《半导体器件导论》
第4章载流子输运和过剩载流子现象
例4.1 计算给定电场强度下半导体的漂移电流密度。
T＝300K时，硅的掺杂浓度为N d＝106cm，N a＝0。
电子和空穴的迁移率参见表4.1。
若外加电场强度ε＝35V cm
⁄，求漂移电流密度。
【解】
因为N d＞N a，所以在室温下，半导体是n型的。
若假设掺入杂质完全电离，则
n≈N d=1016cm−3
少数载流子空穴的浓度为
P=n i 2
n =(1.5×1010)
2
1016
=2.25×104cm−3
既然n≫p，漂移电流密度
J drf=e(μn n+μp p)ε≈eμn nε
因此
J drf=(1.6×10−19)(1350)(1016)(35)=75.6A cm2
⁄
【说明】
在半导体上施加较小的电场就能获得显著的漂移电流密度。
这个结果意味着非常小的半导体器件就能产生mA量级的电流。
例4.2 确定硅在不同温度下的电子和空穴迁移率。
利用图4.2分别求出以下两种情况载流随机热速度增加子的迁移率。
(a) 确定(i)N d＝1017cm−3，Τ＝150℃及（ii）N d＝1016cm−3，Τ＝0℃时的电子迁移率。
(b) 确定(i)N a＝1016cm−3，Τ＝50℃及（ii）N a＝1016cm−3，Τ＝150℃时的空穴迁移率。
【解】
由图4.2可知：
（a）（i）当N d＝1017cm−3，Τ＝150℃时，电子迁移率μn≈500cm2V∙s
⁄；
（ii）当N d＝1016cm−3，Τ＝0℃时，电子迁移率μn≈1500cm2V∙s
⁄。
（b）（i）当N a＝1016cm−3，Τ＝50℃时，空穴迁移率μp≈380cm2V∙s
⁄；
（i）当N a＝1017cm−3，Τ＝150℃时，空穴迁移率μp≈200cm2V∙s
⁄。
【说明】
由本例可见，迁移率随温度升高而降低。
例4.3 为了制备具有特定电流—电压特性的半导体电阻器，试确定硅在300K时的掺杂浓度。
考虑一均匀受主掺杂的条形硅半导体，其几何结构如图4.5所示。
若外加偏压为5V时，电流为2mA，且电流密度不大于J drf＝100A cm2
⁄。
试确定满足条件的截面积、长度及掺杂浓度。
图4.6 硅中电子浓度和电导率与温度倒数的关系曲线（引自S ze[14]）
【解】
所需截面积为
I=J drf A→A=I
J drf =2×10−3
100
=2×10−5cm2
器件的电阻为
R=v
I =5
2×10−3
=2.5×103Ω→2.5kΩ
由式(4.22b)，条形半导体的电阻表示为
R=L
σA ≈L
eμp pA
=L
eμp N a A
从这个关系式可知，掺杂浓度N a和长度L没有确定值。
如果选择非常小的L值，掺杂浓度N a的值可能小得不合理。
相反，如果选择非常大的L值，那么N a的值可能大得不合理。
所以，先选择一个合理的掺杂浓度值，然而再确定器件长度。
令N a＝1016cm−3，由图4.3可得，μp＝400cm2V∙s
⁄。
器件长度L为
L=σAR=eμp N a AR
=(1.6×10−19)(400)(1016)(2×10−5)(2.5×103)
或
L=3.2×10−2cm
【说明】
需注意的是，在分析和设计过程中，必须采用与掺杂浓度对应的迁移率。
例4.4 设计一个满足电阻率和电流密度要求的p型半导体电阻器。
Τ＝300Κ时，硅半导体的初始掺杂为施主，且杂质浓度N d＝5×1015cm−3。
现掺入受主杂质，形成p型补偿半导体要求电阻器的电阻R＝10 kΩ，外加偏压为5V时，电流密度J drf＝50A cm2
⁄，外加电场不大于100 V cm
⁄。
【解】
在10 kΩ电阻上施加5V偏压时，总电流为
I=v
R
=
5
10
=0.5mA
若电流密度限定为50A cm2
⁄，则截面积为
A=I
J =0.5×10−3
50
=10−5cm
由指定电压和电场，可得电阻长度为
L=v
ε=5
100
=5×10−2cm
由式(4.22b)可知，半导体的电导率为
σ=L
RA =5×10−2
(104)(10−5)
=0.50(Ω∙cm)−1
p型补偿半导体的电导率为
σ≈eμp p=eμp(N a−N d)
其中，迁移率μp是总电离杂质浓度N a+N d的函数。
反复计算得知，若N a＝1.25×1016cm−3，则N a+N d＝1.75×1016cm−3。
由图4.3可知，空穴迁移率μp≈410cm2V∙s
⁄。
所以电导率为
σ=eμp(N a−N d)
=(1.6×10−19)(410)(1.25×1016−5×1015)=0.492(Ω∙cm)−1
该结果与所求值非常接近。
【说明】
由于迁移率与总电离杂质浓度有关，所以不能由所求电导率直接计算出掺杂浓度。
例4.5 为了产生给定的扩散电流密度，试确定载流子的浓度梯度。
已知Τ＝300Κ时，硅中的空穴浓度从x ＝0到x ＝0.01cm 线性变化，空穴扩散系数D p ＝10cm 2s ⁄，空穴扩散电流密度J drf ＝20A cm 2⁄。
若x ＝0处的空穴浓度p ＝4×1017cm −3，求x ＝0.01cm 处的空穴浓度。
【解】
扩散电流密度为
J drf =−eD p d p d x ≈−eD p △p △x =−eD p [p (0.01)−p (0)0.01−0
] 或
20=−(1.6×10−19)(10)(
p (0.01)−4×10170.01−0
) 求解，可得
p (0.01)=2.75×1017cm −3
【说明】
我们注意到，既然空穴电流是正的，那么空穴的浓度梯度必定为负，这意味着x ＝0.01处的空穴浓度比x ＝0处的低。
例4.6 已知掺杂浓度线性变化，求平衡半导体中的感应电场。
假设Τ＝300Κ时，n 型半导体的施主杂质浓度为
N d (x )=1016−1019x (cm −3)
其中，x 的单位为cm ，且0≤x ≤1μm
【解】
取施主杂质浓度的微分，可得
dN d (x )d x =−10−19 (cm −4) 由式(4.42)给出的感应电场，我们有
ε=−(ΚΤe )[1N d (x )]dN d (x )d x =−(0.00259)(−1019)(1016−1019x ) 例如，在x ＝0处，我们有
ε=25.9V cm ⁄
【说明】
由此前对漂移电流的讨论可知，很小的电场就能产生相当大的漂移电流密度，所以非均匀掺杂的感应电场可显著改变半导体器件的特性。
例 4.7 已知载流子的迁移率，求扩散系数。
假设Τ＝300Κ时的载流子迁移率μ为1000cm 2V ∙s ⁄。
【解】
由爱因斯坦关系式，可得
D=(κΤe )μ=(0.00259)(1200)=31.1cm 2s ⁄
【说明】
尽管本例非常简单，但它给出了扩散系数和迁移率的相对量级。
在室温下，扩散系数比迁移率的幅值小40倍。
例4.8 由霍尔效应参数确定多数载流子的浓度和迁移率。
如图4.20所示，令L ＝10−1cm ，
W ＝10−2cm ，d ＝10−3cm 。
设I x ＝1.0mA ，V x ＝12.5V ，B ＝5×10−2，V H ＝−6.25Mv.
【解】
由于霍尔电压为负，所以半导体为n 型。
由式(4.70)可得，电子浓度为
n=−(10−3)(5×10−2)1.6×105×1012.51010=5×1021m −3
或
n ＝5×1015cm −3
由式(4.74)可得，电子迁移率为
μn =(10−3)(10−3)(1.6×10−19)(5×1021)(12.5)(10−4)(10−5)=0.10m 2V ∙s ⁄=1000cm 2V ⁄
【说明】
注意，只有采用米∙千克∙秒（MKS ）的国际单位制才能从霍尔效应公式中得到正确的结果。
