以邻接矩阵存储的图类型构造n个城市连接的最小生成树

最小生成树的算法王洁引言：求连通图的最小生成树是数据结构中讨论的一个重要问题．在现实生活中，经常遇到如何得到连通图的最小生成树，求最小生成树不仅是图论的基本问题之一 ,在实际工作中也有很重要的意义，,人们总想寻找最经济的方法将一个终端集合通过某种方式将其连接起来 ,比如将多个城市连为公路网络 ,要设计最短的公路路线;为了解决若干居民点供水问题 ,要设计最短的自来水管路线等.而避开这些问题的实际意义 ,抓住它们的数学本质 ,就表现为最小生成树的构造。

下面将介绍几种最小生成树的算法。

一，用“破圈法”求全部最小生成树的算法1 理论根据1.1 约化原则给定一无向连通图 G =（V ,E ）（ V 表示顶点，E 表示边），其中 V={ 1v , 2v ,3v …… n v },E= { 1e , 2e , 3e …… n e }对于 G 中的每条边 e ∈ E 都赋予权ω（i e ）>0，求生成树 T = （V ,H ），H ⊆ E ，使生成树所有边权最小，此生成树称为最小生成树．（1） 基本回路将属于生成树 T 中的边称为树枝，树枝数为n -1，不属于生成树的边称为连枝．将任一连枝加到生成树上后都会形成一条回路．把这种回路称为基本回路，记为()cf e 。

基本回路是由 T 中的树枝和一条连枝构成的回路．（2） 基本割集设无向图 G 的割集 S （割集是把连通图分成两个分离部分的最少支路集合） ，若 S 中仅包含有T 中的一条树枝，则称此割集为基本割集，记为()S e 。

基本割集是集合中的元素只有一条是树枝，其他的为连枝．（3） 等长变换设T=(V,H),为一棵生成树，e ∈ H, 'e ∈ E, 'e ∉ H,当且仅当'e ∈()cf e ，也就是说e ∈()S e ，则'T =T ⊕{e, 'e }也是一棵生成树。

当()e ω='()e ω时，这棵生成树叫做等长变换。

解释最小生成树最小生成树（Minimum Spanning Tree，简称MST）是一种图论中的算法，用于在一个加权连通图中找到一棵包含所有顶点且边权值之和最小的生成树。

生成树是指一个连通图的生成树是指保留图中所有的节点，但只保留足以保持这些节点连通的边的集合。

在实际应用中，我们常常需要找到一个最优的生成树来解决问题。

最小生成树算法可以用于寻找最短路径、最小费用最大匹配等问题。

本文将详细介绍最小生成树的算法及其应用。

一、算法原理最小生成树的算法基于贪心策略。

在生成树中，边的权值表示为边的邻接顶点之间的权值。

边的权值之和反映了边的权值大小。

因此，我们需要寻找的边的权值之和最小的生成树就是一棵最优的生成树。

算法的基本思想是首先将图中的节点按照权值从小到大排序。

然后，从权值最小的节点开始，不断地寻找一个未访问过的节点。

当找到一个未访问过的节点时，将其加入到生成树中，并将其与原图中所有已访问过的节点建立边联系。

这样，生成树中就有了一个未访问过的节点。

接下来，我们继续寻找下一个未访问过的节点。

如果找到了一个节点，我们继续寻找与该节点相邻的节点。

如果找到了一个已访问过的节点，我们继续寻找下一个未访问过的节点。

重复以上步骤，直到所有节点都被正确地加入到生成树中。

二、应用场景最小生成树算法在实际应用中具有广泛的应用，以下列举了几个典型的应用场景：1.最短路径问题：最小生成树算法可以用于寻找一个图中所有节点之间的最短路径。

通过构建最小生成树，我们可以得到图中所有节点之间的最短距离。

在实际应用中，我们可以使用最小生成树算法来找到一个城市的最佳路线，或者找到一个公司的最短路径。

2.最小费用最大匹配问题：最小生成树算法可以用于寻找一个图中所有节点之间的最小费用最大匹配。

在最小费用最大匹配问题中，我们需要找到一个图中所有节点之间的最小费用，使得这些费用之和最大化。

最小生成树算法可以帮助我们找到一个最优的解，从而实现最小费用最大匹配。

榆林学院12届课程设计《最小生成树问题》课程设计说明书学生姓名：赵佳学号：1412210112院系：信息工程学院专业：计算机科学与技术班级：计14本1指导教师：答辩时间：年月日最小生成树问题一、问题陈述最小生成树问题设计要求：在n个城市之间建设网络，只需保证连通即可，求最经济的架设方法。

存储结构采用多种。

求解算法多种。

二、需求分析1.在n个城市之间建设网络，只需保证连通即可。

2.求城市之间最经济的架设方法。

3.采用多种存储结构，求解算法也采用多种。

三、概要设计1、功能模块图2、功能描述（1)CreateUDG()创建一个图：通过给用户信息提示，让用户将城市信息及城市之间的联系关系和连接权值写入程序，并根据写入的数据创建成一个图。

（2)Switch()功能选择：给用户提示信息，让用户选择相应功能。

（3)Adjacency_Matrix()建立邻接矩阵：将用户输入的数据整理成邻接矩阵并显现在屏幕上。

（4)Adjacency_List()建立邻接表：将用户输入的数据整理成临接表并显现在屏幕上。

（5)MiniSpanTree_KRSL()kruskal算法：利用kruskal算法求出图的最小生成树，即：城市之间最经济的连接方案。

（6)MiniSpanTree_PRIM()PRIM算法：利用PRIM算法求出图的最小生成树，即：城市之间最经济的连接方案。

四、详细设计本次课程设计采用两种存储结构以及两种求解算法。

1、两种存储结构的存储定义如下：typedef struct Arcell{double adj;}Arcell,AdjMatrix[MAX_VERTEX_NUM][MAX_VERTEX_NUM];typedef struct{char vexs[MAX_VERTEX_NUM]; //节点数组AdjMatrix arcs; //邻接矩阵int vexnum,arcnum; //图的当前节点数和弧数}MGraph;typedef struct Pnode //用于普利姆算法{ char adjvex; //节点double lowcost; //权值}Pnode,Closedge[MAX_VERTEX_NUM];//记录顶点集U到V-U的代价最小的边的辅助数组定义typedef struct Knode//用于克鲁斯卡尔算法中存储一条边及其对应的2个节点{char ch1; //节点1char ch2; //节点2double value;//权值}Knode,Dgevalue[MAX_VERTEX_NUM];2、求解算法采用Prim算法和Kruskal算法。

图的存储、遍历及最小生成树图的定义图（Graph ）是由一个用线或边连接在一起的顶点或节点的集合。

是一种比线性表和树更为复杂的非线性数据结构，可称为图状结构或网状结构，前面讨论的线性表和树都可以看成是图的简单情况。

图G由两个集合V和E组成，记为：G=(V，E)其中：V是顶点的有穷非空集合，E是V中顶点偶对(称为边)的有穷集。

通常，也将图G的顶点集和边集分别记为V(G)和E(G)。

E(G)可以是空集。

若E(G)为空，则图G只有顶点而没有边。

有向图和无向图1．有向图如图7.1 G2所示每条边都是有方向的，则称G为有向图(Digraph)。

（1）有向边的表示有向边又称为弧，通常用尖括弧表示一条有向边，<v,w> 表示从顶点v 到w 的一段弧，v 称为边的始点( 或尾顶点) ，w 称为边的终点，( 或头顶点)，<v,w> 和<w,v> 代表两条不同的弧。

【例】<vi，vj>表示一条有向边，vi是边的始点(起点)，vj是边的终点。

注意: <vi，vj>和<vj，vi>是两条不同的有向边。

（2）有向图的表示【例】上面7.1图中G2是一个有向图。

图中边的方向是用从始点指向终点的箭头表示的，该图的顶点集和边集分别为：顶点集V={v 1 ,v 2 ,v 3 }弧集E={< v 1 ,v 2 >,<v 1 ,v 3 >,< v 2 ,v 3 >,<v 3 ,v 2 >} 。

注意:<v 3 ,v 2 > 与<v 3 ,v 2 > 表示两条不同的边。

2．无向图如图7.1G1中所示的每条边都是没有方向的，则称G为无向图(Undigraph)。

（1）无向边的表示通常用圆括号表示无向边，(v,w) 表示顶点v 和w 间相连的边。

在无向图中(v,w) 和(w,v) 表示同一条边，如果顶点v,w 之间有边(v,w) ，则v,w 互称为邻接点。

详解图的应用（最小生成树、拓扑排序、关键路径、最短路径）1.最小生成树：无向连通图的所有生成树中有一棵边的权值总和最小的生成树1.1 问题背景：假设要在n个城市之间建立通信联络网，则连通n个城市只需要n—1条线路。

这时，自然会考虑这样一个问题，如何在最节省经费的前提下建立这个通信网。

在每两个城市之间都可以设置一条线路，相应地都要付出一定的经济代价。

n个城市之间，最多可能设置n(n-1)/2条线路，那么，如何在这些可能的线路中选择n-1条，以使总的耗费最少呢?1.2 分析问题（建立模型）：可以用连通网来表示n个城市以及n个城市间可能设置的通信线路，其中网的顶点表示城市，边表示两城市之间的线路，赋于边的权值表示相应的代价。

对于n个顶点的连通网可以建立许多不同的生成树，每一棵生成树都可以是一个通信网。

即无向连通图的生成树不是唯一的。

连通图的一次遍历所经过的边的集合及图中所有顶点的集合就构成了该图的一棵生成树，对连通图的不同遍历，就可能得到不同的生成树。

图G5无向连通图的生成树为(a)、(b)和(c)图所示：G5G5的三棵生成树：可以证明，对于有n 个顶点的无向连通图，无论其生成树的形态如何，所有生成树中都有且仅有n－1 条边。

1.3最小生成树的定义：如果无向连通图是一个网，那么，它的所有生成树中必有一棵边的权值总和最小的生成树，我们称这棵生成树为最小生成树，简称为最小生成树。

最小生成树的性质：假设N=(V,{ E}) 是个连通网，U是顶点集合V的一个非空子集，若（u,v）是个一条具有最小权值(代价)的边，其中，则必存在一棵包含边（u,v）的最小生成树。

1.4 解决方案：两种常用的构造最小生成树的算法：普里姆（Prim）和克鲁斯卡尔（Kruskal）。

他们都利用了最小生成树的性质1.普里姆（Prim）算法：有线到点，适合边稠密。

时间复杂度O(N^2)假设G＝（V，E）为连通图，其中V 为网图中所有顶点的集合，E 为网图中所有带权边的集合。

【算法】关于图论中的最⼩⽣成树（MinimumSpanningTree）详解什么是图(network)什么是最⼩⽣成树 (minimum spanning tree)最⼩⽣成树的算法这⾥的图当然不是我们⽇常说的图⽚或者地图。

通常情况下，我们把图看成是⼀种由“顶点”和“边”组成的抽象⽹络。

在各个“顶点“间可以由”边“连接起来，使两个顶点间相互关联起来。

图的结构可以描述多种复杂的数据对象，应⽤较为⼴泛，看下图：为了更好地说明问题，下⾯我们看⼀个⽐较⽼套的通信问题：在各⼤城市中建设通信⽹络，如下图所⽰，每个圆圈代表⼀座城市，⽽边上的数字代表了建⽴通信连接的价格。

那么，请问怎样才能以最⼩的价格使各⼤城市能直接或者间接地连接起来呢？我们需要注意两点：最⼩的价格各⼤城市可以是直接或者间接相连的稍稍留⼼可以发现，题⽬的要求是，城市只需要直接或者间接相连，因此，为了节省成本，我们稍稍优化⼀下上述⽅案如下：可以看到，我们砍掉了原先在AD，BE之间的两条道路，建设价格⾃然就降下来了。

当然这个⽅案也是符合我们题⽬的要求的。

按照国际惯例，这⾥要说蛋是了。

上⾯的实例由于数据很简单，优化的⽅案很easy就看出来了。

但在实际中，数据量往往是⾮常庞⼤的。

所以，我们更倾向于设计⼀种⽅法，然后利⽤计算机强⼤的运算能⼒帮我们处理这些数据得出最优的⽅案。

那么，针对上述问题，我们⼀起来看看如何应⽤图的相关知识来实现吧。

为了直观，还是⽤图⽚给⼤家解释⼀下：对于⼀个图⽽⾔，它可以⽣成很多树，如右侧图2，图3就是由图1⽣成的。

从上⾯可以看出⽣成树是将原图的全部顶点以最少的边连通的⼦图，对于有n个顶点的连通图，⽣成树有n-1条边，若边数⼩于此数就不可能将各顶点连通，如果边的数量多于n-1条边，必定会产⽣回路。

对于⼀个带权连通图，⽣成树不同，树中各边上权值总和也不同，权值总和最⼩的⽣成树则称为图的最⼩⽣成树。

基本思想：假设有⼀个⽆向带权图G=(V,E)，它的最⼩⽣成树为MinTree=(V,T)，其中V为顶点集合，T为边的集合。

数据结构课程设计说明书学院：信息科学与工程学院班级：计算机11-2完成人：姓名：学号：************ 姓名：学号：************ 指导教师：山东科技大学2012年12月13日课程设计任务书一、课程设计题目：构造可以使n个城市连接的最小生成树二、课程设计应解决的主要问题：（1）邻接矩阵的构造及其存储（2）判断是否能够生成最小生成树（3）克鲁斯算法的设计（4）利用克鲁斯算法构造最小生成树时是否产生回路的判断（5）界面的设计三、任务发出日期：2012-11-28 课程设计完成日期：2012-12-13小组分工说明小组编号 35 题目：构造可使n个城市连接的最小生成树小组分工情况：王露：算法设计，void Kruskal()函数，void set ()函数，void find()函数，void Union()函数王炜程：void creat()函数，void judge()函数，int main()函数；int menu()函数，void display()函数组长签字：年月日指导教师对课程设计的评价成绩：指导教师签字：年月日目录一、主要问题------------------------------------------------------------------5二、基本要求------------------------------------------------------------------5三、算法基本思想描述------------------------------------------------------5四、详细设计------------------------------------------------------------------51、数据结构的设计----------------------------------------- 5<1> 存储结构------------------------------------------------------- 5<2> 图的表示--------------------------------------------------------62、算法的设计---------------------------------------------6<1> 克鲁斯卡尔算法设计----------------------------------------------6<2> 防止不能构成最小生成树的图--------------------------------------6<3> 模块结构及功能-------------------------------------------------- 7<4> 主要模块算法描述------------------------------------------------ 7五、源程序清单-----------------------------------------------------------------9六、测试数据及测试结果-----------------------------------------------------91、开始画面--------------------------------------------------------- 92、输入信息--------------------------------------------------------- 103、数据处理---------------------------------------------------------10（1）判断能否构成最小生成树--------------------------------------- 10（2）遍历所有的最小生成树----------------------------------------- 10（3）退出--------------------------------------------------------- 11七、课程设计总结--------------------------------------------------------------11八、附录--------------------------------------------------------------------------------11 参考书目--------------------------------------------------------------------------15构造可以使n个城市连接的最小生成树一、主要问题给定一个地区的n个城市间的距离网，用Prim算法或Kruskal算法建立最小生成树，并计算得到的最小生成树的代价。

最小生成树例题详解最小生成树(Minimum Spanning Tree,简称 MST)是一种图论中的算法,用于在一个加权连通图中找到一棵包含所有顶点且边权值之和最小的生成树。

下面是一个常见的最小生成树例题:给定一个由五只兔子和它们的家组成的奴隶图,如下图所示:```1 2 3 4 5/ / /6 7 8 9 10 11/ / /2 4 6 8 10 12```要求找到一棵包含所有顶点且边权值之和最小的生成树。

首先,我们需要遍历整个图,将每个节点的度数表示出来,度数等于该节点到其他节点的距离。

我们可以用度数最小的节点来代替这个节点。

接下来,我们需要计算每个节点到根节点的度数。

如果某个节点到根节点的度数大于等于它的度数,那么它就不是最小生成树的一部分,我们需要继续寻找。

最后,我们需要计算每个节点的边权值之和。

我们可以用度数最小的节点来代替这个节点,然后遍历该节点的邻居节点,计算它们的边权值之和。

以下是Python代码实现:```pythondef Minimum Spanning Tree(graph):# 遍历整个图,将每个节点的度数表示出来,度数最小为0for node in graph:度数 = [float(edge[node]) for edge ingraph.get_edges(node)]if度数[0] <= 0:return None# 找到最小生成树root = node = Nonefor node in graph.nodes():if root is None:if not any(edge[node] for edge in graph.get_edges(node)): root = nodebreakelse:# 度数最小的节点来代替该节点if not any(edge[node] for edge in graph.get_edges(node)): root = nodebreak# 计算该节点到根节点的度数度数 = [float(edge[node]) for edge ingraph.get_edges(node)]if度数[0] <= 0:return None# 找到连接到该节点的所有边neighbors = [node for edge in graph.get_edges(node) if edge[1] >= 0]# 计算该节点的边权值之和neighbors_sum = sum(度数)# 找到边权值之和最小的节点if neighbors_sum < neighbors_sum.min():root = nodebreakreturn root```在此算法中,我们使用了邻接表(neighbors table)来维护每个节点的邻居节点。

北方民族大学课程设计课程名称:数据结构与算法院(部)名称:信息与计算科学学院组长姓名学号同组人员姓名指导教师姓名:纪峰设计时间:2010.6.7----2009.6.27一、《数据结构与算法》课程设计参考题目（一）参考题目一（每位同学选作一个,同组人员不得重复）1、编写函数实现顺序表的建立、查找、插入、删除运算。

2、编写函数分别实现单链表的建立、查找、插入、删除、逆置算法。

3、编写函数实现双向链表的建立、插入、删除算法。

4、编写函数实现顺序栈的进栈、退栈、取栈顶的算法。

5、编写函数实现链栈的进栈、退栈、取栈顶的算法。

6、编写函数实现双向顺序栈的判空、进栈、出栈算法。

7、编写函数实现循环队列的判队空、取队头元素、入队、出队算法。

8、编写函数实现链环队列的判队空、取队头节点、入队、出队算法。

9、编写函数实现串的，求串长、连接、求字串、插入、删除等运算。

10、分别实现顺序串和链串的模式匹配运算。

11、实现二叉树的建立，前序递归遍历和非递归遍历算法。

12、实现二叉树的建立，中序递归遍历和非递归遍历算法。

13、实现二叉树的建立，后序递归遍历和非递归遍历算法。

14、实现二叉树的中序线索化，查找*p结点中序下的前驱和后继结点。

15、分别以临接表和邻接矩阵作为存储就够实现图的深度优先搜索和广度优先搜索算法。

16、利用线性探测处理冲突的方法实现散列表的查找和插入算法。

(二)参考题目二（每三人一组，任选三个题目完成）1.运动会分数统计（限1人完成）任务：参加运动会有n个学校，学校编号为1……n。

比赛分成m个男子项目，和w个女子项目。

项目编号为男子1……m，女子m+1……m+w。

不同的项目取前五名或前三名积分；取前五名的积分分别为：7、5、3、2、1，前三名的积分分别为：5、3、2；哪些取前五名或前三名由学生自己设定。

（m<=20,n<=20）功能要求：1)可以输入各个项目的前三名或前五名的成绩；2)能统计各学校总分，3)可以按学校编号或名称、学校总分、男女团体总分排序输出；4)可以按学校编号查询学校某个项目的情况；可以按项目编号查询取得前三或前五名的学校。

最小生成树算法的数据结构引言：在图论中，最小生成树（Minimum Spanning Tree，简称MST）是指一个连通图的生成树，它的所有边的权值之和最小。

最小生成树算法是解决该问题的关键，其中涉及到一些重要的数据结构。

本文将介绍最小生成树算法的数据结构，包括图的表示、优先队列和并查集等。

一、图的表示图的表示是最小生成树算法中的基础，常用的有邻接矩阵和邻接表两种方式。

1. 邻接矩阵：邻接矩阵是一个二维数组，其中的元素表示图中两个顶点之间的边的关系。

对于无向图而言，邻接矩阵是对称的，对角线上的元素表示顶点自身与自身的关系。

邻接矩阵的优点是查找两个顶点之间是否有边的关系非常高效，时间复杂度为O(1)。

然而，邻接矩阵的缺点是空间复杂度较高，当图的规模较大时，会占用较多的内存空间。

2. 邻接表：邻接表是一种链表的形式，其中每个顶点都有一个对应的链表，链表中存储了与该顶点相连的边的信息。

邻接表的优点是节省了内存空间，对于稀疏图而言，空间复杂度较低。

然而，邻接表的缺点是查找两个顶点之间是否有边的关系的时间复杂度较高，需要遍历链表，时间复杂度为O(V)，其中V表示顶点的数量。

二、优先队列优先队列是最小生成树算法中用到的一个重要的数据结构，它保证了每次取出的元素都是权值最小的。

最常用的实现方式是二叉堆。

1. 二叉堆：二叉堆是一种完全二叉树，它满足堆的性质，即父节点的值小于或等于它的子节点的值。

在最小生成树算法中，我们需要使用二叉堆来存储图中的边，以便按照权值从小到大的顺序取出边。

二叉堆的插入和删除操作的时间复杂度都为O(logN)，其中N表示堆中元素的数量。

三、并查集并查集是一种用于解决集合合并和查询问题的数据结构，最小生成树算法中经常用到并查集来判断两个顶点是否在同一个连通分量中。

1. 并查集的定义：并查集由一个整数数组和两个操作组成。

数组中每个元素表示一个结点，该元素的值表示结点的父节点。

初始状态下，每个元素的父节点都是它自身。

目录设计要求........................................................ - 1 - 问题重述........................................................ - 1 - 基本要求........................................................ - 2 - 概要设计........................................................ - 2 - 2.1 主界面的设计............................................... - 2 - 2.2 存储结构的设计本系统...................................... - 3 - 2.2.1 顺序表的基本概念......................................... - 3 - 2.2.2 图的邻接矩阵的基本概念................................... - 4 - 2.2.3 最小生成树的基本概念..................................... - 5 - 模块设计........................................................ - 6 - 3.1 n个城市连接的最小生成树................................... - 6 - 3.2 模块作用用途中的顶点表示................................... - 6 - 3.3 模块及模块调用关系......................................... - 6 - 3.2.1 “SeqList.h”顺序存储结构存放结点信息..................... - 7 - 3.2.2“AdjMGraph.h”邻接矩阵存储结构存放边的信息................ - 7 - 3.2.3 最小生成树的生成过程..................................... - 8 - 3.3 系统子程序及功能设计........................................ - 9 - 3.3.1 定义数组................................................. - 9 - 3.3.2 定义集合................................................ - 10 - 3.3.3 定义lowcost ............................................ - 10 - 3.3.4 修改权值................................................ - 10 - 3.3.5 带权图.................................................. - 10 - 3.4 算法描述.................................................. - 12 - 3.4.1 流程图.................................................. - 12 - 测试结果及分析................................................. - 14 - 测试结果....................................................... - 14 - 4.2 结果分析.................................................. - 16 - 4.3 错误分析.................................................. - 16 - 源程序......................................................... - 17 -1 设计要求1.1 问题重述选择6-10个城市模拟在城市之间建立通信网络，只需要架设通信路线就可以，以最低的经济花费建设通信网，即用Prim算法或Kreskas算法生成一个网的最小生成树，并计算得到的最小生成树的代价。

邻接矩阵最小生成树 python邻接矩阵（Adjacency Matrix）是图论中用来表示图的数据结构之一，它可以用来表示无向图和有向图的连接关系。

最小生成树（Minimum Spanning Tree，MST）是一个图的子集，它包含了图中所有的顶点，但是只有足够的边使得这些顶点形成了一棵树，并且连接所有顶点所需的总权重最小。

在Python中，可以使用以下步骤来找到一个无向图的最小生成树，假设邻接矩阵存储在一个二维列表中：1.构建邻接矩阵：首先，需要创建一个邻接矩阵来表示图的连接关系。

邻接矩阵是一个二维数组，其中元素matrix[i][j]表示顶点i和顶点j之间的边的权重（如果存在边），或者是一个特定的值表示没有连接。

2.使用最小生成树算法：有几种经典的算法可以用于寻找最小生成树，其中一种是Prim算法。

以下是使用Prim算法来找到最小生成树的示例代码：import sysdef min_spanning_tree(adj_matrix):num_vertices = len(adj_matrix)selected = [False] * num_verticeskey = [sys.maxsize] * num_verticesparent = [None] * num_verticeskey[0] = 0 # Start with the first vertexparent[0] = -1 # First vertex is the root of MSTfor _ in range(num_vertices):# Find the vertex with the minimum key value min_key = sys.maxsizemin_index = Nonefor v in range(num_vertices):if not selected[v] and key[v] < min_key: min_key = key[v]min_index = vselected[min_index] = True# Update key and parent for adjacent verticesfor v in range(num_vertices):if (adj_matrix[min_index][v] != 0and not selected[v]and adj_matrix[min_index][v] < key[v]):key[v] = adj_matrix[min_index][v]parent[v] = min_indexreturn parent# Example adjacency matrixadj_matrix = [[0, 2, 0, 6, 0],[2, 0, 3, 8, 5],[0, 3, 0, 0, 7],[6, 8, 0, 0, 9],[0, 5, 7, 9, 0],]parent = min_spanning_tree(adj_matrix)for i in range(1, len(parent)):print(f"Edge: {parent[i]} - {i}, Weight: {adj_matrix[i][parent[i]]}")这段代码演示了如何使用Prim算法找到一个无向图的最小生成树，根据给定的邻接矩阵。

构造可以使N个城市连接的最小生成树专业：_________ 班级：_________ 姓名：_________ 学号：_________ 完成日期：_________【问题描述】给定一个地区的n个城市间的距离网，用Prim算法或Kruskal算法建立最小生成树，并计算得到的最小生成树的代价。

【设计需求及分析】1、城市间的距离网采用邻接矩阵表示，邻接矩阵的存储结构定义采用课本中给出的定义，若两个城市之间不存在道路，则将相应边的权值设为自己定义的无穷大值。

2、要求在屏幕上显示得到的最小生成树中包括了哪些城市间的道路，并显示得到的最小生成树的代价。

3、表示城市间距离网的邻接矩阵（要求至少6个城市，10条边）。

【设计功能的实现】（用C或C++语言描述）#include <iostream.h>#include <stdio.h>#include <string.h>#include <windows.h>#include "TypeDefine.h"#include "AdjacencyMatrix.h"#include "InitializeFunction.h"#include "MiniSpanTree_KRUSKAL.h"#include "MiniSpanTree_PRIM.h"#include "DisplayNet.h"#include "DeleteInfo.h"MGraph G; //全局变量Gint main(int argc, char * argv[]);//主函数Status LocateVex(MGraph G, VertexType v);//判断城市v 在网G 中的位置Status CreateUDN(MGraph &G);//创建网G 的邻接矩阵void DisplayNet(MGraph G);//以邻接矩阵的形式显示网Gvoid MiniSpanTree_KRUSKAL(MGraph G);//最小生成树的Kruskal 算法void MiniSpanTree_PRIM(MGraph G, VertexType u);//最小生成树的Prim 算法Status Minimum(closedge closeEdge, int n);//Prim 算法中求下一个城市的函数void DeleteInfo(MGraph &G);//释放堆内存上动态申请的空间int main(int argc, char * argv[]){CreateGraph(G);DisplayNet(G);MiniSpanTree_KRUSKAL(G);MiniSpanTree_PRIM(G, G.vexs[0]);DeleteInfo(G);cout<<endl<<endl;system("pause");return 0;}//intializeFunction.hStatus CreateDG(MGraph &G){return 0;};Status CreateDN(MGraph &G){return 0;};Status CreateUDG(MGraph &G){return 0;};Status CreateUDN(MGraph &G);Status LocateVex(MGraph G, VertexType v)//判断输入的顶点v在G中的位置。

最⼩⽣成树Prim算法（邻接矩阵和邻接表） 最⼩⽣成树，普利姆算法．简述算法: 先初始化⼀棵只有⼀个顶点的树，以这⼀顶点开始，找到它的最⼩权值，将这条边上的令⼀个顶点添加到树中 再从这棵树中的所有顶点中找到⼀个最⼩权值（⽽且权值的另⼀顶点不属于这棵树） 重复上⼀步．直到所有顶点并⼊树中．图⽰：注：以a点开始，最⼩权值为１，另⼀顶点是ｃ，将ｃ加⼊到最⼩⽣成树中．树中　ａ－ｃ在最⼩⽣成树中的顶点找到⼀个权值最⼩且另⼀顶点不在树中的，最⼩权值是４，另⼀个顶点是ｆ，将ｆ并⼊树中，　ａ－ｃ－ｆ重复上⼀步骤，ａ－ｃ－ｆ－ｄ，　ａ－ｃ－ｆ－ｄ－ｂ，　ａ－ｃ－ｆ－ｄ－ｂ－ｅ．邻接矩阵的实现我⼜构建了⼀个邻接矩阵（prim_tree)，将我们求出的最⼩⽣成树写⼊其中．我们还需要⼀个visited数组，来确定⼀个顶点是否已被纳⼊最⼩⽣成树中．１）初始化，visited数组，prim_tree节点信息，矩阵．１－１１，４１－５５⾏２）将⼀个顶点并⼊树（prim_tree）中．以这个顶点开始，进⾏遍历寻找最⼩权值． 这⾥⽤了三层循环嵌套． ｉ这⼀层的作⽤是遍历图的节点信息，我们要将所有节点都纳⼊树中． ｊ这⼀层的作⽤是遍历树的节点信息．（我们是通过visited数组来确定⼀个节点是否属于最⼩⽣成树的，１９⾏，ｉｆ的作⽤） ｋ这⼀层的作⽤是在ｊ节点所在所在矩阵的⾏中找到最⼩权值．　（注：ｊ和ｋ配合，找到树中的最⼩权值（最⼩权值的另⼀个节点没有被纳⼊树中，２３⾏ｉｆ的作⽤）．ｊ查找的节点信息的下标，但矩阵是正⽅形的，所以ｊ既是节点信息的下标，⼜是该节点在矩阵中的列位置．⽽ｋ则在ｊ这⼀列查找最⼩权值．当ｊ将树遍历⼀遍，这时会找到⼀个最⼩权值，这个最⼩权值的另⼀个顶点就是我们将要纳⼊树中的节点．）３）将上⾯获得的信息写⼊树中．（写⼊时也要判断该节点是否已被纳⼊树中．没有纳⼊树中的节点才会将其纳⼊树中．）1//最⼩⽣成树prim算法2static void init_prim(Graph * graph, Graph * prim_tree);3void Prim(Graph * graph, Graph * prim_tree)4 {5bool visited[graph->vertexs];6int i, j, k, h;7int power, power_j, power_k;89for ( i = 0; i < graph->vertexs; i++ )10 visited[i] = false;11 init_prim(graph, prim_tree);1213 visited[0] = true;14for ( i = 0; i < graph->vertexs; i++ )16 power = MAX_VALUE;17for ( j = 0; j < graph->vertexs; j++ )18 {19if ( visited[j] )20 {21for ( k = 0; k < graph->vertexs; k++ )22 {23if ( power > graph->arcs[j][k] && !visited[k] )24 {25 power = graph->arcs[j][k];26 power_j = j;27 power_k = k;28 }29 }30 }31 }32//min power33if ( !visited[power_k] )34 {35 visited[power_k] = true;36 prim_tree->arcs[power_j][power_k] = power;37 }38 }39 }4041static void init_prim(Graph * graph, Graph * prim_tree)42 {43int i, j;4445 prim_tree->vertexs = graph->vertexs;46for ( i = 0; i < prim_tree->vertexs; i++ )//初始化节点47 prim_tree->vertex[i] = graph->vertex[i];48for ( i = 0 ; i < prim_tree->vertexs; i++ )//初始化矩阵49 {50for ( j = 0; j < prim_tree->vertexs; j++ )51 {52 prim_tree->arcs[i][j] = MAX_VALUE;53 }54 }55 }上述代码适⽤于连通图．如果想运⾏这个程序，到/ITgaozy/p/5187483.html找源码，将上⾯的代码粘到⾥⾯就可以了．邻接表的实现算法和矩阵⼀样，只是由于数据结构不同，在代码上有些差别．static void init_prim(Graph * graph, Graph * prim_tree);void g_prim(Graph * graph, Graph * prim_tree){bool visited[graph->vertexs];int i, j, k;int power, pos;Arc_node * tmp;for ( i = 0; i < graph->vertexs; i++ )visited[i] = false;init_prim(graph, prim_tree);visited[0] = true;for ( i = 0; i < graph->vertexs; i++ ){power = INT_MAX;//limits.hfor ( j = 0; j < graph->vertexs; j++ ){if ( visited[j] ){tmp = graph->adjlist[j].next;while ( tmp != NULL ){if ( power > tmp->distance && !visited[tmp->pos] ){power = tmp->distance;pos = tmp->pos;k = j;}tmp = tmp->next;}}if ( !visited[pos] ){if ( prim_tree->adjlist[k].next == NULL ){prim_tree->adjlist[k].next = make_node(pos, power);}else{tmp = prim_tree->adjlist[k].next;while ( tmp->next != NULL )tmp = tmp->next;tmp->next = make_node(pos, power);}visited[pos] = true;}}}static void init_prim(Graph * graph, Graph * prim_tree){int i;for ( i = 0; i < graph->vertexs; i++ ){prim_tree->adjlist[i].info = graph->adjlist[i].info;prim_tree->adjlist[i].next = NULL;}prim_tree->vertexs = graph->vertexs;}到/ITgaozy/p/5187526.html⾥找到源码，将上述代码粘到源码中，就可以了．由于本⼈⽔平有限，不⾜之处还望⼤家不吝指教．。

《数据结构》课程设计报告设计题目：构造可以使n个城市连接的最小生成树姓名：学号：专业：物联网工程（嵌入式培养）院系：计算机技术与科学学院班级：1405指导教师：2016年01 月09 日摘要本次课程设计的要求是给定一个地区的n个城市间的距离网，用Prim算法建立最小生成树，并计算得到的最小生成树的代价。

将该地区的城市用顶点表示，城市间的公路用边表示，公路的长度作为边的权值，最终这个问题可以归结为网图中，求顶点A到顶点B的所有路径中，边的权值之和最少的那条路径。

关键词：最小生成树Prim算法C++语言源程序AbstractThe curriculum design requirements is given a region n city, the distance between the net with the Prim algorithm to establish minimum spanning tree, and calculated the price of minimum spanning tree. Cities in the region with vertex said, between highway in the city edge, said the length of the road as the edge of the right values, finally the problem can be summed up in network diagram, and all the paths of vertex A to B, the edge of the weights of the sum of the minimum path.Keywords:minimum spanning treePrim algorithmC++ language source program目录一、问题描述 (4)1.1题目内容 (4)1.2基本要求 (4)二、需求分析 (4)三、概要设计 (4)3.1邻接矩阵的建立 (5)3.2图的建立 (5)3.3求最小生成树 (6)四、数据结构设计 (7)五、算法设计 (8)5.1算法分析 (8)5.2算法实现 (8)六、程序测试与实现 (9)6.1主程序 (9)6.2测试结果 (10)七、调试分析 (10)八、遇到的问题及解决办法 (10)九、心得体会 (10)十、附录 (11)一、问题描述1．题目内容：给定一个地区的n个城市间的距离网，用Prim算法建立最小生成树，并计算得到的最小生成树的代价。

建立n个城市间的最小生成树目录设计要求- 1 -问题重述- 1 -基本要求- 2 -概要设计- 2 -2.1 主界面的设计- 2 -2.2 存储结构的设计本系统- 3 -2.2.1 顺序表的基本概念- 3 -2.2.2 图的邻接矩阵的基本概念- 4 -2.2.3 最小生成树的基本概念- 5 -模块设计- 6 -3.1 n个城市连接的最小生成树- 6 -3.2 模块作用用途中的顶点表示- 6 -3.3 模块及模块调用关系- 6 -3.2.1 “SeqList.h”顺序存储结构存放结点信息- 7 -3.2.2“AdjMGraph.h”邻接矩阵存储结构存放边的信息- 7 -3.2.3 最小生成树的生成过程- 8 -3.3 系统子程序及功能设计- 9 -3.3.1 定义数组- 9 -3.3.2 定义集合- 10 -3.3.3 定义lowcost - 10 -3.3.4 修改权值- 10 -3.3.5 带权图- 10 -3.4 算法描述- 12 -3.4.1 流程图- 12 -测试结果及分析- 14 -测试结果- 14 -4.2 结果分析- 17 -4.3 错误分析- 17 -源程序- 17 -1 设计要求1.1 问题重述选择6-10个城市模拟在城市之间建立通信网络，只需要架设通信路线就可以，以最低的经济花费建设通信网，即用Prim算法或Kreskas算法生成一个网的最小生成树，并计算得到的最小生成树的代价。

1.2 基本要求u 城市间的距离网采用邻接矩阵表示，邻接矩阵的存储结构定义采用课本上的定义，若两个城市之间不存在道路，则将相应边的权值设为自己定义的无穷大值。

要求在屏幕上显示得到的最小生成树中包括那些城市间的道路，并显示得到的最小生成树的代价。

u 表示城市间距离网的邻接矩阵u 最小生成树中包括的边及其权值，并显示得到的最小生成树的代价。

2 概要设计为了实现以上功能，可以从以下主界面构造、存储结构采用、系统功能设置等三个方面进行分析设计。