江西省高安中学2018-2019学年高二数学下学期期末考试试题 理一. 选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题 给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}60≤≤=x x P ，集合()(){}032≤-+=x x x Q ，则集合=PQ ( )A.[]2,0B.[]3,0C.[]6,2-D.[]6,3- 2.在复平面内，复数iiz -+=13对应的点的坐标为( ) A.()1,1- B.()1,2- C.()2,1 D.()2,2 3.设R x ∈，则“21≤+x ”是“03>-x ”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.既不充分也不必要条件D.充要条件4.已知函数()⎪⎩⎪⎨⎧<-≥-=0,20,132x x x x f x ，若()2=a f ，则实数a 的值为（ ）A.2-B.2C.2-或1D.1或2 5.已知命题p ：若,b a >则33b a >，命题q ：若0=⋅b a ，则022=+b a . 下列命题中为真命题的是（ ）A.p 或qB.p 且qC.p ⌝或qD.p ⌝且q ⌝6.已知随机变量X ～()25,12N ，随机变量52+=X Y ，则DY 的值为（ ） A.20 B.48 C.100 D.1057.为了研究某班学生的脚长x （单位：厘米）和身高y （单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系， 设其回归直线方程为bx a y +=．已知250101=∑=i ix，1740101=∑=i i y ，4=b .该班某学生的脚长为23，据此估计其身高为（ ） A ．160B ．166C ．170D ．1728.()()5211x x --展开式中4x 的系数为（ ）A.160-B.80-C.0D.160 9.某单位安排甲、乙、丙、丁、戊5名工作人员从周日到周五值班，每天有且只有1人值班，每人至少安排一天，且安排值班两天的人员提出安排在不连续的两天， 则不同的安排方法种数为（ ）A.600B.1200C.1800D.2400 10.已知()()R b y a a a x b ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛=>-+=-1221,114，dt t z ⎰--=1124则z y x ,,的大小关系为（ ）A.z y x >>B.y z x >>C.y x z >>D.x y z >>11. 在直角坐标系xoy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧-==1sin 3cos 3θθy x (θ为参数)，直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==12123t y t x (t 为参数).若()1,0P ,直线l 与曲线C 交于B A 、两点，则PB PA ⋅的值为（ ）A.2B.32C.62D.512. 下列命题中真命题的个数为（ ）①已知集合{},01=-=ax x A 集合{}1,1-=B ，若B A ⊆,则实数1±=a ；②命题“若b a >，则b a 22l og l og >”的逆命题、否命题、逆否命题中真命题有3个； ③函数()xxx f 224+-=的递减区间为[)+∞,1；④用数学归纳法证明“nn n n n 212111211214131211+++++=--++-+-”时， 由k n =的假设证明1+=k n 时，如果从等式左边证明右边，则必须证得右边为2211212111+++++++k k k k . A.1 B.2 C.3D.4二．填空题(每小题5分,共20分)13. 命题“任意N x ∈，()112≥-x ”的否定为 .14. 曲线()xx x f 1ln -=在点()()1,1f P 处的切线的方程为 . 15. 甲、乙、丙、丁、戊五位妈妈相约各带一个小孩去观看郁金香花展，她们选择骑共享电动车出行，每辆电动车只能带一个孩子，但是孩子们都表示不坐自己妈妈的车， 则她们坐车不同的搭配方式有 .16. 如图所示的数阵中，用()k n A ,表示第n 行的第k 个数，则依次规律()3,7A 为 .31 61 61101 121 101151 221 221 151211 371 441 371 211...三．解答题(本题共6小题,满分70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. （本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系， 直线l 的极坐标方程为()06sin cos =++θθρ，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧==θθsin cos 3y x (θ为参数). （1）写出直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程； （2）已知点M 在曲线C 上，求出点M 到直线l 的距离的最值.18. （本小题满分12分）已知函数()121+-+=x x x f .（1）求不等式()2->x f 的解集；（2）若函数()x f 的最大值为m ，且正实数b a ,满足m b a =+，求证：1≤+b a .19. （本小题满分12分）阿尔法狗(AlphaGo )是第一个击败人类职业围棋选手、第一个战胜围棋世界冠军的人工智能程序，由谷歌(Google )公司的团队开发.其主要工作原理是“深度学习”.2017年5月，在中国乌镇围棋峰会上，它与排名世界第一的世界围棋冠军柯洁对战，以3比0的总比分获胜.围棋界公认阿尔法围棋的棋力已经超过人类职业围棋顶尖水平.为了激发广大中学生对人工智能的兴趣，宜春市教育局组织了一次全市中学生“人工智能”软件设计竞赛，从参加比赛的学生中随机抽取了20名学生，并把他们的比赛成绩按五个等级进行了统计，得到如下数据表：（1）在某学生的比赛成绩等级为“A 或B ”的条件下，求该生的比赛成绩等级为“A ”的概率；（2）以频率估计概率，若从该地区参加比赛的学生(参赛人数很多)中任选4人，记X 表示抽到成绩等级为“A 或B ”的学生人数，求X 的数学期望EX 与方差DX .20. （本小题满分12分）已知函数()()x a x x a x f 121ln 2+-+=.(其中,R a ∈且0≠a ） （1）当1>a 时，求函数()f x 的极值； （2）讨论函数()f x 的单调性.21. （本小题满分12分）2019央视春晚长春分会场，演员身穿独特且轻薄的石墨烯发热服，在寒气逼人的零下C ︒20春晚现场表演了精彩的节目.石墨烯发热服的制作原理：从石墨中分离出石墨烯， 制成石墨烯发热膜，再把石墨烯发热膜铺到衣服内.（1）从石墨分离石墨烯的一种方法是化学气相沉积法，使石墨升华后附着在材料上再结晶.现在有A 材料、B 材料供选择，研究人员对附着在A 材料上再结晶做了20次试验，成功19次；对附着在B 材料上再结晶做了30次试验，成功16次.用22⨯列联表判断：是否有99%的把握认为试验是否成功与材料A 和材料B 的选择有关？（2）研究人员得到石墨烯后，再制作石墨烯发热膜有四个环节：①透明基底及UV 胶层；②石墨烯层；③银浆线路；④表面封装层， 前三个环节生产合格的概率为32，最后一个环节生产合格的概率为43， 求制作石墨烯发热膜的四个环节中至少有三个环节生产合格的概率； （3）只要把石墨烯发热膜铺到衣服内就能制作完成一件石墨烯发热服.现有制作完的石墨烯发热服6件，其中生产合格的有4件，现在从中任意抽取3件，用X 表示取出的合格品的件数，求随机变量X 的分布列.附：()()()()()d b c a d c b a bc ad n ++++-=22χ，其中d c b a n +++=.22. （本小题满分12分） 已知函数()xx a ex f x 11-+=-图像经过()1,1.若命题:p 实数m 满足()()2102m f m f -<-；命题q ：函数()mx x m x x g 223123--=在R 上递增， 是否存在实数m 满足命题“p 或q ”为真命题？若存在，求出m 的范围；若不存在，说明理由.高安中学高二年级2018-2019学年度下学期期末考试高二年级理科数学试题参考答案一. 选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.二．填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.存在N x ∈，()112<-x 14.032=--y x15. 44 16.1391三．解答题(本题共6小题,满分70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. 解：（1）由l ：()06sin cos =++θθρ，及cos x ρθ=，sin y ρθ=.∴l 的直角坐标方程为06=++y x . ……2分由θθsin ,cos 3==y x ，消去θ得1322=+y x . ……5分 （2）设()θθsin ,cos 3M，则点M 到直线l 的距离为d ，则263sin 226sin cos 3+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=πθθθd ……7分 [][]24,22,1,13sin ∈∴-∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+d πθ . ……9分∴点M 到直线l 的距离的最大值为24，最小值为22. ……10分18. 解：(1)()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-≥--<<-+-≤=21,211,231,x x x x x x x f ……2分()2->∴x f ⎩⎨⎧->-≤⇔21x x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧->-<<-34211x x 或22221<<-⇔⎪⎩⎪⎨⎧<-≥x x x∴原不等式的解集为()2,2- (5)分（2）由（1）得()x f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-21,上递增，在⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-,21上递减 ()21max =∴x f ，即21=m 21=+∴b a ……7分要证1≤+b a ，只需证12≤++ab b a ，即证212≤ab ，即证41≤ab ， 而ab b a 221≥=+，所以41≤ab 成立，所以原不等式成立. ……12分19.解：(1)记“某学生的比赛成绩等级为“A 或B ””为事件M ,记“该学生的比赛成绩等级为“A ””为事件N,由题意知()()()()()53106,103206,212064===∴===+=M P MN P M N P MN P M P 即在某学生的比赛成绩等级为“A 或B ”的条件下， 该生的比赛成绩等级为“A ”的概率53. ……5分（2）由(1)知每个学生的比赛成绩等级为“A 或B ”的频率为21， 又因为随机变量X 可取0，1，2，3，4则⎪⎭⎫ ⎝⎛21,4~B X ，()()4,3,2,1,02112144=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛==-k C k X P kk k (8)分所以X 的分布列为：……10分则121214,2214=⋅⋅==⋅=DX EX ， 所以随机变量X 的期望值为2,方差为 1. ……12分20. 解：（1）因为()()()()()xa x x x a x a x a x x a x f -⋅-=++-=+-+='1112, ……2分所以当1>a 时,()f x ，()x f '随x 变化的变化情况为……4分可知()f x 的极大值为()211--=a f ，极小值为()a a a a a f -+-=ln 212. ……6分（2）由（1）知当1>a 时，()f x 在()()+∞,,1,0a 上递增，在()a ,1上递减; ……7分当1=a 时，()f x 在()+∞,0上递增; ……8分当10<<a 时，()f x 在()()+∞,1,,0a 上递增，在()1,a 上递减; ……10分当0<a 时，()f x 在()1,0上递 减在()+∞,1上递增. ……12分 21. 解：（1）由题意可列联表如下……2分()635.6921.91535302016114195022>≈⨯⨯⨯⨯-⨯=χ ∴有99%的把握认为试验是否成功与材料A 和材料B 的选择有关. ……4分（2）记“制作石墨烯发热膜的四个环节中至少有三个环节生产合格”为事件D ,则()271743324132433132333333223=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛=C C C D P ……7分（3）由题意知X 可取1，2，3， ……8分()()()513,532,5113634361224362214=========C C X P C C C X P C C C X P……11分∴ 随机变量X 的分布列为……12分22. 解：因为(),111a a f =-+=且(),11=f 得1=a . ……1分所以()()011>-+=-x x x e x f x 又 ()012121>++='-xx ex f x 恒成立,∴函数在()f x 在()+∞,0上递增, ……3分 ∴若命题p 为真，则()()3210201002102222<<⇔⎪⎩⎪⎨⎧-<->->-⇔-<-m m m m m m f m f ……6分若命题q 为真，则()022≥--='m mx x x g 在R 上恒成立， 即()082≤+-=∆m m ，解得08≤≤-m ……10分要使“p 或q ”为真命题，则命题p 为真或命题q 为真，即32<<m 或08≤≤-m 所以存在实数[]()3,20,8⋃-∈m 满足条件. ……12分。
