“最短路径问题”在函数中的应用课件
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《最短路径算法》课件
《最短路径算法》PPT课 件
探索最短路径算法的奥秘，了解其在各领域中的应用，以及选择最佳算法的 依据，展望最短路径算法的未来。
最短路径算法简介
最短路径问题的定义和最短路径算法的广泛应用。
单源最短路径算法
1
贝尔曼-福德算法2 Nhomakorabea算法思想：通过利用松弛操作，逐步更新节 点之间的最短路径。
算法步骤：进行N-1次松弛操作，其中N为节 点数，再进行一次检查负权边。
电路板布线
通过最短路径算法规划电路板 上元件的布线路径，减小电路 的延迟，提高性能。
应用最短路径算法的问题探讨
1 负权边问题
2 负环问题
遇到边权值为负数的情况，部分最短路径算法需 要特殊处理。
当图中存在负权环时，部分最短路径算法无法得 到准确的最短路径。
最短路径算法总结
1 各种算法的优劣
不同最短路径算法在不同场景下有不同的优劣，需要根据具体情况进行选择。
算法复杂度分析：时间复杂度为O(V*E)，V 为节点数，E为边数。
迪杰斯特拉算法
算法思想：通过记录已知最短路径和待确认 节点，逐步更新最短路径。
算法步骤：从起点出发，不断更新最短路径， 直到所有节点都被确认为最短路径。
算法复杂度分析：时间复杂度为O(V^2)，V 为节点数。
多源最短路径算法
1
弗洛伊德算法
算法思想：通过动态规划，逐步更新节点间 的最短路径。
算法步骤：利用矩阵记录节点间最短路径， 逐步更新矩阵，得到所有节点的最短路径。
算法复杂度分析：时间复杂度为O(V^3)，V为 节点数。
最短路径算法的应用实例
地图导航
使用最短路径算法规划最佳行 驶路线，提供准确的导航指引。
网络路由
探索最短路径算法的奥秘，了解其在各领域中的应用，以及选择最佳算法的 依据，展望最短路径算法的未来。
最短路径算法简介
最短路径问题的定义和最短路径算法的广泛应用。
单源最短路径算法
1
贝尔曼-福德算法2 Nhomakorabea算法思想：通过利用松弛操作，逐步更新节 点之间的最短路径。
算法步骤：进行N-1次松弛操作，其中N为节 点数，再进行一次检查负权边。
电路板布线
通过最短路径算法规划电路板 上元件的布线路径，减小电路 的延迟，提高性能。
应用最短路径算法的问题探讨
1 负权边问题
2 负环问题
遇到边权值为负数的情况，部分最短路径算法需 要特殊处理。
当图中存在负权环时，部分最短路径算法无法得 到准确的最短路径。
最短路径算法总结
1 各种算法的优劣
不同最短路径算法在不同场景下有不同的优劣，需要根据具体情况进行选择。
算法复杂度分析：时间复杂度为O(V*E)，V 为节点数，E为边数。
迪杰斯特拉算法
算法思想：通过记录已知最短路径和待确认 节点，逐步更新最短路径。
算法步骤：从起点出发，不断更新最短路径， 直到所有节点都被确认为最短路径。
算法复杂度分析：时间复杂度为O(V^2)，V 为节点数。
多源最短路径算法
1
弗洛伊德算法
算法思想：通过动态规划，逐步更新节点间 的最短路径。
算法步骤：利用矩阵记录节点间最短路径， 逐步更新矩阵，得到所有节点的最短路径。
算法复杂度分析：时间复杂度为O(V^3)，V为 节点数。
最短路径算法的应用实例
地图导航
使用最短路径算法规划最佳行 驶路线，提供准确的导航指引。
网络路由
初中数学中考复习专题 最短路径问题 (24张PPT)
【例题分层探究】 问题 1：边 CD 是定值，此问题可转化为计算 CE＋DE 的最小值问题． 问题 2：线段 CD，EF 均为定值，此问题可借助轴对称 求最短路径的方法计算出 DE＋CF 的最小值．
初中数学中考复习专题 最短路径问题 （24张PPT）
初中数学中考复习专题 最短路径问题 （24张PPT） 初中数学中考复习专题 最短路径问题 （24张PPT）
∵C(0,-5) ∴C′(0,5) ∴直线C′D为y=-7x+5
D(2,-9)
ME
x
AO
B
∴y=0 ， 即-7x+5=0 ∴m=5 ∕ 7
∴x=5 ∕ 7
C D
初中数学中考复习专题 最短路径问题 （24张PPT）
初中数学中考复习专题 最短路径问题 （24张PPT）
中考链接
24 如图 Z8－3，在平面直角坐标系中，矩形 OACB 的
A
B l
在直线l上求一 点P，使 PA+PB值最小
作B关于l 的对称点 B＇，连A B＇与l交 点即为P
图形
原理
两点之间线段 最短
PA+PB最小值 为AB
原理
两点之间线段 最短
PA+PB最小值 为AB
问题3
作法
l1
P
分别作点P关于
l2
两直线的对称
在直线l1、l2上 点P＇和P＂，连 分别求点M P＇P＂与两直线
AM+MN+NB的 值最小．
作点A关于l2的 对称点A＇，作 点B关于l1的对 称点B＇，连A ＇B＇交l2于M
，交l1于N．
图形
原理
两点之间线段 最短．
AM+MN+NB 的最小值为线 段A＇B＇的
最短路径问题在函数中的应用
值最小的点，求P点坐标。
y 5 x 1m5 44
y C（0，15 ）
4
A(-3,0) O
y 1 x2 1 x 15 4 24
P
y 3 x 15 44
B(5,0)
x
x =1
∴P（1，3）
变式：
是否在抛物线对称轴上存在一点P，使得的 △APC的周长最小，若存在，求出点P的坐标， 若不存在，请说明理由。
y
A
B（-1,1）
x
DO E F x = -1
已知：EF=1
y A₁(2,4) A（3,4）
B(-1,1)
EO F
x
B´(-1,-1)
y 5 x 2 33
x = -1
∴E（
2 5
，0）
y轴上的动点，顺次连接D、N、M、E构成四
边形DNME，求四边形DNME周长最小时点M
和点N的坐标。
y
D´(-1,4)
C
y 27 x 53
20 20
N
A
O
D(1,4)
y 1 x2 1 x 15 4 24
E 4，7 4
M
B
x
E 4，- 7
4
M 53 ， 0 ，N 0，53
27
20
三、平移+对称
如图，EF∥MN，要在直线MN、EF上 各找一点C、D使得CD⊥MN，且使 AC+CD+DB的长度和最短。
M
F B
●
C
●
A N
D
●
A1 E
已知点A（3，4），点B为直线 x = -1上的动点，当点B 的坐标为（-1，1）时，在 x 轴上另取两点E、F，且 EF=1。线段EF在 x 轴上平移，线段EF平移至何处时， 四边形ABEF的周长最小？求此时点E的坐标。
y 5 x 1m5 44
y C（0，15 ）
4
A(-3,0) O
y 1 x2 1 x 15 4 24
P
y 3 x 15 44
B(5,0)
x
x =1
∴P（1，3）
变式：
是否在抛物线对称轴上存在一点P，使得的 △APC的周长最小，若存在，求出点P的坐标， 若不存在，请说明理由。
y
A
B（-1,1）
x
DO E F x = -1
已知：EF=1
y A₁(2,4) A（3,4）
B(-1,1)
EO F
x
B´(-1,-1)
y 5 x 2 33
x = -1
∴E（
2 5
，0）
y轴上的动点，顺次连接D、N、M、E构成四
边形DNME，求四边形DNME周长最小时点M
和点N的坐标。
y
D´(-1,4)
C
y 27 x 53
20 20
N
A
O
D(1,4)
y 1 x2 1 x 15 4 24
E 4，7 4
M
B
x
E 4，- 7
4
M 53 ， 0 ，N 0，53
27
20
三、平移+对称
如图，EF∥MN，要在直线MN、EF上 各找一点C、D使得CD⊥MN，且使 AC+CD+DB的长度和最短。
M
F B
●
C
●
A N
D
●
A1 E
已知点A（3，4），点B为直线 x = -1上的动点，当点B 的坐标为（-1，1）时，在 x 轴上另取两点E、F，且 EF=1。线段EF在 x 轴上平移，线段EF平移至何处时， 四边形ABEF的周长最小？求此时点E的坐标。
最短路径问题说课精品PPT课件
教法学法
教法：以“问”引发数学思考； 以“画”形成数学技能； 以“辨”校正思维逻辑。
学法：鼓励学生思考、合作； 鼓励学生动口、动手、动脑。
5 教学过程
敢问路在何方？
相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者， 名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思 不得其解的问题：
从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B 地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？
3 目标分析
1.教学目标
知识技能 数学思考 问题解决 情感态度
3 目标分析
知识技能
1、能利用轴对称解决某些特殊最 短路径问题； 2、了解证明“最短”的演绎推证 过程；
3 目标分析
数学思考
1、参与观察、实验、猜想、证明、 应用等活动； 2、发展学生合情推理和演绎推理的 能力； 3、体会抽象、转化等数学思想.
P“
P’ P
B
B‘
5 教学过程
建立联系
A
P“
P’ P
B
B‘
5 教学过程
寻求转化
A
1、比较两个问题，P寻找它们的区别与联系。
2、如A何将同侧两点问题P转化为异侧两点问题ll ？
A
B
BB
P
l
P
l
B
5 教学过程
小组内讨论交流，互相完善，每个人用数学语言 叙述方法，并独立在草稿本上完成相关作图。
A
B
P
2 学情分析
知识基础
学生已经掌握了“两点之间，线 段最短。”“垂线段最短。”等最值 问题的相关理论，在本章前三节系统 学习轴对称的概念及性质，具备解决 某些最短路径问题的知识基础。
2 学情分析
教法：以“问”引发数学思考； 以“画”形成数学技能； 以“辨”校正思维逻辑。
学法：鼓励学生思考、合作； 鼓励学生动口、动手、动脑。
5 教学过程
敢问路在何方？
相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者， 名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思 不得其解的问题：
从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B 地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？
3 目标分析
1.教学目标
知识技能 数学思考 问题解决 情感态度
3 目标分析
知识技能
1、能利用轴对称解决某些特殊最 短路径问题； 2、了解证明“最短”的演绎推证 过程；
3 目标分析
数学思考
1、参与观察、实验、猜想、证明、 应用等活动； 2、发展学生合情推理和演绎推理的 能力； 3、体会抽象、转化等数学思想.
P“
P’ P
B
B‘
5 教学过程
建立联系
A
P“
P’ P
B
B‘
5 教学过程
寻求转化
A
1、比较两个问题，P寻找它们的区别与联系。
2、如A何将同侧两点问题P转化为异侧两点问题ll ？
A
B
BB
P
l
P
l
B
5 教学过程
小组内讨论交流，互相完善，每个人用数学语言 叙述方法，并独立在草稿本上完成相关作图。
A
B
P
2 学情分析
知识基础
学生已经掌握了“两点之间，线 段最短。”“垂线段最短。”等最值 问题的相关理论，在本章前三节系统 学习轴对称的概念及性质，具备解决 某些最短路径问题的知识基础。
2 学情分析
一次函数之最短路径问题ppt课件【可编辑全文】
29
课下任务
3、如图，直线y=-x+7与两坐标轴分别交于AB两点，O为坐标原点，点Q 为直线AB上一个动点
y A
Q ● P●
-1 o●
B x
30
课下任务
3、如图，直线y=-x+7与两坐标轴分别交于AB两点，O为坐标原点，点Q 为直线AB上一个动点
y A
垂线段最短
-1 o● P●
Q ●
B x
31
20
任务拓展 变式五：如图，已知平面直角坐标系中，A、B 两点的坐标分别为A(2,—3）B(4, 1）， 若点P(m,0)和点Q(m+1,0) 是x轴上的两个动点， 则当m= 时， AP+PQ+QB最小．
21
任务拓展
将点B(4,1)向左平移1个单位到B'(3,1),连接AB'交x轴于点P,再将点P向右平移一 个单位即为点Q
在平面直角坐标系中，矩形 半轴上， ， ，
的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正
OACB
D为边OB的中点. (1)若E为边OA上的一个动点，
OA 3 OB 4
y
当△CDE的周长最小时， 求点E的坐标；
B
C
D
O
Ax
E
11
任务演练
如图，作点D关于x轴的对称点 ，
连 由接题意得C与CDx(3轴,4交) D于(0点,2E),即为所求。
2、直线y=kx+b过点A（2，-3）和点B(4,1),则这条直线解析式为：
. 它与
x轴交点(4,坐1)标为
，与y轴交点坐标为
(-4,-1)
( 7 ,0) (0,-7) 自任主务独要立求完：2成
课下任务
3、如图，直线y=-x+7与两坐标轴分别交于AB两点，O为坐标原点，点Q 为直线AB上一个动点
y A
Q ● P●
-1 o●
B x
30
课下任务
3、如图，直线y=-x+7与两坐标轴分别交于AB两点，O为坐标原点，点Q 为直线AB上一个动点
y A
垂线段最短
-1 o● P●
Q ●
B x
31
20
任务拓展 变式五：如图，已知平面直角坐标系中，A、B 两点的坐标分别为A(2,—3）B(4, 1）， 若点P(m,0)和点Q(m+1,0) 是x轴上的两个动点， 则当m= 时， AP+PQ+QB最小．
21
任务拓展
将点B(4,1)向左平移1个单位到B'(3,1),连接AB'交x轴于点P,再将点P向右平移一 个单位即为点Q
在平面直角坐标系中，矩形 半轴上， ， ，
的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正
OACB
D为边OB的中点. (1)若E为边OA上的一个动点，
OA 3 OB 4
y
当△CDE的周长最小时， 求点E的坐标；
B
C
D
O
Ax
E
11
任务演练
如图，作点D关于x轴的对称点 ，
连 由接题意得C与CDx(3轴,4交) D于(0点,2E),即为所求。
2、直线y=kx+b过点A（2，-3）和点B(4,1),则这条直线解析式为：
. 它与
x轴交点(4,坐1)标为
，与y轴交点坐标为
(-4,-1)
( 7 ,0) (0,-7) 自任主务独要立求完：2成
最短路径-课件
最短路径-课件
欢迎来到最短路径算法的课程！在这个课件中，我们将探索什么是最短路径 算法以及它在不同情景中的应用。让我们开始吧！
什么是最短路径算法
最短路径算法是用于在图或网络中找到两个节点之间最短路径的计算方法。它在许多领域中都有广泛的 应用，例如网络路由、GPS导航和运筹学问题。
Dijkstra算法及其原理
在生产和物流中优化资源分配和路径选择， 以最大限度地提高效率。
最短路径算法的时间复杂度分 析
不同的最短路径算法具有不同的时间复杂度，了解它们的性能特点可以帮助 选择适合特定问题的算法。
最短路径算法在实际中的性能 优化
根据具体问题的特点，可以对最短路径算法进行各种优化，以加快计算速度 和减少资源消耗。
Floyd-Warshall算法及其原理
Floyd-Warshall算法是一种用于找到图中所有节点之间最短路径的算法。它通 过动态规划的方法计算节点之间的最短路径，并允许负权边的存在。
SPFA算法及其原理
SPFA（Shortest Path Faster Algorithm）算法是一种用于在加权图中找到单源最 短路径的算法 快的运行时间。
最短路径问题的应用
交通网络设计中的最短路径问题
帮助规划城市道路网络，以最小化交通拥堵 和行驶距离。
GPS导航中的最短路径问题
帮助导航系统计算出到达目标地点的最短路 径，以提供准确的导航指引。
网络路由问题中的最短路径问题
帮助选择网络中数据包的最佳路径，以最小 化传输时间和延迟。
运筹学中的最短路径问题
最短路径问题的分类
单源最短路径问题
寻找某个节点到其余所有节点的最短路径。
源点集合限制的最短路径问题
在一组源节点中寻找到达目标节点的最短路 径。
欢迎来到最短路径算法的课程！在这个课件中，我们将探索什么是最短路径 算法以及它在不同情景中的应用。让我们开始吧！
什么是最短路径算法
最短路径算法是用于在图或网络中找到两个节点之间最短路径的计算方法。它在许多领域中都有广泛的 应用，例如网络路由、GPS导航和运筹学问题。
Dijkstra算法及其原理
在生产和物流中优化资源分配和路径选择， 以最大限度地提高效率。
最短路径算法的时间复杂度分 析
不同的最短路径算法具有不同的时间复杂度，了解它们的性能特点可以帮助 选择适合特定问题的算法。
最短路径算法在实际中的性能 优化
根据具体问题的特点，可以对最短路径算法进行各种优化，以加快计算速度 和减少资源消耗。
Floyd-Warshall算法及其原理
Floyd-Warshall算法是一种用于找到图中所有节点之间最短路径的算法。它通 过动态规划的方法计算节点之间的最短路径，并允许负权边的存在。
SPFA算法及其原理
SPFA（Shortest Path Faster Algorithm）算法是一种用于在加权图中找到单源最 短路径的算法 快的运行时间。
最短路径问题的应用
交通网络设计中的最短路径问题
帮助规划城市道路网络，以最小化交通拥堵 和行驶距离。
GPS导航中的最短路径问题
帮助导航系统计算出到达目标地点的最短路 径，以提供准确的导航指引。
网络路由问题中的最短路径问题
帮助选择网络中数据包的最佳路径，以最小 化传输时间和延迟。
运筹学中的最短路径问题
最短路径问题的分类
单源最短路径问题
寻找某个节点到其余所有节点的最短路径。
源点集合限制的最短路径问题
在一组源节点中寻找到达目标节点的最短路 径。
人教版数学八年级上册13.4 课题学习 最短路径问题课件(共27张PPT)
A∙ 请小组讨论证明这个结论吧！
A′
M′ a M
b
N′
N
∙B
13.4 最短路径问题
证明
证明：在直线b上另外任意取一点N′，过点N′作N′M′⊥a，垂足为M′，
连接AM′，A′N′，N′B.
∵在△A′N′B中，A′B<A′N′+BN′，
∴A′N+NB<A′N′+BN′. 即A′N+NB+MN<A′N′+BN′+M′N′. ∴AM+NB+MN<AM′+BN′+M′N′， 即AM+NB+MN的值最小.
13.4 最短路径问题
解：∵点B 和 点C 关于直线 AD 对称， ∴BF = CF . 求BF + EF 最小值，只需 CF + EF 最小. 连接EC，线段 CE 的长即为 BF + EF 的最 小值. ∵D、E 是等边△ABC 中 BC、AB 的中点， ∴CE = AD = 5. ∴BF+EF的最小值为5.
路程最短？ C
A
D
A1
A C
C1 D1 E
E1 B B1
C1 B
解：如图，作 AA1⊥CD，且 AA1 = 河宽，作 BB1⊥CE，且 BB1 = 河宽， 连接 A1B1，与内河岸相交于 E1，D1. 过 E1，D1作河岸的垂线段 EE1 、 DD1，即为桥.
13.4 最短路径问题
13.4 最短路径问题
学习目标 1. 利用轴对称、平移等变化解决简单的最短路径问题. 重点
2. 体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感受由实际问题转化为
数学问题的思想. 难点
最短路径问题 ppt课件
12
图论及其应用 作业 用Dijkstra算法求出下图中从顶点a到其它所有 顶点的最短路径及及长度。
13
图论及其应用
有向图中求最短路径的Dijkstra算法
设Sj是带权有向图G中自顶点1到顶点j的最短有向路的长度 步骤1：置P={1}，T={2,3,…,n}且S1=0，Sj=w1j， j=2,3,…,n 。 步骤2：在T中寻找一点k，使得Sk=min{Sj}，置P=P{k}， T=T- {k}。若T=，终止；否则，转向步骤3。 步骤3：对T中每一点j，置Sj=min {Sj ，Sk+ wkj}，然后转向步 骤2。 算法经过n-1 次循环结束。
6
1-6-8-B
6-8-B
13
10
5
图论及其应用
指定点到其它所有点的最短路径
解决这一问题最著名的方法是 Dijkstra算法，这个算法是由荷 兰计算机科学教授Edsger W.Dijkstra在1959年提出的。 他在1972年获得美国计算机协 会授予的图灵奖，这是计算机 科学中最具声望的奖项之一。
最终，起点上方的最短路线及权值即为起点到终点的最 短路线及长度。
3
图论及其应用
例 使用回溯法求下图中结点1到结点10的最短路径
2-6-9-10 600
1-4-6-9-10 650
4-6-9-10 500
6-9-10
300
9-10
100 5-8-10
400
8-10
150
3-5-8-10 600
7-8-10 275
定义2 已知矩阵A=(aij)m n ，B =(bij)mn，规定C=AB=(dij)mn，
其中dij=min(aij, bij)
《最短路径问题》课件
参考文献
• 算法导论 • 计算机算法设计与分析 • 图解算法
《最短路径问题》PPT课 件
# 最短路径问题PPT课件
介绍最短路径问题的定义和概念，以及为什么最短路径问题在实际生活中很 重要。 同时，探讨最短路径问题的基本性质。
最短路径的求解
1
暴力算法
枚举所有路径并找到最短路径，但随着
Dijkstra算法
2
节点增多，复杂度呈指数级上升。
介绍算法的原理和步骤，通过不断更新
距离表找到最短路径。
3
Floyd算法
介绍算法的原理和步骤，通过动态规划 计算最短路径。
最短路径问题的应用
铁路、公路、航空、航 海
路线规划在交通行业中的重 要性和应用。
互联网中的路由算法
讲解互联网通信中使用的最 短路径算法。
生命科学领域的基因测 序和蛋白质分析
如何利用最短路径问题的变种
任意两点之间的最短路径问题
探讨在图中找到任意两点之间的最短路径。
带负权边的最短路径问题
介绍具有负权边的图中求解最短路径问题的方法。
一般图的最短路径问题
分析在一般图中求解最短路径的挑战和方法。
更多变种问题的介绍
介绍其他类型的最短路径问题及其应用。
总结
总结最短路径问题的基本概念，分析各种算法的优缺点及适用范围。 同时，展望最短路径问题的未来发展方向。
最短路径问题 (PPT课件)
B B
AA l
l
分析：
B
B
A
A
l
CC
l
转化为数学问题 当点C在直线 l 的什么位置时，AC+CB的和最小？
• 如图，点A，点B是直线l两侧的点， 请在直线l上找一点C,使AC+BC最短
联想：
如果点A、B在直线l的异侧时
A
C
l
B
分析：
B
A
A
C
l
l
C
B
思考：
能把A、B两点从直线 l 的同侧转化为异侧吗？
B A
l
解决实 际问题
问题1 归纳
转化为数学问题
B
A
C
l
联想旧知
B
A
C
l
B′
用旧知解决新知
A
C
l
B
提示：本题也可作A点关于直线l的对称点
变式练习1 如图，牧马人要把马从马棚A牵到草地边吃草，
然后到河边饮水，最后再回到马棚A.
A
小
河
问题：请你确定这一过程的最短路径.
转化为数学问题
如图，在l1、l2之间有一点A,要使AM+MN+NA最小,
A
B
新课推进
追问1 如图假定任选位 置造桥ＭＮ，连接ＡＭ和ＢＮ， A 从A到B的路径是AM+MN+BN， 那么怎样确定什么情况下最短 呢？
追问2 利用线段公理解决问题我们遇到 了什么障碍呢？如何解决？
Ｍ
Ｎ B
新课推进
A
解：如图，平移A到A1，使 ＡA1等于河宽，连接A1Ｂ交
A1
M
河岸于Ｎ作桥ＭＮ，此时路
(1)两点在一条直线同侧 (2)一点在两相交直线内部 (3)两点在两相交直线内部
AA l
l
分析：
B
B
A
A
l
CC
l
转化为数学问题 当点C在直线 l 的什么位置时，AC+CB的和最小？
• 如图，点A，点B是直线l两侧的点， 请在直线l上找一点C,使AC+BC最短
联想：
如果点A、B在直线l的异侧时
A
C
l
B
分析：
B
A
A
C
l
l
C
B
思考：
能把A、B两点从直线 l 的同侧转化为异侧吗？
B A
l
解决实 际问题
问题1 归纳
转化为数学问题
B
A
C
l
联想旧知
B
A
C
l
B′
用旧知解决新知
A
C
l
B
提示：本题也可作A点关于直线l的对称点
变式练习1 如图，牧马人要把马从马棚A牵到草地边吃草，
然后到河边饮水，最后再回到马棚A.
A
小
河
问题：请你确定这一过程的最短路径.
转化为数学问题
如图，在l1、l2之间有一点A,要使AM+MN+NA最小,
A
B
新课推进
追问1 如图假定任选位 置造桥ＭＮ，连接ＡＭ和ＢＮ， A 从A到B的路径是AM+MN+BN， 那么怎样确定什么情况下最短 呢？
追问2 利用线段公理解决问题我们遇到 了什么障碍呢？如何解决？
Ｍ
Ｎ B
新课推进
A
解：如图，平移A到A1，使 ＡA1等于河宽，连接A1Ｂ交
A1
M
河岸于Ｎ作桥ＭＮ，此时路
(1)两点在一条直线同侧 (2)一点在两相交直线内部 (3)两点在两相交直线内部
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四边形ABEF的周长最小？求此时点E的坐标。
y
A
B（-1,1）
D
O
E
F
x
x = -1
已知：EF=1
y A₁(2,4) A（3,4）
B(-1,1)
EO F B´(-1,-1)
5 2 y x 3 3
x
x = -1
2 ∴E （ 5
，0 ）
三、平移+对称
如图，EF∥MN，要在直线MN、EF上
各找一点C、D使得CD⊥MN，且使
AC+CD+DB的长度和最短。
M F
●
B
C A
●
D A1
●
N
E
已知点A（3，4），点B为直线 x = -1上的动点，当点B 的坐标为（-1，1）时，在 x 轴上另取两点E、F，且
EF=1。线段EF在 x 轴上平移，线段EF平移至何处时，
“最短路径问题”在函数中的应用
阿左旗九中
张娟
一、一动单对称 在一条直线m上，求一点P，使PA+PB最小 （1）点A、B在直线m两侧
A P B B ´ m B A m
（2）点A、B在直线m 同侧
P
如图，在平面直角坐标系中，一次函数
5 y x m 的图象与x轴交于点A（-3，0）， 4
与y 轴交于点C，以直线x=1为对称轴的
抛物线 y ax bx c(a 0) 经过A、C
2
两点，并与x轴的正半轴交于点B。 （1）求m的值及抛物线的函数表达式。 （2）若点P是抛物线对称轴上使PA+PC 值最小的点，求P点坐标。
y 15 C（0， ） 4
y 5 15 xm 4 4
1 2 1 15 y x x 4 2 4
在直线 m、n 上，分别找出两点P、Q，使 PA+PQ+QB最小
两点都在直线内侧
P
A´ m
A
B Q
n
B´
拓展：
点D是抛物线
1 2 1 15 y x x 4 2 4
的顶点，点E
在抛物线上，横坐标为4。M、N分别为 x轴、
y 轴上的动点，顺次连接 D 、 N 、 M 、 E 构成四
边形DNME，求四边形DNME周长最小时点M
P
3 15 y x 4 4
A(-3,0)
O
B(5,0)
x
x =1
∴P（1，3）
变式：
是否在抛物线对称轴上存在一点P，使得的 △APC的周长最小，若存在，求出点P的坐标， 若不存在，请说明理由。
y 15 C（0， ） 4
P
A(-3,0)
O
B(5,0)
x
x =1
∴P （1 ，3 ）
二、双双对称
和点N的坐标。
D´(-1,4)
y 27 53 x 20 20
y C
D(1,4)
1 2 1 15 y x x 4 2 4
N
7 E 4， 4
Hale Waihona Puke AOMB
x
M
7 E 4， - 4 53 53 ， 0 ，N 0， 27 20
y
A
B（-1,1）
D
O
E
F
x
x = -1
已知：EF=1
y A₁(2,4) A（3,4）
B(-1,1)
EO F B´(-1,-1)
5 2 y x 3 3
x
x = -1
2 ∴E （ 5
，0 ）
三、平移+对称
如图，EF∥MN，要在直线MN、EF上
各找一点C、D使得CD⊥MN，且使
AC+CD+DB的长度和最短。
M F
●
B
C A
●
D A1
●
N
E
已知点A（3，4），点B为直线 x = -1上的动点，当点B 的坐标为（-1，1）时，在 x 轴上另取两点E、F，且
EF=1。线段EF在 x 轴上平移，线段EF平移至何处时，
“最短路径问题”在函数中的应用
阿左旗九中
张娟
一、一动单对称 在一条直线m上，求一点P，使PA+PB最小 （1）点A、B在直线m两侧
A P B B ´ m B A m
（2）点A、B在直线m 同侧
P
如图，在平面直角坐标系中，一次函数
5 y x m 的图象与x轴交于点A（-3，0）， 4
与y 轴交于点C，以直线x=1为对称轴的
抛物线 y ax bx c(a 0) 经过A、C
2
两点，并与x轴的正半轴交于点B。 （1）求m的值及抛物线的函数表达式。 （2）若点P是抛物线对称轴上使PA+PC 值最小的点，求P点坐标。
y 15 C（0， ） 4
y 5 15 xm 4 4
1 2 1 15 y x x 4 2 4
在直线 m、n 上，分别找出两点P、Q，使 PA+PQ+QB最小
两点都在直线内侧
P
A´ m
A
B Q
n
B´
拓展：
点D是抛物线
1 2 1 15 y x x 4 2 4
的顶点，点E
在抛物线上，横坐标为4。M、N分别为 x轴、
y 轴上的动点，顺次连接 D 、 N 、 M 、 E 构成四
边形DNME，求四边形DNME周长最小时点M
P
3 15 y x 4 4
A(-3,0)
O
B(5,0)
x
x =1
∴P（1，3）
变式：
是否在抛物线对称轴上存在一点P，使得的 △APC的周长最小，若存在，求出点P的坐标， 若不存在，请说明理由。
y 15 C（0， ） 4
P
A(-3,0)
O
B(5,0)
x
x =1
∴P （1 ，3 ）
二、双双对称
和点N的坐标。
D´(-1,4)
y 27 53 x 20 20
y C
D(1,4)
1 2 1 15 y x x 4 2 4
N
7 E 4， 4
Hale Waihona Puke AOMB
x
M
7 E 4， - 4 53 53 ， 0 ，N 0， 27 20