景，引入新课师：大家先来看一段录像（放映CCTV2幸运52片段）支持人李咏说道：猜一猜这件商品的价格。

观众甲：2000！李咏：高了！观众甲：1000！李咏：低了！观众甲：1700！李咏：高了！观众甲：1400！李咏：低了！观众甲：1500！李咏：低了！观众甲：1550！李咏：低了！观众甲：1580！李咏：高了！观众甲：1570！李咏：低了！观众甲：1578！李咏：低了！观众甲：1579！李咏：这件商品归你了。

下一件……师：（手拿一款手机）如果让你来猜这件商品的价格，你如何猜？生1：先初步估算一个价格，如果高了再每隔十元降低报价。

生2：这样太慢了，先初步估算一个价格，如果高了每隔100元降低报价。

如果低了，每50元上涨；如果再高了，每隔20元降低报价；如果低了，每隔10元上升报价……生3：先初步估算一个价格，如果高了，再报一个价格；如果低了，就报两个价格和的一半；如果高了，再把报的低价与一半价相加再求其半，报出价格；如果低了，就把刚刚报出的价格与前面的价格结合起来取其和的半价……师：在现实生活中我们也常常利用这种方法。

§4.1.2用二分法求方程的近似解一、教学目标1．知识与技能（1）解二分法求解方程的近似解的思想方法，会用二分法求解具体方程的近似解；（2）体会程序化解决问题的思想，为算法的学习作准备。

2．过程与方法（1）让学生在求解方程近似解的实例中感知二分发思想；（2）让学生归纳整理本节所学的知识。

3．情感、态度与价值观①体会二分法的程序化解决问题的思想,认识二分法的价值所在，使学生更加热爱数学；②培养学生认真、耐心、严谨的数学品质。

二、教学重点、难点重点：用二分法求解函数f(x)的零点近似值的步骤。

难点：为何由︱a － b ︳＜ 便可判断零点的近似值为a(或b)?三、学法与教学用具1．想－想。

2．教学用具：计算器。

四、教学设想（一）、创设情景，揭示课题提出问题：（1）一元二次方程可以用公式求根，但是没有公式可以用来求解放程㏑x＋2x－6=0的根；联系函数的零点与相应方程根的关系，能否利用函数的有关知识来求她的根呢？（2）通过前面一节课的学习，函数f(x)=㏑x＋2x－6在区间内有零点；进一步的问题是，如何找到这个零点呢？（二）、研讨新知一个直观的想法是：如果能够将零点所在的范围尽量的缩小，那么在一定的精确度的要求下，我们可以得到零点的近似值；为了方便，我们通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的范围。

取区间（2，3）的中点2.5，用计算器算得f(2.5)≈－0.084,因为f(2.5)*f(3)＜0,所以零点在区间（2.5，3）内；再取区间（2.5，3）的中点2.75，用计算器算得f(2.75)≈0.512,因为f(2.75)*f(2.5)＜0,所以零点在（2.5，2.75）内；由于（2，3），（2.5，3），（2.5，2.75）越来越小，所以零点所在范围确实越来越小了；重复上述步骤，那么零点所在范围会越来越小，这样在有限次重复相同的步骤后，在一定的精确度下，将所得到的零点所在区间上任意的一点作为零点的近似值，特别地可以将区间的端点作为零点的近似值。