初中数学几何最值问题综合测试卷(含答案)

专题十一 几何、代数最值问题类型1 利用对称、线段公理求最小值1．(2017·临沂)如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y ＝k x (x ＞0)的图象与边长是6的正方形OABC 的两边AB ，BC 分别相交于M ，N 两点，△OMN 的面积为10.若动点P 在x 轴上，则PM ＋PN 的最小值是( C )A ．6 2B ．10C ．226D ．229解：由已知得M(6，k 6)，N(k 6，6)，∴BN ＝6－k 6，BM ＝6－k 6，∵△OMN 的面积为：6×6－12×6×k 6－12×6×k 6－12×(6－k 6)2＝10，∴k ＝24，∴M(6，4)，N(4，6)，作M 关于x 轴的对称点M′，连接NM′交x 轴于P ，则NM′的长＝PM ＋PN 的最小值，∵AM ＝AM′＝4，∴BM′＝10，BN ＝2，∴NM′＝BM′2＋BN 2＝102＋22＝226.2．(2017·枣庄)如图，直线y ＝23x ＋4与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B ，点C 、D 分别为线段AB 、OB 的中点，点P 为OA 上一动点，PC ＋PD 值最小时点P 的坐标为( C )A ．(－3，0)B ．(－6，0)C ．(－32，0)D ．(－52，0) 解：(方法一)作点D 关于x 轴的对称点D′，连接CD′交x 轴于点P ，此时PC ＋PD 值最小，如图1所示．可求点B(0，4)；A(－6，0)．∵点C 、D 分别为线段AB 、OB 的中点，∴点C(－3，2)，点D(0，2)．∵点D′和点D 关于x 轴对称，∴点D′的坐标为(0，－2)．设直线CD′的解析式为y ＝kx ＋b ，∵直线CD′过点C(－3，2)，D′(0，－2)，可求CD′的解析式为y ＝－43x －2.令y ＝－43x －2中y ＝0，则0＝－43x －2，解得：x ＝－32，∴点P(－32，0)．(方法二)连接CD ，作点D 关于x 轴的对称点D′，连接CD′交x 轴于点P ，此时PC ＋PD 值最小，如图2所示．3．(2017·贵港)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，将△ABC 绕顶点C 逆时针旋转得到△A′B′C ，M 是BC 的中点，P 是A′B′的中点，连接PM.若BC ＝2，∠BAC ＝30°，则线段PM 的最大值是( B )A ．4B ．3C ．2D ．1解：如图连接PC .在Rt △ABC 中，∵∠A ＝30°，BC ＝2，∴AB ＝4，根据旋转不变性可知，A ′B ′＝AB ＝4，∴A ′P ＝PB ′，∴PC ＝12A ′B ′＝2，∵CM ＝BM ＝1，又∵PM ≤PC ＋CM ，即PM ≤3，∴PM 的最大值为3(此时P 、C 、M 共线)．4．(2017·菏泽)如图，矩形ABOC 的顶点A 的坐标为(－4，5)，D 是OB 的中点，E 是OC 上的一点，当△ADE 的周长最小时，点E 的坐标是( B )A ．(0，43)B ．(0，53)C ．(0，2)D ．(0，103)解：作A 关于y 轴的对称点A ′，连接A ′D 交y 轴于E ，则此时，△ADE 的周长最小，∵四边形ABOC 是矩形，∴AC ∥OB ，AC ＝OB ，∵A 的坐标为(－4，5)，∴A ′(4，5)，B (－4，0)，∵D 是OB 的中点，∴D (－2，0)，设直线DA ′的解析式为y ＝kx ＋b ，可求直线DA ′的解析式为y ＝56x ＋53，当x ＝0时，y ＝53，∴E (0，53)．5．(2017·天水)如图所示，正方形ABCD 的边长为4，E 是边BC 上的一点，且BE ＝1，P 是对角线AC 上的一动点，连接PB 、PE ，当点P 在AC 上运动时，△PBE 周长的最小值是__6__．解：连接DE 于AC 交于点P′，连接BP′，则此时△BP′E 的周长就是△PBE 周长的最小值，∵BE ＝1，BC ＝CD ＝4，∴CE ＝3，DE ＝5，∴BP′＋P′E ＝DE ＝5，∴△PBE 周长的最小值是5＋1＝6.6．(2017·徐州)如图，将边长为6的正三角形纸片ABC 按如下顺序进行两次折叠，展平后，得折痕AD ，BE(如图1)，点O 为其交点．(1)探求AO 与OD 的数量关系，并说明理由；(2)如图2，若P ，N 分别为BE ，BC 上的动点．①当PN ＋PD 的长度取得最小值时，求BP 的长度；②如图3，若点Q 在线段BO 上，BQ ＝1，则QN ＋NP ＋PD 的最小值＝__10__．解：(1)AO ＝2OD ，理由：∵△ABC 是等边三角形，∴∠BAO ＝∠ABO ＝∠OBD ＝30°，∴AO ＝OB ，∵BD ＝CD ，∴AD ⊥BC ，∴∠BDO ＝90°，∴OB ＝2OD ，∴OA ＝2OD ；(2)如图2，作点D 关于BE 的对称点D′，过D′作D′N ⊥BC 于N 交BE 于P ，则此时PN＋PD 的长度取得最小值，∵BE 垂直平分DD′，∴BD ＝BD′，∵∠ABC ＝60°，∴△BDD′是等边三角形，∴BN ＝12BD ＝32，∵∠PBN ＝30°，∴BN PB ＝32，∴PB ＝3；(3)如图3，作Q 关于BC 的对称点Q′，作D 关于BE 的对称点D′，连接Q′D′，则D′Q′的长度即为QN ＋NP ＋PD 的最小值．在Rt △D′BQ′中，D′Q′＝32＋12＝10.∴QN ＋NP ＋PD 的最小值＝10.类型2 利用函数性质求最值7．(2017·济宁)已知函数y ＝mx 2－(2m －5)x ＋m －2的图象与x 轴有两个公共点．(1)求m 的取值范围，并写出当m 取范围内最大整数时函数的解析式；(2)题(1)中求得的函数记为C 1，①当n ≤x ≤－1时，y 的取值范围是1≤y ≤－3n ，求n 的值；②函数C 2：y ＝m(x －h)2＋k 的图象由函数C 1的图象平移得到，其顶点P 落在以原点为圆心，半径为5的圆内或圆上，设函数C 1的图象顶点为M ，求点P 与点M 距离最大时函数C 2的解析式．解：(1)∵函数图象与x 轴有两个交点，∴m ≠0且[－(2m －5)]2－4m(m －2)＞0，解得：m ＜2512且m ≠0.∵m 为符合条件的最大整数，∴m ＝2.∴函数的解析式为y ＝2x 2＋x. (2)抛物线的对称轴为x ＝－b 2a ＝－14.∵n ≤x ≤－1＜－14，a ＝2＞0，∴当n ≤x ≤－1时，y 随x 的增大而减小．∴当x ＝n 时，y ＝－3n.∴2n 2＋n ＝－3n ，解得n ＝－2或n ＝0(舍去)．∴n 的值为－2.(3)∵y ＝2x 2＋x ＝2(x ＋14)2－18，∴M(－14，－18)．如图所示：当点P 在OM 与⊙O 的交点处时，PM 有最大值．设直线OM 的解析式为y ＝kx ，将点M 的坐标代入解得：k ＝12.∴OM 的解析式为y ＝12x.设点P 的坐标为(x ，12x)．由两点间的距离公式可知：OP ＝x 2＋（12x ）2＝5，解得：x ＝2或x ＝－2(舍去)． ∴点P 的坐标为(2，1)．∴当点P 与点M 距离最大时函数C 2的解析式为y ＝2(x －2)2＋1.8．(2017·毕节)如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A(－1，0)，B(4，0)，C(0，－4)三点，点P 是直线BC 下方抛物线上一动点．(1)求这个二次函数的解析式；(2)是否存在点P ，使△POC 是以OC 为底边的等腰三角形？若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由；(3)动点P 运动到什么位置时，△PBC 面积最大，求出此时P 点坐标和△PBC 的最大面积．解：(1)抛物线解析式为y ＝x 2－3x －4；(2)作OC 的垂直平分线DP ，交OC 于点D ，交BC 下方抛物线于点P ，如图1，∴PO ＝PC ，此时P 点即为满足条件的点，∵C(0，－4)，∴D(0，－2)，∴P 点纵坐标为－2，代入抛物线解析式可得x 2－3x －4＝－2，解得x ＝3－172(小于0，舍去)或x ＝3＋172，∴存在满足条件的P 点，其坐标为(3＋172，－2)；(3)∵点P 在抛物线上，∴可设P(t ，t 2－3t －4)，过P 作PE ⊥x 轴于点E ，交直线BC 于点F ，如图2，可求直线BC 解析式为y ＝x －4，∴F(t ，t －4)，∴PF ＝(t －4)－(t 2－3t －4)＝－t2＋4t，∴S△PBC＝S△PFC＋S△PFB＝12(－t2＋4t)×4＝－2(t－2)2＋8，∴当t＝2时，S△PBC最大值为8，此时t2－3t－4＝－6，∴当P点坐标为(2，－6)时，△PBC的最大面积为8.。

题型四几何最值问题类型一利用“垂线段最短”解决最值问题1. 如图，在△ABC中，AC＝BC＝6，AB＝8，点D在AC边上，连接BD，以AD，BD为邻边作▱ADBE，连接DE，则DE的最小值为________．第1题图2. 如图，在△ABC中，AC＝BC＝6，S△ABC＝12，点D为AB的中点，点M，N分别是CD 和BC上的动点，则BM＋MN的最小值是________．第2题图3. 如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，点P是BD上一动点，点E 是BC上一动点，若AC＝6，BD＝63，则PC＋PE的最小值为________．第3题图4. 如图，在△OAB中，已知∠AOB＝35°，点P是边AB上一点，点M，N分别是射线OA，OB上异于点O的动点，连接PO，PM，MN，若∠BOP＝10°，OP＝6，则PM＋MN的最小值为________．第4题图类型二 利用“两点之间线段最短”解决最值问题1. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6，AD ＝8，点P 是矩形ABCD 内一点，记a ＝S △APB ＋S △CPD ，b ＝P A ＋PB ＋PC ＋PD ，则a ＋b 的最小值为________．第1题图2. 如图，在四边形ABCD 中，∠BAD ＝120°，∠B ＝∠D ＝90°，AB ＝1，AD ＝2，M ，N 分别为BC ，CD 边上的动点，则△AMN 周长的最小值为________．第2题图3. 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝30°，BC ＝43 ，点D 为边BC 上的动点，点E 为边AB 的中点，连接DE ，DA ，则线段DE ＋DA 的最小值为________．第3题图4. 如图，在等腰Rt △ABC 中，AB ＝AC ＝22 ，∠A ＝90°，点P 是△ABC 内部一点，且满足S △BCP ＝12S △ABC ，则PB ＋PC 的最小值为________．第4题图5. 如图，二次函数y ＝－23 x 2－43x ＋2的图象与x 轴分别交于A ，B 两点(点A 在点B 左侧)，与y 轴交于点C ，点P 是其对称轴上一点，连接PB ，PC ，BC ，则△PBC 的周长最小为________．第5题图类型三 利用“二次函数性质”解决最值问题（2021.9）1. 我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a ，b ，c, 记p ＝a ＋b ＋c 2，则其面积S ＝p （p －a ）（p －b ）（p －c ） .这个公式也被称为海伦－秦九韶公式．若p ＝5，c ＝4，则此三角形面积的最大值为( )A. 5B. 4C. 25D. 52. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝3，P 是BC 上的任意一点(P 与B ，C 不重合)，过点P 作AP ⊥PE ，垂足为P ，PE 交CD 于点E ，连接AE ，在点P 的运动过程中，线段CE 的最大值为________．第2题图3. 如图，在等腰△ABC 中，AC ＝BC ＝4，∠C ＝120°，点P 是AC 上一动点，PD ∥AB ，交BC 于点D ，连接AD ，则点P 在运动过程中，△APD 的面积的最大值为________．第3题图4. 如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，点E，F分别为边AB，CD上的动点，且AE＝CF，将线段EF绕点F逆时针旋转90°得到线段FG，连接DG.(1)当点E为AB的中点时，线段DG的长是________；(2)当点E在边AB上运动时，线段DG的最小值是________．第4题图类型四利用“辅助圆”解决最值问题（8年3考：2021.10、17，2020.17）1. 如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝25，E是边CD上一点，将△ADE沿直线AE 折叠得到△AFE，BF的延长线交边CD于点G，则DG长的最大值为________．第1题图2. 如图，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC边上的动点(不与正方形的顶点重合)，且AE＝BF，CE，DF交于点M，连接BM，若AB＝2，则BM的最小值为________．第2题图3.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8，E，F分别是AC，BC边上的动点，且EF＝AC，P是EF的中点，连接AP，BP，则△APB面积的最小值为________．第3题图4. 如图，已知△ABC为等边三角形，AB＝6，将边AB绕点A顺时针旋转a(0°＜a＜120°)，得到线段AD，连接CD，点E为CD上一点，且DE＝2CE.连接BE，则BE的最小值为________．第4题图5. 如图，在△ABC中，∠C＝45°，∠B＝60°，BC＝3＋1，P为边AB上一动点，过点P 作PD⊥BC于点D，PE⊥AC于点E，连接DE，则DE的最小值为________．第5题图题型四 几何最值问题类型一 利用“垂线段最短”解决最值问题 1. 853【解析】如解图，设DE 与AB 交于点O ，∵四边形ADBE 是平行四边形，∴OB ＝OA ，DE ＝2OD ，∴当OD ⊥AC 时，DO 的值最小，即DE 的值最小，过点B 作BH ⊥AC 于点H ，则∠BHD ＝∠EDH ＝90°，易知AD ∥BE ，即AC ∥BE ，∴∠EBH ＝90°，∴四边形BHDE 是矩形，∴DE ＝BH ，∵AC ＝BC ＝6，AB ＝8，∴设CH ＝x ，则AH ＝6－x ，∵BA 2－AH 2＝BH 2＝BC 2－CH 2，即82－(6－x )2＝62－x 2，解得x ＝23 ，∴CH ＝23，∴DE ＝BH ＝BC 2－CH 2 ＝853 .∴DE 的最小值为853.第1题解图2. 4 【解析】如解图，作点N 关于DC 的对称点N ′.∵AC ＝BC ，点D 为AB 的中点，∴点N ′在AC 上，连接MN ′，BN ′，∴BM ＋MN ＝BM ＋MN ′≥BN ′，∴当B ，M ，N ′三点共线，且BN ′⊥AC 时，BM ＋MN 取得最小值．∵AC ＝6，S △ABC ＝12，∴△ABC 中AC 边上的高为4，∴BM ＋MN 的最小值是4.第2题解图3. 33 【解析】如解图，作点E 关于BD 的对称点E ′，连接PE ′，∵四边形ABCD 是菱形，∴BA 与BC 关于BD 对称，∴点E ′位于BA 上，由对称的性质可知，PE ＝PE ′，∴当C ，P ，E ′三点重合，且CE ′⊥BA 时，PC ＋PE 的值最小，即为CE ′的长，∵四边形ABCD 是菱形，∴AO ＝CO ＝12 AC ＝3，BO ＝DO ＝12BD ＝33 ，AC ⊥BD ，AB ＝BC ，∴在Rt △BOC 中，BC ＝BO 2＋CO 2 ＝6，tan ∠BCO ＝BO CO＝3 ，∴∠BCO ＝60°，∴△ABC 是等边三角形，∴CE ′＝BC ·sin 60°＝33 ，∴PC ＋PE 的最小值为33 .第3题解图 4. 33 【解析】如解图，作点P 关于OA 的对称点P ′，连接OP ′，过点P ′作OB 的垂线交OA 于点M ，交OB 于点N ，此时PM ＋MN 的值最小，最小值为线段P ′N 的长．∵∠AOB ＝35°，∠BOP ＝10°，点P ′与点P 关于OA 对称，∴∠POA ＝∠P ′OA ＝25°，∴∠BOP ′＝60°，OP ′＝OP ＝6，在Rt △P ′ON 中，P ′N ＝OP ′·sin 60°＝6×32＝33 ，∴PM ＋MN 的最小值为33 .第4题解图类型二 利用“两点之间线段最短”解决最值问题1. 44 【解析】如解图，过点P 作EF ⊥AB ，分别交AB ，CD 于点E ，F ，连接AC ，BD ，则EF ＝AD ＝8，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ABC ＝90°，AB ＝CD ＝6，AD ＝BC ＝8，∴AC＝AB 2＋BC 2 ＝62＋82 ＝10，∴BD ＝AC ＝10，∵S △APB ＋S △CPD ＝12 AB ·PE ＋12 CD ·PF ＝12AB ·EF ＝12×6×8＝24，P A ＋PC ≥AC ，PB ＋PD ≥BD ，∴当A ，P ，C 三点共线，B ，P ，D 三点也共线时，P A ＋PB ＋PC ＋PD 有最小值，最小值为AC ＋BD ＝20，∴a ＋b 的最小值为24＋20＝44.第1题解图2. 27 【解析】如解图，分别作A 关于BC 和CD 的对称点A ′，A ″，连接A ′A ″，交BC 于点M ，交CD 于点N ，则A ′A ″即为△AMN 的周长最小值，作A ′H ⊥DA 交DA 的延长线于点H ，∴AA ′＝2AB ＝2，AA ″＝2AD ＝4，∵∠BAD ＝120°，∴∠HAA ′＝60°，∴在Rt △A ′HA 中，AH ＝12 AA ′＝1，∴A ′H ＝22－12 ＝3 ，A ″H ＝AH ＋AA ″＝1＋4＝5，∴A ′A ″＝A ′H 2＋A ″H 2 ＝27 ，∴△AMN 的周长最小值为27 .第2题解图3. 43 【解析】如解图，作点E 关于BC 的对称点E ′，连接EE ′，交BC 于点F ，连接DE ′，AE ′，过点E ′作E ′G ⊥AC 交AC 的延长线于点G ，则DE ＝DE ′，EF ＝E ′F ，DE ＋DA ＝DE ′＋DA ≥AE ′，∴当A ，D ，E ′在同一直线上时，DE ＋DA 的值最小，最小值为AE ′的长，∵∠ACB ＝90°，∠ABC ＝30°，BC ＝43 ，∴AC ＝33 BC ＝33×43 ＝4，∵点E 为边AB 的中点，∴EF 为△ABC 的中位线，∴EF ＝12 AC ＝2，CF ＝12BC ＝23 ，∴E ′F ＝EF ＝2＝CG ，E ′G ＝CF ＝23 ，∴AG ＝AC ＋CG ＝4＋2＝6，∴AE ′＝E ′G 2＋AG 2 ＝（23）2＋62 ＝43 ，∴DE ＋DA 的最小值为43 .第3题解图4. 25 【解析】如解图，过点A 作AD ⊥BC 于点D ，∵AB ＝AC ＝22 ，∠BAC ＝90°，∴AD ＝2，BC ＝4，∵S △BCP ＝12S △ABC ，∴点P 到BC 的距离为1，即点P 在AD 的垂直平分线l 上运动，作点B 关于直线l 的对称点B ′，连接B ′C 交直线l 于点P ′，连接BP ′，B ′P ，则BB ′⊥BC ，BP ′＝B ′P ′，BP ＝B ′P ，∴BP ＋PC ＝B ′P ＋PC ≥B ′C ，当B ′，P ，C 三点共线，即点P 与点P ′重合时，BP ＋PC 的值最小，为B ′C 的长．在Rt △B ′BC 中，BB ′＝2，BC ＝4，∴B ′C ＝BB ′2＋BC 2 ＝25 ，∴PB ＋PC 的最小值为25 .第4题解图5. 13 ＋5 【解析】如解图，连接AC ，AP ，令y ＝0，得x ＝－3或1，∴点A (－3，0)，点B (1，0)，∴抛物线的对称轴是直线x ＝－1，OA ＝3，OB ＝1，令x ＝0，得y ＝2，∴点C (0，2)，∴OC ＝2，∴BC ＝OB 2＋OC 2 ＝5 ，AC ＝OA 2＋OC 2 ＝13 ，∵△PBC 的周长为PB ＋PC ＋BC ，BC 为定值，∴要使△PBC 的周长最小，则PB ＋PC 最小即可，∵点A 与点B 关于对称轴对称，∴P A ＝PB ，∴PB ＋PC ＝P A ＋PC ≥AC ，∴PB ＋PC 的最小值为AC 的长，∴△PBC 的周长最小值＝AC ＋BC ＝13 ＋5 .第5题解图类型三 利用“二次函数性质”解决最值问题1. C 【解析】∵p ＝5，c ＝4，∴S ＝5（5－a ）（5－b ）（5－4） ＝5（5－a ）（5－b ） ，∵p ＝a ＋b ＋c 2 ，∴a ＋b ＝2p －c ＝6，∴b ＝6－a ，∴S ＝5（5－a ）[5－（6－a ）] ＝5（5－a ）（a －1） ＝－5（a －3）2＋20 ，∵－5＜0，∴当a ＝3时，S 有最大值为20 ＝25 .2. 98【解析】∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B ＝∠C ＝90°，∵AP ⊥PE ，∴∠APB ＋∠CPE ＝∠CPE ＋∠PEC ＝90°，∴∠APB ＝∠PEC ，∴△ABP ∽△PCE ，∴AB PC ＝BP CE，设BP ＝x ，CE ＝y ，则PC ＝3－x ，即23－x ＝x y，∴y ＝－12 x 2＋32 x ＝－12 (x －32 )2＋98 ，∵－12 ＜0，∴当x ＝32 时，y 有最大值，最大值是98 ，∴线段CE 的最大值为98 . 3. 3 【解析】如解图，过点C 作CE ⊥AB 于点E ，过点P 作PF ⊥AB 于点F ，设AP ＝x ，则CP ＝4－x ，∵AC ＝BC ，∠C ＝120°，∴∠BAC ＝∠B ＝30°，AE ＝BE ，∴CE ＝12AC ＝2，PF ＝12 AP ＝12x ，在Rt △AEC 中，由勾股定理得AE ＝42－22 ＝23 ，∴AB ＝2AE ＝43 ，∵PD ∥AB ，∴△PCD ∽△ACB ，∴PC AC ＝PD AB ，∴4－x 4 ＝PD 43，解得PD ＝3 (4－x )，∴S △APD ＝12 PD ·PF ＝12 ×3 (4－x )×12 x ＝－34 (x －2)2＋3 ，∵－34<0，∴当x ＝2时，S △APD 有最大值，最大值为3 .第3题解图4. (1)1 【解析】∵点E 为AB 的中点，AE ＝CF ，∴点F 为CD 的中点，∴EF ＝FG ＝4，此时F ，D ，G 三点共线，∴DG ＝FG －FD ＝1； (2)255 【解析】如解图，过点F 作FH ⊥AB 于点H ，过点G 作IG ⊥CD 于点I ，则∠EHF ＝∠GIF ＝90°，由题意可知∠EFG ＝90°，EF ＝GF ，∴∠EFH ＋∠EFI ＝∠EFI ＋∠GFI ＝90°，∴∠EFH ＝∠GFI ，∴△EFH ≌△GFI (AAS)，∴EH ＝GI ，设AE ＝a ，①当0＜a ＜3时，如解图①，GI ＝EH ＝6－2a ，ID ＝FD －FI ＝FD －FH ＝6－a －4＝2－a ，∴DG 2＝ID 2＋IG 2＝(2－a )2＋(6－2a )2＝5a 2－28a ＋40＝5(a －145 )2＋45 ，∵5＞0，∴当a ＝145 时，DG 2取最小值45，∴DG ＝255；②当3≤a ＜6时，如解图②，GI ＝EH ＝2a －6，ID ＝FI －FD ＝FH －AE ＋EH ＝4－a ＋2a －6＝a －2，∴DG 2＝ID 2＋IG 2＝(a －2)2＋(2a －6)2＝5a 2－28a ＋40＝5(a －145)2＋45 ，∵5＞0，3≤a ＜6，∴当a ＝3时，DG 2取最小值1，∴DG ＝1，∵1＞255，∴DG 的最小值为255.第4题解图类型四 利用“辅助圆”解决最值问题1. 2 【解析】如解图，以点A 为圆心，AD 长为半径画弧，过点B 作弧的切线交CD 于点G ，切点为F ，此时点E 和点G 重合，DG 的最大值即为DE 的长，∵四边形ABCD 是矩形，∴BC ＝AD ＝25 ，AB ＝CD ＝6，由折叠的性质可知，DE ＝EF ，AF ＝AD ＝25 ，设DE ＝EF ＝x ，则CE ＝CD －DE ＝6－x ，在Rt △ABF 中，由勾股定理得BF ＝AB 2－AF 2 ＝4，则BE ＝BF ＋EF ＝4＋x ，在Rt △BEC 中，由勾股定理得BE 2＝CE 2＋BC 2，即(4＋x )2＝(6－x )2＋(25 )2 ，解得x ＝2，即DG 的最大值为2.第1题解图 2. 5 －1 【解析】如解图，取CD 的中点O ，连接BO ，∵四边形ABCD 为正方形，∴AB ＝BC ＝CD ＝AD ，∠EBC ＝∠FCD ＝90°，∵AE ＝BF ，∴AE ＋BE ＝BF ＋CF ，∴BE ＝CF ，∴△EBC ≌△FCD (SAS)，∴∠BCE ＝∠CDF ，∵∠BCE ＋∠DCE ＝∠BCD ＝90°，∴∠CDF ＋∠ECD ＝90°，∴∠CMD ＝90°，当点E ，F 分别在AB 和BC 上移动时，点M 在以CD 的中点O 为圆心，OC 长为半径的半圆上运动，要使BM 取得最小值，则需点B ，M ，O 在同一条直线上．∵AB ＝2，∴CO ＝1，∴BO ＝5 ，∴此时BM ＝5 －1，即BM 的最小值为5 －1.第2题解图3. 9 【解析】如解图，过点P 作PH ⊥AB 于点H ，则S △ABP ＝12AB ·PH ＝5PH ，∴当PH 最小时，△ABP 的面积最小．∵∠ACB ＝90°，AB ＝10，BC ＝8，∴AC ＝AB 2－BC 2 ＝6.∴EF＝AC ＝6.连接CP ，则CP ＝12EF ＝3.∴点P 在以点C 为圆心，3为半径的圆弧上，过点C 作CH ′⊥AB 于点H ′，交⊙C 于点P ′，∵P ′H ′＝CH ′－CP ′＝CH ′－CP ≤CP ＋PH －CP ＝PH ，∴当点P 与点P ′重合，点H 与点H ′重合时，PH 最小，最小值为P ′H ′的长．∵S △ABC ＝12AC ·BC ＝12 AB ·CH ′，∴CH ′＝AC ·BC AB ＝245 ，∴P ′H ′＝CH ′－CP ′＝245 －3＝95 ，∴PH 的最小值是95 ，此时S △ABP ＝5PH ＝9，即△ABP 面积的最小值为9.第3题解图4. 27 －2 【解析】如解图，过点E 作EH ∥AD ，交AC 于点H ，∵△ABC 为等边三角形，∴AB ＝AC ＝6，由旋转的性质得AD ＝AB ，∴AD ＝AC ，∴∠D ＝∠ACD ，∵DE ＝2CE ，∴CE CD ＝CH CA ＝13 ，∠CEH ＝∠D ＝∠ACD ，∴CH ＝EH ，∵AC ＝6，∴CH ＝EH ＝2，取AH 的中点P ，连接EP ，则PH ＝EH ，∴∠EPH ＝∠PEH ，∵∠EPH ＋∠CEP ＋∠ACD ＝180°，∴2∠PEH ＋2∠CEH ＝180°，∴∠CEP ＝90°，∴点E 在以点H 为圆心，CP 为直径的圆弧上运动，连接BH ，∵EH 为定值2，∴当B ，E ，H 三点共线时，BE 的长最小，过点B 作BQ ⊥AC 于点Q ，则CQ ＝12AC ＝3，∴QH ＝CQ －CH ＝1，BQ ＝BC 2－CQ 2 ＝62－32 ＝33 ，∴BH ＝BQ 2＋QH 2 ＝（33）2＋12 ＝27 ，∴BE 的最小值为27 －2.第4题解图5. 32＋64【解析】如解图，连接CP ，∵∠PDC ＝∠PEC ＝90°，∴∠PDC ＋∠PEC ＝180°，∴C ，D ，P ，E 四点共圆，圆心为点O ，且直径为CP ，∵BC ＝3 ＋1，∠ACB ＝45°，∠B ＝60°是定值，∴直径CP 最小时，∠DCE 所对的弦DE 最小，即CP ⊥AB 时，DE 的值最小，连接OD ，OE ，∵∠B ＝60°，CP ⊥AB ，BC ＝3 ＋1，∴∠BCP ＝30°，∴BP ＝12BC ＝3＋12 ，CP ＝3 BP ＝3＋32 ，∴OD ＝OE ＝12 CP ＝3＋34，∵∠ACB ＝45°，∴∠DOE ＝2∠ACB ＝90°，∴△ODE 是等腰直角三角形，∴DE ＝2 OD ＝32＋64，即DE 的最小值为32＋64.第5题解图。

几何最值问题（旋转）一、单选题(共5道，每道16分)1.如图，在矩形ABCD中，AB=1，BC=2，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形的位置，则在旋转过程中的最小值是( )A. B.1C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：几何最值问题2.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=2，将△ABC绕顶点C顺时针旋转（）得到．设AC的中点为F，的中点为E，连接EF. （1）EF的最小值为( )A.1B.2C.D.3答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：几何最值问题3.（上接第2题）（2）当EF最小时，旋转角为( )A.60°B.120°C.180°D.300°答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：几何最值问题4.如图，菱形ABCD边长为2，∠C=60°．当点A在x轴上运动时，点D随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点O的最大距离为( )A. B.C.2D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：几何最值问题5.如图，边长为2a的等边△ABC中，M是高AD所在直线上的一个动点，连接CM，将线段CM绕点C逆时针旋转60°得到CN，连接DN．则在点M运动过程中，线段DN的最小值为( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：几何最值问题二、填空题(共1道，每道20分)6.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=12，BC=8，点A，C分别在x轴、y轴上．当点A在x 轴上运动时，点C随之在y轴上运动，则在运动过程中，点B到原点的最大距离为____．答案：16 解题思路：试题难度：知识点：几何最值问题。

一、选择题12．（2020·长沙）如图，△ABC中，AB=AC=10，tanA=2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则CD+5 BD的最小值是【】A．25B．45C．53D．10【答案】B二、填空题16．（2020·黄冈）如图，AC，BD在AB的同侧，AC＝2，BD＝8，AB＝8.点M为AB的中点.若∠CMD＝120°，则CD的最大值是.【答案】14【解析】将△CAM沿CM翻折到△CA′M，将△DBM沿DM翻折至△DB′M，则A′M＝B′M，∠AMC＝∠A′MC，∠DMB＝∠DMB′，∵∠CMD＝120°，∴∠AMC+∠DMB＝∠A′MC+∠DMB′＝60°，∴∠A′MB′＝180°-（∠AMC+∠DMB+∠A′MC+∠DMB′）＝60°，∴△A′MB′是等边三角形，又∵AC＝2，BD＝8，AB＝8.点M为AB的中点，∴A′B′＝A′M＝B′M＝AM＝12AB＝4，CA′＝AC＝2，DB′＝DB＝8，又CD≤CA′+A′B′+DB′＝2+4+8＝14.三、解答题24．（2019山东威海，24，12分）如图，在正方形ABCD中，AB＝10cm，E为对角线BD上一动点，连接AE，CE，过E点作EF⊥AE，交直线BC于点F．E点从B点出发，沿着BD方向以每秒2cm的速度运动，当点E与点D重合时，运动停止，设△BEF的面积为ycm2，E点的运动时间为x秒．（1）求证：CE ＝EF ；（2）求y 与x 之间关系的函数表达式，并写出自变量x 的取值范围； （3）求△BEF 面积的最大值． 【解题过程】（1）证明：过E 作MN ∥AB ，交AD 于M ，交BC 于N ， ∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ∥BC ，AB ⊥AD ， ∴MN ⊥AD ，MN ⊥BC ， ∴∠AME ＝∠FNE ＝90°＝∠NFE ＋∠FEN ， ∵AE ⊥EF ，∴∠AEF ＝∠AEM ＋∠FEN ＝90°， ∴∠AEM ＝∠NFE ， ∵∠DBC ＝45°，∠BNE ＝90°， ∴BN ＝EN ＝AM .∴△AEM ≌△EFN （AAS ）. ∴AE ＝EF .∵四边形ABCD 是正方形， ∴AD ＝CD ，∠ADE ＝∠CDE ， ∵DE ＝DE ，∴△ADE ≌△CDE （SAS ）， ∴AE ＝CE ＝EF .（2）在Rt △BCD 中，由勾股定理得：BD＝，∴0≤x ≤. 由题意，得BE ＝2x ，∴BN ＝EN x.由（1）知：△AEM ≌△EFN ， ∴ME ＝FN ，∵AB ＝MN ＝10，∴ME ＝FN ＝10x ，如图（1），当0≤x 时， ∴BF ＝FN －BN ＝10x x ＝10－x . ∴y ＝12BF ·EN ＝1(102-＝－2x 2＋（0≤x ≤2）； 如图（2），当2＜x ≤∴BF ＝BN －FN－（10x）＝－10， ∴y ＝12BF ·EN＝12-＝2x 2－（2≤x≤.∴222(0);22(2x x y x x ⎧-+≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩（1） （2） （3）y ＝－2x 2＋5x ＝－2（x－52）2＋254，∵－2＜0， ∴当x ＝524时，y 有最大值是；即△BEF 面积的最大值是；＜x ≤ y ＝2x 2－＝22(4x -－254， 此时2＞0，开口向上，对称轴为直线x ＝4， ∵对称轴右侧，y 随x 的增大而增大， ∴当x ＝y 最大值＝50.∴当x ＝BEF 面积的最大值是50.【知识点】四边形综合运用，二次函数的解析式，二次函数的最值问题，三角形全等的判定. 25．（2019山东省威海市，题号25，分值12） （1）方法选择如图①，四边形ABCD 是OO 的内接四边形，连接AC ，BD .AB ＝BC ＝AC . 求证：BD ＝AD ＋CD .小颖认为可用截长法证明：在DB 上截取DM ＝AD ，连接AM ..…… 小军认为可用补短法证明：延长CD 至点N ，使得DN ＝AD …… 请你选择一种方法证明.（2）类比探究【探究1】如图②，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，连接AC ，BD .BC 是⊙O 的直径，AB ＝AC .试用等式表示线段AD ，BD ，CD 之间的数量关系，并证明你的结论. 【探究2】如图③，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，连接AC ，BD .若BC 是⊙O 的直径，∠ABC ＝30°，则线段AD ，BD ，CD 之间的等量关系式是. （3）拓展猜想如图④，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，连接AC ，BD .若BC 是O 0的直径，BC ：AC ：AB ＝a ：b ：c ，则线段AD ，BD ，CD 之间的等量关系式是.【思路分析】（1）选小颖的截长法，如图①，在DB 上截取DM ＝AD ，连接AM ，由旋转全等得BM ＝CD ，∴BD ＝MD ＋BM ＝AD ＋CD（2）【探究1】数量关系为：BDAD ＋CD如图②，在DB 上截取AD ＝AN ，连接AN ，可得△AND 为等腰直角三角形，∴NDAD ，由旋转全等得BN ＝CD ，∴BD ＝ND ＋BNAD ＋CD 【探究2】数量关系为：BD ＝2ADCD如图③，在DB 上截取2AD ＝PD ，连接AP ，可得△APD 为30°的直角三角形， 由旋转相似得BP，∴BD ＝PD ＋BP ＝2AD（3）拓展猜想数量关系为：BD ＝a bAD ＋cb CD如图④，过A 作AQ ⊥AD 交BD 于Q ，连接AQ ，由旋转相似得=BQ AB c CD AC b =，=DQ BC aAD AC b=， 图①图②B图③BC 图④BC∴BQ ＝c b CD ，BQ ＝a b AD ，∴BD ＝PD ＋BP ＝a bAD ＋c b CD【解题过程】（1）选小颖的截长法，如图①，在DB 上截取DM ＝AD ，连接AM ，可得△AMD 为等边三角形，可证△BAM ≌△CAD （SAS ）得BM ＝CD ，∴BD ＝MD ＋BM ＝AD ＋CD（2）【探究1】数量关系为：BDAD ＋CD如图②，在DB 上截取AD ＝AN ，连接AN ，可得△AND 为等腰直角三角形，∴NDAD ，∠BAN ＝∠CAD ，可证△BAN ≌△CAD （SAS ）得BN ＝CD ，∴BD ＝ND ＋BNAD ＋CD【探究2】数量关系为：BD ＝2ADCD如图③，在DB 上截取2AD ＝PD ，连接AP ，可得△APD 为30°的直角三角形，∴=tan 30AP ABAD AC=︒，∠BAP ＝∠CAD ，可证△BAP ∽△CAD 得BPCD ，∴BD ＝PD ＋BP ＝2ADCD答案图①答案图②B（3）拓展猜想数量关系为：BD ＝a bAD ＋c b CD如图④，过A 作AQ ⊥AD 交BD 于Q ，连接AQ ，可得∠BAQ ＝∠CAD ，∠ABQ ＝∠ACD ，∠ADQ ＝∠ACB ，∠BAC ＝∠QAD ∴△BAP ∽△CAD ，△ADQ ∽△ACB ∴=BQ AB c CD AC b =，=DQ BC aAD AC b=， ∴BQ ＝c b CD ，BQ ＝a b AD ，∴BD ＝PD ＋BP ＝a bAD ＋cb CD26．（2020·益阳）如图，在半面直角坐标系xOy 中，矩形ABCD 的边AB=4，BC=6.若不改变矩形ABCD 的形状和大小，当形顶点A 在x 轴的正半轴上左右移动时，矩形的另一个顶点D 始终在y 轴的正半上随之上下移动. (1)当∠OAD=30°时，求点C 的坐标；(2)设AD 的中点为M ，连接OM 、MC ，当四边形 OMCD 的面积为221时，求OA 的长； (3)当点A 移动到某一位置时，点C 到点O 的距离有最大值，请直接写出最大值，并求此时cos ∠OAD 的值.第26题图 第26题备用图【解题过程】（1）如图1，过点C 作CE ⊥y 轴，垂足为E.答案图③B答案图④BC第26题答图1∵矩形ABCD 中，CD ⊥AD ， ∴∠CDE+∠ADO=90°， 又∵∠OAD+∠ADO=90°， ∴∠CDE=∠OAD=30°. 在Rt △CED 中，CE=21CD=2， ∴DE=32242222=-=-CE CD ; 在Rt △OAD 中，∠OAD=30°， ∴OD=21AD=3. ∴点C 的坐标为(2，323+). (2)∵M 为AD 的中点， ∴DM=3，6=DCM S △. 又∵221=OMCD S 四边形， ∴29=ODM S △， ∴9=OAD S △. 设OA=x ，OD=y ，则⎪⎩⎪⎨⎧==+9213622xy y x ， ∴xy y x 222=+， 即0)(2=-y x ， ∴x=y.将x=y 代入3622=+y x 得182=x ， 解得23=x (23-不合题意，舍去)， ∴OA 的长为23.（3）OC 的最大值为8.理由如下： 如图2，第26题答图2 ∵M 为AD 的中点，∴OM=3，522=+=DM CD CM .∴OC ≤OM+CM=8,当O 、M 、C 三点在同一直线时，OC 有最大值8.连接OC ，则此时OC 与AD 的交点为M ，过点O 作ON ⊥AD ，垂足为N. ∵∠CDM=∠ONM=90°，∠CMD=∠OMN ， ∴△CMD ∽△OMN ， ∴OM CMMN DM ON CD ==， 即3534==MN ON ， 解得59=MN ，512=ON ， ∴56=-=MN AM AN . 在Rt △OAN 中， ∵55622=+=AN ON OA ， ∴55cos ==∠OA AN OAD . 26．（2020·衡阳）如图，在等边△ABC 中，AB ＝6cm ，动点P 从点A 出发以cm/s 的速度沿AB 匀速运动．动点Q 同时从点C 出发以同样的速度沿BC 延长线方向匀速运动．当点P 到达点B 时，点P 、Q 同时停止运动．设运动时间为t（s）．过点P作PE⊥AC于E，连接PQ交AC边于D．以CQ、CE为边作平行四边形CQFE．（1）当t为何值时，△BPQ为直角三角形；（2）是否存在某一时刻t，使点F在∠ABC的平分线上？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由；（3）求DE的长；（4）取线段BC的中点M，连接PM，将△BPM沿直线PM翻折，得△B′PM，连接AB′，当t为何值时，AB′的值最小？并求出最小值．解：（1）∵△ABC为等边三角形，∴∠B＝60°，∵BP⊥PQ，∴2BP＝BQ即2（6－t）＝6＋t，解得t＝2．∴当t为2时，△BPQ为直角三角形；（2）存在．作射线BF，∵PE⊥AC，∴AE＝0.5t．∵四边形CQFE是平行四边形，∴FQ＝EC＝6－0.5t，∵BF 平分∠ABC，∴∠FBQ＋∠BQF＝90°．∵BQ＝2FQ，BQ＝6＋t，∴6＋t＝2（6－0.5t），解得t＝3．（3）过点P作PG∥CQ交AC于点G，则△APG是等边三角形．∵BP⊥PQ，∴EG＝12AG．∵PG∥CQ，∴∠PGD＝∠QCD，∵∠PDG＝∠QDC，PG＝PA＝CG＝t，∴△PGD≌△QCD．∴GD＝12GC．∴DE＝12AC＝3．（4）连接AM，∵△ABC为等边三角形，点M是BC的中点，∴BM＝3．由勾股定理，得AM＝．由折叠，得BM′＝3．当A 、B′、M在同一直线上时，AB′的值最小，此时AB′＝3.过点B′作B′H⊥AP于点H，则cos30°＝AHAB',即2t，解得t＝9－∴t为9－AB′的值最小，最小值为－3．MMM QB C1.（2020·重庆A 卷）如图，在平面在角坐标系中，抛物线y ＝x 2－2x －3与x 轴交与点A ，B （点A 在点B 的左侧）交y 轴于点C ，点D 为抛物线的顶点，对称轴与x 轴交于点E ．（1）连结BD ，点M 是线段BD 上一动点（点M 不与端点B ，D 重合），过点M 作MN ⊥BD 交抛物线于点N （点N 在对称轴的右侧），过点N 作NH ⊥x 轴，垂足为H ，交BD 于点F ，点P 是线段OC 上一动点，当MN 取得最大值时，求HF ＋FP ＋13PC 的最小值；（2）在（1）中，当MN 取得最大值，HF ＋FP ＋13PC 取得小值时，把点P 向上平移个2单位得到点Q ，连结AQ ，把△AOQ 绕点O 顺时针旋转一定的角度α（0°<α<360°），得到△A OQ ''，其中边A Q ''交坐标轴于点G ，在旋转过程中，是否存在一点G ，使得OG Q Q ''∠=∠？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q '的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）由题意得A (－1，0)，B (3，0)，C (0，－3)，D (1，－4)，直线BD ：y ＝2x －6． 如答图1，连接DN 、BN ，则S △BDN ＝12BD •MN ，而BD 为定值，故当MN 最大时，S △BDN 取最大值．此时由S △BDN ＝S △DFN ＋S △BFN ＝12EH •FN ＋12BH •FN ＝12BE •FN ＝FN ，从而S △BDN 取最大值时，即为FN 有最大值．令N (m ，m 2－2m －3)，则F (m ，2m －6)，从而FN ＝(2m －6)－(m 2－2m －3)＝－m 2＋4m －3＝－(m －2)2＋1，此时，当且仅当m ＝2，FN 有最大值为1，于是N (2，－3)，F (2，－2)，H (2，0)． 在直角三角形中，设最小的直角边为a ，斜边为3a ，较长直角边为3，即可求出a ＝324，于是在x 轴上取点H B'M FD E QA BP yxOEDCBA第26题备用图第26题图K (－324，0)，连接KC ，易求直线KC ：y ＝－22x －3．如答图1，过点F 作FR ⊥CK 于点R ，交OC 于点P ，作FT ⊥OC ，交CK 于点T ，则∠OCK ＝∠TFR ，于是，由△PCR ∽△ACO ∽△TFR ，得133PR OK a PC KC a ===，从而PR ＝13PC ，因此由FH 为定值，再由定点F 到直线的垂直线最短，可知MN 取得最大值时，HF ＋FP＋13PC 最小值＝HF ＋FR ．在y ＝－22x －3中，当y ＝－2，x ＝－24，于是FT ＝2＋24．在Rt △FTR 中，由223FR FT =，得FR ＝223FT ＝223(2＋24)＝14233+，故HF ＋FP ＋13PC 最小值＝2＋14233+＝7423+．（2）4525(,)55--，2545(,)55-，4525(,)55，2545(,)55-． 第26题答图4第26题答图5第26题答图1 T KR QP HF NMyxO ED CBA第26题答图2第26题答图32.（2020·重庆B 卷）在平面直角坐标系中，抛物线2y =++与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C ，顶点为D ，对称轴与x 轴交于点Q .（1）如图1，连接AC ，BC ．若点P 为直线BC 上方抛物线上一动点，过点P 作PE ∥y 轴交BC 于点E ，作PF⊥BC 于点F ，过点B 作BG ∥AC 交y 轴于点G ．点H ，K 分别在对称轴和y 轴上运动，连接PH ，HK ．当△PEF 的周长最大时，求PH +HKKG 的最小值及点H 的坐标． （2）如图2，将抛物线沿射线AC 方向平移，当抛物线经过原点O 时停止平移，此时抛物线顶点记作D ’，N 为直线DQ 上一点，连接点D ’，C ，N ，△D ’CN 能否构成等腰三角形？若能，直接写出满足条件的点N 的坐标；若不能，请说明理由．解：（1）∵2y x =+与x 轴交于A ，B 两点， ∴当y=0时，即20=+，∴122,4x x =-=，即A （－2，0），B （4，0）， 设直线BC 的解析式为y =kx +b ，∵C （0，，B （4，0），∴40b k b ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，∴b k ⎧=⎪⎨=⎪⎩，∴直线BC的解析式为y =+设点2(,4),P m m +<< ∵PE ∥y 轴且点E 在直线BC上，∴(,E m +∠PEF =∠OCE ，∴2(04),PE m =<< ∵PF ⊥BC ，∴∠PFE =∠COB =90°，∴△PEF ∽△BCO ，设△PEF 的周长为1l ，△BCO 的周长为2l ， 则12l PEl BC=，∵B （4，0），C （0，，∴BC=24l =+∴21)(04),l m =+<< 备用图图1图2∴当m=2时，1l此时点P 的坐标为（2，， ∵A （－2，0），C （0，，∴∠ACO =30°，∠CAO =60°， ∵BG ∥AC ，∴.∠BGD =30°，∠OBG =60°，∴G （0，-， 直线BG解析式为y -PM解析式为y =，过点G 作GN ⊥BG ，过点P 作PM ⊥GN 于点M ，如图1，此时，点H 为PM 与对称轴的交点，K 为PM 与y 轴的交点，点K 与点O 重合， 则KM=OMKG ，PH +HKKG 的最小值为线段PM 的长.（此问题是胡不归问题）.解法一：（作一线三直角利用相似求解）如图2，过点P 作PQ ∥x 轴交对称轴于点T ， 过点M 作MQ ⊥y 轴交PT 于点Q ，过点G 作GJ ⊥MQ 交MQ 于点J.设点Q （n，，∴J （n，-，∴PQ =2－n ，2－n ）， ∵GJ =－n ，∴MJ=，∴MQ +MJ =CG=(--=2－n ）+()=n =-3，∴Q （－3，，∴PQ =5， ∴PM =2PQ =10，∴PH +HKKG 的最小值为10， ∵∠OGM =60°，∠PHT=30°，∠HPT=60°，∴PT =1，∴HTH （1.图1N解法二：由上面的解法可知MG ⊥BG ，直线MG的解析式为：y =- 如图3，过点P 作PR ⊥x 轴交MG 于点R ，∴R （2，， 由第一种解法可知∠PRG =60°，∴PMP R（）=10， ∴PH +HKKG 的最小值为10，同理可求H （1.（2）这样的N 点存在.当△'CD N 为等腰三角形时，这样的N有：1N,2N，3N,4N,5N .【提示】由（1）可知∠ACO=30°，∠OAC=60°,又∵221)y x =++=-D （1， ∵抛物线按射线AC的方向平移，设平移后顶点'(D a +，平移后的抛物线解析式为21)y x a =--++该抛物线经过原点，则201)a =--+图2NN∴2280a a --=，∴a =4或a =－2（舍去），即D .设点N （1，b ）'CD =CN ='ND 如图4，当△'CD N 为等腰三角形时，分三种情况： ①当'CD CN ==，可得1N,2N ； ②当''CD D N ==3N,4N ,③当'CN D N ==可得5N , ∴当△'CD N 为等腰三角形时，这样的N有：1N,2N，3N,4N,5N .3.（2020·天津）已知抛物线y=x 2-bx+c(b,c 为常数，b>0)经过点A （-1,0），点M(m,0)是x 轴正半轴上的动点，（1）当b=2时，求抛物线的顶点坐标；（2）点D(b,y D )在抛物线上，当AM=AD,m=5时，求b 的值； （3）点Q(1b ,2+y Q )2QM +时，求b 的值. 解：(1)∵抛物线y=x 2-bx+c 经过点A （-1,0）， ∴1+b+c=0，∴c=-1-b 当b=2时，c=-3,∴抛物线的解析式为y=x 2-2x-3， ∴顶点坐标为（1，-4） （2）由(1)知，c=-1-b ， ∵点D(b,y D )在抛物线上， ∴y D =-b-1，∵b>0,∴b 02b >>，-b-1<0,∴D(b,-b-1)在第四象限，且在抛物线对称轴2bx =的右侧.如图，过点D 作DE ⊥x 轴于E ，则E （b ，0），∴AE=b+1=DE,所以1)b +， ∵m=5，∴AM=5-（-1）=6， ∴1)b +∴b=（3）∵点Q(1b ,2+y Q )在抛物线上， ∴yQ=2113)()12224b b b b b +-+--=--（， ∴点Q （1b ,2+3-24b -）在第四象限，且在直线x=b 的右侧，2QM +的最小值为4，A(-1，0) ∴取点N(0，1)，如图，过点Q 作QH ⊥x 轴于H ，作QG ⊥AN 于G,QG 与x 轴交于点M ，则H （1b ,2+0），∠GAM=45°，∴GM=2AM ，∵M （m,0),∴AM=m+1,MH=1b 2m +-,QH=324b +, ∵MH=QH,∴1b 2m +-=324b +， ∴m=1-24b ，∴AM=13-12424b b +=+，3)24b =+2QM +33)2())24244b b +++=，∴b=4. 4.（2020·自贡）如图，已知直线AB 与抛物线：y =ax 2+2x +c 相交于点A （-1，0）和点B （2，3）两点. （1）求抛物线C 函数解析式；（2）若点M 是位于直线AB 上方抛物线上的一动点，以MA 、MB 为相邻的两边作平行四边形MANB ，当平行四边形MANB 的面积最大时，求此时平行四边形MANB 的面积S 及点M 的坐标； （3）在抛物线C 的对称轴上是否存在顶点F ，使抛物线C 上任意一点P 到F 的距离等于到直线y =174的距离，若存在，求出定点F 的坐标；若不存在，请说明理由.解：（1）将A （-1，0）和B （2，3）代入抛物线解析式得{a −2+c =04a +4+c =3解得，{a =−1c =3∴抛物线解析式为y =-x 2+2x +3.（2）过M 作MH ∥y 轴，交AB 于H ，设直线AB 为y =kx +b ，将A ，B 坐标代入得，{−k +b =02k +b =3解得，{k =1b =1.∴直线AB 的解析式为y =x +1.设M 为（m ，-m 2+2m +3）,则H （m ，m +1） ∴MH =y M -Y H =(-m 2+2m +3)-( m +1)=-m 2+m +2. ∴S △ABM =S △AMH +S △BMH =12·MH ·（x B -x A ） =12·(-m 2+m +2)·(2+1)=-32(m 2-m )+3 =-32(m -12)2+278.∵四边形MANB 是以MA 、MB 为相邻的两边的平行四边形， ∴△ABM ≌△BAN .∴S 四边形MANB =2 S △ABM =-3(m -12)2+274，∵a =-3＜0且开口向下，∴当m =12时，S 四边形MANB 的最大值为274. 此时，M 坐标为（12，154）. （3）存在，理由如下：过P 作直线y =174的垂线，垂足为T ，∵抛物线为y =-x 2+2x +3=-(x -1)2+4.∴抛物线的对称轴为直线x =1，顶点坐标为（1,4）. 当P 为顶点，即P （1.4）时， 设F 点坐标为（1，t ）， 此时PF =4-t ，PT =174-4=14.∵P 到F 的距离等于到直线y =174的距离，∴4-t =14，即t =154.∴F 为（1，154）设P 点为（a ，-a 2+2a +3）,由勾股定理，PF 2=(a -1)2+(-a 2+2a +3-154)2=a 4-4a 3+132a 2-5a +2516.又∵PT 2=[174-(-a 2+2a +3)]2= a 4-4a 3+132a 2-5a +2516. ∴PF 2=PT 2，即PF =PT .∴当F 为（1，154）时，抛物线C 上任意一点P 到F 的距离等于到直线y =174的距离 .27．（2020·淮安）如图①，在△ABC 中，AB=AC=3，∠BAC=100°，D 是BC 的中点.小明对图①进行了如下探究：在线段AD 上任取一点P ，连接PB.将线段PB 绕点P 按逆时针方向旋转80°，点B 的对应点是点E ，连接BE ，得到△BPE.小明发现，随着点P 在线段AD 上位置的变化，点E 的位置也在变化，点E 可能在直线AD 的左侧，也可能在直线AD 上，还可能在直线AD 的右侧. 请你帮助小明继续探究，并解答下列问题： (1)当点E 在直线AD 上时，如图②所示. ①∠BEP=°；②连接CE ，直线CE 与直线AB 的位置关系是.(2)请在图③中画出△BPE ，使点E 在直线AD 的右侧，连接CE.试判断直线CE 与直线AB 的位置关系，并说明理由.(3)当点P 在线段AD 上运动时，求AE 的最小值.【解题过程】（1）①由题意得，PE=PB ，∠BPE=80°，∴∠BEP=︒=︒-︒50280180； ②如图所示，∵AB=AC ，D 是BC 的中点，∠BAC=100°， ∴∠ABC=︒=︒-︒402100180，∵∠BEP=50°，∴∠BCE=∠CBE=40°， ∴∠ABC=∠BCE ， ∴CE ∥AB.答案：①50°；②平行（2）在DA 延长线上取点F ，使∠BFA=∠CFA=40°，总有△BPE ∽△BFC. 又∵△BPF ∽△BEC ， ∴∠BCE=∠BFP=40°， ∴∠BCE=∠ABC=40°， ∴CE ∥AB.(3)当点P 在线段AD 上运动时，由题意得PB=PE=PC ，∴点B 、E 、C 在以P 为圆心、PB 为半径的圆上， 如图所示：∴AE 的最小值为AC=3.5.（2020·凉山州）如图，抛物线y = ax 2+bx +c 的图象过点A （-1，0）、B （3,0）、C （0,3）. （1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使得△P AC 的周长最小，若存在，请求出点 P 的坐标及△P AC 的周长；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，在x 轴上方的抛物线上是否存在点M （不与C 点重合），使得 S △P AM =S △P AC ，若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.解：（1）由题知⎪⎩⎪⎨⎧==++=+-30390c c b a c b a ，解得⎪⎩⎪⎨⎧==-=321c b a ，∴抛物线的解析式为y = -x 2+2x +3；（2）存在.连接BC 交抛物线对称轴于点P ，此时△P AC 的周长最小.设BC :y =kx +3，则3k +3=0，解得k =-1，∴BC :y =-x +3.由抛物线的轴对称性可得其对称轴为直线x =1，当x =1时，y =-x +3=2，∴P （1,2）.在Rt △OAC 中，AC =2231+=10；在Rt △OBC 中，BC =2233+=32.∵点P 在线段AB 的垂直平分线上，∴P A =PB ，∴△P AC 的周长=AC +PC +P A = AC +PC +PB =AC +BC =10+32.综上，存在符合条件的点P ，其坐标为（1,2），此时△P AC 的周长为10+32；（3）存在.由题知AB =4，∴S △P AC =S △ABC -S △P AB =21×4×3-21×4×2=2.设：AP :y =mx +n ，则⎩⎨⎧=+=+-20n m n m ，解得⎩⎨⎧==11n m ，∴AP :y =x +1. ①过点C 作AP 的平行线交x 轴上方的抛物线于M ，易得CM :y =x +3，由⎩⎨⎧++-=+=3232x x y x y 解得⎩⎨⎧==3011y x ，⎩⎨⎧==4122y x ，∴M （1,4）；②设抛物线对称轴交x 轴于点E （1,0）,则S △P AC =21×2×2=2=S △P AC .过点E 作AP 的平行线交x轴上方的抛物线于M ，设EM :y =x +t ，则1+t =0,∴t =-1，∴EM :y =x -1. 由⎩⎨⎧++-=-=3212x x y x y 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=-=2171217111y x （舍），⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=2171217122y x ，∴M （2171+,2171+-）. 综上，存在符合条件的点M ，其坐标为（1,4）或（2171+,2171+-）.27．（2020·苏州，26，10）已知矩形ABCD 中，AB ＝5cm ，点P 为对角线AC 上的一点，且AP ＝．如图①，动点M 从点A 出发，在矩形边上沿着A →B →C 的方向匀速运动（不包含点C ）．设动点M 的运动时间为t （s ），△APM 的面积为S （cm 2），S 与t 的函数关系如图②所示． （1）直接写出动点M 的运动速度为 cm/s ，BC 的长度为 cm ；（2）如图③，动点M 重新从点A 出发，在矩形边上按原来的速度和方向匀速运动，同时，另一个动点N 从点D 出发，在矩形边上沿着D →C →B 的方向匀速运动，设动点N 的运动速度为v （cm/s ）．已知两动点M ，N 经过时间x （s ）在线段BC 上相遇（不包含点C ），动点M ，N 相遇后立即同时停止运动，记此时△APM 与△DPN 的面积分别为S 1（cm 2），S 2（cm 2） ①求动点N 运动速度v （cm/s ）的取值范围；②试探究S 1•S 2是否存在最大值，若存在，求出S 1•S 2的最大值并确定运动时间x 的值；若不存在，请说明理由．图① 图② 图③（第27题）【解题过程】解：（1）∵t ＝2.5s 时，函数图象发生改变，∴t ＝2.5s 时，M 运动到点B 处，∴动点M 的运动速度为52.5=2cm/s ，∵t ＝7.5s 时，S ＝0，∴t ＝7.5s 时，M 运动到点C 处，∴BC ＝（7.5﹣2.5）×2＝10（cm ）， 故答案为2，10；（2）①∵两动点M ，N 在线段BC 上相遇（不包含点C ），∴当在点C 相遇时，v 527.53==（cm/s ），当在点B 相遇时，v 5102.5+==6（cm/s ），∴动点N 运动速度v （cm/s ）的取值范围为23cm/s ＜v ≤6cm/s ； ②过P 作EF ⊥AB 于F ，交CD 于E ，如图所示：则EF ∥BC ，EF ＝BC ＝10，∴AF APAB AC=，∵AC==∴5AF =解得AF ＝2，∴DE ＝AF ＝2，CE ＝BF ＝3，PF ==4， ∴EP ＝EF ﹣PF ＝6，∴S 1＝S △APM ＝S △APF +S 梯形PFBM ﹣S △ABM 12=⨯4×212+（4+2x ﹣5）×312-⨯5×（2x ﹣5）＝﹣2x +15，S 2＝S △DPM ＝S △DEP +S 梯形EPMC ﹣S △DCM 12=⨯2×612+（6+15﹣2x ）×312-⨯5×（15﹣2x ）＝2x ，∴S 1•S 2＝（﹣2x +15）×2x ＝﹣4x 2+30x ＝﹣4（x 154-）22254+，∵2.5154＜＜7.5，在BC 边上可取，∴当x 154=时，S 1•S 2的最大值为2254．第27题答图6.(2020·巴中)如图,抛物线y ＝ax 2+bx －5(a ≠0)经过x 轴上的点A(1,0)和点B 及y 轴上的点C,经过B,C 两点的直线为y ＝x+n.①求抛物线的解析式;②点P 从A 出发,在线段AB 上以每秒1个单位的速度向B 运动,同时点E 从B 出发,在线段BC 上以每秒2个单位的速度向C运动.当其中一个点到达终点时,另一点也停止运动.设运动时间为t描,求t为何值时,△PBE的面积最大,并求出最大值.③过点A作AM⊥BC与点M,过抛物线上一动点N(不与点B,C重合)作直线AM的平行线交直线BC于点Q,若点A,M,N,Q为顶点的四边形是平行四边形.求点N的横坐标.第26题图分析:①由点A和直线y＝x+n可得方程组,解出系数,求得二次函数的解析式;②根据题意表示出三角形面积,利用二次函数最值进行求解;③分析得到AM平行且等于NQ,设出坐标,利用坐标关系列方程进行求解,并检验.解：①因为点B,C在y＝x+n上,所以B(－n,0),C(0,n),因为点A(1,0)在抛物线上,所以25050 5a ban bnn,解得,a＝－1,b＝6,所以抛物线的解析式为:y＝－x2+6x－5.②由题意得:PB＝4－t,，BE＝2t，由①可知:∠OBC＝45°,点P到BC上的高h＝BPsin45(4－t),所以S△PBE＝12BE h ＝222222t,当t＝2时,S取得最大值为③因为l BC:y＝x－5,所以B(5,0), 因为A(1,0),所以AB＝4,在Rt△ABM中,∠ABM＝45°,AMAB＝M(3,－3)，过点N作x轴的垂线交直线BC于点P交x轴于点H, 设N(m,－m2+6m－5),则H(m,0),P(m,m－5),易证△PQN为等腰直角三角形,即NQ＝PQ＝所以PN＝4.当NH+HP＝4时,即－m2+6m－5－(m－5)＝4, 解之得,m1＝1,m2＝4.当m1＝1时,点N与点A重合,故舍去;当NH+HP＝4时,即m－5－(－m2+6m－5)＝4,解得,m1541,m2541,因为m>5,所以m 541;当NH－HP＝4,即－(－m2+6m－5)－[－(m－5)]＝4,解得,m1541,m2541,因为m<0,所以m 541.综上所述,要使点A,M,N,Q 为顶点的四边形是平行四边形,点N 的横坐标为:4541或541.第26题答图7.（2020·淄博）如图，顶点为M 的抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3与x 轴交于A (3，0)，B (－1，0)两点，与y 轴交于点C ．(1)求这条抛物线对应的函数表达式；(2)问在y 轴上是否存在点P ，使得△P AM 为直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由． (3)若在第一象限的抛物线下方有一动点D ，满足DA ＝OA ，过D 作DG ⊥x 轴于点G ，设△ADG 的内心为I ，试求CI 的最小值．解：(1)将A 、B 两点坐标代入抛物线表达式,得933030a b a b ++=⎧⎨-+=⎩,解得12a b =-⎧⎨=⎩.∴y ＝－x 2＋2x ＋3.(2)假设存在点P ，使△P AM 是直角三角形.当点M 为直角顶点，过M 作CD ⊥y 轴，过A 作AD ⊥x 轴，交CD 于D ，CD 交y 轴于C ，∵∠AMP ＝90°， ∴∠CMP ＋∠AMD ＝90，∴∠CMP ＝∠MAD ，又∵∠DM ＝∠PCM ，∴△CPM ∽△DMA ,∴CM AD ＝PCMD， ∴14＝2PC ，∴PC ＝12，∴P 1(0,72); 当点A 为直角顶点，过A 作CD ⊥x 轴，过M 作MD ⊥y 轴交AD 于D ，过P 作PC ⊥y 轴交CD 于C ，同上△CP A∽△DAM ，∴PC AD ＝AC MD ，∴34＝2AC ，∴AC ＝32，∴P 2(0,－32); 当点P 为直角顶点，过M 作CM ⊥y 轴于C ，∴△CPM ∽△OAP ，∴PC AO ＝CM PO ，∴3PC ＝14-PC，∴PC ＝1或3，∴P 3(0,3)，P 4(0,1).图综上所述，使△P AM 是直角三角形的点P 的是P 1(0,72)，P 2(0,－32)，P 3(0,3)，P 4(0,1).(3)（方法1）由(1)得DA ＝OA ＝3，设D (x ,y )，△ADG 的内切圆半径为r ，则△ADG 的内心I 为(x ＋r ,r ), ∴DG ＝y ,AG ＝3－x由两点距离公式可得()2222339DA x y =-+==①由等面积法得r ＝()33+22y x DG AG DA +---==2y x-②∴()()2223CI x r r =++-③由①②③得(2229123124CI x y -⎡⎤⎡⎤⎛⎫=-+-+ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦，2CI 在3335=512105x y =--，最小，此时CI 也最小，()()min 912253=10-242CI -=（方法2）简解：如图，由内心易知：∠DIA ＝135°，∠DAI ＝∠OAI ，△DAI ≌△OAI （SAS ），∴∠DIA ＝∠OIA ＝135°，则I 在圆周角∠OIA ＝135°⊙T 的圆周上运动，且半径R ＝322，圆心T 为(32,32)，∴CI ＝3102在△CIA 中，CI ≥CT －IT ＝()310-22，当C 、I 、T 三点一线时，()min 3=10-22CI .8.(2020·枣庄)已知抛物线y ＝ax 2+32x+4的对称轴是直线x ＝3，与x 轴相交于A 、B 两点(点B 在点A 的右侧)，与y 轴交于点C.(1)求抛物线的解析式和A 、B 两点的坐标；(2)如图1，若点P 是抛物线上B 、C 两点之间的一个动点(不与B 、C 重合)，是否存在点P ，使四边形PBOC 的面积最大？若存在，求点P 的坐标及四边形PBOC 面积的最大值；若不存在，请说明理由.(2)答图1Iy 12(3)如图2，若点M是抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交直线BC于点N，当MN＝3时，求点M 的坐标.解：(1)抛物线y＝ax2+32x+4的对称轴为:x＝332224ba a a-=-=-＝3,∴a＝14-,∴抛物线的解析式为:y＝14-x2+32x+4,令y＝0,得14-x2+32x+4＝0,解之,得,x1＝－2,x2＝8,∵点B在点A的右侧,∴A(－2,0),B(8,0);(2)连接BC,在抛物线y＝14-x2+32x+4中,令x＝0,得y＝4,∴C(0,4),∴OC＝4,OB＝8,∴S△OBC＝16,∵B(8,0),C(0,4),设l BC：y＝kx+b，得0＝8k+b，4＝b，∴k＝12-,b＝4,l BC：y＝12-x+4,∴过点P作PD∥y轴交BC于点D,过点C作CE垂直PD于点E,过点B作BF⊥PD于点F,则S△PBC＝S△PCD+S△PBD＝12PD×CE+12PD×BF＝12PD×(CE+BF)＝12PD×(x B－x C)＝12PD×8＝4PD,∵点P在抛物线上,设点P(x,14-x2+32x+4),∵PD∥y轴,点D在直线BC上,∴D(x,12-x+4),∵点P在B,C间的抛物线上运动,∴PD＝y P－y D＝14-x2+32x+4－(12-x+4)＝14-x2+2x,S△PBC＝4PD＝4(14-x2+2x)＝－x2+8x＝－(x－4)2+16，∴当x＝4时，S△PBC取最大值16，∴此时S四边形OBPC＝S△OBC+S△PBC＝32;第25题答图(3)∵MN∥y轴,∴设M,N的横坐标为m,∵点M在抛物线上,设点M(m,n),其中n＝14-m2+32m+4,点N在直线BC上,∴N(m,12-m+4),∵点M是抛物线上任意一点,∴点M和点N的上下位置关系不确定,∴MN＝|14-m2+32m+4－(12-m+4)|＝|14-x2+2x|,∵MN＝3,∴|14-x2+2x|＝3,即14-x2+2x＝3或14-x2+2x＝－3,解这两个方程,得m1＝2,m2＝6, m3＝4+4＝4－∴n1＝6, n2＝4, n3－1, n4－1,∴M1(2,6), M2(6,4), M3(4+－1), M 4(4－1).9.(2020· 聊城)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y ＝ax 2+bx+c 与x 轴交于点A(－2,0),点B(4,0),与y 轴交于点C(0,8),连接BC,又已知位于y 轴右侧且垂直于x 轴的动直线l,沿x 轴正方向从O 运动到B(不含O 点和B 点),且分别交抛物线,线段BC 以及x 轴于点P,D,E. (1)求抛物线的表达式;(2)连接AC,AP,当直线l 运动时,求使得△PEA 和△AOC 相似的点P 的坐标; (3)作PF ⊥BC,垂足为F,当直线l 运动时,求Rt △PFD 面积的最大值.第25题图解：(1)由已知,将C(0,8)代入y ＝ax 2+bx+c,∴c ＝8,将点A(－2,0)和B(4,0)代人y ＝ax 2+bx+8,得428016480a b a b -+=⎧⎨++=⎩,解得12a b =-⎧⎨=⎩,∴抛物线的表达式为y ＝－x 2+2x+8; (2)∵A(－2,0),C(0,8),∴OA ＝2,OC ＝8,∵l ⊥x 轴,∠PEA ＝∠AOC ＝90°,∵∠PAE ≠∠CAO,只有当∠PAE ＝∠ACO 时,△PEA ∽△AOC.此时AE PECO AO=,∴AE ＝4PE.设点P 的纵坐标为k,则PE ＝k,AE ＝4k,∴OE ＝4k －2,P 点的坐标为(4k －2,k),将P(4k －2,k)代入y ＝－x 2+2x+8,得－(4k －2)2+2(4k －2)+8＝k,解得k 1＝0(舍去),k 2＝2316,当k ＝2316时,4k －2＝154,∴P 点的坐标为(154,2316). (3)在Rt △PFD 中,∠PFD ＝∠COB ＝90°,∵l ∥y 轴,∴∠PDF ＝∠OCB,∴Rt △PFD ∽Rt △BOC,∴2PFD=S PD S BC ⎛⎫ ⎪⎝⎭△△BOC,∴S △PFD ＝2PD S BC ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭△BOC ,由B(4,0)知OB ＝4,又∵OC ＝8,∴BC 又S △BOC ＝12OB OC ⋅＝16,∴S △PFD ＝215PD ,∴当PD 最大时,S △PFD 最大.由B(4,0),C(0,8)可解得BC 所在直线的表达式为y ＝－2x+8,设P(m,－m 2+2m+8),则D(m,－2m+8),∴PD ＝－(m －2)2+4,当m ＝2时,PD 取得最大值4,∴当PD ＝4时,S △PFD ＝165,为最大值.10.（2020·济宁）如图1，在矩形ABCD 中，AB ＝8，AD ＝10，E 是CD 边上一点，连接AE ，将矩形ABCD 沿AE 折叠，顶点D 恰好落在BC 边上点F 处，延长AE 交BC 的延长线于点G ． （1）求线段CE 的长；（2）如图2，M，N分别是线段AG,DG上的动点（与端点不重合），且∠DMN＝∠DAM，设AM＝x，DN＝y．①写出y关于x的函数解析式，并求出y的最小值；②是否存在这样的点M，使△DMN是等腰三角形？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．解：（1）由折叠可得AF＝AD＝10,EF＝ED,矩形ABCD中，∠B＝90°，∴AB2＋BF2＝AF2,∴6, BF===∴CF＝BC－BF＝AD－BF＝10－6＝4．设CE＝x，则EF＝DE＝CD－CE＝AB－CE＝8－x，∵EF2＝CE2＋CF2．∴(8－x)2＝x2＋42．∴x＝3，∴CE＝3．（2）①∵矩形ABCD中，AD∥BC，∴∠DAG＝∠AGF,∵∠DAG＝∠F AG, ∠DAG＝∠AGF,∴∠F AG＝∠AGF,∴AF＝FG＝10，∴BG＝BF＋FG＝6＋10＝16．∵矩形ABCD中∠B＝90°，∴AB2＋BG2＝AG2,∴AG==∵AD＝FG，AD∥FG,∴四边形AFGE是平行四边形，又∵AD＝AF，∴平行四边形AFGE是菱形，∴DG＝DA＝10，∴∠DAG＝∠DGA,∵∠DMG＝∠DMN＋∠NAG＝∠DAM＋∠ADM, ∠DMN＝∠DAM，∴∠NMG＝∠ADM．在△ADM和△MNG中，∠ADM＝∠NMG, ∠DAG＝∠DGA,∴△ADM∽△GMN．∴AD AMMG NG=10xy=-，∴2110105y x x=-+，∵110＞0，∴当51210x=-=⨯时，y有最小值为214101021410⎛⨯⨯-⎝⎭=⨯．∴y关于x的函数解析式是：211010y x x=-+，当x=y有最小值为2．②在△DMN 和△DMG 中，∠DMN ＝∠DGM ，∠MDG ＝∠MDG ,∴△DMN 和△DMG 是相似三角形． 当△DMG 是等腰三角形时，△DMN 也是等腰三角形．∵M 不与A 重合，∴DM ≠DG ,∴△DMG 是等腰三角形只有GM ＝GD 或DM ＝GM 两种情况：（1）如图3，当△DMG 中GM ＝GD ＝10时，△DMN 也是等腰三角形，即x ＝AG －MG ＝10;（2）如图4，当△DMG 中DM ＝GM 时，△DMN 也是等腰三角形，∴∠MDG ＝∠DGM ，∴∠DAG ＝∠MDG ＝∠MDG ,∴△ADG ∽△DMG ，∴AD AGMG DG =,=x综上：当x 的值为2△DMN 是等腰三角形．11.（2020·滨州）如图①，抛物线y ＝－x 2+x +4与y 轴交于点A ，与x 轴交于点B ，C ，将直线AB 绕点A 逆时针旋转90°，所得直线与x 轴交于点D ． （1）求直线AD 的函数解析式；（2）如图②，若点P 是直线AD 上方抛物线上的一个动点 ①当点P 到直线AD 的距离最大时，求点P 的坐标和最大距离； ②当点P 到直线AD 的距离为时，求sin ∠P AD 的值．解：（1）当x ＝0时，y ＝4，则点A 的坐标为（0，4），………………………………………1分 当y ＝0时，0＝－x 2+x +4，解得x 1＝－4，x 2＝8， 则点B 的坐标为（－4，0），点C 的坐标为（8，0），∴OA＝OB＝4，∴∠OBA＝∠OAB＝45°．∵将直线AB绕点A逆时针旋转90°得到直线AD，∴∠BAD＝90°，∴OAD＝45°，∴∠ODA＝45°，∴OA＝OD，∴点D的坐标为（4，0）．………………………………………………………………………2分设直线AD的函数解析式为y＝kx+b，，得，即直线AD的函数解析式为y＝－x+4．……………………………………………………………4分（2）作PN⊥x轴交直线AD于点N，如右图①所示，设点P的坐标为（t，－t2+t+4），则点N的坐标为（t，－t+4），∴PN＝（－t2+t+4）－（－t+4）＝－t2+t，………………………………………………6分∴PN⊥x轴，∴PN∥y轴，∴∠OAD＝∠PNH＝45°．作PH⊥AD于点H，则∠PHN＝90°，∴PH＝＝（－t2+t）＝t＝－（t－6）2+，∴当t＝6时，PH取得最大值，此时点P的坐标为（6，），………………………………8分即当点P到直线AD的距离最大时，点P的坐标是（6，），最大距离是．………………9分②当点P到直线AD的距离为时，如右图②所示，则t＝，解得t1＝2，t2＝10，………………………………………………………………………10分则P1的坐标为（2，），P2的坐标为（10，－）．当P1的坐标为（2，），则P1A＝＝，∴sin∠P1AD＝＝；…………………………………………………………12分当P 2的坐标为（10，－），则P 2A ＝＝，∴sin ∠P 2AD ＝＝；由上可得，sin ∠P AD 的值是或．……………………………………………14分二、填空题16.（2020·南充）如图，矩形硬纸片ABCD 的顶点A 在y 轴的正半轴及原点上滑动，顶点B 在x 轴的正半轴及原点上滑动，点E 为AB 的中点，24AB =，5BC =．给出下列结论：①点A 从点O 出发，到点B 运动至点O 为止，点E 经过的路径长为12π；②OAB ∆的面积最大值为144；③当OD 最大时，点D 的坐标为，．其中正确的结论是 ．（填写序号）【答案】②③ 【解析】点E 为AB 的中点，24AB =，1122OE AB ∴==， AB ∴的中点E 的运动轨迹是以点O 为圆心，12为半径的一段圆弧，90AOB ∠=︒，∴点E 经过的路径长为90126180ππ⨯⨯=，故①错误； 当OAB ∆的面积最大时，因为24AB =，所以OAB ∆为等腰直角三角形，即OA OB =， E 为AB 的中点，OE AB ∴⊥，1122OE AB ==， ∴124121442AOB S ∆=⨯⨯=，故②正确；如图，当O 、E 、D 三点共线时，OD 最大，过点D 作DF y ⊥轴于点F ， 5AD BC ==，1122AE AB ==，∴13DE ===，131225OD DE OE ∴=+=+=， 设DF x =，∴OF =，四边形ABCD 是矩形，90DAB ∴∠=︒，DFA AOB ∴∠=∠，DAF ABO ∴∠=∠， DFA AOB ∴∆∆∽∴DF DA OA AB =，∴524x OA =，∴245x OA =， E 为AB 的中点，90AOB ∠=︒，AE OE ∴=，AOE OAE ∴∠=∠，DFO BOA ∴∆∆∽，∴OD OF AB OA=，∴25245=，解得x =x =舍去，∴OF =，∴D ．故③正确． 故答案为：②③．【知识点】直角形的性质；矩形的性质；相似三角形的判定和性质三、解答题17. （2019 · 镇江）如图，菱形ABCD 的顶点B 、C 在x 轴上(B 在C 的左侧），顶点A 、D 在x 轴上方，对角线BD(2,0)E -为BC 的中点，点P 在菱形ABCD 的边上运动．当点(0,6)F 到EP 所在直线的距离取得最大值时，点P 恰好落在AB 的中点处，则菱形ABCD 的边长等于( )A ．103BC ．163D ．3【答案】A【解析】如图1中，当点P 是AB 的中点时，作FG PE ⊥于G ，连接EF ．(2,0)E -，(0,6)F ，2OE ∴=，6OF =，EF ∴=90FGE ∠=︒，FG EF ∴，∴当点G 与E 重合时，FG 的值最大．如图2中，当点G 与点E 重合时，连接AC 交BD 于H ，PE 交BD 于J ．设2BC a =．PA PB =，BE EC a ==，//PE AC ∴，BJ JH =，四边形ABCD 是菱形，AC BD ∴⊥，BH DH ==BJ PE BD ∴⊥，90BJE EOF PEF ∠=∠=∠=︒，EBJ FEO ∴∠=∠， BJE EOF ∴∆∆∽， ∴BE BJ EF EO=，∴62=， 53a ∴=， 1023BC a ∴==， 故选：A ．【知识点】菱形的性质；平面直角坐标系；相似三角形的判定和性质；垂线段最短。

学生做题前请先回答以下问题问题1：几何综合的思考流程是什么？问题2：几何综合中常见结构、常用模型有哪些？问题3：直角的思考角度有哪些？边：____________________；角：____________________；面积：多个直角，把直角当作高，常考虑____________________；固定模型和用法：①直角+中点______________________；②直角+特殊角____________________；③直角+角平分线__________________；④直角三角形斜边上的高___________；⑤弦图结构；⑥三等角模型；⑦斜直角放正.函数背景下考虑：______________________________；圆背景下考虑：________________________________．问题4：轴对称思考层次有哪些？问题5：旋转思考层次有哪些？问题6：圆的思考角度有哪些？几何综合及几何最值问题一、单选题(共10道，每道10分)1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，，沿△ABC的中线OC将△AOC折叠，使点A落在点D处．若CD⊥AB于点M，则tanA的值为( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：直角三角形两锐角互余2.如图，BE，CF分别是△ABC两边上的高，M为BC的中点．若EF=6，BC=10，则△MEF的边ME上的高为( )A. B. C.4 D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：等面积法3.如图，在矩形ABCD中，E是AD的中点，F是CE的中点，若△BDF的面积为6，则矩形ABCD的面积为( )A.24B.36C.48D.72答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：转化法（等底或等高）求面积4.如图，在矩形ABCD中，，BC=3，F为CD的中点，EF⊥BF交AD于点E，连接CE交BF于点G，则EG的长为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：类倍长中线5.如图，在四边形ABCD中，M为BC边的中点．若∠B=∠AMD=∠C=45°，AB=8，CD=9，则AD的长为( )A.3B.4C.5D.6答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：三等角模型6.如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点A的坐标是(0，2)，顶点B在x轴负半轴上，对角线AC，BD相交于点M，，则点D的坐标是( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：弦图模型7.如图，在半径为3的⊙O中，B是劣弧的中点，连接AB并延长至点D，使BD=AB，连接AC，BC，CD．若AB=2，则CD的长为( )A.2B.1C.D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：圆心角、弧、弦的关系8.如图，直线与半径为4的⊙O相切于点A，P是⊙O上的一个动点（不与点A重合），过点P作PB⊥于点B，连接PA，设，则的最大值是( )A.1B.2C.4D.6答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：二次函数最值9.如图，在菱形ABCD中，AB=4，∠ABC=60°，P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为( )A.2B.C.4D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：轴对称—最短路线问题10.如图，在Rt△POQ中，OP=OQ=4，M是PQ的中点，把一块直角三角板的直角顶点放在点M处，并将此三角板绕点M旋转，三角板的两直角边与边OP，OQ分别交于点A，B，连接AB．则在旋转三角板的过程中，△AOB周长的最小值为( )A. B.C.6D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：斜直角的处理思路（斜转直）。

几何最值问题一．选择题（共6小题）1．（2015孝感一模）如图，已知等边△ABC的边长为6，点D为AC的中点，点E为BC的中点，点P为BD上一点，则PE+PC的最小值为（）A．3B．3C．2D．3考点：轴对称-最短路线问题．分析：由题意可知点A、点C关于BD对称，连接AE交BD于点P，由对称的性质可得，PA=PC，故PE+PC=AE，由两点之间线段最短可知，AE即为PE+PC的最小值．解答：解：∵△ABC是等边三角形，点D为AC的中点，点E为BC的中点，∴BD⊥AC，EC=3，连接AE，线段AE的长即为PE+PC最小值，∵点E是边BC的中点，∴AE⊥BC，∴AE===3，∴PE+PC的最小值是3．故选D．点评：本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知等边三角形的性质是解答此题的关键．2．（2014•鄂城区校级模拟）如图，在直角坐标系中有线段AB，AB=50cm，A、B到x轴的距离分别为10cm和40cm，B点到y轴的距离为30cm，现在在x轴、y轴上分别有动点P、Q，当四边形PABQ的周长最短时，则这个值为（）A．50B．50C．50﹣50D．50+50考点：轴对称-最短路线问题；坐标与图形性质．专题：压轴题．分析：过B点作BM⊥y轴交y轴于E点，截取EM=BE，过A点作AN⊥x轴交x轴于F点，截取NF=AF，连接MN交X，Y轴分别为P，Q点，此时四边形PABQ的周长最短，根据题目所给的条件可求出周长．解答：解：过B点作BM⊥y轴交y轴于E点，截取EM=BE，过A点作AN⊥x轴交x轴于F 点，截取NF=AF，连接MN交x，y轴分别为P，Q点，过M点作MK⊥x轴，过N点作NK⊥y轴，两线交于K点．MK=40+10=50，作BL⊥x轴交KN于L点，过A点作AS⊥BP交BP于S点．∵LN=AS==40．∴KN=60+40=100．∴MN==50．∵MN=MQ+QP+PN=BQ+QP+AP=50．∴四边形PABQ的周长=50+50．故选D．点评：本题考查轴对称﹣最短路线问题以及坐标和图形的性质，本题关键是找到何时四边形的周长最短，以及构造直角三角形，求出周长．3．（2014秋•贵港期末）如图，AB⊥BC，AD⊥DC，∠BAD=110°，在BC、CD上分别找一点M、N，当△AMN周长最小时，∠MAN的度数为（）A．30°B．40°C．50°D．60°考点：轴对称-最短路线问题．分析：根据要使△AMN的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和CD的对称点A′，A″，即可得出∠AA′M+∠A″=∠HAA′=70°，进而得出∠MAB+∠NAD=70°，即可得出答案．解答：解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，则A′A″即为△AMN的周长最小值，作DA延长线AH，．∵∠DAB=110°，∴∠HAA′=70°，∴∠AA′M+∠A″=∠HAA′=70°，∵∠MA′A=∠MAB，∠NAD=∠A″，∴∠MAB+∠NAD=70°，∴∠MAN=110°﹣70°=40°．故选B．点评：本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出M，N的位置是解题关键．4．（2014•无锡模拟）如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A，B分别在OM、ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=．运动过程中，当点D到点O的距离最大时，OA长度为（）A．B．C．2D．考点：勾股定理；三角形三边关系；直角三角形斜边上的中线．分析：取AB的中点，连接OE、DE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出OE，利用勾股定理列式求出DE，然后根据三角形的任意两边之和大于第三边判断出O、E、D三点共线时点D到点O的距离最大，过点A作AF⊥OD于F，利用∠ADE的余弦列式求出DF，从而得到点F是OD的中点，判断出AF垂直平分OD，再根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得OA=AD．解答：解：如图，取AB的中点，连接OE、DE，∵∠MON=90°，∴OE=AE=AB=×2=1，∵三边形ABCD是矩形，∴AD=BC=，在Rt△ADE中，由勾股定理得，DE===2，由三角形的三边关系得，O、E、D三点共线时点D到点O的距离最大，此时，OD=OE+DE=1+2=3，过点A作AF⊥OD于F，则cos∠ADE==，即=，解得DF=，∵OD=3，∴点F是OD的中点，∴AF垂直平分OD，∴OA=AD=．故选B．点评：本题考查了勾股定理，三角形的任意两边之和大于第三边，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，作辅助线并判断出OD最大时的情况是解题的关键，作出图形更形象直观．5．（2015•鞍山一模）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边BC上且CE=1，长为的线段MN在AC上运动，当四边形BMNE的周长最小时，则tan∠MBC的值是（）A．B．C．D．1考点：轴对称-最短路线问题；正方形的性质．分析：根据题意得出作EF∥AC且EF=，连结DF交AC于M，在AC上截取MN=，此时四边形BMNE的周长最小，进而利用相似三角形的判定与性质得出答案．解答：解：作EF∥AC且EF=，连结DF交AC于M，在AC上截取MN=，延长DF交BC 于P，作FQ⊥BC于Q，则四边形BMNE的周长最小，由∠FEQ=∠ACB=45°，可求得FQ=EQ=1，∵∠DPC=∠FPQ，∠DCP=∠FQP，∴△PFQ∽△PDC，∴=，∴=，解得：PQ=，∴PC=，由对称性可求得tan∠MBC=tan∠PDC==．故选：A．点评：此题主要考查了正方形的性质以及相似三角形的判定与性质，得出M，N的位置是解题关键．6．（2015•江干区一模）如图，△ABC中，CA=CB，AB=6，CD=4，E是高线CD的中点，以CE为半径⊙C．G是⊙C上一动点，P是AG中点，则DP的最大值为（）A．B．C．2D．考点：圆的综合题．分析：根据等腰三角形的性质可得点D是AB的中点，然后根据三角形中位线定理可得DP=BG，然后利用两点之间线段最短就可解决问题．解答：解：连接BG，如图．∵CA=CB，CD⊥AB，AB=6，∴AD=BD=AB=3．又∵CD=4，∴BC=5．∵E是高线CD的中点，∴CE=CD=2，∴CG=CE=2．根据两点之间线段最短可得：BG≤CG+CB=2+5=7．当B、C、G三点共线时，BG取最大值为7．∵P是AG中点，D是AB的中点，∴PD=BG，∴DP最大值为．故选A．点评：本题主要考查了圆的综合题，涉及了等腰三角形的性质、三角形中位线定理、勾股定理、两点之间线段最短等知识，利用三角形中位线定理将DP转化为BG是解决本题的关键．二．填空题（共3小题）7．（2014•江阴市校级模拟）如图，线段AB的长为4，C为AB上一动点，分别以AC、BC 为斜边在AB的同侧作等腰直角△ACD和等腰直角△BCE，那么DE长的最小值是2．考点：等腰直角三角形．分析：设AC=x，BC=4﹣x，根据等腰直角三角形性质，得出CD=x，CD′=（4﹣x），根据勾股定理然后用配方法即可求解．解答：解：设AC=x，BC=4﹣x，∵△ABC，△BCD′均为等腰直角三角形，∴CD=x，CD′=（4﹣x），∵∠ACD=45°，∠BCD′=45°，∴∠DCE=90°，∴DE2=CD2+CE2=x2+（4﹣x）2=x2﹣4x+8=（x﹣2）2+4，∴当x取2时，DE取最小值，最小值为：4．故答案为：2．点评：本题考查了二次函数最值及等腰直角三角形，难度不大，关键是掌握用配方法求二次函数最值．8．（2012•河南校级模拟）如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=8，E为CD边的中点，点P、Q 为BC边上两个动点，且PQ=2，当BP=4时，四边形APQE的周长最小．考点：轴对称-最短路线问题．专题：压轴题．分析：要使四边形APQE的周长最小，由于AE与PQ都是定值，只需AP+EQ的值最小即可．为此，先在BC边上确定点P、Q的位置，可在AD上截取线段AF=DE=2，作F点关于BC 的对称点G，连接EG与BC交于一点即为Q点，过A点作FQ的平行线交BC于一点，即为P点，则此时AP+EQ=EG最小，然后过G点作BC的平行线交DC的延长线于H 点，那么先证明∠GEH=45°，再由CQ=EC即可求出BP的长度．解答：解：如图，在AD上截取线段AF=DE=2，作F点关于BC的对称点G，连接EG与BC 交于一点即为Q点，过A点作FQ的平行线交BC于一点，即为P点，过G点作BC的平行线交DC的延长线于H点．∵GH=DF=6，EH=2+4=6，∠H=90°，∴∠GEH=45°．设BP=x，则CQ=BC﹣BP﹣PQ=8﹣x﹣2=6﹣x，在△CQE中，∵∠QCE=90°，∠CEQ=45°，∴CQ=EC，∴6﹣x=2，解得x=4．故答案为4．点评：本题考查了矩形的性质，轴对称﹣最短路线问题的应用，题目具有一定的代表性，是一道难度较大的题目，对学生提出了较高的要求．9．（2013•武汉）如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE=DF．连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是﹣1．考点：正方形的性质．专题：压轴题．分析：根据正方形的性质可得AB=AD=CD，∠BAD=∠CDA，∠ADG=∠CDG，然后利用“边角边”证明△ABE和△DCF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠1=∠2，利用“SAS”证明△ADG和△CDG全等，根据全等三角形对应角相等可得∠2=∠3，从而得到∠1=∠3，然后求出∠AHB=90°，取AB的中点O，连接OH、OD，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OH=AB=1，利用勾股定理列式求出OD，然后根据三角形的三边关系可知当O、D、H三点共线时，DH的长度最小．解答：解：在正方形ABCD中，AB=AD=CD，∠BAD=∠CDA，∠ADG=∠CDG，在△ABE和△DCF中，，∴△ABE≌△DCF（SAS），∴∠1=∠2，在△ADG和△CDG中，，∴△ADG≌△CDG（SAS），∴∠2=∠3，∴∠1=∠3，∵∠BAH+∠3=∠BAD=90°，∴∠1+∠BAH=90°，∴∠AHB=180°﹣90°=90°，取AB的中点O，连接OH、OD，则OH=AO=AB=1，在Rt△AOD中，OD===，根据三角形的三边关系，OH+DH＞OD，∴当O、D、H三点共线时，DH的长度最小，最小值=OD﹣OH=﹣1．（解法二：可以理解为点H是在Rt△AHB，AB直径的半圆上运动当O、H、D三点共线时，DH长度最小）故答案为：﹣1．点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，三角形的三边关系，确定出DH最小时点H的位置是解题关键，也是本题的难点．三．解答题（共1小题）10．（2015•黄冈中学自主招生）阅读下面材料：小伟遇到这样一个问题：如图1，在△ABC（其中∠BAC是一个可以变化的角）中，AB=2，AC=4，以BC为边在BC的下方作等边△PBC，求AP的最大值．小伟是这样思考的：利用变换和等边三角形将边的位置重新组合．他的方法是以点B为旋转中心将△ABP逆时针旋转60°得到△A′BC，连接A′A，当点A落在A′C上时，此题可解（如图2）．请你回答：AP的最大值是6．参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：如图3，等腰Rt△ABC．边AB=4，P为△ABC内部一点，则AP+BP+CP的最小值是（或不化简为）．（结果可以不化简）考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；勾股定理；等腰直角三角形．专题：几何综合题．分析：（1）根据旋转的性质知A′A=AB=BA′=2，AP=A′C，所以在△AA′C中，利用三角形三边关系来求A′C即AP的长度；（2）以B为中心，将△APB逆时针旋转60°得到△A'P'B．根据旋转的性质推知PA+PB+PC=P'A′+P'B+PC．当A'、P'、P、C四点共线时，（P'A′+P'B+PC）最短，即线段A'C最短．然后通过作辅助线构造直角三角形A′DC，在该直角三角形内利用勾股定理来求线段A′C的长度．解答：解：（1）如图2，∵△ABP逆时针旋转60°得到△A′BC，∴∠A′BA=60°，A′B=AB，AP=A′C∴△A′BA是等边三角形，∴A′A=AB=BA′=2，在△AA′C中，A′C＜AA′+AC，即AP＜6，则当点A′A、C三点共线时，A′C=AA′+AC，即AP=6，即AP的最大值是：6；故答案是：6．（2）如图3，∵Rt△ABC是等腰三角形，∴AB=BC．以B为中心，将△APB逆时针旋转60°得到△A'P'B．则A'B=AB=BC=4，PA=P′A′，PB=P′B，∴PA+PB+PC=P′A′+P'B+PC．∵当A'、P'、P、C四点共线时，（P'A+P'B+PC）最短，即线段A'C最短，∴A'C=PA+PB+PC，∴A'C长度即为所求．过A'作A'D⊥CB延长线于D．∵∠A'BA=60°（由旋转可知），∴∠1=30°．∵A'B=4，∴A'D=2，BD=2，∴CD=4+2．在Rt△A'DC中A'C====2+2；∴AP+BP+CP的最小值是：2+2（或不化简为）．故答案是：2+2（或不化简为）．点评：本题综合考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理以及等边三角形的判定与性质．注意：旋转前、后的图形全等．。

平面几何的最值问题阅读与思考几何中的最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个确定的量（如线段长度、角度大小、图形面积）等的最大值或最小值． 求几何最值问题的基本方法有：1．特殊位置与极端位置法：先考虑特殊位置或极端位置，确定最值的具体数据，再进行一般情形下的推证．2．几何定理（公理）法：应用几何中的不等量性质、定理．3．数形结合法等：揭示问题中变动元素的代数关系，构造一元二次方程、二次函数等．例题与求解【例1】在Rt △ABC 中，CB =3，CA =4，M 为斜边AB 上一动点．过点M 作MD ⊥AC 于点D ，过M 作ME ⊥CB 于点E ，则线段DE 的最小值为 ．（四川省竞赛试题）解题思路：四边形CDME 为矩形，连结CM ，则DE = CM ，将问题转化为求CM 的最小值．【例2】如图，在矩形ABCD 中，AB =20cm ，BC =10cm ．若在AC ，AB 上各取一点M ，N ，使BM +MN 的值最小，求这个最小值．（北京市竞赛试题）ADMN解题思路：作点B 关于AC 的对称点B ′，连结B ′M ，B ′A ，则BM = B ′M ，从而BM +MN = B ′M +MN ．要使BM +MN 的值最小，只需使B ′M 十MN 的值最小，当B ′，M ，N 三点共线且B ′N ⊥AB 时，B ′M +MN 的值最小．【例3】如图，已知□ABCD ，AB =a ，BC =b (b a )，P 为AB 边上的一动点，直线DP 交CB 的延长线于Q ．求AP +BQ 的最小值． （永州市竞赛试题）PDA BQ解题思路：设AP =x ，把AP ，BQ 分别用x 的代数式表示，运用不等式以ab b a 222≥+或a +b ≥2ab（当且仅当a =b 时取等号）来求最小值． 【例4】阅读下列材料：问题 如图1，一圆柱的底面半径为5dm ，高AB 为5dm ，BC 是底面直径，求一只蚂蚁从A 点出发沿圆柱表面爬行到C 点的最短路线． 小明设计了两条路线：图2图1摊平沿AB 剪开ACBBA路线1：侧面展开图中的线段AC ．如图2所示．设路线l 的长度为l 1，则l 12 =AC 2=AB 2 +BC 2 =25+(5π) 2=25+25π2． 路线2：高线AB 十底面直径BC ．如图1所示．设路线l 的长度为l 2，则l 22 = (BC +AB )2=(5+10)2 =225．∵l 12 – l 22 = 25+25π2－225=25π2－200=25(π2－8)，∴l 12 ＞l 22 ，∴ l 1＞l 2 ． 所以，应选择路线2．条路线才能使蚂蚁从点A 出发沿圆柱表面爬行到C 点的路线最短． （衢州市中考试题）解题思路：本题考查平面展开一最短路径问题．比较两个数的大小，有时比较两个数的平方比较简便．比较两个数的平方，通常让这两个数的平方相减．【例5】如图，已知边长为4的正方形钢板，有一个角锈蚀，其中AF =2，BF =1．为了合理利用这块钢板，将在五边形EABCD 内截取一个矩形块MDNP ，使点P 在AB 上，且要求面积最大，求钢板的最大利用率． （中学生数学智能通讯赛试题）NME DAB解题思路：设DN =x ，PN =y ，则S =xy ．建立矩形MDNP 的面积S 与x 的函数关系式，利用二次函数性质求S 的最大值，进而求钢板的最大利用率．【例6】如图，在四边形ABCD 中，AD =DC =1，∠DAB =∠DCB =90°，BC ，AD 的延长线交于P ，求AB ·S △P AB 的最小值． （中学生数学智能通讯赛试题）1ABD解题思路：设PD =x (x >1)，根据勾股定理求出PC ，证Rt △PCD ∽Rt △P AB ，得到PCPACD AB ，求出AB ，根据三角形的面积公式求出y =AB ·S △P AB ，整理后得到y ≥4，即可求出答案．能力训练A 级1．如图，将两张长为8、宽为2的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形．容易知道当两张纸条垂直时，菱形的周长有最小值，那么菱形周长的最大值是 ． （烟台市中考试题）2．D 是半径为5cm 的⊙O 内一点，且OD =3cm ，则过点O 的所有弦中，最短的弦AB = cm ． （广州市中考试题）3．如图，有一个长方体，它的长BC =4，宽AB =3，高BB 1=5．一只小虫由A 处出发，沿长方体表面爬行到C 1，这时小虫爬行的最短路径的长度是 ． （“希望杯”邀请赛试题）DD 1第1题图 第3题图 第4题图 第5题图4．如图，在△ABC 中，AB =10，AC =8，BC =6，经过点C 且与边AB 相切的动圆与CB ，CA 分别相交于点E ，F ，则线段EF 长度的最小值是( ) （兰州市中考试题）A ．42B ．4. 75C ．5D ．4. 85．如图，圆锥的母线长OA =6，底面圆的半径为2．一小虫在圆锥底面的点A 处绕圆锥侧面一周又回到点A ，则小虫所走的最短距离为( ) （河北省竞赛试题） A ．12B ．4πC ．62D ．636．如图，已知∠MON = 40°，P 是∠MON 内的一定点，点A ，B 分别在射线OM ，ON 上移动，当△P AB 周长最小时，∠APB 的值为( ) （武汉市竞赛试题） A ．80° B ．100° C ．120° D ．140° 7．如图， ⌒AD 是以等边三角形ABC 一边AB 为半径的四分之一圆周，P 为AD 上任意一点．若AC =5，则四边形ACBP 周长的最大值是( ) （福州市中考试题） A ．15B ．20C ．15+52D ．15+55NM NMAOPBDCBCA DBA PE第6题图 第7题图 第8题图 8．如图，在正方形ABCD 中，AB =2，E 是AD 边上一点（点E 与点A ，D 不重合），BE 的垂直平分线交AB 于M ，交DC 与N ．(1) 设AE =x ，四边形ADNM 的面积为S ，写出S 关于x 的函数关系式．(2) 当AE 为何值时，四边形ADNM 的面积最大？最大值是多少？ （山东省中考试题）9．如图，六边形ABCDEF 内接于半径为r 的⊙O ，其中AD 为直径，且AB =CD =DE =F A ． (1) 当∠BAD =75°时，求⌒BC 的长； (2) 求证：BC ∥AD ∥FE ；(3) 设AB =x ，求六边形ABCDEF 的周长l 关于x 的函数关系式，并指出x 为何值时，l 取得最大值．10．如图，已知矩形ABCD 的边长AB =2，BC =3，点P 是AD 边上的一动点（P 异于A 、D ）．Q 是BC边上任意一点．连结AQ，DQ，过P作PE∥DQ交于AQ于E，作PF//AQ交DQ于F．(1) 求证：△APE∽△ADQ；(2) 设AP的长为x，试求△PEF的面积S△PEF关于x的函数关系式，并求当P在何处时，S△PEF取得最大值？最大值为多少？(3) 当Q在何处时，△ADQ的周长最小？（须给出确定Q在何处的过程或方法，不必证明）（无锡市中考试题）B Q11．在等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=6．动点M，N分别在两腰AB，AC上(M不与A，B重合，N不与A，C重合)，且MN∥BC．将△AMN沿MN所在的直线折叠，使点A的对应点为P．(1)当MN为何值时，点P恰好落在BC上？(2)设MN=x，△MNP与等腰△ABC重叠部分的面积为y，试写出y与x的函数关系式，当x为何值时，y的值最大，最大值是多少？（宁夏省中考试题）B CAB级1．已知凸四边形ABCD中，AB+AC+CD= 16，且S四边彤ABCD=32，那么当AC= ，BD= 时，四边形ABCD面积最大，最大值是．（“华杯赛”试题）2．如图，已知△ABC的内切圆半径为r，∠A=60°，BC=23，则r的取值范围是．（江苏省竞赛试题）DBAB CAA第2题图第3题图第4题图第5题图3．如图⊙O的半径为2，⊙O内的一点P到圆心的距离为1，过点P的弦与劣弧⌒AB组成一个弓形，则此弓形面积的最小值为．4．如图，△ABC的面积为1，点D，G，E和F分别在边AB，AC，BC上，BD＜DA，DG∥BC，DE ∥AC ，GF ∥AB ，则梯形DEFG 面积的最大可能值为 ．（上海市竞赛试题）5．已知边长为a 的正三角形ABC ，两顶点A ，B 分别在平面直角坐标系的x 轴，y 轴的正半轴上滑动，点C 在第一象限，连结OC ，则OC 的最大值是 ．（潍坊市中考试题）6．已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD =2，BC =DC =5，点P 在BC 上移动，则当P A + PD 取最小值时，△APD 中边AP 上的高为( ) （鄂州市中考试题）A ．17172B ．17174C ．17178D ．3QADBCA BDCPP第6题图 第7题图 第8题图7．如图，正方形ABCD 的边长为4cm ，点P 是BC 边上不与点B ，C 重合的任意一点，连结AP ，过点P 作PQ ⊥AP 交DC 于点Q ．设BP 的长为x cm ，CQ 的长为y cm ． (1) 求点P 在BC 上运动的过程中y 的最大值；(2) 当y =41cm 时，求x 的值． （河南省中考试题）8．如图，y 轴正半轴上有两点A (0，a )，B (0，b )，其中a >b >0．在x 轴上取一点C ，使∠ACB 最大，求C 点坐标． （河北省竞赛试题）9．如图，正方形ABCD 的边长为1，点M ，N 分别在BC ，CD 上，使得△CM N 的周长为2．求： (1) ∠MAN 的大小；(2) △MAN 的面积的最小值． （“宇振杯”上海市竞赛试题）10，如图，四边形ABCD 中，AD = CD ，∠DAB =∠ACB =90°，过点D 作DE ⊥AC 于F ，DE 与AB相交于点E ．(1) 求证：AB ·AF =CB ·CD ； (2)已知AB =15cm ，BC =9cm ，P 是射线DE 上的动点，设DP =x cm(x >0)，四边形BCDP 的面积为y cm 2． ①求y 关于x 的函数关系式；②当x 为何值时，△PBC 的周长最小？求出此时y 的值．（南通市中考试题）MNExCB第6题图 第7题图 第8题图 第9题图11．如图，已知直线l ：k kx y 42-+=(k 为实数)．(1) 求证：不论k 为任何实数，直线l 都过定点M ，并求点M 的坐标；(2) 若直线l 与x 轴、y 轴的正半轴交于A ，B 两点，求△AOB 面积的最小值．（太原市竞赛试题）12．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，BC =2，AC =x ，点F 在边AB 上，点G ，H 在边BC 上，四边形EFGH 是一个边长为y 的正方形，且AE =AC ． (1) 求y 关于x 的函数解析式；(2) 当x 为何值时，y 取得最大值？求出y 的最大值．（上海市竞赛试题）平面几何的最值问题例1125提示：当CM ⊥AB 时，CM 值最小，CM ＝125AC BC AB ⋅= 例2 如图，B ′M ＋MN 的最小值为点B ′到AB 的距离B ′F ，BE ＝45AB BCAC⋅=cm ，BB ′＝85cm ，AE ＝()2222204585AB BE --=．在△ABB ′中，由12BB ′•AE ＝12AB •B ′F ，得B ′F ＝16cm ．故BM ＋MN 的最小值为16cm ． 例3 由△APD ∽△BPQ ，得AP AD BP BQ =，即BQ ＝()b a x AD BP AP x-⋅=，∴AP ＋BQ ＝x ＋ab b x -．∵x ＋ab x ≥2ab x ab x ⋅=仅当x ＝abx即x ab ，上式等号成立．故当AP ab ，AP ＋BQ 最小，其最小值为ab－b ．例4 ⑴22125l π=+，22l ＝49，l 1＜l 2，故要选择路线l 较短． ⑵()2221l h r π=+，()2222l h r =+，()2221244l l r r h π⎡⎤-=--⎣⎦．当r ＝244h π-时，2212l l =，当r ＞244h π-时，2212l l >，当r ＜244hπ-时，2212l l <． 例5 设DN ＝x ，PN ＝y ，则S ＝xy ，由△APQ ∽△ABF ，得()41242y x -=--即x ＝10－2y ，代入S ＝xy 得S ＝xy ＝y (10－2y )，即S ＝－2252522y ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，因3≤y ≤4，而y ＝52不在自变量y 的取值范围内，所以y ＝52不是极值点，当y ＝3时，S (3)＝12，当y ＝4时，S (4)＝8，故S max ＝12．此时，钢板的最大利用率21214212-⨯⨯＝80%． 例6 设PD ＝x (x ＞1)，则PC 21x -，由R t △PCD ∽△P AB ，得AB ＝21CD PA PC x ⋅=-y ＝AB •S △P AB ，则y ＝12AB ×P A ×AB ＝()()2121x x +-，求y 的最小值，有下列不同思路：①配方：y ＝21212242121x x x x --++=+--1221x x -=-x ＝3时，y 有最小值4．②运用基本不等式：y ＝122221x x -++≥- 321221x x -⋅-＋2＝4，∴当12x -＝21x -，即当x ＝3时，y 有最小值4. ③借用判别式，去分母，得x 2＋2（1－y ）x ＋1＋2y ＝0，由△＝4（1－y ）2－4（1＋2y ）＝4y （y －4）≥0，得y ≥4，∴y 的最小值为4. A 级1. 17 提示：当两张纸条的对角重合时，菱形周长最大.2. 83.74 4. D 5. D 6. B7. C 提示：当点P 与点D 重合时，四边形ACBP 的周长最大.8. （1）连结ME ，过N 作NF ⊥AB 于F ，可证明Rt △EB A ≌Rt △MNF ，得MF ＝AE ＝x. ∵ME 2＝AE 2＋AM 2，故MB 2＝x 2＋AM 2，即（2－AM ）2＝x 2＋AM 2，AM ＝1－14x 2，∴S ＝2AM DN +×AD ＝2AM AF+×2＝AM ＋AM ＋MF ＝2 AM ＋AE ＝2（1－14x 2）＋x ＝－12x 2＋x ＋2.（2）S ＝－12（x 2－2 x ＋1）＋52＝－12（x －1）2＋52. 故当AE ＝x ＝1时，四边形ADNM 的面积最大，此时最大值为52. 9. （1）BC 长为23rπ. （2）提示：连结BD . （3）过点B 作BM ⊥AD 于M ，由（2）知四边形ABCD为等腰梯形，从而BC ＝AD －2 AM ＝2r －2 AM . 由△BAM ∽△DAB ，得AM ＝2AB AD ＝22x r ，∴BC ＝2r－2x r . 同理，EF ＝2 r －2x r . l ＝4 x ＋2（2 r －2x r ）＝－xr（x －r ）2＋6 r （0＜x 2 r ）. . 当x ＝r时，l 取得最大值6 r .10. （1）∵∠APE ＝∠ADQ ，∠AEP ＝∠AQD ，∴△APE ∽△ADQ . （2）由△APE ∽△ADQ ，△PDF ∽△ADQ ，S △PEF ＝12S □PEQF ，得S △PEF ＝－13x 2＋x ＝－13（x －32）2＋34. 故当x ＝32时，即P 是AD 的中点时，S △PEF 取得最大值，（3）作A 关于直线BC 的对称点A′，连结DA′交BC 于Q ，则这个Q 点就是使△ADQ 周长最小的点，此时Q 是BC 的中点.11. （1）点P 恰好在BC 上时，由对称性知MN 是△ABC 的中位线，∴当MN ＝12BC ＝3时，点P 在BC 上. （2）由已知得△ABC 底边上的高h ＝225-3＝4. ①当0＜x ≤3时，如图1，连结AP 并延长交BC 于点D ，AD 与MN 交于点O .由△AMN ∽△ABC ，得AO ＝23x ，y ＝S △PMN ＝S △AMN ＝12·x ·23x ＝13x 2即y ＝13x 2. 当＝3时，y 的值最大，最大值是3. ②当3＜x ＜6时，如图2，设△PMN 与BC 相交于点E ，F ，AP 与BC 相交于D . 由①中知AO ＝23x ，∴AP ＝43x ，∴PD ＝AP －AD ＝43x －4，∵△PEF ∽△ABC . ，∴PEFABC S S ∆∆＝(PD AD )2＝(4434x -)2，即PEF ABC S S ∆∆＝2-3)9x （. ∵S △ABC ＝12，∴S △PEF ＝43（x －3）2. ∴y ＝S △AMN －S △PEF ＝13x 2－43（x －3）2＝－x 2＋8x －12＝－（x －4）2＋4. 故当x ＝4时，y 的最大值为4. 综上，当x ＝4时，y 的值最大，最大值为4. B 级1. 8 2 32 提示：当∠CAB ＝∠ACD ＝90°时，四边形ABCD 的面积达到最大值.2. 0＜r ≤1 提示：设BC ＝a ，CA ＝b ，AB ＝c ，b ＋c ＝3（r ＋1），又12bc sin60°＝S △ABC ＝12（a ＋b ＋c ）r ，即12bc ·32＝12［33r ＋1）］r ，. bc ＝4r （r ＋2）. b ，c 为方程x 2－3r ＋1）x ＋4r （r ＋2）＝0的两个根，由△≥0，得（r ＋1）≤22. 因r ＞0，r ＋1＞0，故r ＋1≤2，即0＜r ≤1. 3.249π3提示：过P 作垂直于OP 的弦AB ，此时弓形面积最小. 4.13 提示：设AD AB ＝x ，则BD BA ＝1－x ＝CG CA ，ADGABCS S ∆∆＝x 2，BDE ABC S S ∆∆＝（1－x ）2＝CFG ABC S S ∆∆，S 梯形DEFG＝1―x 2―2（1－x ）2＝－3（x －23）2＋13.5. 312+a 提示：当OA ＝OB 时，OC 的长最大.6. C7. （1）由Rt △ABP ∽Rt △PCQ ，得BP CQ ＝AB CP ，即x y ＝44x -，y ＝－14（x －2）2＋1（0＜x ＜4）. 当x ＝2时, y 最大值＝1cm. （2）由14＝－14（x －2）2＋1，得x ＝（2＋3）cm 或（2－3）cm. 8. 当过A ，B 两点的圆与x 轴正半轴相切时，切点C 为所求. 作O′D ⊥A B 于D . ，O′D 2＝ O′B 2－BD 2＝2()2a b +－2()2a b -＝ab ，O′D ＝ab 故点C 坐标为（ab ，0）.9. （1）如图，延长CB 到L ，使BL ＝DN ，则Rt △ABL ≌Rt △ADN ，得AL ＝AN ，∠1＝∠2，又∵N ＝2―CN ―CM ＝DN ＋BM ＝BL ＋BM ＝ML ，且AM ＝AM ，∠NAL ＝∠DAB ＝90°. ∴△AMN ≌△AML ，故∠MAN ＝∠MAL＝902＝45°. （2）设CM ＝x ，CN ＝y ，MN ＝z ，则2222222,2,x y z x y z x y z x y z ++==--⎧⎧⇔⎨⎨+=+=⎩⎩，于是，（2―y ―z ）2＋y 2＝z 2. 整理得2y 2＋（2z －4）y ＋（4－4z ）＝0. ∵y ＞0，故△＝4（z －2）2－32（1－z ）≥0，即（z ＋2＋22）（z ＋2－22）≥0. 又∵z ＞0，故z ≥22－2，当且仅当x ＝y ＝2－2时等号成立. 由于S △AMN ＝S △AML ＝12·ML ·AB ＝12 MN ×1＝2z ，因此，△AMN 的面积的最小值为2－1.10. （1）提示：证明△ADF ∽△BAC . （2）①AB ＝15，BC ＝9，∠ACB ＝90°，∴AC 22AB BC -＝2215912-=，∴CF ＝AF ＝6，∴()()19632702y x x x =+⨯=+>．②∵BC ＝９（定值），∴△PBC 的周长最小，就是PB ＋PC 最小，由（1）知，点C 关于直线DE 的对称点是点A ，所以PB ＋PC ＝PB ＋P A ，故只要求PB ＋P A 最小．显然当P 、A 、B 三点共线时PB ＋P A 最小，此时DP ＝DE ，PB ＋P A ＝AB ．由（1），角∠ADF ＝∠F AE ，∠DF A ＝∠ACB ＝90°，得△DAF ∽△ABC ．EF ∥BC ，得AE ＝BE ＝12AB ＝152，EF ＝92．∴ AF ∶BC ＝AD ∶AB ，即6∶9＝AD ∶15，∴AD ＝10．Rt △ADF 中，AD ＝10，AF ＝6，∴DF ＝8．∴DE ＝DF ＋FE ＝8＋92＝252． ∴当x ＝252时，△PBC 的周长最小，此时y ＝1292． 11．（1）令k ＝1，得y ＝x ＋2；令k ＝2，得y ＝2x ＋6，联立解得x ＝4，y ＝2，故定点（4，2）． （2）取x ＝0，得OB ＝2－4k （k ＜0），取y ＝0，得OA ＝()420k k k-<．于是△ABO 的面积()()114224022k S OA OB k k k-==-<，化简得()28820k S k +-+=．由()28640S ∆=--≥得2160S S -≥，故S ≥16．将S ＝16代入上述方程，得k ＝12-．故当k ＝12-，S 值最小． 12．（1）如图，延长EF 交AC 于点D ，DF ∥BC ，Rt △ADF ∽Rt △ACB ，AE ＝AC ＝x ，()2222DE x x y xy y =--=-22xy y y x y x -+-=，2x －2y －xy ＝22x xy y -，两边平方整理得(x 2＋2x ＋2)y 2－(x 3＋2x 2＋4x )y ＋2x 2＝0．解得2222x y x x =++(y ＝x 舍去) ． （2）由（1）22122222y x x ==+++≤ ．当且仅当2x x =，即2x =，上式等号成立．故当2x =，y 去最大21．。

中考数学总复习《几何图形的最值问题》专题训练(附带答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一 单选题1．如图，等腰三角形ABC 的底边BC 长为6 腰AC 的垂直平分线EF 分别交边AC AB 于点E F 若D 为BC 边的中点 M 为线段EF 上一动点 若三角形CDM 的周长的最小值为13 则等腰三角形ABC 的面积为（ ）A ．78B ．39C ．42D ．302．如图，在Rt ABC 和Rt ADE 中，90BAC DAE ∠=∠=︒ 3AC AD == AB =AE =5．连接BD CE 将△ADE 绕点A 旋转一周 在旋转的过程中当DBA ∠最大时 △ACE 的面积为（ ）．A ．6B ．62C ．9D ．92 3．如图，凸四边形ABCD 中，90,90,60,3,3A C D AD AB ∠=︒∠=︒∠=︒== 若点M N 分别为边,CD AD 上的动点 则BMN 的周长最小值为（ ）A ．26B ．36C ．6D ．34．如图，△ACB 中，CA ＝CB ＝4 △ACB ＝90° 点P 为CA 上的动点 连BP 过点A 作AM △BP 于M ．当点P 从点C 运动到点A 时 线段BM 的中点N 运动的路径长为（ ）5．如图，四边形ABCD 是菱形 AB=4 且△ABC=△ABE=60° G 为对角线BD （不含B 点）上任意一点 将△ABG 绕点B 逆时针旋转60°得到△EBF 当AG+BG+CG6．如图，在Rt ABC ∆中，90︒∠=C 4AC = 3BC = 点O 是AB 的三等分点 半圆O 与AC 相切 M N 分别是BC 与半圆弧上的动点 则MN 的最小值和最大值之和是（ ）A ．5B ．6C ．7D ．87．如图，菱形ABCD 的边AB =8 △B =60° P 是AB 上一点 BP =3 Q 是CD 边上一动点 将梯形APQD 沿直线PQ 折叠 A 的对应点A ′．当CA ′的长度最小时 CQ13为PC 的中点.当点P 沿半圆从点A 运动至点B 时 点M 运动的路径长是（ ）A ．224π+B ．2πC ．422+D ．4π二 填空题9．如图，点P 是AOB ∠内任意一点 3cm OP = 点M 和点N 分别是射线OA 和射线OB 上的动点 30AOB ∠=︒ 则PMN 周长的最小值是 ．10．△ABC 中，AB ＝AC ＝5 BC ＝6 D 是BC 的中点 E 为AB 上一动点 点B 关于DE 的对称点B '在△ABC 内（不含△ABC 的边上） 则BE 长的范围为 ．11．如图，等边三角形ABC 的边BC 上的高为6 AD 是BC 边上的中线 M 是线段AD 上的-一个动点 E 是AC 中点 则EM CM +的最小值为 ．12．如图，正△ABC 的边长为2 过点B 的直线l △AB 且△ABC 与△A ′BC ′关于直线l 对称 D 为线段BC ′上一动点 则AD +CD 的最小值是 ．13．如图，已知ABC 外心为O 18BC = 60BAC ∠=︒ 分别以AB AC 为腰向形外作等腰直角三角形ABD △与ACE △ 连接BE CD 交于点P 则OP 的最2三解答题17．如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点A B C在小正方形的顶点上．(1)在图中画出与ABC关于直线l成轴对称的AB C''．+的长最短．(2)在直线l上找一点P使PB PC18．如图，在△ABC中，AB＝AC AD是△ABC底边BC上的中线点P为线段AB 上一点．（1）在AD上找一点E使得PE+EB的值最小；（2）若点P为AB的中点当△BPE满足什么条件时△ABC是等边三角形并说明理由．19．如图，等边ABC的边长为6 AD是BC边上的中线M是AD上的动点E 是AB边上一点若=2AE求EM BM+的最小值．20．如图，等边三角形ABC内接于半径长为2的△O点P在圆弧AB上以2倍速度从B向A运动点Q在圆弧BC上以1倍速度从C向B运动当点P O Q三点处于同一条直线时停止运动．(1)求点Q的运动总长度；(2)若M为弦PB的中点求运动过程中CM的最大值．参考答案： 1．D【分析】连接AD 由于ABC 是等腰三角形 点D 是BC 边的中点 可得AD BC ⊥ 再根据EF 是线段AC 的垂直平分线可知 点C 关于直线EF 的对称点为点A 故AD 的长为CM MD +的最小值 再根据三角形的面积公式即可得出结论．【详解】解：如图：连接AD 交EF 于点MABC 是等腰三角形 点D 是BC 边的中点AD BC ∴⊥ 132CD BC == EF 是线段AC 的垂直平分线∴点C 关于直线EF 的对称点为点A AM CM =∴此时△CDM 的周长最小13CM DM CD AM DM CD AD CD ∴++=++=+=1313310AD CD ∴=-=-=116103022ABC S BC AD ∴=⋅=⨯⨯=△ 故选：D ．【点睛】本题考查的是轴对称−最短路线问题 等腰三角形的性质 三角形的面积 熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．2．A【分析】先分析出D 的轨迹为以A 为圆心AD 的长为半径的圆 当BD 与该圆相切时 △DBA 最大 过C 作CF △AE 于F 由勾股定理及三角函数计算出BD CF 的长 代入面积公式求解即可．【详解】解：由题意知 D 点轨迹为以A 为圆心AD 的长为半径的圆当BD 与D 点的轨迹圆相切时 △DBA 取最大值 此时△BDA =90° 如图所示B B M B M N N B ''''''''''<++B M BM '''= B N BN ''''=BM M N BN B B '''''''∴++>又B B B M MN NB ''''''=++MB MB '= NB NB ''=NB NM BM BM M N BN ''''∴++<++BMN l NB NM BM ∆∴=++时周长最小；连接DB 过点B '作B H DB '''⊥于B D ''的延长线于点H如图示2所示：在Rt ABD 中，3AD = 3AB =∴22223(3)23DB AD AB =+=+=230∴∠=︒530∴∠=︒ DB DB ''=又1260ADC ∠=∠+∠=︒又B DB '''∠660∴∠=︒3HD = Rt △B HB 'B HB '''=5．D【分析】根据“两点之间线段最短” 当G点位于BD与CE的交点处时AG+BG+CG的值最小即等于EC的长．【详解】解：如图△将△ABG绕点B逆时针旋转60°得到△EBF△BE=AB=BC BF=BG EF=AG△△BFG是等边三角形．△BF=BG=FG ．△AG+BG+CG=FE+GF+CG．根据“两点之间线段最短”△当G点位于BD与CE的交点处时AG+BG+CG的值最小即等于EC的长过E点作EF△BC交CB的延长线于F△△EBF=180°-120°=60°△BC=4△BF=2 EF=23在Rt△EFC中△EF2+FC2=EC2△EC=43．△△CBE=120°△△BEF=30°△△EBF=△ABG=30°△EF=BF=FGOP ACO是AB的三等分点210=⨯=5338=3与AC相切于点故选B．【点睛】此题主要考查圆与三角形的性质解题的关键是熟知圆的性质及直角三角形的性质.7．B【详解】作CH△AB于H如图．△菱形ABCD的边AB=8 △B=60°△△ABC为等边三角形AB=43AH=BH=4．△CH=32△PB=3 △HP=1．在Rt△CHP中，CP=22=7．(43)1△梯形APQD沿直线PQ折叠A的对应点A′△点A′在以P点为圆心P A为半径的弧上△当点A′在PC上时CA′的值最小△△APQ=△CPQ而CD△AB△△APQ=△CQP△△CQP=△CPQ△CQ=CP=7．故选B．【点睛】本题考查了菱形的性质．解答本题的关键是确定A′在PC上时CA′的长度最小．8．BPMN的周长最小．CD分别交△点P 关于OA 的对称点为C 关于OB 的对称点为D△PM CM OP OC COA POA ==∠=∠，，；△点P 关于OB 的对称点为D△PN DN OP OD DOB POB ==∠=∠，，△3cm OC OD OP ===22260COD COA POA POB DOB POA POB AOB ∠=∠+∠+∠+∠=∠+∠=∠=︒△COD △是等边三角形△()3cm CD OC OD ===．△PMN 的周长的最小值3cm PM MN PN CM MN DN CD =++=++≥=．故答案为：3cm ．【点睛】本题主要考查最短路径问题和等边三角形的判定． 作点P 关于OA OB 的对称点C D 是解题的关键所在．10．9552BE << 【分析】首先根据运动特点分析出点B '的运动轨迹在以D 为圆心 BD 为半径的圆弧上 然后分点B '恰好落在AB 边上和点B '恰好落在AC 边上两种情况讨论 分别利用勾股定理以及等腰三角形的性质和判定进行求解和证明即可得出两种临界情况下BE 的长度 从而得出结论．【详解】解：△点B 与B '关于DE 对称△BD B D '= 则点B '的运动轨迹在以D 为圆心 BD 为半径的圆弧上△如图所示 当点B '恰好落在AB 边上时 此时 连接AD 和DE由题意及“三线合一”知 AD BD ⊥ 132BD BC == △在Rt ABD 中，2222534AD AB BD =-=-=此时 根据对称的性质 DE AB ⊥12AB DE AD BD =Rt BDE 中，2295BD DE -=；如图所示 22综上BE长的范围为95 52BE<<故答案为：95 52BE<<．【点睛】本题考查等腰三角形的性质和判定以及勾股定理解直角三角形等能够根据题意准确分析出动点的运动轨迹并构建适当的三角形进行求解是解题关键．11．6【分析】连接BE交AD于M则BE就是EM+CM的最小值通过等腰三角形的“三线合一” 可得BE=AD即可得出结论．【详解】解：连接BE与AD交于点M．△AB=AC AD是BC边上的中线△B C关于AD对称则EM+CM=EM+BM则BE就是EM+CM的最小值．△E是等边△ABC的边AC的中点AD是中线△BE=AD=6△EM+CM的最小值为6故答案为：6．【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质—“三线合一” 等边三角形的性质和轴对称等知识的综合应用解题关键是找到M点的位置．12．4【分析】根据等边三角形的性质及轴对称的性质得到△ABC=△A'B C'=60° A'B=AB=BC=2 证明△CBD△△A'BD得到CD=A'D推出当A D A'三点共线时AD+CD最小此时AD+CD=A'B+AB=4．【详解】解：如图，连接A'D．由ABC的外心为的值最小解直角三角形即可得到结论．【详解】解：ABD与BAD CAE=∠=︒90=∠DAC BAEDAC与BAE中BAEBAE SASDAC∴△()ADC ABE∴∠=∠90PDB PBD∴∠+∠=︒90DPB∴∠=︒P∴在以BC为直径的圆上ABC的外心为O60BAC∠=︒120BOC∴∠=︒如图，当PO BC⊥时OP的值最小18BC=9 BH CH∴==12 OH OB=223BH OB OH OH∴=-=33OH∴=9PH=933OP∴=-．则OP的最小值是933-故答案为：933-．【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心全等三角形的判定和性质等腰直角三角形的性质正确的作出辅助线是解题的关键．14．25【分析】2P A＋PB＝2（P A＋22PB）利用相似三角形构造22PB即可解答．【详解】解：设△O半径为r15．152【分析】如图，连接BP 在BC 上取一点M 使得BM =32 进而证明BPM BCP △∽△,则在点P 运动的任意时刻 均有PM =12PC 从而将问题转化为求PD -PM 的最大值．连接PD 在△PDM 中，PD -PM ＜DM 故当D M P 共线时 PD -PM =DM 为最大值 勾股定理即可求得DM ．【详解】如图，连接BP 在BC 上取一点M 使得BM =3231232BM BP == 3162BP BC == BM BP BP BC∴= PBM CBP ∠=∠∴BPM BCP △∽△12MP BM PC BP ∴== 12MP PC ∴=12PD PC PD MD ∴-=- 在△PDM 中，PD -PM ＜DM当D M P 共线时 PD -PM =DM 为最大值四边形Rt CDM中，故答案为：15 2【点睛】本题考查了圆的性质的关键．6015-90Rt BDA中，AB由勾股定理得：222BD AB AD =-即：216925144BD =-=△0BD >△=12BD△E 为AD 的中点△1522DE AD == 在Rt BDE 中，=12BD 52DE =由勾股定理得：222BE DE BD =+即：225601+144=44BE = △0BE >△6012BE = 又△DH △AC 且点E 为AD 的中点△52EH = △60156015222BH BE EH -=-=-= 故答案为：60152- 【点睛】本题考查勾股定理解三角形 直径所对的圆周角为直角 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 隐圆问题的处理等相关知识点 能够判断出从动点的运动轨迹是解题的关键．17．(1)见解析(2)见解析【详解】（1）解：如图，△AB C ''即为所求．（2）如图，点P即为所求．【点睛】本题考查作图-轴对称变换轴对称-最短路线问题熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．18．（1）见解析；（2）△BPE=90° 理由见解析【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质可知AD垂直平分BC再根据两点间线段最短的性质连接CP交AD于点E并连接BE即可得解；（2）因为P为AB的中点要使△ABC是等边三角形则需BC=AB根据等腰三角形三线合一的性质所以CP△AB即△BPE=90°．【详解】解：（1）如图，连接CP交AB于点E 则点E为所求；（2）△BPE=90° 理由如下：△△BPE=90°△CP△AB△点P为AB的中点△CP垂直平分AB△CA=CB△AB=AC△AB =AC =BC △△ABC 是等边三角形【点睛】本题主要考查等腰三角形三线合一的性质以及对称 两点间线段最短 线段中垂线定理 熟练掌握这些性质定理是解决本题的关键．19．27【分析】连接CE 与AD 交于点M ．则CE 就是BM ME +的最小值 在直角CEF △中，求得CE 的长 即可．【详解】解：连接CE 与AD 交于点M '．△等边ABC 中，AD 是BC 边上的中线△AD 是BC 的中垂线△CE =CM M E ''+=BM ME +的最小值．过点C 作CF AB ⊥△等边ABC 的边长为6 =2AE△==62=4BE AB AE -- 3AF BF == 321EF =-= 226333CF =-= △()2233127CE =+= △BM ME +的最小值为27．【点睛】本题考查了等边三角形的性质 勾股定理 两点间线段最短 连接CE 从而把两线段和的最小值转化为两点间线段最短是本题的关键．20．(1)23π(2)7 1.+【分析】（1）如图，设,COQ 结合题意可得：2BOP 结合正三角形的性质求解60, 再利用弧长公式进行计算即可；（2）解：如图，取作OE BC ⊥于E 三点共线时【详解】（）解：如图，设,COQ 结合题意可得：2BOPABC 为等边三角形360120,3BOC120,BOQ而,,P O Q 三点共线1802,BOQ1201802,解得：=60,Q ∴运动的总长度为：6022=.1803）解：如图，取OB 的中点N 连接NM BC ⊥于EM 为PB11,NM OP2△M在以N为圆心半径为1的圆N上运动△当C N M三点共线时CM最大BOC OB OC120,,OBC30,113NK BN BK,,222同理可得：3,BE=则23,BC=333CK23,2222133NC7,22CM CN NM71,△CM的最大值为：7 1.+【点睛】本题考查的是弧长的计算弧与圆心角的关系圆的基本性质正多边形的性质勾股定理的应用熟练的构造辅助圆再求解线段的最大值是解本题的关键．。

中考数学模拟题《几何综合》专项测试题(附带参考答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________考点解读在中考数学中有这么一类题它是以点线几何图形的运动为载体集合多个代数知识几何知识及数学解题思想于一题的综合性试题它就是动态几何问题。

动态几何问题经常在各地以中考试卷解答压轴题出现也常会出现在选择题最后一题的位置考察知识面较广综合性强可以提升学生的空间想象能力和综合分析问题的能力但同时难度也很大令无数初中学子闻风丧胆考场上更是丢盔弃甲解题思路1 熟练掌握平面几何知识﹕要想解决好有关几何综合题首先就是要熟练掌握关于平面几何的所有知识尤其是要重点把握三角形特殊四边形圆及函数三角函数相关知识．几何综合题重点考查的是关于三角形特殊四边形（平行四边形矩形菱形正方形）圆等相关知识2 掌握分析问题的基本方法﹕分析法综合法“两头堵”法﹕1）分析法是我们最常用的解决问题的方法也就是从问题出发执果索因去寻找解决问题所需要的条件依次向前推直至已知条件例如我们要证明某两个三角形全等先看看要证明全等需要哪些条件哪些条件已知了还缺少哪些条件然后再思考要证缺少的条件又需要哪些条件依次向前推直到所有的条件都已知为止即可综合法﹕即从已知条件出发经过推理得出结论适合比较简单的问题3）“两头堵”法﹕当我们用分析法分析到某个地方不知道如何向下分析时可以从已知条件出发看看能得到什么结论把分析法与综合法结合起来运用是我们解决综合题最常用的办策略3 注意运用数学思想方法﹕对于几何综合题的解决我们还要注意运用数学思想方法这样会大大帮助我们解决问题或者简化我们解决问题的过程加快我们解决问题的速度毕竟考场上时间是非常宝贵的．常用数学思想方法﹕转化类比归纳等等模拟预测1 （2024·江西九江·二模）如图 在矩形()ABDC AB AC >的对称轴l 上找点P 使得PAB PCD 、均为直角三角形 则符合条件的点P 的个数是（ ）A ．1B ．3C ．4D ．52 （2024·江西吉安·模拟预测）如图 在平面直角坐标系中 边长为23ABC 的顶点A B ，分别在y 轴的正半轴 x 轴的负半轴上滑动 连接OC 则OC 的最小值为（ ）A ．2B ．3C ．33D ．333 （2024·江西吉安·一模）如图 矩形ABCD 中 4AB = 6AD = 点E 在矩形的边上 则当BEC 的一个内角度数为60︒时 符合条件的点E 的个数共有（ ）A ．4个B ．5个C ．6个D ．7个4 （2023·江西·中考真题）如图 在ABCD 中 602B BC AB ∠=︒=， 将AB 绕点A 逆时针旋转角α（0360α︒<<︒）得到AP 连接PC PD ．当PCD 为直角三角形时 旋转角α的度数为 ．5 （2024·江西吉安·二模）如图 在矩形ABCD 中 6,10,AB AD E ==为CD 的中点 点P 在AE 下方矩形的边上．当APE 为直角三角形 且P 为直角顶点时 BP 的长为 ．6 （2024·江西九江·二模）如图 在平面直角坐标系中 已知矩形OABC 的顶点()20,0A ()0,8C D 为OA 的中点 点P 为矩形OABC 边上任意一点 将ODP 沿DP 折叠得EDP △ 若点E 在矩形OABC 的边上 则点E 的坐标为 ．7 （2024·江西·模拟预测）如图 ABC 中 AB AC = 30A ∠=︒ 射线CP 从射线CA 开始绕点C 逆时针旋转α角()075α︒<<︒ 与射线AB 相交于点D 将ACD 沿射线CP 翻折至A CD '△处 射线CA '与射线AB 相交于点E ．若A DE '是等腰三角形 则α∠的度数为 ．8 （2024·江西赣州·二模）在Rt ABC △中 已知90C ∠=︒ 10AB = 3cos 5B = 点M 在边AB 上 点N 在边BC 上 且AM BN = 连接MN 当BMN 为等腰三角形时 AM = ．9 （2024·江西吉安·模拟预测）如图 在矩形ABCD 中 6,10AB AD == E 为BC 边上一点 3BE = 点P 沿着边按B A D →→的路线运动．在运动过程中 若PAE △中有一个角为45︒ 则PE 的长为 ．10 （2024·江西吉安·三模）如图 在ABC 中 AB AC = 30B ∠=︒ 9BC = D 为AC上一点 2AD DC = P 为边BC 上的动点 当APD △为直角三角形时 BP 的长为 ．11 （2024·江西吉安·一模）如图 矩形ABCD 中 4AB = 6AD = E 为CD 的中点 连接BE 点P 在矩形的边上 且在BE 的上方 则当BEP △是以BE 为斜边的直角三角形时 BP 的长为 ．12 （2024·江西九江·二模）如图 在等腰ABC 中 2AB AC == 30B ∠=︒ D 是线段BC 上一动点 沿直线AD 将ADB 折叠得到ADE 连接EC ．当DEC 是以DE 为直角边的直角三角形时 则BD 的长为 ．13 （2024·江西·模拟预测）如图 在菱形ABCD 中 对角线AC BD 相交于点O 23AB = 60ABC ∠=︒ E 为BC 的中点 F 为线段OD 上一动点 当AEF △为等腰三角形时 DF 的长为 ．14 （2024·江西上饶·一模）如图 在三角形纸片ABC 中 90,60,6C B BC ∠=︒∠=︒= 将三角形纸片折叠 使点B 的对应点B '落在AC 上 折痕与,BC AB 分别相交于点E F 当AFB '为等腰三角形时 BE 的长为 ．15 （2024·江西抚州·一模）课本再现（1）如图1 CD 与BE 相交于点,A ABC 是等腰直角三角形 90C ∠=︒ 若DE BC ∥ 求证：ADE 是等腰直角三角形．类比探究（2）①如图2 AB 是等腰直角ACB △的斜边 G 为边AB 的中点 E 是BA 的延长线上一动点 过点E 分别作AC 与BC 的垂线 垂足分别为,D F 顺次连接,,DG GF FD 得到DGF △ 求证：DGF △是等腰直角三角形．②如图3 当点E 在边AB 上 且①中其他条件不变时 DGF △是等腰直角三角形是否成立？_______（填“是”或“否”）．拓展应用（3）如图4 在四边形ABCD 中 ,90,BC CD BCD BAD AC =∠=∠=︒平分BAD ∠ 当1,22AD AC == 求线段BC 的长．16 （2023·江西·中考真题）课本再现思考我们知道菱形的对角线互相垂直．反过来对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？可以发现并证明菱形的一个判定定理对角线互相垂直的平行四边形是菱形．(1)定理证明：为了证明该定理小明同学画出了图形（如图1）并写出了“已知”和“求证”请你完成证明过程．已知：在ABCD中对角线BD AC⊥垂足为O．求证：ABCD是菱形．(2)知识应用：如图2在ABCD中对角线AC和BD相交于点O586AD AC BD===，，．①求证：ABCD是菱形②延长BC至点E连接OE交CD于点F若12E ACD∠=∠求OFEF的值．17 （2022·江西·中考真题）问题提出：某兴趣小组在一次综合与实践活动中提出这样一个问题：将足够大的直角三角板()90,60PEF P F ∠=︒∠=︒的一个顶点放在正方形中心O 处 并绕点O 逆时针旋转 探究直角三角板PEF 与正方形ABCD 重叠部分的面积变化情况（已知正方形边长为2）．(1)操作发现：如图1 若将三角板的顶点P 放在点O 处 在旋转过程中 当OF 与OB 重合时 重叠部分的面积为__________ 当OF 与BC 垂直时 重叠部分的面积为__________ 一般地 若正方形面积为S 在旋转过程中 重叠部分的面积1S 与S 的关系为__________(2)类比探究：若将三角板的顶点F 放在点O 处 在旋转过程中 ,OE OP 分别与正方形的边相交于点M N ．①如图2 当BM CN =时 试判断重叠部分OMN 的形状 并说明理由②如图3 当CM CN =时 求重叠部分四边形OMCN 的面积（结果保留根号）(3)拓展应用：若将任意一个锐角的顶点放在正方形中心O 处 该锐角记为GOH ∠（设GOH α∠=） 将GOH ∠绕点O 逆时针旋转 在旋转过程中 GOH ∠的两边与正方形ABCD 的边所围成的图形的面积为2S 请直接写出2S 的最小值与最大值（分别用含α的式子表示）（参考数据：6262sin15tan1523-+︒=︒=︒=18 （2024·江西吉安·二模）如图 在ABC 和ADE 中 (),AB AC AD AE AD AB ==< 且BAC DAE ∠=∠．连接CE BD ．(1)求证：BD CE =．(2)在图2中 点B D E 在同一直线上 且点D 在AC 上 若,AB a BC b == 求AD CD的值（用含a b 的代数式表示）．19 （2024·江西九江·二模）初步探究（1）如图1 在四边形ABCD 中 ,AC BD 相交于点O AC BD ⊥ 且ABD CBD S S = 则OA 与OC 的数量关系为 ．迁移探究（2）如图2 在四边形ABCD 中 ,AC BD 相交于点O ABD CBD SS = （1）中OA 与OC 的数量关系还成立吗？如果成立 请说明理由．拓展探究（3）如图3 在四边形ABCD 中 ,AC BD 相交于点O 180,ABD CBD BAD BCD S S ∠∠+=︒=△△ 且 33OB OD == 求AC 的长．20 （2024·江西九江·二模）课本再现如图1 四边形ABCD 是菱形 30ACD ∠=︒ 6BD =．（1）求,AB AC 的长．应用拓展（2）如图2 E 为AB 上一动点 连接DE 将DE 绕点D 逆时针旋转120︒ 得到DF 连接EF ．①直接写出点D 到EF 距离的最小值②如图3 连接,OF CF 若OCF △的面积为6 求BE 的长．21 （2024·江西赣州·三模）某数学小组在一次数学探究活动过程中经历了如下过程：AB=P为对角线AC上的一个动点以P为直角顶问题提出：如图正方形ABCD中8△．点向右作等腰直角DPM(1)操作发现：DM的最小值为_______ 最大值为_______(2)数学思考：求证：点M在射线BC上=时求CM的长．(3)拓展应用：当CP CM22 （2024·江西赣州·二模）【课本再现】 思考我们知道 角的平分线上的点到角的两边的距离相等 反过来 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上吗？可以发现并证明角的平分线的性质定理的逆定理角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．【定理证明】（1）为证明此逆定理 某同学画出了图形 并写好“已知”和“求证” 请你完成证明过程．已知：如图1 在ABC ∠的内部 过射线BP 上的点P 作PD BA ⊥ PE BC ⊥ 垂足分别为D E 且PD PE =．求证：BP 平分ABC ∠．【知识应用】（2）如图2 在ABC 中 过内部一点P 作PD BC ⊥ PE AB ⊥ PF AC ⊥ 垂足分别为D E F 且PD PE PF == 120A ∠=︒ 连接PB PC ．①求BPC ∠的度数②若6PB=23PC=求BC的长．23 （2024·江西吉安·模拟预测）一块材料的形状是锐角三角形ABC下面分别对这块材料进行课题探究：课本再现：（1）在图1中若边120mmBC=高80mmAD=把它加工成正方形零件使正方形的一边在BC上其余两个顶点分别在AB AC上这个正方形零件的边长是多少?类比探究（2）如图2 若这块锐角三角形ABC材料可以加工成3个相同大小的正方形零件请你探究高AD与边BC的数量关系并说明理由．拓展延伸（3）①如图3 若这块锐角三角形ABC材料可以加工成图中所示的4个相同大小的正方形零件则ADBC的值为_______（直接写出结果）②如图4 若这块锐角三角形ABC材料可以加工成图中所示的()3n m≥相同大小的正方形零件求ADBC的值．24 （2024·江西吉安·三模）课本再现 矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形是矩形．定义应用(1)如图1 已知：在四边形ABCD 中 90A B C ∠=∠=∠=︒用矩形的定义求证：四边形ABCD 是矩形．(2)如图2 在四边形ABCD 中 90A B ∠=∠=︒ E 是AB 的中点 连接DE CE 且DE CE = 求证：四边形ABCD 是矩形．拓展延伸(3)如图3 将矩形ABCD 沿DE 折叠 使点A 落在BC 边上的点F 处 若图中的四个三角形都相似 求AB BC的值．25 （2024·江西吉安·一模）课本再现在学习了平行四边形的概念后进一步得到平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分．=（1）如图1 在平行四边形ABCD中对角线AC与BD交于点O 求证：OA OC =．OB OD知识应用=延长AC到E 使得（2）在ABC中点P为BC的中点．延长AB到D 使得BD AC∠=︒请你探究线段BE与线段AP之间的BACCE AB=连接DE．如图2 连接BE若60数量关系．写出你的结论并加以证明．26 （2024·江西九江·二模）问题提出在综合与实践课上 某数学研究小组提出了这样一个问题：如图1 在边长为4的正方形ABCD 的中心作直角EOF ∠ EOF ∠的两边分别与正方形ABCD 的边BC CD 交于点E F （点E 与点B C 不重合） 将EOF ∠绕点O 旋转．在旋转过程中 四边形OECF 的面积会发生变化吗？爱思考的浩浩和小航分别探究出了如下两种解题思路．浩浩：如图a 充分利用正方形对角线垂直 相等且互相平分等性质 证明了OEC OFD ≌ 则OEC OFD S S = OEC OCF OFD OCF OCD OECF S S S S S S =+=+=四边形．这样 就实现了四边形OECF 的面积向OCD 面积的转化．小航：如图b 考虑到正方形对角线的特征 过点O 分别作OG BC ⊥于点G OH CD ⊥于点H 证明OGE OHF ≌△△ 从而将四边形OECF 的面积转化成了小正方形OGCH 的面积．（1）通过浩浩和小航的思路点拨﹐我们可以得到OECF S =四边形__________ CE CF +=__________．类比探究（2）①如图⒉ 在矩形ABCD 中 3AB = 6AD = O 是边AD 的中点 90EOF ∠=︒ 点E 在AB 上 点F 在BC 上 则EB BF +=__________．②如图3 将问题中的正方形ABCD 改为菱形ABCD 且45ABC ∠=︒ 当45EOF ∠=︒时 其他条件不变 四边形OECF 的面积还是一个定值吗？若是 请求出四边形OECF 的面积 若不是 请说明理由．拓展延伸（3）如图4 在四边形ABCD 中 7AB = 2DC = 60BAD ∠=︒ 120BCD ∠=︒ CA 是BCD ∠的平分线 求四边形ABCD 的面积．27 （2024·江西九江·模拟预测）【课本再现】（1）如图1 四边形ABCD 是一个正方形 E 是BC 延长线上一点 且AC EC = 则DAE ∠的度数为 ．【变式探究】（2）如图2 将（1）中的ABE 沿AE 折叠 得到AB E ' 延长CD 交B E '于点F 若2AB = 求B F '的长．【延伸拓展】（3）如图3 当（2）中的点E 在射线BC 上运动时 连接B B ' B B '与AE 交于点P ．探究：当EC 的长为多少时 D P 两点间的距离最短？请求出最短距离．28 （2024·江西上饶·一模）课本再现：（1）如图1 ,D E 分别是等边三角形的两边,AB AC 上的点 且AD CE =．求证：CD BE =．下面是小涵同学的证明过程：证明：ABC 是等边三角形,60AC BC A ACB ∴=∠=∠=︒．AD CE =()SAS ADC CEB ∴≌CD BE ∴=．小涵同学认为此题还可以得到另一个结论：BFD ∠的度数是______迁移应用：（2）如图2 将图1中的CD 延长至点G 使FG FB = 连接,AG BG ．利用（1）中的结论完成下面的问题．①求证：AG BE ∥②若25CF BF = 试探究AD 与BD 之间的数量关系．参考答案考点解读在中考数学中有这么一类题它是以点线几何图形的运动为载体集合多个代数知识几何知识及数学解题思想于一题的综合性试题它就是动态几何问题。

题型六几何最值（专题训练）1.如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝10，tanA ＝2，BE ⊥AC 于点E ，D 是线段BE 上的一个动点，则CD BD +的最小值是( )【答案】B【详解】如图，作DH ⊥AB 于H ，CM ⊥AB 于M ．∵BE ⊥AC ，∴∠AEB=90°，∵tanA=BE AE=2，设AE=a ，BE=2a ，则有：100=a 2+4a 2，∴a 2=20，∴，∴，∵AB=AC ，BE ⊥AC ，CM ⊥AB ，∴（等腰三角形两腰上的高相等））∵∠DBH=∠ABE ，∠BHD=∠BEA ，∴sin DH AE DBH BD AB Ð===，∴BD ，∴BD=CD+DH ，∴CD+DH ≥CM ，∴BD ≥∴BD 的最小值为故选B ．2.如图，在Rt ABC D 中，90°Ð=C ，4AC =，3BC =，点O 是AB 的三等分点，半圆O 与AC 相切，M ，N 分别是BC 与半圆弧上的动点，则MN 的最小值和最大值之和是（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】B【详解】如图，设⊙O 与AC 相切于点D ，连接OD ，作OP BC ^垂足为P 交⊙O 于F ，此时垂线段OP 最短，PF 最小值为OP OF -，∵4AC =，3BC =，∴5AB =∵90OPB °Ð=，∴OP ACP ∵点O 是AB 的三等分点，∴210533OB =´=，23OP OB AC AB ==，∴83OP =，∵⊙O 与AC 相切于点D ，∴OD AC ^，∴OD BC ∥，∴13OD OA BC AB ==，∴1OD =，∴MN 最小值为85133OP OF -=-=，如图，当N 在AB 边上时，M 与B 重合时，MN 经过圆心，经过圆心的弦最长，MN 最大值1013133=+=，513+=633,∴MN 长的最大值与最小值的和是6．故选B ．3.如图，在矩形纸片ABCD 中，2AB =，3AD =，点E 是AB 的中点，点F 是AD 边上的一个动点，将AEF V 沿EF 所在直线翻折，得到'A EF V ，则'A C 的长的最小值是( )A B ．3C 1-D 1-【答案】D【详解】以点E 为圆心，AE 长度为半径作圆，连接CE ，当点A'在线段CE 上时，A'C 的长取最小值，如图所示，根据折叠可知：1A'E AE AB 12===．在Rt BCE V 中，1BE AB 12==，BC 3=，B 90Ð=o ，CE \==，A'C \的最小值CE A'E 1=-=．故选D ．4.如图，四边形ABCD 是菱形，AB=4，且∠ABC=∠ABE=60°，G 为对角线BD （不含B 点）上任意一点，将△ABG 绕点B 逆时针旋转60°得到△EBF ，当AG+BG+CG 取最小值时EF 的长（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【详解】解：如图，∵将△ABG 绕点B 逆时针旋转60°得到△EBF ，∴BE=AB=BC ，BF=BG ，EF=AG ，∴△BFG 是等边三角形．∴BF=BG=FG ，．∴AG+BG+CG=FE+GF+CG ．根据“两点之间线段最短”，∴当G 点位于BD 与CE 的交点处时，AG+BG+CG 的值最小，即等于EC 的长，过E 点作EF ⊥BC 交CB 的延长线于F ，∴∠EBF=180°-120°=60°，∵BC=4，∴BF=2，，在Rt △EFC 中，∵EF 2+FC 2=EC 2，∴．∵∠CBE=120°，∴∠BEF=30°，∵∠EBF=∠ABG=30°，∴EF=BF=FG ，∴EF=13故选：D ．5.如图，Rt ABC △中，AB BC ^，6AB =，4BC =，P 是ABC △内部的一个动点，且满足90PAB PBA °Ð+Ð=，则线段CP 长的最小值为________.【答案】2：【详解】∵∠PAB+∠PBA=90°∴∠APB=90°∴点P 在以AB 为直径的弧上（P 在△ABC 内）设以AB 为直径的圆心为点O ，如图接OC ，交☉O 于点P ，此时的PC 最短∵AB=6，∴OB=3∵BC=4∴5OC ===∴PC=5-3=26.如图，正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 上一点，且BE=1，F 为AB 边上的一个动点，连接EF ，以EF 为边向右侧作等边△EFG ，连接CG ，则CG 的最小值为 ．【分析】同样是作等边三角形，区别于上一题求动点路径长，本题是求CG 最小值，可以将F 点看成是由点B 向点A 运动，由此作出G 点轨迹：考虑到F 点轨迹是线段，故G 点轨迹也是线段，取起点和终点即可确定线段位置，初始时刻G 点在1G 位置，最终G 点在2G 位置（2G 不一定在CD 边），12G G 即为G点运动轨迹．CG 最小值即当CG ⊥12G G 的时候取到，作CH ⊥12G G 于点H ，CH 即为所求的最小值．根据模型可知：12G G 与AB 夹角为60°，故12G G ⊥1EG ．过点E 作EF ⊥CH 于点F ，则HF=1G E =1，CF=1322CE =，所以CH=52，因此CG 的最小值为52．GA B CDE F27.如图，矩形ABCD 中，4AB =，6BC =，点P 是矩形ABCD 内一动点，且D D =PAB PCD S S ，则PC PD +的最小值为_____．【答案】【详解】ABCD Q 为矩形，AB DC\=又=V V Q PAB PCDS S \点P 到AB 的距离与到CD 的距离相等，即点P 线段AD 垂直平分线MN 上，连接AC ，交MN 与点P ，此时PC PD +的值最小，且PC PD AC +=====故答案为：8.如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，AB ＝5，点P 是AC 上的动点，连接BP ，以BP 为边作等边△BPQ ，连接CQ ，则点P 在运动过程中，线段CQ 长度的最小值是2______．【答案】54．【详解】解：如图，取AB的中点E，连接CE，PE．∵∠ACB=90°，∠A=30°，∴∠CBE=60°，∵BE=AE，∴CE=BE=AE，∴△BCE是等边三角形，∴BC=BE，∵∠PBQ=∠CBE=60°，∴∠QBC=∠PBE，∵QB=PB，CB=EB，∴△QBC≌△PBE（SAS），∴QC=PE，∴当EP⊥AC时，QC的值最小，在Rt△AEP中，∵AE=52，∠A=30°，∴PE=12AE=54，∴CQ的最小值为54．故答案为：549.如图，在正方形ABCD 中，AB ＝8，AC 与BD 交于点O ，N 是AO 的中点，点M 在BC 边上，且BM ＝6．P 为对角线BD 上一点，则PM ﹣PN 的最大值为 ．【答案】2【分析】作以BD 为对称轴作N 的对称点N'，连接PN'，MN'，依据PM ﹣PN ＝PM ﹣PN'≤MN'，可得当P ，M ，N'三点共线时，取“＝”，再求得//AN CN BM CM =＝31，即可得出PM ∥AB ∥CD ，∠CMN'＝90°，再根据△N'CM 为等腰直角三角形，即可得到CM ＝MN'＝2．【解答】解：如图所示，作以BD 为对称轴作N 的对称点N'，连接PN'，MN'，根据轴对称性质可知，PN ＝PN'，∴PM ﹣PN ＝PM ﹣PN'≤MN'，当P ，M ，N'三点共线时，取“＝”，∵正方形边长为8，∴AC ＝2AB ＝28，∵O 为AC 中点，∴AO ＝OC ＝24，∵N 为OA 中点，∴ON ＝22，∴ON'＝CN'＝22，∴AN'＝26，∵BM ＝6，∴CM ＝AB ﹣BM ＝8﹣6＝2，∴//AN CN BM CM =＝31∴PM ∥AB ∥CD ，∠CMN'＝90°，∵∠N'CM ＝45°，∴△N'CM 为等腰直角三角形，∴CM ＝MN'＝2，即PM ﹣PN 的最大值为2，故答案为：2．【点评】本题主要考查了正方形的性质以及最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．10.如图，ABC V 是等边三角形，6AB =，N 是AB 的中点，AD 是BC 边上的中线，M 是AD 上的一个动点，连接,BM MN ，则BM MN +的最小值是________．【答案】【分析】根据题意可知要求BM+MN 的最小值，需考虑通过作辅助线转化BM ，MN 的值，从而找出其最小值，进而根据勾股定理求出CN ，即可求出答案．【解析】解：连接CN ，与AD 交于点M ，连接BM ．（根据两点之间线段最短；点到直线垂直距离最短），AD 是BC 边上的中线即C 和B 关于AD 对称，则BM+MN=CN ，则CN 就是BM+MN 的最小值．∵ABC V 是等边三角形，6AB =，N 是AB 的中点，∴AC=AB=6,AN=12AB=3, CN AB ^,∴CN ====即BM+MN的最小值为故答案为：【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，涉及到等边三角形的性质，勾股定理，轴对称的性质，等腰三角形的性质等知识点的综合运用．11.如图，在中，∠ACB=90°，BC=12，AC=9，以点C 为圆心，6为半径的圆上有一个动点D ．连接AD 、BD 、CD ，则2AD+3BD 的最小值是 ．【分析】首先对问题作变式2AD+3BD=233AD BD æö+ç÷èø，故求23AD BD +最小值即可．考虑到D 点轨迹是圆，A 是定点，且要求构造23AD ，条件已经足够明显．当D 点运动到AC 边时，DA=3，此时在线段CD 上取点M 使得DM=2，则在点D 运动过程中，始终存在23DM DA =．ABC D A BCD问题转化为DM+DB 的最小值，直接连接BM ，BM 长度的3倍即为本题答案．12.如图，四边形ABCD 中，AB ∥CD ，∠ABC ＝60°，AD ＝BC ＝CD ＝4，点M 是四边形ABCD 内的一个动点，满足∠AMD ＝90°，则点M 到直线BC 的距离的最小值为_____．【答案】2-【解析】【分析】取AD 的中点O ，连接OM ，过点M 作ME ⊥BC 交BC 的延长线于E ，点点O 作OF ⊥BC 于F ，交CD 于G ，则OM+ME ≥OF ．求出OM ，OF 即可解决问题．【详解】解：取AD 的中点O ，连接OM ，过点M 作ME ⊥BC 交BC 的延长线于E ，点点O 作OF ⊥BC 于F ，交CD 于G ，则OM+ME ≥OF ．∵∠AMD＝90°，AD＝4，OA＝OD，∴OM＝12AD＝2，∵AB∥CD，∴∠GCF＝∠B＝60°，∴∠DGO＝∠CGE＝30°，∵AD＝BC，∴∠DAB＝∠B＝60°，∴∠ADC＝∠BCD＝120°，∴∠DOG＝30°＝∠DGO，∴DG＝DO＝2，∵CD＝4，∴CG＝2，∴OG＝，GF，OF＝，∴ME≥OF﹣OM＝﹣2，∴当O，M，E共线时，ME的值最小，最小值为2．【点睛】本题考查解直角三角形，垂线段最短，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．13.如图，四边形ABCD是菱形，A B=6，且∠ABC=60° ，M是菱形内任一点，连接AM，BM，CM，则AM+BM+CM 的最小值为________．【答案】【详解】将△BMN 绕点B 顺时针旋转60度得到△BNE ，∵BM=BN ，∠MBN=∠CBE=60°，∴MN=BM ∵MC=NE ∴AM+MB+CM=AM+MN+NE ．当A 、M 、N 、E 四点共线时取最小值AE ．∵AB=BC=BE=6，∠ABH=∠EBH=60°，∴BH ⊥AE ，AH=EH ，∠BAH=30°，∴BH=12AB=3，BH=AE=2AH=故答案为14.如图，在矩形ABCD 中，E 为AB 的中点，P 为BC 边上的任意一点，把PBE △沿PE 折叠，得到PBE △，连接CF ．若AB ＝10，BC ＝12，则CF 的最小值为_____．【答案】8【解析】【分析】点F 在以E 为圆心、EA 为半径的圆上运动，当E 、F 、C 共线时时，此时FC 的值最小，根据勾股定理求出CE ，再根据折叠的性质得到BE ＝EF ＝5即可．【详解】解：如图所示，点F在以E为圆心EA为半径的圆上运动，当E、F、C共线时时，此时CF的值最小，根据折叠的性质，△EBP≌△EFP，∴EF⊥PF，EB＝EF，∵E是AB边的中点，AB＝10，∴AE＝EF＝5，∵AD＝BC＝12，∴CE＝13，∴CF＝CE﹣EF＝13﹣5＝8．故答案为8．【点睛】本题考查了折叠的性质、全等三角形的判定与性质、两点之间线段最短的综合运用，灵活应用相关知识是解答本题的关键．15、如图，△ABC中，∠BAC＝30°且AB＝AC，P是底边上的高AH上一点．若AP+BP+CP的最小值为，则BC＝_____．-【详解】如图将△ABP绕点A顺时针旋转60°得到△AMG．连接PG，CM．∵AB=AC ，AH ⊥BC ，∴∠BAP=∠CAP ，∵PA=PA ，∴△BAP ≌△CAP （SAS ），∴PC=PB ，∵MG=PB ，AG=AP ，∠GAP=60°，∴△GAP 是等边三角形，∴PA=PG ，∴PA+PB+PC=CP+PG+GM ，∴当M ，G ，P ，C 共线时，PA+PB+PC 的值最小，最小值为线段CM 的长，∵AP+BP+CP 的最小值为，∴，∵∠BAM=60°，∠BAC=30°，∴∠MAC=90°，∴AM=AC=2，作BN ⊥AC 于N ．则BN=12AB=1，，，∴16.如图所示，30AOB Ð=o ，点P 为AOB Ð内一点，8OP =，点,M N 分别在,OA OB 上，求PMN D 周长的最小值_____．【答案】PMN D 周长的最小值为8【详解】如图，作P 关于OA 、OB 的对称点12P P 、，连结1OP 、2OP ，12PP 交OA 、OB 于M 、N ，此时PMN D 周长最小，根据轴对称性质可知1PM PM =，2P N PN =，1212PM N PM M N PN PP \D =++=，且1A O P A O P Ð=Ð，2BO P BO P Ð=Ð，12260POP AOB Ð=Ð=°，128O P O P O P ===，12PPO D 为等边三角形，1218PP OP ==即PMN D 周长的最小值为8.17.在正方形ABCD 中，点E 为对角线AC （不含点A ）上任意一点，AB=；（1）如图1，将△ADE 绕点D 逆时针旋转90°得到△DCF ，连接EF ；①把图形补充完整（无需写画法）； ②求2EF 的取值范围；(2)如图2，求BE+AE+DE 的最小值．【答案】（1）①补图见解析；②2816EF ££；（2）2+【详解】（1）①如图△DCF 即为所求；②∵四边形ABCD 是正方形，∴BC ＝AB ＝，∠B ＝90°，∠DAE ＝∠ADC ＝45°，∴AC AB ＝4，∵△ADE 绕点D 逆时针旋转90°得到△DCF ，∴∠DCF ＝∠DAE ＝45°，AE ＝CF ，∴∠ECF ＝∠ACD ＋∠DCF ＝90°，设AE ＝CF ＝x ，EF 2＝y ，则EC ＝4−x ，∴y ＝（4−x ）2＋x 2＝2x 2−8x ＋160（0＜x ≤4）．即y ＝2（x −2）2＋8，∵2＞0，∴x ＝2时，y 有最小值，最小值为8，当x ＝4时，y 最大值＝16，∴8≤EF 2≤16．（2）如图中，将△ABE 绕点A 顺时针旋转60°得到△AFG ，连接EG ，DF ．作FH ⊥AD 于H ．由旋转的性质可知，△AEG 是等边三角形，∴AE ＝EG ，∵DF ≤FG ＋EG ＋DE ，BE ＝FG ，∴AE ＋BE ＋DE 的最小值为线段DF 的长．在Rt △AFH 中，∠FAH ＝30°，AB ＝=AF ，∴FH ＝12AF ，AH ，在Rt △DFH 中，DF =＝2+，∴BE ＋AE ＋ED 的最小值为2．。

初中数学竞赛：几何的定值与最值几何中的定值问题，是指变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变，或几何元素间的某些几何性质或位置关系不变的一类问题，解几何定值问题的基本方法是：分清问题的定量及变量，运用特殊位置、极端位置，直接计算等方法，先探求出定值，再给出证明． 几何中的最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个确定的量(如线段长度、角度大小、图形面积)等的最大值或最小值，求几何最值问题的基本方法有：1．特殊位置与极端位置法；2．几何定理(公理)法；3．数形结合法等．注：几何中的定值与最值近年广泛出现于中考竞赛中，由冷点变为热点．这是由于这类问题具有很强的探索性(目标不明确)，解题时需要运用动态思维、数形结合、特殊与一般相结合、 逻辑推理与合情想象相结合等思想方法．【例题就解】【例1】 如图，已知AB=10，P 是线段AB 上任意一点，在AB 的同侧分别以AP 和PB 为边作等边△APC 和等边△BPD ，则CD 长度的最小值为 ．思路点拨 如图，作CC ′⊥AB 于C ，DD ′⊥AB 于D ′，DQ ⊥CC ′，CD 2=DQ 2+CQ 2，DQ=21AB 一常数，当CQ 越小，CD 越小，本例也可设AP=x ，则PB=x 10，从代数角度探求CD 的最小值．注：从特殊位置与极端位置的研究中易得到启示，常能找到解题突破口，特殊位置与极端位置是指：(1)中点处、垂直位置关系等；(2)端点处、临界位置等．【例2】 如图，圆的半径等于正三角形ABC 的高，此圆在沿底边AB 滚动，切点为T ，圆交AC 、BC 于M 、N ，则对于所有可能的圆的位置而言， MTN 为的度数（ ）A ．从30°到60°变动B ．从60°到90°变动C ．保持30°不变D ．保持60°不变⌒思路点拨 先考虑当圆心在正三角形的顶点C 时，其弧的度数，再证明一般情形，从而作出判断．注：几何定值与最值问题，一般都是置于动态背景下，动与静是相对的，我们可以研究问题中的变量，考虑当变化的元素运动到特定的位置，使图形变化为特殊图形时，研究的量取得定值与最值．【例3】 如图，已知平行四边形ABCD ，AB=a ，BC=b (a >b )，P 为AB 边上的一动点， 直线DP 交CB 的延长线于Q ，求AP+BQ 的最小值．思路点拨 设AP=x ，把AP 、BQ 分别用x 的代数式表示，运用不等式ab b a 222≥+ (当且仅当b a =时取等号)来求最小值．【例4】 如图，已知等边△ABC 内接于圆，在劣弧AB 上取异于A 、B 的点M ，设直线AC 与BM 相交于K ，直线CB 与AM 相交于点N ，证明：线段AK 和BN 的乘积与M 点的选择无关． 思路点拨 即要证AK ·BN 是一个定值，在图形中△ABC 的边长是一个定值，说明AK ·BN 与AB 有关，从图知AB 为△ABM 与△ANB 的公共边，作一个大胆的猜想，AK ·BN=AB 2，从而我们的证明目标更加明确．⌒注：只要探求出定值，那么解题目标明确，定值问题就转化为一般的几何证明问题．【例5】已知△XYZ是直角边长为1的等腰直角三角形(∠Z=90°)，它的三个顶点分别在等腰Rt△ABC(∠C=90°)的三边上，求△ABC直角边长的最大可能值．思路点拨顶点Z在斜边上或直角边CA(或CB)上，当顶点Z在斜边AB上时，取xy的中点，通过几何不等关系求出直角边的最大值，当顶点Z在(AC或CB)上时，设CX=x，CZ=y，建立x，y的关系式，运用代数的方法求直角边的最大值．注：数形结合法解几何最值问题，即适当地选取变量，建立几何元素间的函数、方程、不等式等关系，再运用相应的代数知识方法求解．常见的解题途径是：(1)利用一元二次方程必定有解的代数模型，运用判别式求几何最值；(2)构造二次函数求几何最值．专题训练1．如图，正方形ABCD的边长为1，点P为边BC上任意一点（可与B点或C点重合），分别过B、C、D作射线AP的垂线，垂足分别是B′、C′、D′，则BB′+CC′+DD′的最大值为，最小值为．2．如图，∠AOB=45°，角内有一点P，PO=10，在角的两边上有两点Q，R(均不同于点O)，则△PQR的周长的最小值为．3．如图，两点A 、B 在直线MN 外的同侧，A 到MN 的距离AC=8，B 到MN 的距离BD=5，CD=4，P 在直线MN 上运动，则PB PA -的最大值等于 ． 4．如图，A 点是半圆上一个三等分点，B 点是弧AN 的中点，P 点是直径MN 上一动点，⊙O 的半径为1，则AP+BP 的最小值为( )A ．1B ．22 C ．2 D ．13-5．如图，圆柱的轴截面ABCD 是边长为4的正方形，动点P 从A 点出发，沿看圆柱的侧面移动到BC 的中点S 的最短距离是( )A ．212π+B ．2412π+C ．214π+D ．242π+6．如图、已知矩形ABCD ，R ，P 户分别是DC 、BC 上的点，E ，F 分别是AP 、RP 的中点，当P 在BC 上从B 向C 移动而R 不动时，那么下列结论成立的是( )A ．线段EF 的长逐渐增大B ．线段EF 的长逐渐减小C ．线段EF 的长不改变D ．线段EF 的长不能确定7．如图，点C 是线段AB 上的任意一点(C 点不与A 、B 点重合)，分别以AC 、BC 为边在直线AB 的同侧作等边三角形ACD 和等边三角形BCE ，AE 与CD 相交于点M ，BD 与CE 相交于点N ．(1)求证：MN ∥AB ；(2)若AB 的长为l0cm ，当点C 在线段AB 上移动时，是否存在这样的一点C ，使线段MN 的长度最长?若存在，请确定C 点的位置并求出MN 的长；若不存在，请说明理由．(2002年云南省中考题)8．如图，定长的弦ST 在一个以AB 为直径的半圆上滑动，M 是ST 的中点，P 是S 对AB 作垂线的垂足，求证：不管ST 滑到什么位置，∠SPM 是一定角．9．已知△ABC 是⊙O 的内接三角形，BT 为⊙O 的切线，B 为切点，P 为直线AB 上一点，过点P 作BC 的平行线交直线BT 于点E ，交直线AC 于点F ．(1)当点P 在线段AB 上时(如图)，求证：PA ·PB=PE ·PF ；(2)当点P 为线段BA 延长线上一点时，第(1)题的结论还成立吗?如果成立，请证明，如果不成立，请说明理由．10．如图，已知；边长为4的正方形截去一角成为五边形ABCDE ，其中AF=2，BF=l ，在AB 上的一点P ，使矩形PNDM 有最大面积，则矩形PNDM 的面积最大值是( )A ．8B ．12C ．225D ．1411．如图，AB 是半圆的直径，线段CA 上AB 于点A ，线段DB 上AB 于点B ，AB=2；AC=1，BD=3，P 是半圆上的一个动点，则封闭图形ACPDB 的最大面积是( )A ．22+B ．21+C ．23+D ．23+12．如图，在△ABC 中，BC=5，AC=12，AB=13，在边AB 、AC 上分别取点D 、E ，使线段DE 将△ABC 分成面积相等的两部分，试求这样线段的最小长度．13．如图，ABCD是一个边长为1的正方形，U、V分别是AB、CD上的点，AV与DU相交于点P，BV与CU相交于点Q．求四边形PUQV面积的最大值．14．利用两个相同的喷水器，修建一个矩形花坛，使花坛全部都能喷到水．已知每个喷水器的喷水区域是半径为l0米的圆，问如何设计(求出两喷水器之间的距离和矩形的长、宽)，才能使矩形花坛的面积最大?15．某住宅小区，为美化环境，提高居民生活质量，要建一个八边形居民广场(平面图如图所示)．其中，正方形MNPQ与四个相同矩形(图中阴影部分)的面积的和为800平方米．(1)设矩形的边AB=x(米)，AM=y(米)，用含x的代数式表示y为．(2)现计划在正方形区域上建雕塑和花坛，平均每平方米造价为2100元；在四个相同的矩形区域上铺设花岗岩地坪，平均每平方米造价为105元；在四个三角形区域上铺设草坪，平均每平方米造价为40元．①设该工程的总造价为S(元)，求S关于工的函数关系式．②若该工程的银行贷款为235000元，仅靠银行贷款能否完成该工程的建设任务?若能，请列出设计方案；若不能，请说明理由．③若该工程在银行贷款的基础上，又增加资金73000元，问能否完成该工程的建设任务?若能，请列出所有可能的设计方案；若不能，请说明理由．16．某房地产公司拥有一块“缺角矩形”荒地ABCDE，边长和方向如图，欲在这块地上建一座地基为长方形东西走向的公寓，请划出这块地基，并求地基的最大面积(精确到1m2)．参考答案。

几何最值问题一．选择题〔共6小题〕1．〔2021 •孝感一模〕如图，等边△ABC的边长为6，点D为AC 的中点，点E为BC的中点，点P为BD上一点，那么PE+PC的最小值为〔〕A．3B．3C．2D．3考点：轴对称-最短路线问题．分析：由题意可知点A、点C关于BD对称，连接AE交BD于点P，由对称的性质可得，PA=PC，故PE+PC=AE，由两点之间线段最短可知，AE即为PE+PC的最小值．解答：解：∵△ABC是等边三角形，点D为AC的中点，点E为BC 的中点，∴BD⊥AC，EC=3，连接AE，线段AE的长即为PE+PC最小值，∵点E是边BC的中点，∴AE⊥BC，∴AE===3，∴PE+PC的最小值是3．应选D．点评：此题考察的是轴对称﹣最短路线问题，熟知等边三角形的性质是解答此题的关键．2．〔2021•鄂城区校级模拟〕如图，在直角坐标系中有线段AB，AB=50cm，A、B到x轴的距离分别为10cm与40cm，B点到y 轴的距离为30cm，现在在x轴、y轴上分别有动点P、Q，当四边形PABQ的周长最短时，那么这个值为〔〕A．50B．50C．50﹣50D．50+50考点：轴对称-最短路线问题；坐标与图形性质．专题：压轴题．分析：过B点作BM⊥y轴交y轴于E点，截取EM=BE，过A点作AN⊥x轴交x轴于F点，截取NF=AF，连接MN交X，Y轴分别为P，Q点，此时四边形PABQ的周长最短，根据题目所给的条件可求出周长．解答：解：过B点作BM⊥y轴交y轴于E点，截取EM=BE，过A 点作AN⊥x轴交x轴于F点，截取NF=AF，连接MN交x，y 轴分别为P，Q点，过M点作MK⊥x轴，过N点作NK⊥y轴，两线交于K点．MK=40+10=50，作BL⊥x轴交KN于L点，过A点作AS⊥BP交BP于S点．∵LN=AS==40．∴KN=60+40=100．∴MN==50．∵MN=MQ+QP+PN=BQ+QP+AP=50．∴四边形PABQ的周长=50+50．应选D．点评：此题考察轴对称﹣最短路线问题以及坐标与图形的性质，此题关键是找到何时四边形的周长最短，以及构造直角三角形，求出周长．3．〔2021秋•贵港期末〕如图，AB⊥BC，AD⊥DC，∠BAD=110°，在BC、CD上分别找一点M、N，当△AMN周长最小时，∠MAN 的度数为〔〕A．30°B．40°C．50°D．60°考点：轴对称-最短路线问题．分析：根据要使△AMN的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC与CD的对称点A′，A″，即可得出∠AA′M+∠A″=∠HAA′=70°，进而得出∠MAB+∠NAD=70°，即可得出答案．解答：解：作A关于BC与CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，那么A′A″即为△AMN的周长最小值，作DA延长线AH，．∵∠DAB=110°，∴∠HAA′=70°，∴∠AA′M+∠A″=∠HAA′=70°，∵∠MA′A=∠MAB，∠NAD=∠A″，∴∠MAB+∠NAD=70°，∴∠MAN=110°﹣70°=40°．应选B．点评：此题考察的是轴对称﹣最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质与垂直平分线的性质等知识，根据得出M，N的位置是解题关键．4．〔2021•无锡模拟〕如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A，B分别在OM、ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=．运动过程中，当点D到点O的距离最大时，OA长度为〔〕A．B．C．2D．考点：勾股定理；三角形三边关系；直角三角形斜边上的中线．分析：取AB的中点，连接OE、DE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出OE，利用勾股定理列式求出DE，然后根据三角形的任意两边之与大于第三边判断出O、E、D三点共线时点D到点O的距离最大，过点A作AF⊥OD于F，利用∠ADE的余弦列式求出DF，从而得到点F是OD的中点，判断出AF垂直平分OD，再根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得OA=AD．解答：解：如图，取AB的中点，连接OE、DE，∵∠MON=90°，∴OE=AE=AB=×2=1，∵三边形ABCD是矩形，∴AD=BC=，在Rt△ADE中，由勾股定理得，DE===2，由三角形的三边关系得，O、E、D三点共线时点D到点O的距离最大，此时，OD=OE+DE=1+2=3，过点A作AF⊥OD于F，那么cos∠ADE==，即=，解得DF=，∵OD=3，∴点F是OD的中点，∴AF垂直平分OD，∴OA=AD=．应选B．点评：此题考察了勾股定理，三角形的任意两边之与大于第三边，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，作辅助线并判断出OD最大时的情况是解题的关键，作出图形更形象直观．5．〔2021 •鞍山一模〕如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边BC上且CE=1，长为的线段MN在AC上运动，当四边形BMNE 的周长最小时，那么tan∠MBC的值是〔〕A．B．C．D．1考点：轴对称-最短路线问题；正方形的性质．分析：根据题意得出作EF∥AC且EF=，连结DF交AC于M，在AC上截取MN=，此时四边形BMNE的周长最小，进而利用相似三角形的判定与性质得出答案．解解：作EF∥AC且EF=，连结DF交AC于M，在AC上截答：取MN=，延长DF交BC于P，作FQ⊥BC于Q，那么四边形BMNE的周长最小，由∠FEQ=∠ACB=45°，可求得FQ=EQ=1，∵∠DPC=∠FPQ，∠DCP=∠FQP，∴△PFQ∽△PDC，∴=，∴=，解得：PQ=，∴PC=，由对称性可求得tan∠MBC=tan∠PDC==．应选：A．点评：此题主要考察了正方形的性质以及相似三角形的判定与性质，得出M，N的位置是解题关键．6．〔2021 •江干区一模〕如图，△ABC中，CA=CB，AB=6，CD=4，E是高线CD的中点，以CE为半径⊙C．G是⊙C上一动点，P是AG中点，那么DP的最大值为〔〕A．B．C．2D．考圆的综合题．点：分析：根据等腰三角形的性质可得点D是AB的中点，然后根据三角形中位线定理可得DP=BG，然后利用两点之间线段最短就可解决问题．解答：解：连接BG，如图．∵CA=CB，CD⊥AB，AB=6，∴AD=BD=AB=3．又∵CD=4，∴BC=5．∵E是高线CD的中点，∴CE=CD=2，∴CG=CE=2．根据两点之间线段最短可得：BG≤CG+CB=2+5=7．当B、C、G三点共线时，BG取最大值为7．∵P是AG中点，D是AB的中点，∴PD=BG，∴DP 最大值为．应选A．点评：此题主要考察了圆的综合题，涉及了等腰三角形的性质、三角形中位线定理、勾股定理、两点之间线段最短等知识，利用三角形中位线定理将DP转化为BG是解决此题的关键．二．填空题〔共3小题〕7．〔2021•江阴市校级模拟〕如图，线段AB的长为4，C为AB上一动点，分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作等腰直角△ACD与等腰直角△BCE，那么DE长的最小值是 2 ．考点：等腰直角三角形．分析：设AC=x，BC=4﹣x，根据等腰直角三角形性质，得出CD=x，CD′=〔4﹣x〕，根据勾股定理然后用配方法即可求解．解答：解：设AC=x，BC=4﹣x，∵△ABC，△BCD′均为等腰直角三角形，∴CD=x，CD′=〔4﹣x〕，∵∠ACD=45°，∠BCD′=45°，∴∠DCE=90°，∴DE2=CD2+CE2=x2+〔4﹣x〕2=x2﹣4x+8=〔x﹣2〕2+4，∴当x取2时，DE取最小值，最小值为：4．故答案为：2．点评：此题考察了二次函数最值及等腰直角三角形，难度不大，关键是掌握用配方法求二次函数最值．8．〔2021•河南校级模拟〕如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=8，E为CD边的中点，点P、Q为BC边上两个动点，且PQ=2，当BP= 4 时，四边形APQE的周长最小．考点：轴对称-最短路线问题．专题：压轴题．分析：要使四边形APQE的周长最小，由于AE与PQ都是定值，只需AP+EQ的值最小即可．为此，先在BC边上确定点P、Q的位置，可在AD上截取线段AF=DE=2，作F点关于BC的对称点G，连接EG与BC交于一点即为Q点，过A点作FQ的平行线交BC于一点，即为P点，那么此时AP+EQ=EG最小，然后过G点作BC的平行线交DC的延长线于H点，那么先证明∠GEH=45°，再由CQ=EC即可求出BP的长度．解答：解：如图，在AD上截取线段AF=DE=2，作F点关于BC的对称点G，连接EG与BC交于一点即为Q点，过A点作FQ的平行线交BC于一点，即为P点，过G点作BC的平行线交DC 的延长线于H点．∵GH=DF=6，EH=2+4=6，∠H=90°，∴∠GEH=45°．设BP=x，那么CQ=BC﹣BP﹣PQ=8﹣x﹣2=6﹣x，在△CQE中，∵∠QCE=90°，∠CEQ=45°，∴CQ=EC，∴6﹣x=2，解得x=4．故答案为4．点评：此题考察了矩形的性质，轴对称﹣最短路线问题的应用，题目具有一定的代表性，是一道难度较大的题目，对学生提出了较高的要求．9．〔2021•武汉〕如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE=DF．连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．假设正方形的边长为2，那么线段DH长度的最小值是﹣1 ．考点：正方形的性质．专压轴题．题：分析：根据正方形的性质可得AB=AD=CD，∠BAD=∠CDA，∠ADG=∠CDG，然后利用“边角边〞证明△ABE与△DCF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠1=∠2，利用“SAS〞证明△ADG与△CDG全等，根据全等三角形对应角相等可得∠2=∠3，从而得到∠1=∠3，然后求出∠AHB=90°，取AB的中点O，连接OH、OD，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OH=AB=1，利用勾股定理列式求出OD，然后根据三角形的三边关系可知当O、D、H三点共线时，DH的长度最小．解答：解：在正方形ABCD中，AB=AD=CD，∠BAD=∠CDA，∠ADG=∠CDG，在△ABE与△DCF中，，∴△ABE≌△DCF〔SAS〕，∴∠1=∠2，在△ADG与△CDG中，，∴△ADG≌△CDG〔SAS〕，∴∠2=∠3，∴∠1=∠3，∵∠BAH+∠3=∠BAD=90°，∴∠1+∠BAH=90°，∴∠AHB=180°﹣90°=90°，取AB的中点O，连接OH、OD，那么OH=AO=AB=1，在Rt△AOD中，OD===，根据三角形的三边关系，OH+DH＞OD，∴当O、D、H三点共线时，DH的长度最小，最小值=OD﹣OH=﹣1．〔解法二：可以理解为点H是在Rt△AHB，AB 直径的半圆上运动当O、H、D三点共线时，DH长度最小〕故答案为：﹣1．点评：此题考察了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，三角形的三边关系，确定出DH最小时点H的位置是解题关键，也是此题的难点．三．解答题〔共1小题〕10．〔2021 •黄冈中学自主招生〕阅读下面材料：小伟遇到这样一个问题：如图1，在△ABC〔其中∠BAC是一个可以变化的角〕中，AB=2，AC=4，以BC为边在BC的下方作等边△PBC，求AP的最大值．小伟是这样思考的：利用变换与等边三角形将边的位置重新组合．他的方法是以点B为旋转中心将△ABP逆时针旋转60°得到△A′BC，连接A′A，当点A落在A′C上时，此题可解〔如图2〕．请你答复：AP 的最大值是 6 ．参考小伟同学思考问题的方法，解决以下问题：如图3，等腰Rt△ABC．边AB=4，P为△ABC内部一点，那么AP+BP+CP的最小值是〔或不化简为〕．〔结果可以不化简〕考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；勾股定理；等腰直角三角形．专题：几何综合题．分析：〔1〕根据旋转的性质知A′A=AB=BA′=2，AP=A′C，所以在△AA′C中，利用三角形三边关系来求A′C即AP的长度；〔2〕以B为中心，将△APB逆时针旋转60°得到△A'P'B．根据旋转的性质推知PA+PB+PC=P'A′+P'B+PC．当A'、P'、P、C四点共线时，〔P'A′+P'B+PC〕最短，即线段A'C最短．然后通过作辅助线构造直角三角形A′DC，在该直角三角形内利用勾股定理来求线段A′C的长度．解答：解：〔1〕如图2，∵△ABP逆时针旋转60°得到△A′BC，∴∠A′BA=60°，A′B=AB，AP=A′C∴△A′BA是等边三角形，∴A′A=AB=BA′=2，在△AA′C中，A′C＜AA′+AC，即AP＜6，那么当点A′A、C三点共线时，A′C=AA′+AC，即AP=6，即AP的最大值是：6；故答案是：6．〔2〕如图3，∵Rt△ABC是等腰三角形，∴AB=BC．以B为中心，将△APB逆时针旋转60°得到△A'P'B．那么A'B=AB=BC=4，PA=P′A′，PB=P′B，∴PA+PB+PC=P′A′+P'B+PC．∵当A'、P'、P、C四点共线时，〔P'A+P'B+PC〕最短，即线段A'C最短，∴A'C=PA+PB+PC，∴A'C长度即为所求．过A'作A'D⊥CB延长线于D．∵∠A'BA=60°〔由旋转可知〕，∴∠1=30°．∵A'B=4，∴A'D=2，BD=2，∴CD=4+2．在Rt△A'DC中A'C====2+2；∴AP+BP+CP的最小值是：2+2〔或不化简为〕．故答案是：2+2〔或不化简为〕．点评：此题综合考察了旋转的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理以及等边三角形的判定与性质．注意：旋转前、后的图形全等．。

2021年重庆中考复习最值问题专题训练三1、如图，在▱ABCD中，AB＝2，AB AC，∠D＝60°，点P、Q分别是AC和BC上的动点，在点P和点Q运动的过程中，PB+PQ的最小值为2、如图，在正方形ABCD中，AB＝6，E是BC边的中点，F是CD边上的一点，且DF＝2，若M、N分别是线段AD、AE上的动点，则MN+MF的最小值为 ．3、如图，在正方形ABCD中，动点E、F分别从D、C两点同时出发，以相同的速度在直线DC、CB上移动，连接AE和DF交于P，若AD＝6，则线段CP的最小值为．4、如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点E，F分别是AB，BC边上的两动点，且EF＝2，点G为EF的中点，点H为AD边上一动点，连接CH，GH，则GH+CH的最小值为5、如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BC＝5，AC ＝，CB的反向延长线上有一动点D，以AD为边在右侧作等边三角形，连CE，CE最短为.6、如图，已知正方形ABCD边长为3，点E在AB边上且BE＝1，点P，Q分别是边BC，CD的动点（均不与顶点重合），则四边形AEPQ的周长的最小值是 ．7、如图，正方形ABCD中，AB＝2，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE，CF，OF．则线段OF长的最小值.8、如图，矩形ABCD中，AB＝5，AD＝10，点E，F，G，H分别在矩形各边上，点F，H为不动点，点E，G为动点，若要使得AF＝CH，BE＝DG，则四边形EFGH周长的最小值为9、如图，△ABC中，∠A＝45°，∠ABC＝60°，AB＝3+，点D是边AB上任意一点，以CD 为边在AD的右侧作等边△DCE，连接BE，则△BDE面积的最大值为．10、如图，菱形ABCD的边长为3，∠BAD＝60°，点E、F在对角线AC上（点E在点F的左侧），且EF＝1，则DE+BF最小值为11、如图，正方形ABCD边长为3，点E、F是对角线AC上的两个动点（点E在点F的左侧），且EF＝1，则DE+BF的最小值是 ．12、如图，正方形ABCD的边长为3，E、F是对角线BD上的两个动点，且EF ＝，连接AE、AF，则AE+AF的最小值为13、如图，已知正方形ABCD的边长为6，点E是正方形内部一点，连接BE，CE，且∠ABE＝∠BCE，点P是AB边上一动点，连接PD，PE，则PD+PE的长度最小值为 ．14、如图，Rt△ABC中．∠BAC＝90°，AB＝1，AC＝2．点D，E分别是边BC，AC上的动点，则DA+DE的最小值为15、如图，M、N是正方形ABCD的边CD上的两个动点，满足AM＝BN，连接AC交BN于点E，连接DE交AM于点F，连接CF，若正方形的边长为6，则线段CF的最小值是 ．16、如图，菱形ABCD的边长为4，∠B＝120°，E是BC的中点，F是对角线AC上的动点，连结EF，将线段EF绕点F按逆时针旋转30°，G为点E对应点，连结CG，则CG的最小值为 ．2021年重庆中考复习最值问题专题训练三1、如图，在▱ABCD中，AB＝2，AB AC⊥，∠D＝60°，点P、Q分别是AC和BC上的动点，在点P和点Q运动的过程中，PB+PQ的最小值为B解：作点B关于AC的对称点F，连接CF，作FQ BC⊥交AC于点P，则FQ的长即为PB+PQ的最小值（垂线段最短），易知△BCF是等边三角形，∴BP+PQ的最小值为2．2、如图，在正方形ABCD中，AB＝6，E是BC边的中点，F是CD边上的一点，且DF＝2，若M、N分别是线段AD、AE上的动点，则MN+MF的最小值为 ．解：作点F关于AD的对称点G，过G作GN⊥AE与N，交AD于M，则GN的长度等于MN+MF的最小值，∵△DGM≌△DGF，∴∠DMF＝∠GMD，∵∠GMD＝∠AMN，∠AMN+∠MAN＝∠MAN+∠BAE＝90°，∴∠FMD＝∠BAE＝∠AMN，∴△ABE∽△DMF∽△AMN，∴，∵AB＝6，∴BE＝3，∵DF＝2，∴DM＝4，∴AM＝2，∵，∴MN＝，∵GM＝2，∴GN ＝GM+MN＝MN+MF＝+2＝．∴MN+MF的最小值为．3、如图，在正方形ABCD中，动点E、F分别从D、C两点同时出发，以相同的速度在直线DC、CB上移动，连接AE和DF交于P，若AD＝6，则线段CP的最小值为．解：由题意得：AD＝CD，DE＝FC，∠ADC＝∠DCF＝90°，∴△DCF≌△ADE（SAS），∴∠DAE＝∠FDC，∴∠APD＝90°，即：相当于点P始终在以AD为直径的圆上，取AD的中点Q，当Q、P、C三点共线时，PC最小，PC＝CQ﹣PQ＝﹣3＝3﹣3．4、如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点E，F分别是AB，BC边上的两动点，且EF＝2，点G为EF的中点，点H为AD边上一动点，连接CH，GH，则GH+CH的最小值为解：由已知，点G在以B圆心，1为半径的圆在与长方形重合的弧上运动．作C关于AD的对称点C′，连接C ′B，交AD于H，交以D为圆心，以1为半径的圆于G由两点之间线段最短，此时C′B的值最小为，则GH+CH的最小值C′G＝10﹣1＝9．5、如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BC＝5，AC＝，CB的反向延长线上有一动点D，以AD为边在右侧作等边三角形，连CE，CE最短为.解：在AC的右侧作等边△ACF，连接EF，则AC＝AF＝CF＝AC＝5，∠CAF＝∠AFC═60°，∵△ADE是等边三角形，∴AD＝AE，∠DAE＝60°＝∠CAF，∴∠CAD＝∠FAE，在△DAC和△EAF 中，，∴△DAC≌△EAF（SAS），∴∠ACD＝∠AFE ∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＝90°，∴∠AFE＝90°，∴∠CFE＝90°﹣60°＝30°，当CE⊥EF时，CE有最小值，∴CE的最小值＝CF ＝．6、如图，已知正方形ABCD边长为3，点E在AB边上且BE＝1，点P，Q分别是边BC，CD的动点（均不与顶点重合），则四边形AEPQ的周长的最小值是 ．解：如图所示，作E关于BC的对称点E′，点A关于DC的对称点A′，连接A′E′，四边形AEPQ的周长最小，∵AD＝A′D＝3，BE＝BE′＝1，∴AA′＝6，AE′＝4．∴A′E′＝＝2，∴四边形AEPQ的周长最小值＝2+2．7、如图，正方形ABCD中，AB＝2，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE，CF，OF．则线段OF长的最小值.解：如图，连接DO，将线段DO绕点D逆时针旋转90°得DM，连接OF，FM，OM，∵∠EDF＝∠ODM＝90°，∴∠EDO＝∠FDM，∵DE＝DF，DO＝DM，∴△EDO≌△FDM （SAS），∴FM＝OE＝2，∵正方形ABCD中，AB＝2，O是BC边的中点，∴OC ＝，∴OD ＝，∴OM＝，∵OF+MF≥OM，∴OF ≥．故选：D．8、如图，矩形ABCD中，AB＝5，AD＝10，点E，F，G，H分别在矩形各边上，点F，H为不动点，点E，G为动点，若要使得AF＝CH，BE＝DG，则四边形EFGH周长的最小值为解：作点F关于CD的对称点F′，连接F′H交CD于点G，此时四边形EFGH周长取最小值，过点H作HH′⊥AD于点H′，如图所示．∵AF＝CH，DF＝DF′，∴H′F′＝AD＝10，∵HH′＝AB＝5，∴F′H ＝＝5，∴C四边形EFGH＝2F′H＝10．9、如图，△ABC中，∠A＝45°，∠ABC＝60°，AB＝3+，点D是边AB上任意一点，以CD 为边在AD的右侧作等边△DCE，连接BE，则△BDE面积的最大值为．解：作CM⊥AB于M，作EN⊥AB于N，如图所示：∵∠A＝45°，∠ABC＝60°，∴△ACM是等腰直角三角形，∠BCM＝30°，∴AM＝CM，CM ＝BM，设BM＝x，则AM＝CM ＝x，∴AB＝x +x＝3+，解得：x ＝，∴BM ＝，CM＝AM＝3，设AD＝y，则DM＝3﹣y，BD＝3+﹣y，∵△CDE是等边三角形，∴∠DCE＝60°CD＝CE，∴∠DCM+∠BCE＝30°＝∠BCM，在MB上截取MH＝MD＝3﹣y，连接CH，则CD＝CH＝CE，∵CM⊥DH，∴∠DCM＝∠HCM，∴∠BCH＝∠BCE，在△BCH和△BCE 中，，∴△BCH≌△BCE（SAS），∴∠CBH＝∠CBE＝60°，BH＝BE＝3+﹣y﹣2（3﹣y）＝y +﹣3，∴∠EBN＝60°，∵EN⊥AB，∴∠BEN＝30°，∴BN＝BE，EN＝BN＝BE ＝（y +﹣3），∵△BDE的面积＝BD×EN＝×（3+﹣y ）×（y +﹣3）＝（﹣y2+6y﹣6）＝﹣（y﹣3）2+，∴当y＝3，即AD＝3时，△BDE面积的最大值为．10、（2019•蓝田县一模）如图，菱形ABCD的边长为3，∠BAD＝60°，点E、F在对角线AC上（点E在点F的左侧），且EF＝1，则DE+BF最小值为解：如图，作DM∥AC，使得DM＝EF＝1，连接BM交AC于F，∵DM＝EF，DM∥EF，∴四边形DEFM是平行四边形，∴DE＝FM，∴DE+BF＝FM+FB＝BM，根据两点之间线段最短可知，此时DE+FB最短，∵四边形ABCD是菱形，AB＝3，∠BAD＝60°∴AD＝AB，∴△ABD是等边三角形，∴BD＝AB＝3，在Rt△BDM中，BM ＝＝，∴DE+BF的最小值为．11、（2019春•仪征市期中）如图，正方形ABCD边长为3，点E、F是对角线AC上的两个动点（点E在点F的左侧），且EF＝1，则DE+BF的最小值是．解：如图，作DM∥AC，使得DM＝EF＝1，连接BM交AC于F，∵DM＝EF，DM∥EF，∴四边形DEFM是平行四边形，∴DE＝FM，∴DE+BF＝FM+FB＝BM，根据两点之间线段最短可知，此时DE+FB最短，∵四边形ABCD是正方形，AB＝3，∠BAD＝90°∴AD＝AB，∴△ABD是等腰直角三角形，∴BD＝AB＝3，在Rt△BDM 中，BM ＝＝，∴DE+BF的最小值为．12、（2019春•梁溪区期末）如图，正方形ABCD的边长为3，E、F是对角线BD上的两个动点，且EF＝，连接AE、AF，则AE+AF的最小值为（ ）A．2B．3C．D ．解：如图作AH∥BD，使得AH＝EF ＝，连接CH交BD于F，则AE+AF的值最小．∵AH＝EF，AH∥EF，∴四边形EFHA是平行四边形，∴EA＝FH，∵F A＝FC，∴AE+AF＝FH+CF＝CH，∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∵AH∥DB，∴AC⊥AH，∴∠CAH＝90°，在Rt△CAH中，CH ＝＝2，∴AE+AF的最小值2，故选：A13、如图，已知正方形ABCD的边长为6，点E是正方形内部一点，连接BE，CE，且∠ABE＝∠BCE，点P是AB边上一动点，连接PD，PE，则PD+PE的长度最小值为 ．解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，∴∠ABE+∠CBE＝90°，∵∠ABE＝∠BCE，∴∠BCE+∠CBE＝90°，∴∠BEC＝90°，∴点E在以BC为直径的半圆上移动，如图，设BC的中点为O，作正方形ABCD关于直线AB对称的正方形AFGB，则点D的对应点是F，连接FO交AB于P，交半圆O于E，则线段EF的长即为PD+PE的长度最小值，∵∠G＝90°，FG＝BG＝AB＝6，∴OG＝9，∴OF＝＝3，∴EF＝3﹣3，故PD+PE的长度最小值为3﹣3，14、如图，Rt△ABC中．∠BAC＝90°，AB＝1，AC＝2．点D，E分别是边BC，AC上的动点，则DA+DE的最小值为解：作A关于BC的对称点A'，连接AA'，交BC于F，过A'作A'E⊥AC于E，交BC于D，则AD＝A'D，此时AD+DE的值最小，就是A'E的长；Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝1，AC ＝2，∴BC＝，S△ABC ＝AB•AC ＝BC•AF，∴1×2＝3AF，AF＝，∴AA'＝2AF＝，∵∠A'FD＝∠DEC＝90°，∠A'DF＝∠CDE，∴∠A'＝∠C，∵∠AEA'＝∠BAC＝90°，∴△AEA'∽△BAC ，∴，∴，∴A'E ＝，即AD+DE 的最小值是；故选：B．15、如图，M、N是正方形ABCD的边CD上的两个动点，满足AM＝BN，连接AC交BN于点E，连接DE交AM于点F，连接CF，若正方形的边长为6，则线段CF的最小值是 ．解：如图，在正方形ABCD中，AD＝BC＝CD，∠ADC＝∠BCD，∠DCE＝∠BCE，在Rt△ADM和Rt△BCN中，，∴Rt△ADM≌Rt△BCN（HL），∴∠DAM＝∠CBN，在△DCE和△BCE 中，，∴△DCE≌△BCE（SAS），∴∠CDE＝∠CBE ∴∠DAM＝∠CDE，∵∠ADF+∠CDE＝∠ADC＝90°，∴∠DAM+∠ADF＝90°，∴∠AFD＝180°﹣90°＝90°，取AD的中点O，连接OF、OC，则OF＝DO ＝AD＝3，在Rt△ODC中，OC ＝＝3根据三角形的三边关系，OF+CF＞OC，∴当O、F、C三点共线时，CF的长度最小，最小值＝OC﹣OF＝3﹣3．16、如图，菱形ABCD的边长为4，∠B＝120°，E是BC的中点，F是对角线AC上的动点，连结EF，将线段EF绕点F按逆时针旋转30°，G为点E对应点，连结CG，则CG的最小值为．解：如图取CD的中点K，连接FK，KG，EK，延长KG交BC于J，作CH⊥JK于H．∵四边形ABCD是菱形，∴∠FCE＝∠FCK，CE＝CK，AB∥CD，∴∠DCB+∠B＝180°，∵∠B＝120°，∴∠DCB＝60°，∵BE＝EC，CK＝KD，∴CK＝CE，∴△ECK是等边三角形，∵CF＝CF，∠FCK＝∠FCE，CK＝CE，∴△FCK≌△FCE（SAS），∴FK＝FE，∵FG＝FE，∴FE＝FG＝FK，∴∠EKG＝∠EFG＝15°，∵∠CKE＝60°，∴∠CKJ＝45°，∴点G在直线KJ上运动，根据垂线段最短可知，当点G 与H重合时，CG的值最小，在Rt△CKH中，∵∠CKH＝45°，∠CHK＝90°，CK＝CD＝2，∴CH＝KH＝，∴CG的最小值为.。

2020重庆中考复习数学几何最值专题训练九------四边形周长最小问题例1、如图，已知，在矩形ABCD中，AD＝4，AB＝8，点E，F是边CD上的动点（点F在点E右侧），且EF＝2，则四边形ABFE周长的最小值为 ．例2、在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝10，G为AD边的中点．如图，若E、F为边AB上的两个动点，且EF＝4，当四边形CGEF的周长最小时，则求AF的长为 ．G例3、如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝4，AD＝12，将矩形纸片折叠，使点C落在AD边上的点M处，折痕为PE，此时PD＝3，若点G，Q是AB边上的两个动点，且不与点A，B重合，GQ＝2，当四边形MEQG的周长最小时，最小周长为（ ）A．18 B．7+6 C．7+5 D．7+5例4、如图，矩形ABCD中，AB＝5，AD＝10，点E，F，G，H分别在矩形各边上，点F，H为不动点，点E，G为动点，若要使得AF＝CH，BE＝DG，则四边形EFGH周长的最小值为（ ）A．5 B．10 C．15 D．10练习：1、如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，G为边AD的中点，若E、F为边AB上的两个动点，点E在点F左侧，且EF＝1，则四边形CGEF周长的最小值为 ．2、（2017春•博山区期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点P是BC中点，点E、F是边CD上的任意两点，且EF＝2，当四边形APEF的周长最小时，则DF的长为（ ）A．2 B．4 C． D．3、（2018•保定一模）如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，点E，F，G，H分别在矩形ABCD各边上，且AE＝CG，BF＝DH，则四边形EFGH周长的最小值为（ ）A．10 B．4 C．20 D．84、如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝4，AD＝12，将矩形纸片折叠，使点C落在AD边上的点M处，折痕为PE，此时PD＝3，若点G，Q是AB边上的两个动点，且不与点A，B重合，GQ＝3，当四边形MEQG的周长最小时，最小周长为（ ）A．16 B．5 C．6+ D．7+2020重庆中考复习数学几何最值专题训练九参考答案例1、（2017春•新城区校级期中）如图，已知，在矩形ABCD中，AD＝4，AB＝8，点E，F是边CD上的动点（点F在点E右侧），且EF＝2，则四边形ABFE周长的最小值为 20．解：在AB上截取AM＝EF，作点M关于直线DC的对称点N，连接BN交CD于F，此时四边形AEFB 的周长最小．四边形AEFB的周长的最小值＝AB+EF+AE+BF＝AB+EF+MF+BF＝AB+EF+NF+BF＝AB+EF+NB＝8+2+＝20，例2、（2018秋•金牛区校级月考）在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝10，G为AD边的中点．如图，若E、F为边AB上的两个动点，且EF＝4，当四边形CGEF的周长最小时，则求AF 的长为 ．G解：∵E为AB上的一个动点，∴如图，作G关于AB的对称点M，在CD上截取CH＝4，然后连接HM交AB于E，接着在EB上截取EF＝4，那么E、F两点即可满足使四边形CGEF的周长最小． ∵在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝10，G为边AD的中点，∴AG＝AM＝5，MD＝15，而CH＝4，∴DH＝4，而AE∥CD，∴△AEM ∽△DHM ，∴AE ：HD＝MA：MD，∴AE＝＝＝，∴AF＝4+＝．例3、（2017春•雁塔区校级期末）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝4，AD＝12，将矩形纸片折叠，使点C落在AD边上的点M处，折痕为PE，此时PD＝3，若点G，Q是AB边上的两个动点，且不与点A，B重合，GQ＝2，当四边形MEQG的周长最小时，最小周长为（ ）A．18 B．7+6 C．7+5 D．7+5解：连接PC，得到四边形PCEM是菱形，PC=5，作点M关于AB的对称点M′，在EN上截取ER ＝2，连接M′R交AB于点G，再过点E作EQ∥RG，交AB于点Q，∵ER＝GQ，ER∥GQ，∴四边形ERGQ是平行四边形，∴QE＝GR，∵GM＝GM′，∴MG+QE＝GM′+GR＝M′R，此时MG+EQ最小，四边形MEQG的周长最小， 在Rt△M′RN中，NR＝4﹣2＝2，M′R＝，∵ME＝5，GQ＝2，∴四边形MEQG的最小周长值是7+5．故选：D．例4、（2019•长丰县二模）如图，矩形ABCD中，AB＝5，AD＝10，点E，F，G，H分别在矩形各边上，点F，H为不动点，点E，G为动点，若要使得AF＝CH，BE＝DG，则四边形EFGH周长的最小值为（ ）A．5 B．10 C．15 D．10解：作点F关于CD的对称点F′，连接F′H交CD于点G，此时四边形EFGH周长取最小值，过点H作HH′⊥AD于点H′，如图所示．∵AF＝CH，DF＝DF′，∴H′F′＝AD＝10，∵HH′＝AB＝5，∴F′H＝＝5，∴C四边形EFGH＝2F′H＝10．故选：D．练习：1、如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，G为边AD的中点，若E、F为边AB上的两个动点，点E在点F左侧，且EF＝1，则四边形CGEF周长的最小值为 ．解：如图，作G关于AB的对称点M，在CD上截取CH＝1，然后连接HM交AB于E，在EB上截取EF＝1，那么E、F两点即可满足使四边形CGEF的周长最小．∵AB＝4，BC＝6，G为边AD的中点，∴DG＝AG＝AM＝3，∵AE∥DH，∴＝，∴＝，＝，故AE＝1，∴GE＝＝，BF＝2，CF＝＝＝2，CG＝＝5，∴C四边形GEFC＝GE+EF+FC+CG＝6+3，2、（2017春•博山区期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点P是BC中点，点E、F是边CD上的任意两点，且EF＝2，当四边形APEF的周长最小时，则DF的长为（ ）A．2 B．4 C． D．解：∵点E、F是边CD上的任意两点，∴如图，作P关于CD的对称点M，在AB上截取AH＝2，然后连接HM交CD于E，接着在EB上截取EF＝2，那么E、F两点即可满足使四边形APEF的周长最小．∵在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点P是BC中点，∴CP＝CM＝4，MB＝12，而AH＝2， ∴BH＝4，∵AB∥CD，∴△CEM∽△BHM，∴CE：BH＝MC：MB，∴CE＝＝，∴DF＝CD﹣CE﹣EF＝6﹣﹣2＝．故选：C．3、（2018•保定一模）如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，点E，F，G，H分别在矩形ABCD各边上，且AE＝CG，BF＝DH，则四边形EFGH周长的最小值为（ ）A．10 B．4 C．20 D．8解：作点E关于BC的对称点E′，连接E′G交BC于点F，此时四边形EFGH周长取最小值，EF＝E'F，过点G作GG′⊥AB于点G′，如图所示．∵AE＝CG，BE＝BE′，∴E′G′＝AB＝8，∵GG′＝AD＝6，∴E′G＝＝10，∴C四边形EFGH＝2（GF+EF）＝2E′G＝20．4、如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝4，AD＝12，将矩形纸片折叠，使点C落在AD边上的点M处，折痕为PE，此时PD＝3，若点G，Q是AB边上的两个动点，且不与点A，B重合，GQ＝3，当四边形MEQG的周长最小时，最小周长为（ ）A．16 B．5 C．6+ D．7+解：连接PC，得到四边形PCEM是菱形，PC=5，作点M关于AB的对称点M′，在EN上截取ER＝1，连接M′R交AB于点G，再过点E作EQ∥RG，交AB于点Q，∵ER＝GQ，ER∥GQ，∴四边形ERGQ是平行四边形，∴QE＝GR，∵GM＝GM′，∴MG+QE＝GM′+GR＝M′R，此时MG+EQ最小，四边形MEQG的周长最小，在Rt△M′RN中，NR＝4﹣3＝1，M′R==，∵ME＝5，GQ＝1，∴四边形MEQG的最小周长值是6+．故选：D．。

几何综合压轴问题专项练习答案（40题）(1)将CDE 绕顶点C 旋转一周，请直接写出点M ，N 距离的最大值和最小值；(2)将CDE 绕顶点C 逆时针旋转120︒（如图2），求MN 【答案】(1)最大值为3，最小值为1(2)7【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线，得出,CM CN 解；（2）过点N 作NP MC ⊥，交MC 的延长线于点P ，根据旋转的性质求得进而可得1CP =，勾股定理解Rt ,Rt NCP MCP ，即可求解．【详解】（1）解：依题意，112CM DE ==，12CN AB =当M 在NC 的延长线上时，,M N 的距离最大，最大值为（2）解：如图所示，过点N 作NP MC ⊥，交MC 的延长线于点∵CDE 绕顶点C 逆时针旋转∴120BCE ∠=︒，∵45BCN ECM ∠=∠=︒，∴MCN BCM ECM ∠=∠-∠=∴60NCP ∠=︒，∴30CNP ∠=︒，∴112CP CN ==，在Rt CNP 中，2NP NC =-在Rt MNP △中，MP MC CP =+∴2234MN NP MP =+=+【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，旋转的性质，含(1)如图1，求证：DE BF =；(2)如图2，若2AD BF =，的延长线恰好经过DE 的中点【答案】(1)见解析(2)22BE =+△∵点G 是DE 的中点，∴GH 是FCD 的中位线，∴11122GH CD AD ===，设BE a =，则CH EH ==(1)如图1，求AB边上的高CH的长．''．(2)P是边AB上的一动点，点,C D同时绕点P按逆时针方向旋转90︒得点,C D①如图2，当点C'落在射线CA上时，求BP的长．△是直角三角形时，求BP的长．②当AC D''∴90C PQ PC Q '∠+∠='︒∵90C PQ CPH ∠+∠='︒∴PC Q CPH ∠=∠'．由旋转知PC PC '=，设C D ''与射线BA 的交点为作CH AB ⊥于点H ．∵PC PC ⊥'，∴90CPH TPC ∠'+∠=︒，∵C D AT ''⊥，∴90PC T TPC ∠'+∠='︒，【答案】（1）①见解析；②AD DF BD =+，理由见解析；【分析】（1）①证明：ABE CBD ∠=∠，再证明ABE ≅△可得DF DC =．证明AE DF =，从而可得结论；（2）如图，过点B 作BE AD ⊥于点E ，得90BED ∠=︒，证明2DE BD =，证明2AB BC =，ABE CBD ∠=∠，可得②AD DF BD=+．理由如下：∵DF和DC关于AD对称，=．∴DF DC=，∵AE CD∴AE DF=．∴AD AE DE DF BD=+=+∵DF 和DC 关于AD 对称，∴DF DC =，ADF ADC ∠=∠．∵CD BD ⊥，∴45ADF ADC ∠=∠=︒，∴45EBD ∠=︒．∴2DE BD =．∵AB AC AF ==，∴()11222HF BF BD DF ==-=，222262210BC BD CD =+=+=∴2221022AF AC BC ===⨯=25HF (2)知识应用：如图2Y是菱形；①求证：ABCD②延长BC至点E，连接OE交【答案】(1)见解析5∴1BG BO GC OD==，∴115222CG BC AD ===，∴552OF GC ．处从由60PC P C PCP ''=∠=︒，，可知PCP '△为①三角形，故PP PC '=，又P A PA ''=，故PA PB PC PA PB PP A B '''++=++≥，由②可知，当B ，P ，P '，A 在同一条直线上时，PA PB PC ++取最小值，如图2，最小值为(3)如图5，设村庄A ，B ，C 的连线构成一个三角形，且已知4km 23km AC BC ==，，建一中转站P 沿直线向A ，B ，C 三个村庄铺设电缆，已知由中转站P 到村庄A ，B ，C 元/km ，a 元/km ，2a 元/km ，选取合适的P 的位置，可以使总的铺设成本最低为___________用含的式子表示）∵ACP A CP ''∠=∠，∴ACP BCP A CP BCP ∠+∠=∠+∠''又∵60PCP '∠=︒过点A '作A H BC '⊥，垂足为H ，∵60ACB ∠=︒，90ACA '∠=︒，∴30A CH '∠=︒，1猜想证明：(1)如图2，试判断四边形AEDG的形状，并说明理由．问题解决；(2)如图3，将图2中左侧折叠的三角形展开后，重新沿MN折叠，使得顶点B与点∵1122 CHGS CH HG=⋅=∴154302CG HE⋅=⨯=，①求证：PD PB =；②将线段DP 绕点P 逆时针旋转，化时，DPQ ∠的大小是否发生变化？请说明理由；③探究AQ 与OP 的数量关系，并说明理由．【答案】（1）①见解析；②不变化，（2）AQ CP =，理由见解析【分析】（1）①根据正方形的性质证明②作,PM AB PN AD ⊥⊥，垂足分别为点∵四边形ABCD 是正方形，∴45DAC BAC ∠=∠=︒，∴四边形AMPN 是矩形，∴90MPN ∠=︒，∵四边形ABCD 是正方形，∴45BAC ∠=︒，90AOB ∠=∴45AEP ∠=︒，四边形OPEF=作PM AB⊥于点M，则QM MB=，∴QA BE=．∴AQ CP（1）求BCF ∠的度数；（2）求CD 的长．深入探究：（3）若90BAC ∠<︒，将BMN 绕点B 顺时针旋转α，得到BEF △，连接AE ，CF 满足0360α︒<<︒，点,,C E F 在同一直线上时，利用所提供的备用图探究BAE ∠与ABF ∠的数量关系，并说明理由．【答案】初步尝试：（1）1MN AC =；MN AC ∥；（2）特例研讨：（1）30BCF ∠=︒；（2）CD∵MN 是BAC 的中位线，∴MN AC ∥，∴90BMN BAC ∠=∠=︒∵将BMN 绕点B 顺时针旋转α∴,BE BM BF BN ==；BEF ∠=∵点,,A E F 在同一直线上时，2∵,ADN BDE ANB BED ∠=∠∠=∠∴ADN BDE ∽,∴2222DN AN DE BE ===,设DE x =，则2DN x =，在Rt ABE △中，2,2BE AE ==在Rt ADN △中，22AD DN AN =+∵AB AC =，∴A ABC CB =∠∠，设ABC ACB θ∠=∠=，则1802BAC θ∠=︒-，∵MN 是ABC 的中位线，∴MN AC∥∴MNB MBN θ∠=∠=，∵将BMN 绕点B 顺时针旋转α，得到BEF △，∴EBF MBN ≌，MBE NBF α∠=∠=，∴EBF EFB θ∠=∠=∴1802BEF θ∠=︒-，∵点,,C E F 在同一直线上，∴2BEC θ∠=∴180BEC BAC ∠+∠=︒，∴,,,A B E C 在同一个圆上，∴EAC EBC αθ∠=∠=-∴()()1802BAE BAC EAC θαθ∠=∠-∠=︒---180αθ=︒--∵ABF αθ∠=+，∴180BAE ABF ∠∠=+︒；如图所示，当F 在EC 上时，∵,BEF BAC BC BC∠=∠=∴,,,A B E C 在同一个圆上，设ABC ACB θ∠=∠=，则1802BAC BEF θ∠=∠=︒-，将BMN 绕点B 顺时针旋转α，得到BEF △，设NBF β∠=，则EBM β∠=，则360αβ+=︒，∴ABF θβ∠=-，∵BFE EBF θ∠=∠=,EFB FBC FCB∠=∠+∠∴ECB FCB EFB FBC θβ∠=∠=∠-∠=-，∵ EBEB =∴EAB ECB θβ∠=∠=-∴BAE ∠ABF=∠综上所述，BAE ABF ∠=∠或180BAE ABF ∠∠=+︒【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形对角互补，相似三角形的性质与判定，旋转的性质，中位线的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．10．（2023·湖北黄冈·统考中考真题）【问题呈现】CAB △和CDE 都是直角三角形，90,,ACB DCE CB mCA CE mCD ∠=∠=︒==，连接AD ，BE ，探究AD ，BE 的位置关系．(1)如图1，当1m =时，直接写出AD ，BE 的位置关系：____________；(2)如图2，当1m ≠时，（1）中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．【拓展应用】(3)当3,47,4m AB DE ===时，将CDE 绕点C 旋转，使,,A D E 三点恰好在同一直线上，求（2）解：成立；理由如下：∵90DCE ACB ∠=∠=︒，∴DCA ACE ACE ∠+∠=∠+（3）解：当点E 在线段AD设AD y =，则AE AD DE =+根据解析（2）可知，DCA △∴3BE BC m AD AC===，勾股定理，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法，画出相应的图形，注意分类讨论．(1)若点P 在AB 上，求证：A P AP '=；(2)如图2．连接BD ．①求CBD ∠的度数，并直接写出当180n =时，x 的值；②若点P 到BD 的距离为2，求tan A MP '∠的值；∵PM 平分A MA '∠∴90PMA ∠=︒∴PM AB∥∴DNM DBA V V ∽∴DN DM MN DB DA BA ==∵8,6,90AB DA A ==∠=︒，∴2226BD AB AD =+=+∴2103sin 3BQ BP DBA ===∠，∵90PQB CBD DAB ∠=∠=∠=︒，∴90QPB PBQ DBA ∠=︒-∠=∠，∵A MP AMP ' ≌，∴90PA M A '∠=∠=︒，（2）如图②，在矩形ABCD 的BC 边上取一点E ，将四边形ABED 沿DE 翻折，使点B '处，若24,6BC CE AB ⋅==，求BE 的值；（3）如图③，在ABC 中，45,BAC AD BC ∠=︒⊥，垂足为点,10,D AD AE ==于点F ，连接DF ，且满足2DFE DAC ∠=∠，直接写出53BD EF +的值．∵EF BC ∥，∴2CDF DFE ∠=∠=∴CDH FDH ∠=∠，又∵DH DH =，CHD ∠∴(ASA CHD FHD ≌【点睛】本题考查矩形的性质、翻折性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、锐角三角函数等知识，综合性强，较难，属于中考压轴题，熟练掌握相关知识的联系与运用，添加辅助线求解是解答的关键．13．（2023·湖南郴州·=，连接点E，使CE AD(1)如图1，当点D在线段AB上时，猜测线段CF与BD的数量关系并说明理由；(2)如图2，当点D在线段AB的延长线上时，①线段CF与BD的数量关系是否仍然成立？请说明理由；②如图3，连接AE．设4AB=，若AEB DEB∠=∠，求四边形BDFC的面积．【答案】(1)1CF BD=，理由见解析∴60,ADG ABC AGD ∠=∠=︒∠=∠∴ADG △为等边三角形，∴AD AG DG ==，∵AD CE =，AD AB AG AC -=-∴DG CE =，BD CG =，于点由①知：ADG △为等边三角形，∵ABC 为等边三角形，∴4,AB AC BC BH CH =====∴2223AH AB BH =-=，(1)若正方形ABCD 的边长为2，E 是AD 的中点．①如图1，当90FEC ∠=︒时，求证：AEF DCE ∽△△；②如图2，当2tan 3FCE ∠=时，求AF 的长；(2)如图3，延长CF ，DA 交于点G ，当1,sin 3GE DE FCE =∠=时，求证：，可得结论；正方形ABCD 中，①ADC BAD ∠=∠ ∴AEF CED ∠+∠=AEF ECD ∴∠=∠，延长DA ，CF 交于点G ，作GH CE ⊥，垂足为H ，90EDC EHG ∠=∠=︒ 且∠问题探究：(1)先将问题特殊化，如图（2），当90α=︒时，直接写出GCF ∠的大小；(2)再探究一般情形，如图（1），求GCF ∠与α的数量关系．问题拓展：(3)将图（1）特殊化，如图（3），当120α=︒时，若12DG CG =，求BE CE 的值．故答案为：45︒．（2）解：在AB上截取ANABC BAE AEB∠+∠+∠=∠=∠，ABC AEF22⎝⎭（3）解：过点A作CD的垂线交CD的延长线于点【点睛】此题考查菱形性质、三角形全等、三角形相似，解题的关键是熟悉菱形性质、三角形全等、三角形相似．16．（2023·山西·统考中考真题）问题情境：“综合与实践沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为∠=∠=︒∠=∠．将ABCACB DEF A D90,和DFE△(1)数学思考：谈你解答老师提出的问题；(2)深入探究：老师将图2中的DBE绕点B逆时针方向旋转，使点问题．∠①“善思小组”提出问题：如图3，当ABE②“智慧小组”提出问题：如图AH的长．请你思考此问题，直接写出结果．【答案】(1)正方形，见解析(2)①AM BE=，见解析；【分析】（1）先证明四边形形；∠（2）①由已知ABE【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角函数、勾股定理等知识点，适当添加的辅助线、构造相似三角形是解题的关键．17．（2023·湖北十堰·统考中考真题）过正方形E ，连接AE ，直线AE 交直线(1)如图1，若25CDP ∠=︒，则DAF ∠=___________(2)如图1，请探究线段CD ，EF ，AF 之间的数量关系，并证明你的结论；(3)在DP 绕点D 转动的过程中，设AF a =，EF 【答案】(1)20︒。

几何最值问题综合1、2、3、4、题型一1.“两定一动”型将军饮马：①异侧型→直接连接，交点即为待求动点；后用勾股定理求最值②同侧型→对称、连接；后续同上2.“两定两动”型：①同侧型→先水平平移(往靠近对方的方向)、再对称、最后连接；也可先对称、再水平平移(往靠近对方的方向)、最后连接；后续同上。

同侧型异侧型②异侧型→先水平平移(往靠近对方的方向)、再连接；后续同上。

【1(2023•泸州)如图，E，F是正方形ABCD的边AB的三等分点，P是对角线AC上的动点，当PE+PF取得最小值时，APPC的值是　27　．【分析】找出点E 关于AC 的对称点E '，FE '与AC 的交点P '即为PE +PF 取得最小值时P 的位置AP P C的值即可．【E 关于AC 的对称点E '，FE '交AC 于点P '，PE '，∴PE =PE '，∴PE +PF =PE '+PF ≥E 'F ，故当PE +PF 取得最小值时P 位于点P '处∴当PE +PF 取得最小值时AP PC的值AP P C 的值即可．∵正方形ABCD 是关于AC 所在直线轴对称∴点E 关于AC 所在直线对称的对称点E '在AD 上AE '=AE ，过点F 作FG ⊥AB 交AC 于点G ，则∠GFA =90°，∵四边形ABCD 是正方形∴∠DAB =∠B =90°，∠CAB =∠ACB =45°，∴FG ∥BC ∥AD ，∠AGF =∠ACB =45°，∴GF =AF ，∵E ，F 是正方形ABCD 的边AB 的三等分点∴AE '=AE =EF =FB ，∴GC =13AC ，AE GF =AE AF=12，∴AG =23AC ，AP P C =AE GF =12，∴AP '=13AG =13×23AC =29AC ，∴P 'C =AC -AP '=AC -29AC =79AC ，∴AP P C =29AC 79AC =27，故答案为27．2(2023•德州)如图，在四边形ABCD 中，∠A =90°，AD ∥BC ，AB =3，BC =4，点E 在AB 上，且AE =1．F ，G 为边AD 上的两个动点，且FG =1．当四边形CGFE 的周长最小时，CG 的长为　154　．【分析】先确定FG 和EC 的长为确定的值，得到四边形CGFE 的周长最小时，即为CG +EF 最小时，平移CG 到C 'F ，作点E 关于AD 对称点E '，连接E 'C '交AD 于点G '，得到CG +EF 最小时，点G 与G '重合，再利用平行线分线段成比例求出C 'G '长即可．【解答】解：∵∠A =90°，AD ∥BC ，∴∠B =90°，∵AB =3，BC =4，AE =1，∴BE =AB -AE =3-1=2，在Rt △EBC 中，由勾股定理，得EC =BE 2+BC 2=22+42=25，∵FG =1，∴四边形CGFE 的周长=CG +FG +EF +EC =CG +EF +1+25，∴四边形CGFE 的周长最小时，只要CG +EF 最小即可．过点F 作FC '∥GC 交BC 于点C '，延长BA 到E '，使AE '=AE =1，连接E 'F ，E 'C '，E 'C '交AD 于点G '，可得AD 垂直平分E 'E ，∴E 'F =EF ，∵AD ∥BC ，∴C 'F =CG ，CC '=FG =1，∴CG +EF =C 'F +E 'F ≥E 'C '，即CG +EF 最小时，CG =C 'G '，∵E 'B =AB +AE '=3+1=4，BC '=BC -CC '=4-1=3，由勾股定理，得E 'C '=E B 2+BC 2=42+32=5，∵AG '∥BC '，∴C G E C =AB E B ，即C G 5=34，解得C 'G '=154，即四边形CGFE 的周长最小时，CG 的长为154．故答案为：154．3(2023•绥化)如图，△ABC 是边长为6的等边三角形，点E 为高BD 上的动点．连接CE ，将CE 绕点C 顺时针旋转60°得到CF ．连接AF ，EF ，DF ，则△CDF 周长的最小值是　3+33　．【分析】分析已知，可证明△BCE≌△ACF，得∠CAF=∠CBE=30°，可知点F在△ABC外，使∠CAF= 30°的射线AF上，根据将军饮马型，求得DF+CF的最小值便可求得本题结果．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴AC=BC=6，∠ABC=∠BCA=60°，∵∠ECF=60°，∴∠BCE=60°-∠ECA=∠ACF，∵CE=CF，∴△BCE≌△ACF(SAS)，∴∠CAF=∠CBE，∵△ABC是等边三角形，BD是高，∴∠CBE=12∠ABC=30°，CD=12AC=3，过C点作CG⊥AF，交AF的延长线于点G，延长CG到H，使得GH=CG，连接AH，DH，DH与AG交于点I，连接CI，FH，则∠ACG=60°，CG=GH=12AC=3，∴CH=AC=6，∴△ACH为等边三角形，∴DH=CD•tan60°=33，AG垂直平分CH，∴CI=HI，CF=FH，∴CI+DI=HI+DI=DH=33，CF+DF=HF+DF≥DH，∴当F与I重合时，即D、F、H三点共线时，CF+DF的值最小为：CF+DF=DH=33，∴△CDF的周长的最小值为3+33．故答案为：3+33．【中考模拟练】4(2024•衡南县模拟)已知：如图，直线y=-2x+4分别与x轴，y轴交于A、B两点，点P(1，0)，若在直线AB上取一点M，在y轴上取一点N，连接MN、MP、NP，则MN+MP+NP的最小值是()A.3B.1+255+855C.2855D.10【分析】作点P关于y轴的对称点E，点P关于AB的对称点F，连接EN，EM，EF，FM，FP，设FP交AB 于C，过点F作FD⊥x轴于D，则EN=NP，FM=MP，FP⊥AB，OE=OP，FC=PC，MN+MP+ NP=MN+FM+EN，根据“两点之间线段最短”得MN+FM+EN≥EF，则MN+MP+NP≥EF，因此MN+MP+NP的最小值为线段EF的长；先求出点A(2，0)，点B(0，4)，则OA=2，OB=4，再由点P (1，0)得OP=1，则OE=OP=1，PA=OA-OP=1，再求出AB=25，证△PAC∽△BAO得PC：OB=PA：AB，由此得PC=255，则PF=455，再证△PFD∽△BAO得FD：OA=PD：OB=PF：AB，由此可得FD=45，PD=85，则ED=OE+OP+PD=185，然后在Rt△EFD中由勾股定理求出EF即可得MN+MP+NP的最小值．【解答】解：作点P关于y轴的对称点E，点P关于AB的对称点F，连接EN，EM，EF，FM，FP，设FP交AB于C，过点F作FD⊥x轴于D，如图所示：则EN=NP，FM=MP，FP⊥AB，OE=OP，FC=PC，∴MN+MP+NP=MN+FM+EN，根据“两点之间线段最短”得MN+FM+EN≥EF，∴MN+MP+NP≥EF，∴MN+MP+NP的最小值为线段EF的长，对于y=-2x+4，当x=0时，y=4，当x=0时，x=2，∴点A(2，0)，点B(0，4)，∴OA=2，OB=4，又∵点P(1，0)，∴OP=1，∴OE=OP=1，PA=OA-OP=2-1=1，在Rt△OAB中，OA=2，OB=4，由勾股定理得：AB=OA2+OB2=25，∵FP⊥AB，FD⊥x轴，∠BOA=90°，∴∠PCA=∠BOA=∠PDF=90°，又∵∠PAC=∠BAO，∴△PAC∽△BAO，∴PC：OB=PA：AB，∠APC=∠ABO，即PC：4=1:25，∴PC=255，∴FC=PC=255，∴PF=FC+PC=455，∵∠APC=∠ABO，∠BOA=∠PDF=90°，∵△PFD∽△BAO，∴FD：OA=PD：OB=PF：AB，即FD：2=PD：4=455:25，∴FD=45，PD=8 5，∴ED=OE+OP+PD=1+1+85=185，在Rt△EFD中，ED=185，FD=45，由勾股定理得：EF=ED2+FD2=285 5．故选：C．5(2023•龙马潭区二模)如图，抛物线y=-x2-3x+4与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C．若点D为抛物线上一点且横坐标为-3，点E为y轴上一点，点F在以点A为圆心，2为半径的圆上，则DE+EF的最小值　65-2　．【分析】先求出点A(-4，0)，点D(-3，4)，作点D关于y轴对称的点T，则点T(3，4)，连接AE交与轴于M，交⊙A于N，过点T作TH⊥x轴于H，连接AF，当点E与点M重合，点F与点N重合时，DE+EF为最小，最小值为线段TN的长，然后可在Rt△ATH中由勾股定理求出TA，进而可得TN，据此可得出答案．【解答】解：对于y=-x2-3x+4，当y=0时，-x2-3x+4=0，解得：x1=-4，x2=1，∴点A的坐标为(-4，0)，对于y=-x2-3x+4，当x=-3时，y=4，∴点D的坐标为(-3，4)，作点D关于y轴对称的点T，则点T(3，4)，连接AE交与轴于M，交⊙A于N，过点T作TH⊥x轴于H，连接AF，当点E与点M重合，点F与点N重合时，DE+EF为最小，最小值为线段TN的长．理由如下：当点E与点M不重合，点F与点N不重合时，∴DE+EF=TE+EF，根据“两点之间线段最短”可知：TE+EF+AF>AT，即：TE+EF+AF>TN+AN，∵AF=AN=2，∴TE+EF>TN，即：DE+EF>TN，∴当点E与点M重合，点F与点N重合时，DE+EF为最小．∵点T(3，4)，A(-4，0)，∴OH=3，TH=4，OA=4，∴AH=OA+OH=7，在Rt△ATH中，AH=7，TH=4，由勾股定理得：TA=AH2+TH2=65，∴TN=TA-AN=65-2．即DE+EF为最小值为65-2．故答案为：65-2．6(2024•碑林区校级一模)(1)如图①，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，点D是边AC 的中点．以点A为圆心，2为半径在△ABC内部画弧，若点P是上述弧上的动点，点Q是边BC上的动点，求PQ+QD的最小值；(2)如图②，矩形ABCD是某在建的公园示意图，其中AB=2003米，BC=400米．根据实际情况，需要在边DC的中点E处开一个东门，同时根据设计要求，要在以点A为圆心，在公园内以10米为半径的圆弧上选一处点P开一个西北门，还要在边BC上选一处点Q，在以Q为圆心，在公园内以10米为半径的半圆的三等分点的M、N处开两个南门．线段PM、NE是要修的两条道路．为了节约成本，希望PM+NE最小．试求PM+NE最小值及此时BQ的长．【分析】(1)作点D关于BC的对称点D′，连接D′Q、AP，过点D′作D′E⊥AB交AB的延长线于E，则QD =QD′，DK=D′K，当A、P、Q、D′在同一条直线上时，PQ+QD=AD′-AP取得最小值，由DK∥AB，可得△CDK∽△CAB，运用相似三角形性质可得DK=3，CK=4，再由勾股定理即可求得答案；(2)连接MQ，NQ，过点Q作QK⊥MN于K，作点A关于直线MN的对称点A′，将E向左平移10米得到点E′，过点E′作E′L∥AB，过点A′作A′L⊥E′L于L，连接A′M、A′E′、E′M，由题意得随着圆心Q在BC上运动，MN在平行于BC且到BC距离为53的直线上运动，再运用勾股定理可得PM+NE最小值=A′E-AP=(201011-10)米；设E′L与GH的交点为T，过点Q作QK⊥MN于K，由E′L∥AA′，可得△E′MT∽△A′MG，即可求得BQ的值．【解答】解：(1)如图①，作点D 关于BC 的对称点D ′，连接D ′Q 、AP ，过点D ′作D ′E ⊥AB 交AB 的延长线于E ，则QD =QD ′，DK =D ′K ，∴PQ +QD =PQ +QD ′=AQ -AP +QD ′，当A 、P 、Q 、D ′在同一条直线上时，PQ +QD =AD ′-AP 取得最小值，∵∠ABC =90°，AB =6，BC =8，∴AC =AB 2+BC 2=62+82=10，∵点D 是边AC 的中点，∴CD =12AC =5，∵DK ∥AB ，∴△CDK ∽△CAB ，∴DK AB =CK BC =CD AC，即DK 6=CK 8=510，∴DK =3，CK =4，∴D ′K =3，BK =4，∵∠E =∠EBK =∠BKD ′=90°，∴四边形BED ′K 是矩形，∴D ′E =BK =4，BE =D ′K =3，∴AE =AB +BE =6+3=9，∴AD ′=AE 2+D E 2=92+42=97，∵AP =2，∴PQ +QD 的最小值=97-2；(2)如图②，连接MQ ，NQ ，过点Q 作QK ⊥MN 于K ，作点A 关于直线MN 的对称点A ′，将E 向左平移10米得到点E ′，过点E ′作E ′L ∥AB ，过点A ′作A ′L ⊥E ′L 于L ，连接A ′M 、A ′E ′、E ′M ，∵M 、N 是半圆Q 的三等分点，且半径为10，∴△QMN 为等边三角形，且MN ∥BC ，MN =10，∵QK ⊥MN ，QM =10米，∴QK =53米，∴随着圆心Q 在BC 上运动，MN 在平行于BC 且到BC 距离为53的直线上运动，∵EE ′∥MN 且EE ′=MN =10米，∴四边形EE ′MN 是平行四边形，∴NE =ME ′，∴PM +NE =PM +ME ′≥AM -AP +ME ′=AM +ME ′-10，∵E 是CD 的中点，∴DE =12CD =1003，∴E ′L =AA ′-DE =2(AB -QK )-DE =2×(2003-53)-1003=2903(米)，A ′L =BC -E ′E =400-10=390(米)，在Rt △A ′E ′L 中，A ′E ′=A L 2+E L 2=3902+2903 2=201011，∴PM +NE 最小值=A ′E -AP =(201011-10)米；此时△MNQ 在如图③的△M ′N ′Q 位置，设E′L与GH的交点为T，过点Q作QK⊥MN于K，′∵∠CBG=∠BGK=∠GKQ=90°，∴四边形BGKQ是矩形，∴BQ=GK，∵E′L∥AA′，∴△E′MT∽△A′MG，∴MT MG =E TA G，∵MT=390-MG，E′T=EH=1003-53=953(米)，A′G=AG= 2003-53=1953(米)，GT=390米，∴390-MGMG =953 1953，∴MG=760529(米)，∴GK=GM+MK=760529+5=775029(米)，∴BQ=GK=775029米，∴当PM+NE取最小值时，BQ的长为775029米．7(2023•卧龙区二模)综合与实践问题提出(1)如图①，请你在直线l上找一点P，使点P到两个定点A和B的距离之和最小，即PA+PB的和最小(保留作图痕迹，不写作法)；思维转换(2)如图②，已知点E是直线l外一定点，且到直线l的距离为4，MN是直线l上的动线段，MN=6，连接ME，NE，求ME+NE的最小值．小敏在解题过程中发现：“借助物理学科的相对运动思维，若将线段MN 看作静线段，则点E在平行于直线l的直线上运动”，请你参考小敏的思路求ME+NE的最小值；拓展应用(3)如图③，在矩形ABCD中，AD=2AB=25，连接BD，点E、F分别是边BC、AD上的动点，且BE= AF，分别过点E、F作EM⊥BD，FN⊥BD，垂足分别为M、N，连接AM、AN，请直接写出△AMN周长的最小值．【分析】(1)作点A的对称点，由两点之间线段最短解题即可；(2)将M、N看作定点，E看作动点，由(1)作法可解；(3)由相似得出MN为定值，再根据(2)作法求出AM+AN的最值，即可解答．【解答】解：(1)如图①，则点P为所求．连接A′B交l于点P，由对称得AP=A′P，∴AP+BP=A′P+BP，∵两点之间线段最短，∴A′P+BP最短，即PA+PB的和最小．(2)如图②，过点E作直线l1∥l，作点N关于l1的对称点N′，连接MN′，交l1于点P，则PM+PN的值即是EM+EN的最小值，∵点E到直线l的距离为4，∵NN′=8，∵MN=6，∴MN′=62+82=10，∴PM+PN=10，即ME+NE的最小值为10．(3)如图③，过A作l∥BD，AH⊥BD于点H，作点M关于l的对称点M′，连接M′N，由(2)得M′N为AM+AN的最小值，∵AB=5，AD=25，∴BD=52=5，2+25∴AH=5×25=2，5∴MM′=4，设ME=x，由△ABD∽△BME得，BM=2x，BE=5x，∴AF=5x，∴DF=25-5x，由△DNF∽△ABD得，DN=4-2x，∴MN=5-2x-(4-2x)=1，∵l∥BD，MM′⊥l，∴MM′⊥BD，∴M′N=42+12=17，∴△AMN周长的最小值为17+1．题型二：辅助圆类几何最值动点的运动轨迹为辅助圆的三种形式：1、定义法--若一动点到定点的距离恒等于固定长，则该点的运动轨迹为以定点为圆心，定长为半径的圆(或圆弧)2、定边对直角--若一条定边所对的“动角”始终为直角，则直角顶点运动轨迹是以该定边为直径的圆(或圆弧)3．定边对定角--若一条定边所对的“动角”始终为定角，则该定角顶点运动轨迹是以该定角为圆周角，该定边为弦的圆(或圆弧)【中考真题练】8(2023•黑龙江)如图，在Rt△ACB中，∠BAC=30°，CB=2，点E是斜边AB的中点，把Rt△ABC 绕点A顺时针旋转，得Rt△AFD，点C，点B旋转后的对应点分别是点D，点F，连接CF，EF，CE，在旋转的过程中，△CEF面积的最大值是　4+3　．【分析】线段CE为定值，点F到CE距离最大时，△CEF的面积最大，画出图形，即可求出答案．【解答】解：∵线段CE为定值，∴点F到CE的距离最大时，△CEF的面积有最大值．在Rt△ACB中，∠BAC=30°，E是AB的中点，∴AB =2BC =4，CE =AE =12AB =2，AC =AB •cos30°=23，∴∠ECA =∠BAC =30°，过点A 作AG ⊥CE 交CE 的延长线于点G ，∴AG =12AC =3，∵点F 在以A 为圆心，AB 长为半径的圆上，∴AF =AB =4，∴点F 到CE 的距离最大值为4+3，∴S △CEF =12CE ⋅4+3 =4+3，故答案为：4+3．【中考模拟练】9(2023•永寿县二模)如图，在正方形ABCD 中，AB =4，M 是AD 的中点，点P 是CD 上一个动点，当∠APM 的度数最大时，CP 的长为　4-22　．【分析】因为同弧所对的圆外角小于圆周角，因此过点A 、M 作⊙O 与CD 相切于点P '，当点P 运动到点P '处时，∠AP 'M 的度数最大，记AM 的中点为N ，可以证出四边形OP 'DN 是矩形，在Rt △MON 中，利用勾股定理求出ON ，从而得出DP '的长，进而求出CP 的长．【解答】解：过点A 、M 作⊙O 与CD 相切于点P '，记PM 与⊙O 交于点Q ，连接AP ′，MP ′，OM ，OP ′，AQ ，则∠AP 'M =∠AQM >∠APM ，∠OP ′D =90°，∴当点P 运动到点P '时，∠AP 'M 最大，作ON ⊥AD 于点N ，则MN =AN =12AM ，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠D =90°，∴四边形OP 'DN 是矩形，∵AB =4，M 是AD 的中点，∴AM =DM =2，MN =1，∴OM =OP '=DN =DM +MN =3，在Rt △MON 中，ON =OM 2-MN 2=32-12=22，∴DP '=ON =22，∴CP '=DC -DP '=4-22，∴当∠APM 的度数最大时，CP 的长为4-22．故答案为：4-22．10(2023•营口一模)如图，等边三角形ABC 和等边三角形ADE ，点N ，点M 分别为BC ，DE 的中点，AB =6，AD =4，△ADE 绕点A 旋转过程中，MN 的最大值为　53　．【分析】分析题意可知，点M 是在以AM 为半径，点A 为圆心的圆上运动，连接AN ，AM ，以AM 为半径，点A 为圆心作圆，反向延长AN 与圆交于点M ′，以此得到M 、A 、N 三点共线时，MN 的值最大，再根据勾股定理分别算出AM 、AN 的值，则MN 的最大值M ′N =AN +AM ′=AN +AM ．【解答】解：连接AN ，AM ，以AM 为半径，点A 为圆心作圆，反向延长AN 与圆交于点M ′，如图，∵△ADE 绕点A 旋转，∴点M 是在以AM 为半径，点A 为圆心的圆上运动，∵AM +AN ≥MN ，∴当点M 旋转到M ′，即M 、A 、N 三点共线时，MN 的值最大，最大为M ′N ，∵△ABC 和△ADE 都是等边三角形，点N ，点M 分别为BC ，DE 的中点，AB =6，AD =4，∴AN ⊥BC ，AM ⊥DE ，BN =3，DM =2，在Rt △ABN 中，由勾股定理得AN =AB 2-BN 2=33，在Rt △ADM 中，由勾股定理得AM =AD 2-DM 2=23，根据旋转的性质得，AM ′=AM =23，∴M ′N =AN +AM ′=53，即MN 的最大值为53．故答案为：53．11(2023•定远县校级一模)如图，半径为4的⊙O 中，CD 为直径，弦AB ⊥CD 且过半径OD 的中点，点E 为⊙O 上一动点，CF ⊥AE 于点F ．当点E 从点B 出发顺时针运动到点D 时，点F 所经过的路径长为　23π3　．【分析】由∠AFC =90°，得点F 在以AC 为直径的圆上运动，当点E 与B 重合时，此时点F 与G 重合，当点E 与D 重合时，此时点F 与A 重合，则点E 从点B 出发顺时针运动到点D 时，点F 所经过的路径长为AG 的长，然后根据条件求出AG 所在圆的半径和圆心角，从而解决问题．【解答】解：∵CF ⊥AE ，∴∠AFC =90°，∴点F 在以AC 为直径的圆上运动，以AC 为直径画半圆AC ，连接OA ，当点E 与B 重合时，此时点F 与G 重合，当点E 与D 重合时，此时点F 与A 重合，∴点E 从点B 出发顺时针运动到点D 时，点F 所经过的路径长为AG的长，∵点G 为OD 的中点，∴OG =12OD =12OA =2，∵OG ⊥AB ，∴∠AOG =60°，AG =23，∵OA =OC ，∴∠ACG =30°，∴AC =2AG =43，∴AG 所在圆的半径为23，圆心角为60°，∴AG 的长为60π×23180=23π3，故答案为：23π3．12(2024•兰州模拟)综合与实践【问题情境】在数学综合实践课上，“希望小组”的同学们以三角形为背景，探究图形变化过程中的几何问题，如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =90°，点D 为平面内一点(点A ，B ，D 三点不共线)，AE 为△ABD 的中线．【初步尝试】(1)如图1，小林同学发现：延长AE 至点M ，使得ME =AE ，连接DM ．始终存在以下两个结论，请你在①，②中挑选一个进行证明：①DM =AC ；②∠MDA +∠DAB =180°；【类比探究】(2)如图2，将AD 绕点A 顺时针旋转90°得到AF ，连接CF ．小斌同学沿着小林同学的思考进一步探究后发现：AE =12CF ，请你帮他证明；【拓展延伸】(3)如图3，在(2)的条件下，王老师提出新的探究方向：点D 在以点A 为圆心，AD 为半径的圆上运动(AD >AB )，直线AE 与直线CF 相交于点G ，连接BG ，在点D 的运动过程中BG 存在最大值．若AB =4，请直接写出BG 的最大值．【分析】(1)利用SAS 证明△ABE ≌△MDE ，可得AB =DM ，再结合AB =AC ，即可证得DM =AC ；由全等三角形性质可得∠BAE =∠DME ，再运用平行线的判定和性质即可证得∠MDA +∠DAB =180°；(2)延长AE 至点M ，使得ME =AE ，连接DM ．利用SAS 证得△ACF ≌△DMA ，可得CF =AM ，再由AE =12AM ，可证得AE =12CF ；(3)延长DA 至M ，使AM =AD ，设AM 交CF 于N ，连接BM 交CF 于K ，取AC 中点P ，连接GP ，可证得△ACF ≌△ABM (SAS )，利用三角形中位线定理可得AE ∥BM ，即AG ∥BM ，利用直角三角形性质可得GP =12AC =12AB =2，得出点G 在以P 为圆心，2为半径的⊙P 上运动，连接BP 并延长交⊙P 于G ′，可得BG ′的长为BG 的最大值，再运用勾股定理即可求得答案．【解答】(1)证明：①∵AE 为△ABD 的中线，∴BE =DE ，在△ABE 和△MDE 中，BE =DE ∠AEB =∠MED AE =ME，∴△ABE ≌△MDE (SAS )，∴AB =DM ，∵AB =AC ，∴DM =AC ；②由①知△ABE ≌△MDE ，∴∠BAE =∠DME ，∴AB ∥DM ，∴∠MDA +∠DAB =180°；(2)证明：延长AE 至点M ，使得ME =AE ，连接DM ．由旋转得：AF =AD ，∠DAF =90°，∵∠BAC =90°，∠DAF +∠BAC +∠BAD +∠CAF =360°，∴∠BAD +∠CAF =180°，由(1)②得：∠MDA +∠DAB =180°，DM =AB =AC ，∴∠CAF =∠MDA ，在△ACF 和△DMA 中，AF =AD ∠CAF =∠MDA AC =DM，∴△ACF ≌△DMA (SAS )，∴CF =AM ，∵AE =12AM ，∴AE =12CF ；(3)如图3，延长DA 至M ，使AM =AD ，设AM 交CF 于N ，连接BM 交CF 于K ，取AC 中点P ，连接GP ，由旋转得：AF =AD ，∠DAF =90°，∴AF =AM ，∠MAF =180°-90°=90°，∵∠BAC =90°，∴∠MAF +∠CAM =∠BAC +∠CAM ，即∠CAF =∠BAM ，在△ACF 和△ABM 中，AC =AB ∠CAF =∠BAM AF =AM，∴△ACF ≌△ABM (SAS )，∴∠AFC =∠AMB ，即∠AFN =∠KMN ，∵∠ANF=∠KNM，∴∠FAN=∠MKN=90°，∴BM⊥CF，∵E、A分别是DB、DM的中点，∴AE是△BDM的中位线，∴AE∥BM，即AG∥BM，∴AG⊥CF，∴∠AGC=90°，∵点P是AC的中点，∴GP=12AC=12AB=2，∴点G在以P为圆心，2为半径的⊙P上运动，连接BP并延长交⊙P于G′，∴BG′的长为BG的最大值，在Rt△ABP中，BP=AB2+AP2=42+22=25，∴BG′=BP+PG′=25+2，∴BG的最大值为25+2．题型三：瓜豆原理类几何最值大概动点问题符合瓜豆原理的模型时，也可以和几何最值结合【中考真题练】13(2022•沈阳)【特例感知】(1)如图1，△AOB和△COD是等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°，点C在OA上，点D在BO的延长线上，连接AD，BC，线段AD与BC的数量关系是AD=BC；【类比迁移】(2)如图2，将图1中的△COD绕着点O顺时针旋转α(0°<α<90°)，那么第(1)问的结论是否仍然成立？如果成立，证明你的结论；如果不成立，说明理由．【方法运用】(3)如图3，若AB=8，点C是线段AB外一动点，AC=33，连接BC．①若将CB绕点C逆时针旋转90°得到CD，连接AD，则AD的最大值是　8+36　；②若以BC为斜边作Rt△BCD(B，C，D三点按顺时针排列)，∠CDB=90°，连接AD，当∠CBD=∠DAB=30°时，直接写出AD的值．【分析】(1)证明△AOD≌△BOC(SAS)，即可得出结论；(2)利用旋转性质可证得∠BOC =∠AOD ，再证明△AOD ≌△BOC (SAS )，即可得出结论；(3)①过点A 作AT ⊥AB ，使AT =AB ，连接BT ，AD ，DT ，BD ，先证得△ABC ∽△TBD ，得出DT =36，即点D 的运动轨迹是以T 为圆心，36为半径的圆，当D 在AT 的延长线上时，AD 的值最大，最大值为8+36；②如图4，在AB 上方作∠ABT =30°，过点A 作AT ⊥BT 于点T ，连接AD 、BD 、DT ，过点T 作TH ⊥AD 于点H ，可证得△BAC ∽△BTD ，得出DT =32AC =32×33=92，再求出DH 、AH ，即可求得AD ；如图5，在AB 下方作∠ABE =30°，过点A 作AE ⊥BE 于点E ，连接DE ，可证得△BAC ∽△BTD ，得出DE =92，再由勾股定理即可求得AD ．【解答】解：(1)AD =BC ．理由如下：如图1，∵△AOB 和△COD 是等腰直角三角形，∠AOB =∠COD =90°，∴OA =OB ，OD =OC ，在△AOD 和△BOC 中，，∴△AOD ≌△BOC (SAS )，∴AD =BC ，故答案为：AD =BC ；(2)AD =BC 仍然成立.证明：如图2，∵∠AOB =∠COD =90°，∴∠AOB +∠AOC =∠AOC +∠COD =90°+α，即∠BOC =∠AOD ，在△AOD 和△BOC 中，，∴△AOD ≌△BOC (SAS )，∴AD =BC ；(3)①过点A 作AT ⊥AB ，使AT =AB ，连接BT ，AD ，DT ，BD ，∵△ABT 和△CBD 都是等腰直角三角形，∴BT =2AB ，BD =2BC ，∠ABT =∠CBD =45°，∴BT AB=BD BC =2，∠ABC =∠TBD ，∴△ABC ∽△TBD ，∴DT AC =BT AB=2，∴DT =2AC =2×33=36，∵AT =AB =8，DT =36，∴点D 的运动轨迹是以T 为圆心，36为半径的圆，∴当D 在AT 的延长线上时，AD 的值最大，最大值为8+36，故答案为：8+36；②如图4，在AB 上方作∠ABT =30°，过点A 作AT ⊥BT 于点T ，连接AD 、BD 、DT ，过点T 作TH ⊥AD 于点H ，∵BT AB =BD BC =cos30°=32，∠ABC =∠TBD =30°+∠TBC ，∴△BAC ∽△BTD ，∴DT AC=BD BC =32，∴DT =32AC =32×33=92，在Rt △ABT 中，AT =AB •sin ∠ABT =8sin30°=4，∵∠BAT =90°-30°=60°，∴∠TAH =∠BAT -∠DAB =60°-30°=30°，∵TH ⊥AD ，∴TH =AT •sin ∠TAH =4sin30°=2，AH =AT •cos ∠TAH =4cos30°=23，在Rt △DTH 中，DH ===652，∴AD =AH +DH =23+652；如图5，在AB 上方作∠ABE =30°，过点A 作AE ⊥BE 于点E ，连接DE ，则BE AB=BD BC =cos30°=32，∵∠EBD =∠ABC =∠ABD +30°，∴△BDE ∽△BCA ，∴DE AC =BE AB =32，∴DE =32AC =32×33=92，∵∠BAE =90°-30°=60°，AE =AB •sin30°=8×12=4，∴∠DAE =∠DAB +∠BAE =30°+60°=90°，∴AD ===172；综上所述，AD 的值为23+652或172．【中考模拟练】14(2023•金平区三模)如图，长方形ABCD 中，AB =6，BC =152，E 为BC 上一点，且BE =32，F 为AB 边上的一个动点，连接EF ，将EF 绕着点E 顺时针旋转45°到EG 的位置，连接FG 和CG ，则CG 的最小值为　32+32　．【分析】如图，将线段BE 绕点E 顺时针旋转45°得到线段ET ，连接DE 交CG 于J ．首先证明∠ETG =90°，推出点G 的在射线TG 上运动，推出当CG ⊥TG 时，CG 的值最小．【解答】解：如图，将线段BE 绕点E 顺时针旋转45°得到线段ET ，连接DE 交CG 于J ．∵四边形ABCD 是矩形，∴AB =CD =6，∠B =∠BCD =90°，∵∠BET =∠FEG =45°，∴∠BEF =∠TEG ，∵EB =ET ，EF =EG ，∴△EBF ≌△ETG (SAS )，∴∠B =∠ETG =90°，∴点G 在射线TG 上运动，∴当CG ⊥TG 时，CG 的值最小，∵BC =152，BE =32，CD =6，∴CE =CD =6，∴∠CED =∠BET =45°，∴∠TEJ =90°=∠ETG =∠JGT =90°，∴四边形ETGJ 是矩形，∴DE ∥GT ，GJ =TE =BE =32，∴CJ ⊥DE ，∴JE =JD ，∴CJ =12DE =32，∴CG =CJ +GJ =32+32，∴CG 的最小值为32+32，故答案为：32+32．15(2023•苍溪县一模)如图，线段AB 为⊙O 的直径，点C 在AB 的延长线上，AB =4，BC =2，点P 是⊙O 上一动点，连接CP ，以CP 为斜边在PC 的上方作Rt △PCD ，且使∠DCP =60°，连接OD ，则OD 长的最大值为　23+1　．【分析】如图，作△COE ，使得∠CEO =90°，∠ECO =60°，则CO =2CE ，OE =23，∠OCP =∠ECD ，由△COP ∽△CED ，推出OP ED =CP CD=2，即ED =12OP =1(定长)，由点E 是定点，DE 是定长，推出点D 在半径为1的⊙E 上，由此即可解决问题．【解答】解：如图，作△COE ，使得∠CEO =90°，∠ECO =60°，则CO =2CE ，OE =23，∠OCP =∠ECD ，∵∠CDP =90°，∠DCP =60°，∴CP =2CD ，∴CO CE =CP CD=2，∴△COP ∽△CED ，∴OP ED =CP CD =2，即ED =12OP =1(定长)，∵点E 是定点，DE 是定长，∴点D 在半径为1的⊙E 上，∵OD ≤OE +DE =23+1，∴OD 的最大值为23+1，故答案为23+1．16(2023•海淀区校级三模)在平面直角坐标系xOy 中，给定图形W 和点P ，若图形W 上存在两个点M ，N 满足PM =3PN 且∠MPN =90°，则称点P 是图形W 的关联点．已知点A (-23，0)，B (0，2)．(1)在点P 1(-3，-1)，P 2(-3，3)，P 3(-23，-2)中，P1，P 2　是线段AB 的关联点；(2)⊙T 是以点T (t ，0)为圆心，r 为半径的圆．①当t =0时，若线段AB 上任一点均为⊙O 的关联点，求r 的取值范围；②记线段AB 与线段AO 组成折线G ，若存在t ≥4，使折线G 的关联点都是⊙T 的关联点，直接写出r 的最小值．【分析】(1)根据关联点的定义，结合勾股定理进行判断即可；(2)①根据题意推得三角形PMN 为含30度角的直角三角形，根据瓜豆原理可得求得点O 到点P 的最大距离为3+12r ，最小距离为3-12r ，推得⊙O 的所有关联点在以O 为圆心，3+12r 和3-12r 为半径的两个圆构成的圆环中，结合图形求得半径r 的取值范围；②结合①中的结论，画出满足条件的关联点的范围，进行求解即可．【解答】解：(1)∵∠MPN =90°，∴△MPN 为直角三角形，∴满足MN 2=PM 2+PN 2，根据勾股定理可得：，，，；，，；P3A=2，，，∵，且，∴是线段AB的关联点；∵，且，∴是线段AB的关联点；∵P3A=7P3B，且P3A2+P3B2≠AB2，∴∠BAO=30°，P3A⊥OA，∴∠P3AB=90°+30°=120°，∴对于线段AB上的任意两点M、N，当时，∠P3NM>90°，如图，则∠MPN必是锐角，不可能是直角，∴不是线段AB的关联点；故答案为：P1，P2．(2)①由(1)可得：∵∠MPN=90°，∴△MPN为直角三角形，∴MN2=PM2+PN2=4PN2，即MN=2PN，即三角形PMN为含30度角的直角三角形，如图：则点P是以MN为斜边且含30度角的直角三角形的直角顶点．在圆O上取点M，N，则对于任意位置的M和N，符合的关联点有2个，如图：以点P 为例，当点M 在半径为r 的⊙O 上运动时，点N 为圆上一定点，且MN =2PN ，∠PNM =60°，则点M 的运动轨迹为圆，故点P 的轨迹也为圆，令点P 的轨迹为圆R ，如图：当M ，O ，N 三点共线，P ，R ，N 三点共线时，∠PNM =60°，∴OR =32r ，RN =12r ，则点O 到点P 的最大距离为3+12r ，最小距离为3-12r ，当点N 也在⊙O 上运动时，⊙R 也随之运动，则⊙R 扫过的区域为3+12r 和3-12rr 为半径围成的圆，即⊙O 的所有关联点在以O 为圆心，3+12r 和3-12r 为半径的两个圆构成的圆环中，∴当线段AB 与半径为3+12r 交于点A 时，r 最小，如图：则3+12r =23，解得r =6-23，当线段AB 与半径为3-12r 的圆相切时，r 最大，过点O 作OH ⊥AB ，如图：则，即，解得，则，解得，∴②当关联点在线段AB上时，满足条件的关联点所在范围如图阴影部分：当关联点在线段AO上时，满足条件的关联点所在范围如图阴影部分：当关联点在不同线段上时，满足条件的关联点在点O和点B上的范围如图阴影部分：综上，所有区域叠加一起为：由①可知，满足T的所有关联点所在范围为圆环，故若使得圆环能够完整“包住”关联点，圆环中外圆的必须经过点G1，∵∠GBA=30°，∠G=90°，∠OBA=60°，∠O=90°，∴四边形AOBG为矩形，∴，则，即，解得r=42(负值舍去)；综上，r的最小值为42．17(2024•昆山市一模)如图1，在平面直角坐标系中，直线y=-5x+5与x轴，y轴分别交于A、C两点，抛物线y=x2+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一交点为B．(1)求抛物线解析式；(2)若点M为x轴下方抛物线上一动点，当点M运动到某一位置时，△ABM的面积等于△ABC面积的35，求此时点M的坐标；(3)如图2，以B为圆心，2为半径的⊙B与x轴交于E、F两点(F在E右侧)，若P点是⊙B上一动点，连接PA，以PA为腰作等腰Rt△PAD，使∠PAD=90°(P、A、D三点为逆时针顺序)，连接FD．求FD长度的取值范围．【分析】(1)将点A(1，0)，C(0，5)代入y=x2+bx+c，即可求解；×4×(-m2+6m-5)，(2)设M(m，m2-6m+5)，先求AB=4，则S△ABC=10，再由题意可得S△AMB=6=12即可求M(2，-3)或M(4，-3)；(3)将点B绕A点顺时针旋转90°到B'，连接AB'，PB，B'D，可证明△ADB'≌△APB(SAS)，则可得D在以B'为圆心，2为半径的圆上运动，又由B'(1，-4)，F(7，0)，则B'F=213，所以DF的最大值为61+ 2，DF的最小值为61-2，即可求213-2≤DF≤213+2．【解答】解：(1)令x=0，则y=5，∴C(0，5)，令y=0，则x=1，∴A(1，0)，将点A(1，0)，C(0，5)代入y=x2+bx+c，得，∴，∴y=x2-6x+5；(2)设M(m，m2-6m+5)，令y=0，则x2-6x+5=0，解得x=5或x=1，∴B(5，0)，∴AB=4，∴S△ABC=1×4×5=10，2∵△ABM的面积等于△ABC面积的35，∴S△AMB=6=1×4×(-m2+6m-5)，2解得m=2或m=4，∴M(2，-3)或M(4，-3)；(3)将点B绕A点顺时针旋转90°到B'，连接AB'，PB，B'D，∵∠B'AD+∠BAD=90°，∠PAB+∠BAD=90°，∴∠B'AD=∠PAB，∵AB=AB'，PA=AD，∴△ADB'≌△APB(SAS)，∴BP=B'D，∵PB=2，∴B'D=2，∴D在以B'为圆心，2为半径的圆上运动，∵B(5，0)，A(1，0)，∴B'(1，-4)，∵BF=2，∴F(7，0)，∴B'F=213，∴DF的最大值为213+2，DF的最小值为213-2，∴213-2≤DF≤213+2．题型四：其他类几何最值除了常见的模型与几何最值结合外，还有一些几何问题，应用直接的最值原理，比如：点到直线的距离垂线段最短等【中考真题练】18(2023•锦州)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=4，按下列步骤作图：①在AC和AB上分别截取AD，AE，使AD=AE．②分别以点D和点E为圆心，以大于12DE的长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点M．③作射线AM交BC于点F．若点P是线段AF上的一个动点，连接CP，则CP+12AP的最小值是　23　．【分析】根据题目中所给的条件，判断AF为角平分线，由问题可知，需要利用胡不归模型构建直角三角形，转化两条线段和为一条线段，利用三角函数求出线段长度．【解答】理由如下：由作图步骤可知，射线AM为∠CAB的角平分线，∵∠ABC=90°，∠B=30°，∴∠CAB=60°，∵AM平分∠CAB，∴∠CAF=∠BAF=12∠CAB=30°，过点C作CN⊥AB于N，交AF于P，在Rt△APN中，∠BAF=30°，∴PN=12AP，∴CP+12AP=CP+PN=CN，根据点到直线的距离，垂线段最短，此时CP+PN值最小在Rt△ACN中，∠CAN=60°，AC=4，∴sin60°=CNAC，∴CN=sin60°×AC=4×32=23，∴CP+12AP=CP+PN=CN=23，故答案为：23．19(2023•德阳)如图，在底面为正三角形的直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=23，AA1=2，点M为AC的中点，一只小虫从B1沿三棱柱ABC-A1B1C1的表面爬行到M处，则小虫爬行的最短路程等于　19　．【分析】利用平面展开图可总结为3种情况，画出图形利用勾股定理求出B1M的长即可．【解答】解：如图1，将三棱柱ABC-A1B1C1的侧面BB1C1C和侧面CC1A1A沿CC1展开在同一平面内，连接MB1，∵M是AC的中点，△ABC和△A1B1C1是等边三角形，∴CM=12AC=12×23=3，∴BM=CM+BC=33，在Rt△MBB1中，由勾股定理得：B1M=BM2+B1B2=31，如图2，把底面ABC和侧面BB1A1A沿AB展开在同一平面内，连接MB1，过点M作MF⊥A1B1于点F，交AB于点E，则四边形AEFA1是矩形，ME⊥AB，在Rt△AME中，∠MAE=60°，∴ME =AM •sin60°=3×32=32，AE =AM •cos60°=32，∴MF =ME +EF =32+2=72，B 1F =A 1B 1-A 1F =332，在Rt △MFB 1中，由勾股定理得：B 1M =MF 2+B 1F 2=19，如图3，连接B 1M ，交A 1C 1于点N ，则B 1M ⊥AC ，B 1N ⊥A 1C 1，在Rt △A 1NB 1中，∠NA 1B 1=60°，∴NB 1=A 1B 1•sin60°=3，∴B 1M =NB 1+MN =5，∵19<5<31，∴小虫爬行的最短路程为19．故答案为：19．20(2023•常州)如图，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =4，D 是AC 延长线上的一点，CD =2．M 是边BC 上的一点(点M 与点B 、C 不重合)，以CD 、CM 为邻边作▱CMND ．连接AN 并取AN 的中点P ，连接PM ，则PM 的取值范围是　22≤MP <5　．【分析】先根据题意确定点P 的运动轨迹，即可确定MP 的最大值和最小值，从而解答．【解答】解：∵AB =AC =4，∴AD =6，∵△ABC 是等腰直角三角形，四边形CNMD 是平行四边形，∴DN ∥BC ，DN =BC ，CD ∥MN ，CD =MN ，∴∠ADN =∠ACB =45°=∠ABC =∠CMN ，当M 与B 重合时，如图M1，N 1，P 1，∠ABN 1=90°，∴AN 1=42+22=25，∵P 1是中点，∴MP 1=12AN 1=5，当MP ⊥BC 时，如图P 2，M 2，N 2，∵P 1，P ，P 2是中点，∴P 的运动轨迹为平行于BC 的线段，交AC 于H ，∴CH =3-2=1，∵∠ACB =45°，∴PH 与BC 间的距离为P2M 2=22CH =22，∵M不与B、C重合，∴22≤MP<5．【中考模拟练】21(2024•济南一模)如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，E为AB上一点，连接DE，将△ADE 沿DE折叠，点A落在A1处，连接A1C，若F、G分别为A1C、BC的中点，则FG的最小值为1．【分析】连接A1B，由F、G分别为A1C、BC的中点可得FG=12A1B，在△A1BD中有A1B+A1D≥BD，由勾股定理可得BD，由折叠性质和矩形性质可得A1D=AD=BC，即可求解．【解答】解：如图，连接A1B，BD，∵F、G分别为A1C、BC的中点，∴FG=12A1B，当FG的最小时，即A1B最小，∵四边形ABCD为矩形，AB=4，BC=3，∴AD=BC=3，∠A=90°，∴BD=AB2+AD2=5，∵△ADE沿DE折叠，∴A1D=AD=3，在△A1BD中有A1B+A1D≥BD，∴A1B≥BD-A1D，即A1B≥2，∴FG=12A1B≥1，∴FG的最小值为1，故答案为：1．22(2024•郾城区一模)如图，在矩形ABCD中，AD=63，AB=6，对角线AC，BD相交于点O，点E在线段AC上，且AE=4，点F为线段BD上的一个动点，则EF+12BF的最小值为4．【分析】过点E作EG⊥BC于点G，过点F作FH⊥BC于点H，首先根据题意将12BF用FH表示，再将EF+FH的最小值用EG表示，进而求出EG的长即可解决问题．【解答】解：过点E作EG⊥BC于点G，过点F作FH⊥BC于点H，如图，∵四边形ABCD是矩形，AD=63，AB=6，。

中考数学《几何中的最值问题》专项练习(附答案解析)一、单选题1．如图1，点P从△ABC的顶点B出发，沿B→C→A匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段BP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M是曲线部分的最低点，则△ABC的面积是（）A．12 B．24 C．36 D．482．将一张宽为4cm的长方形纸片（足够长）折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形，则这个三角形面积的最小值是（）A．4cm2B．8cm2C．12cm2D．16cm23．如图，已知直线5-512y x与x轴、y轴分别交于B、C两点，点A是以D（0，2）为圆心，2为半径的⊙D上的一个动点，连接AC、AB，则△ABC面积的最小值是（）A．30 B．29 C．28 D．274．如图，∠AOB＝45°，点M、N分别在射线OA、OB上，MN＝6，△OMN的面积为12，P是直线MN上的动点，点P关于OA对称的点为P1，点P关于OB对称点为P2，当点P在直线NM上运动时，△OP1P2的面积最小值为（）A．6 B．8 C．12 D．185．如图，矩形ABCD中，AB=8，AD=4，E为边AD上一个动点，连接BE，取BE的中点G，点G 绕点E逆时针旋转90°得到点F，连接CF，则△CEF面积的最小值是（）A．16 B．15 C．12 D．11二、填空题6．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D为AB边上一点（不与点B重合），连接CD，将线段CD绕点D逆时针旋转90°，点C的对应点为E，连接BE．若AB＝6，则△BDE面积的最大值为_________．7．如图，⊙O的直径为5，在⊙O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P，已知BC：CA＝4：3，点P在半圆弧AB上运动（不与A，B重合），过C作CP的垂线CD交PB的延长线于D点．则△PCD的面积最大为______________．8．已知AB为半圆的直径，AB＝2，DA⊥AB，CB⊥AB，AD＝1，BC＝3，点P为半圆上的动点，则AD，AB，BC，CP，PD围成的图形的面积的最大值是_____．9．如图，在矩形ABCD中，∠ACB=30°，，点E是边BC上一动点（点E不与B，C重合），连接AE，AE的中垂线FG分别交AE于点F，交AC于点G，连接DG，GE．设AG=a，则点G到BC边的距离为_____（用含a的代数式表示），ADG的面积的最小值为_____．10．如图，直线AB交坐标轴于A(-2，0)，B(0，-4)，点P在抛物线1(2)(4)2y x x=--上，则△ABP面积的最小值为__________．三、解答题11．如图，已知抛物线23y ax bx =++与x 轴交于A 、B 两点，过点A 的直线l 与抛物线交于点C ，其中A 点的坐标是(1，0)，C 点坐标是(4，3)．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴上是否存在点D ，使△BCD 的周长最小？若存在，求出点D 的坐标，若不存在，请说明理由；（3）点P 是抛物线上AC 下方的一个动点，是否存在点p ，使△PAC 的面积最大？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．12．已知，如图，矩形ABCD 中，AD ＝6，DC ＝7，菱形EFGH 的三个顶点E ，G ，H 分别在矩形ABCD 的边AB ，CD ，AD 上，AH ＝2，连接CF ．（1）当四边形EFGH 为正方形时，求DG 的长；（2）当DG ＝6时，求△FCG 的面积；（3）求△FCG 的面积的最小值．13．如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点(1,0)A -，点(3,0)B ，与y 轴交于点C ，且过点(2,3)D -．点P 、Q 是抛物线2y ax bx c =++上的动点．(1)求抛物线的解析式；(2)当点P 在直线OD 下方时，求POD ∆面积的最大值．(3)直线OQ 与线段BC 相交于点E ，当OBE ∆与ABC ∆相似时，求点Q 的坐标．14．已知抛物线y ＝a （x ﹣1）2过点（3，4），D 为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点B 、C 均在抛物线上，其中点B （0，1），且∠BDC ＝90°，求点C 的坐标：（3）如图，直线y ＝kx +1﹣k 与抛物线交于P 、Q 两点，∠PDQ ＝90°，求△PDQ 面积的最小值．15．如图，已知二次函数213222y x x =-++的图象交x 轴于A (－1，0),B (4，0)，交y 轴于点C ，点P 是直线BC 上方抛物线上一动点（不与B ,C 重合），过点P 作PE ⊥BC ，PF ∥y 轴交BC 与F ，则△PEF 面积的最大值是___________．16．如图，已知点P 是∠AOB 内一点，过点P 的直线MN 分别交射线OA ，OB 于点M ，N ，将直线MN 绕点P 旋转，△MON 的形状与面积都随之变化．（1）请在图1中用尺规作出△MON ，使得△MON 是以OM 为斜边的直角三角形；（2）如图2，在OP 的延长线上截取PC ＝OP ，过点C 作CM ∥OB 交射线OA 于点M ，连接MP 并延长交OB 于点N ．求证：OP 平分△MON 的面积；（3）小亮发现：在直线MN 旋转过程中，（2）中所作的△MON 的面积最小．请利用图2帮助小亮说明理由．17．如图，已知A ，B 是线段MN 上的两点，4MN =，1MA =，1MB >，以A 为中心顺时针旋转点M ，以B 为中心逆时针旋转点N ，使M ，N 两点重合成一点C ，构成ABC ，设AB x =．（1）求x 的取值范围；（2）求ABC 面积的最大值．18．如图1，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，AD ＝AE ，连接DC ，点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点．（1）观察猜想：图1中，线段PM与PN的数量关系是，位置关系是；（2）探究证明：把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN 的形状，并说明理由；（3）拓展延伸：把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝10，请直接写出△PMN面积的最大值．19．问题提出（1）如图①，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝12，BC＝16，则AC＝；问题探究（2）如图②，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝10，点D是AC边上一点，且满足DA＝DB，则CD＝；问题解决（3）如图③，在Rt△ABC中，过点B作射线BP，将∠C折叠，折痕为EF，其中E为BC中点，点F在AC边上，点C的对应点落在BP上的点D处，连接ED、FD，若BC＝8，求△BCD面积的最大值，及面积最大时∠BCD的度数．20．如图，已知边长为6的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，点E ，F 分别为AB ，AD 边上的动点，满足BE AF =，连接EF 交AC 于点G ，CE 、CF 分别交BD 于点M ，N ，给出下列结论：①△CEF 是等边三角形；②∠DFC ＝∠EGC ； ③若BE ＝3，则BM ＝MN ＝DN ；④222EF BE DF =+； ⑤△ECF ．其中所有正确结论的序号是______21．如图，抛物线2y ax bx c =++与坐标轴交于点()()()0, 31,03,0A B E --、、,点P 为抛物线上动点,设点P 的横坐标为t ．（1）若点C 与点A 关于抛物线的对称轴对称,求C 点的坐标及抛物线的解析式；（2）若点P 在第四象限,连接PA PE 、及AE ,当t 为何值时,PAE ∆的面积最大?最大面积是多少?（3）是否存在点P ,使PAE ∆为以AE 为直角边的直角三角形，若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．22．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2﹣2ax ﹣3a （a ＜0）与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），经过点A 的直线l ：y ＝kx+b 与y 轴负半轴交于点C ，与抛物线的另一个交点为D ，且CD ＝4AC ．（1）直接写出点A 的坐标，并求直线l 的函数表达式（其中k 、b 用含a 的式子表示）；（2）点E 是直线l 上方的抛物线上的动点，若△ACE 的面积的最大值为54，求a 的值； （3）设P 是抛物线的对称轴上的一点，点Q 在抛物线上，当以点A 、D 、P 、Q 为顶点的四边形为矩形时，请直接写出点P 的坐标．23．如图1，抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，已知点B 坐标为(3,0)，点C 坐标为(0,3)．（1）求抛物线的表达式；（2）点P 为直线BC 上方抛物线上的一个动点，当PBC 的面积最大时，求点P 的坐标；（3）如图2，点M 为该抛物线的顶点，直线MD x ⊥轴于点D ，在直线MD 上是否存在点N ，使点N 到直线MC 的距离等于点N 到点A 的距离？若存在，求出点A 的坐标；若不存在，请说明理由．24．如图，已知边长为10的正方形ABCD E ，是BC 边上一动点（与B C 、不重合），连结AE G ，是BC 延长线上的点，过点E 作AE 的垂线交DCG ∠的角平分线于点F ，若FG BG ⊥．（1）求证：ABE EGF ∽△△； （2）若2EC =，求CEF △的面积；（3）请直接写出EC 为何值时，CEF △的面积最大．参考答案与解析一、单选题1．【答案】D【解答】由图2知，AB＝BC＝10，当BP⊥AC时，y的值最小，即△ABC中，BC边上的高为8（即此时BP＝8），即可求解．【解答】解：由图2知，AB＝BC＝10，当BP⊥AC时，y的值最小，即△ABC中，BC边上的高为8（即此时BP＝8），当y＝8时，PC＝＝＝6，△ABC的面积＝×AC×BP＝×8×12＝48，故选：D．【点评】本题是运动型综合题，考查了动点问题的函数图象、解直角三角形、图形面积等知识点．解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程．2．【答案】B【分析】当AC⊥AB时，重叠三角形面积最小，此时△ABC是等腰直角三角形，面积为8cm2．【解答】解：如图，当AC⊥AB时，三角形面积最小，∵∠BAC=90°∠ACB=45°∴AB=AC=4cm，∴S△ABC =12×4×4=8cm2．故选：B．【点评】本题考查了折叠的性质，发现当AC⊥AB时，重叠三角形的面积最小是解决问题的关键．3．【答案】B【分析】过D作DM⊥BC于M，连接BD，则由三角形面积公式得，12BC×DM=12OB×CD，可得DM，可知圆D上点到直线5-512y x的最小距离，由此即可解决问题．【解答】过D作DM⊥BC于M，连接BD，如图，令0y =，则12x =，令0x =，则5y =-，∴B （12，0），C （0，-5），∴OB=12，OC=5，=， 则由三角形面积公式得，12BC ×DM=12OB ×CD ， ∴DM=8413， ∴圆D 上点到直线5-512y x =的最小距离是845821313-=， ∴△ABC 面积的最小值是1581329213⨯⨯=． 故选：B ．【点评】本题考查了一次函数的应用、勾股定理的应用、圆的有关性质，解此题的关键是求出圆上的点到直线BC 的最大距离以及最小距离．4．【答案】B【分析】连接OP ，过点O 作OH ⊥NM 交NM 的延长线于H ．首先利用三角形的面积公式求出OH ，再证明△OP 1P 2是等腰直角三角形，OP 最小时，△OP 1P 2的面积最小．【解答】解：连接OP ，过点O 作OH ⊥NM 交NM 的延长线于H ．∵S △OMN ＝12•MN •OH ＝12，MN ＝6，∴OH ＝4，∵点P 关于OA 对称的点为P 1，点P 关于OB 对称点为P 2，∴∠AOP ＝∠AOP 1，∠POB ＝∠P 2OB ，OP ＝OP 1＝OP 2∵∠AOB ＝45°，∴∠P 1OP 2＝2（∠POA+∠POB ）＝90°，∴△OP 1P 2是等腰直角三角形，∴OP ＝OP 1最小时，△OP 1P 2的面积最小，根据垂线段最短可知，OP 的最小值为4，∴△OP 1P 2的面积的最小值＝12×4×4＝8， 故选：B ．【点评】本题考查轴对称，三角形的面积，垂线段最短等知识，解题的关键是证明△OP 1P 2是等腰直角三角形，属于中考常考题型．5．【答案】B【分析】过点F 作AD 的垂线交AD 的延长线于点H ，则△FEH ∽△EBA ，设AE=x ，可得出△CEF 面积与x 的函数关系式，再根据二次函数图象的性质求得最小值．【解答】解：过点F 作AD 的垂线交AD 的延长线于点H ，∵∠A=∠H=90°，∠FEB=90°，∴∠FEH=90°-∠BEA=∠EBA ，∴△FEH ∽△EBA ，∴ ,HF HE EF AE AB BE == G 为BE 的中点，1,2FE GE BE ∴==∴ 1,2HF HE EF AE AB BE === 设AE=x ， ∵AB 8,4,AD ==∴HF 1,4,2x EH == ,DH AE x ∴==CEF DHFC CED EHF S S S S ∆∆∆∴=+-11111(8)8(4)422222x x x x =++⨯--⨯• 2141644x x x x =+--- 2116,4x x =-+ ∴当12124x -=-=⨯ 时，△CEF 面积的最小值1421615.4=⨯-+= 故选：B ．【点评】本题通过构造K 形图，考查了相似三角形的判定与性质．建立△CEF 面积与AE 长度的函数关系式是解题的关键．二、填空题6．【答案】818【分析】作CM ⊥AB 于M ，EN ⊥AB 于N ，根据AAS证得EDN ≌DCM ，得出EN ＝DM ，然后解直角三角形求得AM ＝3，得到BM ＝9，设BD ＝x ，则EN ＝DM ＝9﹣x ，根据三角形面积公式得到S △BDE ＝12BD EN ⋅＝12x （9﹣x ）＝﹣12（x ﹣4.5）2+818，根据二次函数的性质即可求得． 【解答】解：作CM ⊥AB 于M ，EN ⊥AB 于N ，∴∠EDN +∠DEN ＝90°，∵∠EDC ＝90°，∴∠EDN +∠CDM ＝90°，∴∠DEN ＝∠CDM ， 在EDN 和DCM 中DEN CDM END DMC 90ED DC ︒∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩∴EDN ≌DCM （AAS ），∴EN ＝DM ，∵∠BAC ＝120°，∴∠MAC ＝60°，∴∠ACM ＝30°，∴AM ＝12AC ＝12⨯6＝3， ∴BM ＝AB +AM ＝6+3＝9，设BD ＝x ，则EN ＝DM ＝9﹣x ，∴S △BDE ＝12BD EN ⋅＝12x （9﹣x ）＝﹣12（x ﹣4.5）2+818， ∴当BD ＝4.5时，S △BDE 有最大值为818， 故答案为：818． 【点评】此题主要考查旋转综合题、全等三角形的判定及性质、直角三角形的性质和求最值，解题的关键是熟知全等三角形的判定与性质和利用二次函数求最值．7．【答案】503【分析】由圆周角定理可知A P ∠=∠，再由90ACB PCD ∠=∠=︒可证明~ACB PDC ，最后根据相似三角形对应边成比例，及已知条件BC ：CA ＝4：3，结合三角形面积公式解题即可．【解答】AB 为直径，90ACB ∴∠=︒PC CD ⊥，90PCD ∴∠=︒又CAB CPD ∠=∠~ACB PDC ∴AC BC CP CD∴= BC ：CA ＝4：3，43CD PC ∴= 当点P 在弧AB 上运动时，12PCD S PC CD =⋅△ 2142233PCD S PC PC PC ∴=⨯⋅= 当PC 最大时，PCD S 取得最大值而当PC 为直径时最大，22505=33PCD S ∴=⨯． 【点评】本题考查圆周角定理、三角形面积、相似三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．8．【答案】【分析】五边形ABCDP 的面积＝四边形ABCD 的面积﹣△CPD 的面积只要求出△CDP 面积的最小值，作EF//CD ，且与⊙O 相切于点P ，连接OP 延长OP 交AD 于H ，易知此时点P 到CD 的距离最小，此时△CDP 的面积最小．【解答】解：∵五边形ABCDP 的面积＝四边形ABCD 的面积﹣△CPD 的面积，∴只要求出△CDP 面积的最小值，作EF//CD ，且与⊙O 相切于点P ，连接OP 延长OP 交AD 于H ，易知此时点P 到CD 的距离最小，此时△CDP 的面积最小，易知AD ＝，∵四边形ABCD 的面积＝12（1+3）×2＝4＝12×1×1+12•AD •OH+12•1•3，∴OH ，∴PH ﹣11，∴△CAD 的面积最小值为2，∴五边形ABCDP 面积的最大值是4﹣（2）＝．故答案为．【点评】本题主要考查了求解多边形的面积知识点，结合圆的切线的性质进行求解是解题的重要步骤．9．【答案】42a - 【分析】先根据直角三角形含30度角的性质和勾股定理得AB=2，AC=4，从而得CG 的长，作辅助线，构建矩形ABHM 和高线GM ，如图2，通过画图发现：当GE ⊥BC 时，AG 最小，即a 最小，可计算a 的值，从而得结论．【解答】∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B=90°，∵∠ACB=30°，，∴AB=2，AC=4，∵AG=a ，∴CG=4a -，如图1，过G 作MH ⊥BC 于H ，交AD 于M ，Rt△CGH中，∠ACB=30°，∴GH=12CG=42a-，则点G到BC边的距离为42a-，∵HM⊥BC，AD∥BC，∴HM⊥AD，∴∠AMG=90°，∵∠B=∠BHM=90°，∴四边形ABHM是矩形，∴HM=AB=2，∴GM=2﹣GH=422a--=2a，∴S△ADG11222a AD MG=⋅=⨯=当a最小时，△ADG的面积最小，如图2，当GE⊥BC时，AG最小，即a最小，∵FG是AE的垂直平分线，∴AG=EG，∴42aa -=，∴43a =，∴△ADG 的面积的最小值为4233=，故答案为：42a -． 【点评】本题主要考查了垂直平分线的性质、矩形的判定和性质、含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理，确定△ADG 的面积最小时点G 的位置是解答此题的关键．10．【答案】152【分析】根据直线AB 交坐标轴于A(-2，0)，B(0，-4)，计算得直线AB 解析式；平移直线AB 到直线CD ，直线CD 当抛物线相交并只有一个交点P 时，△ABP 面积为最小值，通过一元二次方程和抛物线的性质求得点P 坐标；再利用勾股定理逆定理，证明ABP △为直角三角形，从而计算得到△ABP 面积的最小值．【解答】设直线AB 为y kx b =+∵直线AB 交坐标轴于A(-2，0)，B(0，-4)∴024k b b=-+⎧⎨-=⎩ ∴24k b =-⎧⎨=-⎩∴直线AB 为24y x =--如图，平移直线AB 到直线CD ，直线CD 为2y x p =-+当2y x p =-+与抛物线1(2)(4)2y x x =--相交并只有一个交点P 时，△ABP 面积为最小值∴()()21242y x p y x x =-+⎧⎪⎨=--⎪⎩∴22820x x p -+-= ∴()44820p ∆=--=∴72p =∴2210x x -+= ∴1x =将1x =代入1(2)(4)2y x x =--，得32y =∴31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭∴()2223451224AP ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭2231251424BP ⎛⎫=++=⎪⎝⎭2222420AB∴222AB AP BP +=∴ABP △为直角三角形，90BAP ∠=∴1115=2222ABP AB A S P ⨯=⨯=△ 即△ABP 面积的最小值为152故答案为：152． 【点评】本题考查了二次函数、一次函数、平移、一元二次方程、勾股定理逆定理的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数、一次函数、平移、一元二次方程、勾股定理逆定理的性质，从而完成求解．三、解答题11．【答案】（1）抛物线y ＝x 2-4x +3;（2）D(2，1)；（3）点P 的坐标为5(2，3)4- 【分析】（1）（1） 将A 、C 坐标代入即可；（2）由于BC 长度不变， 要周长最小， 就是让DB DC 最小， 而A 、B 关于对称轴对称， 所以AC 就是DB DC 的最小值， 此时D 点就是AC 与抛物线对称轴的交点； 【解答】解：（1）抛物线23y ax bx =++经过点(1,0)A ，点(4,3)C ，∴3016433a bab，解得14a b ==-⎧⎨⎩，所以，抛物线的解析式为243y x x =-+；（2）243(1)(3)yx xx x ，(3,0)∴B ，抛物线的对称轴为2x =；BC 长度不变，BDDC 最小时，BCD ∆的周长最小，A 、B 是关于抛物线对称轴对称的，∴当D 点为对称轴与AC 的交点时，BD DC +最小， 即BCD ∆的周长最小， 如图，∴21x yx ，解得：21x y =⎧⎨=⎩，(2,1)D ∴，∴抛物线对称轴上存在点(2,1)D ，使BCD ∆的周长最小；（3）存在，如图，设过点P 与直线AC 平行线的直线为y x m =+，联立243y x m yx x，消掉y 得，2530x x m ，2(5)41(3)0m ，解得：134m =-， 即134m =-时，点P 到AC 的距离最大，ACP ∆的面积最大， 此时52x =，5133244y ， ∴点P 的坐标为5(2，3)4-，设过点P 的直线与x 轴交点为F ，则13(4F ，0)， 139144AF， 直线AC 的解析式为1y x =-，45CAB ∴∠=︒，∴点F 到AC 的距离为9292sin 45428AF ， 又223(41)32AC ，∴∆的最大面积127ACE=⨯=．28【点评】本题考查了二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，利用轴对称确定最短路线问题，联立两函数解析式求交点坐标，利用平行线确定点到直线的最大距离问题，熟悉相关性质是解题的关键．12．【答案】（1）2‘（2）1；（3）（．【分析】（1）当四边形EFGH为正方形时，则易证AHE≌△DGH，则DG=AH=2；（2）过F作FM⊥DC，交DC延长线于M，连接GE，由于AB∥CD，可得∠AEG=∠MGE，同理有∠HEG=∠FGE，利用等式性质有∠AEH=∠MGF，再结合∠A=∠M=90°，HE=FG，可证△AHE≌△MFG，从而有FM=HA=2（即无论菱形EFGH如何变化，点F到直线CD的距离始终为定值2），进而可求三角形面积；=7-x，在△AHE中，AE≤AB=7，利用勾股定理可得HE2（3）先设DG=x，由第（2）小题得，S△FCG≤53，在Rt△DHG中，再利用勾股定理可得x2+16≤53，进而可求x，从而可得当时，△GCF的面积最小．【解答】解：（1）∵四边形EFGH为正方形，∴HG=HE，∠EAH=∠D=90°，∵∠DHG+∠AHE=90°，∠DHG+∠DGH=90°，∴∠DGH=∠AHE，∴△AHE≌△DGH（AAS），∴DG=AH=2；（2）过F作FM⊥DC，交DC延长线于M，连接GE，∵AB∥CD，∴∠AEG=∠MGE，∵HE∥GF，∴∠HEG=∠FGE ， ∴∠AEH=∠MGF ，在△AHE 和△MFG 中，∠A=∠M=90°，HE=FG ， ∴△AHE ≌△MFG （AAS ）， ∴FM=HA=2，即无论菱形EFGH 如何变化，点F 到直线CD 的距离始终为定值2， 因此S △FCG =12×FM ×GC=12×2×（7-6）=1； （3）设DG=x ，则由（2）得，S △FCG =7-x ， 在△AHE 中，AE ≤AB=7， ∴HE 2≤53， ∴x 2+16≤53，∴x∴S △FCG 的最小值为，此时，∴当时，△FCG 的面积最小为（．【点评】本题属于四边形综合题，考查了矩形、菱形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理．解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 13．【答案】(1)抛物线的表达式为：223y x x =--；(2)POD S ∆有最大值，当14m =时，其最大值为4916；(3) Q -或(或1122⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭或1322⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭． 【分析】（1）函数的表达式为：y=a （x+1）（x-3），将点D 坐标代入上式，即可求解；（2）设点()2,23P m m m --，求出32OG m =+，根据()12POD D P S OG x x ∆=⨯-1(32)(2)2m m =+-2132m m =-++，利用二次函数的性质即可求解；（3）分∠ACB=∠BOQ 、∠BAC=∠BOQ ，两种情况分别求解，通过角的关系，确定直线OQ 倾斜角，进而求解．【解答】解：(1)函数的表达式为：(1)(3)y a x x =+-，将点D 坐标代入上式并解得：1a =，故抛物线的表达式为：223y x x =--…①；(2)设直线PD 与y 轴交于点G ，设点()2,23P m m m --，将点P 、D 的坐标代入一次函数表达式：y sx t =+并解得，直线PD 的表达式为：32y mx m =--，则32OG m =+，()12POD D P S OG x x ∆=⨯-1(32)(2)2m m =+-2132m m =-++， ∵10-<，故POD S ∆有最大值，当14m =时，其最大值为4916； (3)∵3OB OC ==，∴45OCB OBC ︒∠=∠=，∵ABC OBE ∠=∠，故OBE ∆与ABC ∆相似时，分为两种情况：①当ACB BOQ ∠=∠时，4AB =，BC =，AC =， 过点A 作AH ⊥BC 与点H ，1122ABC S AH BC AB OC ∆=⨯⨯=⨯，解得：AH =， ∴CH则tan 2ACB ∠=，则直线OQ 的表达式为： 2 y x =-…②，联立①②并解得：x =故点Q -或(； ②BAC BOQ ∠=∠时，3tan 3tan 1OC BAC BOQ OA ∠====∠， 则直线OQ 的表达式为： 3 y x =-…③，联立①③并解得：12x -±=，故点1322Q ⎛-- ⎝⎭或⎝⎭；综上，点Q -或(或⎝⎭或⎝⎭． 【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解直角三角形、三角形相似、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．14．【答案】（1）y ＝（x ﹣1）2；（2）点C 的坐标为（2，1）；（3）1 【分析】（1）将点（3，4）代入解析式求得a 的值即可；（2）设点C 的坐标为（x 0，y 0），其中y 0＝（x 0﹣1）2，作CF ⊥x 轴，证△BDO ∽△DCF 得BO DFDO CF=，即1＝00x 1y -＝()01x 1-，据此求得x 0的值即可得；（3）过点D 作x 轴的垂线交直线PQ 于点G ，则DG ＝4，根据S △PDQ ＝12DG •MN 列出关于k 的等式求解可得．【解答】解：（1）将点（3，4）代入解析式，得：4a ＝4，解得：a ＝1，所以抛物线解析式为y ＝（x ﹣1）2； （2）由（1）知点D 坐标为（1，0）， 设点C 的坐标为（x 0，y 0），（x 0＞1、y 0＞0）， 则y 0＝（x 0﹣1）2，如图1，过点C 作CF ⊥x 轴，∴∠BOD ＝∠DFC ＝90°，∠DCF+∠CDF ＝90°， ∵∠BDC ＝90°， ∴∠BDO+∠CDF ＝90°， ∴∠BDO ＝∠DCF ， ∴△BDO ∽△DCF ， ∴BO DFDO CF=， ∴1＝00x 1y -＝()01x 1-，解得：x 0＝2，此时y 0＝1， ∴点C 的坐标为（2，1）．（3）设点P 的坐标为（x 1，y 1），点Q 为（x 2，y 2），（其中x 1＜1＜x 2，y 1＞0，y 2＞0）， 如图2，分别过点P 、Q 作x 轴的垂线，垂足分别为M 、N ， 由y=(x-1)2 ，y=kx+1-k ，得x 2﹣（2+k ）x+k ＝0． ∴x 1+x 2＝2+k ，x 1•x 2＝k ． ∴MN ＝|x 1﹣x 2|＝|2﹣k|．则过点D 作x 轴的垂线交直线PQ 于点G ，则点G 的坐标为（1，1）， 所以DG ＝1，∴S △PDQ ＝12DG •MN ＝12×1×|x 1﹣x 2|12|2﹣k|， ∴当k ＝0时，S △PDQ 取得最小值1．【点评】本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式、相似三角形的判定与性质及一元二次方程根与系数的关系等知识点．15．【答案】45【分析】先证明△PEF ∽△BOC,得出PE EF PF BO OC BC ==，再根据122y x =-+，得出关于x 的二次函数方程，根据顶点坐标公式，求得则△PEF 面积最大值．【解答】解：设213,222P x x x ⎛⎫-++⎪⎝⎭(0<x<4)， 抛物线213222y x x =-++与y 轴交于C 点，故C(0,2)，∵PF ∥y 轴，PE ⊥BC ， ∴∠PFE=∠BCO, 又∵∠PEF=∠BOC=90°, ∴△PEF ∽△BOC, ∴PE EF PF BO OC BC== ,把B(4,0),C(0,2)代入直线BC 的解析式为122y x =-+， 点1,22F x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，∴221312(2)22222P F x PF y y x x x x =-=-++--+=-+，∴PE=BO ·PF BC =42212x x -+== ， EF=OC ·PFBC=222211122(2)x x x x x x -+-+-== ， ∴221(2)1225PEFx x SPE EF -=⋅= =2221(2)(2)42520x x x ⎡⎤-⎢⎥⎡⎤--+⎣⎦⎣⎦=， 当2x =时，PEF S △取值最大，∴PEF S △的最大值为244205=， 故答案为45． 【点评】本题考查了三角形的面积及相似三角形的判定与性质．熟练掌握相似三角形的判定与性质及用含x 的代数式表示出三角形的面积是解题的关键．16．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）当点P 是MN 的中点时S △MON 最小．理由见解析． 【分析】（1）根据尺规作图，过P 点作PN ⊥OB 于N ，交OA 于点M ； （2）证明三角形全等得P 为MN 的中点，便可得到结论；（3）过点P 作另一条直线EF 交OA 、OB 于点E 、F ，设PF ＜PE ，与MC 交于于G ，证明△PGM ≌△PFN ，得△PGM 与△PFN 的面积相等，进而得S 四边形MOFG ＝S △MON ． 便可得S △MON ＜S △EOF ，问题得以解决．【解答】（1）①在OB 下方取一点K ，②以P 为圆心，PK 长为半径画弧，与OB 交于C 、D 两点，③分别以C 、D 为圆心，大于12CD 长为半径画弧，两弧交于E 点， ④作直线PE ，分别与OA 、OB 交于点M 、N ，故△OMN 就是所求作的三角形；（2）∵CM ∥OB ，∴∠C ＝∠PON ，在△PCM 和△PON 中，C PON PC POCPH OPN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△PCM ≌△PON （ASA ），∴PM ＝PN ，∴OP 平分△MON 的面积；（3）过点P 作另一条直线EF 交OA 、OB 于点E 、F ，设PF ＜PE ，与MC 交于于G ，∵CM ∥OB ，∴∠GMP ＝∠FNP ，在△PGM 和△PFM 中，PMG PNF PM PNMPG NPF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△PGM ≌△PFN （ASA ），∴S △PGM ＝S △PFN∴S 四边形MOFG ＝S △MON ．∵S 四边形MOFG ＜S △EOF ，∴S △MON ＜S △EOF ，∴当点P 是MN 的中点时S △MON 最小．【点评】本题主要考查了图形的旋转性质，全等三角形的性质与判定，三角形的中线性质，关键证明三角形全等．17．【答案】（1）12x <<；（2）2． 【分析】（1）由旋转可得到AC=MA=x ，BC=BN=3-x ，利用三角形三边关系可求得x 的取值范围；（2）过点C 作CD ⊥AB 于D ，设CD=h ，利用勾股定理表示出AD 、BD ，再根据BD=AB-AD 列方程求出h 2，然后求出△ABC 的面积的平方，再根据二次函数的最值问题解答．【解答】解：（1）∵4MN =，1MA =，AB x =，∴413BN x x =--=-．由旋转的性质，得1MA AC ==，3BN BC x ==-，由三角形的三边关系，得31,31,x x x x --<⎧⎨-+>⎩①② 解不等式①得1x >，解不等式②得2x <，∴x 的取值范围是12x <<．（2）如图，过点C 作CD AB ⊥于点D ，设CD h =，由勾股定理，得AD =，BD ==， ∵BD AB AD =-，x =-34=-x ，两边平方整理，得()222832=x x h x -+-．∵ABC 的面积为1122AB CD xh ⋅=， ∴()2222113183222422S xh x x x ⎛⎫⎛⎫==-⨯-+=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴当32x =时，ABC 面积最大值的平方为12，∴ABC ． 【点评】本题考查了旋转的性质，三角形的三边关系，勾股定理，二次函数的最值问题，（1）难点在于考虑利用三角形的三边关系列出不等式组，（2）难点在于求解利用勾股定理列出的无理方程．18．【答案】（1）PM ＝PN ，PM ⊥PN ；（2）△PMN 是等腰直角三角形．理由见解析；（3）S △PMN 最大＝492． 【分析】（1）由已知易得BD CE =，利用三角形的中位线得出12PM CE =，12PN BD =，即可得出数量关系，再利用三角形的中位线得出//PM CE 得出DPM DCA ∠=∠，最后用互余即可得出位置关系；（2）先判断出ABD ACE ∆≅∆，得出BD CE =，同（1）的方法得出12PM BD =，12PN BD =，即可得出PM PN =，同（1）的方法由MPN DCE DCB DBC ACB ABC ∠=∠+∠+∠=∠+∠，即可得出结论；（3）方法1：先判断出MN 最大时，PMN ∆的面积最大，进而求出AN ，AM ，即可得出MN 最大AM AN =+，最后用面积公式即可得出结论．方法2：先判断出BD 最大时，PMN ∆的面积最大，而BD 最大是14AB AD +=，即可得出结论．【解答】解：（1）点P ，N 是BC ，CD 的中点，//PN BD ∴，12PN BD =， 点P ，M 是CD ，DE 的中点，//PM CE ∴，12PM CE =， AB AC =，AD AE =，BD CE ∴=，PM PN ∴=，//PN BD ，DPN ADC ∴∠=∠，//PM CE ，DPM DCA ∴∠=∠，90BAC ∠=︒，90ADC ACD ∴∠+∠=︒，90MPN DPM DPN DCA ADC ∴∠=∠+∠=∠+∠=︒，PM PN ∴⊥，故答案为：PM PN =，PM PN ⊥；（2）PMN ∆是等腰直角三角形．由旋转知，BAD CAE ∠=∠，AB AC =，AD AE =，()ABD ACE SAS ∴∆≅∆，ABD ACE ∴∠=∠，BD CE =， 利用三角形的中位线得，12PN BD =，12PM CE =，PM PN ∴=，PMN ∴∆是等腰三角形，同（1）的方法得，//PM CE ，DPM DCE ∴∠=∠，同（1）的方法得，//PN BD ，PNC DBC ∴∠=∠，DPN DCB PNC DCB DBC ∠=∠+∠=∠+∠，MPN DPM DPN DCE DCB DBC ∴∠=∠+∠=∠+∠+∠BCE DBC ACB ACE DBC =∠+∠=∠+∠+∠ACB ABD DBC ACB ABC =∠+∠+∠=∠+∠，90BAC ∠=︒，90ACB ABC ∴∠+∠=︒，90MPN ∴∠=︒，PMN ∴∆是等腰直角三角形；（3）方法1：如图2，同（2）的方法得，PMN ∆是等腰直角三角形，MN ∴最大时，PMN ∆的面积最大，//DE BC ∴且DE 在顶点A 上面，MN ∴最大AM AN =+，连接AM ，AN ，在ADE ∆中，4AD AE ==，90DAE ∠=︒，AM ∴=在Rt ABC ∆中，10AB AC ==，AN =MN ∴=最大，22211114922242PMN S PM MN ∆∴==⨯=⨯=最大． 方法2：由（2）知，PMN ∆是等腰直角三角形，12PM PN BD ==， PM ∴最大时，PMN ∆面积最大，∴点D 在BA 的延长线上，14BD AB AD ∴=+=，7PM ∴=，2211497222PMN S PM ∆∴==⨯=最大． 【点评】此题属于几何变换综合题，主要考查了三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判断和性质，直角三角形的性质的综合运用；解（1）的关键是判断出12PM CE =，12PN BD =，解（2）的关键是判断出ABD ACE ∆≅∆，解（3）的关键是判断出MN 最大时，PMN ∆的面积最大．19．【答案】（1）20；（2）5；（3）S △BCD ＝16；∠BCD ＝45°【分析】（1）由勾股定理可求解；（2）由等腰三角形的性质可得∠A ＝∠DBA ，由余角的性质可得∠DBC ＝∠C ，可得DB ＝DC ＝AD ＝12AC ＝5； （3）由中点的性质和折叠的性质可得DE ＝EC ＝4，则当DE ⊥BC 时，S △BCD 有最大值，由三角形面积公式和等腰直角三角形的性质可求解．【解答】解：（1）∵∠ABC ＝90°，AB ＝12，BC ＝16，∴20AC ==，故答案为：20；（2）∵DA ＝DB ，∴∠A ＝∠DBA ，∵∠ABC ＝90°∴∠A +∠C ＝90°，∠ABD +∠DBC ＝90°，∴∠DBC ＝∠C ，∴DB＝DC，∴DB＝DC＝AD＝12AC＝5，故答案为：5；（3）∵E为BC中点，BC＝8，∴BE＝EC＝4，∵将∠C折叠，折痕为EF，∴DE＝EC＝4，当DE⊥BC时，S△BCD有最大值，S△BCD＝12×BC×DE＝12×8×4＝16，此时∵DE⊥BC，DE＝EC，∴∠BCD＝45°．故答案为：S△BCD＝16；∠BCD＝45°．【点评】本题主要考查了勾股定理、直角三角形斜边中线问题以及三角形中的折叠问题；题目较为综合，其中熟练掌握定义定理是解题的关键．20．【答案】①②③⑤【分析】由“SAS”可证△BEC≌△AFC，可得CF＝CE，∠BCE＝∠ACF，可证△EFC是等边三角形，由三角形内角和定理可证∠DFC＝∠EGC；由等边三角形的性质和菱形的性质可求MN＝DN＝BM＝由勾股定理即可求解EF2＝BE2＋DF2不成立；由等边三角形的性质可得△ECF面积2，则当EC⊥AB时，△ECF【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD＝6，∵AC＝BC，∴AB＝BC＝CD＝AD＝AC，∴△ABC，△ACD是等边三角形，∴∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝∠DAC＝60°，∵AC＝BC，∠ABC＝∠DAC，AF＝BE，∴△BEC≌△AFC（SAS）∴CF＝CE，∠BCE＝∠ACF，∴∠ECF ＝∠BCA ＝60°，∴△EFC 是等边三角形，故①正确；∵∠ECF ＝∠ACD ＝60°，∴∠ECG ＝∠FCD ，∵∠FEC ＝∠ADC ＝60°，∴∠DFC ＝∠EGC ，故②正确；若BE ＝3，菱形ABCD 的边长为6，∴点E 为AB 中点，点F 为AD 中点，∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，AO ＝CO ，BO ＝DO ，∠ABO ＝12∠ABC ＝30°，∴AO ＝12AB ＝3，BO ＝∴BD ＝，∵△ABC 是等边三角形，BE ＝AE ＝3，∴CE ⊥AB ，且∠ABO ＝30°，∴BE EM ＝3，BM ＝2EM ，∴BM ＝同理可得DN ＝∴MN ＝BD −BM −DN ＝∴BM ＝MN ＝DN ，故③正确；∵△BEC ≌△AFC ，∴AF ＝BE ，同理△ACE ≌△DCF ，∴AE ＝DF ，∵∠BAD ≠90°，∴EF 2＝AE 2＋AF 2不成立，∴EF 2＝BE 2＋DF 2不成立，故④错误，∵△ECF 是等边三角形，∴△ECF 2， ∴当EC ⊥AB 时，△ECF 面积有最小值，此时，EC ＝ECF 面积的最小值为4，故⑤正确； 故答案为：①②③⑤．【点评】本题是四边形综合题，考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握性质定理是解题的关键．21．【答案】（1）223;y x x =--（2）当32t =时，S 有最大值278；（3）()()2,5,1,4-- 【分析】（1）根据抛物线上的对称点B 和E ，求出对称轴从而可求出C 点坐标．然后设出抛物线的交点式，再把点A 代入求出a 值即可求出抛物线的解析式；（2）过点P 作y 轴的平行线交AE 于点H ，分别根据抛物线和直线AE 的解析式表示出点P 和点H 的坐标，从而求出线段PH 的长，最后用含t 的式子表示∆APE 的面积，利用二次函数的性质求解；（3）根据两直线垂直时，它们的斜率之积为-1，可求得与直线AE 垂直的直线方程，最后联立方程组可求点P 的坐标．【解答】解：（1）抛物线2y ax bx c =++经过点()()1,03,0,B E -、∴抛物线的对称轴为1,x =点()0,3A -，点()2,3C -抛物线表达式为()()()23123,.y a x x a x x =-+=--33a ∴-=-,解得1,a =∴抛物线的表达式为223;y x x =--()2如图,过点P 作y 轴的平行线交AE 于点H由点,A E 的坐标得直线AE 的表达式为3,y x =-设点()2,23P t t t --，则(),3H t t -()()22213333273233222228PAES PH OE t t t t t t ∆⎛⎫∴=•=--++=-+=--+ ⎪⎝⎭ 当32t =时，S 有最大值278()3直线AE 表达式中的k 值为1,则与之垂直的直线表达式中的k 值为1-① 当90PEA ︒∠=时，直线PE 的表达式为1,y x b =-+将点E 的坐标代人并解得13b =,直线PE 的表达式为3,y x =-+联立得2233y x x y x ⎧=--⎨=-+⎩解得2x =-或3（不合题意，舍去）故点P 的坐标为()2,5-② 当90PAE ︒∠=时，直线PA 的表达式为2,y x b =-+将点A 的坐标代人并解得23b =,直线PE 的表达式为3,y x =--联立得2233y x x y x ⎧=--⎨=--⎩ 解得1x =或0（不合题意，舍去）故点()1,4P -综上，点P 的坐标为()2,5-或（1,-4)【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质；会利用待定系数法求二次函数解析式；会解一元二次方程；理解坐标与图形性质，记住两直线垂直时它们的斜率之积为-1；会利用分类讨论的思想解决数学问题．。

培优冲刺03 几何最值类问题综合本考点是中考五星高频考点，难度中等偏上，在全国很多地市的中考试卷中多有考查。

（2022年柳州中考试卷第18题）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，G是BC的中点，点E是正方形内一个动点，且EG＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接CF，则线段CF 长的最小值为 ．【分析】连接DG，将DG绕点D逆时针旋转90°得DM，连接MG，CM，MF，作MH⊥CD于H，利用SAS证明△EDG≌△DFM，得MF＝EG＝2，再说明△DGC≌△DMH（AAS），得CG＝DH＝2，MH＝CD＝4，求出CM的长，再利用三角形三边关系可得答案．【解答】解：方法一：连接DG，将DG绕点D逆时针旋转90°得DM，连接MG，CM，MF，作MH⊥CD于H，∵∠EDF＝∠GDM，∴∠EDG＝∠FDM，∵DE＝DF，DG＝DM，∴△EDG≌△MDF（SAS），∴MF＝EG＝2，∵∠GDC＝∠DMH，∠DCG＝∠DHM，DG＝DM，∴△DGC≌△MDH（AAS），∴CG＝DH＝2，MH＝CD＝4，∴CM＝＝2，∵CF≥CM﹣MF，∴CF的最小值为2﹣2，方法二：连接AG、AE，由方法一同理得，AE＝CF，AG＝2，∵AE≥AG﹣EG＝2﹣2，∴AE的最小值为2﹣2，∴CF的最小值为2﹣2，故答案为：2﹣2．点评：本题主要考查了正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形三边关系等知识，做辅助线构造全等三角形是解题的关键。

初中数学中，几何最值问题属于难度较大的一类题，问题环境可以是三角形、四边形、圆或者反比例函数、二次函数。

而常用到的最值原理则有：两点之间线段最短（三点共线）、点到直线的距离垂线段最短、圆和圆外定点的最值原理等。

这类题的原理虽然较为固定，但对学生的逻辑思维能力要求较高，综合型较强。

本考点是中考五星高频考点，难度较大，个别还会以压轴题出现，在全国多地市的中考试卷中多有考查。

2019-2020全国各地中考数学压轴大题几何综合最值综合题1.（2019•绍兴）有一块形状如图的五边形余料ABCDE，AB＝AE＝6，BC＝5，∠A＝∠B＝90°，∠C＝135°，∠E＞90°，要在这块余料中截取一块矩形材料，其中一条边在AE上，并使所截矩形材料的面积尽可能大．（1）若所截矩形材料的一条边是BC或AE，求矩形材料的面积．（2）能否截出比（1）中更大面积的矩形材料？如果能，求出这些矩形材料面积的最大值；如果不能，说明理由．解：（1）∠若所截矩形材料的一条边是BC，如图1所示：过点C作CF∠AE于F，S1＝AB•BC＝6×5＝30；∠若所截矩形材料的一条边是AE，如图2所示：过点E作EF∠AB交CD于F，FG∠AB于G，过点C作CH∠FG于H，则四边形AEFG为矩形，四边形BCHG为矩形，∠∠C＝135°，∠∠FCH＝45°，∠∠CHF为等腰直角三角形，∠AE＝FG＝6，HG＝BC＝5，BG＝CH＝FH，∠BG＝CH＝FH＝FG﹣HG＝6﹣5＝1，∠AG＝AB﹣BG＝6﹣1＝5，∠S2＝AE•AG＝6×5＝30；（2）能；理由如下：在CD上取点F，过点F作FM∠AB于M，FN∠AE于N，过点C作CG∠FM于G，则四边形ANFM为矩形，四边形BCGM为矩形，∠∠C＝135°，∠∠FCG＝45°，∠∠CGF为等腰直角三角形，∠MG＝BC＝5，BM＝CG，FG＝DG，设AM＝x，则BM＝6﹣x，∠FM＝GM+FG＝GM+CG＝BC+BM＝11﹣x，∠S＝AM×FM＝x（11﹣x）＝﹣x2+11x＝﹣（x﹣5.5）2+30.25，∠当x＝5.5时，S的最大值为30.25．2.（2019•绍兴）如图，矩形ABCD中，AB＝a，BC＝b，点M，N分别在边AB，CD上，点E，F分别在边BC，AD上，MN，EF交于点P，记k＝MN：EF．（1）若a：b的值为1，当MN∠EF时，求k的值．（2）若a：b的值为，求k的最大值和最小值．（3）若k的值为3，当点N是矩形的顶点，∠MPE＝60°，MP＝EF＝3PE时，求a：b的值．解：（1）如图1中，作EH∠BC于H，MQ∠CD于Q，设EF交MN于点O．∠四边形ABCD是正方形，∠FH＝AB，MQ＝BC，∠AB＝CB，∠FH＝MQ，∠EF∠MN，∠∠EON＝90°，∠∠ECN＝90°，∠∠MNQ+∠CEO＝180°，∠FEH+∠CEO＝180°∠∠FEH＝∠MNQ，∠∠EHF＝∠MQN＝90°，∠∠FHE∠∠MQN（ASA），∠MN＝EF，∠k＝MN：EF＝1．（2）∠a：b＝1：2，∠b＝2a，由题意：2a≤MN≤a，a≤EF≤a，∠当MN的长取最大时，EF取最短，此时k的值最大最大值＝，当MN的最短时，EF的值取最大，此时k的值最小，最小值为．（3）连接FN，ME．∠k＝3，MP＝EF＝3PE，∠＝＝3，∠＝＝2，∠∠FPN＝∠EPM，∠∠PNF∠∠PME，∠＝＝2，ME∠NF，设PE＝2m，则PF＝4m，MP＝6m，NP＝12m，∠如图2中，当点N与点D重合时，点M恰好与B重合．作FH∠BD于H．∠∠MPE＝∠FPH＝60°，∠PH＝2m，FH＝2m，DH＝10m，∠＝＝＝．∠如图3中，当点N与C重合，作EH∠MN于H．则PH＝m，HE＝m，∠HC＝PH+PC＝13m，∠tan∠HCE＝＝＝，∠ME∠FC，∠∠MEB＝∠FCB＝∠CFD，∠∠B＝∠D，∠∠MEB∠∠CFD，∠＝＝2，∠＝＝＝，综上所述，a：b的值为或．3.（2019•益阳）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的边AB＝4，BC＝6．若不改变矩形ABCD的形状和大小，当矩形顶点A在x轴的正半轴上左右移动时，矩形的另一个顶点D始终在y轴的正半轴上随之上下移动．（1）当∠OAD＝30°时，求点C的坐标；（2）设AD的中点为M，连接OM、MC，当四边形OMCD的面积为时，求OA的长；（3）当点A移动到某一位置时，点C到点O的距离有最大值，请直接写出最大值，并求此时cos∠OAD 的值．解：（1）如图1，过点C作CE∠y轴于点E，∠矩形ABCD中，CD∠AD，∠∠CDE+∠ADO＝90°，又∠∠OAD+∠ADO＝90°，∠∠CDE＝∠OAD＝30°，∠在Rt∠CED中，CE＝CD＝2，DE＝＝2，在Rt∠OAD中，∠OAD＝30°，∠OD＝AD＝3，∠点C的坐标为（2，3+2）；（2）∠M为AD的中点，∠DM＝3，S∠DCM＝6，又S四边形OMCD＝，∠S∠ODM＝，∠S∠OAD＝9，设OA＝x、OD＝y，则x2+y2＝36，xy＝9，∠x2+y2＝2xy，即x＝y，将x＝y代入x2+y2＝36得x2＝18，解得x＝3（负值舍去），∠OA＝3；（3）OC的最大值为8，如图2，M为AD的中点，∠OM＝3，CM＝＝5，∠OC≤OM+CM＝8，当O、M、C三点在同一直线时，OC有最大值8，连接OC，则此时OC与AD的交点为M，过点O作ON∠AD，垂足为N，∠∠CDM＝∠ONM＝90°，∠CMD＝∠OMN，∠∠CMD∠∠OMN，∠＝＝，即＝＝，解得MN＝，ON＝，∠AN＝AM﹣MN＝，在Rt∠OAN中，OA＝＝，∠cos∠OAD＝＝．4.（2019•淮安）如图∠，在∠ABC中，AB＝AC＝3，∠BAC＝100°，D是BC的中点．小明对图∠进行了如下探究：在线段AD上任取一点P，连接PB．将线段PB绕点P按逆时针方向旋转80°，点B的对应点是点E，连接BE，得到∠BPE．小明发现，随着点P在线段AD上位置的变化，点E 的位置也在变化，点E可能在直线AD的左侧，也可能在直线AD上，还可能在直线AD的右侧．请你帮助小明继续探究，并解答下列问题：（1）当点E在直线AD上时，如图∠所示．∠∠BEP＝50°；∠连接CE，直线CE与直线AB的位置关系是EC∠AB．（2）请在图∠中画出∠BPE，使点E在直线AD的右侧，连接CE．试判断直线CE与直线AB的位置关系，并说明理由．（3）当点P在线段AD上运动时，求AE的最小值．解：（1）∠如图∠中，∠∠BPE＝80°，PB＝PE，∠∠PEB＝∠PBE＝50°，∠结论：AB∠EC．理由：∠AB＝AC，BD＝DC，∠AD∠BC，∠∠BDE＝90°，∠∠EBD＝90°﹣50°＝40°，∠AE垂直平分线段BC，∠EB＝EC，∠∠ECB＝∠EBC＝40°，∠AB＝AC，∠BAC＝100°，∠∠ABC＝∠ACB＝40°，∠∠ABC＝∠ECB，∠AB∠EC．故答案为50，AB∠EC．（2）如图∠中，以P为圆心，PB为半径作∠P．∠AD垂直平分线段BC，∠PB＝PC，∠∠BCE＝∠BPE＝40°，∠∠ABC＝40°，∠AB∠EC．（3）如图∠中，作AH∠CE于H，∠点E在射线CE上运动，点P在线段AD上运动，∠当点P运动到与点A重合时，AE的值最小，此时AE的最小值＝AB＝3．5.（2019•巴中）如图，在菱形ABCD中，连结BD、AC交于点O，过点O作OH∠BC于点H，以点O为圆心，OH为半径的半圆交AC于点M．∠求证：DC是∠O的切线．∠若AC＝4MC且AC＝8，求图中阴影部分的面积．∠在∠的条件下，P是线段BD上的一动点，当PD为何值时，PH+PM的值最小，并求出最小值．解：∠过点O作OG∠CD，垂足为G，在菱形ABCD中，AC是对角线，则AC平分∠BCD，∠OH∠BC，OG∠CD，∠OH＝OG，∠OH、OG都为圆的半径，即DC是∠O的切线；∠∠AC＝4MC且AC＝8，∠OC＝2MC＝4，MC＝OM＝2，∠OH＝2，在直角三角形OHC中，HO＝CO，∠∠OCH＝30°，∠COH＝60°，∠HC＝，S阴影＝S∠OCH﹣S扇形OHM＝CH•OH﹣OH2＝2﹣；∠作M关于BD的对称点N，连接HN交BD于点P，∠PM＝NP，∠PH+PM＝PH+PN＝HN，此时PH+PM最小，∠ON＝OM＝OH，∠MOH＝60°，∠∠MNH＝30°，∠∠MNH＝∠HCM，∠HN=HC=2，即：PH+PM 的最小值为2，∠PD=OP+OD=26.（2019•河北）如图，∠ABC 和∠ADE 中，AB ＝AD ＝6，BC ＝DE ，∠B ＝∠D ＝30°，边AD 与边BC 交于点P （不与点B ，C 重合），点B ，E 在AD 异侧，I 为∠APC 的内心．（1）求证：∠BAD ＝∠CAE ；（2）设AP ＝x ，请用含x 的式子表示PD ，并求PD 的最大值；（3）当AB ∠AC 时，∠AIC 的取值范围为m °＜∠AIC ＜n °，分别直接写出m ，n 的值．解：（1）在∠ABC 和∠ADE 中，（如图1）{AB =AD ∠B =∠D BC =DE∠∠ABC ∠∠ADE （SAS ）∠∠BAC ＝∠DAE即∠BAD +∠DAC ＝∠DAC +∠CAE∠∠BAD ＝∠CAE ．（2）∠AD ＝6，AP ＝x ，∠PD ＝6﹣x当AD ∠BC 时，AP =12AB ＝3最小，即PD ＝6﹣3＝3为PD 的最大值．（3）如图2，设∠BAP＝α，则∠APC＝α+30°，∠AB∠AC∠∠BAC＝90°，∠PCA＝60°，∠P AC＝90°﹣α，∠I为∠APC的内心∠AI、CI分别平分∠P AC，∠PCA，∠∠IAC=12∠P AC，∠ICA=12∠PCA∠∠AIC＝180°﹣（∠IAC+∠ICA）＝180°−12（∠P AC+∠PCA）＝180°−12（90°﹣α+60°）=12α+105°∠0＜α＜90°，∠105°＜12α+105°＜150°，即105°＜∠AIC＜150°，∠m＝105，n＝150．7.（2019•广州）如图，等边∠ABC中，AB＝6，点D在BC上，BD＝4，点E为边AC上一动点（不与点C重合），∠CDE关于DE的轴对称图形为∠FDE．（1）当点F在AC上时，求证：DF∠AB；（2）设∠ACD的面积为S1，∠ABF的面积为S2，记S＝S1﹣S2，S是否存在最大值？若存在，求出S的最大值；若不存在，请说明理由；（3）当B，F，E三点共线时．求AE的长．解：（1）∠∠ABC是等边三角形∠∠A＝∠B＝∠C＝60°由折叠可知：DF＝DC，且点F在AC上∠∠DFC＝∠C＝60°∠∠DFC＝∠A∠DF∠AB；（2）存在，过点D作DM∠AB交AB于点M，∠AB＝BC＝6，BD＝4，∠CD＝2∠DF＝2，∠点F在以D为圆心，DF为半径的圆上，∠当点F在DM上时，S∠ABF最小，∠BD＝4，DM∠AB，∠ABC＝60°∠MD＝2√3×6×（2√3−2）＝6√3−6∠S∠ABF的最小值=12×2×3√3−（6√3−6）＝﹣3√3+6∠S最大值=12（3）如图，过点D作DG∠EF于点G，过点E作EH∠CD于点H，∠∠CDE关于DE的轴对称图形为∠FDE∠DF＝DC＝2，∠EFD＝∠C＝60°∠GD∠EF，∠EFD＝60°∠FG＝1，DG=√3FG=√3∠BD2＝BG2+DG2，∠16＝3+（BF+1）2，∠BF=√13−1∠BG=√13∠EH∠BC，∠C＝60°∠CH=EC2，EH=√3HC=√32EC∠∠GBD＝∠EBH，∠BGD＝∠BHE＝90°∠∠BGD∠∠BHE∠DG BG =EHBH∠√3√13=√32EC6−EC2∠EC=√13−1∠AE＝AC﹣EC＝7−√138.（2019•南通）如图，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4．E，F分别在AD，BC上，点A与点C关于EF所在的直线对称，P是边DC上的一动点．（1）连接AF，CE，求证四边形AFCE是菱形；（2）当∠PEF的周长最小时，求DPCP的值；（3）连接BP交EF于点M，当∠EMP＝45°时，求CP的长．证明：（1）如图：连接AF，CE，AC交EF于点O∠四边形ABCD是矩形，∠AB＝CD，AD＝BC，AD∠BC∠∠AEO＝∠CFO，∠EAO＝∠FCO，∠点A与点C关于EF所在的直线对称∠AO＝CO，AC∠EF∠∠AEO＝∠CFO，∠EAO＝∠FCO，AO＝CO∠∠AEO∠∠CFO（AAS）∠AE＝CF，且AE∠CF∠四边形AFCE是平行四边形，且AC∠EF∠四边形AFCE是菱形；（2）如图，作点F关于CD的对称点H，连接EH，交CD于点P，此时∠EFP的周长最小，∠四边形AFCE是菱形∠AF＝CF＝CE＝AE，∠AF2＝BF2+AB2，∠AF2＝（4﹣AF）2+4，∠AF=52∠AE=52=CF∠DE=32∠点F，点H关于CD对称∠CF＝CH=52∠AD∠BC∠DP CP =DECH=35（3）如图，延长EF，延长AB交于点N，过点E作EH∠BC于H，交BP于点G，过点B作BO∠FN于点O，由（2）可知，AE＝CF=52，BF＝DE=32∠EH∠BC，∠A＝∠ABC＝90°∠四边形ABHE是矩形∠AB ＝EH ＝2，BH ＝AE =52∠FH ＝1∠EF =√EH 2+FH 2=√5， ∠AD ∠BC∠∠BFN ∠∠AEN∠BN AN =BF AE =FN EN∠BN BN+2=35=NF+√5∠BN ＝3，NF =3√52∠AN ＝5，NE =5√52∠∠N ＝∠N ，∠BON ＝∠A ＝90° ∠∠NBO ∠∠NEA∠BN EN =BO AE =NOAN ∠5√52=BO52=NO 5∠BO =3√55，NO =6√55∠∠EMP ＝∠BMO ＝45°，BO ∠EN ∠∠OBM ＝∠BMO ＝45° ∠BO ＝MO =3√55∠ME ＝EN ﹣NO ﹣MO =7√510∠AB∠EH∠∠BNM∠∠GEM∠BN EG =NMEM∠3 EG =9√557√510∠EG=76∠GH＝EH﹣EG=56∠EH∠CD∠∠BGH∠∠BPC∠GH PC =BHBC∠56PC=524∠CP=439.（2019•贵港）已知：∠ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，将∠ABC绕点C顺时针方向旋转得到∠A′B′C，记旋转角为α，当90°＜α＜180°时，作A′D∠AC，垂足为D，A′D与B′C交于点E．（1）如图1，当∠CA′D＝15°时，作∠A′EC的平分线EF交BC于点F．∠写出旋转角α的度数；∠求证：EA′+EC＝EF；（2）如图2，在（1）的条件下，设P是直线A′D上的一个动点，连接P A，PF，若AB=√2，求线段P A+PF 的最小值．（结果保留根号）（1）∠解：旋转角为105°．理由：如图1中，∠A′D∠AC，∠∠A′DC＝90°，∠∠CA′D＝15°，∠∠A′CD＝75°，∠∠ACA′＝105°，∠旋转角为105°．∠证明：连接A′F，设EF交CA′于点O．在EF时截取EM＝EC，连接CM．∠∠CED＝∠A′CE+∠CA′E＝45°+15°＝60°，∠∠CEA′＝120°，∠FE平分∠CEA′，∠∠CEF＝∠FEA′＝60°，∠∠FCO＝180°﹣45°﹣75°＝60°，∠∠FCO＝∠A′EO，∠∠FOC＝∠A′OE，∠∠FOC∠∠A′OE，∠OF A′O =OCOE，∠OF OC =A′OOE，∠∠COE＝∠FOA′，∠∠COE∠∠FOA′，∠∠F A′O＝∠OEC＝60°，∠∠A′CF是等边三角形，∠CF＝CA′＝A′F，∠EM＝EC，∠CEM＝60°，∠∠CEM是等边三角形，∠ECM＝60°，CM＝CE，∠∠FCA′＝∠MCE＝60°，∠∠FCM＝∠A′CE，∠∠FCM∠∠A′CE（ASA），∠FM＝A′E，∠CE+A′E＝EM+FM＝EF．（2）解：如图2中，连接A′F，PB′，AB′，作B′M∠AC交AC的延长线于M．由∠可知，∠EA′F＝′EA′B′＝75°，A′E＝A′E，A′F＝A′B′，∠∠A′EF∠∠A′EB′，∠EF＝EB′，∠B′，F关于A′E对称，∠PF＝PB′，∠P A+PF＝P A+PB′≥AB′，在Rt∠CB′M中，CB′＝BC=√2AB＝2，∠MCB′＝30°，∠B′M=12CB′＝1，CM=√3，∠AB′=√AM2+B′M2=√(√2+√3)2+12=√6+2√6．∠P A+PF的最小值为√6+2√6．10.（2019秋•朝阳区校级月考）如图，菱形EFGH的顶点E、G分别在矩形ABCD的边AD，BC上，顶点F，H在矩形ABCD的对角线BD上．（1）求证：BG DE=；（2）若3AB=，4BC=，则菱形EFGH的面积最大值是758．（1）证明：Q 四边形ABCD 是矩形， //AD BC ∴，FBG HDE ∴∠=∠，Q 四边形EFGH 是菱形，FG EH ∴=，EFG EHG ∠=∠，12GFH EFG ∠=∠，12EHF EHG ∠=∠， GFH EHG ∴∠=∠，BFG DHE ∴∠=∠，在BFG ∆和DHE ∆中，FBG HDE BFG DHE FG EH ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BFG DHE AAS ∴∆≅∆， BG DE ∴=；（2）解：当点F 与B 重合，点H 与D 重合时，菱形EFGH 的面积最大，如图所示： Q 四边形EFGH 是菱形， EG BD ∴⊥，BE DE BG ==， Q 四边形ABCD 是矩形， 90BAD ∴∠=︒，设BE DE x ==，则4AE x =-，在Rt ABE ∆中，由勾股定理得：2223(4)x x +-=， 解得：258x =， 257488CG AE ∴==-=， ∴菱形EFGH 的面积最大值=矩形ABCD 的面积ABE -∆的面积CDG -∆的面积17753423288=⨯-⨯⨯⨯=； 故答案为：758．。