2020年浙江省新昌中学、浦江中学、富阳中学高考数学模拟试卷(5月份)(有答案解析)

2020年浙江省杭州高中高考数学质检试卷（5月份）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合P ＝{x ∈R|−1<x <1}，Q ＝{x ∈R|0≤x <2}，那么P ∩∁R Q ＝（ ） A.(0, 1) B.(−1, 2) C.(−1, 0) D.(1, 2)2. 双曲线x 29−y 216=1的左顶点到其渐近线的距离为（ ） A.95B.2C.125D.33. 已知一个四棱锥的正视图和俯视图如图所示，则该几何体的侧视图为（ ）A. B. C. D.4. 若x ，y 满足约束条件{x ≥0，x +y −3≥0，x −2y ≤0.则z =x +2y 的取值范围是( )A.[0, 4]B.[0, 6]C.[6, +∞)D.[4, +∞)5. 若函数f(x)＝(4mx −n)2的大致图象如图所示，则（ ）A.m >0，n >1B.m >0，0<n <1C.m <0，0<n <1D.m <0，n >16. 如果对于任意实数x ，<x >表示不小于x 的最小整数，例如<1.1>＝2，<−1.1>＝−1，那么“|x −y|<1”是“<x >＝<y >”的（ ） A.必要不充分条件 B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7. 已知随机变量ξ的分布列如表：则当a 在(0,12)内增大时（ ） A.Dξ减小B.Dξ增大C.Dξ先增大后减小D.Dξ先减小后增大8. 已知e 1→，e 2→，e 3→是空间单位向量，且满足e 1→⋅e 2→=e 2→⋅e 3→=e 3→⋅e 1→=12，若向量b →=3λe 1→+(1−λ)e 2→，λ∈R ．则e 3→在b →方向上的投影的最大值为（ ） A.√23B.√22C.√32D.√339. 已知k ∈R ，设函数f(x)={x 2−2kx +2k,x ≤1(x −k −1)e x +e 3,x >1，若关于x 的不等式f(x)≥0在x ∈R 上恒成立，则k的取值范围为（ ） A.[2, e 2] B.[0, e 2] C.[0, 4] D.[0, 3]10. 已知数列{a n }满足：a n >0，且a n 2＝3a n+12−2a n+1(n ∈N ∗)，下列说法正确的是（ ）A.若a 1＝2，则a n ≥1+(37)n−1 B.若a 1=12，则a n >a n+1 C.a 1+a 5≤2a3 D.|a n+2−a n+1|≥√33|a n+1−a n |二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．设z =1−i1+i +2（i 为虚数单位），则z 的共轭复数z ¯=________，|z|＝________．在二项式(√x −1x )6的展开式中，常数项是________，有理项的的个数是________．已知方程为x 2+y 2+2x −ay +a ＝0的圆关于直线4x +y ＝0对称，则圆的半径r ＝ 2√2 ，若过点M(1, 0)作该圆的切线，切点为A ，则线段MA 长度为________．在△ABC 中，BC ＝4，∠B ＝135∘，点D 在线段AC 上，满足BD ⊥BC ，且BD ＝2，则cos A ＝________，AD ＝________．某地为提高社区居民身体素质和保健意识，从5名医生和2名护士共7名医务工作者中选出队长1人、副队长1人、普通医务工作者2人组成4人医疗服务队轮流到社区为居民进行医疗保健服务，要求医疗服务队中至少有1名护士，则共有________种不同的选法（用数字作答）已知a >0，若集合A ＝{x ∈Z||2x 2−x −a −2|+|2x 2−x +a −2|＝2a}中的元素有且仅有两个，则实数a 的取值范围是________．已知椭圆C:x 2a +y 2b =1(a >b >0)的离心率是√22，若以N(0, 2)为圆心且与椭圆C 有公共点的圆的最大半径为√26，此时椭圆C 的方程是________．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．已知函数f(x)=A sin (ωx +φ)(x ∈R,A >0,ω>0,0<φ<π2)的部分图象如图所示．（1）求函数f(x)的解析式；（2）求函数g(x)=f(x −π12)−f(x +π12)在[π4,13π24]上的值域．如图，四棱台ABCD −A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是菱形，CC 1⊥底面ABCD ，且∠BAD ＝60∘，CD ＝CC 1＝2C 1D 1＝4，E 是棱BB 1的中点．（1）求证：AA 1⊥BD ；（2）求直线AA 1与平面A 1EC 1所成线面角的正弦值．已知公差非零的等差数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N ∗)，且a 1，a 2，a 4成等比数列，且S 4＝10，数列{b n }满足b 1＝2，b n −b n−1=2n−1(n ≥2,n ∈N ∗)． （1）求数列{a n }和{b n }的通项公式；（2）设数列{c n }满足c n =ln a n b n,(n ∈N +)，求证：(1−12n−1)⋅ln √2≤c 2+...+c n <34，(n ∈N ∗, n ≥2)．已知O 是坐标系的原点，F 是抛物线C:x 2=4y 的焦点，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，弦AB 的中点为M ，△OAB 的重心为G ．(1)求动点G 的轨迹方程；(2)设(1)中的轨迹与y 轴的交点为D ，当直线AB 与x 轴相交时，令交点为E ，求四边形DEMG 的面积最小时直线AB 的方程．已知函数f(x)＝(x −a)e x (a ∈R)． （1）讨论f(x)的单调性；,1)恒成立，求b的最（2）当a＝2时，设函数g(x)＝f(x)+ln x−x−b，b∈Z，若g(x)≤0对任意的x∈(13小值．参考答案与试题解析2020年浙江省杭州高中高考数学质检试卷（5月份）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.【答案】此题暂无答案【考点】交常并陆和集工混合运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】此题暂无答案【考点】双曲根气离心率【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答3.【答案】此题暂无答案【考点】简单空间较形脱三视图【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】此题暂无答案【考点】求线性目于函数虫最值简单因性规斯【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5. 【答案】此题暂无答案【考点】函数与方都的综合运着【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】此题暂无答案【考点】充分常件、头花条件滤充要条件【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答7.【答案】此题暂无答案【考点】离散验他空变量截其分布列【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答8.【答案】此题暂无答案【考点】平面射量长量化的性置及其运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答9.【答案】此题暂无答案【考点】函数于成立姆题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答10.【答案】此题暂无答案【考点】数于术推式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．【答案】此题暂无答案【考点】复根的务复三的刺算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】二项式定因及京关概念【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】圆的水射方程直线与都连位置关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】解都还形三角形射面积公放【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】排列水使合及原判计数问题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】元素与集水根系的判断【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】椭圆较标准划程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．【答案】此题暂无答案【考点】由y=于si械（ωx+美）的部分角象六定其解断式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】直线与正键所成的角直线验周面垂直【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】数于术推式数使的种和【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】直线水常物草结合夹最值问题基本常等式簧最母问赤中的应用轨表方擦【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】利用验我研究务能的单调性利验热数技究女数的最值【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答。

浙江省2020届高三高考模拟试题数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知U＝R，集合A={x|x＜32}，集合B＝{y|y＞1}，则∁U（A∩B）＝（）A．[32，+∞)B．(−∞，1]∪[32，+∞)C．(1，32)D．(−∞，32)2．已知i是虚数单位，若z=3+i1−2i，则z的共轭复数z等于（）A．1−7i3B．1+7i3C．1−7i5D．1+7i53．若双曲线x2m−y2=1的焦距为4，则其渐近线方程为（）A．y=±√33x B．y=±√3x C．y=±√55x D．y=±√5x4．已知α，β是两个相交平面，其中l⊂α，则（）A．β内一定能找到与l平行的直线B．β内一定能找到与l垂直的直线C．若β内有一条直线与l平行，则该直线与α平行D．若β内有无数条直线与l垂直，则β与α垂直5．等差数列{a n}的公差为d，a1≠0，S n为数列{a n}的前n项和，则“d＝0”是“S2nS n∈Z”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．随机变量ξ的分布列如表：ξ﹣1012P13a b c其中a，b，c成等差数列，若E(ξ)=19，则D（ξ）＝（）A．181B．29C．89D．80817．若存在正实数y，使得xyy−x =15x+4y，则实数x的最大值为（）A．15B．54C．1D．48．从集合{A，B，C，D，E，F}和{1，2，3，4，5，6，7，8，9}中各任取2个元素排成一排（字母和数字均不能重复）．则每排中字母C 和数字4，7至少出现两个的不同排法种数为（ ） A ．85B ．95C ．2040D ．22809．已知三棱锥P ﹣ABC 的所有棱长为1．M 是底面△ABC 内部一个动点（包括边界），且M 到三个侧面P AB ，PBC ，P AC 的距离h 1，h 2，h 3成单调递增的等差数列，记PM 与AB ，BC ，AC 所成的角分别为α，β，γ，则下列正确的是（ ）A ．α＝βB ．β＝γC ．α＜βD ．β＜γ10．已知|2a →+b →|=2，a →⋅b →∈[−4，0]，则|a →|的取值范围是（ ） A ．[0，1]B ．[12，1]C ．[1，2]D ．[0，2]二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分． 11．若α∈(0，π2)，sinα=√63，则cosα＝ ，tan2α＝ ．12．一个长方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则该几何体与原长方体的体积之比是 ，剩余部分表面积是 ．13．若实数x ，y 满足{x +y −3≥02x −y +m ≤0y ≤4，若3x +y 的最大值为7，则m ＝ ．14．在二项式(√x +1ax 2)5(a ＞0)的展开式中x﹣5的系数与常数项相等，则a 的值是 ．15．设数列{a n }的前n 项和为S n ．若S 2＝6，a n +1＝3S n +2，n ∈N *，则a 2＝ ，S 5＝ ． 16．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ．已知a cos B ＝b cos A ，∠A =π6，边BC 上的中线长为4．则c ＝ ；AB →⋅BC →= ．17．如图，过椭圆C：x2a2+y2b2=1的左、右焦点F1，F2分别作斜率为2√2的直线交椭圆C上半部分于A，B两点，记△AOF1，△BOF2的面积分别为S1，S2，若S1：S2＝7：5，则椭圆C离心率为．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（14分）已知函数f(x)=sin(2x+π3)+sin(2x−π3)+2cos2x，x∈R．（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；（2）求函数f（x）在区间[−π4，π2]上的最大值和最小值．19．（15分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1．（1）求证：AB1⊥平面A1BC1；（2）若D在B1C1上，满足B1D＝2DC1，求AD与平面A1BC1所成的角的正弦值．20．（15分）已知等比数列{a n}（其中n∈N*），前n项和记为S n，满足：S3=716，log2a n+1＝﹣1+log2a n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{a n•log2a n}（n∈N*）的前n项和T n．21．（15分）已知抛物线C：y=12x2与直线l：y＝kx﹣1无交点，设点P为直线l上的动点，过P作抛物线C的两条切线，A，B为切点．（1）证明：直线AB恒过定点Q；（2）试求△P AB面积的最小值．22．（15分）已知a为常数，函数f（x）＝x（lnx﹣ax）有两个极值点x1，x2（x1＜x2）．（1）求a的取值范围；（2）证明：f(x1)−f(x2)＜12．一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【详解详析】∵U＝R，A={x|x＜32}，B＝{y|y＞1}，∴A∩B=(1，32)，∴∁U(A∩B)=(−∞，1]∪[32，+∞)．故选：B．2．【详解详析】∵z=3+i1−2i =(3+i)(1+2i)(1−2i)(1+2i)=15+75i，∴z=15−75i．故选：C．3．【详解详析】双曲线x2m−y2=1的焦距为4，可得m+1＝4，所以m＝3，所以双曲线的渐近线方程为：y=±√33x．故选：A．4．【详解详析】由α，β是两个相交平面，其中l⊂α，知：在A中，当l与α，β的交线相交时，β内不能找到与l平行的直线，故A错误；在B中，由直线与平面的位置关系知β内一定能找到与l垂直的直线，故B正确；在C中，β内有一条直线与l平行，则该直线与α平行或该直线在α内，故C错误；在D 中，β内有无数条直线与l 垂直，则β与α不一定垂直，故D 错误． 故选：B ．5．【详解详析】等差数列{a n }的公差为d ，a 1≠0，S n 为数列{a n }的前n 项和， “d ＝0”⇒“S 2n S n∈Z ”，当S2nS n∈Z 时，d 不一定为0，例如，数列1，3，5，7，9，11中，S 6S 3=1+3+5+7+9+111+3+5=4，d ＝2，故d ＝0”是“S 2n S n∈Z ”的充分不必要条件．故选：A ．6．【详解详析】∵a ，b ，c 成等差数列，E （ξ）=19， ∴由变量ξ的分布列，知：{a +b +c =232b =a +c (−1)×13+b +2c =19，解得a =13，b =29，c =19，∴D （ξ）＝（﹣1−19）2×13+（0−19）2×13+（1−19）2×29+（2−19）2×19=8081．故选：D ．7．【详解详析】∵xyy−x =15x+4y ， ∴4xy 2+（5x 2﹣1）y +x ＝0， ∴y 1•y 2=14＞0， ∴y 1+y 2=−5x 2−14x ≥0，∴{5x 2−1≥0x ＜0，或{5x 2−1≤0x ＞0， ∴0＜x ≤√55或x ≤−√55①， △＝（5x 2﹣1）2﹣16x 2≥0， ∴5x 2﹣1≥4x 或5x 2﹣1≤﹣4x ， 解得：﹣1≤x ≤15②，综上x 的取值范围是：0＜x ≤15；x的最大值是15，故选：A．8．【详解详析】根据题意，分2步进行分析：①，先在两个集合中选出4个元素，要求字母C和数字4，7至少出现两个，若字母C和数字4，7都出现，需要在字母A，B，D，E，F中选出1个字母，有5种选法，若字母C和数字4出现，需要在字母A，B，D，E，F中选出1个字母，在1、2、3、5、6、8、9中选出1个数字，有5×7＝35种选法，若字母C和数字7出现，需要在字母A，B，D，E，F中选出1个字母，在1、2、3、5、6、8、9中选出1个数字，有5×7＝35种选法，若数字4、7出现，需要在字母A，B，D，E，F中选出2个字母，有C52＝10种选法，则有5+35+35+10＝85种选法，②，将选出的4个元素全排列，有A44＝24种情况，则一共有85×24＝2040种不同排法；故选：C．9．【详解详析】依题意知正四面体P﹣ABC的顶点P在底面ABC的射影是正三角形ABC的中心O，由余弦定理可知，cosα＝cos∠PMO•cos＜MO，AB＞，其中＜MO，AB＞表示直线MO与AB的夹角，同理可以将β，γ转化，cosβ＝cos∠PMO•cos＜MO，BC＞，其中＜MO，BC＞表示直线MO与BC的夹角，cosγ＝cos∠PMO•cos＜MO，AC＞，其中＜MO，AC＞表示直线MO与AC的夹角，由于∠PMO是公共的，因此题意即比较OM与AB，BC，AC夹角的大小，设M到AB，BC，AC的距离为d1，d2，d3则d1＝sinℎ1θ，其中θ是正四面体相邻两个面所成角，sinθ=2√23，所以d1，d2，d3成单调递增的等差数列，然后在△ABC中解决问题由于d1＜d2＜d3，可知M在如图阴影区域（不包括边界）从图中可以看出，OM与BC所成角小于OM与AC所成角，所以β＜γ，故选：D．10．【详解详析】选择合适的基底．设m →=2a →+b →，则|m →|=2，b →=m →−2a →，a →⋅b →=a →⋅m →−2a →2∈[−4，0]， ∴（a →−14m →）2=a →2−12a →•m →+116m →2≤8+116m →2 |m →|2=m →2＝4，所以可得：m→28=12，配方可得12=18m →2≤2(a →−14m →)2≤4+18m →2=92，所以|a →−14m →|∈[12，32]， 则|a →|∈[0，2]． 故选：D ．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分． 11．【详解详析】∵α∈(0，π2)，sinα=√63， ∴cosα=√1−sin 2α=√33，tanα=sinαcosα=√2，∴tan2α=2tanα1−tan 2α=√21−(√2)2=−2√2．故答案为：√33，﹣2√2．12．【详解详析】根据几何体的三视图转换为几何体为： 如图所示：该几何体为长方体切去一个角．故：V =2×1×1−13×12×2×1×1=53．所以：V 1V =532=56．S ＝2（1×2+1×2+1×1）−12(1×2+1×2+1×1)+12×√2×√2=9．故答案为：56，9．13．【详解详析】作出不等式组{x +y −3≥02x −y +m ≤0y ≤4对应的平面区域如图：（阴影部分）．令z ＝3x +y 得y ＝﹣3x +z ， 平移直线y ＝﹣3x +z ， 由图象可知当3x +y ＝7．由 {3x +y =7y =4，解得 {x =1y =4，即B （1，4），同时A 也在2x ﹣y +m ＝0上， 解得m ＝﹣2x +y ＝﹣2×1+4＝2． 故答案为：2．14．【详解详析】∵二项式(√x +1ax2)5(a ＞0)的展开式的通项公式为 T r +1=C 5r •(1a)r•x5−5r 2，令5−5r 2=−5，求得r ＝3，故展开式中x﹣5的系数为C 53•(1a )3；令5−5r 2=0，求得r ＝1，故展开式中的常数项为 C 51•1a =5a ， 由为C 53•(1a )3=5•1a ，可得a =√2，故答案为：√2．15．【详解详析】∵数列{a n }的前n 项和为S n ．S 2＝6，a n +1＝3S n +2，n ∈N *， ∴a 2＝3a 1+2，且a 1+a 2＝6，解得a 1＝1，a 2＝5，a 3＝3S 2+2＝3（1+5）+2＝20， a 4＝3S 3+2＝3（1+5+20）+2＝80， a 5＝3（1+5+20+80）+2＝320， ∴S 5＝1+5+20+80+320＝426． 故答案为：5，426．16．【详解详析】由a cos B ＝b cos A ，及正弦定理得sin A cos B ＝sin B cos A ， 所以sin （A ﹣B ）＝0， 故B ＝A =π6，所以由正弦定理可得c =√3a ，由余弦定理得16＝c 2+（a2）2﹣2c •a2•cos π6，解得c =8√217；可得a =8√77，可得AB →⋅BC →=−ac cos B =−8√77×8√217×√32=−967．故答案为：8√217，−967． 17．【详解详析】作点B 关于原点的对称点B 1，可得S △BOF 2=S△B′OF 1，则有S 1S2=|y A ||y B 1|=75，所以y A =−75y B 1．将直线AB 1方程x =√2y4−c ，代入椭圆方程后，{x =√24y −c x 2a 2+y 2b 2=1，整理可得：（b 2+8a 2）y 2﹣4√2b 2cy +8b 4＝0， 由韦达定理解得y A +y B 1=4√2b 2cb 2+8a 2，y A y B 1=−8b 4b 2+8a 2，三式联立，可解得离心率e =ca =12． 故答案为：12．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．【详解详析】（1）f （x ）＝sin2x +cos2x +1=√2sin(2x +π4)+1 所以最小正周期为π． 因为当π2+2kπ≤2x +π4≤3π2+2kπ时，f （x ）单调递减．所以单调递减区间是[π8+kπ，5π8+kπ]．（2）当x ∈[−π4，π2]时，2x +π4∈[−π4，5π4]，当2x +π4=π2函数取得最大值为√2+1，当2x +π4=−π4或5π4时，函数取得最小值，最小值为−√22×√2+1＝0．19．【详解详析】（1）在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝AA 1， 根据已知条件易得AB 1⊥A 1B ，由A 1C 1⊥面ABB 1A 1，得AB 1⊥A 1C 1， A 1B ∩A 1C 1＝A 1，以AB 1⊥平面A 1BC 1；（2）以A 1B 1，A 1C 1，A 1A 为x ，y ，z 轴建立直角坐标系，设AB ＝a ， 则A （0，0，a ），B （a ，0，a ），C 1(0，a ，0)，D(a3，2a 3，0)，所以AD →=(a3，2a 3，−a)，设平面A 1BC 1的法向量为n →，则n →=(1，0，−1)， 可计算得到cos ＜AD →，n →＞=2√77，所以AD 与平面A 1BC 1所成的角的正弦值为2√77． 20．【详解详析】（1）由题意，设等比数列{a n }的公比为q ， ∵log 2a n +1＝﹣1+log 2a n ， ∴log 2a n+1−log 2a n =log 2a n+1a n=−1，∴q =a n+1a n =12．由S 3=716，得a 1[1−(12)3]1−12=716，解得a 1=14．∴数列{a n }的通项公式为a n =12n+1．（2）由题意，设b n ＝a n •log 2a n ，则b n =−n+12n+1． ∴T n ＝b 1+b 2+…+b n =−(222+323+⋯+n+12n+1) 故−T n =222+323+⋯+n+12n+1，−T n2=223+⋯+n2n+1+n+12n+2．两式相减，可得−T n2=12+123+⋯+12n+1−n+12n+2=34−n+32n+2．∴T n=n+32n+1−32．21．【详解详析】（1）由y=12x2求导得y′＝x，设A（x1，y1），B（x2，y2），其中y1=12x12，y2=12x22则k P A＝x1，P A：y﹣y1＝x1（x﹣x1），设P（x0，kx0﹣1），代入P A直线方程得kx0﹣1+y1＝x1x0，PB直线方程同理，代入可得kx0﹣1+y2＝x2x0，所以直线AB：kx0﹣1+y＝xx0，即x0（k﹣x）﹣1+y＝0，所以过定点（k，1）；（2）直线l方程与抛物线方程联立，得到x2﹣2kx+2＝0，由于无交点解△可得k2＜2．将AB：y＝xx0﹣kx0+1代入y=12x2，得12x2−xx0+kx0−1=0，所以△=x02−2kx0+2＞0，|AB|=2√1+x02√△，设点P到直线AB的距离是d，则d=02√1+x02，所以S△PAB=12|AB|d=(x02−2kx0+2)32=[(x0−k)2+2−k2]32，所以面积最小值为(2−k2)32．22．【详解详析】（1）求导得f′（x）＝lnx+1﹣2ax（x＞0），由题意可得函数g（x）＝lnx+1﹣2ax有且只有两个零点．∵g′(x)=1x −2a=1−2axx．当a≤0时，g′（x）＞0，f′（x）单调递增，因此g（x）＝f′（x）至多有一个零点，不符合题意，舍去；当a＞0时，令g′（x）＝0，解得x=12a，所以x∈(0，12a )，g′(x)＞0，g(x)单调递增，x∈(12a，+∞)，g′(x)＜0，g(x)单调递减．所以x=12a 是g（x）的极大值点，则g(12a)＞0，解得0＜a＜12；（2）g（x）＝0有两个根x1，x2，且x1＜12a＜x2，又g（1）＝1﹣2a＞0，所以x1＜1＜12a＜x2，从而可知f（x）在区间（0，x1）上递减，在区间（x1，x2）上递增，在区间（x2，+∞）上递减．所以f(x1)＜f(1)=−a＜0，f(x2)＞f(1)=−a＞−1，2．所以f(x1)−f(x2)＜12。

2020年浙江高考仿真模拟卷数学2020.4一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合，，则（）A．B．C．D．2．若复数，则在复平面内对应的点位于 ( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．我国南北朝时期数学家祖暅，提出了著名的祖暅原理：“缘幂势既同，则积不容异也”．“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两等高几何体，若在每一等高处的截面积都相等，则两几何体体积相等．已知某不规则几何体与右侧三视图所对应的几何体满足“幂势既同”，其中俯视图中的圆弧为圆周，则该不规则几何体的体积为（）A．B．C．D．4．已知双曲线的一条渐近线过点，则C的离心率为A．B．C．D．35函数的部分图象大致是（）A．B．C．D．6．已知α，β，γ为平面，是直线，若α∩β＝，则“α⊥γ，β⊥γ”是“⊥γ”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．已知随机变量的分布列如下表：X -1 0 1P a b c其中.若的方差对所有都成立，则( )A． B． C． D．8．如图，平面四边形中，，是，中点，，，，将沿对角线折起至，使平面平面，则四面体中，下列结论不正确的是（）A．平面B．异面直线与所成的角为C．异面直线与所成的角为D．直线与平面所成的角为9．已知是边长为的正三角形，且，，设，当函数的最大值为-2时，（）A．B．C．D．10．已知等差数列满足，，数列满足，记数列的前项和为，若对于任意的，，不等式恒成立，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11．《九章算术》第七章“盈不足”中第一题：“今有共买物，人出八，盈三钱；人出七，不足四，问人数物价各几何？”借用我们现在的说法可以表述为：有几个人合买一件物品，每人出8元，则付完钱后还多3元；若每人出7元，则还差4元才够付款.问他们的人数和物品价格？答：一共有_____人；所合买的物品价格为_______元．12．在平面直角坐标系中，不等式组所表示的平面区域的面积等于______，的取值范围是______.13．在 ABC 中，C＝45°，AB＝6 ，D 为 BC 边上的点，且AD＝5，BD＝3 ，则cos B＝_____ ，AC＝_____．14．若的展开式中，的系数为6，则______，常数项的值为______．15．已知奇函数是定义在R上的单调函数，若函数恰有4个零点，则a的取值范围是______．16．某校举行“我爱我的祖国”征文比赛，从名获得一等奖的同学中选出名同学发表获奖感言，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，则不同发言顺序的种数为_____．（用数字作答）17．如图，，分别是椭圆的左、右顶点，圆的半径为2，过点作圆的切线，切点为，在轴的上方交椭圆于点，则_______．三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．已知函数.（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）求在区间[]上的最大值和最小值.19．如图，三棱柱中，分别为棱的中点.（1）在上确定点M，使平面，并说明理由.（2）若侧面侧面，求直线与平面所成角的正弦值.20．已知等差数列的前项和为，，公差，且，，成等比数列，数列满足，的前项和为.（Ⅰ）求数列和的通项公式；（Ⅱ）记，试比较与的大小.21．已知抛物线，准线方程为，直线过定点，且与抛物线交于两点，为坐标原点．(1)求抛物线方程；(2)是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由；(3)当时，设，记，求的最小值及取最小值时对应的．22．已知函数．(1)求函数的单调区间；(2)若不等式时恒成立，求的取值范围．2020年浙江高考仿真模拟卷数学2020.4一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合，，则（）A．B．C．D．【解析】选B.2．若复数，则在复平面内对应的点位于 ( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解析】＝，对应的点为（），在第四象限故选：D3．我国南北朝时期数学家祖暅，提出了著名的祖暅原理：“缘幂势既同，则积不容异也”．“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两等高几何体，若在每一等高处的截面积都相等，则两几何体体积相等．已知某不规则几何体与右侧三视图所对应的几何体满足“幂势既同”，其中俯视图中的圆弧为圆周，则该不规则几何体的体积为（）A．B．C．D．【解析】根据三视图知，该几何体是三棱锥与圆锥体的组合体，如图所示；则该组合体的体积为；所以对应不规则几何体的体积为．故选：B．4．已知双曲线的一条渐近线过点，则C的离心率为A．B．C．D．3 【解析】双曲线的渐近线方程为，由题意可得，可得，则双曲线的离心率为．故选：C．5函数的部分图象大致是（）A．B．C．D．【解析】由题知，的定义域为，且，所以是奇函数，排除C和D，将代入得，排除B,故选A.6．已知α，β，γ为平面，是直线，若α∩β＝，则“α⊥γ，β⊥γ”是“⊥γ”的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】由α⊥γ，β⊥γ，在γ内任取一点P，过P作a垂直于α，γ的交线，则a⊥α，又α，则a⊥，同理，在γ内过P作b垂直于β，γ的交线，则b⊥，可推出l⊥γ，反过来，若l⊥γ，α∩β＝l，根据面面垂直的判定定理，可知α⊥γ，β⊥γ，故“α⊥γ，β⊥γ”是“l⊥γ”的充要条件，故选：C．7．已知随机变量的分布列如下表：X -1 0 1P a b c其中.若的方差对所有都成立，则( )A． B． C． D．【解析】由的分布列可得：的期望为，，所以的方差，因为所以当且仅当时，取最大值，又对所有都成立，所以只需，解得，所以.故选D8．如图，平面四边形中，，是，中点，，，，将沿对角线折起至，使平面平面，则四面体中，下列结论不正确的是（）A．平面B．异面直线与所成的角为C．异面直线与所成的角为D．直线与平面所成的角为【解析】A选项：因为，分别为和两边中点，所以，即平面，A正确；B选项：因为平面平面，交线为，且，所以平面，即，故B正确；C选项：取边中点，连接，，则，所以为异面直线与所成角，又，，，即，故C错误，D选项：因为平面平面，连接，则所以平面，连接FC，所以为异面直线与所成角，又，∴,又， sin=，∴,D正确，故选C.9．已知是边长为的正三角形，且，，设，当函数的最大值为-2时，（）A．B．C．D．【解析】由题得，=，所以当时，的最大值为.故选：C10．已知等差数列满足，，数列满足，记数列的前项和为，若对于任意的，，不等式恒成立，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．【解析】由题意得，则，等差数列的公差，.由，得，则不等式恒成立等价于恒成立，而，问题等价于对任意的，恒成立.设，，则，即，解得或.故选:A.非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11．《九章算术》第七章“盈不足”中第一题：“今有共买物，人出八，盈三钱；人出七，不足四，问人数物价各几何？”借用我们现在的说法可以表述为：有几个人合买一件物品，每人出8元，则付完钱后还多3元；若每人出7元，则还差4元才够付款.问他们的人数和物品价格？答：一共有_____人；所合买的物品价格为_______元．【解析】设共有人，由题意知，解得，可知商品价格为53元.即共有7人，商品价格为53元.12．在平面直角坐标系中，不等式组所表示的平面区域的面积等于______，的取值范围是______.【解析】不等式组表示的可行域如图，三条直线围成的三角形，可得C（1，0），可得B（1，4），解得A（0，1）区域面积为：×4×1＝2．目标函数,根据图像得到过点A时取得最小值1，过点B时取得最大值6.故答案为：(1)2;(2).13．在 ABC 中，C＝45°，AB＝6 ，D 为 BC 边上的点，且AD＝5，BD＝3 ，则cos B＝_____ ，AC＝_____．【解析】∵AB＝6，AD＝5，BD＝3，在△ABD中，余弦定理cos B，∴sin B．正弦定理：，可得：AC．故答案为：，．14．若的展开式中，的系数为6，则______，常数项的值为______．【解析】的展开式的通项公式为，令，求得，可得的系数为，．令，求得，可得常数项的值为，故答案为：1；15．15．已知奇函数是定义在R上的单调函数，若函数恰有4个零点，则a的取值范围是______．【解析】由题意，因为，是偶函数，若恰有4个零点，等价为当时，有两个不同的零点，是奇函数，由，得，是单调函数，，即，当时，有两个根即可，当时，等价为，，设，要使当时，有两个根，则，即，即实数a的取值范围是，故答案为：16．某校举行“我爱我的祖国”征文比赛，从名获得一等奖的同学中选出名同学发表获奖感言，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，则不同发言顺序的种数为_____．（用数字作答）【解析】第一步：先选人，甲、乙至少有一人参加，用间接法，有第二步，将人排序，有故不同发言顺序的种数为.故答案为：17．如图，，分别是椭圆的左、右顶点，圆的半径为2，过点作圆的切线，切点为，在轴的上方交椭圆于点，则_______．【解析】连结，可得是边长为2的等边三角形，所以，可得直线的斜率，直线的斜率为，因此，直线的方程为，直线的方程为，设，由解得，因为圆与直线相切于点，所以，因此，故直线的斜率，因此直线的方程为，代入椭圆方程，消去得，解得或，因为直线交椭圆于与点，设，可得，由此可得.故答案为三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18．已知函数.（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）求在区间[]上的最大值和最小值.【解析】解(Ⅰ)====.所以的最小正周期为.（Ⅱ）因为,所以.于是,当,即时,取得最大值;当,即时,取得最小值.19．如图，三棱柱中，分别为棱的中点.（1）在上确定点M，使平面，并说明理由.（2）若侧面侧面，求直线与平面所成角的正弦值.【解析】(1)取BC中点M,连接AM,则AM∥平面PQB1；如图所示，取BB1中点N，连结AM,AN，为平行四边形，点N,P为中点，则，由线面平行的判定定理可得平面PQB1，同理可得，平面PQB 1，据此可得平面AMN∥平面PQB1，故平面.(2)作QO⊥平面ABB1A1,与A1A延长线交于O,则，，，，，，.作PN∥C1A1,则直线A1C1与平面PQB1所成角即直线PN与平面PQB1所成角，.设N到平面PQB1的距离为h,则，∴直线A1C1与平面PQB1所成角的正弦值为：.20．已知等差数列的前项和为，，公差，且，，成等比数列，数列满足，的前项和为.（Ⅰ）求数列和的通项公式；（Ⅱ）记，试比较与的大小.【解析】（Ⅰ）由已知得，即，又，∴，∴，.由得.时，.∴，显然也满足，∴.（Ⅱ），，，当时，，，当时，，，当时，，∴.综上，当时，；当时.21．已知抛物线，准线方程为，直线过定点，且与抛物线交于两点，为坐标原点．(1)求抛物线方程；(2)是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由；(3)当时，设，记，求的最小值及取最小值时对应的．【解析】（1）……①（2）设，据题意知直线的斜率存在，设②联立①②得，=.由于T（0，t）为定点，故t为定值，为定值. （3）,,,,由（2）知，，且，又，当时，，，，；当时，，符合上式.，令，则，，当即时，22．已知函数．(1)求函数的单调区间；(2)若不等式时恒成立，求的取值范围．【解析】（l），①若，，在上单调递增；②若,当时，，当时，，所以是函数的单调递增区间，是函数的单调减区间，综上所述，当时，的单调递增区间为；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.（2）由题意可知，不等式可转化为在时恒成立，令，，①若，则，在上单调递减，所以，不等式恒成立等价于，即；②若，则，当时，，当时，，在上单调递减，在上单调递增，所以，不符合题意；③若，当时，，在上单调递增，所以，不符合题意；综上所述，.。

2020年浙江省杭州市高考数学训练试卷（5月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若复数是纯虚数，则实数a的值为A. 1B. 2C. 1或2D.2.已知点P为内一点，且，则，，的面积之比等于A. 9：4：1B. 1：4：9C. 3：2：1D. 1：2：33.已知，，则A. B. C. D.4.已知，，其中m为实数，i为虚数单位，若，则m的值为A. 4B.C. 6D. 05.设与都是非零向量，则“”是“向量与夹角为锐角”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6.在中，已知，且，则的形状是A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形7.已知点，，，，则向量在方向上的投影为A. B. C. D.8.函数的部分图象大致为A. B.C. D.9.已知正方形ABCD的面积为2，点P在边AB上，则的最小值为A. B. C. 2 D.10.若均，为锐角，A. B. C. D.11.如图，在梯形ABCD中，，，，，，，则A. B. C. D.12.在中，点D满足，点E是线段AD上的一个动点，若，则的最小值是A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设复数，，则______．14.如图，在中，，P是BN上的一点，若，则实数m的值为______．15.计算：______．16.一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西，另一灯塔在船的南偏西，则这艘船是每小时航行______ ．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17.已知复数其中i是虚数单位，．若复数z是纯虚数，求m的值；求的取值范围．18.已知角为第一象限角，且．求，的值；求的值．19.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，已知Ⅰ证明：Ⅱ若的面积，求角A的大小．20.中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量，且的值为．求的大小；若，求的面积．21.观察以下各等式：分析上述各式的共同特点，猜想出反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明．22.某单位有A、B、C三个工作点，需要建立一个公共无线网络发射点0，使得发射点到三个工作点的距离相等．已知这三个工作点之间的距离分别为，，假定A、B、C、O四点在同一平面内．求的大小；求点O到直线BC的距离．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：由得或2，且得．故选：B．注意到复数，a，为纯虚数的充要条件是本题是对基本概念的考查，属于基础题．2.答案：C解析：解：，，如图：，，、P、G三点共线，且，GF为三角形ABC的中位线而，，的面积之比等于3：2：1故选C先将已知向量式化为两个向量共线的形式，再利用平行四边形法则及向量数乘运算的几何意义，三角形面积公式确定面积之比本题考查了向量式的化简，向量加法的平行四边形法则，向量数乘运算的几何意义等向量知识，充分利用向量共线是解决本题的关键3.答案：B解析：解：由，，得，，则，，．联立，解得，，．．故选：B．把已知等式两边平方，求得，进一步得到的值，联立求得，，得到，代入得答案．本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是中档题．4.答案：B解析：解：由题意可得，即，根据两个复数相等的充要条件可得，解得，故选B．由题意可得，根据两个复数相等的充要条件可得，解方程组求得m的值．本题考查两个复数相等的充要条件，得到，是解题的关键．5.答案：B解析：解：与都是非零向量，则“向量与夹角为锐角”“”，反之不成立，可能同向共线．因此“”是“向量与夹角为锐角”的必要不充分条件．故选：B．与都是非零向量，则“向量与夹角为锐角”“”，反之不成立，即可判断出结论．本题考查了向量夹角公式、向量共线定理、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6.答案：D解析：解：在中，，，故为直角三角形．再由，可得，即，，，故为等腰三角形．综上，为等腰直角三角形．故选：D．由，可得为直角三角形．再由，可得，，由此可得为等腰三角形．本题主要考查正弦定理、两角和的正弦公式的应用，属于中档题．7.答案：A解析：【分析】先求出向量、，根据投影定义即可求得答案．本题考查平面向量数量积运算，考查向量投影定义，属基础题，正确理解相关概念是解决问题的关键．【解答】解：，，则向量方向上的投影为：，故选：A．8.答案：C解析：解：函数的定义域为，且，即为奇函数，可排除选项B，D；又，故可排除选项A；故选：C．利用函数的奇偶性及特殊点的函数值，运用排除法得解．本题考查函数图象的运用，考查利用函数性质确定函数图象，属于基础题．9.答案：B解析：解：如图，，；正方形的面积为2，则边长为；；设，则；；的最小值为．故选B．可画出图形，根据正方形的面积为2可求出边长，结合图形，可得出，进行数量积的运算得出，可设，从而得出，配方便可求出最小值．考查向量减法的几何意义，向量数量积的运算及计算公式，配方法求最值．10.答案：B解析：【分析】本题考查两角和与差的三角函数的化简求值，注意角的范围与三角函数值的关系，考查计算能力；由题意求出，，利用，通过两角差的余弦函数求出，即可．【解答】解：，为锐角，则．，，则，．故选B．11.答案：B解析：解：在梯形ABCD中，，，，，，，，则；故选：B．直接利用向量的三角形法则，把已知都用，表示出来即可求解结论．本题考查向量的数量积的应用，考查向量的表示以及计算，考查计算能力．12.答案：C解析：解：如图，E在线段AD上，所以存在实数k使得；；；；；时，t取最小值．故选：C．根据共线向量基本定理可得到存在实数k，，，然后根据已知条件及向量的加法、减法的几何意义即可得到，从而得到代入t，进行配方即可求出t的最小值．考查共线向量基本定理，向量的加法、减法的几何意义，以及平面向量基本定理，配方法求二次函数最值．13.答案：解析：解：，，．故答案为：．把，代入，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．14.答案：解析：解：是BN上的一点，设，由，则，解得，故答案为：由已知中中，，P是BN上的一点，设后，我们易将表示为的形式，根据平面向量的基本定理我们易构造关于，m的方程组，解方程组后即可得到m的值本题考查的知识点是面向量的基本定理及其意义，解答本题的关键是根据面向量的基本定理构造关于，m的方程组．属于基础题．15.答案：解析：解：，．故答案为：．利用，利用两角和的正弦公式展开，合并即可．本题考查三角函数的化简求值，难点在于“”的思考与转化，属于中档题．16.答案：10海里解析：解：如图，依题意有，，所以，从而，在直角三角形ABC中，得，于是这艘船的速度是海里小时．故答案为：10海里．如图，依题意有，，所以，从而，在直角三角形ABC中，得，由此能求出这艘船的速度．本题考查三角形知识的实际运用，解题时要注意数形结合思想的灵活运用．17.答案：解：．复数z是纯虚数，，即；，，的取值范围是．解析：利用复数代数形式的乘除运算化简z．由实部为0且虚部不为0列式求得m值；求出，利用配方法求范围．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，是基础题．18.答案：解：角为第一象限角，且，，．．解析：由已知利用同角三角函数基本关系式即可求解；利用诱导公式，同角三角函数基本关系式即可化简求解．本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．19.答案：Ⅰ证明：，，，，，，B是三角形中的内角，，，或，不合实际或，即原题得证．Ⅱ解：的面积，，，，又，，或，当时，当时，．综上，或．解析：本题考查了正弦定理，解三角形，考查三角形面积的计算，考查二倍角公式的运用，属于中档题．Ⅰ利用正弦定理，结合两角和的正弦公式，即可证明；Ⅱ若的面积，则，结合正弦定理、二倍角公式，即可求角A的大小．20.答案：解：向量，且的值为，，，，可得；，，由得，，，．解析：运用向量的数量积的坐标表示和两角和的正弦公式，化简整理可得A；运用正弦定理和三角形的面积公式，以及两角和的正弦公式，计算即可得到所求值．本题考查向量数量积的坐标表示和三角函数的恒等变换，以及正弦定理和三角形的面积公式的运用，考查运算能力，属于中档题．21.答案：解：观察以下各式：，，，，于是根据各式的共同特点，则具有一般规律的等式可得出．证明：左边右边．解析：我们可以发现等式左边余弦均为正弦度数加，右边是常数，由此不难得到结论本题主要考查了归纳推理，通过观察个别情况发现某些相同性质，从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题猜想，属基础题．22.答案：解：中，由于，，，由余弦定理可得，故有，即．过点O作，D为垂足，则O到直线BC的距离即为OD．由于点O到、AB、C三点的距离相等，故O为的外心．由可得，故，且D为BC的中点，．中，，解得．即O到直线BC的距离解析：中，由余弦定理求得cos A的值，即可求得A的值．过点O作，D为垂足，则OD即为所求．由O为的外心，可得，故，且D为BC的中点，在中，根据，求得OD的值．本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，直角三角形中的边角关系，属于中档题．。

2020届浙江省新高考名校交流模拟卷数学试题(五)一、单选题1．已知不等式53m x x ≤-+-对一切x ∈R 恒成立，则实数m 的取值范围为（ ） A ．2m ≤B ．2m ≥C ．8m ≤-D ．8m ≥-2．已知圆柱的轴截面是正方形，其面积为Q ，则它的一个底面的面积为（ ） A ．QB ．Q πC ．4Qπ D ．2Qπ3．已知复数z 满足（1﹣i ）•z ＝i |，则z ＝（ ） A ．1﹣iB ．1+iC ．2﹣2iD ．2+2i4．下列说法中正确的是( )A ．命题“若21x =,则1x =”的否命题是“若21x =,则1x ≠”B ．“1x =-”是“220x x --=”的必要不充分条件C ．命题“若x y =,则sin sin x y =”的逆否命题是真命题D ．“tan 1x =”是“4x π=”的充分不必要条件5．数列1，1+2，1+2+22，1+2+22+23，…，1+2+22+…+2n －1，…前n 项和S n >1020，则n 的最小值是( ) A ．7B ．8C ．9D ．106．函数y=sin x 2的图象是A ．B ．C ．D ．7．设U ={1，2，3，4，5}，且A ∩B ={2}，()U C A B ⋂={4}，()()U U C A C B ={1，5}，则下列结论正确的是（ ） A ．3∈A ，3∈B B ．2∈U C A ，3∈B C ．3∈U C B ，3∈AD ．3∈U C A ，3∈U C B22x y点到抛物线()220y px p =>的准线的距离为4，点(2是双曲线的一条渐近线与抛物线的一个交点，则双曲线的标准方程为( )A ．22145x y -=B ．22154x y -=C ．22163x y -=D ．22136x y -=9．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，直线:22l y x =-．若直线l 平行于双曲线C 的一条渐近线且经过C 的一个顶点，则双曲线C 的焦点到渐近线的距离为( )A ．1B ．2C D ．410．在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.如图，已知四棱锥S ABCD -为阳马，且AB AD =，SD ⊥底面.ABCD 若E 是线段AB 上的点(含端点)，设SE 与AD 所成的角为α，SE 与底面ABCD 所成的角为β，二面角S AE D --的平面角为γ，则( )A ．βγα≤≤B ．βαγ≤≤C ．αγβ≤≤D ．αβγ≤≤二、双空题11．不等式|2||2|2x y -+-所表示的平面区域的面积是__________，周长是__________. 12．下列给出一个“三角形数阵”，已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，记第i 行第j 列的数为ij a (i≥j，i ，j∈N*)，则53a 等于________，mn a ＝________(m≥3)． ， ，， ，，，13．从装有大小相同的3个红球和6个白球的袋子中，不放回地每摸出2个球为一次试验，直到摸出的球中有红球时试验结束.则第一次试验恰摸到一个红球和一个白球概率是_______；若记试验次数为X ，则X 的数学期望()E X ＝________. 14．已知函数()f x ，()g x 分别由下表给出则()1f g ⎡⎤⎣⎦的值为________；满足()()f g x g f x ⎡⎤⎡⎤>⎣⎦⎣⎦的x 的值是________.三、填空题15．已知向量b 为单位向量，向量(1,1)a =，且26a b +=，则向量a 与b 的夹角为__________． 16．的展开式中含项的系数为 .17．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若ABC 的面积22()S a b c =--，且8+=b c ，则S 的最大值为_____________.四、解答题18．如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BB C C 是边长为2且160CBB ∠=︒的菱形，1AB AC =．（I ）证明：平面1AB C ⊥平面11BB C C ．（II ）若1AB B C ⊥，AB BC =，求点B 到平面111A B C 的距离．．19．已知：抛物线2:4C y x =，斜率为1-的直线l 与C 的交点为()11,A x y ，()22,B x y ，点()1,2P 在直线l 的右上方.分别过点,,P A B 作斜率不为0，且与C 只有一个交点的直线为123,,l l l .（Ⅰ）证明：直线2l 的方程是()112yy x x =+； （Ⅱ）若121323,l l E l l F l l G ===,；求EFG ∆面积的最大值；20．已知数列{}n a 满足11a =，()()*1ln 3n n n a a a n N +=+-∈．记12n n na b a +=-，设数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：当*n N ∈时． （Ⅰ）12n a ≤<；（Ⅱ）2122nn n a a a +>-；（Ⅲ）123n n T +>-．21．设函数()sin sin 2f x x x =+，x ∈R .（1）已知[)0,2θ∈π，函数()f x θ+是奇函数，求θ的值； （2）求函数51212f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值域. 22．函数()ax f x e x =-，0a >. （1）对任意[0,)x ∈+∞，21()12f x x ≥+恒成立，求a 的取值范围； （2）若1a >，对任意(,)x e ∈+∞，2()(6)ln 60ln f x ax ax x x+--+≥恒成立，求a 的取值范围．【答案与解析】1．A利用绝对值三角不等式求出53x x -+-的最小值，m 小于等于最小值即可.()()53532x x x x -+-≥---=，∴根据题意可得2m ≤.故选：A本题考查绝对值三角不等式，属于基础题. 2．C根据轴截面面积计算出底面圆的直径，然后利用直径即可计算底面的面积.圆柱的轴截面一边为高，另一边为底面的直径，由轴截面为正方形可知，高与底面直径均为2ππ4Q⋅=⎝⎭. 本题考查圆柱的有关量的计算，难度较易. 3．B利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．（1﹣i ）•z ＝i |，∴（1+i ）（1﹣i ）•z ＝2（1+i ），则z ＝1+i ． 故选：B ．本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于容易题． 4．C对选项逐个进行判断，即可得出结论．A ：命题“若21x =,则1x =”的否命题是“若21x ≠,则1x ≠”，故A 不正确；B ：“1x =-”是“220x x --=”的充分不必要条件，故B 不正确；C ：命题“若x y =,则sin sin x y =”是真命题，所以命题“若x ＝y ，则sinx ＝siny ”的逆否命题是真命题，故C 正确；D ： “tan 1x =”是“4x π=”的必要不充分条件，故D 不正确.故选：C ．本题考查命题的真假判断与应用，考查四种命题，考查充要条件，属于中档题．依题意数列每一项都是一个等比数列的和，∴数列通项公式122112nn n a -==--，()231212222 (22)212n nn n S n n n +-∴=++-=-=---，101020,21024n S >=，101122910131020,221020361020--=--=，10n ∴≥，故选D.6．D试题分析：因为2sin y x =为偶函数，所以它的图象关于y 轴对称，排除A 、C 选项；当22x π=，即x =时，1max y =，排除B 选项，故选D ．考点：三角函数图象． 7．C画出示意图，确定集合A 与B ，即可得到答案.由题意，全集U={1，2，3，4，5}，且A∩B={2}，()U C A B ⋂={4}，()()U U C A C B ={1，5}，作出示意图，如图所示，可得{2,3},{2,4}A B ==，则{1,3,5}U C B = 所以3∈U C B ，3∈A ，故选C.本题主要考查了集合的交集、并集和补集的混合运算，其中解答中熟记集合的运算，以及正确作出韦恩图求得集合,A B 是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 8．D将(2,代入22y px =，可得2p =，抛物线方程为24y x =，准线方程为1x =-，则14,3c c +==，又222222b c a ba ===+，可得a b ==，双曲线方程为22136x y -=，故选D.由题意可知,一个顶点为(1,0),1,2ba a==,所以2b =.c =F 到渐近线2y x =的距离2d =.所以选B.如果熟练的同学可以知道,焦点(c,0)F 到渐近线的距离为by x a =±的距离,d b ==为定值. 10．A由阳马定义、异面直线所成角、线面角、二面角的概念，分别求得三个角的正切函数，根据正切函数的性质，即可得到答案.由题意，四棱锥S ABCD -为阳马，且AB AD =，SD ⊥底面ABCD E ，是线段AB 上的点， 设SE 与AD 所成的角为α，SE 与底面ABCD 所成的角为β，二面角S AE D --的平面角为γ， 当点E 与A 点不重合时，在CD 上取点F ，分别连接,EF DE ，使得//EF AD ， 则tan tan SF SF SEF EF AD α=∠==,tan tan SD SED DE β=∠=,tan tan SDSAD ADγ=∠=， 因为DE AD >，所以tan tan βγ<，所以βγ<， 又由SF SD >，所以tan tan γα<，所以γα<，所以βγα<<．当点E 与点A 重合时，此时,AD AD SF AD ==,则tan tan tan αβγ==， 所以αβγ== 综上可知βγα≤≤． 故选A ．本题主要考查了异面直线所成角、线面角、二面角的大小的判断，以及空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识综合应用，着重考查了运算求解能力，考查数形结合思想，属于中档试题.11．8画出不等式表示的平面区域，由此计算出平面区域的面积和周长.原不等式等价于6,2,22,2,22,2,22,2,2y x x y y x x y y x x y y x x y ≤-+≥≥⎧⎪≥-≥<⎪⎨≤+<≥⎪⎪≥-+<<⎩，画出平面区域如下图正方形ABCD 内部及边界，正方形的边长为8=，周长为4⨯=. 故填：（1）8；（2）本小题主要考查含有绝对值的不等式所表示平面区域的画法，考查化归与转化的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，考查正方形的面积和周长公式，属于中档题. 12．516 n+1m2先利用等差数列通项公式求出1m a ，再利用等比数列公式求出mn a . 由题意可知，第一列首项为14，公差111244d =-=；第二列的首项为14，公差311848d =-=，所以51a ＝14＋4×14＝54，由题意知，每行的公比都是12，所以53a ＝22515154216a q ⎛⎫=⨯=⎪⎝⎭ 由题意知()1111444m ma m =+-⨯= 1142n mnm a -⎛⎫=⨯=⎪⎝⎭12n m+ 3m ≥， 本题是以数列为题干的观察推理题，主要是等差等比数列知识的运用，解题中注意先求列，再求行.13．12 6542第一次试验恰摸到一个红球和一个白球概率是11362912C C C =．试验次数X 的可能取值有1,2,3,4.所以11221123636343222997()725(1),(2),1284C C C C C C C P X P X C C C ++====== 2112222263236442222222975975(?)31(3)?·,(4)?·2884C C C C C C C C P X P X C C C C C C +====== ，所以49253165()12348484288442E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． 14．1 2（1）根据函数表：从内到外依次求解.（2）利用（1）的方法，按照当1x =，2x =，3x =时，三种情况 分别求()(),f g x g f x ⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，再比较.从表可知：()()13,31g f ==， 所以()11f g =⎡⎤⎣⎦.当1x =时，()()()()31,22f g x f g f x g ⎡⎤⎡⎤====⎣⎦⎣⎦，不成立. 当2x =时，()()()()23,31f g x f g f x g ⎡⎤⎡⎤====⎣⎦⎣⎦，成立. 当3x =时，()()()()12,13f g x f g f x g ⎡⎤⎡⎤====⎣⎦⎣⎦，不成立. 故答案为：(1). 1 (2). 2本题主要考查函数的概念及求值，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于基础题. 15．π3因为26a b -=，所以12226cos 232b a b πθθ-⋅+=∴⋅=-∴==-∴=16．试题分析：由题设只要求出中的含的项的系数和含的项的系数即可.事实上就是求考点：二项式定理及展开式的运用． 17．6417根据余弦定理以及面积公式可得15cos 17A =,进而求得8sin 17A =,再利用面积公式与基本不等式求解S 的最大值即可.因为22()S a b c =--,由余弦定理与面积公式可得()2221sin 221cos 2bc A a b c bc bc A =--+=-,即()2221co sin s 1o 6c 1s A A A -=-=,因为cos 1A ≠,故()1co s 6s c 11o A A -=+,解得15cos 17A =.因为sin 0A >,故8sin 17A ==. 故214464sin 21717217b c S bc A bc +⎛⎫==≤⋅=⎪⎝⎭ .当且仅当4b c ==时取等号. 故答案为：6417本题主要考查了余弦定理以及面积公式的运用,同时也考查了同角三角函数的关系.同时也考查了基本不等式在求解三角形面积公式最值中的运用,属于中档题.18．（I ）见解析；（II ． 试题分析：()1连接1BC 交1B C 于O ，连接AO ，由条件求出11B C BC ⊥，1AO BC ⊥再运用判定定理证明(2)运用等体积法11111111B A B C A BB C A BB C V V V ---==，算出各长度计算求得点B 到平面111A B C 的距离解析：（1）连接1BC 交1B C 于O ，连接AO 侧面11BB C C 为菱形，∴ 11B C BC ⊥1AB AC =，O 为1BC 的中点，∴ 1AO BC ⊥ 又1B C AO O ⋂=，∴ 1BC ⊥平面1AB C ，1BC ⊂平面11BB C C ∴平面1AB C ⊥平面11BB C C（2）由1AB B C ⊥，1BO B C ⊥，AB BO B ⋂=，∴ 1B C ⊥平面ABO ，AO ⊂平面ABO∴ 1AO B C ⊥，又1AO BC ⊥，11BC B C O ⋂=，∴ AO ⊥平面11BB C C菱形11BB C C 的边长为2且0160CBB ∠=，∴BO =2AB BC == 1AO ∴=又1CO =，AC =，111ABC A B C S S ∆∆==设点B 到平面111A B C 的距离为h由11111111B A B C A BB C A BB C V V V ---==得111221332h =⋅⋅⋅7h ⇒=∴点B 到平面111A B C的距离为7. 19．（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ（Ⅰ）设11(,)A x y ，联立方程得直线2l 的斜率为12k y =，进而利用点斜式写出方程整理即可； （Ⅱ）由（Ⅰ）可得111222:1,:2(),:2()l y x l yy x x l yy x x =+=+=+，联立这些直线方程解得其交点坐标，利用向量把EFG ∆面积表示出来，再利用函数的导函数可得最值.（Ⅰ）法一：点11(,)A x y 满足24y x =，即2114y x =，设直线2l 方程是11()(0)y y k x x k -=-≠由21142()y x yy x x ⎧=⎨=+⎩，消去x 得2211440ky y y ky -+-= 得21112164(4)0k y k k y ∆=--=⇒=， 故直线2l 是1112()-=-y y x x y ， 化简得112()yy x x =+，所以直线2l 是的方程是112()yy x x =+.法二：21422y y yx x k =⇒'=⇒=11111()2()2y x x y y yy x x ⇒-=-⇒=+ （Ⅱ）由（Ⅰ）可得切线分别为：111222:1,:2(),:2()l y x l yy x x l yy x x =+=+=+；联立直线得：11222112222(,),(,),(,)424242yy y y y y y y G E F +++ 即：121212(2)2(2)2(,),(,)4242y y y y y y GE GE ----== 所以，122112121211|||||42()|216S x y x y y y y y y y =-=--++ 22121244440413y y y x y y b y y b y x b b +=⎧⎧⎧=+-=⇒⇒⎨⎨⎨=-=-+-<<⎩⎩⎩， 代入面积公式得：)S b =-=令()()3253913f x x x x x =-++-<<，则()()()23103313f x x x x x '=-+=--，所以()f x 在区间11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在区间1,33⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，所以()f x 的最大值为1256327f ⎛⎫=⎪⎝⎭，所以max 13b S S===. 本题考查抛物线与直线的位置关系，属于中档题. 20．（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）详见解析．（Ⅰ）利用数学归纳法证明，当1n =时显然成立，假设当n k =时不等式成立，即证12k a ≤<成立即可；（Ⅱ）要证2122n n n a a a +>-，则需证：()2ln 32nn n a a a ->-，构造函数2()ln(3)(12)2x g x x x x =-+-≤<，用导数法求函数()g x 的最小值，再由()2ln 302nn n a a a -+->可得结论；（Ⅲ）先证明1122n n a -⎛⎫-≥- ⎪⎝⎭和222n na ≥-，再证122nn n b ⎛⎫>-+ ⎪⎝⎭，结合等比数列的求和公式即可证明123n n T +>-.证明：（Ⅰ）（1）当1n =时显然成立；（2）假设当n k =时不等式成立，即12k a ≤<， 则132k a <-≤，()ln 30k a ->，()1ln 31k k k k a a a a +∴=+>≥-，即11k k a a +≤<，设()ln(3)(12)f x x x x =+-≤<， 则2()03xf x x-'=>-，∴函数()f x 在[1,2)上单调递增， ∴()(2)2ln(32)2f x f <=+-=，即ln(3)2x x +-<，()1ln 32k k k a a a +∴=+-<，∴12k a ≤<，假设成立，综上得，当*n N ∈时，12n a ≤<．（Ⅱ）要证2122n n n a a a +>-，即证：212nn n n a a a a +->-，又因为()()*1ln 3n n n a a a n N+=+-∈，则()1ln 3n n n aa a +--=，则需证：()2ln 32nn n a a a ->-，由（1）得当*n N ∈时，12n a ≤<，设2()ln(3)(12)2x g x x x x =-+-≤<，∵21(2)()1033x g x x x x -'=+-=<--，∴函数()g x 在[1,2)上单调递减，而12n a ≤<，2()ln(3)(2)02x g x x x g ∴=-+->=，∴()2ln 302nn n a a a -+->，∴()2ln 32nn n a a a ->-，即212nn n n a a a a +->-，∴2122nn n a a a +>-．（Ⅲ）由（Ⅱ）可知2122nn n a a a +>-，则2124222nn n a a a +>--+-，即()2142222n n n a a a +⎛⎫>--- ⎝-⎪⎭，所以()()()1222222n n n n a a a a +---+>-，则()122222n n n a a a ++⎛⎫->--⎪⎝⎭， ∴()122222n n n a a a ++⎛⎫-<--⎪⎝⎭， ∵12n a ≤<，则012n a <-≤， ∴()()()1211122221122222n n n n n n n a a a a a a a ++⎛⎫⎛⎫-<--=--≤-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即()11222n n a a +-<-，所以12221n n q a a +-=<-， 可知{}2n a -为等比数列，首项为12a -，公比12q <， 利用等比数列的通项公式得出：()111112222n n n a a --⎛⎫⎛⎫--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭≤，∴1122n n a -⎛⎫- ⎪⎭≤⎝，则1122n na -≥-1122n n a -⎛⎫∴-≥- ⎪⎝⎭，且222n na ≥-， 由题意知12n n n ab a +=-，由于2122nn n a a a +>-，则()()22212422442222222nn n n n n n n nn n n n a a a a a a a a b a a a a +---+-+=>==----()()()()222421212222222n n n n n n n na a a a a a a a ---+==-+=-+---，又因为1122n n a -⎛⎫-≥- ⎪⎝⎭，且222n na ≥-， 则()1121222222nn n n n n n a b a a a +⎛⎫=>-+≥-+ ⎪--⎝⎭，则122nn n b ⎛⎫≥-+ ⎪⎝⎭， 由于数列{}n b 的前n 项和为n T ，∴()11111222122232311212n n n n n n T -++⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎢⎥⎝⎭>-+=+>-⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 即：123n n T +>-.本题考查与数列有关的不等式的证明，考查利用数学归纳法证明不等式和等比数列通项公式、前n 项和公式的综合运用，还涉及构造函数和导数不等式中的应用，考查转化思想和化简计算能力，属于难题．21．（1）0θ=或π（2）⎡⎣（1）根据奇函数得到()sin 12cos 0θθ+=，解方程并验证得到答案. （2）化简得到651212f x f x x πππ⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎝⎭⎭，得到答案. （1）由于题目x ∈R ，()f x θ+是奇函数，∵()()()sin sin 2f x x x θθθ+=+++，()00f θ+=，sin sin 20θθ+=，sin 2sin cos 0θθθ+=，()sin 12cos 0θθ+=，①若sin 0θ=，0θ=或π， ②若12cos 0θ+=，1cos 2θ=-，23θπ=，经检验得0θ=或π. （2）51212f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭55sin sin 2sin sin 212121212x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭sin cos 1212x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭124x ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭6x π⎛⎫⎡=-∈ ⎪⎣⎝⎭. 本题考查了根据函数的奇偶性求参数，三角函数值域，意在考查学生的计算能力和应用能力. 22．（1）1a ≥；（2）>1a （1）由已知条件得21102axe x x ---≥在[0,)x ∈+∞上恒成立，令()2112ax g x e x x =---，即需()0g x ≥在[0,)x ∈+∞上恒成立，对()g x 求导，分析其导函数的正负，得出()g x 的图象变化趋势，可得出a 的取值范围； （2）不等式2()(6)ln 60ln f x ax ax x x+--+≥等价于()()22ln 26ln 6ln 2ax x e ax ax x x e +-≥-+，令()226xF x e x x =+-，对函数()F x 求导，分析函数的单调性，运用单调性求解不等式，得到ln xa x ≥在(,)x e ∈+∞上恒成立，令()ln x G x x=，对其求导函数，研究其单调性，根据函数()G x 的最值，可得a 的取值范围．（1）由函数()axf x e x =-，得不等式21()12f x x ≥+等价于21102ax e x x ---≥在[0,)x ∈+∞上恒成立， 令()2112axg x e x x =---，则()'1ax g x ae x =--，令()()'1ax h x g x ae x ==--，则()'21ax h x a e =-，因为0a >，所以()'21axh x a e =-在R 上单调递增，又[0,)x ∈+∞，所以()()'2'2101ax h x a e h a =-≥=-，当210a -≥时，即1a ≥时，()'0h x ≥，所以()h x 在[0,)+∞上单调递增，所以()()010h x h a ≥=-≥，即()'0g x ≥，所以()g x 在[0,)+∞上单调递增，所以()()00g x g ≥=，所以21102axe x x ---≥在[0,)x ∈+∞上恒成立，满足题意，所以1a ≥满足；当210a -<时，即01a <<时，()'00h <，又()'h x 在[0,)+∞上单调递增，所以存在唯一0[0,)x ∈+∞使得()'0h x =，即02021ln ax a ex a a==-，，所以()'h x 在0[0,)x 上()'0h x <，()h x 在0[0,)x 上单调递减，()'h x 在()0+x ∞，上()'>0h x ，()h x 在()0+x ∞，上单调递增， 所以()()0h x h x ≥，而()000122ln 11+ln 1ax a a h x ae x a a a a-+=--=-=， 令()()'22ln 1,>0aH a a a H a a-=-+=，所以()H a 在()01，上单调递增，所以()()12ln11+10H a H <=-=，所以()00h x <，即()'00g x <，又()'010g a =-<，()'+x g x →+∞→∞，，所以存在()10+x x ∈∞，使得()'0g x =，即1110ax x ae --=，且()'g x 在()10x ，上()'0g x <，()g x 在()10x ，上单调递减，()'g x 在()1+x ∞，上()'>0g x ，()g x 在()1+x ∞，上单调递增，所以()()1g x g x ≥，而()00g =，所以()10g x <，这与()0g x ≥在[0,)+∞上恒成立相矛盾，所以01a <<不满足题意， 综上可得a 的取值范围1a ≥； （2）因为(,)x e ∈+∞，所以不等式2()(6)ln 60ln f x ax ax x x+--+≥等价于()()22ln 26ln 6ln 2ax x e ax ax x x e +-≥-+，令()226xF x e x x =+-，则()()'22623xxF x e x e x =+-=+-，因为()'F x 在R 上单调递增，且()()'12+13>0F e =-，1'2112+3022F e ⎛⎫⎛⎫=-<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以存在唯一的2112x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，使得()'20F x =， 所以()2x x ∈-∞，时，()'0F x <，()F x 在()2x -∞，上单调递减，()2+x x ∈∞，时，()'>0F x ，()F x 在()2+，x ∞上单调递增，因为(,)x e ∈+∞，1a >，所以>1,ln >1ax e x >，所以要使()()22ln 26ln 6ln 2ax x e ax ax x x e +-≥-+在(,)x e ∈+∞上成立，即()()ln F ax F x ≥在(,)x e ∈+∞上成立，则需ln >1ax x ≥，即ln xa x≥在(,)x e ∈+∞上恒成立， 令()ln x G x x=，则()2'1ln x G x x -=，因为(,)x e ∈+∞，所以ln >1x ，所以1ln 0x -<，即()'0G x <，所以()ln xG x x=在(,)x e ∈+∞上单调递减， 所以()()ln 1e G x G e e e <==，所以1a e≥ ，又>1a ，所以a 的取值范围是>1a ． 本题考查运用导函数解决不等式的恒成立问题中求参数的范围的问题，关键在于构造合适的函数，通过对其导函数取得正负的区间，得出所构造的函数的单调性，属于难题.。

2020届浙江省普通高等学校高考科目模拟考试数学试题5高考数学模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知x ，y 满足约束条件0,2,0,x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则a ＝ ( )A ．3B ．2C ．－2D ．－32．已知双曲线的中心在原点且一个焦点为(7,0)F ，直线1y x =-与其相交于M ，N 两点，若MN 中点的横坐标为23-，则此双曲线的方程是 A ．22134x y -= B ．22143x y -= C ．22152x y -= D ．22125x y -=3．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．8012π+B ．8013.5π+C ．5913.5π+D ．5912π+4．三棱锥S ABC -中，SA ⊥底面ABC ，若3SA AB BC AC ====，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）A ．18πB ．212πC ．21πD ．42π551+的双曲线为“黄金双曲线”51+的双曲线为“亚黄金双曲线”.若双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>为“黄金双曲线”，则22b a =（ ）A 51B ．51+C 51D ．51-6．已知双曲线E ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，以坐标原点O 为圆心，1OF 的长为半径作圆，O e 与E 在第一象限交于点P ，若直线1PF 的倾斜角为θ且3sin 24θ=，则双曲线E 的离心率为（ ）A ．2B ．43 C ．2D ．47．已知抛物线1C ：22(0)y px p =>的焦点F 为双曲线2C ：2213y x -=的顶点，过点F 的直线与抛物线1C 相交于M 、N 两点，点A 在x 轴上，且满足8MN =，若AM AN =，则AMN ∆的面积为( ) A ．36B ．63C ．62D ．828．已知双曲线2222:1x y C a b -=(,0)a b >满足52b a =,且与椭圆221123x y +=有公共焦点，则双曲线C 的方程为A ．22145x y -=B ．221810x y -=C ．22154x y -=D ．22143x y -=9．《九章算术》卷第六《均输》中，有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何？”若将这五人从上到下分别记为甲、乙、丙、丁、戊，且五人所得依次成等差数列，则乙与丙两人共分得（ ）A ．83钱 B ．72钱 C ．136钱D ．3钱10．设函数()23211(22)32xf x x x e x x =-+--的极值点的最大值为0x ，若0(,1)x n n ∈+，则整数n 的值为（ ） A ．-2B ．-1C ．0D ．111．若关于x 的方程2||4x kx x =+有4个不同的实数根，则k 的取值范围是（ ） A ．1(0,)4 B ．(1,4)C ．1(,)4+∞D ．1(,4)412．如图，在四个图形中，二次函数2y ax bx =+与指数函数()xby a=的图像只可能是（ ）A ．B ．C ．D ． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020年浙江省高考数学模拟试卷一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）1．（4分）已知A ＝{x ∈N *|x ≤3}，B ＝{x |x 2﹣4x ≤0}，则A ∩B ＝（ ） A ．{1，2，3}B ．{1，2}C ．（0，3]D ．（3，4]2．（4分）设i 为虚数单位，复数z =2+3ii，则z 的共轭复数是（ ） A ．3﹣2iB ．3+2iC ．﹣3﹣2iD ．﹣3+2i3．（4分）设变量x ，y 满足约束条件{x +y ≥1，2x −y ≤2，x −y +1≥0，则z ＝（x ﹣3）2+y 2的最小值为（ ）A ．2B ．4√55C ．4D ．1654．（4分）已知α为任意角，则“cos2α=13”是“sin α=√33”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要5．（4分）函数f （x ）＝x 2+e |x |的图象只可能是（ ）A ．B ．C ．D ．6．（4分）如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，P 为线段AD 的中点，Q 为线段B 1C 1的动点，则下列说法中错误的是（ ）A ．线段PQ 与平面CDD 1C 1可能平行B ．当Q 为线段B 1C 1的中点时，线段PQ 与DD 1所成角为π4C ．PQ ≥√2ABD ．CD 1与PQ 不可能垂直7．（4分）已知0＜a ＜23，随机变量ξ的分布列如图：则当a 增大时，ξ的期望E （ξ）变化情况是（ ）ξ ﹣10 1 P13abA ．E （ξ）增大B ．E （ξ）减小C ．E （ξ）先增后减D ．E （ξ）先减后增8．（4分）已知函数f(x)={x 2+4x +2，x ≤0log 2x ，x ＞0，且方程f （x ）＝a 有三个不同的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1+x 2+x 3的取值范围为（ ） A ．(−154，0]B ．(−154，2]C ．[﹣4，+∞）D ．[﹣4，2）9．（4分）如图，在三棱台ABC ﹣A 1B 1C 1中，M 是棱A 1C 1上的点，记直线AM 与直线BC 所成的角为α，直线AM 与平面ABC 所成的角为β，二面角M ﹣AC ﹣B 的平面角为γ．则（ ）A ．α≥β，β≤γB ．α≤β，β≤γC ．α≥β，β≥γD ．α≤β，β≥γ10．（4分）设数列{a n }满足a n +1＝a n 2+2a n ﹣2（n ∈N *），若存在常数λ，使得a n ≤λ恒成立，则λ的最小值是（ ） A ．﹣3B ．﹣2C ．﹣1D ．1二．填空题（共7小题，满分36分）11．（6分）过点P （1，1）作直线l 与双曲线x 2−y 22=λ交于A ，B 两点，若点P 恰为线段AB 的中点，则实数λ的取值范围是 ．12．（6分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ．13．（6分）已知（1﹣x ）6＝a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 6x 6，则a 2＝ ，a 0﹣a 1+a 2﹣a 3+a 4﹣a 5+a 6＝ ． 14．（6分）在△ABC 中，a ＝1，cos C =34，△ABC 的面积为√74，则c ＝ ． 15．（4分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a +y 2b =1（a ＞b ＞0）的上、下顶点分别为B 2，B 1，若一个半径为√2b ，过点B 1，B 2的圆M 与椭圆的一个交点为P （异于顶点B 1，B 2），且|k PB 1−kPB 2|=89，则椭圆的离心率为 ．16．（4分）如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，∠BCD ＝60°， CB ＝CD ＝2√3．若点M 为边BC 上的动点，则AM →•DM →的最小值为 ．17．（4分）设f （x ）是定义在（0，+∞）上的可导函数，且满足f （x ）+xf '（x ）＞0，则不等式f （x +1）＞（x ﹣1）f （x 2﹣1）的解集为 三．解答题（共5小题，满分74分）18．（14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且b ﹣c ＝1，cos A =13，△ABC 的面积为2√2．（Ⅰ）求a 及sin C 的值； （Ⅱ）求cos （2A −π6）的值．19．（15分）如图，三棱锥D ﹣ABC 中，AD ＝CD ，AB ＝BC ＝4√2，AB ⊥BC ． （1）求证：AC ⊥BD ；（2）若二面角D ﹣AC ﹣B 的大小为150°且BD ＝4√7时，求直线BM 与面ABC 所成角的正弦值．20．（15分）在等差数列{a n }和正项等比数列{b n }中，a 1＝1，b 1＝2，且b 1，a 2，b 2成等差数列，数列{b n }的前n 项和为Sn ，且S 3＝14． （1）求数列{a n }，{b n }的通项公式；（2）令c n =a b n ，（﹣1）n d n ＝n c n +n ，求数列{d n }的前项和为T n ．21．（15分）已知抛物线y2＝x上的动点M（x0，y0），过M分别作两条直线交抛物线于P、Q两点，交直线x＝t于A、B两点．（1）若点M纵坐标为√2，求M与焦点的距离；（2）若t＝﹣1，P（1，1），Q（1，﹣1），求证：y A•y B为常数；（3）是否存在t，使得y A•y B＝1且y P•y Q为常数？若存在，求出t的所有可能值，若不存在，请说明理由．22．（15分）设函数f（x）＝e x cos x，g（x）＝e2x﹣2ax．（1）当x∈[0，π3]时，求f（x）的值域；（2）当x∈[0，+∞）时，不等式g(x)≥f′(x)e2x恒成立（f'（x）是f（x）的导函数），求实数a的取值范围．2020年浙江省高考数学模拟试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）1．（4分）已知A ＝{x ∈N *|x ≤3}，B ＝{x |x 2﹣4x ≤0}，则A ∩B ＝（ ） A ．{1，2，3}B ．{1，2}C ．（0，3]D ．（3，4]【解答】解：由题意得：A ＝{x ∈N *|x ≤3}＝{1，2，3}，B ＝{x |x 2﹣4x ≤0}＝{x |0≤x ≤4}， ∴所以A ∩B ＝{1，2，3}， 故选：A ．2．（4分）设i 为虚数单位，复数z =2+3ii，则z 的共轭复数是（ ） A ．3﹣2iB ．3+2iC ．﹣3﹣2iD ．﹣3+2i【解答】解：∵z =2+3i i =(2+3i)(−i)−i2=3−2i ， ∴z =3+2i ． 故选：B ．3．（4分）设变量x ，y 满足约束条件{x +y ≥1，2x −y ≤2，x −y +1≥0，则z ＝（x ﹣3）2+y 2的最小值为（ ）A ．2B ．4√55C ．4D ．165【解答】解：画出变量x ，y 满足约束条件{x +y ≥1，2x −y ≤2，x −y +1≥0，的可行域，可发现z ＝（x ﹣3）2+y 2的最小值是（3，0）到2x ﹣y ﹣2＝0距离的平方． 取得最小值：(6−24+1)2=165．故选：D ．4．（4分）已知α为任意角，则“cos2α=13”是“sin α=√33”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要【解答】解：若cos2α=13，则cos2α＝1﹣2sin 2α，sin α=±√33，则cos2α=13”是“sin α=√33”的不充分条件；若sin α=√33，则cos2α＝1﹣2sin 2α，cos2α=13，则cos2α=13”是“sin α=√33”的必要条件； 综上所述：“cos2α=13”是“sin α=√33”的必要不充分条件．故选：B ．5．（4分）函数f （x ）＝x 2+e |x |的图象只可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【解答】解：因为对于任意的x ∈R ，f （x ）＝x 2+e |x |＞0恒成立，所以排除A ，B ， 由于f （0）＝02+e |0|＝1，则排除D ， 故选：C ．6．（4分）如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，P 为线段AD 的中点，Q 为线段B 1C 1的动点，则下列说法中错误的是（ ）A ．线段PQ 与平面CDD 1C 1可能平行B ．当Q 为线段B 1C 1的中点时，线段PQ 与DD 1所成角为π4C ．PQ ≥√2ABD ．CD 1与PQ 不可能垂直【解答】解：在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，P 为线段AD 的中点，Q 为线段B 1C 1的动点， 在A 中，当Q 为线段B 1C 1中点时，线段PQ 与平面CDD 1C 1平行，故A 正确； 在C 中，当Q 为线段B 1C 1的中点时，PQ ∥DC 1， ∴线段PQ 与DD 1所成角为∠C 1DD 1=π4，故B 正确；在C 中，PQ ≥√2AB ，当且仅当Q 为线段B 1C 1的中点时取等号，故C 正确； 在D 中，当Q 为线段B 1C 1的中点时，PQ ∥DC 1，CD 1与PQ 垂直，故D 错误． 故选：D ．7．（4分）已知0＜a ＜23，随机变量ξ的分布列如图：则当a 增大时，ξ的期望E （ξ）变化情况是（ ）ξ ﹣10 1 P13abA ．E （ξ）增大B ．E （ξ）减小C ．E （ξ）先增后减D ．E （ξ）先减后增【解答】解：依题可知{E(ξ)=−13+b a +b =23，∴E(ξ)=−13+23−a ，∴当a 增大时，ξ的期望E （ξ）减小．故选：B ．8．（4分）已知函数f(x)={x 2+4x +2，x ≤0log 2x ，x ＞0，且方程f （x ）＝a 有三个不同的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1+x 2+x 3的取值范围为（ ） A ．(−154，0] B ．(−154，2] C ．[﹣4，+∞） D ．[﹣4，2）【解答】解：作出函数f （x ）的图象，方程f （x ）＝a 有三个不同的实数根 即等价于函数y ＝f （x ）的图象与直线y ＝a 有三个交点A ，B ，C ，故有﹣2＜a ≤2， 不妨设x 1＜x 2＜x 3，因为点A ，B 关于直线x ＝﹣2对称，所以x 1+x 2＝﹣4， ﹣2＜log 2x 3≤2，即14＜x 3≤4，故−154＜x 1+x 2+x 3≤0．故选：A ．9．（4分）如图，在三棱台ABC ﹣A 1B 1C 1中，M 是棱A 1C 1上的点，记直线AM 与直线BC 所成的角为α，直线AM 与平面ABC 所成的角为β，二面角M ﹣AC ﹣B 的平面角为γ．则（ ）A ．α≥β，β≤γB ．α≤β，β≤γC ．α≥β，β≥γD ．α≤β，β≥γ【解答】解：∵在三棱台ABC ﹣A 1B 1C 1中，M 是棱A 1C 1上的点， 记直线AM 与直线BC 所成的角为α，直线AM 与平面ABC 所成的角为β， 二面角M ﹣AC ﹣B 的平面角为γ． ∴根据最小角定理得α≥β， 根据最大角定理得β≤γ． 故选：A ．10．（4分）设数列{a n }满足a n +1＝a n 2+2a n ﹣2（n ∈N *），若存在常数λ，使得a n ≤λ恒成立，则λ的最小值是（ ） A ．﹣3B ．﹣2C ．﹣1D ．1【解答】解：a n+1−a n =a n 2+a n −2=(a n +2)(a n −1)，若a n ＜﹣2，则a n +1＞a n ，则该数列单调递增，所以无限趋于﹣2．若a n ＝﹣2，则a n +1＝a n ，则该数列为常数列，即a n ＝2．所以，综上所述，λ≥﹣2．∴λ的最小值是﹣2．故选：B ． 二．填空题（共7小题，满分36分）11．（6分）过点P （1，1）作直线l 与双曲线x 2−y 22=λ交于A ，B 两点，若点P 恰为线段AB 的中点，则实数λ的取值范围是 （﹣∞，0）∪（0，12） ．【解答】解：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），代入双曲线可得：{x 12−y 122=λx 22−y 222=λ，两式相减可得：y 1−y 2x 1−x 2=2(x 1+x 2)y 1+y 2，而由题意可得，x 1+x 2＝2×1＝2，y 1+y 2＝2×1＝2， 所以直线AB 的斜率k =y 1−y 2x 1−x 2=2×22=2，所以直线AB 的方程为：y ﹣1＝2（x ﹣1），即y ＝2x ﹣1，代入双曲线的方程可得：2x 2﹣4x +1+2λ＝0，因为直线与双曲线由两个交点，所以△＞0，且λ≠0，即△＝16﹣4×2×（1+2λ）＞0，解得：λ＜12， 所以实数λ的取值范围是（﹣∞，0）∪（0，12），故答案为：（﹣∞，0）∪（0，12）．12．（6分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 9 ．【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体为： 下底面为直角梯形，高为3的四棱锥体， 如图所示：所以：V =13×12(2+4)×3×3=9， 故答案为：913．（6分）已知（1﹣x ）6＝a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 6x 6，则a 2＝ 15 ，a 0﹣a 1+a 2﹣a 3+a 4﹣a 5+a 6＝ 64 ．【解答】解：由（1﹣x ）6的通项为T r+1=C 6r (−x)r 可得，令r ＝2，即x 2项的系数a 2为C 62=15，即a 2＝15，由（1﹣x ）6＝a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 6x 6，取x ＝﹣1，得a 0﹣a 1+a 2﹣a 3+a 4﹣a 5+a 6＝[1﹣（﹣1）]6＝64，故答案为：15，64． 14．（6分）在△ABC 中，a ＝1，cos C =34，△ABC 的面积为√74，则c ＝ √2 ． 【解答】解：∵a ＝1，cos C =34，△ABC 的面积为√74， ∴sin C =√1−cos 2C =√74，可得√74=12ab sin C =√78ab ，解得ab ＝2，∴b ＝2，∴由余弦定理可得c =2+b 2−2abcosC =√12+22−2×1×2×34=√2． 故答案为：√2．15．（4分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的上、下顶点分别为B 2，B 1，若一个半径为√2b ，过点B 1，B 2的圆M 与椭圆的一个交点为P （异于顶点B 1，B 2），且|k PB 1−kPB 2|=89，则椭圆的离心率为2√23． 【解答】解：设P （x 0，y 0），B 1（0，﹣b ），B 2（0，+b ），由|kPB 1−kPB 2|=89，|y 0−b x 0−y 0+b x 0|=89，∴|x 0|=94b ，由题意得圆M 的圆心在x 轴上，设圆心（t ，0），由题意知：t 2+b 2＝2b 2∴t 2＝b 2， ∴MP 2＝2b 2＝（x 0﹣t ）2+y 02，∴y 02=716b 2，P 在椭圆上，所以81b 216a +716=1， ∴a 2＝9b 2＝9（a 2﹣c 2），∴e 2=89，所以离心率为2√23，故答案为：2√23． 16．（4分）如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，∠BCD ＝60°，CB ＝CD ＝2√3．若点M 为边BC 上的动点，则AM →•DM →的最小值为214．【解答】解：如图所示：以B 为原点，以BA 所在的直线为x 轴，以BC 所在的直线为y 轴，过点D 做DP ⊥x 轴，过点D 做DQ ⊥y 轴，∵AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，∠BAD ＝120°，CB =CD =2√3， ∴B （0，0），A （2，0），C （0，2√3），D （3，√3），设M （0，a ），则AM →=（﹣2，a ），DM →=（﹣3，a −√3），故AM →•DM →=6+a （a −√3）=(a −√32)2+214≥214， 故答案为：214．17．（4分）设f （x ）是定义在（0，+∞）上的可导函数，且满足f （x ）+xf '（x ）＞0，则不等式f （x +1）＞（x ﹣1）f （x 2﹣1）的解集为 （1，2）【解答】解：令g （x ）＝xf （x ），x ∈（0，+∞）．g ′（x ）＝f （x ）+xf '（x ）＞0， ∴函数g （x ）在x ∈（0，+∞）上单调递增．不等式f （x +1）＞（x ﹣1）f （x 2﹣1）即不等式（x +1）f （x +1）＞（x 2﹣1）f （x 2﹣1），x +1＞0． ∴x +1＞x 2﹣1＞0，解得：1＜x ＜2．∴不等式f （x +1）＞（x ﹣1）f （x 2﹣1）的解集为（1，2）．故答案为：（1，2）．三．解答题（共5小题，满分74分）18．（14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且b ﹣c ＝1，cos A =13，△ABC 的面积为2√2．（Ⅰ）求a 及sin C 的值； （Ⅱ）求cos （2A −π6）的值．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且b ﹣c ＝1，cos A =13， ∴sin A =√1−cos 2A =2√23， ∵△ABC 的面积为12bc •sin A =bc 2•2√23=√23bc ＝2√2，∴bc ＝6，∴b ＝3，c ＝2， ∴a =√b 2+c 2−2bc ⋅cosA =√9+4−2⋅3⋅2⋅13=3． 再根据正弦定理可得a sinA=c sinC，即2√23=2sinC，∴sin C =4√29． （Ⅱ）∴sin2A ＝2sin A cos A =4√29，cos2A ＝2cos 2A ﹣1=−79， 故 cos （2A −π6）＝cos2A cos π6+sin2A sinπ6=−79•√32+4√29•12=4√2−7√318． 19．（15分）如图，三棱锥D ﹣ABC 中，AD ＝CD ，AB ＝BC ＝4√2，AB ⊥BC ． （1）求证：AC ⊥BD ；（2）若二面角D ﹣AC ﹣B 的大小为150°且BD ＝4√7时，求直线BM 与面ABC 所成角的正弦值．【解答】解：（1）证明：取AC 中点O ，连结BO ，DO ， ∵AD ＝CD ，AB ＝BC ，∴AC ⊥BO ，AC ⊥DO ， ∵BO ∩DO ＝O ，∴AC ⊥平面BOD ， 又BD ⊂平面BOD ，∴AC ⊥BD ．（2）解：由（1）知∠BOD 是二面角D ﹣AC ﹣B 的平面角，∴∠BOD ＝150°， ∵AC ⊥平面BOD ，∴平面BOD ⊥平面ABC ， 在平面BOD 内作Oz ⊥OB ，则Oz ⊥平面ABC ，以O 为原点，OB 为x 轴，OC 为y 轴，OD 为z 轴，建立空间直角坐标系， 由题意得OB ＝4，在△BOD 中由余弦定理得OD ＝4√3，∴A （0，﹣4，0），B （4，0，0），C （0，4，0），D （﹣6，0，2√3），∴M （﹣3，2，√3），BM →=（﹣7，2，√3），平面ABC 的法向量n →=（0，0，1），设直线BM 与面ABC 所成角为θ，则直线BM 与面ABC 所成角的正弦值为：sin θ=|n →⋅BM →||n →|⋅|BM →|=√356=√4228．20．（15分）在等差数列{a n }和正项等比数列{b n }中，a 1＝1，b 1＝2，且b 1，a 2，b 2成等差数列，数列{b n }的前n 项和为Sn ，且S 3＝14．（1）求数列{a n }，{b n }的通项公式；（2）令c n =a b n ，（﹣1）n d n ＝n c n +n ，求数列{d n }的前项和为T n ．【解答】解：（1）等差数列{a n }的公差设为d ，正项等比数列{b n }的公比设为q ，q ＞0，a 1＝1，b 1＝2，且b 1，a 2，b 2成等差数列，可得2a 2＝b 1+b 2，即2（1+d ）＝2+2q ，即d ＝q ，数列{b n }的前n 项和为S n ，且S 3＝14，可得2+2q +2q 2＝14，解得q ＝2，d ＝2，则a n ＝2n ﹣1，b n ＝2n ；（2）c n =a b n =2n +1﹣1，（﹣1）n d n ＝n c n +n ＝n •2n +1，则d n ＝2n •（﹣2）n ，前项和为T n ＝2•（﹣2）+4•4+6•（﹣8）+…+2n •（﹣2）n ，﹣2T n ＝2•4+4•（﹣8）+6•16+…+2n •（﹣2）n +1，相减可得3T n ＝﹣4+2（4+（﹣8）+…+（﹣2）n ）﹣2n •（﹣2）n +1＝﹣4+2•4(1−(−2)n−1)1−(−2)−2n •（﹣2）n +1，化简可得T n =−49−6n+29•（﹣2）n +1． 21．（15分）已知抛物线y 2＝x 上的动点M （x 0，y 0），过M 分别作两条直线交抛物线于P 、Q 两点，交直线x ＝t 于A 、B 两点．（1）若点M 纵坐标为√2，求M 与焦点的距离；（2）若t ＝﹣1，P （1，1），Q （1，﹣1），求证：y A •y B 为常数；（3）是否存在t ，使得y A •y B ＝1且y P •y Q 为常数？若存在，求出t 的所有可能值，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）解：∵抛物线y 2＝x 上的动点M （x 0，y 0），过M 分别作两条直线交抛物线于P 、Q 两点，交直线x ＝t 于A 、B 两点．点M 纵坐标为√2， ∴点M 的横坐标x M ＝（√2）2＝2，∵y 2＝x ，∴p =12，∴M 与焦点的距离为MF =x M +p 2=2+14=94．（2）证明：设M （y 02，y 0），直线PM ：y ﹣1=y 0−1y 02−1（x ﹣1），当x ＝﹣1时，y A =y 0−1y 0+1，直线QM ：y +1=y 0+1y 02−1（x ﹣1），x ＝﹣1时，y B =−y 0−1y 0−1，∴y A y B ＝﹣1， ∴y A •y B 为常数﹣1．（3）解：设M （y 02，y 0），A （t ，y A ），直线MA ：y ﹣y 0=y 0−y A y 02−t （x ﹣y 02）， 联立y 2＝x ，得y 2−y 02−t y 0−y A y +y 02−t y 0−y A y 0−y 02=0，∴y 0+y p =y 02−t y 0−y A ，即y P =y 0y A −t y 0−y A， 同理得y Q =y 0y B −1y 0−y B，∵y A •y B ＝1，∴y P y Q =y 02−ty 0(y A +y B )+t 2y 02−y 0(y A +y B )+1， 要使y P y Q 为常数，即t ＝1，此时y P y Q 为常数1，∴存在t ＝1，使得y A •y B ＝1且y P •y Q 为常数1．22．（15分）设函数f （x ）＝e x cos x ，g （x ）＝e 2x ﹣2ax ．（1）当x ∈[0，π3]时，求f （x ）的值域；（2）当x ∈[0，+∞）时，不等式g(x)≥f′(x)e 2x 恒成立（f '（x ）是f （x ）的导函数），求实数a 的取值范围． 【解答】解：（1）由题可得f '（x ）＝e x cos x ﹣e x sin x ＝e x （cos x ﹣sin x ）．令f '（x ）＝e x （cos x ﹣sin x ）＝0，得x =π4∈[0，π3]． 当x ∈(0，π4)时，f '（x ）＞0，当x ∈(π4，π3)时，f '（x ）＜0，所以f(x)max =f(π4)=√22e π4，f(x)min =min{f(0)，f(π3)}．因为f(π3)=e π32＞e 332=e 2＞1=f(0)，所以f （x ）min ＝1， 所以f （x ）的值域为[1，√22e π4]． （2）由g(x)≥f′(x)e 2x 得e 2x −2ax ≥cosx−sinx e x ， 即sinx−cosxe +e 2x −2ax ≥0．设ℎ(x)=sinx−cosx e x +e 2x −2ax ，则ℎ′(x)=2cosx e x +2e 2x −2a ． 设φ（x ）＝h '（x ），则φ′(x)=4e 3x −2√2sin(x+π4)e x． 当x ∈[0，+∞）时，4e 3x ≥4，2√2sin(x +π4≤2√2)，所以φ'（x ）＞0． 所以φ（x ）即h '（x ）在[0，+∞）上单调递增，则h '（x ）≥h '（0）＝4﹣2a ．若a ≤2，则h '（x ）≥h '（0）＝4﹣2a ≥0，所以h （x ）在[0，+∞）上单调递增．所以h （xa ＞2）≥h （0）＝0恒成立，符合题意．若，则h '（0）＝4﹣2a ＜0，必存在正实数x 0，满足：当x ∈（0，x 0）时，h '（x ）＜0，h （x ）单调递减，此时h （x ）＜h （0）＝0，不符合题意综上所述，a 的取值范围是（﹣∞，2]．。

2020年浙江省嘉兴市高考数学模拟试卷（5月份）一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知全集2，3，4，5，6，7，，2，，5，，则等于A. 2，B. 5，C. 2，3，4，5，D.2.双曲线的渐近线方程为A. B. C. D.3.复数为虚数单位的共轭复数是A. B. C. D.4.已知m、n表示两条不同直线，表示平面，则下列说法正确的是A. 若，，则B. 若，，则C. 若，，则D. 若，，则5.已知a，，则“”是“直线和直线垂直”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6.若直线上不存在点的坐标满足条件则实数m的最小值为A. B. 1 C. D. 27.已知数列，满足且设是数列的前n项和，若，则a的值为A. B. C. D. 18.分别将椭圆的长轴、短轴和双曲线的实轴、虚轴都增加m个单位长度，得到椭圆和双曲线记椭圆，和双曲线，的离心率分别是，，，，则A. ，B. ，与的大小关系不确定C. ，D. ，与的大小关系不确定9.将边长为1的正方形ABCD沿对角线BD翻折，使得二面角的平面角的大小为，若点E，F分别是线段AC和BD上的动点，则的取值范围为A. B. C. D.10.设函数的极值点从小到大依次为，，，，，，若，，则下列命题中正确的个数有数列为单调递增数列数列为单调递减数列存在常数，使得对任意正实数t，总存在，当时，恒有存在常数，使得对任意正实数t，总存在，当时，恒有A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）11.已知函数，则其最小正周期______，______．12.某几何体的三视图如图所示单位：，则此几何体的所有侧面中，直角三角形共有______个，该几何体的体积是______．13.二项式的展开式中，常数项为______，所有项的系数之和为______．14.123P则______，方差______．15.将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，若A，B，C均互不相邻且A，B在C的同一侧，则不同的排法有______种．用数字作答16.已知函数若，则实数a的取值范围为______．17.四面体中，，其余棱长都为2，动点Q在的内部含边界，设，二面角的平面角的大小为，和的面积分别为，，且满足，则的最大值为______．三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．Ⅰ求角A的大小；Ⅱ若，求的取值范围．19.如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，且，若点E，F分别为AB和CD的中点．Ⅰ求证：平面平面PEF；Ⅱ若二面角的平面角的余弦值为，求PC与平面PAB所成角的正弦值．20.已知数列的前n项和为，且公比大于0的等比数列的首项为，且．Ⅰ求和的通项公式；Ⅱ若，求证：，21.设点为抛物线C：上的动点，F是抛物线的焦点，当时，．Ⅰ求抛物线C的方程；Ⅱ过点P作圆M：的切线，，分别交抛物线C于点A，当时，求面积的最小值．22.定义两个函数的关系：函数，的定义域分别为A，B，若对任意的，总存在，使得，我们就称函数为的“子函数”已知函数，，a，．Ⅰ求函数的单调区间；Ⅱ若为的一个“子函数”，求的最小值．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：由已知：5，6，7，，2，3，7，，，故选：D．由补集的运算求出，，再由交集的运算求出结果．本题考查了交、补集的混合运算，属于基础题．2.答案：B解析：【分析】本题考查双曲线的简单性质，着重考查双曲线的渐近线方程，属于基础题．由双曲线的渐近线方程即可得到答案．【解答】解：双曲线方程为，其渐近线方程为：，故选B．3.答案：A解析：解：，复数的共轭复数是．故选：A．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．4.答案：C解析：解：对于A，若，，则m与n可能平行，可能相交，可能异面，故A错误；对于B，若，，则当时，显然结论错误，故B错误；对于C，由项目垂直的性质定理“垂直于同一个平面的两条直线平行“可知C正确；对于D，若，，则n与可能平行，可能相交，有可能n在平面内，故D错误．故选：C．根据空间线面位置关系的性质与判定举反例进行说明即可．本题考查了空间线面位置关系的性质与判定，属于中档题．5.答案：A解析：解：直线和直线垂直，可得：，解得或．“”是“直线和直线垂直”的充分不必要条件．直线和直线垂直，可得：，解得即可判断出关系．本题考查了直线垂直与斜率之间的关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6.答案：B解析：解：由题意，，可求得交点坐标为要使直线上存在点满足约束条件，如图所示．可得实数m的最大值为1故选：B．根据，确定交点坐标为要使直线上存在点满足约束条件则，由此可得结论．本题考查线性规划知识的运用，考查学生的理解能力，属于基础题．7.答案：C解析：解：因为数列，满足且则；；；即数列的奇数项均为a；偶数项均为：；故．故选：C．根据数列的递推关系得到数列的奇数项均为a；偶数项均为：；再结合即可求解结论．本题主要考查数列递推关系式的应用，根据递推关系式求出其规律是解题关键．解析：解：设椭圆的长轴、短轴分别为2a，2b，则其半焦距，其离心率，其长轴与短轴各增加m个单位长度，则椭圆的长半轴为，短半轴为，则，其离心率，由不等式的性质可得，则；双曲线的实轴、虚轴分别为2a，2b，则其半焦距，其离心率，其实轴、虚轴都增加m个单位长度，则双曲线的实半轴长为，虚半轴为，则，其离心率，由不等式的性质可得由于双曲线中a，b的关系不确定，若，则，则．若，同理可得．故选：B．分别求出原椭圆与双曲线的离心率，再求出轴变化后的离心率，结合不等式的性质比较大小即可．本题考查椭圆与双曲线的简单性质，考查计算能力，是中档题．9.答案：B解析：解：如图，，，，，二面角的平面角的大小为，，故选：B．推导出，由此能求出的值．本题考查向量的数量积的取值范围的求法，考查空间向量坐标运算法则、向量的数量积关系等基础知识，考查推理论证能力，是中档题．10.答案：D解析：解：由，得，分别作出函数与的图象如图，，，，，，故错误；，故正确；函数的图象如图，，，，错误；．，或，错误．综上，仅有正确．故选：D．求出函数的导函数，在同一坐标系内作出函数与的图象，可得极值点的情况，得到，，故错误；再由，判断正确；作出的图象的大致形状，可得，，，判断错误；再由，结合，或，判断错误．本题考查命题的真假判断，其中涉及到数列的增减性，函数的求导以及对函数极值点的理解，考查数形结合的解题思想方法，难度较大．11.答案：解析：解：由三角函数的周期公式得函数的周期，，故答案为：，．根据三角函数的周期公式以及三角函数的关系进行化简计算即可．本题主要考查三角函数的图象和性质，结合三角函数的周期以及三角公式是解决本题的关键．比较基础．12.答案：3 2解析：解：根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为四棱锥体．如图所示：所以该几何体中有三个直角三角形，，，．该几何体的体积为．故答案为：3；2首先把三视图转换为几何体，进一步求出几何体的体积和直角三角形的个数．本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的体积和表面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．13.答案：4 16解析：解：展开式的通项为：，令得，，故常数项为．对原式，令，得所有项系数和．故答案为：4，16写出展开式的通项，令x的指数为0，求出常数项；利用赋值法，令，可得所有项系数之和．本题考查二项展开式的通项以及赋值法研究系数的问题，同时考查学生运用转化思想解决问题的能力，要注意计算的准确性．属于基础题．14.答案：解析：解：由题意可知：，，解得，所以：．．故答案为：；．利用分布列的性质，求解a，求出期望，然后求解方差即可．本题考查离散型随机变量的分布列的性质以及期望与方差的求法，是基本知识的考查．15.答案：96解析：解：先排D、E、F，有种排法；再利用插空法排A，B，C且C只能插在A、B的同侧，有种排法；所以有种排法．故填：96．先排D、E、F，再利用插空法排A，B，C且C只能插在A、B的同侧，根据乘法原理计算出结果．本题主要考查排列组合中的乘法原理的应用，属于基础题．16.答案：解析：解：根据题意，分4种情况讨论：当时，，此时，若，即，则有，解可得：；当时，，此时，若，即，则有，解可得：；当时，，此时，若，即，解可得，当时，，此时，若，即，则有，解可得：，综合可得：或，即a的取值范围为；故答案为：．根据题意，根据a的取值范围分4种情况讨论，，，，每种情况下求出的解析式，结合指数对数不等式的解法求出a的取值范围，综合4种情况即可得答案．本题考查分段函数的应用，涉及指数、对数不等式的解法，属于基础题．17.答案：解析：解：四面体中，，其余棱长都为2，取BC的中点D，连接PD，AD，则，，故为二面角的平面角，因为等边三角形PBC，ABC，故，故，设Q到BC的距离为h，则，化简得，，故点Q的轨迹为以点A为焦点，以BC为准线的抛物线在三角形ABC内部的一段弧，如图建立直角坐标系，则抛物线的方程为，，直线AB的方程为：，由，得，故圆弧与AB的交点横坐标为，则Q到BC的最大距离，故的最大值为．故答案为：．面体中，，其余棱长都为2，取BC的中点D，连接PD，AD，则，，故为二面角的平面角，求出，设Q到BC的距离为h，根据面积之比，求出，得到Q的轨迹方程，与直线联立求出AB与圆弧的交点，得到h的最大值，再求出面积的最大值．本题考查二面角，动点的轨迹方程，求面积的最大值等，考查运算能力和应用能力，中档题．18.答案：解：Ⅰ，即，由正弦定理可得，，，即，，；Ⅱ，，由正弦定理，可得，，，，，，可得．解析：Ⅰ由正弦定理化简已知等式，结合，利用同角三角函数基本关系式可求，结合范围，可求A的值．Ⅱ由正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求，由范围，可得，利用正弦函数的图象和性质即可求解其取值范围．本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．19.答案：解：Ⅰ，．而，所以平面PEF，又平面PEF，所以平面平面PEF．Ⅱ结合Ⅰ可知，即为二面角的平面角．如图，作于O，则，．如图建立空间直角坐标系，则．设平面PAB的法向量为，则，令，则，，，．故PC与平面PAB所成角的正弦值为．解析：Ⅰ利用线面垂直，将问题转化为证AB与平面PEF垂直的问题；Ⅱ先利用二面角的平面角的余弦值为，求出OP，然后利用空间直角坐标系，将问题转化为与平面PAB法向量夹角的问题求解．本题考查空间位置关系的判定和空间角的计算问题．主要是运用转化思想实现空间位置关系的证明，而角的计算问题，主要是通过建系设点，将空间角转化为向量间的夹角问题求解．属于中档题．20.答案：Ⅰ解：由题意，当时，，当时，，当时，也满足上式，，．设等比数列的公比为，则，，故，整理，得，解得舍去，或，，．Ⅱ证明：由Ⅰ知，，当时，，即，，，当时，，，．，解析：第Ⅰ题对于数列运用公式可计算出数列的通项公式，对于数列可设等比数列的公比为，然后根据已知条件可写出关于q的一元二次方程，解出q的值，即可得到等比数列的通项公式；第Ⅱ题先根据第Ⅰ题的结果计算出数列的通项公式，然后计算出当时，关于n 的表达式并进行放缩，进一步可将数列放缩到一个等比数列，注意时要另外计算，再在求和时放缩成等比数列求和的性质，计算出结果并加以放缩可证明不等式成立．本题主要考查等差数列和等比数列的基本量的计算，以及数列求和的不等式证明问题．考查了转化与化归思想，方程思想，分类讨论思想，放缩法，不等式的运算能力，以及逻辑推理能力和数学运算能力．本题属中档题．21.答案：解：Ⅰ当时，，即，得．抛物线C的方程为；Ⅱ点为抛物线C：上的动点，则，设过点的切线为，则，得．，是方程的两个根，，．设，，直线：与抛物线C：交于点A，则，得，根与系数的关系，即，同理．设直线AB：，则，，又，．．令，则．当且仅当，即时取得最小值．解析：Ⅰ当时，，由抛物线的焦半径公式可得，得，则抛物线方程可求；Ⅱ由点为抛物线C：上的动点，得，可设过点的切线为，利用圆心到直线的距离等于半径可得，得，由根与系数的关系得，设，，则直线：，与抛物线方程联立，再由根与系数的关系可得，即，同理，再设直线AB：，利用弦长公式求弦长，由点到直线的距离公式求P到直线AB的距离，代入三角形面积公式，换元后利用基本不等式与二次函数求最值．本题考查抛物线方程的求法，考查直线与圆、直线与抛物线位置关系的应用，考查整体运算思想方法，考查计算能力，属难题．22.答案：解：，，．函数的单调递减区间为，单调递增区间为．由可得：时，函数取得极小值即最小值，．时，，且为连续函数，因此只需即有实数解．即，，则，令，即在上有实数解．将看成直线，令，则，．令．，．的最小值为．解析：，，即可得出单调性．由可得：时，，且为连续函数，因此只需即有实数解．即，，，令即在上有实数解，将看成直线，令，则，，过换元利用函数的单调性即可得出．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、换元法、等价转化方法、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。

浙江省三校（新昌中学、浦江中学、富阳中学）2020-2021学年高三上学期第一次联考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合21{|216},0,3x A x x B x x ⎧⎫+=-<=≤⎨⎬-⎩⎭则R A B =（ ） A ．517,3,222⎛⎤⎛⎫--⋃ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭ B ．517,3,222⎛⎫⎡⎫-- ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭ C ．1,32⎛⎤- ⎥⎝⎦ D ．1,32⎛⎫- ⎪⎝⎭2．已知a R ∈，若112a i i +++(i 为虚数单位)是实数，则实数a 等于（ ） A ．1 B ．2 C ．32 D ．523．若02030x x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩，则3z x y =+的最小值是（ ）A ．0B ．1C ．5D ．94．设m ，n 是空间两条不同直线，α，β是空间两个不同平面，则下列选项中不正确的是（ ）A ．当n ⊥α时，“n ⊥β”是“α∥β”成立的充要条件B ．当时，“m ⊥β”是“αβ⊥”的充分不必要条件 C ．当时，“n//α”是“”必要不充分条件 D ．当时，“”是“”的充分不必要条件5．已知函数y =sin ax +b (a >0)的图像如图所示，则函数y=log a (x +b )的图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右两个焦点，若双曲线左支上存在一点P 与点2F 关于直线b y x a =对称，则该双曲线C 的离心率为（ ） ABCD ．2 7．设函数()2cos f x x x =-，设{}n a 是公差为8π的等差数列，f (a 1)+f (a 2)+…+f (a 5)=5π，则()2315f a a a -=⎡⎤⎣⎦（ ）A ．0B ．2116πC ．218π D ．21316π 8．已知平面向量a ，b ，c 满足：2a =，a ，b 夹角为60o ，且()12c a tb t R =-+∈.则c c a +-的最小值为（ ）A B ．4C ．D9．袋子A 中装有若干个均匀的红球和白球，从A 中有放回地摸球，每次摸出一个，摸出一个红球的概率是13，有3次摸到红球即停止.记5次之内(含5次)摸到红球的次数为ξ，则ξ的数学期望()E ξ=（ ）A ．13181B ．14381C ．433243D ．593243 10．定义全集U 的子集A 的特征函数()1,0,A U x A f x x A ∈⎧=⎨∈⎩.这里U A 表示集合A 在全集U 中的补集.已知A U ⊆，B U ⊆，以下结论不正确的是（ ）A ．若AB ⊆，则对于任意x U ∈，都有()()A B f x f x ≤；B ．对于任意x U ∈，都有()()1U A A f x f x =-；C ．对于任意x U ∈，都有()()()AB A B f x f x f x =⋅； D ．对于任意x U ∈，都有()()()ABA B f x f x f x =+.二、填空题 11．在2000多年前，古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥的方法来研究圆锥曲线：用垂直于锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面倾斜到“和且仅和”圆锥的一条母线平行时，得到抛物线；当平面再倾斜一些就可以得到双曲线.已知一个圆锥的高和底面半径都为2，则用与底面呈45︒的平面截这个圆锥，得到的曲线是___________.12．在平面直角坐标系中，给定两点(1,2),(3,4)M N ，点P 在x 轴的正半轴上移动，当MPN ∠取最大值时，点P 的横坐标为__________.13．若对任意的正实数x ，均有()112ln ax a e x x x ⎛⎫+≥+⎪⎝⎭恒成立，则是实数a 的最小值为______.14．在①2A+C =B ②2a c b +=这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并求解.问题：已知ABC 内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2b =，_________，试求sin sin sin A B C ⋅⋅的范围.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.三、双空题15．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是1，则正视图中的x 的值是___________，该几何体的表面积是___________.16．已知多项式()()()()()5272012711111x x a a x a x a x +-=+++++⋅⋅⋅++，则127a a a ++⋅⋅⋅+=___________，4a =___________.17．已知7sin cos (0)13θθθπ+=-<<，则tan θ=___________，sin 2()4πθ-=___________.18．过20x y --=上一点()00,P x y 作直线与221x y +=相切于A ，B 两点.当03x =时，切线长PA 为________________；当PO AB ⋅最小时，0x 的值为__________.四、解答题19．如图，在四棱锥E -ABCD 中，底面ABCD 为正方形，AE ⊥平面CDE ，已知3==AE DE ，F 为DE 的中点.（1）求证：BE //平面ACF ；（2）求BE 与平面BCF 所成角的正弦值.20．已知数列{}n a 的首项1a ，前n 项之和n S ，满足212n n na S +=.数列{}n b 的前n 项之和n T ，满足()()110n n q T qb q -=->，*n N ∈.（1）若对任意正整数n 都有1n n a b +≤成立，求正数q 的取值范围；（2）当2q ，数列{}n c 满足：21n n n n a c S b ++=⋅，求证：12322n c c c ≤++⋅⋅⋅+<. 21．已知椭圆:Γ()222210x y a b a b +=>>左顶点为A ，且过点12⎫⎪⎭.（1）求Γ的方程；（2）过抛物线:C ()220y px p =>上一点P 的切线l 交Γ于,D E 两点，线段DE ，PA 的中点分别为,M N .求证：对任意0p >，都存在这样的点P ，使得MN 所在直线平行于y 轴.22．已知函数()2x f x e ax =+，其中 2.71828e =……是自然对数的底数. （1）若()()()11f x g x x x =≠-+有三个极值点123,,x x x ，（i ）求实数a 的范围；（ii ）求证：1232x x x ++>-；（2）若()y f x =有三个零点123,,x x x ，且123x x x <<，求证：10x <<.参考答案1．C【分析】先求出集合A 和集合B ，再根据补集交集运算即可求出.【详解】{}5721622A x x x x ⎧⎫=-<=-<<⎨⎬⎩⎭， 2121100332x x B x x x x x x ⎧⎫⎧⎫⎧++=≤=≥=≤-⎨⎬⎨⎬⎨--⎩⎭⎩⎭⎩或}3x >， 132R B x x ⎧⎫∴=-<≤⎨⎬⎩⎭， 113,322R A B x x ⎧⎫⎛⎤∴⋂=-<≤=-⎨⎬ ⎥⎝⎦⎩⎭. 故选：C. 【点睛】本题考查补集交集混合运算，其中涉及绝对值不等式和分式不等式的求解，属于基础题. 2．A【分析】由复数的除法和加法运算化简112a i i +++，再由112a i i +++为实数可得出答案. 【详解】 ()()()111111*********a i a i i a ai i a a i i i i -++-++-+=+=+=+++- 由112a i i +++为实数，则102a -=，所以1a = 故选：A【点睛】本题考查复数的除法运算和加法运算，复数为实数的充要条件，属于基础题.3．C【分析】根据约束条件作出可行域以及直线3z x y =+过点A 时在y 轴上的截距最小，算出最小值.根据约束条件作出可行域如图所示，当直线3z x y =+过点（2,1）时在y 轴上的截距最小，z 最小，由A (2,1)知z 的最小值为5.故选：C.【点睛】本题主要考查线性规划，属于简单题型.4．C【解析】A,B,D 正确；C 错误．,////m n m n m n αα⊂⇒或与异面；,////;m n m n n ααα⊂⇒⊂或所以当m α⊂时，//n α是//m n 的既不充分又不必要条件.故选C5．C【分析】根据函数sin (0)y ax b a =+>的图象求出a 、b 的范围，从而得到函数log ()a y x b =+的单调性及图象特征，从而得出结论．【详解】由函数sin (0)y ax b a =+>的图象可得201,23b a πππ<<<<，213a ∴<<， 故函数log ()a y xb =+是定义域内的减函数，且过定点(1,0)b -.结合所给的图像可知只有C 选项符合题意.【点睛】本题主要考查由函数sin()y A x ωϕ=+的部分图象求函数的解析式，对数函数的单调性以及图象特征，属于基础题．6．B【分析】求出过焦点2F 且垂直渐近线的直线方程，联立渐近线方程，解方程组可得对称中心的点的坐标，代入方程结合222+=a b c ，解出e 即得.【详解】由题意，设点焦点2F 且垂直渐近线的直线方程为：()0a y x c b-=--， 由()0a y x c b b y x a ⎧-=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得：2a x c =，ab yc =， 所以，对称中心的点坐标为2,a ab c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，又()2,0F c ，设点()00,P x y ， 则200202c x a c y ab c ⎧+=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，解得20022a x c c ab y c ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即点222,a ab P c c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 将点222,a ab P c c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭代入双曲线的方程可得()222222222241a c a b a c b c --=，又222+=a b c ， 化简可得225c a =，故c e a ==故选：B.【点睛】本题考查双曲线的简单性质，考查双曲线离心率的求解和对称问题，属于中档题. 7．D【分析】 依题意可化简得3333102cos cos 2cos cos cos 584a a a a πππ---=，构造函数()33333102cos cos2cos cos cos 84g a a a a a ππ=---，利用导数可判断函数单调增，从而求得32a π=，继而可得答案．【详解】由已知，()()()()()125125125cos cos cos f a f a f a a a a a a a +++=+++-+++333333=10cos cos cos cos cos 54884a a a a a a πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫------+-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 化简得3333102cos cos 2cos cos cos 584a a a a πππ---=令()33333102cos cos2cos cos cos 84g a a a a a ππ=--- 则()33102cos 2cos 1sin 084g a a ππ⎛⎫'=+++> ⎪⎝⎭所以()3g a 单调递增，由52g ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则32a π=显然是其一个解， 所以()35g a π=有且只有32a π=一个解，则()32f a f ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭所以()223152424f a a a πππππ⎛⎫⎛⎫-=--+⎡⎤ ⎪⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭ 2223131616πππ=-= 故选：D ．【点睛】本题考查数列与三角函数的综合，求得3cos 0a =，继而求得32a π=是关键，也是难点，考查分析，推理与计算能力，属于难题．8．A【分析】由题意知，可设(2,0),,(1,0),(3,0)a OA tb BO C D ===--，由向量的坐标运算可得,c BC c a BD =-=，可转为在直线y =上取一点B ，使得||||BC BD +最小，利用化曲为直的思想即可得到答案. 【详解】由题意知，可设(2,0),a OA tb BO ===，因为a ，b 夹角为60o ，则点B在直线y =上，如图(1,0),(3,0)C D --，则1(1,0)2a OC -=-=，12c a tb BO OC BC =-+=+=， 32c a a tb OD BO BD -=-+=+=，则||||||||c c a BC BD +-=+的最小值可转化为在直线y =上取一点B ，使得||||BC BD +最小，作点C 关于直线y =的对称点C '，则||||BC BD +的最小值即为DC'，设点(),C x y '，则1122y x y x ⎧=⎪+⎪⎨-⎪=⎪⎩，解得12x =，y =，则C D '==故c c a +-的最小值为故选：A. 【点睛】本题考查了向量的坐标运算及向量的几何意义，属于中档题. 9．A【分析】根据题中条件，先得出ξ能取的值为0，1，2，3；分别求出对应的概率，再由离散型随机变量期望的计算公式，即可得出结果. 【详解】由题意，ξ能取的值为0，1，2，3，则()5132013243P ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭ξ，()41511801133243P C ⎛⎫==⋅⋅-=⎪⎝⎭ξ， ()232511802133243P C ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅-=⎪⎪⎝⎭⎝⎭ξ， ()322222341111111513113333333243P C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+⋅⋅⋅-+⋅⋅⋅-=⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ξ， 则ξ的数学期望()32808051131012324324324324381E =⨯+⨯+⨯+⨯=ξ. 故选：A. 【点睛】本题主要考查求离散型随机变量的期望，属于常考题型. 10．D 【分析】选项A 分“x A ∈”、“x A ∉且x B ∈”、“x A ∉且x B ∉”三种情况讨论，判断A 选项正确；选项B 分“x A ∈”、“x A ∉”两种情况讨论，判断B 选项正确；选项C 分“x AB ∈”、“x A ∈且x B ∉”、“x A ∉且x B ∈”、“x A ∉且x B ∉”四种情况讨论，判断C 选项正确；选项D 举反例：当x A ∈且x B ∈时，()1ABf x =，()1A f x =，()1B f x =，则()()()ABA B f x f x f x ≠+，判断D 选项错误.【详解】选项A ：因为A B ⊆，当x A ∈时，则()1A f x =，()1B f x =，则()()A B f x f x ≤；当x A ∉且x B ∈时，则()0A f x =，()1B f x =，则()()A B f x f x ≤；当x A ∉且x B ∉时，则()0A f x =，()0B f x =，则()()A B f x f x ≤，所以对任意x U ∈，都有()()A B f x f x ≤；故A 选项正确；选项B ：当x A ∈时，()0U A f x =，()1A f x =，则()()1U A A f x f x =-；当x A ∉时，()1U A f x =，()0A f x =，则()()1U A A f x f x =-；故B 选项正确；选项C ：当x AB ∈时，()1ABf x =，()1A f x =，()1B f x =，则()()()A B A B f x f x f x =⋅；当x A ∈且x B ∉时，()0A Bf x =，()1A f x =，()0B f x =，则()()()A B A B f x f x f x =⋅；当x A ∉且x B ∈时，()0A Bf x =，()0A f x =，()1B f x =，则()()()A B A B f x f x f x =⋅；当x A ∉且x B ∉时，()0A Bf x =，()0A f x =，()0B f x =，则()()()A B A B f x f x f x =⋅；故C 选项正确；选项D ：当x A ∈且x B ∈时，()1ABf x =，()1A f x =，()1B f x =，则()()()ABA B f x f x f x ≠+，故D 选项错误.故选：D 【点睛】本题考查集合的补集运算、分段函数确定函数值，还考查分类讨论思想，是基础题. 11．抛物线 【分析】利用线面角定义求出母线与底面的夹角，结合题中所给的结论进行判断即可. 【详解】因为圆锥的高和底面半径都为2，因此有tan 145OSSAO SAO AO︒∠==⇒∠=, 所以母线SA 与底面所成的角为45︒，因为用与底面呈45︒的平面截这个圆锥，所以该平面一定会与圆锥的某条母线(如SA )平行，由题中所给的结论可知：用与底面呈45︒的平面截这个圆锥，得到的曲线是抛物线. 故答案为：抛物线【点睛】本题考查了线面角的应用，考查了数学阅读能力，考查了空间想象能力. 12．3 【分析】根据题意，设圆心坐标为(,5)E a a -，得出圆的方程222()(5)(5)x a y a a -++-=-，根据圆的性质，得到圆和x 轴相切时，MPN ∠取得最大值，即可求解. 【详解】过点,,M N P 三点的圆的圆心在线段MN 的中垂线5y x =-上， 设圆心坐标为(,5)E a a -，又由点P 在x 轴上移动，当圆和x 轴相切时，MPN ∠取得最大值，设切点(,0)P a ，圆的半径为5a -，所以圆的方程为222()(5)(5)x a y a a -++-=-，代入点(1,2)M 代入圆的方程，可得222(1)(25)(5)a a a -++-=-， 整理得22150a a +-=，解得3a =或5a =-（舍去）， 所以点P 的横坐标为3. 故答案为：3. 【点睛】本题主要考查了圆的标准方程，以及圆的性质的应用，其中解答中熟练应用圆的性质，以及圆的标准方程的求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 13．2e【分析】由题意可得0a >，对原不等式化简()()22ln 11ln axaxeex x +≥+，构造函数()()1ln F x x x =+，求导，讨论函数的单调区间，可得()F x 在()0,∞+上单调递增，进而()()22axaxF e F x ex ≥⇒≥，利用参变分离的方法，求出参数的取值范围.【详解】由()112ln ax a x x x e ⎛⎫+≥+ ⎪⎝⎭，可知当1x >时，()100axa e a +>⇒>且()()()222121ln 1ln axax e x x x x +≥+=+()()22ln 11ln ax ax e e x x +≥+令()()1ln F x x x =+，()1ln x F x x x +'=+，()22111-''=-=x F x x x x()F x '在(0,1)单调递减，在(1,)+∞单调递增，()()120''∴≥=>F x F ，∴()F x 在()0,∞+上单调递增0x >时，0ax >，20x >，而()()22axaxF eF x ex ≥⇒≥∴2ln ax x ≥，2ln xa x≥设2ln ()xh x x=，222ln '()-=x h x x ，当(0,),'()0∈>x e h x ，单调递增当(+),'()0，∈∞<x e h x ，单调递减 max 2()()h x h e e==，所以2a e ≥故答案为：2e【点睛】本题考查了导数的综合应用，考查了计算能力和逻辑推理能力，属于难题.14．条件选择见解析，⎛ ⎝⎦【分析】当选①2A+C =B ，利用正弦定理即可求解；当选②2a c b +=，利用基本不等式以及余弦定理可得sin 0,2B ⎛∈ ⎝⎦，利用正弦定理33sin sin sin sin abc A B C B b ⋅⋅=⋅即可求解. 【详解】当选①2A+C =B ：易知3B π=，20,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，sin sin sin a b c A B C ===sin sin sin A B C ⋅⋅=2sin sin 23A A π⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭23sin cos 44A A A =+)3sin 21cos 28A A =-23A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 由20,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则52333A πππ<+<， 则11cos 232A ⎛⎫-≤+< ⎪⎝⎭π，则sin sin sin 23A B C A π⎛⎛⎫⋅⋅=-+∈ ⎪ ⎝⎭⎝⎦， 当选②2a c b +=：可知2242a c ac b +⎛⎫≤== ⎪⎝⎭， ()22261cos 122a c acb B acac +--==-≥，从而0,3B π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，sin 0,2B ⎛∈ ⎝⎦，而333sin sin sin sin sin 88abc abc A B C B B b ⋅⋅=⋅=⋅≤，当且仅当a b c ==时取等号，从而sin sin sin 0,8A B C ⎛⋅⋅∈ ⎝⎦.【点睛】本题是一道开放性题目，考查了正弦定理、余弦定理解三角形以及基本不等式、三角函数的性质在求范围中的应用，属于中档题.15．1 522++【分析】根据三视图可知，该几何体是一个底面为直角梯形的四棱锥，根据棱锥的体积公式列方程可求得x 的值，根据表面积公式可求得表面积. 【详解】根据三视图可知，该几何体是一个底面为直角梯形的四棱锥，如图：底面直角梯形的面积为1(12)22+⨯3=， 所以四棱锥的体积为133x x ⨯=， 由已知得1x =.该几何体的表面积是111321211222+⨯⨯+⨯⨯+⨯12=522++。

2020年浙江省高考数学模拟试卷（5）一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）1．（4分）已知A ＝{x ∈N *|x ≤3}，B ＝{x |x 2﹣4x ≤0}，则A ∩B ＝（ ） A ．{1，2，3}B ．{1，2}C ．（0，3]D ．（3，4]2．（4分）设i 为虚数单位，复数z =2+3ii，则z 的共轭复数是（ ） A ．3﹣2iB ．3+2iC ．﹣3﹣2iD ．﹣3+2i3．（4分）设变量x ，y 满足约束条件{x +y ≥1，2x −y ≤2，x −y +1≥0，则z ＝（x ﹣3）2+y 2的最小值为（ ）A ．2B ．4√55C ．4D ．1654．（4分）已知α为任意角，则“cos2α=13”是“sin α=√33”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要5．（4分）函数f （x ）＝x 2+e |x |的图象只可能是（ ）A ．B ．C ．D ．6．（4分）如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，P 为线段AD 的中点，Q 为线段B 1C 1的动点，则下列说法中错误的是（ ）A ．线段PQ 与平面CDD 1C 1可能平行B ．当Q 为线段B 1C 1的中点时，线段PQ 与DD 1所成角为π4C ．PQ ≥√2ABD ．CD 1与PQ 不可能垂直7．（4分）已知0＜a ＜23，随机变量ξ的分布列如图：则当a 增大时，ξ的期望E （ξ）变化情况是（ ）ξ ﹣10 1 P13abA ．E （ξ）增大B ．E （ξ）减小C ．E （ξ）先增后减D ．E （ξ）先减后增8．（4分）已知函数f(x)={x 2+4x +2，x ≤0log 2x ，x ＞0，且方程f （x ）＝a 有三个不同的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1+x 2+x 3的取值范围为（ ） A ．(−154，0] B ．(−154，2] C ．[﹣4，+∞） D ．[﹣4，2）9．（4分）如图，在三棱台ABC ﹣A 1B 1C 1中，M 是棱A 1C 1上的点，记直线AM 与直线BC 所成的角为α，直线AM 与平面ABC 所成的角为β，二面角M ﹣AC ﹣B 的平面角为γ．则（ ）A ．α≥β，β≤γB ．α≤β，β≤γC ．α≥β，β≥γD ．α≤β，β≥γ10．（4分）设数列{a n }满足a n +1＝a n 2+2a n ﹣2（n ∈N *），若存在常数λ，使得a n ≤λ恒成立，则λ的最小值是（ ） A ．﹣3B ．﹣2C ．﹣1D ．1二．填空题（共7小题，满分36分）11．（6分）过点P （1，1）作直线l 与双曲线x 2−y 22=λ交于A ，B 两点，若点P 恰为线段AB 的中点，则实数λ的取值范围是 ．12．（6分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ．13．（6分）已知（1﹣x ）6＝a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 6x 6，则a 2＝ ，a 0﹣a 1+a 2﹣a 3+a 4﹣a 5+a 6＝ ．14．（6分）在△ABC 中，a ＝1，cos C =34，△ABC 的面积为√74，则c ＝ ． 15．（4分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的上、下顶点分别为B 2，B 1，若一个半径为√2b ，过点B 1，B 2的圆M 与椭圆的一个交点为P （异于顶点B 1，B 2），且|kPB 1−kPB 2|=89，则椭圆的离心率为 ． 16．（4分）如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，∠BCD ＝60°，CB ＝CD ＝2√3．若点M 为边BC 上的动点，则AM →•DM →的最小值为 ．17．（4分）设f （x ）是定义在（0，+∞）上的可导函数，且满足f （x ）+xf '（x ）＞0，则不等式f （x +1）＞（x ﹣1）f （x 2﹣1）的解集为 三．解答题（共5小题，满分74分）18．（14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且b ﹣c ＝1，cos A =13，△ABC 的面积为2√2． （Ⅰ）求a 及sin C 的值； （Ⅱ）求cos （2A −π6）的值．19．（15分）如图，三棱锥D ﹣ABC 中，AD ＝CD ，AB ＝BC ＝4√2，AB ⊥BC ． （1）求证：AC ⊥BD ；（2）若二面角D﹣AC﹣B的大小为150°且BD＝4√7时，求直线BM与面ABC所成角的正弦值．20．（15分）在等差数列{a n}和正项等比数列{b n}中，a1＝1，b1＝2，且b1，a2，b2成等差数列，数列{b n}的前n项和为Sn，且S3＝14．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）令c n=a bn，（﹣1）n d n＝n c n+n，求数列{d n}的前项和为T n．21．（15分）已知抛物线y2＝x上的动点M（x0，y0），过M分别作两条直线交抛物线于P、Q两点，交直线x＝t于A、B两点．（1）若点M纵坐标为√2，求M与焦点的距离；（2）若t＝﹣1，P（1，1），Q（1，﹣1），求证：y A•y B为常数；（3）是否存在t，使得y A•y B＝1且y P•y Q为常数？若存在，求出t的所有可能值，若不存在，请说明理由．22．（15分）设函数f（x）＝e x cos x，g（x）＝e2x﹣2ax．（1）当x∈[0，π3]时，求f（x）的值域；（2）当x∈[0，+∞）时，不等式g(x)≥f′(x)e2x恒成立（f'（x）是f（x）的导函数），求实数a的取值范围．2020年浙江省高考数学模拟试卷（5）参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）1．（4分）已知A ＝{x ∈N *|x ≤3}，B ＝{x |x 2﹣4x ≤0}，则A ∩B ＝（ ） A ．{1，2，3}B ．{1，2}C ．（0，3]D ．（3，4]【解答】解：由题意得：A ＝{x ∈N *|x ≤3}＝{1，2，3}，B ＝{x |x 2﹣4x ≤0}＝{x |0≤x ≤4}， ∴所以A ∩B ＝{1，2，3}， 故选：A ．2．（4分）设i 为虚数单位，复数z =2+3ii，则z 的共轭复数是（ ） A ．3﹣2iB ．3+2iC ．﹣3﹣2iD ．﹣3+2i【解答】解：∵z =2+3i i =(2+3i)(−i)−i2=3−2i ， ∴z =3+2i ． 故选：B ．3．（4分）设变量x ，y 满足约束条件{x +y ≥1，2x −y ≤2，x −y +1≥0，则z ＝（x ﹣3）2+y 2的最小值为（ ）A ．2B ．4√55C ．4D ．165【解答】解：画出变量x ，y 满足约束条件{x +y ≥1，2x −y ≤2，x −y +1≥0，的可行域，可发现z ＝（x ﹣3）2+y 2的最小值是（3，0）到2x ﹣y ﹣2＝0距离的平方． 取得最小值：(4+1)2=165．故选：D．4．（4分）已知α为任意角，则“cos2α=13”是“sinα=√33”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要【解答】解：若cos2α=13，则cos2α＝1﹣2sin2α，sinα=±√33，则cos2α=13”是“sinα=√33”的不充分条件；若sinα=√33，则cos2α＝1﹣2sin2α，cos2α=13，则cos2α=13”是“sinα=√33”的必要条件；综上所述：“cos2α=13”是“sinα=√33”的必要不充分条件．故选：B．5．（4分）函数f（x）＝x2+e|x|的图象只可能是（）A．B．C．D．【解答】解：因为对于任意的x∈R，f（x）＝x2+e|x|＞0恒成立，所以排除A，B，由于f（0）＝02+e|0|＝1，则排除D，故选：C．6．（4分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为线段AD的中点，Q为线段B1C1的动点，则下列说法中错误的是（）A ．线段PQ 与平面CDD 1C 1可能平行B ．当Q 为线段B 1C 1的中点时，线段PQ 与DD 1所成角为π4C ．PQ ≥√2ABD ．CD 1与PQ 不可能垂直【解答】解：在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，P 为线段AD 的中点，Q 为线段B 1C 1的动点，在A 中，当Q 为线段B 1C 1中点时，线段PQ 与平面CDD 1C 1平行，故A 正确； 在C 中，当Q 为线段B 1C 1的中点时，PQ ∥DC 1， ∴线段PQ 与DD 1所成角为∠C 1DD 1=π4，故B 正确；在C 中，PQ ≥√2AB ，当且仅当Q 为线段B 1C 1的中点时取等号，故C 正确； 在D 中，当Q 为线段B 1C 1的中点时，PQ ∥DC 1，CD 1与PQ 垂直，故D 错误． 故选：D ．7．（4分）已知0＜a ＜23，随机变量ξ的分布列如图：则当a 增大时，ξ的期望E （ξ）变化情况是（ ）ξ ﹣10 1 P13abA ．E （ξ）增大B ．E （ξ）减小C ．E （ξ）先增后减D ．E （ξ）先减后增【解答】解：依题可知{E(ξ)=−13+b a +b =23， ∴E(ξ)=−13+23−a ，∴当a 增大时，ξ的期望E （ξ）减小． 故选：B ．8．（4分）已知函数f(x)={x 2+4x +2，x ≤0log 2x ，x ＞0，且方程f （x ）＝a 有三个不同的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1+x 2+x 3的取值范围为（ ） A ．(−154，0]B ．(−154，2]C ．[﹣4，+∞）D ．[﹣4，2）【解答】解：作出函数f （x ）的图象，方程f （x ）＝a 有三个不同的实数根 即等价于函数y ＝f （x ）的图象与直线y ＝a 有三个交点A ，B ，C ，故有﹣2＜a ≤2， 不妨设x 1＜x 2＜x 3，因为点A ，B 关于直线x ＝﹣2对称，所以x 1+x 2＝﹣4， ﹣2＜log 2x 3≤2，即14＜x 3≤4，故−154＜x 1+x 2+x 3≤0．故选：A ．9．（4分）如图，在三棱台ABC ﹣A 1B 1C 1中，M 是棱A 1C 1上的点，记直线AM 与直线BC 所成的角为α，直线AM 与平面ABC 所成的角为β，二面角M ﹣AC ﹣B 的平面角为γ．则（ ）A ．α≥β，β≤γB ．α≤β，β≤γC ．α≥β，β≥γD ．α≤β，β≥γ【解答】解：∵在三棱台ABC ﹣A 1B 1C 1中，M 是棱A 1C 1上的点， 记直线AM 与直线BC 所成的角为α，直线AM 与平面ABC 所成的角为β， 二面角M ﹣AC ﹣B 的平面角为γ． ∴根据最小角定理得α≥β， 根据最大角定理得β≤γ． 故选：A ．10．（4分）设数列{a n }满足a n +1＝a n 2+2a n ﹣2（n ∈N *），若存在常数λ，使得a n ≤λ恒成立，则λ的最小值是（ ） A ．﹣3B ．﹣2C ．﹣1D ．1【解答】解：a n+1−a n =a n 2+a n −2=(a n +2)(a n −1)，若a n ＜﹣2，则a n +1＞a n ，则该数列单调递增，所以无限趋于﹣2． 若a n ＝﹣2，则a n +1＝a n ，则该数列为常数列，即a n ＝2． 所以，综上所述，λ≥﹣2． ∴λ的最小值是﹣2． 故选：B ．二．填空题（共7小题，满分36分）11．（6分）过点P （1，1）作直线l 与双曲线x 2−y 22=λ交于A ，B 两点，若点P 恰为线段AB 的中点，则实数λ的取值范围是 （﹣∞，0）∪（0，12） ．【解答】解：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），代入双曲线可得：{x 12−y 122=λx 22−y222=λ，两式相减可得：y 1−y 2x 1−x 2=2(x 1+x 2)y 1+y 2，而由题意可得，x 1+x 2＝2×1＝2，y 1+y 2＝2×1＝2，所以直线AB 的斜率k =y 1−y 2x 1−x 2=2×22=2，所以直线AB 的方程为：y ﹣1＝2（x ﹣1），即y ＝2x ﹣1，代入双曲线的方程可得：2x 2﹣4x +1+2λ＝0，因为直线与双曲线由两个交点，所以△＞0，且λ≠0，即△＝16﹣4×2×（1+2λ）＞0，解得：λ＜12，所以实数λ的取值范围是（﹣∞，0）∪（0，12），故答案为：（﹣∞，0）∪（0，12）．12．（6分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 9 ．【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体为：下底面为直角梯形，高为3的四棱锥体，如图所示：所以：V=13×12(2+4)×3×3=9，故答案为：913．（6分）已知（1﹣x）6＝a0+a1x+a2x2+…+a6x6，则a2＝15，a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5+a6＝64．【解答】解：由（1﹣x）6的通项为T r+1=C6r(−x)r可得，令r＝2，即x2项的系数a2为C62=15，即a2＝15，由（1﹣x）6＝a0+a1x+a2x2+…+a6x6，取x＝﹣1，得a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5+a6＝[1﹣（﹣1）]6＝64，故答案为：15，64．14．（6分）在△ABC中，a＝1，cos C=34，△ABC的面积为√74，则c＝√2．【解答】解：∵a ＝1，cos C =34，△ABC 的面积为√74， ∴sin C =√1−cos 2C =√74，可得√74=12ab sin C =√78ab ，解得ab ＝2，∴b ＝2，∴由余弦定理可得c =√a 2+b 2−2abcosC =√12+22−2×1×2×34=√2． 故答案为：√2．15．（4分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a +y 2b =1（a ＞b ＞0）的上、下顶点分别为B 2，B 1，若一个半径为√2b ，过点B 1，B 2的圆M 与椭圆的一个交点为P （异于顶点B 1，B 2），且|kPB 1−kPB 2|=89，则椭圆的离心率为2√23． 【解答】解：设P （x 0，y 0），B 1（0，﹣b ），B 2（0，+b ），由|k PB 1−kPB 2|=89，|y 0−b x 0−y 0+b x 0|=89， ∴|x 0|=94b ，由题意得圆M 的圆心在x 轴上，设圆心（t ，0）， 由题意知：t 2+b 2＝2b 2∴t 2＝b 2， ∴MP 2＝2b 2＝（x 0﹣t ）2+y 02， ∴y 02=716b 2， P 在椭圆上， 所以81b 216a 2+716=1，∴a 2＝9b 2＝9（a 2﹣c 2），∴e 2=89，所以离心率为2√23，故答案为：2√23． 16．（4分）如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，∠BCD ＝60°，CB ＝CD ＝2√3．若点M 为边BC 上的动点，则AM →•DM →的最小值为214．【解答】解：如图所示：以B 为原点，以BA 所在的直线为x 轴， 以BC 所在的直线为y 轴，过点D 做DP ⊥x 轴，过点D 做DQ ⊥y 轴，∵AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，∠BAD ＝120°，CB =CD =2√3， ∴B （0，0），A （2，0），C （0，2√3），D （3，√3）， 设M （0，a ），则AM →=（﹣2，a ），DM →=（﹣3，a −√3）， 故AM →•DM →=6+a （a −√3）=(a −√32)2+214≥214， 故答案为：214．17．（4分）设f （x ）是定义在（0，+∞）上的可导函数，且满足f （x ）+xf '（x ）＞0，则不等式f （x +1）＞（x ﹣1）f （x 2﹣1）的解集为 （1，2） 【解答】解：令g （x ）＝xf （x ），x ∈（0，+∞）． g ′（x ）＝f （x ）+xf '（x ）＞0，∴函数g （x ）在x ∈（0，+∞）上单调递增．不等式f （x +1）＞（x ﹣1）f （x 2﹣1）即不等式（x +1）f （x +1）＞（x 2﹣1）f （x 2﹣1），x +1＞0．∴x +1＞x 2﹣1＞0， 解得：1＜x ＜2．∴不等式f （x +1）＞（x ﹣1）f （x 2﹣1）的解集为（1，2）． 故答案为：（1，2）．三．解答题（共5小题，满分74分）18．（14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且b ﹣c ＝1，cos A =13，△ABC 的面积为2√2． （Ⅰ）求a 及sin C 的值； （Ⅱ）求cos （2A −π6）的值．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且b ﹣c ＝1，cos A =13， ∴sin A =√1−cos 2A =2√23，∵△ABC 的面积为12bc •sin A =bc 2•2√23=√23bc ＝2√2，∴bc ＝6，∴b ＝3，c ＝2，∴a =√b 2+c 2−2bc ⋅cosA =√9+4−2⋅3⋅2⋅13=3． 再根据正弦定理可得a sinA=c sinC，即2√23=2sinC，∴sin C =4√29． （Ⅱ）∴sin2A ＝2sin A cos A =4√29，cos2A ＝2cos 2A ﹣1=−79， 故 cos （2A −π6）＝cos2A cos π6+sin2A sinπ6=−79•√32+4√29•12=4√2−7√318． 19．（15分）如图，三棱锥D ﹣ABC 中，AD ＝CD ，AB ＝BC ＝4√2，AB ⊥BC ． （1）求证：AC ⊥BD ；（2）若二面角D ﹣AC ﹣B 的大小为150°且BD ＝4√7时，求直线BM 与面ABC 所成角的正弦值．【解答】解：（1）证明：取AC 中点O ，连结BO ，DO ， ∵AD ＝CD ，AB ＝BC ，∴AC ⊥BO ，AC ⊥DO ， ∵BO ∩DO ＝O ，∴AC ⊥平面BOD ， 又BD ⊂平面BOD ，∴AC ⊥BD ．（2）解：由（1）知∠BOD 是二面角D ﹣AC ﹣B 的平面角，∴∠BOD ＝150°， ∵AC ⊥平面BOD ，∴平面BOD ⊥平面ABC ， 在平面BOD 内作Oz ⊥OB ，则Oz ⊥平面ABC ，以O 为原点，OB 为x 轴，OC 为y 轴，OD 为z 轴，建立空间直角坐标系， 由题意得OB ＝4，在△BOD 中由余弦定理得OD ＝4√3，∴A （0，﹣4，0），B （4，0，0），C （0，4，0），D （﹣6，0，2√3），∴M （﹣3，2，√3），BM →=（﹣7，2，√3），平面ABC 的法向量n →=（0，0，1）， 设直线BM 与面ABC 所成角为θ，则直线BM 与面ABC 所成角的正弦值为：sin θ=|n →⋅BM →||n →|⋅|BM →|=√356=√4228．20．（15分）在等差数列{a n }和正项等比数列{b n }中，a 1＝1，b 1＝2，且b 1，a 2，b 2成等差数列，数列{b n }的前n 项和为Sn ，且S 3＝14． （1）求数列{a n }，{b n }的通项公式；（2）令c n =a b n ，（﹣1）n d n ＝n c n +n ，求数列{d n }的前项和为T n ．【解答】解：（1）等差数列{a n }的公差设为d ，正项等比数列{b n }的公比设为q ，q ＞0， a 1＝1，b 1＝2，且b 1，a 2，b 2成等差数列， 可得2a 2＝b 1+b 2，即2（1+d ）＝2+2q ，即d ＝q ，数列{b n }的前n 项和为S n ，且S 3＝14，可得2+2q +2q 2＝14，解得q ＝2，d ＝2， 则a n ＝2n ﹣1，b n ＝2n ； （2）c n =a b n =2n +1﹣1，（﹣1）n d n ＝n c n +n ＝n •2n +1， 则d n ＝2n •（﹣2）n ，前项和为T n ＝2•（﹣2）+4•4+6•（﹣8）+…+2n •（﹣2）n ， ﹣2T n ＝2•4+4•（﹣8）+6•16+…+2n •（﹣2）n +1，相减可得3T n ＝﹣4+2（4+（﹣8）+…+（﹣2）n ）﹣2n •（﹣2）n +1 ＝﹣4+2•4(1−(−2)n−1)1−(−2)−2n •（﹣2）n +1，化简可得T n =−49−6n+29•（﹣2）n +1． 21．（15分）已知抛物线y 2＝x 上的动点M （x 0，y 0），过M 分别作两条直线交抛物线于P 、Q 两点，交直线x ＝t 于A 、B 两点．（1）若点M 纵坐标为√2，求M 与焦点的距离；（2）若t ＝﹣1，P （1，1），Q （1，﹣1），求证：y A •y B 为常数；（3）是否存在t ，使得y A •y B ＝1且y P •y Q 为常数？若存在，求出t 的所有可能值，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）解：∵抛物线y 2＝x 上的动点M （x 0，y 0），过M 分别作两条直线交抛物线于P 、Q 两点，交直线x ＝t 于A 、B 两点． 点M 纵坐标为√2，∴点M 的横坐标x M ＝（√2）2＝2， ∵y 2＝x ，∴p =12，∴M 与焦点的距离为MF =x M +p2=2+14=94． （2）证明：设M （y 02，y 0），直线PM ：y ﹣1=y 0−1y 02−1（x ﹣1）， 当x ＝﹣1时，y A =y 0−1y 0+1， 直线QM ：y +1=y 0+1y 02−1（x ﹣1），x ＝﹣1时，y B=−y 0−1y 0−1，∴y A y B ＝﹣1， ∴y A •y B 为常数﹣1．（3）解：设M （y 02，y 0），A （t ，y A ），直线MA ：y ﹣y 0=y 0−y Ay 02−t（x ﹣y 02）， 联立y 2＝x ，得y 2−y 02−t y 0−y A y +y 02−ty 0−y Ay 0−y 02=0，∴y 0+y p =y 02−t y 0−y A，即y P =y 0y A −ty 0−y A ，同理得y Q =y 0y B −1y 0−y B，∵y A •y B ＝1，∴y P y Q =y 02−ty 0(y A +y B )+t 2y 02−y 0(y A +y B )+1，要使y P y Q 为常数，即t ＝1，此时y P y Q 为常数1， ∴存在t ＝1，使得y A •y B ＝1且y P •y Q 为常数1． 22．（15分）设函数f （x ）＝e x cos x ，g （x ）＝e 2x ﹣2ax ． （1）当x ∈[0，π3]时，求f （x ）的值域； （2）当x ∈[0，+∞）时，不等式g(x)≥f′(x)e 2x恒成立（f '（x ）是f （x ）的导函数），求实数a 的取值范围．【解答】解：（1）由题可得f '（x ）＝e x cos x ﹣e x sin x ＝e x （cos x ﹣sin x ）． 令f '（x ）＝e x （cos x ﹣sin x ）＝0，得x =π4∈[0，π3]． 当x ∈(0，π4)时，f '（x ）＞0，当x ∈(π4，π3)时，f '（x ）＜0， 所以f(x)max =f(π4)=√22e π4，f(x)min =min{f(0)，f(π3)}． 因为f(π3)=e π32＞e 332=e2＞1=f(0)，所以f （x ）min ＝1， 所以f （x ）的值域为[1，√22e π4]．（2）由g(x)≥f′(x)e2x 得e 2x −2ax ≥cosx−sinxe x ， 即sinx−cosxe x+e 2x −2ax ≥0．设ℎ(x)=sinx−cosx e x +e 2x −2ax ，则ℎ′(x)=2cosx e x+2e 2x −2a ． 设φ（x ）＝h '（x ），则φ′(x)=4e 3x −2√2sin(x+π4)e x．当x ∈[0，+∞）时，4e 3x ≥4，2√2sin(x +π4≤2√2)，所以φ'（x ）＞0． 所以φ（x ）即h '（x ）在[0，+∞）上单调递增，则h '（x ）≥h '（0）＝4﹣2a ． 若a ≤2，则h '（x ）≥h '（0）＝4﹣2a ≥0，所以h （x ）在[0，+∞）上单调递增． 所以h （xa ＞2）≥h （0）＝0恒成立，符合题意．若，则h '（0）＝4﹣2a ＜0，必存在正实数x 0，满足：当x ∈（0，x 0）时，h '（x ）＜0，h （x ）单调递减，此时h （x ）＜h （0）＝0，不符合题意综上所述，a的取值范围是（﹣∞，2]．。

2020年浙江省稽阳联谊学校高考数学模拟试卷（5月份）一、单项选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知全集U={−2,−1,0，1，2}，A={−2,0，1}，B={−1,0}，则∁U(A∪B)=()A. {−2,−1,1，2}B. {2}C. {1,2}D. {0}2.已知i为虚数单位，其中(1+2i)z=−i，则该复数的共轭复数是()A. 25+15i B. 25−15i C. −25+15i D. −25−15i3.某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积等于()A. 32π3B. 64−16π3C. 64−16πD. 16π34.若实数x，y满足约束条件{x−3y+4≥03x−y−4≤0x+y≥0，则z=3x−2y的最大值是()A. 0B. 2C. 4D. 55.已知函数f(x)=ax+b的图象如图所示，则函数f(x)=log a(−x+b)的图象是()A.B.C.D.6. 设a >0，b >0，则“a +b ≥2”是“a 2+b 2≥2”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7. 设0<a <13，随机变量X 的分布列为X −2 −1 12P13a13−a 13则当a 在(0,13)增大时，( )A. D(X)增大B. D(X)减小C. D(X)先增大后减小D. D(X)先减小后增大8. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，F 1，F 2为椭圆的左右焦点，过F 2的直线交椭圆与A 、B 两点，∠AF 1B =90°，2AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3F 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则椭圆的离心率为( )A. 2√55B. √55C. 3√1010D. √10109. 如图，△ABC 中，AB ⊥BC ，∠ACB =60°，D 为AC 中点，△ABD 沿BD 翻折过程中，直线AB 与直线BC 所成的最大角、最小角分别记为α1，β1，直线AD 与直线BC 所成最大角、最小角分别记为α2，β2，则有( )A. α1<α2，β1≤β2B. α1<α2，β1>β2C. α1≥α2，β1≤β2D. α1≥α2，β1>β210. 已知数列{a n }满足，a n+1=a n +1−√a n 2−a n+1，a 1=a ，则一定存在a ，是数列中( ) A. 存在n ∈N ∗，有a n+1a n+2<0B. 存在n ∈N ∗，有(a n+1−1)(a n+2−1)<0C. 存在n ∈N ∗，有(a n+1−54)(a n+2−54)<0 D. 存在n ∈N ∗，有(a n+1−32)(a n+2−32)<0二、填空题（本大题共3小题，共12.0分）11. 已知函数f(x)=x 2+2x +a(a <0)，若函数y =f(f(x))有三个零点，则a =______．12. 某学校高一学生2人，高二学生2人，高三学生1人，参加A 、B 、C 三个志愿点的活动．每个活动点至少1人，最多2人参与，要求同年级学生不去同一活动点，高三学生不去A 活动点，则不同的安排方法有______种．(用数字作答)13. 如图，已知矩形ABCD 中，AD =1，AB =√2，E 为边AB 的中点，P 为边DC上的动点(不包括端点)，DP⃗⃗⃗⃗⃗ =λDC ⃗⃗⃗⃗⃗ (0<λ<1)，设线段AP 与DE 的交点为G ，则AG ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AP⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值是______． 三、多空题（本大题共4小题，共24.0分） 14. 双曲线x 2−y 23=1的焦距是 (1) ；渐近线方程是 (2) ．15. 已知角α的终边过点(−1,2)，则tanα= (1) ，sin2α= (2) ． 16. (√x +12√x 3)5展开式中常数项是 (1) ，最大的系数是 (2) ．17. 已知△ABC 中，AB =3，BC =5，D 为线段AC 上一点，AB ⊥BD ，AD CD =34，则AC = (1) ，△ABC 的面积是 (2) ．四、解答题（本大题共5小题，共74.0分） 18. 已知函数f(x)=sinx +sin(x +π3)．(Ⅰ)求函数f(x)的周期与f(π2)的值；(Ⅱ)若x ∈[0,π2]，求函数y =f 2(x)的取值范围．19. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，△PAD 为等边三角形，AB =AD =12CD =2，∠BAD =∠ADC =90°，∠PDC =60°，E 为BC 的中点． (Ⅰ)证明：AD ⊥PE ．(Ⅱ)求直线PA 与平面PDE 所成角的大小．20.已知数列{a n}满足，a n+2=3a n+1−2a n，a1=1，a2=3，记b n=√3n+1a n+1+1，S n为数列{b n}的前n项和．(Ⅰ)求证：{a n+1−a n}为等比数列，并求a n；(Ⅱ)求证：S n≤√72−√3n+72n+1．21.已知抛物线C：y=ax2(a>0)上的点P(b,1)到焦点的距离为54，(Ⅰ)求a的值；(Ⅱ)如图，已知动线段AB(B在A右边)在直线l：y=x−2上，且|AB|=√2，现过A作C的切线，取左边的切点M，过B作C的切线，取右边的切点为N，当MN//AB，求A点的横坐标t的值．22.已知函数f(x)=x−a√2x−3，函数g(x)=ke ax，a∈R，k∈R．(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间．(Ⅱ)若1≤a≤2，f(x)−1≤g(x)对x∈[32,+∞)恒成立，求k的取值范围．(e=2.71828…为自然对数的底数)答案和解析1.【答案】B【解析】解：由A ={−2,0，1}，B ={−1,0}， 所以A ∪B ={−2,−1,0，1}； 又全集U ={−2,−1,0，1，2}， 所以∁U (A ∪B)={2}． 故选：B ．根据并集和补集的定义，计算即可．本题考查了集合的定义与运算问题，是基础题． 2.【答案】C【解析】解：由(1+2i)z =−i ，得z =−i1+2i =−i(1−2i)(1+2i)(1−2i)=−25−15i ， ∴z −=−25+15i ．故选：C ．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，最后求出共轭复数． 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查共轭复数，是基础题． 3.【答案】A【解析】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为圆柱挖去一个圆锥，底面半径均为2，高为4． 则该几何体的体积V =π×22×4−13π×22×4=32π3．故选：A ．由三视图还原原几何体，可知该几何体为圆柱挖去一个圆锥，底面半径均为2，高为4.再由圆柱体积减去圆锥体积求解．本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题． 4.【答案】D【解析】解：实数x ，y 满足约束条件{x −3y +4≥03x −y −4≤0x +y ≥0的可行域如图：{x +y =03x −y −4=0解得B(1,−1)，z=3x−2y化为：y=32x−z2，平行直线3x−2y=0，当直线经过B时，目标函数的纵截距最小，目标函数取得最大值，z=3x−2y的最大值是：5，故选：D．由题意作平面区域，化简z=3x−2y为y=32x−z2，平行直线，从而利用数形结合求解即可．本题考查了线性规划的应用及数形结合的思想应用，属于中档题．5.【答案】D【解析】解：由函数f(x)=ax+b的图象可知，0<a<1，−1<b<0，所以函数y=log a x单调递减，而y=log a(−x)单调递增，因为−1<b<0，所以再将其向左平移|b|个单位，得f(x)=log a[−(x+|b|)]=log a[−(x−b)]=log a(−x+ b)，对应着选项D的图象，故选：D．先由一次函数的图象得0<a<1，−1<b<0，再结合对数函数的单调性和图象的对称变换，可知y= log a(−x)单调递增，最后利用平移变换法则得出f(x)=log a(−x+b)的图象．本题考查一次函数、对数函数的图象与性质，以及函数图象的对称与平移变换，熟练掌握函数图象的变换法则是解题的关键，属于中档题．6.【答案】A【解析】解：∵a+b≥2可知(a+b)22≥2，而a2+b2≥(a+b)22，∴a2+b2≥2．反之不成立，例如a=√3，b=0．∴“a+b≥2”是“a2+b2≥2”的充分不必要条件．故选：A．a+b≥2可知(a+b)22≥2，而a2+b2≥(a+b)22，可得a2+b2≥2.反之不成立，可以通过举反例说明．本题考查了充要条件的判定方法、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：由题意可得，随机变量X的数学期望EX=−2×13−1×a+1×(13−a)+2×13=13−2a，随机变量X2的数学期望EX2=(−2)2×13+(−1)2×a+12×(13−a)+22×13=3，∴随机变量X的方差D(X)=EX2−(EX)2=13−(13−2a)2=−4(a−16)2+13，∴当a在(0,13)增大时，D(X)先增大后减小，故选：C．根据公式D(X)=EX2−(EX)2求出方差，结合二次函数的单调性即可得出结论．本题主要考查离散型随机变量的均值与方差，考查二次函数的单调性的应用，属于基础题．8.【答案】B【解析】解：设|F 2A|=3x ，|F 2B|=2x ，|F 1A|=2a −3x ，|F 1B|=2a −2x ，则(5x)2=(2a −3x)2+(2a −2x)2，可知x =a3，|F 2A|=a ，|AB|=53a ，|F 1B|=43a ，|F 1A|=a ，所以可得A 为短轴的顶点， 在△ABF 1中，cos∠F 1AB =|AF 1||AB|=35，由半角公式可得所以sin ∠F 1AF2=c a=√55， 则e =√55．故选：B ．由向量的关系可得线段的关系，设|F 2A|=3x ，则|F 2B|=2x ，由椭圆的定义可得|F 1A|=2a −3x ，|F 1B|=2a −2x ，再由∠AF 1B =90°，由勾股定理可得x 的值，进而求 出|AF 1|，|AB|的值，进而求出∠F 1AB 的余弦值，由半角公式求出sin∠F 1AF 2=ca，进而求出离心率． 本题考查椭圆的定义，及半角公式的应用，属于中档题． 9.【答案】D【解析】解：翻折到180°时，AB ，BC 所成角最小， 可知β1=30°，AD ，BC 所成角最小，β2=0°， 翻折0°时，AB ，BC 所成角最大，可知α1=90°， 翻折过程中，可知AD 的投影可与BC 垂直， 所以AD ，BC 所成最大角α2=90°，所以α1=90°，β1=30°，α2=90°，β2=0°． 故α1≥α2，β1>β2． 故选：D ．翻折到180°时，AB ，BC 所成角最小，β1=30°，AD ，BC 所成角最小，β2=0°，翻折0°时，AB ，BC 所成角最大，可知α1=90°，翻折过程中，可知AD 的投影可与BC 垂直，从而AD ，BC 所成最大角α2=90°，推导出α1=90°，β1=30°，α2=90°，β2=0°．本题考查异面直线所成角的大小的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、逻辑推理能力，是中档题． 10.【答案】C【解析】解：∵函数y =x +1−√x 2−x +1与y =x 有两个交点(0,0)，(1,1)， 可知当a 1<0时，数列递减，∴a n <0； 当0<a 1<1时，数列递增，并且a n 趋向1；当a 1>1时，数列递减，并且a n 趋向1，则可知A ，B 错误；又当x >1时，y =x +1−√x 2−x +1=x +1−√(x −12)2+34<x +1−(x −12)=32，则当a 1>1时，a 2一定小于32，则之后均小于32，∴D 错误； 对于C ，可取a 1=32，得(a 3−54)(a 4−54)<0，满足要求．故选：C ．由函数y =x +1−√x 2−x +1与y =x 有两个交点(0,0)，(1,1)，对a 分类判断A ，B 错误；由a 1>1时，a 2一定小于32，则之后均小于32，判断D 错误；举例说明C 正确．本题考查数列递推式的应用，考查数列的函数特性，考查逻辑思维能力与推理论证能力，属难题．11.【答案】−1−√52【解析】解：令t =x 2+2x +a =(x +1)2+a −1，由f(t)=0可知，t =−1±√1−a ， ∵t =f(x)，y =f(f(x))有三个零点， ∴−1±√1−a =f(x)有三解，由图象f(x)的图象，可知−1−√1−a =a −1，∴a =−1−√52．故答案为：−1−√52．令t =x 2+2x +a ，由f(t)=0，可得t =−1±√1−a ，再根据y =f(f(x))有三个零点，结合f(x)的图象得到−1−√1−a =a −1，解方程得到a 的值．本题考查了函数的零点与方程根的关系，考查了数形结合思想和方程思想，属中档题． 12.【答案】40【解析】解：若高三学生单独去志愿点，则有C 21A 22A 22=8种，若高三学生与其它年级学生合去志愿点，按先分组再分到志愿点的思路，有C 41C 21A 22C 21=32种， 则共有8+32=40种安排方法． 故答案为：40．以高三学生是否单独去志援点分为两类，每一类中先安排高三学生，再安排高一、高二学生，由乘法原理算出两类安排方法，相加即可．本题考查分类计数原理的运用，以高三学生是否单独去志愿点确定分类的方法．再逐级安排，考查乘法原理，有一定的综合性． 13.【答案】√3−1【解析】解：因△AGE 与△PGD 相似，所以AGGP =AEDP =12λ， 则AG ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AP⃗⃗⃗⃗⃗ =11+2λAP⃗⃗⃗⃗⃗ 2=11+2λ(1+2λ2)，令t =1+2λ(1<t <3)， 则AG ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AP⃗⃗⃗⃗⃗ =t 2−2t+32t=12(t +3t )−1≥√3−1，当且仅当t =√3，即λ=√3−12∈(0,1)取到．故答案为：√3−1．由图可得△AGE 与△PGD 相似，可得AG GP =AE DP =12λ，表示出AG ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =11+2λ(1+2λ2)，换元，构造函数，利用不等式即可得到答案本题考查平面向量数量积的运算，考查数形结合思想，三角形相似的性质等，属于中档偏难题． 14.【答案】4y =±√3x【解析】解：双曲线x 2−y 23=1，可知a =1，b =√3，c =2，所以双曲线的焦距是4，渐近线方程为：y =±√3x. 故答案为：4；y =±√3x.利用双曲线的标准方程，转化求解焦距坐标，然后求解渐近线方程． 本题考查双曲线的焦距，渐近线方程的求法，考查计算能力． 15.【答案】−2−45【解析】解：由定义知tanα=−2，sinα=√5cosα=√5， 则sin2α=2sinαcosα=−45， 故答案为：−2；−45．由题意利用任意角的三角函数的定义，二倍角的正弦公式，得出结论．本题主要考查任意角的三角函数的定义，二倍角的正弦公式的应用，属于基础题．16.【答案】5452【解析】解：根据通项公式可得T r+1=C 5r ⋅(12)r ⋅x 15−5r 6，令15−5r 6=0，求得r =3，可得常数项为 T 4=C 53(√x)2(2√x3)3=54， 检验可得，系数最大的项是T 2=T 3的系数，最大为52， 故答案为：54；52．由题意利用通项公式求得展开式中常数项，从而得到系数最大的项．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．17.【答案】√5892【解析】解：设AD=3x，CD=4x，在△ABC中，由余弦定理可知25=49x2+9−2⋅3⋅7x⋅1x，可知x=√587，可得：AC=7x=√58，可得：sin∠A=3√58，可得：S△ABC=12bcsinA=12⋅3⋅√58⋅3√58=92．故答案为：√58，92．由题意设AD=3x，CD=4x，在△ABC中，由余弦定理可求x的值，可求AC的值，进而可求sin A，利用三角形的面积公式即可求解．本题主要考查了余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于基础题．18.【答案】解：(Ⅰ)f(x)=32sinx+√32cosx=√3sin(x+π6)，∴函数f(x)的周期为2π，f(π2)=√3sin2π3=32．(Ⅱ)方法一：∵x∈[0,π2]，∴x+π6∈[π6,2π3]，∴√3sin(x+π6)∈[√32,√3]，于是y=f2(x)∈[34,3]．方法二：由(Ⅰ)可知，y=f2(x)=3⋅1−cos(2x+π3 )2，∵x∈[0,π2]，∴2x+π3∈[π3,4π3]，∴cos(2x+π3)∈[−1,12]，于是y=f2(x)的取值范围为[34,3]．【解析】(Ⅰ)先结合正弦的两角和公式与辅助角公式将函数化简为正弦型函数，于是可得周期，再把x=π2代入运算即可得解；(Ⅱ)方法一：先结合正弦函数的图象与性质算出函数f(x)的值域，进而得y =f 2(x)的值域； 方法二：先利用余弦的二倍角公式将y =f 2(x)进行化简，得y =f 2(x)=3⋅1−cos(2x+π3)2，再结合余弦函数的图象与性质求出其值域．本题考查三角恒等变换与三角函数的综合，熟练掌握三角恒等变换的相关公式以及正、余弦函数的图象与性质是解题的关键，考查学生的逻辑能力和运算能力，属于基础题． 19.【答案】(Ⅰ)证明：取AD 的中点O ，连结PO ，EO ，由PO ⊥AD ，EO ⊥AD ，PO ∩EO =O 可知：AD ⊥面PEO ，且PE ⊂面PEO ， 则AD ⊥PE ．(Ⅱ)解法一：以O 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，作PQ ⊥CD ，PH ⊥OE ，连HQ ，因PH ⊥平面ABCD ，知HQ ⊥CD ， 由∠PDC =60°知DQ =1，OH =DQ =1，由PO =√3， 在Rt △PHO 中，可知PH =√2，则P(1,0,√2)， A(0,−1,0)，D(0,1，0)，E(3,0，0)，则PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1,−√2),DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,−1,0),PA⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−1,−√2)， 设平面PDE 的法向量为n⃗ =(x,y,z)， 则{3x −y =0−x +y −√2z =0得n ⃗ =(1,3,√2)为其中一个法向量， 设直线PA 与平面PDE 所成角为θ，则sinθ=|cos〈PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ 〉|=|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ ||=√32， 则直线PA 与平面PDE 所成角为60°． 解法二：(体积法)设点A 到面PDE 的距离为h ，法一中已知点P 到面ABCD 的距离PH 为√2，则PE =√6， △PDE 中，PD =2,DE =√10,PE =√6，所以△PDE 为直角三角形，由V A−PDE =V P−ADE 可知：13S △PDE ⋅ℎ=13S △ADE ⋅√2⇒12⋅√6⋅2⋅ℎ=12⋅2⋅3⋅√2⇒ℎ=√3， 设直线PA 与平面PDE 所成角为θ，则sinθ=ℎPA=√32， 则直线PA 与平面PDE 所成角为60°．【解析】(Ⅰ)取AD 的中点O ，连结PO ，EO ，通过PO ⊥AD ，EO ⊥AD ，推出AD ⊥面PEO ，即可证明AD ⊥PE ．(Ⅱ)法一：以O 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，连HQ ，求出平面PDE 的法向量，然后利用空间向量的数量积求解直线PA 与平面PDE 所成角．法二：(体积法)设点A 到面PDE 的距离为h ，法一中已知点P 到面ABCD 的距离PH 为√2，则PE =√6，通过V A−PDE =V P−ADE 求出，P 到平面的距离，通过求解三角形推出结果．本题考查直线与平面所成角的求法，直线与平面垂直的判断定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力，是中档题．20.【答案】证明：(Ⅰ)依题意，由a n+2=3a n+1−2a n，可得：a n+2−a n+1=3a n+1−2a n−a n+1=2(a n+1−a n)，∵a2−a1=3−1=2，∴数列{a n+1−a n}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴a n+1−a n=2⋅2n−1=2n，n∈N∗．故a1=1，a2−a1=21，a3−a2=22，⋅⋅⋅a n−a n−1=2n−1，各项相加，可得a n=1+21+22+⋯+2n−1=1−2n1−2=2n−1，n∈N∗．(Ⅱ)由(Ⅰ)知，b n=√3n+1a n+1+1=√3n+12n+1，下面用数学归纳法证明不等式成立，①当n=1时，S1=b1=√3×1+121+1=√44，∵右边=√72−√104，要证明：√44≤√72−√104，只要证明：√4+√10≤2√7，两边平方，可得(√4+√10)2≤(2√7)2，化简整理，得2√10≤7，∵(2√10)2=40<72=49，∴√44≤√72−√104成立，即当n=1时，不等式成立．②假设当n=k时，不等式成立，即S k≤√72−√3k+72k+1，则当n=k+1时，S k+1=S k+√3k+42k+2≤√72−√3k+72k+1+√3k+42k+2，要证明：S k+1≤√72−√3k+102k+2，只要证明：√72−√3k+72k+1+√3k+42k+2≤√72−√3k+102k+2，√3k+4 2k+2+√3k+102k+2≤√3k+72k+1，化简，得√3k+4+√3k+10≤2√3k+7，两边平方，可得(√3k +4+√3k +10)2≤(2√3k +7)2， 化简整理，得√3k +4√3k +10≤3k +7，两边平方，可得(3k +4)(3k +10)≤(3k +7)2， 化简整理，得9k 2+42k +40≤9k 2+42k +49， ∵40<49，∴9k 2+42k +40≤9k 2+42k +49成立， ∴√72−√3k+72k+1+√3k+42k+2≤√72−√3k+102k+2成立， 即：S k+1≤√72−√3k+102k+2成立，∴当n =k +1时，不等式也成立．综上所述，可得 S n ≤√72−√3n+72n+1对n ∈N ∗成立，故得证．【解析】本题第(Ⅰ)题将题干中递推公式进行转化可得a n+2−a n+1=2(a n+1−a n )，从而可证得数列{a n+1−a n }是以2为首项，2为公比的等比数列，则有a n+1−a n =2⋅2n−1=2n ，n ∈N ∗.然后根据此递推公式的特点运用累加法可计算出数列{a n }的通项公式；第(Ⅱ)题先根据第(Ⅰ)题的结果计算出数列{b n }的通项公式，然后运用数学归纳法证明不等式成立，注意在具体证明过程中运用分析法证明根式不等式成立，综合即可证得不等式成立．本题主要考查根据数列递推公式推导出通项公式，以及运用数学归纳法证明求和与不等式成立的综合问题，考查了转化与化归思想，累加法，数学归纳法，分析法证明不等式，以及逻辑推理能力和数学运算能力．本题属偏难题．21.【答案】解：(Ⅰ)抛物线C ：y =ax 2即x 2=1a y ，准线方程为：y =−14a ，∵点P(b,1)到焦点的距离为54，∴1+14a =54，∴a =1，∴抛物线C 的方程为y =x 2；(Ⅱ)设M(x 1,x 12),N(x 2,x 22)，∵y =x 2，∴y′=2x ，∴k AM =2x 1，∴切线AM 的方程为：y −x 12=2x 1(x −x 1)，即y =2x 1x −x 12， 同理可得切线BN 的方程为：y =2x 2x −x 22由于动线段AB(B 在A 右边)在直线l ：y =x −2上，且|AB|=√2， 故可设A(t,t −2)，B(t +1,t −1)，将A(t,t −2)代入切线AM 的方程，得t −2=2x 1t −x 12，即x 12−2tx 1+t −2=0，∴x 1=2t−√4t 2−4(t−2)2=t −√t 2−t +2，同理可得x 2=t +1+√(t +1)2−(t +1)+2=t +1+√t 2+t +2， ∵k MN =x 22−x 12x 2−x 1=x 1+x 2，当MN//AB 时，k MN =1，得x 1+x 2=1，∴t −√t 2−t +2+t +1+√t 2+t +2=1， ∴2t =√t 2−t +2−√t 2+t +2， ∴2t =22得t =0或√t 2−t +2+√t 2+t +2=−1(舍去)，∴t =0．【解析】(Ⅰ)求出抛物线的准线方程，利用抛物线的定义把点P(b,1)到焦点的距离转化为到准线的距离，由此可求a 的值；(Ⅱ)设出M 和N 的坐标，利用导数求出过M 和N 的切线方程，由t 表示出A ，B 的坐标，把A ，B 代入切线方程后求出M 和N 的坐标，由两点式写出MN 所在直线的斜率，由斜率等于1即可求出t 的值．本题考查了抛物线的方程，运用了数学转化思想方法．考查了直线与圆锥曲线的关系，训练了利用导数求曲线上某点的切线方程，考查了二次方程根的求法，解答此题的关键是用A 点的坐标表示出B 点的坐标，属难题．22.【答案】解：(I)f(x)=x −a √2x −3，x ∈[32,+∞)．f′(x)=1√2x−3=√2x−3−a√2x−3，所以当a ≤0，f′(x)≥0，则函数f(x)在[32,+∞)上递增；当a >0，f′(x)=0，x =a 2+32，所以函数f(x)在[32,a 2+32)上递减，在[a 2+32,+∞)上递增．(6分)(Ⅱ)f(x)−1≤g(x)，可知x −1−a √2x −3≤ke ax ，对x ∈[32,+∞)恒成立，取x =32， 可知k ≥12e3a 2>0(7分)因a ≥1，则a √2x −3≥√2x −3,ke ax ≥ke x ，则x −1−a √2x −3−ke ax ≤x −1−√2x −3−ke x ≤0，x −1−√2x −3≤ke x ，(10分)x−1−√2x−3e x≤k ，(11分)设ℎ(x)=x−1−√2x−3e x ，ℎ′(x)=√2x−3−2)e x 2x−3，ℎ′(x)=0，解得x =2，x =72，则函数ℎ(x)在[32,2)上递减，在[2,72)上递增，在[72,+∞)上递减． 所以ℎ(x)max =max{ℎ(32),ℎ(72)}=max{12e 32,12e 72}=12e 32，所以k ≥12e 32.(15分)【解析】(I)f(x)=x −a √2x −3，x ∈[32,+∞)．f′(x)=1√2x−3=√2x−3−a√2x−3，对a 分类讨论即可得出单调性．(Ⅱ)f(x)−1≤g(x)，可知x −1−a √2x −3≤ke ax ，对x ∈[32,+∞)恒成立，取x =32，可知k ≥12e3a 2>0.由a ≥1，可得a √2x −3≥√2x −3,ke ax ≥ke x ，于是x −1−a √2x −3−ke ax ≤x −1−√2x −3−ke x ≤0，x −1−√2x −3≤ke x ，x−1−√2x−3e x≤k ，设ℎ(x)=x−1−√2x−3e x，利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式解法、分类讨论方法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。

2020年高考数学模拟试卷（5月份）一、选择题（共10小题）.1．已知全集U ＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，A ＝{﹣2，0，1}，B ＝{﹣1，0}，则∁U （A ∪B ）＝（ ）A ．{﹣2，﹣1，1，2}B ．{2}C ．{1，2}D ．{0}2．已知i 为虚数单位，其中（1+2i ）z ＝﹣i ，则该复数的共轭复数是（ ） A ．25+15iB ．25−15iC ．−25+15iD ．−25−15i3．某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积等于（ ）A ．32π3B ．64−16π3C ．64﹣16πD ．16π34．若实数x ，y 满足约束条件{x −3y +4≥03x −y −4≤0x +y ≥0，则z ＝3x ﹣2y 的最大值是（ ）A ．0B ．2C ．4D ．55．已知函数f （x ）＝ax +b 的图象如图所示，则函数f （x ）＝log a （﹣x +b ）的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．6．设a ＞0，b ＞0，则“a +b ≥2”是“a 2+b 2≥2”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．设0＜a ＜13，随机变量X 的分布列为X ﹣2﹣1 1 2P13a13−a13则当a 在(0，13)增大时，（ ）A ．D （X ）增大B ．D （X ）减小C ．D （X ）先增大后减小 D ．D （X ）先减小后增大8．已知椭圆C ：x 2a +y 2b =1（a ＞b ＞0），F 1，F 2为椭圆的左右焦点，过F 2的直线交椭圆与A 、B 两点，∠AF 1B ＝90°，2AF 2→=3F 2B →，则椭圆的离心率为（ ）A ．2√55B ．√55C ．3√1010D ．√10109．如图，△ABC 中，AB ⊥BC ，∠ACB ＝60°，D 为AC 中点，△ABD 沿BD 翻折过程中，直线AB 与直线BC 所成的最大角、最小角分别记为α1，β1，直线AD 与直线BC 所成最大角、最小角分别记为α2，β2，则有（ ）A ．α1＜α2，β1≤β2B ．α1＜α2，β1＞β2C ．α1≥α2，β1≤β2D ．α1≥α2，β1＞β210．已知数列{a n }满足，a n +1＝a n +1−√a n 2−a n +1，a 1＝a ，则一定存在a ，是数列中（ ） A ．存在n ∈N *，有a n +1a n +2＜0B ．存在n ∈N *，有（a n +1﹣1）（a n +2﹣1）＜0C ．存在n ∈N *，有(a n+1−54)(a n+2−54)＜0D ．存在n ∈N *，有(a n+1−32)(a n+2−32)＜0 二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。