辽宁-毛庆松-巧用中项求和解决等差数列问题

行测数量关系技巧：等差数列中项求和巧解题在考场上人与人拉开差距的除了平常的知识点的积累，还有面对考试题型能够有一个更好的解答思路，下面由小编为你精心准备了“行测数量关系技巧：等差数列中项求和巧解题”，持续关注本站将可以持续获取更多的考试资讯！行测数量关系技巧：等差数列中项求和巧解题等差数列求和公式在解决行测计算问题中会经常使用到，但是我们在做过很多题目后会发现，求和公式在使用过程中，还要结合通项公式，虽然解题思路清晰但难以快速计算答案。

而如何快速的解决数量问题正是我们所追求的目标，如何用中项求和公式快速解题呢?今天和大家一起在做题中来了解一下。

我们先来看一道简单题目，看看如何考察这个知识点。

【例1】某校大礼堂共25排座位，后一排均比前一排多2个座位，已知第13排有56个座位，问这个剧院一共有多少个座位?A.1200B.1400C.1600D.1800【答案】B。

解析：问的是剧院一共多少座位，而题干描述了后一排比前一排多两个座位，结合等差数列的定义，很显然整个大礼堂的每排座位属于等差数列，求解的就是这个等差数列的和。

等差数列项数是25，则中间项是13，题干已知第13排座位数，则我们可以借助奇数项的中项求和公式，项数乘以中间项25*56=1400个座位，选择B。

在解题过程中如果已知中间项我们可以求解，那么如果没有直接给出，我们必须计算出中间项在进行求解吗，大家可以和我一起来看下一个题目。

【例2】某山上有25排树，后一排比前一排多2棵树，最后一排有70棵树。

这个山上一共有多少棵树?A.1104B.1150C.1170D.1280【答案】B。

解析：求山上一共多少棵树，而题干说后一排比前一排多2棵树，则山上的每排树呈等差数列。

用中项求和公式则应该是25乘以中间项，那么棵树一定能被25整除，尾数一定是0和5排除A，代入B能整除，代入C不能被整除，D也不能被整除，所以选择B。

那我们只可以借助中项去求和吗?是不是也可借助和求解中间项呢?我们继续看这样一道题。

2。

2。

1等差数列的前n 项和（一)编制人：刘莹 校对:刘莹 2015.8.27学习目标:1.理解等差数列前n 和公式的推导过程2。

掌握等差数列前n 和公式,并能利用前n 项和公式解决有关等差数列的实际问题3.熟练掌握等差数列的五个量n n S a n d a ,,,,1的关系,能够由其中的三个量求另外的两个量重点：等差数列的前n 项和公式及应用； 难点:等差数列的前n 项和公式及应用。

活动一：自主预习，知识梳理1。

把n a a a +++ 21叫做数列{}n a 的前n 项和，记作 。

例如1621a a a +++ 可以记作；=++++-1321n a a a a （2≥n )2。

若{}n a 是等差数列，则n S 可以用首项1a 和末项n a 表示为n S = ；若首项为1a ，公差为d ，则n S 可以表示为n S =活动二:问题探究 在公式d n n na Sn 2)1(1-+=中，n S 一定是关于n 的二次函数吗？活动三：要点导学，合作探究要点一：等差数列的前n 项和例1：等差数列{}n a 的公差为2，第20项20a =29，求前20项的和20S 。

练习：（1）等差数列{}n a 中，已知2,185=-=a a ，求12S(2）数列{}n a 是等差数列,1022,512,11-=-==n n S a a ,求公差d练习P41练习A要点二：等差数列的前n 项和的最值 例2：已知数列{}n a 前n 项和公式为n n S n 3022-=（1）这个数列是等差数列吗？求出它的通项公式 （2）求使得nS 最小的序号n 的值练习：1。

在等差数列{}na 中，1131,13S S a ==，试求n S 的最大值 2. 设等差数列{}n a 的前n 和为n S ，已知123=a，且0,01312<>S S （1）求公差d 的取值范围(2）该数列前几项的和最大？说明理由.要点三：等差数列中n a 与nS 的关系 例3：设正项数列{}n a 的前n 项和满足n S =2)1(41+n a ,求数列{}n a 的通项公式练习：试求分别满足下列条件的数列{}n a 的通项公式 （1))(32*∈-=N n n n S n（2）)(23*∈+=N n S n n小结：作业：P41练习B学必求其心得，业必贵于专精。

运用“巧”法解决数列问题提高解题效率
郝天伟
【期刊名称】《中学生数理化（学研版）》
【年(卷),期】2013(000)003
【总页数】1页(P31)
【作者】郝天伟
【作者单位】河南省禹州市第一高级中学
【正文语种】中文
【相关文献】
1.巧问巧引,提高问题教学有效性r——高中化学运用问题引导法教学的几点体会[J], 邓明翠
2.“问题解决法”在化学教学中运用的再认识——“问题解决法”中提出问题的策略 [J], 顾建辛
3.巧构常数列解决两类重要的数列求和问题 [J], 曾晓阳
4.运用极限思维法提高解题效率 [J], 许曼平
5.还原数列本质提高解题效率——例析函数思想在解决数列问题中的应用 [J], 严正旺;
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高二数学求数列的和的方法北师大版必修5【本讲教育信息】一、教学内容：必修5 求数列的和的方法二、教学目标（1）熟练地掌握等差数列、等比数列求和公式及其应用。

（2）体会并掌握用倒序相加、错位相减、裂项、并项等数学方法求数列的前n 项的和。

三、知识要点分析1、求等差、等比数列的前n 项和。

若由已知条件可以判断一个数列是等差、等比数列，或可以转化为等差数列、等比数列的，则可用等差、等比数列求和公式求数列的前n 项的和。

2、对于非等差、等比数列求和，可采用下面的方法求： （1）倒序相加法：将一个数列倒过来排列（反序），当它与原数列相加时，若有公因式可提，并且剩余项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加的方法求和。

（2）错位相减法：这是推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要求数列{}n n a b ⋅（其中数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 是等比数列）的前n 项的和。

（3）裂项法：求数列{}n a 的前n 项和时，若能将n a 拆分为：1n n n a b b +=-的形式 则，常见的裂项公式有： （i ）数列{}n a 是公差为d 的等差数列， 则12121231111()(1)k k ka a a k d a a a a a a -=-⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯⨯如1111[](1)(2)2(1)(1)(2)nn n n nn n =-+++++ （ii 1a b=--。

（4）并项法：已知数列{}n a 的相邻两项的和是相等的，可以采用并项法。

（5）公式法（利用公式直接求和），如：3332(1)12[]2n n n ++++= 2135(21)n n ++++-=，222112(1)(21),6n n n n +++=++（以上的公式在数列求和中常用，要熟练地掌握）【典型例题】考点一：等差、等比数列或可以转化为等差、等比数列的数列的求和 例1、（1）求和：12+1122+111222++1111222 2 （2）求和：2+（4+6）+（8+10+12）++（n 个偶数） 【思路分析】（1）由所给出的和式观察得到数列的通项公式，然后化简通项。

辽宁省鞍山市毛祁中学2020年高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设是虚数单位，复数为纯虚数，则实数为（）A． B。

C。

D。

参考答案：D略2. 设集合，则下列关系中正确是（）A．A=B B． C．D．参考答案：D略3. 下列判断错误的是（）A．平行于同一条直线的两条直线互相平行B．平行于同一平面的两个平面互相平行C．经过两条异面直线中的一条，有且仅有一个平面与另一条直线平行D．垂直于同一平面的两个平面互相平行参考答案：D4. 设椭圆上一点P到其左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1，则P 点到右准线的距离为A． 6 B．2 C． D．参考答案：解析：由椭圆第一定义知得：，所以，椭圆方程为所以，选B．5. 若函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为，则为（）A ．B ．1C ．2 D．4参考答案：B略6. 样本a1，a2，a3，…，a10的平均数为，样本b1，b2，…，b10的平均数为，那么样本a1，b1，a2，b2，a3，b3，…，a10，b10的平均数是（）A．+ B．(+) C．2(+) D．(+)参考答案：B7. 已知z=（m﹣3）+（m+1）i在复平面内对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是（）A．（﹣3，1）B．（﹣1，3）C．（1，+∞）D．（﹣∞，﹣3）参考答案：B【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数的几何意义、不等式的解法即可得出．【解答】解：z=（m﹣3）+（m+1）i在复平面内对应的点在第二象限，∴m﹣3＜0，m+1＞0，解得﹣1＜m＜3．则实数m的取值范围是（﹣1，3）．故选：B．8. 设全集U={0，1，2，3，4}，集合A={0，1，2}，集合B={2，3}，则（C U A）∪B=( ) A．? B．{1，2，3，4} C．{0，1，2，3，4} D．{2，3，4}参考答案：D【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】计算题．【分析】根据全集U和集合A先求出集合A的补集，然后求出集合A的补集与集合B的并集即可．【解答】解：由全集U={0，1，2，3，4}，集合A={0，1，2}，则C U A={3，4}，又因为集合B={2，3}，则（C U A）∪B={2，3，4}．故选D．【点评】此题考查了补集及并集的运算，是一道基础题，学生在求补集时应注意全集的范围．9. 的展开式中的常数项为（）A.-60B.-50C.50D.60参考答案：D展开式的通项为，令,解得.故常数项为10. 已知如图的曲线是以原点为圆心，1为半径的圆的一部分，则这一曲线的方程是( )(A)(x+)(y+)=0 (B)(x-)(y-)=0(C)(x+)(y-)=0 (D)(x-)(y+)=0参考答案：D解：(x-)=0表示y轴右边的半圆，(y+)=0表示x轴下方的半圆，故选D．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在四棱锥P－ABCD中，PD⊥AC，AB⊥平面PAD，底面ABCD为正方形，且CD＋PD＝3，若四棱锥P－ABCD的每个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积的最小值为▲参考答案：6π12. 若二次函数有，则________。

吉林省吉林市第一中学校高中数学 2.3等差数列的前n 项和练习 新人教A 版必修5一、本节学习目标掌握等差数列前n 项和公式及其推导思路，并会用公式解决有关问题． 二、重难点指引1．重点：掌握等差数列前n 项和公式，并能够灵活运用． 2．难点：等差数列前n 项公式推导方法． 三、学法指导1．从函数和方程两个不同角度去理解等差数列前n 项和公式． 2．等差数列前n 项和公式推导方法是“倒序求和法”，这是一种重要的数列求和的方法． 四、教材多维研读 ▲ 一读教材1．等差数列前n 项和公式： 或 ． 2．等差数列前n 项和性质：等差数列{}n a 中，⋅⋅⋅--,,,232n n n n n S S S S S 也成等差数列，公差为 ． ▲ 二读教材1．等差数列Λ,4,1,2-的前n 项和为（ ）A ．()4321-n nB ．()7321-n nC ．()4321+n nD ．()7321+n n2．已知等差数列{}n a 满足099321=++++a a a a Λ，则（ ） A ．991>+a a B ．991<+a a C ．0991=+a a D ．5050=a 3．在等差数列{}n a 中，已知1254=+a a ，那么它的前8项之和8S 等于 （ ）A ．12B ．24C ．36D ．48 4．等差数列{}n a 中，162,16,1041===n S a a ，则n 等于（ ）A ．11B ．9C ．9或18D ．18 ▲ 三读教材 1．设{}n a 是公差为2的等差数列，若5097741=++++a a a a Λ，则99963a a a a ++++Λ的值为（ ）A ．78B ．82C ．148D ．182 2．数列{}n a 是等差数列，它的前n 项和可以表示为（ ）A ．C Bn An S n ++=2 B ．BnAn S n +=2C ．C Bn An S n ++=2()0≠AD ．Bn An S n +=2()0≠A3．等差数列{}n a 中，1011=a ，则=21S ．4．等差数列{}n a 中，4,184==S S ，则=+++20191817a a a a ．五、典型例析例1 (Ⅰ)在等差数列{}n a 中，71,83d a =-=，求n a 和n S ；(Ⅱ)等差数列{}n a 中，4a =14，前10项和18510=S ．求na ．例2 设数列{}n a 为等差数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知7S =7，15S =75, n T 为数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 的前n 项和，求n T ．例3 在等差数列}{n a 中，若a1=25且S9=S17,求数列前多少项和最大？六、课后自测 ◆ 基础知识自测 1.等差数列}{n a 中，78,24201918321=++-=++a a a a a a ，则此数列前20项和等于（ ）A ．160B ．180C ．200D ．2202．数列{}n a 是等差数列，且6,682=-=a a ，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则（ ）A ．54S S < B ．54S S = C ．56S S < D ．56S S =3．已知等差数列}{n a 中，12497,1,16a a a a 则==+的值是 （ ）A ．15B ．30C ．31D ．644．等差数列}{n a 中，若45076543=++++a a a a a ,则前9项和9S = ( )A ．1620B ．810C ．900D ．675 5．=+++++1008642Λ ．◆ 能力提升自测1．一个首项为正数的等差数列}{n a ，如果它的前三项之和与前11项之和相等，那么该数列的前多少项和最大？2．若一个等差数列前3项的和为34，最后三项的和为146，且所有项的和为390,则这个数 列有 项．3．在等差数列{}n a 中，37104118,14.a a a a a +-=-=-记123n nS a a a a =++++L ，则13S =_____．◆ 智能拓展训练 1．数列{}n a 中，18a =，42a =，且满足2120n n n a a a ++-+=．(1)求数列的通项公式；(2)设12||||||n n S a a a =+++L ，求nS ．2．（1）如果数列{}n a 满足13a =，1115n na a +-=（n N *∈），求n a .（2）已知数列{}n a 的前n 项和为22n S n n =--，求n a ．3．等差数列{}n a 与{}n b 的前n 项和分别为n S 和'n S ，且'723n nS n S n +=+，求77a b 的值．2．3等差数列前n 项和答案 ▲ 一读教材1．2)(1n n a a n S +=，2)1(1dn n na S n -+= 2．d n 2▲ 二读教材1．B ； 2． C ； 3． D ； 4． B ． ▲ 三读教材1． D ； 2．B ； 3． 210； 4． 9 ． 课后自测◆ 基础知识自测1．B 2．B 3．A 4．B 5．2550 ◆ 能力提升自测1．由311S S =,得1213d a =-,知}{n a 是递减的等差数列．∵311S S = ∴11654=+⋅⋅⋅+++a a a a 又∵8796105114a a a a a a a a +=+=+=+∴0)(487=+a a ，即87=+a a ．由此必有087=+a a 0,087<>a a ．故前7项和最大．2．13； 3．286．◆ 智能拓展训练 1．(1)2120n n n a a a ++-+=∴211n n n na a a a +++-=-∴1{}n n a a +-为常数列，∴}{n a 是以1a 为首项的等差数列，设1(1)n a a n d=+-，413a a d=+,∴2823d -==-，∴102n a n =-．(2)∵102n a n=-，令n a =，得5n =．当5n >时，n a <；当5n =时，n a =；当5n <时，n a >．∴当5n >时，12||||||n n S a a a =+++L 12567()n a a a a a a =+++-+++L L555()2n nT T T T T =--=-，12n nT a a a =+++L ．当5n ≤时，12||||||n n S a a a =+++L 12n a a a =+++L nT =．∴229,(5)940,(5).n n n n S n n n ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩ 2．解：（1）由题意：1{}n a 是公差为5的等差数列，其首项为13，1115145(1)33n n n a -=+-=，∴31514n a n =-．（2）当1n =时，113a S ==-， 当2n ≥时，221(2)[(1)2(1)]21n n n a S S n n n n n -=-=-------=--，所以，21n a n =--（n N *∈）．3．解：∵11313713()132a a S a +==，'11313713()132b b S b +==，所以，713'13771329313316a S b S ⨯+===+．。

a 1 = 33 , a 12 = 110 , n = 12 , a 12 = a 1 + (12 1) d ,
即 110=33+11d, 解得 d=7 因此， 因此 a2 = 33 + 7
an = a1 + (n 1)d
7 a = 96 + = 103
11
a3 = 40 + 7 = 47
= 40
因为x的正负性不确 等差数列的有关概念
公差 d=0 非零常数列 非零常数列 公差 d=0 零常数列
定义：如果一个数列从第 项起 项起， 定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等 常数（ 无关的数），这个数列就叫做等差数列 于同一个常数 指与n无关的数），这个数列就叫做等差数列， 于同一个常数（指与 无关的数），这个数列就叫做等差数列， 这个常数叫做等差数列 公差，公差通常用字母 表示。 常数叫做等差数列的 通常用字母d表示 这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母 表示。
由此可知， 由此可知，等差数列
{a }
n
的通项公式为
an = a1 + (n 1)d
当d≠0时，这是 关于n的一个一 次函数。
等差数列的图象1 10
9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1
● ● ● ● ●
●
（1）数列：-2，0，2，4，6，8，10，… ， ， ， ， ， ， ，
●
2
3
4
答：梯子中间各级的宽从上到下依次是 40cm, 47cm, 61cm, 68cm, 75cm, 82cm, 89cm, 96cm, 103cm.
54cm,
等差数列的练习1
1. 求等差数列 ，7，11，…的第 ，7，10项； 求等差数列3， ， ， 的第 的第4， ， 项

吉林省吉林市朝鲜族中学2020高中数学 等差数列（第1课时）学案（无答案）新人教A 版必修5 学习目标 1. 巩固等差数列概念，能够灵活运用等差数列通项公式及前n 项和公式解决实际问题，并会用等差数列定义证明数列是等差数列2. 灵活应用等差中项解决实际问题学习重点 等差数列的概念，等差数列的通项公式和前n 项和公式学习难点 等差数列的性质、前n 项和公式的性质的应用学 习 内 容学法指导 一．知识点1.等差数列的定义：2．等差数列的通项公式：3.等差中项：4.等差数列的性质：5. 等差数列的前n 项和公式：6.等差数列的判定方法：7.等差数列的证明方法：8.求等差数列的n S 的最值方法：9. n S 与n a 的关系：10. 等差数列的n S 的性质：二．当堂练习1.若一个三角形的三个内角成等差数列，且已知一个角为28°，则其它两角的度数为 ( )A.54°,98°B.62°,90°C.60°,92°D.68°,108°2.在3和27之间插入7个数，使这9个数成等差数列，则插入的这7个数中第4个数为 （ ）A.18 B.9 C.12 D.15 写符号语言3.)23lg(-与)23lg(+的等差中项为4. {a n }是等差数列，且a 1+a 4+a 7=45，a 2+a 5+a 8=39，则a 3+a 6+a 9的值是（ ）A ．24B ．27C ．30D ．335.设等差数列{a n }的公差为d ，若它的前n 项和S n =－n 2，则A ．a n =2n －1，d =－2B ．a n =2n －1，d =2C ．a n =－2n ＋1，d =－2D ．a n =－2n ＋1，d =26.已知在数列}{n a 中，)2(21≥+=-n a a n n 且11=a ，则这个数列的第10项为7. 已知在等差数列}{n a 中，2,1,11n 5-===d a a ,则n=8.方程016x 2=+-x 的两根的等差中项为9. 等差数列{}n a 中，83a a +=22，6a =7，则5a =10.在等差数列{}n a 中，若S 5=24,则42a a +=11. 两个等差数列{}n a 和{ n b }的前n 项和分别是,n n S T ，已知73n n S n T n =+，55a b = 。

第17章殿后 “小子，极度的消耗之后，需要极度的补充，这两桌菜少说也抵得上一头三四百斤的肥猪，你守着饕餮的诀窍，要是能一口气把这些都吃完，从今天晚上开始，你就正式开始炼骨的训练！” “照妖眼除了辨别忠奸之外，还有许多功能，朕……哦不，我冲天啸自以为是上天神灵下凡，所以轻视一切世俗的修真者，过于托大，结果被人所害，神魂俱灭。本来非死不可，但我早就在照妖眼之中点上了长明灯，给自己的灵魂 保存一丝火种，一旦我被害，就利用这长明灯帮我还魂，但可恶的是，害我的人手段毒辣，杀害我之后，将我的残魂也给吸收、毁灭，使我数十年来只能靠着照妖眼的法力维持生存，保留一缕残魂。可近百年的时间过去了，照妖眼 和我都埋藏在这山洞里，没有法力补充，空守着无数的宝贝，却不能利用，看看油尽灯枯，我知道自己没有几年好活了，想不到，命不该绝，却偏偏在这个时候遇上了你，可以托梦给你。” “你丢人不丢人啊，你可是大匈帝国的皇帝！”
早教店加盟
“你到时候会知道的。”老龙的话里透露着神秘。 “不错！水白云逃走之后，居然将翻板的机括在外面锁死了，我们现在都逃不出去！” 一定是顾月楼。 “有道理，我听你的！” “前辈教训得是，我的确什么都不懂！”
说着捻衽行礼，真的风摆荷花，杨柳依依，佩上她温柔如水的声音，真的是悦人耳目。 “不要多问，照顾好小姐，跟我走就是了。” “他真是个好男人！” 以游人熊挖心的凶名，别的山寨想要收留他，并不是一件容易的事，但水白云对此毫无芥蒂，更把宋贵、黄勇、陈猛男、何易等四人周到的安排在宾馆里，礼节备至。 “既然这样，那我一定要问，你为什么要这样做，你完全可以不死的？”
“我怎么没有感觉？” 呼啸的风声中，弓箭手倒了一地，谁也想不到何易的内力如此强劲！ 只见两个花枝招展的小姑娘，一左一右，扶着一个蒙着面纱的女子，款款的走了进来。 此语一出，无枪一个箭步抢到墙角，抓住一个大麻袋，轻轻的一抛，到了厅心，无矛解开口气，游人熊胖大的身躯滚了出来。 “现在的当务之急，就是回到山寨，找一柄良弓！”

2+4+6+8+…96+98+100= 2550
前两项：2+4=6=2×3 前三项：2+4+6=12=3×4
前四项：2+4+6+8=20=4×5
前五项：2+4+6+8+10=30=5×6
…
…
前五十项：2+4+6+8+…+96+98+100=50×51=2550 总结：从2开始连续N个偶数之和是N×(N+1)
试一试：1+3+9+27+81+243+729= 等比数列的和=(末项X公比—首项) ÷ (公比—1)
例3、计算小于100的所有奇数的和。 1+3+5+7+…95+97+99= 2500
分析：前两项：1+3=4=2×2 前三项：1+3+5=9=3×3 前四项：1+3+5+7=16=4×4 前五项：1+3+5+7+9=25=5×5 前六项：1+3+5+7+9+11=36=6×6 …… …… 前五十项：1+3+5+ …… +95+97+99=50×50=2500 所以：从1开始连续N个奇数之和恰好等于N×N。
=381
例2（2）1+5+25+125+625+3125 后一个数总是前一个数的5倍。也是等 比数列。 其中：1是它的首项。3125是它的末项。5就 是公比。（即共有的倍数是5的意思）

等差数列考题的“题根”研究张俊喜【期刊名称】《高中数理化》【年(卷),期】2018(000)024【总页数】2页(P21-22)【作者】张俊喜【作者单位】甘肃榆中县恩玲中学【正文语种】中文本文结合近年有关高考数学试题和变式试题,具体说明关注等差数列考题的“题根”,不但有利于对教材典型例、习题的到位、深刻理解,而且有利于迅速提高分析、解决客观题的技能技巧.1 “题根”探究例1 (北师大版《必修4》第38页第6(2)题) 若数列{an}是等差数列,m+n=p+q,m,n,p,q∈N+,试分析am+an与ap+aq的关系.答案 am+an=ap+aq.当等差数列问题中涉及“项”与“和”时,如果我们能够将该结论与求和公式加以灵活、综合运用,往往能够得到巧思妙解.特殊情形若数列{an}是等差数列,m+n=2p,m,n,p∈N+,则am+an=2ap.一般情形设{an}是等差数列,若n1+n2+…+nk=m1+m2+…+mk,n1,n2,…,nk∈N+,m1,m2,…,mk∈N+,则an1+an2+…+ank=am1+am2+…+amk.2 运用“题根”,速解高考真题例2 在等差数列{an}中,a3+a7=37,则a2+a4+a6+a8=________.注意到下标满足3+7=2+8=4+6,故可活用教材习题的结论求解.a2+a4+a6+a8=(a2+a8)+(a4+a6)=2(a3+a7)=2×37=74.例3 在等差数列{an}中,已知a4+a8=16,则该数列的前11项和S11=( ).A 58;B 88;C 143;D 176由于本题涉及等差数列中“项”与“项”相加以及前11项和,故可考虑教材习题的结论与公式的综合运用.故选B.例4 如果等差数列{an}中,a3+a4+a5=12,那么a1+a2+…+a7=( ).A 14;B 21;C 28;D 35注意到下标满足3+5=4+4=1+7,故可考虑教材习题的结论与公式的综合运用.由12=a3+a4+a5=(a3+a5)+a4=3a4得a4=4,故故选C.例5 在等差数列{an}中,已知a3+a8=10,则3a5+a7=________.注意到下标满足(3+8)+(3+8)=5+5+5+7,故可活用教材习题的推广结论加以灵活求解.因为(3+8)+(3+8)=5+5+5+7,所以根据等差数列的特性可得3a5+a7=2(a3+a8)=20.例6 设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S9=72,则a2+a4+a9=________.由于本题涉及等差数列中前9项和以及“项”与“项”相加,故可考虑教材习题的结论、推广结论与公式的综合运用.由S9=72得所以a5=8,又注意到5+5+5=2+4+9,故a2+a4+a9=3a5=24.例7 (2015年陕西卷) 中位数为1 010的一组数构成等差数列,其末项为2 015,则该数列的首项为________.由于本题中等差数列的项数不确定,故必须按项数的奇偶性加以讨论分析;在每种情况下,均需要根据中位数的概念以及等差数列的特性灵活求解.设等差数列为{an},若这组数有2n+1个,则an+1=1 010,a2n+1=2 015,又a1+a2n+1=2an+1,所以a1=5;若这组数有2n个,则an+an+1=1 010×2=2 020,a2n=2 015,又a1+a2n=an+an+1,所以a1=5.综上,该数列的首项为5.综上,我们应充分认识到许多高考题往往既源于又高于教材有关例、习题，在教材中往往能够找到高考题的“影子”.因此,结合教材去研究高考命题的“题根”非常重要.3 运用“题根”,强化变式训练变式1 已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a4=18-a5,则S8=( ).A 72;B 68;C 54;D 90故选A.变式2 已知等差数列{an}满足a3+a13-a8=2,则{an}的前15项和S15等于( ).A 60;B 30;C 15;D 10a3+a13-a8=2a8-a8=a8=2,故故选B.变式3 设Sn是等差数列{an}的前n项和,若则等于( ).A 1;B -1;C 2;D 1/2因为a1+a9=2a5,a1+a5=2a3,所以故选A.变式4 设等差数列{an}的前n项和为Sn,若2a8=6+a11,则S9=( ).A 27;B 36;C 45;D 54由等差数列的性质可得2a8=a5+a11=6+a11,解得a5=6.故故选D.变式5 设Sn是等差数列{an}的前n项和,a12=-8,S9=-9,则S16=________.故总之，在教学过程中,需关注学生对知识的接受能力,必要时需及时调整教学方式、方法. 对能力较差的学生,要及时指导;对能力较强的学生,要及时关注其解题情况,还存在哪些问题,有什么优点.要善于及时引导学生加强生生合作,交流探究.对于发现的优秀解法,可让学生尽量展示,教师及时给予评价和鼓励.课后希望学生相互交流学习心得,提升解题技能.。

（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解合并同类项的基本概念。合并同类项是指将含有相同字母和相同指数的项进行系数相加的运算。它在代数表达式的简化中起着至关重要的作用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例将展示如何将多项式中的同类项找出来并进行合并，以及这个过程如何帮助我们简化问题。
-解决方法：通过具体例子的对比和反复练习，加强学生对不同字母但指数相同项的识别。
-难点二：合并同类项时的符号处理
-学生可能会在合并同类项时忘记改变符号，尤其是在处理负数时。
-解决方法：强调符号规则，提供有针对性的练习，如包含正负数的同类项合并。
-难点三：在复杂多项式中寻找同类项
-学生在面对包含多个变量和不同指数的多项式时，可能会难以快速找出所有同类项。
总之，今天的课堂教学让我深刻认识到，作为一名教师，我需要不断地调整和改进教学方法，关注学生的需求，以确保他们能够真正掌握所学的知识。在接下来的教学过程中，我会继续努力，提高课堂效果，帮助学生们在数学学习上取得更好的成绩。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结1.讨论主题：学生将围绕“合并同类项在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
-实际问题中的应用：重点训练学生在解决实际问题时，能够快速准确地找出同类项并进行合并。
举例：对于表达式3x^2 + 5x^2 - 2x^2，重点在于学生能够认识到3x^2、5x^2和-2x^2是同类项，并且能够合并它们得到6x^2。

Sn
n( a1 an)
n(n 1)
na1
d
d2
d
n (a1 )n
2
An
Bn ，
2
2
2
2
__________________;
2.判断数列为等差数列的方法： (1) 定义法： an 1 an d , 或 an an 1 d (n 2), (2)
等差中项法： 2an 1 an an 2 (3)通项法： an a1 (n 1)d , (4) 前 n 项和法：
b11
变式：在等差数列 an 中， Sn 25, S2 n 100, 求 S3n .
【小结与作业】 【课堂检测】
1.已知数列 an 的前 n项和为 Sn n2 n, 求数列 an 的通项公式。
2.已知数列 an 的前 n项和为 Sn n2 n 1,求数列 an 的通项公式。
3.首项为正数的等差数列，前 n 项和为 Sn ，且 S3＝ S8，当 n＝ ________时， Sn 取到最大值 .
§2.2.1等差数列前 n 项的和导学提纲（二）
设计人：林丽艳 审核人：高一数学备课组
班级：
姓名：
使用时间：
【学习目标】
体会等差数列前 n 项和的性质；
【重难点】
重点：通过实例了解等差数列前 n 项和的性质；难点：性质的理解和应用；
【导读流程】
复习回顾
1 等差数列数列 an 的前 n 项和的计算公式为：
Sn An 2 Bn .
【思考探究 】
思考 1 根据 等差数列 { an} 的前 n 项和的定义，能用 Sn 表示 { an} 吗？
思考 2 等差数列 { an} 的前 n 项的和可以表示为 Sn

一、等差数列选择题1．设等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项和分别是n S 、n T .若237n n S n T n =+，则63a b 的值为（ ） A ．511B ．38C ．1D ．22．南宋数学家杨辉《详解九张算法》和《算法通变本末》中，提出垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差不相等，但是逐项差数之差或者高次成等差数列.在杨辉之后一般称为“块积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别1，7，15，27，45，71，107，则该数列的第8项为（ ） A ．161B ．155C ．141D ．1393．等差数列{}n a 中，22a =，公差2d =，则10S =（ ） A ．200B ．100C ．90D ．804．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3944a a a +=+，则15S =（ ） A ．45B ．50C ．60D ．805．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则下列判断错误的是（ ） A ．S 5，S 10-S 5，S 15-S 10必成等差数列 B ．S 2，S 4-S 2，S 6-S 4必成等差数列 C ．S 5，S 10，S 15+S 10有可能是等差数列D ．S 2，S 4+S 2，S 6+S 4必成等差数列6．等差数列{}n a 中，12318192024,78a a a a a a ++=-++=，则此数列的前20项和等于（ ） A ．160B ．180C ．200D ．2207．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，31567a a a +=+，则23S =（ ） A ．121B ．161C ．141D ．1518．设n S 是等差数列{}n a （*n N ∈）的前n 项和，且141,16a S ==，则7a =（ ） A ．7B ．10C ．13D ．169．已知各项不为0的等差数列{}n a 满足26780a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且77b a =，则3810b b b =（ )A ．1B ．8C ．4D ．210．《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现一月（按30天计）共织390尺”，则从第2天起每天比前一天多织（ ） A ．12尺布 B ．518尺布 C ．1631尺布 D ．1629尺布 11．已知正项数列{}n a 满足11a =，1111114n n n n a a a a ++⎛⎫⎛⎫+-=⎪⎪⎝⎭⎝⎭，数列{}n b 满足1111n n nb a a +=+，记{}n b 的前n 项和为n T ，则20T 的值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．412．已知等差数列{}n a 的公差d 为正数，()()111,211,n n n a a a tn a t +=+=+为常数，则n a =（ ）A ．21n -B ．43n -C ．54n -D ．n13．已知等差数列{}n a 中，161,11a a ==，则数列{}n a 的公差为（ ） A ．53B ．2C ．8D ．1314．已知数列{}n a 满足25111,,25a a a ==且*121210,n n n n a a a ++-+=∈N ，则*n N ∈时，使得不等式100n n a a +≥恒成立的实数a 的最大值是（ ） A ．19 B ．20 C ．21 D ．22 15．若等差数列{a n }满足a 2=20，a 5=8，则a 1=（ ）A ．24B ．23C ．17D ．1616．在等差数列{}n a 中，25812a a a ++=，则{}n a 的前9项和9S =（ ） A ．36B ．48C ．56D ．7217．已知数列{}n a 中，12(2)n n a a n --=≥，且11a =，则这个数列的第10项为（ ） A ．18B ．19C ．20D ．2118．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若7916+=a a ，则15S =（ ） A ．60B ．120C ．160D ．24019．已知数列{}n a 中，11a =，22a =，对*n N ∀∈都有333122n n n a a a ++=+，则10a 等于（ ） A ．10BC ．64D ．420．已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足：21<<m m m S S S ++，若0n S >，则n 的最大值为（ ） A ．2mB ．21m +C ．22m +D ．23m +二、多选题21．题目文件丢失！22．已知数列{}n a 满足()*111n na n N a +=-∈，且12a =，则（ ） A ．31a =- B ．201912a =C ．332S =D ． 2 01920192S =23．已知数列{}n a 中，11a =，1111n n a a n n +⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，*n N ∈.若对于任意的[]1,2t ∈，不等式()22212na t a t a a n<--++-+恒成立，则实数a 可能为（ ） A ．－4B ．－2C ．0D ．224．已知数列{}n a 的前4项为2，0，2，0，则该数列的通项公式可能为（ ） A ．0,2,n n a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数B ．1(1)1n n a -=-+C ．2sin2n n a π= D ．cos(1)1n a n π=-+25．首项为正数，公差不为0的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，则下列4个命题中正确的有（ ）A ．若100S =，则50a >，60a <；B ．若412S S =，则使0n S >的最大的n 为15；C ．若150S >，160S <，则{}n S 中7S 最大；D ．若89S S <，则78S S <.26．已知数列{}n a ：1，1，2，3，5，…其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A ．68S a = B ．733S =C ．135********a a a a a ++++= D ．2222123202020202021a a a a a a ++++=27．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ()*n N ∈，公差0d ≠，690S=，7a 是3a 与9a 的等比中项，则下列选项正确的是（ ） A ．2d =-B ．120a =-C ．当且仅当10n =时，n S 取最大值D ．当0nS <时，n 的最小值为2228．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知535S =，411a =，则（ ） A ．45n a n =-B ．23n a n =+C ．223n S n n =-D ．24n S n n =+29．下面是关于公差0d >的等差数列{}n a 的四个命题，其中的真命题为（ ）. A ．数列{}n a 是递增数列 B ．数列{}n na 是递增数列 C ．数列{}na n是递增数列D ．数列{}3n a nd +是递增数列30．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ，且满足10a >，1118S S =，则对n S 描述正确的有（ ） A ．14S 是唯一最小值 B ．15S 是最小值 C ．290S =D ．15S 是最大值【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、等差数列选择题 1．C 【分析】令22n S n λ=，()37n T n n λ=+，求出n a ，n b ，进而求出6a ，3b ，则63a b 可得． 【详解】令22n S n λ=，()37n T n n λ=+，可得当2n ≥时，()()221221221n n n a S S n n n λλλ-=-=--=-，()()()()137134232n n n b T T n n n n n λλλ-=-=+--+=+，当1n =，()11112,3710a S b T λλλ====+=，符合()221n a n λ=-，()232n b n λ=+故622a λ=，322b λ=，故631a b =. 【点睛】由n S 求n a 时，11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，注意验证a 1是否包含在后面a n 的公式中，若不符合要单独列出，一般已知条件含a n 与S n 的关系的数列题均可考虑上述公式求解． 2．B 【分析】画出图形分析即可列出式子求解. 【详解】所给数列为高阶等差数列,设该数列的第8项为x ，根据所给定义：用数列的后一项减去前一项得到一个新数列，得到的新数列也用后一项减去前一项得到一个新数列，即得到了一个等差数列，如图：由图可得：3612107y x y -=⎧⎨-=⎩ ，解得15548x y =⎧⎨=⎩.故选：B. 3．C 【分析】先求得1a ，然后求得10S . 【详解】依题意120a a d =-=，所以101104545290S a d =+=⨯=. 故选：C 4．C 【分析】利用等差数列性质当m n p q +=+ 时m n p q a a a a +=+及前n 项和公式得解 【详解】{}n a 是等差数列，3944a a a +=+，4844a a a ∴+=+，84a =1158158()15215156022a a a S a +⨯⨯====故选：C 【点睛】本题考查等差数列性质及前n 项和公式，属于基础题 5．D 【分析】根据等差数列的性质，可判定A 、B 正确；当首项与公差均为0时，可判定C 正确；当首项为1与公差1时，可判定D 错误. 【详解】由题意，数列{}n a 为等差数列，n S 为前n 项和，根据等差数列的性质，可得而51051510,,S S S S S --，和24264,,S S S S S --构成等差数列，所以，所以A ，B 正确；当首项与公差均为0时，5101510,,S S S S +是等差数列，所以C 正确；当首项为1与公差1时，此时2426102,31,86S S S S S =+=+=，此时24264,,S S S S S ++不构成等差数列，所以D 错误. 故选：D. 6．B 【分析】把已知的两式相加得到12018a a +=，再求20S 得解. 【详解】由题得120219318()()()247854a a a a a a +++++=-+=， 所以1201203()54,18a a a a +=∴+=. 所以2012020()10181802S a a =+=⨯=. 故选：B 7．B 【分析】由条件可得127a =，然后231223S a =，算出即可. 【详解】因为31567a a a +=+，所以15637a a a =-+，所以1537a d =+，所以1537a d -=，即127a =所以231223161S a == 故选：B 8．C 【分析】由题建立关系求出公差，即可求解. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，141,16a S ==，41464616S a d d ∴=+=+=，2d ∴=， 71613a a d ∴=+=.故选：C 9．B 【分析】根据等差数列的性质，由题中条件，求出72a =，再由等比数列的性质，即可求出结果. 【详解】因为各项不为0的等差数列{}n a 满足26780a a a -+=，所以27720a a -=，解得72a =或70a =（舍）；又数列{}n b 是等比数列，且772b a ==，所以33810371178b b b b b b b ===.故选：B. 10．D【分析】设该女子第()N n n *∈尺布，前()N n n *∈天工织布n S 尺，则数列{}n a 为等差数列，设其公差为d ，根据15a =，30390S =可求得d 的值. 【详解】设该女子第()N n n *∈尺布，前()N n n *∈天工织布n S 尺，则数列{}n a 为等差数列，设其公差为d ，由题意可得30130293015015293902S a d d ⨯=+=+⨯=，解得1629d =.故选：D. 11．B 【分析】 由题意可得221114n na a +-=，运用等差数列的通项公式可得2143n n a =-，求得14n b =，然后利用裂项相消求和法可求得结果【详解】解：由11a =，1111114n n n n a a a a ++⎛⎫⎛⎫+-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，得221114n na a +-=， 所以数列21n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以4为公差，以1为首项的等差数列，所以2114(1)43nn n a =+-=-，因为0n a >，所以n a =，所以1111n n nb a a +=+=所以14n b ==，所以201220T b b b =++⋅⋅⋅+111339(91)244=++⋅⋅⋅+=⨯-=， 故选：B 【点睛】关键点点睛：此题考查由数列的递推式求数列的前n 项和，解题的关键是由已知条件得221114n n a a +-=，从而数列21n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以4为公差，以1为首项的等差数列，进而可求n a =，14n b ==，然后利用裂项相消法可求得结果，考查计算能力和转化思想，属于中档题 12．A 【分析】由已知等式分别求出数列的前三项，由2132a a a =+列出方程，求出公差，利用等差数列的通项公式求解可得答案． 【详解】11a =，()()1211n n n a a tn a ++=+,令1n =，则()()121211a a t a +=+，解得21a t =-令2n =，则()()2322121a a t a +=+，即()2311t a t -=-，若1t =，则20,1a d ==，与已知矛盾，故解得31a t =+{}n a 等差数列，2132a a a ∴=+，即()2111t t -=++，解得4t =则公差212d a a =-=，所以()1121n a a n d n =+-=-. 故选：A 13．B 【分析】设公差为d ，则615a a d =+，即可求出公差d 的值. 【详解】设公差为d ，则615a a d =+，即1115d =+，解得：2d =， 所以数列{}n a 的公差为2， 故选：B 14．B 【分析】由等差数列的性质可得数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，再由等差数列的通项公式可得1nn a ，进而可得1n a n=，再结合基本不等式即可得解. 【详解】 因为*121210,n n n n a a a ++-+=∈N ，所以12211n n n a a a ++=+， 所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，设其公差为d ， 由25111,25a a a ==可得25112,115a a a ==⋅，所以111121145d a d a a ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⋅⎪⎩，解得1111a d ⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以()1111n n d n a a =+-=，所以1n a n=，所以不等式100n n a a +≥即100n a n+≥对任意的*n N ∈恒成立，又10020n n +≥=，当且仅当10n =时，等号成立， 所以20a ≤即实数a 的最大值是20. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是构造新数列求数列通项及基本不等式的应用. 15．A 【分析】 由题意可得5282045252a a d --===---，再由220a =可求出1a 的值 【详解】 解：根据题意，5282045252a a d --===---，则1220(4)24a a d =-=--=， 故选：A. 16．A 【分析】根据等差数列的性质，由题中条件，得出54a =，再由等差数列前n 项和公式，即可得出结果. 【详解】因为{}n a 为等差数列，25812a a a ++=， 所以5312a =，即54a =， 所以()1999983622a a S +⨯===. 故选：A . 【点睛】熟练运用等差数列性质的应用及等差数列前n 项和的基本量运算是解题关键. 17．B 【分析】由已知判断出数列{}n a 是以1为首项，以2为公差的等差数列，求出通项公式后即可求得10a .【详解】()122n n a a n --=≥，且11a =，∴数列{}n a 是以1为首项，以2为公差的等差数列，通项公式为()12121n a n n =+-=-，10210119a ∴=⨯-=，故选：B. 18．B 【分析】利用等差数列的性质，由7916+=a a ，得到88a =，然后由15815S a =求解. 【详解】因为7916+=a a ，所以由等差数列的性质得978216a a a +==， 解得88a =， 所以()11515815151581202a a S a +===⨯=． 故选：B 19．D 【分析】利用等差中项法可知，数列{}3n a 为等差数列，根据11a =，22a =可求得数列{}3n a 的公差，可求得310a 的值，进而可求得10a 的值. 【详解】对*n N ∀∈都有333122n n n a a a ++=+，由等差中项法可知，数列{}3n a 为等差数列，由于11a =，22a =，则数列{}3n a 的公差为33217d a a =-=，所以，33101919764a a d =+=+⨯=，因此，104a .故选：D. 20．C 【分析】首先根据数列的通项n a 与n S 的关系，得到10m a +>，2<0m a +，12+>0m m a a ++，再根据选项，代入前n 项和公式，计算结果. 【详解】由21<<m m m S S S ++得，10m a +>，2<0m a +，12+>0m m a a ++. 又()()()1212112121>02m m m m a a S m a +++++==+，()()()1232322323<02m m m m a a S m a +++++==+， ()()()()1222212211>02m m m m m a a S m a a ++++++==++.故选:C.【点睛】关键点睛：本题的第一个关键是根据公式11,2,1n n n S S n a S n --≥⎧=⎨=⎩，判断数列的项的正负，第二个关键能利用等差数列的性质和公式，将判断和的正负转化为项的正负.二、多选题 21．无22．ACD 【分析】先计算出数列的前几项，判断AC ，然后再寻找规律判断BD ． 【详解】由题意211122a =-=，311112a =-=-，A 正确，3132122S =+-=，C 正确；41121a =-=-，∴数列{}n a 是周期数列，周期为3． 2019367331a a a ⨯===-，B 错；20193201967322S =⨯=，D 正确．故选：ACD ． 【点睛】本题考查由数列的递推式求数列的项与和，解题关键是求出数列的前几项后归纳出数列的性质：周期性，然后利用周期函数的定义求解． 23．AB 【分析】 由题意可得11111n n a a n n n n +-=-++，利用裂项相相消法求和求出122n a n n=-<，只需()222122t a t a a --++-+≥对于任意的[]1,2t ∈恒成立，转化为()()210t a t a --+≤⎡⎤⎣⎦对于任意的[]1,2t ∈恒成立，然后将选项逐一验证即可求解.【详解】111n n n a a n n++-=，11111(1)1n n a a n n n n n n +∴-==-+++，则11111n n a a n n n n --=---，12111221n n a a n n n n ---=-----，，2111122a a -=-， 上述式子累加可得：111n a a n n -=-，122n a n n∴=-<，()222122t a t a a ∴--++-+≥对于任意的[]1,2t ∈恒成立，整理得()()210t a t a --+≤⎡⎤⎣⎦对于任意的[]1,2t ∈恒成立，对A ，当4a =-时，不等式()()2540t t +-≤，解集5,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，包含[]1,2，故A 正确；对B ，当2a =-时，不等式()()2320t t +-≤，解集3,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，包含[]1,2，故B 正确；对C ，当0a =时，不等式()210t t +≤，解集1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，不包含[]1,2，故C 错误；对D ，当2a =时，不等式()()2120t t -+≤，解集12,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，不包含[]1,2，故D 错误，故选：AB. 【点睛】本题考查了裂项相消法、由递推关系式求通项公式、一元二次不等式在某区间上恒成立，考查了转化与划归的思想，属于中档题. 24．BD 【分析】根据选项求出数列的前4项，逐一判断即可. 【详解】解：因为数列{}n a 的前4项为2，0，2，0， 选项A ：不符合题设；选项B ：01(1)12,a =-+=12(1)10,a =-+=23(1)12,a =-+=34(1)10a =-+=，符合题设；选项C ：，12sin2,2a π==22sin 0,a π==332sin22a π==-不符合题设； 选项D ：1cos 012,a =+=2cos 10,a π=+=3cos 212,a π=+=4cos310a π=+=，符合题设.故选：BD. 【点睛】本题考查数列的通项公式的问题，考查了基本运算求解能力，属于基础题. 25．ABD 【分析】利用等差数列的求和公式及等差数列的性质，逐一检验选项，即可得答案. 【详解】对于A ：因为正数，公差不为0，且100S =，所以公差0d <， 所以1101010()02a a S +==，即1100a a +=， 根据等差数列的性质可得561100a a a a +=+=，又0d <， 所以50a >，60a <，故A 正确； 对于B ：因为412S S =，则1240S S -=，所以561112894()0a a a a a a ++⋅⋅⋅++=+=，又10a >， 所以890,0a a ><， 所以115815815()15215022a a a S a +⨯===>，116891616()16()022a a a a S ++===， 所以使0n S >的最大的n 为15，故B 正确； 对于C ：因为115815815()15215022a a a S a +⨯===>，则80a >， 116891616()16()022a a a a S ++===，则890a a +=，即90a <， 所以则{}n S 中8S 最大，故C 错误；对于D ：因为89S S <，则9980S a S =->，又10a >， 所以8870a S S =->，即87S S >，故D 正确， 故选：ABD 【点睛】解题的关键是先判断d 的正负，再根据等差数列的性质，对求和公式进行变形，求得项的正负，再分析和判断，考查等差数列性质的灵活应用，属中档题. 26．BCD 【分析】根据题意写出8a ，6S ，7S ，从而判断A ，B 的正误；写出递推关系，对递推关系进行适当的变形，利用累加法即可判断C ，D 的正误． 【详解】对A ，821a =，620S =，故A 不正确； 对B ，761333S S =+=，故B 正确；对C ，由12a a =，342a a a =-，564a a a =-，…，202120222020a a a =-，可得135********a a a a a +++⋅⋅⋅+=，故C 正确；对D ，该数列总有21n n n a a a ++=+，2121a a a =，则()222312321a a a a a a a a =-=-， ()233423423a a a a a a a a =-=-，…，()220182018201920172018201920172018a a a a a a a a =-=-， 22019a =2019202020192018a a a a -，220202020202120202019a a a a a =-， 故2222123202*********a a a a a a +++⋅⋅⋅+=，故D 正确．故选：BCD 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是对CD 的判断，即要善于利用21n n n a a a ++=+对所给式子进行变形. 27．AD 【分析】运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，可判断A ，B ；由二次函数的配方法，结合n 为正整数，可判断C ；由0n S <解不等式可判断D ．【详解】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差0d ≠，由690S =，可得161590a d +=，即12530a d +=，①由7a 是3a 与9a 的等比中项，得2739a a a =，即()()()2111628a d a d a d +=++，化为1100a d +=，②由①②解得120a =，2d =-，则202(1)222n a n n =--=-，21(20222)212n S n n n n =+-=-，由22144124n S n ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，可得10n =或11时，n S 取得最大值110； 由2102n S n n -<=，解得21n >，则n 的最小值为22.故选：AD 【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式，以及等比中项的性质，二次函数的最值求法，考查方程思想和运算能力，属于中档题. 28．AC 【分析】由535S =求出37a =，再由411a =可得公差为434d a a =-=，从而可求得其通项公式和前n 项和公式 【详解】由题可知，53535S a ==，即37a =，所以等差数列{}n a 的公差434d a a =-=，所以()4445n a a n d n =+-=-，()2451232n n n S n n --==-.故选：AC. 【点睛】本题考查等差数列，考查运算求解能力. 29．AD 【分析】根据等差数列的性质，对四个选项逐一判断，即可得正确选项. 【详解】0d >，10n n a a d +-=> ，所以{}n a 是递增数列，故①正确，()()2111n na n a n d dn a d n =+-=+-⎡⎤⎣⎦，当12d a n d -<时，数列{}n na 不是递增数列，故②不正确， 1n a a d d n n -=+，当10a d -<时，{}n a n 不是递增数列，故③不正确， 134n a nd nd a d +=+-，因为0d >，所以{}3n a nd +是递增数列，故④正确，故选：AD 【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，属于基础题. 30．CD 【分析】根据等差数列中1118S S =可得数列的公差0d <，再根据二次函数的性质可知15S 是最大值，同时可得150a =，进而得到290S =，即可得答案； 【详解】1118S S =，∴0d <，设2n S An Bn =+，则点(,)n n S 在抛物线2y Ax Bx =+上，抛物线的开口向下，对称轴为14.5x =，∴1514S S =且为n S 的最大值，1118S S =12131815070a a a a ⇒+++=⇒=，∴129291529()2902a a S a +===， 故选：CD. 【点睛】本题考查利用二次函数的性质研究等差数列的前n 项和的性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.。

辽宁省鞍山市毛祁中学2021年高二数学文月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设是等差数列的前n项和，已知，，则等于( )A．13 B．35 C．49 D． 63参考答案：C2. 在等差数列中,,则的前5项和=（）A．7 B．15 C．20 D．25参考答案：B略3. 直线l1：(m＋2)x＋(m2－3m)y＋4＝0，l2：2x＋4(m－3)y－1＝0，如果l1∥l2，则m的值为( )A．－4 B．0 C．3 D．－4或3.参考答案：D略4. 甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，其中a,b∈{1,2,3,4,5,6}，若a=b或a=b-1，就称甲乙“心有灵犀”现在任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为( )(A) (B) (C) (D)参考答案：C略5. 设变量x，y满足约束条件：，则z=x﹣3y的最小值（）A．﹣2 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣8参考答案：D【考点】简单线性规划．【分析】我们先画出满足约束条件：的平面区域，求出平面区域的各角点，然后将角点坐标代入目标函数，比较后，即可得到目标函数z=x﹣3y的最小值．【解答】解：根据题意，画出可行域与目标函数线如图所示，由图可知目标函数在点（﹣2，2）取最小值﹣8故选D．6. 下列说法不正确的是A.一个命题与它的逆命题、否命题、逆否命题等四种命题中真命题个数为偶数B.命题:“若,则或”的逆否命题是“若或,则”C.椭圆比椭圆更接近于圆D.已知两条直线,则的充分不必要条件是参考答案：B本题主要考查了四种命题之间的关系,椭圆的几何性质以及两条直线垂直的判定问题,意在考查学生的逻辑推理能力以及对知识的综合运用能力.对于A,一个命题与它的逆命题、否命题、逆否命题中,互为逆否的命题有两对,根据“互为逆否命题的两个命题同真假”可知,这四种命题中真命题个数为0,2,4,故A正确;对于B,命题:“若,则或”的逆否命题是“若且,则”,故B错误;对于C,椭圆的离心率是,椭圆的离心率是, ,所以椭圆比椭圆更接近于圆,C正确;对于D,当时,两条直线,有此时;当时,直线,有,不能得出,所以是充分不必要条件,D正确;故说法错误的是B.7. 设变量，满足约束条件，则目标函数的最小值为（）A． B． C． D．参考答案：B8. 函数的定义域是（）A. B. C. D.参考答案：D试题分析：要使函数有意义，需满足，所以函数定义域为考点：函数定义域9. 三位男同学两位女同学站成一排，女同学不站两端的排法总数为（）A．6 B．36 C．48 D．120参考答案：B【考点】排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，假设5个人分别对应5个空位，女同学不站两端不站在两端，有3个位置可选；而其他3人对应其他3个位置，对其全排列，可得其排法数目，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：假设5个人分别对应5个空位，女同学不站两端不站在两端，有3个位置可选；则其他3人对应其他3个位置，有A33=6种情况，则不同排列方法种数6×6=36种．故选B．10. 设复数(为虚数单位)，则复数的虚部是( )A．2 B．-1 C．2 D．1参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知函数，，有下列4个命题：①若为偶函数，且，则的图象关于中心对称；②若为奇函数，且关于直线对称，则为函数一个周期.③与的图象关于直线对称；④若，则的图象关于直线对称；其中正确命题是． (写出命题编号)参考答案：①②④12. 在直角坐标系中，设，沿轴把坐标平面折成的二面角后，的长为．参考答案：略13. 甲、乙两名篮球运动员在某几场比赛得分的茎叶图如图所示，则甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是．参考答案：64略14. 下列语句中：①②③④⑤⑥其中是赋值语句的个数为（）A．6 B．5 C．4D．3参考答案：C15. 已知：sin2300+ sin2900+ sin21500=1.5，sin250+ sin2650+ sin21250=1.5，通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题__________.参考答案：sin2α+ sin2(600+α)+ sin2(1200+α)=1.516. 设x>0，y>0且x+y=1，则的最小值为___________．参考答案：略17. 在锐角△ABC中，，，AC的取值范围为__________．参考答案：解：由题意，得，解得．由正弦定理，得，∵的取值范围为，故．三、解答题：本大题共5小题，共72分。

求数列的前n 项和一．教学目标1 学会各种方法求数列的前n 项和；2对数列的前n 项和的求法进行归纳总结，便于学生系统掌握有关的知识。

二。

教学重、难点教学重点：会求特殊数列的前n 项和教学难点：选择合适的方法求特殊数列的前n 项和 三.基本知识点：1公式法：等差、等比数列的求和公式 ; 2 拆项分组求和法： 3 裂项相消求和法: 4倒序相加求和法： 5错位相减求和法：6并项求和法：一个数列的前n 项和中，可两两结合求解,则称之为并项求和．形如an ＝(－1)n f （n ）类型，可采用两项合并求解． 四 。

例题配置例1 求下列各数列的前n 项和⑴11111,3,5,7 (24816)⑵232nnnan =+-⑶()1111,,,......1324352n n ⨯⨯⨯+⑷111211,3,5,......2482n n -⨯⨯⨯⑸已知f （x)满足121x x+=时，()()1122f x f x +=，设()()1210......1n a f f f f f n n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭求na⑹Sn ＝1002－992＋982－972＋…＋22－12练习：已知函数f(n ）＝n 2cos(nπ)，且an ＝f （n ）＋f （n ＋1），则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100等于( )A ．0B ．－100C ．100D ．10 200课后自测1.已知f(x ）满足11222f x f x ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则1237......_______8888f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2。

已知f(x)=221x x + ,则()()()()1111234_______234f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭3.已知数列的前n 项和nS =10，求n=_______。