椭圆上一点P处的切线平分焦点三角形外角的证明

解法探究２０２３年７月上半月㊀㊀㊀高中数学角平分线相关问题的解法探究◉南京市金陵中学河西分校㊀王金辉㊀㊀摘要:思维是数学素养的灵魂,方法是数学学习的法宝．在高三数学一轮复习中,不少学生在解决与角平分线有关的解三角形㊁平面向量和解析几何等问题时,感觉困难重重,本文中通过四种常用解法的讲解,梳理了与角平分线相关的几种题型,帮助学生建构思维系统,提升数学核心素养．关键词:高中数学;核心素养;角平分线㊀㊀角平分线作为刻画三角形的一个重要要素,在高中数学解三角形㊁平面向量㊁解析几何等问题中常有出现．本文中尝试用微专题的方式,从等面积法㊁向量的线性运算和数量积运算㊁角平分线的性质和几何对称性等方面展开思考,对学生解决相关问题有明显的指导作用．１利用等面积法求解角平分线长在解三角形中,经常遇到与角平分线长度相关的问题,等面积法是一种常用且简便的方法．例１㊀(２０２２南京师大附中模拟预测 １４)在әA B C 中,A C ＝２,A B ＝１,点D 为B C 边上的点,A D是øB A C 的角平分线,则A D 的取值范围㊀㊀㊀㊀．分析:本题涉及三角形的两边及夹角,求该角的角平分线长,可以考虑由三个三角形的面积建立等量关系,求出角平分线长度的表达式．解:设øB A D ＝øC A D ＝θ,则øB A C ＝２θ,且θɪ(０,π２)．由S әA B D ＋S әA C D ＝S әA B C ,得１２A B A D s i n θ＋１２A C A D s i n θ＝１２A B A C s i n ２θ．所以３A D s i n θ＝２s i n ２θ,即A D ＝４c o s θ３．故A D 的取值范围是(０,４３)．变式㊀在әA B C 中,A C ＝２,A B ＝１,点D 为B C 边上的点,A D 三等分øB A C ,D 靠近点B ,则A D 的取值范围是㊀㊀㊀㊀．分析:将例１的平分角改编为三等分角,依然涉及三角形的两边及夹角,考虑由三个三角形的面积建立等量关系,结合二倍角公式和三倍角公式的应用,求出三等分角的平分线长度的表达式．解:设øA B D ＝α,øA C D ＝２α,则øB A C ＝３α．由０＜３α＜π,得αɪ(０,π３)．由S әA B D ＋S әA C D ＝S әA B C ,得１２|A B | |A D | s i n α＋１２|A C | |A D | s i n ２α＝１２|A B | |A C | s i n ３α．解得|A D |＝２s i n ３αs i n α＋２s i n ２α＝２(４c o s ２α－１)１＋４c o s α．令t ＝１＋４c o s α,t ɪ(３,５),则|A D |＝１２(t －３t－２)．设f (t )＝１２(t －３t－２),则f (t )在(３,５)单调递增．又t ＝３时,f (３)＝１２(３－３３－２)＝０;t ＝５时,f (５)＝１２(５－３５－２)＝６５．所以A D 的取值范围为(０,６５)．点评:例１和变式均为等分角的等分线长度相关问题,通过等面积法寻找等量关系,再结合三角函数及解三角形等相关知识解决．当然,如果对两个分角任意赋值,不一定n 等分角,但等面积法依然适用,它是这一类问题的常用方法．２利用角平分线的对称性解题角的一边上任一点关于角平分线的对称点一定在角的另一条边上．利用这一对称性质可以巧妙解决解析几何中与角平分线相关的一类问题．例２㊀已知三角形的一个顶点A (４,－１),它的两条内角平分线所在的直线方程分别为l １:x －y －１＝０和l ２:x －１＝０,则B C 边所在直线的方程为㊀㊀㊀㊀．分析:利用三角形的顶点A 关于另外两个顶点的内角平分线的对称点均在B C 上,可求出B C 上两个点的坐标,进而求出直线B C 的方程．解:易知点A 不在l １和l ２上．因为l １,l ２为øB ,øC 的平分线,所以点A 关于l １,l ２的对称点均在BC ０７Copyright ©博看网. All Rights Reserved.２０２３年７月上半月㊀解法探究㊀㊀㊀㊀边所在的直线上．易求得点A 关于l １的对称点为A １(０,３),点A 关于l ２的对称点为A ２(－２,－１)．所以B C 边所在直线的方程为y －３－１－３＝x －０－２－０,即２x －y ＋３＝０．例３㊀(２０２２深圳高二期末 ７)已知F １,F ２分别为椭圆x ２４＋y ２３＝１的左㊁右焦点,P 为椭圆上除左右顶点外的任一点,P T 为әF １P F ２的外角平分线,F ２T ʅP T ,求点T 的轨迹方程．分析:利用三角形的顶点F ２关于外角平分线的对称点在F １P 的延长线上,结合椭圆的定义,可求出M F １为定长,进而得出中位线O T 为定长．图１解:如图１所示,延长F ２T 交F １P 的延长线于点M ．因为P T 为øF １P F ２的外角平分线,F ２T ʅP T ,所以由对称性可得P F ２＝P M ,T F ２＝T M ．由椭圆的定义,得M F １＝P F １＋P M ＝P F １＋P F ２＝４．又T 为F ２M 的中点,O 为F １F ２的中点,所以在әF １F ２M 中,O T ＝１２M F １＝２．故点T 的轨迹方程是x ２＋y ２＝４(y ʂ０)．点评:对称性是角平分线的重要几何性质,在解三角形和解析几何问题中,利用这个性质,结合圆锥曲线的相关定义,可以解决许多点㊁直线㊁圆和圆锥曲线的相关问题．３利用三角形内角平分线定理 解题三角形内角平分线定理:在әA B C 中,øA 的平分线交B C 于点D ,则有B D D C ＝A BA C ．(苏教版高中数学教材必修二第９３页例５．)例４㊀[山西吕梁２０２２届高三模拟(一)理 １０]已知抛物线C :x ２＝４y 的焦点为F ,C 的准线与对称轴交于点D ,过D 的直线l 与C 交于A ,B 两点,且A B ң＝mB D ң(m ＞０),若F B 为øD F A 的角平分线,则B F ＝(㊀㊀)．A．m ㊀㊀B ．２m m ＋１㊀㊀C ．２m ＋１m ㊀㊀D．m ＋１２m分析:利用 三角形内角平分线定理 ,结合抛物线的定义和相似三角形的相似比,可巧妙地将线段的比例关系梳理清楚,进而问题得到解决．解:抛物线C :x ２＝４y ,则F (０,１),D (０,－１),所以D F ＝２．过点A ,B 分别作准线的垂线,垂足分别为A １,B １,如图２,则B B １ʊA A １．因为F B 为øD FA图２的平分线,则有A BB D＝A F D F ,又AB ң＝m B D ң,所以A F D F ＝A BB D＝m ．于是A A １＝A F ＝m D F ＝２m ．又B B １A A １＝D B D A ＝１m ＋１,所以B F ＝B B １＝１m ＋１A A １＝２mm ＋１．故选:B ．点评: 三角形内角平分线定理 是解决定比分点相关问题的常用知识点,熟练使用这个定理,结合解析几何中圆锥曲线的定义㊁方程和几何性质,在解决有关解三角形㊁解析几何等问题时可提速增效．４利用平面向量解决角平分线相关问题平面向量作为数学解题的工具,在很多领域有广泛应用．其中,单位向量㊁向量的数量积不仅是高中数学向量教学的重点和难点,有时在解决三角形的角平分线相关问题时也有巧妙的应用．例５㊀(２０２２厦门一中高一阶段测试 １６)已知әA B C ,D 为线段A C 上一点,B D 是øA B C 的角平分线,I 为直线B D 上一点,满足A I ң＝λ(A C ңA Cң－A B ңA Bң)(λ＞０),C A ң＋C B ң＝６,C A ң－C B ң＝２,则B I ң B A ң＝㊀㊀㊀㊀．分析:两个单位向量的和向量与差向量分别对应以这两个向量所在线段为邻边的菱形的两条对角线,利用菱形对角线互相垂直且平分对角的特征,得到两条角平分线交点为三角形旁心的结论,再结合平面向量数量积的几何意义可破解该题．图３解:如图３所示,由A C ңA C ң,A B ңA Bң为AC ң,A B ң方向上的单位向量,易知A I 是øB A C 外角的角平分线,又B D 是øA B C 的角平分线,即I 为әA B C 的旁心．作I O ʅB A ,垂足为点O ,由C A ң＋C B ң＝６,C A ң－C B ң＝B A ң＝２,可得B O ң＝１２(A B ң＋A C ң＋B C ң)＝４．由数量积的几何意义,可得１７Copyright ©博看网. All Rights Reserved.解法探究２０２３年７月上半月㊀㊀㊀B I ң B A ң＝B A ң B O ң＝２ˑ４ˑc o s ０＝８．例６㊀(山东实验中学２０１９届高三二模理 ２０改编)设椭圆C :x２４＋y ２＝１的左㊁右焦点分别为F １,F ２,M 为椭圆C 上异于长轴端点的一点,øF １M F ２＝２θ,әMF １F ２的内心为I ,则M I ң M F １ң＋M I ң M F ２ң＝㊀㊀㊀㊀．分析:三角形的内心是其角平分线的交点,且过圆外一点作内切圆的两条切线,切线长相等;结合椭圆的定义,可得切线长|M A |,再利用平面向量数量积的几何意义,轻松破解．解:由题意,可得|M F １|＋|M F ２|＝４,|F １F ２|＝２３．图４设圆I 与M F １,M F ２分别切于点A ,B ,连接I A ,I B ,如图４．根据切线长定理,可得|F １F ２|＝|F １A |＋|F ２B |＝２３．又|M F １|＋|M F ２|＝４,所以|M A |＝|M B |＝４－２３２＝２－３．由平面向量数量积的几何意义,可得M I ң M F １ң＋M I ң M F ２ң＝M A ң M F １ң＋M B ң M F ２ң＝|M A | |M F １|＋|M B | |M F ２|＝４(２－３)．点评:结合菱形的对角线平分对角这一特点,可以将 三角形角平分线定理 和向量问题有机结合起来,考查学生综合应用知识的能力;利用三角形内角平分线定理和向量数量积的几何意义,结合解析几何中相关定义㊁几何性质,对学生的数学综合能力提出了更高的要求．合理构建知识结构,熟练使用常用规律和方法,是解决这类问题的良好途径．５综合应用例７㊀(湖南衡阳２０２２届高三下学期二模 １１)已知F １,F ２分别是双曲线C :x ２－y ２２＝１的左㊁右焦点,点P 为C 在第一象限上的点,点M 在F １P 的延长线上,点Q 的坐标为(３３,０),且P Q 为øF １P F ２的平分线,则下列正确的是(㊀㊀)．A．|P F １||P F ２|＝２B ．øF ２P M 的角平分线所在直线的倾斜角为１５０ʎC ．әF １PF ２的内心坐标为(１,２－１)D．P Q 与双曲线相切解:在双曲线C 中,a ＝１,b ＝２,则c ＝３．因为F １(－３,０),F ２(３,０),所以|Q F １|＝４３３,|Q F ２|＝２３３．于是|P F １||P F ２|＝|Q F １||Q F ２|＝２,故选项A 正确．由|P F １|＝２|P F ２|,|P F １|－|P F ２|＝２,{得|P F １|＝４,|P F ２|＝２．{设点P 的坐标为(x ０,y ０)(x ０＞０,y ０＞０),则由x ２０－y ２０２＝１,(x ０－３)２＋y ２０＝４,ìîíïïï解得x ０＝３,y ０＝２．{图５如图５,设øF ２P M 的角平分线交x 轴于点N ,则得到øQ P F ２＋øN P F ２＝１２(øF １P F ２＋øF ２P M )＝９０ʎ,所以P N ʅP Q ．由k P Q ＝３,可得k P N ＝－１k P Q ＝－３３．所以øF ２P M 的角平分线所在直线的倾斜角为１５０ʎ,故选项B 正确．设әF １P F ２的内切圆H 与三边分别切于点R ,S ,T ,如图５,由内切圆性质,得|P R |＝|P T |,|R F １|＝|F １S |,|F ２T |＝|F ２S |,则|P F １|－|P F ２|＝|S F １|－|S F ２|＝２a ．设H (x ０．y ０),则S (x ０,０),|S F １|－|S F ２|＝x ０－(－３)[]－(３－x ０)＝２x ０＝２a ．所以x ０＝a ＝１,即H (１,y ０),代入直线P Q 的方程y ＝３x －１中,得H (１,３－１),故选项C 错误．联立y ＝３x －１,x ２－１２y ２＝１,ìîíïïï得x ２－２３x ＋３＝０．由D ＝０可知,直线P Q 与双曲线相切,故选项D 正确．故选:A B D ．点评:该题综合应用 角平分线定理 ㊁内外角平分线互相垂直的性质研究了双曲线的焦点三角形内心的特点,验证了圆锥曲线的光学性质从双曲线的一个焦点发出的光线,经双曲线反射后,反射光线的反向延长线过双曲线的另一个焦点．由此可得,过双曲线上任意一点的切线,平分该点与两焦点连线的夹角．本题综合性较强,是圆锥曲线中融合角平分线问题的典型例子．在新高考背景下,新课程强调对学生核心素养的培养．在高三数学一轮复习中,通过穿插微专题的方式,针对三角形角平分线的相关问题,深入探讨相关题型,多视角㊁多策略地处理一类问题,可以调动学生学习的积极性,帮助学生发现一类问题的解决方向和策略,构建完整的知识系统,从而培养学生良好的思维品质,提高分析问题和解决问题的能力．Z２７Copyright ©博看网. 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新梦想教育辅导讲义=4∠='90AC BA FB=;''90p+=2AOB15. 'C F AB ⊥；16.2AB P ≥；17.11'('')22CC AB AA BB ==+； 18.AB 3P K =y ；19.2p 22y tan =x -α;20.2A'B'4AF BF =⋅;21.1C'F A'B'2=.切线方程()x x m y y +=00性质深究一)焦点弦与切线1、 过抛物线焦点弦的两端点作抛物线的切线，两切线交点位置有何特殊之处结论1：交点在准线上先猜后证：当弦x AB ⊥轴时，则点P 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛-0,2p 在准线上．结论2 切线交点与弦中点连线平行于对称轴结论3 弦AB 不过焦点即切线交点P 不在准线上时，切线交点与弦中点的连线也平行于对称轴．2、上述命题的逆命题是否成立结论4 过抛物线准线上任一点作抛物线的切线，则过两切点的弦必过焦点 先猜后证：过准线与x 轴的交点作抛物线的切线，则过两切点AB 的弦必过焦点． 结论5过准线上任一点作抛物线的切线，过两切点的弦最短时，即为通径．3、AB 是抛物线px y 22=（p ＞0）焦点弦，Q 是AB 的中点，l 是抛物线的准线，l AA ⊥1，l BB ⊥1，过A ，B 的切线相交于P ，PQ 与抛物线交于点M ．则有结论6PA ⊥PB ． 结论7PF ⊥AB ．教学主管意见：家长签字： ___________新梦想教务处。

圆锥曲线的经典结论一、椭圆1.点 P 处的切线 PT平分△ PF1F2 在点 P 处的外角 . （椭圆的光学性质）2.PT 平分△ PF1F2 在点 P处的外角，则焦点在直线 PT 上的射影 H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点 . （中位线）3.以焦点弦 PQ为直径的圆必与对应准线相离 . 以焦点半径 PF1 为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切 . （第二定义）4.若 P0 ( x0,y0 )x2y21x0 x y0 y1.（求在椭圆b2上，则过 P0的椭圆的切线方程是b2a2a2导）5.若 P0 ( x0,y0 )x2y21外，则过 Po 作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点在椭圆b2a2弦 P1P2 的直线方程是x0x y0 y 1. （结合 4）a2b26.椭圆 x2y2 1 (a ＞ b ＞ 0) 的左右焦点分别为F1 ， F 2 ，点 P 为椭圆上任意一点a2b2F1 PF2，则椭圆的焦点角形的面积为S F1PF2b2 tan . （余弦定理 +面积公式 +2半角公式）7.x2y21（ a＞ b＞ 0）的焦半径公式：椭圆2 b2a|MF1| a ex0 , | MF2 | a ex0 (F1 ( c,0) , F2 (c,0) M ( x0 , y0 ) ). （第二定义）8.设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交P 、 Q两点， A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点 F 的椭圆准线于M、 N两点，则M F⊥ NF9. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P、Q, A1、 A2 为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q交于点 M，A2P 和 A1Q交于点 N，则 MF⊥ NF. MN 其实就在准线上，下面证明他在准线上根据第 8 条，证毕10. AB 是椭圆x2 y21 的不平行于对称轴的弦， M(x0 , y0 ) 为 AB 的中点，则a2 b2k OM k ABb2a2 ，即K AB b2x0 。

椭圆与双曲线的对偶性质总结椭圆1. 点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角.2. PT平分△PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 若在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是.6. 若在椭圆外，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是.7. 椭圆(a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F 2，点P为椭圆上任意一点，则椭圆的焦点角形的面积为.8. 椭圆（a＞b＞0）的焦半径公式：,(,).9. 设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MF⊥NF.10. 过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.11. AB是椭圆的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则，即。

12. 若在椭圆内，则被Po所平分的中点弦的方程是.13. 若在椭圆内，则过Po的弦中点的轨迹方程是.双曲线1. 点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的内角.2. PT平分△PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P在右支；外切：P在左支）5. 若在双曲线（a＞0,b＞0）上，则过的双曲线的切线方程是.6. 若在双曲线（a＞0,b＞0）外，则过Po作双曲线的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是.7. 双曲线（a＞0,b＞o）的左右焦点分别为F1，F 2，点P为双曲线上任意一点，则双曲线的焦点角形的面积为.8. 双曲线（a＞0,b＞o）的焦半径公式：(,当在右支上时，,.当在左支上时，,9. 设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交 P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点，则MF⊥NF.10. 过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q, A1、A2为双曲线实轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.11. AB是双曲线（a＞0,b＞0）的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则，即。