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物流运筹学(第9节-影子价格)

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运筹学课件--影子价格的经济意义

运筹学课件--影子价格的经济意义

经济分析:
1.哪些资源是稀缺资源?程度如何?
稀缺资源是原材料和设备 剩余资源是劳动力和电
2.企业应怎样合理利用资源?部门之间资源如何调整?
增加稀缺资源的投入,减少剩余资源; 资源由影子价格低的部门调向较高的部门
2013-6-17
运筹学课件
3.如果企业改进工艺使原材料的消耗减少10%,计算 对总利润的影响.
资源占用者赋予资源的一个内部价格,与资源的市场 价格无直接关系.
影子价格可以计算出经济活动的成本
2013-6-17 运筹学课件
例: 某家企业生产A,B,C三种产品,需要使用的原材料,劳动 力,设备使用时数,电是有限的,各种产品对每种资源的单位 消耗系数aij及产品的单位利润Cj见下表.
A 原材料(吨) 劳动力(人) 1 1 B 2 1 C 4 2 资源限制b 100 88
Y*=(0.4,0,1.2,0) Y*(aij)=(0.4,0,1.2,0)* (4,1,2,1)T=4 能投产. 即产品成本为4万
Λ=5-4=1>0
2013-6-17
运筹学课件
X1+ X2+ 2X3 ≤88
s.t
Y2
3X1+ X2+ 2X3 ≤180 Y3 2X1+ 2X2+ X3 ≤213 Y4 xj≥0, j=1,2,3
(D)
Min z=100Y1+88Y2+180Y3+213Y4 Y1+ Y2+ 3Y3 + 2Y4≥4 2Y1+ Y2+ Y3 + 2Y4≥2
s.t
4Y1+ 2Y2+ 2Y3 + Y4≥3
影子价格的经济意义

运筹学：对偶理论与敏感性分析-影子价格培训课件

运筹学：对偶理论与敏感性分析-影子价格培训课件

3
x2
2
0
1
1/2
σj
-14
0
0
-1.5
x4
x5
1/4
0
1/2
1
-1/8
0
-1/8
0
若生现产在I该和厂II，从求其此他时地的方最抽优调方4台案时设备用于
b1 增加 4
0 0.25 0 这里 B-1 = -2 0.5 1
0.5 -0.125 0
各列分别对应 b1, b2, b3 的单一变化。 因此，设 b1 增加 4，则 x1, x5, x2 分别变为： 4+0×4=4, 4+(-2)×4=-4<0, 2+0.5×4=4 用对偶单纯形法进一步求解。
用单纯形法继续迭 代 用对偶单纯形法继 续迭代 引入人工变量，编 制新的单纯形表重 新计算
16
价值系数c发生变化： 考虑检验数
j =- cj +∑i = 1, 2, …, m ci a’ij ,
j =1,2,……,n
这里a’ij 为最优单纯形表中的系数，不 同于初始的aij
1. c是非基变量的系数： 2. c是基变量的系数：
j = - cj +∑ ci a’ij ， 若用单j纯≥ 形0，法则求最解优。解不变；否则，进一步
34
2. B 中某一列变化：
稍微复杂些，一般可重新列表计算， 也可以用列替换的方法在原最优单 纯形表上继续进行计算。
例2.10：例2.6中 x2 的系数 P2 改变为( 4, 0, 2 )T， c2 改变为1。
22
例2.6：线性规划
max z = 2x1 + 3x2 + 0x3 + 0x4+ 0x5

运筹学02.4对偶问题的经济意义-影子价格

运筹学02.4对偶问题的经济意义-影子价格

影子价格 y1 = 50的经济意义：原料 A的供应量 b1增加1个单位 时，最大利润将增加 50个单位.
影子价格 y 2 = 0的经济意义：原料 B的供应量 b2增加1个单位
时，最大利润将不变化 . 影子价格 y3 = 50的经济意义：原料 C的供应量 b2增加1个单位 时，最大利润将增加 50个单位.
2011-3-10
5
运筹学
Operations Research
∴ 原线性规划问题的最优解为(50,250)T .
故产品Ⅰ，Ⅱ的产量分别为50，250即可满足要求.
2011-3-10
6
运筹学
Operations Research
T T (2)由最终的单纯形表得影子价格为 y = ( y1 , y2 , y3 ) = (50,0,50) .
此线性规划问题恰是(LP)的对偶问题，其最优解为
y = ( y1 , y2 , y3 )T = (50,0,50)T .
故该厂只需将三种原料的价格分别定为50，0，50，双方 即可都能接受.▌
2011-3-10
8
运筹学
Operations Research
例2 给定线性规划问题 max z = 2 x1 + 3x 2 + x3 s. t. x1 + x 2 + x3 ≤ 3 x1 + 4 x 2 + 7 x3 ≤ 9 x1 , x 2 , x3 ≥ 0 （1）利用单纯形法求解此线性规划问题； （2）计算影子价格，并分析其经济意义.
运筹学
Operations Research
§2.4 对偶问题的经济意义 -影子价格
2011-3-10
1
运筹学

影子价格1.pptx

影子价格1.pptx
如果通过新增生产能力来增加供应（生产能力巳充分利 用），此时，可对它的全部成本进行成本分解，得到货物出厂 的影子价格，加上运输费用和贸易费用，就是货物到项目货物 的影子价格。
如果无法通过扩大生产能力来增加供应（只有去挤占其他 用户的用量才能得到）。这说明这种货物是极为紧缺的短线物 资。此时，影子价格取计划价格加补贴、市场价格、协议价格 这三者之中最高者。再加贸易费用和运输费用。
测，并注意质量、规格、包装引起的价差，排除暂时紧缺或 倾销的影响
例：
假定煤在离新建煤矿最近的口岸价格为每吨50美元；汇 率按8.40元计算。新建煤矿项目所在地到最近口岸的距离为 300千米，铁路运费的影子价格为每吨千米5.3分。贸易费用 的影子价格按口岸价格的6%计算(以下举例中的汇率、铁路 每吨千米运价、贸易费用系数均按本例假设数据计算)。则 出口煤(产出物)的影子价格为：
1—拟建厂（项目）； 2—用户； 4—口岸；
产出物的影子价格（出厂价）
• 直接出口物（外销产品）
S.P= F.O.B×SER-T14 • 间接出口物（内销产品，替代其他货物增加出口）
S.P= F.O.B×SER-T04+T02 –T12
1 拟建厂（项目）
-T12
2
+T02
0
-T04
4
用户
原供应厂
口岸
表 非外贸货物的影子价格
情况 增加国内供应 产出物 替代其他企业的产出
定价基础 市场价格 可变成本分解定价
原有企业挖潜来供应 投入物 新增生产能力来增加供应
挤占其他用户
可变成本分解定价 全部成本分解定价 市场价格
成本分解法
成本分解法就是将非外贸货物的国内市场价格，分解为 各个组成部分，然后根据各种资源的影子价格、换算系数、 资本回收系数等进行一系列调整，具体步骤如下:

运筹学之影子价格培训讲义

运筹学之影子价格培训讲义

2023-10-29CATALOGUE 目录•运筹学概述•影子价格理论•运筹学在影子价格计算中的应用•影子价格在现实问题中的应用案例•结论与展望01运筹学概述定义运筹学是一门应用科学，旨在寻找最优决策，以有限资源达到最佳效果。

特点运筹学强调数学模型的应用，通过定量分析为决策提供依据，同时注重系统性和整体性。

运筹学的定义与特点运筹学可以帮助企业或组织在复杂情况下做出更明智的决策，提高决策效率和准确性。

提高决策效率优化资源配置增强企业竞争力运筹学可以优化企业或组织的资源配置，使有限的资源发挥最大的效益。

通过运筹学的应用，企业可以在激烈的市场竞争中获得更大的优势，提高市场占有率。

03运筹学的重要性0201运筹学起源于二战时期，当时英国科学家蒙哥马利将军在北非战役中运用运筹学方法进行作战指挥。

起源运筹学在20世纪50年代得到了迅速发展，应用领域不断扩大，逐渐成为一门独立的学科。

发展运筹学广泛应用于生产、管理、军事、交通等领域，为实际问题提供最优解决方案。

应用运筹学的发展历程02影子价格理论影子价格是一种资源利用最优化的评估价格，它反映了资源的真实价值，由资源的机会成本决定。

在运筹学中，影子价格被广泛应用于线性规划问题中，用以确定最优解和判断资源的分配是否合理。

影子价格的概念影子价格具有以下性质：它是资源的边际价值，反映了资源的稀缺性；它是资源的优化评估价格，与市场价格不同；它依赖于问题的具体设定和约束条件。

影子价格的性质影子价格的概念与性质线性规划问题中的影子价格在求解线性规划问题时，可以使用单纯形法、对偶单纯形法等方法来计算影子价格。

这些方法通过迭代过程求解最优解，并同时得到每个约束条件的影子价格。

其他计算方法除了在线性规划问题中的应用，影子价格还可以通过其他方法进行计算，例如在非线性规划问题中可以使用梯度法、共轭梯度法等方法来计算影子价格。

这些方法根据目标函数的性质和约束条件来求解最优解和影子价格。

影子价格计算(优秀)PPT资料

影子价格计算(优秀)PPT资料
➢ 在这种情况下：
➢ 如果产出物在质量、花色品种等方面并无特色，应该分 解被替代企业相应产品的可变本钱作为影子价格。
➢ 如果质量确有提高，可取国内市场价格作为影子价格。
(2)非外贸投入物
如果通过原有企业的挖潜来增加供给〔原有生产能力过 剩〕，不必新增投资。这说明这种货物，用于长线投资。此时， 可对它的可变本钱进行本钱分解，得到货物出厂的影子价格， 加上运输费用和外贸费用，就是该工程货物的影子价格。
影子价格计算
产出物的影子价格〔出厂价〕
• 直接出口物〔外销产品〕 • 14 • 间接出口物〔内销产品，替代其他货物增加出口〕 • 04+T02 –T12
1 拟建厂〔工程〕
-T12
2
+T02
0
-T04
4
用户
原供给厂
口岸
• 替代进口物〔内销产品，以产顶进，减少进口〕
•
42 –T12
1
-T12
2
拟建厂〔工程〕
第二，列出该单位货物的总投资及该货物生产厂的建设期限、建设期各年投 资比例。
第三，对建设投资进行调整和等值计算。根据建设期各年投资比例，把调整 后的建设投资额分摊到建设期各年。
可变成本分解定价
完成上述调整后，各项费用新计算的总额即为该货物的出厂影子价格。
n将2固---定为投资生产产入投期资。物换算为生新产初增期的生数值产为能力来增加供应
全部成本分解定价
这说明这种货物是极为紧缺的短线物资。
挤占其他用户 当然，在分解过程中应考虑国内的实际生产水平。
1+1225x80%=1250 (元) 用影子价格重新计算该项费用为
方案价格 方案价格加补贴 市场价格 协议价格 同类企业产品的平均分解本钱

「供应链术语」影子定价法（ShadowPricing）

「供应链术语」影子定价法（ShadowPricing）一、什么是影子定价法影子定价又称“计算价格”、“影子价格”、“预测价格”、“最优价格”。

是荷兰经济学家詹恩·丁伯根在本世纪30年代末首次提出来的，运用线性规划的数学方式计算的，反映社会资源获得最佳配置的一种价格。

他认为影子价格是对“劳动、资本和为获得稀缺资源而进口商品的合理评价”。

1954年，他将影子价格定义为'在均衡价格的意义上表示生产要素或产品内在的或真正的价格'。

萨缪尔逊进一步作了发挥，认为影子价格是一种以数学形式表述的，反映资源在得到最佳使用时的价格。

联合国把影子价格定义为“一种投入(比如资本、劳动力和外汇)的机会成本或它的供应量减少一个单位给整个经济带来的损失”。

前苏联经济学家列·维·康特罗维奇根据当时苏联经济发展状况和商品合理计价的要求，提出了最优价格理论。

其主要观点是以资源的有限性为出发点，以资源最佳配置作为价格形成的基础，即最优价格不取决于部门的平均消耗，而是在最劣等生产条件下的个别消耗(边际消耗)决定的。

这种最优价格被美籍荷兰经济学家库普曼和原苏联经济学界视为影子价格。

列·维·康特罗维奇的最优价格与丁伯根的影子价格，其内容基本是相同的，都是运用线性规划把资源和价格联系起来。

但由于各自所处的社会制度不同，出发点亦不同，因此二者又有差异：丁伯根的理论是以主观的边际效用价值论为基础的，而列·维·康特罗维奇的理论是同劳动价值论相联系的；前者的理论被人们看成一种经营管理方法，后者则作为一种价格形成理论；前者的理论主要用于自由经济中的分散决策，而后者的理论主要用于计划经济中的集中决策。

二、基金中的影子定价法基金按照“摊余成本法”和“影子定价”对基金进行估值。

影子定价就是指基金管理人于每一计价日，采用市场利率和交易价格，对基金持有的计价对象进行重新评估，即“影子定价”。

运筹学讲义-影子价格


03
影子价格可以帮助企业了解库 存水平变化对供应链整体效益 的影响，从而制定科学的库存 控制策略。
运输优化问题
影子价格可以用于运输优化 问题，通过比较不同运输方 案的影子价格，选择最优的 运输方式、路径和合作伙伴
。
影子价格可以反映运输延迟 和运输成本对供应链总成本 的影响，有助于企业制定合
理的运输策略。
风险调整
在风险决策分析中，影子价格可以作为风险调整因 子，用于调整不同投资方案的预期收益，以反映风 险水平对预期收益的影响。
风险分散
通过计算不同风险投资方案的影子价格，投资者可 以了解不同投资方案的风险分散程度，从而选择更 稳健的投资组合。
多目标决策分析
80%
目标权重
在多目标决策分析中，影子价格 可以作为目标权重，用于平衡不 同目标之间的冲突和矛盾，以实 现整体最优。
THANK YOU
感谢聆听
在线性规划问题中，影子价格 通常与最优解中的非基变量相 关，反映了资源的边际贡献。
影子价格的概念不仅适用于货 币资源，还可以扩展到其他类 型的资源，如时间、人力等。
影子价格在运筹学中的重要性
影子价格在运筹学中具有重要的实际意义，它可以帮助决策者理解资源的稀缺性，优化资源配置，提 高经济效益。
通过比较不同资源的影子价格，决策者可以判断哪些资源对目标函数的贡献更大，从而优先分配这些资 源。
100%
目标优化
通过影子价格对不同目标进行优 化，可以找到满足所有目标的最 佳方案，实现多目标决策的最优 解。
80%
目标优先级
影子价格还可以用于确定不同目 标的优先级，以指导决策者在资 源有限的情况下做出最优选择。
机会成本分析
机会成本计算

（定价策略）影子价格理论

（定价策略）影⼦价格理论期刊李明哲：计算价格和影⼦价格费⽤效益分析与财务分析最主要的区别之⼀是:前者使⽤影⼦价格,后者使⽤市场价格。

影⼦价格源于运筹学⾥的线性规划,是在既定资源约束条件下实现⽬标函数时得到的对偶解。

这个对偶解被称为“影⼦价格”是针对资源实际价格⽽⾔的,即先有了“竿”,然后才有太阳底下的“影”,没有“竿”就⽆从有“影”。

在传统的费⽤效益分析中,投⼊与产出都有“实际价格”或“现⾏市场价格”,如果这个市场价格不是由市场机制形成的,它就不可能反映投⼊产出的经济价值,那么就可设定资源最优配置的条件,在确定的⽬标下,计算能反映其经济价值的“影⼦价格”。

对于项⽬中的投⼊、产出,包括劳动⼒与外汇,亚洲开发银⾏主张⽤其“经济价值”表现。

在许多项⽬中,费⽤或效益根本就没有市场价格,例如1公顷林地垦耕还林涵养⽔分的价格,⾼速公路节省旅⾏时间的价格,空⽓质量恶化引发呼吸道疾病造成的费⽤(价格),卫⽣防疫减少发病率、降低死亡率的价格,培训教师提⾼授课质量和学⽣升学率的效益等等。

没有市场价格并不等于这些活动不会有经济产出,其内在的经济价值只是⽬前未能找到公认的简便⽅法来计量与表达,但通过努⼒在将来是可以实现的。

将上述⼏种情况中的估计价格称为影⼦价格虽然可以为⼈理解,但未免过于牵强。

在Little和Mirrlees的专著《发展中国家项⽬评价与计划》[6]中,他们指出经济学家使⽤影⼦价格“是⼀种不幸”,并主张使⽤“计算价格”,并在该书中有必要⽤能反映汇率经济价值的影⼦汇率取代实际汇率,实际⼯作中可使⽤影⼦汇率换算系数乘以实际汇率求得。

由于汇率是全国统⼀的,影⼦汇率换算系数就是国家级的评价参数,⼀般由国家投资主管部门组织测定与发布。

在《建设项⽬经济评价⽅法与参数》(第三版)的编制过程中,有关部门根据均衡汇率的原理,测算了影⼦汇率换算系数为1·04。

主编单位“考虑到进⼝增值税税率⼀般为17%,出⼝产品通常免征增值税,再考虑⾮贸易外汇收⽀不征收增值税,⾮贸易外汇收⽀占我国外汇收⽀⼀定⽐例,最终影⼦汇率换算系数取值为1·08”。

影子价格理论及确定方法

= 1 16 <=
24 16
Machine 1 time(hours) Decision variables Objective function Constrains: product A x product b y 2 24
Machine 2 time(hours) 1 16 Total profit 64 Slack 0 0
* * i 1
m
12
原问题与对偶问题的关系
互为对偶 最优解的存在性相同。 目标函数值相等。 解互为影子价格。
对偶问题的求法
原问题（对偶问题） 目标函数 max 约束条件≤ 约束条件≥ 对偶变量≤0 对偶变量≥0 约束条件= 自由变量 对偶问题（原问题） 目标函数 min 对偶变量≥0 对偶变量≤0 约束条件≤ 约束条件≥ 自由变量 约束条件=
5．从影子价格的含义上考察单纯形表的 检验数的经济意义。
j c j C B P c j yi a
B
1
m
j
ij

m
c j —第j种产品的产值
y i a ij
i 1
（4）
—生产第j中产品所消耗各项资源的
影子价格的总和。（即隐含成本）
i 1
可见，产品产值>隐含成本 可生产该产品； 否则，不安排生产。——检验数的经济意义
影子价格的经济意义
2．影子价格是一种边际价格。 z * * 在式中， b i y i 。 y i* 说明 的值相当于在资源得到最优利用 的生产条件下， b i 每增加一个单位时目标 函数 z 的增量。
3
几何解释：引例图解法分析。
6 x1 2 x2 24
（3，3） 6 x1 2 x2 25 （7/2，3/2），z=8.5 （15/4，5/4）,z=8.75
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说明，在当前的情况下， 钢材是有剩余的，煤炭 和设备才是企业的瓶颈。
再增加一台时设备，利润会增加 6/7
Page 10
对偶问题的经济解释－影子价格
影子价格的经济意义
Page 11
2）根据对偶理论的互补松弛性定理: 生产过程中如果某种资源未得到充分利用时，该种资源 的子价格为零；又当资源的影子价格不为零时，表明该种 资源在生产中已耗费完毕。
若第i 种资源的单位市场价格为mi ，则有当yi* > mi 时，企业愿意 购进这种资源，单位纯利为yi*－mi ，则有利可图；如果yi* < mi ， 则企业有偿转让这种资源，可获单位纯利mi－yi * ，否则，企业 无利可图，甚至亏损。 结论：若yi* > mi 则购进资源i，可获单位纯利yi*－mi 若yi* < mi则转让资源i ，可获单位纯利mi－yi
对偶性质
Page 26
性质2 弱对偶原理(弱对偶性)：设 X 0 和 Y 0分别是问题(P)和 (D)的可行解，则必有 n m max Z=C X 0 0 CX Y b 即： c j x j yi bi s.t. AX≤b j 1 i 1
推论1: 原问题任一可行解的目标函数值是其对偶 问题目标函数值的下届；反之，对偶问题任意可 行解的目标函数值是其原问题目标函数值的上界。 推论2: 在一对对偶问题（P）和（D）中，若其中 一个问题可行但目标函数无界，则另一个问题无 可行解。这也是对偶问题的无界性。
对偶问题的经济解释－影子价格
3）影子价格是一种机会成本
Page 18
影子价格是在资源最优利用条件下对单位资源的估价， 这种估价不是资源实际的市场价格。因此，从另一个角度说， 它是一种机会成本。
若第i 种资源的单位市场价格为mi ，则有当yi* > mi 时，企业愿意 购进这种资源，单位纯利为yi*－mi ，则有利可图；如果yi* < mi ， 则企业有偿转让这种资源，可获单位纯利mi－yi * ，否则，企业 无利可图，甚至亏损。 结论：若yi* > mi 则购进资源i，可获单位纯利yi*－mi 若yi* < mi则转让资源i ，可获单位纯利mi－yi
说明：只需要求出(P)或（D）中任一个的最优解和最优值， 即可得到另一个的最优解和最优值。 定理结论对任一形式的对偶问题成立。
对偶性质
性质5 互补松弛性：
在线性规划问题的最优解中： 如果对应某一约束条件的对偶变量值为非零，则 该约束条件取严格等式； 反之如果约束条件取严格不等式，则其对应的对 偶变量一定为零。
y1=5/3, y2=1/3 出售一些工时，反之则反
对偶问题的经济解释－影子价格
影子价格的经济意义 1）影子价格是一种边际价格
Page 21
在其它条件不变的情况下，单位资源数量的变化所引起 的目标函数最优值的变化。即对偶变量yi 就是第 i 种资源的 影子价格。即：
Z * y i * ( i 1,2 m ) bi 当B是原问题的最优基时，Y=CBB-1就是影子价格向量。
第二章 线性规划的对偶理论及 灵敏度分析
Operational Research ( OR )
线性 规划 的对 偶问 题与 灵敏 度分 析
线性规划的对偶问题 对偶问题的基本性质 影子价格 对偶单纯形法 灵敏度分析 参数线性规划

对偶问题的经济解释－影子价格
I
A B C 利润 3 6 4 20
Page 19
现有A/B两种产品，他们对资源的消耗和市场售价如 表所示，试决定他们是否值得生产？ 决策依据： • 比较新产品的市场价格和它消耗资源的按影子价 格计算的隐含成本的差异，如果市场价格低于隐 含成本，不应该生产，如果高于隐含成本，可以 生产。 • 市场价格低于隐含成本，不是说它会亏本，而是 指它会减少其他产品所创造的贡献（因为影子价 格大于零，资源是稀缺的） • 影子价格是一种机会成本
Page 5
对偶问题的经济解释－影子价格
影子价格的经济意义 1）影子价格是一种边际价格
Page 6
在其它条件不变的情况下，单位资源数量的变化所引起 的目标函数最优值的变化。即对偶变量yi 就是第 i 种资源的 影子价格。即：
Z * y i * ( i 1,2 m ) bi 当B是原问题的最优基时，Y=CBB-1就是影子价格向量。
X ≥0 min W= Y b s.t. YA ≥ C Y≤0
对称形式的对偶问题
对偶性质
Page 27
推论3：在一对对偶问题（P）和（D）中，若一个可行（如 P），而另一个不可行（如D），则该可行的问题目标函数 值无界。
性质3 最优性定理：如果 X 0 是原问题的可行解， Y 0是其对偶 问题的可行解，并且:
Page 3
II
2 6 3 30 100 60 200
原问题考虑：如何安排生产，使得企业获利最大？
对偶问题考虑：现有的资产应该以什么样的价格出让？
在资金富余的条件下，要增加投资，我们应该投资哪种资源？ 考虑：增加一个单位的A/B/C，利润的增加值有多大？
Page 4
如果还有现金，应该如何增加投资？
Page 12
Page 13
Page 14
Page 15
Page 16
决策依据： 考虑单位材料对目标函数的增量贡献，就是它的影子价 格，比较影子价格与市场价格的关系。 如果材料的影子价格大于市场价格，意味购入材料产生 的贡献大于它的市场价格，可考虑购入 如果材料的影子价格小于市场价格呢？
Page 17
yj ( j 1,..., m) yj 0 变量 yj 0 yj无约束
对偶性质
性质1 对称性定理：对偶问题的对偶是原问题
设原问题(P)为 设对偶问题(D)为
Page 25
max Z=C X s.t. AX≤b X ≥0
min W= Y b s.t. YA ≥ C Y≤0
A
b C 目标函数
约束系数矩阵
约束条件的右端项向量 目标函数中的价格系数向量 max z=∑CjXj
对 应 关 系 总 结
x j ( j 1,..., n) xj 0 变量 xj 0 x 无约束 j
有m个（j=1，...,m） n aijxi bj i=1 约束条件 n aijxi bj i=1 n aijxi bj i=1
CX 0 BY 0
即 : z＝w
则 X 0是原问题的最优解，Y 0是其对偶问题的最优解。
对偶性质
Page 28
性质4 强对偶性：若原问题及其对偶问题均具有可行解，则 两者均具有最优解，且它们最优解的目标函数值相等。
还可推出另一结论：若(P)存在最优解 X 0 ，B是对应最优解 的基，则(D)一定存在最优解 Y 0 =CB B-1。
对偶问题的经济解释－影子价格
I
A B C 利润 3 6 4 20
Page 7
II
2 6 3 30 100 60 200
在资金富余的条件下，要增加投资，我们应该投资哪种资源？
考虑：增加一个单位的A/B/C，利润的增加值有多大？
Page 8
Page 9
再增加一吨钢材，利润不会增加
再增加一吨煤炭，利润会增加 32/7
是否要生产呢？
A
B
C
拥有量
工 时
1
1 2
1
4 3
1
7 3
3
9
影 子 价 格 举 例
材 料 单件利润
y1 minW (3,9) 即工时的影子价格为5/3， y 2 材料的影子价格为1/3。 1 1 2 y1 如果目前市场上材料的价 格低于 1/3 ，则企业可以 y 3 1 4 购进材料来扩大生产，反 s.t.1 7 2 3 之可以卖掉部分材料。 y1 如果有客户以高于5/3 0 的价格购买工时，则可以 y2
Page 29
习题
2.16
Page 30
对偶问题的经济解释－影子价格
影子价格的经济意义
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2）根据对偶理论的互补松弛性定理: 生产过程中如果某种资源未得到充分利用时，该种资源 的影子价格为零；又当资源的影子价格不为零时，表明该种 资源在生产中已耗费完毕。
对偶问题的经济解释－影子价格
3）影子价格是一种机会成本
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影子价格是在资源最优利用条件下对单位资源的估价， 这种估价不是资源实际的市场价格。因此，从另一个角度说， 它是一种机会成本。
项目
原问题（对偶问题）
Page 24 对偶问题（原问题）
其约束系数矩阵的转置
目标函数中的价格系数向量 约束条件的右端项向量 min w= ∑ biyi
有n个（j=1，...,n） m aijyi cj i=1 m 约束条件 a ij y i c j i=1 m a ij y i c j i=1