2019届浙江省宁波市镇海中学高三下学期高考适应性考试数学试题解析

2019学年镇海中学高三下开学考数学 试题卷本试卷分选择题和非选择题两部分．考试时间120分钟，试卷总分为150分．参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 柱体的体积公式()()()P A B P A P B +=+V Sh =如果事件A 、B 相互独立，那么 其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 ()()()P A B P A P B ⋅=⋅锥体的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率为p ，那么 13V Sh =n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高()()()10,1,2,,n kk kn n P k C p p k n -=-=L球的表面积公式台体的体积公式24S R π=()1213V S S h =⋅球的体积公式其中1S 、2S 表示台体的上、下底面积，h 表示 343V R π=棱台的高其中R 表示球的半径选择题部分（共40分）一、 选择题：每小题4分，共40分1. 设集合{}2|230A x x x =∈--<Z ，集合{}1,0,1B =-，则集合A B =I （ ）A ．{}0,1,2B ．{}0,1C ．{}1,2D ．{}1,0,1-2. 已知双曲线()22210y x b b-=>）A ．3B ．2 CD3. 设实数x ，y 满足25100050x y x x y +-≥⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩，则实数42x y z =的最小值是（ ）A ．1024B ．14 C ．132 D ．11024 4. 设0ω>，将函数sin 6y x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭向左平移3π个单位长度后与函数cos 6y x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像重合，则ω的最小值为（ ）A ．12B ．32C ．52 D ．15. 设m 、n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列命题： ①若m α⊥，n α∥，则m n ⊥； ②若m α⊥，m n ⊥，则n α∥；③若αβ⊥，m αβ=I ，m n ⊥，则n α⊥； ④若αγ⊥，βγ⊥，则αβ∥．其中正确的命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．46. 在一个箱子中装有大小形状完全相同的4个红球和2个白球，现从中有放回的摸取6次，每次随机摸一球，设摸得红球个数为X ，白球个数为Y ，则（ ） A ．()()E X E Y >，()()D X D Y = B ．()()E X E Y >，()()D X D Y >C ．()()E X E Y >，()()D X D Y <D ．()()E X E Y <，()()D X D Y <7. 下列命题中是真命题的是（ ） A ．“1x ≥”是“1x >”的充分不必要条件 B ．若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈RC ．“若1x >，则10x ->”的否命题是“若1x >，则10x -≤”D ．“2x ≠或3y ≠”是“5x y +≠”的必要不充分条件8. 已知数列{}n a 满足0n a >，221114n n n n a a a a ++++=+，且112a =，则该数列的前2020项的和等于（ ） A ．30272 B ．1514 C ．30292 D ．15159. 已知长方形ABCD 中，AB BC >，现将ABC △沿AC 翻折至AB'C △（B'与B 不重合），设直线AB'与CD 所成角为α，二面角A B'C D --为β，则（ ）A ．αβ<B ．αβ>C ．αβ=D ．以上都不对10. 已知向量m ，n 满足()()20+-=m n m n ，()()210-++=m n m n ，则n 的最小值为（ ）A ．14B ．12CD ．1非选择题部分（共110分）二、填空题：单空题每题4分，多空题每题6分11. 已知i 是虚数单位，且112i z =-，23+i z m =()m ∈R ，则1z = ，若21z z 是实数，则实数m = ．12. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 ，表面积是 ．13. 若()()()()727012732111x a a x a x a x --=+++++⋅⋅⋅++，则127=a a a ++⋅⋅⋅+ ，6=a ．（用数字表示）14. 已知向量a ，b ，c 满足++=a b c 0，=c ，c 与-a b 所成的角为56π，若t ∈R ，则()1t t -a +b 的最小值是 ；此时()1t t --=a +b c ．15. 学校水果店有苹果、梨、香蕉、石榴、橘子、葡萄、西柚等7种水果，西柚数量不多，只够一个人购买，甲乙丙丁戊5位同学去购买，每人只能选择其中一种，这5位同学购买后，恰好买了其中三种水果，则他们购买水果的可能情况有 种．16. 已知椭圆r ：()222210x y a b a b+=>>，△ABC 的三个顶点都在椭圆r 上，设△ABC 三条边AB 、BC 、AC 的中点分别为D 、E 、M ，且三条边所在直线的斜率分别为1k 、2k 、3k 且均不为0，O 为坐标原点，若直线OD 、OE 、OM 的斜率之和为2，则123111k k k ++= ．17. 已知函数()()cos sin f x x a x x =--，对于任意的()10,x π∈，存在[]20,x π∈，使得()122cos 3f x x x >+-，则a 的取值范围是 ．三、解答题：5小题，共74分18. （本题满分14分）已知函数()sin cos f x x x -．（1）求函数()f x 的值域；（2）在ABC △中A ∠，B ∠，C ∠的对边分别为a ，b ，c ，且满足()1f B =，a 1b =，求c 的值．19. （本题满分15分）如图，已知AB ⊥平面ACD ，AB DE P ，ACD △为等边三角形，2AD DE AB ==，F 为CD 的中点．（1）求证：AF P 平面BCE ；（2）求直线AD 和平面BCE 所成角的正弦值．FEDCB A20. （本题满分15分）已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()()222220n n S n n S n n -+-++=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列n b =，证明：121n b b b ++⋅⋅⋅+≤．21. （本题满分15分）已知椭圆C ：22221x y a b +=()0a b >>的离心率为12，并且经过点31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）一条斜率为k 的直线交椭圆于A ，B 两点（不同于P ），直线AP 和BP 的斜率分别为1k ，2k ，满足123k k +=，试判断直线AB 是否经过定点，请说明理由．22. （本题满分15分）已知函数()()ln 1sin f x x a x =+-，a ∈R ．（1）若()y f x =在()0,0处的切线为30x y -=，求a 的值； （2）若存在[]1,2x ∈，使得()2f x a ≥，求实数a 的取值范围．。

○…………外………○…………装…………○学校:___________姓名：___________班○…………内………○…………装…………○浙江省2019 年高考模拟训练卷数学（三）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题1.已知集合U={1,2,3,4,5}，A ={0,1,2,3}，B ={1,2,3,4}，则C U (A ∩B )=（ （A. {1,2,3}B. {3,4,5}C. {4,5}D. ∅ 2.已知双曲线C:x 2a 2−y 2a 2=1，则C 的离心率是（ ）A. √52B. √2C. 2D. √5 3.已知a +bi =2−i 1+i（i （（（（（（（（√a 2+b 2（ （A.3√22 B. √102 C. 92 D. 524.函数f (x )=cosx x 2的图像可能是（ ）A. B.C. D.5.某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：cm 3）是（ ）答案第2页，总17页…………○……※※在※※装※※订※※线…………○……A. 2 B. √3 C. √32 D. √366.已知5辆不同的白颜色和3辆不同的红颜色汽车停成一排，则白颜色汽车至少2辆停在一起且红颜色的汽车互不相邻的停放方法有（ ） A. 1880 B. 1440 C. 720 D. 2567.在ΔABC 中，“sinA<cosB ”是“ΔABC 为钝角三角形”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8.设函数f (x )={e x +x 2(x ≥0)1ex+x 2(x <0) .已知对任意的a ∈[√3,2√3]，若x 1∈[a −k a ,a −k 2a ]（x 2∈[a −k 3a ,a −k4a ]，恒有f (x 1)≥f (x 2)，则正实数k 的取值范围是（ ）A. (0,4]B. (0,8]C. [8,+∞)D. [32,+∞)9.如图，C,D 是以AB 直径的圆O 上的动点，已知|AB |=2，则AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ •BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 的最大值是（ ）A. 12B. √5−√3C. √22 D. √3−1 10.已知数列{a n }满足a 1>0（a 11=4（a n+1=a n +12a n 2，数列{b n }满足b n >0（b 1=a 12（b n =b n+1+12b n+12，n ∈N ∗若存在正整数m,n (m ≤n )，使得b m +b n =14，则（ ） A. m=10,n =12 B. m =9,n =11 C. m =4,n =6 D. m =1,n =3第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题（题型注释）11.已知函数f (x )={log 2x,x >02x ,x ≤0，则f (4)=__________；f (f (13))=__________（12.若实数x,y （（（（（（{2x +y +2≥0x +y −1≤0y ≥0，则z =y −2x （（（（（__________（13.若(x −2)8=a 0+a 1(x −1)+a 2(x −1)2+⋯+a 8(x −1)8，则a 0+a 1+a 2+⋯+……外……………○…………订……___班级：___________考号：___……内……………○…………订……a 8=__________（14.在ΔABC 中，角A,B,C 所对的边a,b,c ，点E 为边AC 上的中点，已知a=2，b =4，c =3，则cosC =__________；BE =__________（15.（（x,y∈R ，若x +2y =4（（x 2+4y 2（（（（（__________（（x 2+4y 2=4，则x +y （（（（（__________（16.已知直线l:y=x +1与抛物线C:x 2=y 交于A,B 两点，点P (0,1)，Q (−1,0)，且PQ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =λQA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =μQB⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ (λ,μ∈R )，则λ+μ=__________（ 17.如图，在三棱锥P−ABC 中，点O 为AB 的中点，点P 在平面ABC 的投影恰为OB 的中点.已知AB =2PO =2，点C 到OP 的距离为√3，则当∠ACB 最大时，二面角P −AC −B 的余弦值是__________（三、解答题（题型注释）18.已知函数f (x )=√2sin (2x +π4),x ∈R .（1）求函数f (x )在[0,π4]上的值域； （2）若f (x 0)=13，求tanx 0.19.在三棱锥P−ABC 中，平面PAC ⊥平面ABC ，AQ =QC ，PA =PC =AB =2，BC =1，PB =√3.（1）证明：BC ⊥BQ （（2）求直线AC 与平面PAB 所成角的正弦值. 20.已知数列{a n }的前n 项为S n=3a n −2n ,n ∈N ∗.答案第4页，总17页订…………○………※※答※※题※※订…………○………（1）证明：{a nn−1}为等比数列； （2（（（（{na n2n}的前n （（（T n . 21.如图，直线l:y =kx +m (k >0,m <0)交椭圆C:x 24+y 23=1于A,B 两点，点E 是线段AB 的中点，连接EO 并延长EO 交椭圆C 于点F .（1）设直线EF 的斜率为k ′，求kk ′的值； （2）若k=32，求ΔFAB 面积的最大值.22.知函数f (x )=x 2+a x+a，g (x )=2lnx +2a (a ∈R ).（1）求f (x )的单调区间； （2）证明：存在a∈(0,1)，使得方程f (x )=g (x )在(1,+∞)上有唯一解.参数答案1.C【解析】1.先求出A ∩B ，然后再在全集U ＝{1，2，3，4，5}下求∁U （A ∩B ）． ∵A ＝{0,1,2,3}，B ＝{1,2,3,4}，∴A ∩B ＝{1，2，3}，又∵全集U ＝{1，2，3，4，5}， ∴∁U （A ∩B ）＝{4，5}． 故选：C ． 2.B【解析】2.由题意知双曲线为等轴双曲线，由此得离心率. ∵双曲线方程为C:x 2a 2−y 2a 2=1，∴双曲线为等轴双曲线， ∴e=√2. 故选B. 3.B【解析】3. 由于a +bi ＝1−3i 2，故有a ＝12，b ＝-32，即可得结果． 由于a +bi ＝2−i 1+i =（2−i ）（1−i ）（1+i ）（1−i ）=1−3i 2， ∴a +bi ＝1−3i2，∴a ＝12，b ＝-32，∴√a 2+b 2=√102故选B ． 4.C答案第6页，总17页装…………○………※※要※※在※※装※※订※※线装…………○………【解析】4.利用奇偶性及函数值的正负进行排除即可. ∵f (x )=cosx x 2=cos （−x ）（−x)2=f (−x )，∴函数f (x )为偶函数，排除A 、B ， 又当0<x<π2时，f (x )>0，排除D ，故选C. 5.D【解析】5.由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面高为1的棱锥，利用锥体体积公式可得到答案． 由三视图可知：该几何体是如下的一个三棱锥，如图：∴该几何体的体积=13×12×1×√3×1=√36．故选：D ． 6.B【解析】6.先从5辆白色汽车选3辆全排列后视为一个整体，再将剩余2辆白色汽车全排列后视为一个整体，再将这两个整体全排列，共有3个空，3辆不同的红颜色汽车插空排列即可．由题意知，白颜色汽车按3，2分两组，先从5辆白色汽车选3辆全排列共A 53种排法，再将剩余2辆白色汽车全排列共A 22种排法，再将这两个整体全排列，共A 22种排法，排完后有3个空，3辆不同的红颜色汽车插空共A 33种排法，由分步计数原理得共A 53A 22A 22A 33=1440 种.故选B. 7.A【解析】7.先由诱导公式将正弦化余弦，利用余弦函数的单调性得到角A 或角C 为钝角，再举反例说明必要性不成立即可. ∵sinA<cosB ⇔cos (π2−A)<cosB ，且B 必为锐角，可得π2−A >B 或A −π2>B ，即角A 或角C 为钝角；反之，当A=100°，B =30°时，cosB =√32，而sinA>sin120°=√32=cosB ，所以sinA <cosB 不成立，所以“sinA <cosB ”是“ΔABC 为钝角三角形”的充分不必要条件，故选A . 8.D【解析】8.利用函数的性质将不等式转化为|x 1|≥|x 2|，由对称性结合区间端点的大小得到a 与k 的关系，即8a 2≤3k 在a ∈[√3,2√3]上恒成立，求得8a 2的最值即可得到k 的范围. 因为f (−x )={e −x +（−x ）2(−x ≥0)1e−x+（−x ）2(−x <0) ={e x +x 2(x >0)1e x +x 2(x ≤0) =f (x ), ∴f (x )为偶函数且在(0,+∞)上单调递增， 由对称性得在(−∞,0)上单调递减， ∴f (x 1)≥f (x 2)⇔|x 1|≥|x 2|，又a −k 3a>a −k 2a，只需-（a −k 2a）≥a −k 4a，即2a −3k 4a≤0，即8a 2≤3k 在a ∈[√3,2√3]上恒成立，∴3k≥8×12，则正实数k 的取值范围是[32,+∞).答案第8页，总17页…………订………※订※※线※※内※※答※※题…………订………故选D. 9.A【解析】9.过点O 作AC 的平行线交圆O 于点E ，交BC 于M ，且M 为垂足，设D 在OE 的投影为N ，由向量的几何意义可知，AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ •BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =|AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |∙|MN |，只需当N 落在E 处时，MN 最大，求得AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ •BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =2cosθ∙(1−cosθ)，再由θ∈[0，π2）求得最值即可. 如图，先将C 视为定点，设∠CAB ＝θ，θ∈[0，π2），则AC=2cosθ，连接CB ，则CB ⊥AC ，过O 作AC 的平行线交圆O 于E ，交BC 于M ，且M 为垂足， 又知当D 、C 在AB 同侧时，AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ •BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 取最大值， 设D 在OE 的投影为N ，当C 确定时，M 为定点，则当N 落在E 处时，MN 最大，此时AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ •BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 取最大值， 由向量的几何意义可知，AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ •BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =|AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |∙|MN |，最大时为|AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |∙|ME |， 又OM=|OB |cosθ, ∴|ME |=1−cosθ，∴AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ •BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 最大为|AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |∙|ME |=2cosθ∙(1−cosθ)≤2×[cosθ+(1−cosθ)2]2=12,当且仅当cosθ=12时等号成立，即θ=π3， ∴ AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ •BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 的最大值为12.故选A. 10.D【解析】10.由题意得a n+1>a n >⋯>a 1>0，b 1>b 2>⋯>b n >0，利用单调性可得b 1=a 12，代入已知求得b 2=a 11=4，b 3=a 10=2,…,b m =a 13−m ，又a 12=12，得到b m +b n =a 10+a 12，可得所求. 因为a n+1=a n +12a n 2，b n =b n+1+12b n+12，则有a n+1>a n >⋯>a 1>0，b 1>b 2>⋯>b n >0，且函数y =12x 2+x 在(0,+∞)上单调递增，故有b 1=a 12=b 2+12b 22=a 11+12a 112，得b 2=a 11=4， 同理有b 3=a 10=2,…,b m =a 13−m ， 又因为a 12=a 11+12a 112=12， 故b m +b n =a 10+a 12，所以m=1,n =3.故选D. 11.2 13【解析】11.由已知利用分段函数及对数函数的性质求解．∵函数f (x )={log 2x,x >02x ,x ≤0，∴f （4）＝log 24＝2，f (f (13))＝f （log 213）＝2log 213＝13， 故答案为：(1). 2 (2). 1312.10【解析】12.作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合即可得到结论． 由z ＝y ﹣2x ，得y ＝2x +z ， 作出不等式对应的可行域， 平移直线y ＝2x +z ，由平移可知当直线y ＝2x +z 经过点A 时，答案第10页，总17页线y ＝2x +z 的截距最大，此时z 取得最大值， 由{2x +y +2=0x +y −1=0，得{x =−3y =4 ，即A （-3，4）代入z ＝y ﹣2x ，得z ＝4﹣2×（-3）＝10， 即z ＝y ﹣2x 的最大值为10． 故答案为：10． 13.0【解析】13.利用二项式定理可知，对已知关系式中的x 赋值，即可求得a 0+a 1+a 2+⋯+a 8的值． ∵(x −2)8=a 0+a 1(x −1)+a 2(x −1)2+⋯+a 8(x −1)8令x ＝2得：0＝a 0+a 1+a 2+⋯+a 8，即a 0+a 1+a 2+⋯+a 8＝0； 故答案为：0． 14.1116 √102【解析】14.直接利用余弦定理可得cosC ，利用中线定理的向量表示法将BE ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 表示出，平方可得模. 在ΔABC 中，cosC=a 2+b 2−c 22ab=1116，同理可得cosB =-14， 又BE ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =12(BA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ )，平方得BE ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 2=14(4+9+2×2×3×cosB )=104， 所以BE=√102，故答案为(1). 1116 (2). √102 15.8 √5【解析】15.根据题意，由基本不等式的性质可得4＝x +2y ≥2√2xy ，变形可得2xy ≤4，进而可得x 2+4y 2＝（x +2y ）2﹣4xy ＝16﹣4xy ，分析可得第一个空；再利用柯西不等式求得第二个式子的最值.根据题意，x ，y ∈R +，且x +2y ＝4，则有4＝x +2y ≥2√2xy ，变形可得2xy ≤4，（当且仅当x ＝2y =2时等号成立）x 2+4y 2＝（x +2y ）2﹣4xy ＝16﹣4xy ，又由4xy ≤8，则有x 2+4y 2≥8， 即x 2+4y 2的最小值为8； 若x 2+4y 2=4，则由柯西不等式得（x 2+4y 2）（1+14）≥(x +y)2，（当且仅当x ＝4y =4√55时等号成立），所以(x +y)2≤4×54即x+y 的最大值为√5，故答案为：(1). 8 (2). √5． 16.-3【解析】16.设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，将条件坐标化，利用向量相等与点在抛物线上，得到λ2+3λ+1=0，μ2+3μ+1=0，构造方程x 2+3x +1=0，求得结果.设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，则PQ ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(−1,−1)，λQA ⃑⃑⃑⃑⃑ =λ(x 1+1,y 1)，μQB⃑⃑⃑⃑⃑ =μ(x 2+1,y 2)，则有x 1=−1λ−1,y 1=−1λ，代入方程x 2=y ，故有λ2+3λ+1=0，同理μ2+3μ+1=0，有，即可视λ,μ为方程x 2+3x +1=0的两根，则λ+μ=−3.故答案为-3. 17.3√1313【解析】17.由条件得到点C 的轨迹是以AB 为长轴的椭圆，利用椭圆的对称性知当∠ACB 最大时有AC =BC ，做出二面角P −AC−B 的平面角，在ΔPFE 中求解即可.因为点C 到OP 的距离为√3，则点C 是以OP 为旋转面的轴的圆柱与平面ABC 的公共点，答案第12页，总17页即点C 的轨迹是以AB 为长轴，以2√3为短轴长的椭圆，又由椭圆的对称性可知， 则当∠ACB 最大时有AC=BC =2.如图，在AC 上取一点F ，满足|AF |=34， 连接EF,PF ，则有EF ⊥AC ，又因为PE ⊥AC ，则∠PFE 是二面角P−AC −B 的平面角，在ΔPEO 中，OP=1,OE=12, ∴PE=√32, ∴PF=√PE 2+EF 2,在ΔPFE 中，EF =3√34,∴PF =√394，故二面角的余弦值是3√1313. 故答案为3√1313. 18.（1）[1,√2]（2）3±√174【解析】18.（1）根据正弦函数的定义域求得2x+π4的范围，利用正弦函数在[π4，3π4]的图像特点求得函数f （x ）=√2sin （2x +π4）的值域．（2）将f (x )展开，结合二倍角公式及同角基本关系式，将弦化切，直接解方程即可. （1）因为x ∈[0,π4],∴π4≤2x +π4≤3π4， 当2x +π4=π2时，f (x )最大为√2，当2x+π4=π4时，f (x )最小为1，所以f (x )在[0,π4]的值域为[1,√2]； （2）因为f (x )=√2sin (2x +π4)=sin2x +cos2x =2sinxcosx+cos 2x−sin 2xcos 2x+sin 2x=13，即2tan 2x −3tanx −1=0， 所以tanx =3±√174.∴tanx 0=3±√174.19.（1）详见解析（2）3√9191【解析】19.（1）利用面面垂直，可证PQ⊥平面ABC ，从而有PQ ⊥BC ，再利用勾股定理证明PB ⊥BC ，可证BC ⊥平面PQB ，证得结论.（2）先证得平面PHQ⊥平面PAB ，过点Q 作QO ⊥PH 于点O ，有QO ⊥平面PAB ，可证明∠QAO 是AC 与平面PAB 所成的角，在△ABC 中，求得QH ，可得PH ，由等面积法知OQ ，即可求解直线AC 与平面PAB 所成角的正弦值. （1）由题意平面PAC ⊥平面ABC ，PQ ⊂平面PAC ，平面PAC⋂平面ABC =AC ，又PA =PC ，AQ =QC （ ∴PQ ⊥AC ，∴PQ⊥平面ABC ，从而有PQ ⊥BC ，又由勾股定理得PB ⊥BC ，PB ∩PB =P ，∴BC⊥平面PQB ，即BC ⊥BQ ；（2）设BO=x ，则AQ =QC =2+1，在ΔABC 中，222=4(x 2+1)+4−12，即BO =x =√32.故AQ=√72，PQ =32，过Q 作QH ⊥AB 于点H ，连接PH ，过点Q 作QO ⊥PH 于点O ，连接AO ，因为PQ ⊥AB 且QP ∩QH =Q ，故AB⊥平面PQH ，又因为AB ⊂平面PAB ，所以平面PHQ ⊥平面PAB ， 进而有QO⊥平面PAB ，故∠QAO 是AC 与平面PAB 所成的角， 在ΔABC 中，有cos∠CAB =2√7=AH AQ，得AH =54，故QH=√34，PH =√394， 由等面积法知OQ =3√1326，所以sin∠QAO=OQ AQ=3√9191，故直线AC 与平面PAB 所成角的正弦值为3√9191.答案第14页，总17页20.（1）详见解析（2）T n =12−(12+3n )(34)n+n 2+n2.【解析】20.（1）由已知数列递推式求出数列首项，进一步可得当n ≥2时，S n ﹣1＝3a n ﹣1﹣2n−1，与原递推式联立可得结论；（2）把（1）中求得的数列通项公式代入na nn，利用分组求和及错位相减法即可求得T n ． （1）当n =1时，a 1=12，当n ≥2时，S n ﹣1＝3a n ﹣1﹣2n−1， ∴a n=S n −S n−1=3a n −3a n−1−2n−1， 即2a n =3a n−1+2n−1，故a n2n=34•a n−12n−1+14， 所以a n2n−1=34(a n−12n−1−1)， 故{a n 2n −1}是−34为首项，以34为公比的等比数列； （2）由（1）知a n2n=1−(34)n ，故na n2n=n −n (34)n，令数列{n }，{n (34)n}的前n 和为A n ,B n ，则T n=A n −B n ，因为A n =n 2+n2， B n =1•(34)1+2•(34)2+⋯+n (34)n，34B n =1•(34)2+2•(34)3+⋯+(n −1)(34)n +n (34)n+1， 则14B n =34+(34)2+(34)3+⋯+(34)n −n (34)n+1，即B n =12−(12+3n )(34)n ，故T n=12−(12+3n )(34)n+n 2+n2. 21.（1）−34（2）92【解析】21.（1）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），代入椭圆方程，利用点差法能得到kk ′的值．（2）由（1）知k ′，则可求点F 坐标，利用点F 到直线AB 的距离公式求得ΔFAB 的高，联立{y =32x +m 3x 2+4y 2=12，由韦达定理求得|AB |，将面积表示为关于m 的函数，求导求得最值. （1）设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)， 则E (x 1+x 22,y 1+y 22)，将A 、B 点坐标代入椭圆方程，有x 124+y 123=1……①，x 224+y 223=1……②，①-②得x 12−x 224+y 12−y 223=0，即y 1−y 2x 1−x 2•y 1+y2x 1+x 2=−34，即kk ′=−34；（2）由（1）知，当k =32时，有k ′=12，则有直线l:y =32x +m ，直线EF:y =−12x ， 不妨设m<0，则有F (−√3,√32)，故点F 到直线AB 的距离d =√3−2m|13，联立方程组{y =32x +m 3x 2+4y 2=12， 即3x 2+3mx +m 2−3=0，则|AB |=√132√m 2−4m 2−33=√132√12−m 23，故ΔFAB 面积S =12(2√3−√12−m 2√3=2√3(2√3−m)2(12−m 2)，令f (m )=(2√3−m)2(12−m 2)，则f ′(m )=2(2√3−m )(2m 2−2√3m −12)，令f ′(m )=0，则m =−√3或2√3（舍去）∴m=−√3时，f (m )有最大值243，即ΔFAB 面积的最大值为92. 22.（1）详见解析（2）详见解析【解析】22.（1）求出函数f （x ）的定义域，对函数f （x ）求导得到y=x 2+2ax −a ，分Δ≤0与Δ>0,得到导函数在各区间段内的符号,得到函数f （x ）的单调区间； （2）构造ℎ(x )=f (x )−g (x )，求导分析ℎ(x )的单调性，找到12≤a<1时，ℎ(x )<0在(1,1+√1+a )上恒成立，在(1+√1+a,+∞)上递增，而h(x 1)<0，ℎ(e 2)>0,由函数零点存答案第16页，总17页在定理得到存在a 0∈(0,1)，使得方程ℎ(x )=0在(1,+∞)上有唯一解，即证得结论.（1）函数f （x ）的定义域为(−∞,−a )∪(−a,+∞)， 因为f ′(x )=x 2+2ax−a(x+a )2， 令y =x 2+2ax −a ，则Δ=4a 2+4a ≤0，即−1≤a ≤0，则f ′(x )≥0在(−∞,−a )∪(−a,+∞)上恒成立， 当a<−1或a >0，由x 2+2ax −a >0有x >−a +√a 2+a 或x <−a −√a 2+a ，由x 2+2ax −a <0有−a −√a 2+a <x <−a +√a 2+a ，综上，当−1≤a ≤0时，f (x )的递增区间是(−∞,−a ),(−a,+∞)，当a<−1或a >0时，f (x )的递增区间是(−∞,−a −√a 2+a ),(−a +√a 2+a,+∞)，递减区间是(−a −√a 2+a,−a ),(−a,−a +√a 2+a )； （2）令ℎ(x )=f (x )−g (x )=x 2+a x+a−2lnx −2a ， 当a∈(0,1)时，则ℎ′(x )=x 2+2ax−a (x+a )2−2x=(x+2a )(x 2−2x−a )(x+a )2x=(x+2a )[x−(1−√1+a)][x−(1+√1+a)](x+a )2x，因为x∈(1,+∞)，故当1<x <1+√1+a 时，ℎ′(x )<0，当1+√1+a <x 时，ℎ′(x )>0，所以ℎ(x )在(1,1+√1+a )上递减，在(1+√1+a,+∞)上递增，即当x 1=1+√1+a 时，ℎ(x )有最小值，又h （1）=1-2a ， 当12≤a<1时，h （1）≤0，即ℎ(x )<0在(1,1+√1+a )上恒成立，又12≤a<1时,ℎ(x )=x 2+a x+a−2lnx −2a >x 2x−2lnx −2a >x 2x−2lnx −2=x −2lnx −2，取x=e 2,则x−2lnx −2=e 2−4−2=e 2−6>0，即ℎ(e 2)>0，又ℎ(x )在(1+√1+a,+∞)上递增，而h(x 1)<0，由函数零点存在定理知ℎ(x )在(1+√1+a,+∞)上存在唯一零点， 所以当12≤a<1时即存在a∈(0,1)，使得方程ℎ(x )=0在(1,+∞)上有唯一解，即方程f (x )=g (x )在(1,+∞)上有唯一解.。

2019年高三数学(文)模拟考试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

满分150分，考试时间120分钟。

参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ）球的体积公式334R V π=球，球的面积公式24S R π=球，其中R 表示球的半径 柱体的体积公式V sh =，其中s 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高锥体的体积公式13V sh =，其中s 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高台体的体积公式121()3V h s s =，其中12,s s 分别表示台体上,下的底面积，h 表示台体的高Ⅰ卷（选择题共50分）一． 选择题：(本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

)1. 设全集U R =，集合{}21A x x x =><-或，{}0B x x =>，则()U A B =ð（ ）（A ）(]0,2 （B ） ()2,+∞ （C ）(0,2) （D ）(,1)-∞- 2．“0x y =”是“220x y +=”的（ ）（A ）充分不必要条件 (B ) 必要不充分条件 (C ) 充要条件 (D )既不充分也不必要条件 3. 若复数1112iz i -=+-+，化简后z = ( ) （A ）1 （B ）1- （C ）i （D ）i -4．下列函数中，周期为π且图像关于直线3x π=对称的函数是（ ）(A) ()2sin()23x f x π=+(B) ()2sin(2)3f x x π=+ (C) ()2sin()26x f x π=-(D) ()2sin(2)6f x x π=-5．已知,m n 是两条异面直线，点P 是直线,m n 外的任一点，有下面四个结论： ① 过点P 一定存在一个与直线,m n 都平行的平面。

② 过点P 一定存在一条与直线,m n 都相交的直线。

俯视图宁波市2019年高考模拟试卷数学（理科）试卷本试题卷分选择题和非选择题两部分．全卷共4页, 选择题部分1至2页, 非选择题部分3至4页．满分150分, 考试时间120分钟．请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上．第Ⅰ卷（选择题部分 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合M ={-1,0,1}，N ={x | x 2 ≤ x }，则M ∩N = （A ）{0} （B ）{0,1} （C ）{-1,1}（D ）{-1,0}2．函数)4cos(4cos()(ππ--+=x x x f 是（A ）周期为π的偶函数（B ）周期为2π的偶函数 （C ）周期为π的奇函数（D ）周期为2π的奇函数3．已知某几何体的三视图如图所示， 则该几何体的体积是（A（B（C ）（D ）4．已知点P （3,3），Q （3,-3），O 为坐标原点，动点M （x , y ）满足||12||12OP OM OQ OM ⎧⋅≤⎪⎨⋅≤⎪⎩，则点M 所构成的平面区域的面积是（A ）12 （B ）16 （C ）32 （D ）645．已知∈b a ,R ，条件p ：“b a >”，条件q ：“122->b a ”，则p 是q 的（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件6．在“石头、剪刀、布”的游戏中，规定：“石头赢剪刀”、“剪刀赢布”、“布赢石头”．现有甲、乙两人玩这个游戏，共玩3局，每一局中每人等可能地独立选择．．．．．．．．一种手势．设甲赢乙的局数为ξ，则随机变量ξ的数学期望是 （A ）13（B ）49（C ）23（D ）17．已知数列{}n a 是1为首项、2为公差的等差数列，{}n b 是1为首项、2为公比的等比 数列．设n n b c a =，12(*)n n T c c c n N =+++∈ ，则当T n >2019时，n 的最小值是（A ）7（B ）9（C ）10（D ）118．已知空间向量,a b 满足||||1a b ==，且,a b 的夹角为3π，O 为空间直角坐标系的原点，点A 、B 满足2OA a b =+，3OB a b =-，则△OAB 的面积为 （A ）325 （B ）345（C ）347 （D ）4119．设函数)(x f 的导函数为)(x f '，对任意∈x R 都有)()(x f x f >'成立，则 （A ）3(ln 2)2(ln3)f f > （B ）3(ln 2)2(ln3)f f =（C ）3(ln 2)2(ln3)f f < （D ）3(ln 2)2(ln3)f f 与的大小不确定10．三个顶点均在椭圆上的三角形称为椭圆的内接三角形．．．．．．已知点A 是椭圆的一个短轴端点，如果以A ．为直角顶点．．．．．的椭圆内接等腰直角三角形有且仅有三个，则椭圆的离心率的取值范围是（A ）2（B ）(2 （C ）(2 （D ）第Ⅱ卷（非选择题部分 共100分)二、填空题：本大题共7小题, 每小题4分, 共28分．11．已知i 是虚数单位，复数iiz ++=121的虚部是 ▲ ．12．执行如图所示的程序框图，则输出的k 值是 ▲ ． 13．251(2)(1)x x+-的展开式的常数项是 ▲ ．14．设函数⎩⎨⎧≤<-≤≤--=201021)(x x x x f ，若函数]2,2[,)()(-∈-=x ax x f x g 为偶函数，则实 数a 的值为 ▲ ． 15．从6名候选人中选派出3人参加A 、B 、C 三项活动， 且每项活动有且仅有1人参加，甲不参加A 活动，则不同的选派方法有 ▲ 种．16．已知曲线1C ：24y x =+和2C ：22y x x =-，直线1l 与1C 、2C 分别相切于点A 、B ，直线2l （不同于1l ）与1C 、2C 分别相切于点C 、D ，则AB 与CD 交点的横坐标是 ▲ ． 17．在直角坐标平面上，已知点A （0,2），B （0,1），D （t ,0）（t >0）．点M 是线段AD 上的动点，如果|AM |≤2|BM |恒成立，则正实数t 的最小值是 ▲ ．三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．（本题满分14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为c b a ,,，已知函数A A x x x f cos 21)cos(cos )(--⋅= ∈x (R ）．（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和最大值； （Ⅱ）若函数)(x f 在3π=x 处取得最大值，求(cos cos )()sin a B C b c A++的值．19．（本题满分14分）设公比大于零的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11=a ， 245S S =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，满足11=b ，n n b n T 2=，*∈N n ．（Ⅰ）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（Ⅱ）设))(1(λ-+=n n n nb S C ，若数列{}n C 是单调递减数列，求实数λ的取值范围．否是（第20题图）（第21题图）20．（本题满分15分）如图，已知四棱锥P -ABCD 的底面为菱形，且∠ABC =60︒，AB =PC =2，AP =BP （Ⅰ）求证：平面P AB ⊥平面ABCD ； （Ⅱ）求二面角A -PC -D21．（本题满分15分）如图，已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>P 1、P 2是椭圆E的长轴的两个端点（P 2位于P 1右侧），点F 是椭圆E 的右焦点．点Q 是x 轴上位于P 2右侧的一点，且满足221121==+FQQ P Q P ．(Ⅰ) 求椭圆E 的方程以及点Q 的坐标； (Ⅱ) 过点Q 的动直线l 交椭圆E 于A 、B 两点,连结AF 并延长交椭圆于点C ，连结 BF 并延长交椭圆于点D ． ① 求证： B 、C 关于x 轴对称;② 当四边形ABCD 的面积取得最大值时，求直线l 的方程．22．（本题满分14分）设函数2()ln (31)(21)f x x ax a x a =+-+++，其中a R ∈． （Ⅰ）如果1x =是函数()f x 的一个极值点，求实数a 的值及()f x 的最大值； （Ⅱ）求实数a 的值，使得函数f (x )同时具备如下的两个性质： ① 对于任意实数12,(0,1)x x ∈且12x x ≠，1212()()(22f x f x x xf ++<恒成立；② 对于任意实数12,(1,)x x ∈+∞且12x x ≠，1212()()()22f x f x x xf ++> 恒成立．宁波市2019年高考模拟试卷数学（理科）参考答案说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容制订相应的评分细则．二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容与难度，可视影响的程度决定后续部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本题考查基本知识和基本运算。

2019年浙江省高考数学模拟试卷（5月份）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合A={x|x＜﹣2或x＞1，x∈R}，B={x|x＜0或x＞2，x∈R}，则（∁R A）∩B是（）A．（﹣2，0）B．（﹣2，0]C．[﹣2，0）D．R2．设复数z=，则z的虚部是（）A．i B．C．﹣D．﹣i3．对于两条不同的直线m，n和两个不同的平面α，β，以下结论正确的是（）A．若m⊂α，n∥β，m，n是异面直线，则α，β相交B．若m⊥α，m⊥β，n∥α，则n∥βC．若m⊂α，n∥α，m，n共面于β，则m∥nD．若m⊥α，n⊥β，α，β不平行，则m，n为异面直线4．关于周期函数，下列说法错误的是（）A．函数不是周期函数．B．函数不是周期函数．C．函数f（x）=sin|x|不是周期函数．D．函数f（x）=|sinx|+|cosx|的最小正周期为π．5．的展开式的常数项是（）A．5 B．﹣10 C．﹣32 D．﹣426．若变量x，y满足约束条件，且z=ax+3y的最小值为7，则a的值为（）A．1 B．2 C．﹣2 D．不确定7．已知函数f（x）在（﹣1，+∞）上单调，且函数y=f（x﹣2）的图象关于x=1对称，若数列{a n}是公差不为0的等差数列，且f（a50）=f（a51），则{a n}的前100项的和为（）A．﹣200 B．﹣100 C．0 D．﹣508．已知△ABC的外接圆半径为2，D为该圆上一点，且+=，则△ABC的面积的最大值为（）A．3 B．4 C．3D．49．在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，，AB=AC=AA1=1，已知G和E分别为A1B1和CC1的中点，D与F分别为线段AC和AB上的动点（不包括端点），若GD⊥EF，则线段DF的长度的取值范围为（）A．[，1） B．[，1]C．（，1）D．[，1）10．已知点P在双曲线上，点A满足（t∈R），且，，则的最大值为（）A．B． C．D．二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题6分，共36分.11．已知函数，则f（f（﹣2））=，若f（x）≥2，则x的取值范围为．12．某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的所有棱长之和为cm，体积为cm3．13．已知随机变量ξ的概率分布列为：则Eξ=，Dξ=．14．已知圆C：x2+y2﹣2x﹣4y+1=0上存在两点关于直线l：x+my+1=0对称，经过点M（m，m）作圆C的切线，切点为P，则m=；|MP|=..15．函数f（x），g（x）的定义域都是D，直线x=x0（x0∈D），与y=f （x），y=g（x）的图象分别交于A，B两点，若|AB|的值是不等于0的常数，则称曲线y=f（x），y=g（x）为“平行曲线”，设f（x）=e x﹣alnx+c（a＞0，c≠0），且y=f（x），y=g（x）为区间（0，+∞）的“平行曲线”，g（1）=e，g（x）在区间（2，3）上的零点唯一，则a的取值范围是．16．若函数f（x）=ax2+20x+14（a＞0）对任意实数t，在闭区间[t﹣1，t+1]上总存在两实数x1，x2，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥8成立，则实数a的最小值为．17．定义域为{x|x∈N*，1≤x≤12}的函数f（x）满足|f（x+1）﹣f （x）|=1（x=1，2，…11），且f（1），f（4），f（12）成等比数列，若f（1）=1，f（12）=4，则满足条件的不同函数的个数为．三、解答题（共5小题，满分74分）18．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，b=sinB，且满足tanA+tanC=．（Ⅰ）求角C和边c的大小；（Ⅱ）求△ABC面积的最大值．19．在边长为3的正三角形ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，满足AE：EB=CF：FA=CP：PB=1：2（如图（1）将△AEF沿EF折起到△A1EF的位置，使二面角A1﹣EF﹣B成直二面角，连结A1B、A1P（如图（2））．（1）求证：A1E⊥平面BEP；（2）求二面角B﹣A1P﹣E的余弦值．20．设函数f（x）=﹣k（+lnx）（k为常数，e=2.71828…是自然对数的底数）．（Ⅰ）当k≤0时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）在（0，2）内存在两个极值点，求k的取值范围．21．如图，设椭圆+=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，⊥F1F2，=2，△DF1F2的面积为．点D在椭圆上，DF（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；（Ⅱ）是否存在圆心在y轴上的圆，使圆在x轴的上方与椭圆有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线互相垂直并分别过不同的焦点？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由．22．已知在数列{a n}中，．，n∈N*（1）求证：1＜a n+1＜a n＜2；（2）求证：；（3）求证：n＜s n＜n+2．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合A={x|x＜﹣2或x＞1，x∈R}，B={x|x＜0或x＞2，x∈R}，则（∁R A）∩B是（）A．（﹣2，0）B．（﹣2，0]C．[﹣2，0）D．R【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【分析】求出C R A，由此能求出（∁R A）∩B．【解答】解：∵集合A={x|x＜﹣2或x＞1，x∈R}，∴C R A={x|﹣2≤x≤1}，∵B={x|x＜0或x＞2，x∈R}，∴（∁R A）∩B={x|﹣2≤x＜0}=[﹣2，0）．故选：C．2．设复数z=，则z的虚部是（）A．i B．C．﹣D．﹣i【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．【解答】解：复数z=====﹣1+i，则z的虚部是．故选：B．3．对于两条不同的直线m，n和两个不同的平面α，β，以下结论正确的是（）A．若m⊂α，n∥β，m，n是异面直线，则α，β相交B．若m⊥α，m⊥β，n∥α，则n∥βC．若m⊂α，n∥α，m，n共面于β，则m∥nD．若m⊥α，n⊥β，α，β不平行，则m，n为异面直线【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】根据空间直线和平面平行或垂直的判定定理和性质定理分别进行判断即可．【解答】解：A．α∥β时，m⊂α，n∥β，m，n是异面直线，可以成立，故A错误，B．若m⊥α，m⊥β，则α∥β，因为n∥α，则n∥β或n⊂β，故B 错误，C．利用线面平行的性质定理，可得C正确，D．若m⊥α，n⊥β，α，β不平行，则m，n为异面直线或相交直线，故D不正确，故选：C．4．关于周期函数，下列说法错误的是（）A．函数不是周期函数．B．函数不是周期函数．C．函数f（x）=sin|x|不是周期函数．D．函数f（x）=|sinx|+|cosx|的最小正周期为π．【考点】H1：三角函数的周期性及其求法．【分析】根据三角函数的性质，依次判断即可．【解答】解：对于A：函数，令，则f（u）=sinu是周期函数．∴A对．对于B：函数，令，则f（t）=sint，是周期函数，∴B对．对于C：函数f（x）=sin|x|是函数y=sinx把有部分图象关于y轴对称所得，不是周期函数，∴C对．对于D：函数f（x）=|sinx|+|cosx|的最小正周期为．∴D不对．故选D．5．的展开式的常数项是（）A．5 B．﹣10 C．﹣32 D．﹣42【考点】DB：二项式系数的性质．【分析】由于的通项为，可得的展开式的常数项．【解答】解：由于的通项为，故的展开式的常数项是+（﹣2）5=﹣42，故选D．6．若变量x，y满足约束条件，且z=ax+3y的最小值为7，则a的值为（）A．1 B．2 C．﹣2 D．不确定【考点】7C：简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，对a分类讨论可得最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数即可求得a值．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立方程组求得A（2，1），B（4，5），C（1，2），化目标函数z=ax+3y为y=．当a＞0时，由图可知，当直线y=过A或C时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值．若过A，则2a+3=7，解得a=2；若过C，则a+6=7，解得a=1不合题意．当a＜0时，由图可知，当直线y=过A或B时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值．若过A，则2a+3=7，解得a=2，不合题意；若过B，则4a+15=7，解得a=﹣2，不合题意．∴a的值为2．故选：B．7．已知函数f（x）在（﹣1，+∞）上单调，且函数y=f（x﹣2）的图象关于x=1对称，若数列{a n}是公差不为0的等差数列，且f（a50）=f（a51），则{a n}的前100项的和为（）A．﹣200 B．﹣100 C．0 D．﹣50【考点】85：等差数列的前n项和；3F：函数单调性的性质．【分析】由函数y=f（x﹣2）的图象关于x=1轴对称，平移可得y=f （x）的图象关于x=﹣1对称，由题意可得a50+a51=﹣2，运用等差数列的性质和求和公式，计算即可得到所求和．【解答】解：函数f（x）在（﹣1，+∞）上单调，且函数y=f（x﹣2）的图象关于x=1对称，可得y=f（x）的图象关于x=﹣1对称，由数列{a n}是公差不为0的等差数列，且f（a50）=f（a51），可得a50+a51=﹣2，又{a n}是等差数列，所以a1+a100=a50+a51=﹣2，则{a n}的前100项的和为=﹣100故选：B．8．已知△ABC的外接圆半径为2，D为该圆上一点，且+=，则△ABC的面积的最大值为（）A．3 B．4 C．3D．4【考点】9V：向量在几何中的应用；9H：平面向量的基本定理及其意义．【分析】利用向量关系，判断四边形的形状，然后求解三角形的面积的最大值即可．【解答】解：由知，ABDC 为平行四边形，又A，B，C，D 四点共圆，∴ABDC 为矩形，即BC 为圆的直径，当AB=AC 时，△ABC 的面积取得最大值．故选：B．9．在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，，AB=AC=AA1=1，已知G和E分别为A1B1和CC1的中点，D与F分别为线段AC和AB上的动点（不包括端点），若GD⊥EF，则线段DF的长度的取值范围为（）A．[，1） B．[，1]C．（，1）D．[，1）【考点】LH：多面体和旋转体表面上的最短距离问题．【分析】根据直三棱柱中三条棱两两垂直，本题考虑利用空间坐标系解决．建立如图所示的空间直角坐标系，设出F、D的坐标，利用GD⊥EF求得关系式，写出DF的表达式，然后利用二次函数求最值即可．【解答】解：建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，0，0），E（0，1，），G（，0，1），F（x，0，0），D（0，y，0）由于GD⊥EF，所以x+2y﹣1=0DF==当y=时，线段DF长度的最小值是当y=1时，线段DF长度的最大值是1而不包括端点，故y=1不能取；故选：A．10．已知点P在双曲线上，点A满足（t∈R），且，，则的最大值为（）A．B． C．D．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】由已知可得，且||=|t|||．有，将点（）代入双曲线中得，由||•||=t|||2=64．得|t|（）=6，即得64=，|y P|，||=|y P|．【解答】解：∵，∴，∴，且||=|t|| |．∴（x A，y A）=t（x P，y P），∴，将点（）代入双曲线中得：．∴…①，∵，∴||•||=t|| |2=64．∴|t|（）=64…②由①②得64=，∴|y P|，||=|y P|，故选：B二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题6分，共36分.11．已知函数，则f（f（﹣2））=0，若f（x）≥2，则x的取值范围为x≥3或x=0．【考点】3T：函数的值．【分析】由分段函数的表达式，利用代入法即可求第一问，讨论x的取值范围，解不等式即可求第二问．【解答】解：由分段函数的表达式得f（﹣2）==4﹣2=2，f（2）=0，故f（f（﹣2））=0，若x≤﹣1，由f（x）≥2得（）x﹣2≥2得（）x≥4，则2﹣x≥4，得﹣x≥2，则x≤﹣2，此时x≤﹣2．若x＞﹣1，由f（x）≥2得（x﹣2）（|x|﹣1）≥2，即x|x|﹣x﹣2|x|≥0，若x≥0得x2﹣3x≥0，则x≥3或x≤0，此时x≥3或x=0，若x＜0，得﹣x2+x≥0，得x2﹣x≤0，得0≤x≤1，此时无解，综上x≥3或x=0，故答案为：0，x≥3或x=012．某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的所有棱长之和为27++cm，体积为20cm3．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个三棱柱挖去一个三棱锥所得的组合体，画出其直观图，进而根据棱柱和棱锥体积公式，可得答案．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个三棱柱挖去一个三棱锥所得的组合体，如下图所示：故此几何体的所有棱长之和为3+4+5+5+5+5++=27++cm，该几何体的体积V==cm3．故答案为：27++，20．13．已知随机变量ξ的概率分布列为：则Eξ=1，Dξ=．【考点】CG：离散型随机变量及其分布列．【分析】利用随机变量ξ的概率分布列的性质能求出Eξ和Dξ．【解答】解：由随机变量ξ的概率分布列，知：Eξ==1，Dξ=（0﹣1）2×+（1﹣1）2×+（2﹣1）2×=．故答案为：1，．14．已知圆C：x2+y2﹣2x﹣4y+1=0上存在两点关于直线l：x+my+1=0对称，经过点M（m，m）作圆C的切线，切点为P，则m=﹣1；|MP|=3..【考点】JE：直线和圆的方程的应用．【分析】由题意直线l：x+my+1=0过圆心C（1，2），从而得到m=﹣1．利用勾股定理求出|MP|．【解答】解：∵圆C：x2+y2﹣2x﹣4y+1=0上存在两点关于直线l：x+my+1=0对称，∴直线l：x+my+1=0过圆心C（1，2），∴1+2m+1=0．解得m=﹣1．圆C：x2+y2﹣2x﹣4y+1=0，可化为（x﹣1）2+（y﹣2）2=4，圆心（1，2），半径r=2，∵经过点M（m，m）作圆C的切线，切点为P，∴|MP|==3．故答案为：﹣1；3．15．函数f（x），g（x）的定义域都是D，直线x=x0（x0∈D），与y=f （x），y=g（x）的图象分别交于A，B两点，若|AB|的值是不等于0的常数，则称曲线y=f（x），y=g（x）为“平行曲线”，设f（x）=e x﹣alnx+c（a＞0，c≠0），且y=f（x），y=g（x）为区间（0，+∞）的“平行曲线”，g（1）=e，g（x）在区间（2，3）上的零点唯一，则a的取值范围是[3e3，+∞）．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】由题意可得|e x﹣alnx+c﹣g（x）|对x∈（0，+∞）恒为常数，且不为0．令x=1求得常数．再由题意可得f（x）=e x﹣alnx+c在（2，3）上无极值点，运用导数和构造函数，转化为方程无实根，即可得到a的范围．【解答】解：由题意可得|e x﹣alnx+c﹣g（x）|对x∈（0，+∞）恒为常数，且不为0．令x=1，可得|e﹣0+c﹣g（1）|=|e+c﹣e|=|c|＞0．由g（x）在区间（2，3）上的零点唯一，可得：f（x）=e x﹣alnx+c在（2，3）上无极值点，即有f′（x）=e x﹣=，则xe x﹣a=0无实数解，由y=xe x，可得y′=（1+x）e x＞0，在（2，3）成立，即有函数y递增，可得y∈（2e2，3e3），则a≥3e3，故答案为：[3e3，+∞）．16．若函数f（x）=ax2+20x+14（a＞0）对任意实数t，在闭区间[t﹣1，t+1]上总存在两实数x1，x2，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥8成立，则实数a的最小值为8．【考点】3R：函数恒成立问题．【分析】结合二次函数的图象可知，当且仅当区间[t﹣1，t+1]的中点是对称轴时，只要满足[t﹣1，t+1]上总存在两实数x1，x2，使得|f （x1）﹣f（x2）|≥8成立，则对其它任何情况必成立．【解答】解：因为a＞0，所以二次函数f（x）=ax2+20x+14的图象开口向上．在闭区间[t﹣1，t+1]上总存在两实数x1，x2，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥8成立，只需t=时f（t+1）﹣f（t）≥8，即a（t+1）2+20（t+1）+14﹣（at2+20t+14）≥8，即2at+a+20≥8，将t=代入得a≥8．所以a的最小值为8．故答案为817．定义域为{x|x∈N*，1≤x≤12}的函数f（x）满足|f（x+1）﹣f（x）|=1（x=1，2，…11），且f（1），f（4），f（12）成等比数列，若f（1）=1，f（12）=4，则满足条件的不同函数的个数为176．【考点】D8：排列、组合的实际应用；3T：函数的值．【分析】根据题意，由|f（x+1）﹣f（x）|=1分析可得必有在f（x+1）﹣f（x）=1和f（x+1）﹣f（x）=﹣1中，必须且只能有1个成立，由等比数列的性质求得f（4）=±2，进而分2种情况讨论，①、若f（4）=﹣2，分析可得在1≤x≤3中，f（x+1）﹣f（x）=﹣1都成立，在4≤x≤11中，有1个f（x+1）﹣f（x）=﹣1，7个f（x+1）﹣f（x）=1成立，②、若f（4）=2，在1≤x≤3中，有1个f（x+1）﹣f（x）=﹣1成立，2个f（x+1）﹣f（x）=1成立，在4≤x≤11中，有3个f （x+1）﹣f（x）=﹣1，5个f（x+1）﹣f（x）=1成立；由乘法原理计算可得每种情况的函数数目，由分类计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，若|f（x+1）﹣f（x）|=1，则f（x+1）﹣f（x）=1和f（x+1）﹣f（x）=﹣1中，必须且只能有1个成立，若f（1）=1，f（12）=4，且f（1），f（4），f（12）成等比数列，则f（4）=±2，分2种情况讨论：①、若f（4）=﹣2，在1≤x≤3中，f（x+1）﹣f（x）=﹣1都成立，在4≤x≤11中，有1个f（x+1）﹣f（x）=﹣1，7个f（x+1）﹣f（x）=1成立，则有C81=8种情况，即有8个不同函数；②、若f（4）=2，在1≤x≤3中，有1个f（x+1）﹣f（x）=﹣1成立，2个f（x+1）﹣f（x）=1成立，有C31=3种情况，在4≤x≤11中，有3个f（x+1）﹣f（x）=﹣1，5个f（x+1）﹣f（x）=1成立，有C83=56种情况，则有3×56=168种情况，即有168个不同函数；则一共有8+168=176个满足条件的不同函数；故答案为：176．三、解答题（共5小题，满分74分）18．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，b=sinB，且满足tanA+tanC=．（Ⅰ）求角C和边c的大小；（Ⅱ）求△ABC面积的最大值．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】（Ⅰ）根据同角的三角函数的关系以及诱导公式和两角和的正弦公式即可求出，再根据正弦定理即可求出c的值，（Ⅱ）根据余弦定理和基本不等式即可求出最大值．【解答】解：（Ⅰ）tanA+tanC=可得+====，∴cosC=，∵0＜C＜π，∴C=，∵b=sinB，由正弦定理可得==，∴c=；（Ⅱ）由余弦定理可得c2=a2+b2﹣2abcosC，∴=a2+b2﹣ab≥2ab﹣ab=ab，当且仅当a=b时取等号．∴S△ABC=absinC=ab≤×=，故△ABC面积的最大值为..19．在边长为3的正三角形ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，满足AE：EB=CF：FA=CP：PB=1：2（如图（1）将△AEF沿EF折起到△A1EF的位置，使二面角A1﹣EF﹣B成直二面角，连结A1B、A1P（如图（2））．（1）求证：A1E⊥平面BEP；（2）求二面角B﹣A1P﹣E的余弦值．【考点】MT：二面角的平面角及求法；LY：平面与平面垂直的判定．【分析】（1）在图（1）中，取BE的中点D，连结DF，由已知可得△ADF为正三角形．进一步得到EF⊥AD．在图（2）中，可得A1E⊥EF，BE⊥EF，即∠A1EB为二面角A1﹣EF﹣B的一个平面角，由题设条件知此二面角为直二面角，可得A1E⊥平面BEP；（2）分别以EB、EF、EA1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，然后分别求出面EA1P与面BA1P的一个法向量，求出两法向量所成角的余弦值得答案．【解答】（1）证明：在图（1）中，取BE的中点D，连结DF，∵AE：EB=CF：FA=1：2，∴AF=AD=2，而∠A=60°，∴△ADF为正三角形．又AE=DE=1，∴EF⊥AD．在图（2）中，A1E⊥EF，BE⊥EF，∴∠A1EB为二面角A1﹣EF﹣B的一个平面角，由题设条件知此二面角为直二面角，∴A1E⊥平面BEP；（2）解：分别以EB、EF、EA1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则E（0，0，0），B（2，0，0），P（1，，0），A（0，0，1），，．设面EA1P的法向量为，则，取y=﹣1，得=（，﹣1，0）；设面BA1P的法向量为，则，取y=1，得=（，1，2）．∴cos＜＞==，∴二面角B﹣A1P﹣E的大小的余弦值为．20．设函数f（x）=﹣k（+lnx）（k为常数，e=2.71828…是自然对数的底数）．（Ⅰ）当k≤0时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）在（0，2）内存在两个极值点，求k的取值范围．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6C：函数在某点取得极值的条件．【分析】（Ⅰ）求出导函数，根据导函数的正负性，求出函数的单调区间；（Ⅱ）函数f（x）在（0，2）内存在两个极值点，等价于它的导函数f′（x）在（0，2）内有两个不同的零点．【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），∴f′（x）=﹣k（﹣）=（x＞0），当k≤0时，kx≤0，∴e x﹣kx＞0，令f′（x）=0，则x=2，∴当0＜x＜2时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x＞2时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，∴f（x）的单调递减区间为（0，2），单调递增区间为（2，+∞）．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，k≤0时，函数f（x）在（0，2）内单调递减，故f（x）在（0，2）内不存在极值点；当k＞0时，设函数g（x）=e x﹣kx，x∈（0，+∞）．∵g′（x）=e x﹣k=e x﹣e lnk，当0＜k≤1时，当x∈（0，2）时，g′（x）=e x﹣k＞0，y=g（x）单调递增，故f（x）在（0，2）内不存在两个极值点；当k＞1时，得x∈（0，lnk）时，g′（x）＜0，函数y=g（x）单调递减，x∈（lnk，+∞）时，g′（x）＞0，函数y=g（x）单调递增，∴函数y=g（x）的最小值为g（lnk）=k（1﹣lnk）函数f（x）在（0，2）内存在两个极值点当且仅当解得：e综上所述，函数f（x）在（0，2）内存在两个极值点时，k的取值范围为（e，）21．如图，设椭圆+=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，⊥F1F2，=2，△DF1F2的面积为．点D在椭圆上，DF（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；（Ⅱ）是否存在圆心在y轴上的圆，使圆在x轴的上方与椭圆有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线互相垂直并分别过不同的焦点？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由．【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（Ⅰ）设F1（﹣c，0），F2（c，0），依题意，可求得c=1，易|==，|DF2|=，从而可得2a=2，于是可求得求得|DF椭圆的标准方程；（Ⅱ）设圆心在y轴上的圆C与椭圆+y2=1相交，P1（x1，y1），P2（x2，y2）是两个交点，依题意，利用圆和椭圆的对称性，易知x2=﹣x1，y1=y2，|P1P2|=2|x1|，由F1P1⊥F2P2，得x1=﹣或x1=0，分类讨论即可求得圆心及半径，从而可得圆的方程．【解答】解：（Ⅰ）设F1（﹣c，0），F2（c，0），其中c2=a2﹣b2，|==c，由=2，得|DF从而=|DF1||F1F2|=c2=，故c=1．从而|DF1|=，由DF1⊥F1F2，得=+=，因此|DF2|=，|+|DF2|=2，故a=，b2=a2﹣c2=1，所以2a=|DF因此，所求椭圆的标准方程为+y2=1；（Ⅱ）设圆心在y轴上的圆C与椭圆+y2=1相交，P1（x1，y1），P2（x2，y2）是两个交点，y1＞0，y2＞0，F1P1，F2P2是圆C的切线，且F1P1⊥F2P2，由圆和椭圆的对称性，易知x2=﹣x1，y1=y2，|P1P2|=2|x1|，由（Ⅰ）知F1（﹣1，0），F2（1，0），所以=（x1+1，y1），=（﹣x1﹣1，y1），再由F1P1⊥F2P2，得﹣+=0，由椭圆方程得1﹣=，即3+4x1=0，解得x1=﹣或x1=0．当x1=0时，P1，P2重合，此时题设要求的圆不存在；当x1=﹣时，过P1，P2，分别与F1P1，F2P2垂直的直线的交点即为圆心C，设C（0，y0）由F1P1，F2P2是圆C的切线，知CP1⊥F1P1，得•=﹣1，而|y1|=|x1+1|=，故y0=，故圆C的半径|CP1|==．综上，存在满足题设条件的圆，其方程为x2+=．22．已知在数列{a n}中，．，n∈N*（1）求证：1＜a n+1＜a n＜2；（2）求证：；（3）求证：n＜s n＜n+2．【考点】8K：数列与不等式的综合；8H：数列递推式．【分析】（1）先用数学归纳法证明1＜a n＜2．由.．可证得1＜a n+1＜a n＜2成立．（2），当n≥3时，由，得，，即可证得（3）由（1）1＜a n＜2得s n＞n由（2）得，【解答】证明：（1）先用数学归纳法证明1＜a n＜2．①．n=1时，②．假设n=k时成立，即1＜a k＜2．那么n=k+1时，成立．由①②知1＜a n＜2，n∈N*恒成立.．所以1＜a n+1＜a n＜2成立．（2），当n≥3时，而1＜a n＜2．所以．由，得，所以（3）由（1）1＜a n＜2得s n＞n由（2）得，。

2019年浙江省数学高考试题数学（镇海中学模拟卷及答案）考生须知：（与答题卷上的要求一致）1．全卷分试卷和答题卷，考试结束后，将答题卷上交。

2．试卷共4页，有3大题，22小题。

满分150分，考试时间120分钟。

3．答题前，请务必将自己的姓名，准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上。

4.请将答案做在答题卷的相应位置上，写在试卷上无效。

作图时先使用2B 铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑。

选择题部分（共40分）一、选择题：本大题有10小题，每小题4分，共40分。

每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知集合{}0A x x =>，{}(2)(1)0B x x x =-+<，则A B =A ．(0,2)B ．(0,1)C ．(1,2)-D ．(1,)-+∞2. ()61x +展开式中含4x 项的系数是 A ．36CB ．46C C ．56C D ．66C3. 若,x y 满足约束条件0,3,2,x x y y ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩3z x y =+的最大值是A ． 6B ．7C ．8D ．9 4. 已知等比数列{}n a 满足1322a a a +=-，则公比q = A ．1- B ． 1 C ． 2- D ． 2 5. 已知a 为实数，“1a >”是“23a a <”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 6. 已知随机变量ξ的分布列如右所示若2E ξ=，则D ξ的值可能是A ．43 B.32C. 2D.23（第8题图）7. 已知,a b 是正实数，若22a b +≥，则A ．12ab ≥ B.22142b a +≥ C. 1122a b+≥ D.221a b +≥ 8. 如图，11122233,,OA B A A B A A B ∆∆∆是边长相 等的等边三角形，且123,,,O A A A 四点共线. 若点123,,P P P 分别是边112233,,AB A B A B 上的动点，记113I OB OP =⋅，222I OB OP =⋅，331I OB OP =⋅，则 A ．321I I I >> B.132I I I >> C.312I I I >> D.213I I I >> 9. 已知函数21()(0)f x ax bx a x=+->有两个不同的零点12,x x ，则 A ． 12120,0x x x x +<< B ． 12120,0x x x x +>>C ． 12120,0x x x x +<>D ． 12120,0x x x x +><10. 已知三棱柱ABC A B C '''-，AA '⊥平面ABC ，P 是A B C '''∆内一点，点,E F 在直线BC 上运动，若直线PA 和AE 所成角的最小值与直线PF 和平面ABC 所成角的最大值相等，则满足条件的点P 的轨迹是 A ．直线的一部分 B ．圆的一部分 C ．抛物线的一部分 D ．椭圆的一部分非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。

2019届浙江镇海中学高三5月模拟数学（理）试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 设集合，，则（）A ．_____________________________________B ．C ．___________________________________D ．2. 下列说法正确的是（）A ．“若，则”的否命题是“若，则”B ．为等比数列，则“ ”是“ ”的既不充分也不必要条件C ．，使成立D ．“若，则”是真命题3. 设是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题为真的是（）A ．若，且，则B ．若，且，则C ．若，且，则D ．若，且，则4. 已知，，且，，，则（）A ．______________________________B ．C ．或___________D ．以上都不对5. 过平面区域内一点作圆的两条切线，切点分别为，记，则当最小时的值为（）A ．B ．C ．D ．6. 在数列中，若存在非零整数，使得对于任意的正整数均成立，那么称数列为周期数列，其中叫做数列的周期，若数列满足，如（），当数列的周期最小时，该数列的前2016项的和是（）A ． 672______________________________________B ． 673C ． 1342_____________________________________D ． 13447. 在椭圆上有一点，椭圆内一点在的延长线上，满足，若，则该椭圆离心率取值范围是（）A ．________________________B ．C ．_________________________________D ．8. 已知函数的图象上恰有三对点关于原点成中心对称，则的取值范围是（）A ．____________________B ．C ．___________________________________D ．二、填空题9. 函数的部分图象如图所示，则将的图象向右平移个单位后得到，得到的函数图象对称轴为____________________ ，函数解析式为______________ ．10. 已知点关于直线的对称点为，则圆关于直线对称的圆的方程为____________________ ；圆与圆的公共弦的长度为______________ ．11. 已知某几何体的三视图如下图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，则该几何体的表面积是____________________ ；体积是____________________ ．12. 已知函数，则____________________ ，若有三个零点，则的取值范围是________________________ ．13. 设是函数的图象上任意一点，过点分别向直线和轴作垂线，垂足分别为，则的值是____________________ ．14. 已知方程组，对此方程组的每一组正实数解，其中，都存在正实数，且满足，则的最大值是____________________ ．15. 如图，在平面四边形中，已知分别是棱的中点，若，设，则的最大值是____________________ ．三、解答题16. 在中，边的对角分别为，且成等差数列．（ 1 ）求的取值范围；（ 2 ）若边上的中线长为，求角的值．17. 如图，为正三角形，且，，将沿翻折．（ 1 ）若点的射影在上，求的长；（ 2 ）若点的射影在内，且与面所成的角的正弦值为，求的长．18. 已知函数．（ 1 ）若关于的方程在区间上有两个不同的解．（ⅰ ）求的取值范围；（ⅱ ）若，求的取值范围；（ 2 ）设函数在区间上的最大值和最小值分别为，求的表达式．19. 已知抛物线的焦点为，是抛物线上的两个动点，且，过两点分别作抛物线的切线，设其交点为．（ 1 ）证明：为定值；（ 2 ）设的面积为，求的最小值．20. 已知数列满足，都有．（ 1 ）求证：；（ 2 ）求证：当时，．参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】。

2019年浙江省宁波市镇海中学高考数学模拟试卷（5月份）一、选择题：本大题共10小题，共40分1．（4分）已知集合A＝{（x，y）|y＝x+1，x∈Z}，集合B＝{y|y＝2x，x∈Z}，则集合A∩B 等于（）A．{1，2}B．（1，2）C．{（1，2）}D．∅2．（4分）若f（x）sin x是周期为π的奇函数，则f（x）可以是（）A．sin x B．cos x C．sin2x D．cos2x3．（4分）满足线性约束条件，的目标函数z＝x+y的最大值是（）A．1B．C．2D．34．（4分）如图，网格纸上小正方形边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．B．C．4D．5．（4分）某观察者站在点O观察练车场上匀速行驶的小车P的运动情况，小车从点A出发的运动轨迹如图所示．设观察者从点A开始随动点P变化的视角为θ＝∠AOP，练车时间为t，则函数θ＝f（t）的图象大致为（）A．B．C．D．6．（4分）将函数的图象向左平移个单位，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数y＝g（x）的图象，则下列关于函数y＝g（x）的说法错误的是（）A．最小正周期为πB．初相为C．图象关于直线对称D．图象关于点对称7．（4分）已知，，则的最小值为（）A．﹣2B．﹣4C．﹣6D．﹣18．（4分）已知双曲线﹣＝1（a＞0．b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，A、B分别是双曲线左、右两支上关于坐标原点O对称的两点，且直线AB的斜率为2．M、N 分别为AF2、BF2的中点，若原点O在以线段MN为直径的圆上，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．9．（4分）已知函数f（x）＝xlnx﹣x+2a，若函数y＝f（x）与y＝f（f（x））有相同的值域，则a的取值范围是（）A．B．（﹣∞，1]C．D．[1，+∞）10．（4分）已知等差数列{a n}满足，|a1|+|a2|+…+|a n|＝|a1+1|+|a2+1|+…+|a n+1|＝|a1﹣1|+|a2﹣1|+…+|a n﹣1|＝98，则n的最大值为（）A．14B．13C．12D．11二、填空题：本大题共7小题，共36分11．（3分）若复数z满足（3﹣4i）z＝|3﹣4i|，则z的模为；虚部为．12．（3分）若随机变量ξ的分布列如表所示，则a＝，E（ξ）＝．ξ﹣101P a a213．（3分）已知a，b∈R+且a+2b＝3，则的最小值是；的最小值是．14．（3分）在二项式的展开式中，各项系数之和为A，各项二项式系数之和为B，且A+B＝72，则展开式中常数项的值为．15．（3分）设椭圆C2：的左右焦点为F1，F2，离心率为，抛物线C1：y2＝﹣4mx（m＞0）的准线经过椭圆的右焦点．抛物线C1与椭圆C2交于x轴上方一点P，若△PF1F2的三边长恰好是三个连续的自然数，则a的值为．16．（3分）一只小蜜蜂位于数轴上的原点处，小蜜蜂每一次具有只向左或只向右飞行一个单位或者两个单位距离的能力，且每次飞行至少一个单位．若小蜜蜂经过5次飞行后，停在数轴上实数3位于的点处，则小蜜蜂不同的飞行方式有种．17．（3分）已知在棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M为BC1的中点，点P为△A1C1D及其内部的一动点，且|PD|＝|PM|，则点P的轨迹长度为．三、解答题：本大题共5小题，共74分18．（14分）已知三角形ABC中，cos（A+B）＝，cos（A﹣B）＝．（Ⅰ）求tan A•tan B的值；（Ⅱ）若|AB|＝2，求三角形ABC的面积S．19．（15分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC＝60°，点M是棱PC的中点，P A⊥平面ABCD．（1）证明：P A∥平面BMD；（2）当P A长度为多少时，直线AM与平面PBC所成角的正弦值为．20．（15分）对于数列{a n}，记△（1）a n＝a n+1﹣a n，，k，n∈N*，则称数列{△（k）a n}为数列{a n}的“k”阶数列．（1）已知，若{a n}为等比数列，求a1的值；（2）已知，若a1＝1，且a n≥a3对n∈N*恒成立，求a2的取值范围．21．（15分）已知抛物线y2＝4x的焦点为F2，点F1与F2关于坐标原点对称，以F1，F2为焦点的椭圆C过点．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设点T（2，0），过点F2作直线l与椭圆C交于A，B两点，且，若的取值范围．22．（15分）已知函数f（x）＝e ax ln（x+1），其中a∈R．（Ⅰ）设F（x）＝e﹣ax f（x），讨论F（x）的单调性；（Ⅱ）若函数g（x）＝f（x）﹣x在（0，+∞）内存在零点，求a的取值范围．2019年浙江省宁波市镇海中学高考数学模拟试卷（5月份）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，共40分1．（4分）已知集合A＝{（x，y）|y＝x+1，x∈Z}，集合B＝{y|y＝2x，x∈Z}，则集合A∩B 等于（）A．{1，2}B．（1，2）C．{（1，2）}D．∅【分析】由题可得：集合A是点集，集合B是数集，由交集概念即可得解．【解答】解：由题可得：集合A是点集，集合B是数集，所以A∩B＝∅．故选：D．【点评】本题主要考查了集合的表示及交集运算，属于基础题．2．（4分）若f（x）sin x是周期为π的奇函数，则f（x）可以是（）A．sin x B．cos x C．sin2x D．cos2x【分析】分别把四个选项中的值代入f（x）sin x，逐一进行验证，求得f（x）＝sin x，则f（x）sin x＝sin2x为偶函数，排除A；f（x）＝sin2x，则f（x）sin x＝2cos x sin2x，为偶函数，排除C；f（x）＝cos2x，则f（x）sin x＝sin x﹣2sin3x，周期不为π排除D，f（x）＝cos x，则f（x）sin x＝sin2x，奇函数且周期为，符合题意．【解答】解：若f（x）＝sin x，则f（x）sin x＝sin2x为偶函数，不符合题意．若f（x）＝cos x，则f（x）sin x＝sin2x，奇函数且周期为，符合题意．若f（x）＝sin2x，则f（x）sin x＝2cos x sin2x，为偶函数，不符合题意．若f（x）＝cos2x，则f（x）sin x＝sin x﹣2sin3x，周期不为π不符合题意．故选：B．【点评】本题主要考查了三角函数的周期性及其求法．考查了学生综合分析问题的能力．3．（4分）满足线性约束条件，的目标函数z＝x+y的最大值是（）A．1B．C．2D．3【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出直线z＝x+y过点B（1，1）时，z最大值即可．【解答】解：先根据约束条件画出可行域，当直线z＝x+y过点B（1，1）时，z最大值为2．故选：C．【点评】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．4．（4分）如图，网格纸上小正方形边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．B．C．4D．【分析】依三视图知该几何体为三棱锥，画出直观图、判断出位置关系和求出长度，利用椎体的体积公式求出答案．【解答】解：依三视图知该几何体为三棱锥D﹣ABC，连接AF，过D作DE⊥AE，则DE为底面ABC的高，由三视图可得S ABC＝，DE＝所以其体积V＝故选：B．【点评】本题考查三视图求几何体的体积，由三视图正确复原几何体和补形是解题的关键，考查空间想象能力．属于中档题．5．（4分）某观察者站在点O观察练车场上匀速行驶的小车P的运动情况，小车从点A出发的运动轨迹如图所示．设观察者从点A开始随动点P变化的视角为θ＝∠AOP，练车时间为t，则函数θ＝f（t）的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】题干错误：θ＝∠AOP（＞0），应该去掉括号．根据视角θ＝∠AOP的值的变化趋势，可得函数图象的单调性特征，从而选出符合条件的选项．【解答】解：根据小车从点A出发的运动轨迹可得，视角θ＝∠AOP的值先是匀速增大，然后又减小，接着基本保持不变，然后又减小，最后又快速增大，故选：D．【点评】本题主要考查利用函数的单调性判断函数的图象特征，属于基础题．6．（4分）将函数的图象向左平移个单位，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数y＝g（x）的图象，则下列关于函数y＝g（x）的说法错误的是（）A．最小正周期为πB．初相为C．图象关于直线对称D．图象关于点对称【分析】首先利用三角函数的关系式的平移和伸缩变换求出函数g（x）的关系式，进一步利用函数的性质求出结果．【解答】解：将函数的图象向左平移个单位，得到：y＝2sin （4x+）的图象，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数y＝g（x）＝2sin （2x+）的图象，所以：①函数的最小正周期为：T＝π．②初相为．③当x＝时，函数为最值，故图象关于x＝对称．故D错误．故选：D．【点评】本题考查的知识要点：三角函数的平移变换，正弦型函数的性质的应用．7．（4分）已知，，则的最小值为（）A．﹣2B．﹣4C．﹣6D．﹣1【分析】由向量数量积的坐标运算有：设＝（2，0），＝（cosα，sinα），＝（cosβ，sinβ），所以＝2（cosβ﹣cosα）﹣cos（α﹣β）+1，再结合三角函数的有界性及排除法可得解．【解答】解：因为，，设＝（2，0），＝（cosα，sinα），＝（cosβ，sinβ），所以＝2（cosβ﹣cosα）﹣cos（α﹣β）+1，又cosα，cosβ，cos（α﹣β）∈[﹣1，1]，又2（cosβ﹣cosα）≥﹣4，cos（α﹣β）≤1，又2（cosβ﹣cosα）≥﹣4，cos（α﹣β）≤1不能同时取等号，所以2（cosβ﹣cosα）﹣cos（α﹣β）+1＞﹣4，又当β＝π，α＝0时，2（cosα+cosβ）﹣cos（α﹣β）+1取值﹣2，则可排除B．C，D选项，故选：A．【点评】本题考查了向量数量积的坐标运算及三角函数的有界性，属中档题．8．（4分）已知双曲线﹣＝1（a＞0．b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，A、B分别是双曲线左、右两支上关于坐标原点O对称的两点，且直线AB的斜率为2．M、N 分别为AF2、BF2的中点，若原点O在以线段MN为直径的圆上，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【分析】设B（x0，2x0），表示出M，N的坐标，根据OM⊥ON得出x0与c的关系，代入双曲线方程化简即可得出离心率．【解答】解：设B（x0，2x0）（x0＞0），则A（﹣x0，﹣2x0），F2（c，0），∵M，N分别为AF2、BF2的中点，∴M（，﹣x0），N（，x0），∵原点O在以线段MN为直径的圆上，∴OM⊥ON，∴＝0，∴﹣2x02＝0，即x0＝，故B（，），把B（，）代入双曲线方程＝1可得：﹣＝1，∴c2（c2﹣a2）﹣8c2a2﹣9a2（c2﹣a2）＝0，∴9a4﹣18a2c2+c4＝0，即e4﹣18e2+9＝0，解得e2＝9+6或e2＝9﹣6（舍）．∴e＝+．故选：C．【点评】本题考查了双曲线的简单性质，离心率计算，属于中档题．9．（4分）已知函数f（x）＝xlnx﹣x+2a，若函数y＝f（x）与y＝f（f（x））有相同的值域，则a的取值范围是（）A．B．（﹣∞，1]C．D．[1，+∞）【分析】判断f（x）的单调性，求出f（x）的值域，根据y＝f（x）与y＝f（f（x））有相同的值域得出f（x）的最小值与极小值点的关系，得出a的范围．【解答】解：f′（x）＝lnx，故而当x＞1时，f′（x）＞0，当0＜x＜1时，f′（x）＜0，∴f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，∴f（x）的最小值为f（1）＝2a﹣1．即f（x）的值域为[2a﹣1，+∞），∵函数y＝f（x）与y＝f（f（x））有相同的值域，∴0＜2a﹣1≤1，解得：＜a≤1．故选：A．【点评】本题考查了函数的单调性判断，函数最值的计算，属于中档题．10．（4分）已知等差数列{a n}满足，|a1|+|a2|+…+|a n|＝|a1+1|+|a2+1|+…+|a n+1|＝|a1﹣1|+|a2﹣1|+…+|a n﹣1|＝98，则n的最大值为（）A．14B．13C．12D．11【分析】由题意可得{a n}中的项一定满足或，且项数为偶数，设n＝2k，k∈N*，等差数列的公差设为d，由a1＜0，d＞0，且a k+1≤0，即a k≤﹣1，a k+1≥1，结合等差数列的求和公式，以及不等式的性质，可得所求最大值．【解答】解：等差数列{a n}满足，|a1|+|a2|+…+|a n|＝|a1+1|+|a2+1|+…+|a n+1|＝|a1﹣1|+|a2﹣1|+…+|a n﹣1|＝98，可得等差数列不为常数列，且{a n}中的项一定满足或，且项数为偶数，设n＝2k，k∈N*，等差数列的公差设为d，不妨设，则a1＜0，d＞0，且a k+1≤0，a k﹣1＜0即a k≤﹣1，由a k+1﹣1≥0，则﹣1+kd≥a k+kd≥1，即kd≥2，即有d≥2，则|a1|+|a2|+…+|a n|＝﹣a1﹣a2﹣…﹣a k+a k+1+…+a2k＝﹣（ka1+d）+k（a1+kd）+d＝k2d＝98，可得98≥2k2，即有k≤7，即有k的最大值为7，n的最大值为14．故选：A．【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式，以及绝对值的意义，考查运算能力和推理能力，属于难题．二、填空题：本大题共7小题，共36分11．（3分）若复数z满足（3﹣4i）z＝|3﹣4i|，则z的模为1；虚部为．【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．【解答】解：由（3﹣4i）z＝|3﹣4i|，得z＝，∴|z|＝．z的坐标为．故答案为：1；．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念及复数模的求法，是基础题．12．（3分）若随机变量ξ的分布列如表所示，则a＝，E（ξ）＝﹣．ξ﹣101P a a2【分析】由随机变量ξ的分布列的性质求出a＝，由此能求出E（ξ）．【解答】解：由随机变量ξ的分布列，得：，解得a＝，∴E（ξ）＝＝﹣．故答案为：．【点评】本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查随机变量ξ的分布列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．13．（3分）已知a，b∈R+且a+2b＝3，则的最小值是3；的最小值是3．【分析】由已知可知，＝（）（a+2b），展开后利用基本不等式可求；由a+2b＝3，由基本不等式可得，3＝a+b+b≥3，可求ab2≤1，再次利用基本不等式＝可求．【解答】解：∵a+2b＝3，则＝（）（a+2b）＝，当且仅当且a+2b＝3，即a＝b＝1时取等号；∵a+2b＝3，由基本不等式可得，3＝a+b+b≥3，∴ab2≤1，当且仅当a＝b＝1时取等号，则＝≥3，当且仅当即a＝b时取等号故答案为：3，3【点评】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是应用条件的配凑14．（3分）在二项式的展开式中，各项系数之和为A，各项二项式系数之和为B，且A+B＝72，则展开式中常数项的值为9．【分析】由二项展开式的性质可得A＝4n，B＝2n，由A+B＝4n+2n＝72可得n＝3，而展开式的通项为＝，令可得r，代入可求【解答】解：由二项展开式的性质可得A＝4n，B＝2n∴A+B＝4n+2n＝72∴n＝3∵展开式的通项为＝令可得r＝1常数项为T2＝3×C31＝9故答案为：9【点评】本题主要考查了二项展开式的通项在求解二项展开式的指定项中的应用，解题的关键是利用二项式的性质得出A，B的值．15．（3分）设椭圆C2：的左右焦点为F1，F2，离心率为，抛物线C1：y2＝﹣4mx（m＞0）的准线经过椭圆的右焦点．抛物线C1与椭圆C2交于x轴上方一点P，若△PF1F2的三边长恰好是三个连续的自然数，则a的值为6．【分析】由题意画出图形，设c＝m，a＝2m，|F1F2|＝2m，|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，利用抛物线与椭圆的焦半径相等列式求得三角形PF1F2的边长分别是，，．可得m ＝3时，能使三角形PF1F2的边长是连续的自然数，此时a＝2m＝6．【解答】解：由题意，设c＝m，a＝2m，|F1F2|＝2m．又设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，有r1+r2＝2a＝4m；设P（x0，y0），对于抛物线C1，r1＝﹣x0+m；对于椭圆C2，，即，由，解得，，∴，从而．因此，三角形PF1F2的边长分别是，，．∴m＝3时，能使三角形PF1F2的边长是连续的自然数，此时a＝2m＝6．故答案为：6．【点评】本题考查了圆锥曲线的位置关系的应用，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．16．（3分）一只小蜜蜂位于数轴上的原点处，小蜜蜂每一次具有只向左或只向右飞行一个单位或者两个单位距离的能力，且每次飞行至少一个单位．若小蜜蜂经过5次飞行后，停在数轴上实数3位于的点处，则小蜜蜂不同的飞行方式有75种．【分析】根据题意，分4种情况讨论：①，小蜜蜂向正方向飞行4次，负方向飞行1次，每次飞行1个单位，②，小蜜蜂向正方向飞行4次，有3次飞行1个单位，1次飞行2个单位，负方向飞行1次，飞行2个单位，③，小蜜蜂向正方向飞行3次，有2次飞行2个单位，1次飞行1个单位，负方向飞行2次，每次飞行1个单位，④，小蜜蜂向正方向飞行3次，每次飞行2个单位，负方向飞行2次，1次飞行2个单位，1次飞行1个单位，由加法原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分4种情况讨论：①，小蜜蜂向正方向飞行4次，负方向飞行1次，每次飞行1个单位，有C51＝5种飞行方式，②，小蜜蜂向正方向飞行4次，有3次飞行1个单位，1次飞行2个单位，负方向飞行1次，飞行2个单位，有C51C41＝20种飞行方式，③，小蜜蜂向正方向飞行3次，有2次飞行2个单位，1次飞行1个单位，负方向飞行2次，每次飞行1个单位，有C52C31＝30种飞行方式，④，小蜜蜂向正方向飞行3次，每次飞行2个单位，负方向飞行2次，1次飞行2个单位，1次飞行1个单位，有C53A22＝20种飞行方式，则一共有5+20+30+20＝75种飞行方式，故答案为：75【点评】本题考查分类计数原理合的应用，关键是分析蜜蜂飞行的次数和单位，进行分类讨论．17．（3分）已知在棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M为BC1的中点，点P为△A1C1D及其内部的一动点，且|PD|＝|PM|，则点P的轨迹长度为．【分析】满足PM＝PD的点P的轨迹是过MD的中点，且与MD垂直的平面，根据P是△A1C1D内（包括边界）的动点，可得点P的轨迹是两平面的交线ST，T在中点，S在4等分点，利用余弦定理，求出ST即可．【解答】解：满足PM＝PD的点P的轨迹是过MD的中点，且与MD垂直的平面，∵P是△A1C1D内（包括边界）的动点，∴点P的轨迹是两平面的交线ST，T为DC1中点，S在4等分点时，SD＝3，SM＝＝3，满足SD＝SM．∴SD＝3，TD＝2∴ST2＝＝14．∴ST＝．故答案为：．【点评】本题考查棱柱的结构特征，考查轨迹的求解，考查余弦定理，考查学生的计算能力，属中档题．三、解答题：本大题共5小题，共74分18．（14分）已知三角形ABC中，cos（A+B）＝，cos（A﹣B）＝．（Ⅰ）求tan A•tan B的值；（Ⅱ）若|AB|＝2，求三角形ABC的面积S．【分析】（Ⅰ）利用余弦的和角差角公式展开得sin A sin B与cos A cos B，再根据商数关系可得．（Ⅱ）根据c＝|AB|以及sin C求得外接圆直径，再利用正弦定理将a，b化成直径和正弦值代入面积公式可得．【解答】解：（Ⅰ）由cos（A+B）＝得cos A cos B﹣sin A sin B＝，①；由cos（A﹣B）＝得cos A cos B+sin A sin B＝，②；①+②得cos A cos B＝；②﹣①得sin A sin B＝，∴tan A tan B＝＝＝．（Ⅱ）∵cos（A+B）＝cos（π﹣C）＝﹣cos C＝，∴cos C＝﹣，sin C＝，∴三角形外接圆直径2R＝＝＝5，∴S＝＝•2R sin A•2R sin B•sin C＝××＝．【点评】本题考查了两角和与差的三角函数，属中档题．19．（15分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC＝60°，点M是棱PC的中点，P A⊥平面ABCD．（1）证明：P A∥平面BMD；（2）当P A长度为多少时，直线AM与平面PBC所成角的正弦值为．【分析】（1）连结AC，BD，交于点O，连结OM，推导出OM∥P A，由此能证明P A∥平面BMD．（2）以O为原点，OB，OC，OM分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出当P A长度为2或时，直线AM与平面PBC所成角的正弦值为．【解答】证明：（1）连结AC，BD，交于点O，连结OM，∵四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，点M是棱PC的中点，∴OM∥P A，∵OM⊂平面BMD，P A⊄平面BMD，∴P A∥平面BMD．解：（2）∵四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC＝60°，点M是棱PC的中点，∴BD⊥AC，OM⊥平面ABCD，OB＝OD＝，OA＝OC＝1，以O为原点，OB，OC，OM分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设当P A＝a时，直线AM与平面PBC所成角的正弦值为．A（0，﹣1，0），C（0，1，0），P（0，﹣1，a），M（0，0，），B（，0，0），＝（0，1，），＝（﹣），＝（﹣，﹣1，a），设平面PBC的法向量＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，，），＝＝，解得a＝2或a＝．∴当P A长度为2或时，直线AM与平面PBC所成角的正弦值为．【点评】本题考查线面平行的证明，考查满足线面角线面角的正弦值的线段长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．20．（15分）对于数列{a n}，记△（1）a n＝a n+1﹣a n，，k，n∈N*，则称数列{△（k）a n}为数列{a n}的“k”阶数列．（1）已知，若{a n}为等比数列，求a1的值；（2）已知，若a1＝1，且a n≥a3对n∈N*恒成立，求a2的取值范围．【分析】（1）根据题意列出等式，利用等比数列的定义完成本题即可．（2）根据定义正确列出等式，求出满足恒成立应满足的条件即可，最后求出范围．【解答】解：（1）∵，，且{a n}为等比数列，∴，即，解得．当n≥2时，a n＝△a n﹣1+…+△a1+a1＝＝．当n＝1时，符合上式．故{a n}为等比数列，即．（2）∵＝＝＝，由是递增的，∴a n≥a3对n∈N*恒成立，当且仅当满足∴，解得﹣7≤a2≤0．故答案为a2∈[﹣7，0]．【点评】本题考查了新定义的数列应用，能读懂题意是正确完成本题的关键．21．（15分）已知抛物线y2＝4x的焦点为F2，点F1与F2关于坐标原点对称，以F1，F2为焦点的椭圆C过点．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设点T（2，0），过点F2作直线l与椭圆C交于A，B两点，且，若的取值范围．【分析】（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，由y2＝4x求得c＝1．设椭圆C的标准方程为，由于椭圆C过点．代入椭圆方程可得，又a2＝b2+c2，联立解得即可；（II）对直线l的斜率分类讨论：当直线l的斜率不存在时，即λ＝﹣1时，直接求出．当直线l的斜率存在时，即λ∈[﹣2，﹣1）时，设直线l的方程为y＝k（x﹣1），与椭圆的方程联立可得根与系数的关系，再利用向量相等，可得，且λ＜0．进而得到：．由λ∈[﹣2，﹣1）可得到k2的取值范围．由于＝（x1﹣2，y1），＝（x2﹣2，y2），可得＝，通过换元，令，即可得出．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，由y2＝4x得c＝＝1，设椭圆C的标准方程为，∵椭圆C过点．∴，又a2＝b2+1，联立解得b2＝1，a2＝2．故椭圆C的标准方程为．（Ⅱ）1）当直线l的斜率不存在时，即λ＝﹣1时，，，又T（2，0），∴．2）当直线l的斜率存在时，即λ∈[﹣2，﹣1）时，设直线l的方程为y＝k（x﹣1），由得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），显然y1≠0，y2≠0，则由根与系数的关系，可得：，，∴，①②∵，∴，且λ＜0．将①式平方除以②式得：，由λ∈[﹣2，﹣1）得即．故，解得．∵＝（x1﹣2，y1），＝（x2﹣2，y2），∴＝（x1+x2﹣4，y1+y2），又，故＝，令，∵，∴，即，∴．∴．综上所述：∈．【点评】本题综合考查了椭圆与抛物线的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数、换元法、分类讨论、向量相等及其向量运算和向量的模等基础知识与基本技能方法，考查了分析问题和解决问题的能力，考查了推理能力和计算能力，属于难题．22．（15分）已知函数f（x）＝e ax ln（x+1），其中a∈R．（Ⅰ）设F（x）＝e﹣ax f（x），讨论F（x）的单调性；（Ⅱ）若函数g（x）＝f（x）﹣x在（0，+∞）内存在零点，求a的取值范围．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，判断函数的单调性，结合函数的零点，从而确定a的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）函数的定义域是{x|x＞﹣1}，f′（x）＝a•e ax ln（x+1）+e ax•＝e ax（aln（x+1）+），故F（x）＝aln（x+1）+，则F′（x）＝，若a＝0，则F′（x）＜0，F（x）在（﹣1，+∞）递减，若a≠0，则令F′（x）＝0，解得：x＝﹣1，（i）当a＜0时，则x＝﹣1＜﹣1，故在（﹣1，+∞）上恒有F′（x）＜0，即F（x）在（﹣1，+∞）递减；（ii）a＞0时，x＝﹣1＞﹣1，因而在（﹣1，﹣1）上，F′（x）＜0，在（﹣1，+∞）上，F′（x）＞0，故F（x）在（﹣1，﹣1）递减，在（﹣1，+∞）递增；（Ⅱ）g（x）＝f（x）﹣x＝e ax ln（x+1）﹣x，x∈（0，+∞），g′（x）＝e ax（aln（x+1）+）﹣1＝e ax F（x）﹣1，设h（x）＝g′（x）＝e ax F（x）﹣1，则h′（x）＝e ax（a2ln（x+1）+），（i）若a≤0，由x＞0可知0＜e ax≤1，另可证当x＞0时，ln（x+1）＜x，∴g（x）＝e ax ln（x+1）﹣x＜x（e ax﹣1）≤0，故g（x）＜0对任意x∈（0，+∞）都成立，故g（x）在（0，+∞）上无零点，因此a＞0，；（ii）当0＜a＜时，考查函数h′（x），由于h′（0）＝2a﹣1＜0，h′（）＞0，故h′（x）在（0，+∞）上必存在零点，设h′（x）在（0，+∞）的第一个零点是x0，则当x∈（0，x0）时，h′（x）＜0，故h（x）在（0，x0）递减，又h（x0）＜h（0）＝0，故x∈（0，x0）时，g′（x）＜0，从而g（x）在（0，x0）递减，故在（0，x0）上恒有g（x）＜g（0）＝0，即g（x0）＜0，注意到e ax＞ax，故g（x）＞axln（x+1）﹣x＝x（aln（x+1）﹣1），令x＝，则g（x）＞0，由零点存在定理可知函数y＝g（x）在（x0，）上有零点，符合题意；（iii）若a≥，则由x＞0，可得h′（x）＞0恒成立，从而h（x）在（0，+∞）上递增，也即g′（x）在（0，+∞）递增，故g′（x）＞g′（0）＝0，即g（x）在（0，+∞）递增，从而g（x）＞g（0）＝0恒成立，综上，a的范围是（0，）．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．。

2019届浙江省十校联盟高三下学期4月高考适应性考试数学试题一、单选题1．已知集合{}{}2340,13A x x x B x x =-->=-≤≤，则R ()A B =I ð( ) A ．()1,3- B ．[]1,3- C ．[]1,4- D ．()1,4-【答案】B【解析】先由2340x x -->得4x >或1x <-，再计算R ()ðA B I 即可. 【详解】由2340x x -->得4x >或1x <-，()(),14,A ∴=-∞-⋃+∞，[]R 1,4ðA =-,又{}13B x x =-≤≤，[]R ()1,3A B ∴=-I ð. 故选：B 【点睛】本题主要考查了集合的交集，补集的运算，考查学生的运算求解能力. 2．双曲线22:21C x y -=的渐近线方程为( ) A．0x ±= B ．20x y ±= C．0y ±= D ．20x y ±=【答案】A【解析】将双曲线方程化为标准方程为22112y x -=，其渐近线方程为2212y x -=，化简整理即得渐近线方程. 【详解】双曲线22:21C x y -=得22112y x -=，则其渐近线方程为22012y x -=，整理得0x ±=.故选：A 【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程，双曲线的简单性质的应用.3．如图所示，已知某几何体的三视图及其尺寸（单位：cm ），则该几何体的表面积为( )A ．15π2cmB ．21π2cmC ．24π2cmD ．33π2cm【答案】C【解析】由三视图知，该几何体是一个圆锥，其母线长是5cm ，底面直径是6cm ，据此可计算出答案. 【详解】由三视图知，该几何体是一个圆锥，其母线长是5cm ，底面直径是6cm ，∴该几何体的表面积233524S πππ=⨯+⨯⨯=.故选：C 【点睛】本题主要考查了三视图的知识，几何体的表面积的计算.由三视图正确恢复几何体是解题的关键. 4．若复数12biz i-=+（b R,i ∈为虚数单位）的实部与虚部相等，则b 的值为( ) A ．3 B ．3±C ．3-D ．3【答案】C【解析】利用复数的除法，以及复数的基本概念求解即可.()221125b b ibi z i --+-==+，又z 的实部与虚部相等， 221b b ∴-=+，解得3b =-.故选:C 【点睛】本题主要考查复数的除法运算，复数的概念运用.5．将函数2()22cos f x x x =-图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），再向右平移8π个单位长度，则所得函数图象的一个对称中心为（ ） A ．3,08π⎛⎫⎪⎝⎭B ．3,18⎛⎫-- ⎪⎝⎭π C ．3,08⎛⎫-⎪⎝⎭π D ．3,18⎛⎫- ⎪⎝⎭π 【答案】D【解析】先化简函数解析式,再根据函数()y Asin x ωϕ=+的图象变换规律,可得所求函数的解析式为22sin 134y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,再由正弦函数的对称性得解.【详解】222cos y x x =-Q()21cos 2x x =-+2sin 216x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,∴将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍,所得函数的解析式为22sin 136y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,再向右平移8π个单位长度,所得函数的解析式为 22sin 1386y x ππ⎡⎤⎛⎫=--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦22sin 134x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,233,3428x k x k k Z ππππ-=⇒=+∈， 0k =可得函数图象的一个对称中心为3,18⎛⎫- ⎪⎝⎭π，故选D.三角函数的图象与性质是高考考查的热点之一，经常考查定义域、值域、周期性、对称性、奇偶性、单调性、最值等，其中公式运用及其变形能力、运算能力、方程思想等可以在这些问题中进行体现，在复习时要注意基础知识的理解与落实．三角函数的性质由函数的解析式确定，在解答三角函数性质的综合试题时要抓住函数解析式这个关键，在函数解析式较为复杂时要注意使用三角恒等变换公式把函数解析式化为一个角的一个三角函数形式，然后利用正弦（余弦）函数的性质求解．6．已知,m n 表示两条不同的直线，αβ，表示两个不同的平面，且,m n αβ⊥⊂，则“αβ⊥”是“//m n ”的( )条件. A ．充分不必要 B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要 【答案】B【解析】根据充分必要条件的概念进行判断. 【详解】对于充分性：若αβ⊥，则,m n 可以平行，相交，异面，故充分性不成立； 若//m n ，则,n n αβ⊥⊂，可得αβ⊥，必要性成立. 故选：B 【点睛】本题主要考查空间中线线，线面，面面的位置关系，以及充要条件的判断，考查学生综合运用知识的能力.解决充要条件判断问题，关键是要弄清楚谁是条件，谁是结论. 7．已知排球发球考试规则：每位考生最多可发球三次，若发球成功，则停止发球，否则一直发到3次结束为止．某考生一次发球成功的概率为()01p p <<，发球次数为X ，若X 的数学期望() 1.75E X >，则p 的取值范围为( )A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．70,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．7,112⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】根据题意，分别求出()()()123P X P X P X ===，，，再根据离散型随机变量期望公式进行求解即可 【详解】由题可知1P X p ==，21P X p p ==-，()()()()2323111P X p p p p ==-+-=-，则()()()()()()21232131 1.75E X P X P X P X p p p p =====+-+->+2+3解得5122p p ><或，由()0,1p ∈可得10,2p ⎛∈⎫ ⎪⎝⎭， 答案选A 【点睛】本题考查离散型随机变量期望的求解，易错点为第三次发球分为两种情况：三次都不成功、第三次成功8．已知方程1x x y y +=-表示的曲线为()y f x =的图象，对于函数()y f x =有如下结论：①()f x 在()+-∞∞，上单调递减；②函数()()F x f x x =+至少存在一个零点；③()y f x =的最大值为1；④若函数()g x 和()f x 图象关于原点对称，则()y g x =由方程1y y x x +=所确定；则正确命题序号为( ) A ．①③ B ．②③ C ．①④ D ．②④【答案】C【解析】分四类情况进行讨论，然后画出相对应的图象，由图象可以判断所给命题的真假性. 【详解】（1）当00x y ≥≥，时，221x y +=-，此时不存在图象；（2）当00，x y ≥<时，221-y x =，此时为实轴为y 轴的双曲线一部分； （3）当00，x y <≥时，221x y -=，此时为实轴为x 轴的双曲线一部分；（4）当00，x y <<时，221x y +=，此时为圆心在原点，半径为1的圆的一部分；画出()y f x =的图象，由图象可得：对于①，()f x 在()+-∞∞，上单调递减，所以①正确； 对于②，函数()y f x =与y x =-的图象没有交点，即()()F x f x x =+没有零点，所以②错误；对于③，由函数图象的对称性可知③错误；对于④，函数()g x 和()f x 图象关于原点对称，则1x x y y +=-中用x -代替x ，用y -代替y ，可得1y y x x +=，所以④正确. 故选：C 【点睛】本题主要考查了双曲线的简单几何性质，函数的图象与性质，函数的零点概念，考查了数形结合的数学思想.9．已知三棱柱111ABC A B C -的所有棱长均相等，侧棱1AA ⊥平面ABC ，过1AB 作平面α与1BC 平行，设平面α与平面11ACC A 的交线为l ，记直线l 与直线,,AB BC CA 所成锐角分别为αβγ，，，则这三个角的大小关系为( )A ．αγβ>>B ．αβγ=>C ．γβα>>D ．αβγ>=【答案】B【解析】利用图形作出空间中两直线所成的角，然后利用余弦定理求解即可. 【详解】如图，1111111，D C CC C E AC ==，设O 为11A C 的中点，1O 为11C E 的中点， 由图可知过1AB 且与1BC 平行的平面α为平面11AB D ，所以直线l 即为直线1AD ， 由题易知，11，D AB O CB ∠∠的补角，1D AC ∠分别为αβγ，，， 设三棱柱的棱长为2，在1D AB ∆中，1125225，，D B AB AD ===2212542555cos cos 2225D AB α+-∠==∴=⨯⨯；在1O BC ∆中，111125，，O B BC OC === (221541155cos cos 225O CB β+-∠==∴=⨯⨯； 在1D AC ∆中，114225，，CD AC AD ===155cos cos 5525D AC α∠==∴=， cos cos cos ，αβγαβγ=<∴=>Q .故选：B 【点睛】本题主要考查了空间中两直线所成角的计算，考查了学生的作图，用图能力，体现了学生直观想象的核心素养.10．已知正项数列{}{},n n a b 满足：110n n na ab +=+⎧⎨，设n n ac b =，当34c c +最小时，5c 的值为( )A ．2B ．145C ．3D ．4【答案】B【解析】由1110n n nn n n a a b b a b ++=+⎧⎨=+⎩得11911n nn n a a b b ++=++，即1911n n c c +=++，所以得3433911c c c c +=+++，利用基本不等式求出最小值，得到32c =，再由递推公式求出5c .【详解】由1110n n n n n n a a b b a b ++=+⎧⎨=+⎩得1110109111nn n n n n n n n nn na a ab b a a b a b b b ++++===++++，即1911n n c c +=++， 34339161c c c c ∴+=++≥+，当且仅当32c =时取得最小值， 此时45349914141115，c c c c =+==+=++. 故选：B 【点睛】本题主要考查了数列中的最值问题，递推公式的应用，基本不等式求最值，考查了学生的运算求解能力.二、双空题11．“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月共织九匹三丈．”其白话意译为：“现有一善织布的女子，从第2天开始，每天比前一天多织相同数量的布，第一天织了5尺布，现在一个月（按30天计算）共织布390尺．”则每天增加的数量为____尺，设该女子一个月中第n 天所织布的尺数为n a ，则14151617+++=a a a a ______． 【答案】1652【解析】设从第2天开始,每天比前一天多织d 尺布,由等差数列前n 项和公式求出1629d =,由此利用等差数列通项公式能求出14151617a a a a +++. 【详解】设从第2天开始,每天比前一天多织d 尺布, 则3030293053902S d ⨯=⨯+=, 解得1629d =,即每天增加的数量为1629， 14151617111113141516a a a a a d a d a d a d ∴+++=+++++++ 1458a d =+ 1645585229=⨯+⨯=，故答案为1629，52. 【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列的求和公式，意在考查利用所学知识解决问题的能力，属于中档题.12．已知82(0)ax a⎛+> ⎝的展开式中各项系数之和为256，则a =________，展开式中6x 的系数为________. 【答案】1 70【解析】（1）由题知当1x =时，()81256a +=，解得1a =； （2）可得516218rr r T C x-+=，由51662r -=得4r =，即可得展开式中6x 项的系数. 【详解】（1）由82(0)ax a⎛> ⎝的展开式中各项系数之和为256，所以令1x =时，()81256a +=，解得1a =， （2）又516218rr r TC x-+=，由51662r -=得4r =， 所以展开式中6x 项的系数为4870C =.故答案为：(1). 1 (2). 70 【点睛】运算.13．若实数,x y 满足约束条件1010570x y x y x y -+≥⎧⎪++≥⎨⎪+-≤⎩，则该不等式组表示的平面区域的面积为________，目标函数32z x y =-的最小值为________. 【答案】6 2-【解析】（1）由约束条件画出可行域，然后求出不等式组表示的平面区域的面积； （2）利用目标函数的几何意义，结合图形求其最小值. 【详解】（1）由题意得，该不等式组表示的平面区域是直角三角形及其内部区域（如图中阴影部分所示），顶点分别为()()()1,01,22,3，，A B C --，且2232，，AB AC AB AC ⊥==，所以1223262ABC S ∆=⨯⨯=；（2）又32,032=32,0x y x z x y x y x -≥⎧=-⎨--<⎩，由图知目标函数在点()0,1处取得最小值，所以min 2z =-， 故答案为：(1). 6 (2). 2- 【点睛】本题主要考查二元一次不等式组的平面区域的面积计算，目标函数的最值问题，考查了数形结合的思想.r r r rr r r r r【答案】2 1【解析】（1）2a b +=r r（2）由()b ta b ⊥+r r r 得2()0b ta b ta b b ⋅+=⋅+=r r r ，代入解方程可得t .【详解】（1）22a b +===r r；（2）由()b ta b ⊥+r r 得2()0b ta b ta b b ⋅+=⋅+=，所以10t -=得1t =. 故答案为：(1). 2 (2). 1 【点睛】本题主要考查了向量模的计算，向量垂直的性质运用.三、填空题15．已知椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左右焦点分别为12F F 、，过2(1,0)F 且斜率为1的直线交椭圆于A B 、，若三角形1F AB 2，则该椭圆的离心率为________.1【解析】由题得直线AB 的方程为1x y =+，代入椭圆方程得：()222222220ab y b y b a b +++-=，设点()()1122,,A B x y x y ，，则有2222121222222，b b a b y y y y a b a b--+==++，由12121212F AB S F F y y ∆=⨯⨯-=，且221a b -=解出a ，进而求解出离心率.【详解】由题知，直线AB 的方程为1x y =+，代入22221x y a b+=消x 得：()222222220ab y b y b a b +++-=，设点()()1122,,A B x y x y ，，则有2222121222222，b b a b y y y y a b a b--+==++，12y y∴-===，而12121222112222F ABS F F y ya b∆=⨯⨯-=⨯⨯=+，又221a b-=，解得：a=，所以离心率12cea===.1【点睛】本题主要考查了直线与椭圆的位置关系，三角形面积计算与离心率的求解，考查了学生的运算求解能力16．安排4名男生和4名女生参与完成3项工作，每人参与一项，每项工作至少由1名男生和1名女生完成，则不同的安排方式共有________种（用数字作答）.【答案】1296【解析】先从4个男生选2个一组，将4人分成三组，然后从4个女生选2个一组，将4人分成三组，然后全排列即可.【详解】由于每项工作至少由1名男生和1名女生完成，则先从4个男生选2个一组，将4人分成三组，所以男生的排法共有234336C A=，同理女生的排法共有234336C A=，故不同的安排共有232343431296C A C A⋅=种.故答案为：1296【点睛】本题主要考查了排列组合的应用，考查了学生应用数学解决实际问题的能力.17．已知1()()f x x a a Rx=+-∈，若存在1231,,,,[,2]2nx x x x⋅⋅⋅∈，使得121()()()nf x f x f x-++⋅⋅⋅+()nf x=成立的最大正整数n为6，则a的取值范围为________.【答案】15191321[)(,]81058⋃，【解析】由题意得()()()()min maxmin max56f x f xf x f x⎧≤⎪⎨>⎪⎩，分类讨论作出函数图象，求得最值解不等式组即可.【详解】原问题等价于()()()()min maxmin max56f x f x f x f x ⎧≤⎪⎨>⎪⎩，当2a <时，函数图象如图此时()()min max 522，fx a f x a =-=-， 则()()55225622a a a a⎧-≤-⎪⎪⎨⎪->-⎪⎩，解得：1519810a ≤<； 当924a ≤<时，函数图象如图此时()()min max 502，f x f x a ==-， 则55025602a a⎧⨯≤-⎪⎪⎨⎪⨯>-⎪⎩，解得：a ∈∅；当9542a ≤<时，函数图象如图此时()()min max 02，f x f x a ==-， 则502602a a ⨯≤-⎧⎨⨯>-⎩，解得：a ∈∅；当52a ≥时，函数图象如图此时()()min max 522，f x a f x a =-=-，则55225622a a a a ⎧⎛⎫-≤- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪->- ⎪⎪⎝⎭⎩，解得：132158a <≤； 综上，满足条件a 的取值范围为15191321[)(,]81058⋃，. 故答案为：15191321[)(,]81058⋃， 【点睛】本题主要考查了对勾函数的图象与性质，函数的最值求解，存在性问题的求解等，考查了分类讨论，转化与化归的思想.四、解答题18．已知ABC ∆中，内角,,A B C 所对边分别是,,,a b c 其中2,3a c ==. （1）若角A 为锐角，且3sin 3C =，求sin B 的值； （2）设2()3cos 3cos f C C C C =+，求()f C 的取值范围.【答案】（1）6159；（2）33,322⎡+⎢⎣.【解析】（1）由正弦定理直接可求sin A ，然后运用两角和的正弦公式算出sin B ；（2）化简()3232f C C π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，由余弦定理得22211cos 24a b c C b ab b +-⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，利用基本不等式求出1cos 2C ≥，确定角C 范围，进而求出()f C 的取值范围. 【详解】（1）由正弦定理，得：sin sin a cA C=sin 2sin 3a C A c ∴== sin sin C A ∴<，且A 为锐角cos ,cos 33C A ∴==sin sin()sin cos cos sin B A C A C A C ∴=+=+=（2）()1cos 21323sin 2cos 222222C f C C C C ⎫+=+⨯=++⎪⎪⎭3232C π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭222111cos 242a b c C b ab b +-⎛⎫==+≥ ⎪⎝⎭Q0,3C π⎛⎤∴∈ ⎥⎝⎦233C+πππ⎛⎤∴∈ ⎥⎝⎦，[]sin 20,13C π⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭()33,22f C ⎡∴∈+⎢⎣【点睛】本题主要考查了正余弦定理的应用，基本不等式的应用，三角函数的值域等，考查了学生运算求解能力.19．如图，在四棱锥P ABCD -中，侧棱PA ⊥底面ABCD ，//AD BC ，90ABC ∠=o ，1AD =，2PA AB BC ===，M 是棱PB 中点.（1）已知点E 在棱BC 上，且平面//AME 平面PCD ，试确定点E 的位置并说明理由；（2）设点N 是线段CD 上的动点，当点N 在何处时，直线MN 与平面PAB 所成角最大？并求最大角的正弦值.【答案】（1）E 为BC 中点，理由见解析；（2）当点N 在线段DC 靠近C 的三等分点时，直线MN 与平面PAB 所成角最大，最大角的正弦值357. 【解析】(1)E 为BC 中点,可利用中位线与平行四边形性质证明//ME PC ，//AE DC ，从而证明平面//AME 平面PCD ；（2）以A 为原点，分别以AD ，AB ，AP 所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法求出当点N 在线段DC 靠近C 的三等分点时，直线MN 与平面PAB 所成角最大，并可求出最大角的正弦值. 【详解】（1）E 为BC 中点，证明如下：Q M E 、分别为,PB BC 中点，//ME PC ∴又ME ⊄Q 平面,PDC PC ⊂平面PDC//ME ∴平面PDC又//EC AD Q ，且EC AD =∴四边形EADC 为平行四边形，//AE DC ∴同理，//AE 平面PDC ，又AE ME E ⋂=Q∴平面//AME 平面PDC（2）以A 为原点，分别以AD ，AB ，AP 所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系则(000),(020),(220),(100),(002)A B C D P ，，，，，，，，，，，()011M ，， 设直线MN 与平面PAB 所成角为θ，()01DN DC λλ=≤≤u u u r u u u r则)(1211MN MA AD DN λλ=++=+--u u u u v u u u v u u u v u u u v，， 取平面PAB 的法向量为(1,0,0)n =r则2222(1)sin cos ,523(1)(21)1=MN n λθλλλλ+<>==-+++-+u u u u r r令[]11,2+=t λ∈，则22222(1)1511523523710()125t =t t t tλλλ+=≤-+-+-+ 所以35sin θ≤ 当5233t λ=⇔=时，等号成立 即当点N 在线段DC 靠近C 的三等分点时，直线MN 与平面PAB 所成角最大，最大35. 【点睛】本题主要考查了平面与平面的平行，直线与平面所成角的求解，考查了学生的直观想象与运算求解能力.20．若数列{}n a 前n 项和为{}n S ，且满足()21n n tS a t =--（t 为常数，且0,1t t ≠≠）（1）求数列{}n a 的通项公式：（2）设1n n b S =-，且数列{}n b 为等比数列，令3log n n n c a b =，.求证：1232n c c c ++⋯+<. 【答案】（1）2nn a t =（2）详见解析【解析】（1）利用1n n n a S S -=-可得{}n a 的递推关系，从而可求其通项. （2）由{}n b 为等比数列可得13t =，从而可得{}n c 的通项，利用错位相减法可得{}n c 的前n 项和，利用不等式的性质可证1232n c c c ++⋯+<. 【详解】（1）由题意，得：()21n n tS a t =--（t 为常数，且0,1t t ≠≠）， 当1n =时，得()1121tS a t =--，得12a t =. 由()()11212(2)1n n n n t S a t t S a n t --⎧=-⎪⎪-⎨⎪=-≥⎪-⎩，故()111n n n n n tS S a a a t ---==--，1(2)n n a ta n -∴=≥，故2n n a t =. （2）由()()211221111nn n n t t b S t t t t =-=--=----， 由{}n b 为等比数列可知：2213b b b =，又22312312,122,1222b t b t t b t t t =-=--=---，故()()()2223122121222t t t t t t --=----，化简得到3262t t =，所以13t =或0t =（舍）. 所以，12,33nn n n b a ⎛⎫== ⎪⎝⎭，则3212log 333nn n n n c ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭=. 设{}n c 的前n 项和为n T .则12242333nn nT =++⋯+ 23112423333n n nT +=++⋯+，相减可得1232332232n n n n T c c c +=+++=-<⋅L 【点睛】数列的通项{}n a 与前n 项和n S 的关系式11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，我们常利用这个关系式实现{}n a 与n S 之间的相互转化. 数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法.21．已知抛物线24C y x =：的焦点为F ，准线l 与x 轴交于点M ，点P 在抛物线上，直线PF 与抛物线C 交于另一点A .（1）设直线MP ，MA 的斜率分别为1k ，2k ，求证：12k k +常数；（2）①设PMA ∆的内切圆圆心为(,)G a b 的半径为r ，试用r 表示点G 的横坐标a ； ②当PMA ∆的内切圆的面积为12π时，求直线PA 的方程. 【答案】（1）证明见解析；（2）①24r a =；②34108x y ±-=.【解析】（1）设过F 的直线1x my =+交抛物线于11(,)P x y ，22(,)A x y ，联立24y x =，利用直线的斜率公式和韦达定理表示出12k k +，化简即可；（2）由（1）知点G 在x 轴上，故(),0G a ，设出直线,PA PM 方程，求出交点P 坐标，因为内心到三角形各边的距离相等且均为内切圆半径，列出方程组求解即可. 【详解】（1）设过F 的直线1x my =+交抛物线于11(,)P x y ，22(,)A x y ，(1,0)M -联立方程组214x my y x=+⎧⎨=⎩，得：2440y my --=.于是，有：121244y y my y +=⎧⎨⋅=-⎩ 1212211212121212111y y y x y x y y k k x x x x x x +++∴+=+=+++++， 又12211212121211()()(4)44044y x y x y y y y y y y y m m +++=⋅+++=⋅-⋅+=， 120k k ∴+=；（2）①由（1）知点G 在x 轴上，故(),0G a ，联立,PA PM 的直线方程：11x my x ny =+⎧⎨=-⎩.2,m n P n m n m +⎛⎫∴ ⎪--⎝⎭，又点P 在抛物线24y x =上，得221n m -=，()()()()()22222222211411r m a r r n m a r n a ⎧+=-⎪==⇒⇒-=⎨+=+⎪⎩， 24r a ∴=；②由题得，2211228S r r a ππ==⇒=⇒= （解法一）()22111128+m ⎛⎫⇒=- ⎪⎝⎭m ⇒= 所以直线PA的方程为10x y -= （解法二）设内切圆半径为r，则2r =.设直线PM 的斜率为k ，则： 直线MP 的方程为：(1)y k x =+代入直线PA 的直线方程，可得12(,)11mk kP mk mk+--于是有：221()411k mkmk mk+=⋅--， 得22(1)1k m +=，又由（1）可设内切圆的圆心为(,0).t则2==，即：2222212(1)2(1)1m t k t k ⎧+=-⎨+=+⎩，解得：18t m ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以，直线PA的方程为：10x y ±-=. 【点睛】本题主要考查了抛物线的性质，直线与抛物线相关的综合问题的求解，考查了学生的运算求解与逻辑推理能力.22．已知函数2()ln (0)，f x x bx a x a b R =-+>∈.（1）设2b a =+，若()f x 存在两个极值点1x ，2x ，且121x x ->，求证：12()()34ln 2f x f x ->-；（2）设()()g x xf x =，()g x 在[1,]e 不单调，且124b e a+≤恒成立，求a 的取值范围.（e 为自然对数的底数）. 【答案】（1）证明见解析；（2）⎢⎥⎣⎦. 【解析】（1）先求出()f x '，又由121x x ->可判断出()f x 在1,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故()()212ln 142a a f x f x a -=--，令22a t =>，记()22ln 1h t t t t =--， 利用导数求出()h t 的最小值即可；（2）由()g x 在[]1,e 上不单调转化为()0g x '=在()1,e 上有解，可得23ln 2x a x a b x++=，令()ln 13a a x F x x x a +=++，分类讨论求()F x 的最大值，再求解()max 4F x e ≤即可.【详解】（1）已知22(0),()ln b a a f x x bx a x =+>=-+，(1)(2)()2a x x a f x x b x x--'∴=-+=， 由()0f x '=可得1212a x x ==，， 又由121x x ->,知22a > ()f x ∴在1,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减， ()()()2121ln 1242a a a f x f x f f a ⎛⎫∴-=-=-- ⎪⎝⎭ 令22a t =>，记()22ln 1h t t t t =--，则()22ln 2h t t t '=-- 22(1)()20t h t t t-''∴=-=>()h t '∴在()2+∞，上单调递增； ()(2)2(1ln 2)0h t h ''∴>=->，()h t ∴在()2+∞，上单调递增；()(2)34ln 20h t h -∴>=>，12()()34ln 2f x f x ∴->-（2）32()ln g x x bx ax x =-+，2()32ln g x x bx a x a '∴=-++，()g x Q 在[]1,e 上不单调，()g x '∴在()1,e 上有正有负，()0g x '∴=在()1,e 上有解，23ln 2x a x a b x++∴=，(1,)x e ∈， 124b e a+≤Q 恒成立， 记()ln 13a a x F x x x a +=++，则()2223ln 3ln x a x x F x a x a x -⎛⎫'==- ⎪⎝⎭， 记2ln ()x G x x =，312ln ()x G x x -'∴=，()G x ∴在(上单调增，在)e 上单调减.max 1()2G x G e==于是知（i ）当312a e≥即6a e ≤时，()0F x '≥恒成立，()F x 在()1,e 上单调增， ()2134a F e e e e a ∴=++≤，2220a e a e ∴-+≤，a ≤≤. （ii ）当6a e >时，14F e a =+>=>，故不满足题意.综上所述，a ∈⎢⎥⎣⎦【点睛】本题主要考查了导数的综合应用，考查了分类讨论，转化与化归的思想，考查了学生的运算求解能力.。

浙江省宁波十校2019届高三数学5月适应性考试试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分 (共10题；共40分) 1．（4分）已知集合M={x∈Zlx2-x-6≤0}，N={xl1≤x≤3}，则M∩N=（）A．[1，3）B．[1，3]C．{1，2}D．{1，2，3} 2．（4分）双曲线5y2-4x2=20的渐近线方程是（）A．y=± √52x B．y=± 2√52x C．y=± 45x D．y=± 54x3．（4分）从装有1个黑球，2个白球和2个红球的盒子里随机拿出2个小球，记拿到红球的个数为ξ，则E(ξ）为（）A．45B．35C．25D．3104．（4分）已知△ABC的三个内角分别是A．B，C，p：cosC＞12，g：C∈( 0，π3），则p是q 的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（4分）函数f(x)=(x- 1x)sin2x(-π≤x≤π且x≠0)的图象可能的是（）A．B．C．D．6．（4分）在（x-2)2019的二项展开式中，含x的奇次幂的项之和为M，含x的偶次幂的项之和为N，则当x=-1时，M-N=（）A．（-3）2019 B．-1C．1D．320197．（4分）一个几何体的三视图如图所示（单位：cm)，则该几何体的正视图侧视图体积是（）cm3．A．133B．4+√23C．143D．4+2√238．（4分）已知数列{a n}的通项公式a n=ln(1+（23）n)，其前n项和为S n，且S n<m对任意正整数n 均成立，则正整数m的最小值为（）A．2B．4C．6D．89．（4分）已知函数f(x）= {|x 2−4x−a|+|x2−4x+a2|,0<x≤5x+2a+2,−1≤x≤0，的最小值是a2+a，则实数a的取值范围是（）A．0≤a≤√5−12B．0≤a≤√5−12或a= √5+12C．0≤a≤√5+12D．0≤a≤√5+12或a= 1−√5210．（4分）如图，点P是平面ABC外一点，点D是边AC上的动点（不含端点），且满足PD=PA，PB=BA=BC=2，∠ABC= 2π3，则四面体P-BCD体积的最大值是（）A ．12B ．√33C ．23D ．2√33二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。