4线性规划的基本理论

线性规划知识点一、概述线性规划是一种数学优化方法，用于求解线性约束条件下的最优解问题。

它在运筹学、管理科学、经济学等领域有着广泛的应用。

线性规划的目标是通过线性目标函数的最小化或最大化，找到使得一系列线性约束条件得到满足的最优解。

二、基本概念1. 线性规划模型线性规划模型由目标函数和约束条件组成。

目标函数是需要最小化或最大化的线性函数，约束条件是一系列线性不等式或等式。

2. 可行解可行解是满足所有约束条件的解。

在线性规划中，可行解构成了一个可行域，即满足所有约束条件的解的集合。

3. 最优解最优解是使得目标函数取得最小或最大值的可行解。

在线性规划中，最优解可以是有限的，也可以是无穷的。

4. 线性规划的标准形式线性规划的标准形式包括以下特点：- 目标函数为最小化形式；- 所有约束条件为等式形式；- 变量的取值范围为非负数。

1. 图形法图形法是线性规划最直观的解法之一。

它通过绘制变量的可行域图形，找到目标函数的最优解。

2. 单纯形法单纯形法是一种迭代算法，通过不断地移动解的位置来逐步逼近最优解。

它是线性规划中应用最广泛的解法之一。

3. 对偶理论对偶理论是线性规划中的重要概念之一。

它通过将原始问题转化为对偶问题，从而得到原始问题的最优解。

四、线性规划的应用线性规划在实际生活中有着广泛的应用，以下是一些常见的应用领域：1. 生产计划线性规划可以用于确定最佳的生产计划，以最小化生产成本或最大化利润。

2. 运输问题线性规划可以用于解决运输问题，如货物的最佳配送方案、最短路径等。

3. 金融投资线性规划可以用于优化投资组合，以最大化投资收益或最小化风险。

4. 资源分配线性规划可以用于确定最佳的资源分配方案，如人力资源、物资等。

尽管线性规划在许多问题中有着广泛的应用，但它也存在一些局限性：1. 线性假设线性规划的基本假设是目标函数和约束条件都是线性的，这限制了它在处理非线性问题上的应用。

2. 离散性问题线性规划通常适用于连续变量的问题，对于离散变量的问题，它的应用受到限制。

线性规划的理论与实例分析线性规划（Linear Programming，简称LP）是一种重要的运筹学工具，常常被应用于生产、物流、金融等领域中的优化问题。

本文将从理论和实例两个角度，介绍线性规划的基本概念、模型及求解方法。

一、线性规划的基本概念线性规划的基本概念包括决策变量、目标函数、约束条件等。

（一）决策变量决策变量是指影响问题结果的变量，通常用x1、x2、 (x)表示。

例如，生产线上的机器数量、产品的产量等都是决策变量。

（二）目标函数目标函数是指要最大化或最小化的某个指标，通常用z表示。

例如，最小化成本、最大化利润等都是目标函数。

（三）约束条件约束条件是指在问题求解中要满足的条件。

例如，不超过机器限制数量、满足生产需求等都是约束条件。

通常用不等式或等式形式表示。

二、线性规划的模型线性规划的一般形式可表示为：最大化或最小化目标函数：Z = c1x1 + c2x2 + … + cnxn约束条件：a11x1 + a12x2 + … + a1nxn ≤ b1a21x1 + a22x2 + … + a2nxn ≤ b2……am1x1 + am2x2 + … + amnxn ≤bm或x1, x2, … , xn ≥ 0 （非负性约束条件）其中，c1、c2、…、cn为各决策变量的系数，a11、a12、…、amn为各约束条件中各决策变量的系数，b1、b2、…、bm为约束条件的值，x1、x2、…、xn为决策变量，非负性约束条件也称为非负约束。

三、线性规划的求解方法线性规划有多种求解方法，这里主要介绍两种：单纯性法和对偶理论。

（一）单纯性法单纯性法是线性规划的一种基本算法，其实质是在各约束条件限制下寻找目标函数最大或最小值。

单纯性法基于以下两个原则：①某个极值点必定满足目标函数的所有约束条件；②各个变量所形成的可行解区域有限，且该区域的可行解点数有限。

单纯性法的具体过程如下：Step 1 建立初始单纯形表将约束条件转化为标准形式，即将约束条件化为”≤“的形式，并加入人工变量，得到初始单纯形表。

高中线性规划高中线性规划是高中数学课程中的一个重要内容，它是线性代数的一部份，主要涉及到线性方程组的解法和应用。

线性规划是一种优化问题，通过数学模型和计算方法，寻觅使目标函数达到最大或者最小的变量值。

在实际应用中，线性规划可以用于资源分配、生产计划、投资决策等方面。

一、线性规划的基本概念线性规划的基本概念包括目标函数、约束条件和可行解。

目标函数是需要最大化或者最小化的线性函数，约束条件是限制变量取值范围的线性不等式或者等式，可行解是满足所有约束条件的变量取值组合。

二、线性规划的解法线性规划的解法主要有图形法、单纯形法和对偶理论等。

其中，图形法适合于二维线性规划问题，通过绘制约束条件的直线和目标函数的等值线，找到最优解。

单纯形法是一种迭代计算方法，通过不断调整基变量和非基变量的取值，逐步接近最优解。

对偶理论是线性规划的一个重要理论基础，通过对原始问题和对偶问题的转化和求解，可以得到最优解。

三、线性规划的应用案例1. 资源分配问题：某公司有限定的人力和物力资源，需要合理安排生产计划，以最大化利润。

通过线性规划，可以确定各项生产任务的分配比例，使得总利润最大化。

2. 投资决策问题：某投资者有一定的资金，希翼通过投资股票和债券来获取最大的回报。

通过线性规划，可以确定投资比例，使得预期收益最大化。

3. 运输问题：某物流公司需要将货物从多个仓库运送到多个客户处，希翼通过合理的运输方案，使得运输成本最小。

通过线性规划，可以确定货物的运输路径和运输量，使得总运输成本最小化。

四、线性规划的局限性线性规划在实际应用中存在一定的局限性。

首先，线性规划的模型假设目标函数和约束条件均为线性关系，但实际问题中往往存在非线性关系。

其次，线性规划的解法可能存在多个最优解或者无解的情况，需要结合实际情况进行判断。

此外，线性规划对数据的准确性要求较高，对于不确定性较大的问题，可能需要引入其他方法进行处理。

总结：高中线性规划是数学课程中的一部份，主要涉及到线性方程组的解法和应用。

线性规划知识点一、什么是线性规划线性规划是一种数学优化方法，用于解决在给定约束条件下的线性目标函数的最优化问题。

线性规划的目标函数和约束条件都是线性的，因此可以通过线性代数的方法进行求解。

线性规划在实际问题中有广泛的应用，如生产计划、资源分配、运输问题等。

二、线性规划的基本要素1. 目标函数：线性规划的目标是最大化或最小化一个线性函数，通常表示为Z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + cₙxₙ，其中 Z 为目标函数值，c₁, c₂, ..., cₙ 为系数，x₁,x₂, ..., xₙ 为决策变量。

2. 决策变量：决策变量是问题中需要决策的变量，通常表示为x₁, x₂, ..., xₙ。

决策变量的取值决定了目标函数的值。

3. 约束条件：约束条件限制了决策变量的取值范围。

约束条件可以是等式约束或不等式约束，通常表示为 a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ ≤ b₁，a₂₁x₁ +a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ ≤ b₂，...，aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ ≤ bₙ，其中 a₁₁, a₁₂, ..., aₙₙ 为系数，b₁, b₂, ..., bₙ 为常数。

4. 非负约束：线性规划中通常要求决策变量的取值非负，即 x₁ ≥ 0, x₂ ≥ 0, ...,xₙ ≥ 0。

三、线性规划的解法线性规划可以通过不同的方法进行求解，常见的方法包括图形法、单纯形法和内点法。

1. 图形法：图形法适用于二维或三维的线性规划问题。

首先将目标函数和约束条件转化为几何形式，然后在坐标系中绘制约束条件的图形，最后通过图形的分析找到最优解点。

2. 单纯形法：单纯形法是一种通过迭代寻找最优解的方法。

该方法从一个可行解开始，通过不断移动到相邻的可行解来逐步接近最优解。

单纯形法的核心是单纯形表，通过表格的变换和计算来确定下一个迭代点，直到找到最优解。

3. 内点法：内点法是一种通过迭代寻找最优解的方法。

线性规划基本知识线性规划是一种数学优化方法，用于在给定限制条件下最大或最小化线性目标函数。

它是现代数学、工程学和运筹学的基础之一，被广泛应用于制造业、金融、交通、物流等领域。

本文将介绍线性规划的基础知识，包括线性规划问题的表达方式、标准形式、单纯形法求解以及对偶理论等。

一、线性规划问题的表达方式线性规划问题的表达方式通常包含以下部分：1. 决策变量：表示求解问题时需要确定的变量，通常用x1、x2、......、xn表示。

2. 目标函数：表示优化的目标，通常是一个线性函数，用c1x1+c2x2+......+cnxn表示。

3. 约束条件：表示限制决策变量的取值范围，通常是线性等式或不等式，用a11x1+a12x2+......+a1nxn≤b1、a21x1+a22x2+......+a2nxn≤b2、......、am1x1+am2x2+......+amnxn≤bm 表示。

其中，决策变量x1、x2、......、xn的取值范围可以是非负实数集合、整数集合或者其他特定取值范围。

二、线性规划的标准形式通常情况下，线性规划问题都可以通过一些变换，转化为标准形式进行求解。

标准形式的线性规划问题包括以下三个部分：1. 最大化或最小化的目标函数2. 约束条件，所有约束条件都是小于等于号3. 决策变量的取值范围，所有决策变量都是非负实数三、单纯形法求解线性规划问题单纯形法是线性规划问题最常用的求解方法之一，它是一种迭代的过程，通过一系列基本变换（基本可行解、进入变量、离开变量、更新表格）逐步接近最优解。

单纯形法求解线性规划问题的步骤如下：1. 将线性规划问题转化为标准形式。

2. 确定一个初始可行解。

3. 计算第一行表格的系数，并找出最小的系数所在的列，作为进入变量。

4. 确定离开变量，通过将所有正数元素对应的值除以对应进入变量的系数，找到最小的元素所在的行，作为离开变量所在行。

5. 更新表格，完成一次迭代。

6. 重复第三至第五步，直至得到最优解或者确定问题无可行解或是无界问题。

线性规划知识点引言概述：线性规划是一种数学优化方法，用于解决线性约束条件下的最优化问题。

它在工程、经济学、管理学等领域有着广泛的应用。

本文将详细介绍线性规划的相关知识点。

一、线性规划的定义与基本概念1.1 目标函数：线性规划的目标是通过最大化或最小化目标函数来达到最优解。

目标函数是一条线性方程，表示需要优化的目标。

1.2 约束条件：线性规划问题还需要满足一组线性约束条件，这些条件对决策变量的取值范围进行了限制。

1.3 决策变量：决策变量是指在线性规划问题中需要进行决策的变量，其取值将影响目标函数的值。

二、线性规划的基本模型2.1 标准型线性规划：标准型线性规划是指目标函数为最小化问题，约束条件为等式形式的线性规划问题。

2.2 松弛变量与人工变量：为了将约束条件转化为等式形式，我们引入松弛变量和人工变量。

2.3 基变量与非基变量：在标准型线性规划中，基变量和非基变量是用来描述决策变量的状态的。

三、线性规划的解法3.1 单纯形法：单纯形法是一种常用的线性规划解法，通过迭代计算基变量和非基变量的取值，直到找到最优解。

3.2 对偶性理论：线性规划问题与其对偶问题之间存在着对偶关系。

对偶性理论可以帮助我们求解原始问题的最优解。

3.3 整数线性规划：当决策变量需要取整数值时，我们可以使用整数线性规划方法来求解。

整数线性规划问题更加复杂，通常需要使用分支定界等方法求解。

四、线性规划的应用领域4.1 生产计划：线性规划可以用于优化生产计划，通过合理安排生产资源和生产量，实现最大化利润或最小化成本。

4.2 运输问题：线性规划可以用于解决运输问题，通过合理分配运输量和运输路径，实现最优的物流方案。

4.3 资源分配：线性规划可以用于资源分配问题，如人力资源、资金分配等，通过最优化决策，实现资源的合理利用。

五、线性规划的局限性与拓展5.1 非线性规划：线性规划只适用于目标函数和约束条件为线性关系的问题。

对于非线性问题，我们需要使用非线性规划方法进行求解。

线性规划知识点一、概述线性规划（Linear Programming）是一种数学优化方法，用于在给定的约束条件下，寻找目标函数的最优解。

它常用于经济学、管理学、工程学等领域中的决策问题。

线性规划的目标函数和约束条件均为线性关系，因此称为线性规划。

二、基本概念1. 目标函数：线性规划的目标是最大化或最小化一个线性函数，称为目标函数。

通常用Z表示。

2. 决策变量：线性规划中需要决策的变量，通常用X1、X2、...、Xn表示。

3. 约束条件：线性规划中的限制条件，通常是一组线性等式或不等式，用于限制决策变量的取值范围。

4. 可行解：满足所有约束条件的解称为可行解。

5. 最优解：在所有可行解中，使目标函数取得最大值或最小值的解称为最优解。

三、标准形式线性规划的标准形式可以表示为：```max/min Z = c1x1 + c2x2 + ... + cnxnsubject toa11x1 + a12x2 + ... + a1nxn ≤ b1a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn ≤ b2...am1x1 + am2x2 + ... + amnxn ≤ bmx1, x2, ..., xn ≥ 0```其中，Z为目标函数，c1、c2、...、cn为目标函数的系数，a11、a12、...、amn为约束条件的系数，b1、b2、...、bm为约束条件的常数项。

四、线性规划的解法线性规划可以通过多种方法求解，常用的方法有：1. 图形法：适用于二维线性规划，通过绘制约束条件的直线和目标函数的等高线，找出最优解。

2. 单纯形法：适用于多维线性规划，通过迭代计算，不断改变基变量和非基变量，直到找到最优解。

3. 对偶理论：将线性规划问题转化为对偶问题，通过对偶问题的求解，得到原问题的最优解。

4. 整数规划：在线性规划的基础上，限制决策变量为整数，求解整数规划问题。

五、应用领域线性规划广泛应用于各个领域，包括但不限于：1. 生产计划：确定最佳的生产计划，使得成本最小或利润最大。

高中线性规划一、引言线性规划是运筹学中的一种重要方法，用于解决多个变量之间存在线性关系的优化问题。

在高中数学中，线性规划是一种常见的数学建模方法，用于解决实际生活中的最优化问题。

本文将详细介绍高中线性规划的基本概念、模型建立和求解方法。

二、基本概念1. 目标函数：线性规划的目标是通过最大化或者最小化目标函数来达到最优解。

目标函数是由决策变量线性组合而成的数学表达式。

2. 约束条件：线性规划问题通常有一组约束条件，这些条件限制了决策变量的取值范围。

约束条件可以是等式或者不等式。

3. 决策变量：决策变量是问题中需要决策的变量，通常用字母表示。

决策变量的取值将影响目标函数的值。

4. 可行解：满足所有约束条件的决策变量取值称为可行解。

5. 最优解：在所有可行解中，使目标函数取得最大（最小）值的解称为最优解。

三、模型建立1. 确定决策变量：根据问题的具体要求，确定需要决策的变量及其取值范围。

2. 建立目标函数：根据问题的最大化或者最小化要求，建立目标函数。

目标函数通常由决策变量线性组合而成。

3. 建立约束条件：根据问题中的限制条件，建立约束条件。

约束条件可以是等式或者不等式，通过对决策变量的限制来表达。

4. 确定可行解集合：根据约束条件，确定决策变量的取值范围，找出满足所有约束条件的可行解集合。

5. 求解最优解：通过数学方法求解目标函数在可行解集合上的最大（最小）值，得到最优解。

四、求解方法1. 图形法：对于二元线性规划问题，可以使用图形法求解。

首先，将约束条件转化为不等式，然后绘制约束条件的图形，确定可行解的区域。

接着，通过目标函数的等值线与可行解区域的边界相交，找到最优解。

2. 单纯形法：对于多元线性规划问题，可以使用单纯形法求解。

单纯形法是一种迭代求解的方法，通过不断调整决策变量的取值，使目标函数逐步趋近最优解。

3. 整数规划法：对于决策变量需要取整数值的线性规划问题，可以使用整数规划法求解。

整数规划法在单纯形法的基础上，增加了对决策变量取整的限制条件，通过枚举法或者分支定界法求解最优整数解。

运筹学中的线性规划理论与应用线性规划是运筹学中的一种重要工具，被广泛应用于经济、管理、工程等领域。

它的核心思想是通过建立数学模型，以线性目标函数和线性约束条件为基础，以最优化为目标，找到最佳的决策方案。

在本文中，我将讨论线性规划的基本概念和理论，并介绍其在实际应用中的案例。

一、线性规划的基本概念和理论线性规划主要研究如何分配有限资源以达到最优化的利益。

在线性规划中，决策变量、目标函数和约束条件是构建数学模型的三个基本要素。

1. 决策变量决策变量是指在问题中需要做决策的变量，通常表示为一个向量。

例如，在生产计划中，决策变量可以表示为不同产品的生产数量。

2. 目标函数目标函数是指在线性规划中需要最大化或最小化的目标指标。

目标函数通常是由决策变量线性组合而成的。

3. 约束条件约束条件是指在线性规划中限制决策变量取值范围的条件。

约束条件通常是由一系列线性不等式或等式组成的。

在线性规划问题中，通过将目标函数和约束条件转化为数学表达式，可以建立一个数学模型。

这个模型可以通过一系列数学方法求解，以达到最优化的目标。

二、线性规划在实际应用中的案例线性规划在现代管理和决策中有着广泛的应用。

以下是几个典型的案例。

1. 生产计划在生产计划中，线性规划可以用于确定不同产品的生产数量，以最大化利润或满足市场需求。

2. 配送问题在物流配送中，线性规划可以用于合理安排不同配送点的货物数量和时间，以最小化配送成本。

3. 投资组合在金融领域，线性规划可以用于确定不同投资项目的投资比例，以最大化收益或降低风险。

4. 网络流问题在网络建设中，线性规划可以用于确定网络中各节点之间的流量分配，以最大化网络传输效率。

这些案例只是线性规划在实际应用中的冰山一角。

在现代运筹学和管理科学中，线性规划以其简单、有效和灵活的特点，成为了决策分析的重要工具。

总结：线性规划是运筹学中的一种重要工具，通过建立数学模型，以线性目标函数和约束条件为基础，以最优化为目标，解决实际决策问题。

数学中的线性规划理论在数学领域中，线性规划是一种重要的优化方法，它被广泛应用于工程、经济、管理等领域。

线性规划的基本思想是通过数学模型来解决最优化问题，即在给定的约束条件下，寻找一个最佳的决策方案。

线性规划的理论体系包括线性规划问题的建模、求解方法以及应用等方面。

一、线性规划的基本概念线性规划问题是指在一组线性约束条件下，求解线性目标函数的最大值或最小值的问题。

线性规划问题的一般形式可以表示为：$$\begin{align*}&\text{maximize}\quad c^T x\\&\text{subject to}\quad Ax \leq b\\&\quad\quad\quad\quad x \geq 0\end{align*}$$其中，$c$是一个$n$维向量，表示目标函数的系数；$x$是一个$n$维向量，表示决策变量；$A$是一个$m\times n$的矩阵，表示约束条件的系数；$b$是一个$m$维向量，表示约束条件的右端常数。

线性规划问题的解称为最优解，它是目标函数在约束条件下的最大值或最小值。

线性规划问题的解可以通过几何方法、单纯形法、内点法等多种方法来求解。

二、线性规划的几何解释线性规划问题可以通过几何方法进行解释和求解。

在二维平面上，线性规划问题可以表示为一个凸多边形的最大面积或最小面积的问题。

通过对凸多边形的边界进行分析，可以确定最优解所在的顶点。

在三维空间中，线性规划问题可以表示为一个凸多面体的最大体积或最小体积的问题。

通过对凸多面体的面和边进行分析，可以确定最优解所在的顶点或边界。

几何方法在线性规划问题的求解中起到了重要的作用，它直观地展示了最优解的几何特征，并为进一步的求解提供了指导。

三、线性规划的求解方法线性规划问题的求解方法有很多种，其中最著名和最常用的方法是单纯形法。

单纯形法是由Dantzig于1947年提出的，它通过不断迭代改进当前解，直到达到最优解。

第四章 线性规划本章主要内容：线性规划的基本理论 线性规划的单纯形法 线性规划的对偶理论 线性规划的对偶单纯形法教学目的及要求：理解线性规划的基本理论；掌握线性规划的单纯形法；理解线性规划的对偶理论；掌握线性规划的对偶单纯形法。

教学重点：线性规划的单纯形法． 教学难点：线性规划的对偶单纯形法． 教学方法：启发式．教学手段：多媒体演示、演讲与板书相结合． 教学时间：6学时． 教学内容：§4.1 线性规划的基本理论考虑线性规划问题11min ;,1,2,,,0,1,2,,.nj j j n ij j i j j c x a x b i m x j n ==⎧⎪⎪⎪==⎨⎪⎪≥=⎪⎩∑∑s.t. (LP)或min ;,0.T c x Ax b x ⎧⎪=⎨⎪≥⎩s.t. 其中 121212(,,,),(,,,),(,,,),(),T T T n n m ij m n x x x x c c c c b b b b A a ⨯====A 称为约束矩阵，Ax b =称为约束方程组，0x ≥称为非负约束．假定：rank()A m =．定义 在（LP ）中，满足约束方程组及非负约束的向量x 称为可行解或可行点；所有可行解的全体称为可行解集或可行域，记作K ，即{,0}K Ax b x ==≥．使目标函数在K 上取到最小值的可行解称为最优解；最优解对应的目标函数值称为最优值．定义 在（LP ）中，约束矩阵A 的任意一个m 阶满秩子方阵B 称为基，B 中m 个线性无关的列向量称为基向量，x 中与B 的列对应的分量称为关于B 的基变量，其余的变量称为关于B 的非基变量．任取（LP ）的一个基12(,,,)m j j j B p p p =，记12(,,,)m T B j j j x x x x =，若令关于B 的非基变量都取0，则约束方程Ax b =变为B Bx b =．由于B 是满秩方阵，因此B Bx b =有唯一解1B x B b -=．记121(,,,)m T j j j B b x x x -=，则由12,1,2,,,0,{1,2,,}{,,,}k k j j j m x x k m x j n j j j ===∀∈-所构成的n 维向量x 是Ax b =的一个解，称之为（LP ）的关于B 的基本解．基本解满足约束方程组，但不一定满足非负约束，所以不一定是可行解．若10B b -≥，即基本解x 也是可行解，则称x 为（LP ）的关于基B 的基本可行解，相应的基B 称为（LP ）的可行基；当10B b ->时，称此基本可行解x 是非退化的，否则，称之为退化的．若一个（LP ）的所有基本可行解都是非退化的，则称该（LP ）是非退化的，否则，称它是退化的．例1 求下列线性规划问题的所有基本可行解．12123124min 44;4,2,0,1,2,3,4.j x x x x x x x x x j -⎧⎪-+=⎪⎨-++=⎪⎪≥=⎩s.t. 解 约束矩阵的4个列向量依次为12341110,,,1101p p p p -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．全部基为113214323424534(,),(,),(,),(,),(,),B p p B p p B p p B p p B p p =====对于1B ，1x 和3x 为基变量，2x 和4x 为非基变量．令2x =4x =0，有1314,2,x x x +=⎧⎨-=⎩ 得到关于1B 的基本解(1)(2,0,6,0)T x =-，它不是可行解．对于2B ，1x 和4x 为基变量，2x 和3x 为非基变量．令2x =3x =0，有1144,2,x x x =⎧⎨-+=⎩ 得到关于2B 的基本解(2)(4,0,0,6)T x =，它是一个非退化的基本可行解．同理，可求得关于345,,B B B 的基本解分别为(3)(4)(5)(0,2,6,0),(0,4,0,6),(0,0,4,2)T T T x x x ==-=，显然，(3)x 和(5)x 均是非退化的基本可行解，而(4)x 不是可行解．因此，该问题的所有基本可行解为(2)(3)(5),,x x x ．此外，因为这些基本可行解都是非退化的，所以该问题是非退化的．定理1 设x 为（LP ）的可行解，则x 为（LP ）的基本可行解的充要条件是它的非零分量所对应的列向量线性无关．证明 不妨设x 的前r 个分量为正分量，即12(,,,,0,,0),0(1,2,,).T r j x x x x x j r =>=若x 是基本可行解，则取正值的变量12,,,r x x x 必定是基变量，而这些基变量对应的列向量12,,,r p p p 是基向量．故必定线性相关．反之，若12,,,r p p p 线性无关，则必有0r m ≤≤．当r m =时，12(,,,)r B p p p =就是一个基；当r m <时，一定可以从约束矩阵A 的后n r -个列向量中选出m r -个，不妨设为12,,,r r m p p p ++，使121(,,,,,,)r r m B p p p p p +=成为一个基．由于x 是可行解，因此1rj j j x p b ==∑，从而必有1mj j j x p b ==∑．由此可知x 是关于B 的基本可行解．定理2 x 是（LP ）的基本可行解的充要条件是x 为（LP ）的可行域的极点． 证明 由定理4.1.1和定理2.2.2知结论成立． 例2 求下列线性规划问题的可行域的极点．1212314min ;22,2,0,1,2,3,4.j x x x x x x x x j -⎧⎪++=⎪⎨+=⎪⎪≥=⎩s.t. 解 因为约束矩阵的4个列向量依次为12341210,,,1001p p p p ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．全部基为112213314424534(,),(,),(,),(,),(,),B p p B p p B p p B p p B p p =====求得关于基12345,,,,B B B B B 的基本解分别为(1)(2)(3)(4)(5)(2,0,0,0),(2,0,0,0),(2,0,0,0),(0,1,0,2),(0,0,2,2)T T T T Tx x x x x =====显然，(1)(2)(3),,x x x 均为退化的基本可行解，(4)(5),x x 是非退化的基本可行解．可行域有三个极点：(2,0,0,0)T ，(0,1,0,2)T ，(0,0,2,2)T ．定理3 若（LP ）有可行解，则它必有基本可行解． 证明 由定理2.2.1及定理4.1.2知结论成立．定理4 若（LP ）的可行域K 非空有界，则（LP ）必存在最优解，且其中至少有一个基本可行解为最优解．证明 根据推论2.2.6，（LP ）的任一可行解x 都可表示为（LP ）的全部基本可行解12,,,k x x x 的凸组合，即1,ki i i x x x K λ==∀∈∑，其中10(1,2,,),1ki i i i k λλ=≥==∑．设s x 是使（LP ）中目标函数值达到最小的基本可行解，即 1min T T s i i kc x c x ≤≤=，则11,kkTTT T i i i s s i i c x c x c x c x x K λλ===≥=∀∈∑∑．这表明，基本可行解s x 为（LP ）的最优解．定理5 设（LP ）的可行域K 无界，则（LP ）存在最优解的充要条件是对K 的任一极方向d ，均有0T c d ≥．证明 根据定理2.2.10，（LP ）的任一可行解x 都可写成11kli i j j i j x x d λμ===+∑∑，其中12,,,k x x x 为（LP ）的全部基本可行解，12,,,l d d d 为K 的全部极方向，且10(1,2,,),1,0(1,2,,)ki i j i i k j l λλμ=≥==≥=∑．于是，（LP ）等价于下面以0(1,2,,)0(1,2,,)i j i k j l λμ≥=≥=和为决策变量的线性规划问题111min ()();1,0,1,2,,,0,1,2,,.k lT T i i j j i j k i i i j c x c d i k j l λμλλμ===⎧+⎪⎪⎪⎪=⎨⎪⎪≥=⎪≥=⎪⎩∑∑∑s.t. 由于j μ可以任意大，因此若存在某个j d ，使0T j c d <，则上述问题的目标函数无下界，从而不存在最优解，从而（LP ）不存在最优解．若1,2,,j l ∀=，均有0T j c d ≥，设1min T T s i i kc x c x ≤≤=，则11()(),k lTTT T i i j j s i j c x c x c d c x x K λμ===+≥∀∈∑∑．所以基本可行解s x 是（LP ）的最优解．推论6 若（LP ）的可行域K 无界，且（LP ）存在最优解，则至少存在一个基本可行解为最优解．证明 由定理4.1.5的证明过程可知结论成立． 定理7 设在（LP ）的全部基本可行解12,,,k x x x 中，使目标函数值最小者为12,,,s i i i x x x ；在K 的全部极方向12,,,l d d d 中，满足0T j c d =者为12,,,t j j j d d d ．若（LP ）存在最优解，则x 为（LP ）的最优解的充要条件是存在10(1,2,,),1,0(1,2,,)pp q si i j p p s q t λλμ=≥==≥=∑使11p p q q sti i j j p q x x d λμ===+∑∑． （*）证明 因为（LP ）存在最优解，所以由定理4.1.4和推论4.1.6及其证明知，基本可行解12,,,s i i i x x x 是（LP ）的最优解．设x 具有（*）式的形式，则由推论2.2.6和定理2.2.10知，x 为（LP ）的可行解，从而由（*）式知，111p p q q stTTT T i i j j i p q c x c x c d c x λμ===+=∑∑因此，x 为（LP ）的最优解．反之，设x 为（LP ）的任一最优解，则x 为可行解，于是由推论2.2.6和定理2.2.10知，存在 10(1,2,,),1,0(1,2,,)ki i j i i k j l λλμ=≥==≥=∑，使 11kli i j j i j x x d λμ===+∑∑． （**）根据定理1.1.5，有 0,1,2,,T j c d j l ≥=， 且由1i x 为最优解知1,1,2,,T T i i c x c x i k ≥=．从而由上述两式容易用反证法证明：若（**）式中某个0i λ>，则i x 必为（LP ）的最优解；若（**）式中某个0j μ>，则必有0T j c d =。

线性规划的方法论线性规划（Linear Programming, LP）是一种运筹学方法，用于解决线性约束条件下的优化问题。

它的目标是找到一个最优的决策方案，使得目标函数值最大化或最小化。

线性规划在经济、管理、工程、决策科学等领域得到广泛应用，是运筹学的重要分支之一。

线性规划的方法论主要包括六个基本步骤：问题建模、目标函数的确定、约束条件的建立、单纯形法求解、解的解释和灵敏度分析。

下面我将逐一介绍这些步骤。

1. 问题建模问题建模是线性规划的第一步，需要将实际问题转化为数学模型。

首先需要明确决策变量，即需要进行决策的变量。

然后确定目标函数，即需要最大化或最小化的函数。

最后建立约束条件，即限制决策变量取值的条件。

2. 目标函数的确定目标函数是衡量决策结果优劣的函数，可以是最大化利润、最小化成本等。

目标函数的形式可以是线性函数、多项式函数或指数函数等，但在线性规划中，目标函数通常是线性函数。

3. 约束条件的建立约束条件是限制决策变量取值的条件，它们可以是等式约束或不等式约束。

线性规划中的约束条件是由给定的问题决定的，比如资源约束、技术约束等。

约束条件的形式需要与目标函数形式匹配，即线性约束条件与线性目标函数相匹配。

4. 单纯形法求解单纯形法是一种求解线性规划问题的算法，它通过不断迭代来找到最优解。

单纯形法的基本思想是从可行解中找到一个改进的方向，然后沿该方向进行移动，直到找到最优解为止。

单纯形法的求解过程中，需要对角度表和单纯形表进行操作，通过选择基本变量和非基本变量进行迭代计算。

5. 解的解释线性规划求解得到的解需要进行解释和分析。

解的解释是对最优解的实际意义进行解释，包括各个决策变量的取值以及目标函数的值。

解的分析是对解进行灵敏度分析，分析最优解的变化情况对问题的影响。

6. 灵敏度分析灵敏度分析是对线性规划解进行分析，分析结果对问题的解释和应用。

灵敏度分析可以分为参数变化分析和解的变化分析两个部分。