电磁仿真 验证静电场中镜像法的正确性

电气1101112910282013年6月16日电磁场Ansoft 14求解静电场的方法——镜像法原理仿真指导教师：张秀敏摘要：镜法法的实质是把实际上分片均匀媒质看成是均匀的，并在所研究的场域边界外的适当地点用虚设的较简单的电荷分布来代替实际边界上复杂的电荷分布(即导体表面的感应电荷或介质分界面的极化电荷)。

根据唯一性定理，只要虚设的电荷分布与边界内的实际电荷一起所产生的电场能满足给定的边界条件，这个结果就是正确的。

这次仿真通过maxwell来进行仿真镜像法中导线与导线之间的电场分布，并求得导线与导线之间的电容以验证ansoft的强大功能。

关键字: ansoft 电磁场镜像法边界条件电场分布仿真过程【一】模拟导线与导线之间的电场分布，并求得电容。

打开maxwell软件，选择Maxwell 2D绘图，开始此次仿真。

建立二维模型，进入Maxwell 2D下方的Solution Type ，设置成电场分布模式绘制出下图所示的图形。

上方振子所加激励源为1V，下方的镜像振子所加激励源为-1V。

最大的矩形提供显示电场分布的区域，其边界条件设立为，其添加的材料默认为真空。

对两个振子添加材料为perfect conductor，然后单击maxwell2D 下拉菜单的mesh opeartions ,接着点击Assign-On selection-Length based ，默认设置。

接下来，然后单机maxwell2D 下拉菜单的Analysis setup 的Add solution setup,默认设置。

接着便可以点击Analize All，然后选中所有的图，右键Fields， E ，MagE,得到图形则可看到两振子的电场分布图。

计算电容：选中振子，右键选择Assign Parameters，接着单击Matrix。

进行电容求解设置：点击Analize All，在Maxwell 2D 下拉菜单选择Results,接着选择Solution Data，便得到电容值：可得到两振子之间的电容值是C2=-7.355.仿真过程【二】模拟导线与地之间的电场分布，并求得电容。

镜像法求解静电场
镜像法是求解静电场问题的一种常用方法，它可以将问题简化为一些已知边界条件的部分。

我们可以通过将电荷和导体的形状映射到空间中的另一侧来获得镜像电荷和镜像导体。

这样，我们就可以将问题转化为在一定边界条件下求解单个电荷或导体所产生的电场问题。

具体来说，对于一个导体，镜像法可以将其映射到空间中的另一侧，并将它的电势设为零。

这样，它在空间中的影像就成为了一条等势线。

通过这样的操作，我们可以将一个有限的导体问题转化为无限大空间中的等势面问题，大大简化了求解难度。

同样地，对于一个点电荷，我们也可以利用镜像法求解其产生的电场。

我们将其映射到空间中的另一侧，并计算出镜像电荷。

这样，我们可以将原问题转化为一个在有限空间中求解两个点电荷所产生
的电场问题。

镜像法的一个优点是它能够将问题简化为一些边界条件已知的
问题，从而减少了求解难度。

此外，它也可以应用于复杂问题的求解，如球形和柱形状的导体等。

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2009 年6 月黔西南民族师范高等专科学校学报June 2009第2 期Jonrnal of Southwest Guizhou Teachers’ College for Nationalities No.2关于静电场中镜像法的一些讨论蔡静李川（黔西南民族职业技术学院，贵州兴义562400；兴义民族师范学院，贵州兴义562400）摘要：强调了镜像法在学习静电场唯一性定理中的重要作用，证明了导体拐角与点电荷镜像数量的关系，并就源电荷与镜像电荷的电量关系进行了讨论。

关键词：镜像法；唯一性定理；镜像电荷文章编号：1009—0673（2009）02—0119—03 中图分类号：O441.1 文献标识码：B除了一些具有对称性的带电体其电场可用叠加原理或高斯定理进行简单的求解外，一般而言，静电场的求解需要解满足边界条件的泊松方程或拉普拉斯方程，在空间电场未确定之前，边界表面的感应电荷分布是不知道的，因此直接求解该空间的电场是困难的，甚至是不可能的。

但对于有一类特殊的情况，可以采用一种巧妙的方法求出，这个方法就是镜像法。

在电磁场理论中，最重要的定理是唯一性定理，在教学中，它既是教学的重点，又是教学的难点，但仅通过对唯一性定理的证明，学生很难真正理解唯一性定理，而镜像法就是唯一性定理的具体运用，如果对镜像法进行适当的深入的研究，将有助于对唯一性定理的掌握和理解，镜像法本身也是一种很有用的方法。

但遗憾的是许多相关教材对镜像法的讨论大都篇幅过少，讨论不深入，不利于教学的需要。

故从几个方面对镜像法作一些讨论。

一、镜像法与唯一性定理镜像法的求解思想是：所有研究的区域边界是有规则的导体或介质界面、区域内只有一个或几个点电荷或线电荷时，设法不改变所求区域的电荷分布、在区域的边界外一定位置放置一个或几个镜像电荷来代替导体边界上感应电荷或介质边界上的极化电荷对外的作用。

这样，便把求解泊松方程及边界条件的解的问题，转化为求解几个点电荷及镜像电荷在空间产生场的问题，但这样得到的解是否就是唯一的正确的解，方法本身无法保证。

电磁场的实验验证电磁场是一个基础的物理概念，对于我们理解电磁现象、设计电子设备以及推动科学技术进步都起着至关重要的作用。

在理论上，电磁场可以通过数学公式和模型来描述，但为了验证这些理论，科学家们进行了一系列实验。

本文将详细介绍电磁场的实验验证，以及实验中所采用的方法和设备。

1. 静电场实验验证静电场是电荷分布在空间中形成的电场，其实验验证主要通过观察带电体之间的相互作用。

实验中通常采用静电力计来测量电荷之间的作用力，或者用静电场感应法来探测电场的存在。

实验结果符合静电场理论，验证了静电力的比例关系、电场线分布等基本性质。

2. 磁场实验验证在实验中验证磁场的存在可以采用多种方法。

其中最常用的是用磁力计测量磁场的强度和方向，并观察磁场对磁体和电流的影响。

通过观察铁磁材料的吸引和排斥现象、磁感线的分布等，实验结果一致地验证了磁场的概念和磁场的力学效应。

3. 电磁场实验验证电磁场的实验验证主要包括电磁感应实验和电磁波实验两个方面。

电磁感应实验验证了电磁场对导体中的电荷运动产生的感应电动势和感应电流。

实验中常用的方法是通过电磁感应定律来计算感应电动势和感应电流的大小，并观察电磁感应现象，如感应电流产生的磁场和电磁感应引起的物体的运动。

电磁波实验验证了电磁场在空间中以波的形式传播的性质。

实验中通常通过发射器和接收器来产生和接收电磁波，并通过测量电磁波的频率、波长、传播速度等参数来验证电磁波的存在和性质。

典型的电磁波实验包括干涉与衍射实验、绿堡格实验和迈克耳孙干涉仪实验。

这些实验验证了电磁场概念和相关理论的正确性，进一步加深了对电磁现象的理解。

同时，这些实验结果也为电磁场在工程技术中的应用提供了有力支持。

总结起来，电磁场的实验验证是通过一系列实验手段来观察和测量电磁现象，以验证电磁场理论的基本假设。

通过静电场的实验验证、磁场的实验验证以及电磁场的实验验证等方式，科学家们得以深入了解电磁场的性质和行为规律，为电磁学和现代物理学的发展做出了重要贡献。

镜像法在静电场中，如果在所考虑的区域内没有自由电荷分布时，可用拉普拉斯方程求解场分布；如果在所考虑的区域内有自由电荷分布时，可用泊松方程求解场分布。

如果在所考虑的区域内只有一个或者几个点电荷，区域边界是导体或介质界面时，一般情况下，直接求解这类问题比较困难，通常可采用一种特殊方法—镜象法来求解这类问题。

镜像法是直接建立在唯一性定理基础上的一种求解静电场问题的方法。

适用于解决导体或介质边界前存在点源或线源的一些特殊问题。

镜像法的特点是不直接求解电位函数所满足的泊松或拉普拉斯方程，而是在所求区域外用简单的镜像电荷代替边界面上的感应电荷或极化电荷。

根据唯一性定理，如果引入镜像电荷后，原求解区域所满足的泊松或拉普拉斯方程和边界条件不变，该问题的解就是原问题的解。

下面我们举例说明。

1导体平面的镜像例.1 在无限大的接地导电平面上方h 处有一个点电荷q ，如图3.2.1所示，求导电平板上方空间的电位分布。

解 建立直角坐标系。

此电场问题的待求场区为0z >；场区的源是电量为q 位于(0,0,)P h 点的点电荷，边界为xy 面，由于导电面延伸到无限远，其边界条件为xy 面上电位为零。

导电平板上场区的电位是由点电荷以及导电平面上的感应电荷产生的，但感应电荷是未知的，因此，无法直接利用感应电荷进行计算。

现在考虑另一种情况，空间中有两个点电荷q 和q -，分别位于(0,0,)P h 和点(0,0,)P h '-，使得xy 面的电位为零，如图3.2.2。

这种情况，对于0z >的空间区域，电荷分布与边界条件都与前一种情况相同，根据唯一性定理，这两种情况0z >区域的电位是相同的。

也就是说，可以通过后一种情况中的两个点电荷来计算前种问题的待求场。

对比这两种情况，对0z >区域的场来说，后一种情况位于(0,0,)P h '-点的点电荷与前一种情况导电面上的感应电荷是等效的。

由于这个等效的点电荷与待求场区的点电荷相对于边界面是镜像对称的，所以这个等效的点电荷称为镜像电荷，这种通过场区之内的电荷与其在待求场区域之外的镜像电荷来进行计算电场的方法称为镜像法。

镜像法求解静电场
静电场是指在没有电流流动的情况下，由电荷所产生的电场。

静电场的研究对于电学领域的发展具有重要的意义。

在静电场的研究中，镜像法是一种常用的求解方法。

镜像法是一种基于对称性的求解方法。

它的基本思想是将电荷在一个导体表面上的影像电荷作为一个新的电荷，然后再求解这个新的电荷所产生的电场。

这个新的电荷与原电荷之间的距离相等，但是方向相反。

这种方法可以简化计算，特别是在对称的情况下，可以大大减少计算量。

在使用镜像法求解静电场时，需要先确定一个导体表面作为镜面。

然后，根据对称性，将电荷在镜面上的影像电荷计算出来。

最后，将原电荷和影像电荷的电场叠加起来，就可以得到整个静电场的分布情况。

镜像法的应用范围非常广泛。

它可以用于求解各种形状的导体的静电场分布，包括球形、圆柱形、平面等。

在实际应用中，镜像法可以用于求解电容器的电场分布、电荷在导体表面上的分布等问题。

镜像法是一种非常实用的求解静电场的方法。

它可以大大简化计算，特别是在对称的情况下，可以大大减少计算量。

在实际应用中，镜像法可以用于求解各种形状的导体的静电场分布，具有广泛的应用前景。

Ansoft仿真实验报告——验证镜像法的正确性一、实验内容：导体球面的镜像问题1、理论基础：在半径为r的接地导体球外，据球心为d处有一点电荷q，求解q周围的电场分布。

（如下图）根据唯一性定理，并由边界条件，通过推倒可以得到2、验证思路：（1）通过Ansoft软件分别用两种方法求解有效空间的电场分布（2）将两种方法进行对比。

若两种方法仿真后的场分布相同（在误差允许范围之内），则可得镜像法是正确的。

二、具体步骤1、绘制图形（Draw Model）：工程（1）工程（2）2、设置相关材料特性（Setup Materials）：工程（一）工程（二）3、设定边界条件（Setup Boundaries/Sources）：设置参数为：q=1c , d=10cm , r=3cm , -q’=0.3c , b=0.9cm工程（一）工程（二）4、设定网格（mesh）:工程（一）工程（二）5、求解静电场，并进行验证验证方法：（主要针对电场线分布，电势分布和能量分布进行分析）1、观察两种情况下，有效区域内电势、电场线等的分布情况2、分别在两种情况下的有效区域内选取相同的点，比较其电势等的大小(1)求解E（E Vector）工程（一）工程（二）由上图可看出，在两种情况下电场线分布基本相同。

(2)求解φ(phi)由以下两图可以看出，在有效区域内电势分布基本相同工程（一）工程（二）在以下两图中取坐标（10,0.5），读数，工程一中电势为：8.69e+010；工程二中电势为：1.22e+011。

误差有一些大，与物体不够理想有关，但是基本可以近似相等。

工程（一）工程（二）（3）求解能量（Energy）由以下两图可看出，两种情况下，能量分布基本相同工程（一）工程（二）在以下两图中读出（10，0.1）处的能量密度：工程（一）为：8.37e+016 工程（二）位：8.16e+016，经过比较，可以得出以下结论，两种情况的能量分布基本相同。

镜像法在静电场中，如果在所考虑的区域内没有自由电荷分布时，可用拉普拉斯方程求解场分布；如果在所考虑的区域内有自由电荷分布时，可用泊松方程求解场分布。

如果在所考虑的区域内只有一个或者几个点电荷，区域边界是导体或介质界面时，一般情况下，直接求解这类问题比较困难，通常可采用一种特殊方法—镜象法来求解这类问题。

镜像法是直接建立在唯一性定理基础上的一种求解静电场问题的方法。

适用于解决导体或介质边界前存在点源或线源的一些特殊问题。

镜像法的特点是不直接求解电位函数所满足的泊松或拉普拉斯方程，而是在所求区域外用简单的镜像电荷代替边界面上的感应电荷或极化电荷。

根据唯一性定理，如果引入镜像电荷后，原求解区域所满足的泊松或拉普拉斯方程和边界条件不变，该问题的解就是原问题的解。

下面我们举例说明。

1导体平面的镜像例.1 在无限大的接地导电平面上方h 处有一个点电荷q ，如图3.2.1所示，求导电平板上方空间的电位分布。

解 建立直角坐标系。

此电场问题的待求场区为0z >；场区的源是电量为q 位于(0,0,)P h 点的点电荷，边界为xy 面，由于导电面延伸到无限远，其边界条件为xy 面上电位为零。

导电平板上场区的电位是由点电荷以及导电平面上的感应电荷产生的，但感应电荷是未知的，因此，无法直接利用感应电荷进行计算。

现在考虑另一种情况，空间中有两个点电荷q 和q -，分别位于(0,0,)P h 和点(0,0,)P h '-，使得xy 面的电位为零，如图3.2.2。

这种情况，对于0z >的空间区域，电荷分布与边界条件都与前一种情况相同，根据唯一性定理，这两种情况0z >区域的电位是相同的。

也就是说，可以通过后一种情况中的两个点电荷来计算前种问题的待求场。

对比这两种情况，对0z >区域的场来说，后一种情况位于(0,0,)P h '-点的点电荷与前一种情况导电面上的感应电荷是等效的。

由于这个等效的点电荷与待求场区的点电荷相对于边界面是镜像对称的，所以这个等效的点电荷称为镜像电荷，这种通过场区之内的电荷与其在待求场区域之外的镜像电荷来进行计算电场的方法称为镜像法。

关于镜像法的总结一、理论依据唯一性定理：它指出了静态场边值问题具有唯一解的条件，在边界面S 上的任一点只需给定ϕ或nϕ∂∂的值，而不能同时给定两者的值。

镜像法的求解思想是：所有研究的区域边界是有规则的导体或介质界面、区域内只有一个或几个点电荷或线电荷时，设法不改变所求区域的电荷分布、在区域的边界外一定位置放置一个或几个镜像电荷来代替导体边界上感应电荷或介质边界上的极化电荷对外的作用。

这样，便把求解泊松方程及边界条件的解的问题，转化为求解几个点电荷及镜像电荷在空间产生场的问题。

二、镜像电荷法求导体球壳电场镜像电荷法是指在待求电场区域之外, 用假想电荷来等效原边界面上的感应电荷或极化电荷的作用, 只要保证求解空间内的全部边值条件得到满足,所得到的解就是唯一正确的解. 运用镜像电荷法求解静电场边值问题的关键根据唯一性定理找出电势满足的全部定解条件, 并由这些边值条件来决定像电荷的量值和位置. 对于平面导体附近有点电荷、球面导体附近有点电荷, 求出空间各点的电势及电场强度问题, 可以采用镜像电荷法来处理, 能够省去一些复杂的数学运算, 使问题巧妙地得到解决.比如, 接地空心导体球的内外半径分别为R1 和R2 , 在球内离球心为a( a< R 1 ) 处置一点电荷Q, 求球腔内的电势。

如图1 所示, 由于接地导体球壳的静电屏蔽作用, 可以得知R \R1的区域电势为零, 依据镜像电荷法规则, 假想点电荷Qc 应代替球壳面上感应电荷对空间电场的作用, 且满足球壳上电势U= 0 的边值条件. 由对称性可知, 假想点电荷Qc 必在OQ 连线上.设P 为球壳内表面上任一点, 由边界条件得'0'Q Q r r +=，式中r 为Q 到P 的距离, r ’为Q ’到P 的距离, 则''r Q r Q==常数 (1) 从图中可以看出, 只要选Qc 在合适的位置就可使'O Q P O P Q∆∆ , 则 1'R r r a==常数 (2)图1 设b 为Q ’到球心的距离, 由两三角形相似条件可得R1 / a= b/ R, 即像电荷Q ’的位置为21R b a= (3)由( 1) 和( 2) 式可求出像电荷Qc 的大小为1'R Q Q a=-(4) 则球腔内任一点P 的电势为10011()4'4QR Q r r a ϕπεπε=-= (5)根据电势与电场强度的关系式E ϕ=-∇, 就可以求出电场强度.通过上面的分析运算可以看出, 采用镜像电荷法不仅解题思路清晰, 而且比分离变量法简单且更容易掌握。

电磁场镜像法知识分享电磁场镜像法§1-8 镜像法⼀、镜像法1. 定义：是解静电场问题的⼀种间接⽅法，它巧妙地应⽤唯⼀性定理，使某些看来棘⼿的问题很容易地得到解决。

该⽅法是把实际上分区均匀媒质看成是均匀的，对于研究的场域⽤闭合边界处虚设的简单的电荷分布，代替实际边界上复杂的电荷分布来进⾏计算。

即镜像法处理问题时不直接去求解电位所满⾜的泊松⽅程，⽽是在不改变求解区域电荷分布及边界条件的前提条件下，⽤假想的简单电荷分布（称为镜像电荷）来等效地取代导体⾯域（电介质分界⾯）上复杂的感应（半极化）电荷对电位的贡献，从⽽使问题的求解过程⼤为简化。

2. 应⽤镜像法应主意的问题应主意适⽤的区域，不要弄错。

在所求电场区域内：①不能引⼊镜像电荷；②不能改变它的边界条件；③不能改变电介质的分布情况；④在研究区域外引⼊镜像电荷，与原给定的电荷⼀起产⽣的电荷满⾜所求解（讨论）的边界条件；⑤其求得的解只有在所确定的区域内正确且有意义。

3. 镜像法的求解范围应⽤于电场E 和电位?的求解；也可应⽤于计算静电⼒F ；确定感应电荷的分布(),,ρστ等。

⼆、镜像法应⽤解决的问题⼀般是边界为平⾯和球⾯的情况1. 设与⼀个⽆限⼤导电平板（置于地⾯）相距h 远处有⼀点电荷q ，周围介质的介电常数为ε，求解其中的电场E 。

解：在电介质ε中的场E ，除点电荷q 所引起的场外，还应考虑⽆限⼤导电平板上的感应电荷的作⽤，但其分布不知（σ未知），因此⽆法直接求解。

⽤镜像法求解该问题。

对于ε区域，除q 所在点外，都有20??= 以⽆限远处为参考点()0θ?= 在边界上有：044q qrrπεπε+--=+=+= 即边界条件未变。

由唯⼀性定理有11444q q q r r r r ?πεπεπε+-+-??=-=-对于⼤场E 不存在()0E =推⼴到线电荷τ的情况，对于⽆限长线电荷也适合上述⽅法求解。

例1-15. P54求空⽓中⼀个点电荷q 在地⾯上引起的感应电荷分布情况。