高考理科数学模拟试题精编(二)

秘密★启用前【考试时间：2024年5月30日15：00-17：00】绵阳南山2024年高三仿真考试（二）理科数学（答案在最后）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}*2N |2nA n n =∈≥，则集合A 的元素个数为（）A.1B.2C.3D.无穷多个【答案】C 【解析】【分析】利用指数与幂的运算性质可求解.【详解】由2*2(N )n n n ≥∈，可得1,2,4n =，所以集合A 的元素个数为3个.故选：C2.虚数1i(R)z b b =+∈满足()i 1z z z z -=-⋅，则b =（）A.0B.1C.2D.0或2【答案】C 【解析】【分析】求出z ，代入()i 1z z z z -=-⋅计算即可.【详解】由已知1i(R)z b b =-∈，0b ≠，所以()i 2z z b -=-，()22111z z b b-⋅=-+=-，所以22b b -=-，解得2b =.故选：C.3.已知双曲线C 的顶点为1A ，2A ，虚轴的一个端点为B ，且12BA A △是一个直角三角形，则双曲线C 的渐近线为（）A.2y x =±B.y x=± C.22y x =±D.y =【答案】B【解析】【分析】根据双曲线的对称性可得1212,BA BA BA BA ⊥=，求出ba即可得解.【详解】设双曲线的实轴长为2a ，虚轴长为2b ，由双曲线的对称性可得12BA A △是一个等腰直角三角形，且1212,BA BA BA BA ⊥=，则12OA OA OB ==，即a b =，所以双曲线C 的渐近线为y x =±.故选：B.4.近年来，我国大力发展新能源汽车工业，新能源汽车（含电动汽车）销量已跃居全球首位.某新能源汽车厂根据2021年新能源汽车销售额（单位：万元）和每月销售额占全年销售额的百分比绘制了如图所示双层饼图.根据双层饼图，下列说法错误的是（）A.2021年第四季度销售额最低B.2月销售额占全年销售额的8%.C.2021年全年销售总额约为1079万元D.7月的销售额约为46万元【答案】D 【解析】【分析】根据双层饼图，依次判断选项即可.【详解】解：由图知，第四季度销售额占全年销售额的百分比18%,第三季度为33%，第二季度为29%，第一季度为20%，故第四季度最低，A 正确；2月销售额占全年销售额的占比为20%5%7%8%--=，B 正确；全年销售总额为()31310%9%10%1079÷++≈（万元），C 正确；7月的销售额为107913%140⨯≈（万元），D 错误.故选：D.5.在平面直角坐标系xOy 中，角,αβ的始边均为Ox ，终边相互垂直，若35=cos α，则cos2β=（）A.925B.925-C.725D.725-【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，利用诱导公式、二倍角的余弦公式计算即得.【详解】依题意，π2π,Z 2k k βα=++∈，则3sin cos 5βα==，或π2π,Z 2k k βα=-+∈，则3sin cos 5βα=-=-，所以27cos212sin 25ββ=-=.故选：C6.已知点()00,P x y 为可行域*640,N x y x y x y +<⎧⎪->⎨⎪∈⎩内任意一点，则000x y ->的概率为（）A.25B.49C.13D.310【答案】B 【解析】【分析】作出可行域，求得可行域内的整点个数，进而求得满足000x y ->的点个数，由古典概型概率公式求解即可.【详解】可行域*640,N x y x y x y +<⎧⎪->⎨⎪∈⎩内的点有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(4,1)共9个，其中满足000x y ->的有(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)共4个，所以所求的概率49P =.故选：B.7.已知Q 为直线:210l x y ++=上的动点，点P 满足()1,3QP =-，记P 的轨迹为E ，则（）A.EB.E 是一条与l 相交的直线C.E 上的点到lD.E 是两条平行直线【答案】C 【解析】【分析】设(),P x y ，由()1,3QP =-可得Q 点坐标，由Q 在直线上，故可将点代入坐标，即可得P 轨迹E ，结合选项即可得出正确答案.【详解】设(),P x y ，由()1,3QP =-，则()1,3Q x y -+，由Q 在直线:210l x y ++=上，故()12310x y -+++=，化简得260x y ++=，即P 的轨迹为E 为直线且与直线l 平行，E 上的点到l的距离d ==A 、B 、D 错误，C 正确.故选：C .8.已知函数()()2sin 2f x x ϕ=+，2πϕ<，那么“6πϕ=”是“()f x 在,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】求得当,4242k x k k Z πϕπϕππ--+≤≤-+∈时，()f x 是增函数,进而判断6πϕ=时，函数的单调性，即可得出结果.【详解】当22222k x k πππϕπ-+≤+≤+，Z k ∈,()f x 单调递增.则当,4242k x k k Z πϕπϕππ--+≤≤-+∈时，()f x 是增函数,当6πϕ=时,()f x 在,36k x k k Z ππππ-+≤≤+∈单调递增，可得()f x 在,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数；当6πϕ=-时,()f x 在,63k x k k Z ππππ-+≤≤+∈单调递增，可得()f x 在,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数；反之，当()f x 在,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数时，由,,6644ππππ⎡⎤⎡⎤-⊆-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，可知，此时0,0k ϕ==，即6πϕ=不成立.所以“6πϕ=”是“()f x 在,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数”的充分而不必要条件.故选：A.9.已知函数()f x 满足()()311f x f x +=--，且函数()1f x +为偶函数，若()11f =，则()()()()1232024f f f f +++⋯+=（）A.0B.1012C.2024D.3036【答案】B 【解析】【分析】由题意得()()11f x f x +=-+，()f x 的图象关于直线1x =对称，函数的周期为4，进一步()()()()12342f f f f +++=，由此即可得解.【详解】由题意函数()1f x +为偶函数，所以()()11f x f x +=-+，()f x 的图象关于直线1x =对称，所以()()()()()()3111111331f x f x f x f x f x f x +=--=-+=---=-=-⎡⎤⎣⎦，所以函数()f x 的周期为4，在()()311f x f x +=--中，分别令0x =和1，得()()131f f +=，()()041f f +=，即()()241f f +=，所以()()()()12342f f f f +++=，所以()()()12202450621012f f f +++=⨯=L .故选：B.10.六氟化硫，化学式为6SF ，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫结构为正八面体结构，如图所示，硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点，若相邻两个氟原子之间的距离为m ，则下列错误的是（）A.该正八面体结构的外接球表面积为22πm B.该正八面体结构的内切球表面积为22π3mC.该正八面体结构的表面积为2D.3【答案】D 【解析】【分析】分析正八面体结构特征，计算其表面积，体积，外接球半径，内切球半径，验证各选项.【详解】对A ：底面中心S 到各顶点的距离相等，故S 为外接球球心，外接球半径22R PS m ==，故该正八面体结构的外接球表面积22π)2πS m '=⨯=，故A 正确；对D ：连接AS ，PS ，则22AS PS m ==，PS ⊥底面ABCD ，故该正八面体结构的体积231222323V m m =⨯⨯⨯=，故D 错误；对C ：由题知，各侧面均为边长为m 的正三角形，故该正八面体结构的表面积2284S m =⨯⨯=，故C 正确；对B ：底面中心S 到各面顶点的距离相等，故S 为内切球球心，设该正八面体结构的内切球半径r，则13V Sr =，所以33VrS==故内切球的表面积222π4π3mS⎛⎫''=⨯=，故B正确.故选：D.11.若函数()21ln22f x a x x x=+-有两个不同的极值点12,x x，且()()1221t f x x f x x-+<-恒成立，则实数t的取值范围为（）A.(),5-∞- B.(],5-∞- C.(),22ln2-∞- D.(],22ln2-∞-【答案】B【解析】【分析】首先对()f x求导，得()()22x x af x xx'-+=>，根据题意得到方程220x x a-+=有两个不相等的正实数根，结合根与系数的关系求得a的取值范围，然后将不等式进行转化，结合根与系数的关系得到()()1212f x f x x x+--关于参数a的表达式，从而构造函数，利用导数知识进行求解．【详解】依题意得()()2220a x x af x x xx x-+=+-=>'，若函数()f x有两个不同的极值点12,x x，则方程220x x a-+=有两个不相等的正实数根12,x x，可得1212Δ44020ax xx x a=->⎧⎪+=>⎨⎪=>⎩，解得01a<<，因为()()1221t f x x f x x-+<-，可得()()2212121112221211ln 2ln 222t f x f x x x a x x x a x x x x x <+--=+-++---()()()()()()2221212121212121211ln 3ln 322a x x x x x x a x x x x x x x x =++-+=++--+21ln 232ln 42a a a a a a =+⨯--⨯=--．设()()ln 401h a a a a a =--<<，则()ln 0h a a ='<，则()h a 单调递减，()()15h a h >=-，可知5t ≤-．所以实数t 的取值范围是(],5-∞-.故选：B ．【点睛】关键点睛：1.利用导数与极值点之间的关系及一元二次方程有两个不相等的正实数根，求得a 的取值范围是解决问题的前提；2.利用韦达定理二元换一元，通过构造函数解决问题.12.记椭圆1C ：22221(0)x ya b a b+=>>与圆2C ：222x y a +=的公共点为M ，N ，其中M 在N 的左侧，A 是圆2C 上异于M ，N 的点，连接AM 交1C 于B ，若2tan 5tan ANM BNM ∠=∠，则1C 的离心率为（）A.35B.45C.5D.5【答案】D 【解析】【分析】根据题意可知(),0M a -，(),0N a ，结合图象和椭圆方程可知22tan tan b BMN BNM a ∠⋅∠=，由AMN 为直角三角形，可求得πtan tan 2tan tan BMN ANM BNM BNM⎛⎫-∠ ⎪∠⎝⎭=∠∠，可得2225b a =，即可求得离心率.【详解】由题意可知点M ，N 分别为椭圆的左右顶点，所以(),0M a -，(),0N a ，设点A 在第一象限，设点(),B x y ，所以22222222221tan tan x b a y y y b BMN BNM a x a x a x a x a⎛⎫- ⎪⎝⎭∠⋅∠=⋅===+---，πtan tan 152tan tan tan tan 2BMN ANM BNM BNM BNM BMN ⎛⎫-∠ ⎪∠⎝⎭===∠∠∠⋅∠，所以2225b a =，5c e a ===.故选：D .二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.平面向量a 与b相互垂直，已知(6,8)a =- ，||5b = ，且b 与向量(1,0)的夹角是钝角，则b = ______.【答案】(4,3)--【解析】【分析】设(,)b x y = ，根据向量垂直和向量模的坐标表示得到方程组，再结合b与向量(1,0)的夹角为钝角得到0x <，最后解出方程组即可.【详解】设(,),b x y a b =⊥ ，0a b ∴⋅= ，680x y ∴-=，①，||5b == ，②，因为b与向量(1,0)夹角为钝角，∴0x <，③，由①②③解得43x y =-⎧⎨=-⎩，(4,3)b ∴=-- .故答案为：(4,3)--.14.已知函数()π2cos 3f x x ω⎛⎫=-⎪⎝⎭，其中ω为常数，且()0,6ω∈，将函数()f x 的图象向左平移π6个单位所得的图象对应的函数()g x 在0x =取得极大值，则ω的值为_____________________.【答案】2【解析】【分析】先根据图象平移得到()g x 的解析式，然后根据()0g 为最大值得到关于ω的方程，结合ω的范围可知结果.【详解】由题意可知()ππππ2cos 2cos 6363g x x x ωωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因为()g x 在0x =取得极大值，所以()g x 在0x =取得最大值，所以ππ2π63k ω-=，Z k ∈，即212k ω=+，又因为()0,6ω∈，所以，当且仅当0k =时，2ω=满足条件，所以2ω=，故答案为：2.15.若随机变量X 服从二项分布115,4B ⎛⎫⎪⎝⎭，则使()P X k =取得最大值时，k =______．【答案】3或4【解析】【分析】先求得()P X k =的表达式，利用列不等式组的方法来求得使()P X k =取得最大值时k 的值.【详解】依题意015,N k k ≤≤∈，依题意()1515151515151********C 1C C 344444kkk k k kk k k P X k ----⎛⎫⎛⎫==⋅⋅-=⋅⋅=⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()15150151141515151513130C 3,1C 354444P X P X ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅===⋅⋅=⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()151154P X ⎛⎫== ⎪⎝⎭，()()()1501P X P X P X =<=<=，所以()0P X =、()15P X =不是()P X k =的最大项，当114k ≤≤时，由1511615151515151141515151511C 3C 34411C 3C 344k k k kk k k k ----+-⎧⋅⋅≥⋅⋅⎪⎪⎨⎪⋅⋅≥⋅⋅⎪⎩，整理得1151511515C 3C 3C C k k k k -+⎧≥⎨≥⎩，即()()()()()()15!15!3!15!1!16!15!15!3!15!1!14!k k k k k k k k ⎧≥⨯⎪⨯--⨯-⎪⎨⎪⨯≥⎪⨯-+⨯-⎩，整理得131631151k kk k ⎧≥⎪⎪-⎨⎪≥⎪-+⎩，163343315k k k k k -≥⎧⇒≤≤⎨+≥-⎩，所以当k 为3或4时，()P X k =取得最大值.故答案为：3或416.在钝角ABC 中，a ，b ，c 分别是ABC 的内角A ，B ，C 所对的边，点G 是ABC 的重心，若AG BG ⊥，则cos C 的取值范围是______.【答案】,13⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【解析】【分析】延长CG 交AB 于D ，由G 为ABC 的重心，可得3322CD AB c ==，根据πBDC ADC ∠+∠=，利用余弦定理可得222222525233c a c b c c--=-，进而可得C 为锐角，设A 为钝角，则222b c a +<，222a c b +>，a b >，进而计算可得03b a <<，利用余弦定理可得cos C 的取值范围.【详解】延长CG 交AB 于D，如下图所示：G 为ABC 的重心，∴D 为AB 中点且3CD DG =，AG BG ⊥ ，12DG AB ∴=，3322CD AB c ∴==；在ADC △中，2222222225522cos 3232c bAD CD AC c b ADC AD CD c c -+--∠===⋅；在BDC 中，2222222225522cos 3232c a BD CD BC c a BDC BD CD c c -+--∠===⋅； πBDC ADC ∠+∠=，cos cos BDC ADC ∴∠=-∠，即222222525233c a c b c c--=-，整理可得：22225a b c c +=>，∴C 为锐角；设A 为钝角，则222b c a +<，222a c b +>，a b >，2222222255a b a b a b b a ⎧+>+⎪⎪∴⎨+⎪<+⎪⎩，22221115511155b b a a b b a a ⎧⎛⎫⎛⎫++<⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∴⎨⎛⎫⎛⎫⎪<++ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，解得：223b a ⎛⎫< ⎪⎝⎭，0a b >>，03b a ∴<<，22222222cos 255533a b c a b a b C ab ab b a ⎛⎫+-+⎛⎫==⋅=+>⨯+= ⎪ ⎝⎭⎝，又C 为锐角，∴cos 13C <<，即cos C的取值范围为,13⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查余弦定理的综合应用，利用已知求得603b a <<是关键，考查运算求解能力，难度较大.三、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知等差数列{}n a 满足31720,56a a a =+=.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记()41nn S b n =+，其中n S 为数列{}n a 的前n 项和.设[]x 表示不超过x 的最大正整数，求使[][][][]1232023n b b b b ++++< 的最大正整数n 的值.【答案】（1）84n a n =-（2）64【解析】【分析】（1）根据题意列式求解1,a d ，进而可得结果；（2）由（1）可得,n n S b ，根据题意可得[]1n b n =-，根据等差数列的求和公式分析运算即可.【小问1详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意可得311712202656a a d a a a d =+=⎧⎨+=+=⎩，解得148a d =⎧⎨=⎩，所以数列{}n a 的通项公式()48184n a n n =+-=-.【小问2详解】由（1）可得84n a n =-，则()248442n n n n S +-==，所以()()2114111n n S n b n n n n ===-++++，因为*n ∈N ，则()1110,1,n n -∈∈+N ，所以[]1n b n =-，则[][]()111n n b b n n +-=--=，即数列[]{}n b 是以首项为0，公差为1的等差数列，则[][][][]()()123011202322n n n n n b b b b +--++++==<L ，即24046n n -<，又因为()2f n n n =-在[)1,+∞上单调递增，且()()6440324046,6541604046f f =<=>，所以使[][][][]1232023n b b b b ++++< 的最大正整数n 的值为64.18.为了解某一地区新能源电动汽车销售情况，一机构根据统计数据，用最小二乘法得到电动汽车销量y （单位：万台）关于x （年份）的线性回归方程 4.79459.2y x =-，且销量y 的方差为22545y s =，年份x 的方差为22x s =.（1）求y 与x 的相关系数r ，并据此判断电动汽车销量y 与年份x 的线性相关性的强弱.（2）该机构还调查了该地区90位购车车主的性别与购车种类情况，得到的数据如下表：性别购买非电动汽车购买电动汽车总计男性39645女性301545总计692190依据小概率值0.05α=的独立性检验，能否认为购买电动汽车与车主性别有关？25=≈.②参考公式：线性回归方程为ˆˆy bx a =+，其中()()()121ˆniii nii x x y y bx x ==--=-∑∑，ˆˆa y bx=-；相关系数()()niix x y y r --=∑||0.9r >，则可判断y 与x 线性相关较强；22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.附表：()20P K k ≥0.100.050.0100.0010k 2.7063.8416.63510.828【答案】（1）0.93，电动汽车销量y 与年份x 的线性相关性的较强（2）有关【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用线性回归方程，结合相关系数公式计算作答；（2）根据22⨯列联表，计算2K 的值，并与对应的小概率值比较即得.【小问1详解】由22xs =，得()2212ni x i x x ns n =-==∑，由22545ys =，得()2212545ni y i n y y ns =-==∑，因为线性回归方程 4.79459.2y x =-，则()()()1214.7ˆniii ni i x x y y bx x ==--==-∑∑，即()()()2114.7 4.729.4n ni i i i i x x y y x x n r ==--=-=⨯=∑∑，因此相关系数()() 4.7 4.7250.930.9127127n iix x y y r --⨯===≈≈>∑，所以电动汽车销量y 与年份x 的线性相关性的较强.【小问2详解】零假设0H ：购买电动汽车与车主性别无关，由表中数据得：2290(3915306) 5.031 3.84145456921K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，依据小概率值0.05α=的独立性检验，推断0H 不成立，即认为购买电动汽车与车主性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.05.19.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA 与1BB ，12AB AC A B ===，1AC BC ==．（1）证明：平面11A ABB ⊥平面ABC ；（2）若点N 在棱11A C 上，求直线AN 与平面11A B C 所成角的正弦值的最大值．【答案】（1）证明见解析（2）7【解析】【分析】（1）利用等腰三角形的性质作线线垂直，结合线段长度及勾股定理判定线线垂直，根据线面垂直的判定与性质证明即可；（2）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量计算线面角结合基本不等式求最值即可.【小问1详解】取棱1A A 中点D ，连接BD ，因为1AB A B =，所以1BD AA ⊥因为三棱柱111ABC A B C -，所以11//AA BB ，所以1BD BB ⊥，所以BD =因为2AB =，所以1AD =，12AA =；因为2AC =，1A C =，所以22211AC AA AC +=，所以1AC AA ⊥，同理AC AB ⊥，因为1AA AB A = ，且1AA ，AB ⊂平面11A ABB ，所以AC ⊥平面11A ABB ，因为AC ⊂平面ABC ，所以平面11A ABB ⊥平面ABC ；【小问2详解】取AB 中点O ，连接1AO ，取BC 中点P ，连接OP ，则//OP AC ，由（1）知AC ⊥平面11A ABB ，所以OP ⊥平面11A ABB 因为1AO 平面11A ABB ，AB ⊂平面11A ABB ，所以1OP A O ⊥，OP AB ⊥，因为11AB A A A B ==，则1A O AB⊥以O 为坐标原点，OP ，OB ，1OA 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则(0,1,0)A -，1A，1(0,B ，(2,1,0)C -，可设点(N a =，()02a ≤≤，()110,2,0A B =，(12,1,A C =-，(AN a =，设面11A B C 的法向量为(,,)n x y z =，得1110202n A B yn A C x y ⎧⋅==⎪⎨⋅==--⎪⎩ ，取x =，则0y =，2z =，所以n =设直线AN 与平面11A B C 所成角为θ，则sin cos ,n AN n AN n AN θ⋅=<>==⋅=若0a =，则sin 7θ=，若0a ≠，则sin 7θ=≤，当且仅当4a a=，即2a =时，等号成立，所以直线AN 与平面11A B C所成角的正弦值的最大值7.20.已知抛物线E ：24y x =，过点(1,1)P 作斜率互为相反数的直线,m n ，分别交抛物线E 于,A B 及,C D 两点．（1）若3PA BP =，求直线AB 的方程；（2）求证：CAP BDP ∠=∠．【答案】（1）y x =（2）证明见解析【解析】【分析】（1）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由3PA BP = ，得12124343x x y y =-⎧⎨=-⎩，又2114y x =，2224y x =，解得,A B两点的坐标，进而可得答案．（2）设直线AB ：(1)1y k x =-+，则直线CD ：(1)1y k x =--+，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，44(,)D x y ，联立直线AB 与抛物线的方程，结合韦达定理由弦长公式计算AP BP ⋅，同理可得CP DP ⋅，进而可得APC BPD ∽△△，即可得出答案．【小问1详解】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，∵(1,1)P ，∴22(1,1)BP x y =-- ，11(1,1)PA x y =--，∵3PA BP =，∴21213(1)13(1)1x x y y -=-⎧⎨-=-⎩，12124343x x y y =-⎧⎨=-⎩．又∵2114y x =，∴222(43)4(43)y x -=-，即2222384y y x -=-，又∵2224y x =，∴222480y y -=，20y =或22y =，当20y =时，20x =，∴14x =，14y =；当22y =时，21x =，∴11x =，12y =-，此时直线AB 的斜率不存在，舍去，∴(4,4)A ，(0,0)B ，∴直线AB 的方程为：y x =．【小问2详解】设直线AB ：(1)1y k x =-+，则直线CD ：(1)1y k x =--+，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，44(,)D x y，由2(1)14y k x y x =-+⎧⎨=⎩，即21(1)14x y ky x ⎧=-+⎪⎨⎪=⎩，则24440y y k k -+-=，所以124y y k +=，1244y y k =-，又∵1||1|AP y =-，2||1|BP y =-，∴12121222211144||||1(1)(1)1()1141AP BP y y y y y y k k k kk ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=+--=+-++=+--+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2131k ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，同理可证：2211||||3131()CP DP k k ⎡⎤⎛⎫⋅=+=+ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎣⎦，∴||||||||AP BP CP DP ⋅=⋅，∴||||||||AP CP DP BP =，又∵CPA BPD ∠=∠，∴APC BPD ∽△△，∴CAP BDP ∠=∠．【点睛】方法点睛：解答直线与抛物线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．强化有关直线与抛物线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．21.已知0a >，函数()()1ln 1f x a x x x =+-+.（1）若()f x 是增函数，求a 的取值范围；（2）证明：当102a <<，且1e a ≠时，存在三条直线123,,l l l 是曲线ln y x =的切线，也是曲线1y a x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的切线.【答案】（1）1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭（2）证明见解析【解析】【分析】（1）先利用导数判断导函数的单调性，再结合函数的单调性，即可求解；（2）首先求曲线ln y x =的切线方程，再与曲线1y a x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的方程联立，再根据判别式构造函数，()21(ln 1)4g t t a a t ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，利用导数判断函数的单调性，并结合零点存在性定理判断函数有3个零点.【小问1详解】()f x 的定义域为()()10,,ln 1,x f x a x x ∞+⎛⎫+=- ⎪⎝⎭'+令()()()221111ln 1,a x x F x a x F x a x x x x -+⎛⎫⎛⎫'=+-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令()0F x '<，得01x <<；令()0F x '>，得1x >，故()f x '在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，从而()min 1()1210,2f x f a a ==-≥≥''，故a 的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【小问2详解】设曲线ln y x =的切点为()1,ln ,(ln )t t x x'=，则曲线ln y x =在点(),ln t t 处的切线方程为()1ln y t x t t-=-.联立()1ln 1y t x t t y a x x ⎧-=-⎪⎪⎨⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎩，得()21ln 10a x t x a t ⎛⎫-+-+= ⎪⎝⎭，必有()2101Δln 140a t t a a t ⎧-≠⎪⎪⎨⎛⎫⎪=---= ⎪⎪⎝⎭⎩，记函数()21(ln 1)4g t t a a t ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，由题2111,ln 10e a g a a ⎛⎫⎛⎫≠∴=-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故当()0g t =时，11,0t a a t≠-≠.()()()222ln 12ln 144t t t a a g t tt t --+=+='记()()()()2ln 14,2ln 122ln h t t t a h t t t '=-+=-+=，令()0h t '<，得01t <<；令()0h t '>，得1t >，故()h t 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增.当102a <<，且1ea ≠时，(1)420,(e)40h a h a =-<=>，当0t →时，()4h t a →，故存在1201e t t <<<<，使得()()120h t h t ==，当10t t <<，或2t t >时，()()0,0h t g t >>'；当12t t t <<时，()()0,0h t g t <<'，故()g t 在()()120,,,t t +∞上单调递增，在()12,t t 上单调递减.由()10h t =，得()111ln 2t t a -=，代入()()21111ln 14g t t a a t ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭并整理得：()()()222111111ln 11ln 12g t t t t t ⎡⎤=-+-+⎢⎥⎣⎦同理()()()222222221ln 11ln 12g t t t t t ⎡⎤=-+-+⎢⎥⎣⎦，记()()11ln 12x x x x ϕ=+-+，由（1）知()x ϕ为增函数，1201e t t <<<< ，()()2212(1)0,(1)0,t t ϕϕϕϕ∴<=>=，()()()()()()22111222ln 10,ln 10g t t t g t t t ϕϕ∴=->=-<又()2222142e 14110e e e a g a a ⎛⎫=-->->-> ⎪⎝⎭ ，当0t →时，()g t →-∞，()g t ∴有三个零点，∴存在三条直线123,,l l l 是曲线ln y x =的切线，也是曲线1y a x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的切线.【点睛】关键点睛：本题考查根据函数的导数判断函数的单调性，以及切线，零点，函数性质的综合应用问题，推理难度较大，第二问的关键是根据判别式来设函数()21(ln 1)4g t t a a t ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，转化为函数有3个零点问题.（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4]坐标系与参数方程22.在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为44x y ⎧=⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数）,以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为8sin ρθ=，A 为曲线C 上一点.（1）求A 到直线l 距离的最大值；（2）若B 为直线l 与曲线C 第一象限的交点，且7π12AOB ∠=，求AOB 的面积.【答案】（1）4+（2）4+【解析】【分析】（1）由条件得出直线的普通方程和圆的参数方程，设(4cos ,44sin )A θθ+，利用点到直线的距离公式得到π)14d θ=+-，从而求出结果；（2）由条件求出点B 的坐标，设出,A B 的极坐标方程，再利用面积公式即可求出结果.【小问1详解】由44x y ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，消t 得到80x y +-=，所以直线l 的普通方程为80x y +-=，因为曲线C 的极坐标方程为8sin ρθ=，所以28sin ρρθ=，又cos ,sin x y ρθθ==，所以曲线C 的普通方程为228x y y +=，即()22416x y +-=，所以曲线C 的参数方程为4cos 44sin x y θθ=⎧⎨=+⎩（θ为参数），因为A 在圆C 上，设(4cos ,44sin )A θθ+，则A 到l 距离为πsin 1)14d θθ==+-=+-，所以当πsin(14θ+=-时，A 到l 距离最大，为4+.【小问2详解】由22808x y x y y+-=⎧⎨+=⎩，消y 得到240x x -=，解得0x =或4x =，又因为B 在第一象限，所以()4,4B ，点A ，B 在曲线C 上，由题可设17,412A ππρ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，2,4B πρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，代入曲线C 的极坐标方程得17π5π8sin 8sin 44126OA πρ⎛⎫==+== ⎪⎝⎭，2π8sin 4OB ρ===，又因为7πππππππsin sin sin sin cos cos sin 124343434AOB ⎛⎫∠==+=+= ⎪⎝⎭，故AOB 的面积为14424S =⨯⨯=+.[选修4-5]不等式选讲23.已知a ，b 均不为零，且满足221a b +=．证明：（1）a b +≤（2）331a b b a+≥．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据完全平方式有222||||(||||)2||||1a b a b a b +=+-⋅=，再利用基本不等式即可证明；（2）根据条件将原式化简为332||a b a b ab b a b a+=+-，再利用基本不等式即可证明.【小问1详解】221a b +=，22||||1a b ∴+=，222||||(||||)2||||1a b a b a b ∴+=+-⋅=.根据基本不等式得22(||||)(||||)12||||2a b a b a b ++-=⋅≤,当且仅当||||2a b ==时,等号成立.整理得2(||||)2a b +≤,a b ∴+≤【小问2详解】()()33222211a b a b a b a b b a b a b a b a +=⋅+⋅=⋅-+⋅-||||2||a b a b ab ab ab b a b a=-+-=+-，由基本不等式和不等式的性质,得2a b b a +≥=，222||1ab a b ≤+=，故2||211a b ab b a+-≥-=，当且仅当||||2a b ==时,等号成立,331.a b b a∴+≥。

理 科 数 学（二）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合{}220A x x x =--<，{}24B x x =<，则A B =（ ） A ．AB ．BC ．()1,0-D ．()0,22．已知复数12i z =-，则z 在复平面内对应的点关于虚轴对称的点是（ ） A ．(1,2)-B ．(1,2)C ．(2,1)-D ．(1,2)--3．已知函数()()()2log 23,14,1x x f x f x x ⎧+≥⎪=⎨+<⎪⎩，则()()2022f f -=（ ） A ．2 B ．3C ．2log 9D ．2log 114．已知()2sin cos 3παα++=，则sin 2α=（ ）A ．79B ．59C ．49D ．295．《九章算术》中有一道“良马、驽马行程问题”．若齐国到长安的路程为2000里，良马从长安出发往齐国去，驽马从齐国出发往长安去，同一天相向而行．良马第一天行155里，之后每天比前一天多行12里，驽马第一天行100里，之后每天比前一天少行2里，若良马和驽马第n 天相遇，则n 的最小整数值为（ ） A ．5B ．6C ．7D ．86．盒子中装有编号为0，1，2，3，4，5，6的7个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之和为3的倍数的概率为（ ） A ．421B ．521C ．27D ．137．已知命题1p ：存在00x >，使得0044x x +≤，命题2p ：对任意的x ∈R ，都有22tan 1a t n 2t a n x xx -=，命题3p ：存在0x ∈R ，使得003sin 4cos 6x x +=，其中正确命题的个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．38．深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的．在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为00G GL L D=，其中L 表示每一轮优化时使用的学习率，0L 表示初始学习率，D 表示衰减系数，G 表示训练迭代轮数，0G 表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为05．，衰减速度为22，且当训练迭代轮数为22时，学习率衰减为045．，则学习率衰减到005．以下（不含0.05）所需的训练迭代轮数至少为（ ）（参考数据：lg20.3010≈，lg30.4771≈） A ．11B ．22C ．227D ．4819．设ABC △的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若cos cos )c B b C =-，且ABC△的面积为1cos 2S c A =，则A =（ ）A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π10．设椭圆2212516x y +=的左右焦点分别为1F ，2F ，点P 在椭圆上，且满足129PF PF ⋅=，则12PF PF ⋅的值是（ ） A ．14B ．17C ．20D ．2311．如图（1），正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，若将正方体绕着体对角线1AC 旋转，则正方体所经过的区域构成如图（2）所示的几何体，该几何体是由上、下两个圆锥和单叶双曲面构成，则其中一个圆锥的体积为（ ）A ．23πB ．9πC 3πD ．3π12．若不等式()()22ln a b a b m -+-对任意a ∈R ，()0,b ∈+∞恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ B ．2,2⎛-∞ ⎝⎦ C ．(2-∞D ．(],2-∞第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．()52x y -的展开式中23x y 的系数是_________．（用数字作答）14．已知△ABC 中，1AB AC ==，2BC =O 是△ABC 的外心，则CO AB ⋅=________． 15．已知数列{}n a 满足121213332n n n n n a a a a ---++++=，*n ∈N ，则数列{}n a 的通项公式为___________．16．一个二元码是由0和1组成的数字串．()*123n x x x x n ∈N ，其中(1,2,,)k x k n =称为第k位码元．二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误（即码元由0变为1，或者由1变为0）．已知某种二元码7132x x x x 的码元满足如下校验方程组：126713573467100x x x x x x x x x x x x ⊕⊕⊕=⎧⎪⊕⊕⊕=⎨⎪⊕⊕⊕=⎩，其中运算⊕定义为000⊕=，011⊕=，101⊕=，110⊕=．现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k 位发生码元错误后变成了1101011，那么利用上述校验方程组可判定k 等于_________．三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知2sin tan 12cos C A C=-． （1）求sin sin A B；（2）若23c a =，且ABC △的面积为234，求边长a ．18．（12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是矩形，DE ⊥平面ABCD ，//AF DE ，222AD DE AB AF ====，O 为AC 与BD 的交点，点H 为棱CE 的中点． （1）求证：//OH 平面ADEF ； （2）求二面角C BH F --的余弦值．19．（12分）已知函数2()ln f x x x =-． （1）求函数()f x 在1x =处的切线方程；（2）若1()e 0x f x ax -+-≥，求实数a 的取值范围．20．（12分）已知椭圆()2222:10x x C a b a b +=>>的左、右焦点1F ，2F 恰好是双曲线2218y x -=的左右顶点，椭圆C 上的动点M 满足12122MF MF F F +=，过点2F 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）椭圆C 上是否存在点M 使得四边形OAMB （O 为原点）为平行四边形？若存在，求出所有点M 的坐标；若不存在，请说明理由．21．（12分）非物质文化遗产是一个国家和民族历史文化成就的重要标志，是优秀传统文化的重要组成部分．瑞昌剪纸于2008年列入第二批国家级非物质文化遗产名录．由于瑞昌地处南北交汇处，经过千年的南北文化相互浸润与渗透，瑞昌剪纸融入了南方的阴柔之丽、精巧秀美和北方的阳刚之美、古朴豪放．为了弘扬中国优秀的传统文化，某校将举办一次剪纸比赛，共进行5轮比赛，每轮比赛结果互不影响．比赛规则如下：每一轮比赛中，参赛者在30分钟内完成规定作品和创意作品各2幅，若有不少于3幅作品入选，将获得“巧手奖”．5轮比赛中，至少获得4次“巧手奖”的同学将进入决赛．某同学经历多次模拟训练，指导老师从训练作品中随机抽取规定作品和创意作品各5幅，其中有4幅规定作品和3幅创意作品符合入选标准．（1）从这10幅训练作品中，随机抽取规定作品和创意作品各2幅，试预测该同学在一轮比赛中获“巧手奖”的概率；（2）以上述两类作品各自入选的频率作为该同学参赛时每幅作品入选的概率．经指导老师对该同学进行赛前强化训练，规定作品和创意作品入选的概率共提高了110，以获得“巧手奖”的次数期望为参考，试预测该同学能否进入决赛？请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为1cos1sinx ay aαα=-+⎧⎨=+⎩（α为参数，0a>），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为4cosρθ=．（1）求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；（2）设C1与C2的公共点分别为A，B，||AB=a的值．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】已知函数2()1|2|f x x x=-+-．（1）求不等式()3f x≥的解集；（2）若2()3f a a a≤+-，求满足条件的实数a的取值范围．理 科 数 学（二）答 案第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】A【解析】集合{}{}22012A x x x x x =--<=-<<，{}22B x x =-<<， 所以A B A =，故选A ． 2．【答案】D【解析】z 在复平面内对应的点为()1,2-，关于虚轴对称的点是(1,2)--，故选D ． 3．【答案】D【解析】由题意，()()()()22022245062log 2323f f f -=-⨯==+⨯=， 所以()()()()2220223log 233log 11f f f -==+⨯=，故选D ． 4．【答案】B【解析】由已知可得3cos si 2n αα-=，等式两边平方得412sin cos 1sin 29ααα-=-=，解得5sin 29α=， 故选B ． 5．【答案】D【解析】设驽马、良马第n 天分别行n a 、n b 里， 则数列{}n a 是以100为首项，以2-为公差的等差数列， 数列{}n b 是以155为首项，以12为公差的等差数列， 由题意可得()()()2121211001555250200022n n n n n n n n -⋅--+++=+≥，整理可得2504000n n +-≥，解得25n ≤--25n ≥， 而7258<<，故n 的最小整数值为8，故选D ． 6．【答案】D【解析】从7个不同的球中取出2个球，则共有2721C =种情况，编号之和为3的倍数，即编号之和为3,6,9，则共有1112327C C C ++=种情况，故满足题意的概率71213P ==，故选D ． 7．【答案】B【解析】当02x =时，显然1p 成立； 当4x π=时，可知2p 不成立；由辅助角得0003sin 4cos 5sin()x x x ϕ+=+，所以003sin 4cos x x +的最大值为5，所以3p 为假， 故选B ． 8．【答案】D 【解析】由于00G G L L D =，所以220.5G L D ⨯=，依题意222290.5100.45D D ⇒==⨯，则229100.5G L ⎫⎪⎝⎭⨯⎛=， 由220.50.05190G L ⨯<⎛⎫=⎪⎝⎭，得2291101G⎛⎫⎪<⎝⎭， 221lg,1l 1099g lg 101022G G ⎛⎫ ⎭<⎝<-⎪， ()2lg9lg 021G ⋅-<-，()92222,lg10lg 9lg10lg G G ⋅>->-，222222480.35120.4812lg 37710.045G ==≈->-⨯，所以所需的训练迭代轮数至少为481轮，故选D ． 9．【答案】C【解析】因为cos cos )c B b C =-，所以由正弦定理可得sin cos sin sin cos C B B B C =-，可得sin cos sin cos sin()sin sin C B B C B C A B +=+==，可得a =，可得b =因为ABC △的面积为111c cos bcsin sin 222S A A c A ===⨯，可得tan A = 又()0,A π∈，所以3A π=，故选C ．10．【答案】D【解析】设12||,||m PF n PF ==，12F PF θ∠=， 由题意cos 9mn θ=，易知5,4,3a b c ====， 则12||26F F c ==，210m n a +==，于是由余弦定理可得()222212||cos 2362cos 182m n F F m n mn mn mnθθ+-=⇒+--==，即1002361823mn mn --=⇒=，故选D ． 11．【答案】A【解析】因为正方体的棱长为1，所以外接圆的半径为2323⨯=，圆锥的母线长为正方体的边长，即1l =，所以圆锥的高为3h ===，所以圆锥的体积为221133V r h ππ==⨯=⎝⎭，故选A ．12．【答案】B【解析】设T =T 的几何意义是直线y x =上的点(,)P a a 与曲线()ln f x x =上的点(,ln )Q b b 的距离，将直线y x =平移到与曲线()ln f x x =相切时，切点Q 到直线y x =的距离最小． 而()1f x x'=，令()0011f x x =='，则01x =，可得(1,0)Q ，此时，Q 到直线y x =2=，故min ||PQ =，所以m ≤，故选B ．第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案】80-【解析】()52x y -的展开式的通项公式为()()5515522r r r r r r r r T C x y C x y --+=-=-，令3r =，可得()3323235280C x y x y -=-，所以()52x y -的展开式中23x y 的系数是80-， 故答案为80-．14．【答案】12（或0.5）【解析】在ABC △中，1AB AC ==，BC =O 是ABC △的外心，又222AB AC BC +=，所以ABC △是等腰直角三角形，所以O 是三角形的斜边中点，所以111cos 451222CO AB BC AB ⋅=︒==，故答案为12． 15．【答案】12,12,2n n n a n -=⎧=⎨-≥⎩ 【解析】当1n =时，12a =， 当2n ≥时，121213332n n n n n a a a a ---++++=，①231121332n n n n a a a ----+++=．②①3-⨯②，得()122n n a n -=-≥．因为12a =不满足上式，所以12,12,2n n n a n -=⎧=⎨-≥⎩，故答案为12,12,2n n n a n -=⎧=⎨-≥⎩．16．【答案】6【解析】依题意，二元码在通信过程中仅在第k 位发生码元错误后变成了1101011， ①若1k =，则12345670,1,0,1,0,1,1x x x x x x x =======，从而由校验方程组，得13571x x x x ⊕⊕⊕=，故1k ≠；②若2k =，则12345671,0,0,1,0,1,1x x x x x x x =======，从而由校验方程组，得34671x x x x ⊕⊕⊕=，故2k ≠；③若3k =，则12345671,1,1,1,0,1,1x x x x x x x =======，从而由校验方程组，得13571x x x x ⊕⊕⊕=，故3k ≠；④若4k =，则12345671,1,0,0,0,1,1x x x x x x x =======，从而由校验方程组，得12670x x x x ⊕⊕⊕=，故4k ≠；⑤若5k =，则12345671,1,0,1,1,1,1x x x x x x x =======，从而由校验方程组，得12670x x x x ⊕⊕⊕=，故5k ≠；⑥若6k =，则12345671,1,0,1,0,0,1x x x x x x x =======，从而由校验方程组，得1267135734671,0,0x x x x x x x x x x x x ⊕⊕⊕=⊕⊕⊕=⊕⊕⊕=，故6k =符合； ⑦若7k =，则12345671,1,0,1,0,1,0x x x x x x x =======，从而由校验方程组，得13571x x x x ⊕⊕⊕=，故7k ≠， 综上，k 等于6，故答案为6．三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1（2）2．【解析】（1）解：由tanA =sin cos A A =，即sin cos cos A A C C A =， 所以)sin A C A +=，因为A C B π+=-sin B A =，所以sin sin AB=． （2）解：由（1）知sin B A =，可得a =，即b a =，c =，利用余弦定理可得2222223cos 22a a a abc C ab +-+-===所以sin C ==所以ABC △的面积为21sin 216ABC S ab C a ==△，又因为ABC S =△2=，解得24a =，即2a =．18．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】（1）证明：如图所示，连接AE ， 因为四边形ABCD 是矩形，AC BD O =，所以O 是AC 的中点，因为H 是CE 的中点，所以//OH AE ，因为AE ⊂平面ADEF ，OH ⊂/平面ADEF ，所以//OH 平面ADEF ．（2）解：由条件可知AB ，AD ，AF 两两垂直，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AF 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，如图所示：则(1,0,0)B ，(1,2,0)C ，1,2,12H ⎛⎫⎪⎝⎭，(0,0,1)F ，可得1,2,12BH ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，(1,0,1)BF =-，(0,2,0)BC =，设平面BFH 的法向量为()111,,x y z =m ，所以111111202BH x y z BF x z ⎧⋅=-++=⎪⎨⎪⋅=-+=⎩m m ，取14x =，可得121,4y z =-=，所以(4,1,4)=-m ；设平面BCH 的法向量为()222,,x y z =n ，所以1111120220BH x y z BC y ⎧⋅=-++=⎪⎨⎪⋅==⎩n n ， 取22x =，可得220,1y z ==，所以()2,0,1=n ， 所以(4,1,4)(2,0,1)4165cos ,551611641⋅-⋅〈〉===⋅++⋅+m n m n m n ， 由图可知二面角C BH F --为钝角，所以二面角C BH F --的余弦值为416555-．19．【答案】（1）0x y -=；（2）2a ≤．【解析】（1）解：函数定义域为()0,∞+，1()2f x x x'=-，则(1)1f '=，()11f =，所以切线方程为()()()111y f f x '-=-，即0x y -=． （2）解法一：记21()ln x F x x x e ax -=-+-，由()10F ≥，得1010a -+-≥，即2a ≤． 当2a ≤时，由0x >，21()ln e 2x F x x x x -≥-+-， 令21()ln e 2x G x x x x -=-+-， 则1111()2e 22e (1)x x G x x x x x --⎛⎫'=-+-=-+- ⎪⎝⎭， 当()0,1x ∈时，()0G x '<；当()1,x ∈+∞时，()0G x '>，所以()G x 在()0,1单调递减，在()1,+∞单调递增，()()10G x G ≥=，即()()0F x G x ≥≥， 综上可知，2a ≤． 解法二：由条件知，21ln e 0x x x ax --+-≥，在0x >上成立，所以21ln e x x x a x --+≤，在0x >上成立，记21ln e ()x x x F x x--+=，则()()121212212e ln e 1(1)e ln ()x x x x x x x x x x x F x x x ---⎛⎫-+--+ ⎪-+-+⎝⎭'==，当()0,1x ∈时，()0F x '<；当()1,x ∈+∞时，()0F x '>， 所以()F x 在()0,1单调递减，在()1,+∞单调递增，()min ()12F x F ==，则实数a 的取值范围为2a ≤．20．【答案】（1）22143x y +=；（2）存在()2,0M ，使得四边形OAMB 为平行四边形． 【解析】（1）因为2218y x -=的左右顶点为()1,0-和()1,0，所以1c =， 因为12122MF MF F F +=，所以24a c =，所以2a =， 因为222a c b -=，所以b =所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=． （2）假设存在点M 使得四边形OAMB （O 为原点）为平行四边形， 设()00,M x y ，当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为1x =，所以31,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，31,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，因为OAMB 为平行四边形，所以OA OB OM +=，所以()00331,1,,22x y ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()()002,0,x y =，即()2,0M ，点M 在椭圆C 上，符合题意；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()1y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，()221143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，整理得()22223484120k x k x k +-+-=， 所以2122834k x x k+=+，212241234k x x k -=+，()121226234k y y k x x k -⎡⎤+=+-=⎣⎦+， 因为OAMB 为平行四边形，所以OA OB OM +=，所以()()()112200,,,x y x y x y +=，即()()121200,,x x y y x y ++=，所以22286,3434k k M k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭， 将点M 代入椭圆方程得2340k +=，方程无解， 故当直线l 的斜率存在时，不存在点M ，综上所述，存在()2,0M ，使得四边形OAMB 为平行四边形．21．【答案】（1）3350；（2）该同学没有希望进入决赛． 【解析】（1）由题可知，所有可能的情况有：①规定作品入选1幅，创意作品入选2幅的概率124312255325C C P C C ⋅==⋅， ②规定作品入选2幅，创意作品入选1幅的概率21143222255925C C C P C C ⋅⋅==⋅， ③规定作品入选2幅，创意作品入选2幅的概率224332255950C C P C C ⋅==⋅，故所求的概率3993325255050P =++=．（2）设强化训练后，规定作品入选的概率为1p ，创意作品入选的概率为2p ， 则12431355102p p +=++=， 由已知可得，强化训练后该同学某一轮可获得“巧手奖”的概率为：()()12222122222112221222212211P C p p C p C p C p p C p C p =-⋅+⋅-+⋅ ()()()2121212221122333p p p p p p p p p p =-=+-，∵1232p p +=，且1243,55p p ≥≥，也即213433,2525p p -≥-≥，即2179,1010p p ≤≤， 故可得149510p ≤≤，237510p ≤≤，2121113392416p p p p p ⎛⎫⎛⎫⋅=-=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴122714,5025p p ⎡⎤⋅∈⎢⎥⎣⎦，令12p p t =，则()221333324P t t t t ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭在2714,5025⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，∴()2272333505044P t P ⎛⎫⎛⎫≤=-⨯+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． ∵该同学在5轮比赛中获得“巧手奖”的次数()5,X B P ~， ∴315()55444E X P =<⨯=<，故该同学没有希望进入决赛． 22．【答案】（1）222(1)(1)x y a ++-=（0a >），2240x y x +-=；（2）2a =或a =【解析】（1）∵曲线C 1的参数方程为1cos 1sin x a y a αα=-+⎧⎨=+⎩（α为参数，0a >），∴圆1C 的普通方程为222(1)(1)x y a ++-=，0a >， ∵曲线C 2的极坐标方程为4cos ρθ=，又cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，∴圆2C 的直角坐标方程为2240x y x +-=． （2）由题可得1(1,1)C -，2(2,0)C ，直线12C C 的斜率113k =-，又12AB C C ⊥，则直线AB 的斜率3k =，设:3AB l y x b =+，点2C 到直线AB 的距离d =，因为||AB ==2d =，则1b =-或11b =-，直线AB 的方程为310x y --=或3110x y --=．由（1），令1C 与2C 的直角坐标方程相减，得23102a x y -+-=， 则24a =或224a =，2a =或a =23．【答案】（1）{}02x x x ≤≥或；（2）[1,1][2,)-+∞．【解析】（1）解：当1x <-时，2()13f x x x =-+≥，解得1x <-； 当11x -≤≤时，2()33f x x x =--≥，解得10x -≤≤； 当12x <<时，2()13f x x x =-+≥，解得∅； 当2x ≥时，2()33f x x x =+-≥，解得2x ≥， 综上，不等式()3f x ≥的解集为{}02x x x ≤≥或．（2）解：222()1|2|123f x x x x x x x =-+-≥-+-=+-， 当且仅当2(1)(2)0x x --≥时取等号，因为2()3f a a a ≤+-，则2()3f a a a =+-，且2(1)(2)0a a --≥， 解得2a ≥或11x -≤≤，即实数a 的取值范围为[1,1][2,)-+∞．。

陕西省宝鸡市2024届高三下学期高考模拟检测（二）数学（理科）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________三、解答题17．目前，随着人们的生活节奏的加快，人们出行时乘坐的交通工具也逐渐多样化．某公司为了了解员工上个月上、下班时,A B 两种交通工具乘坐情况，从全公司所有的员工中随机抽取了100人，发现样本中,A B 两种交通工具都不乘坐的有5人，样本中仅乘坐A 和仅乘坐B 的员工月交通费用分布情况如下：【分析】（1）如图，连接BD，设AC BD OI，连接PO，可证AC^平面PDC，从而=可得AC PO^，故可证明PA PC=.（2）利用等积法可求PA与平面PBC所成角的正弦值，根据基本不等式可求何时正弦值最大，故可求此时四棱锥P ABCD-的体积.【详解】（1）如图，连接BD，设AC BD OI，连接PO.=因为，PD^平面ABCD，ACÌ平面ABCD，故PD AC^，而PB AC^，PB PD PPB PDÌ平面PDB，Ç=，,故AC^平面PDB，而POÌ平面PDB，故AC PO^，由四边形ABCD为平行四边形可得AO OC△为等腰三角形，=，故PAC故AP PC=.（2）设AD xx>.=，0所以2121ba b£-ìí£+-î，故3a b+³且3b³.当1x>时，有()2221x a x b-£-+-在()1,+¥上恒成立，所以()410a x b-++³在()1,+¥上恒成立，故41040a ba-++³ìí-³î，所以3a b+³且4a³，所以7a b+³，故a b+的最小值为7.。

2020年山东省高考理科数学仿真模拟试题二（附答案）（满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡和试卷指定位置上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知集合{}2log (1)2A x x =-<，{}16B x x =-<<，则A B ⋂= ( ) A. {}15x x -<< B. {}16x x -<< C. {}15x x <<D. {}16x x <<2. 复数i z a b =+（,a b R ∈）满足2i(1)z z =-，则a b +=( ) A. 35-B. 15-C.15D.353. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为A. B. C.D.4. 为了计算满足的最大正整数，设置了如下图所示的程序框图，若判断框中填写的是“”，则输出框中应填（ ）A. 输出B. 输出C. 输出D. 输出5. 已知函数()cos x xf x e=，则()f x 的图象在点()()0,0f 处的切线方程为( ) A. 10x y ++= B. 10x y +-=C. 10x y -+=D. 10x y --=6. 某班有50名学生，一次数学考试的成绩ξ服从正态分布N （105，102），已知 P （95≤ξ≤105）=0.32，估计该班学生数学成绩在115分以上的人数为（ ） A. 10B. 9C. 8D. 77. 为了得到函数sin y x =的图像，只需将函数sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像（ ）A. 横坐标伸长为原来的两倍，纵坐标不变，再向右平移6π个单位 B. 横坐标伸长为原来的两倍，纵坐标不变，再向左平移6π个单位C. 横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，再向右平移6π个单位D. 横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，再向左平移6π个单位8. 若,a b 是从集合{}1,1,2,3,4-中随机选取两个不同元素，则使得函数()5ab f x x x =+是奇函数的概率为（ ） A.320B.310C.925D.359．已知命题2:233p x x a ++≥恒成立，命题():21xq y a =-为减函数，若p 且q 为真命题，则a 的取值范围是（ ） A ．1223a <≤ B ．102a <<C ．121a << D ．23a £10．设函数()f x 的定义域为R ，满足(1) 2 ()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-．若对任意(,)x m ∈-∞，都有()1f x <，则m 的取值范围是（ ）A ．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ B ．8,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ C ．7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ D ．5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦11.倾斜角为15°的直线l 经过原点且和双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右两支交于A ，B 两点，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）A.)+∞B. )+∞C. D. 12.曲线()xf x ke-=在x=0处的切线与直线x-2y-1=0垂直，则12,x x 是()()ln g x f x x =-的两个零点，则（ ）A.12211x x e e << B. 12211x x e << C. 1211x x e<< D. 212e x x e <<二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2023年广西玉林市博白中学高考数学模拟试卷（理科）（二）一、选择题（共13小题）A ．-4B ．-3C ．-2D ．-11．已知向量m =（λ+1，1），n =（λ+2，2），若（m +n ）⊥（m -n ），则λ=（ ）→→→→→→A ．2−1B ．2C ．2+1D ．2+22．已知a ，b 是单位向量，a •b =0．若向量c 满足|c -a -b |=1，则|c |的最大值为（ ）→→→→→→→→→√√√√A ．π3B ．π2C ．2π3D ．5π63．已知非零向量a ，b 满足|b |=4|a |，且a ⊥（2a +b ），则a 与b 的夹角为（ ）→→→→→→→→→A ．π4B ．π2C ．3π4D ．π4．若非零向量a ，b 满足|a |=223|b |，且（a -b ）⊥（3a +2b ），则a 与b 的夹角为（）→→→√→→→→→→→A ．-32B ．-53C ．53D ．325．设a =（1，2），b =（1，1），c =a +k b ，若b ⊥c ，则实数k 的值等于（ ）→→→→→→→A ．垂直B ．不垂直也不平行C ．平行且同向D ．平行且反向6．已知向量a =(−5，6)，b =(6，5)，则a 与b （ ）→→→→A ．（-1，1，0）B ．（1，-1，0）C ．（0，-1，1）D ．（-1，0，1）7．已知向量a =（1，0，-1），则下列向量中与a 成60°夹角的是（ ）→→二、填空题（共13小题）A ．23B ．3C ．0D ．-38．已知向量a =（1，3），b =（3，m ），若向量a ，b 的夹角为π6，则实数m =（ ）→√→→→√√√A ．-2B ．-1C ．1D ．29．平面向量a =（1，2），b =（4，2），c =m a +b （m ∈R ），且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m =（ ）→→→→→→→→→A ．2π3B ．π3C ．π6D ．010．设a ，b 为非零向量，|b |=2|a |，两组向量x 1，x 2，x 3，x 4和y 1，y 2，y 3，y 4，均由2个a 和2个b 排列而成，若x 1•y 1+x 2•y 2+x 3•y 3+x 4•y 4所有可能取值中的最小值为4|a |2，则a 与b 的夹角为（ ）→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→A ．[2−1，2+1]B ．[2−1，2+2]C ．[1，2+1]D ．[1，2+2]11．已知a ，b 是单位向量，a •b =0，若向量c 满足|c −b −a |=1，则|c |的取值范围为（ ）→→→→→→→→→√√√√√√A ．∠ABC =90°B ．∠BAC =90°C ．AB =AC D ．AC =BC12．设△ABC ，P 0是边AB 上一定点，满足P 0B =14AB ，且对于边AB 上任一点P ，恒有PB •PC ≥P 0B •P 0C ，则（ ）→→→→A ．m =0，M >0B ．m <0，M >0C ．m <0，M =0D ．m <0，M <013．在边长为1的正六边形ABCDEF 中，记以A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为a 1、a 2、a 3、a 4、a 5；以D 为起点，其余顶点为终点的向量分别为d 1、d 2、d 3、d 4、d 5．若m 、M 分别为（a i +a j +a k ）•（d r +d s +d t ）的最小值、最大值，其中{i ,j ,k }⊆{1，2，3，4，5}，{r ,s ,t }⊆{1，2，3，4，5}，则m 、M 满足（ ）→→→→→→→→→→→→→→→→14．已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c =t a +（1-t ）b ．若b •c =0，则t = ．→→→→→→→15．在平行四边形ABCD 中，AD =1，∠BAD =60°，E 为CD 的中点．若AC •BE =1，则AB 的长为 ．→→16．平面向量a =（1，2），b =（4，2），c =m a +b （m ∈R ），且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m = ．→→→→→→→→→三、解答题（共4小题）17．设向量a =（3，3），b =（1，-1），若（a +λb ）⊥（a -λb ），则实数λ= ．→→→→→→18．已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若AO =12（AB +AC ），则AB 与AC 的夹角为 ．→→→→→19．已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE •BD = ．→→20．设e 1，e 2为单位向量．且e 1、e 2的夹角为π3，若a =e 1+3e 2，b =2e 1，则向量a 在b 方向上的射影为 ．→→→→→→→→→→→21．若非零向量a ，b 满足|a |=3|b |=|a +2b |，则a 与b 夹角的余弦值为 ．→→→→→→→→22．已知单位向量e 1与e 2的夹角为α，且cosα=13，向量a =3e 1-2e 2与b =3e 1-e 2的夹角为β，则cosβ= ．→→→→→→→→23．已知向量AB 与AC 的夹角为120°，且|AB |=3，|AC |=2．若AP =λAB +AC ，且AP ⊥BC ，则实数λ的值为 ．→→→→→→→→→24．已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD =120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BC =3BE ，DC =λDF ，若AE •AF =1，则λ的值为．→→25．设e 1、e 2为单位向量，非零向量b =x e 1+y e 2，x 、y ∈R ．若e 1、e 2的夹角为30°，则|x ||b |的最大值等于 ．→→→→→→→→26．已知正方形ABCD 的边长为1，记以A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为a 1，a 2，a 3；以C 为起点，其余顶点为终点的向量分别为c 1，c 2，c 3，若i ,j ,k ,l ∈{1，2，3}，且i ≠j ,k ≠l ,则(a i +a j )•(c k +c l )的最小值是 ．→→→→→→→→→→27．已知向量a =（cosx ,-12），b =（3sinx ,cos 2x ），x ∈R ，设函数f （x ）=a •b ．（Ⅰ）求f （x ）的最小正周期．（Ⅱ）求f （x ）在[0，π2]上的最大值和最小值．→→√→→28．已知a =（cosα，sinα），b =（cosβ，sinβ），0<β<α<π．（1）若|a -b |=2，求证：a ⊥b ；（2）设c =（0，1），若a +b =c ，求α，β的值．→→→→√→→→→→→29．设向量a =(3sinx ,sinx )，b =(cosx ,sinx )，x ∈[0，π2]．（1）若|a |=|b |，求x 的值；（2）设函数f (x )=a •b ，求f （x ）的最大值．→√→→→→→30．小波以游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋．游戏规则为以O 为起点，再从A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6（如图）这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X ，若X >0就去打球，若X =0就去唱歌，若X <0就去下棋．（1）写出数量积X 的所有可能取值；（2）分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率．。

【冲锋号·考场模拟】赢战2023年高考数学模拟仿真卷02卷（理科）（全国卷专用） （解析版）（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 4．测试范围：高考全部内容5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}2|2A x x x =<+，{}1,0,1,2,3B =-，则A B =（ ）A ．{}1,0,1-B ．{}0,1,2C ．{}0,1D ．{}1,2【答案】C【分析】解不等式得到{}|12A x x =-<<，求出交集.【详解】22x x <+，即220x x --<，解得：12x -<<，故{}|12A x x =-<<， 所以{}{}{}1,0,1,1|122,30,A x B x =--<=<.故选：C 2．若复数z 满足2iz+为纯虚数，且1z =，则z 的虚部为（ ）A ．BC ．D255=，即．下列命题正确的个数为（ ①命题“x ∃∈R ，210x x ++≥”的否定是“x ∀∈R ，210x x ++<”； ②0a b +=的充要条件是1ba=-； ③若函数()y f x =为奇函数，则()0f x =； ④0ab ≥是222a b ab +≥的必要条件. A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个0a b 时，a 函数()1f x x=是奇函数，但是1=，1b ，2a +所以，只有①正确. 能是（ ） A ．1()f x x=-B ．2()f x x =-C ．()e e x x f x -=+D ．1()ln1xf x x-=+ ,0)(0,)+∞，,0)-∞上单调递增，e e x x f -=+．在直三棱柱111中，11分別是1111的中点，1，则1BD与1AF所成角的正弦值是（）A B．12C D则())(2,0,0,,0,2,0,2,0A B故(11,BD=-，(11,0,2AF=-11BD AF与所成角为α，0︒113cos5AF BDAF BDα⋅==⨯⋅所以270sin1cosαα=-=6．从2位男生，4位女生中安排3人到三个场馆做志愿者，每个场馆各1人，且至少有1位男生入选，则不同安排方法有（）种.A ．16B ．20C ．96D ．120【答案】C【分析】分一男两女与两男一女两类讨论.【详解】若选一男两女共有：123243C C A 72=； 若选两男一女共有：213243C C A 24=；因此共有96种， 故选：C7．函数()()f x x ωϕ=+其中π0,||2ωϕ><，的图象的一部分如图所示，()g x x ω=，要想得到()g x 的图象，只需将()f x 的图象（ ）A ．向右平移π4个单位长度B ．向右平移2个单位长度C ．向左平移π4个单位长度D ．向左平移2个单位长度中，每场比赛甲队获胜的概率为23，乙队获胜的概率为13，则在这场“五局三胜制”的排球赛中乙队获胜的概率为（ ）A．1481B．13C．1781D．168115,3B⎛⎫⎪⎝⎭.的锐角组成的对称多边形纹样，具有组合性强、结构稳定等特点．有的八角星纹中间镂空出一个正方形，有的由八个菱形组成，内部呈现米字形线条．八角星纹目前仍流行在中国南方的挑花和织锦中．在图2所示的八角星纹中，各个最小的三角形均为全等的等腰直角三角形，中间的四边形是边长为2的正方形，在图2的基础上连接线段，得到角α，β，如图3所示，则αβ+=（）A．30°B．45°C．60°D．75°【答案】B1BC )0,45，所以45.10．函数()()e e cos 2x xf x x -=-在区间,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦大致图像可能为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】利用定义判断()f x 的奇偶性，再结合函数值的符号分析判断，即可得答案.【详解】∵()()()()()()e e cos2e e cos 2e e e e cos20x x x x x x x xf x f x x x x ----+-=-+--=-+-=，即()()f x f x =--，11．若双曲线()2210,0x y a b a b -=>>的渐近线与圆C ：22420x y x +-+=相交，则此双曲线的离心率的取值范围是（ ）A ．(B ．()1,2C ．)2D ．)+∞双曲线1201x x A ．2121e e ln ln x xx x ->- B ．2121e e ln ln x xx x -<- C ．1221e e x xx x >D ．1221e e x xx x <13．双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，已知焦距为8，离心率为2，过右焦点2F 作垂直于x 轴的直线l 与双曲线C 的右支交于,A B 两点，则||AB =_____．故||6(6)12AB =--=， 故答案为：12.14．已知O 为坐标原点，且(1,),(4,4)A m B m -，若,,O A B 三点共线，则实数m =_____． 【答案】45##0.8【分析】将三点共线，转化为//OA OB ，再利用向量平行的坐标表示，即可求解三点共线，所以//OA OB ，(1,OA m =，(4,4OB =在ABC 中，角所对的边分别为,,a b c ，若2a =，3，sin A =则ABC 的面积为___________. ABCS=故答案为：．已知矩形绕AD 顺时针旋转π2，则线段AP 扫过的区域面积为____________．5π三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．某商场计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶8元，售价每瓶10元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶4元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关.如果最高气温不低于25，需求量为600瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为400瓶；如果最高气温低于20，需求量为300瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过400瓶的概率，并求出前三年六月份这种酸奶每天平均的需求量；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为550瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率.．有下列个条件：①38；②7；③2，4，5成等比数列.从中任选1个，补充到下面的问题中并解答问题：设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知()*12N n n n S S a n +=++∈， .(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)n S 的最小值并指明相应的n 的值． 【答案】(1)212n a n =-；(2)n =5或者6时，n S 取到最小值30-.【分析】（1）由已知可得12n n a a +-=，则{}n a 是公差为2的等差数列，若选①，则由382a a +=-列方程可求出1a ，从而可求出通项公式；若选②，则由728S =-列方程可求出1a ，从而可求．如图，直三棱柱111的底面为正三角形，1，点D ，E 分别在AB ，1BB 上，且AD DB =，113BE EB =．(1)证明：平面1A DC ⊥平面EDC ； (2)求二面角1A EC D --的余弦值．【分析】（1）解法一：先建立空间直角坐标系，利用向量的坐标运算得到10DA DC ⋅=，10DE DA ⋅=，即可证明判定定理即可得证；解法二：先根据已知，利用相似三角形和勾股定理的逆定理得到利用线面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理即可得证；（2）先求出平面中的结论得出1DA 为平面因为ABC 是等边三角形，所以因为平面ABC BC =， OA ⊥平面为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，()()()()()所以1,222DE ⎛= ⎝⎭，32DC ⎛=- ⎝，112DA ⎛=- ⎝所以10DA DC ⋅=，10DE DA ⋅=，所以DE ，1DA ⊥CDDE D =，CD ，DE ⊂平面1DA ⊥平面1DA ⊂平面1A DC ，所以平面1A DC EDC ． 解法二 ，由题意知四边形1ABB A AA BD1ADA BED ∽△△，则1AA D ∠1AA D ∠+∠CDDE D =，⊂平面CDA（2）⎛⎫所以12,2CE =⎛⎝，(11,2,CA =，112DA ⎛=- ⎝设平面1A EC 的法向量为(),,n x y z =100n CE n CA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，所以1202230x y x y z ⎧+=⎪⎨⎪++=⎩， 取1x =，得71,4,n ⎛ =⎝- 由（1）知1DA ⊥平面CDE ，故1DA 为平面的一个法向量．11115,10n DA n DA n DA ⋅==-易知二面角1A EC D --为锐二面角，所以二面角20．已知椭圆C ：22221x y a b +=()0a b >>的下顶点为点D ，右焦点为()21,0F .延长2DF 交椭圆C 于点E ，且满足223DF F E =. (1)试求椭圆C 的标准方程；(2)A ，B 分别是椭圆长轴的左右两个端点，M ，N 是椭圆上与A ，B 均不重合的相异两点，设直线AM ，AN 的斜率分别是1k ，2k .若直线MN 过点⎫⎪⎪⎝⎭，则12k k ⋅是否为定值，若是求出定值，若不是请说明理由.的下顶点为(0,)D b -，右焦点(1,0)F ，设点，所以223DF F E =，又2(1,DF b =，2(F E x =-433x b y ==，2231b ⎛⎫ ⎪⎝⎭+=，即2161199a +=，得22a =，⎧21．已知函数f x x =-，ln x a a g x =+（0a >，e 是自然对数的底数）．(1)若直线y kx =与曲线()y f x =，()y g x =都相切，求a 的值； (2)若()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围．a>，∴实数【点睛】本题的解题关键是对见的求参方法要注意积累，比如本题中用到了分离参数转化为求函数最值的方法求参．（二）选考题：共所做的第一题计分．选修4-4：坐标系与参数方程22．在平面直角坐标系中，曲线1C 的参数方程为3cos 2sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数），以O 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线6πθ=与曲线2C交于点6D π⎛⎫ ⎪⎝⎭．(1)求曲线1C ，2C 的普通方程；(2)()1,A ρθ，2,2B πρθ⎛⎫- ⎪⎝⎭是曲线1C 上的两点，求221211ρρ+的值．，2cos sin ϕ+，设圆的半径为曲线选修4-5：不等式选讲23．（1）已知0a >，0b >，412a b+=，求a b +的最小值；（2）已知a ，b ，c ，为任意实数，求证：222a b c ab bc ca ++≥++.。

高考数学高三模拟考试试卷压轴题高考数学全真模拟试卷（理科）（二）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（•陕西二模）设集合M={x|}，函数f（x）=ln（1﹣）的定义域为N，则M∩N为（）A．[，1] B．[，1）C．（0，] D．（0，）2．（5分）（•陕西二模）已知命题p：∃x∈R，log3x≥0，则（）A．￢p：∀x∈R，log3x≤0 B．￢p：∃x∈R，log3x≤0C．￢p：∀x∈R，log3x＜0 D．￢p：∃x∈R，log3x＜03．（5分）（•陕西二模）若tanα=，则sin4α﹣cos4α的值为（）A．﹣B．﹣C．D．4．（5分）（•新课标Ⅱ）等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3=a2+10a1，a5=9，则a1=（）A．B．C．D．5．（5分）（•陕西二模）某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是（）A．28π B．32π C．36π D．40π6．（5分）（•陕西二模）将除颜色外完全相同的一个白球、一个黄球、两个红球分给三个小朋友，且每个小朋友至少分得一个球的分法有（）种．A．15 B．18 C．21 D．247．（5分）（•新课标I）已知抛物线C：y2=x的焦点为F，A（x0，y0）是C上一点，AF=|x0|，则x0=（）A．1 B．2 C．4 D．88．（5分）（•陕西模拟）如果执行如图的框图，输入N=5，则输出的数等于（）A．B．C．D．9．（5分）（•陕西二模）曲线y=e在点（6，e2）处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为（）A．B．3e2 C．6e2 D．9e210．（5分）（•陕西二模）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，且f（α）=1，α∈（0，），则cos（2）=（）A．B．C．﹣D．11．（5分）（•陕西二模）若f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的偶函数，∀x1，x2∈[0，+∞）（x1≠x2），有，则（）A．f（3）＜f（1）＜f（﹣2）B．f（1）＜f（﹣1）＜f（3）C．f（﹣2）＜f（1）＜f （3）D．f（3）＜f（﹣2）＜f（1）12．（5分）（•陕西二模）若直线l1：y=x，l2：y=x+2与圆C：x2+y2﹣2mx﹣2ny=0的四个交点把圆C分成的四条弧长相等，则m=（）A．0或1 B．0或﹣1 C．1或﹣1 D．0二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（•陕西二模）（x+cosx）dx=．14．（5分）（•陕西二模）已知单位向量，的夹角为60°，则向量与的夹角为．15．（5分）（•陕西二模）不等式a2+8b2≥λb（a+b）对于任意的a，b∈R恒成立，则实数λ的取值范围为．16．（5分）（•陕西二模）已知F是双曲线C：x2﹣=1的右焦点，若P是C的左支上一点，A（0，6）是y轴上一点，则△APF面积的最小值为．三、解答题（共5小题，满分60分）17．（12分）（•陕西二模）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c．已知a+c=3，b=3．（I）求cosB的最小值；（Ⅱ）若=3，求A的大小．18．（12分）（•陕西二模）“开门大吉”是某电视台推出的游戏节目．选手面对1～8号8扇大门，依次按响门上的门铃，门铃会播放一段音乐（将一首经典流行歌曲以单音色旋律的方式演绎），选手需正确答出这首歌的名字，方可获得该扇门对应的家庭梦想基金．在一次场外调查中，发现参赛选手大多在以下两个年龄段：21～30，31～40（单位：岁），统计这两个年龄段选手答对歌曲名称与否的人数如图所示．（1）写出2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为答对歌曲名称与否和年龄有关，说明你的理由．（下面的临界值表供参考）P（K2≥k0） 0.1 0.05 0.01 0.005k0 2.706 3.841 6.635 7.879（2）在统计过的参考选手中按年龄段分层选取9名选手，并抽取3名幸运选手，求3名幸运选手中在21～30岁年龄段的人数的分布列和数学期望．（参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d）19．（12分）（•陕西二模）如图①，在△ABC中，已知AB=15，BC=14，CA=13．将△ABC沿BC边上的高AD折成一个如图②所示的四面体A﹣BCD，使得图②中的BC=11．（1）求二面角B﹣AD﹣C的平面角的余弦值；（2）在四面体A﹣BCD的棱AD上是否存在点P，使得•=0？若存在，请指出点P的位置；若不存在，请给出证明．20．（12分）（•陕西二模）设O是坐标原点，椭圆C：x2+3y2=6的左右焦点分别为F1，F2，且P，Q是椭圆C上不同的两点，（I）若直线PQ过椭圆C的右焦点F2，且倾斜角为30°，求证：|F1P|、|PQ|、|QF1|成等差数列；（Ⅱ）若P，Q两点使得直线OP，PQ，QO的斜率均存在．且成等比数列．求直线PQ的斜率．21．（12分）（•陕西二模）设函数f（x）=ex﹣lnx．（1）求证：函数f（x）有且只有一个极值点x0；（2）求函数f（x）的极值点x0的近似值x′，使得|x′﹣x0|＜0.1；（3）求证：f（x）＞2.3对x∈（0，+∞）恒成立．（参考数据：e≈2.718，ln2≈0.693，ln3≈1.099，ln5≈1.609，ln7≈1.946）．[选修41：几何证明选讲]22．（10分）（•陕西二模）如图，已知AB为⊙O的直径，C，F为⊙O上的两点，OC⊥AB，过点F作⊙O的切线FD交AB的延长线于点D，连接CF交AB于点E．求证：DE2=DA•DB．[选修44：坐标系与参数方程]23．（•陕西二模）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：x2+y2=4，圆C2：（x﹣2）2+y2=4．（Ⅰ）在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别求圆C1与圆C2的极坐标方程及两圆交点的极坐标；（Ⅱ）求圆C1与圆C2的公共弦的参数方程．[选修45：不等式选讲]24．（•陕西二模）已知函数f（x）=|x+1|﹣2|x|．（1）求不等式f（x）≤﹣6的解集；（2）若存在实数x满足f（x）=log2a，求实数a的取值范围．高考数学全真模拟试卷（理科）（二）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（•陕西二模）设集合M={x|}，函数f（x）=ln（1﹣）的定义域为N，则M∩N为（）A．[，1] B．[，1）C．（0，] D．（0，）【解答】解：集合M={x|}=[，3），函数f（x）=ln（1﹣）=[0，1），则M∩N=[，1），故选：B．2．（5分）（•陕西二模）已知命题p：∃x∈R，log3x≥0，则（）A．￢p：∀x∈R，log3x≤0 B．￢p：∃x∈R，log3x≤0C．￢p：∀x∈R，log3x＜0 D．￢p：∃x∈R，log3x＜0【解答】解：命题p：∃x∈R，log3x≥0，则￢p：∀x∈R，log3x＜0．故选：C．3．（5分）（•陕西二模）若tanα=，则sin4α﹣cos4α的值为（）A．﹣B．﹣C．D．【解答】解：∵tan，则sin4α﹣cos4α=（sin2α+cos2α）•（sin2α﹣cos2α）=sin2α﹣cos2α===﹣，故选：B．4．（5分）（•新课标Ⅱ）等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3=a2+10a1，a5=9，则a1=（）A．B．C．D．【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，∵S3=a2+10a1，a5=9，∴，解得．∴．故选C．5．（5分）（•陕西二模）某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是（）A．28π B．32π C．36π D．40π【解答】解：图为三视图复原的几何体是一圆台和一个圆柱的组合体，圆柱的底面半径为2，高为2，体积为：22π•2=8π．圆台的底面半径为4，上底面半径为2，高为3，体积为：=28π，几何体的体积为：36π．故选：C．6．（5分）（•陕西二模）将除颜色外完全相同的一个白球、一个黄球、两个红球分给三个小朋友，且每个小朋友至少分得一个球的分法有（）种．A．15 B．18 C．21 D．24【解答】解：把4个小球分成（2，1，1）组，其中2个小球分给同一个小朋友的有4种方法（红红，红黄，红白，白黄），若（红红，红黄，红白）分给其中一个小朋友，则剩下的两个球分给2个小朋友，共有3×3×A22=18种，若（白黄两个小球）分给其中一个小朋友，剩下的两个红色小球只有1种分法，故有3×1=3种，根据分类计数原理可得，共有18+3=21种．故选：C．7．（5分）（•新课标I）已知抛物线C：y2=x的焦点为F，A（x0，y0）是C上一点，AF=|x0|，则x0=（）A．1 B．2 C．4 D．8【解答】解：抛物线C：y2=x的焦点为F，∵A（x0，y0）是C上一点，AF=|x0|，∴=x0+，解得x0=1．故选：A．8．（5分）（•陕西模拟）如果执行如图的框图，输入N=5，则输出的数等于（）A．B．C．D．【解答】解：经过第一次循环得到 S=，满足进入循环的条件，k=2，经过第二次循环得到S=+=，满足进入循环的条件，k=3，经过第三次循环得到S=+=，满足进入循环的条件，k=4，经过第四次循环得到S=+=，满足进入循环的条件，k=5，经过第五次循环得到S=+=，不满足进入循环的条件，执行输出，故输出结果为：，故选：D9．（5分）（•陕西二模）曲线y=e在点（6，e2）处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为（）A．B．3e2 C．6e2 D．9e2【解答】解：y=e的导数为y′=e，可得在点（6，e2）处的切线斜率为e2，即有在点（6，e2）处的切线方程为y﹣e2=e2（x﹣6），即为y=e2x﹣e2，令x=0，可得y=﹣e2；令y=0，可得x=3．即有切线与坐标轴所围成的三角形的面积为•3•e2=e2．故选：A．10．（5分）（•陕西二模）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，且f（α）=1，α∈（0，），则cos（2）=（）A．B．C．﹣D．【解答】解：由图象可得A=3，=4（﹣），解得ω=2，故f（x）=3sin（2x+φ），代入点（，﹣3）可得3sin（+φ）=﹣3，故sin（+φ）=﹣1，+φ=2kπ﹣，∴φ=2kπ﹣，k∈Z结合0＜φ＜π可得当k=1时，φ=，故f（x）=3sin（2x+），∵f（α）=3sin（2α+）=1，∴sin（2α+）=，∵α∈（0，），∴2α+∈（，），∴cos（2）=﹣=﹣，故选：C．11．（5分）（•陕西二模）若f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的偶函数，∀x1，x2∈[0，+∞）（x1≠x2），有，则（）A．f（3）＜f（1）＜f（﹣2）B．f（1）＜f（﹣1）＜f（3）C．f（﹣2）＜f（1）＜f （3）D．f（3）＜f（﹣2）＜f（1）【解答】解：∵∀x1，x2∈[0，+∞）（x1≠x2），有，∴当x≥0时函数f（x）为减函数，∵f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的偶函数，∴f（3）＜f（2）＜f（1），即f（3）＜f（﹣2）＜f（1），故选：D12．（5分）（•陕西二模）若直线l1：y=x，l2：y=x+2与圆C：x2+y2﹣2mx﹣2ny=0的四个交点把圆C分成的四条弧长相等，则m=（）A．0或1 B．0或﹣1 C．1或﹣1 D．0【解答】解：∵l1：y=x，l2：y=x+2与圆C：x2+y2﹣2mx﹣2ny=0，∴直线l1∥l2，且l1、l2把⊙C分成的四条弧长相等，画出图形，如图所示．又⊙C可化为（x﹣m）2+（y﹣n）2=m2+n2，当m=0，n=1时，圆心为（0，1），半径r=1，此时l1、l2与⊙C的四个交点（0，0），（1，1），（0，2），（﹣1，1）把⊙C分成的四条弧长相等；当m=﹣1，n=0时，圆心为（﹣1，0），半径r=1，此时l1、l2与⊙C的四个交点（0，0），（﹣1，1），（﹣2，0），（﹣1，﹣1）也把⊙C 分成的四条弧长相等；故选：B．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（•陕西二模）（x+cosx）dx=．【解答】解：（x2+sinx）|=故答案为：．14．（5分）（•陕西二模）已知单位向量，的夹角为60°，则向量与的夹角为．【解答】解：∵单位向量，的夹角为60°，∴|+|===，||==，（+）（）=﹣•﹣2+=﹣﹣2+1=﹣，设向量与的夹角为θ，则cosθ==﹣，故θ=，故答案为：．15．（5分）（•陕西二模）不等式a2+8b2≥λb（a+b）对于任意的a，b∈R恒成立，则实数λ的取值范围为[﹣8，4]．【解答】解：∵a2+8b2≥λb（a+b）对于任意的a，b∈R恒成∴a2+8b2﹣λb（a+b）≥0对于任意的a，b∈R恒成即a2﹣（λb）a+（8﹣λ）b2≥0恒成立，由二次不等式的性质可得，△=λ2+4（λ﹣8）=λ2+4λ﹣32≤0∴（λ+8）（λ﹣4）≤0解不等式可得，﹣8≤λ≤4故答案为：[﹣8，4]16．（5分）（•陕西二模）已知F是双曲线C：x2﹣=1的右焦点，若P是C的左支上一点，A（0，6）是y轴上一点，则△APF面积的最小值为6+9．【解答】解：双曲线C：x2﹣=1的右焦点为（3，0），由A（0，6），可得直线AF的方程为y=﹣2x+6，|AF|==15，设直线y=﹣2x+t与双曲线相切，且切点为左支上一点，联立，可得16x2﹣4tx+t2+8=0，由判别式为0，即有96t2﹣4×16（t2+8）=0，解得t=﹣4（4舍去），可得P到直线AF的距离为d==，即有△APF的面积的最小值为d•|AF|=××15=6+9．故答案为：6+9．三、解答题（共5小题，满分60分）17．（12分）（•陕西二模）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c．已知a+c=3，b=3．（I）求cosB的最小值；（Ⅱ）若=3，求A的大小．【解答】解：（I）在△ABC中，由余弦定理得cosB===．∵ac≤（）2=．∴当ac=时，cosB取得最小值．（II）由余弦定理得b2=a2+c2﹣2accosB．∵=accosB=3．∴9=a2+c2﹣6，∴a2+c2=15．又∵a+c=3，∴ac=6．∴a=2，c=或a=，c=2．∴cosB=，sinB=．由正弦定理得，∴sinA==1或．∴A=或A=．18．（12分）（•陕西二模）“开门大吉”是某电视台推出的游戏节目．选手面对1～8号8扇大门，依次按响门上的门铃，门铃会播放一段音乐（将一首经典流行歌曲以单音色旋律的方式演绎），选手需正确答出这首歌的名字，方可获得该扇门对应的家庭梦想基金．在一次场外调查中，发现参赛选手大多在以下两个年龄段：21～30，31～40（单位：岁），统计这两个年龄段选手答对歌曲名称与否的人数如图所示．（1）写出2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为答对歌曲名称与否和年龄有关，说明你的理由．（下面的临界值表供参考）P（K2≥k0） 0.1 0.05 0.01 0.005k0 2.706 3.841 6.635 7.879（2）在统计过的参考选手中按年龄段分层选取9名选手，并抽取3名幸运选手，求3名幸运选手中在21～30岁年龄段的人数的分布列和数学期望．（参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d）【解答】解：（1）2×2列联表正确错误合计21～30 10 30 4031～40 10 70 80合计20 100 120∴K2==3＞2.706有90%的把握认为猜对歌曲名称与否和年龄有关．﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（2）按照分层抽样方法可知：21～30（岁）抽取3人，31～40（岁）抽取6人．设3名选手中在21～30岁之间的人数为ξ，可能取值为0，1，2，3﹣﹣﹣﹣（5分）P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==．﹣﹣﹣﹣﹣（10分）ξD的分布列ξ0 1 2 3P﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）E（ξ）=0×+1×+2×+3×=1﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）19．（12分）（•陕西二模）如图①，在△ABC中，已知AB=15，BC=14，CA=13．将△ABC沿BC边上的高AD折成一个如图②所示的四面体A﹣BCD，使得图②中的BC=11．（1）求二面角B﹣AD﹣C的平面角的余弦值；（2）在四面体A﹣BCD的棱AD上是否存在点P，使得•=0？若存在，请指出点P的位置；若不存在，请给出证明．【解答】解：（1）由已知AD⊥BD，AD⊥CD，故二面角B﹣AD﹣C的平面角为∠BDC，在图①，设BD=x，AD=h，则CD=14﹣x，在△ABD与△ACD中，分别用勾股定理得x2+h2=152，（14﹣x）2+h2=132，得x=9，h=12，从而AD=12，BD=9，CD=5，在图②的△BCD中，由余弦定理得BC2=BD2+CD2﹣2BD•CDcos∠BDC，即112=92+52﹣2×9×5cos∠BDC，则cos∠BDC=﹣，即二面角B﹣AD﹣C的平面角的余弦值是﹣．（2）假设在四面体A﹣BCD的棱AD上存在点P，使得，则0==（+）•（+）=2+•+•+•=2+0+0+9×5×（﹣）=2﹣，则||=＜12，符号题意，即在棱AD上存在点P，使得，此时||=．20．（12分）（•陕西二模）设O是坐标原点，椭圆C：x2+3y2=6的左右焦点分别为F1，F2，且P，Q是椭圆C上不同的两点，（I）若直线PQ过椭圆C的右焦点F2，且倾斜角为30°，求证：|F1P|、|PQ|、|QF1|成等差数列；（Ⅱ）若P，Q两点使得直线OP，PQ，QO的斜率均存在．且成等比数列．求直线PQ的斜率．【解答】解：（I）证明：x2+3y2=6即为+=1，即有a=，b=，c==2，由直线PQ过椭圆C的右焦点F2（2，0），且倾斜角为30°，可得直线PQ的方程为y=（x﹣2），代入椭圆方程可得，x2﹣2x﹣1=0，即有x1+x2=2，x1x2=﹣1，由弦长公式可得|PQ|=•=•=，由椭圆的定义可得|F1P|+|PQ|+|QF1|=4a=4，可得|F1P|+|QF1|=4﹣==2|PQ|，则有|F1P|、|PQ|、|QF1|成等差数列；（Ⅱ）设直线PQ的方程为y=kx+m，代入椭圆方程x2+3y2=6，消去y得：（1+3k2）x2+6kmx+3（m2﹣2）=0，则△=36k2m2﹣12（1+3k2）（m2﹣2）=12（6k2﹣m2+2）＞0，x1+x2=﹣，x1x2=，故y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2，∵直线OP、PQ、OQ的斜率依次成等比数列，∴•==k2，即km（x1+x2）+m2=0，即有﹣+m2=0，由于m≠0，故k2=，∴直线PQ的斜率k为±．21．（12分）（•陕西二模）设函数f（x）=ex﹣lnx．（1）求证：函数f（x）有且只有一个极值点x0；（2）求函数f（x）的极值点x0的近似值x′，使得|x′﹣x0|＜0.1；（3）求证：f（x）＞2.3对x∈（0，+∞）恒成立．（参考数据：e≈2.718，ln2≈0.693，ln3≈1.099，ln5≈1.609，ln7≈1.946）．【解答】（1）证明：f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）=ex﹣，∵函数y=ex和y=﹣在（0，+∞）均递增，∴f′（x）在（0，+∞）递增，而f′（）=﹣2＜0，f′（1）=e﹣1＞0，∴f′（x）在（，1）上存在零点，记x0，且f′（x）在x0左右两侧的函数值异号，综上，f′（x）有且只有一个零点x0，即函数f（x）有且只有一个极值点x0；（2）解：∵ln=ln5﹣ln3≈0.51＜⇒＞，且f′（x）在[，]上的图象连续，f′（）＜0，f′（）=﹣＞0，∴f′（x）的零点x0∈（，），即f（x）的极值点x0∈（，），即x0∈（0.5，0.6），∴x0的近似值x′可以取x′=0.55，此时的x′满足|x′﹣x0|＜0.6﹣.05=0.1；（3）证明：∵ln=ln7﹣2ln2≈0.56＜⇒＞，且f′（x）在[，]上图象连续，f′（）＜0，f′（）=﹣＞0，∴f′（x）的零点x0∈（，），f（x）的极值点x0∈（，）⇒x0＜，由（1）知：f′（x0）=﹣=0，且f（x）的最小值是f（x0）=﹣lnx0=﹣lnx0，∵函数g（x）=﹣lnx在（0，+∞）递减，且x0＜，∴g（x0）＞g（）=1.75﹣（2ln2﹣ln7）≈2.31＞2.3，∴f（x）≥f（x0）=﹣lnx0＞2.3对x∈（0，+∞）恒成立．[选修41：几何证明选讲]22．（10分）（•陕西二模）如图，已知AB为⊙O的直径，C，F为⊙O上的两点，OC⊥AB，过点F作⊙O的切线FD交AB的延长线于点D，连接CF交AB于点E．求证：DE2=DA•DB．【解答】证明：连接OF．因为DF切⊙O于F，所以∠OFD=90°．所以∠OFC+∠CFD=90°．因为OC=OF，所以∠OCF=∠OFC．因为CO⊥AB于O，所以∠OCF+∠CEO=90°．（5分）所以∠CFD=∠CEO=∠DEF，所以DF=DE．因为DF是⊙O的切线，所以DF2=DB•DA．所以DE2=DB•DA．（10分）[选修45：不等式选讲]24．（•陕西二模）已知函数f（x）=|x+1|﹣2|x|．（1）求不等式f（x）≤﹣6的解集；（2）若存在实数x满足f（x）=log2a，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）x≥0时，f（x）=x+1﹣2x=﹣x+1≤﹣6，解得：x≥7，﹣1＜x＜0时，f（x）=x+1+2x≤﹣6，无解，x≤﹣1时，f（x）=﹣x﹣1+2x≤﹣6，解得：x≤﹣7，故不等式的解集是{x|x≥7或x≤﹣7}；（2）x≥0时，f（x）=﹣x+1≤1，﹣1＜x＜0时，f（x）=3x+1，﹣2＜f（x）＜1，x≤﹣1时，f（x）=x﹣1≤﹣2，故f（x）的最大值是1，若存在实数x满足f（x）=log2a，只需≤1即可，解得：0＜a≤2．[选修44：坐标系与参数方程]23．（•陕西二模）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：x2+y2=4，圆C2：（x﹣2）2+y2=4．（Ⅰ）在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别求圆C1与圆C2的极坐标方程及两圆交点的极坐标；（Ⅱ）求圆C1与圆C2的公共弦的参数方程．【解答】解：（Ⅰ）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：x2+y2=4，转化成极坐标方程为：ρ=2．圆C2：（x﹣2）2+y2=4．转化成极坐标方程为：ρ=4cosθ，所以：解得：ρ=2，，（k∈Z）．交点坐标为：（2，2kπ+），（2，2k）．（Ⅱ）已知圆C1：x2+y2=4①圆C2：（x﹣2）2+y2=4②所以：①﹣②得：x=1，y=，即（1，﹣），（1，）．所以公共弦的参数方程为：．高考理科数学试题及答案（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1. 下列各数中，有最小正整数根的是（）A. 2.3B. 2.7C. 2.9D. 3.12. 若函数f(x) = ax^2 + bx + c的图象开口向上，且f(1) = 3，f(2) = 5，则a 的取值范围是（）A. a > 0B. a < 0C. a ≥ 0D. a ≤ 03. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3 = 9，S6 = 27，则S9 =（）A. 36B. 45C. 54D. 634. 在△ABC中，∠A = 60°，∠B = 45°，则sinC的值为（）A. √3/2B. √2/2C. 1/2D. 1/√25. 若复数z满足|z - 1| = |z + 1|，则复数z的实部为（）B. 1C. -1D. 无法确定6. 已知函数f(x) = log2(3 - 2x)，则f(x)的定义域为（）A. (-∞, 3/2]B. (-∞, 3/2)C. [3/2, +∞)D. [3/2, +∞)7. 已知向量a = (2, -3)，向量b = (1, 2)，则向量a与向量b的夹角θ的余弦值为（）A. 1/5B. 2/5C. 3/5D. 4/58. 下列不等式中，正确的是（）A. |x| > 0B. |x| < 0C. |x| ≥ 0D. |x| ≤ 09. 若等比数列{an}的前n项和为Sn，且S4 = 80，S8 = 640，则公比q为（）A. 1/2B. 2C. 1/410. 在△ABC中，若a^2 + b^2 = c^2，则△ABC是（）A. 直角三角形B. 钝角三角形C. 锐角三角形D. 等腰三角形11. 已知函数f(x) = x^3 - 3x，则f(x)的单调递增区间为（）A. (-∞, -1)和(1, +∞)B. (-∞, -1)和(1, 0)C. (-∞, 0)和(0, +∞)D. (-∞, 0)和(0, 1)12. 若复数z满足|z - 1| = |z + 1|，则复数z在复平面上的轨迹是（）A. 一条直线B. 一条射线C. 一个圆D. 一个点二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分。

xC 1B 1A 1CBA高三理科数学精编模拟题（理二）一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．特称命题“∃实数x ，使012<+x ”的否定可以写成 A ．若01,2<+∈x R x 则 B ．01,2≥+∈∃x R xC ．01,2<+∈∀x R xD ．01,2≥+∈∀x R x2．已知函数(),0(),0.f x x y g x x >⎧=⎨<⎩是偶函数，()log a f x x =对应的图象如右图示，则()g x A.2xB.12()log x - C. 2log ()x - D. 2log ()x --3. 对于任意的两个数对(,)a b 和(,)c d ，定义运算(,)(,)a b c d ad bc *=-，若(1,1)(,)1z zi i -*=-，则复数z 为A ．2i +B ． 2i -C ．iD ．i - 4．设数列{}n a 的通项公式为204n a n =-，前n 项和为n S ，则n S 中最大的是 A.3S B.4S 或5S C. 5S D. 6S 5．如图，三棱柱的侧棱长为2，底面是边长为2的正三角形，1111AA A B C ⊥面， 正视图是边长为2的正方形,则左视图的面积为BA. 4B. 32C. 22D.36．已知点P (x ,y)满足条件3),(02,,0+=⎪⎩⎪⎨⎧≤++≤≥x z k k y x x y x 若为常数y 的最大值为8，则k 的值 A.－6 B.6 C. 8 D.不确定7．如图所示，液体从一圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中，开始时，漏斗盛满液体，经过3分钟漏完．已知圆柱中液面上升的速度是一个常量，H 是圆锥形漏斗中液面下落的距离，则H 与下落时间t （分）的函数关系表示的图象只可能是．A BA ．B ．C ．D ．8．若关于x 的不等式22||x a x -->至少有一个负数解，则实数a 的取值范围为是 A.924a -<< B.524a -<< C.724a -<< D.733a -<< 二、填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分．必做题：第9、10、11、12题是必做题，每道试题考生都必须做答．9．已知n n n x a x a x a a x x x ++++=++++++ 22102)1()1()1(，若+++210a a a62=+n a ，则=n .10. 右表记录了某种汽车的使用年限x 和所支出的费用y （万元）的统计资料，则用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程为 ；根据回归方程，估计使用年限为10年时，所支出的费用大约为 .（参考数据：5454322222=+++，9.478.455.345.232.12=⨯+⨯+⨯+⨯）11．按下列程序框图运算：规定：程序运行到“判断结果是否大于244”为1次运算，若x =5，则运算进行 次才停止。

绝密 ★ 启用前普通高等学校招生全国统一考试仿真卷理科数学（二）本试题卷共16页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．[2018·渭南质检]设i 是虚数单位，若复数i1iz =+，则z 的共轭复数为（ ） A ．11i 22+B ．11i 2+C ．11i 2-D ．11i 22-【答案】D 【解析】复数i i 11i 2z +==+，根据共轭复数的概念得到，z 的共轭复数为：11i 22-．故答案为D ．2．[2018·吉林实验中学]若双曲线221y x m-=的一个焦点为()3,0-，则m =（ ） A ．22B ．8C ．9D ．64【答案】B【解析】由双曲线性质：21a =，2b m =，219c m ∴=+=，8m =，故选B ．3．[2018·菏泽期末]将函数πsin 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像向左平移π6个单位后，得到函数()f x 的图像，则π12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．264+ B ．364+ C ．32D ．22【答案】D【解析】()πππsin 2sin 26412f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，∴ππ2sin 1242f ⎛⎫==⎪⎝⎭，故选D ． 4．[2018·晋城一模]函数()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()0,x ∈+∞的值域为D ，在区间()1,2-上随机取一个数x ，则x D ∈的概率是（ ）A ．12B ．13C ．14D ．1【答案】B【解析】0x >Q ，1012x⎛⎫∴<< ⎪⎝⎭，即值域()0,1D =，若在区间()1,2-上随机取一个数x ，x D ∈的事件记为，则()()101213P A -==--，故选B ．5．[2018·济南期末]记()()()()72701272111x a a x a x a x -=+++++⋅⋅⋅++，则012a a a +++6a ⋅⋅⋅+的值为（ ） A ．1B ．2C ．129D ．2188【答案】C【解析】在()()()()72701272111x a a x a x a x -=+++++⋅⋅⋅++中，令0x =，可得701272a a a a +++⋅⋅⋅+=，()7711a =-=-，所以0126a a a a +++⋅⋅⋅+=7721281129a -=+=，故选C ．6．[2018·昆明一中]一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）班级 姓名 准考证号 考场号 座位号此卷只装订不密封A．83B．163C．203D．8【答案】B【解析】由图可知该几何体底面积为8，高为2的四棱锥，如图所示：∴该几何体的体积1168233V=⨯⨯=，故选B．7．[2018·漳州调研]《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共猎得五鹿，欲以爵次分之，问各得几何？”其意思：“共有五头鹿，5人以爵次进行分配（古代数学中“以爵次分之”这种表述，一般表示等差分配，在本题中表示等差分配）．”在这个问题中，若大夫得“一鹿、三分鹿之二”，则簪裹得（）A．一鹿、三分鹿之一B．一鹿C．三分鹿之二D．三分鹿之一【答案】B【解析】由题意可知，五人按等差数列进行分五鹿，设大夫得的鹿数为首项a1，且，公差为d，则，解得，所以B．8．[2018·周口期末]）A．B．C．D．【答案】B10x-≠，1x≠，即()()11x∈-∞+∞U，，，故排除A，D，当0x=C，故选B．9．[2018·郴州月考]阅读如图所示的程序框图，运行相应程序，输出的结果是（）A．12 B．18 C．120 D．125【答案】C【解析】第一次运行：011a=+=，1i=为奇数，112S=+=，112i=+=；第二次运行：123a=+=，2i=为偶数，326S=⨯=，213i=+=；第三次运行：336a=+=，3i=为奇数，6612S=+=，314i=+=；第四次运行：6410a =+=，4i =为偶数，1012120S =⨯=，415i =+=； 程序终止运行，输出120S =．故选C ．10．[2018·孝感联考]当实数x ，y 满足约束条件3310x y x y y +⎧⎪-⎨⎪⎩≤≥≥，表示的平面区域为C ，目标函数2z x y =-的最小值为1p ，而由曲线()230y x y =≥，直线3x =及x 轴围成的平面区域为D ，向区域D 内任投入一个质点，该质点落入C 的概率为2p ，则1224p p -的值为（ ）A ．12B ．23C ．35D ．43【答案】B【解析】画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数在点31,22A ⎛⎫⎪⎝⎭最小值为12z =，即112p =．区域C 的面积为122⨯2112612p ==，所以12p -11．[2018·德州期末]已知点1F 是抛物线C ：22xpy =的焦点，点2F 为抛物线C 的对称轴与其准线的交点，过2F 作抛物线C 的切线，切点为A ，若点A 恰好在以1F ，2F 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（ ） A B 1 C 1D 【答案】C【解析】由题意，20,2p F ⎛⎫- ⎪⎝⎭，设过2F 的抛物线C 的切线方程为2p y kx =-，联立，2220x pkx p -+=，令222440p k p ∆=-=，解得21k =，即2220x px p ±+=，不妨设,2p A p ⎛⎫⎪⎝⎭122c F F p ==，则该双曲线的离心率为1e ==．故选C ．12．[2018·天津期末]已知函数()e e x x f x -=+（其中e 是自然对数的底数），若当0x >时，()e 1x mf x m -+-≤恒成立，则实数m 的取值范围为（ ）A ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦C ．1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】B()e e e 11x x x ---+-≤，当且仅当2t =B ．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

2022年全国卷Ⅰ高考数学理科模拟试题卷班级：_________________ 姓名：_________________ 座号：________________评卷人得分一、选择题(共12题，每题5分，共60分)1．若集合A={x||x|≤1,x∈R},B={y|y=x2,x∈R},则A∩B=A.{x|-1≤x≤1}B.{x|x≥0}C.{x|0≤x≤1}D.2．已知复数z=(a-3i)(3+2i)(a∈R)的实部与虚部的和为7,则a的值为A.1B.0C.2D.-23．函数y=log0.4(–x2+3x+4)的值域是A.(0，–2]B.[–2，+∞)C.(–∞，–2]D.[2，+∞)4．以AB为直径的半圆如图所示,其中||=8,O为其所在圆的圆心,OB的垂直平分线与圆弧交于点P,与AB交于点D,Q为PD上一点,若=0,则·=A.9B.15C.-9D.-155．已知lg a+lg b=0,函数f(x)=a x与函数g(x)=-log b x的图像可能是A BC D6．袋子中有四个小球,分别写有“和”“平”“世”“界”四个字,有放回地从中任取一个小球,直到“和”“平”两个字都取到才算完成.用随机模拟的方法估计恰好取三次便完成的概率.利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数,0,1,2,3代表的字分别为“和”“平”“世”“界”,以每三个随机数为一组,表示取球三次的结果,随机模拟产生了以下24组随机数组:由此可以估计,恰好取三次便完成的概率为A. B. C. D.7．在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB＝1,AC＝2,BC＝,D,E分别是AC1和BB1的中点,则直线DE 与平面BB1C1C所成的角为A.30°B.45°C.60°D.90°8．执行如图所示的程序框图,若输入的k=,则输出的S=A. B. C. D.9．已知等差数列的前项和分别为,若,则的值是A. B. C. D.10．若x1,x2∈R,则的最小值是A.1B.2C.3D.411．已知直线l过点(1,0),且倾斜角为直线l0:x-2y-2=0的倾斜角的2倍,则直线l的方程为A.4x-3y-3=0B.3x-4y-3=0C.3x-4y-4=0D.4x-3y-4=012．若a,b是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则下列命题正确的是A.若a⊥b,b⊥α,α⊥β,则a⊥βB.若α⊥β,a⊥α,b∥β,则a⊥bC.若a∥α,a∥β,α∩β=b,则a∥bD.若a∥b,a⊥α,b∥β,则α∥β第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明评卷人得分二、填空题(共4题，每题5分，共20分)13．曲线y=在点(-1,-3)处的切线方程为.14．已知{a n}是递增的等差数列,其前n项和为S n,且S2=S7,写出一个满足条件的数列{a n}的通项公式a n= .15．已知数列{a n}的前n项和为S n,a n+2S n=3n,数列{b n}满足(3a n+2-a n+1)(n∈N*),则数列{b n}的前10项和为.16．已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线上.若△PF1F2为直角三角形,且tan∠PF1F2=,则双曲线的离心率为.评卷人得分三、解答题(共7题，共70分)17．在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且sin(+C)=.(1)求角A;(2)若a=4,△ABC的周长为9,求△ABC的面积.18．如图,已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形,BB1⊥底面ABCD,E是棱CC1的中点.(1)求证:AC∥平面B1DE;(2)求证:平面BDD1B1⊥平面B1D E.19．2020年12月10日,首届全国职业技能大赛在广州广交会展馆拉开帷幕,活动为期4天,2 557名参赛选手围绕86个比赛项目展开激烈角逐.大赛组委会秘书长、人社部职业能力建设司司长张立新表示,这次大赛是新中国成立以来规格最高、项目最多、规模最大、水平最高的综合性国家职业技能赛事.为了准备下一届比赛,甲、乙两支代表队各自安排了10名选手参与选拔活动,他们在活动中取得的成绩(单位:分,满分100分)如下:甲代表队:95 95 79 93 86 94 97 88 81 89乙代表队:88 83 95 84 86 97 81 82 85 99(1)分别求甲、乙两支代表队成绩的平均值,并据此判断哪支代表队的成绩更好;(2)甲、乙两支代表队的总负责人计划从这两支队伍得分超过90分的选手中随机选择4名参加强化训练,记参加强化训练的选手来自甲代表队的人数为X,求X的分布列和数学期望.20．已知椭圆的右焦点为,过且与轴垂直的弦长为3.(1)求椭圆的标准方程;(2)过作直线与椭圆交于两点,问在轴上是否存在点,使为定值,若存在,请求出点坐标,若不存在,请说明理由.21．已知函数f(x)=(x-2)e x-x2+ax,a∈R.(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)若不等式f(x)+(x+1)e x+x2-2ax+a>0恒成立,求a的取值范围.请考生在第 22、23 三题中任选二道做答，注意：只能做所选定的题目。

普通高等学校招生全国统一考试仿真卷（二）理科数学第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设i 为虚数单位，则下列命题成立的是（ ）A ．a ∀∈R ，复数3i a --是纯虚数B ．在复平面内()i 2i -对应的点位于第三象限C ．若复数12i z =--，则存在复数1z ，使得1z z ⋅∈RD ．x ∈R ，方程2i 0x x +=无解 2．在下列函数中，最小值为2的是（ ）A 3．从某校高三年级随机抽取一个班，对该班50名学生的高校招生体检表中视力情况进行统计，其结果的频率分布直方图如图所示：若某高校A 专业对视力的要求在0.9以上，则该班学生中能报A 专业的人数为（ ）A ．30B ．25C ．22D ．20 4．已知曲线421y x ax =++在点()()11f --，处切线的斜率为8，则()1f -=（ ） A ．7 B ．－4 C ．－7 D ．45．已知1=a ，=b ，且()⊥-a a b ，则向量a 在b 方向上的投影为（ ）A ．1 B6．某几何体由上、下两部分组成，其三视图如图所示，其俯视图是由一个半圆与其直径组成的图形，则该几何体上部分与下部分的体积之比为（ ）A 7．已知函数()()sin (0)f x x ωϕω=+>的图象的一个对称中心为,02π⎛⎫⎪⎝⎭，且142f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则ω的最小值为（ ）A ．1 C ．2 8．《九章算术》中的“两鼠穿墙”问题为“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢？”，可用如图所示的程序框图解决此类问题．现执行该程序框图，输入的d 的值为33，则输出的i 的值为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7 9．在ABC △中，，若2AB =，则ABC △周长的取值范围是（ ）A10．一个三棱锥A BCD -内接于球O ，且3AD BC ==，4AC BD ==，心O 到平面ABC 的距离是（ ） A11．设等差数列{}n a 满足：71335a a =，()22222244747456cos cos sin sin cos sin cos a a a a a a a a -+-=-+，公差()2,0d ∈-，则数列{}n a 的前n 项和n S 的最大值为（ ）A ．100πB ．54πC ．77πD ．300π12．若存在实数1x ，2x ，3x ，4x ，满足1234x x x x <<<，且()()()()1234f x f x f x f x ===，则）A ．()0,12B ．()0,16C ．()9,21D ．()15,25第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

2020高考数学(理科)全国二卷高考模拟试卷(2)2020高考数学（理科）全国二卷高考模拟试卷（2）一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1.（5分）复数z＝（1+2i）2（i为虚数单位）的共轭复数z在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2.（5分）已知集合A＝{x|x2-2x-3<0}，集合B＝{x|x-1≥0}，则∁R（A∩B）＝（）A．（-∞，1）∪[3，+∞]B．（-∞，1]∪[3，+∞]C．（-∞，1）∪（3，+∞）D．（1，3）3.（5分）若x，y满足约束条件{3x-y+1≥0，y≤2，x-y-2≤0}，则z＝4x+2y的最小值为（）A．-17B．-13C．16/3D．204.（5分）下列四个命题中错误的是（）A．若直线a、b 相交，则直线a、b确定一个平面B．若四点不共面，则这四点中任意三点都不共线C．若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线D．经过平面外一点有且只有一条直线与该平面垂直5.（5分）今年入冬以来，我市天机反复．在下图中统计了我市上个月前15的气温，以及相对去年同期的气温差（今年气温-去年气温，单位：摄氏度），以下判断错误的是（）A．今年每天气温都比去年气温低B．今年的气温的平均值比去年低C．今年8-12号气温持续上升D．今年8号气温最低6.（5分）已知各项均为正数的数列{an}满足a1＝1，an+2an＝39（n∈N*），那么数列{an}的前50项和S50的最小值为（）A．637B．559C．481+25√39D．492+24√787.（5分）若圆锥的高等于底面直径，侧面积为√5π，则该圆锥的体积为（）A．π/3B．π/2C．2π/3D．16π/38.（5分）下列命题错误的是（）A．∃α，β∈R，cos（α+β）＝cosαcosβ+sinαsinβB．∀x，k∈R，sin（x+k•2π）＝sinxC．∃x∈[0，π)，sin（x+π/2）＝sinxD．∀x∈R+，∃k∈R，sinx≤kx9.（5分）已知sin（π/3+α）= 2/3，则sinα的值等于（）A．-7/9B．-2/9C．9/2D．3/710.（5分）已知向量a，b，c满足|a|=1，|b|=√3，a•b=-2，b•c=0，且a，b，c不共面，那么向量c的长度为（）A．1/2B．1C．√2D．21.题目未给出文章，无法进行修改。

注意事项z 威阳市2023年高考模拟检测〈二）数学〈理科〉试题l.本试题共4页，满分150分，时间120分钟2.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上．3.回答选择题时，逃出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．4.考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题不回收．第I卷〈选择题共60分〉一、选择题z本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．I.己知复数z满足iz+l =i，那么lz l=人l B ..Ji C.Ji2已失u综合M=lx l v=.J x-U, N={x l主主＜0�，那么M N=l 1· J I I x'+ l IA.{xll运x�2}B.{xix注1} c. {xll白＜2}D.2D.{xll<x<2}3.某商场要将单价分别为36元／kg,48元／kg,72元／kg的3种糖果按3:2: l的比例混合销售，其中混合糖果中每一颗糖果的质量都相等．那么该商场对混合糖果比较合理的定价应为A.52元／kgB.50元／kg c.48元／kg D.46元／kg4.已知I'll,n是两条不同的直线，α，p是两个不同的平面，有以下四个命题：①若ml/n, nl>α，则，n／／α＠若m..lα，m..lβ，则αIIβ其中正确的命题是A.②③B.②④5. 函数J(x）＝丘：的大致图像为lx lxA. B.x②若ml>α，m..lβ，则αiβ④若αiβ，ml>α，nl>β，则m..lnc.①③ D.①②1’c. D.π6.已失11函数f(x)=4sin（缸’－ψ），当x＝一时，f(x）取得最小值，则｜叫的最小值是3 x1πSπ丁πB. -C .- D.-63667.数列｛α，，）的前，1项和为S ，，，对一切正整数n ，点（n ，乱）在函数f(x)=x 2+2x 的图像上，b =2( n εN ＊且应1），则数列队｝的前，1项和为已＝F,＋在二A.在Ml －石；；＝－IB.在Z三－1c.在二－石�A.JrD.d古3-./38.已知直角三角形ABC ，ζC=90°,AC=4, BC =3，现将该三角形沿斜边AB 旋转一周，则旋转形成的儿何体的体积为48万24万A 12πB 16πc －一－D.－一一539.巴塞尔问题是一个著名的级数问题，这个问题首先白皮耶特罗·门戈利在1644年提出，由莱昂II合德·账；J11π24立在1735年解诀．欧位通过推导得出：l+-+-+＋一＋＝一．某同学为了验证15，役的结论，设计4 9n26J II 了如阁的第法，计算1+-+-+＋一一一的值来估算，则判断框槟入的是4 9 20232 A.n>2023B.n 注2023c.n运2023D.n<202310.2022年卡珞尔世界杯足球赛落幕，这是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举行、也是第二次在亚洲举行的世界杯足球赛．有甲，乙，丙，丁四个人相互之间进行传球，从叩开始传球，甲等可能地把球传给乙，两，丁中的任何－个人，以此类推，贝I］经过三次传球后己只接到－次球的概率为A .-27l－QJnpc 立27D.162711.己叫线C：兰卡（α＞0,b>O).c 叫线的半焦距则当取得最大酬，双曲线2α＋3bc的离心$为、/13A.－一一2.J3D.___:____223e=2.718 ...，对任意xe(-1，叫，不等式扩注ae[2+ln （创刊）］恒成立，Y！瞧B亟c主12.己知实数a>O,数。

2021届高三数学模拟试题〔二〕理〔含解析〕一、选择题。

1.i 是虚数单位，那么复数()221i =+〔 〕A. 1B. 1-C. iD. i -【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的乘法和除法运算化简复数，由此得出正确选项.【详解】依题意()()222121i i i i i i i -====-⨯-+，应选D. 【点睛】本小题主要考察复数的乘法和除法运算，属于根底题.(){}|10A x x x =-≤，(){}|ln B x y x a ==-，假设A B A =，那么实数a 的取值范围为〔 〕 A. (),0-∞B. (],0-∞C. ()1,+∞D.[)1,+∞【答案】A 【解析】 【分析】分别求出集合A 集合B 范围，根据AB A =得到A 是B 子集，根据范围大小得到答案.【详解】(){}|1001A x x x x =-≤⇒≤≤(){}|ln B x y x a x a ==-⇒>A B A A B ⋂=⇒⊆所以0a < 故答案选A【点睛】此题考察了集合的包含关系求取值范围，属于简单题.3.如图是根据我国古代数学专著?九章算术?中更相减损术设计的程序框图，假设输入的18a =，42b =，那么输出的a =〔 〕A. 2B. 3C. 6D. 8【答案】C 【解析】 【分析】更相减损术求的是最大公约数，由此求得输出a 的值.【详解】由于更相减损术求的是最大公约数，18和42的最大公约数是6，故输出6a =，应选C.【点睛】本小题主要考察中国古代数学文化，考察更相减损术求最大公约数，属于根底题.4.||1a =，||3b =，且|2|7a b +=，那么向量a 与b 的夹角为〔 〕A. 60︒B. 120︒C. 30D. 150︒【答案】D 【解析】 【分析】 将27a b +=两边平方，根据向量的夹角公式得到答案.【详解】1a =，3b =，2227447a b a a b b +=⇒++=即313472a b a b -+=⇒=3cos cos 22a b a b θθ==-⇒=-150θ=︒故答案选D【点睛】此题考察了向量的运算和夹角公式，意在考察学生的计算才能.e =(2,，那么该双曲线的HY 方程为〔 〕 A. 2214x y -=B. 2214y x -=C. 2214y x -=D. 2214x y -=【答案】B 【解析】 【分析】根据离心率为52e=得到2a b=，设出方程代入点()2,25得到答案.【详解】双曲线的离心率为522e a b =⇒=当焦点在x轴上时：设224xyλ-=，代入()2,25得到19λ=-，不符合题意，舍去当焦点在y轴上时：设224yxλ-=，代入()2,25得到1λ=，满足题意双曲线的HY方程221 4yx-=故答案选B【点睛】此题考察了双曲线的HY方程，分情况讨论是解题的关键.6.如图是某几何体的三视图，其中网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体各棱中最长棱的长度为〔〕A. 25B. 423441【答案】C【解析】【分析】根据三视图复原几何体，根据图形判断最长棱，计算其长度得到答案.【详解】根据图像知：AB 最长，简单计算得到34AB =故答案选C【点睛】此题考察了三视图的复原，最长棱，意在考察学生的空间想象才能，7.为考察某种药物预防疾病的效果，进展动物试验，得到如下药物效果与动物试验列联表： 患病未患病总计服用药 10 45 55没服用药 20 30 50总计 3075105由上述数据给出以下结论，其中正确结论的个数是〔 〕附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++；()20P K k ≥0.05 0.025 0.010 0.005①能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为药物有效 ②不能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为药物有效 ③能在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为药物有效 ④不能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为药物有效 A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】 【分析】计算出2K 的值，由此判断出正确结论的个数.【详解】依题意()2210510302045 6.10930755055K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯，故能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为药物有效, 不能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为药物有效,即①④结论正确，本小题选B.【点睛】本小题主要考察22⨯列联表HY 性检验，考察运算求解才能，属于根底题. 8.0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且sin 2(1sin )cos (1cos 2)αββα+=-，那么以下结论正确的选项是〔 〕 A. 22παβ-=B. 22παβ+=C. 2παβ+=D. 2παβ-=【答案】A 【解析】 【分析】利用和差公式将式子化简，根据三角函数值关系得到角关系. 【详解】：()()sin21sin cos 1cos2αββα+=-()()22sin cos 1sin 2cos sin cos 1sin cos sin ααββααββα+=⇒+= cos sin cos cos sin cos sin()αβαβαααβ+=⇒=-0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭222ππααβαβ+-=⇒-=故答案为A【点睛】此题考察了三角函数和差公式，降次公式，也可以用特殊值法排除得到答案.S ABC -中，2SA SB SC AB ====，AC BC ⊥，那么该三棱锥外接球的体积为〔 〕C.323πD.163π【答案】A 【解析】 【分析】取AB 中点为D ，连接,SD CD ，证明球心在SD 上，利用勾股定理得到半径，再计算体积.【详解】取AB 中点为D ，连接,SD CD ，易知1,CD SD ==在SCD ∆中：1,2CD SD AC SD CD ===⇒⊥又SD AB SD ⊥⇒⊥平面ABCAC BC D ⊥⇒为ABC ∆外心⇒球心在SD 上设半径为R ，球心为O在ODB ∆中：2221)R R =+3R =27V =故答案选A【点睛】此题考察了三棱锥的外接球，确定外接球球心的位置是解题的关键.P 是直线24y x =-上的动点，点Q 是曲线xy x e =+上的动点，那么PQ 的最小值为〔 〕A. 5C. 3e +D.)35e + 【答案】B 【解析】 【分析】平移24y x =-，当直线与曲线xy x e =+相切时，切点到直线的间隔 即最小值.【详解】设曲线xy x e =+上切点为000(,)xM x x e +'1x x y y x e e ⇒=+=+00120x e k x =+=⇒=⇒ (0,1)M(0,1)M 到直线24y x =-的间隔即PQ 故答案为B【点睛】此题考察了曲线的切线问题，最小值问题，将间隔 的最小值转化到点到直线的间隔 是解题的关键.1F ，2F 分别是椭圆1C 和双曲线2C 的公一共焦点，1e ，2e 分别是1C 和2C 的离心率，点P 为1C 和2C 的一个公一共点，且1223F PF π∠=，假设2e ∈，那么1e 的取值范围是〔 〕A. 3⎫⎪⎪⎝⎭B. 3⎛ ⎝⎭C. ⎝⎭D.⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】根据椭圆和双曲线的定义，结合余弦定理列式，然后利用(2e ∈，求得1e 的取值范围. 【详解】设12,PF m PF n ==,不妨设P 在第一象限.根据椭圆和双曲线的定义有1222m n a m n a +=⎧⎨-=⎩，故22221222m n a a +=+，2212mn a a =-.在三角形12F PF 中，由余弦定理得2224c m n mn=++，即2221243c a a =+①.由于(2e ∈，即2221222a c c a a c <<<<<<，故222274c c a <<，由①得222214374c c c a <-<，即22212221437434c c a cc a ⎧<-⎪⎪⎨⎪-<⎪⎩，解得1e ∈⎝⎭ 【点睛】本小题主要考察椭圆和双曲线的定义，考察余弦定理，考察椭圆和双曲线离心率，综合性较强，属于难题.x ，y 满足2210240x y x y x y +≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，假设当且仅当11x y =⎧⎨=⎩时，()()22z x a y b =-+-取最小值〔其中0a ≥，0b ≥〕，那么2a b -的最大值为〔 〕 A. 4 B. 3C. 2D. 1-【答案】B 【解析】 【分析】画出可行域，将目的函数转化为到(,)a b 间隔 的平方，将当且仅当11x y =⎧⎨=⎩时取最小值，转化为(,)a b 满足的可行域，再通过线性规划得到2a b -的最大值.【详解】实数x ，y 满足2210240x y x y x y +≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩画出可行域，当且仅当11x y =⎧⎨=⎩时，()()22z x a y b =-+-取最小值，即当且仅当(,)a b 到(1,1)间隔 最近.(,)a b 满足的条件为：13220y x y xx y ⎧+≤⎪⎪⎪≤⎨⎪≥⎪≥⎪⎩ 目的函数为2K x y =-，画图知道当30x y =⎧⎨=⎩ 时有最大值为3故答案选B【点睛】此题考察了线性规划问题，将目的函数转化为间隔 是解题的关键.二、填空题。

高考理科数学模拟试题精编(二) (考试用时：120分钟 分值：150分)注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，把答题卡上对应题目的答案标号填在表格内．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U ＝{x ∈Z |0≤x ≤4}，集合A ＝{1，2，3，4}，B ＝{0，2，4}，则∁U (A ∩B )＝( )A.{1，3}B.{0，1，3}C.{0，4}D.{0，1，2，3，4}2．在复平面内，复数1－i2i 对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限3．若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ＋1≥0x ＋y －3≤0x －3y ＋1≤0，则目标函数z ＝2x ＋y 的最大值为()A.5B.4C.3D.24．下列关于函数f (x )＝2sin(x －π4)的说法中，正确的是( ) A.函数f (x －π4)是奇函数 B.其图象关于直线x ＝π2对称C.其图象关于点(π4，0)对称D.函数f (x )在区间(－π2，π2)上单调递增5．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，则以下函数中图象一定关于点(－1，0)成中心对称的是( )A.y ＝(x －1)f (x －1)B.y ＝(x ＋1)f (x ＋1)C.y＝xf(x)＋1D.y＝xf(x)－16．已知[x]表示不超过x的最大整数，如[2.7]＝2，[－1.6]＝－2，执行如图所示的程序框图，则输出的S的值是()A.31B.34C.35D.387．某同学从家到学校要经过三个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，该同学在各路口遇到红灯的概率分别为12，13，14，则该同学从家到学校至少遇到一次红灯的概率为()A.124 B.1124C.23 D.348.商后母戊鼎(也称司母戊鼎)是迄今世界上出土最大、最重的青铜礼器，享有“镇国之宝”的美誉．某礼品公司计划制作一批该鼎的工艺品，已知工艺品四足均为圆柱形，圆柱的高为20 cm，底面半径为4 cm，中间容器部分可近似看作一个无盖的长方体容器，该长方体壁厚3 cm，外面部分的长、宽、高的尺寸分别为50 cm，35 cm，30 cm，两耳的总体积与其中一足的体积近似相等，则该工艺品所耗费原材料的体积约为()A.(1600π＋18 048)cm3B.(1600π＋20 080)cm3C.(1800π＋18 048)cm3D.(1800π＋20 080)cm39．为捍卫国家南海主权，我国海军在南海海域进行例行巡逻，某一天，一艘巡逻舰从海岛A出发，沿南偏东75°的方向航行到达海岛B，然后再从海岛B出发，沿北偏东45°的方向航行了602海里到达海岛C.若巡逻舰从海岛A以北偏东60°的方向出发沿直线到达海岛C ，则航行路程AC 为( )A.10 3 海里B.30 3 海里C.40 3 海里D.60 3 海里10．已知正实数x ，y 满足x ≠1，y ≠1，x y ＝y x ，log y x ＋y x ＝52，则x ＋y ＝( ) A.4 B.5 C.6D.711．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，△PF 1F 2的面积为3b 2，tan ∠PF 1F 2＝34，则该双曲线的离心率e 为( )A.53B.54C.43D.7512．若不等式e x －a ln(ax －1)＋1≥0对任意x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1恒成立(e 为自然对数的底数)，则实数a 的最大值为( )A.e ＋1B.eC.e 2＋1D.e 2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若向量m ＝(2k ，k ＋1)与向量n ＝(4，1)共线，则m ·n ＝________． 14．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左顶点为A ，上顶点为B ，右焦点为F ，且△ABF 是等腰三角形，则椭圆C 的离心率为________．15．曲线y ＝x 3－3x 的一条切线的方程为y ＝ax ＋16，则实数a ＝________． 16．交通信号灯由红灯、绿灯、黄灯组成，红灯表示禁止通行，绿灯表示准许通行，黄灯表示警示，黄灯设置的时长与路口宽度、最大限速、停车距离有关．经过安全数据统计，驾驶员反应距离s 1(单位：m)关于车速v (单位：m/s)的函数模型为s 1＝0.758 4v ，刹车距离s 2(单位：m)关于车速v (单位：m/s)的函数模型为s 2＝0.072v 2，反应距离与刹车距离之和称为停车距离．某个十字路口标示小汽车最大限速为50 km/h(约14 m/s)，路口宽度为30 m ，如果只考虑小汽车通行安全，黄灯亮的时间是允许最大限速下，离停车线距离小于停车距离的汽车通过十字路口的时间，那么黄灯至少要亮________s(保留两位有效数字)．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．17．(12分)已知{a n }是公差为d (d ≠0)的等差数列，a 1＝1，a n ＋1＝xa n ＋1. (1)求{a n }的通项公式； (2)设b n ＝(－1)n2n ＋1a n a n ＋1，求数列{b n }的前10项和S 10. 18．(12分)一位摄影爱好者来到云南省旅游城市大理，这里有蝴蝶泉公园、洱海生态廊道、苍山地质公园三个著名的旅游景点，若这位摄影爱好者游览这三个景点的概率分别是0.3，0.6，0.7，且是否游览哪个景点互不影响，设ξ表示这位摄影爱好者离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值．(1)求ξ的分布列和数学期望；(2)记“x ＞0时，不等式2x 2－ξx ＋1≥0恒成立”为事件M ，求事件M 发生的概率．19．(12分)如图，在三棱锥P -ABC 中，侧面P AC 是边长为2的等边三角形，BA ＝BC ＝5，点F 在线段BC 上，且FC ＝3BF ，D 为AC 的中点，E 为PD 的中点．(1)求证：EF ∥平面P AB ；(2)若二面角P -AC -B 的平面角的大小为5π6，求直线DF 与平面P AC 所成角的正弦值．20．(12分)已知动点P 到点F 1(1，0)的距离与它到直线l ：x ＝4的距离之比为1∶2.(1)求动点P 的轨迹所形成的曲线C 的方程；(2)F 2(－1，0)，分别过F 1，F 2作斜率为k (k ≠0)的直线与曲线C 在x 轴上方交于A ，B 两点，若四边形F 1F 2BA 的面积为1227，求k 的值．21．(12分)已知函数f (x )＝x ＋2a x －(a －2)·ln x (a ∈R )，g (x )＝(b －1)x －2x －x e x . (1)判断函数f (x )的单调性；(2)当a ＝1时，关于x 的不等式f (x )＋g (x )≤－1恒成立，求实数b 的取值范围．(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．(10分)[选修4－4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t cos αy ＝1＋t sin α(t 为参数)．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2tan θcos θ.(1)若α＝π6，求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)设点P 在直角坐标系下的坐标为(0，1)，直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且|P A |·|PB |＝4，求直线l 的倾斜角．23．(10分)[选修4－5：不等式选讲]已知a ，b ，c 均为正数，且满足2a ＋3b ＋4c ＝9. (1)证明：(a ＋1)(b ＋1)(c ＋1)≤9； (2)证明：4a 2＋9b 2＋16c 2≥27.。

2019届河南省高考模拟试题精编(二)理科数学(考试用时：120分钟 试卷满分：150分)注意事项：1．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

2．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．复数z ＝||()3－i i ＋i 2 019(为虚数单位)，则复数的共轭复数为( ) A ．2－i B ．2＋i C ．4－iD ．4＋i2．已知集合M ＝{x |x 2＜1}，N ＝{x |2x ＞1}，则M ∩N ＝( ) A ．∅B ．{x |0＜x ＜1}C ．{x |x ＜0}D ．{x |x ＜1}3．若x ＞1，y ＞0，x y ＋x －y ＝22，则x y －x －y 的值为( ) A. 6 B ．－2 C ．2D ．2或－24．若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线的倾斜角为30°，则其离心率的值为()A．2 B．2 2C.233 D.3225．某微信群中有甲、乙、丙、丁、戊五个人玩抢红包游戏，现有4个红包，每人最多抢一个，且红包被全部抢完，4个红包中有2个6元，1个8元，1个10元(红包中金额相同视为相同红包)，则甲、乙都抢到红包的情况有() A．18种B．24种C．36种D．48种6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A．12 B．18 C．24 D．307．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x＋y－3≤03x－y＋3≥0x－2y＋1≤0的解集记为D，有下面四个命题：p1∶∀(x，y)∈D,2x＋3y≥－1；p2∶∃(x，y)∈D,2x－5y≥－3；p3∶∀(x，y)∈D，y－12－x≤13；p4∶∃(x，y)∈D，x2＋y2＋2y≤1.其中的真命题是() A．p1，p2B．p2，p3C．p2，p4D．p3，p48．现有四个函数：①y＝x sin x；②y＝x cos x；③y＝x|cos x|；④y＝x·2x的图象(部分)如下，但顺序被打乱，则按照从左到右将图象对应的函数序号安排正确的一组是()A ．④①②③B ．①④③②C ．③④②①D ．①④②③9．若将函数f (x )＝sin(2x ＋φ)＋3cos(2x ＋φ)(0＜φ＜π)的图象向左平移π4个单位长度，平移后的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0对称，则函数g (x )＝cos(x ＋φ)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π6上的最小值是( )A ．－12B ．－32C.22D.1210．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺， 竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a ，b 分别为5,2，则输出的n 等于( )A ．2B ．3C ．4D ．511．已知抛物线C ：x 2＝8y 与直线y ＝2x －2相交于A ，B 两点，点P 是抛物线C 上不同于A ，B 的一点，若直线PA ，PB 分别与直线y ＝2相交于点Q ，R ，O 为坐标原点，则OR →·OQ→的值是( ) A ．20 B ．16C ．12D ．与点P 的位置有关的一个实数12．已知函数f (x )＝(3x ＋1)e x ＋1＋mx ，若有且仅有两个整数使得f (x )≤0，则实数m 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤5e ，2B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－52e ，－83e 2 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，－83e 2D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－4e ，－52e 第Ⅱ卷二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．某校1 000名高三学生参加了一次数学考试，这次考试考生的分数服从正态分布N (90，σ2)．若分数在(70,110]内的概率为0.7，估计这次考试分数不超过70的人数为________．14．若函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π8x ＋π4(－2＜x ＜14)的图象与x 轴交于点A ，过点A的直线l 与函数f (x )的图象交于B 、C 两点，O 为坐标原点，则(OB →＋OC →)·OA →＝________.15．已知三棱锥D -ABC 的体积为2，△ABC 是等腰直角三角形，其斜边AC ＝2，且三棱锥D -ABC 的外接球的球心O 恰好是AD 的中点，则球O 的体积为________．16．已知等腰三角形ABC 满足AB ＝AC ，3BC ＝2AB ，点D 为BC 边上一点且AD ＝BD ，则tan ∠ADB 的值为________．三、解答题(共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．)(一)必考题：共60分．17．(本小题满分12分)已知等差数列{a n }的公差为2，前n 项和为S n ，且S 1，S 2，S 4成等比数列．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)令b n＝(－1)n－14na n a n＋1，求数列{b n}的前n项和T n.18．(本小题满分12分)在如图所示的多面体ABCDEF中，ABCD为正方形，底面ABFE为直角梯形，平面ABCD⊥平面ABFE，AE∥BF，∠EAB＝90°，AB＝12BF＝1.(1)求证：DB⊥EC；(2)若AE＝AB，求二面角C-EF-B的余弦值．19．(本小题满分12分)某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X 依次为1,2，…，8，其中X≥5为标准A，X≥3为标准B.已知甲厂执行标准A 生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准．(1)已知甲厂产品的等级系数X1的概率分布列如下所示：X15678P 0.4 a b 0.1且X1的数学期望E(X1(2)为分析乙厂产品的等级系数X2，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：353385563 4634753485 38343447567用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数X2的数学期望；(3)在(1)，(2)的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由．注：①产品的“性价比”＝产品的等级系数的数学期望产品的零售价；②“性价比”大的产品更具可购买性．20．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a＞b ＞0)，圆O ：x 2＋y 2＝r 2(0＜r ＜b )，圆O 的一条切线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆E 相交于A ，B 两点．(1)当k ＝－12，r ＝1时，若点A ，B 都在坐标轴的正半轴上，求椭圆E 的方程；(2)若以AB 为直径的圆经过坐标原点O ，探究a ，b ，r 之间的等量关系，并说明理由．21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝12x 2＋(1－a )x －a ln x .(1)讨论f (x )的单调性；(2)设a ＞0，证明：当0＜x ＜a 时，f (a ＋x )＜f (a －x )；(3)设x 1，x 2是f (x )的两个零点，证明：f ′⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＞0. (二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系下，直线l ：⎩⎨⎧x ＝1＋22t y ＝22t(t 为参数)，以原点O 为极点，以x 轴的非负半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ－4cos θ＝0.(1)写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)若直线l与曲线C交于A，B两点，求|AB|的值．23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲设函数f(x)＝|x－a|，a∈R.(1)当a＝5时，解不等式f(x)≤3；(2)当a＝1时，若∃x∈R，使得不等式f(x－1)＋f(2x)≤1－2m成立，求实数m的取值范围．高考理科数学模拟试题精编(二)班级：___________姓名：__________得分：____________题号123456789101112答案请在答题区域内答题二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13._________14.______15.______16._______三、解答题(共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)17.(本小题满分12分)18.(本小题满分12分)高考理科数学模拟试题精编(二)1．解析：选B.z ＝|(3－i)i|＋i 2 019＝|1＋3i|－i ＝2－i.∴z ＝2＋i.2．解析：选B.依题意得M ＝{x |－1＜x ＜1}，N ＝{x |x ＞0}，M ∩N ＝{x |0＜x ＜1}，选B.3．解析：选C.∵x ＞1，y ＞0，∴x y ＞1,0＜x －y ＜1，则x y －x －y ＞0.∵x y ＋x －y＝22，∴x 2y ＋2x y ·x －y ＋x －2y ＝8，即x 2y ＋x －2y ＝6，∴(x y －x －y )2＝4，从而x y －x－y ＝2，故选C.4．解析：选C.依题意可得双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，ba ＝tan 30°＝33，故b 2a 2＝13，离心率为e ＝c a ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝43＝233，选C. 5．解析：选C.甲、乙都抢到红包，则没有抢到红包的有丙、丁、戊三种情况，故甲、乙都抢到红包的情况有3×A 44A 22＝36(种)． 6．解析：选C.由三视图知，该几何体是一个长方体的一半再截去一个三棱锥后得到的，该几何体的体积V ＝12×4×3×5－13×12×4×3×(5－2)＝24，故选C.7．解析：选C.作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －3≤03x －y ＋3≥0x －2y ＋1≤0表示的平面区域如图中阴影部分所示，其中A (0,3)，B (－1,0)，由⎩⎨⎧ 2x ＋y ＝3x －2y ＋1＝0得⎩⎨⎧x ＝1y ＝1，即C (1,1)，对于p 1，因为2×(－1)＋0＜－1，故p 1是假命题，排除A ；对于p 2，将C (1,1)代入2x －5y ＋3＝0得到2×1－5×1＋3＝0，说明点C (1,1)在2x －5y ＋3＝0上，故p 2是真命题，排除D ；对于p 3，因为3－12－0＝1＞13，故p 3是假命题，排除B ，故选C.8．解析：选D.①y ＝x sin x 是偶函数；②y ＝x cos x 是奇函数；③当x ＝π时，y ＝πcos π＝－π＜0，∴y ＝x |cos x |是奇函数，且当x ＞0时，y ≥0；④y ＝x ·2x 是非奇非偶函数，故图象对应的函数序号为①④②③.9．解析：选D.∵f (x )＝sin(2x ＋φ)＋3cos(2x ＋φ)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋φ＋π3，∴将函数f (x )的图象向左平移π4个单位长度后，得到函数解析式为y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋φ＋π3＝ 2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋φ＋π3的图象．∵该图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0对称，对称中心在函数图象上，∴2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2×π2＋φ＋π3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋φ＋π3＝0，解得π＋φ＋π3＝k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝k π－5π6，k ∈Z.∵0＜φ＜π，∴φ＝π6，∴g (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π6，∴x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，则函数g (x )＝cos(x ＋φ)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π6上的最小值是12.故选D.10．解析：选C.a ＝5，b ＝2，当n ＝1时，a ＝5＋52＝152，b ＝4；当n ＝2时，a ＝152＋154＝454，b ＝8；当n ＝3时，a ＝454＋458＝1358，b ＝16；当n ＝4时，a ＝1358＋13516＝40516，b ＝32；且a ＜b ，则输出的n 等于4. 11．解析：选A.设点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，x 208，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，x 218，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，x 228，Q (a,2)，R (b,2)．由⎩⎨⎧x 2＝8y ，y ＝2x －2得x 2－16x ＋16＝0，x 1x 2＝16.由P ，A ，Q 三点共线得2－x 218a －x 1＝x 208－x 218x 0－x 1＝x 0＋x 18，a ＝x 0x 1＋16x 0＋x 1＝x 0x 1＋x 1x 2x 0＋x 1＝x 1(x 0＋x 2)x 0＋x 1，同理b ＝x 2(x 0＋x 1)x 0＋x 2，ab ＝x 1(x 0＋x 2)x 0＋x 1×x 2(x 0＋x 1)x 0＋x 2＝x 1x 2＝16，OR →·OQ→＝ab ＋4＝20，故选A. 12.解析：选B.由f (x )≤0得(3x ＋1)e x ＋1＋mx ≤0，即mx ≤－(3x ＋1)e x ＋1，设g (x )＝mx ，h (x )＝－(3x ＋1)e x ＋1，则h ′(x )＝－[3e x ＋1＋(3x ＋1)e x ＋1]＝－(3x ＋4)e x ＋1，由h ′(x )＞0得－(3x ＋4)＞0，即x ＜－43，由h ′(x )＜0得－(3x ＋4)＜0，即x ＞－43，故当x ＝－43时，函数h (x )取得极大值．在同一平面直角坐标系中作出y ＝h (x )，y ＝g (x )的大致图象如图所示，当m ≥0时，满足g (x )≤h (x )的整数解超过两个，不满足条件；当m ＜0时，要使g (x )≤h (x )的整数解只有两个，则需满足⎩⎨⎧h (－2)≥g (－2)h (－3)＜g (－3)，即⎩⎨⎧5e －1≥－2m 8e －2＜－3m，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≥－52em ＜－83e 2，即－52e≤m ＜－83e 2， 即实数m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－52e ，－83e 2，故选B.13．解析：记考试成绩为ξ，则考试成绩的正态曲线关于直线ξ＝90对称．因为P (70＜ξ≤110)＝0.7，所以P (ξ≤70)＝P (ξ＞110)＝12×(1－0.7)＝0.15，所以这次考试分数不超过70的人数为1 000×0.15＝150.答案：15014．解析：∵－2＜x ＜14，∴f (x )＝0的解为x ＝6，即A (6,0)，而A (6,0)恰为函数f (x )图象的一个对称中心，∴B 、C 关于A 对称，∴(OB →＋OC →)OA →＝2OA →·OA →＝2|OA→|2＝2×36＝72. 答案：7215.解析：如图，设球O 的半径为R ，球心O 到平面ABC 的距离为d ，则由O 是AD 的中点得，点D 到平面ABC 的距离等于2d ，所以V D -ABC ＝2V O -ABC ＝23×12×2×2×d ＝2，解得d ＝3，记AC 的中点为O ′，则OO ′⊥平面ABC .在Rt △OO ′A 中，OA 2＝OO ′2＋O ′A 2，即R2＝d2＋12＝10，所以球O的体积V＝43πR3＝43π×1010＝40103π.答案：40103π16．解析：如图，设AB＝AC＝a，AD＝BD＝b，由3BC＝2AB得，BC＝233a.在△ABC中，由余弦定理得，cos∠ABC＝AB2＋BC2－AC22×AB×BC＝a2＋⎝⎛⎭⎪⎫23a32－a22×a×233a＝33，∴∠ABC是锐角，则sin∠ABC＝1－cos2∠ABC＝63.在△ABD中，由余弦定理AD2＝AB2＋BD2－2×AB×BD×cos∠ABD，得b2＝a2＋b2－2×a×b×33，解得a＝233b.解法一：由正弦定理ADsin∠ABD＝ABsin∠ADB，得b63＝asin∠ADB，解得sin∠ADB＝223，又2b2＞a2，∴∠ADB为锐角，∴cos∠ADB＝1－sin2∠ADB＝13，tan∠ADB＝2 2.解法二：由余弦定理得，cos∠ADB＝AD2＋BD2－AB22AD×BD＝b2＋b2－a22b2＝13，∴sin∠ADB＝1－cos2∠ADB＝223，tan ∠ADB ＝2 2. 答案：2 217．解：(1)因为S 1＝a 1，S 2＝2a 1＋2×12×2＝2a 1＋2，S 4＝4a 1＋4×32×2＝4a 1＋12，由题意，得(2a 1＋2)2＝a 1(4a 1＋12)，解得a 1＝1，所以a n ＝2n －1，n ∈N *.(4分)(2)由题意，可知b n ＝(－1)n －14n a n a n ＋1＝(－1)n －14n(2n －1)(2n ＋1)＝(－1)n －1⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12n －1＋12n ＋1.(7分) 当n 为偶数时，T n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13－⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12n －3＋12n －1－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12n －1＋12n ＋1＝1－12n ＋1＝2n 2n ＋1；(9分)当n 为奇数时，T n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13－⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋15＋…－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12n －3＋12n －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12n －1＋12n ＋1＝1＋12n ＋1＝2n ＋22n ＋1.(11分)所以T n＝⎩⎪⎨⎪⎧2n ＋22n ＋1，n 为奇数，2n2n ＋1，n 为偶数.(或T n ＝2n ＋1＋(－1)n －12n ＋1)(12分)18．解：(1)解法一：∵连接AC ，∵平面ABCD ⊥平面ABFE ，∠EAB ＝90°，∴AE ⊥AB ，(1分)又平面ABCD ∩平面ABFE ＝AB ，∴AE ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴AE⊥BD.(3分)∵ABCD为正方形，∴AC⊥BD，又AE∩AC＝A，∴BD⊥平面AEC，EC⊂平面AEC，故BD⊥EC.(6分)解法二：因为底面ABFE为直角梯形，AE∥BF，∠EAB＝90°，所以AE⊥AB，BF⊥AB.因为平面ABCD⊥平面ABFE，平面ABCD∩平面ABFE＝AB，所以AE⊥平面ABCD，BF⊥平面ABCD，所以BF⊥BC.(3分)设AE＝t，以BA，BF，BC所在的直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则B(0,0,0)，C(0,0,1)，D(1,0,1)，E(1，t,0)，故DB→＝(－1,0，－1)，EC→＝(－1，－t,1)，因为DB→·EC→＝(－1,0，－1)·(－1，－t,1)＝1－1＝0，所以DB⊥EC.(6分)(2)解法一：过E作EK⊥BF，垂足为K，则四边形AEKB为正方形，故EK＝BK＝1，由AB＝12BF＝1，知KF＝1.因为AE＝AB＝1，∠EAB＝90°，故EB＝2，因为EK＝KF＝1，∠EKF＝90°，故EF＝ 2.(8分)因为EB2＋EF2＝(2)2＋(2)2＝4＝BF2，所以∠BEF＝90°，即BE⊥EF.(9分)在Rt △CBE 中，CE ＝1＋(2)2＝3，在Rt △CBF 中，CF ＝1＋22＝5，因为CE 2＋EF 2＝(3)2＋(2)2＝5＝CF 2，所以∠CEF ＝90°，即CE ⊥EF .故∠CEB 为所求二面角的平面角，(11分)在Rt △CBE 中，cos ∠CEB ＝23＝63，即二面角C -EF -B 的余弦值为63.(12分)解法二：由(1)可知BC→＝(0,0,1)是平面BEF 的一个法向量，设n ＝(x 1，y 1，z 1)是平面CEF 的法向量，因为AE ＝AB ＝1，所以E (1,1,0)，又F (0,2,0)，故CE →＝(1,1，－1)，CF→＝(0,2，－1)．(8分) 由CE →·n ＝(1,1，－1)·(x 1，y 1，z 1)＝0可得x 1＋y 1－z 1＝0，(9分)由CF →·n ＝(0,2，－1)·(x 1，y 1，z 1)＝0可得2y 1－z 1＝0，令z 1＝2，得y 1＝1，x 1＝1，故n ＝(1,1,2)为平面CEF 的一个法向量，(10分)所以cos 〈n ，BC →〉＝n ·BC →|n |·|BC →|＝21×6＝63，即二面角C -EF -B 的余弦值为63.(12分) 19．解：(1)E (X 1)＝5×0.4＋6a ＋7b ＋8×0.1＝6， 即6a ＋7b ＝3.2，①(1分)又由X 1的概率分布列得0.4＋a ＋b ＋0.1＝1，a ＋b ＝0.5，②(2分) 由①②得a ＝0.3，b ＝0.2.(4分)(2)由已知得，样本的频率分布表如下：(5分)用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数X2的概率分布列如下：(6分)所以E(X2)＝3×0.3＋4×0.2＋5×0.2＋6×0.1＋7×0.1＋8×0.1＝4.8.(7分) 即乙厂产品的等级系数X2的数学期望为4.8.(8分)(3)乙厂的产品更具可购买性，理由如下：甲厂产品的等级系数的数学期望等于6，价格为6元/件，所以其性价比为66＝1，(9分)乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8，价格为4元/件，所以其性价比为4.84＝1.2，(10分)据此，乙厂的产品更具可购买性．(12分)20．解：(1)∵直线l与圆O相切，∴|m|k2＋1＝r由k＝－12，r＝1，解得|m|＝52.∵点A，B都在坐标轴的正半轴上，∴l：y＝－12x＋52，(2分)∴切线l 与坐标轴的交点为⎝⎛⎭⎪⎫0，52，(5，0)，∴a ＝5，b ＝52，∴椭圆E的方程是x 25＋4y 25＝1.(4分)(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．∵以AB 为直径的圆经过点O ，∴OA →·OB→＝0，即x 1x 2＋y 1y 2＝0. ∵点A ，B 在直线l 上，∴⎩⎨⎧y 1＝kx 1＋m y 2＝kx 2＋m，∴(1＋k 2)x 1x 2＋mk (x 1＋x 2)＋m 2＝0.(*)(6分)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m x 2a 2＋y 2b 2＝1，消去y ，得b 2x 2＋a 2(k 2x 2＋2kmx ＋m 2)－a 2b 2＝0，即(b 2＋a 2k 2)x 2＋2kma 2x ＋(a 2m 2－a 2b 2)＝0.显然Δ＞0，x 1＋x 2＝－2kma 2b 2＋a 2k 2，x 1x 2＝a 2m 2－a 2b 2b 2＋a 2k 2，(8分)代入(*)式，得a 2m 2＋a 2m 2k 2－a 2b 2－a 2b 2k 2－2k 2m 2a 2＋m 2b 2＋a 2k 2m 2b 2＋a 2k 2＝m 2(a 2＋b 2)－a 2b 2－a 2b 2k 2b 2＋a 2k 2＝0，即m 2(a 2＋b 2)－a 2b 2－a 2b 2k 2＝0.(10分)又由(1)，知m 2＝(1＋k 2)r 2，∴(1＋k 2)(a 2＋b 2)r 2＝a 2b 2(1＋k 2)，∴1a 2＋1b 2＝1r 2.故a ，b ，r 满足1a 2＋1b 2＝1r 2.(12分)21．解：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)．由已知，得f ′(x )＝x ＋1－a －a x ＝x 2＋(1－a )x －a x ＝(x ＋1)(x －a )x.(2分) 若a ≤0，则f ′(x )＞0，此时f (x )在(0，＋∞)上单调递增．若a ＞0，则由f ′(x )＝0，得x ＝a .当0＜x ＜a 时，f ′(x )＜0；当x ＞a 时，f ′(x )＞0.此时f (x )在(0，a )上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增．(4分)(2)证明：令g (x )＝f (a ＋x )－f (a －x )，则g (x )＝12(a ＋x )2＋(1－a )(a ＋x )－a ln(a ＋x )－ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12(a －x )2＋(1－a )(a －x )－a ln (a －x ) ＝2x －a ln(a ＋x )＋a ln(a －x )．(6分)∴g ′(x )＝2－a a ＋x －a a －x ＝－2x 2a 2－x 2. 当0＜x ＜a 时，g ′(x )＜0，∴g (x )在(0，a )上是减函数．而g (0)＝0，∴g (x )＜g (0)＝0.故当0＜x ＜a 时，f (a ＋x )＜f (a －x )．(8分)(3)证明：由(1)可知，当a ≤0时，函数f (x )至多有一个零点，故a ＞0，从而f (x )的最小值为f (a )，且f (a )＜0.(10分)不妨设0＜x 1＜x 2，则0＜x 1＜a ＜x 2，∴0＜a －x 1＜a .由(2)，得f (2a －x 1)＝f (a ＋a －x 1)＜f (x 1)＝0＝f (x 2)．从而x 2＞2a －x 1，于是x 1＋x 22＞a . 由(1)知，f ′⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 1＋x 22＞0.(12分)22．解：(1)直线l 的普通方程为x －y －1＝0，(2分)由ρ－4cos θ＝0，得ρ2－4ρcos θ＝0，则x 2＋y 2－4x ＝0，即(x －2)2＋y 2＝4，即曲线C 的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4.(5分)(2)把直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程得⎝ ⎛⎭⎪⎫22t －12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22t 2＝4，(8分)即t 2－2t －3＝0，设方程t 2－2t －3＝0的两根分别为t 1，t 2，则|AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝14.(10分)23．解：(1)当a ＝5时，原不等式等价于|x －5|≤3，即－3≤x －5≤3⇒2≤x ≤8， 所以解集为{x |2≤x ≤8}．(4分)(2)当a ＝1时，f (x )＝|x －1|.令g (x )＝f (x －1)＋f (2x )＝|x －2|＋|2x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3x ＋3，x ≤12，x ＋1，12＜x ＜2，3x －3，x ≥2，作出其图象，如图所示，(6分)由图象，易知x ＝12时，g (x )取得最小值32.(8分) 由题意，知32≤1－2m ⇒m ≤－14，所以实数m 的取值范围为 ⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－14.(10分)。

高考复习试卷习题资料之高考数学试卷（理科）高考模拟卷 (2)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求1.（5分）设i是虚数单位，是复数z的共轭复数，若（z•）i+2=2z，则z=（）A.1+iB.1﹣iC.﹣1+iD.﹣1﹣i2.（5分）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（）A. B. C. D.3.（5分）在下列命题中，不是公理的是（）A.平行于同一个平面的两个平面平行B.过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面C.如果一条直线上的两点在同一个平面内，那么这条直线上所有点都在此平面内D.如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线4.（5分）“a≤0”是“函数f（x）=|（ax﹣1）x|在区间（0，+∞）内单调递增”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.（5分）某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86，94，88，92，90，五名女生的成绩分别为88，93，93，88，93，下列说法正确的是（）A.这种抽样方法是一种分层抽样B.这种抽样方法是一种系统抽样C.这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差D.该班男生成绩的平均数大于该班女生成绩的平均数6.（5分）已知一元二次不等式f（x）＜0的解集为{x|x＜﹣1或x＞}，则f（10x）＞0的解集为（）A.{x|x＜﹣1或x＞﹣lg2}B.{x|﹣1＜x＜﹣lg2}C.{x|x＞﹣lg2}D.{x|x＜﹣lg2}7.（5分）在极坐标系中圆ρ=2cosθ的垂直于极轴的两条切线方程分别为（）A.θ=0（ρ∈R）和ρcosθ=2B.θ=（ρ∈R）和ρcosθ=2C.θ=（ρ∈R）和ρcosθ=1D.θ=0（ρ∈R）和ρcosθ=18.（5分）函数y=f（x）的图象如图所示，在区间[a，b]上可找到n（n≥2）个不同的数x1，x2，…，xn，使得=…=，则n的取值范围是（）A.{3，4}B.{2，3，4}C.{3，4，5}D.{2，3}9.（5分）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足||=||=•=2，则点集{P|=λ+μ，|λ|+|μ|≤1，λ，μ∈R}所表示的区域的面积是（）A. B. C. D.10.（5分）若函数f（x）=x3+ax2+bx+c有极值点x1，x2，且f（x1）=x1，则关于x的方程3（f（x））2+2af（x）+b=0的不同实根个数是（）A.3B.4C.5D.6二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填写在答题卡上11.（5分）若的展开式中x4的系数为7，则实数a=.12.（5分）设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若b+c=2a，3sinA=5sinB，则角C=.13.（5分）已知直线y=a交抛物线y=x2于A，B两点，若该抛物线上存在点C，使得∠ACB 为直角，则a的取值范围为.14.（5分）如图，互不相同的点A1，A2，…，An，…和B1，B2，…，Bn，…分别在角O的两条边上，所有AnBn相互平行，且所有梯形AnBnBn+1An+1的面积均相等，设OAn=an，若a1=1，a2=2，则数列{an}的通项公式是.15.（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S，则下列命题正确的是（写出所有正确命题的编号）.①当0＜CQ＜时，S为四边形②当CQ=时，S为等腰梯形③当CQ=时，S与C1D1的交点R满足C1R=④当＜CQ＜1时，S为六边形⑤当CQ=1时，S的面积为.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算骤16.（12分）已知函数f（x）=4cosωx•sin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为π.（1）求ω的值；（2）讨论f（x）在区间[0，]上的单调性.17.（12分）设函数f（x）=ax﹣（1+a2）x2，其中a＞0，区间I={x|f（x）＞0}（Ⅰ）求I的长度（注：区间（a，β）的长度定义为β﹣α）；（Ⅱ）给定常数k∈（0，1），当1﹣k≤a≤1+k时，求I长度的最小值.18.（12分）设椭圆E：的焦点在x轴上（1）若椭圆E的焦距为1，求椭圆E的方程；（2）设F1，F2分别是椭圆E的左、右焦点，P为椭圆E上第一象限内的点，直线F2P交y 轴于点Q，并且F1P⊥F1Q，证明：当a变化时，点P在某定直线上.19.（13分）如图，圆锥顶点为P，底面圆心为O，其母线与底面所成的角为22.5°，AB和CD是底面圆O上的两条平行的弦，轴OP与平面PCD所成的角为60°，（1）证明：平面PAB与平面PCD的交线平行于底面；（2）求cos∠COD.20.（13分）设函数fn（x）=﹣1+x+++…+（x∈R，n∈N+），证明：（1）对每个n∈N+，存在唯一的x∈[，1]，满足fn（xn）=0；（2）对于任意p∈N+，由（1）中xn构成数列{xn}满足0＜xn﹣xn+p＜.21.（13分）某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动，分别由李老师和张老师负责，已知该系共有n位学生，每次活动均需该系k位学生参加（n和k 都是固定的正整数），假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系k位学生，且所发信息都能收到，记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为X.（I）求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率；（II）求使P（X=m）取得最大值的整数m.高考复习试卷习题资料之高考数学试卷（理科）高考模拟卷 (2)参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求1.（5分）设i是虚数单位，是复数z的共轭复数，若（z•）i+2=2z，则z=（）A.1+iB.1﹣iC.﹣1+iD.﹣1﹣i【分析】设出复数z=a+bi（a，b∈R），代入后整理，利用复数相等的条件列关于a，b的方程组求解a，b，则复数z可求.【解答】解：设z=a+bi（a，b∈R），则，由，得（a+bi）（a﹣bi）i+2=2（a+bi），整理得2+（a2+b2）i=2a+2bi.则，解得.所以z=1+i.故选：A.【点评】本题考查了复数代数形式的混合运算，考查了复数相等的条件，两个复数相等，当且仅当实部等于实部，虚部等于虚部，是基础题.2.（5分）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（）A. B. C. D.【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，分析可知：该程序的作用是计算并输出S=++的值，并输出.【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出S=++的值∵S=++=.故选：D.【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模.3.（5分）在下列命题中，不是公理的是（）A.平行于同一个平面的两个平面平行B.过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面C.如果一条直线上的两点在同一个平面内，那么这条直线上所有点都在此平面内D.如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线【分析】根据公理的定义解答即可.经过人类长期反复的实践检验是真实的，不需要由其他判断加以证明的命题和原理就是公理.【解答】解：B，C，D经过人类长期反复的实践检验是真实的，不需要由其他判断加以证明的命题和原理故是公理；而A平行于同一个平面的两个平面平行是定理不是公理.故选：A.【点评】本题考查了公理的意义，比较简单.4.（5分）“a≤0”是“函数f（x）=|（ax﹣1）x|在区间（0，+∞）内单调递增”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【分析】对a分类讨论，利用二次函数的图象与单调性、充要条件即可判断出.【解答】解：当a=0时，f（x）=|x|，在区间（0，+∞）内单调递增.当a＜0时，，结合二次函数图象可知函数f（x）=|（ax﹣1）x|在区间（0，+∞）内单调递增.若a＞0，则函数f（x）=|（ax﹣1）x|，其图象如图它在区间（0，+∞）内有增有减，从而若函数f（x）=|（ax﹣1）x|在区间（0，+∞）内单调递增则a≤0.∴a≤0是”函数f（x）=|（ax﹣1）x|在区间（0，+∞）内单调递增”的充要条件.故选：C.【点评】本题考查了二次函数的图象与单调性、充要条件，考查了数形结合的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.5.（5分）某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86，94，88，92，90，五名女生的成绩分别为88，93，93，88，93，下列说法正确的是（）A.这种抽样方法是一种分层抽样B.这种抽样方法是一种系统抽样C.这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差D.该班男生成绩的平均数大于该班女生成绩的平均数【分析】根据抽样方法可知，这种抽样方法是一种简单随机抽样.根据平均数的定义：平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数；方差公式：s2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]求解即可.【解答】解：根据抽样方法可知，这种抽样方法是一种简单随机抽样.五名男生这组数据的平均数=（86+94+88+92+90）÷5=90，方差=×[（86﹣90）2+（94﹣90）2+（88﹣90）2+（92﹣90）2+（90﹣90）2]=8.五名女生这组数据的平均数=（88+93+93+88+93）÷5=91，方差=×[（88﹣91）2+（93﹣91）2+（93﹣91）2+（88﹣91）2+（93﹣91）2]=6.故这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差.故选：C.【点评】本题考查了抽样方法、平均数以及方差的求法，要想求方差，必须先求出这组数据的平均数，然后再根据方差公式求解.6.（5分）已知一元二次不等式f（x）＜0的解集为{x|x＜﹣1或x＞}，则f（10x）＞0的解集为（）A.{x|x＜﹣1或x＞﹣lg2}B.{x|﹣1＜x＜﹣lg2}C.{x|x＞﹣lg2}D.{x|x＜﹣lg2}【分析】由题意可得f（10x）＞0等价于﹣1＜10x＜，由指数函数的单调性可得解集. 【解答】解：由题意可知f（x）＞0的解集为{x|﹣1＜x＜}，故可得f（10x）＞0等价于﹣1＜10x＜，由指数函数的值域为（0，+∞）一定有10x＞﹣1，而10x＜可化为10x＜，即10x＜10﹣lg2，由指数函数的单调性可知：x＜﹣lg2故选：D.【点评】本题考查一元二次不等式的解集，涉及对数函数的单调性及对数的运算，属中档题.7.（5分）在极坐标系中圆ρ=2cosθ的垂直于极轴的两条切线方程分别为（）A.θ=0（ρ∈R）和ρcosθ=2B.θ=（ρ∈R）和ρcosθ=2C.θ=（ρ∈R）和ρcosθ=1D.θ=0（ρ∈R）和ρcosθ=1【分析】利用圆的极坐标方程和直线的极坐标方程即可得出.【解答】解：如图所示，在极坐标系中圆ρ=2cosθ是以（1，0）为圆心，1为半径的圆.故圆的两条切线方程分别为（ρ∈R），ρcosθ=2.故选：B.【点评】正确理解圆的极坐标方程和直线的极坐标方程是解题的关键》8.（5分）函数y=f（x）的图象如图所示，在区间[a，b]上可找到n（n≥2）个不同的数x1，x2，…，xn，使得=…=，则n的取值范围是（）A.{3，4}B.{2，3，4}C.{3，4，5}D.{2，3}【分析】由表示（x，f（x））点与原点连线的斜率，结合函数y=f（x）的图象，数形结合分析可得答案.【解答】解：令y=f（x），y=kx，作直线y=kx，可以得出2，3，4个交点，故k=（x＞0）可分别有2，3，4个解.故n的取值范围为2，3，4.故选：B.【点评】本题考查的知识点是斜率公式，正确理解表示（x，f（x））点与原点连线的斜率是解答的关键.9.（5分）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足||=||=•=2，则点集{P|=λ+μ，|λ|+|μ|≤1，λ，μ∈R}所表示的区域的面积是（）A. B. C. D.【分析】由两定点A，B满足==2，说明O，A，B三点构成边长为2的等边三角形，设出两个定点的坐标，再设出P点坐标，由平面向量基本定理，把P的坐标用A，B的坐标及λ，μ表示，把不等式|λ|+|μ|≤1去绝对值后可得线性约束条件，画出可行域可求点集P所表示区域的面积.【解答】解：由两定点A，B满足==2，=﹣，则||2=（﹣）2=﹣2•+=4，则||=2，说明O，A，B三点构成边长为2的等边三角形.不妨设A（），B（）.再设P（x，y）.由，得：.所以，解得①.由|λ|+|μ|≤1.所以①等价于或或或.可行域如图中矩形ABCD及其内部区域，则区域面积为.故选：D.【点评】本题考查了平面向量的基本定理及其意义，考查了二元一次不等式（组）所表示的平面区域，考查了数学转化思想方法，解答此题的关键在于读懂题意，属中档题.10.（5分）若函数f（x）=x3+ax2+bx+c有极值点x1，x2，且f（x1）=x1，则关于x的方程3（f（x））2+2af（x）+b=0的不同实根个数是（）A.3B.4C.5D.6【分析】求导数f′（x），由题意知x1，x2是方程3x2+2ax+b=0的两根，从而关于f（x）的方程3（f（x））2+2af（x）+b=0有两个根，作出草图，由图象可得答案.【解答】解：f′（x）=3x2+2ax+b，x1，x2是方程3x2+2ax+b=0的两根，由3（f（x））2+2af（x）+b=0，得x=x1，或x=x2，即3（f（x））2+2af（x）+b=0的根为f（x）=x1或f（x2）=x2的解.如图所示，由图象可知f（x）=x1有2个解，f（x）=x2有1个解，因此3（f（x））2+2af（x）+b=0的不同实根个数为3.故选：A.【点评】考查函数零点的概念、以及对嵌套型函数的理解，考查数形结合思想.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填写在答题卡上11.（5分）若的展开式中x4的系数为7，则实数a=.【分析】利用二项式定理的通项公式即可得出.【解答】解：由通项公式Tr+1==，∵的展开式中x4的系数为7，∴，解得.故答案为.【点评】熟练掌握二项式定理的通项公式是解题的关键.12.（5分）设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若b+c=2a，3sinA=5sinB，则角C=.【分析】由3sinA=5sinB，根据正弦定理，可得3a=5b，再利用余弦定理，即可求得C.【解答】解：∵3sinA=5sinB，∴由正弦定理，可得3a=5b，∴a=∵b+c=2a，∴c=∴cosC==﹣∵C∈（0，π）∴C=故答案为：【点评】本题考查正弦、余弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于基础题.13.（5分）已知直线y=a交抛物线y=x2于A，B两点，若该抛物线上存在点C，使得∠ACB 为直角，则a的取值范围为[1，+∞）.【分析】如图所示，可知A，B，设C（m，m2），由该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，可得=0.即可得到a的取值范围.【解答】解：如图所示，可知A，B，设C（m，m2），，.∵该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，∴=.化为m2﹣a+（m2﹣a）2=0.∵m，∴m2=a﹣1≥0，解得a≥1.∴a 的取值范围为[1，+∞）.故答案为[1，+∞）.【点评】本题考查了如何表示抛物线上点的坐标、垂直于数量积得关系等基础知识，考查了推理能力和计算能力.14.（5分）如图，互不相同的点A1，A2，…，An，…和B1，B2，…，Bn，…分别在角O的两条边上，所有AnBn相互平行，且所有梯形AnBnBn+1An+1的面积均相等，设OAn=an，若a1=1，a2=2，则数列{an}的通项公式是.【分析】设，利用已知可得A1B1是三角形OA2B2的中位线，得到==，梯形A1B1B2A2的面积=3S.由已知可得梯形AnBnBn+1An+1的面积=3S.利用相似三角形的性质面积的比等于相似比的平方可得：，，，…，已知，，可得，….因此数列{}是一个首项为1，公差为3等差数列，即可得到an.【解答】解：设，∵OA1=a1=1，OA2=a2=2，A1B1∥A2B2，∴A1B1是三角形OA2B2的中位线，∴==，∴梯形A1B1B2A2的面积=3S.故梯形AnBnBn+1An+1的面积=3S.∵所有AnBn相互平行，∴所有△OAnBn（n∈N*）都相似，∴，，，…，∵，∴，，….∴数列{}是一个等差数列，其公差d=3，故=1+（n﹣1）×3=3n﹣2.∴.因此数列{an}的通项公式是.故答案为.【点评】本题综合考查了三角形的中位线定理、相似三角形的性质、等差数列的通项公式等基础知识和基本技能，考查了推理能力和计算能力.15.（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S，则下列命题正确的是①②③⑤（写出所有正确命题的编号）.①当0＜CQ＜时，S为四边形②当CQ=时，S为等腰梯形③当CQ=时，S与C1D1的交点R满足C1R=④当＜CQ＜1时，S为六边形⑤当CQ=1时，S的面积为.【分析】由题意作出满足条件的图形，由线面位置关系找出截面可判断选项的正误.【解答】解：如图当CQ=时，即Q为CC1中点，此时可得PQ∥AD1，AP=QD1==，故可得截面APQD1为等腰梯形，故②正确；由上图当点Q向C移动时，满足0＜CQ＜，只需在DD1上取点M满足AM∥PQ，即可得截面为四边形APQM，故①正确；③当CQ=时，如图，延长DD1至N，使D1N=，连接AN交A1D1于S，连接NQ交C1D1于R，连接SR，可证AN∥PQ，由△NRD1∽△QRC1，可得C1R：D1R=C1Q：D1N=1：2，故可得C1R=，故正确；④由③可知当＜CQ＜1时，只需点Q上移即可，此时的截面形状仍然上图所示的APQRS，显然为五边形，故错误；⑤当CQ=1时，Q与C1重合，取A1D1的中点F，连接AF，可证PC1∥AF，且PC1=AF，可知截面为APC1F为菱形，故其面积为AC1•PF==，故正确.故答案为：①②③⑤.【点评】本题考查命题真假的判断与应用，涉及正方体的截面问题，属中档题.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算骤16.（12分）已知函数f（x）=4cosωx•sin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为π.（1）求ω的值；（2）讨论f（x）在区间[0，]上的单调性.【分析】（1）先利用和角公式再通过二倍角公式，将次升角，化为一个角的一个三角函数的形式，通过函数的周期，求实数ω的值；（2）由于x是[0，]范围内的角，得到2x+的范围，然后通过正弦函数的单调性求出f（x）在区间[0，]上的单调性.【解答】解：（1）f（x）=4cosωxsin（ωx+）=2sinωx•cosωx+2cos2ωx=（sin2ωx+cos2ωx）+=2sin（2ωx+）+，所以 T==π，∴ω=1.（2）由（1）知，f（x）=2sin（2x+）+，因为0≤x≤，所以≤2x+≤，当≤2x+≤时，即0≤x≤时，f（x）是增函数，当≤2x+≤时，即≤x≤时，f（x）是减函数，所以f（x）在区间[0，]上单调增，在区间[，]上单调减.【点评】本题考查三角函数的化简求值，恒等关系的应用，注意三角函数值的变换，考查计算能力，常考题型.17.（12分）设函数f（x）=ax﹣（1+a2）x2，其中a＞0，区间I={x|f（x）＞0}（Ⅰ）求I的长度（注：区间（a，β）的长度定义为β﹣α）；（Ⅱ）给定常数k∈（0，1），当1﹣k≤a≤1+k时，求I长度的最小值.【分析】（Ⅰ）解不等式f（x）＞0可得区间I，由区间长度定义可得I的长度；（Ⅱ）由（Ⅰ）构造函数d（a）=，利用导数可判断d（a）的单调性，由单调性可判断d（a）的最小值必定在a=1﹣k或a=1+k处取得，通过作商比较可得答案.【解答】解：（Ⅰ）因为方程ax﹣（1+a2）x2=0（a＞0）有两个实根x1=0，＞0，故f（x）＞0的解集为{x|x1＜x＜x2}，因此区间I=（0，），区间长度为；（Ⅱ）设d（a）=，则d′（a）=，令d′（a）=0，得a=1，由于0＜k＜1，故当1﹣k≤a＜1时，d′（a）＞0，d（a）单调递增；当1＜a≤1+k时，d′（a）＜0，d（a）单调递减，因此当1﹣k≤a≤1+k时，d（a）的最小值必定在a=1﹣k或a=1+k处取得，而=＜1，故d（1﹣k）＜d（1+k），因此当a=1﹣k时，d（a）在区间[1﹣k，1+k]上取得最小值，即I长度的最小值为.【点评】本题考查二次不等式的求解，以及导数的计算和应用等基础知识和基本技能，考查分类讨论思想和综合运用数学知识解决问题的能力.18.（12分）设椭圆E：的焦点在x轴上（1）若椭圆E的焦距为1，求椭圆E的方程；（2）设F1，F2分别是椭圆E的左、右焦点，P为椭圆E上第一象限内的点，直线F2P交y 轴于点Q，并且F1P⊥F1Q，证明：当a变化时，点P在某定直线上.【分析】（1）利用椭圆的标准方程和几何性质即可得出，解出即可；（2）设P（x0，y0），F1（﹣c，0），F2（c，0），其中.利用斜率的计算公式和点斜式即可得出直线F1P的斜率=，直线F2P的方程为.即可得出Q.得到直线F1Q的斜率=.利用F1Q⊥F1P，可得=.化为.与椭圆的方程联立即可解出点P的坐标.【解答】解：（1）∵椭圆E的焦距为1，∴，解得.故椭圆E的方程为.（2）设P（x0，y0），F1（﹣c，0），F2（c，0），其中.由题设可知：x0≠c.则直线F1P的斜率=，直线F2P的斜率=.故直线F2P的方程为.令x=0，解得.即点Q.因此直线F1Q的斜率=.∵F1Q⊥F1P，∴=.化为.联立，及x0＞0，y0＞0，解得，.即点P在定直线x+y=1上.【点评】本题主要考查了椭圆的标准方程及其几何性质，直线和直线、直线和椭圆的位置关系等基础知识和基本技能，考查了数形结合的思想、推理能力和计算能力，属于难题. 19.（13分）如图，圆锥顶点为P，底面圆心为O，其母线与底面所成的角为22.5°，AB和CD是底面圆O上的两条平行的弦，轴OP与平面PCD所成的角为60°，（1）证明：平面PAB与平面PCD的交线平行于底面；（2）求cos∠COD.【分析】（1）利用线面平行的判定与性质，可证平面PAB与平面PCD的交线平行于底面；（2）先作出OP与平面PCD所成的角，再求出OC，OF，求出cos∠COF，利用二倍角公式，即可求得cos∠COD.【解答】（1）证明：设平面PAB与平面PCD的交线为l，则∵AB∥CD，AB⊄平面PCD，∴AB∥平面PCD∵AB⊂面PAB，平面PAB与平面PCD的交线为l，∴AB∥l∵AB在底面上，l在底面外∴l与底面平行；（2）解：设CD的中点为F，连接OF，PF由圆的性质，∠COD=2∠COF，OF⊥CD∵OP⊥底面，CD⊂底面，∴OP⊥CD∵OP∩OF=O∴CD⊥平面OPF∵CD⊂平面PCD∴平面OPF⊥平面PCD∴直线OP在平面PCD上的射影为直线PF∴∠OPF为OP与平面PCD所成的角由题设，∠OPF=60°设OP=h，则OF=OPtan∠OPF=∵∠OCP=22.5°，∴∵tan45°==1∴tan22.5°=∴OC==在Rt△OCF中，cos∠COF===∴cos∠COD=cos（2∠COF）=2cos2∠COF﹣1=17﹣12【点评】本题考查线面平行的判定与性质，考查空间角，考查学生的计算能力，正确找出线面角是关键.21.（13分）某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动，分别由李老师和张老师负责，已知该系共有n位学生，每次活动均需该系k位学生参加（n和k 都是固定的正整数），假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系k位学生，且所发信息都能收到，记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为X.（I）求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率；（II）求使P（X=m）取得最大值的整数m.【分析】（I）由题设，两位老师发送信息是独立的，要计算该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率可先计算其对立事件，该生没有接到任一位老师发送的信息的概率，利用概率的性质求解；（II）由题意，要先研究随机变量X的取值范围，由于k≤n故要分两类k=n与k＜n进行研究，k=n时易求，k＜n时，要研究出同时接受到两位老师信息的人数，然后再研究事件所包含的基本事件数，表示出P（X=m），再根据其形式研究它取得最大值的整数m即可. 【解答】解：（I）因为事件A：“学生甲收到李老师所发信息”与事件B：“学生甲收到张老师所发信息”是相互独立事件，所以与相互独立，由于P（A）=P（B）==，故P （）=P（）=1﹣，因此学生甲收到活动信息的概率是1﹣（1﹣）2=（II）当k=n时，m只能取n，此时有P（X=m）=P（X=n）=1当k＜n时，整数m满足k≤m≤t，其中t是2k和n中的较小者，由于“李老师与张老师各自独立、随机地发送活动信息给k位”所包含的基本事件总数为（）2，当X=m时，同时收到两位老师所发信息的学生人数为2k﹣m，仅收到李老师或张老师转发信息的学生人数为m﹣k，由乘法原理知：事件{X=m}所包含的基本事件数为P（X=m）==当k≤m＜t时，P（X=M）＜P（X=M+1）⇔（m﹣k+1）2≤（n﹣m）（2k﹣m）⇔m≤2k﹣假如k≤2k﹣＜t成立，则当（k+1）2能被n+2整除时，k≤2k﹣＜2k+1﹣＜t，故P（X=M）在m=2k﹣和m=2k+1﹣处达到最大值；当（k+1）2不能被n+2整除时，P（X=M）在m=2k﹣[]处达到最大值（注：[x]表示不超过x的最大整数），下面证明k≤2k﹣＜t因为1≤k＜n，所以2k﹣﹣k=≥=≥0而2k﹣﹣n=＜0，故2k﹣＜n，显然2k﹣＜2k因此k≤2k﹣＜t综上得，符合条件的m=2k﹣[]【点评】本题主要考查古典概率模型，计数原理，分类讨论思想等基础知识和基本技能，考查抽象的思想，逻辑推理能力，运算求解能力，以及运用数学知识分析解决实际问题的能力，本题易因为审题时不明白事件的情形而导致无法下手，或者因为分类不清未能正确分类导致失分20.（13分）设函数fn（x）=﹣1+x+++…+（x∈R，n∈N+），证明：（1）对每个n∈N+，存在唯一的x∈[，1]，满足fn（xn）=0；（2）对于任意p∈N+，由（1）中xn构成数列{xn}满足0＜xn﹣xn+p＜.【分析】（1）由题意可得f′（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上是增函数.求得fn（1）＞0，fn（）＜0，再根据函数的零点的判定定理，可得要证的结论成立.（2）由题意可得fn+1（xn）＞fn（xn）=fn+1（xn+1）=0，由fn+1（x）在（0，+∞）上单调递增，可得xn+1＜xn，故xn﹣xn+p＞0.用fn（x）的解析式减去fn+p （xn+p）的解析式，变形可得xn﹣xn+p=+，再进行放大，并裂项求和，可得它小于，综上可得要证的结论成立.【解答】证明：（1）对每个n∈N+，当x＞0时，由函数fn（x）=﹣1+x+），可得f′（x）=1+++…＞0，故函数f（x）在（0，+∞）上是增函数.由于f1（x1）=0，当n≥2时，fn（1）=++…+＞0，即fn（1）＞0.又fn（）=﹣1++[+++…+]≤﹣+•=﹣+×=﹣•＜0，根据函数的零点的判定定理，可得存在唯一的xn，满足fn（xn）=0.（2）对于任意p∈N+，由（1）中xn构成数列{xn}，当x＞0时，∵fn+1（x）=fn（x）+＞fn（x），∴fn+1（xn）＞fn（xn）=fn+1（xn+1）=0.由fn+1（x）在（0，+∞）上单调递增，可得xn+1＜xn，即xn﹣xn+1＞0，故数列{xn}为减数列，即对任意的 n、p∈N+，xn﹣xn+p＞0.由于 fn（xn）=﹣1+xn+++…+=0 ①，fn+p （xn+p）=﹣1+xn+p+++…++[++…+]②，用①减去②并移项，利用 0＜xn+p≤1，可得xn﹣xn+p=+≤≤＜=＜.综上可得，对于任意p∈N+，由（1）中xn构成数列{xn}满足0＜xn﹣xn+p＜.【点评】本题主要考查函数的导数及应用，函数的零点的判定，等比数列求和以及用放缩法证明不等式，还考查推理以及运算求解能力，属于难题.高考理科数学试题及答案（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。