南校区08级(高等数学)下试卷A

2008级高数(下)试题及答案南昌大学 2008～2009学年第二学期期末考试试卷一、填空题(每空 3 分，共 15 分)1. 已知向量«Skip Record If...»,«Skip Record If...»,则以«Skip RecordIf...»,«Skip Record If...»为边的平行四边形的面积等于«Skip Record If...».2. 曲面«Skip Record If...»在点«Skip Record If...»处的切平面方程是«Skip Record If...».3. 交换积分次序«Skip Record If...»«Skip Record If...».4. 对于级数«Skip Record If...»（a＞0），当a满足条件«Skip Record If...»时收敛.5. 函数«Skip Record If...»展开成«Skip Record If...»的幂级数为«Skip RecordIf...».二、单项选择题 (每小题3分,共15分)1. 平面«Skip Record If...»的位置是（）（A）通过«Skip Record If...»轴（B）通过«Skip Record If...»轴（C）垂直于«Skip Record If...»轴（D）平行于«Skip Record If...»平面2. 函数«Skip Record If...»在点«Skip Record If...»处具有偏导数«Skip Record If...»，«Skip Record If...»,是函数在该点可微分的（）（A）充要条件（B）充分但非必要条件（C）必要但非充分条件（D）既非充分又非必要条件3. 设«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»（）（A）«Skip Record If...»（B）«Skip Record If...»（C）«Skip Record If...»（D）«Skip Record If...»4. 若级数«Skip Record If...»在«Skip Record If...»处收敛，则此级数在«Skip Record If...»处（）（A）敛散性不确定（B）发散（C）条件收敛（D）绝对收敛5. 微分方程«Skip Record If...»的通解是（）（A）«Skip Record If...»（B）«Skip Record If...»（C）«Skip Record If...»（D）«Skip Record If...»三、(本题满分8分)设平面通过点«Skip Record If...»，而且通过直线«Skip Record If...»，求该平面方程．四、(本题满分8分)设«Skip Record If...»，其中«Skip Record If...»具有二阶连续偏导数，试求«Skip Record If...»和«Skip Record If...»．五、(本题满分8分)计算三重积分«Skip Record If...»，其中«Skip Record If...»．六、(本题满分8分)计算对弧长的曲线积分«Skip Record If...»，其中L是圆周«Skip Record If...»在第一象限的部分．七、(本题满分9分)计算曲面积分«Skip Record If...»，其中«Skip Record If...»是柱面«Skip Record If...»与平面«Skip Record If...»和«Skip Record If...»所围成的边界曲面外侧．八、(本题满分9分)求幂级数«Skip Record If...»的收敛域及和函数．九、(本题满分9分)求微分方程«Skip Record If...»的通解．十、(本题满分11分)设«Skip Record If...»是上半平面«Skip Record If...»内的有向分段光滑曲线，其起点为«Skip Record If...»，终点为«Skip Record If...»，记«Skip Record If...»1．证明曲线积分«Skip Record If...»与路径«Skip Record If...»无关；2．求«Skip Record If...»的值．南昌大学 2008～2009学年第二学期期末考试试卷及答案一、填空题(每空 3 分，共 15 分)1. 已知向量«Skip Record If...»,«Skip Record If...»,则以«Skip RecordIf...»,«Skip Record If...»为边的平行四边形的面积等于«Skip Record If...».2. 曲面«Skip Record If...»在点«Skip Record If...»处的切平面方程是«Skip Record If...».3. 交换积分次序«Skip Record If...»«Skip Record If...».4. 对于级数«Skip Record If...»（a＞0），当a满足条件«Skip Record If...»时收敛.5. 函数«Skip Record If...»展开成«Skip Record If...»的幂级数为«Skip Record If...».二、单项选择题 (每小题3分,共15分)1. 平面«Skip Record If...»的位置是（ «Skip Record If...»）（A）通过«Skip Record If...»轴（B）通过«Skip Record If...»轴（C）垂直于«Skip Record If...»轴（D）平行于«Skip Record If...»平面2. 函数«Skip Record If...»在点«Skip Record If...»处具有偏导数«Skip Record If...»，«Skip Record If...»,是函数在该点可微分的（ «Skip Record If...»）（A）充要条件（B）充分但非必要条件（C）必要但非充分条件（D）既非充分又非必要条件3. 设«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»（ «Skip Record If...»）（A）«Skip Record If...»（B）«Skip Record If...»（C）«Skip Record If...»（D）«Skip Record If...»4. 若级数«Skip Record If...»在«Skip Record If...»处收敛，则此级数在«Skip Record If...»处（ «Skip Record If...»）（A）敛散性不确定（B）发散（C）条件收敛（D）绝对收敛5. 微分方程«Skip Record If...»的通解是（ «Skip Record If...»）（A）«Skip Record If...»（B）«Skip Record If...»（C）«Skip Record If...»（D）«Skip Record If...»三、(本题满分8分)设平面通过点«Skip Record If...»，而且通过直线«Skip Record If...»，求该平面方程．解:由于平面通过点«Skip Record If...»及直线上的点«Skip Record If...»，因而向量«Skip Record If...»平行于该平面。

绝密★启用前 座位号西 京 学 院2008-2009学年第一学期2008级期末考试理工科《高等数学》试卷一一、单项选择题：（每题3分，共21分）1、()f x 在0x x =处连续是()f x 在0x x =可导的（ ）A 必要条件B 充分条件C 充分必要条件D 无关的条件 2、函数32()8x f x x +=+的间断点类型是（ ）A 可去间断点B 跳跃间断点C 无穷间断点D 振荡间断点3、函数()f x =[0,3]上满足罗尔中值定理的ξ＝（ ） A 0 B 3 C32D 24、2()4cos y y y x ''''++=是（ ）微分方程 A 一阶线性 B 二阶线性C 三阶线性D 三阶非线性5、对于函数nxy x e-=，下列说法正确的是（ ）A (0,)n 内单调增加B (,)n +∞内单调增加C (0,)+∞内单调增加D (0,)+∞内单调减少6、设2()y f x =，则dy =（ ） A 322(2)()x f x f x dx '' B 22()x f x dx 'C 22()xf x dx 'D (2)f x dx ' 7、已知2()xf x =⎰，则(1)f '=（ ）AB CD-二、填空题（每题3分，共18分）1、当0x x →时，()f x 的左右极限都存在并且相等，是0lim ()x x f x →存在的 条件。

2、31lim (1)3xx x→∞+＝ 。

3、当a = ，b = 时，点(1,3)为曲线32y ax bx =+的拐点。

4、2(1)arctan y x x =+的二阶导数为 .5、已知物体的运动规律为32s t =，则这个物体在4t =秒时的速度为 。

6、抛物线2y x =与直线2y x =-所围成的图形的面积是 。

三、求下列数列或函数的极限（每题6分，共12分） 1、sin sin limx ax ax a→--2、0111lim ()sin tan x x xx→-四、计算下列积分（每题7分，共14分）1、2a ⎰2、cos()Inx dx ⎰五、求隐函数sin cos 0x y e y e x --=的导数。

2008级高等数学下册试题（985） 一、填空题（每小题3分，共 15分1微分方程250y y y '''++=的通解为________________. 解：原微分方程对应的特征方程为2250r r ++= 解之，得特征根为：12r i =-± 故通解为：()12cos 2sin 2.x y e c x c x -=+2、设区域D 为221x y +≤，则()22____________.Dx y dxdy +=⎰⎰解：()21222..2Dx y dxdy d r rdr ππθ+==⎰⎰⎰⎰3．已知两直线的方程是1212321:,:,11211x y z x y z L L ---+-====-则过1L 且平行于2L 的平面方程是________________.解：可取所求平面的法向量为1013211ij kn i j k =-=-+. 又所求平面过点 ()1,2,3，由平面的点法式方程得，所求平面为：()()()1.1321.30x y z ---+-=，即320.x y z -++= 4、设S 是平面15x y z ++=被圆柱面221x y +=截出的限部分，则曲面积分_____________.Syds =⎰⎰解：由对称性知，显然0.Syds =⎰⎰5、设(){}222,,|1x y z x y z Ω=++≤，则2___.x dxdydz Ω=⎰⎰⎰解：由轮换对称性，知222.xd x d y d zy d x d y d zz d x d y d zΩΩΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 故()2122222211sin .33x dxdydz x y zdxdydz d d d ππθϕϕρρρΩΩ=++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰4.15π=二、选择题（每小题3，共 15 1. 级数14nn n ∞=∑的和为()A()49A ； ()29B ； ()19C ； ()8.9D解：令()()11,1,1.n n s x nxx ∞-==∈-∑则()011xnn xs x dx x x ∞===-∑⎰，()()21.11xs x xx '⎛⎫== ⎪-⎝⎭- 故12111111114..4444449114n n n n n n s -∞∞==⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭∑∑ 另解：设 nn n nn S 441444342411432+-+++++=- （1）则114324414243424141+-+-+-++++=n nn n n n n S （2）（1）—（2），得14324414141414143+-+++++=n nn n S1441141141+--⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n nn 1441131+-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n nn故14.3441194+-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n nnn S （3）注意到∑∞=+114n n n 收敛。

08-09 高等数学(下) A 考试方式： 闭卷 完成时限： 120分钟 一、填空（每小题3分，满分15分）：1. 与两平面34=-z x 和152=--z y x 的交线平行,且过点)5,2,3(-的直线方程_______________.2. 函数y xy ax x y x f 22),(22+++=在点)1,1(-处取得极值,则常数 =a _______________.3. 若积分区域D 为x y x 222≤+,则二重积分⎰⎰σDd y x f ),(化为极坐标下的二次积分为_____________.4. 设)ln(222z y x u ++=则=)(u grad _______________.5.若级数∑∞=0n n nx a在5-=x 处条件收敛,则该级数的收敛半径为._______. 二、单项选择（每小题3分，满分15分）：1. ()00,y x f x 和()00,y x f y 存在是函数()y x f ,在点()00,y x 连续的( )A. 必要非充分条件;B. 充分非必要条件;C. 充分且必要条件;D. 既非充分又非必要条件2. 已知 dy y x dx ay x )43()(+++为某一函数的全微分,则=a ( )A. 0 ;B. 1 ;C. 3 ;D. 4.3. 二次积分dx y x f dy y y⎰⎰22),(交换积分次序后为( )A. ⎰⎰⎰⎰+221210),(),(xxxdy y x f dx dy y x f dx;B.dy y x f dx x ⎰⎰22),( ;C.⎰⎰22),(xxdy y x f dx; D.⎰⎰⎰⎰+21221),(),(xxxdy y x f dx dy y x f dx .4. 22y x z +=在点(1,2)处沿着从点(1,2)到点)32,2(+的方向的方向导数为( )A. 32+ ;B. 321+ ;C. 342+;D. 34+ .5. 下列级数中条件收敛的是( )A.∑∞=-1)1(n nnB. ∑∞=-13)1(n nnC. ∑∞=--22)1(n n nn nD. ∑∞=-12)1(n nn 三、计算下列各题（每小题7分，满分49分）： 1. 求直线⎩⎨⎧=--+=++-0101z y x z y x 在平面0=++z y x 上的投影直线的方程.2. 设⎩⎨⎧=+=-10xv yu yv xu ，求y vx u ∂∂α∂ ,.3. 求曲线⎩⎨⎧=+-++=0253222z y x y x z 上点)9,2,1(-处的切线方程和法平面方程.4. 计算dy yye dx x y ⎰⎰-121 .5. 设Ω是由z y x 222=+和2=z 所围在的区域，求⎰⎰⎰Ω+dv y x z )(22. 6. 求幂级数nn n nx n ∑∞=-12)1(的收敛域.7. 设⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0 , 10 , arctan 1)(2x x x x x x f ,求)(x f 展开成x 的幂级数,并求级数∑+∞=--1241)1(n n n 的和. 四、应用题（每小题8分，满分16分）： 1.设长方体的三个面在坐标面上,其一顶点在平面1=++czb y a x 上,且.0,0,0>>>c b a 试问长方体的高z 取什么值时,其体积最大.2. 求球体2222R z y x ≤++与球体Rz z y x 2222≤++的公共部分的体积. 五、证明题（5分）设),2,1(,⋅⋅⋅=≤≤n b c a n n n ,并设级数∑∞=1n na和∑∞=1n nb均收敛,试证明∑∞=1n nc也收敛.08-09高数(下)A 参考答案一、填空题（每小题3分，共15分） 1153243-=-=+z y x ， 2 -5 3 ⎰⎰-θππρρθρθρθcos )sin ,cos (2022d f d4 )2,2,2(222222222zy x zz y x y z y x x ++++++ 5 5. 二、选择题（每小题3分，共15分） 1.D 2.C 3.A 4.B 5.A三、计算题（每小题7分，共49分）1.解: 现求过直线和平面垂直的平面方程有1=-z y (5)那么所求直线方程为⎩⎨⎧=++=-01z y x z y (7)2.解: 方程两边求微分，得⎩⎨⎧=+++=--+00vdx xdv udy ydu vdy ydv udx xdu …………………………………………………………(3) 22y x yvxu x u ++-=∂∂，……………………………………………………………………（5） 22yx yvxu y v ++-=∂∂……………………………………………………………………（7） 3. 解 ⎩⎨⎧='-'+'+='05342x x xx z y y y x z ，在点)9,2,1(-处，解得334,35='='xx z y ,…………..(3) 所以在点)9,2,1(-处的切向量为 {}34 ,5 ,3,……………………………………………..(5) 因此切线方程3495231-=-=+z y x ,.....................................................(6) 法平面方程 3133453=++z y x (7)4.解:交换积分次序,1d e d d 1e 1110==-=⎰⎰⎰y y x y yy I y yy (7)5.解: 采用柱面坐标，⎰⎰⎰=22320202d d d r z z r r I πθππ8d )44(2122043=-⋅=⎰r r r (7)6.解:收敛半径为 2121lim lim1=+==∞→+∞→n n a a R n n n n , (4)当21-=x 时,级数为∑∞=-11n n,发散； (5)当21=x 时,级数为∑∞=--11)1(n n n ,收敛， (6)所以收敛区间为 ]21,21(-； (7)7.解: 211x + ,)1(02∑∞=-=n n n x )1,1(-∈x ………………………………………….(1) x a r c t a n ∴ ⎰+=xx x 02d 11 ,12)1(012∑∞=++-=n n n x n ]1,1[-∈x ……………………(3) 于是)(x f ∑∞=+-+=1212)1(1n n n x n ∑∞=++-+02212)1(n n n xn ………………………………..…..(4) ∑∞=+-+=1212)1(1n n n x n ∑∞=---+12112)1(n nn x n (5)∑∞=⎥⎦⎤--+⎢⎣⎡-+=12121121)1(1n nn x n n ,41)1(21122∑∞=--+=n nn x n ]1,1[-∈x ……………………………………….(6) ∑∞=--∴1241)1(n nn]1)1([21-=f 214-=π (7)四、应用题（每小题8分，共16分）1.解: 1. 目标函数 xyz V =， 约束条件1=++c zb y a x ，………………………….(2) 设拉格朗日函数 )1(-+++=czb y a x xyz L λ， (4)令 ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=++=+='=+='=+='1000cz b y a x c xy L b xz L a yz L z y x λλλ， 解得唯一驻点 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===333c z b y a x ， (7)由实际问题，当高3cz =时，其体积最大 (8)2.解: 可用三重积分⎰⎰⎰Ωdv ……计算, 也可用二重积分⎰⎰σ-Dd )(底顶…计算.⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰σ+σ==Ω)(2)(221z D RR z D R d dz d dzdv V (4)⎰⎰-π+-π=RR R dz z R dz z Rz 22222)()2( (6)=3125R π (8)五、证明题（每小题5分，共5分）证明：由条件知，n n n n a b a c -≤-≤0,),2,1( =n ,由题设∑∞=1n n a 和∑∞=1n n b 均收敛，故正项级数∑∞=-1)(n n n a b 收敛，由比较判别法知正项级数∑∞=-1)(n n na c也收敛，而n n n n a a c c +-=)(,),2,1( =n ，再由∑∞=1n n a 的收敛性，证明了∑∞=1n n c 收敛. (5分)。

2008-2009学年《微积分A》第二学期期末考试 参考答案及评分标准2009年6月26日一、填空（每小题4分，共28分） 1.112213−+=−=−z y x 2. ;1312;0123412=−+−z y x 3.};,ln ,{1y y y x x z x yz x gradu −=;ln )1()(22x z x z x y y gradu div y y +−=−4. 5.;2π;3R π6.∫∫θπρρθρθρθ=cos 2020)sin ,cos (a d f d I 7..2121;21≤<−>p p 二、 0332=−=∂∂y x xz 0332=−=∂∂x y yz 得驻点为 ……… 2分 )1,1(),0,0(又 y yz y x z x x z 6,3,622222=∂∂−=∂∂∂=∂∂ ……… 4分 在点处：)0,0(0,3,022222=∂∂=−=∂∂∂==∂∂=y z C y x z B xz A ,092>=−AC B 所以点不是极值点. ……… 6分)0,0(在点处：)1,1(6,3,622222=∂∂=−=∂∂∂==∂∂=y z C y x z B xz A 06,0272>=<−=−A AC B 且,.1−所以点是极小值点，极小值为：)1,1(=极小z ……… 8分三、(1)圆锥面与抛物面的交线为：⎪⎩⎪⎨⎧−−=+=22222yx z y x z ，即. ⎩⎨⎧=+=1122y x z .1:22≤+Ωy x D xoy 面的投影区域在 ………2分 ,2:221y x z S −−=.)(4112222y x z z y x ++=′+′+,:222y x z S +=.2122=′+′+y x z zdxdy dxdy y x S DD ∫∫∫∫+++=2)(4122 ……… 4分 π+ρρρ+θ=∫∫π10220241d d ……… 6分 .2)155(6π+−π= ……… 7分 (2) )1()(22=μ+μ=∫∫∫V z dVy x J ……… 9分柱坐标系）(2210320∫∫∫ρ−ρπρρθ=dz d d ……… 11分 .154π= ……… 12分 四、记2233,3xy y x Y y xy X n m −=−=由题意知：yX x Y ∂∂=∂∂ ……… 2分 121633−−−=−⇒m n my xy y y nx2,3==⇒n m ……… 4分 由题意知曲线积分与路径无关，且路径的起点、终点坐标分别为： )2,(),0,0(a a π，选择折线路径：)2,()0,()0,0(a a a π→π→，则 ∫∫π−π+=πa a dy ay y a dx I 20220]3)(3[0 ……… 6分……… 8分 )43(24−ππ=a （也可求出原函数后用牛顿-莱布尼茨公式或选择其他积分路径） 五、 )121(21)2(1)(xx x x x f −−=−= ……… 1分 ]331131)3(11[21−+⋅−−+=x x ……… 3分 ∑∑∞=+∞=−−−−−=010]3)3()1()3()1([21n n n n n n n x x ……… 5分 ∑∞=+−−−=01)3)(311()1(21n n n n x ……… 6分 收敛域为：.42<<x ……… 8分六、添加辅助面取下侧， ……… 2分,,0:222R y x z S ≤+=ydzdx z xdydz y dxdy z x R I 2222)1(1+++=∫∫Σ ……… 3分 )(12∫∫∫∫+Σ−=SS R （利用高斯公式） ])([1222:2222∫∫∫∫∫≤++++−=R y x D V dxdy dxdydz x z y R ……… 5分 π+ϕϕθ−=∫∫∫πππdr r d d RR 042202sin 1 （由球坐标）…. 8分 .523π+π−=R ……… 10分 七、 1lim 1=+∞→nn n a a Q ，所以收敛半径1=R .又当1±=x 时，级数发散，所以幂级数的收敛域为：).1,1(−=D ……… 3分 记n n n n n n n n n x n x n n x S ∑∑∑∞=∞=∞=−+−=+−=1111)1()1(1)1()( … 4分∫∑∞=−−++−=x n n n dx x x x 011)1(1 ……..7分 ∫+−++−=x dx xx x 0111 ……… 8分 )1,1()1ln(1−∈+−+−=x x x x ……… 10分八、将)(x f 进行偶延拓，由狄立克莱收敛定理知：⎩⎨⎧π−∈−ππ∈+π=]0,[],0()(x x x x x S ……… 2分由和函数的周期性，当]2,[ππ∈x 时，]0,[2π−∈π−xx x S x S −π=π−=3)2()( ……… 3分 又.53)25()5(),,0(25−π=π+−=−∴π∈π+−S S ..…… 5分L ,2,1,0==n b n ,3)(2)(2000π=+ππ=π=∫∫ππdx x dx x f a …….6分 ∫∫ππ+ππ=π=00cos )(2cos )(2nxdx x nxdx x f a n ]1)1[(22−−π=n n ⎪⎩⎪⎨⎧=−=π−===L L ,2,1,124,2,1,202k k n n k k n ……… 8分九、由球坐标与直角坐标的关系，有ϕ=θϕ=θϕ=cos ,sin sin ,cos sin r z r y r x ……… 2分（1）).cos ,sin sin ,cos sin (),,(ϕθϕθϕ==r r r f z y x f u …… 3分（2）令 ,t z f y f x f z y x =′=′=′ .,,tz f ty f tx f z y x =′=′=′⇒θθθ′⋅′+′⋅′+′⋅′=θ∂∂z f y f x f u z y x0cos sin )sin (sin ⋅′+θϕ⋅′+θ−ϕ⋅′=z y x f r f r f ..…… 4分 θϕ⋅+θ−ϕ⋅=cos sin )sin (sin r ty r txθθϕ+θθ−ϕ=sin cos sin cos )sin (sin 2222tr tr =0 ……… 5分 ϕϕϕ′⋅′+′⋅′+′⋅′=ϕ∂∂z f y f x f u z y x ϕ⋅′−θϕ⋅′+θϕ⋅′=sin sin cos cos cos r f r f r f z y x …… 6分 ϕ⋅−θϕ⋅+θϕ⋅=sin sin cos cos cos r tz r ty r txϕϕ−θϕϕ+θϕϕ=cos sin sin cos sin cos cos sin 22222tr tr trϕϕ−ϕϕ=cos sin cos sin 22tr tr =0 ……… 7分 由此知.的函数仅为有关，即无关，仅与，与r u r u θϕ ……… 8分。

广州大学2007-2008学年第一学期考试卷高等数学A 卷（90学时）参考解答一．填空题（每小题3分，本大题满分15分）1．设{1,01()1,12x f x x ≤≤=-<≤, 则(3)f x +的定义域为]1,3[--.2．设1s i n ,0(),01s i n ,x x x f x a x x b x x ⎧<⎪⎪==⎨⎪⎪+>⎩, 当a =1, b =1时, ()f x 在0x =处连续.3．曲线22sin y x x =+上横坐标为0x =处的法线方程为12y x=-.4．设()f x 可导, 2()y f x =, 则y '=)(22x f x '.5．曲线xy xe -=在区间)2,(-∞内是凸的, 拐点为)2,2(2e.二．选择题 (每小题3分, 本大题满分15分)1. 函数lnsin y x =在区间5[,]66ππ上满足罗尔定理的ξ=( C ).A. 0;B. 6π;C. 2π; D. 56π.2. 当0x →时, 123(1)1ax +-与cos 1x -是等价无穷小, 则a =( C ). A. 1; B.23; C. 32-; D. 0.3. 若()f x 在x a =处可导, 则0()()lim x f a x f a x x→+--=( B ).A. ()f a ';B. 2()f a ';C. 0;D. (2)f a '.4. 曲线1siny x x=有一条( A ). A. 水平渐近线1y =; B. 水平渐近线0y =; C. 铅直渐近线1x =; D. 铅直渐近线0x =. 5. 若2()f x dx x C =+⎰，则2()xf x dx -=⎰ ( B ).A. 412x C +;B. 412x C -+; C. 4x C +; D. 4x C -+.三．解答下列各题（每小题6分，本大题满分12分） 1．设22tan (12)y x =+，求d y . 解 ])1[t a n ()1t a n (222'+⋅+='x x y 。

2008-2009（2）高数A （下）试题参考答案一、填空题（每小题3分，共15分）1. 1；2. 0；3. 22 ；4. 05. 512x x y C e C e -=+二、选择题（每小题3分，共15分）：1. B2. C 3 . B 4 . A 5 . C三、计算题（每小题7分，共21分）：1.解：z y y y x xy x∂==∂ …………………………………2分 ()()ln ln 1z x xy y xy y xy∂=+=+∂ …………………………………5分 21z x y x∂=∂∂ …………………………………7分 2.解：21111y e Dd dy dx xy xy σ=⎰⎰⎰⎰ …………………………………4分 []21111ye lnx dy y==⎰ …………………………………7分 3.解：补上曲面1∑：1,z =(,)x y ∈22:1x y +≤D ，取上侧.则∑和1∑围成封闭空间闭区域 Ω.由高斯公式得()12x z dydz zdxdy ∑+∑++⎰⎰=3dv Ω⎰⎰⎰ 221100332d d dz πρθρρπ==⎰⎰⎰ …………………………………4分 ()12x z dydz zdxdy ∑++⎰⎰1Ddxdy dxdy π∑===⎰⎰⎰⎰ ………………………5分()2x z dydz zdxdy ∑++⎰⎰=()12x z dydz zdxdy ∑+∑++⎰⎰()12x z dydz zdxdy ∑-++⎰⎰3122πππ=-= …………………………………7分四、计算题（每小题7分，共21分）：1.解：补上BA :0,y x =从a 到-a 。

设L 与BA 所围成的区域为 D.由格林公式，得()2222DL BA xy dy x ydx x y dxdy +-=-+⎰⎰⎰340014ad d a πθρρπ=-=-⎰⎰ …………………………………4分而 220BA xy dyx ydx -=⎰ …………………………………5分所以 222222414L L B A B A x y d y x y d x x y d y x y d x x y d y x y d x a π+-=---=-⎰⎰⎰………7分2.解：原方程可变形为211dxx dy y y -= …………………………………2分设()()211P y ,Q y y y =-=，代入公式 ，得原方程的通解为()()()P y dy P y dyx e Q y e dy C -⎛⎫⎰⎰=+ ⎪⎝⎭⎰ 1121dy dyy y e e dy C y ⎛⎫--- ⎪⎝⎭⎛⎫⎰⎰=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎰ 21122y C Cy y y⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭ …………………………………7分3.解：222u u uu i j k y zi xyzj xy k x y z ∂∂∂∇=++=++∂∂∂函数在点P 处的梯度为 24P u i j k ∇=-+…………………………………4分函数在点P 处沿24P n u i j k =∇=-+处的方向导数为 2421P P uu i j k n ∂=∇=-+=∂…………………………………7分五、计算及应用（每小题8分，共16分）1.解：幂级数的收敛半径为1R =，当1x =±时，级数发散，级数的收敛域为()11,-.设()()000212n n n n n n S x n x nx x ∞∞∞====+=+∑∑∑，()11x ,∈- …………………………………3分()101112222n n n n n n n n nx x nx xx x x∞∞∞∞-===='⎛⎫'=== ⎪⎝⎭∑∑∑∑()22211x x x ,x x '⎛⎫== ⎪-⎝⎭- ()11x ,∈- …………………………………5分 01,1n n x x∞==-∑ ()11x ,∈- …………………………………7分 ()()000212n n n n n n S x n x nx x ∞∞∞====+=+∑∑∑()221xx =-11x +-()211x x +=-， ()11x ,∈- …………………………………8分 2.解：曲面22z xy x y =++在点()P x,y,z 处的法向量为()221n y x,x y,=++- ，由条件知，已知平面的法向量()1331n ,,=- 与向量n 平行，得2211331y x x y ++-===-， 又点P 在曲面22z xy x y =++上，所以点P 的坐标为(1,1,3) ……………………4分所求的法平面方程为()()()313130x y y z -+---= ，即 3330x y z +--=…………6分 法线方程为113331x y z ---==- …………………………………8分 六、证明题（每小题6分，共12分）1.证： ()()u u f u yf u y y ∂∂'=+∂∂ ()()1f u u y yf u ∂='∂-…………………………………3分 ()1u u yf u x x ∂∂'=+∂∂ ()11u x yf u ∂='∂-…………………………………5分 ()u u f u y x∂∂∴=∂∂ …………………………………6分 2.证：（1）因为已知数列{}n a 为有界单调增加数列，且0n a >，所以由单调有准则知n n lim a →∞存在，不妨设为n n lim a A →∞=。

2007-2008学年第二学期高数试卷A 参考答案试卷号：A20080630一、1. 0 ；2. 0)2(2)1(4=+-+-z y x ；3. =I ⎰⎰101),(xdy y x f dx ；4. 32a π, ；5、R = 2 。

6、(4)0y y -=。

二、1、 B ； 2、 A ；3、B ；4、 C ；5、 A ；6、（化工、食工做） D ；6、（物理、机电、电气、计算机做） D三．1、令,12t x =+则 212-=t x ，,tdt dx =当0=x 时1=t 。

4=x 时3=t⎰++40122dx x x =⎰⎰+=+-312312)3(21221dt t tdt t t =3221333213=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+t t2、)cos()sin(y x e y x e xzx x -+-=∂∂ ，)cos(y x e y z x --=∂∂ ))cos())cos()((sin(dy y x dx y x y x e dz x---+-=3、令1sin )1(11+-=++n u n n n ππ，111sin)1(2sin )1(lim lim11221<=+-+-=++++∞→+∞→πππππn n u u n n n n n nn n所以原级数收敛且是绝对收敛的。

4、原式=⎰⎰⎰--++-∂+∂-∂-∂aa D dy x y dx y x dxdy yy x x x y )2()())()2((22 =⎰⎰⎰---D aaxdx dxdy )3(=32ab π-5、设长方体得长、宽、高分别为z y x ,,，则)(2xz yz xy S ++=，3a xyz = 令)(),,(3a xyz xz yz xy z y x F --++=λ 则00=-+==-+==-+=xy y x F xz z x F yz z y F z y x λλλ，解得z y x ==，代入3a xyz =得a z y x === ， 2min 6a S =四 )(),(),(2x y y x Q xy y x P ϕ==。

2008级 高等数学（下）理工 课程试题（A ）合分人： 复查人：一、求下列各题（每小题6分，共 30 分）1. 求02sin lim x y xy x →→⎛⎫+⎪⎪⎭.2. 设(,)z z x y =由方程xyz =,求(1,0,1)|.dz -3. 设(,),z f xy y =其中(,)f u v 具有二阶连续偏导数，求2zx y ∂∂∂.4. 求曲面22z x y =+与平面240x y z +-=平行的切平面方程.5. 求函数ln(u x =在点(1,0,1)A 处沿点A 指向点(3,2,2)B -方向的方向导数.二、求下列积分（每小题6分，共 36 分）1. 求22sin .yxdy dx xππ⎰⎰2. 求2,z dxdydz Ω⎰⎰⎰，其中222: 1.x y z Ω++≤3. 已知曲线2:(0L y x x =≤≤，求.Lxds ⎰4. 求(sin ())(cos )x x LI e y b x y dx e y ax dy =-++-⎰，其中,a b 为正常数，L 为从点(2,0)A a 沿曲线y =(0,0)O 的弧段.5. 已知∑为锥面z =在柱体222x y x +≤内的部分，求.zdS ∑⎰⎰6. 设∑为有向曲面22(01)z x y z =+≤≤. 沿上侧求(2).x z dydz zdxdy ∑++⎰⎰1.设函数222222221()sin,0,(,)0,0x y x yx yf x yx y⎧++≠⎪+=⎨⎪+=⎩，讨论(,)f x y在点(0,0)的连续性与可微性.2. 求二元函数22(,)(2)lnf x y x y y y=++的极值.1．判定级数1(1)ln(1n n ∞=-+∑的敛散性. 若收敛，问是绝对收敛还是条件收敛.2．将2()2xf x x x =+-展开为x 的幂级数.3．将1,02()0,2x f x x πππ⎧≤<⎪⎪=⎨⎪≤≤⎪⎩在[0,]π上展开成余弦级数，并写出它的和函数.。

1 x + 3 v — 2[ — 51. -- = -- = ----- .(3)(5)(7)2008-2009学年第二学期《高等数学(下)》期中考试试卷参考答案和评分标准(高数6学时) 一、填空题(每小题3分，共15分)fficosOdOy f(pcos 。

,psin 0)pdp .4. V2 .5. 5.二、 选择题(每小题3分，共15分)l.C 2.B3.A4.C5.D三、 计算题(每小题7分，共49分) 1.解直线Jf+3z ：。

的方向向量为 x-y-z=\Ji j k s=(l,l, 3)x(1,-1,-1)=1 1 3 =2i+4j-2k=2Q + 2j-k) (3)1 -1 -1平面x-y-z+l=o 的法线向量为〃=(1, -1,-1) (5)因为s ・n=2x 1 +4x(-1 )+(—2)x(—l )=0,所以sin,从而直线"二号与平面x-)F1=O 的夹角为。

(7)2.解：两个隐函数方程两边对x 求导，得e A> (y + xy r ) - (y + xyf ) = 0< /=sin(E(i ，)尤一 z解得、,，_ y j E-z)y — ----------，七—1 ---------- x sin(x-z)因此即"-勺+[|-斗亍居dx x sin(x-z)又因为色2xV2 dz a2ydx 啮* *(有*a 司号为屏啮为丰,......(5) b5.解：利用对称性.⑵=rdxdydz3.解：令F(x,.y) = 4+4-h 则兀=芸，人=吝・ cr tr cr b 」 从而点(x, y)处的法向量为―2璀)处的内法向量为所以弩瓮5篇顽斗心哈.六蛇B(7)4.解： 因为积分区域 D = {(p^)\O<0<^O<p<a}, (2)所以^dy(x 2 + y 2)dx= ^p--pdpcld (5)■ “ D=f •国0=专。