matlab符号计算及其应用
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第1讲MATLAB的符号计算总结
第1讲MATLAB的符号计算总结MATLAB是一种广泛应用于科学计算、符号计算和数据可视化的编程语言和工具箱。
它的符号计算功能使得用户可以进行代数运算、微积分、矩阵计算等复杂的数学运算。
本文将对MATLAB的符号计算功能进行总结，包括符号变量的定义和操作、方程的求解、积分和微分运算、矩阵计算等。
首先，MATLAB中的符号计算功能需要使用符号计算工具箱。
用户可以通过在命令窗口中输入“syms”命令来定义符号变量。
例如，可以使用“syms x”命令来定义一个符号变量x。
用户还可以一次性定义多个符号变量，例如“syms x y z”。
在定义了符号变量之后，用户可以对这些符号变量进行各种代数运算。
例如，可以使用"+"、"-"、"*"、"/"等运算符进行加减乘除运算。
用户还可以使用"^"运算符进行指数运算，使用"sqrt"函数进行开平方运算，使用"sin"、"cos"、"tan"等函数进行三角函数运算。
除了基本的代数运算，MATLAB还提供了求解方程的功能。
用户可以使用"=="运算符定义一个方程，然后使用"solve"函数求解这个方程。
例如，可以使用“solve(x^2-2*x-3 == 0, x)”来求解方程x^2-2*x-3=0的解。
用户还可以使用"subs"函数将符号变量的值代入到表达式中，例如“subs(x^2-2*x-3, x, 2)”会将x替换为2，计算出表达式的值。
在进行符号计算时，MATLAB还提供了积分和微分运算的功能。
用户可以使用"int"函数进行不定积分运算，或者使用"dblquad"函数进行二重积分运算。
用户还可以使用"diff"函数进行一阶偏导数运算，或者使用"hessian"函数计算二阶偏导数矩阵。
2第五讲MATLAB符号运算
（二）符号表达式运算
1.符号表达式的四则运算
符号表达式的加、减、乘、除运算可直接由算 符’+’,’-’*’,’/’,’\’ 来实现，幂运算可以由’^n’来实现。
算符’.*’,’./’,’.\’,’.^’,分别实现元素对元素的数组的乘、 左除、右除、和幂的运算。
MATLAB中没有ln运算符遇到它用log运算符代替。 另外log2(x),log10(y)表示求x和y的以2为底和以10为 底的对数。
实例演示
• 作符号计算(解方程组，其中a,b为常数，
x,y为变量)：
• a,b,x,y均为符号运算量。在符号运算前，
应先将a,b,x,y定义为符号运算量。
实例演示
a=sym('a'); %定义‘a’为符号运算量，输出 变量名为a
b=sym('b');x=sym('x');y=sym('y');
（四）符号替换
• MATLAB软件提供的符号替换命令为subs，通常使 用下面三种形式（对数组也适用）： • (1) subs(s,new) 用new替换s中的自由变量； • (2) subs(s,old,new) 用new替换s中的变量old； • (3) subs(s) 用当前内存中的已赋值变量去代 替s中的同名变量； • 例：执行命令 • subs(a+b,a,4) • 执行结果为 • 4+b
学习内容 • 一、符号对象
• 二、符号运算与高等数学 • 三、符号方程的求解
符号运算与高等数学
一、极限的计算
二、导数的运算
三、积分的运算
四、级数求和问题
五、函数的极值和零点
一、极限的计算
• 求极限问题解析解的MATLAB命令格式： • Limit(f)
MATLAB应用第三章-符号计算
第三章 MATLAB符号计算
3. 1 数据类型 3.2 符号运算
数学运算中除了数值运算外，还有大量抽象运算（计算式中带有符号变 量、表达式的运算）。Matlab就是利用maple软件的符号运算功能来实 现这些符号运算的。 Maple : 通用的数学和工程软件，是世界上最值得信赖、最完整的数学 软件之一，被高等院校、研究机构和公司广泛应用，用户渗透超过97％ 的世界主要高校和研究所，超过81％的世界财富五百强企业。 Maple提供世界上最强大的符号计算，无与伦比的数值计算，支持 用户界面开发和网络发布，内置丰富的数学求解库，覆盖几乎所有的数 学分支，所有的操作都是在一个所见即所得的交互式技术文档环境中完 成，完成计算的同时也生成了专业技术文件和演示报告。 Maple不仅仅提供编程工具，更重要的是提供数学知识。Maple是 教授、研究员、科学家、工程师、学生们必备的科学计算工具，从简单 的数字计算到高度复杂的非线性问题，Maple都可以帮助您快速、高效 地解决问题。用户通过Maple产品可以在单一的环境中完成多领域物理 系统建模和仿真、符号计算、数值计算、程序设计、技术文件、报告演 示、算法开发、外部程序连接等功能，满足各个层次用户的需要，从高 中学生到高级研究人员。
格 Eg 3-2 补充。 补充。 2）char函数创建：char(‘string1’,’string2’, …)； Eg 3-3 各个字符串不须同大小， 各个字符串不须同大小，该函数自动补充空白 字符。 字符。 Eg 3-4
字符串与单元 1）cellstr将字符数组转换成单元数组。 2）char函数将单元数组转换成字符数组。 数组的转换 字符串的比较 1）strcmp(a,b)：比较两个字符串所有字符是
Grand total is 33 elements using 462 bytes
3. 1 数据类型 3.2 符号运算
数学运算中除了数值运算外，还有大量抽象运算（计算式中带有符号变 量、表达式的运算）。Matlab就是利用maple软件的符号运算功能来实 现这些符号运算的。 Maple : 通用的数学和工程软件，是世界上最值得信赖、最完整的数学 软件之一，被高等院校、研究机构和公司广泛应用，用户渗透超过97％ 的世界主要高校和研究所，超过81％的世界财富五百强企业。 Maple提供世界上最强大的符号计算，无与伦比的数值计算，支持 用户界面开发和网络发布，内置丰富的数学求解库，覆盖几乎所有的数 学分支，所有的操作都是在一个所见即所得的交互式技术文档环境中完 成，完成计算的同时也生成了专业技术文件和演示报告。 Maple不仅仅提供编程工具，更重要的是提供数学知识。Maple是 教授、研究员、科学家、工程师、学生们必备的科学计算工具，从简单 的数字计算到高度复杂的非线性问题，Maple都可以帮助您快速、高效 地解决问题。用户通过Maple产品可以在单一的环境中完成多领域物理 系统建模和仿真、符号计算、数值计算、程序设计、技术文件、报告演 示、算法开发、外部程序连接等功能，满足各个层次用户的需要，从高 中学生到高级研究人员。
格 Eg 3-2 补充。 补充。 2）char函数创建：char(‘string1’,’string2’, …)； Eg 3-3 各个字符串不须同大小， 各个字符串不须同大小，该函数自动补充空白 字符。 字符。 Eg 3-4
字符串与单元 1）cellstr将字符数组转换成单元数组。 2）char函数将单元数组转换成字符数组。 数组的转换 字符串的比较 1）strcmp(a,b)：比较两个字符串所有字符是
Grand total is 33 elements using 462 bytes
Matlab符号计算在高等数学实验教学中的应用
Matlab符号计算在高等数学实验教学中的应用随着计算机技术和应用的迅速发展，计算机在高等数学教学中的应用逐渐得到推广和应用。
Matlab作为计算机数学及科学工程计算领域中的重要工具，广泛应用于高等数学教学中。
特别是Matlab符号计算功能的加入，更是将Matlab在高等数学实验教学中的应用推向了新的高度。
一、 Matlab符号计算在高等数学实验教学中的基本功能Matlab符号计算是Matlab工具中的一种功能。
它是一种利用计算机精确地进行各种符号运算，从而能够充分发挥计算机的计算能力和应用能力的功能。
Matlab符号计算有着以下的基本功能：1、解析式的简化和展开Matlab符号计算可以对各种实数和复数的函数进行简化和展开。
这样可以更加方便地进行求导和积分等运算，使得运算结果更加准确和精确。
2、方程的求解Matlab符号计算可以快速求解各种非线性方程，并可以利用数值方法对方程进行求解。
对于复杂的方程，利用计算机数值求解方法比传统的手工计算求解更加准确和简便。
3、矩阵分析Matlab符号计算可以进行矩阵分析，如求矩阵的逆、特征值等。
这对于矩阵分析、线性代数等数学分支的学习和应用有着很大的帮助。
1、符号计算在微积分分支中的应用在微积分分支中，Matlab符号计算可以快速求解各种高阶导数，并可以利用求解傅里叶级数等方法，可用于求解弧长、曲率半径、极值等问题。
此外，Matlab符号计算还可以进行积分符号计算，如定积分、广义积分、重积分、曲线积分等，帮助学生更快地掌握微积分的理论知识和应用方法。
在线性代数分支中，Matlab符号计算可以进行基础矩阵运算，如矩阵的求逆、特征值、特征向量等的计算，在线性方程组解法中，通过利用Matlab符号计算工具可以使求解过程简单、迅速，并能更精确地掌握线性代数理论知识和应用方法。
常微分方程分支是高等数学教学的重要内容。
常微分方程的数值方法是常微分方程分支的重要方法。
利用Matlab符号计算求解常微分方程可以更快地掌握数值方法的应用和原理，更深入地理解常微分方程分支的理论知识。
Matlab学习笔记--Matlab中的符号运算
Digits(n):这个命令函数主要用于设置有效数字个数为n的近似解的精度。
我们还可以使用vpa函数来实现数值之间的转换。
Vpa(s)将符号表达式s在digits的默认精度数值解
Vpa(s,d)将符号表达式s在digits的d精度下的数值解。
10.复合函数的运算
所谓复合函数，就是z=z(y),而y又是x的函数：y=y(x)，则求z对x的过程，就是复合运算的过程。Z=z(y(x))
8阶泰勒展开
18.傅里叶变换
Fw=fourier(ft,t,w):这个函数命令主要用于求解时域函数ft的Fourier变换Fw，其中ft以t为变量，而Fw以w为变量
Ft=ifourier(Fw,w,t):这个函数命令主要用于求解频域函数Fw的Fourier反变换，其中ft是以t为自变量的时域函数，Fw是以频域w为自变量的频域函数。
8.符号计算的结果往往比较复杂，不直观，系统还专门提供了对符号计算结果进行化简和替换的函数。
Collect函数在matlab中主要的功能是将符号表达式的同类项进行合并。
R=collect(S)将表达式中的各次的相同次幂的项进行合并，其中S可以是一个表达式，也可以是一个符号矩阵。
R=collect(S,v)将表达式的v的相同次幂的项进行合并。
上面的f是字符串，那么字符串没法进行上面的操作。
上面的f是一个符号，是一种替代，那么就可以进行上面的操作。
也就是说，字符中的x以后是没法被其他具体指替代的，但sym里面的x是以后可以用具体值替代的。
6.我们可以利用class查看对象的数据类型
从中可以看出，这类型就是区别
7.符号矩阵：将元素符号对象的矩阵称为符号矩阵，符号矩阵既可以构成符号矩阵函数，也可以构成符号矩阵方程，都属于符号表达式的范畴。
我们还可以使用vpa函数来实现数值之间的转换。
Vpa(s)将符号表达式s在digits的默认精度数值解
Vpa(s,d)将符号表达式s在digits的d精度下的数值解。
10.复合函数的运算
所谓复合函数，就是z=z(y),而y又是x的函数：y=y(x)，则求z对x的过程，就是复合运算的过程。Z=z(y(x))
8阶泰勒展开
18.傅里叶变换
Fw=fourier(ft,t,w):这个函数命令主要用于求解时域函数ft的Fourier变换Fw，其中ft以t为变量，而Fw以w为变量
Ft=ifourier(Fw,w,t):这个函数命令主要用于求解频域函数Fw的Fourier反变换，其中ft是以t为自变量的时域函数，Fw是以频域w为自变量的频域函数。
8.符号计算的结果往往比较复杂，不直观，系统还专门提供了对符号计算结果进行化简和替换的函数。
Collect函数在matlab中主要的功能是将符号表达式的同类项进行合并。
R=collect(S)将表达式中的各次的相同次幂的项进行合并，其中S可以是一个表达式，也可以是一个符号矩阵。
R=collect(S,v)将表达式的v的相同次幂的项进行合并。
上面的f是字符串，那么字符串没法进行上面的操作。
上面的f是一个符号，是一种替代，那么就可以进行上面的操作。
也就是说，字符中的x以后是没法被其他具体指替代的，但sym里面的x是以后可以用具体值替代的。
6.我们可以利用class查看对象的数据类型
从中可以看出，这类型就是区别
7.符号矩阵：将元素符号对象的矩阵称为符号矩阵，符号矩阵既可以构成符号矩阵函数，也可以构成符号矩阵方程，都属于符号表达式的范畴。
matlab中的数学符号与运算
matlab中的数学符号与运算MATLAB（Matrix Laboratory）是一种用于数值计算和科学工程应用的高级编程语言和环境。
MATLAB中包含了丰富的数学符号和运算，用于进行矩阵操作、线性代数、微积分等数学计算。
以下是MATLAB中一些常见的数学符号和运算：1. 数学符号：-矩阵：MATLAB 中的基本数据类型是矩阵，可以使用方括号`[]` 来表示。
例如，`A = [1, 2; 3, 4]` 表示一个2x2的矩阵。
-向量：向量可以表示为一维矩阵，例如，`v = [1, 2, 3]` 表示一个包含3个元素的行向量。
-转置：使用单引号`'` 来进行转置操作。
例如，`A'` 表示矩阵A的转置。
-点乘和叉乘：点乘使用`.*`，叉乘使用`.*`。
例如，`A .* B` 表示矩阵A和B的对应元素相乘，`A * B` 表示矩阵A和B的矩阵乘法。
2. 数学运算：-基本算术运算：MATLAB支持基本的算术运算，如加法、减法、乘法和除法。
例如，`result = 2 + 3`。
-元素-wise 运算：MATLAB 支持元素-wise 的运算，即对矩阵或向量中的每个元素进行运算。
例如，`C = A .* B` 表示矩阵A和B的对应元素相乘。
-矩阵操作：MATLAB 提供了许多用于矩阵操作的函数，如`inv`（求逆矩阵）、`det`（求行列式）、`eig`（求特征值）等。
-积分和微分：MATLAB 提供了`int`（积分）和`diff`（微分）等函数，用于进行积分和微分运算。
-方程求解：MATLAB 提供了`solve` 函数，用于求解方程组。
这些是MATLAB中一些常见的数学符号和运算。
MATLAB 的强大之处在于它的矩阵操作能力，使得它非常适用于数学和工程领域的计算和建模。
如果你有特定的数学运算需求，可以查阅MATLAB 的官方文档或在线资源以获取详细信息。
MATLAB符号运算运用
MATLAB符号运算运用MATLAB 是一种数值计算和编程环境，它可以进行符号运算，即对代数表达式进行操作和计算。
在 MATLAB 中，符号运算的主要工具是符号计算工具箱（Symbolic Math Toolbox），它提供了一系列函数和命令，用于处理和求解符号表达式。
1.创建符号表达式首先，我们可以通过使用符号变量来创建符号表达式。
符号变量可以使用 sym 函数定义。
例如，创建一个符号变量 x：```syms x```然后，可以使用这个符号变量来创建符号表达式。
例如，创建一个简单的二次多项式表达式：```f=x^2+2*x+1;```2.符号表达式运算一旦有了符号表达式，就可以对其进行各种运算，包括求导、积分、求解方程等。
- 求导：使用 diff 函数可以对符号表达式进行求导。
例如，对上述的 f 求导：```df = diff(f, x);```- 积分：使用 int 函数可以对符号表达式进行积分。
例如，对 f 在区间 [0, 1] 上进行积分：```I = int(f, 0, 1);```- 求解方程：使用 solve 函数可以对符号表达式进行求解。
例如，求解方程 f = 0：```sol = solve(f == 0, x);```3.简化符号表达式有时，符号表达式可能过于复杂，可以使用 simplify 函数对其进行简化。
例如，简化一个复杂的三角函数表达式：```syms xf = sin(x)^2 + cos(x)^2;sf = simplify(f);```4.数值近似符号表达式可以通过使用 vpa 函数进行数值近似。
例如，将一个符号表达式近似为 5 位小数：```syms xf = exp(x);f_num = vpa(f, 5);```在MATLAB中，符号运算可以应用于各种数学问题，包括求解方程、微积分、矩阵计算等。
它提供了一种便捷的方式来处理代数表达式，而不需要将其转化为数值形式进行计算。
MATLAB符号计算函数用法总结
MATLAB符号计算函数用法总结符号计算是对未赋值的符号对象（可以是常数、变量、表达式）进行运算和处理。
MTALAB具有符号数学工具箱（Symbolic Math toolbox），将符号运算结合到MATLAB的属具运算环境。
符号数学工具箱是建立在Maple软件基础上的。
算术符号操作：命令有：+、-、*、.*、\、.\、/、./、^、.^、’、.’用法如下：A+B、A-B符号阵列的加法和减法。
若A与B为同型阵列时，A+B、A-B分别对对应分量进行加减；若A与B中至少有一个为标量，则把标量扩大为与另外一个同型的阵列，再按对应的分量进行加减。
A*B符号矩阵乘法。
A*B为线性代数中定义的矩阵乘法。
按乘法定义要求必须有矩阵A的列数等于矩阵B的行数。
即：若An*k*Bk*m=(aij)n*k.*(bij)k*m=Cn*m=(cij)n*m，则，i=1,2,…,n；j=1,2,…,m。
或者至少有一个为标量时，方可进行乘法操作，否则将返回一出错信息。
A.*B符号数组的乘法。
A.*B为按参量A与B对应的分量进行相乘。
A与B必须为同型阵列，或至少有一个为标量。
即：An*m.*Bn*m=(aij)n*m.*(bij)n*m=Cn*m=(cij)n*m，则cij= aij* bij，i=1,2,…,n；j=1,2,…,m。
A\B矩阵的左除法。
X=A\B为符号线性方程组A*X=B的解。
我们指出的是，A\B近似地等于inv(A)*B。
若X不存在或者不唯一，则产生一警告信息。
矩阵A可以是矩形矩阵（即非正方形矩阵），但此时要求方程组必须是相容的。
A.\B数组的左除法。
A.\B为按对应的分量进行相除。
若A与B为同型阵列时，An*m.\Bn*m=(aij)n*m.\(bij)n*m=Cn*m=(cij)n*m，则cij= aij\ bij，i=1,2,…,n；j=1,2,…,m。
若若A与B中至少有一个为标量，则把标量扩大为与另外一个同型的阵列，再按对应的分量进行操作。
MATLAB符号计算函数用法总结
MATLAB符号计算函数用法总结MATLAB是一种功能强大的计算软件，除了常见的数值计算外，它还提供了符号计算的功能。
符号计算是一种基于表达式的计算方法，可以对数学表达式进行精确计算和推导。
在MATLAB中，通过符号计算工具箱可以进行符号计算操作。
下面是MATLAB符号计算函数的用法总结。
1.符号定义和表达式构建在MATLAB中，可以使用符号计算工具箱中的`sym`函数定义符号变量。
例如：```syms x;```这样就定义了一个符号变量x。
可以使用这个符号变量来构建表达式。
例如：```expr = x^2 + 2*x + 1;```这个表达式就代表了一个二次多项式。
2.符号计算基本操作符号计算工具箱提供了一些基本的符号计算函数，包括求导、积分、解方程等。
例如：- 求导：使用`diff`函数可以对表达式进行求导。
例如，对上面的表达式求一阶导数：```diff(expr, x)```- 积分：使用`int`函数可以对表达式进行积分。
例如，对上面的表达式进行不定积分：```int(expr, x)```- 解方程：使用`solve`函数可以解方程。
例如，解二次方程x^2 + 2*x + 1 = 0：```solve(expr, x)```这样就可以得到方程的解。
3.符号计算的精确性符号计算可以进行精确的计算和推导，不会出现数值计算中的舍入误差。
这对于一些需要精确结果的计算是非常重要的。
但是，由于符号计算涉及到代数表达式的操作，其计算速度一般比数值计算慢得多。
4.符号计算的应用符号计算在数学、工程和科学领域中有着广泛的应用。
它可以用于求解微积分、线性代数、微分方程等问题，还可以用于符号化简、符号化展开等操作。
符号计算还可以用于生成数学公式和方程推导的证明过程。
5.符号计算和数值计算的结合```subs(expr, x, 2)```这样就可以将表达式中的x替换为2，然后计算出结果。
总结：MATLAB符号计算函数提供了一种精确计算和推导的方法，可以对数学表达式进行求导、积分、解方程等操作。
实验三 MATLAB符号计算
都可以在矩阵意义下进行。但应注意这些函数作用于符号矩阵 时，是分别作用于矩阵的每一个元素。 由于符号矩阵是一个矩阵，所以符号矩阵还能进行有关矩阵的运 算。MATLAB还有一些专用于符号矩阵的函数，这些函数作用于 单个的数据无意义。例如 transpose(s)：返回s矩阵的转置矩阵。 determ(s)：返回s矩阵的行列式值。 其实，曾介绍过的许多应用于数值矩阵的函数，如diag、triu、 tril、
expr1 =
x^3+2*exp(-t)*x^2+(1+exp(-t)^2)*x+exp(-t) expr2 = x*exp(-t)^2+(2*x^2+1)*exp(-t)+(x^2+1)*x
expand使用指令 y=0.14-(1.2e+002)*(-2.4005*(0.445-x)^7+4.2505*(0.445x)^6-2.2336*(0.445-x)^5+0.4993*(0.445-x)^40.0514*(0.445-x)^3+0.0025*(0.445-x)^2);
符号矩阵的生成
符号矩阵可通过函数sym来生成。符号矩阵中的元素是任何不带等号的符 号表达式，各符号表达式的长度可以不相同；符号矩阵中，以空格或逗号 分隔的元素指定的是不同列的元素而分号分隔的元素指定的是不同行的元 素。 例：
syms x; A=sym(‘[cos(x),sin(x),x;-x+1 x^2+x+1 tan(x)]’) A= [ cos(x), sin(x), x] [ -x+1, x^2+x+1, tan(x)] >> size(A) %求符号矩阵的大小 ans = 2 3 > a=[1 2 3 4;4 5 6 7]; >> b=sym(a) b= [ 1, 2, 3, 4] [ 4, 5, 6, 7]
expr1 =
x^3+2*exp(-t)*x^2+(1+exp(-t)^2)*x+exp(-t) expr2 = x*exp(-t)^2+(2*x^2+1)*exp(-t)+(x^2+1)*x
expand使用指令 y=0.14-(1.2e+002)*(-2.4005*(0.445-x)^7+4.2505*(0.445x)^6-2.2336*(0.445-x)^5+0.4993*(0.445-x)^40.0514*(0.445-x)^3+0.0025*(0.445-x)^2);
符号矩阵的生成
符号矩阵可通过函数sym来生成。符号矩阵中的元素是任何不带等号的符 号表达式，各符号表达式的长度可以不相同；符号矩阵中，以空格或逗号 分隔的元素指定的是不同列的元素而分号分隔的元素指定的是不同行的元 素。 例：
syms x; A=sym(‘[cos(x),sin(x),x;-x+1 x^2+x+1 tan(x)]’) A= [ cos(x), sin(x), x] [ -x+1, x^2+x+1, tan(x)] >> size(A) %求符号矩阵的大小 ans = 2 3 > a=[1 2 3 4;4 5 6 7]; >> b=sym(a) b= [ 1, 2, 3, 4] [ 4, 5, 6, 7]
matlab符号加减运算
matlab符号加减运算在数学和工程领域，MATLAB是一个广泛使用的计算机软件，用于数值计算、数据分析和可视化。
除了常规的数学运算外，MATLAB还支持符号计算，即利用符号表达式进行代数运算。
本文将介绍MATLAB中的符号加减运算及其应用。
一、符号加减运算的基本概念符号加减运算是指在MATLAB中使用符号表达式进行算术运算。
与常规的数值计算不同，符号计算是基于符号变量的代数运算，以符号表达式的形式进行。
符号变量可以表示未知数、函数或者表达式等，能够处理包含变量的复杂数学问题。
在MATLAB中，符号运算需要使用符号工具箱，通过定义符号变量来实现。
可以使用符号函数来创建符号变量，例如：syms x y; % 创建符号变量x和y二、符号加法运算在MATLAB中，符号加法运算使用'+'符号进行表示。
两个或多个符号表达式可以通过加法运算进行相加。
例如，考虑如下的符号加法运算：>> syms x;>> expr1 = x^2 + x + 1;>> expr2 = 2*x + 5;>> result = expr1 + expr2;运行以上代码后，result中将保存两个符号表达式相加的结果。
三、符号减法运算与符号加法类似，符号减法运算在MATLAB中使用'-'符号进行表示。
两个符号表达式可以通过减法运算进行相减。
例如，考虑如下的符号减法运算：>> syms x;>> expr1 = x^2 + x + 1;>> expr2 = 2*x + 5;>> result = expr1 - expr2;运行以上代码后，result中将保存两个符号表达式相减的结果。
四、符号加减运算的应用符号加减运算在MATLAB中的应用非常广泛。
它可以用于求解代数方程、简化表达式、计算导数和积分等。
下面我们将介绍几个常见的应用案例。
matlab符号计算及其应用
int(f,v,a,b): 计算定积分
b
a
f ( v )dv
int(f,a,b): 计算关于默认变量的定积分
int(f,v): 计算不定积分
x2 1 例：计算 I 2 dx 2 ( x 2 x 2)
f (v )dv
和 K e
0 x2
int(f): 计算关于默认变量的不定积分
ln( x h ) ln( x ) L lim 例：计算 h0 h
x M lim 1 ， n n
n
>> syms x h n; >> L=limit((log(x+h)-log(x))/h,h,0) >> M=limit((1-x/n)^n,n,inf)
3
Matlab 符号运算特点
计算以推理方式进行，因此不受计算误差累积所带来的 困扰。
符号计算可以给出完全正确的封闭解，或任意精度的数
值解（封闭解不存在时）。
符号计算指令的调用比较简单，与数学教科书上的公式 相近。 符号计算所需的运行时间相对较长。
4
Matlab 符号运算举例
求一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的根 >> solve('a*x^2+b*x+c=0') 求的根 f (x) = (cos x)2 的一次导数 >> x=sym('x'); >> diff(cos(x)^2) 计算 f (x) = x2 在区间 [a, b] 上的定积分
>> Y=sym('[y11,y12,y13;y21,y22,y23]'); >> Z1=X*Y; Z2=X'.*Y;
b
a
f ( v )dv
int(f,a,b): 计算关于默认变量的定积分
int(f,v): 计算不定积分
x2 1 例：计算 I 2 dx 2 ( x 2 x 2)
f (v )dv
和 K e
0 x2
int(f): 计算关于默认变量的不定积分
ln( x h ) ln( x ) L lim 例：计算 h0 h
x M lim 1 ， n n
n
>> syms x h n; >> L=limit((log(x+h)-log(x))/h,h,0) >> M=limit((1-x/n)^n,n,inf)
3
Matlab 符号运算特点
计算以推理方式进行，因此不受计算误差累积所带来的 困扰。
符号计算可以给出完全正确的封闭解，或任意精度的数
值解（封闭解不存在时）。
符号计算指令的调用比较简单，与数学教科书上的公式 相近。 符号计算所需的运行时间相对较长。
4
Matlab 符号运算举例
求一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的根 >> solve('a*x^2+b*x+c=0') 求的根 f (x) = (cos x)2 的一次导数 >> x=sym('x'); >> diff(cos(x)^2) 计算 f (x) = x2 在区间 [a, b] 上的定积分
>> Y=sym('[y11,y12,y13;y21,y22,y23]'); >> Z1=X*Y; Z2=X'.*Y;
关于matlab符号计算的综合实例
关于matlab符号计算的综合实例在科学计算领域，matlab是一种非常常用的软件工具，它具有强大的符号计算功能，可以对符号表达式进行求导、积分、解方程等操作，为科学研究和工程设计提供了便利。
本文将通过一些实例，介绍matlab符号计算功能的应用和操作技巧。
一、符号变量的定义和基本运算我们需要明白matlab中符号计算需要先定义符号变量。
在matlab中，可以使用syms命令定义符号变量，比如：syms x y这样就定义了两个符号变量x和y。
接下来，我们就可以进行基本的符号运算，比如加法、减法、乘法和除法，示例代码如下：1. 加法：z = x + y2. 减法：w = x - y3. 乘法：4. 除法：v = x / y通过这些简单的示例，我们可以看到，matlab对于符号变量的基本运算操作和数学运算规则是一致的，只是使用符号变量进行运算，可以得到符号表达式作为结果。
二、符号函数的求导和积分在科学计算中，求导和积分是非常常见的操作，matlab可以对符号函数进行求导和积分操作，示例代码如下：1. 求导：f = x^2 + 3*x + 2df = diff(f, x)2. 积分：F = int(f, x)通过这些示例，我们可以看到，matlab可以对符号函数进行求导和积分操作，并得到相应的结果。
这对于解决一些数学问题和工程问题非三、符号方程的求解在科学研究和工程设计中，经常会遇到需要求解符号方程的情况，matlab提供了符号求解方程的功能，示例代码如下：1. 求解一元方程：syms xeqn = x^2 - 4*x + 3 == 0;sol = solve(eqn, x)2. 求解多元方程：syms x yeqn1 = x + y == 3;eqn2 = x - y == 1;sol = solve([eqn1,eqn2],[x,y])通过这些示例，我们可以看到，matlab可以对符号方程进行求解，并得到相应的结果。
MATLAB中的符号计算方法及应用
MATLAB中的符号计算方法及应用导言在计算机科学领域，符号计算是一种重要的技术手段，它通过代数符号的表达和计算，使得计算机能够处理和求解数学问题，尤其是涉及到复杂的代数式和方程组的求解。
MATLAB是一款功能强大的数值计算软件，其内置了丰富的符号计算工具包，使得符号计算在MATLAB中得以广泛应用。
本文将介绍MATLAB中常用的符号计算方法及其应用，包括符号变量的定义与操作、符号表达式的简化与计算、符号方程的求解以及符号积分和微分运算等方面。
一. 符号变量的定义与操作在MATLAB中，通过声明符号变量可以创建代表数学符号的对象。
符号变量可以表示任意复杂的代数式，包括常数、变量、函数等。
定义符号变量的基本语法是使用"syms"关键字，后跟一个或多个以空格或逗号分隔的变量名。
例如，下面的代码定义了两个符号变量x和y：```MATLABsyms x y;```在定义符号变量后，我们可以对其进行各种操作，包括代数运算、求导、求积等。
例如，我们可以定义一个符号表达式expr，并通过操作符对其进行计算：```MATLABexpr = x^2 + 2*x + 1;result = simplify(expr + 1);```上述代码中，我们对表达式expr进行了简化操作，将其与常数1相加，并将结果存储在变量result中。
通过这种方式，我们可以对复杂的代数式进行简化和计算，从而得到更清晰和简洁的结果。
二. 符号表达式的简化与计算MATLAB中的符号计算工具包提供了丰富的函数，用于对符号表达式进行求值、简化、展开等操作。
这些函数可以大大简化数学计算的过程，提高计算效率。
1. 符号表达式的求值在MATLAB中，我们可以使用subs函数对符号表达式进行求值。
subs函数接受两个参数，第一个参数是要求值的表达式，第二个参数是用于替换变量的数值。
例如，我们可以使用subs函数将符号表达式expr中的x替换为3，求得结果：```MATLABresult = subs(expr, x, 3);```上述代码中，我们将表达式expr中的x替换为3，并将结果存储在变量result 中。
第七章 Matlab符号计算
Matlab程序设计及应用
第七章 第10页
1、符号计算基础 建立符号表达式--用sym函数建立符号表达式
U=sym('3*x^2-5*y+2*x*y+6') M=sym('[a,b;c,d]')
结果显示： U= 3*x^2-5*y+2*x*y+6 M= [ a, b] [ c, d]
Matlab程序设计及应用
Matlab程序设计及应用
第七章 第20页
1、符号计算基础 符号表达式中变量的确定
MATLAB中的符号可以表示符号变量和符号常量。 findsym可以帮助用户查找一个符号表达式中的 的符号变量。该函数的调用格式为：
findsym(s,n) 函数返回符号表达式s中的n个符号变量，若没有 指定n，则返回s中的全部符号变量。 Matlab按离字母x最近的原则确定默认变量。
Matlab程序设计及应用
第七章 第17页
1、符号计算基础
syms a b x y;
A=a^3-b^3; factor(A) expand(s) collect(s,x) %对A分解因式 %对s展开 %对s按x合并同类项 s=(-7*x^2-8*y^2)*(-x^2+3*y^2);
g='x^2-x+7'
symadd(f,g)；symsub(f,g)；
symmul(f,g)；symdiv(f,g)；
sympow(f,'3*x')
Matlab程序设计及应用
第七章 第13页
符号表达式的四则运算
与数值运算一样，也可以利用+、-、*、/、
^运算符实现符号运算。
第七章 第10页
1、符号计算基础 建立符号表达式--用sym函数建立符号表达式
U=sym('3*x^2-5*y+2*x*y+6') M=sym('[a,b;c,d]')
结果显示： U= 3*x^2-5*y+2*x*y+6 M= [ a, b] [ c, d]
Matlab程序设计及应用
Matlab程序设计及应用
第七章 第20页
1、符号计算基础 符号表达式中变量的确定
MATLAB中的符号可以表示符号变量和符号常量。 findsym可以帮助用户查找一个符号表达式中的 的符号变量。该函数的调用格式为：
findsym(s,n) 函数返回符号表达式s中的n个符号变量，若没有 指定n，则返回s中的全部符号变量。 Matlab按离字母x最近的原则确定默认变量。
Matlab程序设计及应用
第七章 第17页
1、符号计算基础
syms a b x y;
A=a^3-b^3; factor(A) expand(s) collect(s,x) %对A分解因式 %对s展开 %对s按x合并同类项 s=(-7*x^2-8*y^2)*(-x^2+3*y^2);
g='x^2-x+7'
symadd(f,g)；symsub(f,g)；
symmul(f,g)；symdiv(f,g)；
sympow(f,'3*x')
Matlab程序设计及应用
第七章 第13页
符号表达式的四则运算
与数值运算一样，也可以利用+、-、*、/、
^运算符实现符号运算。
Matlab图形功能与符号计算
2
二维图形
含多个输入参数的plot函数 plot(x1,y1,x2,y2,…,xn,yn)：当输入参数都为向量时， x1和y1，x2和y2，…，xn和yn分别组成一组向量对， 每一组向量对的长度可以不同。每一向量对可以绘 制出一条曲线，这样可以在同一坐标内绘制出多条 曲线。
3
二维图形
例：作y=sinx在[0，2π]上的图形 x=linspace(0,2*pi,30); y=sin(x); plot(x,y);
坐标系统控制
axis([xmin xmax ymin ymax)] []中分别给出 轴和 轴的最小、最大值 中分别给出x轴和 轴的最小、 中分别给出 轴和y轴的最小
6
二维图形
图形标注
xlabel、ylabel和zlabel分别用于对 、y、z轴加标 、 分别用于对x、 、 轴加标 和 分别用于对 注 title 用于给整个图形加标题 text和gtext 用于在图形中特定的位置加字符串，前 用于在图形中特定的位置加字符串， 和 者字符串的位置在命令中指定， 者字符串的位置在命令中指定，后者用鼠标指定 grid 在图形上加网格
1
−t
25
符号函数作图
一般曲线图
作cos(x)在[-2*pi,2*pi]上的图形 在 上的图形 ezplot(‘cos(x)’) 作cos(x)在[0,pi]上的图形 在 上的图形 ezplot(‘cos(x)’,[0,pi])
作参数方程图
为圆的参数方程： 为圆的参数方程：x=cos(t),y=sin(t)作图 作图 ezplot('cos(t)','sin(t)',[0 2*pi])
23
符号微积分
极限
MATLAB符号计算功能
MATLAB符号计算功能MATLAB是一种高级计算机语言和环境，广泛用于科学和工程计算。
除了数值计算功能，MATLAB还提供了符号计算功能，即能够进行符号推导和代数计算的能力。
本文将详细介绍MATLAB的符号计算功能，包括符号表达式和符号求解。
一、符号表达式在MATLAB中，可以使用符号对象来创建和操作符号表达式。
符号对象是一种特殊的MATLAB变量类型，用于存储和操作符号表达式，而不是数值。
符号表达式由符号变量和运算符组成，可以表示代数表达式、方程、微积分等。
1.创建符号变量可以使用syms函数创建符号变量。
例如，要创建一个名为x的符号变量，可以使用以下命令：syms x2.创建符号表达式可以使用符号变量和运算符创建符号表达式。
例如，要创建一个符号表达式x^2+2*x+1，可以使用以下命令：expr = x^2 + 2*x + 13.展示符号表达式可以使用disp函数将符号表达式显示在命令窗口中。
例如，要展示上述创建的符号表达式，可以使用以下命令：disp(expr)二、符号求解1.方程求解可以使用solve函数求解方程。
solve函数可以解代数方程、方程组和符号方程。
例如，要解方程x^2 + 2*x + 1 = 0，可以使用以下命令：sol = solve(x^2 + 2*x + 1 == 0, x)2.求导可以使用diff函数对符号表达式进行求导。
diff函数可以计算一阶、多阶和偏导数。
例如，要对表达式x^2 + 2*x + 1进行求导，可以使用以下命令：diff_expr = diff(expr, x)3.积分可以使用int函数对符号表达式进行积分。
int函数可以计算定积分和不定积分。
例如，要对表达式x^2 + 2*x + 1进行积分，可以使用以下命令：int_expr = int(expr, x)4.简化表达式可以使用simplify函数简化符号表达式。
simplify函数可以将符号表达式转化为其最简形式。
matlab符号运算
matlab符号运算符号计算1.符号计算的优点：所谓符号计算是指解算数学表达式、方程时，不是在离散化的数值点上进行的，而是凭借一系列的恒等式和数学定理，通过推理和演算获得的解析结果。
这种计算建立在数值完全准确表达和严格推演的基础之上，因而所得结果完全准确。
当然，也存在者不足，后文将会提到。
符号变量的优点是，使用符号变量运算得到的只是一个解析解，例如，在符号变量运算过程中pi就用pi表示，而不是具体的近似数值3.14或3.14159。
使用符号变量进行运算能最大限度减少运算过程中因舍入造成的误差。
符号变量也便于进行运算过程的演示。
2.符号对象的创建：2.1单个符号变量S = sym(A)将非符号对象（如，数字，表达式，变量等）A转换为符号对象，并存储在符号变量S中。
x = sym('x')创建符号变量x，其名字是'x'。
示例：alpha = sym('alpha')x = sym('x', 'real')这里假设x是实数，因此有x的共轭conj(x)等于x。
示例：r = sym('Rho','real')k = sym('k', 'positive') %09版不能用这个方法实现这里创建一个正的（实数）符号变量。
x = sym('x', 'clear')创建一个没有额外属性的纯形式上的符号变量x（例如，创建符号变量x，但是并没指定它是正的或它是一个实数）。
为了兼容旧的MATLAB版本，x = sym('x','unreal')的功能和x = sym('x', 'clear')一样。
S = sym(A, flag)把一个数值标量或矩阵转换为符号型的对象。
这里flag参数的值可以是：'r', 'd', 'e', or 'f'，它指定了对浮点数进行转换时的规则：'f':表示“floating-p oint”。
第五讲 MATLAB的符号计算功能
f3 =
sin(x)/sin(2*x)+3
8、变量代换
>> f1='1/(1+x^2)';
>> f2='sin(x)'; >> subs(f1,'s','x') ans = 1/(1+(s)^2)
>> subs(f2,'alpha','x')
ans =
sin((alpha))
二、符号函数的微积分 1、求导 diff(f)
[ c, d]
1、符号变量的赋值
>> f1='sin(x)^2’；f2='exp(-x^2/2)’；f3='1/(1+x^2)’；
f1 = sin(x)^2 f2 = exp(-x^2/2) f3 = 1/(1+x^2)
符号常量 • 没有变量的符号表达式叫作符号常量
>> a2='3' a2 =
3
2、求逆运算
例 求二阶符号矩阵的逆 >> M=sym('[a,b;c,d]') M= [ a, b] [ c, d] >> inv(M) ans =
[ d/(a*d-b*c), -b/(a*d-b*c)]
[ -c/(a*d-b*c), a/(a*d-b*c)]
3、求符号矩阵的除法
>> symdiv(A,B)
ans =
[-1/(-b11*b22+b12*b21)*(b22*a11-b21*a12), b11*a12+a11*b12)/(-b11*b22+b12*b21)] [-1/(-b11*b22+b12*b21)*(-b21*a22+b22*a21), b11*a22+a21*b12)/(-b11*b22+b12*b21)] ((-
sin(x)/sin(2*x)+3
8、变量代换
>> f1='1/(1+x^2)';
>> f2='sin(x)'; >> subs(f1,'s','x') ans = 1/(1+(s)^2)
>> subs(f2,'alpha','x')
ans =
sin((alpha))
二、符号函数的微积分 1、求导 diff(f)
[ c, d]
1、符号变量的赋值
>> f1='sin(x)^2’；f2='exp(-x^2/2)’；f3='1/(1+x^2)’；
f1 = sin(x)^2 f2 = exp(-x^2/2) f3 = 1/(1+x^2)
符号常量 • 没有变量的符号表达式叫作符号常量
>> a2='3' a2 =
3
2、求逆运算
例 求二阶符号矩阵的逆 >> M=sym('[a,b;c,d]') M= [ a, b] [ c, d] >> inv(M) ans =
[ d/(a*d-b*c), -b/(a*d-b*c)]
[ -c/(a*d-b*c), a/(a*d-b*c)]
3、求符号矩阵的除法
>> symdiv(A,B)
ans =
[-1/(-b11*b22+b12*b21)*(b22*a11-b21*a12), b11*a12+a11*b12)/(-b11*b22+b12*b21)] [-1/(-b11*b22+b12*b21)*(-b21*a22+b22*a21), b11*a22+a21*b12)/(-b11*b22+b12*b21)] ((-
Matlab符号计算
指定符号函数f（x）的自变量，则使用该格式时，符号 函数f（x）的变量为函数findsym(f)确定的默认自变量， 既变量x趋近于a。
limit(f)：求符号函数f（x）的极限值。符号函数f（x）
的变量为函数findsym(f)确定的默认变量；没有指定变量的 目标值时，系统默认变量趋近于0，即a=0的情况。
三 Taylor展式
1 Taylor展式
求已知函数的taylor展开式taylor命令， 调用格式为：
taylor(函数f(x)) f(x)的5次taylor多项式
taylor(函数f(x)，n)
f(x)的n-1次taylor多项式
taylor(函数f(x)，a，n)
f(x)在a点的n-1次taylor多项式
MATLAB 符号计算
所谓符号计算是指在运算时,无须事先对变量赋值,而将所 得到结果以标准的符号形式来表示。MathWorks公司以 Maple的内核作为符号计算引擎（Engine），依赖Maple 已有的函数库，开发了实现符号计算的两个工具箱：基 本符号工具箱和扩展符号工具箱。
一 符号计算基础 二符号计算应用
2 级数求和
求级数的和命令symsum调用格式为：
symsum(S,n)，求 symsum(S,k,m,n), 求
【 例 】 求 级 数 的 和 : 键 入 ： 1/12+1/22+1/32+1/42+ …… syms k symsum(1/k^2,1,Inf) %k值为1到无 穷大 ans = 1/6*pi^2 其结果为：1/12+1/22+1/32+1/42+ ……=π2/6
a,b,x,y均为符号运算量。 在符号运算前，应先将a,b,x,y定义为符号运算量
limit(f)：求符号函数f（x）的极限值。符号函数f（x）
的变量为函数findsym(f)确定的默认变量；没有指定变量的 目标值时，系统默认变量趋近于0，即a=0的情况。
三 Taylor展式
1 Taylor展式
求已知函数的taylor展开式taylor命令， 调用格式为：
taylor(函数f(x)) f(x)的5次taylor多项式
taylor(函数f(x)，n)
f(x)的n-1次taylor多项式
taylor(函数f(x)，a，n)
f(x)在a点的n-1次taylor多项式
MATLAB 符号计算
所谓符号计算是指在运算时,无须事先对变量赋值,而将所 得到结果以标准的符号形式来表示。MathWorks公司以 Maple的内核作为符号计算引擎（Engine），依赖Maple 已有的函数库，开发了实现符号计算的两个工具箱：基 本符号工具箱和扩展符号工具箱。
一 符号计算基础 二符号计算应用
2 级数求和
求级数的和命令symsum调用格式为：
symsum(S,n)，求 symsum(S,k,m,n), 求
【 例 】 求 级 数 的 和 : 键 入 ： 1/12+1/22+1/32+1/42+ …… syms k symsum(1/k^2,1,Inf) %k值为1到无 穷大 ans = 1/6*pi^2 其结果为：1/12+1/22+1/32+1/42+ ……=π2/6
a,b,x,y均为符号运算量。 在符号运算前，应先将a,b,x,y定义为符号运算量
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大整数的分解要转化成符号常量
18
函数展开
函数展开
expand(f)
多项式展开
>> syms x; f=(x+1)^6; >> expand(f)
三角函数展开
>> syms x y; f=sin(x+y); >> expand(f)
19
合并同类项
合并同类项
collect(f,v): 按指定变量 v 进行合并 collect(f): 按默认变量进行合并
13
符号表达式的替换
用给定的数据替换符号表达式中的指定的符号变量
subs(f,x,a) 用 a 替换字符函数 f 中的字符变量 x a 是可以是 数/数值变量/表达式 或 字符变量/表达式
若 x 是一个由多个字符变量组成的数组或矩阵， 则 a 应该具有与 x 相同的形状的数组或矩阵。
14
例：指出下面各条语句的输出结 果
int(f,v,a,b): 计算定积分
b
a
f ( v )dv
int(f,a,b): 计算关于默认变量的定积分
int(f,v): 计算不定积分
x2 1 例：计算 I 2 dx 2 ( x 2 x 2)
f (v )dv
和 K e
0 x2
int(f): 计算关于默认变量的不定积分
>> Y=sym('[y11,y12,y13;y21,y22,y23]'); >> Z1=X*Y; Z2=X'.*Y;
10
符号对象的基本运算
基本函数
三角函数与反三角函数、指数函数、对数函数等
sin、cos、tan、cot、sec、csc、… asin、acos、atan、acot、asec、 acsc、…
findsym(expr, N) 按顺序列出 expr 中离 x 最近的 N 个符号变量
若表达式中有两个符号变量与 x 的距离相等， 则ASCII 码大者优先。
常量 pi, i, j 不作为符号变量
12
findsym 举例
例： >> f=sym('2*w-3*y+z^2+5*a')
>> findsym(f) >> findsym(f,3) >> findsym(f,1)
dx
>> syms x; f=(x^2+1)/(x^2-2*x+2)^2; >> I=int(f,x) >> K=int(exp(-x^2),x,0,inf)
28
符号求和
symsum(f,v,a,b): 求和
f (v )
v a
b
symsum(f,a,b): 关于默认变量求和
1 例：计算级数 S 2 及其前100项的部分和 n 1 n >> syms n; f=1/n^2; >> S=symsum(f,n,1,inf) >> S100=symsum(f,n,1,100) x 例：计算函数级数 S 2 n 1 n
3
Matlab 符号运算特点
计算以推理方式进行，因此不受计算误差累积所带来的 困扰。
符号计算可以给出完全正确的封闭解，或任意精度的数
值解（封闭解不存在时）。
符号计算指令的调用比较简单，与数学教科书上的公式 相近。 符号计算所需的运行时间相对较长。
4
Matlab 符号运算举例
求一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的根 >> solve('a*x^2+b*x+c=0') 求的根 f (x) = (cos x)2 的一次导数 >> x=sym('x'); >> diff(cos(x)^2) 计算 f (x) = x2 在区间 [a, b] 上的定积分
dsolve
y=dsolve('eq1','eq2', ... ,'cond1','cond2', ... ,'v') 其中 y 为输出的解， eq1、eq2、. . . 为微分方程， cond1、cond2、...为初值条件， v 为自变量
dy x2 例 1：求微分方程 的通解，并验证。 2 xy xe dx
x( x( x( x 1) 1)) 1
>> syms x; >> f=x^4+2*x^3+4*x^2+x+1; >> g=horner(f)
25
计算极限
f ( x) limit(f,x,a): 计算 lim xa limit(f,a): 当默认变量趋向于 a 时的极限 limit(f): 计算 a=0 时的极限 limit(f,x,a,'right'): 计算右极限 limit(f,x,a,'left'): 计算左极限
22
函数简化举例
8 例：简化 f ( x ) 3 13 62 12 x x x
>> syms x; >> f=(1/x^3+6/x^2+12/x+8)^(1/3); >> y1=simplify(f) >> g1=simple(f) >> g2=simple(g1)
多次使用 simple 可以达到最简表达。
16
六类常见符号运算
因式分解、展开、合并、简化及通分等 计算极限 计算导数 计算积分 符号求和 代数方程和微分方程求解
17
因式分解
因式分解
factor(f)
>> syms x; f=x^6+1; >> factor(f)
factor 也可用于正整数的分解
>> s=factor(100) >> factor(sym('12345678901234567890'))
6
符号对象的建立
符号对象的建立：sym 和 syms
sym 函数用来建立单个符号变量，一般调用格式为：
符号变量 = sym(A) 参数 A 可以是一个数或数值矩阵，也可以是字符串
例： >> a=sym('a')
>> b=sym(1/3)
a 是符号变量 b 是符号常量 C 是符号矩阵
7
>> C=sym(建立：
建立符号表达式通常有以下2种方法： (1) 用 sym 函数直接建立符号表达式。 (2) 使用已经定义的符号变量组成符号表达式。
例： >> y=sym('sin(x)+cos(x)')
>> x=sym('x'); >> y=sin(x)+cos(x) >> syms x; >> y=sin(x)+cos(x)
MATLAB 软件及其应用
Application of Matlab Language
1
MATLAB符号运算 （Symbolic）
2
Matlab 符号运算介绍
Matlab 符号运算是通过符号数学工具箱（Symbolic Math Toolbox）来实现的。Matlab 符号数学工具箱是建 立在功能强大的 Maple 软件的基础上的，当 Matlab 进 行符号运算时，它就请求 Maple 软件去计算并将结果返 回给 Matlab。 Matlab 的符号数学工具箱可以完成几乎所有得符号运算 功能。主要包括：符号表达式的运算，符号表达式的复合、 化简，符号矩阵的运算，符号微积分、符号作图，符号代 数方程求解，符号微分方程求解等。此外，该工具箱还支 持可变精度运算，即支持以指定的精度返回结果。
subs 举例
f=2*u ans=4
f2=2*(u+2)
ans=14 ans=2*((a+2)+2) f3=2*x+2*y ans=6
15
符号矩阵
使用 sym 函数直接生成 >> A=sym('[1+x, sin(x); 5, exp(x)]') 将数值矩阵转化成符号矩阵 >> B=[2/3, sqrt(2); 5.2, log(3)]; >> C=sym(B) 符号矩阵中元素的引用和修改 >> A=sym('[1+x, sin(x); 5, exp(x)]'); >> A(1,2) % 引用 >> A(2,2)=sym('cos(x)') % 重新赋值
9
符号对象的基本运算
Matlab 符号运算采用的运算符和基本函数，在形状、名称 和使用上，都与数值计算中的运算符和基本函数完全相同
基本运算符
普通运算：+ 数组运算：.* 矩阵转置：'
-
* \ / ^ .\ ./ .^
.'
例：>> X=sym('[x11,x12;x21,x22;x31,x32]');
>> syms n x; f=x/n^2; >> S=symsum(f,n,1,inf)
29
代数方程求解
solve(f,v)：求方程关于指定自变量的解，f 可以是
用字符串表示的方程、符号表达式或符号方程； solve 也可解方程组(包含非线性)； 得不到解析解时，给出数值解。
18
函数展开
函数展开
expand(f)
多项式展开
>> syms x; f=(x+1)^6; >> expand(f)
三角函数展开
>> syms x y; f=sin(x+y); >> expand(f)
19
合并同类项
合并同类项
collect(f,v): 按指定变量 v 进行合并 collect(f): 按默认变量进行合并
13
符号表达式的替换
用给定的数据替换符号表达式中的指定的符号变量
subs(f,x,a) 用 a 替换字符函数 f 中的字符变量 x a 是可以是 数/数值变量/表达式 或 字符变量/表达式
若 x 是一个由多个字符变量组成的数组或矩阵， 则 a 应该具有与 x 相同的形状的数组或矩阵。
14
例：指出下面各条语句的输出结 果
int(f,v,a,b): 计算定积分
b
a
f ( v )dv
int(f,a,b): 计算关于默认变量的定积分
int(f,v): 计算不定积分
x2 1 例：计算 I 2 dx 2 ( x 2 x 2)
f (v )dv
和 K e
0 x2
int(f): 计算关于默认变量的不定积分
>> Y=sym('[y11,y12,y13;y21,y22,y23]'); >> Z1=X*Y; Z2=X'.*Y;
10
符号对象的基本运算
基本函数
三角函数与反三角函数、指数函数、对数函数等
sin、cos、tan、cot、sec、csc、… asin、acos、atan、acot、asec、 acsc、…
findsym(expr, N) 按顺序列出 expr 中离 x 最近的 N 个符号变量
若表达式中有两个符号变量与 x 的距离相等， 则ASCII 码大者优先。
常量 pi, i, j 不作为符号变量
12
findsym 举例
例： >> f=sym('2*w-3*y+z^2+5*a')
>> findsym(f) >> findsym(f,3) >> findsym(f,1)
dx
>> syms x; f=(x^2+1)/(x^2-2*x+2)^2; >> I=int(f,x) >> K=int(exp(-x^2),x,0,inf)
28
符号求和
symsum(f,v,a,b): 求和
f (v )
v a
b
symsum(f,a,b): 关于默认变量求和
1 例：计算级数 S 2 及其前100项的部分和 n 1 n >> syms n; f=1/n^2; >> S=symsum(f,n,1,inf) >> S100=symsum(f,n,1,100) x 例：计算函数级数 S 2 n 1 n
3
Matlab 符号运算特点
计算以推理方式进行，因此不受计算误差累积所带来的 困扰。
符号计算可以给出完全正确的封闭解，或任意精度的数
值解（封闭解不存在时）。
符号计算指令的调用比较简单，与数学教科书上的公式 相近。 符号计算所需的运行时间相对较长。
4
Matlab 符号运算举例
求一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的根 >> solve('a*x^2+b*x+c=0') 求的根 f (x) = (cos x)2 的一次导数 >> x=sym('x'); >> diff(cos(x)^2) 计算 f (x) = x2 在区间 [a, b] 上的定积分
dsolve
y=dsolve('eq1','eq2', ... ,'cond1','cond2', ... ,'v') 其中 y 为输出的解， eq1、eq2、. . . 为微分方程， cond1、cond2、...为初值条件， v 为自变量
dy x2 例 1：求微分方程 的通解，并验证。 2 xy xe dx
x( x( x( x 1) 1)) 1
>> syms x; >> f=x^4+2*x^3+4*x^2+x+1; >> g=horner(f)
25
计算极限
f ( x) limit(f,x,a): 计算 lim xa limit(f,a): 当默认变量趋向于 a 时的极限 limit(f): 计算 a=0 时的极限 limit(f,x,a,'right'): 计算右极限 limit(f,x,a,'left'): 计算左极限
22
函数简化举例
8 例：简化 f ( x ) 3 13 62 12 x x x
>> syms x; >> f=(1/x^3+6/x^2+12/x+8)^(1/3); >> y1=simplify(f) >> g1=simple(f) >> g2=simple(g1)
多次使用 simple 可以达到最简表达。
16
六类常见符号运算
因式分解、展开、合并、简化及通分等 计算极限 计算导数 计算积分 符号求和 代数方程和微分方程求解
17
因式分解
因式分解
factor(f)
>> syms x; f=x^6+1; >> factor(f)
factor 也可用于正整数的分解
>> s=factor(100) >> factor(sym('12345678901234567890'))
6
符号对象的建立
符号对象的建立：sym 和 syms
sym 函数用来建立单个符号变量，一般调用格式为：
符号变量 = sym(A) 参数 A 可以是一个数或数值矩阵，也可以是字符串
例： >> a=sym('a')
>> b=sym(1/3)
a 是符号变量 b 是符号常量 C 是符号矩阵
7
>> C=sym(建立：
建立符号表达式通常有以下2种方法： (1) 用 sym 函数直接建立符号表达式。 (2) 使用已经定义的符号变量组成符号表达式。
例： >> y=sym('sin(x)+cos(x)')
>> x=sym('x'); >> y=sin(x)+cos(x) >> syms x; >> y=sin(x)+cos(x)
MATLAB 软件及其应用
Application of Matlab Language
1
MATLAB符号运算 （Symbolic）
2
Matlab 符号运算介绍
Matlab 符号运算是通过符号数学工具箱（Symbolic Math Toolbox）来实现的。Matlab 符号数学工具箱是建 立在功能强大的 Maple 软件的基础上的，当 Matlab 进 行符号运算时，它就请求 Maple 软件去计算并将结果返 回给 Matlab。 Matlab 的符号数学工具箱可以完成几乎所有得符号运算 功能。主要包括：符号表达式的运算，符号表达式的复合、 化简，符号矩阵的运算，符号微积分、符号作图，符号代 数方程求解，符号微分方程求解等。此外，该工具箱还支 持可变精度运算，即支持以指定的精度返回结果。
subs 举例
f=2*u ans=4
f2=2*(u+2)
ans=14 ans=2*((a+2)+2) f3=2*x+2*y ans=6
15
符号矩阵
使用 sym 函数直接生成 >> A=sym('[1+x, sin(x); 5, exp(x)]') 将数值矩阵转化成符号矩阵 >> B=[2/3, sqrt(2); 5.2, log(3)]; >> C=sym(B) 符号矩阵中元素的引用和修改 >> A=sym('[1+x, sin(x); 5, exp(x)]'); >> A(1,2) % 引用 >> A(2,2)=sym('cos(x)') % 重新赋值
9
符号对象的基本运算
Matlab 符号运算采用的运算符和基本函数，在形状、名称 和使用上，都与数值计算中的运算符和基本函数完全相同
基本运算符
普通运算：+ 数组运算：.* 矩阵转置：'
-
* \ / ^ .\ ./ .^
.'
例：>> X=sym('[x11,x12;x21,x22;x31,x32]');
>> syms n x; f=x/n^2; >> S=symsum(f,n,1,inf)
29
代数方程求解
solve(f,v)：求方程关于指定自变量的解，f 可以是
用字符串表示的方程、符号表达式或符号方程； solve 也可解方程组(包含非线性)； 得不到解析解时，给出数值解。