九年级第4讲 相似与三角形、四边形综合拓展

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黄金分割造就了美和谐的音乐关键在于它的频率,舞台的设计关键在于它的中心。

把二胡的千斤放在哪里,才会拉出最美妙的音乐呢？把舞台的中心放在何处，才会达到最佳的效果呢？这是艺术家们常考虑的问题。

但是，数学家们告诉我们，只要你把它放在黄金分割点，就会达到你的目的了。

真是太奇妙了，很多事情只要用到黄金分割就迎刃而解了。

在建筑上,在美术上甚至在音乐上，它都体现了它的美妙之处。

五角星是非常美丽的，我国的国旗上就有五颗，还有不少国家的国旗也用五角星.在五角星中可以找到的所有线段之间的长度关系都是符合黄金比的。

正五边形对角线连满后出现的所有三角形，都是黄金分割三角形。

利用线段上的两黄金分割点,可作出正五角星、正五边形.早在100多年以前，德国的心理学家弗希纳曾精心制作了各种比例的矩形，并且举行了一个“矩形展览”,邀请了许多朋友来参加，参观完了之后,让大家投票选出最美的矩形。

最后被选出的四个矩形的比例分别是：5×8，8×13，13×21,21×34。

经过计算，其宽与长的比值分别是:0.625，0。

615，0.619,0.618.这些比值竟然都在0.618附近。

【知识梳理】【方法技巧】1、判定三角形相似的基本思路：一是条件中若有一组等角，可再找一组等角（找相等的角时注意挖掘公共角、对顶角、同角的余角或者同角的补角）或找夹这组等角的两组对应边成比例；二是条件中若有两组对应边成比例，可找夹角相等或计算第三组对应边的比，考虑三组对应边成比例（具体方法如下：首先把三角形的边分别按照从小到大的顺序排列，找出两个三角形的对应边；再分别计算小、中、大边的比，最后看三个比是否相等）。

2、解决圆中的相似问题时，要充分运用圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系定理，切线的性质等找出角之间的关系，进而利用相似三角形的判定定理及性质求解。

3、相似三角形的基本模型：（1）“A ”字型（2）“X ”字型（3）“K ”字型（4）旋转型：符合旋转型的两个三角形，常用“两边成比例及夹角相等”来证明相似BBB CB C CQ DBA（5）母子型：在“母子三角形”中，应用公共边可得到关于三条线段的乘方式，由此可证明相似问题中的等积式。

4、位似图形必须同时满足两个条件：（1）两个图形是相似图形（2）两个图形的每组对应顶点的连线都经过同一点5、关于位似的警示点：（1）位似图形一定是相似图形，但是相似图形不一定是位似图形（2）位似图形可能在位似中心的同侧，也可能在位似中心的两侧，因此作一个图形关于某点的位似图形往往有两个。

如图： O A B C D OA B CD D CB AC D B A6、在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，新图形与原图形的相似比为k，那么与原图形上的点（x,y）对应的位似图形上的点的坐标为（kx,ky）或（-kx,-ky）.【考点突破】考点1、基本概念与定理例1、如果2x=3y（x、y均不为0），那么下列各式中正确的是（）A．=B．=3 C．=D．=变式1、已知=，那么的值为（）A．B．C．D．变式2、下列各组中的四条线段成比例的是（）A．1cm、2cm、20cm、30cm B．1cm、2cm、3cm、4cmC．5cm、10cm、10cm、20cm D．4cm、2cm、1cm、3cm例2、△ABC与△DEF的相似比为1：4，则△ABC与△DEF的周长比为（）A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：16变式1、已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为，则△ABC与△DEF对应中线的比为（）A．B．C．D．变式2、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，如果S△ACD：S△ABC=1：2，那么S△AOD：S△BOC是（）A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：6例3、如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1、l2、l3与点A、B、C，直线DF分别交l1、l2、l3与点D、E、F，AC与DF相交于点H，如果AH=2，BH=1，BC=5，那么的值等于（）A．B．C．D．变式1、如图，已知直线a∥b∥c，直线m交直线a，b，c于点A，B，C，直线n交直线a，b，c 于点D，E，F，若=，则=（）A．B．C．D．1例4、如图，△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）A．B．C．D．解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；C、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确；D、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误．故选C．变式1、如图，已知∠1=∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（）A．∠C=∠E B．∠B=∠ADE C．D．例5、在三角形纸片ABC中，AB=8，BC=4，AC=6，按下列方法沿虚线剪下，能使阴影部分的三角形与△ABC相似的是（）A．B．C．D．变式2、如图，小正方形的边长均为1，则图中三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）A．B．C．D．考点2：位似例1、在平面直角坐标系中，△ABC顶点A（2，3）．若以原点O为位似中心，画三角形ABC 的位似图形△A′B′C′，使△ABC与△A′B′C′的相似比为，则A′的坐标为（）A．B．C．D．变式1、如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，△ABC的三个顶点均在格点（网格线的交点）上．以原点O为位似中心，画△A1B1C1，使它与△ABC的相似比为2，则点B的对应点B1的坐标是．变式2、如图所示是△ABC位似图形的几种画法，其中正确的是个数是（）A．1B．2C．3D．4例2、已知△ABC和△A′B′C′是位似图形．△A′B′C′的面积为6cm2，△A′B′C′的周长是△ABC的周长一半．则△ABC的面积等于（）A．24cm2B．12cm2C．6cm2D．3cm2变式1、如图，△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形，若C1为OC的中点，AB=4，则A1B1的长为（）A．1B．2C．4D．8考点3：相似的应用例1、小明身高1.5米，在操场的影长为2米，同时测得教学大楼在操场的影长为60米，则教学大楼的高度应为（）A．45米B．40米C．90米D．80米变式1、如图，身高为1.5米的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA由B向A走去，当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC=4米，CA=2米，则树的高度为（）A．6米B．4.5米C．4米D．3米例2、如图，为了估计河的宽度，在河的对岸选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，E，使点A，B，D 在一条直线上，且AD⊥DE，点A，C，E也在一条直线上且DE∥BC．如果BC=24m，BD=12m，DE=40m，则河的宽度AB约为（）A．20m B．18m C．28m D．30m变式1、如图，利用标杆BE测量建筑物的高度，标杆BE高1.5m，测得AB=2cm，BC=14m，则楼高CD为（）m．A．10.5 B．12 C．13 D．15变式2、如图，在河两岸分别有A、B两村，现测得A、B、D在一条直线上，A、C、E在一条直线上，BC∥DE，DE=90米，BC=70米，BD=20米，则A、B两村间的距离为（）A．50米B．60米C．70米D．80米变式3、为了估算河的宽度，我们可以在河对岸的岸边选定一个目标记为点A，再在河的这一边选点B和点C，使得AB⊥BC，然后再在河岸上选点E，使得EC⊥BC，设BC与AE交于点D，如图所示，测得BD=120米，DC=60米，EC=50米，那么这条河的大致宽度是（）A．75米B．25米C．100米D．120米考点3、常见相似模型例1、如图，点D，E分别在△ABC的AB，AC边上，增加下列条件中的一个：①∠AED=∠B，②∠ADE=∠C，③，④，⑤AC2=AD•AE，使△ADE与△ACB一定相似的有（）A．①②④B．②④⑤C．①②③④ D．①②③⑤变式1、如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件中不能判断△ABC∽△AED的是（）A．∠AED=∠B B．∠ADE=∠C C．=D．=例2、如图，点P是⊙O直径AB的延长线上一点，PC切⊙O于点C，已知OB=3，PB=2．则PC等于（）A．2 B．3 C．4 D．5变式1、如图，PA切⊙O于A，PBC是⊙O的割线，如果PB=2，PC=4，则PA的长为．例3、如图，在△ABC中，∠C=60°，以分别交AC，BC于点D，E，已知圆O的半径为．则DE的长为．变式1、如图，A、B、C、D为⊙O上的点，直线BA与DC相交于点P，PA=2，PC=CD=3，则PB=（）A．6 B．7 C．8 D．9例4、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E是AB上一点，且DE⊥CE．若AD=1，BC=2，CD=3，则CE与DE的数量关系正确的是（）A．CE=DE B．CE=DE C．CE=3DE D．CE=2DE变式1、如图，边长为4的正方形ABCD中有一个小正方形EFGH，其中E、F、G分别在AB、BC、FD上，若BF=1，则小正方形的边长为（）A．B．C．D．变式2、如图（1）矩形ABCD中，AB=2，BC=5，BP=1，∠MPN=90°将∠MPN绕点P从PB处开始按顺时针方向旋转，PM交AB（或AD）于点E，PN交边AD（或CD）于点F，当PN旋转至PC处时，∠MPN的旋转随即停止（1）特殊情形：如图（2），发现当PM过点A时，PN也恰好过点D，此时，△ABP △PCD（填：“≌”或“～”）（2）类比探究：如图（3）在旋转过程中，的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由；（3）拓展延伸：设AE=t，△EPF面积为S，试确定S关于t的函数关系式；当S=4.2时，求所对应的t的值．例5、如图，在△ABC中，AB=AC，点D是边BC上（不与B，C重合）一动点，∠ADE=∠B=α，DE 交AC于点E．写出相似三角形________________.变式1、等边△ABC边长为6，P为BC边上一点，∠MPN=60°，且PM、PN分别交边AB、AC于点E、F．（1）如图1，若点P在BC边上运动，且保持PE⊥AB，设BP=x，四边形AEPF面积的y，求y与x 的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）如图2，若点P在BC边上运动，且∠MPN绕点P旋转，当CF=AE=2时，求PE的长．例6、如图，在Rt△ABC中，CD是边AB上的高，若AC=4，AB=10，则AD的长为（）A．B．2 C．D．3变式1、如图，△ABC中，∠C=90°，若CD⊥AB于D，且BD=4，AD=9，则CD= ．变式2、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，CD=2，BD=1，则AD的长是，AC 的长是．例7、如图，矩形EFHG的边GH在△ABC边BC上，其他两个顶点分别在边AB、AC上，已知△ABC 的边BC=120cm，BC边上的高AD为80cm；求：（1）当矩形EFHG是正方形时，求这个正方形的边长；（2）设EG的长为x cm，x为何值时，矩形EFHG的面积最大？并求面积的最大值．变式1、如图，锐角△ABC中，BC=6，S△ABC=12，两动点M、N分别在边AB、AC上滑动，且MN∥BC，以MN为边向作正方形MPQN，设其边长为x，正方形MPQN与△ABC公共部分的面积为y，则y与x 的函数图象大致是（）A．B．C．D．【分层训练】<A组>1．△ABC∽△DEF，且相似比为2：1，△ABC的面积为8，则△DEF的面积为（）A．2 B．4 C．8 D．162．两个相似三角形的对应边分别是15cm和23cm，它们的周长相差40cm，则这两个三角形的周长分别是（）A．75cm，115cm B．60cm，100cm C．85cm，125cm D．45cm，85cm3．如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3、4及x，那么x的值为（）A．B．5 C．或5 D．无数个4．如图，点A、B、C、D的坐标分别是（1，7），（1，1），（4，1），（6，1），以C、D、E 为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是（）A．（4，2） B．（6，0） C．（6，3） D．（6，5）5．小明身高1.5米，在操场的影长为2米，同时测得教学大楼在操场的影长为60米，则教学大楼的高度应为（）A．45米B．40米C．90米D．80米6．我们在制作视力表时发现，每个“E”形图的长和宽相等（即每个“E”形图近似于正方形），如图，小明在制作视力表时，测得l1=14cm，l2=7cm，他选择了一张面积为4cm2的正方形卡纸，刚好可以剪得第②个小“E”形图．那么下面四张正方形卡纸中，能够刚好剪得第①个大“E”形图的是（）A．面积为8cm2的卡纸B．面积为16cm2的卡纸C．面积为32cm2的卡纸D．面积为64cm2的卡纸7．如图，四边形ABCD各顶点的坐标分别为A（2，6），B（4，2），C（6，2），D（6，4），在第一象限内，画出以原点为位似中心，相似比为的位似图形A1B1C1D1，并写出各点坐标．8．一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子长来测量一路灯D的高度．如图，当李明走到点A 处时，张龙测得李明直立时身高AM与影子长AE正好相等；接着李明沿AC方向继续向前走，走到点B处时，李明直立时身高BN的影子恰好是线段AB，并测得AB=1.25m，已知李明直立时的身高为1.75m，求路灯的高CD的长．（结果精确到0.1m）．<B组>1．如图，以点O为支点的杠杆，在A端用竖直向上的拉力将重为G的物体匀速拉起，当杠杆OA 水平时，拉力为F；当杠杆被拉至OA1时，拉力为F1，过点B1作B1C⊥OA，过点A1作A1D⊥OA，垂足分别为点C、D．①△OB1C∽△OA1D；②OA•OC=OB•OD；③OC•G=OD•F1；④F=F1．其中正确的说法有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．九年级某班开展数学活动，活动内容为测量如图所示的电杆AB的高度．在太阳光的照射下，电杆影子的一部分（BE）落在地面上，另一部分（EF）落在斜坡上，站在水平面上的小明的影子为DG，已知斜坡的倾角∠FEH=30°，CD=1.6m，DG=0.8m，BE=2.1m，EF=1.7m，则电杆的高约为m．（精确到0.1，参考数据：，）3．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm．动点M，N从点C同时出发，均以每秒1cm 的速度分别沿CA、CB向终点A，B移动，同时动点P从点B出发，以每秒2cm的速度沿BA向终点A移动，连接PM，PN，设移动时间为t（单位：秒，0＜t＜2.5）．（1）当t为何值时，以A，P，M为顶点的三角形与△ABC相似？（2）是否存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值？若存在，求S的最小值；若不存在，请说明理由．4．如图，点B在线段AC上，点D、E在AC同侧，∠A=∠C=90°，BD⊥BE，AD=BC．（1）求证：AC=AD+CE；（2）若AD=3，CE=5，点P为线段AB上的动点，连接DP，作PQ⊥DP，交直线BE于点Q；（i）当点P与A、B两点不重合时，求的值；（ii）当点P从A点运动到AC的中点时，求线段DQ的中点所经过的路径（线段）长．（直接写出结果，不必写出解答过程）5．【提出问题】（1）如图1，在等边△ABC中，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等边△AMN，连结CN．求证：∠ABC=∠ACN．【类比探究】（2）如图2，在等边△ABC中，点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C），其它条件不变，（1）中结论∠ABC=∠ACN还成立吗？请说明理由．【拓展延伸】（3）如图3，在等腰△ABC中，BA=BC，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等腰△AMN，使顶角∠AMN=∠ABC．连结CN．试探究∠ABC与∠ACN的数量关系，并说明理由．参考答案【考点突破】考点1、基本概念与定理例1、解：∵2x=3y，∴=，∴选项A不正确；∵2x=3y，∴=，∴==3，∴选项B正确；∵2x=3y，∴=，∴==，∴选项C不正确；∵2x=3y，∴=，∴==，∴∴选项D不正确．故选：B．变式1、解：∵=，∴设a=2k，则b=3k，则原式==．故选B．变式2、解：A.1×30≠2×20，故本选项错误；B.3×2≠1×4，故本选项错误；C.5×20=10×10，故本选项正确；D.4×1≠3×2，故本选项错误；故选C．例2、解：∵△ABC与△DEF的相似比为1：4，∴△ABC与△DEF的周长比为1：4；故选：C．变式1、解：∵△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为，∴△ABC与△DEF对应中线的比为，故选：A．变式2、解：∵在梯形ABCD中，AD∥BC，而且S△ACD：S△ABC=1：2，∴AD：BC=1：2；∵AD∥BC，∴△AOD～△BOC，∵AD：BC=1：2，∴S△AOD：S△BOC=1：4．故选：B．例3、解：∵直线l1∥l2∥l3，∴，∵AH=2，BH=1，BC=5，∴AB=AH+BH=3，∴，∴，故选D．变式1、解：∵a∥b∥c，∴==．故选B．例4、解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；C、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确；D、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误．故选C．变式1、解：∵∠1=∠2，∴∠DAE=∠BAC，A、添加∠C=∠E，可用两角法判定△ABC∽△ADE，故本选项错误；B、添加∠B=∠ADE，可用两角法判定△ABC∽△ADE，故本选项错误；C、添加=，可用两边及其夹角法判定△ABC∽△ADE，故本选项错误；D、添加=，不能判定△ABC∽△ADE，故本选项正确；故选D．例5、解：三角形纸片ABC中，AB=8，BC=4，AC=6．A、==，对应边==≠，则沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误；B、=，对应边==≠，则沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误；C、==，对应边==≠，则沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误；D、==，对应边===，则沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似，故此选项正确；故选：D．变式2、解：∵小正方形的边长均为1∴△ABC三边分别为2，，同理：A中各边的长分别为：，3，；B中各边长分别为：，1，；C中各边长分别为：1、2，；D中各边长分别为：2，，；∵只有B项中的三边与已知三角形的三边对应成比例，且相似比为。

第4讲相似三角形的判定与性质【学习目标】1．掌握相似三角形的判定定理（AA、SAS、SSS）、推论和相似三角形的性质；2．灵活运用相似三角形的判定定理和基本性质进行有关的证明和计算．【教学重难点】相似基本模型的灵活运用【相似三角形的判定】知识点与方法技巧梳理：1．判定定理AA：两角分别对应相等的两个三角形相似．推论1：顶角或底角对应相等的两个等腰三角形相似．推论2：有一个锐角相等的两个直角三角形相似．2．判定定理SAS：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．3．判定定理SSS：三边成比例的两个三角形相似．推论1：斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似．推论2：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似．4．射影定理：如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD是BC边上的高．则有：①CD2＝AD·BD；②AC2＝AD·AB；③BC2＝BD·AB．这就是射影定理，即直角三角形斜边上有三个端点A、D、B，任一端点到直角顶点的平方等于它到另外两端点的线段的积．一定要熟记射影定理，为以后的证明或计算打下基础．【例1】A型相似如图，在△ABC中，BE平分∠ABC交AC于点E，DE∥BC，交AB于点D，若AD＝9，BC＝10，求BD 的长．【变式】1．如图，在△ABC中，AD是角平分线，求证：AB BDAC DC．AB CD EAB CDCA BD2.如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，AD 的垂直平分线交AD 于E ，交BC 的延长线于F ．求证：2DF BF CF =⋅；3．如图，在Rt △ABC 内有三个正方形，它们的边长分别为a ，b ，c ，求a ，b ，c 之间满足的数量关系．4．如图，在Rt △ABC 内有三个正方形，它们的边长分别为a ，b ，c ，求a ，b ，c 之间满足的数量关系．【例2】X 型相似如图，在△ABC 中，点D 在BC 边上，12BD DC =，E 是AC 的中点，连接AD 、BE 交于点F ，求:B F F E 和:AF FD 的值．a b c A B C A B C b c a A B D C F E A B C D F E【变式】1．如图，在△ABC 中，点D 在BC 上，点F 在AC 上，AD 交BF 于点E ，若BD ＝2DC ，AE ＝2ED ，FC ＝6，求AF 的长．2．如图，□ABCD 中，M 是AB 的中点，N 是BC 边上一点，连接MN 交BD 于点E ，若BE ∶ED ＝3∶8，求ME ∶EN 及BN ∶NC 的值．3. （2014•乐山）如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ．M 为AD 中点，连接CM 交BD 于点N ，且ON=1．（1）求BD 的长；（2）若△DCN 的面积为2，求四边形ABCM 的面积．A DBC N M E A B C ED F【例3】旋转型相似（旋转型相似必然会产生另一对三角形相似）如图，△ABC ∽△DBE ，点E 在AC 上，∠ABC ＝∠DBE ＝90°，连接AD ，求证：AD ⊥AC ．【变式】1．如图，点E 在△ABC 内，△EFC ∽△ABC ，∠ABC ＝∠EFC ＝90°，∠CAE ＋∠CBE ＝90°，连接BF ，求证：∠EBF ＝90°．2．如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＜BC ，AB ＝AC ，点E 在AB 上，连接DE 、DC 、EC ，∠DCE ＝∠ACB ． （1）求证：△ACD ∽△BCE ；（2）求证：DE ＝DC ．C EF A BA B C D E A D B C E【过关检测】1．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝a ，点D 是BC 的中点，点E 、F 分别在边AB 、AC 上，且∠EDF ＝∠B ，则BE ·CF 的值为____________．（用含a 的代数式表示）2．如图，△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于D ，若BD ＝1，AC ＝6，则AB ＝___________，CD ＝___________．3．如图，在△ABC 中，AD 为中线，E 在AB 上，AE ＝AC ，CE 交AD 于F ，若EF ∶FC ＝3∶5，BE ＝8，则AB ＝___________，AC ＝___________．4．如图，在△ABC 中，点D 在CB 的延长线上，点F 在AC 边上，DF 交AB 于E ，若AE ∶BE ＝3∶2，DE ∶EF ＝5∶4，则AF ∶FC ＝___________，DB ∶BC ＝___________．5．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，点D 在BC 的延长线上，点E 在AC 边上，∠BED ＝90°，DH ⊥AB 于H ，交AC 于F ，若AE ＝103，FC ＝3，则EF 的长为_____________．6．如图，在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝4，点D 、E 、F 分别在边AB 、BC 、AC 上，且四边形ADEF 是菱形，连接BF 交DE 于点G ，则EG 的长为_____________．7．如图，在△ABC 中，点D 在AB 边上，AD ＝3，AB ＝4，AC ＝23，BC ＝3.5，则CD 的长为__________．8．如图，E 是平行四边形ABCD 的边AD 上一点，且23 DE AE ，CE 交BD 于F ． （1）若BF ＝15，求DF 的长； （2）若△DCF 的面积为10，求四边形ABFE 的面积．A B C DE F A D EFB C B D C E F A A B C D A B C D E F A B D A B D F G E A C B D H E F。

第4讲 相似形、三角形在高中的应用1．平行线分线段成比例定理在解决几何问题时，我们常涉及到一些线段的长度、长度比的问题.在数学学习与研究中，我们发现平行线常能产生一些重要的长度比.在一张方格纸上，我们作平行线123,,l l l （如图3.1-1），直线a 交123,,l l l 于点,,A B C ，2,3AB BC ==，另作直线b 交123,,l l l 于点',','A B C ，不难发现''2.''3A B AB B C BC == 我们将这个结论一般化，归纳出平行线分线段成比例定理： 三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例. 如图 3.1-2，123////l l l ，有AB DE BC EF .当然，也可以得出AB DE AC DF=.在运用该定理解决问题的过程中，我们一定要注意线段之间的对应关系，是“对应”线段成比例. 例1 如图3.1-2， 123////l l l ，且2,3,4,AB BC DF 求,DE EF .例2 在ABC 中，,D E 为边,AB AC 上的点，//DE BC ，求证：AD AE DEAB AC BC==.从上例可以得出如下结论：平行于三角形的一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.平行于三角形的一边，并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.例 3 已知ABC ，D 在AC 上，:2:1AD DC =，能否在AB 上找到一点E ，使得线段EC 的中点在BD 上.图3.1-12．相似形我们学过三角形相似的判定方法，想一想，有哪些方法可以判定两个三角形相似？有哪些方法可以判定两个直角三角形相似？例4如图3.1-12,在直角三角形ABC中，BAC为直角，AD BC D于.求证：（1）2AB BD BC，2AC CD CB；（2）2AD BD CD练习1．已知：如图3.1-16，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.（1）请判断四边形EFGH是什么四边形，试说明理由；（2）若四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD满足什么条件时，EFGH 是菱形？是正方形？2.如图3.1-22，已知ABC中，AE：EB=1：3，BD：DC=2：1，AD 与CE相交于F，则EF AFFC FD的值为（）A．12B．1 C．32D．23. 如图3.1-23，已知ABC周长为1，连结ABC三边的中点构成第二个三角形，再连结第二个对角线三边中点构成第三个三角形，依此类推，第2003个三角形周长为（）A．12002B．12003C．200212D．200312图3.1-22图3.1-23三角形1．三角形的“四心”三角形是最重要的基本平面图形，很多较复杂的图形问题可以化归为三角形的问题.如图3.2-1 ，在三角形ABC中，有三条边,,AB BC CA，三个角,,A B C，三个顶点,,A B C，在三角形中，角平分线、中线、高（如图3.2-2）是三角形中的三种重要线段.三角形的三条中线相交于一点，这个交点称为三角形的重心.三角形的重心在三角形的内部，恰好是每条中线的三等分点.例1 求证三角形的三条中线交于一点，且被该交点分成的两段长度之比为2：1.已知D、E、F分别为ABC三边BC、CA、AB的中点，求证AD、BE、CF交于一点，且都被该点分成2：1.三角形的三条角平分线相交于一点，是三角形的内心. 三角形的内心在三角形的内部，它到三角形的三边的距离相等.（如图3.2-5）例 2 已知ABC的三边长分别为,,BC a AC b AB c，I为ABC的内心，且I在ABC的边BC AC AB、、上的射影分别为D E F、、，求证：2b c aAE AF.图3.2-1 图3.2-2 图3.2-3图3.2-5例3若三角形的内心与重心为同一点，求证：这个三角形为正三角形. 已知 O 为三角形ABC 的重心和内心. 求证 三角形ABC 为等边三角形.三角形的三条高所在直线相交于一点，该点称为三角形的垂心.锐角三角形的垂心一定在三角形的内部，直角三角形的垂心为他的直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形的外部.（如图 3.2-8）例4 求证：三角形的三条高交于一点. 已知 ABC 中，,AD BC D BE AC E 于于，AD 与BE 交于H 点. 求证 CHAB .过不共线的三点A 、B 、C 有且只有一个圆，该圆是三角形ABC 的外接圆，圆心O 为三角形的外心.三角形的外心到三个顶点的距离相等，是各边的垂直平分线的交点.练习11．求证：若三角形的垂心和重心重合，求证：该三角形为正三角形.2． （1） 若三角形ABC 的面积为S ，且三边长分别为a b c 、、，则三角形的内切圆的半径是-___________;（2）若直角三角形的三边长分别为a b c 、、（其中c 为斜边长），则三角形的内切圆的半径是-___________. 并请说明理由.图3.2-8图3.2-92 几种特殊的三角形等腰三角形底边上三线（角平分线、中线、高线）合一.因而在等腰三角形ABC中，三角形的内心I、重心G、垂心H必然在一条直线上.例5 在ABC中，3, 2.AB AC BC===求（1）ABC的面积ABCS及AC边上的高BE；（2）ABC的内切圆的半径r；（3）ABC的外接圆的半径R.在直角三角形ABC中，A为直角，垂心为直角顶点A，外心O为斜边BC的中点，内心I在三角形的内部，且内切圆的半径为2b c a（其中,,a b c分别为三角形的三边BC,CA,AB的长），为什么？该直角三角形的三边长满足勾股定理：222AC AB BC.例6 如图，在ABC中，AB=AC，P为BC上任意一点.求证：22AP AB PB PC.正三角形三条边长相等，三个角相等，且四心（内心、重心、垂心、外心）合一，该点称为正三角形的中心.图3.2-13图3.2-15例7 已知等边三角形ABC 和点P ，设点P 到三边AB ，AC ，BC 的距离分别为123,,h h h ，三角形ABC 的高为h ，“若点P 在一边BC 上，此时30h ，可得结论：123h h h h .”请直接应用以上信息解决下列问题：当（1）点P 在ABC 内（如图b ），（2）点在ABC 外(如图c)，这两种情况时，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，123,,h h h 与h 之间有什么样的关系，请给出你的猜想（不必证明）.练习21． 已知：在ABC 中，AB =AC ，120,o BAC AD ∠=为BC 边上的高，则下列结论中，正确的是（ ）A ．3AD AB =B ．12AD AB =C ．AD BD = D ．22AD BD =2． 三角形三边长分别是6、8、10，那么它最短边上的高为（ ） A ．6 B ．4.5 C ．2.4 D ．83． 如果等腰三角形底边上的高等于腰长的一半，那么这个等腰三角形的顶角等于_________.4． 已知：,,a b c 是ABC 的三条边，7,10a b ==，那么c 的取值范围是_________。

相似三角形综合运用讲义【考点剖析】相似三角形是几何中较难的部分，也是每年中考的热点，相似三角形对圆的学习以及各种类型的综合性问题的解决都有很大的帮助。

在此，我们对相似三角形中经常出现的解答方法与技巧进行讲解。

【例题巧解点拨】一、运用三角形相似的条件进行解答。

例1.已知：如图，在正方形ABCD 中，P 是BC 上的点，且BP ＝3PC ，Q 是CD 的中点．求证：△ADQ ∽△QCP ．目标训练1.已知：如图，△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是中线，P 是AD 上一点，过C 作CF ∥AB ，延长BP 交AC 于E ，交CF 于F ．求证：BP 2＝PE ·PF ．2.如图，BD 、CE 为△ABC 的高，求证∠AED ＝∠ACB ．二、相似与函数的运用。

例2.在△ABC 中，∠C ＝90°，P 为AB 上一点，且点P 不与点A 重合，过点P 作PE ⊥AB ，交AC 边于E 点，点E 不与点C 重合，若AB=10，AC=8，设AP 的长为x ，四边形PECB 的周长为y ，求y 与x 之间的函数关系式。

目标训练1.在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC=25，斜边AB 在x 轴上，点C 在y 轴的正半轴上，点A 的坐标为（2，0），求直角边BC 所在直线的解析式。

2.已知梯形ABCD 中，AD//BC （AD<BC ），AD=5，AB=DC=2。

（1）如图1，P 为AD 上一点，满足∠BPC=∠A 。

①求证：△ABP ∽△DPC ； ②求AP 的长。

（2）如图2，若点P 在AD 上移动（与A 、D 点不重合），且满足∠BPE=∠A ，PE 交BC 于点E ，交DC 的延长线于点Q ，设AP=x ，CQ=y ，求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围。

三、阅读理解类问题。

例3.阅读下列材料，补全证明过程：（1）已知：如图，矩形ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，OE ⊥BC 于E ，连结DE 交OC 于点F ，作FG ⊥BC 于G ．求证：点G 是线段BC 的一个三等分点． （2）请你仿照（1）的画法，在原图上画出BC 的一个四等分点（要求保留画图痕迹，可不写画法及证明过程）．目标训练1.如图1，一等腰直角三角尺GEF 的两条直角边与正方形ABCD 的两条边分别重合在一起．现正方形ABCD 保持不动，将三角尺GEF 绕斜边EF 的中点O （点O 也是BD 中点）按顺时针方向旋转．（1）如图2，当EF 与AB 相交于点M ，GF 与BD 相交于点N 时，通过观察或测量BM ，FN 的长度，猜想BM ，FN 满足的数量关系，并证明你的猜想；（2）若三角尺GEF 旋转到如图3所示的位置时，线段FE 的延长线与AB 的延长线相交于点M ，线段BD 的延长线与GF 的延长线相交于点N ，此时，（1）中的猜想还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．2.已知：△ABC 中，AB ＝10 ⑴如图①，若点D 、E 分别是AC BC 边的中点，求DE 的长； ⑵如图②，若点A 1、A 2把AC 边三等分，过A 1、A 2作AB 边的平行线，分别交BC 边于点B 1、B 2，求A 1B 1＋A 2B 2的值； P A C E A B CO B A C D P B A C D P E D F O N D EF O N C OD ( F )⑶如图③，若点A 1、A 2、…、A 10把AC 边十一等分，过各点作AB 边的平行线，分别交BC 边于点B 1、B 2、…、B 10。

第四讲相似三角形存在性问题知识必备一、相似的判定1、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，简称为”SAS”2、两角分别相等的个三角形相似，简称为“AA二、相似与∽1、一般地，若△ABC 与△DEF相似，,则不具备对应关系,需分类求解2、若△ABC ∽△DE,，则具备对应关系三、定边与定角1、定边与定长：确定的边、其长度确定,必可求；2、定角定比：确定的角、其三角函数值确定,必可求。

方法提炼一、导边处理(“AA”法)相似三角形存在性问题、基本上都可以按部就班,如下解决：第一步：先找到一组关键的等角,有时明显,有时隐蔽；第二步：以这两个相等角的两邻边分两种情形对应成比例列方程此法为通法。

如图4-2-1、在△ABC 和△DEF 中,若已确定∠A=∠D,则要使△ABC 与△DEF 相似，需要分两种情形讨论:AB/AC=DE/DF或AB/AC=DF/DE,再依次列方程求解二、导角处理(“AA法)第一步先找到一组关键的等角第二步:另两个内角分两类对应相等。

不称此通法为”AA法举例:如图4-2-1,在△ABC 和△DEF 中,若已确定∠A=∠D,要使△ABC 与△DEF 相似，需要分两种情形讨论:∠B=∠E 或∠B=∠F,再导角分析处理。

三温馨提示1.解法一(“SAS法),通用性更强,普适性更广,往往是首选。

2.解法二(“AA法),导角分析，常转化为角的存在性问题。

举例（一）显性的相等角例1、在四边形ABCD中，AD//BC,∠B=90°，AB=8,AD=3,BC=4,点P为AB边上的一动点，若△PAD与△PBC相似，则满足条件的点P共有（）个A.1B. 2C. 3D.4（二）隐形的相等角例2、已知二次函数的图像经过A(-2,0),B(-3,3)及原点，顶点为C。

（1）求此二次函数的解析式；（2）连接BC，交x轴于点F，y轴上是否存在点P,使得△POC与△BOF相似?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

北师大版九年级上册第四章图形的相似知识点归纳及例题【学习目标】1、了解比例的基本性质，线段的比、成比例线段；2、通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形的性质，理解相似多边形对应角相等、对应边成比例、周长的比等于相似比、面积的比等于相似比的平方；3、探索并掌握相似三角形的判定方法，并能利用这些性质和判定方法解决生活中的一些实际问题；4、了解图形的位似，能够利用位似将一个图形放大或缩小，在同一直角坐标系中，感受位似变换后点的坐标变化；5、结合相似图形性质和判定方法的探索和证明，进一步培养推理能力，发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力，以及综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力.【知识点网络】【知识点梳理】要点一、相似图形及比例线段1．相似图形：在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形(similar figures). 知识点诠释：(1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；(2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形全等； 2.相似多边形如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多形． 知识点诠释：（1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质． （2）相似多边形对应边的比称为相似比.3. 比例线段：对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a :b =c :d ，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 知识点诠释：（1）若a :b =c :d ，则ad=bc ；（d 也叫第四比例项） （2）若a :b=b :c ，则 =ac （b 称为a 、c 的比例中项）． 4.平行线分线段成比例：基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例. 知识点二、相似三角形 1. 相似三角形的判定:判定方法（一）：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似.判定方法（二）：两角分别相等的两个三角形相似. 知识点诠释：要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似. 判定方法（三）：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.2b知识点诠释：此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必须是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.判定方法（四）：三边成比例的两个三角形相似.2.相似三角形的性质：（1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；（2）相似三角形中的重要线段的比等于相似比；相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.知识点诠释：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段.(3) 相似三角形周长的比等于相似比；（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方。

相似三角形的综合运用讲义【相似在中考中主要考查】1、了解比例的基本性质，了解线段的比及成比例线段．2、认识相似图形，了解相似多边形的对应角相等，对应边成比例，面积比等于相似比 的平方．3、了解两个三角形相似的概念，掌握两个三角形相似的条件，能利用图形的相似解决 一些实际问题．4、了解图形的位似，能利用位似将一个图形放大或缩小． 【中考真题精选】 一、填空题：1、已知三个边长分别为2、3、5的正方形如图排列，则图中阴影部分面积为 ．2、如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 、F 两点分别在AB 、DC 上．若AE=4，EB=6，DF=2，FC=3，且梯形AEFD 与梯形EBCF 相似，则AD 与BC 的长度比为 .3、如图，正方形ABCD 的边长为10，点E 在CB 的延长线上，EB=10，点P 在边CD 上运动（C 、D 两点除外），EP 与AB 相交于点F ，若CP x ，四边形FBCP 的面积为y ，则y 关于x 的函数关系式是 ．4、如图，已知△ABC 是面积为3的等边三角形，△ABC ∽△ADE ，23５DBCAFEAB=2AD ，∠BAD=45°，AC 与DE 相交于点F ，则△AEF 的面积等于__________（结果保留根号）.第3题图 第4题图 第5题图5、如图，四边形ABCD 中，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=22，CD=2，点P 在四边形ABCD 的边上．若P 到BD 的距离为 32，则点P 的个数为 .6、如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为6、8按如图那样折叠，使点A 与点B 重合，折痕为DE ，则=∆∆BDE BCE S S : . 二、证明题：1、如图，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，D 为BC 的中点，E 为AC 上一点，G 在BE 上，连结DG 并延长交AE 于F ，若∠BGD=45°。