苏教版数学高二- 选修1-2教案 3.3复数的几何意义

201７－20１8版高中数学第３章数系的扩充与复数的引入3．3 复数的几何意义教案苏教版选修1－2编辑整理：尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方,但是任然希望(2０1７-20１８版高中数学第３章数系的扩充与复数的引入 3.３复数的几何意义教案苏教版选修1-2)的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈,这将是我们进步的源泉,前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2017-20１8版高中数学第３章数系的扩充与复数的引入３．3 复数的几何意义教案苏教版选修1-2的全部内容。

3.3 复数的几何意义教学目标了解复数的几何意义，会用复平面内的点和向量来表示复数.了解复数加、减法的几何意义，进一步体会数形结合的思想.教学重、难点重点：复数的几何意义难点:复数加、减法的几何意义教学过程一、问题引入:我们知道实数可以用数轴上的点来表示。

那么，类比实数的表示，可以用什么来表示复数？一个复数由什么确定？二、知识新授：复平面、实轴、虚轴：复数ｚ＝a+bi(a、b∈R)与有序实数对(a，b）是一一对应关系这是因为对于任何一个复数ｚ=a+bi(a、ｂ∈R），由复数相等的定义可知,可以由一个有序实数对(ａ,b）惟一确定,如z＝3+2i可以由有序实数对（3,2)确定,又如ｚ=－2＋i可以由有序实数对(-2，1）来确定;又因为有序实数对(ａ,b)与平面直角坐标系中的点是一一对应的，如有序实数对（3，2)它与平面直角坐标系中的点A,横坐标为3,纵坐标为2，建立了一一对应的关系由此可知,复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应的关系点Z的横坐标是a,纵坐标是b,复数z=ａ+bi(ａ、b∈R)可用点Z(a,b）表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面,x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数对于虚轴上的点要除原点外,因为原点对应的有序实数对为（０，0）, 它所确定的复数是ｚ=0＋0i＝0表示是实数.故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数在复平面内的原点(0，0)表示实数0,实轴上的点(２，0）表示实数２，虚轴上的点(0,－１)表示纯虚数-ｉ，虚轴上的点(0，5)表示纯虚数5i非纯虚数对应的点在四个象限,例如点(－2,３）表示的复数是-2+３i ，z =-５-3i 对应的点（-5,－3）在第三象限等等．三、例题应用:例1、（1)下列命题中的假命题是（ D )(A)在复平面内,对应于实数的点都在实轴上;(Ｂ)在复平面内,对应于纯虚数的点都在虚轴上；（Ｃ)在复平面内,实轴上的点所对应的复数都是实数；（D)在复平面内,虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数.(2)复数z 与 所对应的点在复平面内( A )(A)关于x 轴对称 （B ）关于y 轴对称 （C)关于原点对称 (D)关于直线对称 例2、已知复数z=(m ２＋m-6)＋（m ２+m-2）ｉ在复平面内所对应的点位于第二象限,求实数m 的取值范围。

复数的几何意义
教学目标：1能够类比实数的几何意义说出复数几何意义；
2会用复数的几何意义解决有关问题
教学重点：复数的几何意义
教学难点：复数的几何意义及模的综合应用
一．小试牛刀
①在复平面内,对应于实数的点都在实轴上；
②在复平面内,对应于纯虚数的点都在虚轴上；
③在复平面内,实轴上的点所对应的复数都是实数；
④在复平面内,虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数
2 设=abi和复平面内的a,b对应，当a,b满足什么条件时，点Z位于：〔1〕实轴上？
〔2〕虚轴上〔原点除外〕？
〔3〕实轴的上方？
〔4〕虚轴的左方？
3求以下复数的模：
11=－5i
22=－34i
33=5－5i
44=1mim∈R
55=4a－3aia＜0
,说明以下各式所表示的几何意义
1 |－12i|
2 |12i|
3 |－1|
4 |2i|
二．数学应用
=m2m-6m2m-2i在复平面内所对应的点位于第二象限，求实数m的取值范围
1=34i,2=－15i,试比拟它们模的大小
例3 设∈C，满足以下条件的点的集合是什么图形？
1 ||=2
2 2＜||＜3
三．课堂反应
12021江苏卷设＝2－i2i为虚数单位，那么复数的模为________．
2 假设复数=m2-m-2m2-3m2i在复平面内对应的点位于虚轴上，那么实数m的取值集合为_______
=2－3i,假设复数满足不等式|－m|=1,那么所对应的点的集合表示的图形是______ _
满足|-1-i|=2,那么|1i|的最大值是________
四．课堂小结
五．作业。

3.3复数的几何意义（1）【要点梳理】1：复平面根据复数相等的定义，任何一个复数bi a z +=，都可以由一个有序实数对 唯一确定。

由于有序实数对),(b a 与平面直角坐标系中的点一一对应，因此复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应。

这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做 ，x 轴叫做 ，y 轴叫做 。

实轴上的点都表示 ，除了原点外，虚轴上的点都表示 。

2：复数与点、向量间的对应3：复数的模(绝对值)与复数z 对应的向量OZ 的模r 叫做复数bi a z +=的模(也叫绝对值)记作 。

由模的定义可知：),0(22R r r b a r bi a z ∈≥+==+=【典型例题】例1． 设复数z i z z )43(5+=且满足在复平面上对应点在第二、四象限的角的平分线上，=-m z 2m z R m 和求),,25∈的值。

例2． 已知点集}{C z i z z D ∈=++=,131，试求z 的最小值和最大值。

例3． 在复数范围内解方程ii i z z z +-=++23)(2★基础训练★ 1．设复数等于则满足z i zz z +=+-1,11 （ ） A.0 B.1 C.2 D.22．已知复数212121,10,5,3z z z z z z z +=-==那么满足为 （ ） A.10 B.58 C.7 D.83.已知复数z 满足z z 则,12=-取值范围是 （ ）A.[]2,0B.[]3,0C.[]3,1D.[]3,24．已知zz z C z 1,12+=∈则复数且 （ ） A.是实数B.是虚数但不一定是纯虚数C.是纯虚数D.可能是实数也可能是虚数 5 111212,5516,3,z C z z z z i z ∈-++==+已知且又则复平面内对应点的轨迹是________ 6．=•+==12121,43,5z z z i z z 是纯虚数，则设7．已知=--=∈=∈11,1)(,,1,z az a z z z R a z C z 则且 8．复平面内，过点l l A ，设作虚轴的平行线)0,1(上的点对应的复数为zz 1,求对应点的轨迹方程9．2.1,1,33=+-=+==∈y x y x y x C y x 求证：且、若10．设z 为复数，D 为满足条件Z z z 的点011=-+-所构成图形的边界。

3.3 复数的几何意义学案（苏教版高中数学选修2-2）3.3复数的几何意义复数的几何意义学习目标1.了解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系.2.掌握实轴.虚轴.模等概念.3.理解向量加法.减法的几何意义，能用几何意义解决一些简单问题知识点一复平面思考实数可用数轴上的点来表示，平面向量可以用坐标表示，类比一下，复数怎样来表示呢答案任何一个复数zabi，都和一个有序实数对a，b一一对应，因此，复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应关系梳理建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数知识点二复数的几何意义1复数与点.向量间的对应关系2复数的模复数zabia，bR，对应的向量为OZ，则向量OZ的模叫做复数zabi 的模或绝对值，记作|z|或|abi|.由模的定义可知|z||abi|a2b2.知识点三复数加.减法的几何意义思考1复数与复平面内的向量一一对应，你能从向量加法的几何意义出发讨论复数加法的几何意义吗答案如图，设OZ1，OZ2分别与复数abi，cdi对应，且OZ1，OZ2不共线，则OZ1a，b，OZ2c，d，由平面向量的坐标运算，得OZ1OZ2ac，bd，所以OZ1OZ2与复数acbdi对应，复数的加法可以按照向量的加法来进行思考2怎样作出与复数z1z2对应的向量答案z1z2可以看作z1z2因为复数的加法可以按照向量的加法来进行所以可以按照平行四边形法则或三角形法则作出与z1z2对应的向量如图图中OZ1对应复数z1，OZ2对应复数z2，则Z2Z1对应复数z1z2.梳理1复数加减法的几何意义复数加法的几何意义复数z1z2是以OZ1，OZ2为邻边的平行四边形的对角线OZ所对应的复数复数减法的几何意义复数z1z2是从向量OZ2的终点指向向量OZ1的终点的向量Z2Z1所对应的复数2设z1abi，z2cdia，b，c，dR，则|z1z2|ac2bd2，即两个复数的差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点间的距离1原点是实轴和虚轴的交点2在复平面内，对应于实数的点都在实轴上3在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数4复数的模一定是正实数类型一复数的几何意义例1实数x分别取什么值时，复数zx2x6x22x15i对应的点Z在1第三象限；2直线xy30上解因为x是实数，所以x2x6，x22x15也是实数1当实数x满足x2x60，x22x150，即当3x0，x22x150，即当2x0，m23m280，解得m5，7m4.即7m3.故当7m3时，复数z的对应点位于第四象限2由题意，知m28m150，m23m280，由得m7或m4.因为m7不适合不等式，m4适合不等式，所以m4.故当m4时，复数z的对应点位于x轴的负半轴上类型二复数模及其几何意义的应用例2已知复数z13i及z21232i.1求|z1|及|z2|的值；2设zC，满足|z2||z||z1|的点z的集合是什么图形解1|z1||3i|32122，|z2|1232i1223221.2由1知1|z|2，因为不等式|z|1的解集是圆|z|1上和该圆外部所有点组成的集合，不等式|z|2的解集是圆|z|2上和该圆内部所有点组成的集合，所以满足条件1|z|2的点Z的集合是以原点O为圆心，以1和2为半径的两圆所夹的圆环，并包括圆环的边界，如图所示反思与感悟1在计算复数的模时，应先找出复数的实部和虚部，然后再利用模的公式进行计算，两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小2复数的模表示该复数在复平面内对应的点到原点的距离跟踪训练2设z为复数，且|z||z1|1，求|z1|的值考点复数的模的定义与应用题点利用定义求复数的模解设zabia，bRz1a1bi，且|z||z1|1，a2b21，a12b21，即a2b21，a12b21，即a2b21，a2b22a0，解得a12，b234，|z1||abi1|a12b21212343.类型三复数加.减法的几何意义例3如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C分别对应的复数为0，32i，24i.求1AO表示的复数；2CA表示的复数；3OB表示的复数解因为A，C对应的复数分别为32i，24i，由复数的几何意义，知OA与OC表示的复数分别为32i，24i.1因为AOOA，所以AO表示的复数为32i.2因为CAOAOC，所以CA表示的复数为32i24i52i.3OBOAOC，所以OB表示的复数为32i24i16i.反思与感悟1常用技巧形转化为数利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理数转化为形对于一些复数运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中2常见结论在复平面内，z1，z2对应的点分别为A，B，z1z2对应的点为C，O为坐标原点，则四边形OACB为平行四边形若|z1z2||z1z2|，则四边形OACB为矩形若|z1||z2|，则四边形OACB为菱形若|z1||z2|且|z1z2||z1z2|，则四边形OACB为正方形跟踪训练31已知复平面内的平面向量OA，AB表示的复数分别是2i,32i，则|OB|________.2若z12i，z23ai，复数z2z1所对应的点在第四象限上，则实数a的取值范围是__________答案1102，1解析1OBOAAB，OB表示的复数为2i32i13i，|OB|123210.2z2z11a1i，由题意知a10，即a|xyi||y2i|解析由34ixyi，x3，y4.则|15i|26，|xyi||34i|5，|y2i||42i|25，|15i||xyi||y2i|.4设z134i，z223i，则z1z2在复平面内对应的点位于第________象限答案四解析z1z257i，z1z2在复平面内对应的点为5，7，其位于第四象限5设平行四边形ABCD在复平面内，A为原点，B，D两点对应的复数分别是32i和24i，则点C对应的复数是__________答案52i解析设AC与BD的交点为E，则E点坐标为52，1，设点C坐标为x，y，则x5，y2，故点C对应的复数为52i.1复数模的几何意义复数模的几何意义架起了复数与解析几何之间的桥梁，使得复数问题可以用几何方法解决，而几何问题也可以用复数方法解决即数形结合法，增加了解决复数问题的途径1复数zabia，bR 的对应点的坐标为a，b，而不是a，bi2复数zabia，bR的对应向量OZ是以原点O为起点的，否则就谈不上一一对应，因为复平面上与OZ相等的向量有无数个2复数的模1复数zabia，bR的模|z|a2b2.2从几何意义上理解，表示点Z和原点间的距离，类比向量的模可进一步引申|z1z2|表示点Z1和点Z2之间的距离。

3.1.1 数系的扩充和复数的概念学习目标: 1理解数系的扩充，明白复数及其相关概念。

2理解复数的几何意义：一、复习准备：1 提问：N、Z、Q、R分别代表什么？2．判断下列方程在实数集中的解的个数（1）2340x x--=（2）2450x x++=（3）2210x x++=（4）210x+=二、学习过程：1 复数的概念：①定义复数：形如___________的数叫做复数，通常记为z a bi=+（复数的代数形式），其中i叫虚数单位，_____-叫实部，______叫虚部，数集{}|,C a bi a b R=+∈叫做复数集。

思考：下列数是否是复数，试找出它们各自的实部和虚部。

23,84,83,6,,29,7,0i i i i i i+-+--③定义虚数：_______叫做虚数，________叫做纯虚数规定：a bi c di a c+=+⇔=且b=d，强调：两复数不能比较大小，只有等与不等。

②讨论：复数的代数形式中规定,a b R∈，,a b取何值时，它为实数？数集与实数集有何关系？例1实数m取什么值时，复数immz)1(1-++=是（1）实数（2）虚数（3）纯虚数例2已知2-11i=---i求实数,的值练习：1如果（）-1i=2321i,求,的值。

取什么值时，复数是1实数 2纯虚数 3零？2(34)z m m=--2复平面的定义：建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，轴叫做_____轴叫做____。

实轴上的点表示_____,除了原点外，虚轴上的点都表示______ 3复数的几何意义： 1 24复数的模 例3在复平面内，若复数i m m m m z )23()2(22+-+--=对应点1在虚轴上（2）在第二象限（3）在=上，分别求实数m 的取值范围例4求复数i z i z 221,4321--=+=的模，并比较大小练习：1()12m z i =当＜时，复数＋m-1在复平面上对应的点位于（ ）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限，判断=i a a a a )22()42(22+--+-所对应的点在第几象限3已知复数i m m m m z )2()6(22-++-+=在复平面内所对应的点位于第二象限，求实数m 允许的取值范围。

• §3.3复数的几何意义一． 教学目标1. 了解复数的几何意义，会用复平面内的点和向量来表示复数；2. 了解复数代数形式的加、减运算的几何意义。

二． 重点、难点感悟本章两个重要解题思想：1. 数形结合思想：复数与点，复数与向量，模与距离等；2. 化归思想：把复数问题实数化，代数问题几何化。

三． 知识链接回顾向量的相关知识：1．已知向量)2,1(=1= ；○2在平面直角坐标系中作出该向量 2.○1如图，作出b a +（分别使用三角形法则，平行四边形法则两种作法），b a -a○2若)2,1(-=,)3,2(=,则+= , -=四、学习过程（一）自主学习，合作探究阅读课本第112~114页，完成下列提问：1.复数bi a z +=−−−→←一一对应 −−−→←一一对应2.从几何角度看，复数与向量完全一样吗？3.复平面： ；实轴： ；虚轴： .4.复数模的定义：5.复数bi a z +=，则||z = ，||z =6.作图说明复数加法的几何意义。

高二数学选修2-2 撰写人：张金凤 用案时间： 编号：7.若bi a z +=1，di c z +=2，则21z z -= ，||21z z -= .8.判断：i i 2323->+（二）数学应用，技能培养例1.在复平面内，分别用点和向量表示下列复数：i i i i 23,31,,24-+--+，例2.已知复数i z i z 51,4321+-=+=，试比较它们模的大小.例3.设C z ∈，满足下列条件的点Z 的集合是什么图形？○1||z =2 ○22<||z <3五．基础达标1.设bi a z +=和复平面内的点Z （b a ,）对应，当b 满足什么条件时，点Z 位于：○1实轴上？ ○2虚轴上（除原点外）？ ○3实轴的上方？ ○4虚轴的左侧？2.已知复数i 56+和i 43+-○1在复平面上作出与这两个复数对应的向量和 ○2写出向量AB 和BA 表示的复数3.已知复数i m m z )9()2(2-+-=在复平面内对应的点位于第四象限，求实数m 的取值范围4.求证：||||||2121z z z z =5.根据复数加法的几何意义证明：||||||||||||212121z z z z z z +≤+≤-6.给出下列四个命题：○1任何复数的模都是非负数； ○2x 轴是复平面上的实轴，y 是虚轴； ○3,2,5,32,54321i z z i z i z -=-=-==则这些复数的对应点共圆；○4|sin cos |θθi +的最大值为2，最小值为0. 其中正确命题是 （写出所有正确命题的序号）。

3.1.2复数的几何意义课前预习学案课前预习：1、复数与复平面的点之间的对应关系1、复数模的计算2、共轭复数的概念及性质4、 提出疑惑：课内探究学案学习目标：1. 理解复数与复平面的点之间的一一对应关系2.理解复数的几何意义 并掌握复数模的计算方法 3、理解共轭复数的概念，了解共轭复数的简单性质学习过程一、自主学习阅读 课本相关内容，并完成下面题目1、复数z =a +bi (a 、b ∈R )与有序实数对(a ，b )是 的2、 叫做复平面， x 轴叫做 ，y轴叫做实轴上的点都表示 虚轴上的点除原点外，虚轴上的点都表示3、复数集C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即复数 ←−−−→一一对应复平面内的点 ←−−−→一一对应平面向量 4、共轭复数5、复数z =a +bi (a 、b ∈R )的模二、探究以下问题1、实数与数轴上点有什么关系？类比实数，复数是否也可以用点来表示吗？2、复数与从原点出发的向量的是如何对应的？3、复数的几何意义你是怎样理解的？4、复数的模与向量的模有什么联系？5、你能从几何的角度得出共轭复数的性质吗？三、精讲点拨、有效训练见教案反思总结1、你对复数的几何意义的理解2、复数的模的运算及含义3共轭复数及其性质当堂检测1、判断正误（1） 实轴上的点都表示实数，虚轴上的点都表示纯虚数（2） 若|z 1|=|z 2|，则z 1=z 2（3） 若|z 1|= z 1，则z 1>02、()12m z i =当＜时，复数＋m-1在复平面上对应的点位于（ ）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限3、已知a ，判断z=i a a a a )22()42(22+--+-所对应的点在第几象限4、设Z 为纯虚数，且|z+2|=|4-3 i |，求复数Z。

复数的几何意义【教学目标】掌握复平面、复数的模的定义，理解复数的两种几何意义，会求复数的模并掌握复数模的几何意义。

【教学重点】复平面与复数的模的定义、复数的两种几何意义。

【教学难点】复数的两种几何意义、复数的模及其几何意义的应用。

【教学过程】一、情境导入1 实数与________________________对应；2 有序数对),(y x 与________________________对应。

类比上面两种情况，则复数),(R b a bi a z ∈+=是否可以用点来表示呢？二、自主学习，探究新知探究1：怎样用平面内的点来表示复数呢？探究2：复数能用平面向量来表示吗？探究3：任何实数都有绝对值，任何向量都有模（绝对值），类比它们，可以给出复数),(R b a bi a z ∈+=的模的概念吗？它又有什么几何意义呢？探究4：既然复数可以用复平面内向量来表示，则复数的加法有什么几何意义呢？能用作图的方法得到吗？探究5：类比向量的减法，你能发现复数减法的几何意义吗？两个复数的差的模又有什么几何意义？三、例题讲解例1．在复平面内，分别用点和向量表示下列复数：i i 31,,42,4+--+，i i 23,23+-。

例2．已知复数i z 431+=，i z 512+-=，试比较它们模的大小？例3设C Z ∈，满足下列条件的点Z 的集合是什么图形？ 12=Z 232<<Z例4．已知复数z 对应点A ，说明下列各式所表示的几何意义。

1 |)21(|i z ++2 |2|i z +四、随堂练习：1．已知i z 561+=，i z 432+-=，则||21z z +=________。

2．设C z z ∈21,，1||||21==z z 且2||12=+z z ，则||12z z -=_____。

3．设2)2(i z -=（i 为虚数单位），则复数z 的模为 。

4已知复数z 的虚部为3，在复平面内复数z 对应的向量的模为2，则复数z =5．设复数满足i i z 46)32(+=-⋅（其中i 为虚数单位），则的模为 。

互动课堂疏导引导1.复数的几何意义复数的几何意义实质是复数的两种几何表示方法，即复数的点表示和向量表示.复数对应的点与复数对应的向量之间是一一对应的关系.复数z=a+bi 对应的向量的模叫做复数的模，它是复数对应的点到原点的距离，具体公式是｜z ｜=22b a .2.注意以下问题(1)①复平面上虚轴含原点；②AB 与OB 模相等且同向，则它们表示同一复数，但是只有向量的起点在原点O 时，此向量才与它的终点表示同一复数；③对于复数z=a+bi ，若无a 、b ∈R 这一条件，就不能视a 为实部，b 为虚部，在理解概念时，要善于利用数形结合的思想.(2)抓住复数的分类，明确复数问题实数化是解决问题的最基本的思想方法，其依据是复数的有关概念和两个复数相等的条件.(3)数的概念扩展为复数后，实数集中有些概念、运算、性质不再适用，如不等式的性质、绝对值的定义、偶次方非负等.(4)复数集C 和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的,复数集C 与复平面内所有以原点O 为起点的向量组成的集合也是一一对应的.即这种对应关系架起了联系复数与解析几何之间的桥梁,使得复数问题可以用几何方法解决,而几何问题也可以用复数方法解决(即数形结合法),增加了解决复数问题的途径.(5)应注意,复数z=a+bi 用复平面内的点Z(a,b)表示,复平面内的点Z 的坐标是(a,b),而不是(a,bi).(6)对于复数a+bi(a 、b ∈R ),当b=0时,复数a+bi 就是实数,由上面的公式,有|a|=2a .这与以前关于实数的绝对值及算术平方根的规定一致,可见,复数的模就是实数的绝对值概念的扩充.3.复数加法的几何意义复数的加法可以按照向量的加法来进行.4.复数减法的几何意义复数的减法可以按照向量的减法来进行.5.复平面内的两点间距离公式d=|z 2-z 1|,其中z 1、z 2是复平面内的两点Z 1和Z 2所对应的复数,d 为Z 1和Z 2间的距离.进一步,模的性质有(1)|z|=|z |;(2)||z 1|-|z 2||≤|z 1±z 2|≤|z 1|+|z 2|;(3)|z 1+z 2|2+|z 1-z 2|2=2(|z 1|2+|z 2|2).6.在复平面内,四边形OACB 的顶点A 、B 、C 对应的复数分别为z 1、z 2、z 1+z 2,则四边形OACB 为平行四边形.进一步有(1)若|z 1+z 2|=|z 1-z 2|,则四边形OACB 为矩形;(2)若|z 1|=|z 2|,则四边形OACB 为菱形;(3)若|z 1|=|z 2|且|z 1+z 2|=|z 1-z 2|,则四边形OACB 为正方形.活学巧用例1 已知复数x 2-6x+5+(x-2)i 在复平面内对应的点在第三象限，求实数x 的范围.解：∵x 为实数，∴x 2-6x+5和x-2都是实数.∵复数x 2-6x+5+(x-2)i 在复平面内对应的点在第三象限，∴⎩⎨⎧<<+0.2-x 0,56x -x 2∴⎩⎨⎧<<<2.x 5,x 1 解得1＜x ＜2，即1＜x ＜2为所求实数x 的范围.点评：本例求x 的范围，是根据复数在复平面内对应的点所在的象限确定实部和虚部组成的不等式组，由不等式组求出x 的范围.例2 已知复数z 1、z 2在复平面内对应的点关于原点对称，且3z 1+(z 2-2)i=2z 2-(1+z 1)i,求z 1和z 2.解：由于z 1、z 2在复平面内的对应点关于原点对称，有z 2=-z 1，代入已知等式,得3z 1+(-z 1-2)i=-2z 1-(1+z 1)i.解得5z 1=i.∴z 1=i 51,z 2=i 51-. 点评：由复数的几何意义知，复数与复平面上的点建立起一一对应的关系，因而在解决复数的相关问题时，我们可以利用复平面上的点的一些数学关系来解决.例3 已知两个向量a 、b 对应的复数是z 1=3和z 2=-5+5i ，求向量a 与b 的夹角.解：a =(3，0)，b =(-5，5)，所以a ·b =-15，|a |=3，|b |=25.设a 与b 的夹角为θ，所以cosθ=2225315||||-⨯-=•b a b a .因为0≤θ≤π，所以θ=43π. 点评：复数的向量表示形式与点也是一一对应关系，因而向量的知识与复数间可以相互转化来解决问题.例4 设z ∈C ，满足下列条件的点Z 的集合是什么图形？(1)｜z ｜=4； (2)2＜｜z ｜＜4.解：(1)复数z 的模等于4，就是说，向量OZ 的模等于4，所以满足条件｜z ｜=4的点Z 的集合是以原点O 为圆心，以4为半径的圆.(2)不等式2＜｜z ｜＜4可化为不等式组⎩⎨⎧><.2||,4||z z 不等式｜z ｜＜4的解集是圆｜z ｜=4内部所有的点组成的集合，不等式｜z ｜＞2的解集是圆｜z｜=2外部所有的点组成的集合，这两个集合的交集，就是上述不等式组的解集，也就是满足条件2＜｜z｜＜4的点Z的集合.容易看出，点Z的集合是以原点O为圆心，以2及4为半径的圆所夹的圆环，但不包括圆环的边界.点评：满足条件｜z｜=r(r为正常数)的点Z的集合是以原点为圆心、r为半径的圆.。