初一数学竞赛系列讲座解一次方程(组)与一次不等式(组)教师版

第六讲一次不等式(不等式组)的解法不等式和方程一样，也是代数里的一种重要模型．在概念方面，它与方程很类似，尤其重要的是不等式具有一系列基本性质，而且“数学的基本结果往往是一些不等式而不是等式”．本讲是系统学习不等式的基础．下面先介绍有关一次不等式的基本知识，然后进行例题分析．1．不等式的基本性质这里特别要强调的是在用一个不等于零的数或式子去乘(或去除)不等式时，一定要注意它与等式的类似性质上的差异，即当所乘(或除)的数或式子大于零时，不等号方向不变(性质(5))；当所乘(或除)的数或式子小于零时，不等号方向要改变(性质(6))．2．区间概念在许多情况下，可以用不等式表示数集和点集．如果设a，b为实数，且a＜b，那么(1)满足不等式a＜x＜b的数x的全体叫作一个开区间，记作(a，b)．如图1－4(a)．(2)满足不等式a≤x≤b的数x的全体叫作一个闭区间，记作[a，b]．如图1－4(b)．(3)满足不等式a＜x≤b(或a≤x＜b)的x的全体叫作一个半开半闭区间，记作(a，b](或[a，b))．如图1－4(c)，(d)．3．一次不等式的一般解法一元一次不等式像方程一样，经过移项、合并同类项、整理后，总可以写成下面的标准型：ax ＞b ，或ax ＜b ．为确定起见，下面仅讨论前一种形式． 一元一次不等式ax ＞b ．(3)当a=0时，⎩⎨⎧∞+-∞<>)(00，间表示为，解为任意实数，用区若，无解若b b例1解不等式例2求不等式:的正整数解．例3解不等式例4解不等式例5已知2(x-2)-3(4x-1)=9(1-x)，且y＜x+9，试比较例6解关于x 的不等式：说明对含有字母系数的不等式的解，也要分情况讨论．例7已知a ，b 为实数，若不等式(2a-b)x+3a-4b ＜0的解为x>49，试求不等式(a-4b)x+2a-3b>0的解。

下面举例说明不等式组的解法．不等式组的解是不等式组中所有不等式解的公共部分．若不等式组由两个不等式组成，分别解出每一个不等式，其解总可以归纳成以下四种情况之一(不妨设α＜β)：解分别为：x＞β；x＜α；α＜x＜β；无解．如图1－5(a)，(b)，(c)，(d)所示．若不等式组由两个以上不等式组成，其解可由下面两种方法求得：(1)转化为求两两不等式解的公共部分．如求解(2)不等式组的解一般是个区间，求解的关键是确定区间的上界与下界，如求解确定上界：由x＜4，x＜8，x＜5，x＜2，从4，8，5，2这四个数中选最小的数作为上界，即x＜2．确定下界：由x＞-4，x＞-6，x＞0，x＞-3．从-4，-6，0，-3中选最大的数作为下界，即x＞0．确定好上、下界后，则原不等式组的解为：0＜x＜2．不等式组中不等式的个数越多，(2)越有优越性．例8解不等式组例9解关于x的不等式组练习六1．解下列不等式或不等式组：2．解下列关于x的不等式或不等式组：3．求同时满足不等式4326-≥-x x 和121312<--+xx 的整数解．4. 如果关于x 的不等式（2a-b ）x+a-5b ＞0的解为710<x ，那么关于x 的不等式ax ＞b 的解是什么？。

解一元一次不等式今天我说课的内容是冀教版数学七年级下第10章第3节的第2课时《解一元一次不等式》，下面我就分别从教材、教法、学法、教学过程和板书设计五个方面来说明我对这节课的教学设想。

一、教材分析<一> 教材的地位和作用在前面已学习了一元一次方程的相关知识和不等式的性质，本节课主要是通过类比一元一次方程的解法总结归纳出一元一次不等式的解法，并熟练运用不等式的性质解一元一次不等式。

只有学生掌握好了一元一次不等式的解法，才能更好学习后面的不等式组及不等式（组）的应用。

同时，学习本节课时涉及的类比思想、化归思想对后继学习也是十分有益的，所以本课的教学不能仅仅停留在知识的探索上，更要注重数学方法和数学思想的渗透和传播。

日常生产生活中不等关系的情况常常发生，所以不等式在日常生产生活中的应用很广泛，它与数、式、方程、函数甚至几何图形有着密切的联系，它几乎渗透到初中数学的每一部分。

可见，本节课内容在本章乃至整个初中数学中都具有承上启下的作用，处于一个基础性、工具性的地位，不仅是对已有知识的运用和深化，还为后继学习打下基础。

<二>教学目标根据《课标》要求和上述教材分析，结合学生的实际情况，我制定了以下教学目标：知识与技能1.使学生会一元一次不等式的概念；能解一元一次不等式。

2.在依据不等式的性质探究一元一次不等式的解法过程中，加深化归思想。

过程与方法学生在参与活动过程中，通过联系一元一次方程的解法，自主探索解一元一次不等式的一般步骤，体会数学学习中类比和化归的数学思想。

在数轴上正确表示不等式的解集，加深对数形结合思想方法的理解。

情感态度和价值观在积极参与数学活动的过程中，通过小组之间的竞争，培养学生集体主义情感；通过讨论发言，培养学生勇于发言、合作交流和团结协作的意识和尊重他人的态度以及独立思考的习惯。

<三>教学重难点和教学关键根据上面的教材分析和《课标》要求，确定本节课的教学重点是：正确求一元一次不等式的解集。

七年级数学培优竞赛讲座第14讲__⼀次⽅程组的应⽤第⼗四讲⼀次⽅程组的应⽤⼀次⽅程组是解决许多实际问题的有⼒⼯具，它被⼴泛地应⽤于社会⽣活的多个领域，主要体现在：⾸先，⽤于解代数式的化简与求值问题，⼀些表⾯与⽅程组⽆关的问题，但经过分析，借助有关概念、性质、对问题的理解，我们可通过建⽴⼀次⽅程组来解决．其次，⽤于解应⽤题，对于含有多个未知量的问题，我们运⽤⽅程组求解往往⽐单设⼀个未知数建⽴⼀元⽅程求解容易．⼀般说来，许多应⽤题既可⽤列⽅程来解，⼜可⽤列⽅程组来解，它们有各⾃的优缺点．因此，解题时需具体问题具体分析，当列⽅程⽐较困难时，可改⽤列⽅程组来解决问题．例题【例1】 15234,1032+++=++z y x z y x ，则z y x ++= ． (⼴东省中考题) 思路点拨三个未知数两个等式x 、y 、z 的值不惟⼀确定，不妨视其中⼀个字母为常数，解关于另外两个字母的⽅程组．【例2】⽅程1132=+++--y x y x 的整数解的个数是( )．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 (“五⽺杯”邀请赛试题)思路点拨把1表⽰成两个⾮负整数的和，这两个数只能是0与l ，于是⼀个等式可裂变为两个等式．注：当⽅程的个数少于未知数的个数时，未知数的值不能惟⼀确定，可视某个未知数为常量，实现变量与常量的互相转化，促使问题的解决．本例解法多样，可寻求待等式与已知式的关系，或设k z y x =++，重新联⽴解三元⼀次⽅程组，读者不妨⼀试．【例3】项王故⾥的门票价格规定如下表：某校初⼀甲、⼄两班共103⼈(其中甲班⼈数多于⼄班⼈数)去游项王故⾥，如果两班都以班为单位分别购票，⼀共需付486元．(1)如果两班联合起来，作为⼀个团体购票，则可以节约多少元钱?(2)两班各有多少名学⽣?(宿迁市中考题)思路点拨设甲班有x 名学⽣，⼄班有y 名学⽣，则有以下三种可能情况：51≤x ≤100，1≤y ≤50；51≤x ≤100，5l ≤y ≤100；x>100，1≤y ≤50．故分类讨论是解本例的关键．【例4】某⼯程由甲、⼄两队合做6天完成，⼚家需付甲、⼄两队共8700元；⼄、丙两队合做10天完成，⼚家需⽀付⼄、丙两队共9500元；甲、丙两队合做5天完成全部⼯程的32，⼚家需付甲、丙两队共5500元．现在⼚家要求不超过15天完成全部⼯程，可由哪队单独完成此项⼯程花钱最少?请说明理由． (天津市中考题)思路点拨求出每队⼯作效率及每天需⽀付每队的费⽤，通过计算⽐较，进⾏正确的经济决策．【例5】某果晶商店进⾏组合销售，甲种搭配：2千克A ⽔果，4千克6⽔果；⼄种搭配：3千克A ⽔果．8千克B ⽔果，1千克C ⽔果；丙种搭配：2千克A ⽔果，6千克B ⽔果，l 千克C ⽔果．已知A ⽔果每千克2元，B ⽔果每千克1．2元，C ⽔果每千克10元．某天该商店销售这三种搭配⽔果共441．2元．其中A ⽔果的销售额为116元，问C ⽔果的销售额为多少元? (全国初中数学联赛试题)思路点拨数据多、关系复杂是解本例的难点，运⽤表格可以帮助我们梳理复杂的数量关系，商店每天销售额与甲、⼄、丙三种搭配的销量有关，故不宜直接设元，从求出甲、⼄、丙三种搭配的套数⼈⼿，运⽤整体⽅法求解．注：现代社会信息化社会，各种信息以各种不同的⽅式出现在⼈们⾯前，⽤表格的形式．给出已知信息，是近年中考应⽤题的新特点，解速类问题的关键是：(1)从表头中了解对象，从表列(⾏)中得到数据；(2)处理数据，寻找隐含的规律．在信息化社会，我们时刻⾯对著汹涌⽽来的各种数字、数据，对数据进⾏恰当分析处理，发现规律，作出判断，是现代⼈必备的基本素养．【例6】两辆汽车从同⼀地点同时出发，沿同⼀⽅向同速直线前进，每车最多能带24桶汽油，每桶汽油可以使⼀辆车前进60km ，两车都必须返回出发地点，但可以不同时返回，两车均可以借对⽅的油，为了使⼀辆车尽可能地远离出发点，另⼀辆车应该在离出发点 km 的地⽅返回．思路点拨要使甲车尽量⾛远，应使两车分别时甲车装满24桶汽油，⽽⼄车留下供两车返回时所⽤的油．设从开始出发到分别，甲、⼄车各⽤了x 桶油，则⼄车应留下2x 桶油，并借给甲车x 桶油，使甲车装满24桶油，依据题意，列⽅程x ＋x ＋2x=24．解得x=6．60×6=360(km)．所以，⼄车应在离出发点360km 处返回．注：解应⽤题关键在于挖掘题⽬隐舍的等量关系，⽤来列代数式或建⽴⽅程．【例7】甲、⼄两⼈分别从A 、B 两地同时相向匀速前进，第⼀次相遇在距A 点700m 处，然后继续前进，甲到B 地，⼄到A 地后都⽴即返回，第⼆次相遇在距B 点400m 处，求A 、B 两地间的距离是多少⽶? 思路点拨设A 、B 两地间的距离是xm ，第⼀次相遇甲⾛了700m ，第⼀次相遇后到第⼆次相遇甲⾛了(x —700)+400= (x-300)m ，因为甲、⼄两⼊速度不变，甲、⼄两⼈第⼀次相遇共⾛了xm ，第⼀次相遇后到第⼆次相遇两⼈共⾛了2xm ，所⽤时间是第⼀次相遇所⽤时间的2倍，所以甲第⼀次相遇后到第⼆次相遇所⾛路程应为第⼀次相遇所⾛路程的2倍，即 x-300=2 ×700．解得x=1700m所以，A 、B 两地间的路程是1700 m ．注：弄清以下问题是解题的关键：(1)甲、⼄两⼈从开始到相遇所⽤时间有什么关系?(2)所⾛路程之和是多少?(3)第⼀次相遇后到第⼆次相遇，甲、⼄两⼈所⾛路程之和是多少?(4)所⽤时间是第⼀次相遇时间的⼏倍?【例8】快、慢两列车的长分别为150m ，200m ，相向⾏驶在平⾏轨道上，若坐在慢车上的⼈见快车驶过窗⼝的时间为6s ，问坐在快车上的⼈见慢车驶过窗⼝所⽤的时间是多少?思路点拨设坐在快车上的⼈见慢车驶过窗⼝所⽤的时间为xs ．由于两列车相向⾏驶的相对速度是⼀样的，所以坐在车上看另⼀辆车驶过窗⼝的时间与车长成正⽐，由题意得6：x=150：200．解得x=8(s)答：坐在快车上的⼈看见慢车驶过窗⼝⽤的时间为8s ．【例9】⼩刚骑⾃⾏车沿公路以akm ／min 的速度前进，每隔bmin 迎⾯开来⼀辆公共汽车，每隔cmin(c ＞b)从后⾯开过⼀辆公共汽车．若汽车均为相同的速度，始、终点发车间隔时间相同，求汽车的速度和发车的间隔时间．思路点拨设汽车速度为xkm ／min ，发车的间隔时间为tmin ．依题意有=-=+tx c a x tx b x a )()(，解得??+=-+=c b bc t b c b c a x 2)( 【例10】四⼗只脚的蜈蚣和三个头的龙在同⼀个笼中，共有26个头和298只脚，如果40只脚的蜈蚣思路点拨设蜈蚣和龙的个数分别为x 、y ，三个头的龙的脚数为n ，x 、y 、n 均为正整数．依题意得=+=+)2(29840)1(263 ny x y x ①×40—②得(120—n)y=742，y │742，742=1 ×2×7 ×53，⼜∵3y答：三个头的龙有14只脚．注意题中隐合了条件：只数、脚数均为正整数．【例11】 (重庆市中考题) 某中学新建了⼀栋4层的教学⼤楼，每层楼有8间教室，进出这栋⼤楼共有4道门，其中两道正门⼤⼩相同，两道侧门⼤⼩也相同。

数学竞赛专题讲座七年级第7讲⼀元⼀次⽅程（含答案）第七讲⼀元⼀次⽅程早在300多年前法国数学家笛卡尔有⼀个伟⼤的设想：⾸先把宇宙万物的所有问题都转化为数学问题；其次，把所有的数学问题转化为代数问题；最后，把所有的代数问题转化为解⽅程．虽然笛卡尔“伟⼤设想”没有实现，但是充分说明了⽅程的重要性．⼀元⼀次⽅程（linear equation with one unknown ）是代数⽅程中最基础的部分，是后续学习的基础，其基本内容包括：解⽅程、⽅程的解及其讨论．解⼀元⼀次⽅程有⼀般程序化的步骤，我们在解⼀元⼀次⽅程时，既要学会按部就班(严格按步骤)地解⽅程，⼜要能随机应变(灵活打乱步骤)解⽅程．当⽅程中的系数是⽤字母表⽰时，这样的⽅程叫含字母系数的⽅程，含字母系数的⼀元⼀次⽅程总可以化为b ax =的形式，继续求解时，⼀般要对字母系数a 、b 进⾏讨论：1．当0≠a 时，⽅程有惟⼀解ab x =；2．当0,0≠=b a 时，⽅程⽆解； 3．当0,0==b a 时，⽅程有⽆数个解．如果其他⼈也像我⼀样不迷信权威，持久⽽深⼊地探索数学真理，那么他们也将做出我所做的发现．——C ．F ．⾼斯C ．F ．⾼斯（1777-1855），著名的德国数学家，在代数、⼏何和近代数论等数学领域中做过许多开创性的⼯作．例题讲解【例1】(1)已知关于x 的⽅程x a x x 4)3(23=--和1851123=--+x a x 有相同的解，那么这个解是． (北京市“迎春杯”竞赛题)（2）如果20042003)1(11216121=+++++n n ，那么n ＝． (江苏省竞赛题) 思路点拨 (1)设法建⽴关于a 等式，再解关于a 的⽅程求出a 的值；(2)恰当地解关于n 的⼀元⼀次⽅程．链接：对于⼀般解题步骤与解题技巧来说，前者是通法，后者是技巧；前者是基础，后者是机智．只有真正掌握⼀般步骤，才能“熟能⽣巧”．⽅程的解是⽅程理论中的⼀个重要概念，解题中要学会从两个⽅⾯去应⽤：(1)求解：通过解⽅程，求出⽅程的解进⽽解决问题； (2)代解：将⽅程的解代⼊原⽅程进⾏解题．【例2】当1=b 时，关于x 的⽅程78)32()23(-=-+-x x b x a 有⽆数多个解，则a 等于( )．A ．2B ．2-C ．32- D ．不存在 (“希望杯”邀请赛试题)思路点拨将1=b 代⼈原⽅程，整理所得⽅程，就⽅程解的个数情况建⽴a 的等式．【例3】是否存在整数k ，使关于x 的⽅程x x k 516)5(-=+-；在整数范围内有解?并求出各个解．思路点拨把⽅程的解x ⽤k 的代数式表⽰，利⽤整除的知识求出k ．【例4】解下列关于x 的⽅程． (1)84-=+ax b x ； (4≠a ) (2)nx mx =-1； (3))2(41)(31m x n x m +=-．思路点拨⾸先将⽅程化为b ax +的形式，然后注意每个⽅程中字母系数可能取值的情况进⾏讨论．【例5】已知q p 、都是质数，并且以x 为未知数的⼀元⼀次⽅程975=+q px 的解是1，求代数式410140++q p 的值． (“希望杯”邀请赛试题)思路点拨⽤代解法可得到q p 、的关系式，进⽽综合运⽤整数相关知识分析．链接：同⼀个⽅程在不同的数集范围内求解，其解集往往是不同的．对于含字母系数的⽅程，我们不但可讨论⽅程根的个数，⽽且还可以探求解的性态，如整数解、正数解，负数解，解这类问题，常常要⽤到整数知识、枚举、分类讨论等⽅法。