2019_2020学年高中数学第2章推理与证明2.1.1合情推理课件新人教B版选修2_2

2.1.2 演绎推理一、演绎推理1．定义根据概念的定义或一些真命题，依照一定的逻辑规则得到正确结论的过程，叫做演绎推理．2．特征当前提为真时，结论必然为真．二、三段论1．三段论推理(1)三段论推理是演绎推理的一般模式．(2)三段论的构成：①大前提：提供一般性原理；②小前提：指出一个特殊的对象；③结论：结合大前提和小前提，得出一般性原理和特殊对象之间的内在联系．(3)“三段论”的常用格式大前提：M是P；小前提：S是M；结论：S是P.2．演绎推理的常见模式(1)三段论推理(2)传递性关系推理用符号表示推理规则是“如果aRb，bRc，则aRc”，其中“R”表示具有传递性的关系．(3)完全归纳推理把所有情况都考虑在内的演绎推理规则叫做完全归纳推理．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“三段论”就是演绎推理．( )(2)演绎推理的结论是一定正确的．( )(3)演绎推理是由特殊到一般再到特殊的推理．( ) [答案](1)×(2)×(3)×2．正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数，以上推理中“三段论”中的__________是错误的．[解析]f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数，故小前提错误．[答案]小前提3．下列几种推理过程是演绎推理的是______(填序号)．①两条平行直线与第三条直线相交，内错角相等，如果∠A和∠B是两条平行直线的内错角，则∠A＝∠B；②金导电，银导电，铜导电，铁导电，所以一切金属都导电；③由圆的性质推测球的性质；④科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇．[解析]①是演绎推理；②是归纳推理；③④是类比推理．[答案]①(1)一切奇数都不能被2整除，75不能被2整除，所以75是奇数；(2)三角形的内角和为180°，Rt△ABC的内角和为180°；(3)通项公式为a n＝3n＋2(n≥2)的数列{a n}为等差数列．[解](1)一切奇数都不能被2整除．(大前提)75不能被2整除．(小前提)75是奇数．(结论)(2)三角形的内角和为180°.(大前提)Rt△ABC是三角形．(小前提)Rt△ABC的内角和为180°.(结论)(3)数列{a n}中，如果当n≥2时，a n－a n－1为常数，则{a n}为等差数列．(大前提)通项公式a n＝3n＋2，n≥2时，a n－a n－1＝3n＋2－[3(n－1)＋2]＝3(常数)．(小前提)通项公式为a n＝3n＋2(n≥2)的数列{a n}为等差数列．(结论)把演绎推理写成“三段论”的一般方法1．用“三段论”写推理过程时，关键是明确大、小前提，三段论中大前提提供了一个一般性原理，小前提提供了一种特殊情况，两个命题结合起来，揭示一般性原理与特殊情况的内在联系．2．在寻找大前提时，要保证推理的正确性，可以寻找一个使结论成立的充分条件作为大前提．1．将下列演绎推理写成三段论的形式．(1)平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分；(2)等腰三角形的两底角相等，∠A，∠B是等腰三角形的两底角，则∠A＝∠B. [解](1)平行四边形的对角线互相平分，大前提菱形是平行四边形，小前提菱形的对角线互相平分．结论(2)等腰三角形的两底角相等，大前提∠A，∠B是等腰三角形的两底角，小前提∠A＝∠B.结论演绎推理的综合应用证：DE＝AF.写出“三段论”形式的演绎推理．[思路探究]用三段论的模式依次证明：(1)DF∥A E，(2)四边形A E DF为平行四边形，(3)DE＝AF.[解](1)同位角相等，两直线平行，(大前提)∠BFD和∠A是同位角，且∠BFD＝∠A，(小前提)所以DF∥A E.(结论)(2)两组对边分别平行的四边形是平行四边形，(大前提)DE∥BA且DF∥E A，(小前提)所以四边形AFDE为平行四边形．(结论)(3)平行四边形的对边相等，(大前提)DE和AF为平行四边形的对边，(小前提)所以DE＝AF.(结论)1．用“三段论”证明命题的步骤(1)理清证明命题的一般思路；(2)找出每一个结论得出的原因；(3)把每个结论的推出过程用“三段论”表示出来．2．几何证明问题中，每一步都包含着一般性原理，都可以分析出大前提和小前提，将一般性原理应用于特殊情况，就能得出相应结论．2．证明：如果梯形的两腰和一底相等，那么它的对角线必平分另一底上的两个角．[证明]已知在梯形ABCD中(如图所示)，AB＝DC＝AD，AC和BD是它的对角线，求证：CA平分∠BCD，BD平分∠CBA.证明：①等腰三角形的两底角相等，大前提△DAC是等腰三角形，DC＝DA，小前提∠1＝∠2.结论②两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，大前提∠1和∠3是平行线AD，BC被AC所截的内错角，小前提∠1＝∠3.结论③等于同一个量的两个量相等，大前提∠2，∠3都等于∠1，小前提∠2和∠3相等．结论即CA平分∠BCD.④同理BD平分∠CBA.1．演绎推理的结论一定正确吗？提示：演绎推理的结论不会超出前提所界定的范围，所以在演绎推理中，只要前提和推理形式正确，其结论一定正确．2．利用完全归纳推理证明方程ax 2＋2x －a ＝0有实根，a 的值应分哪几种情况？ 提示：分a ＝0和a ≠0两种情况．【例3】 试证明函数f (x )＝ln(x ＋x 2＋1)的定义域为R ，并判断其奇偶性． [思路探究] 只须对x >0，x ＝0，x <0分别说明对数的真数均大于0即可． [解] 当x >0时，x ＋x 2＋1>0显然成立； 当x ＝0时，x ＋x 2＋1＝1>0成立； 当x <0时，x 2＋1>x 2＝|x |＝－x ， 所以x ＋x 2＋1>x ＋(－x )＝0.因此对x ∈R ，都有x ＋x 2＋1>0，即函数的定义域为R . 又因为f (－x )＝ln(－x ＋(－x )2＋1) ＝ln(x 2＋1－x )＝ln (x 2＋1－x )(x 2＋1＋x )x 2＋1＋x＝ln1x 2＋1＋x＝－ln(x 2＋1＋x )＝－f (x )．故f (x )是奇函数．1．完全归纳推理不同于归纳推理，后者仅仅说明了几种特殊情况，它不能说明结论的正确性，但完全归纳推理则把所有情况都作了证明，因此结论一定是正确的．2．在利用完全归纳推理证明问题时，要对证明的对象进行合理的分类，且必须把所有情况都考虑在内．3．求证：n∈N，当1≤n≤4时，f(n)＝(2n＋7)·3n＋9能被36整除．[证明]当n＝1时，f(1)＝(2＋7)·3＋9＝36，能被36整除；当n＝2时，f(2)＝(2×2＋7)·32＋9＝108＝36×3，能被36整除；当n＝3时，f(3)＝(2×3＋7)·33＋9＝360＝36×10，能被36整除；当n＝4时，f(4)＝(2×4＋7)·34＋9＝1 224＝36×34，能被36整除．综上，当1≤n≤4时，f(n)＝(2n＋7)·3n＋9能被36整除.1．下面几种推理过程是演绎推理的是( )A．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角，则∠A＋∠B＝πB．某校高三(1)班有55人，(2)班有54人，(3)班有52人，由此得出高三所有班级的人数都超过50人C．由平面三角形的性质，推测出空间四面体的性质D ．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －1－1a n －1(n ≥2)，通过计算a 2，a 3，a 4猜想出a n 的通项公式[解析] A 是演绎推理，B ，D 是归纳推理，C 是类比推理．[答案] A2．用三段论证明命题：“任何实数的平方大于0，因为a 是实数，所以a 2＞0”，你认为这个推理( )A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．是正确的 [解析] 这个三段论推理的大前提是“任何实数的平方大于0”，小前提是“a 是实数”，结论是“a 2＞0”，显然结论错误，原因是大前提错误．[答案] A3．函数y ＝2x ＋5的图象是一条直线，用三段论表示为：大前提：___________________________________________；小前提：___________________________________________；结论：_____________________________________________.[答案] 一次函数的图象是一条直线函数y ＝2x ＋5是一次函数函数y ＝2x ＋5的图象是一条直线4．如图所示，因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AB ＝CD ，BC ＝AD .又因为△ABC 和△CDA 的三边对应相等，所以△ABC ≌△CDA .上述推理的两个步骤中分别省略了 ________、________.[答案] 大前提 大前提5．用三段论的形式写出下列演绎推理．(1)矩形的对角线相等，正方形是矩形，所以正方形的对角线相等；(2)y ＝x 2(x ∈R )是偶函数．[解] (1)因为矩形的对角线相等，大前提而正方形是矩形，小前提所以正方形的对角线相等．结论(2)因为x ∈R ，函数f (x )有f (－x )＝f (x )，则f (x )是偶函数，大前提而y ＝x 2满足x ∈R ，f (－x )＝f (x )，小前提∴y ＝x 2(x ∈R )是偶函数．结论。

2.1 合情推理与演绎推理2.1.1 合情推理1.了解合情推理的含义，正确理解归纳推理与类比推理.(重点、易混点)2.能用归纳和类比进行简单的推理.(难点)3.了解合情推理在数学发现中的作用.[基础·初探]教材整理1 归纳推理和类比推理阅读教材P26～P27及P30例3以上内容，完成下列问题.1.归纳推理2.类比推理判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)因为三角形的内角和是180°×(3－2)，四边形的内角和是180°×(4－2)，…，所以n边形的内角和是180°×(n－2)，使用的是类比推理.( )(2)类比推理得到的结论可以作为定理应用.( )(3)归纳推理是由个别到一般的推理.( )【解析】(1)错误.它符合归纳推理的定义特征，应该为归纳推理.(2)错误.类比推理不一定正确.(3)正确.由个别到一般或由部分到整体的推理都是归纳推理.【答案】(1)×(2)×(3)√教材整理2 合情推理阅读教材P26，完成下列问题.1.含义前提为真时，结论可能为真的推理，叫做合情推理.归纳推理和类比推理是数学中常用的合情推理.2.合情推理的过程从具体问题出发→观察、分析、比较、联想→归纳、类比→提出猜想类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的下列性质，你认为比较恰当的是________(填序号).①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等.【解析】正四面体的面(或棱)可与正三角形的边类比，正四面体的相邻两面成的二面角(或共顶点的两棱的夹角)可与正三角形相邻两边的夹角类比，故①②③都对.【答案】①②③[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：[小组合作型](1)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝－1an ＋1，则a 2 017等于( ) A.2 B.－12 C.－2D.1(2)根据图2-1-1中线段的排列规则，试猜想第8个图形中线段的条数为________.【导学号：37820008】图2-1-1【解析】 (1)a 1＝1，a 2＝－12，a 3＝－2，a 4＝1，…，数列{a n }是周期为3的数列，2 017＝672×3＋1，∴a 2 017＝a 1＝1.(2)分别求出前4个图形中线段的数目，发现规律，得出猜想，图形①到④中线段的条数分别为1，5，13，29，因为1＝22－3，5＝23－3，13＝24－3，29＝25－3，因此可猜想第8个图形中线段的条数应为28＋1－3＝509.【答案】 (1)D (2)5091.由已知数式进行归纳推理的方法(1)要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律.(2)要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形式的特征.(3)提炼出等式(或不等式)的综合特点.(4)运用归纳推理得出一般结论.2.归纳推理在图形中的应用策略通过一组平面或空间图形的变化规律，研究其一般性结论，通常需形状问题数字化，展现数字之间的规律、特征，然后进行归纳推理.解答该类问题的一般策略是：[再练一题]1.(1)有两种花色的正六边形地面砖，按图2-1-2的规律拼成若干个图案，则第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是( )图2-1-2A.26B.31C.32D.36(2)把1，3，6，10，15，21，…这些数叫做三角形数，这是因为个数等于这些数目的点可以分别排成一个正三角形(如图2-1-3)，试求第七个三角形数是________.图2-1-3【解析】(1)法一：有菱形纹的正六边形个数如下表：，以5为公差的等差数列，所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是6＋5×(6－1)＝31.法二：由图案的排列规律可知，除第一块无纹正六边形需6个有纹正六边形围绕(图案1)外，每增加一块无纹正六边形，只需增加5块菱形纹正六边形(每两块相邻的无纹正六边形之间有一块“公共”的菱形纹正六边形)，故第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数为：6＋5×(6－1)＝31.故选B.(2)第七个三角形数为1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28. 【答案】 (1)B (2)28如图2-1-4所示，在平面上，设h a ，h b ，h c 分别是△ABC 三条边上的高，P 为△ABC 内任意一点，P 到相应三边的距离分别为p a ，pb ，pc ，可以得到结论pa ha ＋pb hb ＋pchc ＝1.图2-1-4证明此结论，通过类比写出在空间中的类似结论，并加以证明.【精彩点拨】 三角形类比四面体，三角形的边类比四面体的面，三角形边上的高类比四面体以某一面为底面的高.【自主解答】 pa ha ＝12BC·pa 12BC·ha ＝S △PBCS △ABC ，同理，pb hb ＝S △P AC S △ABC ，pc hc ＝S △P AB S △ABC . ∵S △PBC ＋S △P AC ＋S △P AB ＝S △ABC ，∴pa ha ＋pb hb ＋pc hc ＝S △PBC ＋S △P AC ＋S △P AB S △ABC ＝1.类比上述结论得出以下结论：如图所示，在四面体ABCD 中，设h a ，h b ，h c ，h d 分别是该四面体的四个顶点到对面的距离，P 为该四面体内任意一点，P 到相应四个面的距离分别为p a ，p b ，p c ，p d ，可以得到结论pa ha ＋pb hb ＋pc hc ＋pdhd ＝1.证明如下：pa ha ＝13S △BCD·pa 13S △BCD·ha＝VP-BCDVA-BCD ，同理，pb hb ＝VP-ACD VA-BCD ，pc hc ＝VP-ABD VA-BCD ，pd hd ＝VP-ABCVA-BCD . ∵V P ­BCD ＋V P ­ACD ＋V P ­ABD ＋V P ­ABC ＝V A ­BCD ， ∴pa ha ＋pb hb ＋pc hc ＋pd hd＝VP-BCD ＋VP-ACD ＋VP-ABD ＋VP-ABCVA-BCD＝1.1.一般地，平面图形与空间图形类比如下：2.(1)找出两类事物之间的类似性或一致性；(2)用一类事物的性质推测另一类事物的性质，得出一个明确的结论.[再练一题]2.在上例中，若△ABC 的边长分别为a ，b ，c ，其对角分别为A ，B ，C ，那么由a ＝b ·cos C ＋c ·cos B 可类比四面体的什么性质？【解】 在如图所示的四面体中，S 1，S 2，S 3，S 分别表示△P AB ，△PBC ，△PCA ，△ABC 的面积，α，β，γ依次表示平面P AB ，平面PBC ，平面PCA 与底面ABC 所成二面角的大小. 猜想S ＝S 1·cos α＋S 2·cos β＋S 3·cos γ.[探究共研型]探究1 ”能“锯”开木材，它们在功能上是类似的.因此，它们在形状上也应该类似，“锯子”应该是齿形的.你认为该过程为归纳推理还是类比推理？【提示】 类比推理. 探究2在等差数列{a n }中，若a 10＝0，则有等式a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 19－n (n <19，n∈N ＋)成立.类比上述性质，相应地，在等比数列{b n }中，若b 9＝1，则成立的等式是什么？【提示】 在等差数列{a n }中，由a 10＝0，得a 1＋a 19＝a 2＋a 18＝…＝a n ＋a 20－n ＝a n ＋1＋a 19－n ＝2a 10＝0，∴a 1＋a 2＋…＋a n ＋…＋a 19＝0，即a 1＋a 2＋…＋a n ＝－a 19－a 18－…－a n ＋1， 又∵a 1＝－a 19，a 2＝－a 18，…，a 19－n ＝－a n ＋1，∴a 1＋a 2＋…＋a n ＝－a 19－a 18－…－a n ＋1＝a 1＋a 2＋…＋a 19－n (n <19，n ∈N ＋). 若a 9＝0，同理可得a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 17－n (n <17，n ∈N ＋). 相应地，在等比数列{b n }中有： b 1b 2…b n ＝b 1b 2…b 17－n (n <17，n ∈N ＋).已知椭圆具有性质：若M ，N 是椭圆C 上关于原点对称的两个点，点P 是椭圆上任意一点，当直线PM ，PN 的斜率k PM ，k PN 都存在时，那么k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值，试写出双曲线x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)具有类似特征的性质，并加以证明.【精彩点拨】 双曲线与椭圆类比→椭圆中的结论→双曲线中的相应结论→理论证明【自主解答】 类似性质：若M ，N 为双曲线x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)上关于原点对称的两个点，点P 是双曲线上任意一点，当直线PM ，PN 的斜率k PM ，k PN 都存在时，那么k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值.证明如下：设点M ，P 的坐标分别为(m ，n )，(x ，y )，则 N (－m ，－n ).因为点M (m ，n )是双曲线上的点， 所以n 2＝b2a2m 2－b 2.同理y 2＝b2a2x 2－b 2.则k PM ·k PN ＝y －n x －m ·y ＋n x ＋m ＝y2－n2x2－m2＝b2a2·x2－m2x2－m2＝b2a2(定值).1.两类事物能进行类比推理的关键是两类对象在某些方面具备相似特征.2.进行类比推理时，首先，找出两类对象之间可以确切表达的相似特征；然后，用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得到一个猜想.[再练一题]3.在公比为4的等比数列{b n }中，若T n 是数列{b n }的前n 项积，则有T20T10，T30T20，T40T30也成等比数列，且公比为4100；类比上述结论，相应地，在公差为3的等差数列{a n }中，若S n 是{a n }的前n 项和.可类比得到的结论是________.【导学号：37820009】【解析】 因为等差数列{a n }的公差d ＝3， 所以(S 30－S 20)－(S 20－S 10)＝(a 21＋a 22＋…＋a 30)－(a 11＋a 12＋…＋a 20) ＝10d ＋10d ＋…＋10d 10个＝100d ＝300，同理可得：(S 40－S 30)－(S 30－S 20)＝300，所以数列S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30是等差数列，且公差为300.即结论为：数列S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30也是等差数列，且公差为300. 【答案】 数列S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30也是等差数列，且公差为300[构建·体系]1.我们把1，4，9，16，25，…这些数称做正方形数，这是因为个数等于这些数目的点可以分别排成一个正方形(如图2-1-5).图2-1-5则第n 个正方形数是( ) A.n (n －1) B.n (n ＋1) C.n 2D.(n ＋1)2【解析】 观察前5个正方形数，恰好是序号的平方，所以第n 个正方形数应为n 2. 【答案】 C2.如图2-1-6所示，着色的三角形的个数依次构成数列{a n }的前4项，则这个数列的一个通项公式为( )【导学号：37820010】图2-1-6A.a n ＝3n －1B.a n ＝3nC.a n ＝3n －2nD.a n ＝3n －1＋2n －3【解析】 ∵a 1＝1，a 2＝3，a 3＝9，a 4＝27，猜想a n ＝3n －1. 【答案】 A3.已知扇形的弧长为l ，半径为r ，类比三角形的面积公式S ＝底×高2，可知扇形面积公式为()A.r22B.l22C.lr 2D.无法确定【解析】 扇形的弧长对应三角形的底，扇形的半径对应三角形的高，因此可得扇形面积公式S ＝lr2.【答案】 C4.在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________.【解析】 由平面和空间的知识，可知面积之比与边长之比成平方关系，在空间中体积之比与棱长之比成立方关系，故若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积之比为1∶8.【答案】 1∶85.已知在数列{a n }中，a 1＝12，a n ＋1＝3anan ＋3. (1)求a 2，a 3，a 4，a 5的值；(2)猜想a n.【解】(1)a2＝3a1a1＋3＝3×1212＋3＝37，同理a3＝3a2a2＋3＝38，a4＝39，a5＝310.(2)由a2＝32＋5，a3＝33＋5，a4＝34＋5，a5＝35＋5，可猜想a n＝3n＋5.我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)。

2.1.1 合情推理学习目标 1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理.2.了解合情推理在数学发现中的作用．知识点一 推理 1．推理的概念与分类(1)根据一个或几个已知事实(或假设)得出一个判断，这种思维方式就是推理． (2)推理一般由两部分组成，一部分是已知的事实(或假设)，叫做前提；一部分是由已知推出的判断，叫做结论．(3)推理一般分为合情推理与演绎推理． 2．合情推理前提为真时，结论可能为真的推理，叫做合情推理．常用的合情推理有归纳推理和类比推理．知识点二 归纳推理思考 (1)铜、铁、铝、金、银等金属都能导电，猜想：一切金属都能导电． (2)统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体． 以上属于什么推理？答案 属于归纳推理．符合归纳推理的定义特征． 梳理 归纳推理(1)定义：根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理，叫做归纳推理(简称归纳)，归纳是从特殊到一般的过程． (2)归纳推理的一般步骤①通过观察个别情况发现某些相同性质．②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想)． 知识点三 类比推理思考 由三角形的性质：①三角形的两边之和大于第三边，②三角形面积等于高与底乘积的12.可推测出四面体具有如下性质：(1)四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面积， (2)四面体的体积等于底面积与高乘积的13.该推理属于什么推理？ 答案 类比推理． 梳理 类比推理(1)定义：根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性，推测其中一类事物具有与另一类事物类似(或相同)的性质的推理，叫做类比推理(简称类比)． (2)类比推理的一般步骤①找出两类事物之间的相似性或一致性．②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)．1．类比推理得到的结论可作为定理应用．( × ) 2．由个别到一般的推理为归纳推理．( √ )3．在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．( × )类型一 归纳推理命题角度1 数、式中的归纳推理 例1 (1)观察下列等式： 1－12＝12， 1－12＋13－14＝13＋14， 1－12＋13－14＋15－16＝14＋15＋16， …，据此规律，第n (n ∈N ＋)个等式可为_____________________________________________． (2)已知f (x )＝x 1－x ，设f 1(x )＝f (x )，f n (x )＝f n －1(f n －1(x ))(n >1，且n ∈N ＋)，则f 3(x )的表达式为________，猜想f n (x )(n ∈N ＋)的表达式为________．答案 (1)1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n(2)f 3(x )＝x 1－4x f n (x )＝x 1－2n －1x解析 (1)等式左边的特征：第1个有2项，第2个有4项，第3个有6项，且正负交错，故第n (n ∈N ＋)个等式左边有2n 项且正负交错，应为1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ；等式右边的特征：第1个有1项，第2个有2项，第3个有3项，故第n (n ∈N ＋)个等式右边有n 项，且由前几个等式的规律不难发现，第n (n ∈N ＋)个等式右边应为1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n. (2)∵f (x )＝x 1－x ，∴f 1(x )＝x1－x .又∵f n (x )＝f n －1(f n －1(x ))，∴f 2(x )＝f 1(f 1(x ))＝x1－x 1－x 1－x ＝x1－2x ，f 3(x )＝f 2(f 2(x ))＝x 1－2x 1－2×x 1－2x ＝x1－4x，f 4(x )＝f 3(f 3(x ))＝x 1－4x 1－4×x 1－4x ＝x1－8x，f 5(x )＝f 4(f 4(x ))＝x 1－8x 1－8×x 1－8x ＝x1－16x，∴根据前几项可以猜想f n (x )＝x1－2n －1x (n ∈N ＋)．引申探究在本例(2)中，若把“f n (x )＝f n －1(f n －1(x ))”改为“f n (x )＝f (f n －1(x ))”，其他条件不变，试猜想f n (x ) (n ∈N ＋)的表达式．解 ∵f (x )＝x 1－x ，∴f 1(x )＝x1－x .又∵f n (x )＝f (f n －1(x ))，∴f 2(x )＝f (f 1(x ))＝x1－x 1－x 1－x ＝x1－2x ，f 3(x )＝f (f 2(x ))＝x 1－2x 1－x 1－2x ＝x1－3x ，f 4(x )＝f (f 3(x ))＝x 1－3x 1－x 1－3x ＝x1－4x .因此，可以猜想f n (x )＝x1－nx(n ∈N ＋)．反思与感悟 (1)已知等式或不等式进行归纳推理的方法①要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律；②要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形成的特征；③提炼出等式(或不等式)的综合特点；④运用归纳推理得出一般结论．(2)数列中的归纳推理：在数列问题中，常常用到归纳推理猜测数列的通项公式或前n 项和．①通过已知条件求出数列的前几项或前n 项和；②根据数列中的前几项或前n 项和与对应序号之间的关系求解；③运用归纳推理写出数列的通项公式或前n 项和公式． 跟踪训练1 (1)已知x >1，由不等式x ＋1x >2；x 2＋2x >3；x 3＋3x >4；…，可以推广为( )A ．x n＋n x >nB ．x n＋n x >n ＋1C ．x n＋n ＋1x >n ＋1D ．x n＋n ＋1x>n(2)观察下列等式：⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3－2＝43×1×2； ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π5－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π5－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π5－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 4π5－2＝43×2×3；⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π7－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π7－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π7－2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 6π7－2＝43×3×4； ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π9－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π9－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π9－2＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫sin 8π9－2＝43×4×5； …，照此规律，⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π2n ＋1－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π2n ＋1－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π2n ＋1－2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2n π2n ＋1－2＝__________.答案 (1)B (2)43×n ×(n ＋1)解析 (1)不等式左边是两项的和，第一项是x ，x 2，x 3，…，右边的数是2,3,4，…，利用此规律观察所给不等式，都是写成x n＋n x >n ＋1的形式，从而归纳出一般性结论：x n ＋n x >n＋1，故选B.(2)观察等式右边的规律：第1个数都是43，第2个数对应行数n ，第3个数为n ＋1.命题角度2 几何中的归纳推理例2 如图，第n 个图形是由正n ＋2边形“扩展”而来(n ＝1,2,3，…)，则第n 个图形中顶点的个数为( )A ．(n ＋1)(n ＋2)B ．(n ＋2)(n ＋3)C ．n 2D ．n答案 B解析 由已知图形我们可以得到： 当n ＝1时，顶点共有12＝3×4(个)， 当n ＝2时，顶点共有20＝4×5(个)， 当n ＝3时，顶点共有30＝5×6(个)， 当n ＝4时，顶点共有42＝6×7(个)， …，则第n 个图形共有顶点(n ＋2)(n ＋3)个， 故选B.反思与感悟 图形中归纳推理的特点及思路(1)从图形的数量规律入手，找到数值变化与数量的关系．(2)从图形结构变化规律入手，找到图形的结构每发生一次变化后，与上一次比较，数值发生了怎样的变化．跟踪训练2 黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案，则第n 个图案中有黑色地面砖的块数是________．答案 5n ＋1解析 观察图案知，从第一个图案起，每个图案中黑色地面砖的个数组成首项为6，公差为5的等差数列，从而第n 个图案中黑色地面砖的块数为6＋(n －1)×5＝5n ＋1.类型二 类比推理例3 如图所示，面积为S 的平面凸四边形的第i 条边的边长记为a i (i ＝1,2,3,4)，此四边形内任一点P 到第i 条边的距离记为h i (i ＝1,2,3,4)，若a11＝a22＝a33＝a44＝k ，则h 1＋2h 2＋3h 3＋4h 4＝2Sk，类比以上性质，体积为V 的三棱锥的第i 个面的面积记为S i (i ＝1,2,3,4)，此三棱锥内任一点Q 到第i 个面的距离记为H i (i ＝1,2,3,4)，若S11＝S22＝S33＝S44＝K ，则H 1＋2H 2＋3H 3＋4H 4等于多少？解 对平面凸四边形：S ＝12a 1h 1＋12a 2h 2＋12a 3h 3＋12a 4h 4＝12(kh 1＋2kh 2＋3kh 3＋4kh 4)＝k2(h 1＋2h 2＋3h 3＋4h 4)， 所以h 1＋2h 2＋3h 3＋4h 4＝2Sk ；类比在三棱锥中，V ＝13S 1H 1＋13S 2H 2＋13S 3H 3＋13S 4H 4＝13(KH 1＋2KH 2＋3KH 3＋4KH 4) ＝K3(H 1＋2H 2＋3H 3＋4H 4)． 故H 1＋2H 2＋3H 3＋4H 4＝3VK.反思与感悟 (1)类比推理的基本原则是根据当前问题的需要，选择适当的类比对象，可以从几何元素的数目、位置关系、度量等方面入手．由平面中相关结论可以类比得到空间中的相关结论．(2)平面图形与空间图形的类比如下：跟踪训练3 (1)若数列{a n }(n ∈N ＋)是等差数列，则有数列b n ＝n (n ∈N ＋)也是等差数列；类比上述性质，相应地：若数列{c n }是等比数列，且c n >0，则有数列d n ＝___(n ∈N ＋)也是等比数列． 答案nc1c2c3…cn解析 数列{a n }(n ∈N ＋)是等差数列，则有数列b n ＝a1＋a2＋…＋ann (n ∈N ＋)也是等差数列．类比猜想：若数列{c n }是各项均为正数的等比数列，则当d n ＝nc1c2c3…cn时，数列{d n }也是等比数列．(2)如图所示，在△ABC 中，射影定理可表示为a ＝b ·cos C ＋c ·cos B ，其中a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边．类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想．解如图所示，在四面体P－ABC中，设S1，S2，S3，S分别表示△PAB，△PBC，△PCA，△ABC的面积，α，β，γ依次表示面PAB，面PBC，面PCA与底面ABC所成二面角的大小．我们猜想射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为S＝S1·cos α＋S2·cos β＋S3·cos γ.1．有一串彩旗，代表蓝色，代表黄色．两种彩旗排成一行：…，那么在前200个彩旗中黄旗的个数为( )A．111 B．89 C．133 D．67答案 D解析观察彩旗排列规律可知，颜色的交替成周期性变化，周期为9，每9个旗子中有3个黄旗．则200÷9＝22余2，则200个旗子中黄旗的个数为22×3＋1＝67.故选D. 2．下列平面图形中，与空间的平行六面体作为类比对象较合适的是( )A．三角形B．梯形C．平行四边形D．矩形答案 C解析因为平行六面体相对的两个面互相平行，类比平面图形，则相对的两条边互相平行，故选C.3．观察下列各式：1＝12,2＋3＋4＝32,3＋4＋5＋6＋7＝52,4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，…，可以得到的一般结论是( )A．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝n2B．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2C．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－1)＝n2D．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－1)＝(2n－1)2答案 B4．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间上，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________． 答案 1∶8解析 设两个正四面体的体积分别为V 1，V 2， 则V 1∶V 2＝13S 1h 1∶13S 2h 2＝S 1h 1∶S 2h 2＝1∶8.5.在长方形ABCD 中，对角线AC 与两邻边所成的角分别为α，β，cos 2α＋cos 2β＝1，则在立体几何中，给出类比猜想并证明．解 在长方形ABCD 中，cos 2α＋cos 2β＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2＝a2＋b2c2＝c2c2＝1. 于是类比到长方体中，猜想其体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别为α，β，γ，则cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1.证明如下：cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m l 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n l 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫g l 2＝m2＋n2＋g2l2＝l2l2＝1.1．用归纳推理可从具体事例中发现一般规律，但应注意，仅根据一系列有限的特殊事例，所得出的一般结论不一定可靠，其结论的正确与否，还要经过严格的理论证明． 2．进行类比推理时，要尽量从本质上思考，不要被表面现象所迷惑，否则，只抓住一点表面的相似甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误． 3．多用下列技巧会提高所得结论的准确性 (1)类比对象的共同属性或相似属性尽可能的多些． (2)这些共同属性或相似属性应是类比对象的主要属性．(3)这些共同(相似)属性应包括类比对象的各个方面，并尽可能是多方面．一、选择题1．下面使用类比推理，得出的结论正确的是( )A ．若“a ·3＝b ·3，则a ＝b ”类比出“若a ·0＝b ·0，则a ＝b ”B ．“若(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类比出“(a ·b )c ＝ac ·bc ”C ．“若(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类比出“a ＋b c ＝a c ＋bc (c ≠0)”D ．“(ab )n＝a n b n”类比出“(a ＋b )n＝a n＋b n” 答案 C解析 显然A ，B ，D 不正确，只有C 正确．2.观察图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为( )A. B. C.D.考点 归纳推理的应用 题点 归纳推理在图形中的应用 答案 A解析 观察可发现规律：①每行、每列中，方、圆、三角三种形状均各出现一次，②每行、每列有两阴影一空白，即得结果．3．平面内平行于同一直线的两直线平行，由此类比可以得到( ) A ．空间中平行于同一直线的两直线平行 B ．空间中平行于同一平面的两直线平行 C ．空间中平行于同一直线的两平面平行 D ．空间中平行于同一平面的两平面平行 答案 D解析 利用类比推理，平面中的直线和空间中的平面类比． 4．根据给出的数塔猜测123 456×9＋7等于( )1×9＋2＝1112×9＋3＝111123×9＋4＝1 1111 234×9＋5＝11 11112 345×9＋6＝111 111…A．1 111 110 B．1 111 111C．1 111 112 D．1 111 113答案 B解析由数塔猜测应是各位都是1的七位数，即1 111 111.5．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示．按照图中所示的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为( )A．6n－2 B．8n－2C．6n＋2 D．8n＋2答案 C解析从①②③可以看出，从图②开始每个图中的火柴棒都比前一个图中的火柴棒多6根，故火柴棒数成等差数列，第一个图中火柴棒为8根，故可归纳出第n个“金鱼”图需火柴棒的根数为6n＋2.6．已知{b n}为等比数列，b5＝2，则b1·b2·b3·b4·b5·b6·b7·b8·b9＝29.若{a n}为等差数列，a5＝2，则{a n}的类似结论为( )A．a1a2a3…a9＝29B．a1＋a2＋a3＋…＋a9＝29C．a1a2a3…a9＝2×9D．a1＋a2＋a3＋…＋a9＝2×9答案 D7．设△ABC的三边长分别为a，b，c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r＝2Sa＋b＋c，类比这个结论可知：四面体A－BCD的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，内切球半径为R，四面体A－BCD的体积为V，则R等于( )A.V S1＋S2＋S3＋S4 B.2V S1＋S2＋S3＋S4 C.3V S1＋S2＋S3＋S4 D.4V S1＋S2＋S3＋S4答案 C解析 设四面体的内切球的球心为O ，则球心O 到四个面的距离都是R ，所以四面体的体积等于以O 为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．则四面体的体积为V ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)R ， ∴R ＝3V S1＋S2＋S3＋S4. 8．已知f (1)＝1，f (2)＝3，f (3)＝4，f (4)＝7，f (5)＝11，…，则f (10)等于( )A ．28B ．76C ．123D ．199答案 C解析 由题意可得f (3)＝f (1)＋f (2)，f (4)＝f (2)＋f (3)，f (5)＝f (3)＋f (4)，则f (6)＝f (4)＋f (5)＝18，f (7)＝f (5)＋f (6)＝29，f (8)＝f (6)＋f (7)＝47，f (9)＝f (7)＋f (8)＝76，f (10)＝f (8)＋f (9)＝123.二、填空题9．正整数按下表的规律排列，则上起第 2 017行，左起第 2 018列的数应为________________．考点 归纳推理的应用题点 归纳推理在数阵(表)中的应用答案 2 017×2 018解析 由给出的排列规律可知，第一列的每个数为所在行数的平方，而第一行的数则满足列数减1的平方再加1，根据题意，左起第2 018列的第一个数为2 0172＋1，由连线规律可知，上起第2 017行，左起第2 018列的数应为2 0172＋2 017＝2 017×2 018.10．经计算发现下列不等式：2＋18<210，4.5＋15.5<210，3＋2＋17－2 <210，…，根据以上不等式的规律，试写出一个对正实数a，b都成立的条件不等式：________________________________.答案若a＋b＝20(a≠b)，则a＋b<210，a，b为正实数11．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝________.考点归纳推理题点归纳推理在数对(组)中的应用答案－g(x)解析由所给函数及其导数知，偶函数的导函数为奇函数．因此当f(x)是偶函数时，其导函数应为奇函数，故g(－x)＝－g(x)．12．如图(甲)是第七届国际数学教育大会(简称ICME－7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图(乙)的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，如果把图(乙)中的直角三角形依此规律继续作下去，记OA1，OA2，…，OA n，…的长度构成数列{a n}，则此数列{a n}的通项公式为a n＝________.考点归纳推理的应用题点归纳推理在数对(组)中的应用答案n解析根据OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1和图(乙)中的各直角三角形，由勾股定理，可得a1＝OA1＝1，a2＝OA2＝OA21＋A1A22＝12＋12＝2，a3＝OA3＝OA22＋A2A23＝错误!＝3，…，故可归纳推测出a n＝n.三、解答题13．设a>0，且a≠1，f(x)＝1ax＋a.(1)求值：f(0)＋f(1)，f(－1)＋f(2)；(2)由(1)的结果归纳概括对所有实数x都成立的一个等式，并加以证明．解 (1)f (0)＋f (1)＝11＋a ＋1a ＋a ＝1a ＝a a， f (－1)＋f (2)＝1a －1＋a ＋1a2＋a ＝1a ＝a a . (2)由(1)归纳得对一切实数x ，有f (x )＋f (1－x )＝a a. 证明：f (x )＋f (1－x )＝1ax ＋a ＋1a1－x ＋a＝1ax ＋a ＋错误!＝错误!＝错误!＝错误!. 四、探究与拓展14．对于大于1的自然数m 的n 次幂可用奇数进行如图所示的“分裂”，仿此，记53的“分裂”中的最小数为a,52的“分裂”中的最大数是b ，则a ＋b ＝________.考点 归纳推理的应用题点 归纳推理在数对(组)中的应用答案 30解析 观察题图易得∴a ＝21，b ＝9，∴a ＋b ＝30.15．如图(1)，在平面内有面积关系S△PA′B′S△PAB ＝PA′PA ·PB′PB，写出图(2)中类似的体积关系，并证明你的结论．解 类比S△PA′B′S△PAB ＝PA′PA ·PB′PB， 有VP —A′B′C′VP —ABC ＝PA′PA ·PB′PB ·PC′PC证明如下：如图(2)，设C ′，C 到平面PAB 的距离分别为h ′，h . 则h′h ＝PC′PC， 故VP —A′B′C′VP —ABC ＝13·S△PA′B′·h′13S△PAB·h ＝PA′·PB′·h′PA·PB·h ＝PA′·PB′·PC′PA·PB·PC .。