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第三课 基本初等函数( Ⅰ )[核心速填]1．根式的性质 (1)(na )n ＝a (n ∈N *)； (2)na n ＝a (n 为奇数，n ∈N *)；nan＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥0，－a ，a <0(n 为偶数，n ∈N *)．2．分数指数幂(1)a mn ＝n a m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；(2)a－m n＝1am n ＝1na m(a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；(3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． 3．对数的运算性质已知a >0，b >0，a ≠1，M >0，N >0，m ≠0. (1)log a M ＋log a N ＝log a (MN )； (2)log a M －log a N ＝log a MN； (3)log a m b n＝n mlog a b . 4．换底公式及常用结论已知a >0，a ≠1，b >0，b ≠1，N >0，c >0，c ≠1. (1)log a b ＝log c blog c a.(2)log a b ·log b a ＝1，log a b ·log b c ·log c a ＝1. (3)a log a N ＝N .5．指数函数的图象与底数的关系 (1)底数的取值与图象“升降”的关系：当a >1时，图象“上升”；当0<a <1时，图象“下降”． (2)底数的大小决定图象位置的高低：在y 轴右侧“底大图高”；在y 轴左侧“底大图低”，如图21所示有a >b >1>c >0.图216．对数函数的图象与底数的关系(1)对于底数都大于1的对数函数，底数越大，函数图象向右的方向越接近x 轴；对于底数都大于0而小于1的对数函数，底数越大，函数图象向右的方向越远离x 轴．(2)作直线y ＝1与各图象交点的横坐标即各函数的底数的大小，如图22，a >b >1>c >d >0.图22 [体系构建][题型探究]指数与对数的运算(1)2log 32－log 3329＋log 38－5log 53；(2)0.064－13－⎝ ⎛⎭⎪⎫－780＋[(－2)3]－43＋16－0.75＋0.0112.[解] (1)原式＝log 322×8329－3＝2－3＝－1.(2)原式＝0.43×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13－1＋2－4＋24×⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＋0.1＝52－1＋116＋18＋110＝14380.若出现分式则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式，换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧 [跟踪训练]1．设3x ＝4y＝36，则2x ＋1y的值为( )【导学号：37102322】A ．6B ．3C ．2D ．1D [由3x＝4y＝36得x ＝log 336，y ＝log 436，∴2x ＋1y＝2log 363＋log 364＝log 369＋log 364＝log 3636＝1.]基本初等函数的图象(1)若函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象如图23所示，则下列函数正确的是( )图23A B C D(2)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x.图24①如图24，画出函数f (x )的图象；②根据图象写出f (x )的单调区间，并写出函数的值域．(1)B [(1)由已知函数图象可得，log a 3＝1，所以a ＝3.A 项，函数解析式为y ＝3－x，在R 上单调递减，与图象不符；C 项中函数的解析式为y ＝(－x )3＝－x 3，当x >0时，y <0，这与图象不符；D 项中函数解析式为y ＝log 3(－x )，在(－∞，0)上为单调递减函数，与图象不符；B 项中对应函数解析式为y ＝x 3，与图象相符．故选B.](2)[解] ①先作出当x ≥0时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的图象，利用偶函数的图象关于y 轴对称，再作出f (x )在x ∈(－∞，0)时的图象．②函数f (x )的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为[0，＋∞)，值域为(0,1]． 根据函数解析式判断函数的相关性质，如定义域、值域、单调性、奇偶性等进行判断，也可根据函数性质进行排除干扰项而得到正确结果根据函数解析式特征确定相关的基本初等函数，如指数函数、对数函数、幂函数等，然后确定其平移变化的方向，从而判断函数图象指数函数与对数函数图象经过定点的实质是a 0指数函数与对数函数都具有单调性，当0<是递增函数[跟踪训练]2．函数y ＝1＋log 12(x －1)的图象一定经过点( )【导学号：37102323】A ．(1,1)B ．(1,0)C ．(2,1)D ．(2,0)C [把y ＝log 12x 的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位即可得到y ＝1＋log 12(x －1)的图象，故其经过点(2,1)．]比较大小若0<x <y <1，则( ) A ．3y<3xB ．log x 3<log y 3C ．log 4x <log 4y D.⎝ ⎛⎭⎪⎫14x <⎝ ⎛⎭⎪⎫14yC [因为0<x <y <1，则对于A ，函数y ＝3x在R 上单调递增，故3x<3y，错误．对于B ，根据底数a 对对数函数y ＝log a x 的影响：当0<a <1时，在x ∈(1，＋∞)上“底小图高”．因为0<x <y <1，所以log x 3>log y 3，错误．对于C ，函数y ＝log 4x 在(0，＋∞)上单调递增，故log 4x <log 4y ，正确．对于D ，函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x在R 上单调递减，故⎝ ⎛⎭⎪⎫14x>⎝ ⎛⎭⎪⎫14y，错误．]比较两数大小常用的方法有单调性法、图象法、中间搭桥法等当两个数都是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较比较多个数的大小时，先利用“0”，“1”作为分界点，然后在各部分内再利用函数性质比较大小含参数的问题，要根据参数的取值进行分类讨论[跟踪训练]3．设a ＝log 2π，b ＝log 12π，c ＝π－2，则( )【导学号：37102324】A ．a >b >cB ．b >a >cC ．a >c >bD ．c >b >aC [∵a ＝log 2π>log 22＝1，b ＝log 12π<log 121＝0，c ＝π－2＝1π2，即0<c <1，∴a >c >b ，故选C.]基本初等函数的性质(1)设函数f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )，则f (x )是( ) A ．奇函数，且在(0,1)上是增函数 B ．奇函数，且在(0,1)上是减函数C ．偶函数，且在(0,1)上是增函数D ．偶函数，且在(0,1)上是减函数(2)已知a >0，a ≠1且log a 3>log a 2，若函数f (x )＝log a x 在区间[a,3a ]上的最大值与最小值之差为1. ①求a 的值；②若1≤x ≤3，求函数y ＝(log a x )2－log a x ＋2的值域．(1)A [由题意可得，函数f (x )的定义域为(－1,1)，且f (－x )＝ln(1－x )－ln(1＋x )＝－f (x )，故f (x )为奇函数．又f (x )＝ln 1＋x 1－x ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫21－x －1，易知y ＝21－x －1在(0,1)上为增函数，故f (x )在(0,1)上为增函数．](2)[解] ①因为log a 3>log a 2，所以f (x )＝log a x 在[a,3a ]上为增函数． 又f (x )在[a,3a ]上的最大值与最小值之差为1， 所以log a (3a )－log a a ＝1，即log a 3＝1，所以a ＝3. ②函数y ＝(log 3x )2－log 3x ＋2＝(log 3x )2－12log 3x ＋2＝⎝⎛⎭⎪⎫log 3x －142＋3116.令t ＝log 3x ，因为1≤x ≤3， 所以0≤log 3x ≤1，即0≤t ≤1.所以y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －142＋3116∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤3116，52，所以所求函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3116，52.换元法的作用是利用整体代换，将问题转化为常见问题本章中，常设化为一元二次方程、二次函数等问题要注意换元后的取值范围分类讨论思想的应用设a >0且a ≠1，若P ＝log a (a 3＋1)，Q ＝log a (a 2＋1)，试比较P ，Q 的大小.【导学号：37102325】思路探究：分0<a <1和a >1两类，先比较a 3＋1与a 2＋1的大小关系，再借助对数函数的单调性比较大小．[解] 当0<a <1时，有a 3<a 2，即a 3＋1<a 2＋1. 又当0<a <1时，y ＝log a x 在(0，＋∞)上单调递减， ∴log a (a 3＋1)>log a (a 2＋1)，即P >Q . 当a >1时，有a 3>a 2，即a 3＋1>a 2＋1.又当a >1时，y ＝log a x 在(0，＋∞)上单调递增， ∴log a (a 3＋1)>log a (a 2＋1)，即P >Q . 综上可得，P >Q .[跟踪训练]4．已知函数f (x )＝a x(a >0，且a ≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大a2，求a 的值．[解] ①若a >1，则f (x )是增函数，∴f (x )在[1,2]上的最大值为f (2)，最小值为f (1)， ∴f (2)－f (1)＝a2，即a 2－a ＝a2，解得a ＝32.②若0<a <1，则f (x )是减函数，∴f (x )在[1,2]上的最大值为f (1)，最小值为f (2)， ∴f (1)－f (2)＝a2，即a －a 2＝a2，解得a ＝12.综上所述，a ＝12或a ＝32.。
第二章 基本初等函数（Ⅰ）学习目标 1.构建知识网络，理解其内在的联系.2.盘点重要技能，提炼操作要点.3.体会数学思想，培养严谨灵活的思维能力．知识点一 映射与函数一般地，设A ，B 是两个非空集合，如果按某种对应法则f ，对于A 中的每一个元素，在B 中都有唯一的元素与之对应，那么这样的单值对应叫做从集合A 到集合B 的映射，记作f ：A →B .由定义可知在A 中的任意一个元素在B 中都能找到唯一的像，而B 中的元素在A 中未必有原像．若f ：A →B 是从A 到B 的映射，且B 中任一元素在A 中有且只有一个原像，则这样的映射叫做从A 到B 的一一映射．函数是一个特殊的映射，其特殊点在于A ，B 都为非空数集，函数有三要素：定义域、值域、对应法则．两个函数只有当定义域和对应法则分别相同时，这两个函数才是同一函数． 知识点二 函数的单调性1．函数的单调性主要涉及求函数的单调区间，利用函数的单调性比较函数值的大小，利用函数的单调性解不等式等相关问题．深刻理解函数单调性的定义是解答此类问题的关键． 2．函数单调性的证明根据增函数、减函数的定义分为四个步骤证明，步骤如下： (1)取值：任取x 1，x 2∈D ，且x 1<x 2，得x 2－x 1>0；(2)作差变形：Δy ＝y 2－y 1＝f (x 2)－f (x 1)＝…，向有利于判断差的符号的方向变形； (3)判断符号：确定Δy 的符号，当符号不确定时，可以进行分类讨论； (4)下结论：根据定义得出结论．3．证明函数单调性的等价变形：(1)f (x )是单调递增函数⇔任意x 1<x 2，都有f (x 1)<f (x 2)⇔f x 1－f x 2x 1－x 2>0⇔[f (x 1)－f (x 2)]·(x 1－x 2)>0；(2)f (x )是单调递减函数⇔任意x 1<x 2，都有f (x 1)>f (x 2)⇔f x 1－f x 2x 1－x 2<0⇔[f (x 1)－f (x 2)]·(x 1－x 2)<0.知识点三 函数的奇偶性 对于定义域内的任意x (定义域关于原点对称)→⎩⎪⎨⎪⎧f －x ＝－f x ⇔f x 为奇函数，f －x ＝fx ⇔f x 为偶函数.性质：①函数y ＝f (x )是偶函数⇔f (x )的图象关于y 轴对称． ②函数y ＝f (x )是奇函数⇔f (x )的图象关于原点对称．③偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上的单调性相反．④奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上的单调性相同，奇函数f(x)在x＝0处有定义时，必有y＝f(x)的图象过原点，即f(0)＝0.类型一函数概念及性质命题角度1 函数三要素例1 某省两相近重要城市之间人员交流频繁，为了缓解交通压力，特修一条专用铁路，用一列火车作为交通车，已知该车每次拖挂4节车厢，一天能来回16次，如果该车每次拖挂7节车厢，则每天能来回10次．(1)若每天来回的次数是车头每次拖挂车厢节数的一次函数，求此一次函数的解析式和定义域；(2)在(1)的条件下，每节车厢能载乘客110人．问这列火车每天来回多少次才能使运营人数最多？并求出每天最多运营人数．反思与感悟建立函数模型是借助函数研究问题的第一步，在此过程中要善于抓住等量关系，并把等量关系中涉及的量逐步用变量表示出来；在实际问题中，定义域不但受解析式的影响，还受实际含义约束．跟踪训练1 如图，ABCD是边长为1的正方形，M是CD的中点，点P沿着路径A→B→C→M 在正方形边上运动所经过的路程为x，△APM的面积为y.(1)求y ＝f (x )的解析式及定义域； (2)求△APM 面积的最大值及此时点P 位置．命题角度2 函数性质的综合应用例2 已知函数f (x )对任意x ，y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x >0时，f (x )<0，f (1)＝－23.(1)求证：f (x )在R 上是单调减函数； (2)求f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值； (3)解不等式f (x )－f (－x )>2. 引申探究证明f (x )为奇函数．若已证明f (x )为奇函数，如何解(3)?反思与感悟(1)解决有关函数性质的综合应用问题的通法就是根据函数的奇偶性解答或作出图象辅助解答，先证明函数的单调性，再由单调性求最值．(2)研究抽象函数的性质时要紧扣其定义，同时注意特殊值的应用．跟踪训练2 函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f(4)＝1，f(x－1)<2，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围．类型二函数图象的画法及应用例3 对于函数f(x)＝x2－2|x|.(1)判断其奇偶性，并指出图象的对称性；(2)画此函数的图象，并指出单调区间和最小值．反思与感悟 画函数图象的主要方法有描点法和先研究函数性质再根据性质画图，一旦有了函数图象，可以使问题变得直观，但仍要结合代数运算才能获得精确结果．跟踪训练3 已知f (x )为定义在R 上的奇函数，且f (x )＝f (2－x )，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x .求x ∈[－3,5]时，f (x )＝12的所有解的和．1．f (x )＝x 2＋|x |是________函数(填奇、偶)，其单调增区间为________．2．已知集合P ＝{x |y ＝x ＋1}，集合Q ＝{y |y ＝x －1}，则P 与Q 的关系是________．3．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2，x ≤2，2x ，x >2，则f (－4)＝________，若f (x 0)＝8，则x 0＝________.4．已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)＝________.5．若f (x )是偶函数，其定义域为(－∞，＋∞)，且在[0，＋∞)上是单调减函数，则f (－32)与f (a 2＋2a ＋52)的大小关系是________．1．函数是高中数学最重要的基础之一，函数的概念及其表示基础性强，渗透面广，常与其他知识结合考查，试题多数为填空题，重点考查函数的定义域与值域的求解以及分段函数的相关问题．2．单调性、奇偶性是函数性质的核心内容，常集于一体综合命题．解题捷径是结合题意选择其中易判断的性质为突破口，而后根据解题需要灵活选择研究和变形方向．3．(1)函数图象的识别，应抓住函数解析式的特征，从其定义域、值域、单调性、奇偶性等方面灵活判断，多可利用函数图象上点的坐标进行排除．(2)应用函数图象的关键是从图象中提取所需的信息，提取图象中信息的方法主要有：①定性分析法，通过对问题进行定性的分析，从而得出图象上升(或下降)的趋势，利用这一特征来分析解决问题．②定量计算法，通过定量的计算来分析解决问题；③函数模型法，由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．答案精析题型探究例1 解 (1)设每天来回y 次，每次拖挂x 节车厢，由题意设y ＝kx ＋b (k ≠0)，当x ＝4时，y ＝16，当x ＝7时，y ＝10，得到⎩⎪⎨⎪⎧16＝4k ＋b ，10＝7k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，b ＝24，∴y ＝－2x ＋24.依题意有⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ∈N ，y ＝－2x ＋24≥0.解得定义域为{x ∈N |0≤x ≤12}．(2)设每天来回y 次，每次拖挂x 节车厢，由题意知，每天拖挂车厢最多时，运营人数最多，设每天拖挂S 节车厢，则S ＝xy ＝x (－2x ＋24)＝－2x 2＋24x ＝－2(x －6)2＋72，x ∈[0,12]且x ∈N .所以当x ＝6时，S max ＝72，此时y ＝12，则每日最多运营人数为110×72＝7 920. 故这列火车每天来回12次，才能使运营人数最多，每天最多运营人数为7 920. 跟踪训练1 解 (1)根据题意得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ，0<x <1，34－x4，1≤x ＜2，54－12x ，2≤x ＜52.f (x )的定义域为(0,1)∪[1,2)∪[2，52)＝(0，52)．(2)易知f (x )在(0,1)上为单调增函数，在[1，52)上为单调减函数，∴当x ＝1时，f (x )max ＝34－14＝12.例2 (1)证明 由f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )可得f (x ＋y )－f (x )＝f (y )． 在R 上任取x 1>x 2， 令x ＋y ＝x 1，x ＝x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1－x 2)． ∵x 1>x 2，∴x 1－x 2>0. 又x >0时，f (x )<0，∴f (x 1－x 2)<0， 即f (x 1)－f (x 2)<0.由定义可知f (x )在R 上是单调减函数． (2)解 ∵f (x )在R 上是单调减函数； ∴f (x )在[－3,3]上也是单调减函数； ∴f (－3)最大，f (3)最小． 又f (1)＝－23，∴f (3)＝f (2)＋f (1) ＝f (1)＋f (1)＋f (1) ＝3×(－23)＝－2.∴f (－3)＝f (4－3)－f (4) ＝f (1)－f (3)－f (1) ＝－f (3)＝2.即f (x )在[－3,3]上的最大值为2，最小值为－2. (3)解 由(2)知f (－3)＝2，f (x )－f (－x )>2即f (x )>f (－x )＋2＝f (－x )＋f (－3)＝f (－3－x )，由(1)知f (x )在R 上为单调减函数， ∴f (x )>f (－3－x )⇔x <－3－x ， 解得解集为{x |x <－32}．引申探究证明 令y ＝－x ，则f (x )＋f (y )＝f (x )＋f (－x ) ＝f (x －x )＝f (0)． 再令x ＝y ＝0，有f (0)＋f (0)＝f (0＋0)， 即2f (0)＝f (0)，∴f (0)＝0. ∴f (x )＋f (－x )＝0， 即f (－x )＝－f (x )， ∴f (x )为奇函数，∴f (x )－f (－x )＞2⇔2f (x )＞2⇔f (x )＞1. 由(2)知f (－3)＝f [－32＋(－32)]＝f (－32)＋f (－32)＝2f (－32)＝2，∴f (－32)＝1.∴f (x )＞1⇔f (x )＞f (－32)，∵f (x )在R 上为单调减函数， ∴解集为{x |x ＜－32}．跟踪训练2 解 (1)∵对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)， ∴令x 1＝x 2＝1，得f (1)＝2f (1)， ∴f (1)＝0. (2)f (x )为偶函数．证明：令x 1＝x 2＝－1，有f (1)＝f (－1)＋f (－1)， ∴f (－1)＝12f (1)＝0.令x 1＝－1，x 2＝x 有f (－x )＝f (－1)＋f (x )， ∴f (－x )＝f (x )，∴f (x )为偶函数． (3)依题设有f (4×4)＝f (4)＋f (4)＝2， 由(2)知，f (x )是偶函数， ∴f (x －1)<2⇔f (|x －1|)<f (16)． 又f (x )在(0，＋∞)上是增函数．∴0<|x －1|<16，解之得－15<x <17且x ≠1. ∴x 的取值范围是{x |－15<x <17且x ≠1}． 例3 解 (1)函数的定义域为R ，关于原点对称，f (－x )＝(－x )2－2|－x |＝x 2－2|x |.则f (－x )＝f (x )，∴f (x )是偶函数． 图象关于y 轴对称． (2)f (x )＝x 2－2|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ＝x －2－1，x ≥0，x 2＋2x ＝x ＋2－1，x <0.画出图象如图所示，根据图象知，函数f (x )的最小值是－1，无最大值．单调增区间是[－1,0]，[1，＋∞)；单调减区间是(－∞，－1]，[0,1]． 跟踪训练3 解 当x ∈[－1,0]时，－x ∈[0,1]，∴f (－x )＝－x . 又∵f (x )为奇函数，∴x ∈[－1,0]时，f (x )＝－f (－x )＝x . 即x ∈[－1,1]时，f (x )＝x .又由f (x )＝f (2－x )可得f (x )的图象关于直线x ＝1对称． 由此可得f (x )在[－3,5]上的图象如下：在同一坐标系内画出y ＝12的图象，由图可知在[－3,5]上共有四个交点，∴f (x )＝12在[－3,5]上共有四个解，从左到右记为x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1与x 4，x 2与x 3关于直线x ＝1对称， ∴x 1＋x 42＝1，x 2＋x 32＝1.∴x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝4. 当堂训练1．偶 [0，＋∞) 2.Q P 3．18 －6或4 4.1 5．f (－32)≥f (a 2＋2a ＋52)。
学习目标 1.构建知识网络；2.进一步熟练指数、对数运算，加深对公式成立条件的记忆；3.以函数观点综合理解指数函数、对数函数、幂函数．[知识网络][知识梳理]1．分数指数幂(1)mna＝a>0，m，n∈N*，且n>1.(2)-1mnmnaa＝：a>0，m，n∈N*，且n>1.2．根式的性质(1)(na)n＝a.(2)当n 为奇数时，na n ＝a ； 当n 为偶数时，na n＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥0，－a ，a <0.3．指数幂的运算性质 (1)a r ·a s ＝a r ＋s ：a >0，r ，s ∈R .(2)(a r )s ＝a rs ：a >0，r ，s ∈R . (3)(ab )r ＝a r b r ：a >0，b >0，r ∈R . 4．指数式与对数式的互化式 log a N ＝b ⇔a b ＝N ：a >0，a ≠1，N >0. 5．对数的换底公式log a N ＝log m Nlog m a：a >0，且a ≠1，m >0，且m ≠1，N >0.推论：log log m n a a b b ＝： a >0，且a ≠1，m ，n >0，且m ≠1，n ≠1，b >0. 6．对数的四则运算法则 若a >0，a ≠1，M >0，N >0，则 (1) log a (MN )＝log a M ＋log a N ； (2)log a MN ＝log a M －log a N ；(3)log a M n ＝n log a M (n ∈R )．类型一 指数、对数的运算提炼化简方向：根式化分数指数幂，异底化同底． 化简技巧：分与合．注意事项：变形过程中字母范围的变化．例1 化简：()29321)-⨯ ()5log 33333222log 2log log 825.9－＋－ 解 (1)原式2239533222(2)(10)10⨯÷－＝511312221010210⨯⨯⨯－－－＝＝(2)原式52log 333332log 4log log 859＝－＋－ 5log 939log (8)532⨯⨯＝４－ ＝log 39－9＝2－9＝－7.反思与感悟 指数、对数的运算应遵循的原则指数式的运算首先注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为分数指数幂运算，其次若出现分式则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的．对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式，换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧．跟踪训练1 计算80.25×42＋(32×3)6＋log 32×log 2(log 327)的值为________． 答案 111解析 ∵log 32×log 2(log 327)＝log 32×log 23 ＝lg 2lg 3×lg 3lg 2＝1， ∴原式31234422231⨯⨯＝＋＋＝21＋4×27＋1＝111. 类型二 数的大小比较 例2 比较下列各组数的大小： (1)27,82；(2)log 20.4，log 30.4，log 40.4. 解 (1)∵82＝(23)2＝26，由指数函数y ＝2x 在R 上单调递增知26<27即82<27. (2)∵对数函数y ＝log 0.4x 在(0，＋∞)上是减函数， ∴log 0.44<log 0.43<log 0.42<log 0.41＝0. 又幂函数y ＝x －1在(－∞，0)上是减函数， ∴1log 0.42<1log 0.43<1log 0.44， 即log 20.4<log 30.4<log 40.4.反思与感悟数的大小比较常用方法：(1)比较两数(式)或几个数(式)大小问题是本章的一个重要题型，主要考查指数函数、对数函数、幂函数图象与性质的应用及差值比较法与商值比较法的应用．常用的方法有单调性法、图象法、中间搭桥法、作差法、作商法．(2)当需要比较大小的两个实数均是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较．(3)比较多个数的大小时，先利用“0”和“1”作为分界点，即把它们分为“小于0”，“大于等于0小于等于1”，“大于1”三部分，再在各部分内利用函数的性质比较大小．跟踪训练2比较下列各组数的大小：(1)log0.22，log0.049；(2)a1.2，a1.3；(3)0.213,0.233.解(1)∵log0.049＝lg 9lg 0.04＝lg 32lg 0.22＝2lg 32lg 0.2＝lg 3lg 0.2＝log0.23.又∵y＝log0.2x在(0，＋∞)上单调递减，∴log0.22>log0.23，即log0.22>log0.049.(2)∵函数y＝a x(a>0且a≠1)，当底数a大于1时在R上是增函数；当底数a小于1时在R 上是减函数，而1.2<1.3，故当a>1时，有a1.2<a1.3；当0<a<1时，有a1.2>a1.3.(3)∵y＝x3在R上是增函数，且0.21<0.23，∴0.213<0.233.类型三指数函数、对数函数、幂函数的综合应用例3已知函数f(x)＝lg 1＋2x＋a·4x3在x∈(－∞，1]上有意义，求实数a的取值范围．解因为f(x)＝lg 1＋2x＋a·4x3在(－∞，1]上有意义，所以1＋2x ＋a ·4x >0在(－∞，1]上恒成立． 因为4x >0，所以a >－⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫14x ＋⎝⎛⎭⎫12x 在(－∞，1]上恒成立． 令g (x )＝－⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫14x ＋⎝⎛⎭⎫12x ，x ∈(－∞，1]． 由y ＝－⎝⎛⎭⎫14x与y ＝－⎝⎛⎭⎫12x 在(－∞，1]上均为增函数，可知g (x )在(－∞，1]上也是增函数， 所以g (x )max ＝g (1)＝－⎝⎛⎭⎫14＋12＝－34. 因为a >－⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫14x ＋⎝⎛⎭⎫12x 在(－∞，1]上恒成立， 所以a 应大于g (x )的最大值，即a >－34.故所求a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－34，＋∞. 反思与感悟 指数函数、对数函数、幂函数是使用频率非常高的基本初等函数，它们经过加、减、乘、除、复合、分段，构成我们以后研究的函数，使用时则通过换元、图象变换等手段化归为基本的指数函数、对数函数、幂函数来研究． 跟踪训练3 函数f (x )＝log a (1－x )＋log a (x ＋3)(0<a <1)． (1)求函数f (x )的定义域；(2)若函数f (x )的最小值为－2，求a 的值．解 (1)要使函数有意义，则有⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0，x ＋3>0，解得－3<x <1，∴定义域为(－3,1)．(2)函数可化为f (x )＝log a [(1－x )(x ＋3)]＝log a (－x 2－2x ＋3)＝log a [－(x ＋1)2＋4]． ∵－3<x <1，∴0<－(x ＋1)2＋4≤4. ∵0<a <1，∴log a [－(x ＋1)2＋4]≥log a 4. 由log a 4＝－2，得a －2＝4，1214.2a -∴＝＝.1．化简2lg (lg a 100)2＋lg (lg a )为( )A ．1B ．2C ．3D ．0答案 B解析 2lg (lg a 100)2＋lg (lg a )＝2lg (100·lg a )2＋lg (lg a )＝2[lg 100＋lg (lg a )]2＋lg (lg a )＝2.2．函数13y x ＝的图象是( )答案 B解析 ∵0＜13＜1.∴在第一象限增且上凸，又13y x ＝为奇函数，过(1,1)，故选B.3．函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x与函数()12log g x x ＝在区间(－∞,0)上的单调性为( )A ．都是增函数B ．都是减函数C ．f (x )是增函数，g (x )是减函数D ．f (x )是减函数，g (x )是增函数 答案 D解析 f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x 在x ∈(－∞，0)上为减函数，()12log g x x ＝为偶函数，x ∈(0，＋∞)时()12log g x x ＝为减函数，所以在(－∞，0)上为增函数．4．已知322P －＝， Q ＝⎝⎛⎭⎫253，R ＝⎝⎛⎭⎫123，则P ，Q ，R 的大小关系是( ) A ．P ＜Q ＜R B ．Q ＜R ＜P C ．Q ＜P ＜R D ．R ＜Q ＜P答案 B解析 由函数y ＝x 3在R 上是增函数知，⎝⎛⎭⎫253＜⎝⎛⎭⎫123， 由函数y ＝2x 在R 上是增函数知，3332122()2－－＞＝， 所以P ＞R ＞Q .5．函数2111()2x y +＝的值域为( )A ．(－∞，1) B.⎝⎛⎭⎫12，1 C.⎣⎡⎭⎫12，1 D.⎣⎡⎭⎫12，＋∞答案 C解析 因为x ∈R,0＜1x 2＋1≤1，所以2111()2x y +＝≥⎝⎛⎭⎫121＝12且2111()2x y +＝＜⎝⎛⎭⎫120＝1， 所以y ∈⎣⎡⎭⎫12，1.1．函数是高中数学极为重要的内容，函数思想和函数方法贯穿整个高中数学的过程，对本章的考查是以基本函数形式出现的综合题和应用题，一直是常考不衰的热点问题． 2．从考查角度看，指数函数、对数函数概念的考查以基本概念与基本计算为主；对图象的考查重在考查平移变换、对称变换以及利用数形结合的思想方法解决数学问题的能力；对幂函数的考查将会从概念、图象、性质等方面来考查．一、选择题1．函数f (x )＝1ln (x ＋1)＋4－x 2的定义域为( )A ．[－2,0]∪(0,2]B ．(－1,0)∪(0,2]C ．[－2,2]D ．(－1,2]答案 B解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，ln (x ＋1)≠0，4－x 2≥0，得－1＜x ≤2，且x ≠0.即x ∈(－1,0)∪(0,2]．2．下列各函数中，值域为(0，＋∞)的是( ) A ．y ＝22x -B ．y ＝1－2xC ．y ＝x 2＋x ＋1 D ．y ＝311x +答案 A 解析 A 中，y ＝22x -＝⎝⎛⎭⎫22x的值域为(0，＋∞)． B 中，因为1－2x ≥0，所以2x ≤1，x ≤0， y ＝1－2x 的定义域是(－∞，0]，所以0＜2x ≤1，所以0≤1－2x ＜1， 所以y ＝1－2x 的值域是[0,1)．C 中，y ＝x 2＋x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x ＋122＋34的值域是⎣⎡⎭⎫34，＋∞. D 中，因为1x ＋1∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，所以y ＝31x ＋1的值域是(0,1)∪(1，＋∞)．3．已知f (x )是函数y ＝log 2x 的反函数，则y ＝f (1－x )的图象是( )答案 C解析 因为f (x )是函数y ＝log 2x 的反函数，所以f (x )＝2x ，所以y ＝f (1－x )＝21－x ＝⎝⎛⎭⎫12x －1，其函数图象可由函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 的图象向右平移1个单位长度得到，故选C. 4．下列区间中，函数f (x )＝|ln(2－x )|在其上为增函数的是( ) A ．(－∞，1] B.⎣⎡⎦⎤－1，43 C.⎣⎡⎭⎫0，32 D.[1,2)答案 D解析 方法一 当2－x ≥1，即x ≤1时，f (x )＝|ln(2－x )|＝ln(2－x )，此时函数f (x )在(－∞，1]上单调递减．当0＜2－x ≤1，即1≤x ＜2时，f (x )＝|ln(2－x )|＝－ln(2－x )，此时函数f (x )在[1,2)上单调递增，故选D.方法二 f (x )＝|ln(2－x )|的图象如图．由图象可得，函数f (x )在区间[1,2)上为增函数，故选D.5．下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是( ) A ．y ＝1xB ．y ＝e －xC ．y ＝－x 2＋1D ．y ＝lg|x |答案 C解析 A 项，y ＝1x 是奇函数，故不正确；B 项，y ＝e －x 为非奇非偶函数，故不正确；C ，D 两项中的两个函数都是偶函数，且y ＝－x 2＋1在(0，＋∞)上是减函数，y ＝lg|x |在(0，＋∞)上是增函数，故选C. 6．函数f (x )＝4x ＋12x 的图象( )A ．关于原点对称B ．关于直线y ＝x 对称C ．关于x 轴对称D ．关于y 轴对称答案 D解析 ∵f (x )＝4x ＋12x ＝2x ＋12x ＝2x ＋2－x ，∴f (－x )＝2－x ＋2x ＝2x ＋2－x ＝f (x )， ∴f (x )为偶函数．7．设f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且它在[0，＋∞)上单调递增，若a ＝f ，b ＝f ，c ＝f (－2)，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a ＞b ＞c B ．b ＞c ＞a C ．c ＞a ＞b D ．c ＞b ＞a答案 C解析 因为1＝log 22＜log23＜log 22＝2,0＜log32＜log33＝1，所以log32＜log23＜2.因为f (x )在[0，＋∞)上单调递增， 所以f (log32)＜f (log23)＜f (2)．因为f (x )是偶函数， 所以a ＝f ＝f (－log 23)＝f (log23)，b ＝f ＝f (－log 32)＝f (log32)，c ＝f (－2)＝f (2)． 所以c ＞a ＞b . 二、填空题8．已知a 12＝49(a ＞0)，则23log a ＝________.答案 4解析 ∵a 12＝49(a ＞0)，∴(a 12)2＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2322，即a ＝⎝⎛⎭⎫234， ∴log 23a ＝log 23⎝⎛⎭⎫234＝4.9．若函数y ＝log 12(3x 2－ax ＋5)在[－1，＋∞)上是减函数，则实数a 的取值范围是________．答案 (－8，－6]解析 令g (x )＝3x 2－ax ＋5，其对称轴为直线x ＝a 6.依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧a 6≤－1，g (－1)＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－6，a ＞－8.10．如图，矩形ABCD 的三个顶点A ，B ，C 分别在函数y ＝x ，y ＝x 12，y ＝⎝⎛⎭⎫22x的图象上，且矩形的边分别平行于两坐标轴．若点A 的纵坐标为2，则点D 的坐标为________．答案 ⎝⎛⎭⎫12，14解析 由图象可知，点A (x A,2)在函数y ＝x 的图象上，所以2＝x A ，x A ＝⎝⎛⎭⎫222＝12.点B (x B,2)在函数y ＝x 12的图象上，所以2＝x 12B ，x B ＝4.点C (4，y C )在函数y ＝⎝⎛⎭⎫22x 的图象上，所以y C ＝⎝⎛⎭⎫224＝14. 又x D ＝x A ＝12，y D ＝y C ＝14，所以点D 的坐标为⎝⎛⎭⎫12，14. 三、解答题11．若lg a ，lg b 是方程2x 2－4x ＋1＝0的两根，求lg(ab )·⎝⎛⎭⎫lg a b 2的值． 解 ∵lg a ，lg b 是方程2x 2－4x ＋1＝0的两根，∴lg a ＋lg b ＝2，lg a lg b ＝12，∴(lg a －lg b )2＝(lg a ＋lg b )2－4lg a lg b ＝4－2＝2，∴lg(ab )·⎝⎛⎭⎫lg a b 2＝(lg a ＋lg b )·(lg a －lg b )2 ＝2×2＝4.12．已知函数f (x )＝222x x a ＋＋ (－2≤x ≤2)． (1)写出函数f (x )的单调区间；(2)若f (x )的最大值为64，求f (x )的最小值． 解 (1)令t ＝x 2＋2x ＋a ，则其对称轴x ＝－1， ∴t ＝x 2＋2x ＋a 在[－2，－1]上单调递减， 在[－1,2]上单调递增，又y ＝2t 在(－∞，＋∞)上单调递增，∴f (x )的增区间为[－1,2]，减区间为[－2，－1]． (2)由(1)知f (x )max ＝f (2)＝22222a ⨯＋＋＝28＋a . ∴28＋a ＝64＝26， ∴8＋a ＝6，a ＝－2，∴f (x )min ＝f (－1)＝2(－1)2＋2×(－1)－2＝2－3＝18.13．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13243ax x －＋. (1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )有最大值3，求a 的值． 解 (1)当a ＝－1时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫13243x x －－＋， 令g (x )＝－x 2－4x ＋3，由于g (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减， 而y ＝⎝⎛⎭⎫13t在R 上单调递减，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增， 即函数f (x )的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)． (2)令g (x )＝ax 2－4x ＋3，f (x )＝⎝⎛⎭⎫13g (x )，由于f (x )有最大值3，所以g (x )应有最小值－1，因此必有⎩⎨⎧a >0，3a －4a ＝－1，解得a ＝1，即当f (x )有最大值3时，a 的值为1.。
