九年级数学 相似三角形应用举例(教案、导学案)

27.2相似三角形27.2.3 相似三角形应用举例【知识与技能】进一步巩固相似三角形的知识，学会用相似三角形解决不能直接测量的物体的长度和高度等一些实际问题.【过程与方法】通过把实际问题转化为有关相似三角形的模型，进一步体会数学建模的思想方法.【情感态度】培养学生分析问题、解决问题能力，增强观察、归纳、建模、应用能力，在活动中也培养学生良好的情感态度，主动参与、合作交流意识.【教学重点】运用相似三角形的知识求不能直接测量的物体的长度和高度.【教学难点】在实际问题中建立数学模型，灵活运用三角形相似的知识解决实际问题.一、情境导入，初步认知问题一天上午10:00时，九年级的小明带着弟弟在操场上玩，弟弟看见高高的旗杆，好奇地问：哥哥，这旗杆好高啊，你知道它有多高吗？”望着高高的旗杆，小明一下子愣住了.但小明是个要强的孩子，他不愿意失去弟弟心目中“大英雄”的地位，绕着旗杆转了几圈，抬头望望，低头看看，这时他的目光停留在自己的影子和电线杆的影子上，他记得自己身高为1.60 米，联想到了刚刚学过相似三角形的知识，终于想到求出旗杆高度的方法了，并给弟弟一个满意的答案.同学们，如果是你，你有办法求出旗杆的高度吗？与同伴交流你的想法.【教学说明】通过学生能感受到的问题情境，提出问题，可激发学生的求知欲望，增强学习兴趣.在学生的相互交流过程中，慢慢感受到用相似三角形知识可以测量出不能直接测量的物体的高度的思路方法，引入新课.二、典例精析，掌握新知例1据史料记载，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度.如图，如果木杆EF长为2m，它的影长FD为3m.测得0A = 201m，求金字塔高度BO.【教学说明】利用学生刚刚获得的体验来解决金字塔的高度问题水到渠成，教学过程中教师应关注学生的说理过程，锻炼学生分析问题，解决问题及推理能力.例2 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标P，在近岸取点Q和点S，使P、Q、S共线且直线PS与河岸垂直，接着在过点S且与PS垂直的直线b上选取适当的点T，确定PT与过点Q且垂直PS的直线a的交点 R.如果测得 QS=45m，ST=90m，QR =60m，求河的宽度PQ.【教学说明】本题可让学生独立完成，选一名同学在黑板上写出解答过程，然后师生共同评析.然后教师可设置以下几个问题让学生思考：(1)PS与河垂直是必须的吗？如果不是，请用类似的方法再设计一种估算河岸的方法，试试看；(2)如果保持犘犙与河垂直，删去直线b，在PR延长线上去一点T，过T作TS⊥a，垂足为S，是否也能求出河的宽度PQ?如果可以，需测量出哪些线段长？通过学生对上述问题的思考，可增强学生的数学建模能力，锻炼一题多解的解题习惯，进一步领会用相似三角形知识可求出不能直接测量的物体的高度（或长度），达到融会贯通的目的.例3如图，左、右并排的两棵大树的高 AB=8m，CD=12m，两树根部的距离BD=5m. 一个身高1.6m的人沿着正对这两棵树的一条水平直路L从左向右前进，当他与左边较低的树的距离小于多少时，就不能看到右边较高的树的顶端点C？【教学说明】教师首先应引导学生弄清题意，即当观察者行至图（2)位置时，恰好看到较高树的顶端点C，再往右行，由于树的遮挡，就不能看到点C了，因而问题的关键转化为求图(2)中观察者所处位置M与B之间的距离.这时可设观察者的水平视线与AB、CD分别交于 P、Q，利用树的平行关系，可找出图中相似三角形进而可求线段BM的长.三、运用新知，深化理解1.在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m，同时测得一栋高楼的影长为90m，这栋高楼的高度是多少？2.如图，身高1.5m的人站在离河边3m处时，恰好能看到对岸边电线杆的全部倒影，若河岸高出水面高度ED为0.75m，电线杆高MG为4.5m，求河宽.【教学说明】对于第2题，教师可提高向学生提示应通过证△DEF∽△KMF来解题.接着让学生自主完成，教师巡视，及时指导.在完成上述题目后，教师引导学生完成创优作业中本课时的“名师导学”部分.【答案】1.解:设这栋高楼的高度是x米.由题意得：1.8390x.解得:x=54.即这栋高楼的高度为54米.四、师生互动，课堂小结用相似三角形的知识测量不能直接测量的物体的高度时，有哪几种构建三角形相似的方法，试举例说明.【教学说明】同学们相互交流后，师生共同回顾，积累构建相似三角形的经验.1.布置作业：从教材P42〜44习题27. 2中选取.2.完成创优作业中本课时的“课时作业”部分.前面的课时中探讨了如何判定两个三角形相似，本课时将实际问题转化为两个三角形相似的数学模型.在教学时教师应重点强调这个转化过程是如何实现的.总体来看，本课时首先呈现生活中常见问题，以便让学生体会其必要性，接着通过三个例题让学生掌握运用相关知识解应用题的思路.整个教学过程中都渗透了转化思想，教师应注意让学生把握这一点.27.2.3 相似三角形应用举例第1课时相似三角形应用举例（1）——测量塔高与测量河宽一、新课导入1.课题导入情景一：胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔，被喻为“世界古代七大奇观之一”.塔的４个斜面正对东南西北四个方向，塔基呈正方形，每边长约230多米.据考证，为建成大金字塔，共动用了10万多人花了20年时间.原高146.59米，但由于经过几千年的风吹雨打,顶端被风化吹蚀,所以高度有所降低.据史料记载，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度.情景二：在无法过河的条件下，怎样估算河的宽度？那么，具体是怎样操作的呢？这节课我们一起来探讨这两个问题（板书课题）.2.学习目标(1)利用相似三角形的知识，解决求实际问题中不能直接测量的物体高度或长度的问题.(2)体会数学转化的思想，建模的思想.3.学习重、难点重点：利用相似三角形的知识，解决求实际问题中不能直接测量的物体高度或长度的问题.难点：数学建模.二、分层学习1.自学指导（1）自学内容：教材P39例4.（2）自学时间：10分钟.（3）自学方法：完成自学参考提纲.（4）自学参考提纲：①怎样判定两个直角三角形相似？②你知道哪些利用相似三角形测物体高度的方法？③如图，如果木杆EF长2 m，它的影长FD为3 m，测得OA为201 m，求金字塔的高度BO.∵BA ∥DE,∴∠BAO= ∠EDF ,又∵∠BOA=∠EFD= 90° ,∴△BOA ∽△EFD .∴BO OA EF FD.∵EF=2 m，FD=3 m，OA=201 m，∴BO= 134 m .④总结本题的解题思路.⑤在某一时刻，测得一根长为1.8 m的竹竿的影长为3 m，同时测得一栋高楼的影长为90 m，这栋高楼的高度为多少？(54 m)2.自学：学生参照自学指导进行自学.3.助学（1）师助生：①明了学情：明了学生是否理解这种测量方法的原理.②差异指导：根据学情进行指导.（2）生助生：生生互动交流、研讨.4.强化（1）以师生对话的形式推进课堂交流活动.（2）点一名学生板演自学参考提纲第⑤题.1.自学指导（1）自学内容：教材P40例5.（2）自学时间：10分钟.（3）自学方法：完成自学参考提纲.（4）自学参考提纲：①你有哪些利用全等三角形的知识测量河宽的方法？②用相似三角形的知识估算河的宽度：如图,由QS=45 m,ST=90 m,QR=60 m, 求河宽PQ，需证哪两个三角形相似？∵∠PQR=∠PST=90°，∠P=∠P ，∴△PQR ∽△PST ，∴PQ QR PS ST=，设PQ=x,可列方程604590xx=+，解得x= 90 .因此河宽约为90 m.③如图，测得BD=120 m,DC=60 m,EC=50 m,求河宽AB. ∵∠ABD=∠ECD=90°,∠ADB=∠EDC,∴△ABD∽△ECD.∴CE CD BA BD=.即5060120BA=.解得AB=100(m).④为了测量被池塘隔开的A，B两点之间的距离，根据实际情况，作出如右图形，其中AB⊥BE，EF⊥BE，AF交BE于D，C在BD上.有四位同学分别测量出以下四组数据：①BC，AC；②EF，DE，BD；③DE，DC，BC；④DC，DB，AC．能根据所测数据求出A，B间距离的有（B）A.1组B.2组C.3组D.0组2.自学：学生参照自学提纲进行自学.3.助学（1）师助生：①明了学情：明了学生能否通过阅读例题的解题过程弄清实际问题是怎样转化为数学问题的.②差异指导：根据学情指导学生画图，把实际问题抽象成数学问题.（2）生助生：小组交流、研讨.4.强化（1）运用相似三角形解决实际问题的基本思路是：根据题目所给的条件和所求问题建立相似三角形模型.解题步骤为：先证三角形相似，再运用相似三角形性质得比例线段，然后列方程或直接计算求值.（2）点一名学生板演自学参考提纲第③题，点一名学生口答自学参考提纲第④题，并点评.三、评价1.学生自主学习的自我评价：这节课你学到了些什么？还有哪些疑惑？2.教师对学生的评价：（1）表现性评价：从学生对学习的专注程度，小组协作状态等方面进行评价.（2）纸笔评价（课堂检测题）.3.教师的自我评价（教学反思）.本课时主要是让学生经历了运用两个三角形相似解决实际问题中的测量问题的过程，体验从实际问题到建立数学模型的过程，发展学生的抽象概括能力和数学应用能力.因此，为了增强数学的趣味性，在教学设计中选择有趣的实际问题，让学生在富有故事性或现实性的数学情境问题中，谈及解决问题的方法，激发学生的学习兴趣.一、基础巩固（70分）1.(10分)如图，利用标杆BE测量建筑物的高度.如果标杆BE高1.2 m，测得AB=1.6 m，BC=8.4 m，则楼高CD是多少？解：∵EB∥DC,∴△AEB∽△ADC.∴EB AB DC AC=,即12161684....DC=+,求得DC=7.5（m）.2.(10分)为了测量一池塘的宽AB,在岸边找到了一点C,使AC⊥AB，在AC上找到一点D，在BC上找到一点E,使DE ⊥AC，测出AD=35 m，DC=35 m，DE=30 m,求池塘的宽AB.解：∵AC⊥AB,DE⊥AC，∴AB∥DE,∴△CDE∽△CAB,∴DE CD AB CA=,即30353535AB=+,求得AB=60(m).3.(10分)如图是一个照相机成像的示意图，MN∥AB.（1）如果像高MN是35 mm，焦距DL是50 mm，拍摄的景物高度AB是4.9 m，拍摄点离景物有多远(即LC的长度)？（2）如果要完整的拍摄高度是2 m的景物，拍摄点离景物有4 m，像高不变，则相机的焦距应调整为多少？解：（1）设拍摄点离景物的距离为x mm.∵MN∥AB,∴△MNL∽△BAL,∴MN DL BA CL=,即35504900x=,解得x=7000.7000 mm=7 m.∴拍摄点离景物距离为7 m. （2）设相机的焦距为y mm.由相似三角形的性质可得：3520004000y=,解得y=70.∴相机的焦距应调整为70 mm.4.(40分)某班同学进行课外活动，为测量一池塘两端A、B的距离，设计了几种方案，下面介绍两种：（Ⅰ）如图1，先在平地取一个可以直接到达A、B的点C，并分别延长AC 到D，BC到E，使DC=AC，EC=BC，最后测出DE的长即为AB的距离；（Ⅱ）如图2，先过B点作AB的垂线BF，再在BF上取C、D两点，使BC=CD，接着过点D作BD的垂线DE，交AC的延长线于E，最后测出DE的长即为AB的距离.阅读后回答下列问题：（1）方案（Ⅰ）是否可行？可行，理由是∵DC=AC,∠ACB=∠DCE,BC=EC,∴△ACB≌△DCE(SAS).∴AB=DE ；（2）方案（Ⅱ）是否可行？可行，理由是∵BF⊥DE,BF⊥AB,∴∠ABC=∠EDC=90°,BC=DC,∠ACB=∠ECD,∴△ABC≌△EDC(ASA).∴AB=ED .（3）方案（Ⅱ）中作BF⊥AB，ED⊥BF的目的是使△ABC≌△EDC ；若仅满足∠ABD=∠BDE≠90°，方案（Ⅱ）是否可行？(可行.因为△ABC依然全等于△EDC.)（4）方案（Ⅱ）中，若使BC=n·CD，能否测得（或求出）AB的长？能.理由是依题意，∠ABC=∠EDC,∠ACB=∠ECD,∴△ABC∽△EDC,∴BC AB==，若ED=m，则AB= mn .nDC ED二、综合应用（20分）5.(20分)如图，为了测量一栋大楼的高度，王青同学在她脚下放了一面镜子，然后向后退，直至她刚好在镜子中看到大楼顶部，这时∠LMK等于∠SMT吗？如果王青身高1.55 m，她估计自己的眼睛离地面1.50 m，同时量得LM＝30 cm，MS＝2 m，这栋大楼有多高？解：∠LMK=∠SMT.又∵∠KLM=∠TSM=90°, ∴△KLM∽△TSM,∴KL LM TS SM=,即15032..TS=,解得TS=10(m).∴这栋大楼有10 m高.三、拓展延伸（10分）6.（10分）如图，点D、E分别在AC、BC上，如果测得CD=20 m，CE=40 m，AD=100 m，BE=20 m，DE=45 m，求A、B两地间的距离.解：由题意可知，CD=20 m,CE=40 m,AD=100 m，BE=20 m，DE=45 m.∴AC=AD+DC=120 m,BC=BE+CE=60 m.∴13CD CECB CA==,而∠C=∠C,∴△CDE∽△CBA.∴13DEBA=,∴AB=135(m).∴A、B两地间的距离为135 m.。