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二次函数的应用二次函数是数学中一种重要的函数形式，其形式为：y = ax^2 + bx+ c，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。
在实际生活中，二次函数的应用十分广泛，涉及到各个领域，如物理、经济、工程等。
本文将探讨二次函数在实际问题中的应用，并以几个具体的案例进行讨论。
一、抛物线的建模抛物线是二次函数的图像，其在物理学中具有广泛的应用，如抛体运动、抛射物的轨迹等。
以抛体运动为例，当一个物体在水平面上以初速度v0斜抛时，其运动轨迹可以用二次函数来描述。
在不考虑空气阻力的情况下，假设物体的初速度为v0，发射角度为θ，则物体的运动方程可以表示为y = -gx^2/(2v0^2cos^2θ) + xtanθ，其中g为重力加速度，x和y分别表示物体在水平方向和竖直方向上的位移。
二、高空抛物线在很多实际问题中，我们需要将物体从高空进行抛射，如发射火箭、炮弹等。
假设某个火箭从高度h处垂直向上发射，且发射角度为θ，发射速度为v0。
可以通过二次函数来建立火箭的抛物线轨迹模型。
根据运动学原理，火箭在竖直方向上受重力作用，而在水平方向上无外力作用。
因此，我们可以得到火箭的运动方程为y = -gx^2/(2v0^2cos^2θ)+ xtanθ + h，其中g为重力加速度，x和y分别表示火箭在水平方向和竖直方向上的位移。
三、经济学中的应用二次函数在经济学中有着广泛的应用，常用来描述成本、收益、供需关系等经济指标。
以成本函数为例，假设某个企业的成本函数可以用二次函数表示。
设该企业的生产量为x，成本为C，则成本函数可以表示为C = ax^2 + bx + c。
其中，a、b、c为常数，代表着不同的经济关系。
通过对成本函数的分析，可以确定企业的最优生产量、最小成本等重要指标，为企业的经营决策提供依据。
四、工程中的应用在工程领域，二次函数也有着广泛的应用。
以抛物面天窗设计为例，当设计一个天窗时，为了达到最佳采光效果，需要设计一个合适的抛物面形状。
二次函数的综合运用二次函数是一种形式为 y = ax² + bx + c 的函数，其中 a、b、c 是常数且a ≠ 0。
二次函数在数学中有广泛的应用，涉及到诸如物理学、经济学和工程学等多个领域。
本文将探讨二次函数在各个领域中的综合运用，包括最值问题、图像分析、实际问题的建模等。
一、最值问题对于二次函数 y = ax² + bx + c，其中a ≠ 0，我们可以通过一些方法求得其最值。
为了简化讨论，我们以函数 y = x² + 2x - 3 为例。
1. 定义域和值域首先，我们需要确定该二次函数的定义域和值域。
对于二次函数 y= x² + 2x - 3，由于 x²的值始终大于等于 0，所以该函数的定义域为全体实数。
而二次函数在开口向上的情况下，其最小值即为函数的值域的下界。
根据二次函数的顶点公式，可以求得该函数的顶点为(-1, -4)，因此该函数的最小值为 -4。
2. 求解极值点我们可以通过求导数的方法求得二次函数的极值点。
对于函数 y =x² + 2x - 3，将其对 x 求导后可得 y' = 2x + 2。
令 y' = 0，解得 x = -1。
将 x = -1 代入函数 y = x² + 2x - 3 中可得 y = -4，即函数在 x = -1 处取得极小值 -4。
同样，对于开口向下的二次函数，可以通过类似的方法求得其极大值。
二、图像分析二次函数的图像一般为抛物线，通过分析图像可以获得更多关于函数的信息。
下面以函数 y = x² + 2x - 3 为例进行具体分析。
1. 对称轴和顶点二次函数的对称轴是由函数的一阶导数确定的直线，其方程形式为x = -b/(2a)。
对于函数 y = x² + 2x - 3，对称轴的方程为 x = -1。
根据二次函数的顶点公式，可以求得该函数的顶点坐标为 (-1, -4)。
二次函数的应用二次函数是高中数学中的一个重要概念，也是数学中经常应用的一种函数类型。
二次函数的应用广泛，涵盖了很多领域，包括物理学、经济学、工程学等。
本文将探讨几个二次函数的应用场景，并分析其原理和实际意义。
一、地面抛射运动地面抛射运动是我们生活中常见的一种物理现象，比如投掷物体、打击物体等。
在不考虑空气阻力的情况下，地面抛射运动的轨迹可以用二次函数描述。
其函数模型为：h(t) = -gt^2 + v0t + h0其中h(t)表示时间t时刻的高度，g为重力加速度，v0为初速度，h0为初始高度。
二次函数可以帮助我们计算抛体的高度、最高点高度、到达地面的时间等重要参数。
对于投掷物体来说，了解这些参数可以帮助我们更好地控制力度和角度，以达到我们想要的结果。
二、经济学中的收益函数在经济学中，我们常常使用收益函数来研究生产经营的效益。
很多实际问题可以用二次函数近似表示，从而分析最大化收益的策略。
假设某个公司的销售收益可以用二次函数模型表示：R(x) = -ax^2 + bx + c其中R(x)表示销售收益，x表示销售量，a、b、c为常数。
我们可以通过对二次函数进行求导，找到其最大值对应的销售量，从而确定最佳的经营策略。
通过研究收益函数，我们可以优化资源配置，提高经济效益。
三、工程中的抛物线设计在工程领域，二次函数常常用于抛物线设计。
比如，在桥梁、建筑物等结构的设计过程中，我们需要考虑各种因素，如力学原理、结构稳定性等。
二次函数能够很好地描述抛物线形状，帮助我们确定结构的合理设计。
例如，在桥梁设计中，通过二次函数的应用，可以确定拱桥的合适形状和尺寸，以满足结构强度和美观性的要求。
另外，在草坪的设计中，也可以利用二次函数描述草地的曲率，使得草坪在自然光线的照射下呈现出优美的效果。
四、物体运动的轨迹分析二次函数也可以用于分析物体在空间中的运动轨迹。
比如，一个碰撞物体的轨迹可以由以下二次函数表示：x(t) = v0t + 1/2at^2y(t) = h0 + v0t + 1/2gt^2其中x(t)、y(t)分别表示物体在水平和竖直方向上的位移，v0为初速度，a为加速度，h0为初始高度，g为重力加速度。
二次函数的应用二次函数是一种常见的数学函数类型，它在许多实际问题的建模与解决中具有广泛的应用。
本文将介绍二次函数的基本概念，以及其在现实生活中的几个具体应用。
一、二次函数的基本概念二次函数是指一个变量的平方项与该变量的一次项的和再加上一个常数项所构成的函数。
一般表示为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数。
二次函数的图像通常是一个抛物线，其开口的方向取决于a的正负。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
二次函数还具有一个特殊的点，称为顶点，它是抛物线的最高点或最低点。
二、1. 几何应用二次函数在几何中广泛应用，如平面几何中的抛物线问题、曲线的拐点问题等。
例如，在研究体育运动的抛体运动过程中，可以通过二次函数来描述运动物体的轨迹，进而计算出最高点、最远距离等重要参数。
2. 物理应用二次函数在物理学中具有重要的应用。
例如，在自由落体运动中，物体的下落距离与时间的关系可用二次函数来表示。
这种关系可以帮助我们计算出物体的速度、加速度等重要物理参数。
3. 经济应用经济学中也广泛使用二次函数进行经济模型的建立与分析。
例如，在市场供求关系的研究中，需求函数和供给函数通常采用二次函数形式，通过求解二次函数的交点可以确定市场均衡价格和数量。
4. 工程应用二次函数在工程中有着广泛的应用。
例如，在桥梁设计中，通过研究桥梁的受力情况，可以建立相应的二次函数模型，以确定桥梁的最佳设计参数，确保桥梁的结构安全可靠。
5. 金融应用金融领域中也经常使用二次函数进行金融模型的建立与分析。
例如，在股票市场中，通过研究股票价格的变化规律，可以建立相应的二次函数模型，以预测未来价格的走势，为投资者提供参考。
综上所述，二次函数在几何、物理、经济、工程和金融等领域中都有着广泛的应用。
通过建立并分析二次函数模型，我们可以更好地理解和解决实际问题，为实际应用提供科学的依据和方法。
二次函数应用的研究还有很大的发展空间，可以进一步拓展其在不同领域中的应用范围，为社会进步与发展做出更大的贡献。
第08讲 二次函数的实际应用（六大类型）1.能运用二次函数分析和解决简单的实际问题，培养分析问题、解决问题的能力和应用数学的意识．2.经历探索实际问题与二次函数的关系的过程，深刻理解二次函数是刻画现实世界的一个有效的数学模型．知识点1 ：运动类（1）落地模型（2）最值模型知识点2 ：经济类销售问题常用等量关系 ：利润=收入-成本； 利润=单件利润×销量 ；成本利润率利润⨯=知识点13 ：面积类知识点4：拱桥类一般步骤：(1)恰当地建立直角坐标系；(2)将已知条件转化为点的坐标；(3)合理地设出所求函数关系式；(4)代入已知条件或点的坐标，求出关系式；(5)利用关系式求解问题．【题型1 运动类（1）落地模型】【典例1】（2023•原平市一模）在2023年中考体育考试前，小康对自己某次实心球的训练录像进行了分析，发现实心球飞行路线是一条抛物线，若不考虑空气阻力，实心球的飞行高度y（单位：米）与飞行的水平距离x（单位：米）之间具有函数关系y＝﹣x2+x+，则小康这次实心球训练的成绩为（）A．14米B．12米C．11米D．10米【变式1-1】（2022秋•西岗区校级期末）小强在一次训练中，掷出的实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系大致满足二次函数，则小强此次成绩为（）A．8米B．9米C．10米D．12米【变式1-2】（2022秋•呈贡区期末）小明在体育训练中掷出的实心球的运动路线呈如图所示的抛物线形，若实心球运动的抛物线的解析式为，其中y是实心球飞行的高度，x是实心球飞行的水平距离，则小明此次掷球的成绩（即OA的长度）是（）A．3m B．5m C．8m D．9m【题型2 运动类（2）最值模型】【典例2】（2022秋•任城区校级期末）飞机着陆后滑行的距离s（米）关于滑行的时间t（秒）的函数解析式是s＝60t﹣1.5t2，则飞机着陆后滑行到停止下来，滑行的距离为（）A．500米B．700米C．600米D．800米【变式2-1】（2023•郸城县一模）某市公园欲修建一个圆型喷泉池，在水池中垂直于地面安装一个柱子OP，安置在柱子顶端P处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，在过OP的任一平面上，建立平面直角坐标系（如图所示），水平距离x（m）与水流喷出的高度y（m）之间的关系式为，则水流喷出的最大高度是（）A．5.5m B．5m C．4.5m D．4m【变式2-2】（2022秋•越秀区校级期末）一种礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）的关系式是h＝﹣t2+8t+2．若这种礼炮在升空到最高点时引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为s．【变式2-3】（2023•丽水）一个球从地面竖直向上弹起时的速度为10米/秒，经过t（秒）时球距离地面的高度h（米）适用公式h＝10t﹣5t2，那么球弹起后又回到地面所花的时间t（秒）是（）A．5B．10C．1D．2【题型3 经济类-二次函数与一次函数初步综合】【典例3】（2023•宝应县二模）某商家经营某种商品，该商品的进价为30元/件，根据市场调查发现，该商品每周的销售量y（单位：件）与销售价x（单位：元/件）（x为正整数）之间的关系绘制成函数图象如图所示．（1）求y与x的函数关系式（不求自变量的取值范围）；（2）若某周该商品的销售量不少于800件，求这周该商家销售这种商品获得的最大利润；（3）规定这种商品的销售价不超过进价的2倍，若商品的进价每件提高m元（m＞0）时，该商家每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大，请求出m的取值范围．【变式3-1】（2023•禹会区模拟）某公司经销一种商品，每千克成本为50元．市场调查发现，在一段时间内，销售量y（千克）随销售价x（元/千克）的变化而变化，具体关系式为y＝﹣2x+240．设这种商品在这段时间内的销售利润为w（元），请解答下列问题：（1）求销售利润w（元）与销售价x（元/千克）之间的关系式．（2）如果物价部门规定这种商品的销售价不得高于90元/千克，该公司想要在这段时间内获得2250元的销售利润，那么应将销售价定为多少？（3）当销售价x取何值时，销售利润w的值最大？最大值为多少？【变式3-2】（2022秋•莱州市期末）望谟火龙果是望谟县的特产之一，为铺开销售渠道，当地政府引导果农进行网络销售．在试销售期间发现，该种火龙果的月销售量y（单位：千克）与销售单价x（单位：元）成一次函数关系，函数图象如图所示，已知该种火龙果的销售成本为5元/千克．（1）求y关于x的函数解析式（不需要写出自变量的取值范围）；（2）求销售该种火龙果每月可获得的最大利润；（3）在销售过程中发现，该种火龙果每千克还需要支付1元的保鲜成本，若月销售量y与销售单价x保持（1）中的函数关系不变，当该种火龙果的月销售利润是105000元时，在最大限度减少库存的条件下，求x的值．【变式3-3】（2023•岳麓区校级二模）从2020年开始，越来越多的商家向线上转型发展，“直播带货”已经成为商家的一种促销的重要手段．某商家在直播间销售一种进价为每件10元的日用商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足y＝﹣10x+400，设销售这种商品每天的利润为W（元）．（1）求W与x之间的函数关系式；（2）该商家每天想获得1250元的利润，又要减少库存，应将销售单价定为多少元？（3）若销售单价不低于28元，且每天至少销售50件时，求W的最大值．【题型4 经济类-二次函数中的“每每问题”】【典例4】（2023•黄石一模）某商品的进价为每件40元，当售价为每件50元时，每个月可卖出210件，如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元），设每件商品的售价上涨x元，每个月的销售量为y件．（1）则y与x的函数关系式为：，自变量x的取值范围是：；（2）每件商品的售价定为多少元时（x为正整数），每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？（3）若在销售过程中每一件商品都有a（a＞0）元的其它费用，商家发现当售价每件不低于58元时，每月的销售利润随x的增大而减小，请直接写出a 的取值范围：．【变式4-1】（2023•坪山区一模）抖音直播购物逐渐走进了人们的生活．为提高我县特产红富士苹果的影响力，某电商在抖音平台上对我县红富士苹果进行直播销售．已知苹果的成本价为6元/千克，如果按10元/千克销售，每天可卖出160千克．通过调查发现，每千克苹果售价增加1元，日销售量减少20千克．（1）为保证每天利润为700元，商家想尽快销售完库存，每千克售价应为多少元？（2）售价为多少元时，每天的销售利润最大，最大是多少？【变式4-2】（2023•宿城区校级开学）某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元，试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．（1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式．（2）若商场要每天获得销售利润2000元，销售单价应定为多少元？（3）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大？最大利润是多少？【变式4-3】（2023•建昌县二模）某纪念品的进价为每件40元，售价为每件50元，每星期可卖出200个．经市场调查发现：以不低于现售价的价格销售该商品，售价每上涨1元，则每星期少卖4个（每件售价不高于68元），设每件商品销售单价为x（元），每星期销售量为y（个）．（1）求y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；（2）将该纪念品的销售单价定为多少元时，每星期销售这种产品获得的利润最大？最大利润是多少元？【变式4-4】（2023•东莞市校级三模）某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天180元时，房间会全部住满．当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．（1）若每个房间的定价为每天200元时，宾馆的利润是多少？（2）房价定为多少时，宾馆利润取得最大值？【题型5 面积类】【典例5】（2023•越秀区校级一模）如图，有长为12m的篱笆，现一面利用墙（墙的最大可用长度a为5m），设花圃的宽AB为xm，面积为Sm2．（1）求S与x的函数关系式及x值的取值范围；（2）要围成面积为9m2的花圃，AB的长是多少米？（3）当AB的长是多少米时，围成的花圃面积最大？【变式5-1】（2023•高明区二模）如图，计划利用长为a米的篱笆，再借助外墙围成一个矩形栅栏．设矩形ABCD的边AB长为x米，面积为y平方米．（1）若a＝80，墙长为50米，求出y与x之间的关系，并指出x的取值范围；（2）在（1）的条件下，矩形ABCD的面积能达到800平方米吗？说明理由；（3）当x与a满足什么关系时，栅栏围出的面积最大？最大值是多少？【变式5-2】（2023•东莞市校级二模）某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为10m），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1：2的矩形，已知栅栏的总长度为24m．（1）若矩形养殖场的总面积为36m2，求BD长度；（2）求矩形养殖场的总面积最大值为多少．【变式5-3】（2023•凉山州模拟）2022年5月，教育部颁布的《义务教育劳动课程标准》中，要求以丰富开放的劳动项目为载体，培养学生正确的劳动价值观和良好的劳动品质．某校为此规划出矩形苗圃ABCD，苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为12米），另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开分成面积相等的两个区域，并在如图所示的两处各留1米宽的门（门不用木栏），修建所用木栏总长28米，设矩形ABCD的一边CD长为x米．（1）矩形ABCD的另一边BC长为米（用含的代数式表示）；（2）若矩形ABCD的面积为63m2，求x的值；（3）当x为何值时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为多少平方米？【题型6 拱桥类】【典例6】（2023•武功县模拟）在跳绳时，绳甩到最高处的形状可近似看作抛物线，如图，已知甲、乙两名学生拿绳的手间距为6米，距地面均为1米，绳的最高点距离地面的高度为4米，以水平地面为x轴，垂直于地面且过绳子最高点的直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图．（1）求抛物线的函数表达式；（2）身高为1.57米的小明此时进入跳绳，他站直时绳子刚好通过他的头顶，小明与甲的水平距离小于小明与乙的水平距离，求小明离甲的水平距离．【变式6-1】（2023•会昌县模拟）卡塔尔世界杯完美落幕．在一场比赛中，球员甲在离对方球门30米处的O点起脚吊射（把球高高地挑过守门员的头顶，射入球门），假如球飞行的路线是一条抛物线，在离球门14米时，足球达到最大高度8米．如图所示，以球员甲所在位置O点为原点，球员甲与对方球门所在直线为x轴，建立平面直角坐标系．（1）求满足条件的抛物线的函数表达式；（2）如果葡萄牙球员C罗站在球员甲前3米处，C罗跳起后最高能达到2.88米，那么C罗能否在空中截住这次吊射？【变式6-2】（2023•仁和区二模）掷实心球是攀枝花市高中阶段学校招生体育考试的必考项目．如图1是一名女生投实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图2所示，掷出时起点处高度为m，当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处．（1）求y关于x的函数表达式；（2）根据攀枝花市高中阶段学校招生体育考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于7.80m，此项考试得分为满分15分．该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由．【变式6-3】（2023•碑林区校级模拟）为培养学生劳动实践能力，某学校在校园内开辟出一块劳动实践基地，搭建了一个横截面为抛物线型的大棚，如图建立平面直角坐标系，使抛物线对称轴为y轴，AB＝6m，CO＝3m．（1）求该抛物线的解析式；（2）大棚的门是一个矩形EFGH，要求点E、F在抛物线上，门的高度FG与宽度EF的比为2：3，那么门的宽度EF应设计成多少米（不考虑材料厚度）？（结果保留根号）1．（2022•新疆）如图，用一段长为16m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形围栏（墙足够长），则这个围栏的最大面积为m2．2．（2022•襄阳）在北京冬奥会自由式滑雪大跳台比赛中，我国选手谷爱凌的精彩表现让人叹为观止，已知谷爱凌从2m高的跳台滑出后的运动路线是一条抛物线，设她与跳台边缘的水平距离为xm，与跳台底部所在水平面的竖直高度为ym，y与x的函数关系式为y＝x2+x+2（0≤x≤20.5），当她与跳台边缘的水平距离为m时，竖直高度达到最大值．3．（2022•黔西南州）如图，是一名男生推铅球时，铅球行进过程中形成的抛物线．按照图中所示的平面直角坐标系，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是y＝﹣x2+x+，则铅球推出的水平距离OA的长是m．4．（2022•聊城）某食品零售店新上架一款冷饮产品，每个成本为8元，在销售过程中，每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的关系如图所示，当10≤x≤20时，其图象是线段AB，则该食品零售店每天销售这款冷饮产品的最大利润为元（利润＝总销售额﹣总成本）．5．（2022•连云港）如图，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线y＝﹣0.2x2+x+2.25运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的高度为3.05m，则他距篮筐中心的水平距离OH是m．6．（2022•威海）某农场要建一个矩形养鸡场，鸡场的一边靠墙，另外三边用木栅栏围成．已知墙长25m，木栅栏长47m，在与墙垂直的一边留出1m宽的出入口（另选材料建出入门）．求鸡场面积的最大值．7．（2022•湘潭）为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校准备在校园里利用围墙（墙长12m）和21m长的篱笆墙，围成Ⅰ、Ⅱ两块矩形劳动实践基地．某数学兴趣小组设计了两种方案（除围墙外，实线部分为篱笆墙，且不浪费篱笆墙），请根据设计方案回答下列问题：（1）方案一：如图①，全部利用围墙的长度，但要在Ⅰ区中留一个宽度AE＝1m的水池，且需保证总种植面积为32m2，试分别确定CG、DG的长；（2）方案二：如图②，使围成的两块矩形总种植面积最大，请问BC应设计为多长？此时最大面积为多少？8．（2023•南充）某工厂计划从A，B两种产品中选择一种生产并销售，每日产销x件．已知A产品成本价m元/件（m为常数，且4≤m≤6，售价8元/件，每日最多产销500件，同时每日共支付专利费30元；B产品成本价12元/件，售价20元/件，每日最多产销300件，同时每日支付专利费y元，y（元）与每日产销x（件）满足关系式y＝80+0.01x2．（1）若产销A，B两种产品的日利润分别为w1元，w2元，请分别写出w1，w2与x的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）分别求出产销A，B两种产品的最大日利润．（A产品的最大日利润用含m的代数式表示）（3）为获得最大日利润，该工厂应该选择产销哪种产品？并说明理由．【利润＝（售价﹣成本）×产销数量﹣专利费】9．（2022•无锡）某水果店出售一种水果，每箱定价58元时，每周可卖出300箱．试销发现：每箱水果每降价1元，每周可多卖出25箱；每涨价1元，每周将少卖出10箱．已知每箱水果的进价为35元，每周每箱水果的平均损耗费为3元．（1）若不进行价格调整，这种水果的每周销售利润为多少元？（2）根据以上信息，你认为应当如何定价才能使这种水果的每周销售利润最多？10．（2022•朝阳）某商店购进了一种消毒用品，进价为每件8元，在销售过程中发现，每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间存在一次函数关系（其中8≤x≤15，且x为整数）．当每件消毒用品售价为9元时，每天的销售量为105件；当每件消毒用品售价为11元时，每天的销售量为95件．（1）求y与x之间的函数关系式．（2）若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的售价为多少元？（3）设该商店销售这种消毒用品每天获利w（元），当每件消毒用品的售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？11．（2022•鄂尔多斯）某超市采购了两批同样的冰墩墩挂件，第一批花了6600元，第二批花了8000元，第一批每个挂件的进价是第二批的1.1倍，且第二批比第一批多购进50个．（1）求第二批每个挂件的进价；（2）两批挂件售完后，该超市以第二批每个挂件的进价又采购一批同样的挂件，经市场调查发现，当售价为每个60元时，每周能卖出40个，若每降价1元，每周多卖10个，由于货源紧缺，每周最多能卖90个，求每个挂件售价定为多少元时，每周可获得最大利润，最大利润是多少？12．（2022•兰州）掷实心球是兰州市高中阶段学校招生体育考试的选考项目．如图1是一名学生投实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图2所示，掷出时起点处高度为m，当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处．（1）求y关于x的函数表达式；（2）根据兰州市高中阶段学校招生体育考试评分标准，投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于6.70m，此项考试得分为满分10分．该生在此项考试中是否得满分，请说明理由．1．（2023•东莞市校级模拟）飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）与滑行的时间t（单位：s）的函数解析式是s＝﹣1.5t2+60t，那么飞机着陆后滑行多长时间才能停下来（）A．10s B．20s C．30s D．40s 2．（2022秋•潼南区期末）小明在体育训练中掷出的实心球的运动路线呈如图所示的抛物线形，若实心球运动的抛物线的表达式为，其中y是实心球飞行的高度，x是实心球飞行的水平距离，则小明此次掷球过程中，实心球的最大高度是（）A．3m B．m C．m D．m 3．（2022秋•牡丹区校级期末）校运动会上，某运动员掷铅球时，他所掷的铅球的高h（m）与水平距离x（m）之间的函数关系满足h＝﹣x2+x+，则该运动员掷铅球的成绩是（）A．6m B．10m C．8m D．12m 4．（2021秋•鄄城县期末）河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数的关系式为y＝﹣x2，当水面离桥拱顶的高度DO是4m时，这时水面宽度AB为（）A．﹣20m B．10m C．20m D．﹣10m 5．（2022秋•红桥区期末）如图，计划用总长为43m的篱笆（图中虚线部分）围成一个矩形鸡舍ABCD，其中一边AB是墙（可利用的墙的长度为21m），中间共留两个1m的小门，设篱笆BC长为xm．（1）AB的长为（m）（用含x的代数式表示）；（2）若矩形鸡舍ABCD的面积为150m2，求篱笆BC的长；（3）求矩形鸡舍ABCD面积的最大值及此时篱笆BC的长．6．（2023•葫芦岛一模）某公司经销一种绿茶，每千克成本为50元，市场调查发现，在一段时间内，销售量y（千克）随销售单价x（元/千克）的变化而变化，具体关系如图所示，设这种绿茶在这段时间内的销售利润为w（元）．解答下列问题：（1）求y与x的函数关系式：（2）如果物价部门规定这种绿茶的销售单价不得高于90元/千克，公司想要在这段时内获得2000元的销售利润，销售单价应定为多少元？（3）求销售单价为多少时销售利润最大？最大为多少元？7．（2023•金乡县三模）直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件，通过市场调查发现，每件小商品售价每降低1元，日销售量增加2件．（1）若日利润保持不变，商家想尽快销售完该商品，每件售价应定为多少元？（2）每件售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？8．（2023•会昌县模拟）卡塔尔世界杯完美落幕．在一场比赛中，球员甲在离对方球门30米处的O点起脚吊射（把球高高地挑过守门员的头顶，射入球门），假如球飞行的路线是一条抛物线，在离球门14米时，足球达到最大高度8米．如图所示，以球员甲所在位置O点为原点，球员甲与对方球门所在直线为x轴，建立平面直角坐标系．（1）求满足条件的抛物线的函数表达式；（2）如果葡萄牙球员C罗站在球员甲前3米处，C罗跳起后最高能达到2.88米，那么C罗能否在空中截住这次吊射？9．（2023•攀枝花模拟）为应对近年冬季出现的寒冷天气，农科所在某蔬菜基地试用新型保温大棚技术．大棚横截面为抛物线型，一端固定在距离地面1m的墙体A处．另一端固定在对面墙体上距离地面2m的B处，现建立平面直角坐标系（如图所示）．已知大棚上某处离地面的高度y（单位：m）与其离墙体OA的水平距离x（单位：m）之间的关系满足：y＝﹣+bx+c，两墙体之间的距离OC＝6m．（1）求y关于x的函数关系式；（2）现打算在大棚顶部最高处安装照明设备，试计算设备安装位置距离地面的高度；（3）为了避免大雪压垮顶棚，现打算加装一根长度为tm的支撑立柱（立柱位于墙体OA和墙体BC之间），立柱距离两边墙体的水平距离不少于2m，直接写出立柱长度t的范围．。
热点05 二次函数的图象及简单应用中考数学中《二次函数的图象及简单应用》部分主要考向分为五类：一、二次函数图象与性质（每年1道，3~4分）二、二次函数图象与系数的关系（每年1题，3~4份）三、二次函数与一元二次方程（每年1~2道，4~8分）四、二次函数的简单应用（每年1题，6~10分）二次函数是初中数学三中函数中知识点和性质最多的一个函数，也是中考数学中的重点和难点，考简答题时经常在二次函数的几何背景下，和其他几何图形一起出成压轴题；也经常出应用题利用二次函数的增减性考察问题的最值。
此外，二次函数的性质、二次函数与系数的关系、二次函数上点的坐标特征也是中考中经常考到的考点，都需要大家准确记忆二次函数的对应考点。
只有熟悉掌握二次函数的一系列考点，才能在遇到对应问题时及时提取有用信息来应对。
考向一：二次函数图象与性质【题型1 二次函数的图象与性质】满分技巧1. 对于二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象：形状：抛物线； 对称轴：直线ab x 2-=；顶点坐标：)442(2a b ac a b --，； 2、抛物线的增减性问题，由a 的正负和对称轴同时确定，单一的直接说y 随x 的增大而增大（或减小）是不对的，必须在确定a 的正负后，附加一定的自变量x 取值范围；3、当a＞0，抛物线开口向上，函数有最小值；当a＜0，抛物线开口向下，函数有最大值；而函数的最值都是定点坐标的纵坐标。
1．（2023•沈阳）二次函数y＝﹣（x+1）2+2图象的顶点所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（2023•兰州）已知二次函数y＝﹣3（x﹣2）2﹣3，下列说法正确的是（）A．对称轴为直线x＝﹣2B．顶点坐标为（2，3）C．函数的最大值是﹣3D．函数的最小值是﹣33．（2023•陕西）在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+mx+m2﹣m（m为常数）的图象经过点（0，6），其对称轴在y轴左侧，则该二次函数有（）A．最大值5B．最大值C．最小值5D．最小值【题型2 二次函数图象上点的坐标特征】满分技巧牢记一句话，“点在图象上，点的坐标符合其对应解析式”，然后，和哪个几何图形结合，多想与之结合的几何图形的性质1．（2023•广东）如图，抛物线y＝ax2+c经过正方形OABC的三个顶点A，B，C，点B在y轴上，则ac的值为（）A．﹣1B．﹣2C．﹣3D．﹣42．若点P（m，n）在抛物线y＝ax2（a≠0）上，则下列各点在抛物线y＝a（x+1）2上的是（）A．（m，n+1）B．（m+1，n）C．（m，n﹣1）D．（m﹣1，n）3．（2023•十堰）已知点A（x1，y1）在直线y＝3x+19上，点B（x2，y2），C（x3，y3）在抛物线y＝x2+4x ﹣1上，若y1＝y2＝y3，x1＜x2＜x3，则x1+x2+x3的取值范围是（）A．﹣12＜x1+x2+x3＜﹣9B．﹣8＜x1+x2+x3＜﹣6C．﹣9＜x1+x2+x3＜0D．﹣6＜x1+x2+x3＜1【题型3 二次函数图象与几何变换】满分技巧1、二次函数的几何变化，多考察其平移规律，对应方法是：①将一般式转化为顶点式；②根据口诀“左加右减，上加下减”去变化。
二次函数的性质及应用二次函数是一类形式为y = ax² + bx + c（a ≠ 0）的函数，它在数学中具有重要的性质和广泛的应用。
本文将介绍二次函数的性质以及它在实际问题中的应用。
一、二次函数的性质1. 函数图像二次函数的图像通常为抛物线，具体的形状取决于a的正负和大小：- 当a > 0时，图像开口向上，形状类似于“U”字型；- 当a < 0时，图像开口向下，形状类似于倒置的“U”字型。
2. 对称性二次函数关于其顶点具有对称性。
设二次函数的顶点坐标为(h, k)，则函数图像关于直线x = h对称。
3. 零点与判别式二次函数的零点即为方程ax² + bx + c = 0的解。
一元二次方程的判别式Δ = b² - 4ac可以判断二次函数的零点情况：- 当Δ > 0时，方程有两个不相等的实根，函数图像与x轴有两个交点；- 当Δ = 0时，方程有两个相等的实根，函数图像与x轴有一个切点；- 当Δ < 0时，方程无实根，函数图像与x轴无交点。
4. 极值点二次函数在最高点（开口向下）或最低点（开口向上）取得极值。
当二次函数开口向上时，极小值等于函数的最低点y = k；当二次函数开口向下时，极大值等于函数的最高点y = k。
二、二次函数的应用1. 物理学应用二次函数在物理学中有广泛的应用，例如抛物线运动。
抛物线运动可以用二次函数的形式进行建模，通过分析和解决相关的二次函数问题，可以求得抛物线物体的最高点、运动轨迹等信息。
2. 经济学应用经济学中的一些问题也可以通过二次函数来描述和解决。
比如，成本函数和利润函数常常使用二次函数来表示，通过求解这些二次函数的极值点，可以确定最低成本、最大利润等关键数据。
3. 工程学应用工程学中的一些问题也可以用二次函数进行建模。
比如，在建筑设计中，可以用二次函数来描述一个拱形或穹顶的形状；在电子工程中可以通过二次函数来描述某些电子元件的特性和响应等等。
高中数学中的二次函数的应用二次函数是高中数学中的一个重要内容，也是学生们常见的函数类型之一。
它具有广泛的应用，涉及到物理、经济、工程等多个领域。
本文将探讨二次函数在实际问题中的应用，并探讨一些具体的例子。
1. 跳跃问题在物理学中，经常涉及到跳跃问题，例如抛射物体的运动轨迹、跳伞运动员的下降速度等。
这些问题可以用二次函数进行建模和分析。
以抛射物体的运动轨迹为例，假设一个抛射物体的竖直运动满足二次函数的形式，可以使用以下公式来表示：h(t) = -gt^2 + vt + h0其中，h(t)表示抛射物体距离地面的高度，t表示时间，g表示重力加速度，v表示抛射速度，h0表示抛射体的初始高度。
通过解析这个二次方程，我们可以得到抛射物体的最高点、飞行时间以及落地点等信息。
2. 经济问题在经济学中，二次函数可以用来描述成本、利润和收益等与产量或销售量相关的问题。
以成本函数为例，假设某产品的生产成本与产量x 之间存在二次函数的关系，可以使用以下公式来表示：C(x) = ax^2 + bx + c其中，C(x)表示生产成本，x表示产量，a、b、c为常数。
通过研究这个二次函数，我们可以找到使成本最小化的产量，并为生产决策提供依据。
3. 工程问题在工程领域中，二次函数的应用非常广泛。
例如，在桥梁工程中，可以用二次函数模型来构建桥梁的拱形结构，以提高桥梁的稳定性和承重能力。
此外，在建筑工程中，可以利用二次函数的对称性来设计拱形的建筑结构，提供美观和稳定性。
4. 射击问题在射击运动中，二次函数可以用来描述子弹的飞行轨迹和击中目标的位置。
假设子弹的飞行距离与发射角度和初速度有关，可以使用以下公式来建模：y(x) = a(x - h)^2 + k其中，y(x)表示子弹的高度，x表示水平位置，a为常数，(h, k)表示顶点的坐标。
通过解析这个二次方程，我们可以预测子弹击中目标的位置，并进行射击训练。
总结起来，二次函数在高中数学中的应用非常广泛，涉及到物理、经济、工程等多个领域。
专题18二次函数的应用题型知识归纳二次函数的应用题型主要包含求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等。
解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式。
本专题主要对二次函数的应用题型进行总结，对其解法进行归纳总结，所选题型为近几年期末考试中的常考题型。
知识点梳理利用二次函数解决实际问题利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义.利用二次函数解决实际问题的一般步骤是：(1)建立适当的平面直角坐标系；(2)把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来；(3)用待定系数法求出抛物线的关系式；(4)利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题.常考题型专练一、填空题1．为了在校运会中取得更好的成绩，小丁积极训练，在某次试投中铅球所经过的路线是如图所示的抛物线的一部分．已知铅球出手处A 距离地面的高度是1.68米，当铅球运行的水平距离为2米时，达到最大高度2米的B 处，则小丁此次投掷的成绩是米．2．某学生在一平地上推铅球，铅球出手时离地面的高度为米，出手后铅球在空中运动的高度y （米）与水平距离x （米）之间的函数关系式为y ＝﹣x 2+bx +c ，当铅球运行至与出手高度相等时，与出手点水平距离为8米，则该学生推铅球的成绩为米．3.某商店销售一种销售成本为40元/50元/千克销售，一个月可售出500千克，销售价每涨价1元，月销售量就减少10千克，则月销售利润y （单位：元）与售价x （单位：元/千克）之间的函数解析式为.4．某厂有一种产品现在的年产量是2万件，计划今后两年增加产量，如果每年都比上一年的产量增加x 倍，那么两年后这种产品的产量y （万件）将随计划所定的x 的值而确定，那么y 与x 之间的关系式应表示为________．5.如图，以地面为x 轴，一名男生推铅球，铅球行进高度y （单位：米）与水平距离x （单位：米）之间的关系是21251233y x x =-++．则他将铅球推出的距离是米．二、解答题1.一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．(1)若降价3元，则平均每天销售数量为件：(2)当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润最大？2.某山区不仅有美丽风光，也有许多令人喜爱的土特产，为实现脱贫奔小康，某村组织村民加工包装土特产销售给游客，以增加村民收入，试销的30天中，该村第一天卖出土特产42千克，为了扩大销量，采取了降价措施，以后每天比前一天多卖出6千克，第x天的售价为y元/千克，y关于x的函数解析式为y＝()()821202030mx m xn x⎧-≤<⎪⎨≤≤⎪⎩，x为正整数，且第14天的售价为34元/千克，第27天的售价为27元/千克．已知土特产的成本是21元/千克，每天的利润是W．（1）m＝，n＝；（2）求每天的利润W元与销售的天数x（天）之间的函数关系式；（3）在销售土特产的30天中，当天利润不低于1224元的共有多少天？3.2022年北京冬奥会即将召开，激起了人们对冰雪运动的极大热情．如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x 轴，过跳台终点A 作水平线的垂线为y 轴，建立平面直角坐标系．图中的抛物线2117C :1126y x x =-++近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点O 正上方4米处的A 点滑出，滑出后沿一段抛物线221:8C y x bx c =-++运动．（1）当运动员运动到离A 处的水平距离为4米时，离水平线的高度为8米，求抛物线2C 的函数解析式（不要求写出自变量x 的取值范围）；（2）在（1）的条件下，当运动员运动水平线的水平距离为多少米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米？（3）当运动员运动到坡顶正上方，且与坡顶距离超过3米时，求b 的取值范围．4．如图所示，某河面上有一座抛物线形拱桥，桥下水面在正常水位AB时，宽为20m，若水位上升3m，水面就会达到警戒线CD，这时水面宽为10m．（1）建立适当的平面直角坐标系并求出抛物线的解析式；（2）若洪水到来时，水位以每小时0.2m的速度上升，从警戒线开始，再持续多少小时就能到达拱桥的拱顶？5．某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量m（件）与每件的销售价x（元）满足一次函数关系m＝162﹣3x．（1）请写出商场卖这种商品每天的销售利润y（元）与每件销售价x（元）之间的函数关系式．（2）商场每天销售这种商品的销售利润能否达到500元？如果能，求出此时的销售价格；如果不能，说明理由．6.小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头P距地面0.7m，水柱在距喷水头P水平距离5m处达到最高，最高点距地面3.2m；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为()2=-+，其中x（m）是水柱距喷水头的水平距离，y（m）是水柱距地面的高度．y a x h k(1)求抛物线的表达式．(2)爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m，身高1.6m的小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离．7．某地实施产业扶贫种植某种水果，其成本经过测算为20元/千克，投放市场后，经过市场调研发现，这种水p（元/千克）与时间t（天）之间的函数图象如图，且其日销售量y（千克）与时间t（天）的关系是：y＝﹣2t+160．（0≤t＜80，且t为整数）（1）试求销售单价p（元/千克）与时间t（天）之间的函数表达式；（2）哪一天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？。
二次函数及其应用二次函数是高中数学中非常重要的一个内容。
它是一种二次方程的图像表现形式，拥有许多优秀的数学性质和广泛的应用领域。
本文将从定义、性质和应用三个方面介绍二次函数的相关内容。
1. 定义和基本性质二次函数是指形如$f(x) = ax^2 + bx + c$的函数，其中$a \neq 0$。
它是二次方程$ax^2 + bx + c = 0$的图像表示，而二次方程则是解决许多实际问题的重要工具。
对于二次函数，我们可以通过下列方式来研究它的性质。
1.1 斜率二次函数的斜率是它在任意一点处的切线的斜率。
我们可以通过求导来得到它的斜率公式：$$f'(x) = 2ax + b$$通过这个公式，我们可以得到二次函数在$x$处的切线斜率为$2ax + b$。
在二次函数的图像上，随着$x$的增加，我们可以看到切线的斜率逐渐变大或变小，这样的变化和二次函数的开口方向有关。
1.2 零点二次函数的零点是指它的函数值为$0$的$x$值。
通过求解二次方程$ax^2 + bx + c = 0$，我们可以得到二次函数的零点公式：$$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$这个公式中的$\sqrt{b^2 - 4ac}$称为判别式。
当判别式大于$0$时，二次函数有两个不同的实数根；当判别式等于$0$时，二次函数有一个重根；当判别式小于$0$时，二次函数没有实数根，但有两个共轭复数根。
1.3 对称轴二次函数的对称轴是指将它分成两半后，两半部分关于某一直线对称。
我们可以通过二次函数的顶点和斜率公式来确定它的对称轴：$$x = -\frac{b}{2a}$$这个公式中的$-\frac{b}{2a}$就是二次函数的顶点坐标。
1.4 函数值二次函数的函数值可以通过求解$x$来得到。
对于任意一个$x$，我们可以通过将它代入二次函数公式中来得到它的函数值，例如：$$f(2) = 4a + 2b + c$$2. 应用二次函数是许多实际问题的重要数学工具。
二次函数在生活中的应用
二次函数是一种常见的数学函数，它在我们的生活和工作中有许多应用。
以下是二次函数在生活中的几个应用：
1. 抛物线运动
当一个物体以一定的初速度开始运动，并且受到重力的影响而向下运动时，它的运动轨迹就是一条抛物线。
这个运动过程可以用二次函数来描述。
例如，当你抛出一颗球时，它的高度会随着时间的推移而不断降低，形成一条抛物线。
2. 建筑设计
在建筑设计中，二次函数可以用来描述建筑物的结构和形状。
例如，在建造一座拱形桥时，设计师需要使用二次函数来确定桥的最高点和曲线的形状。
3. 经济学
在经济学中，二次函数可以用来描述成本和收益之间的关系。
例如，当一家企业决定生产某种产品时，它需要考虑生产成本和销售收益之间的平衡点，这个平衡点可以用二次函数来计算。
4. 电子技术
在电子技术中，二次函数可以用来描述电路中的电压和电流之间的关系。
例如，在设计一条放大电路时，工程师需要使用二次函数来确定电路的增益和频率响应。
总之，二次函数在我们的生活和工作中有许多应用，这些应用涉及到不同的领域，包括物理学、工程学、经济学和电子技术等。
熟练
掌握二次函数的概念和应用可以帮助我们更好地理解和解决实际问题。
二次函数的实际应用六大压轴题型归纳总结【题型1 利用二次函数解决几何图形问题】【例1】（2020春•萧山区月考）如图窗户边框的上部分是由4个全等扇形组成的半圆，下部分是矩形，现在制作一个窗户边框的材料总长度为6米．（π取3）（1）若设扇形半径为x，请用含x的代数式表示出AB．并求出x的取值范围．（2）当x为何值时，窗户透光面积最大，最大面积为多少？（窗框厚度不予考虑）【解题思路】（1）根据2AB+7半径+弧长＝6列出代数式即可；（2）设面积为S，列出关于x的二次函数求得最大值即可．【解答过程】解：（1）根据题意得：2AB+7x+πx＝2AB+10x＝6，整理得：AB＝3﹣5x；根据3﹣5x＞0，所以x的取值范围是：0＜x＜3 5；（2）设面积为S，则S＝2x（3﹣5x）+32x2=−172x2+6x=−172（x−617）2+1817，当x=617时，S最大=1817．【变式1-1】（2020•安徽模拟）如图，某住宅小区有一块矩形场地ABCD，AB＝16m，BC＝12m，开发商准备对这块地进行绿化，分别设计了①②③④⑤五块地，其中①③两块形状大小相同的正方形地用来种花，②④两块形状大小相同的矩形地用来种植草坪，⑤为矩形地用来养殖观赏鱼．（1）设矩形观赏鱼用地LJHF的面积为ym2，AG长为xm，求y与x之间的函数关系式；（2）求矩形观赏鱼用地LJHF面积的最大值．【解题思路】（1）根据矩形的性质得到CD＝AB＝16，AD＝BC＝12，根据正方形AEFG和正方形JKCI 形状大小相同，矩形GHID和矩形EBKL形状大小相同，得到DG＝12﹣x，FL＝x﹣（12﹣x）＝2x﹣12，BE＝16﹣x，LI＝（16﹣x）﹣x＝16﹣2x，根据矩形的面积公式即可得到结论；（2）根据二次函数的性质即可得到结论．【解答过程】解：（1）在矩形ABCD中，CD＝AB＝16，AD＝BC＝12，∵正方形AEFG和正方形JKCI形状大小相同，矩形GHID和矩形EBKL形状形状大小相同，AG＝x，∴DG＝12﹣x，FL＝x﹣（12﹣x）＝2x﹣12，BE＝16﹣x，LI＝（16﹣x）﹣x＝16﹣2x，∵S矩形LJHF＝FL•LJ，∴y＝（2x﹣12）（16﹣2x）＝﹣4x2+56x﹣192；（2）由（1）得，y＝﹣4x2+56x﹣192＝﹣4（x﹣7）2+4，∵FL＝2x﹣12＞0，LJ＝16﹣2x＞0，∴6＜x＜8，∵a＝﹣4＜0，∴当x＝7时，y的最大值＝4；故矩形观赏鱼用地LJHF面积的最大值为4m2．【变式1-2】（2020•富顺县三模）在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB＝xm，花园的面积为Sm2．（1）若花园的面积为192m2，求x的值；（2）写出花园面积S与x的函数关系式．x为何值时，花园面积S有最大值？最大值为多少？（3）若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是a（14≤a≤22）和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），设花园面积S的最大值为y，直接写出y与a的关系式．【解题思路】（1）根据题意得出长×宽＝192，进而得出答案；（2）由题意可得出：S＝x（28﹣x）＝﹣x2+28x＝﹣（x﹣14）2+196，再利用二次函数增减性求得最值；（3）根据题意确定x的取值范围，利用二次函数增减性计算即可．【解答过程】解：（1）依题意得S＝x（28﹣x），当S＝192时，有S＝x（28﹣x）＝192，即x2﹣28x+192＝0，解得：x1＝12，x2＝16，答：花园的面积为192m2，x的值为12m或16m；（2）由题意可得出：S＝x（28﹣x）＝﹣x2+28x＝﹣（x﹣14）2+196，答：x为14m时，花园面积S有最大值，最大值为196m2；（3）依题意得：{28−x≥ax≥6，解得：6≤x≤28﹣a，S＝x（28﹣x）＝﹣x2+28x＝﹣（x﹣14）2+196，∵a＝﹣1＜0，当x≤14，y随x的增大而增大，又6≤x≤28﹣a，∴当x＝28﹣a时，函数有最大值，是y＝﹣（28﹣a﹣14）2+196＝﹣（14﹣a）2+196．【变式1-3】（2020•温州模拟）某植物园有一块足够大的空地，其中有一堵长为a米的墙，现准备用20米的篱笆围两间矩形花圃，中间用篱笆隔开．小俊设计了如图甲和乙的两种方案： 方案甲中AD 的长不超过墙长；方案乙中AD 的长大于墙长． （1）若a ＝6．①按图甲的方案，要围成面积为25平方米的花圃，则AD 的长是多少米？ ②按图乙的方案，能围成的矩形花圃的最大面积是多少？（2）若0＜a ＜6.5，哪种方案能围成面积最大的矩形花圃？请说明理由．【解题思路】（1）①设AB 的长是x 米，根据矩形的面积公式列出方程； ②列出面积关于x 的函数关系式，再根据函数的性质解答；（2）设AB ＝x ，能围成的矩形花圃的面积为S ，根据题意列出S 关于x 的函数关系，再通过求最值方法解答．【解答过程】解：（1）①设AB 的长是x 米，则AD ＝20﹣3x ， 根据题意得，x （20﹣3x ）＝25， 解得：x 1＝5，x 2=53， 当x =53时，AD ＝15＞6， ∴x ＝5， ∴AD ＝5，答：AD 的长是5米；②设BC 的长是x 米，矩形花圃的最大面积是y 平方米，则AB =13[20﹣x ﹣（x ﹣6）]=263−23x ， 根据题意得，y ＝x （263−23x ）=−23x 2+263x =−23(x −132)2+1696（x ＞6）， ∴当x =132时，y 有最大值为1696．答：按图乙的方案，能围成的矩形花圃的最大面积是1696平方米；（2）设BC ＝x ，能围成的矩形花圃的面积为S ，按图甲的方案，S ＝x ×20−x 3=−13x 2+203x =−13(x −10)2+1003， ∴在x ＝a ＜10时，S 的值随x 的增大而增大，∴当x ＝a 的最大值n 时，S 的值最大，为S =−13(n −10)2+1003；按图乙方案，S =13[20﹣x ﹣（x ﹣a ）]x =−23(x −a+204)2+(a+20)224，∴当x =a+204时，S 的值最大为S =(a+20)224，此时a 取最大值n 时，S 的值最大为S =(n+20)224； ∵(n+20)224−[−13（n ﹣10）2+1003]=9n 2−120n+40024＞0， ∴(n+20)224＞−13(n −10)2+1003，故第二种方案能围成面积最大的矩形花圃．【题型2 利用二次函数解决销售利润问题】【例2】2020年1月，全国爆发新型冠状病毒肺炎，2月某工厂购进某防护材料若干千克，成本为每千克30元，物价部门规定其销售单价不低于成本价但不高于成本价2倍，经试销，销售量y （千克）与销售单价x （元）的关系如图所示．（1）求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（2）若在销售过程中每天还要支付其他费用450元，当销售单价为多少元时，当天该工厂日利润最大，最大日利润为多少元？【解题思路】（1）直接利用待定系数法求出一次函数关系式；（2）利用销量×每件利润＝总利润，进而结合二次函数增减性得出答案． 【解答过程】解：（1）设y 与x 的函数关系式为：y ＝kx +b （k ≠0），根据图象可得方程组{30k +b =14050k +b =100，解得：{k =−2b =200，∴y 与x 的函数关系式为：y ＝﹣2x +200，x 的取值范围是：30≤x ≤60； （2）设日利润为w ，则可以列出函数关系式为： w ＝（﹣2x +200）（x ﹣30）﹣450 ＝﹣2x 2+260x ﹣6450， 当x =−b2a=65， 又∵30≤x ≤60，∴当x ＝60时，w 取得最大值，w ＝1950，答：当销售单价为60元时，当天该工厂日利润最大，最大日利润为1950元．【变式2-1】某公司推出一款产品，经市场调查发现，该产品的日销售量y （个）与销售单价x （元）之间满足一次函数关系关于销售单价，日销售量，日销售利润的几组对应值如表： 销售单价x （元） 85 95 105 115 日销售量y （个） 175 125 75 m 日销售利润w （元）87518751875875（注：日销售利润＝日销售量×（销售单价﹣成本单价））（1）求y 关于x 的函数解析式（不要求写出x 的取值范围）及m 的值； （2）根据以上信息，填空：该产品的成本单价是 元，当销售单价x ＝ 元时，日销售利润w 最大，最大值是 元； （3）公司计划开展科技创新，以降低该产品的成本，预计在今后的销售中，日销售量与销售单价仍存在（1）中的关系．若想实现销售单价为90元时，日销售利润不低于3750元的销售目标，该产品的成本单价应不超过多少元？【解题思路】（1）根据题意和表格中的数据可以求得y 关于x 的函数解析式； （2）根据题意可以列出相应的方程，从而可以求得生产成本和w 的最大值； （3）根据题意可以列出相应的不等式，从而可以取得科技创新后的成本． 【解答过程】解；（1）设y 关于x 的函数解析式为y ＝kx +b ， {85k +b =17595k +b =125，得{k =−5b =600，即y关于x的函数解析式是y＝﹣5x+600，当x＝115时，y＝﹣5×115+600＝25，即m的值是25；（2）设成本为a元/个，当x＝85时，875＝175×（85﹣a），得a＝80，w＝（﹣5x+600）（x﹣80）＝﹣5x2+1000x﹣48000＝﹣5（x﹣100）2+2000，∴当x＝100时，w取得最大值，此时w＝2000，故答案为：80，100，2000；（3）设科技创新后成本为b元，当x＝90时，（﹣5×90+600）（90﹣b）≥3750，解得，b≤65，答：该产品的成本单价应不超过65元．【变式2-2】（2020•安徽二模）某市在党中央实施“精准扶贫”政策的号召下，大力开展科技扶贫工作，帮助农民组建农副产品销售公司，某农副产品的年产量不超过100万件，该产品的生产费用y（万元）与年产量x（万件）之间的函数图象是顶点为原点的抛物线的一部分（如图①所示）；该产品的销售单价z（元/件）与年销售量x（万件）之间的函数图象是如图②所示的一条线段，生产出的产品都能在当年销售完，达到产销平衡，所获毛利润为w万元．（毛利润＝销售额﹣生产费用）（1）请直接写出y与x以及z与x之间的函数关系式；（2）求w与x之间的函数关系式；并求年产量多少万件时，所获毛利润最大？最大毛利润是多少？（3）由于受资金的影响，今年投入生产的费用不会超过360万元，今年最多可获得多少万元的毛利润？【解题思路】（1）利用待定系数法可求出y与x以及z与x之间的函数关系式；（2）根据（1）的表达式及毛利润＝销售额﹣生产费用，可得出w与x之间的函数关系式，再利用配方法求函数最值即可；（3）首先求出x的取值范围，再利用二次函数增减性得出答案即可．【解答过程】解：（1）图①可得函数经过点（100，1000），设抛物线的解析式为y＝ax2（a≠0），将点（100，1000）代入得：1000＝10000a，解得：a=1 10，故y与x之间的关系式为y=110x2．图②可得：函数经过点（0，30）、（100，20），设z＝kx+b，则{100k+b=20 b=30，解得：{k=−110 b=30，故z与x之间的关系式为z=−110x+30；（2）W＝zx﹣y=−110x2+30x−110x2=−15x2+30x=−15（x2﹣150x）=−15（x﹣75）2+1125，∵−15＜0，∴当x＝75时，W有最大值1125，∴年产量为75万件时毛利润最大，最大毛利润为1125万元；（3）令y＝360，得110x2＝360，解得：x＝±60（负值舍去），由图象可知，当0＜y≤360时，0＜x≤60，由W=−15（x﹣75）2+1125的性质可知，当0＜x≤60时，W随x的增大而增大，故当x＝60时，W有最大值1080，答：今年最多可获得毛利润1080万元．【变式2-3】（2020•邢台二模）一家经营打印耗材的门店经销各种打印耗材，其中某一品牌硒鼓的进价为a 元/个，售价为x元/个（a≤x≤48）．下面是门店在销售一段时间后销售情况的反馈：①若每个硒鼓按定价30元的8折出售，可获20%的利润；②如果硒鼓按30元/个的价格出售，每月可售出500个，在此基础上，售价每增加5元，月销售量就减少50个．（1）求a的值，并写出该品牌硒鼓每月的销售量y（个）与售价x（元/个）之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；（2）求该耗材店销售这种硒鼓每月获得的利润W（元）与售价x（元/个）之间的函数关系式，并求每月获得的最大利润；（3）在新冠肺炎流行期间，这种硒鼓的进价降低为n元/个，售价为x元/个（n≤x≤48）．耗材店在2月份仍然按照销售量与售价关系不变的方式销售，并决定将当月销售这种硒鼓获得的利润全部捐赠给火神山医院，支援武汉抗击新冠肺炎．若要使这个月销售这种硒鼓获得的利润G（元）随售价x（元/个）的增大而增大，请直接写出n的取值范围．【解题思路】（1）根据实际售价﹣进价＝进价×利润率建立关于a的方程，解之可得a的值；用原销售量﹣因价格上涨而减少的销售量可得答案．（2）根据“总利润＝每个硒鼓利润×销售量”列出关于x的函数，配方成顶点式，再利用二次函数的性质求解可得；（3）根据以上相等关系，并结合新进价列出关于x的二次函数，找到其对称轴，利用二次函数的增减性求解可得．【解答过程】解：（1）30×0.8﹣a＝20%a，解得a＝20．y＝500﹣10（x﹣30），即y＝﹣10x+800（20≤x≤48）．（2）根据题意，得W＝（x﹣20）（﹣10x+800）＝﹣10（x﹣50）2+9000．∵﹣10＜0，销售单价不能超过48元/个，即当20≤x≤48时，W随x的增大而增大，∴当x＝48时，W有最大值，最大值为8960．答：当售价为48元/个时，每月获得的利润最大，最大利润为8960元．（3）根据题意，得G＝（x﹣n）（﹣10x+800）＝﹣10x2+（800+10n）x﹣800n，对称轴x=80+n 2．∵a＝﹣10＜0，∵当n ≤x ≤48时，该商品利润G 随x 的增大而增大， ∴80+n 2≥48，解得n ≥16． ∵进价是降低的，∴n 的取值范围是16≤n ＜20．【题型3 利用二次函数解决抛物线形轨迹问题】【例3】（2020秋•渑池县期末）如图，小明在一次高尔夫球争霸赛中，从山坡下O 点打出一球向球洞A 点飞去，球的路线为抛物线，如果不考虑空气阻力，当球移动的水平距离为9米时，球达到最大高度12米．已知山坡OA 与水平方向OC 的夹角为30o ，O 、A 两点相距8√3米． （1）求出球的飞行路线所在抛物线的解析式；（2）判断小明这一杆能否把高尔夫球从O 点直接打入球洞A 点，并说明理由．【解题思路】（1）分析题意可知，抛物线的顶点坐标为（9，12），经过原点（0，0），设顶点式可求抛物线的解析式；（2）OA 与水平方向OC 的夹角为30°，OA ＝8√3米，解直角三角形可求点A 的坐标，把点A 的横坐标x ＝12代入抛物线解析式，看函数值与点A 的纵坐标是否相符． 【解答过程】解：（1）∵顶点B 的坐标是（9，12）， ∴设抛物线的解析式为y ＝a （x ﹣9）2+12， ∵点O 的坐标是（0，0）∴把点O 的坐标代入得：0＝a （0﹣9）2+12， 解得a =−427，∴抛物线的解析式为y =−427（x ﹣9）2+12 即y =−427x 2+83x ；（2）在Rt△AOC中，∵∠AOC＝30°，OA＝8√3，∴AC＝OA•sin30°＝8√3×12=4√3，OC＝OA•cos30°＝8√3×√32=12．∴点A的坐标为（12，4√3），∵当x＝12时，y=323≠4√3，∴小明这一杆不能把高尔夫球从O点直接打入球洞A点．【变式3-1】如图，运动员甲在距篮下4m处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5m 时，达到最大高度3.5米，然后准确落入篮圈．已知篮圈中心到地面的距离为3.05米．（1）建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的解析式．（2）该运动员身高1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？（3）运动员乙跳离地面时，最高能摸到3.3m，问：在（2）的条件下，运动员乙在运动员甲与篮板之间的什么范围内能在空中截住球？【解题思路】（1）设抛物线的表达式为y＝ax2+3.5，依题意可知图象经过的坐标，由此可得a的值．（2）设球出手时，他跳离地面的高度为hm，则可得h+2.05＝﹣0.2×（﹣2.5）2+3.5．（3）当y＝3.3m，进而代入函数解析式，求出x的值，即可得出答案．【解答过程】解：（1）∵当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，∴抛物线的顶点坐标为（0，3.5），∴设抛物线的表达式为y＝ax2+3.5．由图知图象过以下点：（1.5，3.05）．∴2.25a+3.5＝3.05，解得：a＝﹣0.2，∴抛物线的表达式为y＝﹣0.2x2+3.5．（2）设球出手时，他跳离地面的高度为hm，因为（1）中求得y＝﹣0.2x2+3.5，则球出手时，球的高度为h+1.8+0.25＝（h+2.05）m，∴h+2.05＝﹣0.2×（﹣2.5）2+3.5，∴h＝0.2（m）．答：球出手时，他跳离地面的高度为0.2m．（3）由题意可得出：y＝3.3，则3.3＝﹣0.2x2+3.5解得：x1＝1，x2＝﹣1，∴2.5﹣1＝1.5（m），1.5﹣1＝0.5（m）∴乙在距离甲1.5米以内或离篮板0.5米以内能在空中截住球．【变式3-2】（2021•嘉善县一模）已知，足球球门高2.44米，宽7.32米（如图1）在射门训练中，一球员接传球后射门，击球点A距离地面0.4米，即AB＝0.4米，球的运动路线是抛物线的一部分，当球的水平移动距离BC为6米时，球恰好到达最高点D，即CD＝4.4米．以直线BC为x轴，以直线AB为y轴建立平面直角坐标系（如图2）．（1）求该抛物线的表达式；（2）若足球恰好击中球门横梁，求该足球运动的水平距离；（3）若要使球直接落在球门内，则该球员应后退m米后接球射门，击球点为A'（如图3），请直接写出m的取值范围．【解题思路】（1）根据条件可以得到抛物线的顶点坐标是（6，4.4），利用待定系数法即可求得函数的解析式；（2）求出当y＝2.44时，x的值，取正；（3）先求出y＝0时，x的值，取正，减去恰好击中球门横梁时，足球的水平距离．【解答过程】解：（1）抛物线的顶点坐标是（6，4.4），设抛物线的解析式是：y＝a（x﹣6）2+4.4，把（0，0.4）代入得36a+4.4＝0.4，解得a=−1 9，则抛物线是y=−19（x﹣6）2+4.4；（2）∵球门高为2.44米，即y＝2.44，则有2.44=−19（x﹣6）2+4.4，解得：x1＝10.2，x2＝1.8，从题干图2中，发现球门在CD右边，∴x＝10.2，即足球运动的水平距离是10.2米；（3）不后退时，刚好击中横梁，∴往后退，则球可以进入球门，而当球落地时，球刚好在门口，是一个临界值，当y＝0时，有0=−19（x﹣6）2+4.4，解得：x1＝6+35√110，x2＝6−35√110，取正值，x＝6+35√110，∴后退的距离需小于6+35√110−10.2＝（35√110−4.2）米故0＜m＜35√110−4.2．【变式3-3】（2020•绍兴）如图1，排球场长为18m，宽为9m，网高为2.24m，队员站在底线O点处发球，球从点O的正上方1.9m的C点发出，运动路线是抛物线的一部分，当球运动到最高点A时，高度为2.88m，即BA＝2.88m，这时水平距离OB＝7m，以直线OB为x轴，直线OC为y轴，建立平面直角坐标系，如图2．（1）若球向正前方运动（即x轴垂直于底线），求球运动的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系式（不必写出x取值范围）．并判断这次发球能否过网？是否出界？说明理由．（2）若球过网后的落点是对方场地①号位内的点P（如图1，点P距底线1m，边线0.5m），问发球点O在底线上的哪个位置？（参考数据：√2取1.4）【解题思路】（1）求出抛物线表达式；再确定x＝9和x＝18时，对应函数的值即可求解；（2）当y＝0时，y=−150（x﹣7）2+2.88＝0，解得：x＝19或﹣5（舍去﹣5），求出PQ＝6√2=8.4，即可求解．【解答过程】解：（1）设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣7）2+2.88，将x＝0，y＝1.9代入上式并解得：a=−1 50，故抛物线的表达式为：y=−150（x﹣7）2+2.88；当x＝9时，y=−150（x﹣7）2+2.88＝2.8＞2.24，当x＝18时，y=−150（x﹣7）2+2.88＝0.46＞0，故这次发球过网，但是出界了；（2）如图，分别过点O，P作边线的平行线交于点Q，在Rt△OPQ中，OQ＝18﹣1＝17，当y＝0时，−150（x﹣7）2+2.88＝0，解得：x＝19或﹣5（舍去﹣5），∴OP＝19，而OQ＝17，故PQ＝6√2=8.4，∵9﹣8.4﹣0.5＝0.1，∴发球点O在底线上且距右边线0.1米处．【题型4 利用二次函数解决车过隧道问题】【例4】（2020秋•海淀区校级月考）小宇遇到了这样一个问题：如图是一个单向隧道的断面，隧道顶MCN是一条抛物线的一部分，经测量，隧道顶的跨度MN为4m，最高处到地面的距离CO为4m，两侧墙高AM和BN均为3m，今有宽2.4m的卡车在隧道中间行驶，如果卡车载物后的最高点E到隧道顶面对应的点D的距离应不小于0.6m，那么卡车载物后的限高应是多少米？（精确到0.1m）为解决这个问题，小宇以AB中点O为原点，建立了如图所示的平面直角坐标系，根据上述信息，设抛物线的表达式为y＝ax2+c．（1）写出M、C、N、F四个点的坐标；（2）求出抛物的表达式；（3）利用求出的表达式，帮助小宇解决这个问题．【解题思路】（1）根据题中信息直接写出M、C、N、F四个点的坐标即可；（2）将点M、C点的坐标代入抛物线的表达式为y＝ax2+c，利用待定系数法求解即；（3）在y=−14x2+4中，令x＝1.2，求得相应的y值，从而可得点D的坐标，结合卡车载物后的最高点E到隧道顶面对应的点D的距离应不小于0.6m，可得卡车载物最高点距地面的距离，然后精确到0.1m，即可得出答案．【解答过程】解：（1）由题意得：M（﹣2，3）、C（0，4）、N（2，3）、F（1.2，0）；（2）将M（﹣2，3）、C（0，4）代入y＝ax2+c，得：{4a+c=3c=4，解得：{a=−14 c=4，∴抛物的表达式为y =−14x 2+4；（3）在y =−14x 2+4中，令x ＝1.2，得：y =−14×1.22+4＝3.64，∴点D 的坐标为（1.2，3.64），即点D 与地面的距离为3.64m ，∵卡车载物后的最高点E 到隧道顶面对应的点D 的距离应不小于0.6m ，∴点E 离地面的距离不超过3.04m ，∴卡车载物后的限高应是3.0m ．【变式4-1】（2021•海城市模拟）如图，隧道的横截面由抛物线形和矩形OABC 构成．矩形一边OA 的长是12m ，另一边OC 的长是1m ．抛物线上的最高点D 到地面OA 的距离为7m ．以OA 所在直线为x 轴，以OC 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系．（1）求该抛物线所对应的函数表达式．（2）在抛物线形拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度为5m ，求两排灯之间的水平距离．（3）隧道内车辆双向通行，规定车辆必须在中心线两侧行驶，并保持车辆顶部与隧道有不少于13m 的空隙．现有一辆货运汽车，在隧道内距离道路边缘2m 处行驶，求这辆货运汽车载物后的最大高度．【解题思路】（1）设抛物线所对应的函数表达式为y ＝a （x ﹣6）2+7，将点C （0，1）代入所设解析式求出a 的值即可得出函数解析式；（2）将y ＝5代入解析式求出x 的值，将所求x 的值相减可得答案；（3）求出x ＝2时y 的值，再减去13可得答案． 【解答过程】解：（1）由题意设抛物线所对应的函数表达式为y ＝a （x ﹣6）2+7，将点C （0，1）代入上式，36a +7＝1，解得a =−16，∴该抛物线所对应的函数表达式为y =−16(x −6)2+7．（2）把y＝5代入y=−16(x−6)2+7中，−16(x−6)2+7=5，解得x1=6+2√3，x2=6−2√3，6+2√3−(6−2√3)=4√3，所以两排灯之间的水平距离为4√3m；（3）把x＝2代入y=−16(x−6)2+7中，y=−16(2−6)2+7=133，13 3−13=4，所以这辆货运汽车载物后的最大高度为4m．【变式4-2】（2020•武汉模拟）某坦克部队需要经过一个拱桥（如图所示），拱桥的轮廓是抛物线形，拱高OC＝6m，跨度AB＝20m，有5根支柱：AG、MN、CD、EF、BH，相邻两支柱的距离均为5m．（1）以AB的中点为原点，AB所在直线为x轴，支柱CD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，求抛物线的解析式；（2）若支柱每米造价为2万元，求5根支柱的总造价；（3）拱桥下面是双向行车道（正中间是一条宽2m的隔离带），其中的一条行车道是坦克的行进方向，现每辆坦克长4m，宽2m，高3m，行驶速度为24km/h，坦克允许并排行驶，坦克前后左右距离忽略不计，试问120辆该型号坦克从刚开始进入到全部通过这座长1000m的拱桥隧道所需最短时间为多少分钟？【解题思路】（1）根据题目可知A，B，C的坐标，设出抛物线的解析式代入可求解．（2）把x＝5代入可求出支柱的长度，然后算出总造价即可．（3）先求出坦克方队的长，然后算出速度，从而求得通过隧道的时间即可．【解答过程】【解】（1）设y＝ax2+c，把C（0，6）、B（10，0）代入，得a=−350，c＝6．∴y=−350x2+6．（2）当x＝5时，y=−350×52+6=92，∴EF＝10−92=112，CD＝10﹣6＝4，支柱的总造价为2（2×112+2×10+4）＝70（万元）． （3）∵坦克的高为3米，令y ＝3时，−350x 2+6＝3，解得：x ＝±5√2，∵7＜5√2＜8，坦克宽为2米，∴可以并排3辆坦克行驶，此时坦克方阵的长为120÷3×4＝160（米），坦克的行驶速度为24km /h ＝400米/分，∴通过隧道的最短时间为1000+160400=2.9（分）．【变式4-3】（2020秋•海州区校级期末）施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为8米，宽度OM 为16米．现以O 点为原点，OM 所在直线为x 轴建立直角坐标系（如图1所示）．（1）求出这条抛物线的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围；（2）隧道下的公路是双向行车道（正中间是一条宽1米的隔离带），其中的一条行车道能否行驶宽3.5米、高5.8米的特种车辆？请通过计算说明；（3）施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”CDAB ，使A ．D 点在抛物线上．B 、C 点在地面OM 线上（如图2所示）．为了筹备材料，需求出“脚手架”三根木杆AB 、AD 、DC 的长度之和的最大值是多少，请你帮施工队计算一下．【解题思路】（1）抛物线的顶点坐标为（8，8），则其表达式为：y ＝a （x ﹣8）2+8，将点O （0，0）代入上式，即可求解；（2）双向行车道，正中间是一条宽1米的隔离带，则每个车道宽为7.5米，车沿着隔离带边沿行驶时，车最左侧边沿的x ＝7.5﹣3.5＝4，即可求解；（3）点A 、D 关于函数对称轴对称，则设AD ＝2m ，则AB ＝y =−18（x ﹣8）2+8＝8−18m 2，w ＝AB +AD +DC ＝2m +2AB =−14m 2+2m +16，即可求解．【解答过程】解：（1）抛物线的顶点坐标为（8，8），则其表达式为：y ＝a （x ﹣8）2+8，将点O （0，0）代入上式得：0＝64a +8，解得：a =−18，故函数的表达式为：y =−18（x ﹣8）2+8，即y =−18x 2+2x （0≤x ≤16）；（2）双向行车道，正中间是一条宽1米的隔离带，则每个车道宽为7.5米，车沿着隔离带边沿行驶时，车最左侧边沿的x ＝7.5﹣3.5＝4，当x ＝4时，y ＝6，即允许的最大高度为6米，5.8＜6，故该车辆能通行；（3）设点B （m ，0），则点A （m ，−18m 2+2m ），由抛物线的表达式知，其对称轴为x ＝8，则BC ＝2（8﹣m ）＝16﹣2m ＝AD ，则AB =−18m 2+2m ，则设：w ＝AB +AD +DC ＝2m +2AB =−14m 2+2m +16，∵−14＜0，故w 有最大值，当m ＝4时，w 的最大值为20，故AB 、AD 、DC 的长度之和的最大值是20．【题型5 利用二次函数解决拱桥形问题】【例5】（2020秋•渝水区校级月考）某河上有抛物线形拱桥，当水面离拱顶5m 时，水面宽8m ．一木船宽4m ，高2m ，载货后，木船露出水面的部分为34m ．以拱顶O 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，A 、B 为抛物线与水面的交点．（1）B 点的坐标为 ；（2）求抛物线解析式；（3）当水面离拱顶1.8米时，木船能否通过拱桥？【解题思路】（1）当水面距拱顶5m 时，水面宽8m ，则B （4，﹣5）；（2）设抛物线的解析式为y ＝ax 2，将点B 的坐标代入上式即可求解；（3）将x ＝2代入上式，得y =−516x 2=−54，则54+34=2，而1.8＜2，即可求解．【解答过程】解：（1）当水面距拱顶5m 时，水面宽8m ，则点B （4，﹣5），故答案为（4，﹣5）；（2）设抛物线的解析式为y ＝ax 2，将点B 的坐标代入上式得﹣5＝a ×42，解得a =−516，∴该抛物线的解析式为y =−516x 2； （3）将x ＝2代入上式，得y =−516x 2=−54， ∵54+34=2，而1.8＜2，当水面离拱顶1.8米时，木船不能通过拱桥．【变式5-1】（2020秋•泗阳县期末）河上有一座抛物线形的石拱桥，水面宽6m 时，水面离桥拱顶部3m ．（1）如图建立平面直角坐标系，试求抛物线的解析式；（2）一艘装满货物的小船，露出水面部分的高为0.5m ，宽为4m ．现因暴雨河水水位上升了1m ，这艘小船能从这座石拱桥下通过吗？请说明理由．【解题思路】（1）根据题意可以知道A 、B 的坐标，在利用点C 得坐标从而求出抛物线的解析式．（2）代入x ＝2求出y 的值，用其减去1求出可通过船的做最高高度，与0.5比较大小从而得出答案．【解答过程】解：（1）设抛物线的解析式为y ＝a （x ﹣x 1）（x ﹣x 2）．A （﹣3，0），B （3，0），C （0，3）．y ＝a （x +3）（x ﹣3）．在将点C （0，3）带入y ＝a （x +3）（x ﹣3）中的得a =−13，所以抛物线的解析式为y =−13x 2+3，（2）小船可以通过，理由：当x ＝2时，y =−13×22+3=53，∵53−1=23＞0.5，∴暴雨后这艘船能从这座拱桥下通过．【变式5-2】（2021•衢州）如图1是一座抛物线型拱桥侧面示意图．水面宽AB 与桥长CD 均为24m ，在距离D 点6米的E 处，测得桥面到桥拱的距离EF 为1.5m ，以桥拱顶点O 为原点，桥面为x 轴建立平面直角坐标系．（1）求桥拱顶部O 离水面的距离．（2）如图2，桥面上方有3根高度均为4m 的支柱CG ，OH ，DI ，过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同的抛物线，其最低点到桥面距离为1m ．①求出其中一条钢缆抛物线的函数表达式．②为庆祝节日，在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带，求彩带长度的最小值．【解题思路】根据题意设出适当的二次函数表达式，利用待定系数法求出表达式，再结合图形进行求解即可；【解答过程】解：（1）根据题意可知点F 的坐标为（6，﹣1.5），可设拱桥侧面所在二次函数表达式为：y 1═a 1x 2．将F （6，﹣1.5）代入y 1═a 1x 2有：﹣1.5═36a 1，求得a 1═−124，∴y 1═−124x 2，当x ═12时，y 1═−124×122═﹣6，∴桥拱顶部离水面高度为6m ．（2）①由题意可知右边钢缆所在抛物线的顶点坐标为（6，1），可设其表达式为y 2═a 2（x ﹣6）2+1， 将H （0，4）代入其表达式有：4═a 2（0﹣6）2+1，求得a 2═112， ∴右边钢缆所在抛物线表达式为：y 2═112（x ﹣6）2+1，左边钢缆所在抛物线表达式为：y 3═112（x +6）2+1 ②设彩带的长度为Lm ，则L ═y 2﹣y 1═112（x ﹣6）2+1﹣（−124x 2）═18x 2−x +4═18(x −4)2+2， ∴当x ═4时，L 最小值═2，答：彩带长度的最小值是2m ．【变式5-3】（2021•贵阳）甲秀楼是贵阳市一张靓丽的名片．如图①，甲秀楼的桥拱截面OBA 可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽OA ＝8m ，桥拱顶点B 到水面的距离是4m ．（1）按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式；（2）一只宽为1.2m 的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距O 点0.4m 时，桥下水位刚好在OA 处，有一名身高1.68m 的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由（假设船底与水面齐平）．（3）如图③，桥拱所在的函数图象是抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0），该抛物线在x 轴下方部分与桥拱OBA 在平静水面中的倒影组成一个新函数图象．将新函数图象向右平移m （m ＞0）个单位长度，平移后的函数图象在8≤x ≤9时，y 的值随x 值的增大而减小，结合函数图象，求m 的取值范围．【解题思路】（1）根据题意结合图象可以求出函数的顶点B （4，4），先设抛物线的顶点式y ＝a （x ﹣4）2+4，再根据图象过原点，求出a 的值即可；（2）先求出工人矩原点的距离，再把距离代入函数解析式求出y 的值，然后和1.68比较即可；（3）根据倒影与桥对称，先求出倒影的解析式，再平移m 各单位，根据二次函数的性质求出m 的取值范围．【解答过程】解：（1）如图②，由题意得：水面宽OA 是8m ，桥拱顶点B 到水面的距离是4m ，。
二次函数的应用二次函数是数学中一种常见的函数形式，其方程可以表示为：y = ax^2 + bx + c其中，a、b、c为常数，且a ≠ 0。
二次函数在许多实际问题中都有广泛的应用，本文将介绍二次函数在几个不同领域的具体应用案例。
一、物理学领域中的应用1. 自由落体问题当物体在重力作用下自由落体时，其高度与时间之间的关系可以用二次函数来描述。
假设物体从初始高度h0下落，时间t与高度h之间的关系可以表示为：h = -gt^2 + h0其中g为重力加速度，取9.8m/s^2。
通过解二次方程可以求解物体落地的时间以及落地时的位置。
2. 弹射物体的运动考虑一个弹射物体，如抛射出的炮弹或投射物，其路径可以用一个抛物线来表示。
弹射物体的运动轨迹可以通过二次函数得到，可以利用二次函数的顶点坐标来确定最远射程或最高点。
二、经济学领域中的应用1. 成本和收入关系在经济学中，企业的成本和收入通常与产量相关。
通常情况下，成本和收入之间存在二次函数关系。
通过分析二次函数的图像，可以确定最大利润产量或最低成本产量。
2. 售价和需求关系在市场经济中，产品的售价通常与需求量相关。
通常情况下，售价和需求量之间存在二次函数关系。
通过分析二次函数的图像，可以找到最佳定价，以达到利润最大化。
三、工程学领域中的应用1. 抛物线拱桥在建筑和结构工程中，抛物线是通常用来设计拱桥的形状。
由于抛物线具有均匀承重特性，因此可以最大程度地减少桥墩的数量，提高桥梁的承载能力。
2. 抛物面反射器在光学和声学工程中，抛物面被广泛应用于反射器的设计。
由于抛物面具有焦点特性，因此可以实现光或声波的聚焦效果，提高反射效率。
四、生物学领域中的应用1. 生长模型植物和动物的生长通常可以使用二次函数模型来描述。
二次函数可以帮助分析生物在不同生长阶段的生长速率，并预测未来的生长趋势。
2. 群体增长生态学中，群体增长通常可以使用二次函数模型来描述。
例如，一种昆虫群体的数量随时间的变化可以通过二次函数来表示，通过分析二次函数的图像，可以预测种群数量的变化趋势。
二次函数常考三种应用题二次函数是高中数学中的重要内容，它具有广泛的应用场景。
在解答二次函数应用题时，通常需要从实际问题中抽象出数学模型，利用二次函数的性质来解决问题。
在考试中，常见的二次函数应用题主要包括最值问题、图像分析问题和实际问题三类。
下面将分别对这三类题目进行详细的解析，并提供一些例题。
第一类是最值问题。
最值问题是二次函数应用题中比较常见的一类，它主要涉及到二次函数图像的顶点问题以及函数值的最大值和最小值问题。
在解决这类问题时，可以通过变换二次函数的标准形式，找到顶点的坐标，并利用顶点的坐标来求解最值问题。
例题：已知函数y=2x^2-5x+3，求此函数的最大值和最小值。
解析：将函数转化为标准形式，即y=2(x^2-5/2x+3/2)=2(x-5/4)^2-17/8，可以看出函数的图像开口向上，因此函数的最小值即为顶点的纵坐标，最大值为正无穷。
而顶点的横坐标为x=5/4，将其代入函数中得到最小值y=-17/8、因此，函数的最大值为正无穷，最小值为-17/8第二类是图像分析问题。
图像分析问题是通过对二次函数的图像进行详细分析，来求解相关问题。
其中，常见的问题包括判定图像的开口方向、确定顶点坐标、寻找对称轴、研究函数值的正负及函数值的变化趋势等。
例题：已知函数y=-3x^2+6x+9，请判断函数的图像开口方向、确定顶点坐标以及找出对称轴。
解析：通过观察二次函数的各项系数，可以得知此函数的二次项系数为负数，因此函数的图像开口向下。
进一步分析二次项系数为-3，可知此函数的图像较为扁平。
通过求解顶点坐标可得，x=-b/2a=-6/(2*(-3))=1，将其代入函数中，得到y=-3(1)^2+6(1)+9=12、因此，函数的图像开口向下，顶点坐标为(1,12)。
第三类是实际问题。
实际问题是将具体的实际问题转化为数学模型，再通过解析数学模型来求解实际问题。
这类问题较为复杂，常常需要运用一些辅助变量和条件，将问题转化为二次函数的形式。
二次函数与实际问题1、理论应用（基本性质的考查：解析式、图象、性质等）2、实际应用（拱桥问题，求最值、最大利润、最大面积等）类型一：最大面积问题例一：如图在长200米，宽80米的矩形广场内修建等宽的十字形道路，绿地面积y(㎡)与路宽x(m)之间的关系？并求出绿地面积的最大值？变式练习1：如图，用50m长的护栏全部用于建造一块靠墙的长方形花园，写出长方形花园的面积y(㎡)与它与墙平行的边的长x(m)之间的函数关系式？当x为多长时，花园面积最大？类型二：利润问题例二：某商店经营T恤衫,已知成批购进时单价是2.5元.根据市场调查,销售量与销售单价满足如下关系:在某一时间内,单价是13.5元时,销售量是500件,而单价每降低1元,就可以多售出200件. 请你帮助分析:销售单价是多少时,可以获利最多?设销售单价为x元，(0＜x≤13.5)元，那么（1）销售量可以表示为____________________；（2）销售额可以表示为____________________；（3）所获利润可以表示为__________________；（4）当销售单价是________元时，可以获得最大利润，最大利润是__________变式训练2.某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？变式训练3：某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历从亏损到盈利的过程，如下图的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润y（万元）与销售时间x（月）之间的关系（即前x个月的利润之和y与x之间的关系）．（1）根据图上信息，求累积利润y（万元）与销售时间x（月）的函数关系式；（2）求截止到几月末公司累积利润可达到30万元？（3）求第8个月公司所获利润是多少万元？40030060 70 Ｏy (件) )变式训练4.某服装公司试销一种成本为每件50元的T 恤衫，规定试销时的销售单价不低于成本价，又不高于每件70元，试销中销售量y （件）与销售单价x （元）的关系可以近似的看作一次函数（如图）．（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）设公司获得的总利润（总利润＝总销售额 总成本）为P 元，求P 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；根据题意判断：当x 取何值时，P 的值最大？最大值是多少？类型三:实际抛物线问题例三：某隧道横断面由抛物线与矩形的三边组成，尺寸如图10所示。
专题08 二次函数应用（六大类型）【题型1 运动类（1）落地模型】【题型2 运动类（2）最值模型】【题型3 经济类二次函数与一次函数初步综合】【题型4 经济类二次函数中的“每每问题”】【题型5 面积类】【题型6 拱桥类】【题型1 运动类（1）落地模型】1．（2022秋•罗山县期末）如图，一位运动员推铅球，铅球运行高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系式是y＝﹣．问：此运动员能把铅球推出多远？（）A．12m B．10m C．3m D．4m 2．（2022秋•西岗区校级期末）小强在一次训练中，掷出的实心球飞行高度y （米）与水平距离x（米）之间的关系大致满足二次函数，则小强此次成绩为（）A．8米B．9米C．10米D．12米3．（2023•普兰店区一模）在学校运动会上，初三（5）班的运动员掷铅球，铅球的高y（m）与水平距离x（m）之间函数关系式为y＝﹣0.2x2+1.6x+1.8，则此运动员的成绩是（）A．10m B．4m C．5m D．9m 4．（2023•阿城区一模）一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：米）关于水平距离x（单位：米）的函数解析式是y＝﹣x2x，则该男生铅球推出的距离是米．5．（2022秋•未央区期末）体育老师将小华实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系为y＝﹣x2+9x+10，由此可知小华此次实心球训练的成绩为米．【题型2 运动类（2）最值模型】6．（2023•泰兴市二模）某学校航模组设计制作的火箭升空高度h（m）与飞行时间t（s）满足函数关系式为h＝﹣t2+12t+1．如果火箭在点火升空到最高点时打开降落伞，那么降落伞将在离地面3m处打开．7．（2023春•二道区校级月考）向空中发射一枚信号弹，经x秒后的高度为y 米，且时间与高度的关系为y＝ax2+bx+c（a≠0）．若此信号弹在第8秒与第14秒时的高度相等，则在秒时信号弹所在高度最高的．8．（2022秋•鄞州区期末）某型号无人机着陆后的滑行距离y（米）与滑行时间t（秒）的函数关系式满足y＝﹣t2+60t，则无人机着陆后滑行的最大距离是米．9．（2022秋•交口县期末）某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线是抛物线y＝﹣x2+6x（单位：米）的一部分．则水喷出的最大高度是米．时间t（单位：s）的函数解析式是s＝30t﹣12t2，汽车刹车后到停下来所用的时间t是（）A．2.5s B．1.5s C．1.25s D．不能确定11．（2022秋•栖霞市期末）烟花厂某种礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）间的关系是h＝﹣2t2+20t+1．若这种礼炮在点升空到最高处引爆，测从点升空到引爆需要的时间为s12．（2022秋•黄冈期末）高速公路上行驶的汽车急刹车时的滑行距离s（m）与时间t（s）的函数关系式为s＝30t﹣5t2，遇到紧急情况时，司机急刹车，则汽车最多要滑行m，才能停下来．【题型3 经济类二次函数与一次函数初步综合】13．（2023•鲁甸县二模）某商店销售卡塔尔世界杯的吉祥物，经市场调查发现：该商品的月销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价x与月销售量y的部分对应值如表：售价x/（元/件）304550月销售是y/件300150100（1）求y关于x的函数表达式．（2）若该商品的进价为24元，当售价是多少元时，月销售利润W（元）最大？并求出最大利润．[注：月销售利润＝月销售量×（售价﹣进价）]14．（2023•安庆二模）“龙池香尖”是怀宁县一款中国国家地理标志产品，素有：“扬子江心水，蒙山顶上茶”的美誉．某茶庄以600元/kg的价格收购一批龙池香尖，为保护消费者的合法权益，物价部门规定每千克茶叶的利润不低于0元，且不超过进价的60%，经过试销发现，日销量y（kg）与销售单价x（元/kg）满足一次函数关系，部分数据统计如表：x（元/kg）700900…y（kg）9070…（1）根据表格提供的数据，求出y关于x的函数关系式．（2）在销售过程中，每日还需支付其他费用9000元，当销售单价为多少时，该茶庄日利润最大，并求出最大利润．15．（2023•天山区校级二模）某商场销售每件进价为50元的一种商品，物价部门规定每件售价不得高于80元，经市场调查，发现每月的销售量y（件）与每件的售价x（元）满足y＝﹣2x+240．（1）商场每月想从这种商品销售中获利2250元，该如何给这种商品定价？（2）请问售价定为多少元时可获得月最大利润？最大利润是多少？16．（2023•长阳县一模）某批发商以24元/箱的进价购进某种蔬菜，销往零售超市，已知这种蔬菜的标价为45元/箱，实际售价不低于标价的八折．批发商通过分析销售情况，发现这种蔬菜的销售量y（箱）与当天的售价x（元/箱）满足一次函数关系，如表是其中的两组对应值．售价x（元/箱）…3538…销售量y（箱）…130124…（1）若某天这种蔬菜的售价为42元/箱，则当天这种蔬菜的销售最为116箱；（2）该批发商销售这种蔬菜能否在某天获利1320元？若能，请求出当天的销售价；若不能，请说明理由．（3）批发商搞优惠活动，购买一箱这种蔬菜，赠送成本为6元的土豆，这种蔬菜的售价定为多少时，可获得日销售利润最大，最大日销售利润是多少元？17．（2023•太康县一模）五一”黄金周期间，丹尼斯百货计划购进A、B两种商品．已知购进3件A商品和2件B商品，需1200元；购进2件A商品和3件B商品，需1300元．（1）A、B两种商品的进货单价分别是多少？（2）设A商品的销售单价为x（单位：元/件），在销售过程中发现：当220≤x≤380时，A商品的日销售量y（单位：件）与销售单价x之间存在一次函数关系，x、y之间的部分数值对应关系如表：销售单价x（元/件）220380日销售量y（件）18020请写出当220≤x≤380时，y与x之间的函数关系式；（3）在（2）的条件下，设A商品的日销售利润为w元，当A商品的销售单价x（元/件）定为多少时，日销售利润最大？最大利润是多少？18．（2023•东莞市校级一模）某厂家生产一批遮阳伞，每个遮阳伞的成本价是20元，试销售时发现：遮阳伞每天的销售量y（个）与销售单价x（元）之间是一次函数关系，当销售单价为28元时，每天的销售量为260个；当销售单价为30元时，每天的销售量为240个．（1）求遮阳伞每天的销售量y（个）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）设遮阳伞每天的销售利润为w（元），当销售单价定为多少元时，才能使每天的销售利润最大？19．（2023•青州市二模）某超市购进了一种商品，进价为每件8元，销售过程中发现，该商品每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间存在某种函数关系（其中8≤x≤15，且x为整数），且当x＝8时，y＝110；当x＝10时，y＝100；当x＝12时，y＝90；…，设超市销售这种消毒用品每天获利为w（元）．（1）请判断y与x符合哪种函数关系，并求y与x的函数表达式；（2）若该商店销售这种商品每天获润480元，则每件商品的售价为多少元；（3）当每件商品的售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？【题型4 经济类二次函数中的“每每问题”】20．（2023•黄冈二模）某商品市场销售抢手，其进价为每件80元，售价为每件130元，每个月可卖出500件；据市场调查，若每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖2件（每件售价不能高于240元）．设每件商品的售价上涨x 元（x为正整数），每个月的销售利润为y元．（1）求y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；（2）每件商品的涨价多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？（3）每件商品的涨价多少元时，每个月的利润恰为41800元？根据以上结论，请你直接写出x在什么范围时，每个月的利润不低于41800元？21．（2023•南海区校级模拟）因粤港澳大湾区和中国特色社会主义先行示范区的双重利好，深圳已成为国内外游客最喜欢的旅游城市之一．深圳着名旅游“网红打卡地”东部华侨城景区一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为5元，根据销售经验，在旅游旺季，若每杯定价25元，则平均每天可销售300杯；若每杯价格降低1元，则平均每天可多销售30杯．店家计划在2023年春节期间进行降价促销活动，设每杯奶茶降价为x元时，每天可销售y杯．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当x为多少时，能让店家获得最大利润额？最大利润额为多少？22．（2023•南海区校级模拟）因粤港澳大湾区和中国特色社会主义先行示范区的双重利好，深圳已成为国内外游客最喜欢的旅游城市之一．深圳着名旅游“网红打卡地”东部华侨城景区一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为5元，根据销售经验，在旅游旺季，若每杯定价25元，则平均每天可销售300杯；若每杯价格降低1元，则平均每天可多销售30杯．店家计划在2023年春节期间进行降价促销活动，设每杯奶茶降价为x元时，每天可销售y杯．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当x为多少时，能让店家获得最大利润额？最大利润额为多少？23．（2023•阳信县二模）2022年在中国举办的冬奥会和残奥会令世界瞩目，冬奥会和残奥会的吉祥物冰墩墩和雪容融家喻户晓，成为热销产品．某商家以每套32元的价格购进一批冰墩墩和雪容融套件．若该产品每套的售价是48元时，每天可售出200套；若每套售价提高2元，则每天少卖4套．（1）设冰墩墩和雪容融套件每套售价定为x元时，求该商品销售量y与x之间的函数关系式；（2）求每套售价定为多少元时，每天销售套件所获利润W最大，最大利润是多少元？（3）如果每天的利润要达到6080元，并且尽可能的让利于顾客，则每套的售价应该定为多少元？24．（2022•都安县校级二模）直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件．（1）若日利润保持不变，商家想尽快销售完该商品，每件售价应定为多少元？（2）每件售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？25．（2022秋•和平区校级期末）某商家销售一种纪念品．每个纪念品进价40元，规定销售单价不低于44元，且不高于52元．销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨1元，每天销量减少10个．现商家决定提价销售，设每天销售量为y个，销售单价为x元．（1）直接写出y与x之间的函数关系式；（2）求当每个纪念品的销售单价是多少元时，商家每天获利2400元；（3）将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润w 元最大？最大利润是多少元？26．（2023•昭阳区模拟）新华书店销售一个系列的儿童书刊，每套进价100元，销售定价为140元，一天可以销售20套．为了扩大销售，增加盈利，减少库存，书店决定采取降价措施．若一套书每降价1元，平均每天可多售出2套．设每套书降价x元时，书店一天可获利润y元．（1）求出y与x的函数关系式；（2）若要书店每天盈利1200元，则每套书销售定价应为多少元？（3）当每套书销售定价为多少元时，书店一天可获得最大利润？这个最大利润为多少元？【题型5 面积类】27．（2023•锦江区校级模拟）用长为12米的铝合金型材做一个形状如图所示的矩形窗框，设矩形窗框的宽为x米，窗框的透光面积为S平方米．（铝合金型材宽度不计）（1）求S与x的函数关系式，并写出x的取值范围．（2）求S的最大值．28．（2022秋•仙游县期末）如图，有长为24m的篱笆，现一面利用墙（墙的最大可用长度为10m），设矩形花圃的宽AB为xm，面积为Sm2．（1）求S与x的函数关系式及x的取值范围；（2）当花圃的面积为54m2时，求AB的长；（3）当AB的长是多少米时，围成的花圃的面积最大？29．（2023•武汉模拟）春回大地，万物复苏，又是一年花季到．某花圃基地计划将如图所示的一块长40m，宽20m的矩形空地划分成五块小矩形区域．其中一块正方形空地为育苗区，另一块空地为活动区，其余空地为种植区，分别种植A，B，C三种花卉．活动区一边与育苗区等宽，另一边长是10m．A，B，C三种花卉每平方米的产值分别是2百元、3百元、4百元．（1）设育苗区的边长为xm，用含x的代数式表示下列各量：花卉A的种植面积是m2，花卉B的种植面积是m2，花卉C的种植面积是m2．（2）育苗区的边长为多少时，A，B两种花卉的总产值相等？（3）若花卉A与B的种植面积之和不超过560m2，求A，B，C三种花卉的总产值之和的最大值．【题型6 拱桥类】30．（2023•工业园区校级模拟）如图是一座截面为抛物线的拱形桥，当拱顶离（结水面3米高时，水面宽l为6米，则当水面下降3米时，水面宽度为米．果保留根号）31．（2022秋•江岸区校级期末）一座拱桥的轮廓是抛物线型（如图所示），桥高为8米，拱高6米，跨度20米．相邻两支柱间的距离均为5米，则支柱MN的高度为米．32.（2023•阎良区一模）漪汾桥是太原市首座对称双七拱吊桥，每个桥拱呈大小相等的抛物线型，桥拱如长虹出水，屹立于汾河之上，是太原市地标性建筑之一．如图2所示，单个桥拱在桥面上的跨度OA＝60米，在水面的跨度BC＝80米，桥面距水面的垂直距离OE＝7米，以桥面所在水平线为x轴，OE所在直线为y轴建立平面直角坐标系．（1）求桥拱所在抛物线的函数关系表达式；（2）求桥拱最高点到水面的距离是多少米？33．（2023•阎良区一模）漪汾桥是太原市首座对称双七拱吊桥，每个桥拱呈大小相等的抛物线型，桥拱如长虹出水，屹立于汾河之上，是太原市地标性建筑之一．如图2所示，单个桥拱在桥面上的跨度OA＝60米，在水面的跨度BC＝80米，桥面距水面的垂直距离OE＝7米，以桥面所在水平线为x轴，OE所在直线为y轴建立平面直角坐标系．（1）求桥拱所在抛物线的函数关系表达式；（2）求桥拱最高点到水面的距离是多少米？34．（2023•信阳二模）2023年3月15日新晋高速全线通车，它把山西往河南路程由2小时缩短为1小时前期规划开挖一条双向四车道隧道时，王师傅想把入口设计成抛物线形状（如图），入口底宽AB为16cm，入口最高处OC为12.8米．（1）求抛物线解析式；（2）王师傅实地考察后，发现施工难度大，有人建议抛物线的形状不变，将隧道入口往左平移2m，最高处降为9.8米，求平移后的抛物线解析式；（3）双向四车道的地面宽至少要15米，则（2）中的建议是否符合要求？35．（2023•新城区校级二模）如图1所示是一座古桥，桥拱截面为抛物线，如图2，AO，BC是桥墩，桥的跨径AB为20m，此时水位在OC处，桥拱最高点P离水面6m，在水面以上的桥墩AO，BC都为2m．以OC所在的直线为x 轴、AO所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，其中x（m）是桥拱截面上一点距桥墩AO的水平距离，y（m）是桥拱截面上一点距水面OC的距离．（1）求此桥拱截面所在抛物线的表达式；（2）有一艘游船，其左右两边缘最宽处有一个长方体形状的遮阳棚，此船正对着桥洞在河中航行．当水位上涨2m时，水面到棚顶的高度为3m，遮阳棚宽12m，问此船能否通过桥洞？请说明理由．36．（2023•西华县三模）足球比赛中，当守门员远离球门时，进攻队员常常使用吊射战术（把球高高地挑过守门员的头顶，射入球门）．一般来说，吊射战术中足球的运动轨迹往往是一条抛物线．摩洛哥与葡萄牙比赛进行中，摩洛哥一位球员在离对方球门30米的点O处起脚吊射，假如球飞行的路线是一条抛物线，在离球门14米时，足球达到最大高度8米．以点O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）此时，葡萄牙队的守门员在球门前方距离球门线1米处，原地起跳后双手能达到的最大高度为2.8米，在没有摩洛哥队员干扰的情况下，那么他能否在空中截住这次吊射？请说明理由．37．（2023•宝安区三模）如图，在一次足球比赛中，守门员在距地面1米高的P处大力开球，一运动员在离守门员6米的A处发现球在自己头上的正上方距离地面4米处达到最高点Q，球落到地面B处后又一次弹起．已知足球在空中的运行轨迹是一条抛物线，在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度为1米．（1）求足球第一次落地之前的运动路线的函数解析式及第一次落地点B与守门员（点O）的距离；（2）运动员（点A）要抢到第二个落点C，他应再向前跑多少米？（假设点O，A，B，C在同一条直线上，结果保留根号）。
教师一对一个性化教案学生姓名年级9年级科目数学日期时间段课时教学目标教学内容二次函数应用专题训练个性化学习问题解决掌握二次函数常见题型应用的最值问题教学重点、难点及考点分析重难点:函数解析式的确定以及根据实际情况处理最值问题教学过程Part1桥·隧道【基础题型】1.如图所示的抛物线的解析式可设为，若AB∥x轴，且AB＝4，OC＝1，则点A的坐标为，点B的坐标为；代入解析式可得出此抛物线的解析式为。
2.飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）与滑行的时间t（单位：s）的函数关系式是：25.160tts-=.飞机着陆后滑行多少秒(m)后才能停下来.例题1：有座抛物线形拱桥(如图)，正常水位时桥下河面宽20m，河面距拱顶4m，为了保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于18m，求水面在正常水位基础上上涨多少米时，就会影响过往船只航行。
例题2如图，河上有一座抛物线桥洞，已知桥下的水面离桥顶部3m时，水面宽AB为6m，当水位上升0.5m时：（1）求水面的宽度CD为多少米？（2）有一艘游船，它的左右两边缘最宽处有一个长方体形状的遮阳棚，此船正对着桥洞在上述河流中航行。
①若游船宽（指船的最大宽度）为2m，从水面到棚顶的高度为1.8m，问这艘游船能否从桥洞下通过？②若从水面到棚顶的高度为74m的游船刚好能从桥洞下通过，则这艘穿的最大宽度是多少米？yxOA B教学过程例题3.许多桥梁都采用抛物线型设计，小明将他家乡的彩虹桥按比例缩小后，绘成如下的示意图，图中的三条抛物线分别表示桥上的三条钢梁，x 轴表示桥面，y 轴经过中间抛物线的最高点，左右两条抛物线关于y 轴对称.经过测算，中间抛物线的解析式为211040y x =-+，并且BD=12CD.（1）求钢梁最高点离桥面的高度OE 的长； （2）求桥上三条钢梁的总跨度AB 的长；（3）若拉杆DE ∥拉杆BN ，求右侧抛物线的解析式.例题4. 一座拱桥的轮廓是抛物线型（如图1所示）, 拱高6m, 跨度20m, 相邻两支柱间的距离均为5m ． (1) 将抛物线放在所给的平面直角坐标系中（如图2所示）, 求抛物线的解析式； (2) 求支柱EF 的长度；(3) 拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽2m 的隔离带）, 若并排行驶宽2m 、高3m 的汽车,要求车与车之间, 车与隔离带之间的间隔均为0.5米, 车与桥的竖直距离至少为0.1米, 问其中一条行车道最多能同时并排行驶几辆车？图1 图2例5.如图1，一座拱桥的轮廓是抛物线型，拱高6m ，跨度20m ，相邻两支柱间的距离均为5m ．（1）如图2，将抛物线放在所给的直角坐标系中，求该抛物线的解析式（不需要写出自变量x 的取值范围）；（2）求支柱EF 的长度；（3）拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽2m 的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽MyM2m 、高3m 的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说明你的理由．Part2 球类问题例题6：一场篮球赛中，小明跳起投篮，已知球出手时离地面高209米，与篮圈中心的水平距离为8米，当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米，设篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈中心距离地面3米。
⑴问此球能否投中？⑵在出手角度和力度都不变的情况下,小明的出手高度为多少时能将篮球投入篮圈?例题7.如图，在水平地面点A 处有一网球发射器向空中发射网球，网球飞行路线是一条抛物线，在地面上落点为B ．有人在直线AB 上点C （靠点B 一侧）竖直向上摆放无盖的圆柱形桶，试图让网球落入桶内．已知AB ＝4米，AC ＝3米，网球飞行最大高度OM=5米，圆柱形桶的直径为0.5米，高为0.3米（网球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计）． （1）求此抛物线的解析式．（2）如果竖直摆放5个圆柱形桶，网球能不能落入桶内？（3）若网球可以落入桶内，则竖直摆放圆柱形桶的个数为___________________．第23题图（3）运动员乙要抢到第二个落点，他应再笔直向前跑多少米？（取）例题10、在一次羽毛球比赛中，甲运动员在离地面3625米的P点处击球，求的运动轨迹PAN看作一个抛物线的一部分，当球运动到最高A时，其高度为4米，离甲运动员站立点O的水平距离为4米，球网BC离点O的水平距离为4.5米，以点O为原点建立如图所示的坐标系，乙运动员站立地点M的坐标为（m，0）.(1)求抛物线的解析式（不要求写自变量的取值范围）（2）羽毛球边距离点C的水平距离为5.18米，此次发球是否会出界？（3）乙原地起跳后可接球的最大高度为3米，若乙因为直接高度不够而失球，求m的取值范围。
例11．科幻小说《实验室的故事》中，有这样一个情节：科学家把一种珍奇的植物分别放在不同温度的环境中，经过一天后，测试出这种植物高度的增长情况（如下表） 温度x/℃…… -4 -2 0 2 4 4.5 …… 植物每天高度增长量y/mm (41)4949412519.75……由这些数据，科学家推测出植物每天高度增长量y 是温度x 的函数，且这种函数是反比例函数，一次函数，二次函数中的一种。
（1）请你选择一种适当的函数，求出它的函数关系式，并简要说明不选择另外两种函数的理由； （2）温度为多少时，这种植物每天高度增长量最大；（3）如果实验室温度保持不变，在10天内要使该植物高度增长量的总和超过250mm ，那么实验室的温度x 应该在哪个范围内选择？请直接写出结果。
例12.如图，排球运动员站在点O 处练习发球，将球从O 点正上方2m 的A 处发出，把球看成点，其运行的高度y （m ）与运行的水平距离x(m)满足关系式y=a(x-6)2+h.已知球网与O 点的水平距离为9m ，高度为2.43m ，球场的边界距O 点的水平距离为18m 。
（1）当h=2.6时，求y 与x 的关系式（不要求写出自变量x 的取值范围） （2）当h=2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由； （3）若球一定能越过球网，又不出边界，求h 的取值范围。
AOx y 边界球网2Part3 利润问题例12.某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，若每箱以50元的价格调查，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱． （1）求平均每天销售量y （箱）与销售价x （元/箱）之间的函数关系式．（3分）（2）求该批发商平均每天的销售利润w （元）与销售价x （元/箱）之间的函数关系式．（3分） （3）当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？（4分）例13.随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高。
某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润1y 与投资量x 成正比例关系，如图12-①所示；种植花卉的利润2y 与投资量x 成二次函数关系，如图12-②所示（注：利润与投资量的单位：万元）（1）分别求出利润1y 与2y 关于投资量x 的函数关系式；（2）如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是多少？① x /元 50 1200 800y /亩 O ② x /元 100 30002700 z /元 O例14.在2013年青岛崂山北宅樱桃节前夕，•某果品批发公司为指导今年的樱桃销售，对往年的市场销售情况进行了调查统计，得到如下数据：销售价x （元/千克） … 25 24 23 22 … 销售量y （千克）… 2000 2500 3000 3500 …（1）在如图的直角坐标系内，作出各组有序数对（x ，y ）所对应的点．连接各点并观察所得的图形，判断y 与x 之间的函数关系，并求出y 与x 之间的函数关系式；（2）若樱桃进价为13元/千克，试求销售利润P （元）与销售价x （元/千克）之间的函数关系式，并求出当x 取何值时，P 的值最大？例15.某市种植某种绿色蔬菜，全部用来出口．为了扩大出口规模，该市决定对这种蔬菜的种植实行政府补贴，规定每种植一亩这种蔬菜一次性补贴菜农若干元．经调查，种植亩数y （亩）与补贴数额x （元）之间大致满足如图3-4-13①所示的一次函数关系．随着补贴数额x 的不断增大，出口量也不断增加，但每亩蔬菜的收益z （元）会相应降低，且z 与x 之间也大致满足如图3-4-13②所示的一次函数关系．（1）在政府未出台补贴措施前，该市种植这种蔬菜的总收益额为多少？（2）分别求出政府补贴政策实施后，种植亩数y 和每亩蔬菜的收益z 与政府补贴数额x 之间的函数关系式；（3）要使全市这种蔬菜的总收益w （元）最大，政府应将每亩补贴数额x 定为多少？并求出总收益w的最大值．例16.一蔬菜基地种植的某种绿色蔬菜，根据今年的市场行情，预计从5月1•日起的50天内，它的市场售价y1与上市时间x的关系可用图（a）的一条线段表示；•它的种植成本y2与上市时间x的关系可用图（b）中的抛物线的一部分来表示．（1）求出图（a）中表示的市场售价y1与上市时间x的函数关系式．（2）求出图（b）中表示的种植成本y2与上市时间x的函数关系式．（3）假定市场售价减去种植成本为纯利润，问哪天上市的这种绿色蔬菜既不赔本也不赚钱？（市场售价和种植成本的单位：元/千克，时间单位：天）Part4 几何动点问题例17.如图，等腰梯形ABCD中，AB=4，CD=9，∠C=60°，动点P从点C出发沿CD方向向点D运动，动点Q同时以相同速度从点D出发沿DA方向向终点A运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动.（1）求AD的长；（2）设CP=x，问当x为何值时△PDQ的面积达到最大，并求出最大值；例18.如图: 在一块底边BC长为80㎝、BC边上高为60㎝的三角形ABC铁板上截出一块矩形铁板EFGH , 使矩形的一边FG在BC边上, 设EF的长为x㎝, 矩形EFGH的面积为y2cm. (1) 试写出y与x之间的函数关系式(2) 当x取何值时, y有最大值? 是多少?(第例21.如图，在△ABC中，∠C＝45°，BC＝10，高AD＝8，矩形EFPQ的一边QP在BC边上，E、F两点分别在AB、AC上，AD交EF于点H．（1）求证：AHAD＝EFBC；（2）设EF＝x，当x为何值时，矩形EFPQ的面积最大?并求其最大值；（3）当矩形EFPQ的面积最大时，该矩形EFPQ以每秒1个单位的速度沿射线QC匀速运动(当点Q与点C重合时停止运动)，设运动时间为t秒，矩形EFFQ与△ABC重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式．课后作业班主任审批签字教学主任审批签字。
