初三周末班提高班第七讲

第七讲 圆的基本概念及性质

一【知识梳理】

1.圆的有关概念和性质

(1) 圆的有关概念

①圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，其中定点为圆心，定长为半径． ②弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧． ③弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径．

（2）圆的有关性质：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线；圆是中心对称图形，对称中心为圆心．

②垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．

推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．

③弧、弦、圆心角的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．

推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；直径所对的圆周角是直角；90”的圆周角所对的弦是直径．

④三角形的内心和外心

ⓐ：确定圆的条件：同一直线上的三个点确定一个圆．

ⓑ：三角形的外心：三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心就是三角形三边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．

ⓒ：三角形的内心：和三角形的三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心

2.与圆有关的角

（1）圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角。圆心角的度数等于它所对的弧的度数．

（2）圆周角：顶点在圆上，两边分别和圆相交的角，叫圆周角。圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半．

（3）圆心角与圆周角的关系：

同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． （4）圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形．

圆内接四边形对角互补，它的一个外角等于它相邻内角的对角．

3.正多边形和圆

（1）通过等分圆画正多边形。（等分圆心角；懂得正三、六；

正四、八边形的特殊画法）

（2）外接于圆的正多边形的有关概念：正多边形的中心、

半径、中心角、边心距；

（3）如图，正n边形的有关计算要抓住2n个Rt△OPB，∠B等

于正n边形内角的一半，∠BOP=nn1802360，BP等于正多边形的边长的一半。

一般地，关于正多边形计算的问题都转化为直角三角形的问题。（“转化”是解决问题的一种重要的思想方法，化繁为简、化难为易、化抽象为形象、化未知为已知…如：用“换元法”解方程、解方程中的 ‘消元降次’思想、把多边性的内角和转化为三角形来研究、借助图表分析应用题中的数量关系等）

方法技巧：

1.分类讨论解决圆的问题，防止漏解。如一条弦所对的圆周角有两种，所以同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等或互补。圆内两条平行的弦与圆心的位置关系有两种。

2.圆中常作的辅助线：作半径、弦心距、直径所对的圆周角、经过切点作半径、过圆心作切线的垂线、两圆相交时的公共弦、连心线等。

【典型例题】

例1. 如图，CD为圆O的直径，∠EOD=72°，AE交圆O于点B，且AB=OC，求∠A的度数。

例2. 已知梯形ABCD内接于⊙O，AB∥CD，⊙O的半径为4，AB＝6，CD＝2，求梯形ABCD的面积。

O

r R

A P B

变式训练：直径为50cm的圆中，有两条相互平行的弦AB、CD，且AB=30cm，CD=40cm，求AB和CD之间的距离。

例3、如图1和图2，MN是⊙O的直径，弦AB、CD•相交于MN上的一点P，∠APM=∠CPM．

（1）由以上条件，你认为AB和CD大小关系是什么，请说明理由．

（2）若交点P在⊙O的外部，上述结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由．

BACEDPONMF

(1) (2)

例4、如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，OD⊥BC于E，交BC于D．

(1)请写出五个不同类型的正确结论；

(2)若BC=8，ED＝2，求⊙O的半径．

BACEDPNMF变式训练：1、如图7-8，ABCD是⊙O1的内接矩形，边AB平行y轴，且AB∶BC=3∶4，已知⊙O1 的半径为5，圆心O1的坐标是（10，10），矩形四个顶点A、B、C、D的坐标是A______;B______;C______;D_______.

2、如图7-12，圆管内，原有积水平面宽CD=10厘米，水深GF=1厘米，后水面上升1厘米（即EG=1厘米），问：些时水面宽AB为多少?

例5、如图半圆内两正方形相邻。小正方形面积为16，求圆半径。

变式训练：如图所示MN=10，ABCD为正方形，∠POM=45°。求AB长度。

例6、某地有圆形拱桥，桥下睡眠宽为7.2米，拱高出水面2.4米。现有一船宽3米，顶部为正方形，并高出水面2米的货船要经过这里，请问船能否顺利通过，并说明理由。

变式训练：公路AB，CD交于P点，且∠QPN=30°，南充其中位于点A处，AP=160米，假设拖拉机在MN上行驶，周围100米内会受到噪声影响，学校是否会受到影响？请说明理由。若会受到影响，时间是多长？已知拖拉机速度为18Km/h。